Relatório de Circuitos II: Sinais Periódicos, Fourier e Resposta em Frequência

INSTITUTO FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS NATALCENTRAL DIRETORIA ACADÊMICA DE INDÚSTRIA Coordenação do Curso Superior de engenharia de energia CIRCUITOS ELÉTRICOS II Sinais Periódicos Fourier e Resposta em Frequência Circuitos Elétricos Autores Emanuela Pereira da Silva Irlene Larissa Duarte Borges Kátia Kellen da França Professor Prof Ricardo Pinheiro NatalRN Novembro de 2023 INSTITUTO FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS NATALCENTRAL DIRETORIA ACADÊMICA DE INDÚSTRIA Coordenação do Curso Superior de engenharia de energia Relatório de Circuitos II Sinais Periódicos Fourier e Resposta em Frequência Circuitos Elétricos Este documento tem por objetivo relatar as atividades acadêmi cas da atividade de analise e simulação de circuitos realizados pelos alunos do curso de engenharia de energia e consiste em parte integrante da avaliação de desempenho acadêmico da disciplina de circuitos elétricos II Alunos Emanuela Pereira da Silva Irlene Larissa Duarte Borges Kátia Kellen Martins de França Professor Ricardo Ferreira Pinheiro Filho IFRN Natal Novembro de 2023 Resumo Este relatório descreve a análise e simulação de um circuito de primeira ordem especificamente um sistema RL resistorindutor em três etapas distintas Cada etapa aborda aspectos específicos relacionados a sinais periódicos séries de Fourier e sistemas de primeira ordem A atividade proporcionou uma compreensão mais profunda desses conceitos combinando abordagens teóricas e práticas Sumário Sumário 1 Introdução 4 2 Desenvolvimento 4 Cálculo dos Coeficientes da Série de Fourier 4 Construção e Visualização dos Espectros de Frequência 7 Verificação da Convergência da Série de Fourier 7 Cálculo das Respostas em Frequência 7 Construção dos Diagramas de Bode 8 Análise da Resposta do Sistema a um Sinal de Entrada Composto por 10 Termos da Série de Fourier 10 Comparação entre Análises Teóricas e Simulações 10 Introdução Na primeira seção exploramos a decomposição de sinais periódicos em suas componentes de frequência usando séries de Fourier Iniciamos calculando os 20 primeiros termos da série e visualizando os espectros de frequência resultantes A validade da série foi verificada por meio de gráficos comparando a convergência da série até o 5º 10º 15º e 20º termos com os sinais originais A segunda parte concentrase na resposta em frequência de sistemas de primeira ordem representados por funções de transferência com um único polo Para o caso específico deste relatório consideramos um sistema RL que incorpora resistores e indutores Calculamos as respostas em frequência e geramos os diagramas de Bode correspondentes Na terceira e última parte analisamos a resposta do sistema RL a um sinal de entrada composto pelos 10 primeiros termos da série de Fourier Essa análise prática permitiu observar como o sistema responde a uma entrada complexa incorporando múltiplas frequências A comparação entre a análise teórica e os resultados simulados proporciona insights valiosos sobre o comportamento do sistema em condições dinâmicas Este relatório visa documentar não apenas as etapas do processo mas também destacar a importância da análise teórica e prática integrada na compreensão de conceitos complexos de circuitos elétricos especialmente em sistemas de primeira ordem como o representado por um circuito RL Desenvolvimento Cálculo dos Coeficientes da Série de Fourier Determinamos os coeficientes da série de Fourier sabendo que o sinal possui simetria ímpar Isso implica que a série de Fourier é uma soma de senos Componente CC a 0 1 T T2 T2 v S t dt 0 1 Componentes AC a n a n 2 T T2 T2 v S t cos n ω 0 t dt 2 Onde ω 0 2π T 3 Porém o produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar A integral de uma função ímpar ao longo do período é nula portanto a n 0 b n b n 2 T T2 T2 v S t sin n ω 0 t dt 4 O produto de duas funções ímpares é uma função par A integral de uma função par ao longo do período é igual a duas vezes a integral ao longo de meio período b n 2 T T2 T2 v S t sin n ω 0 t dt 5 Para esse intervalo de tempo podemos definir a função como v S t 10 10 75 1000 t 6 v S t 8000 3 t 0 t375 ms 8000 3 t20 375 ms t75 ms 7 Portanto