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UNOPAR CÁLCULO AVANÇADO NÚMEROS COMPLEXOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E MÉTODOS NUMÉRICOS Cálculo avançado números complexos equações diferenciais e métodos numéricos Tópicos de cálculo numérico Cálculo avançado números complexos equações diferenciais e métodos numéricos Diego Fogaça Carvalho Debora Cristiane Barbosa Kirnev Keila Tatiana Boni Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Carvalho Diego Fogaça ISBN 9788584825257 1 Cálculo avançado 2 Cálculo integral 3 Cálculo diferencial I Kirnev Debora Cristiane Barbosa II Boni Keila Tatiana III Título CDD 515 diferenciais e métodos numéricos Diego Fogaça Carvalho Debora Cristiane Barbosa Kirnev Keila Tatiana Boni Londrina Editora e Distribuidora Educacional SA 2017 192 p C331c Cálculo avançado números complexos equações 2017 por Editora e Distribuidora Educacional SA Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Editora e Distribuidora Educacional SA Presidente Rodrigo Galindo VicePresidente Acadêmico de Graduação Mário Ghio Júnior Conselho Acadêmico Dieter S S Paiva Camila Cardoso Rotella Emanuel Santana Alberto S Santana Lidiane Cristina Vivaldini Olo Cristiane Lisandra Danna Danielly Nunes Andrade Noé Ana Lucia Jankovic Barduchi Grasiele Aparecida Lourenço Paulo Heraldo Costa do Valle Thatiane Cristina dos Santos de Carvalho Ribeiro Revisor Técnico João Carlos dos Santos Editoração Emanuel Santana Lidiane Cristina Vivaldini Olo Cristiane Lisandra Danna André Augusto de Andrade Ramos Erick Silva Griep Adilson Braga Fontes Diogo Ribeiro Garcia eGTB Editora 2017 Editora e Distribuidora Educacional SA Avenida Paris 675 Parque Residencial João Piza CEP 86041100 Londrina PR email editoraeducacionalkrotoncombr Homepage httpwwwkrotoncombr Sumário Unidade 1 Tópicos de cálculo numérico Seção 1 Zero de funções e zero de polinômios 11 Recordando funções 12 Zero de funções 121 Método da bissecção 122 Método de NewtonRaphson 13 Zero de polinômios Seção 2 Sistemas de equações lineares e inversão de matrizes 21 Recordando sistemas de equações lineares 22 Método da eliminação de Gauss 23 Método iterativo de GaussJacobi 231 Critério de convergência 24 Método iterativo de GaussSeidel 25 Inversa de matrizes 7 11 11 12 16 20 23 29 29 31 34 37 38 40 Unidade 2 Interpolação e ajustes de curvas Seção 1 Tipos de interpolação 11 Polinômios e funções polinomiais 12 Interpolação linear 13 Erro de truncamento 14 Interpolação quadrática 15 Interpolação polinomial 16 Interpolação polinomial de Lagrange 17 Forma de interpolação polinomial de Newton Seção 2 Ajustes de curvas pelo método dos mínimos quadrados 21 Dedução do método dos mínimos quadrados 22 Forma geral do método dos mínimos quadrados 51 55 55 58 61 62 66 70 74 79 79 82 Unidade 3 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias Seção 1 Fórmulas de NewtonCotes e quadratura gaussiana 11 Integração numérica 121 Regra dos trapézios 122 Regra 13 de Simpson 13 Quadratura gaussiana 93 97 97 99 105 110 Seção 2 Problemas de valor inicial e equações de ordem superior em problemas de valor de contorno 21 Equações diferenciais 22 Problemas de valor inicial PVI 23 Métodos de passo simples 231 Método de Euler 232 Métodos de série de Taylor 233 Métodos de RungeKutta 24 Métodos de passo múltiplo 25 Equações de ordem superior 26 Problemas de valor de contorno o método das diferenças finitas 115 115 118 119 119 120 123 130 132 136 Unidade 4 Tópicos de cálculo avançado Seção 1 Números complexos funções elementares integrais e série de potências 11 Números complexos 12 Funções elementares 13 A integral 131 A Integral imprópria 14 Série de potências Seção 2 Funções analíticas série de Fourier introdução à transformada de Fourier e à transformada de Laplace 21 Funções analíticas 22 Séries de Fourier 23 Transformada de Laplace 24 Introdução à transformada de Fourier 145 149 149 156 158 161 163 169 169 172 175 178 Apresentação O objetivo deste livro é auxiliar no processo de aprendizagem dos estudantes da disciplina Cálculo avançado números complexos e equações diferenciais métodos numéricos Os conteúdos abordados têm por objetivo introduzir o estudo de métodos iterativos que possibilitam a obtenção de soluções numéricas que consistem em aproximações controladas por um erro préfixado bem como o estudo de números complexos funções analíticas e as transformadas que foram o escopo de tópicos de cálculo avançado O material foi dividido em quatro unidades Na primeira o foco incide sobre o estudo de métodos numéricos para a obtenção de zero de funções e polinômios bem como soluções de sistemas lineares e inversão de matrizes A Unidade 2 aborda métodos numéricos para o ajuste de curvas e interpolação Nesse caso considerando uma série de pontos temse que encontrar uma função que mais se apoxime dos pontos com o intuito de descrever o comportamento dos pontos dados O foco da Unidade 3 incide sobre o processo de integração numérica bem como a obtenção de soluções numéricas para equações diferenciais ordinárias Enfim na Unidade 4 serão estudados os tópicos de cálculo avançado retomando o conceito de números complexos definindo funções analíticas séries de potência séries de Fourier para então tecer considerações a respeito da transformada de Fourier e a transformada de Laplace Com o intuito de complementar os conhecimentos necessários para a disciplina vários materiais complementares e de simples compreensão foram disponibilizados na seção Saiba mais em forma de vídeo e de texto Bons estudos Professor Diego Fogaça Carvalho Tópicos de cálculo numérico Objetivos de aprendizagem Esta unidade tem por objetivo de aprendizagem apresentar tópicos a respeito do cálculo numérico especificadamente o estudo do zero de funções e polinômios soluções de sistemas de equações lineares e a inversão de matrizes Diego Fogaça Carvalho Unidade 1 Nesta seção serão apresentados dois métodos iterativos que têm por objetivo obter aproximações do zero de funções o primeiro é o método da bissecção e o segundo o método de NewtonRaphson Finalizase com uma adaptação do último método mencionado para a obtenção de zero de polinômios Esta seção é iniciada com o estudo do método direto para a obtenção de soluções de sistemas lineares denominado de eliminação de Gauss Após o enfoque será no estudo de dois métodos iterativos nos quais se obtém soluções aproximadas controladas por um erro a priori método de GaussJordan e GaussSeidel Finalizase a seção com a inversão de matrizes por meio de operações elementares semelhante à eliminação de Gauss Seção 1 Zero de funções e zero de polinômios Seção 2 Sistema de equações lineares e Inversão de matrizes U1 Tópicos de cálculo numérico U1 9 Introdução à unidade Esta unidade é dedicada ao estudo de tópicos de cálculo numérico Em matemática você deve estar acostumado a estudar técnicas e métodos de resolução em que sempre chegamos a soluções exatas ou seja encontramos o valor que satisfaz a demanda dos problemas ou exercícios que estamos resolvendo Todavia ao modelar matematicamente situações do mundo real geralmente não obtemos expressões redondinhas como as apresentadas nos livros de matemática Dessa forma os métodos analíticos não são pertinentes para ser empregados muitas vezes não apresentam solução para a situação em questão ou se apresentam o custo computacional relacionado ao uso da memória do computador é muito alto Diante desse contexto o cálculo numérico surge como uma alternativa Todavia na maioria dos casos obtemos aproximações dos valores verdadeiros levandonos a controlar a variação entre o valor encontrado e o valor real por meio de erros fixados pelo pesquisador de antemão Nesse sentido noções de cálculo numérico se colocam pertinentes à formação universitária por apresentarem uma matemática flexível controlada por aproximações U1 Tópicos de cálculo numérico U1 11 Seção 1 Zero de funções e zero de polinômios Introdução à seção 11 Recordando funções É comum nos depararmos com situações do dia a dia em que grandezas de diversas naturezas se relacionam Uma relação em específico e que apresenta grande relevância para as ciências e matemática é a relação de função Nesse caso uma dessas grandezas se apresenta dependente das demais ou seja o seu comportamento é colocado em função do comportamento das grandezas independentes Por outro lado esse comportamento pode ser descrito por meio de um polinômio fato que caracteriza a função por polinomial Nesta seção estamos interessados em compreender técnicas numéricas que possibilitam a obtenção do zero em funções e em polinômios Todavia algumas definições relacionadas aos objetos matemáticos destacados serão retomadas com o intuito de contextualizar o conteúdo abordado De acordo com Gerônimo e Franco 2008 p 176 função é definida da seguinte maneira Podemos observar que a relação f apresentada nessa definição é a lei de formação da função que pode ser expressa por meio de uma expressão Sejam A e B dois conjuntos quaisquer Uma função de A em B denotada por f AB ou simplesmente f quando os conjuntos A e B estão explicitamente definidos é uma terna f A B onde f é uma relação de A em B satisfazendo as seguintes condições a Dom fA ou seja para qualquer x em A existe y em B tal que xy está em f b Se xfyyfx e xfzzfx então yz Tópicos de cálculo numérico U1 12 algébrica Você já deve conhecer muitas dessas expressões e as mais comuns são f x ax b função afim f x ax bx c 2 função quadrática f x ex função exponencial f x x ln função logaritmo neperiano O conjunto A é designado por domínio da função fAB e é denotado por Dom f O conjunto B por sua vez é denominador de contradomínio de fAB denotado por Cdomf Outras informações importantes São denominadas unívocas as relações que apresentam a propriedade b Essa relação é a garantia de que cada elemento do conjunto A está relacionado a um único elemento de B Vamos considerar x A e yfx denominase imagem de x em f Já o elemento x é designado por préimagem de y em f Além disso o conjunto imagem pode ser definido da seguinte maneira Im f f x x A Os elementos que pertencem ao conjunto A são denominados por variáveis independentes e os elementos do conjunto imagem são denominados variáveis dependentes Podemos afirmar também que o conjunto imagem está contido no contradomínio Em linguagem de conjunto temos Im f Cdom f Você já estudou outros tipos de funções matemáticas Procure associar essas funções com o cotidiano da profissão de engenheiro 12 Zero de funções Há diversas situações nas ciências e na matemática em que a obtenção dos zeros de funções se colocam pertinentes fx0 Por exemplo ao descrever a trajetória de um projétil em queda livre o momento em que o projetil chega ao solo pode ser descrito como sendo st0 Você já deve ter resolvido muitas situações como essa durante seu processo de escolarização A fórmula resolutiva de equações do segundo grau conhecida popularmente por fórmula de Bhaskara ou as tentativas de tentar isolar o x por meio de operações inversas ou a analogia com a balança em equilíbrio utilizada em equações do primeiro grau são métodos analíticos nos quais as soluções Tópicos de cálculo numérico U1 13 apresentadas sempre são exatas e únicas Todavia há circunstâncias em que obter o zero de funçõesequações que descrevem os fenômenos modelados não é tão simples e por meio de métodos analíticos se torna impossível ou inviável do ponto de vista computacional Diante dessa necessidade é que o cálculo numérico emerge como uma alternativa para a solução dessas situações Quando se trabalha com resoluções numéricas é preciso ter ciência de que não obtemos a solução exata como nos métodos analíticos mas sim aproximações que sempre estão associadas a erros representados pela letra grega µ épsilon mas que possuem a função de estabelecer uma variação mínima aceitável para a solução encontrada Nesse sentido fazse necessário definir dois tipos de erros que serão retomados em toda a unidade De acordo com Ruggiero e Lopes 1996 o erro absoluto é definido como sendo a diferença entre o valor exato de um número x e de seu valor aproximado x EA x x x 1 É necessário ressaltar que geralmente não se conhece o valor x o valor exato fato que inviabiliza a utilização da expressão 1 No entanto utilizase um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto Consideremos agora duas ou mais soluções que são aceitáveis de acordo com um erro préfixado Como saber qual desses valores são os mais precisos É necessário comparar a ordem de grandeza entre os valores aceitáveis que se têm em mãos Nesse sentido quanto maior esse valor mais perto do valor exato a aproximação está Diante das limitações apresentadas pelo erro absoluto e da necessidade de acurar cada vez mais as soluções definese o erro relativo Para Ruggiero e Lopes 1996 o erro relativo 2 é definido como o erro absoluto dividido pelo valor aproximado ER EA x x x x x x 2 Podemos também apresentar essa informação por meio de uma porcentagem o erro relativo percentual 3 EP ER EA x x x x x x x 100 100 100 3 Exemplo 1 o fluido dos freios de um veículo é uma substância higroscópica ou seja absorve água Com o passar do tempo a umidade do ar é absorvida e o fluido passa a apresentar um desempenho menos eficiente e em alguns casos pode Tópicos de cálculo numérico U1 14 levar a acidentes colocando a vida dos passageiros em risco Recomendase que a troca desses fluídos ocorra de 12 em 12 meses ou a partir de 30 mil quilômetros rodados Considerando um erro aceitável igual a EAx 1 5 102 determine a quilometragem máxima e mínima para que se possa realizar seguramente a troca do fluido Primeiramente temos de observar que há uma inequação modular e que a solução dessa inequação vai determinar uma margem de variação Vamos estabelecer essa margem evidenciando a quilometragem máxima e mínima que se refere aos extremos da margem de variação Consideremos a definição de módulo x x x x x se se 0 0 dessa definição obtemos 1 5 10 1 5 10 2 2 EAx Como EA x x x e x 30000 iremos substituir na inequação e resolver as potências 15 10 10 150 e 15 10 10 150 150 30000 150 x Lembrese de que x é o valor aproximado e é a incógnita que temos de isolar Note que para anular 30000 é necessário somar 30000 em todas as partes da desigualdade resultando em 30000 150 30000 30000 30000 150 x 30150 29850 x Multiplicando por 1 todas as partes da desigualdade com o intuito de tornar x positivo condizente com o contexto 30150 1 1 29850 1 x 29850 30150 x Note que foi necessário reorganizar os valores após a multiplicação por 1 para manter a ordem numérica na desigualdade Com essa solução podemos concluir que a quilometragem mínima é 29850km e a máxima 30150km rodados Todavia como calcularemos o zero das funções Como os tipos de erros apresentados se articulam nessa tarefa Dada uma função e uma aproximação inicial para seu zero iremos por meio de um processo iterativo ou seja uma série de repetições de procedimentos apresentados pelo algoritmo do método refinar a aproximação inicial até que o erro prefixado inicialmente utilizado como erro de truncamento seja satisfeito Tópicos de cálculo numérico U1 15 Para Ruggiero e Lopes 1996 p 29 esses métodos apresentam duas fases Na fase I é necessário realizar uma análise teórica e profunda do gráfico da função em estudo lembrando que o sucesso da fase sequente dependerá desses resultados Durante essa análise é necessário que você utilize os resultados advindos do teorema apresentado a seguir Teorema 1 seja fx uma função contínua em um intervalo ab Se fa fb0 então existe pelo menos um ponto x ξ entre a e b que é o zero de fx ou seja fξ0 Podemos observar as implicações desse teorema quando analisamos o gráfico apresentado na Figura 11 Nesse gráfico a função apresentada é f x x ln Observe que a raiz da função é x 1 e o intervalo que estamos considerando é I 0 5 2 Fase I localização ou isolamento das raízes que consiste em obter um intervalo que contém a raiz Fase II refinamento que consiste em escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado na fase I melhorálas sucessivamente até se obter uma aproximação para raiz dentro de uma precisão ε prefixada Fonte elaborada pelo autor Figura 11 Ilustração teorema 1 Tópicos de cálculo numérico U1 16 Observe os extremos dos intervalos e a variação do sinal da função Podemos compreender que quando há variação de sinal entre os extremos do intervalo considerado pelo menos em algum x que pertence ao intervalo temos que fx0 ou seja uma raiz da função Cabe salientar que o estudo detalhado do comportamento de fx ou da equação fx0 é de fundamental importância para o estabelecimento de aproximações cada vez mais acuradas das raízes Após determinar os intervalos em que as raízes das funções poderão ser localizadas devese procurar o método numérico adequado para a situação em estudo Nesta unidade trabalharemos com o método da bissecção e o de Newton Raphson No entanto antes desse estudo cabe esclarecer alguns termos que serão recorrentes em vários momentos nesta unidade Os métodos aplicados são de natureza numérica e pertencem à classe dos métodos iterativos Para Ruggiero e Lopes 1996 p 37 os métodos iterativos consistem em uma sequência de instruções que são executadas passo a passo algumas das quais são repetidas em ciclos A realização de um ciclo recebe o nome de iteração Em cada uma das iterações utilizase o resultado advindo da outra e os resultados que vão sendo obtidos são submetidos a testes que visam qualificar os resultados Porém quando vamos ter certeza que x é uma aproximação adequada Em relação aos critérios de parada dos processos iterativos as mesmas autoras apresentam dois critérios I x ξ ε ou II f x ε Geralmente não conhecemos o valor de ξ então teremos o objetivo de reduzir o intervalo ao qual a raiz pertence até que a seguinte condição seja satisfeita ξ a b e b a ε Observe que x a b x ξ ε Portanto x a b pode ser tomado como x Ou seja se realizarmos a diferença entre os extremos dos intervalos refinados e se essa diferença for menor que o erro podemos escolher qualquer x desse intervalo que poderá ser utilizado como uma aproximação pertinente da raiz 121 Método da bissecção Esse método tem por objetivo reduzir a amplitude do intervalo ao qual a raiz da função pertence até que a seguinte condição seja satisfeita b a ε O método promove sucessivas divisões do intervalo ab na sua metade e por meio do estudo das imagens da função nos extremos e do valor localizado em seu meio o intervalo é redefinido até que condições apresentadas anteriormente sejam satisfeitas Tópicos de cálculo numérico U1 17 Exemplo 2 dada a função f x x x 3 3 1 calcule um dos zeros da função que pertence ao intervalo I12 com ε 10 30001 Primeiramente iremos esboçar o gráfico da função com o intuito de compreender o comportamento por ela apresentado Observando o gráfico apresentado na Figura 12 podemos verificar que nos seguintes intervalos localizamos as raízes de f x I1 2 1 I2 1 0 I3 1 2 Iremos considerar somente o intervalo I3 para detalhar a resolução É prudente verificar se no início dos procedimentos a margem aceitável de erro já não é satisfeita pois se assim for basta escolher um valor compreendido no intervalo que a aproximação já é aceitável para a raiz da função b a 0 0 2 1 1 Fonte elaborada pelo autor Figura 12 Gráfico de f x x x 3 3 1 Como um é maior que o erro iremos dar continuidade ao processo obtendo o valor situado no meio do intervalo Para obter esse valor iremos utilizar a média aritmética entre os extremos dos intervalos assim os somaremos e dividiremos por 2 a0 1 e b0 2 x a b 0 0 0 2 1 2 2 3 2 1 5 O valor x0 1 5 é o que está localizado no meio do intervalo Vamos agora pensar no sinal que a imagem dos extremos e de x0 calculando f a 0 f b 0 e f x 0 pois é diante desses valores que iremos reformular os extremos dos Tópicos de cálculo numérico U1 18 intervalos deixandoo menor f f a 0 3 1 1 3 1 1 3 f f b 0 3 2 2 3 2 1 1 e f x f 0 3 1 5 1 5 3 1 5 1 2 125 Com essas informações podemos realizar a seguinte análise f a 0 0 f b 0 0 e f x 0 0 Logo podese evidenciar que a função em x0 e a0 apresentam o mesmo sinal o que implica que a raiz da função está localizada entre x0 e b0 pois são entre esses extremos que de acordo com o Teorema 1 há pelo menos uma raiz da função Você pode recorrer ao gráfico da função e observar que a raiz está localizada no novo intervalo 15 2 Podemos então reestruturar os valores da seguinte forma x a 0 1 e b b 0 1 Vamos agora atentar ao erro pois se b a 1 1 ε qualquer x que pertence ao intervalo pode ser considerado uma aproximação aceitável Observe o erro que foi fixado no início determinando uma margem aceitável de aproximações em torno do valor verdadeiro desconhecido da raiz Nesse caso como 2 1 5 0 5 ε iremos realizar uma nova iteração visando reduzir pela metade novamente o intervalo redefinido ao qual a raiz da função pertence E se o sinal de f x 0 fosse maior que zero os valores de a1 e b1 seriam os mesmos Qual intervalo teríamos Procure pensar análogo ao que foi apresentado anteriormente Cabe observar que os próximos procedimentos iterativos serão organizados no quadro apresentado na continuidade e as justificativas dos procedimentos se assemelham com o apresentado anteriormente salvo em situações como a iteração três em que na análise do sinal das imagens da função verificase que f a 3 0 f b 3 0 e f x 3 0 Conservando o raciocínio anterior vemos que a raiz está compreendia entre 1875 19375 Optase também por considerar seis casas decimais após a vírgula para apresentar os resultados salvo em situações em que a sexta casa é zero e a sequente também é apresentada Observe no Quadro 11 que ao iniciar a décima iteração a condição do erro foi satisfeita pois 00009770001 o que indica que qualquer valor que esteja compreendido entre 1877929 e 1878906 pode ser assumido como uma aproximação da raiz da função de acordo com o erro fixado no início do procedimento Tópicos de cálculo numérico U1 19 Dado o erro e o intervalo que contém a raiz podese estimar a quantidade de iterações que serão necessárias Para isso utilizaremos a seguinte expressão sendo k o número de iterações Quadro 11 Procedimento iterativo pelo método da bissecção Iteração k a b ba x a b 2 fx k0 1 2 1 15 2125 k1 15 2 05 175 0890625 k2 175 2 025 1875 0033203 k3 1875 2 0125 19375 0460693 k4 1875 19375 00625 190625 02081604 k5 1875 190625 003125 1890625 0086093 k6 1875 1890625 0015625 1882812 00261006 k7 1875 1882812 0007812 1878906 0003639 k8 1875 1878906 0003906 1876953 0018442 k9 1876953 1878906 0001953 1877929 0011046 k10 1877929 1878906 0000977 Fonte elaborado pelo autor Para saber mais sobre os procedimentos do método da bissecção consulte os seguintes links httpswwwyoutubecomwatchvWPaJb3Who httpswwwyoutubecomwatchv8KEd4NaLGQ4 httpswwwyoutubecomwatchvTczufNvoVzk httpswwwyoutubecomwatchvXmfMPyhilaA e httpwww2sorocabaunespbrprofessoramartinsaulasnumerico bissecpdf Acesso em 6 set 2016 Tópicos de cálculo numérico U1 20 k a logb log log 0 0 2 ε Focando o exemplo resolvido anteriormente temos que a0 1 b0 2 e ε 0 001 substituindo os valores na expressão log log log 2 1 0 001 2 0 3 0 301229 9 965 10 k 122 Método de NewtonRaphson Seja fx uma função contínua em um intervalo ab que contém somente uma raiz e considere que fx e fx não se anulam e conservam o sinal Para utilizar esse método é necessário ter em mãos uma estimativa inicial k0 um chute que pertence ao intervalo que inicialmente está sendo considerado O método gera uma sequência de estimativas em que cada ponto é a interseção da reta tangente yfx com o eixo das abscissas eixo de x O critério de parada nesse caso é semelhante ao que foi utilizado no método da bissecção mas serão dois erros que utilizaremos um para as aproximações x x 1 0 2 ε e outro para a imagem da função f x0 ε1 Todavia para facilitar os cálculos a seguinte igualdade será utilizada A fórmula para o refinamento das estimativas 4 é apresentada na sequência x x f x f x k k k k 1 4 Resolveremos o exemplo anterior por esse método com o