congruencia exercicios pdf

Portal da OBMEP Material Teorico Modulo Elementos Basicos de Geometria Plana Parte 1 Retas Cortadas por uma Transversal Oitavo Ano Autor Prof Ulisses Lima Parente Revisor Prof Antonio Caminha M Neto 6 de fevereiro de 2016 Portal da OBMEP 1 Retas cortadas por uma trans versal Sejam r e s duas retas situadas em um mesmo plano ambas concorrentes com uma reta t como mostrado na Figura 1 g h c d a b e f b s t r Figura 1 retas cortadas por uma transversal A reta t e uma reta transversal as retas r e s A in tersecao de t com r determina os ˆangulos a b c e d da figura ao passo que a intersecao de t com s determina os ˆangulos e f g e h Alguns pares formados por esses oito ˆangulos recebem denominacoes especiais como veremos a seguir Os pares a g e d f sao chamados alternos externos enquanto os pares b h e c e sao denominados alternos internos Os pares a f e d g sao chamados colaterais externos e os pares b e e c h sao denominados colate rais internos Destacamos ainda os pares a e b f c g e d h cha mados ˆangulos correspondentes Observando mais uma vez a Figura 1 note que os pares de ˆangulos a c e e g sao opostos pelo vertice OPV logo c a e e g Portanto se c e entao a c e g Daı como d e o suplementar de c e h e o suplementar de g temos d 180 c 180 g h Entao como acima concluımos que b d f h Mais geralmente argumentando tambem como fize mos acima temos a seguinte propriedade importante dos ˆangulos determinados por uma transversal A congruˆencia dos ˆangulos de qualquer um dos pares de ˆangulos alternos ou correspondentes acarreta a congruˆencia dos ˆangulos que formam os demais pa res Se um par de ˆangulos colaterais externos ou in ternos e formado por ˆangulos suplementares entao todos os pares de ˆangulos alternos ou corresponden tes sao congruentes A igualdade das medidas dos pares de ˆangulos descri tos acima tem uma implicacao importantıssima sobre a posicao relativa das retas r e s a qual isolamos a seguir Se quando cortadas por uma reta transversal duas retas situadas em um mesmo plano determinam um par de ˆangulos alternos ou correspondentes congru entes entao essas retas sao paralelas Nas notacoes da Figura 1 como a b 180 temos a e se e so se b e 180 Isto posto podemos refrasear o criterio acima da seguinte forma equivalente a qual tambem e por vezes bastante util No criterio acima a condicao determinam um par de ˆangulos alternos ou correspondentes congruen tes pode ser substituıda por determinam um par de ˆangulos colaterais suplementares Reciprocamente quando duas retas paralelas sao corta das por uma transversal obtemos uma importante relacao de congruˆencia entre os pares de ˆangulos descritos acima como mostra o resultado enunciado abaixo Se duas retas paralelas r e s sao cortadas por uma reta transversal t entao todos os pares de ˆangulos alternos ou correspondentes sao formados por ˆan gulos congruentes Neste caso os pares de ˆangulos colaterais sao formados por ˆangulos suplementares e f g h a b c d s t r Figura 2 retas paralelas cortadas por uma transversal Vejamos algumas aplicacoes dos fatos listados acima Exemplo 1 Na figura a seguir temos r s t Calcule em graus os valores dos ˆangulos x e y httpmatematicaobmeporgbr 1 matematicaobmeporgbr Dados uma reta r e um ponto P com P nao perten u cente ar existe uma tinica reta s paralela a r e que 5y az contém o ponto P Suponha pois que temos dados uma reta r e um ponto Pcom P r Como a paralela a r passando por P existe e é unica para construila é suficiente construirmos uma r reta passando por P que seja paralela ar Para tanto veja a Figura comecamos trangando 3a y por P uma reta qualquer concorrente com r Em se 45 6 guida marcamos o ponto O de intersecao das retas re t Consideramos um ponto r com Q diferente de O e construimos o angulo 7QPR congruente a ZPOQ e tal que os pontos R e estejam situados em semiplanos distintos dos determinados pela reta t A reta s RP é paralela ar pois 7QPRe ZPOQ sao angulos alternos internos congruentes Exemplo 2 Na figura a seguir sabendo que r s calcule Solugao Uma vez que os angulos alternos internos que a medida em gral dpangultie medem 3x2 y e 45 sao formados pelas intersegoes das retas paralelas r e s com a transversal u temos 5 D Analogamente observando agora as intersegoes de s e t C 65 que também sao paralelas com a reta u obtemos By Bry 1107 B pois esses 4ngulos também sao alternos internos A primeira equacao implica y 3x 45 Substituindo 70 esse valor de y na segunda equagao obtemos A r 3x 53a 45 3x 8a 45 5 Ok 15x 225 3x 3a 45 34 Solucgao Comecamos tracando pelos pontos B e C res 1dr 7 45 225 pectivamente retas t e u paralelas 4 reta r e consequen Ox temente paralelas também a reta s veja a figura a seguir z 270 Em seguida marcamos os pontos EF er FeésGete 90 HT u também conforme mostrado na figura acima Como eS t r e os angulos ZEAB e ZABG sao alternos internos