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Matemática e suas Tecnologias Livro do Estudante Ensino Médio Brasília MECINEP 2006 Matemática e suas Tecnologias Livro do Estudante Ensino Médio Coordenação Geral do Projeto Maria Inês Fini Coordenação de Articulação de Textos do Ensino Médio Zuleika de Felice Murrie Coordenação de Texto de Área Ensino Médio Matemática e suas Tecnologias Maria Silvia Brumatti Sentelhas Leitores Críticos Área de Psicologia do Desenvolvimento Márcia Zampieri Torres Maria da Graça Bompastor Borges Dias Leny Rodrigues Martins Teixeira Lino de Macedo Área de Matemática Área de Matemática e suas Tecnologias Eduardo Sebastiani Ferreira Maria Eliza Fini Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão Diretoria de Avaliação para Certificação de Competências DACC Equipe Técnica Ataíde Alves Diretor Alessandra Regina Ferreira Abadio Célia Maria Rey de Carvalho Ciro Haydn de Barros Clediston Rodrigo Freire Daniel Verçosa Amorim David de Lima Simões Dorivan Ferreira Gomes Érika Márcia Baptista Caramori Fátima Deyse Sacramento Porcidonio Gilberto Edinaldo Moura Gislene Silva Lima Helvécio Dourado Pacheco Hugo Leonardo de Siqueira Cardoso Jane Hudson Abranches Kelly Cristina Naves Paixão Lúcia Helena P Medeiros Maria Cândida Muniz Trigo Maria Vilma Valente de Aguiar Pedro Henrique de Moura Araújo Sheyla Carvalho Lira Suely Alves Wanderley Taíse Pereira Liocádio Teresa Maria Abath Pereira Weldson dos Santos Batista Capa Marcos Hartwich Ilustrações Raphael Caron Freitas Coordenação Editorial Zuleika de Felice Murrie O MECINEP cede os direitos de reprodução deste material às Secretarias de Educação que poderão reproduzilo respeitando a integridade da obra M425 Matemática e suas tecnologias livro do estudante ensino médio Coordenação Zuleika de Felice Murrie 2 ed Brasília MEC INEP 2006 244p 28cm 1 Matemática Ensino Médio I Murrie Zuleika de Felice CDD 510 Sumário Introdução Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade Suzana Laino Cândido Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática Fabio Orfali Capítulo III Convivendo com os números Elynir Garrafa Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam Marília Toledo Capítulo V Medidas e seus usos José Luiz Pastore Mello Capítulo VI As grandezas no diaadia Lúci M Loreto Rodrigues Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos Wilson Roberto Rodrigues Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia Jayme Leme Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia Helenalda Nazareth 8 11 39 65 87 117 143 175 197 221 8 Este material foi desenvolvido pelo Ministério da Educação com a finalidade de ajudálo a prepararse para a avaliação necessária à obtenção do certificado de conclusão do Ensino Médio denominada ENCCEJA Exame Nacional de Certificação de Competências de Jovens e Adultos A avaliação proposta pelo Ministério da Educação para certificação do Ensino Médio é composta de 4 provas 1 Linguagens Códigos e suas Tecnologias 2 Matemática e suas Tecnologias 3 Ciências Humanas e suas Tecnologias 4 Ciências da Natureza e suas Tecnologias Este exemplar contém as orientações necessárias para apoiar sua preparação para a prova de Matemática e suas Tecnologias A prova é composta de 45 questões objetivas de múltipla escolha valendo 100 pontos Este exame é diferente dos exames tradicionais pois buscará verificar se você é capaz de usar os conhecimentos em situações reais da sua vida em sociedade As competências e habilidades fundamentais desta área de conhecimento estão contidas em I Compreender a Matemática como construção humana relacionando o seu desenvolvimento com a transformação da sociedade II Ampliar formas de raciocínio e processos mentais por meio de indução dedução analogia e estimativa utilizando conceitos e procedimentos matemáticos III Construir significados e ampliar os já existentes para os números naturais inteiros racionais e reais IV Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela V Construir e ampliar noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano VI Construir e ampliar noções de variação de grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano VII Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas envolvendo variáveis socioeconômicas ou técnicocientíficas Introdução 9 VIII Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas realizando previsão de tendência extrapolação interpolação e interpretação IX Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística Os textos que se seguem pretendem ajudálo a compreender melhor cada uma dessas nove competências Cada capítulo é composto por um texto básico que discute os conhecimentos referentes à competência tema do capítulo Esse texto básico está organizado em duas colunas Durante a leitura do texto básico você encontrará dois tipos de boxes um boxe denominado de desenvolvendo competências e outro de texto explicativo O boxe desenvolvendo competências apresenta atividades para que você possa ampliar seu conhecimento As respostas podem ser encontradas no fim do capítulo O boxe de texto explicativo indica possibilidades de leitura e reflexão sobre o tema do capítulo O texto básico está construído de forma que você possa refletir sobre várias situações problema de seu cotidiano aplicando o conhecimento técnicocientífico construído historicamente organizado e transmitido pelos livros e pela escola Você poderá ainda complementar seus estudos com outros materiais didáticos freqüentando cursos ou estudando sozinho Para obter êxito na prova de Matemática e suas Tecnologias do ENCCEJA esse material será fundamental em seus estudos Suzana Laino Cândido A MATEMÁTICA UMA CONSTRUÇÃO DA HUMANIDADE COMPREENDER A MATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA RELACIONANDO SEU DESENVOLVIMENTO COM A TRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE Capítulo I Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 12 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade A Matemática e o diaadia As condições de vida da humanidade se modificaram ao longo do tempo com o desenvolvimento da agricultura do comércio da indústria do conhecimento e da tecnologia E através das conseqüências do avanço em todas essas áreas Apesar de o homem não ter registrado o que fazia e pensava no início de sua história ele precisava resolver problemas de seu diaadia ligados à sua subsistência Ao buscar soluções para eles o conhecimento matemático começou a ser construído Figura 1 Na comparação entre o número de aves do caçador e o número de peixes do pescador está a raiz de uma das mais belas idéias matemáticas a proporcionalidade 1 Desenvolvendo competências Reflita sobre a seguinte situação Se os pescadores e caçadores daquela época trocassem sempre 2 aves por 3 peixes quantos peixes deveria ter um pescador para trocar por 22 aves Como você resolveria esse problema Os homens das cavernas não dispunham ainda dos registros e técnicas operatórias atuais para resolver a questão O pescador poderia pensar assim quero aves mas só tenho peixes Vou agrupar meus peixes de 3 em 3 e para cada grupo ponho 2 pedrinhas ao lado para representar as aves até completar 22 pedrinhas Então conto quantos peixes preciso São 33 peixes Figura 2 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 13 O caçador poderia pensar de um modo semelhante para resolver o problema agrupando suas 22 aves em grupos de 2 agora as pedrinhas seriam peixes 3 para cada grupo de aves Contanto as pedrinhas ele descobre que são 33 peixes Assim como esse outros problemas que o homem tem resolvido em seu cotidiano deram grande impulso ao conhecimento da humanidade e em particular ao conhecimento matemático A Matemática e a linguagem Tanto o pescador como o caçador pensaram de um modo até bastante sofisticado Entretanto talvez a estratégia que utilizaram para resolver a questão da troca já não fosse tão eficiente se tivessem que decidir quantos peixes trocar por 560 aves Com o correr do tempo o homem passou a produzir mais e a ter um estoque do que produzia superávit além da necessidade do consumo próprio e de seu grupo Com isso as idéias e técnicas matemáticas foram se aperfeiçoando para poder resolver os problemas que envolviam grandes quantidades por exemplo É bem possível que você tenha resolvido o problema dos peixes de um modo mais rápido como por exemplo Esses símbolos que atualmente combinamos e usamos de um modo conveniente para registrar a resolução do problema dos peixes fazem parte de uma linguagem escrita que foi sendo construída à medida que as idéias e conceitos matemáticos foram sendo descobertos elaborados e aplicados pelo homem em outras situações é a linguagem matemática Essa linguagem quando é escrita utiliza símbolos próprios e universais o que permite uma comunicação que ultrapassa fronteiras das diversas línguas Entretanto quando nos comunicamos