b n 6400000 9 0 3 800 t sin 400 3 nπt dt 6400000 9 3 800 3 400 t sin 400 3 nπt dt 16000 3 3 800 3 400 sin 400 3 nπt dt 8 b n 6400000 9 9 160000 n 2 π 2 sin 400 3 nπt 400 3 nπt cos 400 3 nπt 0 3 800 6400000 9 9 160000 n 2 π 2 sin 400 3 nπt 400 3 nπt cos 400 3 nπt 3 800 3 400 40 nπ cos 400 3 nπt 3 800 3 400 9 b n 40 n 2 π 2 sin 400 3 nπ 3 800 400 3 nπ 3 800 cos 400 3 nπ 3 800 40 n 2 π 2 sin 400 3 nπ 3 400 400 3 nπ 3 800 cos 400 3 nπ 3 400 sin 400 3 nπ 3 400 400 3 nπ 3 400 cos 400 3 nπ 3 400 40 nπ cos 400 3 nπ 3 400 cos 400 3 nπ 3 800 10 b n 40 n 2 π 2 sin nπ 2 nπ 2 cos nπ 2 40 n 2 π 2 sin nπ nπ cos nπ sin nπ 2 nπ 2 cos nπ 2 40 nπ cos nπ cos nπ 2 11 Sabemos que sin nπ 0 n N cos nπ 2 0 n N b n 40 n 2 π 2 sin nπ 2 nπ 2 cos nπ 2 40 n 2 π 2 sin nπ nπ cos nπ sin nπ 2 nπ 2 cos nπ 2 40 nπ cos nπ cos nπ 2 12 Definimos os componentes da serie exponencial para definição do espectro A n a n 2 b n 2 13 Dado que a n 0 n A n b n 14 E a série é escrita como v S t n1 b n sin n ω 0 t n1 80 n 2 π 2 sin nπ 2 sin 400nt 3 15 Iniciamos a análise dos sinais periódicos calculando os coeficientes das séries de Fourier conforme as fórmulas estabelecidas A obtenção dos 20 primeiros termos permitiu uma representação eficaz dos sinais preparando o terreno para uma análise mais profunda Construção e Visualização dos Espectros de Frequência Os coeficientes calculados foram utilizados para construir a série de Fourier até o 20º termo Posteriormente os espectros de frequência foram visualizados destacando a contribuição relativa de cada componente de frequência na composição dos sinais periódicos Verificação da Convergência da Série de Fourier Para validar a precisão da série geramos gráficos até o 5º 10º 15º e 20º termos comparando visualmente a convergência da série com os sinais originais Esse processo proporcionou uma compreensão clara da eficácia da série de Fourier na representação dos sinais Cálculo das Respostas em Frequência Focando em sistemas de primeira ordem representados por um circuito RL calculamos as respostas em frequência utilizando as funções de transferência correspondentes Esta etapa envolveu a aplicação direta de conceitos fundamentais de circuitos elétricos Analisamos o circuito no domínio da frequência Z L jωL 16 Aplicando divisor de tensão v L v S Z L R Z L 17 G d ω v L ω v S ω jωL RjωL 18 G d ω jωLR 1jωLR 19 Construção dos Diagramas de Bode Devemse substituir os valores G d ω jω2 2000 1 jω2 2000 20 G d ω 1 1000 jω 1 jω 1000 21 Parâmetros K 1 1000 Figura 1 20 log 10 1 1000 60 Portanto a curva de amplitude começa em 60 dB para ω1 rads 10 0 jω 1 A função de transferência tem um zero na origem Figura 2 N1 Portanto a curva de amplitude tem inclinação inicial de 20 dB déc e a curva de fase tem início em 90 1 1 jω 1000 1 A função de transferência possui um polo em ω1000 10 3 rads Figura 1 Figuras gráficos ou tabelas devem ser numeradas e legendadas Por isso a partir do polo as componentes do zero na origem e do polo em si que são simétricas se anulam fazendo com que o gráfico da amplitude seja constante O valor do gráfico a partir desse ponto é 6020 log 10 1000 0 Já a curva de fase começa sua transição de 10 2 rads saindo de 90 passando por 45 no polo e chega a 0 a partir de 10 4 rads onde permanece constante O diagrama de Bode resultante para amplitude e fase é Os diagramas de Bode foram gerados para visualizar a resposta em frequência do sistema RL Essa representação gráfica proporcionou uma compreensão clara das magnitudes e fases em relação à frequência Figura 1 Análise da Resposta do Sistema a um Sinal de Entrada Composto por 10 Termos da Série de Fourier Consideramos um sinal de entrada composto pelos 10 primeiros termos da série de Fourier e analisamos a resposta do sistema RL Essa abordagem prática permitiu uma avaliação mais completa do comportamento dinâmico do sistema em resposta a um sinal complexo Comparação entre Análises Teóricas e Simulações Para validar nossas análises teóricas comparamos os resultados obtidos com simulações de circuitos A coerência entre valores calculados e simulados foi examinada em detalhes proporcionando insights sobre a eficácia do modelo teórico na representação do sistema RL Este desenvolvimento destaca a aplicação prática e teórica das etapas realizadas