Questões de Circuitos Elétricos II

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS NATAL CENTRAL DISCIPLINA Circuitos Elétricos II PROFESSOR Ricardo Ferreira Pinheiro Filho Alunos Adriano Rodrigo Ferreira De Lima Allan Braz Da Silva Santos Pedro Tomaz Dantas Bisneto Questões escolhidas Questão 11 Circuito V Questão 21 Circuito II Questão 12 Circuito V Questão 10 Circuito III IX e X Questão 11 Circuito V Analisando para t 0 o Sabemos que ao passar para o domínio da frequência temos impedâncias porém para facilitar a representação utilizamos o Orcad Equação da malha Ias 18 𝑠 3𝐼𝑎𝑠 20𝑠𝐼𝑎𝑠 3𝐼𝑎𝑠 3𝐼𝑑𝑠 0 18 𝑠 𝐼𝑎𝑠6 20𝑠 3𝐼𝑑𝑠 0 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 3𝐼𝑑𝑠 18 𝑠 Equação da malha Ibs 18 𝑠 2𝐼𝑏𝑠 01 𝑠 𝐼𝑏𝑠 4𝐼𝑏𝑠 4𝐼𝑐𝑠 0 18 𝑠 𝐼𝑏𝑠 6 01 𝑠 4𝐼𝑐𝑠 0 𝐼𝑏𝑠 6 01 𝑠 4𝐼𝑐𝑠 18 𝑠 Equação da malha Ics 6 𝑠 2𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑏𝑠 0 6 𝑠 6𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑏𝑠 0 6𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑏𝑠 6 𝑠 Equação da malha Ids 6 𝑠 𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑎𝑠 0 6 𝑠 4𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑎𝑠 0 4𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑎𝑠 6 𝑠 IB IA IC ID Encontrando Ias o A partir da equação de Ids 4𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑎𝑠 6 𝑠 4𝐼𝑑𝑠 6 𝑠 3𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑑𝑠 6 3𝑠𝐼𝑎𝑠 4𝑠 o Substituindo na equação de Ias 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 3𝐼𝑑𝑠 18 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 3 6 3𝑠𝐼𝑎𝑠 4𝑠 18 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 18 4𝑠 9𝑠𝐼𝑎𝑠 4𝑠 18 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 225 18 𝑠 45 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 375 135 𝑠 𝐼𝑎𝑠 135 𝑠20𝑠 375 𝐼𝑎𝑠 135 20𝑠2 375𝑠 𝑖𝑎𝑡 135 20 ℒ1 1 𝑠2 01875𝑠 o Calculando apenas a transformada 𝑥1 01875 𝑥2 0 𝑃𝑜𝑟 𝐻𝑒𝑎𝑣𝑖𝑠𝑖𝑑𝑒 1 𝑠 01875𝑠 𝐴 𝑠 01875 𝐵 𝑠 𝐴 1 𝑠𝑠 01875 𝐴 1 01875 𝐴 5333 𝐵 1 𝑠𝑠 01875 𝐵 1 01875 𝐵 5333 o Voltando 𝑖𝑎𝑡 135 20 ℒ1 5333 𝑠 01875 5333 𝑠 𝑖𝑎𝑡 06755333𝑒01875𝑡 5333𝑢𝑡 𝒊𝒂𝒕 𝟑 𝟔𝒖𝒕 𝟑 𝟔𝒆𝟎𝟏𝟖𝟕𝟓𝒕 𝑨 Apenas iat passa no indutor portanto podemos determinar a condição final para t 0 e consequentemente a condição inicial de 𝑡 0 𝒊𝒂 𝟑 𝟔 𝑨 Agora iremos determinar as condições do capacitor o Isolando Ic na equação de Ic 6𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑏𝑠 6 𝑠 6𝐼𝑐𝑠 6 𝑠 4𝐼𝑏𝑠 6𝐼𝑐𝑠 6 4𝑠𝐼𝑏𝑠 𝑠 𝐼𝑐𝑠 6 4𝑠𝐼𝑏𝑠 6𝑠 o Substituindo na equação de Ibs 𝐼𝑏𝑠 6𝑠 01 𝑠 4 6 4𝑠𝐼𝑏𝑠 6𝑠 18 𝑠 𝐼𝑏𝑠 6𝑠 01 𝑠 24 6𝑠 16𝑠𝐼𝑏𝑠 6𝑠 18 𝑠 𝐼𝑏𝑠 6𝑠 01 𝑠 4 𝑠 2667𝐼𝑏𝑠 18 𝑠 𝐼𝑏𝑠 6𝑠 01 𝑠 2667 18 𝑠 4 𝑠 𝐼𝑏𝑠 6𝑠 2667𝑠 01 𝑠 14 𝑠 𝐼𝑏𝑠 14 3333𝑠 01 𝑖𝑏𝑡 14 3333 ℒ1 1 𝑠 003 𝒊𝒃𝒕 𝟒 𝟐𝒆𝟎𝟎𝟑𝒕𝑨 o Precisamos encontrar a tensão no capacitor 𝑉𝑐𝑠 14 3333𝑠2 01𝑠 𝑣𝑐𝑡 14 3333 ℒ1 1 𝑠2 003𝑠 o Calculando apenas a transformada inversa 𝑥1 003 𝑥2 0 1 𝑠 003𝑠 𝐴 𝑠 003 𝐵 𝑠 𝑃𝑜𝑟 𝐻𝑒𝑎𝑣𝑖𝑠𝑖𝑑𝑒 𝐴 1 𝑠 003𝑠 𝐴 1 003 𝐴 33333 𝐵 1 𝑠 003𝑠 𝐵 1 003 𝐵 33333 𝑣𝑐𝑡 14 3333 ℒ1 33333 𝑠 003 33333 𝑠 𝑣𝑐𝑡 04233333𝑒003𝑡 33333𝑢𝑡 𝒗𝒄𝒕 𝟏𝟒𝒖𝒕 𝟏𝟒𝒆𝟎𝟎𝟑𝒕 𝑽 o Podemos então determinar a tensão final no capacitor para t 0 e consequentemente a condição inicial para 𝑡 