intuito de realizar uma comparação da eficiência de convergência Exemplo 3 dada a função f x x x 3 3 1 calcule um dos zeros da função que pertence ao intervalo I11 2 com ε1 ε2 103 e um valor aproximado x0 1 2 O primeiro passo que realizaremos é observar as condições sobre fx e fx pois para que o método possa ser empregado a derivada da primeira e da segunda função deve ser diferente de zero no intervalo e preservar o sinal Derivando a função e a derivada da função temos f x x 3 3 2 e f x x 6 Agora analisaremos o sinal da função no intervalo apresentado Substituindo os valores dos extremos temos que f f 1 1 0 63 1 6 6 e e f f 2 9 2 12 e ε1ε2 Tópicos de cálculo numérico U1 21 Observe que os valores obtidos são todos positivos ou seja o sinal foi conservado satisfazendo as condições de utilização do método É prudente verificar inicialmente se f x0 ε1 Nesse sentido temos 296103 o que implica a continuidade do emprego do método O próximo passo é calcular o valor de x1 e para isso temos de ter em mãos os seguintes valores x0 1 2 f x 0 2 872 e f x 0 1 32 Substituindo esses valores na expressão 4 teremos x1 1 2 2 872 1 32 1 2 2 175757 3 375757 Verificaremos agora os erros f x 1 1 ε o que no caso não satisfaz pois 27 34198 10 3 Iremos então realizar o segundo teste x x 1 0 2 ε substituindo os valores 3 375758 1 2 2 175758 2 ε não satisfazendo o critério Temos que agora assumir x1 como uma nova aproximação e realizar mais processos de iteração Organizaremos os cálculos a serem realizados no Quadro 12 com o intuito de sintetizar o procedimento de resolução Qual seria a representação gráfica para o método Newton Raphson Como a função e as aproximações geradas pela expressão 4 se comportariam em um mesmo plano Quadro 12 Procedimento iterativo pelo método NewtonRaphson Iteração k xk f xk f xk f xk 1 1ε x x k k 1 ε2 0 12 2872 132 f x0 ε1 1 3375758 2734198 3118722 f x1 ε1 2175758ε2 2 2499053 711009 157358 f x2 ε1 0876705ε2 3 1896961 0135256 7795382 f x3 ε1 0602092ε2 4 187961 0001708 7598802 f x4 ε1 0017351ε2 5 1879385 000000018 1127766 f x5 ε1 Fonte elaborado pelo autor Tópicos de cálculo numérico U1 22 Como na iteração 5 f x5 1 ε temos que x 1 879385 Pensando em uma motivação geométrica para compreender a maneira como se dá a convergência do método de NewtonRaphson Ruggiero e Lopes 1996 conceberam a seguinte estrutura Considerando o ponto x x k k f iremos traçar a reta L x k que é tangente à curva nesse ponto De acordo com a Geometria Analítica essa reta apresenta a seguinte equação L x f f x x x k k k k x Fique claro que L x k aproxima a função de uma vizinhança de xk Quando o zero desse modelo é encontrado obtemos a seguinte situação L x x x f x f x k k k k 0 Considerando então que x k x 1 Contribuindo para a última reflexão apresentada na Figura 13 representase a maneira como o método NewtonRaphson é obtido geometricamente Observe que a raiz da função ξ 1 e o chute inicial é x0 2 A reta tangente L0 é tangente no ponto x f x 0 0 que no caso é representado pela letra B Essa reta corta o eixo de x na segunda aproximação x1 0 61 Realizando o procedimento anterior ao traçar L1 tangente ao ponto x f x 1 1 obtemos x2 0 91 a segunda aproximação Ao realizar mais uma iteração podemos notar que já temos uma aproximação melhor que a anterior Diante desse contexto é importante retomar os erros tanto absoluto quanto relativo e destacar o seu papel no processo de resolução numérica pois é elaborada uma margem pertinente para as aproximações Observe se considerarmos ε 0 1 identificamos que a margem aceitável para a raiz varia entre 09 11 isso mostra que x2 0 91 já é uma aproximação a ser considerada para a raiz da função Comparando os dois métodos podemos verificar que o método de Newton Raphson converge para a raiz em um número menor de iterações do que o método da bissecção Por outro lado é necessário que algumas condições sejam atendidas e nem sempre isso pode ocorrer Um exemplo se refere ao fato do intervalo do Exemplo 3 ser diferente do Exemplo 2 Houve a necessidade de adaptar o intervalo pelo fato de em x1 a função derivada resultar em 0 o que de acordo com 4 nos levou a uma divisão por 0 uma limitação do emprego do método sendo necessário realizar adaptações no extremo do intervalo Observe na Figura 13 uma interpretação geométrica da convergência do método NewtonRaphson para a raiz da função Tópicos de cálculo numérico U1 23 Fonte elaborada pelo autor Figura 13 Interpretação gráfica do método NewtonRaphson O método da bissecção também se torna inviável quando o erro é muito pequeno pois quanto menor for o erro mais iterações precisarão ser realizadas Em relação à complexidade dos cálculos o método da bissecção apresenta operações menos laboriosas do que o método de NewtonRaphson que exige conhecimentos da derivada da função Por fim a aplicação do método de Newton Raphson é mais criteriosa do que o método da bissecção que só exige que a função seja contínua no intervalo a ser considerado Para saber mais sobre o método NewtonRaphson e outros métodos numéricos acesse httpswwwyoutubecomwatchvYx90nD1qonU httpswwwyoutubecomwatchvgrUYOfgRZGs httpswwwyoutubecomwatchvVWxKkoZdmU httpwww2sorocabaunespbrprofessoramartinsaulasnumerico nrpdf e httpwww2sorocabaunespbrprofessoramartinsaulasnumerico milpdf Acesso em 6 set 2016 13 Zero de polinômios Como os polinômios aparecem constantemente na matemática fazse necessário tecer considerações específicas a respeito de algoritmos numéricos Tópicos de cálculo numérico U1 24 para obtenção de seus zerosraízes Todavia os métodos já apresentados se configuram pertinentes para essa tarefa Os algoritmos que serão apresentados são eficientes para determinação de raízes isoladas de polinômios reais ou complexas De acordo com Franco 2006 considere um polinômio de grau n P x a x a x a x a a x a n n n n i i n i n 1 1 1 0 0 0 Os seguintes resultados são válidos I O polinômio admite pelo menos um zero II O polinômio admite exatamente n zeros caso um zero de multiplicidade k seja considerado k vezes III Dois polinômios de grau n são considerados idênticos caso seus respectivos valores numéricos coincidam para mais de n valores distintos de x IV Um polinômio P x pode ser expresso unicamente na forma fatorada P x a x x x x x x n n 1 2 Sendo x x xn 1 2 zeros do polinômio v Se os coeficientes a k n k 0 1 forem reais e se a bi for um zero complexo de P x logo a bi também será um zero do polinômio Como podemos adaptar os métodos de zero de funções até agora estudadas para os métodos de zero de polinômios Exemplo 4 adaptado de FRANCO 2006 p 9495 Determine a raiz do polinômio a seguir com a aproximação inicial igual a 09 P x x x x 3 2 2 0 85 1 7 com ε 10 2 Para encontrar esses zeros iremos utilizar o método de Newton que já foi estudado anteriormente e apresentaremos o algoritmo de BriotRuffiniHorner Optamos por omitir sua fundamentação matemática sem prejuízo de compreensão do método sendo apresentado link para consulta no próximo item Saiba mais Para utilizar o método NewtonRaphson devemos ter em mãos os valores de P09 e P09 Calcularemos esses valores por meio do algoritmo de BriotRuffini Tópicos de cálculo numérico U1 25 Horner Para isso teremos de separar os valores dos coeficientes dos polinômios Observe a3 1 a2 2 a1 0 85 e a0 1 7 As operações elementares obedecem à seguinte ordem vamos transcrever o coeficiente de a3 1 na terceira linha passando a ser designado por b3 0 9 1 Os próximos elementos foram calculados da seguinte forma multiplicamos a estimativa inicial 09 por b3 0 9 e somamos com a2 o resultado pode ser designado por b2 0 9 2 9 e foi acomodado ao lado de b3 0 9 na terceira linha Analogamente a esse procedimento multiplicamos a estimativa inicial por b2 0 9 e somamos com a1 o resultado b1 0 9 1 76 foi acomodado ao lado de b2 0 9 Continuando multiplicamos a estimativa por b1 0 9 e somamos com a0 resultando em b0 0 9 0 1164 que é acomodado ao lado de b1 De acordo com Ruggiero e Lopes 1996 temos que b P 0 0 9 0 9 0 1164 Veja todos esses procedimentos organizados no Quadro 13 Quadro 13 Algoritmo BriotRuffiniHorner aplicado em P x com x0 Px 1 2 085 17 09 09 261 1584 1 29 176 01164 09 09 342 1 38 518 Fonte elaborado pelo autor É necessário também calcular o valor de P09 Para isso realizaremos os mesmos procedimentos do algoritmo com os coeficientes presentes na segunda linha do Quadro 13 Os novos valores obtidos são assim designados c b 3 3 0 9 0 9 1 e c2 0 9 3 8 e c1 0 9 5 18 De acordo com Ruggiero e Lopes 1996 p c c 1 ou seja c P 1 0 9 0 9 5 18 Com essas informações já podemos utilizar o método de NewtonRaphson e então temos x b c 1 0 1 0 9 0 9 0 9 Substituindo os valores e realizando as operações temos x x 1 1 0 9 0 1164 5 18 0 9224 É necessário calcular o erro entre as aproximações e tanto o erro relativo quanto o absoluto podem ser utilizados Portanto para o erro absoluto teremos Tópicos de cálculo numérico U1 26 x x 1 0 0 9224 0 9 0 0224 Podemos perceber que o valor do erro calculado é maior que ε 10 0 01 2 fato que implica a necessidade de realizar uma nova iteração Veja os cálculos para x1 organizados no Quadro 14 Quadro 14 Algoritmo BriotRuffiniHorner aplicado em P x com x1 Px 1 2 085 17 09224 09224 26956 17024 1 29224 18456 00024 09224 09224 35464 1 38448 5392 Fonte elaborado pelo autor Semelhante ao raciocínio que utilizamos no procedimento anterior podemos extrair os seguintes valores b P 0 0 9224 0 0024 0 9224 e c P 1 0 9224 5 392 0 9224 x b c 2 0 1 0 9224 0 9224 0 9224 Substituindo os valores e realizando as operações temos x x 2 2 0 9224 0 0024 5 392 0 9220 Ao calcular o erro absoluto temos x x 2 1 0 9220 0 9224 0 0004 Como o erro foi menor 10 2 temos que x 0 9220 é uma raiz de acordo com a precisão fixada pela questão É válido destacar que ao ter ciência do valor aproximado de uma raiz podemos nos valer da seguinte relação e calcular as demais raízes P x x Q x ξ sendo ξ um zero do polinômio 5 Q x P x x ξ e Q x b x b x b 3 2 2 1 Utilizaremos novamente o algoritmo de BriotRuffiniHorner para x1 09220 Os dados foram organizados no Quadro 15 Tópicos de cálculo numérico U1 27 Quadro 15 Algoritmo BriotRuffiniHorner aplicado em P x com x1 Px 1 2 085 17 09220 09220 26941 17002 1 29220 18441 00002 Fonte elaborado pelo autor Observe que Q x x x 2 2 9220 1 8441 Como temos uma equação de segundo grau podemos abdicar dos métodos numéricos e aplicar métodos analíticos como a fórmula resolutiva de equações do segundo grau x b b ac a 2 4 2 Sendo a 1 b 2 9220 e c 1 8441 temos as demais aproximações para as raízes do polinômio x2 0 9235 e x3 1 9985 É importante que o erro fixado no início seja satisfeito Então calcularemos 2 P x 000307 e P x 3 0 00251 ambos os casos são menores que o erro Para saber mais sobre métodos numéricos para zero de polinômios acesse httpwwwuesbbrmatdownloadpublicacoesFlaullesIIIpdf e httpwww2peqcoppeufrjbrPessoalProfessoresArgeEQE358 MatlabOctaveexemploszerosdepolinomiospdf Acesso em 6 set 2016 1 Considere a função f x x x 3 4 2 3 e os seguintes intervalos I1 1 0 5 I2 0 5 1 5 e I3 3 5 4 Calcule com ε 0 01 os valores aproximados para as raízes em cada um dos intervalos pelo método da bissecção 2 Considere a função f x x x 3 4 2 3 e os seguintes intervalos I1 1 0 5 I2 0 5 1 5 e I3 3 5 4 Calcule com ε 0 01 os valores aproximados para as raízes em cada um dos Tópicos de cálculo numérico U1 28 intervalos pelo método NewtonRaphson com os seguintes valores iniciais x0 0 8 para I1 x0 0 7 para I2 e x0 3 6 para I3 3 Comparando os dois métodos qual convergiu mais rapidamente para a solução Qual apresentou soluções com menor erro para os zeros do polinômio Tópicos de cálculo numérico U1 29 Seção 2 Sistemas de equações lineares e inversão de matrizes Introdução à seção 21 Recordando sistemas de equações lineares Nesta seção nossos estudos incidirão sobre a resolução de sistemas lineares e a inversão de matrizes por meio da utilização de métodos numéricos De acordo com Ruggiero e Lopes 1996 o problema de resolver um sistema linear aparece em diversas áreas Franco 2006 p 114 apresenta os seguintes exemplos Para essa mesma autora os métodos iterativos se colocam pertinentes em relação aos métodos exatos pois do ponto de vista computacional são mais econômicos uma vez que utilizam menos memória do computador Todavia antes de conhecermos métodos iterativos vamos relembrar a definição e classificação de sistemas de equações lineares Franco 2006 afirma que uma equação é linear se cada um dos termos contém não mais do que uma variável e essa variável está na primeira potência conforme os seguintes exemplos 2 4 3 x y z Equações como as seguintes não são lineares x y z 3 2 2 3 2 e 2 4 xy z Um sistema linear com m equações e n variáveis é escrito usualmente da seguinte forma a x a x a x b a x a x a x b n n n n 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 a x a x a x b m m mn n m 1 1 2 2 Determinação do potencial elétrico em redes elétricas cálculo da tensão na estrutura metálica da construção civil cálculo da razão do escoamento num sistema hidráulico com derivações previsão da concentração de reagentes sujeito a reações químicas simultâneas Tópicos de cálculo numérico U1 30 Em que aij coeficientes 1 i m 1 j n x j coeficientes j n 1 bi constantes i m 1 Para Ruggiero e Lopes 1996 resolver um sistema linear referese a calcular os valores caso existam de x j n j 1 de modo que satisfaçam as m equações simultaneamente Em notação matricial o sistema pode ser representado pela igualdade Ax b em que A a a a a a a a a a n n m m mn 11 12 1 21 22 2 1 2 K K M M M K a matriz dos coeficientes x x x xn 1 2 vetor variáveis b b b bm 1 2 vetor constante É importante também convencionarmos algumas notações com o intuito de facilitar a compreensão no decorrer desta seção Nesse sentido o vetor x é o vetor solução e o vetor x é a solução aproximada para o sistema Ax b Assumindo como critério a solução apresentada por sistemas lineares Franco 2006 apresenta a seguinte classificação a Sistemas possíveis ou consistentes são os sistemas que apresentam pelo menos uma solução Um sistema pode ser Determinado o sistema admite uma única solução Indeterminado o sistema admite mais de uma solução b Sistemas impossíveis ou inconsistentes são os sistemas que não apresentam solução Tópicos de cálculo numérico U1 31 Em relação aos métodos empregados na resolução Ruggiero e Lopes 1996 apresentam dois grupos Os métodos diretos salvo em erros de arredondamento fornecem caso exista a solução exata do sistema linear após um número finito de operações Os métodos iterativos por sua vez irão gerar uma sequência de vetores x k a partir de uma aproximação inicial x 0 Em certas condições essa sequência converge para a solução caso exista x Vale destacar que em sistemas lineares nxn que apresentam solução única o vetor x pode ser obtido por meio da equação matricial x A b 1 Todavia o cálculo da matriz inversa e o produto entre essa matriz e b apresenta um alto custo computacional que inviabiliza esse tipo de cálculo Os métodos diretos e iterativos que serão apresentados a seguir buscam evitar o cálculo de A1 22 Método da eliminação de Gauss Esse método tem por objetivo transformar o sistema original em um sistema equivalente com uma matriz com coeficientes triangulares pois sua resolução é imediata Dois sistemas são designados por equivalentes se possuem a mesma solução Considere o sistema A x b onde A é uma matriz nXn triangular superior e os elementos de sua diagonal são diferentes de zero Assim temos a x a x a x a x b a x a x a n n 11 1 11 1 11 1 1 1 22 2 23 3 2 n n n n x b a x a x b 2 33 3 3 3 O M a x b nn n n Note que na última equação temos a seguinte relação x b a n n nn e ao realizar substituições nas equações acima podese de maneira análoga obter os valores de xn1 até x1 Exemplo 1 calcule a solução do sistema linear por meio da eliminação de Gauss 2 3 17 4 2 3 23 5 6 x y z x y z x y z Tópicos de cálculo numérico U1 32 Iremos transformar a matriz A associada ao sistema em uma matriz triangular superior Para tanto utilizaremos os resultados do Teorema 1 para fundamentar os procedimentos empregados Teorema 1 seja Ax b um sistema linear Ao aplicar sobre as equações desse sistema uma sequência de operações elementares devemos I Trocar duas equações II Multiplicar uma equação por uma constante não nula III Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação Obtemos então o novo sistema A x b e os sistemas Ax b e A x b são equivalentes ou seja compartilham a mesma solução Iremos extrair a matriz A e b dispondoa lado a lado Chamaremos de pivô o número situado na diagonal principal Vamos nos atentar para a11 2 Esse valor será utilizado para operar com as linhas dois e três com o intuito de zerar os valores a21 e a31 Para realizar essa tarefa utilizaremos Teorema 1 especificadamente o item III Dessa forma iremos multiplicar a linha por um número real não nulo mnm e ao somar com a segunda linha necessariamente teremos de obter zero atingindo o objetivo Todavia para manter a equivalência com o sistema original é necessário que todos os termos das linhas respectivamente também sejam submetidos às mesmas operações com o mesmo número mnm Para diferenciar cada uma das iterações iremos sobrescrever um número entre parênteses indicando essa ordenação A b 0 0 2 3 1 1 1 5 17 23 6 Como poderemos determinar os valores mnm com o intuito de transformar a matriz associada ao sistema em uma matriz triangular Uma maneira de obter os valores mnm pertinentes para aplicação do método da eliminação de Gauss é pensar em uma equação Pelo Teorema 1 item III temos que as operações a serem empregadas garantindo a equivalência do sistema são Tópicos de cálculo numérico U1 33 as seguintes L L m L 2 1 2 0 21 1 0 e L L m L 3 1 3 0 31 1 0 Devemos pensar então nos valores de m21 e m31 de modo que 1 1 21 31 0 a a Então teremos a m a m a a 21 0 21 11 0 21 21 0 11 0 0 e m a a 31 31 0 11 0 generalizando 1 1 1 k ik ik k kk a m i k n a Nesse sentido teremos m21 2 e m31 1 2 Realizando as seguintes operações L L L 2 1 2 0 1 0 2 e L L L 3 1 3 0 1 0 1 2 entre as linhas da matriz Agora devemos zerar a32 5 2 Valendose de um raciocínio análogo ao desenvolvido anteriormente podemos determinar m32 5 8 e pela seguinte expressão L L L 3 2 3 1 2 1 5 8 a seguinte matriz triangular A b 1 1 2 3 1 0 4 5 0 5 2 9 2 17 11 29 2 Ao ter essa matriz em mãos é possível retomar o sistema linear e resolvêlo 2 3 17 4 5 11 61 8 61 8 x y z y z z Resolvendo a terceira equação temos z 1 Substituindo esse valor na segunda equação encontramos y 4 Por fim substituindo z 1 e y 4 na primeira equação encontramos x 3 A solução exata do sistema é x 3 4 1 Segundo Ruggiero e Lopes 1996 há uma limitação para a utilização desse método principalmente no caso do pivô ser zero ou muito próximo de zero As autoras afirmam que os computadores e calculadoras efetuam os cálculos com aritmética de precisão finita Logo os valores para mnm chegam a ser maiores do que a unidade originando uma ampliação dos erros de arredondamento Para A b 2 2 2 3 1 0 4 5 0 0 61 8 17 11 61 8 Tópicos de cálculo numérico U1 34 contornar essa situação é necessário trocar as equações de posição com o intuito de que os pivôs sejam os elementos que apresentam maior módulo entre os coeficientes 23 Método iterativo de GaussJacobi Os dois próximos métodos que serão estudados são caracterizados por iterativos Nesses métodos temse intuito realizar uma generalização de métodos para zero de funções que estudamos na seção anterior Como critério de parada do processo iterativo podemos utilizar tanto o erro quanto fixar uma quantidade máxima de iterações Ruggiero e Lopes 1996 apresentam a seguinte expressão para o estudo do erro d d máx r k k i n i k x 1 Assim dada uma precisão ε o vetor solução x k será considerado x se dr k ε O método GaussJacobi transforma o sistema linear Ax b em x Cx g Acompanhe no Exemplo 2 a maneira como esse método é estruturado Exemplo 2 adaptado de RUGGIERO LOPES 1996 p 157 resolva o sistema linear pelo método GaussJacobi com a primeira aproximação s 0 0 7 1 6 0 6 e ε 0 05 10 2 7 5 8 2 3 10 6 x y z x y z x y z A primeira ação que realizaremos é isolar em cada uma das equações cada uma das incógnitas Então teremos x y z y x z z x y x 7 2 10 8 5 6 2 3 10 7 2 10 0 2 10 1 10 7 10 8 5 1 5 0 1 5 8 5 6 2 y z x y z y x z x y z z x 3 10 2 10 3 10 0 6 10 y x y z Tópicos de cálculo numérico U1 35 Observe que a forma matricial na qual estamos transformando o sistema Ax b que apresentamos no início pode ser obtida da seguinte maneira x Cx g k k 1 c 0 2 10 1 10 1 5 0 1 5 1 5 3 10 0 e g 7 10 8 5 6 10 Para resolver as iterações focaremos o sistema então substituiremos em cada uma das equações o valor da aproximação inicial com o intuito de gerar uma segunda aproximação acompanhe Para k 0 x 1 7 2 1 6 0 6 10 7 3 2 0 6 10 9 6 10 0 96 y 1 8 0 7 0 6 5 9 3 5 1 86 z 1 6 2 0 7 3 1 6 10 6 1 4 4 8 10 9 4 10 0 94 Decorrente da primeira iteração temos o seguinte vetor s 1 0 96 1 86 0 94 Passaremos então para o teste do erro calculando o módulo da diferença entre as coordenadas dos vetores s1 e s0 x x d x 1 0 1 0 96 0 7 0 26 y y d y 1 0 1 1 86 1 6 0 26 d x r i i máx 1 1 3 1 0 34 0 34 1 86 0 1828 ε z z d z 1 0 1 0 94 0 6 0 34 Podemos notar que o valor de dr 1 foi obtido pelo quociente entre o maior valor entre os dk 1 e o módulo do maior componente do vetor solução obtido na iteração Como esse quociente é maior que o erro devemos realizar mais uma iteração Os procedimentos apresentados a seguir mostram um pensamento análogo ao anterior Tópicos de cálculo numérico U1 36 Para k 1 x 2 7 2 1 86 0 94 10 7 3 72 0 94 10 9 78 10 0 978 y 2 8 0 96 0 94 5 9 9 5 1 98 z 2 6 2 0 96 3 1 86 10 6 1 92 5 58 10 9 66 10 0 966 Proveniente dessa iteração temos o seguinte vetor s2 0 978 1 98 0 966 Iremos agora verificar se o erro foi ou não satisfeito Temos x x d x 2 1 2 0 978 0 96 0 018 y y d y 2 1 1 1 98 1 86 0 12 d x r i i máx 2 1 3 1 0 34 0 12 1 98 0 0606 ε z z d z 2 1 1 0 966 0 94 0 026 Como podemos perceber o valor de dr 2 é maior que o erro fixado no início da resolução Nesse sentido iremos realizar uma nova iteração Para k 2 x 3 7 2 1 98 0 966 10 7 3 96 0 966 10 9 994 10 0 9994 y 3 8 0 978 0 966 5 9 944 5 1 9888 z 3 6 2 0 978 3 1 98 10 6 1 956 5 94 10 9 984 10 0 9984 Observe que obtemos um novo vetor que na sequência foi submetido ao teste do erro s3 0 9994 1 9888 0 9984 x x d x 3 2 2 0 9994 0 978 0 0214 y y d y 3 2 1 1 9888 1 98 0 0088 z z d z 3 2 3 0 9984 0 966 0 0324 d x r i i máx 3 1 3 1 0 0324 0 0324 1 9888 0 1629 ε Tópicos de cálculo numérico U1 37 Como dr 3 ε podemos assumir s 3 x com erro menor que 005 obtido pelo método GaussJacobi Logo x x 3 0 9994 1 9888 0 9984 Uma observação importante que deve ser ressaltada é o fato de que x 0 foi escolhido nesse exemplo pela seguinte expressão x b a b a b a 0 1 11 2 22 3 33 Todavia essa opção se fez por conveniência É comum também optar pelo vetor nulo porque x 0 é arbitrário Será que o método estudado é pertinente para qualquer sistema linear Quais são as características apresentadas pelos sistemas que convergem E as apresentadas pelos que não convergem 231 Critério de convergência A convergência do método iterativo de GaussJacobi é garantida pelo seguinte teorema Teorema 2 Critério das linhas seja o sistema linear Ax b e seja αk kj j j k n kk a a 1 Se α máx 1 k n αk 1 então a sequência gerada pelo método de GaussJacobi gera uma sequência x k que converge para a solução do sistema dado independentemente da escolha da aproximação inicial x 0 Exemplo 3 adaptado de RUGGIEIRO LOPES 1996 p 160 analise a matriz A do sistema linear resolvido no exemplo anterior e verifique a convergência Sabemos pelos cálculos que realizamos que o sistema do exemplo anterior converge para a solução Vamos realizar o teste a título de ilustração A 10 2 1 1 5 1 2 3 10 De acordo com o Teorema 2 vamos olhar linha por linha da matriz separadamente e localizar os elementos da diagonal principal Cada αk se refere Tópicos de cálculo numérico U1 38 ao quociente entre a soma do módulo dos termos que