oralmente utilizando essa linguagem lançamos mão da língua materna Veja um exemplo Um freguês de uma padaria compra todos os dias leite a R110 o litro e alguns pãezinhos a R 020 cada Como se pode representar a despesa dessa pessoa num dia A situação acima descrita em nossa língua materna pode ser registrada por meio da linguagem matemática que favorece a representação da despesa desse freguês para qualquer quantidade de pães que ele compre Podemos representar por n o número de pães e por fn lêse f de n a despesa Assim a despesa pode ser representada pela igualdade f n 110 020 n Despesa total Despesa com o leite Despesa com os pães Figura 3 11 3 33 ou 22 2 11 00 2 3 22 x então x 33 3 22 2 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 14 2 3 Desenvolvendo competências Você e as placas de trânsito Algumas placas de trânsito que você encontra nas ruas e estradas utilizam uma linguagem simbólica muitas vezes impregnada de idéias matemáticas Observe as placas ao lado a O que elas significam b Que idéia matemática cada uma delas utiliza Desenvolvendo competências Represente o que é solicitado em cada situação por uma sentença matemática de acordo com as informações dadas 1 Um táxi cobra R350 a bandeirada e R120 por quilômetro rodado Como você pode representar a despesa de um passageiro que faz um percurso de alguns quilômetros nesse táxi Represente por n o número de quilômetros rodados e por fn a despesa do passageiro 2 Todos os terrenos de um condomínio têm 10m de frente porém têm largura que varia de um terreno para outro Como você pode representar a área de um terreno qualquer desse condomínio que tem alguns metros de largura Represente por A a área do terreno e por l sua largura É claro que até chegarmos a esse tipo de linguagem milhares de anos se passaram Além de todos esses símbolos que utilizamos para nos comunicar e para resolver problemas muitas vezes nos valemos de uma linguagem constituída de ícones gráficos e diagramas impregnada de idéias matemáticas e cujo objetivo é comunicar informações do modo mais claro e preciso possível Agora é sua vez de simbolizar A linguagem matemática está sempre em evolução já que novas idéias e conceitos são criados a todo momento Figura 4 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 15 A todo momento podemos constatar nos meios de comunicação televisão jornais revistas internet folhetos livros etc a presença dessa linguagem Uma pessoa que não a domina não é Pense um pouco sobre os gráficos acima Os gráficos publicados pelo jornal fizeram parte de matéria sobre o caso cracolândia ocorrido na capaz de compreender as informações apresentadas o que poderá tornála incapaz de participar de maneira integral de uma vida em sociedade cidade de São Paulo no final de 2001 e dizem respeito às ações promovidas pela Corregedoria da polícia civil e à situação de seus funcionários Adaptado da Folha de S Paulo São Paulo 17 dez 2001 Cotidiano p C4 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 16 5 O gráfico denominado de Os motivos das demissões é chamado gráfico de barras pois é constituído de barras retangulares horizontais cujo comprimento representa o percentual dos motivos de corrupção no período de 1996 a 2001 Ao justificar suas respostas sobre o gráfico dos demitidos você deve ter argumentado baseando se nos conhecimentos que construiu até hoje Por exemplo quando dizemos que em 2001 o número de demitidos foi de aproximadamente 22 do total entre 1996 e 2001 estamos comparando 172 com 797 e registrando o número na forma percentual Confira dividimos 172 por 797 obtendo aproximadamente 0215808 confira com uma calculadora multiplicamos 0215808 por 100 para escrever esse número na forma percentual 215808 agora você já não precisa de calculadora 4 O gráfico denominado de O número de demitidos é chamado gráfico de linha já que uma linha a laranja liga os pontos que representam os números de demitidos mostrando a evolução desse número no período de 1996 a 2001 Desenvolvendo competências a Você pode concluir que no período de 1996 a 2001 o número de demitidos da polícia civil em São Paulo sempre cresceu Por quê b Na primeira metade desse período 19961998 foram demitidos aproximadamente 50 dos policiais demitidos no período todo 19962001 Você considera essa afirmação verdadeira Justifique sua resposta também aproximamos esse número para 216 desprezando as demais casas decimais que não representariam sequer 1 pessoa A forma percentual indica que comparamos uma parte dos demitidos com um total de 100 Assim o número 216 representa a seguinte situação ideal se pudéssemos agrupar os 797 demitidos em grupos de 100 e espalhar igualmente por esses grupos os 172 demitidos aproximadamente 216 pessoas em cada grupo teriam sido demitidas em 2001 o que na realidade não acontece já que não existe 06 de pessoa Então esse número 216 por estar mais próximo de 22 do que de 21 deve ser aproximado para 22 significando que em cada grupo de 100 demitidos entre 1996 e 2001 há aproximadamente 22 demitidos em 2001 Desenvolvendo competências Agora é com você Observe o gráfico de barras e verifique quantos policiais foram demitidos no período de 1996 a 2001 por corrupção A partir das situações apresentadas você deve ter percebido a importância da linguagem matemática para controlar e prever resultados como no caso da despesa dos pães e leite bem como para comunicar dados e idéias como no caso das placas de trânsito e dos gráficos do jornal Essa linguagem foi pseudoconstruída ao longo do tempo à medida que as idéias matemáticas que ela descreve foram ficando cada vez mais claras e precisas para a humanidade Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 17 O desenvolvimento da Matemática e os outros campos do conhecimento Você já viu que o desenvolvimento da Matemática se deve em grande parte à busca de soluções para problemas que a humanidade tem enfrentado em seu diaadia Apenas para dar alguns exemplos Que chance tenho em ter meu bilhete sorteado numa loteria de números Como fixar as ripas de meu portão Quantas estampas diferentes posso obter nos tecidos da tecelagem onde trabalho se o fundo pode ser ou azul ou amarelo e o desenho pode ser de bolinhas brancas ou de listras pretas ou ainda xadrez vermelho Questões semelhantes a essa fizeram o homem pensar nos fenômenos probabilísticos em questões geométricas e nos problemas de contagem respectivamente Além desses campos específicos da Matemática aos quais eles se referem outros mais foram desenvolvidos a partir de problemas que envolviam números medidas álgebra ligados à realidade da humanidade Entretanto os outros campos do conhecimento também têm solicitado respostas da Matemática para solucionar seus problemas específicos contribuindo indiretamente para seu desenvolvimento Para citar um exemplo que mostra a Matemática sendo utilizada em outro campo do conhecimento vamos focalizar nosso olhar na Trigonometria ramo da Matemática que até por volta do século XVII desenvolveuse em decorrência de uma ligação estreita entre a teoria e a prática No início de sua criação a Trigonometria era um campo da Matemática no qual os ângulos de um triângulo e as medidas de seus lados eram relacionados As razões trigonométricas apareceram inicialmente por necessidades da Astronomia da Agrimensura e da navegação Posteriormente por volta dos séculos XVI e XVII a Trigonometria esteve a serviço da Física para descrever e explicar fenômenos periódicos como por exemplo o movimento periódico dos planetas estudado por Kepler o movimento periódico dos pêndulos estudado por Galileu a propagação do som em forma de ondas estudada por Newton a propagação da luz em forma de ondas estudada por Huyghens a vibração de uma corda de violino estudada por Mersenne Astronomia é a ciência que estuda as posições relativas os movimentos a estrutura e a evolução dos astros Agrimensura é a técnica de medida dos elementos geométricos das partes de um terreno Tri gono metria três medida ângulo Todos sabem que se você deseja ser um físico ou engenheiro deveria ser bom em Matemática Mais e mais pessoas estão descobrindo que se desejam trabalhar em certas áreas da Economia ou Biologia deveriam rever sua Matemática A Matemática penetrou na Sociologia Psicologia Medicina e Lingüística Sob o nome de cliometria está se infiltrando na História para sobressalto dos mais velhos DAVIS Philip J KERSH Reuben A experiência matemática Tradução de João Bosco Pitombeira Rio de Janeiro F Alves c 1989 481p Coleção Ciência The Mathematical experience Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 18 Já no final do século XVII com o início do desenvolvimento do conceito de Função o estudo da Trigonometria se ampliou para um campo mais abstrato desligandose assim das aplicações práticas Figura 6 Onde a b e c são as medidas dos catetos e da hipotenusa desse triângulo retângulo a