0 𝒗𝒄 𝟏𝟒 𝑽 Determinando Ix Temos 𝐼𝑏𝑡 42𝑒003𝑡 𝑒 𝑖𝑎𝑡 36𝑢𝑡 36𝑒01875𝑡 𝐼𝑥𝑡 𝐼𝑎𝑡 𝐼𝑏𝑡 𝑰𝒙𝒕 𝟑 𝟔𝒖𝒕 𝟑 𝟔𝒆𝟎𝟏𝟖𝟕𝟓𝒕 𝟒 𝟐𝒆𝟎𝟎𝟑𝒕 𝑨 Agora iremos redesenhar o circuito com suas condições iniciais e com a chave aberta Equação da malha Ias 18 𝑠 3𝐼𝑎𝑠 20𝑠𝐼𝑎𝑠 72 3𝐼𝑎𝑠 3𝐼𝑑𝑠 0 18 𝑠 𝐼𝑎𝑠6 20𝑠 3𝐼𝑑𝑠 72 0 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 3𝐼𝑑𝑠 72𝑠 18 𝑠 Equação da malha Ibs 18 𝑠 2𝐼𝑏𝑠 01 𝑠 𝐼𝑏𝑠 14 𝑠 4𝐼𝑏𝑠 0 18 𝑠 𝐼𝑏𝑠 6 01 𝑠 14 𝑠 0 𝐼𝑏𝑠 6𝑠 01 𝑠 4 𝑠 𝐼𝑏𝑠 4 6𝑠 01 𝑖𝑏𝑡 4 6 ℒ1 1 𝑠 001667 𝒊𝒃𝒕 𝟎 𝟔𝟔𝟕𝒆𝟎𝟎𝟏𝟔𝟕𝒕𝑨 Equação da malha Ids 6 𝑠 𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑎𝑠 0 6 𝑠 4𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑎𝑠 0 IB IA ID 4𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑎𝑠 6 𝑠 4𝐼𝑑𝑠 6 𝑠 3𝐼𝑎𝑠 4𝐼𝑑𝑠 6 3𝑠𝐼𝑎𝑠 𝑠 𝐼𝑑𝑠 6 3𝑠𝐼𝑎𝑠 4𝑠 Substituindo em Ias 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 3𝐼𝑑𝑠 72𝑠 18 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 3 6 3𝑠𝐼𝑎𝑠 4𝑠 72𝑠 18 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 18 4𝑠 9𝑠𝐼𝑎𝑠 4𝑠 72𝑠 18 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 225 72𝑠 18 45 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 375 72𝑠 135 𝑠 𝐼𝑎𝑠 72𝑠 135 20𝑠2 375𝑠 𝐼𝑎𝑠 72𝑠 20𝑠2 375𝑠 135 20𝑠2 375𝑠 o Resolvendo as transformadas ℒ1 72 20𝑠 375 72 20 ℒ1 1 𝑠 01875 36𝑒01875𝑡 ℒ1 135 20𝑠2 375𝑠 135 20 ℒ1 1 𝑠2 01875𝑠 𝐽á 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 06755333𝑒01875𝑡 5333𝑢𝑡 36𝑢𝑡 36𝑒01875𝑡 o Juntando as transformadas 𝑖𝑎𝑡 36𝑒0187𝑡 36𝑒01875𝑡 36𝑢𝑡 𝒊𝒂𝒕 𝟑 𝟔𝒖𝒕 𝑨 Encontrando a expressão para a tensão no capacitor 𝑉𝑐𝑠 𝐼𝑏𝑠 01 𝑠 𝑉𝑐𝑠 4 6𝑠 01 01 𝑠 𝑉𝑐𝑠 04 6𝑠2 01𝑠 𝑣𝑐𝑡 04 6 ℒ1 1 𝑠2 00167 o Calculando a transformada 𝑥1 00167 𝑥2 0 1 𝑠 00167𝑠 𝐴 𝑠 00167 𝐵 𝑠 𝐴 1 𝑠 00167𝑠 𝐴 1 00167 𝐴 5988 𝐵 1 𝑠 00167𝑠 𝐵 1 00167 𝐵 5988 𝑣𝑐𝑡 00667ℒ1 5988 𝑠 00167 5988 𝑠 𝑣𝑐𝑡 006675988𝑢𝑡 5988𝑒00167𝑡 𝒗𝒄𝒕 𝟒𝒖𝒕 𝟒𝒆𝟎𝟎𝟏𝟔𝟕𝒕 𝑽 Determinando Ix Temos 𝐼𝑏𝑡 0667𝑒00167𝑡 𝑒 𝑖𝑎𝑡 36𝑢𝑡 𝐼𝑥𝑡 𝐼𝑎𝑡 𝐼𝑏𝑡 𝑰𝒙𝒕 𝟑 𝟔𝒖𝒕 𝟎 𝟔𝟔𝟕𝒆𝟎𝟎𝟏𝟔𝟕𝒕 𝑨 Temos então as condições finais para quando a chave abre e consequentemente as condições iniciais para quando ela fecha novamente 𝑣𝑐 4 𝑉 𝑒 𝑖𝑎 36 𝐴 Equação da malha Ias 18 𝑠 3𝐼𝑎𝑠 20𝑠𝐼𝑎𝑠 72 3𝐼𝑎𝑠 3𝐼𝑑𝑠 0 18 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 3𝐼𝑑𝑠 72 0 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 3𝐼𝑑𝑠 18 72𝑠 𝑠 Equação da malha Ibs 18 𝑠 2𝐼𝑏𝑠 01 𝑠 𝐼𝑏𝑠 4 𝑠 4𝐼𝑏𝑠 4𝐼𝑐𝑠 0 𝐼𝑏𝑠 6 01 𝑠 4𝐼𝑐𝑠 14 𝑠 0 𝐼𝑏𝑠 6 01 𝑠 4𝐼𝑐𝑠 14 𝑠 0 IB IA IC ID 𝐼𝑏𝑠 01 6𝑠 𝑠 4𝐼𝑐𝑠 14 𝑠 Equação da malha Ics 6 𝑠 2𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑏𝑠 0 6 𝑠 6𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑏𝑠 0 6𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑏𝑠 6 𝑠 Equação da malha Ids 6 𝑠 𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑎𝑠 0 6 𝑠 4𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑎𝑠 0 4𝐼𝑑𝑠 3𝐼𝑎𝑠 6 𝑠 Encontrando Ias o A partir da equação de Ibs 4𝐼𝑏𝑠 3𝑖𝑎𝑠 6 𝑠 4𝐼𝑑𝑠 6 𝑠 3𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑑𝑠 6 3𝑠𝐼𝑎𝑠 4𝑠 o Substituindo na equação de Ias 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 3𝐼𝑏𝑠 18 72𝑠 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 3 6 3𝑠𝐼𝑎𝑠 4𝑠 18 72𝑠 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 