não pertencem à diagonal principal da linha k pelo módulo do elemento que pertence à diagonal principal Observe α1 2 1 10 3 10 0 3 1 α2 1 1 5 2 5 0 4 1 e α3 2 3 10 5 10 0 5 1 Então como o má 1 3 k x αk 0 5 1 temos pelo teorema acima que o sistema converge para a solução 24 Método iterativo de GaussSeidel O método que estudaremos nesta seção é semelhante ao anterior ou seja iremos escrever o sistema linear Ax b a forma equivalente x Cx g Teremos também uma aproximação inicial x 0 arbitrária Porém de acordo com Ruggieiro e Lopes 1996 a partir do cálculo da aproximação da segunda incógnita no mesmo processo iterativo substituímos os valores da aproximação inicial pelos obtidos para as incógnitas que já calculamos na iteração que estamos realizando Acompanhe no Exemplo 4 Exemplo 4 adaptado de RUGGIEIRO LOPES 1996 p 162164 resolva o sistema 5 5 3 4 1 6 3 3 6 0 x y z x y x y z pelo método de GaussSeidel com x 0 0 0 0 e ε 5 10 0 05 2 Nosso primeiro passo será isolar cada uma das incógnitas em cada equação teremos x y z y x z z x y 5 5 6 3 4 3 3 6 Iremos substituir os valores de x 0 no sistema com as incógnitas isoladas Para k 0 temos x 1 5 0 0 5 5 5 1 Agora não vamos mais utilizar o valor da primeira incógnita para calcular y 1 mas sim o que calculamos na última operação que realizamos Observe y 1 6 3 1 0 4 6 3 4 0 75 e z 1 3 1 3 0 75 6 3 2 25 6 0 875 Obtemos então a seguinte aproximação s 1 1 0 75 0 875 Iremos agora utilizar o Tópicos de cálculo numérico U1 39 teste do erro para verificar a viabilidade dessa aproximação x x 1 0 1 0 1 y y 1 0 0 75 0 0 75 d i r máx x 1 1 1 1 1 1 ε z z 1 0 0 875 0 0 875 Como dr 1 ε temos que realizar mais uma iteração com a seguinte aproximação s 1 1 0 75 0 875 Iteração k 1 teremos x 2 5 0 75 0 875 5 5 125 5 1 025 conforme o raciocínio da iteração anterior iremos utilizar no cálculo de y 2 não mais x 1 1 mas sim x 2 1 025 observe y 2 6 3 1 025 0 875 4 6 3 075 0 875 4 3 8 4 0 95 Substituiremos para calcular z 2 os seguintes valores x 2 1 025 e y 2 0 95 z 2 3 1 025 3 0 95 6 3 075 2 85 6 5 925 6 0 9875 Obtemos a seguinte aproximação s2 1 025 0 95 0 9875 e na sequência foi verificado o erro x x 2 1 0 025 y y 2 1 0 2 d máx x r i i 2 1 3 2 0 2 0 2 1 025 0 1951 ε z z 2 1 0 1125 Com o resultado de dr 2 é necessário realizar uma nova iteração utilizando s2 Observe que o raciocínio utilizado é análogo ao das outras iterações Iteração k 2 x 3 5 0 95 0 9875 5 5 0375 5 1 0075 y 3 6 3 1 0075 0 9875 4 6 3 0225 0 9875 4 3 965 4 0 99125 Tópicos de cálculo numérico U1 40 z 3 3 1 0075 3 0 9912 6 3 0225 2 9736 6 5 9961 6 0 99935 Iremos submeter a aproximação resultante dessa iteração s3 1 0075 0 99125 0 99935 à verificação do erro x x 3 2 0 0175 y y 3 2 0 04125 dr 3 0 04125 1 0075 0 0409 ε z z 3 2 0 01185 Como a condição do erro foi satisfeita podemos admitir como solução segundo o erro estipulado no início do exemplo que x x 3 1 0075 0 9912 0 9993 Sobre os critérios de convergência para esse método cabe destacar que não se resume somente aos critérios das linhas sendo aplicado também o critério Sanssenfeld Considere cada uma das linhas da matriz A associada ao sistema linear Iremos obter números β β β β 1 2 3 n da seguinte maneira β1 12 13 1 11 a a a a n de forma genérica teremos β β β β j j j jj j jn jj a a a a a 1 1 2 2 1 1 Considere β máx 1 j n βj Se β 1 o método de GaussSeidel gera uma sequência convergente para qualquer aproximação que se escolha É interessante salientar que quanto menor β for mais rápida será a convergência O teste das linhas também pode ser utilizado Nesse caso esse teste se configura como uma segunda opção haja vista que poderá haver situações em que o sistema converge para a solução mas não satisfaz esse critério satisfazendo somente o de Sanssenfeld Em muitas situações de aplicação das matrizes fazse necessário obter a sua inversa com o intuito de facilitar os cálculos envolvidos Steinbruch e Winterle 25 Inversa de matrizes Tópicos de cálculo numérico U1 41 2005 definem da seguinte maneira dada uma matriz quadrada A de ordem n Definese matriz inversa de A1 se existir a matriz quadrada de mesma ordem tal que AA I 1 ou seja o produto entre a matriz A e sua inversa resulta na matriz identidade A matriz inversa apresenta as seguintes propriedades 1 Para que uma matriz admita inversa ela deve ser não singular ou seja seu determinante deve ser diferente de 0 2 Dada uma matriz A e sua inversa A1 A A 1 1 3 A matriz identidade é não singular pois seu determinante é igual a um e ela é sua própria inversa I I 1 4 Dada a matriz A não singular e sua transposta At A matriz inversa de A A T T 1 1 5 Se as matrizes A e B são não singulares e de mesma ordem o produto entre essas matrizes AB é uma matriz singular e AB B A T 1 1 Você já calculou a inversa de matrizes quando cursou o Ensino Médio Enumere as técnicas utilizadas nesse contexto escolar e relacione com as que serão apresentadas na sequência Exemplo 5 considere a seguinte matriz A 2 3 2 1 1 Calcule A1 Você pode estranhar o fato de estarmos utilizando uma matriz de ordem dois por dois Cabe destacar que sua escolha foi necessária para facilitar a compreensão do método empregado No item Para saber mais encontramse vídeos em que os exemplos resolvidos são matrizes quadradas de ordens superiores De acordo com a definição de matriz inversa temos que AA I 1 Como o objetivo é obter a matriz inversa iremos designála da seguinte maneira a c b d sendo a b c e d incógnitas que iremos calcular Então teremos 2 3 2 1 1 1 0 0 1 a c b d Aplicaremos então a multiplicação entre matrizes teremos Tópicos de cálculo numérico U1 42 Para saber mais sobre como realizar o produto entre matrizes acesse httpswwwyoutubecomwatchv4cgHNvfMICg httpwwwmatufmgbrrodneynotasdeaulamatrizespdf Acesso em 6 set 2016 2 3 2 1 2 3 2 0 0 1 a b c d a b c d Note que podemos estabelecer nesse caso dois sistemas lineares I e II I a b a b 2 3 2 1 0 e II c d c d 2 3 2 0 1 que apresentam a mesma matriz A associada Dessa forma iremos resolver esse sistema de uma só vez associando as três matrizes envolvidas Observe 2 32 1 1 1 0 0 1 Semelhante aos procedimentos que foram utilizados na eliminação de Gaus iremos nos valer das operações elementares e do Teorema 1 item II e III para fundamentar os procedimentos que iremos aplicar Nosso objetivo consistiu em transformar a matriz A associada aos dois sistemas na matriz identidade consequentemente a matriz identidade ao lado se transformará na inversa da matriz A Teremos então de transformar o número 2 situado na primeira linha primeira coluna em 1 Dessa forma multiplicaremos toda a linha por 1 2 que é uma constante não nula e de acordo com o Teorema 1 item II mantémse a equivalência 1 34 1 1 12 0 0 1 O próximo passo é zerar o elemento a21 Para isso de acordo com o item III iremos somar a segunda linha com a primeira Nesse caso não foi necessário pensar em uma constante que ao multiplicar a segunda linha e somar com a primeira resulte em zero pois temos dois números opostos 1 e 1 Todavia essa situação não é comum sendo necessário antes de somar as linhas pensar nessa constante Somando as linhas Tópicos de cálculo numérico U1 43 1 34 0 14 12 0 12 1 Na continuidade transformamos a fração 14 em 1 Para isso vamos multiplicar toda a linha pelo inverso dessa fração ou seja 41 4 1 34 0 1 12 0 2 4 Agora iremos zerar 3 4 por meio das operações elementares Dessa forma vamos multiplicar a segunda linha por 3 4 Note que optamos pelo simétrico do valor que iremos zerar Após vamos somar a segunda linha com a primeira obtendo a seguinte matriz 1 0 0 1 2 3 2 4 Com esse resultado obtivemos a inversa A 1 2 3 2 4 Sendo a2 b2 c3 e d4 Vamos estudar um pouco mais sobre como obter a inversa de uma matriz acessando os links da seção Para saber mais Para saber mais sobre como obter a inversa de uma matriz acesse httpswwwyoutubecomwatchvEHHC6rDcfWo httpswwwyoutubecomwatchvOvhw950MOY httpswwwyoutubecomwatchv389fX3gWhxI e httpwwwmatufmgbrrodneynotasdeaulamatrizesinversas pdf Acesso em 6 set 2016 Tópicos de cálculo numérico U1 44 1 Considere o sistema linear x y x y 7 2 5 com ε 0 05 Encontre uma aproximação para a solução desse sistema pelo método GaussJordan utilizando x0 2 5 3 5 2 Dado o sistema linear x y z x y z x y z 3 2 2 11 4 18 calcule a solução exata desse sistema por meio do método da eliminação de Gauss Nesta unidade você aprendeu que Em matemática não é sempre que se obtém soluções exatas sendo necessário recorrer a métodos numéricos que fornecem soluções aproximadas controladas por erros préfixados Existem os erros relativos e os erros absolutos O método da bissecção visa dividir o intervalo do domínio da função sempre ao meio com o intuito de diminuir o intervalo até que se obtenha um intervalo menor com amplitude menor que o erro préfixado O método NewtonRaphson apresenta melhor convergência ou seja um número menor de iterações se comparado com o método da bissecção para obter as aproximações das raízes Para obter zero de polinômios utilizamos a associação do método de NewtonRaphson e o algoritmo de BriotRuffini Horner Para a obtenção de soluções de sistemas lineares existem Tópicos de cálculo numérico U1 45 métodos diretos que possibilitam a solução exata e os métodos iterativos que possibilitam soluções aproximadas de acordo com um erro préfixado O método de eliminação de Gauss se sustenta matematicamente no Teorema I e consiste em transformar a matriz associada ao sistema em uma matriz triangular superior Os métodos GaussJacobi e GaussSeidel diferem no momento em que calculamos as aproximações GaussJacobi trabalha integralmente com a aproximação inicial ou obtida na iteração anterior enquanto GaussSeidel promove a substituição das aproximações das incógnitas pelas que foram calculadas na iteração A obtenção de inversa de matrizes se dá pela aplicação de operações elementares semelhante à eliminação de Gauss em que se tem por objetivo transformar a matriz que se quer calcular na matriz identidade Nesta unidade você conheceu alguns tópicos de cálculo numérico Os conhecimentos apresentados foram os mais recorrentes e elementares na aplicação de métodos numéricos em situações de pesquisa É de suma importância que você realize a leitura dos textos e acesse os vídeos da seção para saber mais visando aprofundar seu conhecimento sobre os conteúdos É importante também que você acesse a bibliografia consultada para a elaboração da unidade na qual poderá encontrar mais exemplos e exercícios para resolver 1 A função ℜ ℜ f x x x 2 3 4 descreve o movimento realizado por um móvel Sabese que antes do referencial Tópicos de cálculo numérico U1 46 adotado o móvel já tinha realizado algum movimento Considere o intervalo de tempo I 5 3 5 Assinale a alternativa que apresenta uma aproximação para essa raiz pelo método da bissecção considerando ε 0 01 a Aproximadamente 4015625 b Aproximadamente 395452 c Aproximadamente 4251563 d Aproximadamente 392478 e Aproximadamente 4458787 2 A função C x x x 5 3 2 4 descreve o custo total de certo produto Sabese que no intervalo I 0 1 2 há um zero dessa função Assinale a alternativa que apresenta uma aproximação para o zero por meio do método Newton Raphson Considere ε 0 01 e x0 0 5 a Aproximadamente 1232323 b Aproximadamente 0989989 c Aproximadamente 1002387 d Aproximadamente 1101010 e Aproximadamente 0968881 3 André foi ao supermercado e comprou dois pacotes de biscoito salgado e um pacote de biscoito doce O total de sua compra foi de dez reais Gabriel por sua vez também foi ao mesmo mercado logo após André e comprou os mesmos produtos mas com quantidades variadas comprou um pacote de biscoito salgado e mais três pacotes de biscoito doce pagando quinze reais em sua compra Utilizando o método da eliminação de Gauss assinale a alternativa que apresenta o preço do biscoito salgado e do biscoito doce a O biscoito doce custa R 400 cada pacote e o salgado R 300 b O biscoito doce custa R 400 cada pacote e o salgado R 200 c O biscoito doce custa R 200 cada pacote e o salgado R 300 d O biscoito doce custa R 600 cada pacote e o salgado R 300 e O biscoito doce custa R 400 cada pacote e o salgado R 800 Tópicos de cálculo numérico U1 47 4 Considere a matriz A 12 7 5 3 e sua inversa A1 Analise as afirmações apresentadas na sequência e assinale a alternativa que apresenta a relação correta entre ambas I A 1 3 7 5 12 pois II A A I 1 a As afirmativas I e II são verdadeiras mas II não justifica I b A afirmativa I é verdadeira e a II é falsa c A afirmativa II é verdadeira e a I é falsa d A afirmativa I é verdadeira e a II é falsa e II é contraexemplo de I e As afirmativas I e II são verdadeira e II justifica I 5 Considere o sistema linear x y x y 3 3 3 Assinale a alternativa que apresenta a solução aproximada para esse sistema considerando ε 0 05 e x 0 1 1 pelo método de GaussJordan a Aproximadamente x 1 318519 1 518519 b Aproximadamente x 1 318519 1 318519 c Aproximadamente x 1 518519 1 318519 d Aproximadamente x 1 518519 1 518519 Tópicos de cálculo numérico U1 48 e Aproximadamente x 1 218519 1 818519 U1 49 Tópicos de cálculo numérico Referências FRANCO N B Cálculo numérico São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 503 p GERÔNIMO J R FRANCO V S Fundamentos de matemática uma introdução à lógica matemática teoria dos conjuntos relações e funções 2 ed Maringá Eduem 2008 296 p RUGGIERO M A G LOPES V L R Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais 2 ed São Paulo Makron Books 1996 406 p STEINBRUCH A WINTERLE P Álgebra linear 2 ed São Paulo Pearson Makron Books 2005 583 p Como podemos definir a equação da reta que seja um bom ajuste aos dados Unidade 2 A interpolação é um tópico do cálculo numérico que auxilia no estudo de funções e na análise de dados sendo uma ferramenta importante na resolução de problemas Nesta seção trataremos de diferentes tipos de interpolação destacaremos a linear a quadrática e a polinomial Seção 1 Tipos de interpolação Objetivos de aprendizagem Nesta unidade temos como objetivo tratar sobre interpolação Iremos apresentar diferentes técnicas para esse tipo de procedimento de cálculo numérico Abordaremos também o conceito de método dos mínimos quadrados que pode ser outra alternativa para resolução de problemas em matemática Ao final desta unidade esperamos que você aluno compreenda as definições e propriedades referentes a esses tópicos assim como os métodos de interpolação por meio de resolução de sistemas de equações o método de Lagrange a forma de Newton e o ajuste de curvas por meio do método dos mínimos quadrados Os conceitos e as propriedades apresentados nesta unidade são de grande aplicabilidade em outras áreas como a administração a economia e as engenharias por permitir a análise de dados e possibilitar tomadas de decisões Esperamos que você aproveite e tenha bons estudos Debora Cristiane Barbosa Kirnev Interpolação e ajustes de curvas Interpolação e Ajustes de Curvas U2 52 Ao coletarmos dados ou estudarmos o valor aproximado de uma função a interpolação pode não ser a melhor solução para a análise desses dados podendo ser viável realizar o ajuste de curvas Nessas situações recorremos por exemplo ao método dos mínimos quadrados que será abordado posteriormente nesta seção Seção 2 Ajustes de curvas pelo método dos mínimos quadrados Interpolação e Ajustes de Curvas U2 53 Introdução à unidade Nesta unidade trataremos de elementos relacionados com procedimentos numéricos de cálculos como a interpolação e o método dos mínimos quadrados Essas técnicas ajudam a interpretar os dados entretanto há uma margem de erro na sua aplicação Na primeira seção trataremos da interpolação linear exemplificando os procedimentos de cálculo que recorrem à resolução de um sistema de equações Posteriormente apresentaremos a definição e um exemplo de interpolação quadrática que resolve de modo análogo à linear Após esses exemplos generalizaremos o processo de interpolação por meio da resolução de sistemas de equações e apresentaremos outras duas técnicas que não recorrem a resoluções de sistemas que são denominadas interpolação de Lagrange e forma de interpolação de Newton Na segunda seção estudaremos sobre o ajuste de curvas sendo essa uma técnica de cálculo numérico usada para a partir de dados coletados ou obtidos realizar extrapolações e a forma adotada para isso é o método dos mínimos quadrados Aprofunde os conhecimentos adquiridos aproveitando ao máximo o conteúdo disponibilizado neste material Interpolação e Ajustes de Curvas U2 54 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 55 Seção 1 Tipos de interpolação Introdução à seção Primeiramente precisamos compreender o que é uma interpolação Trata se de um método que a partir de um conjunto de dados discretos obtido por exemplo por meio da coleta de dados construímos um novo conjunto associado a uma regra de formação para esses dados Essa técnica é aplicada em áreas como engenharias ou tratamento de informação dando suporte às análises estatísticas pois por meio da obtenção de dados e de amostras realizamos a interpolação e encontramos uma função que se adeque aos dados da amostra Dessa forma realizamos a interpolação a fim de obtermos funções mais simples Por exemplo se tivermos uma função exponencial com coeficientes complexos podemos determinar uma função polinomial obtida por meio de dados da função de origem ou seja a exponencial e desse modo temos uma função mais simples para calcularmos novos dados Nessa aplicação não obteremos os mesmos resultados da função original porém o resultado é aproximado e teremos que verificar a viabilidade da interpolação por meio do estudo do erro Se o erro for aceitável podemos simplificar as operações por meio da interpolação da função Além disso podemos realizar a reconstituição de uma função se conhecermos alguns pares ordenados pertencentes à função de origem Realizando a interpolação teremos uma ideia do comportamento dessa função na qual se perdeu a representação gráfica ou não se conhece a lei da função 11 Polinômios e funções polinomiais Vamos primeiramente retomar os conceitos de polinômios e funções polinomiais Vejamos Sabemos que um polinômio com coeficientes reais na variável x é uma função que denotamos por f R R com domínio e contradomínio real definida por px ao a1x a2x² a3x³ anxn em que ao a1 a2 an são números reais denominados coeficientes do polinômio Observamos que o coeficiente ao a0x0 é o termo constante Podemos determinar o grau de um polinômio p px não nulo por meio do expoente de Interpolação e Ajustes de Curvas U2 56 seu termo dominante Denominamos termo dominante aquele que possui o mais alto grau com o coeficiente não nulo Temos as seguintes características aplicadas aos polinômios 1º Se um polinômio nulo não possui grau não terá termo dominante 2º Se tivermos o coeficiente do termo dominante valendo 1 teremos um polinômio denominado mônico 3º Um polinômio pode ser ordenado de acordo com suas potências em ordem crescente ou decrescente 4º Se existir algum coeficiente nulo em um polinômio este será denominado incompleto 5º Se um polinômio for incompleto de grau n temos que o número de termos será menor ou igual a n 6º Temos um caso de polinômio completo quando há potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante 7º O número de termos de um polinômio completo será exatamente n1 Qual é a diferença entre constante incógnita e variável na aplicação de elementos algébricos Outro conceito que precisamos retomar é o de função polinomial lembrando que função é uma regra de correspondência que associa cada elemento x de um certo conjunto chamado de domínio da função a um único elemento y em um outro conjunto de contradomínio da função GERÔNIMO FRANCO 2006 p 176 Apresentaremos a seguir exemplos de funções polinomiais definidas de f RR Função afim esse tipo de função possui a estrutura definida por fx ax b Se b0 temos um caso particular indicado por função linear se a0 temos um caso denominado função constante Nesses casos ao representarmos essa função no plano cartesiano obteremos um gráfico de uma reta Vejamos o gráfico da função fx 2x 5 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 57 Figura 21 Exemplo de função afim Fonte elaborada pelo autor Função quadrática esse tipo de função possui a estrutura definida por fx ax² b x c em que a 0 Nesse tipo de função temos um gráfico formado por uma curva que denominamos parábola com aplicações em diferentes áreas como cinemática radares antenas parabólicas e faróis de carros Vejamos o gráfico da função gx x² 3x 1 Figura 22 Exemplo de função quadrática Fonte elaborada pelo autor Função cúbica esse tipo de função possui a estrutura definida por fx ax³ bx² cx d em que a 0 Observamos que esse tipo de função possui ao menos uma raiz podendo no máximo ter três raízes Vejamos o gráfico da função hx 2x³ x² 4x 1 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 58 Figura 23 Exemplo de função cúbica Fonte elaborada pelo autor Outro modo de denominarmos as funções polinomiais é de acordo com o grau do monômio dominante da função ou seja a função afim também é denominada função de primeiro grau enquanto a função quadrática também é denominada função de segundo grau Vimos no decorrer do curso de matemática o uso de tecnologias como o programa GeoGebra Para fortalecer seu aprendizado explore as diferentes representações gráficas de funções por meio desse programa assista ao vídeo tutorial indicado a seguir como base para desenvolver essa atividade Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvxyHDqZJPeLQ Acesso em 2 ago 2016 12 Interpolação linear A interpolação linear consiste em interpolar um conjunto de dados ou uma função a partir de dois pares ordenados Vejamos a sistematização desse conceito Considere dois pares ordenados distintos de uma função fx ou seja x0 y0 e x1 y1 Determinaremos um novo par ordenado x y de modo que x esteja compreendido Interpolação e Ajustes de Curvas U2 59 entre x0 e x1 e consequentemente y esteja compreendido entre y0 e y1 Faremos isso por meio da interpolação polinomial que nesse caso resulta em um gráfico de uma função de primeiro grau e a denominaremos interpolação linear Observamos que o grau do polinômio interpolador é uma unidade a menos do que o número de adotados Como utilizamos dois pontos temos um polinômio interpolador de grau 1 Recorrendo à definição de polinômios e adotando a ordem decrescente temos p x a x a 1 0 Temos que y px assim para determinarmos o polinômio interpolador temos que resolver o sistema linear adotando os pontos x0 y0 e x1 y1 que são elementos conhecidos ou seja a x a y a x a y 1 0 0 0 1 1 0 1 Nesse sistema os valores de a0 e a1 são desconhecidos ou seja são as incógnitas desse sistema de equações Sendo assim a matriz dos coeficientes é dada por A x x 0 1 1 1 Analisando o determinante dessa matriz temos que det A x0 x1 Se o determinante for diferente de zero o sistema terá solução ou seja se x0 x1 0 ou ainda x0 x1 Desse modo se adotarmos pontos distintos para realizarmos a interpolação encontraremos uma única solução para o sistema Exemplo considere a função fx senx x 2 Sabendo que os pares ordenados 0 2 e 3 5 são pontos pertencentes a essa função qual é a função resultante da interpolação linear por esses pontos Solução representando o problema graficamente temos o seguinte Interpolação e Ajustes de Curvas U2 60 Figura 24 Exemplo de interpolação linear Fonte elaborada pelo autor Simplificando o processo de interpolação linear temos que determinar a equação da reta que passa pelos pontos 0 2 e 3 5 Para isso aplicaremos o método descrito anteriormente e a equação da reta resulta na função px Vejamos 1º Determinamos o sistema de equações 0 2 3 5 1 0 1 0 a a a a 2º Da primeira equação podemos concluir que a0 2 substituindo esse valor na segunda equação temos 3 2 5 1a 3 5 2 1a 3 3 1a a1 1 3º Concluímos que a função px x 2 que será o polinômio interpolador da função fx senx x 2 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 61 Existem outras técnicas para determinar a equação da reta por dois pontos e consequentemente