e b seus ângulos agudos e sen seno cos coseno e tg tangente são razões entre medidas dos lados desse triângulo como estão descritas acima h1 h2 h3 v1 v2 v3 c constante As razões trigonométricas já eram utilizadas pelos egípcios para resolver problemas de Arquitetura por ocasião das construções das pirâmides Para manter constante a inclinação das paredes das pirâmides durante a construção eles mantinham constante o quociente do afastamento horizontal pelo afastamento vertical que eram medidos com unidades diferentes Na figura a seguir os afastamentos horizontais foram representados por h 1 h 2 e h 3 e os verticais por v 1 v 2 e v 3 Figura 7 Assim quando eles constatavam que Atualmente as razões trigonométricas num triângulo retângulo são apresentadas como na Figura 6 concluíam que a parede apresentava sempre a mesma inclinação Ora o quociente entre essas medidas é nada mais nada menos do que uma razão trigonométrica conhecida hoje por cotangente do ângulo de inclinação da parede com o chão Hoje em dia medese a inclinação de uma reta por uma razão entre segmentos verticais e horizontais tangente do ângulo de inclinação razão essa inversa da utilizada pelos egípcios para resolverem problemas arquitetônicos Figura 5 Triângulo retângulo é o triângulo que tem um ângulo reto de 90 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 19 Hoje usase Egípcios usavam tg α v h cotg α h v Atualmente os topógrafos dispõem de instrumentos de medida de ângulo que lhes permitem determinar medidas por vezes inacessíveis tg 30º h 200 ou 057 h 200 Desejando saber qual a altura do morro que tinha à sua frente um topógrafo colocouse com seu teodolito a 200m do morro Ele sabe que a altura do teodolito é de 160m Posiciona o aparelho que lhe fornece a medida do ângulo de visada de parte do morro 30 Consulta uma tabela de tangentes e verifica que tg 30 057 Assim no triângulo TPM temos Figura 8 o que lhe permite calcular h h 200 x 057 114 O topógrafo conclui que o morro tem 114 160 11560m de altura Figura 9 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 20 Uma experiência que você também pode fazer Veja como é possível encontrar a tangente de um ângulo agudo experimentalmente Como exemplo vamos determinar a tangente de um ângulo de 35 indicase tg 35 utilizando Construímos com a régua e o transferidor um ângulo de 35 Apoiamos o esquadro em um dos lados do ângulo em vários pontos desse lado por exemplo A B C traçamos perpendiculares a esse lado até encontrar o outro lado em pontos correspondentes A B C Régua Transferidor Esquadro Figura 10 Figura 11 Figura 12 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 21 Foram construídos assim vários triângulos retângulos OAA OBB OCC destacados a seguir medida do cateto oposto ao ângulo de 35 Como tg 35 medida do cateto adjascente ao ângulo de 35 em cada triângulo medimos o cateto oposto ao ângulo de 35 AA BB CC e o cateto adjacente a esse ângulo OA OB OC para encontrarmos o valor de tg 35 102 tg 35 067 152 305 406 tg 35º 075 tg 35º 073 356 483 Calculamos a média aritmética dos valores obtidos para expressar o valor mais representativo de tg 35 do seguinte modo tg 35 071 067 075 073 3 Com um processo semelhante podemos determinar experimentalmente o seno e o cosseno de ângulos agudos Figura 13 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 22 6 Desenvolvendo competências Para você desvendar uma construção estranha O quebracabeça a seguir é muito conhecido Para desvendálo você precisa pensar na tangente de ângulos agudos em triângulos retângulos Vamos experimentar A Figura 14 é uma região quadrada montada com figuras de um quebracabeça formado por 4 peças dois triângulos e dois trapézios Essas peças são compostas de outra maneira formando outra região retangular na Figura 15 Isso é possível já que as peças que formam o quebracabeça da Figura 14 são as mesmas que formam o quebracabeça da Figura 15 Concorda ou não Você acha que eles deveriam ter a mesma área já que são compostos pelas mesmas peças Agora confira se a região quadrada da Figura 14 tem 64 de área e a região retangular da Figura 15 tem 65 de área Finalmente responda por que a área da Figura 14 tem uma unidade a mais do que a área da Figura 15 Para resolver esse problema imite os egípcios porém usando a tangente dos ângulos α e β assinalados na Figura 16 ao lado Se eles possuírem a mesma tangente é porque são iguais e então a linha AB é realmente um segmento de reta Caso eles não tenham a mesma tangente então a linha AB muda de inclinação no ponto X Aproveite o quadriculado e escolha dois triângulos retângulos convenientes na figura para você determinar tg α e tg β Considere o lado do quadradinho como uma unidade de medida u Mãos à obra Figura 16 Figura 14 Figura 15 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 23 Depois de tirar sua conclusão você pode confirmála montando o quebracabeça da Figura 14 numa malha quadriculada de 2cm x 2cm e depois recortando as peças e montando o quebra cabeça da Figura 15 Vai ter uma surpresa que confirmará sua resolução anterior Experimente Neste quebracabeça você foi incentivado a utilizar seu conhecimento sobre as tangentes de ângulos agudos na prática a fim de explicar por que a área da nova região retângular é diferente da área da região quadrada inicial Você observou que foi necessária uma ferramenta teórica para dar tal explicação o conceito de tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo Mas você fez também o caminho inverso Experimentou montar a região quadrada inicial num quadriculado maior separando suas peças rearranjandoas para montar a segunda região retangular Verificou então que nesse caso o quebracabeça não fecha fica uma fenda no meio dele mostrando que a área da segunda figura é maior do que a da primeira Essa prática confere ao conhecimento construído conceito de tangente uma certa confiabilidade Esse movimento conhecimentoprática conhecimento ocorreu inúmeras vezes na construção do conhecimento matemático Algumas teorias como as geometrias não euclidianas foram criadas não por necessidades impostas pela realidade nem para atender a outras ciências nem à Matemática mas por simples exercício do intelecto e só muito tempo depois de sua criação encontraram aplicação na Física A teoria geral da relatividade elaborada por Einstein não teria sido possível sem uma dessas geometrias É a aplicação prática novamente dando confiabilidade ao conhecimento matemático construído Ainda vale a pena lembrar que muitos problemas práticos ou científicos são resolvidos por modelização isto é criamse modelos matemáticos para resolvêlos como no caso da Química Durante muito tempo no campo da Química procuraramse modelos para representar os átomos de elementos químicos Era desejável que tais modelos por meio de sua configuração espacial pudessem descrever e explicar as propriedades desses elementos como por exemplo o tetraedro que representa o átomo de carbono O que você pensa sobre isso Você considera que um modelo desse tipo é algébrico geométrico ou aritmético 7 Desenvolvendo competências Esse modelo do átomo de carbono pode ser considerado como o esqueleto de um sólido o tetraedro No caso da modelização nem sempre os modelos construídos são suficientemente bons para responder às necessidades práticas Por isso as teorias têm que ser colocadas à prova é a experiência validando o conhecimento construído Figura 17 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 24 A Matemática e suas questões internas Quantas vezes você já deve ter feito a mesma pergunta que aparece na Figura 18 não é mesmo Muitas vezes aprendemos conceitos matemáticos que à primeira vista nada têm a ver com a realidade em que vivemos Posteriormente percebemos que eles serviram para construirmos novos conceitos e idéias matemáticas que têm grande aplicação em nossa vida Um exemplo interessante é o dos números complexos É muito comum entrarmos em contato com esse tipo de número por meio de problemas que envolvem raiz quadrada de número negativo Veja um problema famoso a seguir Descubra dois números cuja soma é 10 e cujo produto é 40 Esse problema foi objeto de estudo do matemático italiano Cardano em 1545 que o considerou manifestamente impossível mas mesmo assim vamos operar A equação do segundo grau já era conhecida no tempo de Cardano ax 2 bx c 0 e a fórmula que a resolve também onde a b e c são números reais Cardano concluiu que a equação que resolvia esse problema é x 210 x 40 0 e que eram soluções do problema Entretanto considerou essas expressões inúteis pois envolviam números para os quais ainda não tinha sido dado nenhum significado a raiz quadrada de número negativo Nesse tempo Bombelli outro matemático italiano resolveu operar com esses números mesmo sem dar a eles um significado imitando o procedimento que utilizava para operar com números reais Bombelli confirma por exemplo