18 4𝑠 9𝑠𝐼𝑎𝑠 4𝑠 18 72𝑠 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 6 225 18 72𝑠 45 𝑠 𝐼𝑎𝑠20𝑠 375 72𝑠 135 𝑠 𝐼𝑎𝑠 72𝑠 135 20𝑠2 375𝑠 Logo 𝐼𝑎𝑠 72𝑠 20𝑠2 375𝑠 135 20𝑠2 375𝑠 o Calculando a transformada inversa 72𝑠 𝑠20𝑠 375 72 20𝑠 375 72 20 ℒ1 1 𝑠 01875 36𝑒01875𝑡 135 20𝑠2 375𝑠 135 20 ℒ1 1 𝑠2 01875𝑠 𝐽á 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 135 20 ℒ1 5333 𝑠 01875 5333 𝑠 06755333𝑢𝑡 5333𝑒01875𝑡 36𝑢𝑡 36𝑒01875𝑡 o Juntando os termos calculados 𝑖𝑎𝑡 36𝑒01875𝑡 36𝑢𝑡 36𝑒01875𝑡 𝒊𝒂𝒕 𝟑 𝟔𝒖𝒕 𝑨 Queremos calcular Ibs o Na equação de Ics 6𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑏𝑠 6 𝑠 6𝐼𝑐𝑠 6 4𝑠𝐼𝑏𝑠 𝑠 𝐼𝑐𝑠 6 4𝑠𝐼𝑏𝑠 6𝑠 o Substituindo na equação de Ibs 𝐼𝑏𝑠 01 6𝑠 𝑠 4𝐼𝑐𝑠 14 𝑠 𝐼𝑏𝑠 01 6𝑠 𝑠 4 6 4𝑠𝐼𝑏𝑠 6𝑠 14 𝑠 𝐼𝑏𝑠 01 6𝑠 𝑠 24 6𝑠 16𝑠𝐼𝑏𝑠 6𝑠 14 𝑠 𝐼𝑏𝑠 01 6𝑠 𝑠 2667 14 𝑠 4 𝑠 𝐼𝑏𝑠 01 6𝑠 2667𝑠 𝑠 10 𝑠 𝐼𝑏𝑠 10 3333𝑠 01 𝐴 Calculando a tensão no capacitor 𝑉𝑐𝑠 𝐼𝑏𝑠 01 𝑠 𝑉𝑐𝑠 10 3333𝑠 01 01 𝑠 𝑉𝑐𝑠 1 3333𝑠2 01𝑠 𝑣𝑐𝑡 1 3333 ℒ1 1 𝑠2 003𝑠 o Já calculamos essa transformada anteriormente 𝑣𝑐𝑡 1 3333 ℒ1 33333 𝑠 003 33333 𝑠 𝑣𝑐𝑡 0333333𝑒003𝑡 33333𝑢𝑡 𝒗𝒄𝒕 𝟏𝟎𝒖𝒕 𝟏𝟎𝒆𝟎𝟎𝟑𝒕 𝑽 Calculando ibt 𝐼𝑏𝑠 10 333𝑠 01 𝒊𝒃𝒕 𝟏𝟎 𝟑 𝟑𝟑 𝓛𝟏 𝟏 𝒔 𝟎 𝟎𝟑 𝒊𝒃𝒕 𝟑𝒆𝟎𝟎𝟑𝒕 𝑨 Determinando Ix Temos 𝐼𝑏𝑡 3𝑒003𝑡 𝑒 𝑖𝑎𝑡 36𝑢𝑡 𝐼𝑥𝑡 𝐼𝑎𝑡 𝐼𝑏𝑡 𝑰𝒙𝒕 𝟑 𝟔𝒖𝒕 𝟑𝒆𝟎𝟎𝟑𝒕 𝑨 Questão 21 Circuito II Analisando o circuito fechando em a o Sabemos que ao passar para o domínio da frequência temos impedâncias porém para facilitar a representação utilizamos o Orcad o Como a chave estava aberta todas as condições iniciais são nulas Analisando o circuito observamos que 𝑖2 0 Equação da malha Ias 15 𝑠 4𝐼𝑎𝑠 38 103𝑠𝐼𝑎𝑠 3𝐼𝑎𝑠 0 𝐼𝑎𝑠7 38 103𝑠 15 𝑠 0 𝐼𝑎𝑠38 103𝑠 7 15 𝑠 𝐼𝑎𝑠 15 𝑠38 103𝑠 7 𝐼𝑎𝑠 15 38 103𝑠2 7𝑠 IA 𝑖𝑎𝑡 15 38 103 ℒ1 1 𝑠2 184211𝑠 𝑃𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑖𝑎𝑡 15 38 103 ℒ1 0000543 𝑠 0000543 𝑠 184211 𝑖𝑎𝑡 15 38 103 0000543𝑢𝑡 0000543𝑒184211𝑡 𝒊𝒂𝒕 𝟐 𝟏𝟒𝟑𝒖𝒕 𝟐 𝟏𝟒𝟑𝒆𝟏𝟖𝟒𝟐𝟏𝟏𝒕𝑨 Vemos que 𝑖𝑎𝑡 𝑖1𝑡 𝑖3𝑡 Assim 𝑖𝑎 𝑖1 𝑖3 2143 2143 𝑒184211 𝒊𝒂 𝒊𝟏 𝒊𝟑 𝟐 𝟏𝟒𝟑 𝑨 Calculando V0t 𝑣0𝑡 3𝑖𝑎𝑡 𝑣0𝑡 32143𝑢𝑡 2143𝑒184211𝑡 𝑣0𝑡 6429𝑢𝑡 6429𝑒184211𝑡 𝑉 Assim 𝑣0 6429 6429 𝑒184211 𝒗𝟎 𝟔 𝟒𝟐𝟗 𝑽 Temos então i1 i2 i3 v0 𝒕 𝟎 0 0 0 0 𝒕 𝟎 0 0 0 0 𝒕 2143 A 0 2143 A 6429 V Analisando o circuito fechando em b o Portanto temos as condições finais para quando o circuito é fechado em a e consequentemente a condição inicial para quando fecha em b Equação da malha Ias 26 103𝑠𝐼𝑎𝑠 26 103𝑠𝐼𝑏𝑠 38 103𝑠𝐼𝑎𝑠 81434 103 3𝐼𝑎𝑠 0 𝐼𝑎𝑠64 103𝑠 3 26 103𝑠𝐼𝑏𝑠 81434 103 0 Equação da malha Ibs 26 103𝑠𝐼𝑏𝑠 26 103𝑠𝐼𝑎𝑠 2𝐼𝑏𝑠 0 𝐼𝑏𝑠26 103𝑠 2 26 103𝑠𝐼𝑎𝑠 0 𝐼𝑏𝑠26 103𝑠 2 26 103𝑠𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑏𝑠 26 103𝑠 26 103𝑠 2 𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑏𝑠 26 103𝑠 26 103𝑠 2 𝐼𝑎𝑠 o Agora substituindo na equação de Ias 𝐼𝑎𝑠64 103𝑠 3 26 103𝑠𝐼𝑏𝑠 81434 103 0 26 103𝑠 26 103𝑠 26 103 2 676 106𝑠2 26 103𝑠 2 o Efetuando a soma 64 103𝑠 3 676 106𝑠2 26 103𝑠 2 26 103𝑠 264 103𝑠 3 676 106𝑠2 26 103𝑠 2 1664 106𝑠2 78 103𝑠 128 103𝑠 6 IA IB 1664 106𝑠2 206 103𝑠 6 676 106𝑠2 26 103𝑠 2 234 106𝑠2 206 103𝑠 6 26 103𝑠 2 o Assim 𝐼𝑎𝑠 234 106𝑠2 206 103𝑠 6 26 103𝑠 2 81434 103 𝐼𝑎𝑠 81434 103 26 103𝑠 2 234 106𝑠2 206 103𝑠 6 𝐼𝑎𝑠 2117 106𝑠 16283 103 234 106𝑠2 