o polinômio interpolador Acesse o link indicado a seguir e aprofunde seu conhecimento httpwww matematicapucminasbrprofswebfabianocalculo1linearespdf Acesso em 2 ago 2016 13 Erro de truncamento Ao realizarmos a interpolação de uma função estamos sujeitos a uma margem de erro Analisaremos a situação que denominamos erro de truncamento ET Considere fx uma função na qual será aplicada a interpolação em que indicamos por px o polinômio interpolador Temos que esse tipo de erro é obtido por meio de E x x x x x f T 0 1 2 ε Considere x um ponto pertencente ao intervalo interpolado e x0 x1 pontos pertencentes à interpolação Quanto a f ε é a segunda derivada da função interpolada Aplicando a fórmula temos que o erro máximo aceitável denominado cota máxima para o erro de truncamento é definido por E x x x x x f T 0 1 2 ε Graficamente temos que Figura 25 Erro de truncamento para interpolação linear Fonte elaborada pelo autor Interpolação e Ajustes de Curvas U2 62 Observe que na representação gráfica a diferença do valor real e do valor aproximado será o erro da interpolação Comparando com a cota máxima de erro de truncamento podemos validar ou não a interpolação 14 Interpolação quadrática Veremos como realizar uma interpolação por meio de um polinômio interpolador de 2º grau Nesse caso p x a x a x a 2 1 0 ² Temos que y px Assim para determinar o polinômio interpolador teremos que resolver o sistema linear adotando os pontos x0 y0 x1 y1 e x2 y2 que são elementos conhecidos ou seja a x a x a y a x a x a y a x a x a y 2 0 1 0 0 0 2 1 1 1 0 1 2 2 1 2 0 2 ² ² ² Nesse sistema os valores de a0 a1 e a2 são desconhecidos ou seja são as incógnitas desse sistema de equações No Brasil o censo demográfico é realizado de 10 em 10 anos quando obtemos dados precisos sobre a população do país Recorremos à interpolação para estimar o número de habitantes em anos intermediários Veremos a seguir a aplicação desse tipo de interpolação em um exemplo Exemplo indicamos na Tabela 21 o número de habitantes da cidade A em três censos demográficos Tabela 21 Coleta de dados da cidade A Ano 1990 2000 2010 Nº de Habitantes 87750 90160 92590 Fonte elaborada pelo autor Qual era o número aproximado de habitantes da cidade A em 2005 Solução observe que nesse exemplo estamos realizando a interpolação por meio da coleta de dados Podemos representar graficamente os dados Interpolação e Ajustes de Curvas U2 63 Figura 26 Exemplo interpolação quadrática Fonte elaborada pelo autor Intuitivamente podemos deduzir que o número de habitantes em 2005 está estimado no intervalo entre 91 e 92 mil habitantes mas devemos ter mais precisão para esses dados Para estimar o número de habitantes teremos que determinar o polinômio interpolador de segundo grau tal que p x a x a x a 2 1 0 ² sendo a0 a1 e a2 valores desconhecidos Para isso resolveremos o sistema de equações lineares a partir dos pares ordenados x0 y0 1990 87750 x1 y1 2000 90160 x2 y2 2010 92590 Substituiremos esses pares ordenados no sistema linear a seguir a x a x a y a x a x a y a x a x a y 2 0 1 0 0 0 2 1 1 1 0 1 2 2 1 2 0 2 ² ² ² a a a a a a a a 2 1 0 2 1 0 2 1 1990 1990 87750 2000 2000 90160 2010 20 ² ² ² 10 92590 0 a Ajustando o sistema temos Interpolação e Ajustes de Curvas U2 64 3960100 1990 87750 4000000 2000 90160 4040100 2 1 0 2 1 0 a a a a a a a 2 1 0 2010 92590 a a Quais são os métodos aplicados para a resolução desse sistema de equação linear Adotaremos o método da substituição para resolução desse sistema linear Descreveremos o método indicando as etapas de cálculo vejamos 1º Na primeira equação isolaremos a0 isto é a0 87750 3960100a2 1990a1 2º Substituindo a0 na segunda equação e agrupando os termos semelhantes temos 4000000a2 2000a1 87750 3960100a2 1990 a1 90160 39900a2 10a1 87750 90160 39900a2 10a1 90160 87750 39900a2 10a1 2410 3º Isolaremos a1 no resultado anterior 39900a2 10a1 2410 10a1 2410 39900a2 a1 241 3990a2 4º Substituiremos a0 da primeira etapa na terceira equação e agruparemos os termos semelhantes Interpolação e Ajustes de Curvas U2 65 4040100a2 2010a1 87750 3960100a2 1990 a1 92590 80000a2 20a1 87750 92590 80000a2 20a1 92590 87750 80000a2 20a1 4840 5º Substituiremos a1 da terceira etapa no resultado anterior agruparemos os termos semelhantes e determinaremos a2 80000a2 20a1 4840 80000a2 20241 3990a2 4840 80000a2 4820 79800a2 4840 200a2 4820 4840 200a2 4840 4820 200a2 20 a2 01 6º Retomando a1 da terceira etapa e aplicando o resultado anterior temos a1 241 3990a2 a1 241 399001 a1 241 399 a1 158 7º Retomando a0 da primeira etapa e aplicando resultados anteriores temos a0 87750 3960100a2 1990a1 a0 87750 396010001 1990158 a0 87750 396010 314420 a0 6160 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 66 Após determinarmos os coeficientes a0 6160 a1 158 e a2 01 temos entre polinômio interpolador é dado por p x x x 0 1 158 6160 ² Para estimarmos a população de 2005 adotamos x 2005 e substituímos na função de interpolação Vejamos p 2005 0 1 2005 158 2005 6160 ² p 2005 0 1 4020025 316790 6160 p 2005 402002 5 316790 6160 p 2005 91372 5 Analisando o resultado temos que o número aproximado de habitantes na cidade A em 2005 é de 91373 pessoas 15 Interpolação polinomial Vimos anteriormente aplicações da interpolação polinomial para polinômios interpoladores de primeiro e segundo grau Após termos explorado esses conceitos vamos tratar do processo de generalização da interpolação polinomial Em geral podemos entender a interpolação como aproximação de uma função fx por outra função px em geral polinomial Algumas razões para realizarmos esses procedimentos são 1º Estimar dados intermediários por meio de dados conhecidos Vejamos um exemplo a seguir Exemplo adaptado de RUGGIERO LOPES 1988 p 146 a Tabela 22 relaciona a temperatura e o calor específico da água Tabela 22 Coleta de dados de temperatura e calor específico da água Temperatura C Calor específico 20 099907 25 099852 30 099826 35 099818 40 099828 45 099849 50 099878 Fonte adaptada de Ruggiero e Lopes 1988 p 146 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 67 Supondo que se queira calcular a O calor específico da água a 325C b A temperatura para a qual o calor específico é 099837 Para responder a esses itens poderíamos considerar os dados da tabela como pares ordenados cuja variável independente é a temperatura e a variável dependente é o calor específico Teríamos que determinar a função que interpola esses pares ordenados Graficamente temos que Figura 27 Exemplo interpolação polinomial Fonte elaborada pelo autor 2º Lidar com funções cujas operações de diferenciação e integração são inviáveis ou impossíveis de serem efetivadas como a função a seguir f x x e t dt x 3 2 0 Apresentaremos a problemática a respeito da interpolação polinomial Considere a Tabela 23 com n1 pontos distintos tais que Tabela 23 Problema geral da interpolação x fx x0 f x 0 x1 f x 1 x2 f x 2 xn f xn Fonte elaborada pelo autor Interpolação e Ajustes de Curvas U2 68 Interpolar uma função fx implica obter uma função gx de modo que g x f x g x f x g x f x n n 0 0 1 1 Essa problemática pode ser indicada graficamente para n 5 como Figura 28 Problema geral da interpolação Fonte elaborada pelo autor Qual seria a generalização da interpolação polinomial Definiremos em termos gerais a interpolação polinomial Considere os pontos dados na Tabela 23 para realizarmos a aproximação de fx por um polinômio de grau menor ou igual a n isto é p x a a x a x a x n n n 0 1 2 2 De modo que f x p x k n k n k 0 1 2 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 69 Sendo assim de modo análogo ao exposto na interpolação linear e quadrática teremos que resolver um sistema de equações para determinarmos um polinômio interpolador Em termos gerais temos que a a x a x a x f x a a x a x a x f x a o n n o n n 1 0 2 0 2 0 0 1 1 2 1 2 1 1 o n n o n n n n n n a x a x a x f x a a x a x a x f x 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 Nesse sistema as incógnitas são a a a an 0 1 2 Indicando o sistema na forma matricial temos 1 1 1 1 0 0 2 0 1 1 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x n n n n n n n L L L M M M O L a a a a f x f x f x f x n n 0 1 2 0 1 2 Temos que a matriz dos coeficientes é dada por A x x x x x x x x x x x x n n n n n n n 1 1 1 1 0 0 2 0 1 1 2 1 2 2 2 2 2 L L L M M M O L Observe que em cada linha da matriz A temos uma potenciação Nesse caso de coeficientes temos uma matriz de Vandermonde Interpolação e Ajustes de Curvas U2 70 Em uma matriz de Vandermonde os coeficientes estão em progressão geométrica Para saber mais acesse o link e aprofunde seu conhecimento sobre o assunto Disponível em httpsgooglD4Gzka Acesso em 2 ago 2016 Segue que para x0 x1 x2 xn diferentes temos o determinante da matriz dos coeficientes diferentes de zero e o sistema possui uma única solução Assim há um único polinômio interpolador para a função Existe alguma outra forma de determinar o polinômio interpolador além da resolução do sistema de equações Há diferentes formas de representar a interpolação polinomial Anteriormente vimos a interpolação linear e a quadrática a seguir apresentaremos outros métodos para obter o polinômio interpolador 16 Interpolação polinomial de Lagrange A interpolação polinomial de Lagrange é um método de interpolação no qual temos a seguinte estrutura Pnx L0xf0 L1xf1 L2xf2 Lnxfn L x f i i i n 0 Nessa estrutura temos que Lix com i 0 1 2 n são polinômios individuais de grau n em x denominados coeficientes de interpolação de Lagrange Em Pnx os coeficientes de interpolação de Lagrange precisam satisfazer a seguinte condição Lixj 1 0 se i j se i j Interpolação e Ajustes de Curvas U2 71 Sendo assim temos que Lix pode ser definido como Lix x x x x x x x x x x x x x x i i n i i 0 1 1 1 0 1 x x x x x x i i i i i n 1 1 A partir dessa definição podemos verificar que Pnxj L x f f i j j i n j 0 sendo j 0 1 2 n Para ilustrar a interpolação polinomial de Lagrange temos o seguinte exemplo Exemplo construiremos um polinômio cúbico por meio da interpolação de Lagrange que interpola a função fx considerando os seguintes dados indicados na Tabela 24 Tabela 24 Exemplo de interpolação de Lagrange I 0 1 2 3 xi 1 2 3 4 fi 154 058 001 035 Fonte elaborada pelo autor Indicando os dados na estrutura do polinômio interpolador de Lagrange temos P3x 154L0x 058L1x 001L2x 035L3x Temos que determinar os coeficientes de interpolação de Lagrange Aplicando a definição obtemos 1º Determinação de Lox Lox x x x x x x 2 3 4 1 2 1 3 1 4 1 6 2 3 4 Lox 1 6 3 2 6 4 ² x x x x Lox 1 6 5 6 4 ² x x x Interpolação e Ajustes de Curvas U2 72 Lox 1 6 4 5 20 6 24 ³ ² ² x x x x x Lox 1 6 9 26 24 ³ ² x x x 2º Determinação de L1x L1x x x x x x x 1 3 4 2 1 2 3 2 4 1 2 1 3 4 L1x 1 2 3 3 4 ² x x x x L1x 1 2 4 3 4 ² x x x L1x 1 2 4 4 16 3 12 ³ ² ² x x x x x L1x 1 2 8 19 12 ³ ² x x x 3º Determinação de L2x L2x x x x x x x 1 2 4 3 1 3 2 3 4 1 2 1 2 4 L2x 1 2 2 2 4 ² x x x x L2x 1 2 3 2 4 ² x x x L2x 1 2 4 3 12 2 8 ³ ² ² x x x x x L2x 1 2 7 14 8 ³ ² x x x Interpolação e Ajustes de Curvas U2 73 4º Determinação de L3x L3x x x x x x x 1 2 3 4 1 4 2 4 3 1 6 1 2 3 L3x 1 6 2 2 3 ² x x x x L3x 1 6 3 2 3 ² x x x L3x 1 6 3 3 9 2 6 ³ ² ² x x x x x L3x 1 6 6 11 6 ³ ² x x x Para determinarmos o polinômio interpolado temos que substituir os coeficientes de interpolação vejamos P3x 154L0x 058L1x 001L2x 035L3x P3x 154 ³ ² 1 6 9 26 24 x x x 058 1 2 8 19 12 ³ ² x x x 001 ³ ² 1 2 7 14 8 x x x 035 ³ ² 1 6 6 11 6 x x x Aplicando a propriedade distributiva temos P3x ³ ² 1 6 2 31 40 04 6 4 x x x ³ ² 0 29 2 32 5 51 3 48 x x x ³ ² 0 005 0 035 0 07 0 04 x x x ³ ² 0 35 6 0 35 3 55 6 0 21 x x x Agrupando os termos semelhantes temos P3x 0 52 6 0 325 3 55 6 0 21 ³ ² x x x Reescrevendo o polinômio com os coeficientes como frações irredutíveis temos P3x 13 150 13 40 71 120 21 100 x x x ³ ² Interpolação e Ajustes de Curvas U2 74 Representando graficamente o polinômio interpolador obtemos Figura 29 Exemplo da interpolação de Lagrange Fonte elaborada pelo autor 17 Forma de interpolação polinomial de Newton Nesta subseção trataremos de outra forma de determinar o polinômio de interpolação que denominamos interpolação polinomial de Newton Nessa forma não é necessário que os pontos usados sejam igualmente espaçados ou que os valores das abscissas sejam necessariamente em ordem crescente A expressão da forma de Newton é indicada por Em que os coeficientes dn são definidos por As indicações entre colchetes são denominadas diferenças divididas e são definidas por Interpolação e Ajustes de Curvas U2 75 k Sendo o polinômio interpolador determinado por No desenvolvimento dos cálculos utilizamos uma tabela recursiva a título de exemplo indicamos até a ordem 4 Tabela 25 Tabela de diferenças x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4 x0 f x 0 f x x 1 0 x1 f x 1 f x x x 2 1 0 f x x 2 1 f x x x x 3 2 1 0 x2 f x 2 f x x x 3 2 1 f x x x x x 4 3 2 1 0 f x x 3 2 f x x x x 4 3 2 1 x3 f x 3 f x x x 4 3 2 f x x 4 3 x4 f x 4 Fonte elaborada pelo autor Exemplo adaptado de RUGGIERO LOPES 1988 p 160 determinaremos o polinômio que interpole os pares ordenados indicados na Tabela 26 aplicando a forma de Newton Interpolação e Ajustes de Curvas U2 76 Tabela 26 Tabela de dados Fonte elaborada pelo autor x 1 0 2 fx 4 1 1 Solução temos que determinar o polinômio que atende à seguinte estrutura Realizamos o procedimento das diferenças divididas indicadas na Tabela 27 Tabela 27 Exemplo de tabela de diferenças x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 1 4 3 0 1 23 1 2 1 Fonte elaborada pelo autor Segue que f x x f x f x x x 1 0 1 0 1 0 1 4 0 1 3 1 f x x f x f x x x 2 1 2 1 2 1 1 1 2 0 2 2 1 f x x x f x x f x x x x 2 1 0 2 1 1 0 2 0 1 3 2 1 2 3 Substituindo no polinômio indicado anteriormente temos P x x x x 2 4 3 1 2 3 1 P x x x x 2 2 4 3 3 2 3 2 3 P x x x 2 2 1 7 3 2 3 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 77 Assista ao vídeo que explica os termos notacionais e os procedimentos de diferenças divididas de Newton e aprofunde seu conhecimento Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvfr1oGgA7QxU Acesso em 4 ago 2016 1 Por meio da resolução de sistema de equação encontre o polinômio que interpole os pontos da tabela Tabela 28 e confronte os métodos lembrando que ambos têm que dar o mesmo resultado Tabela 28 Tabela de dados Fonte Ruggiero e Lopes 1988 p 160 x 1 0 2 fx 4 1 1 2 Qual é a margem de erro cometida ao estimar o logaritmo natural de 2 utilizando a interpolação linear e interpolando entre ln10 e ln617917595 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 78 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 79 Seção 2 Ajustes de curvas pelo método dos mínimos quadrados Introdução à seção Na seção anterior tratamos da interpolação no contexto em que os pontos dados são pertencentes à função interpoladora Porém há situações em que desejamos avaliar um ponto não pertencente ao intervalo de dados Nesse caso precisamos de uma função que extrapole esses dados O procedimento numérico aplicado é o ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados Outra aplicação para esse método é para o tratamento de informação obtida por um experimento físico ou por meio de uma pesquisa Nesse segundo caso surge a necessidade de uma função que seja um bom ajuste para os dados porém que tenha uma margem de erro aceitável para a análise de dados não tabelados 21 Dedução do método dos mínimos quadrados Nesse método procuramos ajustar uma curva que se adapte aos dados disponibilizados Determinada uma função para esses dados podemos calcular valores não pertencentes aos dados iniciais Exemplo considere os pares ordenados obtidos de uma função na qual se desconhece a lei de formação Tabela 29 Tabela de dados f x 13 34 51 68 80 f x 20 42 38 61 58 Fonte elaborada pelo autor Considerando esses dados podemos por exemplo realizar uma aproximação do valor real da função para fx 10 a partir do ajuste de curvas Ao construirmos a representação gráfica desses dados temos o seguinte Interpolação e Ajustes de Curvas U2 80 Figura 210 Diagrama de dispersão Fonte elaborada pelo autor Para resolver esse exemplo precisamos encontrar uma função φ x que seja um bom ajuste para os dados de fx Analisando o diagrama temos que definir uma função podemos notar que uma reta seria adequada para esses dados assim teremos que determinar uma função tal que φ α α x x 1 2 Primeiramente definiremos k 1 2 3 m em que m é o número de pontos indicados na tabela O desvio ou seja a distância dos pontos iniciais até a reta é dado por d f x x k k k φ Uma forma de definirmos a reta é minimizando o somatório dos desvios isto é minimizar dk k m 1 Temos que o valor de dk pode ser tanto positivo quanto negativo desse modo o somatório não seria adequado para os desvios Uma maneira seria recorrer à soma dos valores absolutos de dk ou seja dk k m 1 Porém lidar com esse tipo cálculo que envolve valor absoluto pode ser complexo Outra solução é o somatório dos desvios ao quadrado que definimos por D d f x x k k m k k k m 2 1 1 2 φ No caso do exemplo apresentado teríamos o ajuste por uma reta dada por φ α α x x 1 2 Ao substituirmos na equação dos desvios ao quadrado temos que D k1mdk2 k1mfxkφxk2 k1mfxkα1α2xk2 Fα1α2 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 82 x x x f x k k m k k m k k k m α α 1 1 2 2 1 1 Com esse procedimento obtemos um sistema de equações lineares denominadas equações normais Retomando os dados do exemplo apresentado anteriormente e resolvendo os somatórios temos que x f x k k k 1 5 1 3 3 4 5 1 6 8 8 0 24 6 2 0 5 2 3 8 6 1 5 8 22 9 1 3 3 4 5 1 6 8 8 0 14 1 5 2 2 2 1 5 2 2 2 k k k x 9 5 1 3 2 0 3 4 5 2 5 1 3 8 6 8 1 5 x f x k k k 6 1 8 0 5 8 127 54 Substituindo os valores obtidos nos somatórios na equação normal temos que 5 24 6 24 6 149 5 22 9 127 54 1 2 α α Resolvendo o sistema de equações obtemos α1 201 e α2 0522 Assim a função que determina a reta que melhor aproxima fx é dada por φ α α x x 1 2 Com a equação da reta obtida podemos realizar projeções de valores fora do intervalo dado Observamos que a função a ser ajustada não é necessariamente uma reta para identificarmos o tipo de função adequada para os dados precisamos analisar o diagrama de dispersão 22 Forma geral do método dos mínimos quadrados Temos que obter uma função φ x resultante de Interpolação e Ajustes de Curvas U2 83 φ α α α α x g x g x g x g x n n 1 1 2 2 3 3 Considerando os pares ordenados que são os dados da aplicação do método dos mínimos quadrados tal que Tabela 210 Tabela de dados de uma função qualquer Fonte elaborada pelo autor x1 x2 x3 xm f x 1 f x 2 f x 3 f xm Temos que determinar os coeficientes α j sendo j n 1 de modo que a função φ α α α α x g x g x g x g x n n 1 1 2 2 3 3 se ajuste ao máximo em f x Obtendo os desvios mínimos para essa função ou seja D d f x x k k m k k k m 2 1 1 2 φ Os coeficientes que permitem que φ x se ajuste ao máximo de fx são aqueles que minimizaram a função F f x x f x g x g x n k k k m k k k α α α φ α α 1 2 1 2 1 1 2 2 αn n k k m g x 1 2 Para determinarmos esses coeficientes realizamos as derivadas parciais e igualamos a zero Nos pontos de temos que F j n α j 0 1 Ao derivarmos a função F obtemos F f x g x g x g x g x j k k k n n k j k k α α α α 2 1 1 2 2 1 1 m j n Considerando as derivadas que devem ser igualadas a zero obtemos f x g x g x g x g x j k k k n n k j k k m α α α 1 1 2 2 1 0 1n Ou seja Interpolação e Ajustes de Curvas U2 84 f x g x g x g x g x f x k k k n n k k k m k α α α 1 1 2 2 1 1 0 α α α α 1 1 2 2 2 1 1 0 g x g x g x g x f x k k n n k k k m k g x g x g x g x k k n n k n k k m 1 2 2 1 0 α α Isolando as variáveis obteremos g x g x g x g x g k k k m k k k m n 1 1 1 1 2 1 1 2 α α x g x f x g x g x g x k k k m n k k k m k k k m 1 1 1 1 1 2 1 α α α 1 2 2 1 2 2 1 g x g x g x g x k k k m n k k k m α α n k k k m k n k k m k f x g x g x g x g x g 2 1 1 1 1 2 n k k m n k n k k m n k n x g x g x f x g 1 2 1 α α xk k m 1 Essa equação é parte de um sistema de equações que ao adotarmos a representação matricial indicamos por a a a a a a a a a n n n n nn n 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 L L M M O M L M α α α b b bn 1 2 M Em que os valores dos elementos da matriz de coeficientes e dos termos independentes são obtidos por meio de a a g x g x para i n e j n ij ji i k k m j k 1 1 1 b f x g x para i n i k k m i k 1 1 Sendo n a quantidade de termos da função φ x a ser ajustada e m a quantidade de pontos conhecidos Interpolação e Ajustes de Curvas U2 85 Podemos comparar dois ajustes de curvas para a mesma tabela de dados Exemplo a partir dos dados indicados e do diagrama de dispersão realize os seguintes ajustes de curvas por meio do método dos mínimos quadrados a Uma reta do tipo φ α α x x 1 2 b Uma parábola do tipo φ α α α x x x 1 2 3 2 Tabela 211 Exemplo de ajuste de curvas X 1 2 3 4 5 6 7 8 fx 05 06 09 08 12 15 17 20 Fonte elaborada pelo autor Figura 211 Representação dos dados Fonte elaborada pelo autor Solução iniciamos a resolução construindo uma tabela para cálculo dos dados Tabela 212 Exemplo de ajuste de curvas Dados tabelados xk 1 2 3 4 5 6 7 8 36 f xk 05 06 09 08 12 15 17 20 92 xk 2 1 4 9 16 25 36 49 64 204 xk 3 1 8 27 64 125 216 343 512 1296 xk 4 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 8772 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 86 Item a Temos que determinar φ α α x x 1 2 o que implica g x g x x 1 2 1 vejamos a k 11 2 1 8 1 8 a a xk k 12 21 1 8 1 36 a xk k 22 2 1 8 204 b f xk k 1 1 8 1 9 2 b x f x k k k 2 1 8 50 5 8 36 36 204 9 2 50 5 1 2 α α α α 1 2 0 175 0 21667 A equação da reta ajustada é dada por φ x x 0 175 0 21667 Item b Temos que determinar φ α α α x x x 1 2 3 2 o que implica g x g x x e g x x 1 2 3 2 1 vejamos a k 11 2 1 8 1 8 a a xk k 12 21 1 8 1 36 a a xk k 13 31 2 1 8 1 204 a xk k 22 2 1 8 204 x f x k k 05 12 27 32 60 90 119 160 505 x f x k 2 k 05 24 81 128 300 54 833 128 3191 Fonte elaborada pelo autor Interpolação e Ajustes de Curvas U2 87 a a x x k k k 23 32 2 1 8 1296 a x x k k k 33 2 2 1 8 8772 b f xk k 1 1 8 9 2 b x f x k k k 2 1 8 50 5 b x f x k k k 3 2 1 8 319 1 Obtemos o seguinte sistema linear 8 36 204 36 204 1296 204 1296 8772 9 2 50 1 2 3 α α α 5 319 1 α α α 1 2 3 0 40714 0 07738 0 01548 A equação da parábola ajustada é dada por φ x x x 0 40714 0 07738 0 01548 2 Observamos que para a verificação do melhor ajuste podemos calcular a soma dos desvios quadráticos Na reta obtemos dk k 2 1 8 0 08833 Na parábola obtemos dk k 2 1 8 0 04809 Sendo assim a parábola será o ajuste de curva mais adequado para os pontos indicados na tabela Interpolação e Ajustes de Curvas U2 88 Considere os dados da função indicados na Tabela 213 para resolver as atividades propostas 1 Realize o diagrama de dispersão dos dados indicados na tabela e analise que tipo de curva se ajusta aos dados 2 Por meio do método de mínimos quadrados defina a equação da curva que seja adequada para o ajuste dos pontos indicados na tabela Acesse o link a seguir e veja outros exemplos resolvidos pelo método dos mínimos quadrados Disponível em httpwwwmatufmgbr gaalaplicacoesquadradosminimospdf Acesso em 6 ago 2016 Tabela 213 Tabela de dados X 10 075 06 05 03 00 02 04 05 07 1 fx 20 1153 045 04 05 00 02 06 0512 12 205 Fonte elaborada pelo autor Nesta unidade você aprendeu sobre Interpolação linear Interpolação quadrática Forma de Lagrange para interpolação Forma de Newton para interpolação Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados Interpolação e Ajustes de Curvas U2 89 Nesta unidade lidamos com conceitos relacionados à interpolação e ao ajuste de curvas Tivemos como objetivo a partir do tema definido tratar dos processos numéricos envolvidos na interpolação e no ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados Esperamos que você tenha compreendido esses conteúdos importantes e suas aplicações nas diferentes áreas sendo os tópicos abordados ferramentas que auxiliam no tratamento de dados sejam de outras funções ou por meio de coleta Aprofunde os conteúdos apresentados complemente seus estudos com as leituras sugeridas pense