que a soma e o produto dos números e soluções do problema inicial são 10 e 40 respectivamente Ele operou com esses números usando as mesmas regras e propriedades dos números reais que conhecia Figura 18 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 25 9 Desenvolvendo competências Você já operou com os números Agora representeos por dois pontos no plano Antes porém escrevaos na forma e construa os dois eixos perpendiculares o da parte real onde você vai marcar o número a e o da parte imaginária onde você vai marcar o número b Figura 19 8 As raízes quadradas de números negativos continuaram a aparecer nos séculos XVI XVII e XVIII Os matemáticos manipulavam esses números sem saber o que significavam tanto é que os nomes que tais números receberam na época descreviam bem esse desconforto sofísticos fictícios impossíveis místicos sem sentido imaginários este último perdura até hoje O conjunto desses números só passou a ter status de campo numérico a partir dos trabalhos de Gauss no final do século XVIII e início do século XIX quando os números da forma onde a e b são números reais passaram a ser Como você pode ver a criação dos números complexos não se deveu a nenhum problema do cotidiano das pessoas mas sim à necessidade de dar um significado a soluções de equações onde apareciam raízes quadradas de números negativos E essa é uma questão interna à Matemática Aprender sobre os avanços da Matemática que surgiram em virtude da necessidade de resolver seus problemas internos contribui para desenvolver maneiras particulares de raciocinar compreender como um conteúdo matemático de grande aplicação na realidade foi criado a partir de outro que aparentemente nada tem a ver com ela mas somente como exercício do pensar aumentar sua cultura chamados de números complexos e a ser representados por um par ordenado de números reais a b que admitia uma representação geométrica por um ponto no plano Desenvolvendo competências Imitando Bombelli Tente encontrar a soma e o produto abaixo Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 26 Afinal o que a Matemática tem a ver com o lixo Ora uma campanha de conscientização sobre a coleta do lixo pode ser feita com as pessoas que moram em seu quarteirão Ela pode ser desenvolvida em várias etapas como por exemplo Um grupo de vizinhos interessados em solucionar o problema pode se organizar para fazer essa campanha Fazer um levantamento do tipo de lixo que é jogado nas ruas observando as ruas todos os dias durante um certo período estipulado pela equipe recolhendo e anotando o lixo encontrado papéis casca de frutas embalagens garrafas etc Para fazer essa coleta o grupo de vizinhos deve se munir de luvas de borracha sacos de lixo de 20 litros marcados com cores diferentes azul Usando a Matemática para modificar o mundo A todo momento convivemos com uma grande quantidade de objetos fatos e informações de procedências e naturezas diversas Por isso precisamos compreendêlos analisálos relacionálos e muitas vezes modificálos para tornar melhor a realidade em que vivemos Você pode notar que essas três situações são de caráter muito diferente Arrumar os objetos no armário demanda de você uma habilidade em ocupar o espaço de modo conveniente para que todos os objetos caibam Mas não só isso É possível que você queira colocar na prateleira de cima os objetos que usa para escrever lápis caderno e livro e na de baixo os que não utiliza para esse fim relógio tesoura caixinhas Isso mesmo você classifica os objetos de acordo com o critério que mais lhe interessa Já a questão do lixo é mais complexa pois sua solução não depende apenas de você Que tal uma campanha de conscientização entre as pessoas que moram no seu quarteirão Como fazer isso Seria bom fazer uma coleta seletiva As pessoas sabem o que é isso Os exemplos são tantos que tropeçamos neles em nosso diaadia desde os mais simples até os mais complexos Figura 20 Figura 21 Figura 22 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 27 para papel verde para vidro amarelo para latas vermelho para plásticos branco para lixo orgânico de como é feita a coleta de lixo nesse quarteirão por caminhão coletor por cada morador que queima seu lixo ou levao para um depósito comunitário etc sobre o conhecimento que as pessoas têm sobre coleta seletiva e se praticam a coleta seletiva Papel Vidro Latas de bebida Orgânico restos de alimentos folhas animais mortos etc Plástico 2kg 1kg 3kg 3kg Sarjeta Portas de casas Sarjeta calçadas Sarjeta calçadas rua porta de casa Tipo de lixo Quantidade Local 1kg Sarjeta esquinas Conhece Não conhece 10 1 15 64 Coleta seletiva de lixo Pratica Não pratica papel 34 12 44 vidro 2 0 88 lata 24 15 51 orgânico 13 8 69 plástico 6 10 74 Tipo de lixo Em relação ao hábito de jogar lixo na rua a Tabela 1 apresenta o nº de moradores em cada situação Em relação ao conhecimento e à prática da coleta seletiva de lixo a Tabela 2 apresenta o nº de moradores em cada situação Em relação ao tipo de lixo e à quantidade encontrados nas ruas durante um certo período por exemplo 1 semana Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3 sobre os insetos mais freqüentes nas casas desse quarteirão e na parte externa às moradias O grupo de vizinhos poderá encontrar outros itens que considerar mais convenientes De posse desses dados o grupo poderá arrumálos em tabelas poderá também confeccionar gráficos para a conscientização dos moradores do quarteirão como por exemplo Joga freqüentemente raramente nunca Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 28 A elaboração das tabelas favorecerá a observação de semelhanças e diferenças entre os materiais coletados e portanto favorecerá os processos de classificação para a realização de coleta seletiva a tabulação e análise de dados Na coleta encontrouse um número muito maior de latas do que garrafas de vidro A que se deve esse fato Na pesquisa percebeuse que o hábito de jogar papel e latinhas de refrigerante ou cerveja ainda é muito forte entre os moradores desse quarteirão O que se poderia fazer a respeito os cálculos que por ventura devam ser feitos para por exemplo fazer previsões se cada garrafa coletada pesa em média 300g e cada lata 50g quantas garrafas e quantas latas foram coletadas na semana Se os sacos de lixo utilizados na coleta suportam em média 20kg de quantos sacos vamos precisar para a próxima semana de coleta a observação de regularidades A tabela anterior mostra que é na sarjeta que se encontra a maior diversidade de lixo a verificação de quantos moradores estão envolvidos direta ou indiretamente na coleta de lixo do quarteirão em questão na primeira tabela é fácil perceber que são 90 essas pessoas a previsão sobre as medidas que deverão ser tomadas para conscientizar as pessoas que não conhecem ou não praticam a coleta seletiva ao todo 80 moradores do quarteirão Essas medidas podem ser de vários tipos folhetos explicativos reuniões com os moradores do quarteirão visitas do grupo de pesquisa a cada casa do quarteirão para explicar sobre a coleta de lixo etc a confecção de gráficos que possam por meio do impacto visual mostrar aos moradores do quarteirão o problema do lixo de forma imediata Um cartaz como o seguinte Figura 23 nos mostra que os moradores do quarteirão precisam ser informados sobre o que é a coleta seletiva e suas vantagens Para confeccionar um gráfico desse tipo gráfico de setores você precisa mobilizar conhecimentos sobre ângulo ângulo central setor circular proporcionalidade entre ângulo central do setor e o número de moradores que não conhecem ou não praticam coleta seletiva do lixo 80 08888 888 90 Veja como é possível fazer isso Dentre os 90 moradores pesquisados 80 não conhecem ou não praticam a coleta seletiva Isso pode ser registrado assim ou seja 888 dos moradores não conhecem ou não praticam coleta seletiva O setor circular que corresponde a 888 do círculo é determinado por um ângulo central que deve medir 888 de 360 que é 0888 360 320 AÔB é um ângulo central tem o vértice no centro do círculo pintado de duas cores Cada uma das regiões branca e cinza é chamada de setor circular Figura 24 Não conhecem ou não praticam coleta seletiva Figura 23 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 29 O valor que se obtém com a calculadora é 31968 que aproximamos para 320 para facilitar a confecção do gráfico com um transferidor Caso o elaborador do gráfico disponha de um microcomputador e de um programa que faça gráficos tudo fica bem mais fácil É só alimentar o programa com os dados obtidos na pesquisa que o gráfico sai prontinho De posse de todo esse material o grupo de vizinhos que fez a pesquisa poderá discutir com os demais moradores sobre a questão do lixo daquele quarteirão no sentido de conscientizálos a não jogar lixo nas ruas a praticar a coleta seletiva e quem sabe a ampliar esse projeto para outros quarteirões do bairro