206 103𝑠 6 𝑖𝑎𝑡 ℒ1 2117 106𝑠 16283 103 234 106𝑠2 206 103𝑠 6 ℒ1 2117 106𝑠 16283 103 234 106𝑠2 206 103𝑠 6 ℒ1 2117 106𝑠 234 106𝑠2 206 103𝑠 6 2117 106𝑠 234 106𝑠2 ℒ1 𝑠 𝑠2 88034𝑠 256410256 𝑒44017𝑡 cos25032104𝑡 1758𝑒440017𝑡𝑠𝑒𝑛25032104𝑡 o Logo 0905𝑒44017𝑡 cos250321𝑡 1591𝑒44017𝑡𝑠𝑒𝑛250321𝑡 o Agora a outra parte ℒ1 16283 103 234 106𝑠2 206 103𝑠 6 16283 103 234 106 ℒ1 1 𝑠2 88034𝑠 256410256 16283 103 234 106 0905 000399𝑒44017𝑡𝑠𝑒𝑛250321𝑡 o Assim 3611 103𝑒44017𝑡𝑠𝑒𝑛250321𝑡 o Logo 𝒊𝒂𝒕 𝟎 𝟗𝟎𝟓𝒆𝟒𝟒𝟎𝟏𝟕𝒕 𝐜𝐨𝐬𝟐𝟓𝟎 𝟑𝟐𝟏𝒕 𝟏 𝟓𝟖𝟕𝒆𝟒𝟒𝟎𝟏𝟕𝒕𝒔𝒆𝒏𝟐𝟓𝟎 𝟑𝟐𝟏𝒕 𝑨 o Percebemos que 𝑖𝑎𝑡 𝑖3𝑡 logo 𝑖3 0905 𝑒44017 cos250321𝑡 1587 𝑒44017 𝑠𝑒𝑛250321𝑡 o Pelo teorema do confronto 𝑖3 0 o Temos também a expressão para v0 𝑣0 3 𝑖3𝑡 𝒗𝟎 𝟐 𝟕𝟏𝟓𝒆𝟒𝟒𝟎𝟏𝟕𝒕 𝐜𝐨𝐬𝟐𝟓𝟎 𝟑𝟐𝟏𝒕 𝟒 𝟕𝟔𝟏𝒆𝟒𝟒𝟎𝟏𝟕𝒕𝒔𝒆𝒏𝟐𝟓𝟎 𝟑𝟐𝟏𝒕 𝑽 o Portanto analogamente ao que fizemos para 𝑖3 temos 𝑣0 0 o Agora encontrando Ibs 𝐼𝑏𝑠 26 103𝑠 26 103𝑠 2 𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑏𝑠 26 103𝑠 26 103𝑠 2 2117 106𝑠 16283 103 234 106𝑠2 206 103𝑠 6 𝐼𝑏𝑠 423 105𝑠 55 108𝑠2 6084 108𝑠3 1004 104𝑠2 00568𝑠 12 𝑖𝑏𝑡 ℒ1 00004586 𝑠 76923 015286 09081𝑠 𝑠2 88034𝑠 25641026 𝑖𝑏𝑡 00004586𝑒76923𝑡 09051𝑒44017𝑡 cos250321𝑡 159093𝑒44014𝑡𝑠𝑒𝑛25032𝑡 o Assim 𝑖2 𝑖𝑏𝑡 𝑖𝑎𝑡 𝑖2𝑡 00004586𝑒76923𝑡 09051𝑒44017𝑡 cos250321𝑡 159093𝑒44017𝑡𝑠𝑒𝑛25032𝑡 𝑖𝑎𝑡 0905𝑒44217𝑡 cos250321𝑡 1587𝑒44017𝑡𝑠𝑒𝑛250321𝑡 𝒊𝟐𝒕 𝟎 𝟎𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔𝒆𝟕𝟓𝟗𝟐𝟏𝒕 𝑨 𝒊𝒂 𝟎 o Assim i1 i2 i3 V0 𝑡 0 0 0 2143 6429 𝑡 0 0 0 2143 0 𝑡 0 0 0 0 Analisando o circuito fechando em a novamente o Tendo em vista que o enunciado determina que a chave permaneça fechada em cada um dos pontos a e b podemos afirmar então quando o circuito for fechado em b assim como mostrado na análise das condições finais apresentadas no passo anterior o indutor descarregou portanto como ele fecha novamente em a com condições iniciais nulas temos novamente o procedimento efetuado no primeiro passo dessa questão Questão 12 Circuito V Ligando aba Obs Fechando em A vamos ter todas as condições iniciais nulas e todas as condições finais nulas i1 i2 V3 𝑻 𝟎 0 0 0 𝑻 𝟎 0 0 0 𝑻 0 0 0 Fechando em b Ficamos com o circuito da seguinte forma No domínio da frequência temos Equação de Ias 20 𝑠 2𝐼𝑎𝑠 2𝐼𝑏𝑠 833333𝐼𝑎 𝑠 𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑏𝑠 0 20 𝑠 2𝐼𝑎𝑠 3 833333 𝑠 3𝐼𝑏𝑠 0 𝐼𝑎𝑠 3𝑠 833333 𝑠 3𝐼𝑏𝑠 20 𝑠 Equação da Malha Ibs 20 𝑠 2𝐼𝑎𝑠 2𝐼𝑏𝑠 12 103𝑠 𝐼𝑏𝑠 𝐼𝑏𝑠 𝐼𝑎𝑠 0 20 𝑠 3𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑏𝑠3 12 103𝑠 0 3𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠 3 20 𝑠 Vamos então isolar Ibs em função de Ias 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠 3 20 3𝑠 𝐼𝑎𝑠 𝑠 𝐼𝑏𝑠 20 3𝑠 𝐼𝑎𝑠 𝑠12 103𝑠 3 𝐼𝑏𝑠 20 3𝑠 𝐼𝑎𝑠 12 103𝑠² 3𝑠 Agora substituindo o valor encontrado em Ias temos 𝐼𝑎𝑠 3𝑠 833333 𝑠 3 20 3𝑠 𝐼𝑎𝑠 12 103𝑠2 3𝑠 20 𝑠 IA IB 𝐼𝑎𝑠 3𝑠 833333 𝑠 60 12 103𝑠2 3𝑠 9𝑠 𝐼𝑎𝑠 12 103𝑠2 3𝑠 20 𝑠 𝐼𝑎𝑠 3𝑠 833333 𝑠 60 12 103𝑠2 3𝑠 9𝑠 𝐼𝑎𝑠 𝑠12 103𝑠 3 20 𝑠 𝐼𝑎𝑠 3𝑠 833333 𝑠 9 12 103𝑠 3 20 𝑠 60 12 103𝑠2 3𝑠 𝐼𝑎𝑠 3𝑠2 833333𝑠 20833325 𝑠𝑠 250 20 𝑠 250 𝐼𝑎𝑠 20𝑠𝑠 250 𝑠 2503𝑠2 833333𝑠 20833325 𝐼𝑎𝑠 20𝑠 3𝑠2 833333𝑠 20833325 𝑖𝑎𝑡 20 3 ℒ1 𝑠 𝑠2 277778𝑠 69444417 𝑖𝑎𝑡 20 3 ℒ1 1125 𝑠 2500 0125 𝑠 27778 