e busque respostas para as questões de reflexão Realize as atividades de aprendizagem tanto da seção quanto da unidade 1 Qual é a principal diferença entre a interpolação e o método dos mínimos quadrados 2 Utilizando a interpolação pela forma de Newton interpole os pares ordenados indicados na Tabela 214 e estime ln2 Tabela 214 Tabela de dados x 1 4 6 5 fx 0 13862944 17917595 16094379 Fonte elaborada pelo autor 3 Qual é a margem de erro na interpolação realizada no Exercício 2 Interpolação e Ajustes de Curvas U2 90 4 Escolha outro método de interpolação seja pela resolução de sistemas de equações seja pela interpolação de Lagrange e apliqueo nos dados do Exercício 2 Realize novamente o procedimento para confrontar os resultados determinando o polinômio reduzido 5 Utilize o método dos mínimos quadrados para ajustar a função cujos pares ordenados e diagrama de dispersão são indicados a seguir Ajuste a curva para uma função tipo φ α α α x x x 1 2 3 2 Tabela 215 Tabela de dados x 10 075 06 05 03 00 02 04 05 07 1 fx 20 1153 045 04 05 00 02 06 0512 12 205 Fonte adaptada de Ruggiero e Lopes 1988 p 193 Figura 212 Representação dos dados Fonte adaptada de Ruggiero e Lopes 1988 p 193 U2 91 Interpolação e Ajustes de Curvas Referências GERÔNIMO J R FRANCO V S Fundamentos de matemática uma introdução à lógica matemática teoria dos conjuntos relações e funções Maringá EdUEM 2006 RUGGIERO M A G LOPES V L R Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais São Paulo McGrawHill 1988 Nesta seção você estudará métodos para aproximar a função integrando por meio de fórmulas fechadas de NewtonCotes Além disso nesta mesma seção iremos estudar as fórmulas de quadratura gaussiana Seção 1 Fórmulas de NewtonCotes e quadratura gaussiana Objetivos de aprendizagem Esta unidade objetiva dar sequência ao estudo de métodos de resolver problemas numéricos essenciais destacando os métodos para aproximar a função integrando Além disso no mesmo sentido objetiva apresentar métodos numéricos para determinar a solução de equações diferenciais Keila Tatiana Boni Unidade 3 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias Nesta seção você estudará métodos numéricos para resolução de problemas de valor inicial e problemas de valor de contorno em equações diferenciais ordinárias O problema principal a ser tratado é encontrar uma função y que satisfaça uma equação diferencial e algumas condições específicas Seção 2 Problemas de valor inicial e equações de ordem superior em problemas de valor de contorno Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 94 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 95 Introdução à unidade Nesta unidade você terá a oportunidade de alcançar o nível de conhecimento necessário para resolver problemas complexos com garantia de resultados precisos Começamos dando sequência a problemas numéricos essenciais em que abordamos métodos para aproximar a função integrando por meio de fórmulas de NewtonCotes e de quadratura Gaussiana Em seguida estudaremos métodos de solução de equações diferenciais parciais uma vez que nem sempre é possível obter a solução analítica de uma EDO Assim são os métodos numéricos que possibilitam encontrar uma solução aproximada Tal abordagem será realizada considerando tanto os problemas de valor inicial quanto os problemas de valor de contorno Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 96 Fórmulas de NewtonCotes e quadratura gaussiana Introdução à seção Nesta seção você estudará alguns métodos numéricos para calcular a integral definida de uma função por aproximação quando uma função de uma variável real limitada e contínua enquadrase em casos como não conhecimento da expressão analítica da função integrando mas apenas os valores dessa função o que impede a resolução a partir de técnicas de integração e quando mesmo conhecendo a expressão analítica da função integrando o cálculo da função primitiva apresentase como algo muito trabalhoso 11 Integração numérica Você provavelmente se recorda que se uma função fx é contínua em um intervalo a b então essa função tem uma primitiva nesse intervalo Em outras palavras para a função fx nessas condições existe Fx que é o que denominamos primitiva tal que Fx fx Assim temos a integral definida dessa função nesse intervalo que é dada por ba fxdx FbFa Contudo existem alguns casos em que não conseguimos expressar essa primitiva de maneira trivial o que dificulta e muitas vezes até impossibilita o cálculo dessa integral Um exemplo que ilustra essa situação é a função fxex cuja primitiva Fx que se anula para x 0 é chamada função de Gauss Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 98 Comumente chamamos de quadratura a solução numérica de uma integral simples A ideia básica da integração numérica é a substituição da função fx por um polinômio de maneira que este aproxime razoavelmente no intervalo a b Dessa forma o processo de resolução tornase mais simples pois resolveremos o problema por meio da integração de polinômios o que não é tão complicado de fazer Dentre os métodos numéricos existentes nos dedicaremos ao estudo dos mais utilizados os quais de acordo com Barroso et al 1987 p 206 podem ser classificados em dois grupos a As fórmulas de NewtonCotes que empregam valores de fx em que os valores de x são igualmente espaçados b A fórmula de quadratura gaussiana que utiliza pontos diferentemente espaçados em que esse espaçamento é determinado por certas propriedades de polinômios ortogonais Antes de iniciar os estudos desses métodos destacamos que as fórmulas que deduziremos partirão da seguinte expressão 12 Fórmulas de NewtonCotes Começaremos estudando as fórmulas de NewtonCotes Assim vamos considerar a partição do intervalo a b em subintervalos de mesmo comprimento h xi xi 1 sendo i 0 1 n 1 Assim xi 1 xi h b an Chamamos de fórmulas fechadas de NewtonCotes as fórmulas de integração do tipo x0 a xn b e Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 99 Os coeficientes Ai são determinados de acordo com o grau do polinômio aproximador Dentre as fórmulas de NewtonCotes nos dedicaremos ao estudo de dois métodos específicos a regra dos trapézios e a regra 13 de Simpson 121 Regra dos trapézios Para a determinação da regra dos trapézios vamos utilizar a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio p1x que interpola fx em x0 e x1 a b a x b x x x f x dx p x dx x x h f x x x h f x 0 1 0 1 1 1 0 0 1 dx IT Logo Que é a fórmula dos trapézios ou regra dos trapézios em que tal fórmula equivale à área do trapézio de altura h x1 x0 e bases fx0 e fx1 Veja na sequência a interpretação geométrica da regra dos trapézios Figura 31 Representação geométrica da regra dos trapézios a b Fonte httpobaricentrodamenteblogspotcombr201003regradostrapeziosrepetidahtml Acesso em 3 out 2015 Na Figura 31 podemos interpretar a x0 e b x1 e a partir dessa figura é possível entender que ao substituir a área delimitada pelas curvas y fx x x0 x x1 y 0 perceba que o valor de x0x1 fxdx é exatamente essa área pela área do trapézio de altura h e bases fx0 e fx1 cometemos um erro Para expressar esse erro consideramos que pela interpolação polinomial sabemos que fx p1x xx0xx1 fξx2 ξx x0 x1 Integrando a expressão de x0 a x1 temos x1x0 fxdx It x1x0 xx0xx1 fξx2 dx Logo o erro na integração pela regra dos trapézios Er é dado por Er x1x0 xx0xx1 fξx2 dx Para calcularmos essa integral precisamos lembrar inicialmente que fξx é função de x Assim seja gx xx0xx1 então Er 12 x1x0 gxfξxdx Note que para qualquer que seja x x0 x gx 0 e que se fx for continua em x0 x1 existem números reais p e P tais que p fx P e como gx0 0 então p gx gx fξx P gx Da hipótese de fx ser contínua em x₀x₁ e do fato de p A P sabemos que c x₀x₁ tal que fc A ou seja x₀x₁ gxfξₓdx fc x₀x₁ gxdx Essa expressão é o teorema do valor médio para integrais Assim Eₜ 12 x₀x₁ gxfξₓdx 12 fc x₀x₁ gxdxc x₀x₁ Como x₀x₁ gxdx h³ 6 temos Eₜ h³ 12 fcc x₀x₁ Essa é a expressão para o erro que chamamos de erro de truncamento Para melhor compreensão veja o exemplo Exemplo 1 BARROSO et al 1987 p 208 calcular pela regra dos trapézios o valor de Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 102 I dx x 3 0 3 6 Resolução I h f x f x T 2 0 1 Como f x 1 x então f x x 0 0 1 1 3 f x x 1 1 1 1 3 6 h x x 1 0 3 6 3 0 0 6 Logo IT 0 6 2 1 3 1 3 6 0 18333 Cálculo do erro E h f c T ³ 12 Como 3 c 36 então f c f c máx ³ ³ 2 2 3 2 27 E 06³ 12 2 27 1333 10³ Então I 018333 1333 10³ 018200 Além desse método dos trapézios vamos conhecer a regra dos trapézios repetida Questão para reflexão No gráfico você observou um exemplo de intervalo pequeno de integração Será que as ideais e fórmulas apresentadas na regra do trapézio servem da mesma forma para intervalos de integração muito grandes Quais adaptações seriam necessárias na regra do trapézio Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 104 Figura 32 Representação geométrica da regra dos trapézios repetida Fonte httpobaricentrodamenteblogspotcombr201003regradostrapeziosrepetidahtml Acesso em 3 out 2015 Assim como na interpolação polinomial não é possível calcular exatamente f ξ uma vez que não conhecemos o ponto ξ O que podemos fazer em alguns casos é determinar um limitante superior para o erro Assim temos E TR m h f 3 12 ξ Sendo f ξ contínua em a b então existe Assim E mh M TR ³ 2 12 E mh M TR ³ 2 12 Lembrando que m b a h temos Assim x x m m m f x dx h f x f x f x f x f x mh 0 2 2 2 2 0 1 2 1 ³ f ξ 12 e I h f x f x f x f x f x TR m m 2 2 2 2 0 1 2 1 E mh f TR ³ ξ 12 Veja a representação geométrica dessa situação Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 105 E b a h M TR 12 2 ² Saiba mais sobre o método dos trapézios assistindo aos vídeos que podem ser acessados por meio dos links httpswwwyoutubecomwatchviTCJqtVbzAk httpswwwyoutubecomwatchvqK3jDOmQhJg httpswwwyoutubecomwatchvNFyhxmhWg4 e httpswwwyoutubecomwatchvK9GpZCMA6WA Acesso em 28 set 2016 122 Regra 13 de Simpson Para esse método vamos mais uma vez partir da fórmula de Lagrange para desenvolver a fórmula de integração resultante da aproximação de f x por um 1 adaptada de RUGGIERO LOPES 1996 p 301 Seja I e dx x 0 1 Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra dos trapézios repetida estimando o erro cometido Após determinar esse erro assinale a alternativa que apresenta o valor que mais se aproxima do que foi estimado a 022700 b 002270 c 000227 d 000027 e 000002 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 106 polinômio de grau 2 Seja p2 x o polinômio que interpola f x nos pontos x0 a x1 x0 h e x x h b 2 0 2 p x x x x x h h f x x x x x h h f x 2 1 2 0 0 2 1 2 x x x x h h f x 0 1 2 2 Assim a b x x x x x x f x dx f x dx p x dx f x h x x x x 0 2 0 2 0 2 2 0 1 2 2 ² dx Uma maneira de resolver essas integrais é utilizando a mudança de variáveis x x zh 0 Dessa forma dx hdz x x0 zh Então x x x zh x h z h 1 0 0 1 e x x z h 2 2 E ainda Assim com essas mudanças temos A regra de 13 de Simpson é obtida a partir da resolução das integrais da última expressão apresentada Assim temos x x S f x dx h f x f x f x I 0 2 3 4 0 1 2 Da mesma forma que na regra dos trapézios temos uma fórmula que expressa O erro na regra 13 de Simpson em que supomos que f⁴x é contínua em x₀x₂ Eₛ h⁵ 90 f⁴c c x₀x₂ O que podemos notar nessa expressão do erro é que o ganho de potência de h ao passar da aproximação linear para a quadrática foi substancial Esse ganho tornase realmente evidente quando tratamos a regra 13 de Simpson de maneira repetida A regra 13 de Simpson repetida como o próprio nome diz consiste em aplicar a regra de Simpson repetidas vezes no intervalo ab x₀xₘ Suponha que x₀x₁xₘ sejam pontos igualmente espaçados h xₘ1 xₖ e que m seja par Tal como foi feito para a regra dos trapézios é possível demonstrar todo o procedimento de obtenção da fórmula para a regra 13 de Simpson repetida contudo nos limitaremos a conhecer essa fórmula e entender como ela pode ser aplicada a partir da resolução de um exemplo A fórmula utilizada para a regra 13 de Simpson repetida é Eₛₖ bah⁴ 180 M₄ Trabalhando com polinômios de grau n 3n 4 etc é possível deduzirmos fórmulas de integração numérica do mesmo tipo das apresentadas ou seja referidas como NewtonCotes de maneira análoga às estudadas nesta seção Para um n qualquer uma fórmula de NewtonCotes é dada por x0x1fxdx x0x1pnxdx x0x1LfxL0xfx1L1xfxnLnxdx x0x1L0xdx fx0 x0x1L1xdx fx1 x0x1Lnxdx fxn A0fx0A1fx1Anfxn Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 110 Saiba mais sobre métodos de integração numérica no link indicado a seguir Por meio desse link você encontrará diversos vídeos que auxiliarão na compreensão e no aprofundamento de conhecimentos sobre métodos de integração Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvaCBb6Mpcl istPLhfejzdR74jaBaQokXIf3wlAU7vNzIdq2 Acesso em 6 ago 2016 13 Quadratura gaussiana Partindo das observações que foram feitas no final da seção anterior sobre os erros em fórmulas de NewtonCotes vamos iniciar os estudos sobre a quadratura gaussiana A fórmula de Gauss para a integração numérica ou quadratura gaussiana fornece um resultado mais preciso se comparado aos métodos vistos anteriormente para um mesmo número de pontos Assim como você viu nas seções anteriores o problema continua sendo calcular I f x dx a b Uma fórmula de NewtonCotes geralmente é exata para polinômios de grau n A regra 13 de Simpson é uma exceção uma vez que nela n 2 e Você verá agora que é possível deduzirmos outras fórmulas do mesmo tipo que as de NewtonCotes a b n n f x dx A f x A f x 0 0 Em que x0 x1 xn são n 1 pontos distintos Fórmulas como essas são exatas para polinômios de grau 2 1 n e são conhecidas como quadratura gaussiana em que n é o número de pontos Recordando algumas fórmulas temos Além disso da expressão de n temos que de maneira geral essas fórmulas são exatas para polinômios de grau n Nas fórmulas de NewtonCotes os pontos x0xn sobre os quais são construídos os polinômios Lkx são pontos igualmente espaçados prefixados em ab Na quadratura gaussiana o processo é diferente os valores x0xn são mantidos como indeterminados e dessa maneira obtemos fórmulas do mesmo tipo ba fxdx A0fx0Anfxn onde Ak bakxdx k 01n Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 112 Assim determinamos um sistema não linear de quatro equações com quatro incógnitas A A A t At A t At A t At 0 1 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 0 3 1 1 3 2 0 2 3 0 Resolvendo esse sistema obtemos Note que 1 1 0 1 1 0 3 3 3 3 3 3 1 L t dt t dt A e 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 1 L t dt t dt A Em caso de intervalo a b genérico podemos efetuar a mudança de variáveis para t 1 1 corresponde x a b em que Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 113 Veja um exemplo Exemplo 3 adaptada de RUGGIERO LOPES 1996 p 310 calcular 0 10 e dx x Resolução Nesse caso temos a b 0 10 x t 5 5 dx dt 5 f x e x g t e t 5 5 Utilizando a fórmula da quadratura gaussiana com dois pontos temos 0 10 1 1 5 5 5 e dx e dt I x t A A 0 1 1 Logo I A g t A g t e e 5 5 0 0 1 1 5 5 3 3 5 5 3 3 5 0 606102 2 113249 7 886751 e e Com seis casas decimais sabemos que 0 10 0 999955 e dx x Assim o verdadeiro erro com seis casas decimais é erro 0 999955 0 606102 0 393853 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 114 Como o valor do erro obtido no exemplo apresentado pode ser interpretado considerando a regra dos trapézios E a regra de 13 de Simpson Aprofunde seus conhecimentos sobre quadratura de Gauss acessando os links httpswwwyoutubecomwatchvSRjp3Qth4 e httpcivilfeupptpubapoioano5aaepdfApontamentosCap05 QuadratGausspdf Acesso em 7 ago 2016 2 adaptada de BARROSO et al 1987 p 253 Calcule utilizando a quadratura gaussiana com dois pontos o valor da integral dada e a seguir assinale a alternativa que apresenta a resposta correta 2 2 2 e dx x x a 03389 b 00893 c 00398 d 01239 e 00903 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 115 Seção 2 Problemas de valor inicial e equações de ordem superior em problemas de valor de contorno Introdução à seção As equações diferenciais ordinárias EDOs apresentam aplicações em diversas situações como para modelar problemas de ciências e engenharia que envolvam a mudança de alguma variável em relação à outra BURDEN FAIRES 2003 p 218 Podemos entender que as EDOs se fazem necessárias na busca de solução de inúmeros problemas relacionados a diversos tipos de fenômenos Contudo em diversas situações estudar diretamente uma EDO recorrendo simplesmente a procedimentos analíticos próprios desse conceito pode se tornar um processo trabalhoso isso quando possível Nesse sentido por diversas razões que impossibilitam encontrar a solução analítica de uma EDO em diversos problemas há a necessidade de utilizarmos métodos numéricos para determinarmos a solução de equações diferenciais SPERANDIO MENDES SILVA 2014 Nesta seção você estudará métodos numéricos que se referem especificamente ao cálculo da solução numérica de equações diferenciais de primeira ordem ou seja problemas de valor inicial bem como ao cálculo da solução numérica de equações diferenciais de ordem superior ou seja problemas de valor de contorno 21 Equações diferenciais O estudo das equações diferenciais tem grande relevância não apenas na Matemática mas também em diversas outras áreas do conhecimento uma vez que essas equações são muito frequentes em modelos que descrevem fenômenos de maneira quantitativa como mecânica de fluidos reações químicas e nucleares economia etc São chamadas de equações diferenciais as equações que envolvem derivada de funções Quando uma equação diferencial possui apenas uma única variável independente então ela é classificada como equação diferencial ordinária Veja alguns exemplos Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 116 Além disso se observarmos que na equação diferencial está envolvida mais do que uma variável independente consideramos que se trata de uma equação diferencial parcial Por exemplo considerando u u x y ² ² ² ² u x u y 0 Dizemos que uma solução de uma equação diferencial ordinária é uma função da variável independente que satisfaça a equação Logo Assim é possível perceber que uma equação diferencial possui uma família de soluções ao invés de uma única solução apenas A Figura 33 ilustra uma família de soluções para a EDO y y Figura 33 Família de soluções para a EDO y y Fonte httpwwwipbptbalsateachingMA0809PVIEDOspdf Acesso em 4 out 2015 Chamamos de ordem de uma equação diferencial a mais alta ordem de derivação que aparece na equação Assim uma equação diferencial dita ordinária é denominada linear quando a função e suas derivadas aparecem de maneira linear na equação É um exemplo de equação diferencial linear xy x y Como uma equação linear não possui uma única solução para que possamos individualizar uma solução é necessário que sejam impostas algumas condições Vale destacar que uma equação de ordem n requer n condições adicionais tendo em vista uma única solução e essas condições podem ser de diversos tipos Veja alguns exemplos os quais são citados por Ruggiero e Lopes 1996 p 318 y0 1 y4 5 y2 5y3 6 01 sen xyxdx 0 limx yx k Quando temos uma equação de ordem n a função bem como suas derivadas até a ordem de n 1 são especificadas em um único ponto Nesse caso dizemos que se trata de um problema de valor inicial PVI como no exemplo a seguir yx y y0 1 Em contrapartida se em problemas envolvendo equações diferenciais ordinárias de ordem n n 2 as n condições estabelecidas para a busca da solução única não são todas elas dadas em um único ponto então temos um problema de valor de contorno PVC RUGGIERO LOPES 1996 Para ilustrar o que é um PVC Ruggiero e Lopes 1996 apresentam como exemplo uma barra de comprimento L sujeita a uma carga uniforme q Se no ponto x0 0 essa barra está presa e em xL L ela está apenas apoiada esse problema pode ser descrito por meio de um problema de contorno yIVx kyx q y0 y0 0 yL yL 0 22 Problemas de valor inicial PVI Devido à dificuldade de obtemos de maneira analítica soluções para equações diferenciais destacamos a relevância de conhecermos métodos numéricos para aproximar soluções de problemas de valor inicial PVI Assim não sabemos de maneira exata a expressão analítica da solução mas em geral algo sabemos de antemão a teoria em muitos casos nos garante a unicidade e existência de solução Os métodos que você estudará nesta seção estão baseados em Dado o PVI y f xy yx0 y0 Construímos x0 x1 xn que iremos considerar que estão igualmente espaçados ainda que isso não seja condição necessária Em outras palavras xi1 xi h i 01 e calculamos as aproximações yi yxi nesses pontos usando informações anteriores Se para calcular yi utilizarmos apenas yi1 teremos um método de passo simples ou de passo um Agora se forem necessários mais valores teremos um método de passo múltiplo Vamos trabalhar com PVI de primeira ordem nesse momento Assim sendo vamos considerar uma aproximação inicial de yx0 para a solução Logo vamos considerar os métodos de passo um como autoiniciantes enquanto para os métodos de passo múltiplo será necessário recorreremos a alguma estratégia para obtermos aproximações iniciais de forma exata Duas características dos métodos de passo simples podem ser destacadas primeira em geral é necessário calcular o valor de fxy e suas derivadas em muitos pontos e segunda temos dificuldades em estimar o erro 23 Métodos de passo simples 231 Método de Euler Esse método visa obter uma aproximação de um problema de valor inicial bem enunciado y f xy yx0 y0 Pode ser entendido da seguinte maneira como conhecemos x0 e y0 yx0 então sabemos calcular yx0 f x0y0 Assim a reta que passa por x0y0 com coeficiente angular yx0r0x é conhecida r0x yx0 x x0yx0 Escolhido h xk1 xk yx1 y1 r0x1 y0 hyx0 ou seja y1 y0 hfx0y0 O raciocínio é repetido com x1y1 e y2 y1 hfx1y1 E assim sucessivamente o método de Euler nos fornece yk1 yk hfxkyk k 012 Veja um exemplo Exemplo 4 BURDEN FAIRE 2003 suponha que o método de Euler seja utilizado para aproximar a solução do problema de valor inicial y y t² 1 0 t 2 y0 05 Com N 10 Então h 02 ti 02i w0 05 e wi1 wi hwi t i² 1 wi h02wi 004i² 1 12wi 0008i² 02 Para i 019 A solução exata é yt t 1² 05et fechado I que contém os pontos sobre os quais estamos fazendo a discretização então existe Mk1 máx x I yk1x assim temos um majorante para o erro de truncamento Um método numérico é considerado de ordem p quando existe uma constante C de maneira que exn1 Chp1 Em que C pode depender das derivadas da função que define a equação diferencial Logo podemos concluir que os métodos de série de Taylor são de ordem k Assim para aplicar os métodos de Taylor de ordem k yn1 yn yn h yn 2 h2 ykn k hk Temos de calcular yn yn ykn então yx fx yx Então temos yx fxx yx fyx yxy x fx fyf em uma notação simplificada A partir dessa ideia podemos entender que o método da série de Taylor de 2ª ordem será yn1 yn hfxn yn h2 2 fxxn yn fyxn ynfxn yn n 0 1 Assim y fxx fxyf fyx fyyf fyf fyf fyf Perceba que com essa expressão já começa a ficar evidente o quanto os cálculos vão ficando cada vez mais complexos conforme trabalhamos com ordens mais elevadas Note ainda que para cada n n 0 1 temos de calcular todos esses valores Questão para reflexão Antes de dar sequência aos estudos sobre o método de série de Taylor tente desenvolver esse método para a ordem k 1 Observe os resultados e responda que relação é possível estabelecer entre o resultado obtido e o método de Euler Observe o que acontece quando consideramos a série de Taylor para a ordem k 1 yn1 yn hyn Em que exn1 yξxn1 2 h2 Essa última fórmula obtida é o método de Euler que você já estudou nesta seção Assim concluímos que o método de Euler pode ser considerado um método de série de Taylor de ordem 1 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 123 exemplos envolvendo os estudos realizados httpswwwyoutubecomwatchv7zEU4EOkSKk httpswwwyoutubecomwatchvLW9mRkSdlBw httpswwwyoutubecomwatchvEDjbUM0RJ8w httpswwwyoutubecomwatchv6caonHpYCe8 e httpswwwyoutubecomwatchvQvBUr5CGHgA Acesso em 28 set 2016 1 adaptada de SPERANDIO MENDES SILVA 2014 