fornecendo uma análise aprofundada dos sinais periódicos séries de Fourier e sistemas de primeira ordem As conclusões extraídas dessas análises fundamentam não apenas a compreensão dos conceitos mas também a aplicação prática dos mesmos em circuitos elétricos complexos Resultados Os resultados obtidos nesta análise abrangem diversas facetas desde a eficácia da representação dos sinais periódicos até a resposta do sistema RL a um sinal complexo As principais conclusões desses resultados são apresentadas a seguir Os gráficos dos primeiros 20 termos da série de Fourier demonstraram convergência eficaz na representação dos sinais periódicos A visualização dos espectros de frequência proporciona conhecimentos sobre a distribuição de energia nos diferentes componentes de frequência aprofundando nossa compreensão da composição dos sinais Os diagramas de Bode para o sistema RL revelaram características fundamentais da resposta em frequência A influência do componente indutivo na fase e magnitude da resposta foi observada proporcionando valiosos insights sobre o comportamento dinâmico do sistema A resposta do sistema RL a um sinal composto pelos 10 primeiros termos da série de Fourier revelou comportamentos distintos para diferentes frequências presentes no sinal de entrada Essa análise prática permitiu uma avaliação aprofundada da capacidade do sistema em lidar com entradas complexas Dificuldades Durante o desenvolvimento do projeto enfrentamos desafios significativos evidenciando a complexidade da análise de circuitos elétricos A determinação do número ideal de termos exigiu ajustes iterativos equilibrando convergência precisa e eficiência computacional A interpretação dos resultados do sistema RL demandou uma compreensão aprofundada dos componentes indutivos e resistivos Adequar o sinal composto ao sistema RL necessitou de ajustes cuidadosos para representar adequadamente as frequências presentes envolvendo experimentação e interação Cada desafio foi abordado de maneira sistemática A análise iterativa da convergência da série de Fourier consultas adicionais à teoria de circuitos e controle para compreender a complexidade do sistema RL e ajustes cuidadosos no sinal de entrada foram estratégias aplicadas para superar as dificuldades encontradas Considerações finais Ao concluir este estudo abrangente sobre sinais periódicos séries de Fourier e sistemas de primeira ordem algumas conclusões relevantes se destacam A aplicação da série de Fourier para representar sinais periódicos revelouse uma abordagem eficaz com os gráficos dos primeiros 20 termos e os espectros de frequência proporcionando uma visão detalhada da composição dos sinais Essa análise teve papel fundamental na compreensão da convergência da série e na interpretação dos resultados A investigação da resposta em frequência de sistemas de primeira ordem especialmente o sistema RL trouxe à tona as nuances da influência do componente indutivo Os diagramas de Bode ofereceram uma representação visual clara enquanto a análise da resposta a um sinal composto permitiu uma avaliação prática da capacidade do sistema em lidar com entradas complexas A auto avaliação do trabalho destaca a integração bemsucedida entre teoria e prática fortalecendo as bases do conhecimento em circuitos elétricos complexos As dificuldades encontradas desde a convergência da série de Fourier até a interpretação do sistema RL serviram como desafios enriquecedores proporcionando oportunidades de aprendizado significativas A importância deste trabalho na formação profissional é evidente Além de cumprir requisitos acadêmicos a redação deste relatório destaca a relevância da comunicação técnica na prática profissional preparando o estudante para enfrentar desafios no campo da engenharia elétrica Em suma este estudo não é apenas um exercício acadêmico é uma etapa crucial na jornada de aprendizado contribuindo não apenas para a compreensão teórica mas também para a aplicação prática de conceitos em situações do mundo real A habilidade aprimorada de comunicar resultados técnicos é um reflexo da maturidade acadêmica alcançada e da preparação para os desafios futuros na carreira profissional em engenharia de energia 12 engenharia de energia IFRNCNAT 13 engenharia de energia IFRNCNAT