𝒊𝒂𝒕 𝟕 𝟓 𝒆𝟐𝟓𝟎𝟎𝒕 𝟎 𝟖𝟑𝟑 𝒆𝟐𝟕𝟕𝟕𝟖𝒕 𝑨 Determinando a expressão da tensão no capacitor 𝑉𝑐 𝐼𝑎𝑠 833333 𝑠 𝑉𝑐𝑠 20𝑠 3𝑠2 833333𝑠 20833325 833333 𝑠 𝑉𝑐𝑠 1666666 3𝑠2 833333𝑠 20833325 𝑉𝑐𝑡 1666666 3 ℒ1 1 𝑠2 277778𝑠 694444167 𝑉𝑐𝑡 1666666 3 ℒ1 000045 𝑠 27778 000045 𝑠 2500 𝑽𝒄𝒕 𝟐𝟓 𝒆𝟐𝟕𝟕𝟕𝟖𝒕 𝟐𝟓 𝒆𝟐𝟓𝟎𝟎𝒕 𝑽 0 0 Assim vamos encontrar Ibs 𝐼𝑏𝑠 20 3𝑠 𝐼𝑎𝑠 12 103𝑠2 3𝑠 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠2 3𝑠 3𝑠 𝐼𝑎𝑠 20 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠2 3𝑠 3𝑠20𝑠 3𝑠2 833333𝑠 20833325 20 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠2 3𝑠 3𝑠20𝑠 203𝑠2 833333𝑠 20833325 3𝑠2 833333𝑠 20833325 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠2 3𝑠 60𝑠2 203𝑠2 833333𝑠 20833325 12103 𝑠2 3𝑠3𝑠2 833333𝑠 20833325 𝐼𝑏𝑠 1666666𝑠 41666650 00043𝑠2 750𝑠 3𝑠2 833333𝑠 20833325 𝐼𝑏𝑠 46296278 𝑠3 277778𝑠2 69444417𝑠 Utilizando frações parciais 𝑖𝑏𝑡 ℒ1 6667 𝑠 75 𝑠 27778 0833 𝑠 2500 𝒊𝒃𝒕 𝟔 𝟔𝟔𝟕𝒖𝒕 𝟕 𝟓𝒆𝟐𝟕𝟕𝟕𝟖𝒕 𝟎 𝟖𝟑𝟑𝒆𝟐𝟓𝟎𝟎𝒕 𝑨 Então para i1 temos 𝑖1 𝑖𝑎𝑡 𝑖𝑏𝑡 𝑖1 75 𝑒2500𝑡 0833 𝑒27778𝑡 6667𝑢𝑡 75𝑒27778𝑡 0833𝑒2500𝑡 𝒊𝟏 𝟔 𝟔𝟔𝟕𝒖𝒕 𝟖 𝟑𝟑𝒆𝟐𝟓𝟎𝟎𝒕 𝟖 𝟑𝟑 𝒆𝟐𝟕𝟕𝟕𝟖𝒕 𝑨 Dessa forma encontramos as condições iniciais e finais 𝑖1 6667 833 𝑒2500 833 𝑒27778 𝐴 𝒊𝟏 𝟔 𝟔𝟔𝟕 𝑨 𝑖2 𝐼𝑏 0 0 0 0 𝑖2 6667 75 𝑒27778 0833 𝑒2500 𝐴 𝒊𝟐 𝟔 𝟔𝟔𝟕 𝑨 𝑉𝑐 25 𝑒27778 25 𝑒2500 𝑉 𝑽𝒄 𝟎 𝑽 Assim i1 i2 Vc 𝑻 𝟎 0 0 0 𝑻 𝟎 0 0 0 𝑻 6667 6667 0 Portanto temos as condições iniciais para o capacitor e indutor quando a chave fecha em A novamente Fechando em a novamente representando já no domínio da frequência com as condições iniciais Equação da malha Ias 3𝐼𝑎𝑠 3𝐼𝑏𝑠 833333 𝑠 𝐼𝑎𝑠 1𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑏𝑠 0 IB IA 𝐼𝑎𝑠 4 833333 𝑠 4𝐼𝑏𝑠 0 𝐼𝑎𝑠 4𝑠 833333 𝑠 4𝐼𝑏𝑠 𝐼𝑎𝑠 4𝑠 4𝑠 833333 𝐼𝑏𝑠 Equação da malha Ibs 𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑏𝑠 3𝐼𝑏𝑠 3𝐼𝑎𝑠 12 103𝑠𝐼𝑏𝑠 008 0 4𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑏𝑠4 12 103𝑠 008 0 o Substituindo 4 4𝑠 4𝑠 833333𝐼𝑏𝑠 16𝑠 4𝑠 833333𝐼𝑏𝑠 Assim 𝐼𝑏𝑠 16𝑠 4𝑠 833333 4 12 103𝑠 𝐼𝑏𝑠16𝑠 44𝑠 833333 12 103𝑠4𝑠 833333 16𝑠 16𝑠 3333332 0048𝑠2 100𝑠 Logo 0048𝑠2 100𝑠 3333332 4𝑠 833333 Assim 𝐼𝑏𝑠 0048𝑠2 100𝑠 3333332 4𝑠 833333 008 𝐼𝑏𝑠 0084𝑠 833332 0048𝑠2 100𝑠 3333332 𝐼𝑏𝑠 032𝑠 666666 0048𝑠2 100𝑠 3333332 𝑖𝑏𝑡 032 0048 ℒ1 𝑠 2083331 𝑠2 2083333𝑠 694444167 o Calculando a transformada ℒ1 𝑠 𝑠2 2083333𝑠 694444167 ℒ1 1333 𝑠 1666666 0333 𝑠 416666 1333𝑒1666666𝑡 0333𝑒416666𝑡 o Calculando a próxima transformada ℒ1 2083331 𝑠2 2083333𝑠 694444167 ℒ1 1667 𝑠 41666 1667 𝑠2 1666666 Assim 1667𝑒41666𝑡 1667𝑒1666666𝑡 Ficamos com 𝑖𝑏𝑡 032 0048 1333𝑒1666666𝑡 0333𝑒416666𝑡 1667𝑒41666𝑡 1667𝑒1666666𝑡 𝑖𝑏𝑡 032 0048 0334𝑒1666666𝑡 1334𝑒416666𝑡 𝒊𝒃𝒕 𝟐 𝟐𝟐𝟕𝒆𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝒕 𝟖 𝟖𝟖𝟕𝒆𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝒕 𝑨 Assim 𝑖2𝑡 𝑖𝑏𝑡 𝒊𝟐𝒕 𝟖 𝟖𝟖𝟕𝒆𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝒕 𝟐 𝟐𝟐𝟕𝒆𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝒕 𝑨 i1 i2 V3 𝑻 𝟎 6667 A 6667 A 0 𝑻 𝟎 6667 A 6667 A 0 𝑻 0 0 0 Questão 10 Circuito III Ligando aba Obs Fechando em A vamos ter todas as condições iniciais nulas e todas as condições finais nulas i1 i2 V3 𝑻 𝟎 0 0 0 𝑻 𝟎 0 0 0 𝑻 0 0 0 Fechando em b ficamos com