Eis aí um grupo de vizinhos que usou a Matemática para modificar as condições de sua realidade de seu mundo Você também pode fazer isso Construindo o setor de 320 Dica Comece por reduzir o consumo Aproveite produtos que usualmente não costuma utilizar como por exemplo as folhas da beterraba para fazer um refogado ou as cascas do abacaxi para um refresco e depois sempre que possível reutilize as embalagens Com isso você estará combatendo o aumento do lixo o que facilitará posteriormente a reciclagem Caso o grupo tenha algum outro tipo de interesse em promover mudanças em seu bairro no quarteirão onde mora no espaço em que trabalha ou nas instituições que freqüenta igrejas centros de saúde por exemplo é possível promovêlas nos mesmo moldes da coleta do lixo com as devidas adaptações que o próprio grupo fará Alguns temas poderão ser escolhidos como motivo de um levantamento estatístico para ser o ponto inicial de tais mudanças Interesse da comunidade em promover um sábado cultural a cada mês com os artistas da própria comunidade A vacina contra a gripe e os idosos funciona ou não O período de lazer das crianças do bairro quem como e onde promovêlo e organizálo O trabalho voluntário uma opção para qualquer pessoa Mãos à obra Para você intervir em sua realidade Você também pode fazer uma campanha de esclarecimento junto à sua comunidade sobre a redução reutilização reciclagem do lixo O levantamento de dados sobre essas ações pode ser obtido mediante um questionário que seria aplicado às pessoas da comunidade alvo da tal campanha Para que essa comunidade se conscientize da importância da redução reutilização reciclagem do lixo é importante que os resultados de sua pesquisa sejam mostrados e analisados por elas nesse caso nada melhor do que um gráfico para que percebam clara e imediatamente em que situação se encontram diante do problema e decidam que atitudes tomar para eliminálo Então combine com alguns amigos interessados nas vantagens da reduçãoreutilização reciclagem e da coleta seletiva do lixo para desenvolver um programa de conscientização em seu quarteirão em seu bairro ou em sua escola como o que foi descrito anteriormente Figura 25 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 30 Fazendo uma maquete É claro que quando se quer modificar o mundo a nossa volta é preciso pensar não só na Matemática mas também muito além dela em outras áreas do conhecimento Por exemplo iniciar uma campanha de esclarecimento sobre o lixo leva as pessoas envolvidas a buscar conhecimentos sobre desvantagens do lixo a céu aberto processos de coleta de reciclagem vantagens e desvantagens da reciclagem como reaproveitar o material reciclado como recolocálo no mercado para o consumo etc Muito provavelmente a Física a Química a Biologia a Sociologia e a Economia são campos do conhecimento que contribuirão para que essa campanha tenha sucesso Se a Matemática tem algo a ver com o problema do lixo o que dizer sobre sua relação com a exposição da qual a menina deseja participar Como a Matemática pode ajudar a garota a externar esse sentimento de prazer e orgulho de ser aluna de uma escola que ela considera bonita Para começar seu projeto a menina foi medir o terreno de sua escola e a altura comprimento e largura do prédio Percebeu que seria difícil pensou até em providenciar um teodolito para imitar o topógrafo quando vai encontrar o ângulo de visada e com sua tangente determinar a altura do prédio Entretanto não foi necessário Como havia um terraço no alto desse prédio foi ajudada por alguns colegas enquanto segurava a ponta do barbante do alto do terraço do prédio um colega cortava o barbante no ponto em que ele atingia o chão e depois mediu o barbante Para medir a largura e comprimento é mais fácil pois podese fazer todas essas medições no chão mesmo Figura 26 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 31 Depois de tanto trabalho alguém lhe deu a idéia de procurar a planta do prédio da escola na Prefeitura e foi o que ela fez Com a planta na mão resolveu fazer uma maquete de tal maneira que a relação entre as medidas da maquete e as medidas reais deveriam estar na razão 1 50 isto é cada centímetro de comprimento na maquete representava 50 cm na realidade ou cada 2 cm correspondia a 1 m Fez sua maquete em cartolina com uma base de papelão Construiu um paralelepípedo para representar o prédio principal com as medidas adequadas e outro para representar a cantina Não esqueceu de um prisma triangular para o telhado da cantina Recortou vários retângulos para as janelas e parte da porta e um semicírculo para o alto da porta Com arame fino fez os enfeites do terraço do telhado que foram fixados em pequenos prismas de isopor A exposição foi um sucesso e a menina chamou a atenção dos visitantes para sua escola que durante tantos anos havia passado despercebida pelos moradores do bairro menos para as crianças professores e funcionários que lá trabalhavam Muitas pessoas se interessaram em saber se nessa escola havia trabalho voluntário das pessoas da comunidade se a escola recebia os moradores do bairro para oferecer cursos de alfabetização de adultos de atendente de enfermagem etc etc etc A partir desse dia professores alunos e demais funcionários dessa escola juntamente com pessoas da comunidade resolveram desenvolver um projeto de caráter sócioeducativo a cada ano O primeiro foi o de alfabetização de adultos Figura 27 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 32 10 Desenvolvendo competências Como será que a menina fez a Se o prédio principal da escola tem 10 m de altura 12 m de comprimento e 8 m de largura quais as medidas desse prédio na maquete b Dos moldes abaixo qual você acha que a menina utilizou para fazer o prédio da escola c E para fazer o telhado da cantina d Quantos cm2 de cartolina a menina gastou na confecção do prédio da escola em sua maquete Terminando Figura 28 Figura 29 Nestas poucas páginas você teve a oportunidade de refletir sobre a Matemática como uma ciência que foi e continua sendo construída pela humanidade não só em decorrência de problemas que surgem em muitas situações de nossa realidade mas também por solicitação de outros campos do conhecimento e por questões internas à própria Matemática Você deve ter notado também que os problemas que resolvemos em nosso cotidiano têm caráter Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 33 interdisciplinar ninguém sai de casa pensando hoje vou resolver um problema de subtração para calcular o troco quando fizer as compras no supermercado Muito provavelmente além do troco é preciso fazer estimativas para ver se o dinheiro disponível para as compras será suficiente ou se a data de validade é conveniente tendo em vista o ritmo de consumo do comprador em relação ao produto que está querendo comprar Um comprador também precisa estar atento na hora da compra para o que é mais vantajoso em termos de preço uma embalagem de molho de tomate de 350 ml por R 280 ou outra da mesma marca de 500 ml por R 380 Além disso é preciso decidir por uma ou outra marca de um produto é preferível comprar um produto de marca comprovadamente idônea do Afinal Por que a Matemática é importante Por ser útil como instrumentador para a vida Por ser útil como instrumentador para o trabalho Por ser parte integrante de nossas raízes culturais Porque ajuda a pensar com clareza e a raciocinar melhor Por sua própria universalidade Por sua beleza intrínseca como construção lógica formal etc Texto adaptado de DAMBRÓSIO Ubiratan Etnomatemática arte ou técnica de explicar e conhecer São Paulo Ática c1990 88 p Fundamentos v 74 Figura 30 Figura 31 Figura 32 11 Desenvolvendo competências E você o que acha O que é mais vantajoso comprar uma embalagem de molho de tomate de 350 ml por R280 ou outra da mesma marca com 500ml por R380 que de outra desconhecida da qual não sabemos a procedência dos artigos utilizados na confecção do produto e os cuidados com seu preparo Não podemos esquecer também que ao escolhermos este ou aquele supermercado para fazermos as compras temos que levar em conta o que sabemos sobre a higiene do estabelecimento seus procedimentos de estocagem o tratamento que os funcionários dispensam aos fregueses etc Enfim o problema das compras como muitos e muitos problemas que resolvemos a todo momento em nossa vida não se limita a um único campo do conhecimento humano Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 34 Conferindo seu conhecimento Você e as placas de trânsito Largura máxima 18m Medida Grandeza medida comprimento Velocidade máxima permitida 80kmh Medida Grandeza medida velocidade Altura máxima 3m Medida Grandeza medida comprimento Restaurante a 500m Medida Grandeza medida comprimento 3 a Entre 1996 e 2001 o número de demitidos nem sempre cresceu Ele diminui de 1998 para 1999 e de 2000 para 2001 b De 1996 a 1998 foram demitidos 75 96 134 