p 232 Usando série de Taylor calcule para x 2 1 a solução da EDO xy x y y 2 2 Em seguida assinale a alternativa que apresenta a melhor aproximação do resultado a 2002378 b 2000378 c 2000278 d 2003278 e 2020378 233 Métodos de RungeKutta De maneira bastante simples você pode entender que o método que apresentaremos agora consiste em aproveitar as vantagens do método de série de Taylor eliminando ao mesmo tempo sua maior desvantagem o cálculo de derivadas de f x y que faz com que o método de série de Taylor seja inaceitável computacionalmente Três propriedades caracterizam os métodos de RungeKutta de ordem p i são de passo um ii não exigem o cálculo de qualquer derivada de fxy pagam por isso o preço de calcular fxy em vários pontos iii após expandir fxy por Taylor para função de duas variáveis em torno de xnyn e agrupar os termos semelhantes sua expressão coincide com a do método de série de Taylor de mesma ordem RUGGIERO LOPES 1996 p 326 Na sequência você conhecerá as subdivisões do método de RungeKutta a Métodos de RungeKutta de 1ª ordem método de Euler Tal como você viu quando desenvolvemos a fórmula do método de série de Taylor para 1ª ordem o método de Euler pode ser considerado um método de série de Taylor de 1ª ordem yn1 yn h y n012 Então yn1 yn h fxnyn n012 Além do método de Euler ser considerado um método de série de Taylor de primeira ordem ele ainda pode ser considerado um método de RungeKutta de ordem p1 pois satisfaz as três propriedades que foram enunciadas no início desta subseção b Método de Euler aperfeiçoado Esse é um método particular de 2ª ordem para o método de RungeKutta que você estudará no próximo tópico C Esse método consiste basicamente em realizar mudanças no método de Euler de maneira a possibilitar a obtenção de um método de ordem mais elevada Observe a Figura 34 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 125 Figura 34 Representação gráfica do método de Euler aperfeiçoado Fonte httpslideplayercombrslide2263168 Acesso em 4 out 2015 Note que o método de Euler aperfeiçoado consiste na utilização da média das inclinações no ponto e no ponto seguinte ao invés de considerar o lugar da inclinação da tangente em um ponto para aproximar o ponto seguinte Partindo dessa ideia e fazendo as devidas demonstrações as quais desconsideramos neste estudo ressaltamos que no caso do método de Euler aperfeiçoado obtemos y y h f x y f x y hf x y hf x y f x y n n n n n n x n n n n y n n 1 2 h f f x y f f x y f xx n n xy n n yy ² 2 2 2 α β α β α β y hf x y h f x y f x y f x y n n n x n n n n y n n ² 2 h f f x y f f x y f xx n n xy n n yy ³ 4 2 2 α β α β α β Se compararmos essa equação com o desenvolvimento de y em série de Taylor será possível chegarmos à conclusão de que o método de Euler aperfeiçoado concorda com o desenvolvimento da série de Taylor até o terceiro termo em h2 Assim podemos justificar que esse método é um método de RungeKutta de segunda ordem o qual você estudará no próximo item c Métodos de RungeKutta de 2ª ordem Partindo da ideia do método de Euler aperfeiçoado podemos entender que este é um método de RungeKutta de 2ª ordem ou seja que pertence a uma classe mais geral de métodos em que yn1 yn h a1 fxnyn h a2 xn b1 h yn b2 h yn Considerando o método de Euler aperfeiçoado temos a1 12 b1 1 a2 12 b2 1 Questão para reflexão Será que o tipo de método apresentado anteriormente pode ser um método de RungeKutta de ordem superior a dois Perceba que temos quatro parâmetros livres a1 a2 b1 e b2 Para que possamos estabelecer concordância entre o último método apresentado e a série de Taylor até os termos de ordem h1 fazse necessário um parâmetro Além disso se considerarmos fxn b1h yn b2h yn calculado pela série de Taylor de fxy em torno de xnyn é possível perceber de maneira análoga que para haver concordância entre a fórmula de Euler aperfeiçoada e a série de Taylor até os termos de ordem h2 são necessários mais de dois parâmetros Logo o último parâmetro que resta não é suficiente para exigir a concordância até os termos de ordem h3 No entanto dispondo de quatro parâmetros disponíveis e apenas três exigências é possível delinear uma infinidade de métodos de RungeKutta da 2ª ordem Em síntese para que haja concordância entre o método de Euler aperfeiçoado e o método de série de Taylor até os termos em h2 precisamos de a1 a2 1 a2 b1 12 a2 b2 12 Temos portanto um sistema de três equações e quatro incógnitas em que podemos escolher um dos parâmetros de maneira arbitrária que nos conduzirá à seguinte forma geral dos métodos de RungeKutta de 2ª ordem yn1 yn h 1w fxnyn w fxn h2 w yn h2 w fxnyn n012 d Métodos de RungeKutta de ordens superiores Partindo das ideias construídas até o momento com relação aos métodos de RungeKutta podemos estendêlas para construir métodos de 3ª e de 4ª ordem e até mesmo para ordens superiores Na sequência elencamos as fórmulas para métodos de RungeKutta de 3ª e 4ª ordens 3ª ordem yn1 yn frac29 k1 frac13 k2 frac49 k3 Em que k1 h fxnyn k2 h fxn frach2 yn frack12 k3 h fxn frac34 h yn frac34 k2 4ª ordem yn1 yn frac16 k1 2k2 2k3 k4 Em que k1 h fxnyn k2 h fxn frach2 yn frack12 k3 h fxn frach2 yn frack22 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 128 k hf x h y k n n 4 3 Apesar das vantagens evidenciadas para os métodos de RungeKutta é importante destacar que apesar de serem autoiniciáveis passo um e não se envolverem com derivadas de f x y o método de RungeKutta apresenta uma desvantagem para esse método não temos uma estimativa simplificada para a determinação do erro algo que poderia ajudar até mesmo na escolha do passo h Veja um exemplo que envolve o método de RungeKutta Exemplo 5 adaptado de RUGGIERO LOPES 1996 p 332 seja o PVI Determine y 2 1 pelo método de Euler com h 0 05 Resolução Temos que y y hf x y n n n n 1 y y h h y x n n n n 1 Aplicando temos y y 2 1 2 y h h x y 1 0 0 1 0 05 1 0 05 2 2 0 05 2 0 05 2 y2120012195 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 130 24 Métodos de passo múltiplo Nos casos anteriores ou seja nos métodos de passos simples você estudou que é necessário obter informações sobre a solução apenas em x xn para encontrar uma aproximação para y x n h em contrapartida os métodos de passos simples exigem ou cálculos de derivadas ou o cálculo de f x y em diversos outros pontos Assim o principal diferencial entre os métodos de passo simples e os de passo múltiplo é que este utiliza informações sobre a solução em mais de um ponto Logo um método de passo múltiplo pode ser considerado de passo s se a cada passo ele utilizar s valores de y Em outras palavras a aproximação yn1 é calculada utilizandose valores yn yn1 yns1 Logo um método de passo s necessita de s valores iniciais os quais podem até mesmo ser obtidos a partir de um método de passo simples Assim percebese que os métodos de passo múltiplo se tornam de certa forma mais complexos ou trabalhosos do que os métodos de passo simples contudo trazem como vantagem o fato de apresentarem resultados mais precisos Inicialmente supomos que conhecemos aproximações para y x em x0 x1 xn e que xi 1 xi hi 01 Vamos conhecer alguns métodos de passo múltiplo os quais estão alicerçados nos princípios de integração numérica denominados métodos de AdamsBashforth A ideia que você precisa ter inicialmente é a de integrar a equação diferencial y f x y desde xn até xn1 Dessa forma teremos y x y x f x y x dx n n x x n n 1 1 O que deve ser feito agora é aproximar a integral dessa expressão por uma fórmula de quadratura numérica que pode ser escolhida por quem estiver desenvolvendo o problema Entre esses métodos destacamos os explícitos e os implícitos a Métodos explícitos Os métodos dessa classe são obtidos a partir do trabalho com xn xn1 xnm para aproximar a integral Essa aproximação poderá ser feita a partir de f x y x pelo polinômio de grau m p x m que interpola f x y em xn xn1 xnm Então yxn1yxnintxnxn1 pmxdx Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 132 Para saber mais sobre os métodos de passo simples e passo múltiplo acesse httpceeumapteduacndocsacnedopdf httpmtmufscbrzambaldiespecializacaoaula12e13ferminpdf e httpwwwdcaufrnbrdiogoFTPdca0304edopdf Acesso em 28 set 2016 25 Equações de ordem superior Antes de iniciarmos esse estudo sobre métodos numéricos para equações de ordem superior é essencial que você compreenda o que são e quais são as diferenças e similaridades com as equações diferenciais ordinárias Para conhecer o que são as equações de ordem superior acesse os links indicados httpswwwyoutubecomwatchv1U3pelqDxO0listPLDE03B0D 5AD616BE1index6 httpwwwmtmufscbrdanielsem105edofarlowsec4pdf httpwwwipbptildareisEnsinoficheirosAM30506AMIII20 20cap202pdf e httpwwwinstructioneducationinfoMechsubnum31pdf Acesso em 28 set 2016 Além dos links você encontra materiais na Biblioteca Digital Não deixe de acessar Agora que você já estudou o que são as equações de ordem superior vamos estudar os métodos numéricos que podem ser considerados nesses casos Antes disso retomando os aspectos principais que você estudou sobre equações diferenciais de ordem superior você deve ter percebido que muitas vezes podemos nos deparar com equações diferenciais de ordem m escritas por exemplo na forma u f x u u u u m m 1 Por exemplo z11 z1uz2 z2uz3 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 134 Y Y h F x Y F x h Y hY n n n n n n n 1 2 Agora no próximo passo fazemos e Assim obtemos que Então Agora visando simplificar essa expressão vamos fazer algumas transformações Para melhor compreensão de todo esse processo que foi demonstrado vamos ver um exemplo numérico que possa facilitar a compreensão de como ocorrerá a aplicação dos procedimentos vistos sobretudo da fórmula final apresentada Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 135 Exemplo 6 RUGGIERO LOPES 1996 p 355 dado o PVI y y y x y y 4 3 0 4 9 0 7 3 E tomando h 0 25 teremos y z z f x y z z y x 4 3 O método de Euler aperfeiçoado aplicado a este PVI fornecerá para y y 1 0 25 0 25 24 3 0 25 8 2 0 0 25 13 998 3 4995 Assim Y y hz h k z k k 1 0 0 1 0 1 2 2 1 2 4 9 0 25 7 3 0 25 2 2 7 3 1 2 2 3 4995 1 278 5 083 xk x0 khk 01n1 e yk yxk yx0 kh k 012n Além disso temos que essa aproximação é Oh2 supondo ynx limitada em ab Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 139 Nesta unidade você aprendeu Métodos numéricos relacionados à integração dos quais destacamos os métodos fechados de NewtonCotes mais especificamente a regra dos trapézios e a regra 13 de Simpson Método numérico da quadratura gaussiana também relacionado a problemas de integração Métodos numéricos relacionados a equações diferenciais ordinárias de primeira ordem em que destacamos métodos numéricos para problemas de valor inicial PVI Métodos numéricos relacionados a equações diferenciais ordinárias de ordem superior em que destacamos métodos numéricos para problemas de valor de contorno PVC Nesta unidade esperase que com o estudo realizado você tenha entendido alguns métodos numéricos para aproximar a função integrando por meio de fórmulas fechadas de NewtonCotes bem como por meio de fórmulas de quadratura gaussiana Além disso esperase que você tenha compreendido os métodos numéricos apresentados para a resolução de problemas de valor inicial e problemas de valor de contorno em equações diferenciais ordinárias reconhecendo que o problema principal a ser tratado nesse conceito é encontrar uma função y que satisfaça uma equação diferencial e algumas condições específicas Lembrese de que a aprendizagem nesta disciplina só será significativa se você fizer todas as leituras sugeridas resolver as atividades de aprendizagem propostas e se possível fizer pesquisa em bibliotecas e estudar os materiais que compõem a bibliografia desta unidade Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 140 Por fim deixamos um convite muito importante acesse o fórum da disciplina e compartilhe suas dúvidas e conhecimentos construídos Afinal compartilhar conhecimentos pode auxiliar muito na compreensão dos estudos realizados Bons estudos 1 adaptado de SPERANDIO MENDES SILVA 2014 p 192 Por meio da regra trapezoidal para n 8 calcule a integral a seguir e depois assinale a alternativa correta I x x dx 0 2 2 2 1 ² a I 1 787366737 b I 1 737866737 c I 1 677873637 d I 1 366737787 e I 1 877336677 2 adaptado de RUGGIERO LOPES 1996 p 324 Seja o PVI y y Trabalhando com quatro casas decimais utilize o método de Euler para aproximar y 0 04 com ε 5 10 4 Em seguida assinale a alternativa que apresenta o resultado correto a 12090 b 13048 c 10404 d 10097 e 15091 3 adaptado de RUGGIERO LOPES 1996 p 332 Seja o PVI Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 141 1 1 xy x y y y y x f x y y x y x 2 2 2 Determine y 2 1 pelo método de Euler com h 0 025 Em seguida assinale a alternativa que apresenta a resposta correta a 20071180 b 20710180 c 20180071 d 28071001 e 20018071 4 adaptado de SPERANDIO MENDES SILVA 2014 p 241 Com h 01 pelo método de RungeKutta de segunda ordem calcule y 0 5 para dy dx y x y 2 Assinale a resposta correta a 29011 b 20190 c 29010 d 29100 e 20109 5 adaptado de BARROSO et al 1987 p 213 Calcule o valor da integral 0 1 2 3 x dx Aplicando a regra dos trapézios composta e subdividindo o intervalo 0 1 em n subintervalos de tal modo que o erro seja mínimo Em seguida assinale a alternativa correta a I 4 b I 5 c I 6 d I 7 e I 8 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias U3 142 U3 143 Integração numérica e soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias Referências BARROSO Leônidas Conceição et al Cálculo numérico com aplicações 2 ed São Paulo Harbra 1987 BURDEN Richard L FAIRES J Douglas Análise numérica São Paulo Pioneira Thomson Learning 2003 RUGGIERO Márcia A Gomes LOPES Vera Lúcia da Rocha Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais 2 ed São Paulo Makron Books 1996 SPERANDIO Décio MENDES João Teixeira SILVA Luiz Henry Monken e Cálculo numérico 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 Esta seção se inicia com o estudo dos números complexos com ênfase nas operações de adição multiplicação e divisão seguido por uma revisão dos tipos de funções elementares Revisamos também as integrais e o conceito de integral imprópria é introduzido Enfim as séries de potência são conceituadas e enfatizase as séries de Taylor e Maclauren Seção 1 Números complexos funções elementares integrais e série de potências Objetivos de aprendizagem Esta unidade tem o objetivo de auxiliar no processo de aprendizagem dos tópicos de cálculo avançado Será promovida uma reflexão a respeito de conteúdos já estudados na disciplina de cálculo diferencial de integral para assim conceituar as séries de potência série de Fourier funções analíticas e as transformadas de Fourier Esperamos que no final desta unidade você seja capaz de operar com números complexos calcular integrais impróprias ter noção a respeito da convergência de séries de potência conseguir verificar se uma função é analítica determinar a série de Fourier de uma função periódica e obter a transformada de Fourier e de Laplace de uma função Diego Fogaça Carvalho Unidade 4 Tópicos de cálculo avançado Nesta seção serão apresentadas as condições para que uma função seja analítica relacionando com o fato da função satisfazer a equação CauchyRiemann Na sequência serão abordadas as séries de Fourier em que se enfatiza sua definição e a forma como obter os coeficientes an e bn além de também investigar a convergência da série para a Seção 2 Funções analíticas série de Fourier introdução à transformada de Fourier e a transformada de laplace Tópicos de cálculo avançado U4 146 função Finalizase os estudos de tópicos de cálculo avançado com a apresentação das transformadas de Fourier e Laplace em que serão enfatizas as definições e maneiras de se obter essas transformadas Tópicos de cálculo avançado U4 147 Introdução à unidade Nesta unidade você estudará tópicos de cálculo avançado Os conteúdos que iremos estudar apresentam vasta aplicabilidade nas áreas das Ciências e Engenharia ao modelar situações principalmente as que apresentam a característica de serem periódicas No entanto você aluno deve ter ciência de que estamos estudando conteúdos sofisticados e portanto muitas vezes será necessário retomar outros conceitos que foram estudados nas disciplinas de cálculo diferencial e integral principalmente as derivadas e integrais e de matemática elementar presentes em livros do Ensino Fundamental e Médio Então fique à vontade para acessar esses livros sempre que sentir necessidade A primeira seção tem por objetivo retomar alguns conteúdos já estudados na disciplina de cálculo diferencial e integral e avançar em alguns desses tópicos com o intuito de contextualizar os conteúdos mais avançados apresentados na Seção 2 Esta seção é iniciada pelo estudo dos números complexos e as quatro operações fundamentais adição subtração multiplicação e divisão Na sequência são retomadas algumas funções elementares e o conceito de integral introduzindo também as integrais impróprias A seção é finalizada pelo estudo das séries de potência em que se enfatiza as séries de Taylor Tomando a Seção 1 como pano de fundo a Seção 2 tem por objetivo a apresentação dos conceitos de cálculo avançado Iniciamos a seção pelo estudo do critério de analiticidade de funções ou seja a definição de funções analíticas seguida pelas séries de Fourier em que procuramos conhecer a maneira como essa série converge para a função que ela representa Apresentamos também uma introdução à transformada de Fourier e finalizamos com a transformada de Laplace É importante ressaltar que os links que são apresentados no item são de suma importância para o aprofundamento dos conteúdos apresentados nesta unidade Tópicos de cálculo avançado U4 148 Números complexos funções elementares integrais e séries de potência Introdução à seção Nesta seção temos por intuito retomar alguns conceitos já estudados em disciplinas de cálculo diferencial e integral como as integrais e as séries de potência e conceitos abordados no Ensino Médio como os números complexos e as funções elementares O estudo desses conteúdos nos proporcionará o conhecimento necessário para a compreensão dos tópicos de cálculo avançado que serão apresentados na seção seguinte Iniciaremos nossos estudos pelo conjunto dos números complexos em que se definirão as operações e representações imputadas a esse conjunto numérico Na sequência as séries de potência serão retomadas seguidas pelas funções elementares e por uma breve revisão a respeito do estudo da integral 11 Números complexos Do ponto de vista histórico de acordo com LinsNeto 2012 os números complexos surgiram na matemática para significar situações como a solução geral de equações como as seguintes z² az b 0 a b R 1 x² 1 0 2 Com o intuito de resolver a equação 2 ou seja encontrar os valores de x que a satisfazem somos surpreendidos pelo seguinte fato x² 1 x 1 Observe que chegamos a uma situação na qual temos de pensar em um número que resulta do cálculo da raiz quadrada de menos um Esse raciocínio pode retroceder na equação de modo a realizarmos as seguintes indagações Questão para reflexão Que número elevado ao quadrado resulta em 1 Que número elevado a uma potência par resulta em um número negativo Para LinsNeto 2012 a equação no conjunto dos números reais não admite soluções Ao pensar em um contexto prático em que somente soluções reais poderiam ser obtidas é fácil afirmar que a equação não apresenta solução No entanto em situações abstratas é conveniente que essa equação apresente solução e ao introduzir os números imaginários podemos obter as seguintes soluções Considere i² 1 x i² x i e x i O resultado apresentado em 2 nos permite pensar em raízes para a equação o que possibilita decompor o polinômio associado à equação 2 da seguinte forma x² 1 xixi 3 Aproveite e verifique a veracidade da igualdade 3 aplicando a propriedade distributiva em relação à multiplicação Diante desse contexto podemos definir o que são números complexos Definição 1 os números complexos são expressões apresentadas da seguinte maneira a bi em que a e b são números reais ou seja a b R e i é um número imaginário que convencionalmente satisfaça a seguinte relação i² 1 Chamase essa representação de algébrica Na continuidade desta seção estudaremos também a forma polar É importante ressaltar de acordo com Lima 2016 que o número i não pode ser um número real pois o quadrado de um número real é sempre não negativo Convencionase referenciar o conjunto dos números complexos pela letra C Cabe destacar que um número que apresente a 0 é designado de número imaginário puro e um número que apresente b 0 um número real Estendendo esse pensamento podemos afirmar que os números reais são números complexos com a parte imaginária nula Logo temos ℝ ℂ os números reais estão contidos no conjunto dos números complexos Agora iremos aprender a operar no conjunto dos números complexos Exemplo 1 seja z₁ 3 4i e z₂ 5 8i Calcule Z₁ Z₂ e Z₁ Z₂ Tópicos de cálculo avançado U4 151 As operações de adição e subtração irão ocorrer de forma semelhante pois podemos pensar a subtração como uma adição com o simétrico O que devemos ter em mente ao realizar essas operações é que devemos somente somar o que é semelhante ou seja parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária Nesse sentido temos z z i i i i 1 2 3 4 5 8 3 5 4 8 8 8 e z z i i i i 1 2 3 4 5 8 3 5 4 8 2 12 Logo temos z z i 1 2 8 8 e z z i 1 2 2 12 Exemplo 2 seja z i 1 3 8 e z i 2 2 5 Calcule z z 1 2 Na operação de multiplicação devemos observar que utilizaremos a propriedade distributiva Então teremos z z i i i i i i 1 2 3 8 2 5 3 2 3 5 8 2 8 5 Devemos estar atentos às operações elementares e à propriedade de potência z z i i i 1 2 2 6 15 16 40 Como i2 1 vamos substituir esse valor na expressão Aproveitaremos também para somar os termos semelhantes z z i 1 2 6 40 1 z z i 1 2 46 Exemplo 3 adaptado de DANTE 2008 p 437 seja z i 1 1 2 e z i 2 2 5 Calcule z z 1 2 O quociente entre dois números complexos pode ser obtido por meio da seguinte igualdade z z z z z z 1 2 1 2 2 2 Logo já podemos restringir o valor de z2 pois z2 0 Cabe destacar também que z2 é denominado de conjugado de z2 O conjugado de um número complexo seria o inverso desse número de forma que a igualdade seja verdadeira 1 1 2 2 z z Ou seja o produto entre o número complexo e seu conjugado resulta em 1 o elemento neutro da multiplicação Na representação algébrica temos que o conjugado de um número complexo é composto pela mesma parte real mas a parte imaginária é composta pelo simétrico Se z a bi logo z a bi Ciente desse fato daremos continuidade à resolução do exemplo Tópicos de cálculo avançado U4 152 z z i i i i i i i i 1 2 1 2 2 5 1 2 2 5 2 5 2 5 1 2 1 5 2 2 2 5 i i i i 2 2 2 2 2 5 2 5 5 5 2 10 4 0 25 12 29 12 29 1 29 i i i i Cabe observar que temos sempre que atentar ao fato de i2 1 e aplicar corretamente a propriedade distributiva Vamos agora estudar as potências do número i Podemos por meio de analogia com as potências de expoente 0 1 e 2 realizar as seguintes igualdades i0 1 i i 1 i2 1 Partindo desses valores e aplicando as propriedades de potência podemos deduzir outras potências observe i i i i i 3 2 1 i i i i i i 4 3 2 1 1 i i i i i 5 3 2 1 i i i i 6 2 2 2 1 1 1 1 i i i i i 7 6 1 i i i i i i 8 7 1 2 1 1 4 Será que existe um padrão entre as potências de i Realize cálculos para potências de índice maiores Podemos observar que os valores das potências seguem um ciclo 1 i 1 i sendo composto por somente esses quatros números Uma forma bem simples de conhecer o valor de uma potência qualquer de i é dividindo essa potência por quatro e atentando para o resto pois o valor da potência em estudo é igual ao valor da potência do resto Para aprofundar nosso estudo em relação aos números complexos e às operações definidas nesse conjunto acesse httpswwwyoutubecomwatchvnprqf6DKeyI httpswwwyoutubecomwatchv69NsgCjk2kQ httpswwwyoutubecomwatchv84zDD0yyd8o httpswwwyoutubecomwatchv6k2dtRxVawg Tópicos de cálculo avançado U4 153 É importante no