o circuito da seguinte forma IA IB IC Equação da Malha Ias 14 𝑠 12 103𝑠 𝐼𝑎𝑠 12 103𝑠 𝐼𝑏𝑠 36 𝐼𝑎𝑠 0 14 𝑠 𝐼𝑎𝑠36 12 103𝑠 12 103𝑠 𝐼𝑏𝑠 0 𝐼𝑎𝑠12 103𝑠 36 12 103𝑠 𝐼𝑏𝑠 14 𝑠 Equação da Malha de Ibs 12 103𝑠 𝐼𝑏𝑠 12 103𝑠 𝐼𝑎𝑠 4𝐼𝑏𝑠 4𝐼𝑐𝑠 0 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠 4 12 103𝑠 𝐼𝑎𝑠 4𝐼𝑐𝑠 0 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠 4 4𝐼𝑐𝑠 12 103𝑠 𝐼𝑎𝑠 Equação de Ics 8 103𝑠 𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑏𝑠 0 𝐼𝑐𝑠8 103𝑠 4 4𝐼𝑏𝑠 0 𝐼𝑐𝑠8 103𝑠 4 4𝐼𝑏𝑠 𝐼𝑐𝑠 4 8 103𝑠 4 𝐼𝑏𝑠 Isolando Ias em função de Ibs na equação de Ias 𝐼𝑎𝑠12 103𝑠 36 14 𝑠 12 103𝑠 𝐼𝑏𝑠 𝐼𝑎𝑠12 103𝑠 36 14 12 103𝑠2𝐼𝑏𝑠 𝑠 𝐼𝑎𝑠 14 12 103𝑠2𝐼𝑏𝑠 12 103𝑠2 36𝑠 𝐼𝑏𝑠 Agora vamos substituir tudo na equação da malha Ibs 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠 4 4𝐼𝑐𝑠 12 103𝑠 𝐼𝑎𝑠 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠 4 4 4 8 103 𝑠 4 𝐼𝑏𝑠 12 103𝑠 114 12 103𝑠2𝐼𝑏𝑠 12 103𝑠2 36𝑠 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠 4 16 8 103 𝑠 4 𝐼𝑏𝑠 0168 12 103𝑠2 36𝑠 0000144𝑠2𝐼𝑏𝑠 12 103𝑠2 36𝑠 𝐼𝑏𝑠 12 103𝑠 4 16 8 103 𝑠 4 0000144𝑠2 12 103𝑠2 36𝑠 0168 12 103𝑠2 36𝑠 𝐼𝑏𝑠 0000288𝑠3 00576𝑠2 1488𝑠 14400 2500008𝑠 4012𝑠 36 4 0168 12 103𝑠2 36𝑠 𝐼𝑏𝑠 14 𝑠𝑠 300 250𝑠 300𝑠 500 3𝑠2 3397𝑠2 748500𝑠 𝐼𝑏𝑠 3500𝑠 500 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 𝐼𝑏𝑠 3500𝑠 1750000 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 𝐼𝑏𝑠 3500𝑠 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 1750000 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 o Calculando as transformadas para achar ibt 𝑖𝑏𝑡 ℒ1 3500𝑠 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 1750000 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 ℒ1 3500𝑠 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 𝑃𝑜𝑟 𝐹𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 ℒ1 2188 𝑠 299624 2188 𝑠 832708 2188𝑒299624𝑡 2188𝑒832708𝑡 ℒ1 1750000 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 ℒ1 2338 𝑠 3652 𝑠 299624 1344 𝑠 832708 2338𝑢𝑡 3652𝑒299624𝑡 1344𝑒832708𝑡 Juntando os termos 𝒊𝒃𝒕 𝟐 𝟑𝟑𝟖𝒖𝒕 𝟏 𝟒𝟔𝟒𝒆𝟐𝟗𝟗𝟔𝟐𝟒𝒕 𝟎 𝟖𝟒𝟒𝒆𝟖𝟑𝟐𝟕𝟎𝟖𝒕 𝑨 𝒊𝒃 𝟐 𝟑𝟑𝟖𝒖𝒕 𝑨 Encontrando Ics 𝐼𝑐𝑠 4 8 103𝑠 4 𝐼𝑏𝑠 𝐼𝑐𝑠 4 8 103𝑠 4 3500𝑠 500 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 𝐼𝑐𝑠 1750000 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 o Calculando a transformada 𝐼𝑐𝑠 ℒ1 1750000 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 𝑖𝑐𝑡 ℒ1 2338 𝑠 3652 299624 𝑠 1314 832709 𝑠 𝒊𝒄𝒕 𝟐 𝟑𝟑𝟖𝒖𝒕 𝟑 𝟔𝟓𝟐𝒆𝟐𝟗𝟗𝟔𝟐𝟒𝒕 𝟏 𝟑𝟏𝟒𝒆𝟖𝟑𝟐𝟕𝟎𝟗𝒕𝑨 𝒊𝒄 𝟐 𝟑𝟑𝟖𝒖𝒕 𝑨 Encontrando Ias 𝐼𝑎𝑠 14 12 103𝑠2𝐼𝑏𝑠 12 103𝑠2 36𝑠 𝐼𝑎𝑠 14 12 103𝑠2 36𝑠 12 103𝑠2 3500𝑠 500 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 12 103𝑠2 36𝑠 𝐼𝑎𝑠 35006𝑠2 4897𝑠 748500 𝑠3𝑠 9003𝑠2 3397𝑠 748500 o Calculando a transformada 𝐼𝑎𝑠 ℒ1 35006𝑠2 4897𝑠 748500 𝑠3𝑠 9003𝑠2 3397𝑠 748500 𝑃𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑖𝑎𝑡 ℒ1 3889 𝑠 1367 𝑠 832709 1170556 300 𝑠 116803 29962 𝒊𝒂𝒕 𝟑 𝟖𝟖𝟗𝒖𝒕 𝟏 𝟑𝟔𝟕𝒆𝟖𝟑𝟐𝟕𝟎𝟗𝒕 𝟏𝟏𝟕𝟎 𝟓𝟓𝟔𝒆𝟑𝟎𝟎𝒕 𝟏𝟏𝟔𝟖 𝟎𝟑𝒆𝟐𝟗𝟔𝟐𝒕𝑨 𝒊𝒂 𝟑 𝟖𝟖𝟗𝒖𝒕 𝑨 Temos então 𝒊1𝑡 𝑖𝑎𝑡 3889𝑢𝑡 1367𝑒832709𝑡 1170556𝑒300𝑡 116803𝑒2962𝑡𝐴 𝒊𝟏 𝒊𝒂 𝟑 𝟖𝟖𝟗𝒖𝒕 𝑨 𝑖2𝑡 𝑖𝑏𝑡 2338𝑢𝑡 1464𝑒299624𝑡 0844𝑒832708𝑡 𝐴 𝒊𝟐 𝒊𝒃 𝟐 𝟑𝟑𝟖𝒖𝒕 𝑨 Calculando vct 𝑉𝑐𝑠 𝐼𝑐𝑠 8 103𝑠 𝑉𝑐𝑠 1750000 