305 policiais corruptos De 1996 a 2001 foram demitidos 797 policiais corruptos Logo 4 1 fn 120 n 350 2 A10 l 2 305 038 38 50 797 Agora é com você De 1996 a 2001 foram demitidos 75 96 134 131 189 172 797 policiais corruptos 5 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 35 Para você desvendar uma construção estranha Como as duas figuras são compostas pelas mesmas peças então deveriam ter mesma área Área da Figura 33 64 Área da Figura 34 65 6 7 8 tg α 266 3 5 2 tg β 25 logo α e β não são iguais porque suas tangentes são diferentes Assim o segmento AB não é um segmento na verdade já que AX e XB têm inclinações diferentes Nessa Figura 34 o que ocorre é que as quatro peças não se juntam no meio mas ficam dispostas como ao lado O primeiro de área extra é a área do paralelogramo sombreado que na Figura 34 está exagerada Fazendo as peças num quadriculado de 2cm x 2cm já se pode notar o paralelogramo O modelo para descrever o átomo de carbono é de caráter geométrico O tetraedro associado a esse modelo é um poliedro sólido cuja superfície sempre pode ser decomposta num número finito de partes planas e poligonais as faces Figura 33 Figura 34 8 Imitando Bombelli 2 2 5 15 5 15 55 15 15 10 0 10 5 15 5 15 15 25 15 25 15 40 5 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 36 a b Representandoos no plano cartesiano Como você viu os números complexos podem ser postos na forma onde a e b são números reais Nesse caso quando b 0 o número fica reduzido a a que indica simplesmente um número real Isso significa que todo número real é um número complexo da forma 9 Registrando os números na forma a b Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 37 a Na maquete o prédio deverá ter 20 cm de altura 24 cm de comprimento e 16 cm de largura c Molde do telhado da cantina Molde do prédio da escola Na maquete No prédio E você o que acha Efetuandose R280 350 ml obtémse R0008 por 1ml de molho Efetuandose R380 500ml obtémse R00076 por 1ml de molho Então o molho mais barato é o segundo o da embalagem maior 10 11 d A menina gastou 2 24 20 2 24 10 2 20 10 1840cm2 de cartolina b Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 38 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar e interpretar a partir da leitura de textos apropriados diferentes registros do conhecimento matemático ao longo do tempo Reconhecer a contribuição da Matemática na compreensão e análise de fenômenos naturais e da produção tecnológica ao longo da história Identificar o recurso matemático utilizado pelo homem ao longo da história para enfrentar e resolver problemas Identificar a Matemática como importante recurso para a construção de argumentação Reconhecer pela leitura de textos apropriados a importância da Matemática na elaboração de proposta de intervenção solidária na realidade Fabio Orfali LÓGICA E ARGUMENTAÇÃO DA PRÁTICA À MATEMÁTICA AMPLIAR FORMAS DE RACIOCÍNIO E PROCESSOS MENTAIS POR MEIO DE INDUÇÃO DEDUÇÃO ANALOGIA E ESTIMATIVA UTILIZANDO CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS Capítulo II Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 40 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática Argumentação Você já pensou no que existe em comum entre uma propaganda de certo produto na televisão um artigo do editorial de um jornal e um debate entre dois políticos Essas situações podem parecer bem diferentes mas se você analisar com cuidado verá que nos três casos basicamente tentase convencer uma ou mais pessoas de determinada idéia ou teoria Os criadores do comercial procuram convencer o público de que aquele produto é melhor do que o de seus concorrentes O jornalista que escreve um artigo defende seu ponto de vista sobre um acontecimento do dia anterior e procura convencer os leitores de que suas idéias são as mais corretas Já cada um dos políticos tenta mostrar aos eleitores que possui melhores condições de ocupar determinado cargo público do que seu adversário Mas como convencer alguém ou nós mesmos de que determinada idéia é de fato correta É necessário que sejam apresentados fatos que justifiquem aquela idéia Esses fatos são chamados de argumentos Eles devem ser bem claros ter uma relação lógica entre si de tal maneira que a idéia considerada seja uma conseqüência natural dos argumentos apresentados Nem sempre porém isso ocorre Muitas vezes a argumentação não é feita de modo consistente e o resultado é que aquela idéia acaba não sendo aceita pelas outras pessoas Observe o exemplo a seguir Você acha que o argumento utilizado pelo marido para justificar seu atraso está consistente Figura1 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 41 argumentar é uma habilidade extremamente importante ao ser humano Ora os resultados de uma teoria matemática só são aceitos mediante uma argumentação rigorosamente correta É o que os matemáticos chamam de demonstração Assim no estudo da matemática as regras do raciocínio lógico devem ser muito bem conhecidas e analisadas o que leva ao aprimoramento de nossa capacidade de argumentar mesmo em situações fora da matemática Observe a história abaixo Você já percebeu o quanto a argumentação é importante no diaadia das pessoas Observe que utilizamos argumentos para convencer nosso chefe de que merecemos um aumento para convencer nossa namorada ou namorado a ir ao cinema quando ela ou ele preferia ficar em casa e em diversas outras ocasiões De uma boa argumentação pode mesmo depender o resultado de uma entrevista para se conseguir um novo emprego Mas afinal como a matemática se relaciona com tudo isso Já discutimos que a capacidade de Figura 2 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 42 A expressão utilizada por Juninho CQD como queríamos demonstrar foi emprestada da Matemática Ela normalmente é usada ao final de uma demonstração quando os argumentos expostos já são suficientes para comprovar a afirmação que foi feita inicialmente Assim o menino fez duas afirmações querendo dizer que na sua cama o ambiente está tranqüilo aconchegante e fora dela a situação é ruim confusa Neste instante a mãe grita pedindo auxílio com as compras Ora como alguém pode preferir guardar compras a uma cama quente e confortável Para Juninho essa é uma prova de que lá fora é o caos Por isso na sua opinião aquele era um argumento que demonstrava suas afirmações iniciais Muitas vezes na vida real usamos apenas um fato para demonstrar que nossas idéias são verdadeiras Em certas ocasiões isso é aceitável em outras não Observe os exemplos abaixo Não disse que aquele time não era bom Após 25 jogos ele foi derrotado no último domingo Não disse que aquele político era desonesto Foi comprovado pela polícia seu envolvimento com o crime organizado As duas argumentações baseiamse em apenas um fato Em sua opinião qual dos argumentos é o mais razoável No ambiente científico porém as regras são bem mais rígidas Uma afirmação não pode ser comprovada baseandose em apenas um fato E esse rigor está muito presente na matemática de onde tiraremos vários exemplos analisados neste capítulo Observe o diálogo abaixo Paulo Todo número elevado ao quadrado é igual ao seu dobro Cláudia Como você pode comprovar isso Paulo Veja só o quadrado de 2 é 2 2 4 e o dobro de 2 também é 4 Encontre um exemplo que mostre que a primeira afirmação feita por Paulo é falsa Está vendo Neste caso pode até ter sido fácil encontrar um exemplo mostrando que a afirmação acima não é verdadeira Observe que o quadrado de 3 é 3 2 9 mas o dobro de 3 é 2 x 3 6 Existem outros casos porém em que certo comportamento pode ser observado em muitos números diferentes o que nos dá vontade de dizer que ele ocorre com todos os números Cuidado Em Matemática analisar apenas alguns exemplos não é suficiente para comprovar uma propriedade pode no máximo nos dar uma pista de que aquela propriedade possa ser verdadeira Vamos mostrar um outro exemplo para ressaltar ainda mais a importância desse fato Considere três retas r s e t que se cruzam num único ponto P É possível que r e s sejam perpendiculares e ao mesmo tempo r e t sejam perpendiculares Lembre que retas perpendiculares são aquelas que se cruzam formando ângulos retos como mostra a Figura 3 Figura 3 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 43 Tente pensar nesse problema antes de ler a solução Uma boa dica é utilizar modelos para representar as retas como por exemplo três canetas colocandoas em diferentes posições e observando se em alguma delas uma das canetas fica perpendicular ao mesmo tempo às outras duas Ao tentar resolver esse problema Carlos não utilizou modelos foi fazendo diversos desenhos imaginando a situação sugerida no enunciado No entanto depois de desenhar as retas r e s perpendiculares nunca conseguia uma posição para a reta t de tal modo que ela também ficasse perpendicular a r Observe alguns desses desenhos Muitos desenhos depois sempre sem sucesso Carlos