Daf temos EAB ABG 70 Por outro lado Oo DB BD B BD y Br 45 3y 320 45 y 15 110 ABC ABG GBC 70 GBC q de onde obtemos GBC 40 Agora uma vez que as retas t e u sao paralelas e os N rer os angulos 7GBC e ZBCH sao alternos internos repetindo ossa segunda aplicacao é muito importante por forne 5 A A 4 cys o argumento acima obtemos 40 GBC BCH Mas cer um método pratico para tracarmos retas paralelas Nos séculos IV e III aC ao sistematizar a geometria como conhecida na antiguidade cldssica Euclides de Alexan 65 BCD BCH HCD 40 HCD dria enunciou seu famoso postulado das paralelas que 7 afirma que em um plano concluimos que HCD 25 http matematicaobmeporgbr 2 matematicaobmeporgbr Observe que no exemplo 2 havia dois angulos com F D vértice 4 esquerda e dois com vértice a direira Por ou z s tro lado na Figura 3 ha trés angulos de cada lado Entre 95 tanto note que o argumento de tracar retas paralelas pelos u vértices de tais Angulos nos permite concluir que a soma C 40 H Se ee das medidas dos angulos com vértices a direita é igual a 40 soma das medidas dos angulos com vértices 4 esquerda B t independentemente da quantidade de tais angulos G 70 Z O préximo exemplo ilustra uma aplicacao simples do teorema dos bicos 70 r Exemplo 3 Na figura abaixo sabendo que r es sao retas A E paralelas calcule o valor do dngulo x 5 41 Agora notando que as retas s e u sao paralelas e que os angulos ZHCD e ZCDF sao alternos internos temos 22 CDF HCD 25 O 30 No exemplo anterior observe que 33 EAB BCD 70 65 135 50 e r ABC CDF 110 25 135 Repetindo o argumento utilizado obtemos mais geral mente o seguinte fato ao qual nos referiremos como o Solugao Pelo teorema dos bicos temos teorema dos bicos 33 2a 41 30 4 20 Na Figura 3 se r s entao Logo a a2 a3 0b bo bg 2x 91 33 58 x 29 O 7 2 Angulos internos e externos de b on um triangulo a3 Dados trés pontos nao colineares A B e C o triangulo be ABC é a uniao dos trés segmentos de reta AB BC e AC veja a Figura 4 Os pontos A B e C sao os vértices e os i segmentos AB BC e AC sao os lados do trangulo ABC b Dado um triangulo ABC os angulos ZBAC ZABC e ZACB sao os angulos internos do triangulo Quando nao houver perigo de confusao as medidas dos angulos r 1 internos de um triangulo ABC seraodenotadas simples mente por BAC A ABC Be ACBC Agora conforme mostrado na Figura 5 tomemos pontos Figura 3 0 teorema dos bicos DE e F respectivamante sobre as semirretas BA CB e AC http matematicaobmeporgbr 3 matematicaobmeporgbr A D J Avy LLL gee E r B C B C Figura 4 um triangulo ABC qualquer Figura 6 relacaéo entre angulos internos e externos D é Ay Em todo triangulo a medida de um angulo externo qualquer é igual a soma das medidas dos dois angulos internos nao adjacentes a ele Uma consequéncia imediata mas importantissima é o fato de que nas notagoes da Figura 6 ABCADAC 180 C E B Assim temos a seguinte propriedade dos angulos internos de um triangulo FS Em todo triangulo a soma das medidas dos angulos int 3658 igual a 180 Figura 5 angulos de triangulo qualquer mnbeTnos sempre tear a Os angulos ZDAC ZABE e ZBCF sao trés dos angulos externos do triangulo ABC Observe que além dos angulos externos mostrados na Figura 5 o triangulo ABC tem outros trés angulos externos os quais sio OPV aos Aangulos externos mostrados naquela figura Como exercicio para o leitor sugerimos esbocar esses outros trés angulos externos Dado um triangulo ABC cujos angulos internos medem A B e C considere um ponto D sobre o prolongamento do lado AB conforme mostrado na Figura 6 Tracemos por Aumareta 1 paralela ao lado BC e mar quemos um ponto EF sobre r também conforme mostrado na Figura 6 Veja que as retas r e AB sao paralelas os angulos ZDAE e ZABC sao correspondentes e os angulos ZEAC e ZACB sao alternos internos Dai temos DAC DAE EAC ABC ACBBC Podemos sintetizar a discussao feita acima no seguinte resultado http matematicaobmeporgbr 4 matematicaobmeporgbr Portal da OBMEP Dicas para o Professor Recomendamos que sejam utilizadas duas sessoes de 50min para discutir a Secao 1 e uma sessao de 50min para a Secao 2 Na Secao 1 ressalte que e suficiente que ape nas um par de ˆangulos alternos ou correspondentes seja formado por ˆangulos congruentes ou ainda que um par de ˆangulos colaterais seja formado por ˆangulos suplemen tares para que se dˆe o mesmo com todos os outros pares Na Secao 2 procure explicar intuitivamente atraves de recortes com cartolina por exemplo os resultados que re lacionam as medidas dos ˆangulos de um triˆangulo pois isso facilitara a compreensao por parte dos alunos Sugestoes de Leitura Complementar 1 A Caminha Topicos de Matematica Elementar Vo lume 2 Geometria Euclidiana Plana Rio de Janeiro SBM 2013 2 A Caminha Geometria Rio de Janeiro SBM 2013 3 O Dolce e J N Pompeo Os Fundamentos da Ma tematica Elementar Volume 9 Geometria Plana Sao Paulo Atual Editora 2012 httpmatematicaobmeporgbr 5 matematicaobmeporgbr