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 8 103𝑠 𝑉𝑐𝑠 1750000 8 103𝑠 𝑠3𝑠2 3397𝑠 748500 o Calculando vct por frações parciais 𝑣𝑐𝑡 ℒ1 1750000 8 103 3𝑠2 3397𝑠 748500 𝑣𝑐𝑡 ℒ1 8754 𝑠 299624 8754 𝑠 832708 𝑣𝑐𝑡 8754𝑒299624𝑡 8754𝑒832708𝑡 𝑉 𝒗𝒄 𝟎 𝑽 o Temos então as condições finais para quando a chave fecha em b e consequentemente as condições iniciais para quando ela fecha a novamente 𝑣𝑐 0 𝑉 𝑒 𝑖𝑐 2338𝑢𝑡 𝐴 Redesenhando o circuito com a chave fechada em a novamente Equação de Ids 2𝐼𝑑𝑠 12 103𝑠𝐼𝑑𝑠 12 103𝑠𝐼𝑏𝑠 36𝐼𝑑12 103𝑠𝐼𝑑𝑠 0 𝐼𝑑𝑠56 12 103𝑠 12 103𝑠𝐼𝑏𝑠 0 𝐼𝑑𝑠 56 12 103𝑠 12 103𝑠𝐼𝑏𝑠 Equação de Ibs 12 103𝑠𝐼𝑏𝑠 12 103𝑠𝐼𝑑𝑠 4𝐼𝑏𝑠 4𝐼𝑐𝑠 0 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠 4 12 103𝑠𝐼𝑑𝑠 4𝐼𝑐𝑠 0 Equação de Ics 4𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑏𝑠 8 103𝑠𝐼𝑐𝑠 00187 0 𝐼𝑐𝑠8 103𝑠 4 4𝐼𝑏𝑠 00187 0 𝐼𝑐𝑠8 103𝑠 4 4𝐼𝑏𝑠 00187 𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑏𝑠 00187 8 103𝑠 4 Isolando Ids em função de Ibs 𝐼𝑑𝑠 12 103𝑠𝐼𝑏𝑠 56 12 103𝑠 Encontrando Ibs 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠 4 12 103𝑠𝐼𝑑𝑠 4𝐼𝑐𝑠 0 ID IB IC 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠 4 12 103𝑠 12 103𝑠𝐼𝑏𝑠 56 12 103𝑠 4 4𝐼𝑏𝑠 00187 8 103𝑠 4 0 𝐼𝑏𝑠12 103𝑠 4 𝐼𝑏𝑠 144 104𝑠 56 12 103 16𝐼𝑏𝑠 8 103𝑠 4 00748 8 103𝑠 4 0 𝐼𝑏𝑠 47015000 3485𝑠 21𝑠2 7015𝑠 500 00748 8 103𝑠 4 𝐼𝑏𝑠 262361 167015000 3485𝑠 21𝑠2 o Calculando ibt 𝑖𝑏𝑡 ℒ1 00669 𝑠 500918 0669 𝑠 66687 𝒊𝒃𝒕 𝟎 𝟔𝟔𝟗𝒆𝟓𝟎𝟎𝟗𝟏𝟖𝒕 𝟎 𝟔𝟔𝟗𝒆𝟔𝟔𝟔𝟖𝟕𝒕 𝑨 o Esse valor diverge para Isso pode ser confirmado pela simulação Encontrando Ids 𝐼𝑑𝑠 12 103𝑠 56 12 103𝑠 262361 167015000 3485𝑠 21𝑠2 𝐼𝑑𝑠 32795125 168360000𝑠 83640𝑠2 504𝑠3 8 3𝑠 14007015000 3485𝑠 21𝑠2 o Calculando idt 𝑖𝑑𝑡 ℒ1 85782 𝑠 66687 257932 𝑠 46667 13322 𝑠 500918 𝒊𝒅𝒕 𝟖𝟓𝟕 𝟖𝟐𝒆𝟔𝟔𝟔𝟖𝟕𝒕 𝟐𝟓𝟕 𝟗𝟑𝟐𝒆𝟒𝟔𝟔𝟔𝟕𝒕 𝟏𝟑𝟑 𝟐𝟐𝒆𝟓𝟎𝟎𝟗𝟏𝟖𝒕 𝑨 Encontrando Ics 𝐼𝑐𝑠 4𝐼𝑏𝑠 8 103𝑠 4 00187 8 103𝑠 4 𝐼𝑐𝑠 4 262361 167015000 3485𝑠 21𝑠2 8 103𝑠 4 00187 8 103𝑠 4 𝐼𝑐𝑠 18721𝑠 7015 807015000 348𝑠 21𝑠2 o Calculando ict 𝑖𝑐𝑡 ℒ1 18721𝑠 7015 807015000 348𝑠 21𝑠2 𝑖𝑐𝑡 ℒ1 2 𝑠 66687 0334 𝑠 50092 𝒊𝒄𝒕 𝟐𝒆𝟔𝟔𝟔𝟖𝟕𝒕 𝟎 𝟑𝟑𝟒𝒆𝟓𝟎𝟎𝟗𝟐𝒕𝑨 Temos então 𝑖1𝑡 𝑖𝑑𝑡 85782𝑒66687𝑡 257932𝑒46667𝑡 13322𝑒500918𝑡 𝐴 𝒊𝟏 𝒊𝒂 𝟎 𝑨 𝑖2𝑡 𝑖𝑏𝑡 0669𝑒500918𝑡 0669𝑒66687𝑡 𝐴 𝒊𝟐 𝒊𝒃 𝟎 𝑨 o Calculando vct por frações parciais 𝑉𝑐𝑠 𝐼𝑐𝑠 8 103𝑠 𝑉𝑐𝑠 18721𝑠 7015 807015000 348𝑠 21𝑠2 8 103𝑠 𝑣𝑐𝑡 ℒ1 1496 103𝑠21𝑠 7015 807015000 348𝑠 21𝑠2 𝑃𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑐𝑡 ℒ1 873 𝑠 58632 217 𝑠 56974 00187 𝒗𝒄𝒕 𝟎 𝟎𝟏𝟖𝟕𝜹𝒕 𝟖 𝟕𝟑𝒆𝟓𝟖𝟔𝟑𝟐𝒕 𝟐 𝟏𝟕𝒆𝟓𝟔𝟗𝟕𝟒𝒕 𝑽 Questão 10 Circuito IX Analisando o circuito com a chave fechada Precisamos determinar a tensão no capacitor para 𝑡 sabendo que nesse tempo ele funciona como um circuito aberto temos então Equação da malha Ia 12 𝐼𝑎 6𝐼𝑎 2𝐼𝑎 2𝐼𝑏 0 12 9𝑖𝑎 2𝑖𝑏 0 Equação da malha Ib 8 2𝑖𝑎 2𝐼𝑏 0 8 2𝐼𝑎 2𝐼𝑏 2𝐼𝑏 8 2𝐼𝑎 𝐼𝑏 8 2𝐼𝑎 2 𝐼𝑏 4 𝐼𝑎 Assim substituindo em Ia 12 9𝐼𝑎 24 𝐼𝑎 0 12 9𝑖𝑎 8 2𝐼𝑎 0 4 7𝐼𝑎 0 𝐼𝑎 4 7 𝑰𝒂 𝟎 𝟓𝟕𝟏𝑨 Efetuando uma análise Nodal para encontrar a ddp o Sabemos que Vb0 𝑣𝑐 𝑣𝑏 12 𝒗𝒄 𝟏𝟐𝑽 𝑣𝑐 𝑣𝑎 1 𝐼𝑎 12 𝑣𝑎 1 0571 𝑣𝑎 12 0571 𝒗𝒂 𝟏𝟏 𝟒𝟐𝟗𝑽 o Logo 𝒗𝒂𝒃 𝒗𝒄 𝟏𝟏 𝟒𝟐𝟗 𝑽 Por Thevenin temos um curto nas fontes logo IA IB A B C 𝑅𝑒𝑞 6 1 6 1 0857 Constante de tempo 𝜏 𝑅𝐶 0857 2 1714 Assim 𝒗𝒕 𝟏𝟏 𝟒𝟐𝟗 𝟏𝟏 𝟒𝟐𝟗𝒆 𝒕 𝟏𝟕𝟏𝟒 𝑽 Como 𝑖𝑎 