finalmente concluiu Não é possível obtermos três retas r s e t nas condições do problema Os desenhos anteriores comprovam essa conclusão Ao utilizar apenas desenhos Carlos não visualizou todas as situações possíveis para as retas Com as canetas você enxergou possibilidades diferentes das de Carlos Você concorda com o argumento utilizado em sua conclusão Dias depois olhando uma caixa de sapatos Carlos finalmente visualizou uma solução para o problema conseguiu enxergar sobre a caixa três retas que se cruzavam em um ponto e eram perpendiculares entre si Se você não encontrou a solução do problema com as canetas pegue uma caixa com o mesmo formato de uma caixa de sapatos e tente encontrar a solução de Carlos para o problema Na Figura 5 você encontra uma caixa parecida com a utilizada por Carlos Observe as retas r s e t que passam por três arestas da caixa Figura 4 Figura 5 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 44 1 Note que Carlos em seus desenhos não considerou a possibilidade das três retas não estarem no mesmo plano Assim mesmo que fizesse muitos desenhos não conseguiria visualizar a solução do problema Então sua argumentação inicial estava inválida do ponto de vista matemático ele tirou uma conclusão baseandose apenas em alguns desenhos que não representavam todas as possibilidades Então não se esqueça embora no nosso diaadia façamos isto em algumas situações em matemática não devemos generalizar uma afirmação baseandonos em apenas alguns exemplos sem buscar uma comprovação daquele fato por uma demonstração que englobe todas as possibilidades Desenvolvendo competências 1 Observe os seguintes cálculos efetuados entre números ímpares 1 1 2 3 3 6 1 3 4 3 5 8 1 5 6 5 5 10 A partir apenas dos cálculos efetuados acima você pode concluir que sempre que somamos dois números ímpares obtemos como resultado um número par Por quê 2 Num torneio de basquete seis equipes enfrentamse entre si num total de cinco rodadas Se uma equipe vencer todas as suas partidas é automaticamente declarada campeã Caso contrário as duas equipes com maior número de vitórias disputam uma final para decidir a campeã A tabela abaixo mostra a posição de cada equipe após a realização de três rodadas Pelas regras do torneio e pela análise da tabela podese afirmar que a a equipe V será a campeã do torneio b final do torneio será entre as equipes III e IV ou entre as equipes IV e V c equipe V é a única que pode ser a campeã sem ter de jogar a partida final d equipe I não pode mais ser a campeã do torneio Equipe Vitórias Derrotas Tabela 1 I 1 2 II 0 3 III 2 1 IV 2 1 V 3 0 VI 1 2 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 45 1 220 210 2 100 330 3 180 210 4 230 360 5 90 250 6 200 160 7 180 410 Jorge 150 270 2 Desenvolvendo competências No último mês o consumo de energia elétrica na residência de Jorge apontado na conta de luz teve um aumento significativo subindo de 150 para 270 kWh Como aparentemente não havia motivo para tal aumento Jorge começou a desconfiar que o problema pudesse ser da companhia fornecedora de energia elétrica Por isso ele decidiu perguntar aos seus vizinhos se eles tinham tido problema semelhante ultimamente A Tabela 2 mostra o que cada vizinho respondeu Tabela 2 1 Em quantas das 8 casas da rua de Jorge houve aumento do consumo de energia elétrica do mês de março para o mês de abril 2 Das residências onde houve aumento do consumo em quantas esse aumento foi maior do que 100 kWh 3 Utilizando como argumento os números da tabela acima você diria que a companhia fornecedora de energia elétrica a certamente é a responsável pelo aumento do consumo de energia nas casas da rua de Jorge b provavelmente é a responsável pelo aumento do consumo de energia nas casas da rua de Jorge c provavelmente não tem relação com o aumento do consumo de energia nas casas da rua de Jorge d certamente não tem relação com o aumento do consumo de energia nas casas da rua de Jorge 4 Jorge vai solicitar à companhia fornecedora de energia elétrica que verifique se há algum problema com a instalação elétrica de sua rua que possa explicar o aumento do consumo de energia em algumas casas Para isso ele deve preencher um formulário fazendo uma pequena justificativa de seu pedido Escreva em no máximo três linhas essa justificativa dando argumentos que convençam a companhia da necessidade de enviar um técnico à rua de Jorge Casa Consumo em março kWh Consumo em abril kWh Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 46 Silogismos Embora do ponto de vista matemático a argumentação de Júlio não esteja rigorosamente correta não podemos generalizar uma conclusão a partir de apenas três observações você tomaria a mesma atitude que Júlio Por quê Note que o fato de Júlio ter passado mal justamente nos três dias em que almoçou lá poderia ser uma coincidência Como porém não se tratava de uma comprovação científica baseada em argumentos rigorosos Júlio preferiu não se arriscar e não voltou mais ao restaurante Vamos tentar agora obter uma conclusão baseandonos em argumentos rigorosos Observe este exemplo Toda ave tem penas As garças são aves Que conclusão podese tirar a partir das duas afirmações acima Bem se você respondeu que as garças têm penas então acertou Se você não tinha chegado a essa conclusão tente pensar por que ela está correta Note ainda que no caso de Júlio a conclusão era bem provável mas não era necessariamente verdadeira Já nesse exemplo considerando as duas afirmações iniciais a conclusão é obrigatoriamente verdadeira Este tipo de argumentação composta de duas afirmações e uma conclusão é conhecida como silogismo e foi muito estudada pelos filósofos gregos Observe agora o seguinte silogismo Todos os carros da marca X têm direção hidráulica Alguns carros da marca Y têm direção hidráulica Logo alguns carros da marca X são da marca Y Note que a conclusão do silogismo é certamente inválida pois um carro não pode ser ao mesmo tempo de duas marcas Explique nesse caso por que considerando as duas afirmações iniciais a conclusão não é necessariamente verdadeira Flávia possui dois filhos Pedro de 7 anos e Amanda de 3 anos Considerando as afirmações acima o que Flávia pode concluir Ela deve levar seus dois filhos a um posto de saúde Como você pôde notar no exemplo acima é muito comum a partir de duas ou mais afirmações tirarmos conclusões sobre um determinado assunto Quando porém essas conclusões são válidas Em outras palavras será que existem maneiras que nos ajudem a decidir se a conclusão obtida realmente era uma conseqüência necessária das afirmações iniciais A resposta é sim dentro daquilo que os matemáticos chamam de raciocínio formal existem regras claras para decidir se um argumento é ou não válido É muito útil trabalharmos alguns exemplos disso que nos ajudem a melhorar nossas argumentações e a não aceitar certas argumentações completamente sem fundamentos Lembrese sempre porém de uma coisa a nossa vida cotidiana não exige tanta precisão quanto a matemática Em algumas situações do diaadia certos raciocínios embora não sejam rigorosamente corretos são plenamente aceitáveis Observe o exemplo Júlio foi almoçar três sextasfeiras seguidas em um restaurante que foi inaugurado recentemente perto de seu trabalho Nas três vezes acabou passando muito mal do estômago Concluiu que a comida do restaurante não lhe fazia bem e decidiu que não almoçaria mais naquele lugar A vacina contra a Paralisia Infantil vai estar disponível nos postos de saúde até o dia 31 de agosto Todas as crianças com menos de cinco anos de idade devem tomar a dose Fonte httpwwwsaudescgovbr Observe a frase abaixo sobre a campanha de vacinação contra a paralisia infantil Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 47 Observe agora este outro exemplo A direção de uma empresa decidiu que somente os funcionários que trabalham há mais de 10 anos na firma têm direito de solicitar ao setor de benefícios empréstimo para compra de casa própria O funcionário mais antigo do departamento de compras trabalha na empresa há 7 anos Se o Sr Odécio trabalha no departamento de compras podese concluir que a dentre os funcionários do departamento de compras somente o Sr Odécio não tem direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria b somente os funcionários do departamento de compras não têm direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria c não é possível saber se o Sr Odécio tem direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria pois não sabemos há quanto tempo ele trabalha na firma d o Sr Odécio e todos os demais funcionários do departamento de compras não têm direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria Na realidade temos três afirmações iniciais e queremos a partir delas tirar uma conclusão 1 Somente funcionários com mais de 10 anos na empresa têm direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria 2 