estudo dos números complexos conhecer outras formas de representálos Anteriormente o foco do nosso estudo incidiu sobre a representação algébrica porém essa não é a única forma de representar um número complexo De acordo com LinsNeto 2012 podemos associar um número complexo a um ponto que pertence ao plano 2 por meio da seguinte relação isomorfismo Rlinear 2 x y x y de modo que temos ϕ 2 ϕx y x iy Em outras palavras podemos formar pares ordenados constituídos pelo componente real e o imaginário dos números complexos o que possibilita uma interpretação geométrica desses números no plano ArgandGauss De acordo com Dante 2008 seguem algumas observações Note que a parte real do número complexo real ou seja com a parte imaginária nula esses esse número pertence ao eixo Ox Se tivermos um número imaginário puro ou seja com a parte real nula temos que esse número pertence ao eixo Oy Os demais números abi com a e b diferentes de 0 estão localizados nos quadrantes do plano de acordo com o sinal de a e b Para cada número complexo existe um único ponto no plano e a recíproca também é verdadeira o que qualifica a relação de isomorfismo Podese também associar a cada número complexo zabi um único vetor que apresenta uma de suas extremidades no ponto O a origem do sistema e o ponto Pab Do ponto de vista geométrico podemos definir o módulo de um número complexo como sendo a distância da origem do sistema até o ponto Pab semelhante à definição de módulo de vetores no espaço bidimensional Logo z a b 2 2 Exemplo 4 considere os números complexos z i 1 3 2 z i 2 3 2 z i 3 2 e z i 4 2 3 Represente geometricamente esses números e calcule o módulo de cada um httpswwwyoutubecomwatchv8bbi6oGZjM e httpwwwimeunicampbrftorresENSINOMONOGRAFIASNC5 docxpdf Acesso em 29 ago 2016 Tópicos de cálculo avançado U4 154 Primeiramente iremos obter os pontos P a b do 2 associado a cada um dos números complexos Nesse sentido temos z1 3 2 z2 3 2 z3 2 1 z4 2 3 Note de acordo com a Figura 41 que no eixo x temos a parte real de cada um dos números complexos e no eixo y a parte imaginária Também apresentamos os vetores que estão associados a cada um dos números complexos com extremidade na origem e o ponto Pab Cabe destacar que o número z2 é o conjugado do número z1 e viceversa Para calcular o módulo de cada um dos números complexos iremos utilizar o raciocínio análogo ao cálculo de módulo de vetores que se fundamenta no Teorema de Pitágoras z a b 2 2 temos z1 2 2 3 2 9 4 13 z2 2 2 3 2 9 4 13 Podemos observar que o módulo do conjugado de um número complexo é igual ao módulo do número complexo ou seja z z Continuando as operações z3 2 2 2 1 4 1 5 z4 2 2 2 3 4 6 10 Fonte elaborada pelo autor Figura 41 Números complexos no plano xy Outra representação importante imputada aos números complexos diz respeito à sua forma trigonométrica Nesse caso a associação realizada é dada pelo ângulo de inclinação do vetor associado aos números complexos e o eixo Ox Sabemos da trigonometria que sen CO α H e cosα CA H Note de acordo com a Figura 42 que z a bi z 0 e z a b ρ 2 2 e o 5 Tópicos de cálculo avançado U4 155 arg z θ Este último valor corresponde ao ângulo de inclinação do vetor OZ u r uu com o eixo x Esse ângulo é chamado de argumento de z e é indicado por argz É importante observar que o ângulo θ pertence ao seguinte intervalo 0 2 θ π Figura 42 Representação polar de um número complexo Fonte elaborada pelo autor De acordo com o triângulo retângulo OZa apresentado na Figura 42 e considerando as seguintes igualdades advindas da trigonometria podemos realizar algumas deduções Sabendo que CO b CA a e H z ρ temos cos θ a z e sen b θ z com 0 2 θ π Com essas igualdades podemos obter cos cos θ θ a z a z e sen a z b z sen θ θ Ao substituir esses valores na forma algébrica zabi temos z a bi z z sen i cos θ θ colocando z em evidência z z i sen cos θ θ A representação 6 é denominada de forma trigonométrica ou forma polar do número z 6 Para saber mais Aprofunde seus conhecimentos sobre números complexos em sua forma trigonométrica acessando os links a seguir httpswwwyoutubecomwatchvDcGMWeahEXs httpswwwyoutubecomwatchvwh7CuWNRS8 httpswwwyoutubecomwatchvyz4MNq9aO1Y httpwwwmatematicapucminasbrprofswebfabianocalculo4complexospdf e httppaginasfeupptamillpdffilesapendicepdf Acesso em 29 ago 2016 12 Funções elementares As funções são um tipo específico de relação entre dois conjuntos A e B regidos por uma regra ab de modo que cada elemento do conjunto denominado domínio a está associado a somente um elemento do conjunto denominado contradomínio b Contido no contradomínio temse o conjunto imagem que é composto pelos elementos que necessariamente se relacionam com outros elementos do domínio por meio da lei de formação da função É necessário conhecer as funções elementares que são funções que aparecem recorrente na matemática e compõem as tabelas de derivadas e integral Vamos conhecer essas funções ter noções a respeito do seu domínio com o intuito de poder aprofundar os estudos a respeito dos tópicos de cálculo avançado As primeiras funções que iremos estudar são as funções polinomiais De acordo com Guidorizzi 2011 essas funções apresentam a característica de serem contínuas em todo o seu domínio e são definidas da seguinte forma fℝℝ dada por fxa0xran1xan em que a00a1a2an são números fixos denominase função polinomial de grau n sendo que n pertence ao conjunto dos números naturais As funções afim fxaxb com a0 e as funções quadráticas fxax2bxc com a0 são exemplos de funções polinomiais Cabe destacar que as funções afins apresentam por gráfico uma reta e as funções quadráticas uma parábola Um tipo especial de função afim é a função linear definida por fℝℝ dada por fxax onde a coeficiente a é constante Existem também as funções constantes uma função yfx xI onde fxk sendo k uma constante O gráfico dessa função é uma reta paralela ao eixo Ox passando pelo valor de k As funções com radicais são funções que apresentam um radical em sua lei de formação por exemplo fxx gxx3 hxx5 ixx Todavia nesse tipo de função restringindose aos números reais temos a não existência de raízes de índice par de números negativos Dessa forma o domínio dessas funções fxx onde n é par são Dfxℝ x0 Funções racionais são funções definidas pela seguinte expressão fxpxqx em que px e qx são funções polinomiais Nesse caso por se tratar de uma razão temos de nos atentar que o domínio dessa função é o conjunto xℝ qx0 As funções fxx2x e gx1x5 são exemplos de funções racionais Note que Dfxℝx0 e Dgxℝx5 As funções trigonométricas fxsenx e gxcosx já apresentam a característica de serem periódicas ou seja há períodos em seu domínio em que a imagem se repete de forma cíclica Para as funções exemplificadas temos que o período é 2π Para finalizar essa revisão das funções elementares temos as funções exponenciais de base a definidas em ℝ e dadas por fxaxa0 e a1 Um caso especial desse tipo de função é quando ae ou seja a base é o número de Euler fxex Também fazem parte desse grupo as funções logarítmicas fxloga b sendo que a0a0 e b0 Lembrando que se fxy temos γloga baγb Lembrando que 7 pode ser lida como o logaritmo de b na base a Podemos notar também que as funções logarítmicas são inversas às funções exponenciais Tópicos de cálculo avançado U4 158 Vamos aprofundar nossos conhecimentos a respeito das funções elementares acessando os links apresentados na sequência httpmtmufscbrfernandscalcFuncoes202pdf httpwwwdmufscarbrsadaodownload3Ffile3Dstudent calcfuncoeselementarespdf httpswwwyoutubecomwatchv1NyC9wdsQp8 httpswwwyoutubecomwatchvMkgfW2MMnHc httpswwwyoutubecomwatchvN317TOh2zNc httpswwwyoutubecomwatchvVm9fhS2DvwA e httpswwwyoutubecomwatchvBtCJXHA4QU Acesso em 29 ago 2016 13 A integral Para compreensão dos conteúdos abordados em cálculo avançado é importante retomar o conceito de integral principalmente a diferenciação entre integral própria de integral imprópria Daremos início ao nosso estudo por meio da conceituação de integral Para Kaplan 1972a a integral definida f x dx a b de uma função definida no intervalo Iab advém de um processo de limites em que podemos estabelecer a seguinte igualdade f x dx a b i i i n f x x lim n ix max 0 1 Para compreensão de 8 podemos recorrer à Figura 43 levando em consideração que x i n i 0 1 advém de uma sequência de valores de x no intervalo a x x x x b n 0 1 2 e i i i x x x 1 E o valor para xi pode ser para qualquer valor compreendido no intervalo I x x i i 1 É possível observar que existe um número L para um n suficientemente grande e um ix suficientemente pequeno Ou seja quanto menores forem os valores de ix mais retângulos poderemos inserir abaixo da curva Logo as somas das áreas desses retângulos tendem a se ajustar à área abaixo da curva e limitada pelo eixo x e essa área é o valor do limite apresentado anteriormente Independentemente da escolha que se faça de xi tendendo ix cada vez mais próximo a zero o limite já referenciado existe com a condição da função ser contínua no intervalo Iab 8 Tópicos de cálculo avançado U4 159 Fonte elaborada pelo autor Figura 43 A integral definida Dessa maneira podemos definir se f x 0 uma vez que a integral definida no intervalo se refere à área da região no plano xy limitada pelo eixo x Com o gráfico de yfx e as retas xa yb temos A f x a b dx para f x 0 Se f x 0 a área pode ser obtida da mesma forma mas é necessário multiplicar o valor obtido por 1 com o intuito de obter um valor de área positivo pois um valor negativo para área apresentase sem sentido em um contexto geométrico Por meio do teorema do valor médio é possível associar a antiderivada ou primitiva de f x com efeito de enunciar o teorema fundamental do cálculo que substitui o limite pela diferença entre a primitiva da função e os extremos do intervalo FbFa Teorema 1 se f for integrável em ab e se F for uma primitiva de f em ab então f x dx F b F a a b É pertinente antes de resolvermos alguns exemplos apresentar certas propriedades das integrais De acordo com Kaplan 1972a considerando o contexto enunciado no teorema apresentado anteriormente temos 1 dx f x g x f x dx g x dx a b a b a b 2 cf x dx c f x dx a b a b sendo c uma constante 9 10 Tópicos de cálculo avançado U4 160 3 f x dx f x dx f x dx a b a c c b sendo c a b e f é integrável em a c e em c b O tipo de integral que até esse momento estamos estudando é denominado integral definida pois temos um limitante superior b e um limitante inferior a sendo que ab ou parâmetros No entanto também podemos encontrar situações em que teremos que trabalhar com uma integral indefinida em que não se tem esses valores e o que nos interessa saber é a primitiva antiderivada da função Acompanhe com atenção o exemplo apresentado na sequência Exemplo 5 seja f R em R definida pela seguinte regra fxx24x Calcule a f x dx O objetivo desse exemplo consiste em determinar a primitiva da função Dessa forma temos que pensar em uma função que ao ser derivada tenha fx Como tratamse de funções polinomiais teremos F x x x x x C 3 2 3 2 3 4 2 3 2 Para resolver essa integral podemos recorrer ao Quadro 41 que se refere a um resumo de funções elementares Quando derivamos f x xn segundo a regra de derivação tombamos o expoente e retiramos uma unidade obtendo f x nxn 1 Todavia nosso interesse está em obter a primitiva da função Logo somos levados a pensar de maneira reversa Dessa forma o expoente que multiplicava a variável vem dividindo e ao invés de subtrair uma unidade ao expoente vamos somá la Na sequência apresentamos um quadro reduzido de primitivas das funções elementares Cabe destacar que esse quadro é ainda maior sendo pertinente o aprofundamento acessando os links na seção Para saber mais Quadro 41 Lista de integral de funções elementares Integral Primitiva 1 1 dx dx F x x C adx a dx F x ax C x dx n F x x n C n 1 1 n 1 e dx x F x e C x 1 xdx F x x C ln Tópicos de cálculo avançado U4 161 Fonte Guidorizzi 2011a p 336 cos x dx F x sen x C sendx F x x C cos b f x dx 0 4 Para realizar esse cálculo vamos utilizar a primitiva da função que encontramos no item anterior Pelo teorema fundamental do cálculo temos que a diferença entre Fb e Fa resulta na área da região delimitada pela curva eixo Ox e as retas xa e xb Retornando ao exemplo x xdx 2 0 4 4 x x 3 2 0 4 3 2 F F 4 0 4 3 2 4 64 3 32 32 3 3 2 O que tem de ficar claro é que o exemplo não solicitou o cálculo da área mas sim a integral indefinida no item a e a definida no item b Logo não há necessidade de interpretar o valor numérico como área Todavia a área se coloca nesse contexto como uma aplicação desse conteúdo Será que é possível calcular derivadas em que os parâmetros são os infinitos e 131 A integral imprópria Até o momento revisamos integrais que apresentam parâmetros que são números reais ou seja valores que pertencem à imagem da função Todavia ao estender o conceito de integral também podemos ter o infinito tanto negativo quanto positivo como parâmetros Nesse caso em específico temos as integrais impróprias Definição 2 seja f integrável em at para todo t maior que a Podemos definir f x dx a a t f x dx t lim Desde que o limite indicado em 11 exista e seja finito temos definido uma integral imprópria da função no intervalo a 11 Tópicos de cálculo avançado U4 162 É importante realizar algumas observações a respeito das integrais impróprias Caso o limite 11 tenda a ou também a referenciaremos como uma integral imprópria Se o caso anterior ocorrer ou o limite 11 não existir dizemos que a integral imprópria é divergente Porém se o limite for finito podemos afirmar que a integral imprópria é convergente Exemplo 6 adaptado de GUIDORIZZI 2011b p 29 considere f x x 1 2 calcule f x dx 1 Classifique se a integral imprópria é convergente ou divergente De acordo com 11 temos 1 2 1 x dx t t x dx lim 1 2 1 Iremos primeiramente focar na integral definida na variável t e após retornaremos com o limite 1 2 1 1 1 x dx t t x 1 1 t Retornando ao limite temos 1 2 1 x dx t t lim 1 1 1 Quando aplicamos o limite podemos compreender que quando a variável t tende ao infinito 1 t tende a zero Logo temos 10 e a solução da integral imprópria apresenta por solução 1 sendo assim é convergente Exemplo 7 adaptado de GUIDORIZZI 2011b p29 seja a integral imprópria 1 1 xdx verifique se ela é convergente ou divergente e justifique De acordo com 11 temos 1 1 1 1 1 1 xdx x dx t t t t t t t lim lim lnx limln ln limln t Como o ln10 teremos o lnt e como t está tendendo ao infinito teremos que lnt também irá tender para o infinito Logo vemos que nesse caso a integral imprópria é divergente Tópicos de cálculo avançado U4 163 Podemos também realizar algumas ampliações a respeito do conceito de integrais impróprias De acordo com Guidorizzi 2011b podemos enunciar as seguintes extensões da Definição 2 Definição 3 seja f integrável em ta para todo t que seja menor que a Definimos f x dx f x dx a t a lim x Definição 4 seja f integrável em tt para todo t maior que zero Definimos f x dx f x dx f x dx 0 0 12 13 Vamos continuar o nosso estudo dessa revisão de integrais acessando os links httpswwwyoutubecomwatchvAgby3P6gCyA httpswwwyoutubecomwatchvp2CHdGxFeM httpswwwyoutubecomwatchv2SmgEt8Foso httpceadufpibrconteudomaterialonlinedisciplinasmatematica downloadunidade6pdf httpwwwicmcuspbrregilenesma301integraisimpropriaspdf e httpswwwifufrgsbrtexfisica4tabintegraispdf Acesso em 29 ago 2016 14 Série de potências De acordo com Leithold 1994 as séries podem ser compreendidas como somas infinitas de termos de uma sequência Ou seja dada a sequência u u u un 1 2 3 Podemos então formar uma nova sequência sn de somas parciais dos termos da sequência 14 Observe s u 1 1 s u u 2 1 2 14 Tópicos de cálculo avançado U4 164 s u u u 3 1 2 3 s u u u u 4 1 2 3 4 s u u u u u n n 1 2 3 4 Dáse o nome para sn de série infinita Definição 5 se un for uma sequência e s u u u u u n n 1 2 3 4 então a sequência sn será chamada de série infinita a qual é denotada por u u u u u n n n 1 2 3 1 Cabe destacar que os números u u u u un 1 2 3 4 são chamados de termos da série infinita Os números s s s s sn 1 2 3 4 são chamados de somas parciais da série infinita Como visto na construção da definição 5 temos que a cada série infinita dada uma sequência sn associada se refere à sequência das somas parciais Tendo em mãos essa sequência e aplicando limite de n tendendo ao infinito temos duas classificações para a série A série será convergente se o limite existir e convergir para um valor S ou será divergente caso o limite não exista o que denota que a série não apresenta soma Cientes da definição de séries e das condições de convergência podemos aprofundar nosso estudo e conceituar as séries de potência Kaplan 1972 afirma que podemos entender uma série de potências de x da seguinte maneira c x c c x c x c x n n n n n 0 1 2 2 1 sendo que c c cn 0 1 são constantes Se tivéssemos com a intenção de estruturar uma série de potências de xa a entenderíamos assim c x a c c x a c x a c x a n n n n n 0 1 2 2 1 O conceito de série de potências referese por definição ao que foi apresentado em 17 Em 16 temos um caso particular quando a0 Quando xa temos que a série converge Há situações em que somente quando xa é que a série irá convergir Todavia quando há outros valores para x de modo que a série converge temos então definido o intervalo de convergência em que o ponto xa é o ponto médio desse intervalo Nesse sentido se x pertencer ao intervalo de convergência implica que a série de potência converge e caso 15 16 17 Tópicos de cálculo avançado U4 165 x pertença ao intervalo de divergência temos que a série diverge Na sequência apresentaremos o Teorema 2 que irá garantir a maneira como podemos identificar a convergência de uma série assumiremos esse teorema sem demonstrações Teorema 2 toda série de potência c x a c c x a c x a c x a n n n n n 0 1 2 2 1 Apresenta um raio de convergência designado por r A condição para que essa série seja convergente é o fato de x a r Logo a condição de divergência está em r x a Um caso interessante que deve ser ressaltado o fato de r0 Nessa especificação r pode ser 0 e um valor positivo Em função dessas possibilidades da existência de r temos as seguintes interpretações se r0 a série só irá convergir quando xa se r a série irá convergir para todos os valores de x Quanto r for um valor não nulo e dado um r1 de modo que r1 esteja compreendido no intervalo 0r Então a série irá convergir em r x a 1 Para conhecer o valor de r1 podemos recorrer ao cálculo dos seguintes limites r c c n n lim n 1 Ou podemos também ter r c n n lim n 1 Temos de tomar cuidado também para os extremos do intervalo de convergência ou seja xar ou xar Esses valores devem ser estudados à parte mesmo se a aplicação do teorema mostrar que a série de potência em estudo é convergente Com o intuito de esclarecer aplicações do Teorema 2 iremos resolver o Exemplo 8 Exemplo 8 adaptado de KAPLAN 1972b p 396 considere a série x n n n 2 1 e determine seu raio de convergência Primeiramente devemos encontrar o valor de cn Organizando a série acima podemos identificar esse valor c n n 1 2 Agora vamos aplicar os limites 418 e 419 Para verificar a convergência ou divergência temos r n n lim n 1 2 2 Podemos retirar o módulo pois não se obtém valores negativos para n devido 18 19 Tópicos de cálculo avançado U4 166 a potência de 2 Logo caímos em um limite infinito Vamos fatorar o termo do numerador r n n n n n n n n n lim lim lim n n n n 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 lim 1 2 1 1 0 0 1 n n Logo r 1 O que tem de ficar claro no cálculo desse limite é que quando n tende ao infinito ou seja é um valor muito grande qualquer número dividido por esse valor muito grande tende a ser zero É esse raciocínio que permite a solução encontrada Podemos também utilizar 419 Nesse caso teremos n r c n n n n n n n n n lim lim lim lim 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 lim 2 n n n n n A primeira ação realizada foi procurar escrever a função de uma maneira simples de compreender Note que como temos uma fração dentro do radical podemos aplicar a raiz em cada membro da fração e na sequência realizamos a divisão de fração que consiste em repetir a primeira fração no caso 1 e multiplicar pelo inverso da segunda Como a raiz enésima de 1 é 1 temos escrito de forma mais sintética o limite Para calcular esse limite será necessário representarmos a radiciação como expoente fracionário e escrever essa potência considerando a seguinte igualdade n e n n n 1 1 ln Será que a igualdade n e n n n 1 1 ln é equivalente Sugestão É necessário pensar em propriedades de logaritmos e de potência Voltando ao limite teremos r e e e n n n n n n n n lim lim lim ln ln 2 2 2 0 1 Dessa forma podemos enunciar que para 1x1 a série converge e para valores x1 a série diverge Tópicos de cálculo avançado U4 167 E os extremos 1 e 1 como iremos determinar essa convergência Para tal iremos realizar a seguinte comparação x n n M n n 2 2 1 Existem também outros resultados advindos das séries de potência que serão necessários para compreender os conteúdos apresentados na próxima seção Aceitaremos esses teoremas sem demonstração De acordo com Kaplan 1972b podemos enunciar Teorema 3 Uma série de potências representa uma função contínua no intervalo de convergência ou seja se r é o raio então f x c x a n n n 1 É contínua em a r x a r Logo temos por consequência desse fato que se a série convergir nas suas extremidades logo a função também será contínua nessa extremidade Teorema 4 Podese integrar uma série de potências termo a termo dentro do intervalo de convergência f x c x a n n n 1 a r x a r Então vale para a r x a r f x dx c x a dx c x a x a n n n x x n n n n n x 0 2 1 1 1 0 1 1 1 x2 o equivalente em integrais indefinidas temos f x dx c x a x a n C n n n n 2 1 1 1 0 1 a r x a r Uma aplicação referenciada às séries de potências é que poderemos expressar algumas funções como sendo essas séries Para aprofundar seus conhecimentos a respeito das séries de potência acesse os links na seção Para saber mais Há um tipo de série de potência que sempre deveremos recordar e utilizaremos na continuidade desta seção que são as séries de Taylor De acordo com Kaplan 1972 temos Seja fx a soma de uma série de potências cujo intervalo de convergência seja arxar r0 f x c x a n n n 1 a r x a r A série denominase série de Taylor de fx em xa se os coeficientes de cn forem da seguinte forma c 0 f a c f a 1 1 c f a 2 1 c f a n n n Então podemos expressar fx Tópicos de cálculo avançado U4 168 f x f a f a x a f a x a f a n x n n 1 2 2 Kaplan 1972 também demonstra que toda série de potência com raio de convergência não nulo é a série de Taylor de sua soma Há também um tipo especial de série de Taylor para quando a0 denominada de série de Maclaurin Como essa série em específico é de manipulação mais simples convém na Série de Taylor transformála em Maclaurin por meio de uma mudança de variável txa f x f a f a f a x f a n x n n 1 2 2 Para aprofundar seus conhecimentos a respeito das Séries de Potência acesse os linkshttpswwwyoutubecomwatchvC3eiJ6fzF4 httpswwwyoutubecomwatchvlvwo7vypDwQ httpswwwyoutubecomwatchv0dqWoZs3erM httpltodiestipsptamatosAcetNetAMII06073acetspotAMII0607 pdf httpswaldexifbafileswordpresscom201101apostiladeseries depotenciaspdf e httpsweetuaptrosaliacadeirasCIICalcIIcap4b pdf Acesso em 29 ago 2016 20 21 1 Considere os seguintes números complexos z135i e z223i Responda a Determine a soma entre z1 e z2 b Determine a diferença entre z1 e z2 c Esboce no plano ArgandGauss z1 z2 z1z2 z1z2 2 Seja f uma função definida de R em R sendo x diferente de 0 dada pela seguinte lei f x x 1 5 responda a Determine a primitiva da função b Determine a área limitada pela função e o eixo Ox no intervalo 12 c Determine a área limitada pela função e o eixo Ox no intervalo 1 Tópicos de cálculo avançado U4 169 Seção 2 Funções analíticas série de Fourier introdução à transformada de Fourier e à transformada de Laplace Introdução à seção 21 Funções analíticas Nesta seção iremos estudar alguns tópicos advindos do cálculo avançado