𝑖1 já que o capacitor funciona como circuito aberto 𝐼𝑎 𝐼1 0571 𝐴 Como o capacitor inicialmente funciona como curtocircuito 𝐼10 0 𝐴 i1 𝑡 0 0 𝑡 0 0 𝑡 0571 A Agora vamos analisar quando a chave abre temos Para 𝑡 o capacitor se torna um circuito aberto temos então o Equação da malha Ia 12 2𝐼𝑎 6𝐼𝑎 2𝐼𝑎 0 12 9𝐼𝑎 0 12 9𝐼𝑎 𝑰𝒂 𝟏 𝟑𝟑𝟑𝑨 o Determinando a DDP Sabemos que Vb0 𝑣𝑐 𝑣𝑏 12 𝑣𝑐 𝑣𝑏 12 𝒗𝒄 𝟏𝟐𝑽 Temos 𝑣𝑐 𝑣𝑎 1 1333 12 𝑣𝑎 1333 12 1333 𝑣𝑎 𝒗𝒂 𝟏𝟎 𝟔𝟔𝟕 𝑽 Assim 𝒗𝒂 𝒗𝒃 𝟏𝟎 𝟔𝟔𝟕 𝑽 𝒗 𝟏𝟎 𝟔𝟔𝟕𝑽 Agora iremos determinar a constante do tempo a partir do Rth IA A B 𝑅𝑒𝑞 8 1 8 1 𝑅𝑒𝑞 0889 𝜏 𝑅𝐶 0889 2 1778 Assim 𝑣𝑐𝑡 𝑣𝑐 𝑣0 𝑣𝑒 𝑡 𝜏 𝑣𝑐𝑡 10667 11429 10667𝑒 𝑡 1778 𝒗𝒄𝒕 𝟏𝟎 𝟔𝟔𝟕 𝟎 𝟕𝟔𝟐𝒆 𝒕 𝟏𝟕𝟕𝟖 𝑽 Agora temos i1 𝑡 0 0571 A 𝑡 0 1429 A 𝑡 1333 A Fechando novamente temos a condição inicial 𝒗𝟎 𝟏𝟎 𝟔𝟔𝟕𝑽 Temos a seguinte configuração Sabemos que 𝑣 a partir do primeiro passo é 𝑣 11429 𝑉 Logo 𝑣𝑐𝑡 11429 𝑣0 𝑣𝑒 𝑡 1714 𝑣𝑐𝑡 11429 10667 11429𝑒 𝑡 1714 𝒗𝒕 𝟏𝟏 𝟒𝟐𝟗 𝟎 𝟕𝟔𝟐𝒆 𝒕 𝟏𝟕𝟏𝟒 𝑽 Já Sabemos que 𝑖1 0571 𝐴 e que 𝑖10 1333 𝐴 Assim i1 𝑡 0 1333 A 𝑡 0571 A Questão 10 Circuito X Fechando primeiramente em a temos o seguinte circuito IA IC IB Sabemos que para 𝑡 o indutor se torna um curtocircuito logo Equação da malha Ia 24 4𝐼𝑎 6𝐼𝑎 6𝐼𝑐 0 24 10𝐼𝑎 6𝐼𝑐 0 Equação da malha Ib 12𝐼𝑏 0 𝐼𝑏 0 Equação da malha Ic 6𝐼𝑐 6𝐼𝑎 0 𝐼𝑎 𝐼𝑐 o Substituindo 24 10𝐼𝑐 6𝐼𝑐 0 24 10𝐼𝑐 6𝐼𝑐 0 24 4𝐼𝑐 0 𝐼𝑐 24 4 𝑰𝒄 𝟔 𝑨 Temos então que a condição final com 𝑡 𝐼𝑐 6 6 𝐴 IA IC IB Vamos determinar a Rth Primeiro o paralelo 4 6 4 6 24 10 24 Segundo paralelo 24 12 24 12 288 144 2 Portanto a constante de tempo do circuito é 𝜏 𝐿 𝑅𝑒𝑞 𝜏 4 2 𝜏 2 Logo 𝑖𝑙𝑡 6 0 6𝑒 𝑡 2 𝒊𝒍𝒕 𝟔 𝟔𝒆 𝒕 𝟐 𝑨 o Como I1Ia e como Ia Ic 𝐼1 6 𝐼1 6𝐴 𝑖1 6 𝐴 o Como inicialmente não passa corrente no indutor temos que 𝐼1 3𝐴 Já que a Req 8 24 4 3 6 3 6𝐼2 0 24 30 6𝐼𝑎 0 6𝑖𝑎 6 𝑰𝒂𝟎 𝟏 𝑨 i1 i2 𝑡 0 3 1 𝑡 0 3 1 𝑡 6 0 Fechando em b Como temos para 𝑡 o indutor se tornando um curtocircuito o nosso circuito fica dessa forma Equação da malha Ia 24 4𝐼𝑎 6𝐼𝑎 6𝐼𝑏 0 24 10𝐼𝑎 6𝐼𝑏 0 Equação da malha Ib 2𝐼𝑏 1𝐼𝑏 6𝐼𝑏 6𝐼𝑎 0 9𝐼𝑏 6𝐼𝑎 0 𝐼𝑎 9𝐼𝑏 6 𝐼𝑎 15𝐼𝑏 Equação de Ic 𝐼𝑐 0 Substituindo na equação de Ia 24 10𝐼𝑎 6𝐼𝑏 0 24 1015𝐼𝑏 6𝐼𝑏 0 24 15𝐼𝑏 6𝐼𝑏 0 24 9𝐼𝑏 0 𝐼𝑏 24 9 𝑰𝒃 𝟐 𝟔𝟔𝟕 𝑨 IA IB IC Portanto 𝑖𝐿 2667 𝐴 agora vamos determinar a constante do tempo do circuito 𝑅12 1 2 3 𝑅46 4 6 4 6 𝑅46 24 12 54 12 54 𝑅𝑡ℎ 372 Portanto podemos determinar a constante de tempo do circuito 𝜏 𝐿 𝑅𝑒𝑞 𝜏 4 372 𝜏 1075 𝑖2𝑡 2667 6 2667𝑒 𝑡 1075 𝒊𝟐𝒕 𝟐 𝟔𝟔𝟕 𝟑 𝟑𝟑𝟑𝒆 𝒕 𝟏𝟎𝟕𝟓 𝑨 o Como em infinito o indutor funciona como curto 𝑖2 0 Para 𝒊𝟏 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔 Equação da malha Ia 24 4𝐼1 6𝐼1 6𝐼𝑏 0 24 10𝐼1 6𝐼𝑏 0 Equação da malha IB 6𝐼𝑏 6𝐼1 2𝐼𝑏 𝐼𝑏 0 9𝐼𝑏 6𝐼1 𝐼𝑏 6 9 𝐼1 o Logo 24 10𝐼1 6 6 9 𝐼1 0 24 10𝐼1 6 6 9 𝐼1 0 24 10𝐼1 4𝐼1 0 24 6𝐼1 0 𝑰𝟏 𝟒𝑨 o Como o indutor já está carregado pelo passo anterior 𝐼10 4𝐴 𝑒 𝐼20 0 i1 i2 𝑡 0 4 0 𝑡 0 4 0 𝑡 4 0 I1 IB Fechando em a novamente já sabemos que a partir do primeiro passo temos alguns dados 𝐿 6 𝜏 2 o A partir do passo anterior 𝑖𝑏0 2667 𝐴 o Portanto temos 𝑖𝑙𝑡 6 2667 6𝑒 𝑡 2 𝒊𝒍𝒕 𝟔 𝟑 𝟑𝟑𝟑𝒆 𝒕 𝟐 𝑨 Como já vimos quando fecha em a 𝐼1 6 𝐴 𝑒 𝐼2 0 o Pelo passo anterior temos 𝐼10 4 𝐴 𝑒 𝐼20 0