Iniciaremos nossos estudos pelas funções analíticas critério que irá nos possibilitar associar uma função a uma série de Taylor Após esse estudo introduziremos as séries de Fourier que apresentam vasta aplicação em situações que se comportam de forma periódica como as ondas do mar movimentos dos planetas ao redor do sol Na sequência algumas considerações a respeito da transformada de Fourier serão tecidas e finalizaremos com o estudo da transformada de Laplace Para conceituar a analiticidade de uma função temos que inicialmente conhecer a definição de uma função com uma variável complexa Para Kaplan 1972b quando cada número complexo zxyi de um certo conjunto complexo está associado a outro número complexo wuvi temos que w é função de z no conjunto wfz Exemplos de funções com variáveis complexas w z 3 domínio para todo z w z 1 1 2 domínio para z diferente de 1 Seja D um aberto do plano z e wfz definido em D Cada zxyi de D há um outro número complexo associado wuvi Seja então wz2 Logo temos que wxyi2 uvixyi2x22xyiy2i2 Como i21 temos uvix2y22xyi Decorre daí que u1x2y2 e v2xy Tópicos de cálculo avançado U4 170 Para Kaplan uma função complexa referese a um par de funções reais uxy e vxy que podem ser tratadas como transformações no plano Então para cada ponto do aberto D que em que zxyi está definido temos um outro aberto em D1 um ponto wuvi associado por meio da função wfz Definição 11 dada uma função wfz definida em um aberto D essa função será chama de analítica em D se w apresentar derivada contínua e D Kaplan 1972b afirma que quase todas as funções que são aplicadas em situações de problemas físicos apresentam essa característica ou advém de funções que apresentam essa característica Podemos também afirmar que para mostrar que uma função apresenta sua derivada contínua no aberto D isso significa que a função apresenta derivadas de primeira segunda terceira quarta assim por diante ordens Logo podemos afirmar a analiticidade da função mostrando que ela converge para uma série de Taylor Definição 12 uma função é denominada analítica se for representada por uma série de Taylor Vimos na seção anterior que para existir uma série de Taylor a derivada de todas as ordens da função necessita existir o que acarreta na continuidade da derivada Cabe destacar que é possível construir uma função contínua que não é analítica mas é impossível construir uma função fz que tenha derivada não contínua no aberto D Logo se a função apresenta derivada no aberto D podemos inferir que seja analítica Porém há uma condição apresentada pelo Teorema 1 que contribuirá diretamente na situação a saber da analiticidade de uma função Teorema 1 se wuvi e fzw é uma função analítica então as funções u e v apresentam derivadas parciais primeiras contínuas em D e satisfazem a equação CauchyRiemann u x v y u y v x Logo podemos ter que dw dz u x i v x v y i v x u x i u y v y i u y Esse teorema também apresenta uma recíproca Se wuivfz e está definida em um aberto D se u e v apresentam derivadas parciais primeiras contínuas e valem as equações CauchyRiemann então em D fz é analítica Para melhorar nossa compreensão vamos resolver alguns exemplos Exemplo 1 adaptado de KAPLAN 1972b p 572 verifique se a função wz2 é analítica Para realizar essa verificação iremos utilizar os resultados apresentados pelo 22 23 Tópicos de cálculo avançado U4 171 Teorema 1 Como wuvi e zzyi temos u vi z yi 2 desenvolvendo o produto notável u vi x y xy i 2 2 2 comparando a igualdade u x y 2 2 e v 2xy Vamos agora verificar se a equação de CauchyRiemann se aplica temos u x x v y 2 e u y y v x 2 Como a equação de CauchyRiemann foi satisfeita temos que a função é analítica para todo z Exemplo 2 adaptado de KAPLAN 1972b p 572 verifique se a função w x yi é analítica em algum aberto Como wuvi e zzyi temos u vi x yi comparando a igualdade u x e v y verificando a equação de CauchyRiemann temos u x v y 1 1 e u y v x 0 Como o Teorema 1 não foi satisfeito temos que a função não é analítica em nenhum aberto De acordo com Kaplan 1972 as proposições seguintes a respeito de funções analíticas são verdadeiras A soma produto e quociente exceto denominador igual a zero em nenhum ponto do aberto de funções analíticas são funções analíticas Todas as funçõespolinômios são analíticas no plano todo Toda função racional é analítica em qualquer aberto que não contenha zeros do denominador Uma função analítica de função analítica é analítica Tópicos de cálculo avançado U4 172 Para aprofundar seus conhecimentos sobre funções analíticas acesse os links httpswwwmathtecnicoulisboaptlmagalACCap5pdf e httpwwwabengeorgbrCobengeAnteriores2012artigos104290 pdf Acesso em 29 ago 2016 22 Séries de Fourier Conforme já apresentamos na seção anterior as funções trigonométricas como fxsenx e fxcosx apresentam por característica serem periódicas isso significa que seu comportamento obedece a um ciclo ou seja a imagem da função estabelece valores que seguem uma determinada sequência enquanto x varia em seu domínio As funções periódicas podem ser escritas da seguinte forma f x p f x Segundo Kaplan 1972 vamos supor que uma função periódica seja a soma de uma série trigonométrica f x a a nx b sen nx n n n cos 0 1 2 Iremos encontrar uma relação entre os coeficientes an e bn e a função fx Para isso Kaplan 1972 sugere multiplicar a função por cos mx e aplicar uma integral definida de π até π em x temos f x mx dx a mx a nx mx b sen nx n n cos cos cos cos cos 0 2 mx dx n 1 π π π π Podemos então realizar a integração termo a termo f x mx a mx a nx mx n cos cos dx cos cos dx 0 2 π π π π π π b sen nx mx n n cos dx π π 1 Ao calcular as integrais do segundo membro temos cos cos nx mx dx n m n m 0 π π π e sen nx mx dx cos π π 0 Obs os cálculos dessas integrais são simples basta aplicar as relações entre produto entre dois cossenos e produto entre seno e cosseno Podemos notar que se m0 os termos do segundo membro serão 0 logo f x dx a π π π 0 Todavia para qualquer inteiro m somente o termo am resultará diferente de zero logo f x mx dx am cos π π π com m 123 Ao multiplicar fx por sen mx e seguindo o raciocínio anterior temos f x sen mx dx bm π π π com m 123 Isolando os termos nas equações que construímos temos 24 25 Tópicos de cálculo avançado U4 173 a f x mx dx n 1 π π π cos com n012 e b f x mx dx n 1 π π π sen com n123 Cabe destacar que temos em mãos a regra geral para determinar os coeficientes de uma série de Fourier Kaplan 1972 então define a série de Fourier como 1 2 0 1 1 a a x b sen x a nx bn sen nx n cos cos Esses cálculos possibilitam obter os valores dos coeficientes a partir de fx Temos então que a série é denominada por série de Fourier Kaplan 1972b também afirma que toda a série trigonométrica uniformemente convergente é uma série de Fourier Como a série converge uniformemente a fx para todo o x então fx é contínua para todo x fx tem período 2π Consequentemente temos uma série de Fourier Outro ponto importante que o autor destaca é o estudo da convergência da série de Fourier para a função Se fx for periódica e tiver período 2π apresentando derivada da primeira e da segunda contínuas em todo x então a série de Fourier irá convergir para fx em todo x Porém devemos estar atentos para o fato de fx apresentar cantos ou seja pontos em que sua derivada é descontínua Nesse caso a série de Fourier converge para a média entre os limites à esquerda e à direita desses pontos ou seja a função irá convergir para 1 2 1 1 x x x x f x f x lim lim Deve ficar claro que nos pontos de descontinuidade a série não converge mas em um intervalo fechado que não contém a descontinuidade mesmo estando próximo desse ponto descontínuo a série convergirá para fx Vamos resolver um exemplo com o intuito de aplicar as considerações realizadas acima Exemplo 3 adaptado de KAPLAN 1972b p 440 Seja fR em Z uma função por partes definida pela seguinte lei f x x x 1 0 1 0 se se π π Investigue a convergência da série de Fourier em x0 Primeiramente temos que pensar nas fórmulas para obtenção de an e bn Para an teremos 26 27 28 29 Tópicos de cálculo avançado U4 174 a nx dx nx dx n 1 1 1 1 0 0 π π π π cos cos 1 1 0 0 π π π π sen nx n sen nx n 0 com n012 b sen nx dx sen nx dx n 1 1 1 1 0 0 π π π π 1 1 0 2 4 4 1 3 5 0 0 π π π π π cos cos nx n nx n n n n Então para 0xπ temos a seguinte série de Fourier f x sen x sen x sen n n n 4 4 3 3 4 2 1 2 1 1 π π π Podemos então escrever as três primeiras somas parciais dessa série assim como realizamos na seção anterior ao definir séries S sen x 1 4 π S S sen x sen x sen x 2 1 4 3 3 4 4 3 3 π π π S sen x sen x sen x 3 4 4 3 3 4 5 5 π π π Para facilitar nossa compreensão a respeito da convergência da série para a função vamos esboçar um gráfico comparando a função e as primeiras somas parciais que obtivemos conforme apresentado na Figura 44 Fonte adaptada de Kaplan 1972b p 441 Figura 44 Representação de onda quadrada por série de Fourier Analisando a Figura 44 podemos observar que as funções associadas às somas parciais S1 S2 e S3 apresentam a tendência de se aproximar cada vez mais de fx Fica evidente que em x0 a fx apresenta um salto e os valores assumidos por S1 S2 e S3 também valeram 0 fato que fez com que as funções passassem pela origem Cabe retomar que nesse caso a função converge para o valor médio do salto conforme já tínhamos definido em 29 Note também que a mesma situação ocorre em π Enfim ao focarmos as extremidades da função podese observar que a convergência se torna cada vez pior nas vizinhanças imediatas à esquerda e à direita dos pontos que apresentam salto Tópicos de cálculo avançado U4 175 De acordo com Kreyszig 1983 as transformadas de Laplace apresentam uma vasta aplicação nas ciências naturais principalmente quando se está interessado em realizar o cálculo de equações diferenciais De um modo geral dada uma função de complexa manipulação a transformada de Laplace possibilita a obtenção de outra função mais simples No contexto da Engenharia esse tipo de transformada é aplicada em situações em que a força de propulsão é descontínua Definição 2 seja ft uma função que é definida para todos os valores positivos de t Vamos multiplicar essa função por e st e iremos integrála de modo impróprio de zero até o infinito Se essa integral existir ela será uma função de s F s e st f t dt 0 Essa função F s é denominada por transformada de Laplace da função original ft Geralmente a função transformada é simbolizada da seguinte forma ℒs F s e st f t dt 0 Podemos compreender a transformada de Laplace como sendo uma operação realizada sobre a função ft denominada por transformação de Laplace Consequentemente podemos dizer que ft é a transformação inversa ou a inversa de ℒs podendo ser representada por ℒs1 Kreyszig 1983 afirma que não necessitamos sempre recorrer à definição da transformada com o intuito de obtêla podendo simplesmente recorrer a uma tabela e ao fato da transformação de Laplace ser uma operação linear Nesse sentido podemos então enunciar o Teorema 2 Teorema 2 a transformação de Laplace é uma operação linear isso significa que para qualquer funções ft e gt cujas as transformadas existam e para quaisquer constantes a e b temos Vamos aprofundar nossos conhecimentos a respeito das séries de Fourier acessando os links httpwwwmatematicapucminasbrprofs webfabianocalculo4sfpdf httppessoalsercomtelcombrmatematicasuperiorfouriersfourier pdf e httpswwwyoutubecomwatchv3RJC8C3y0v0 Acesso em 29 ago 2016 23 Transformada de Laplace 30 31 Tópicos de cálculo avançado U4 176 ℒ t af t bg a ℒ f t b ℒ g t Esse teorema nos mostra que se tivermos de obter a transformada de uma função que é advinda da soma entre outras funções temos liberdade de realizar a transformada de cada uma dessas funções separadamente Logo a transformada da soma de funções é igual à soma das transformadas Podemos também inferir que se a função for multiplicada por uma constante podemos nos preocupar primeiramente em obter a transformada da função e depois multiplicar pela constante Vamos aplicar a definição 31 no exemplo com o objetivo de aprofundar nossa compreensão Exemplo 4 adaptado de KREYSZIG 1983 p 228 encontre a transformada de Laplace da função f t 1 para t0 Nosso primeiro passo nesse caso é recorrer à definição da transformada e substituir o valor da função ℒs F s e dt e dt st st 1 0 0 Vamos agora calcular a integral imprópria ℒ1 F s e dt e dt st t st t lim 1 1 0 0 Iremos primeiramente calcular a integral e depois iremos nos preocupar com a resolução do limite Logo e st st t t se 0 0 1 Iremos aplicar o teorema fundamental do cálculo 0 0 1 1 1 1 1 t st st se st s e s e s e s É necessário lembrar nessa passagem que e0 1 Agora sim iremos retornar ao limite a expressão que encontramos ao resolver a integral t st s e s s s lim 1 1 0 1 1 O que deve ficar claro nessa passagem ao aplicar o limite é que temos uma função exponencial com expoente negativo Nesse caso a função é decrescente e mostra que quando x tende ao infinito a função tende a 0 Logo ℒ1 1 s É importante destacar que ao conhecer a transformação de Laplace de algumas funções que corriqueiramente aparecem na matemática podemos facilitar nossos cálculos abrindo mão do uso da definição Semelhantemente ao processo de 32 Tópicos de cálculo avançado U4 177 derivação em cálculo diferencial e integral que recorríamos as tabelas de derivadas podemos aqui recorrer às transformadas ao Quadro 42 É pertinente também refletir a respeito da convergência da função para a transformada de Laplace De acordo com Kreyszig 1983 quando aplicamos a definição 31 podemos verificar intuitivamente que para qualquer s fixo a integral existirá somente se o integrando e st f t tender a zero De modo rápido quando t tender ao infinito temos em jogo uma função exponencial com expoente negativo Vemos também que a função não necessariamente deve ser contínua porém deve ser seccionalmente contínua ou seja dada uma função ft e um intervalo a t b e ft é definida nesse intervalo Se for possível dividir esse intervalo em n intervalos finitos sendo ft contínua e apresentando limites laterais finitos quando t tende para pontos localizados nos extremos do intervalo Dessa forma quando uma função é considerada seccionalmente contínua as únicas descontinuidades que lhe são imputadas são os saltos finitos descritos anteriormente esses saltos podem ser chamados de descontinuidades ordinárias Então a existência da transformada de Laplace é garantida pelo resultado do seguinte teorema Fonte Kreyszig 1983 p 230 Quadro 42 Algumas funções elementares ft e suas transformadas de Laplace Lf ft ℒf ft ℒf 1 1 1 s 6 eat 1 s a 2 t 1 2s 7 cosωt s s2 2 ω 3 t2 2 3 s 8 senωt ω ω s2 2 4 tn com n inteiro e positivo n sn1 9 coshat s s a 2 2 5 ta com a positivo Γ a sa 1 1 10 senhat a s a 2 2 Será que uma função sempre vai admitir uma transformada de Laplace Existem restrições ou condições em especial Quais seriam Tópicos de cálculo avançado U4 178 Teorema 3 seja ft uma função que é contínua em m intervalos sobre qualquer intervalo finito em t maior ou igual a zero e satisfaz a seguinte desigualdade f t Me t γ e para certas constantes α e M Então a transformada de Laplace existe para todo sγ Vamos resolver mais um exemplo aplicando as transformadas já obtidas no Quadro 42 Exemplo 5 encontre a transformada de Laplace para f t t t 4 3 2 De acordo com a definição teremos ℒs F s e t t dt e t dt e t dt st st st 4 4 3 2 0 3 0 2 0 Pela linearidade podemos resolver a transformada de cada um dos termos da função f t separadamente Vamos consultar o quadro e substituir as transformadas que já temos ℒ 4 3 2 t t 4 3 2 3 1 2 1 s s 24 2 4 3 s s Podemos observar que realizamos somente as operações fundamentais abrindo os fatoriais e realizando as multiplicações necessárias Portanto ℒ 4 3 2 t t 24 2 4 3 s s Para saber mais sobre a transformada de Laplace acesse httpswwwyoutubecomwatchvGrRWAOqF2p0 httpswwwyoutubecomwatchvH8ep3H8Rs httpswwwyoutubecomwatchv4RaEaTj2CBo httpwebxubiptfelippetexts2ansinaiscap5pdf e httpmtmufscbrdanielsem206translaplapdf Acesso em 29 ago 2016 É possível relacionar a transformada de Fourier com a transformada de Laplace assunto que estudamos anteriormente Vamos retomar a definição da transformada de Laplace ℒs F s e st f t dt 0 24 Introdução à transformada de Fourier Nessa transformada iremos realizar as seguintes substituições alterando s por iω iremos mudar os parâmetros da integral considerando agora Temos então a transformada de Fourier Definição 3 a transformada de Fourier de uma função hht desde que essa função seja absolutamente integrável denotada por Hω com ωℝ é definida Hωhteiωtdt Com o intuito de colocar em prática a definição vamos resolver o exemplo apresentado na continuidade Exemplo 6 encontre a transformada de Fourier para a seguinte função htAπ2t0 40tπ2 0 para os demais intervalos Devemos observar que a função que estamos trabalhando apresenta valores diferentes de 0 somente em Iπ2π2 Logo valendose da definição temos Hωfteiωtdt0π2A eiωtdt0π2A eiωtdt Observe que A e A são constantes logo podemos retirálas para fora do integral e ao resolver integrais podemos perceber que teremos por primitiva de eiωt a expressão eiωtiω Logo 1iω é constante e também será retirada para fora do integral Assim temos HωAiω1eiω2π2Aiωeiωπ2eiω0 Vamos agora aplicar os parâmetros Lembrese que e01 Podemos então colocar Aiω em evidência porém vamos inverter as parcelas HωAiω1eiω2π2Aiωeiωπ2eiω0 Tópicos de cálculo avançado U4 180 O artifício que iremos aprender agora consiste em utilizar uma relação exponencial para assim resolver a expressão então colocaremos 1 em evidência nas potências para assim poder utilizar a relação Assim teremos H A i e e i i ω ω π ω π ω 2 2 2 Como Cos e e i i ωπ ω π ω π 2 1 2 2 2 vemos que temos duas vezes essa relação H A i Cos ω ω ωπ 2 2 2 podemos colocar o 2 em evidência Enfim temos a transformada de Fourier H A i Cos ω ω ωπ 2 1 2 Para aprofundar seus conhecimentos sobre a transformada de Fourier acesse httpwwwcnpqbrdocuments101579fe4bbf50bfe4d3fb9bb 17f9b827e228 httpwwwdtfeeunicampbrwwwea612node251html httpswwwyoutubecomwatchv7svAVL14olo httpswwwyoutubecomwatchv8guuzx8FzvU e httppgutfpredubrdaelecursotecnologiadownload ProcessamentoDeSinaisAulaTransformada20de20Fourierpdf Acesso em 29 ago 2016 Vamos agora praticar o que aprendemos resolvendo as atividades 1 Considere a função f t a bt ct 2 uma função quadrática Determine a transformada de Laplace ℒ f 2 Considere a função de variável complexa w x y ixy 2 2 2 A função é analítica Tópicos de cálculo avançado U4 181 Nesta unidade você aprendeu Os números complexos primeiramente surgiram meio a necessidade de ampliação teórica e somente após verificouse a possibilidade de aplicações As operações fundamentais com os números complexos adição subtração multiplicação divisão e as potências de i A representação algébrica e polar de números complexos As funções elementares e domínio de uma função A diferenciação entre função crescente e decrescente As integrais definidas e indefinidas As funções impróprias que apresentam como parâmetro o infinito mas como o infinito não é um número trocamos por uma variável e aplicamos um limite dessa variável tendendo ao infinito A determinar o raio de convergência de uma série de potência A identificar uma série de Taylor A identificar uma série de Fourier A calcular os termos de uma série de Fourier A investigar a convergência de uma série de Fourier em pontos de descontinuidade A identificar uma função de variável complexa As funções analíticas que são funções que em um dado aberto D são contínuas nesse aberto A verificar se uma função analítica utilizando a condição da função satisfaz a condição CauchyRiemann A transformada de Laplace que é uma operação sofrida por uma função que resulta em uma função de manipulação mais simples que a original A encontrar a transformada de Laplace de uma função que não precisamos necessariamente aplicar a definição uma vez que podemos obter esse resultado utilizando um quadro de transformadas e a propriedade da transformada em ser uma operação linear A transformada de Fourier que pode ser obtida por meio da Tópicos de cálculo avançado U4 182 transformada de Laplace A identificar e aplicar a definição obtendo a transformada de Fourier de funções ou sinais Nesta unidade você conheceu alguns tópicos de cálculo avançado Procuramos abordar de forma detalhada cada exemplo expondo as passagens claramente retomando os conteúdos da disciplina de cálculo diferencial e integral Nesse sentido esta unidade é um trampolim para que você possa aprofundar seus estudos Então é de suma importância a realização das leituras dos textos e dos vídeos que foram disponibilizados no tópico Para saber mais Outro ponto fundamental é que você procure pelas bibliografias que foram consultadas para elaborar esta unidade Nessas referências há mais conteúdo exemplos e exercícios para serem resolvidos Procure também resolver todas as atividades dispostas nas unidades elas foram elaboradas visando proporcionar um momento de aplicação dos conhecimentos que foram debatidos tanto nos exemplos quanto nos textos da unidade Anseio que tenha tido uma boa compreensão dos conteúdos abordados na unidade e caso algo tenha ficado confuso procure por textos e exercícios da disciplina de cálculo diferencial e integral pois muitos de seus conceitos foram aplicados nesta Bons estudos 1 Considere os números complexos z134i z282i z3 5i Analise cada uma das proposições apresentadas a seguir I A soma entre z1 e z2 é igual a 112i Tópicos de cálculo avançado U4 183 II A diferença entre z2 e z3 é igual a 10i III O produto entre z3 e z1 é igual a 1917i Assinale a alternativa que apresenta somente as afirmativas corretas a Somente a afirmativa I está correta b Somente a afirmativa II está correta c Somente a afirmativa III está correta d Somente as afirmativas I e II estão corretas e Somente as afirmativas I e III estão corretas 2 Seja f uma função f R em R sendo x diferente de 0 definida pela seguinte lei f x x 1 3 uma função racional Assinale a alternativa que apresenta a área limitada pela função o eixo Ox limitada ao intervalo 1 a Meia unidade de medida b Dois oitavos unidade de medida c Seis nonos unidade de medida d Um sétimo unidade de medida e Dois terços unidade de medida 3 Seja a série de potência x n n n 3 1 Assinale a alternativa que apresenta o valor de r a 0 b 1 c 2 d 3 e 4 4 Seja w uma função definida em C dada pela seguinte lei wzayibxcy Assinale a alternativa que apresenta os valores de a b e c de modo que essa função seja analítica Tópicos de cálculo avançado U4 184 a bc e a1 b ab e c0 c ac e b0 d ab e c1 e bc e a1 5 Seja f uma função R em R definida pela seguinte lei f x x x x x 3 8 2 4 4 3 2 Assinale a alternativa que apresenta a transformada de Laplace da função a ℒs50 24 4 4 5 4 3 2 s s s s b ℒs75 48 4 5 4 3 s s s c ℒs25 8 4 4 5 4 3 2 s s s s d ℒs72 48 4 4 5 4 3 2 s s s s e ℒs75 48 1 4 4 3 2 s s s s U4 185 Tópicos de cálculo avançado Referências DANTE Luiz Roberto Matemática São Paulo Ática 2008 504 p GUIDORIZZI Luiz Hamilton Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2011a 635 p v 1 Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2011b 476 p v 2 KAPLAN Wilfred Cálculo avançado Tradução de Federic Tsu São Paulo Edgard Blücher 1972a 339 p v 1 Cálculo avançado Tradução de Federic Tsu São Paulo Edgard Blücher 1972b 750 p v 2 KREYSZIG Erwin Matemática superior Tradução de Alfredo Alves de Darias 2 ed Rio de Janeiro LTC 1983 20 p v 1 LEITHOLD Louis O cálculo com geometria analítica Tradução de Cyro de Carvalho Patarra 3 ed São Paulo Harba 1994 1178 p v 2 LIMA Elon Lages Curso de análise 14 ed Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2016 432 p v 1 LINSNETO Alcides Funções de uma variável complexa Rio de Janeiro IMPA 2012 468 p Anotações Anotações Anotações Anotações Anotações Anotações Anotações UNOPAR CÁLCULO AVANÇADO NÚMEROS COMPLEXOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E MÉTODOS NUMÉRICOS Cálculo avançado números complexos equações diferenciais e métodos numéricos