Nenhum funcionário do departamento de compras tem mais de 10 anos na empresa pois o mais antigo tem 7 anos 3 O Sr Odécio trabalha no departamento de compras Usando as informações 2 e 3 concluímos que o Sr Odécio trabalha na empresa há menos de 10 anos Então usando a informação 1 concluímos que ele não tem direito a solicitar empréstimo para compra da casa própria Note ainda que usando as informações 1 e 2 podemos concluir que nenhum funcionário do departamento de compras tem direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria Assim concluímos que a alternativa correta é d Vamos analisar também a alternativa b Pelo enunciado não podemos afirmar com certeza se a afirmação está correta pois podem existir outros funcionários com menos de 10 anos na empresa que não trabalham no departamento de compras e portanto não têm direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria Sendo assim a afirmação não pode ser considerada correta 3 Desenvolvendo competências 1 Numa escola particular 20 das suas 100 vagas são reservadas a alunos que por se destacarem nos estudos não pagam mensalidade Metade desses alunos participam do time de futebol da escola A partir dessas informações podese concluir que a Pelo menos 10 alunos da escola fazem parte do time de futebol b Todos os integrantes do time de futebol da escola não pagam mensalidade c Alguns alunos que pagam mensalidade fazem parte do time de futebol d Metade dos integrantes do time de futebol não pagam mensalidade Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 48 4 Desenvolvendo competências O diagrama abaixo Figura 6 mostra a distribuição dos alunos de uma escola de Ensino Médio nos cursos optativos que são oferecidos no período da tarde T curso de teatro F curso de fotografia D curso de dança Note que o diagrama mostra por exemplo que apenas 1 aluno freqüenta os três cursos ao mesmo tempo e que 31 alunos não freqüentam nenhum dos cursos optativos 1 Deverá ser entregue um aviso por escrito a todos os alunos que freqüentam mais de um curso optativo Assim o número de alunos que receberá o aviso é igual a a 30 b 13 c 12 d 1 2 Os números de alunos matriculados nos cursos de teatro de fotografia e de dança são respectivamente a 10 12 e 8 b 11 7 e 9 c 16 18 e 20 d 21 19 e 17 Diagramas e problemas numéricos construção de um espaço de recreação e prática de esportes para crianças construção de uma sala para leitura e realização de palestras nenhuma das duas Os dados da pesquisa que foi respondida por todas as famílias foram organizados na tabela abaixo Na atividade 4 nós utilizamos diagramas para representar as quantidades de alunos que freqüentavam cada um dos cursos optativos oferecidos pela escola Vamos agora usando diagramas resolver outros problemas envolvendo quantidades numéricas A associação de moradores de uma comunidade conseguiu verba para melhorar o centro de cultura e lazer existente em sua sede Decidiuse então fazer uma consulta aos membros da comunidade para definir a melhor maneira de aplicar o dinheiro Cada uma das 250 famílias recebeu uma ficha com a seguinte pergunta Quais das opções abaixo a sua família considera importantes para o centro de cultura e lazer de nossa comunidade As opções de resposta eram Figura 6 Opção N de respostas espaço para recreação e 111 Tabela 3 183 24 esportes sala para leitura e palestras nenhuma das duas Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 49 dentro de F mas fora de R e fora de L ou seja dentro do retângulo mas fora dos dois círculos Para preenchermos o diagrama com dados numéricos devemos começar pela região de intersecção pois as outras regiões dependem dela Como não conhecemos no nosso problema quantas famílias estão nessa região chamamos esta quantidade de x Há 111 famílias que optaram pelo espaço para recreação Destas x também optaram pela sala de leitura Então 111 x são as que optaram apenas pelo espaço para recreação Com o mesmo raciocínio concluímos que 183 x optaram apenas pela sala de leitura Como 24 não se interessaram por nenhuma das duas obras nosso diagrama fica Um líder comunitário ao observar a Tabela 3 anterior perguntou se muitas famílias se interessaram tanto pelo espaço para recreação e esportes quanto pela sala de leitura pois dependendo da quantidade eles poderiam pensar em adiar a compra de um computador para a associação que estava programada e construir as duas coisas A partir dos dados da tabela é possível identificar quantas famílias se interessaram pelas duas obras quantas apenas pelo espaço para recreação e quantas apenas pela sala de leitura Pode ser que fazendo apenas algumas contas você consiga responder à questão acima Mas e se a pesquisa fosse mais complexa e o questionário envolvesse três opções por exemplo Por isso é bastante útil representarmos o problema acima com diagramas Observe a Figura 7 Nela F é o conjunto de todas as famílias R é o conjunto das famílias que optaram pelo espaço de recreação e L o das que optaram pela sala de leitura Quais famílias estariam representadas na região quadriculada do diagrama Como há 250 famílias na comunidade a soma das quantidades das quatro regiões deve ser igual a 250 Obtemos então a seguinte equação 111 x x 183 x 24 250 318 x 250 x 68 x 68 Com isso concluímos que 68 famílias estão interessadas pelas duas obras Somente pelo espaço para recreação existem 111 68 43 famílias interessadas Somente pela sala de leitura são 183 68 115 famílias interessadas Note que a soma 68 43 115 24 deve ser igual ao total de famílias ou seja 250 Figura 7 Observe que a região quadriculada na figura pertence tanto ao conjunto R quanto ao L e por isso é reservada às famílias que optaram pelas duas obras pois isso era possível na pesquisa Dizemos que essa região corresponde à intersecção dos dois conjuntos Há ainda uma região reservada às famílias que não se interessam por nenhuma das duas obras Figura 8 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 50 A partir dos dados do gráfico podese concluir que o número de entrevistados que habitualmente lêem os jornais I e II é igual a a 44 b 55 c 63 d 71 2 Uma academia de ginástica após a inauguração de sua piscina ofereceu mais dois cursos a seus freqüentadores hidroginástica e natação 52 pessoas inscreveramse na hidroginástica e 47 na natação Constatouse que 7 pessoas inscreveramse nos dois cursos Então o número de pessoas que se interessaram por pelo menos um dos novos cursos é a 106 b 99 c 92 d 85 Implicação 1 A frase abaixo foi retirada de uma propaganda veiculada em um jornal de grande circulação e diz respeito a uma grande festa promovida por uma empresa SE VOCÊ NÃO CONSEGUIU INGRESSO PARA A FESTA DESTE ANO TENTE ENCARAR PELO LADO BOM VOCÊ DANÇOU As pessoas que não conseguiram ingresso não puderam ir à festa deste ano Sendo assim a palavra dançou foi utilizada na propaganda com qual significado Note que existe uma relação entre dois fatos mencionados na propaganda SE você não conseguiu ingresso ENTÃO dançou Esta é uma 5 Desenvolvendo competências 1 O Gráfico 1 mostra uma pesquisa realizada com 500 pessoas sobre o seu hábito de leitura dos jornais I e II relação de causa e conseqüência também chamada de causa e efeito CAUSA não conseguiu ingresso CONSEQÜÊNCIA dançou Em matemática esta relação é conhecida como implicação e é representada pelo símbolo Poderíamos representar nosso exemplo da seguinte maneira não conseguiu ingresso dançou 2 Vamos analisar agora um outro exemplo de implicação Suponha que você chegue a sua casa e observe que a rua está molhada A partir desse fato você pode concluir que choveu na sua casa naquele dia Gráfico 1 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 51 Note que a sua rua pode estar molhada porque algum cano de água se rompeu ou alguém estava regando as plantas do jardim Então não é possível afirmar com certeza que choveu naquele dia Pensando sobre essa situação observe as duas implicações abaixo 1 Se chove então a rua fica molhada 2 Se a rua está molhada então choveu As duas implicações acima têm o mesmo significado Repare que apesar de serem muito parecidas a implicação 2 é a implicação 1 invertida as duas frases não têm o mesmo significado A única coisa que fica garantida com a primeira frase é que no caso de ocorrer chuva a rua ficará molhada O contrário porém não é necessariamente verdadeiro Como já vimos a rua pode estar molhada sem que tenha chovido Inverter uma relação de implicação é um erro bastante comum em argumentações que não deve ser feito Existe no entanto uma maneira equivalente de escrevermos uma implicação muito utilizada em matemática que iremos discutir a seguir 3 Observe a questão abaixo O prefeito de uma cidade declarou à imprensa que se forem contratados mais médicos para o hospital municipal então os impostos deverão ser aumentados Qual das frases abaixo é equivalente à declaração do prefeito 1 Se os impostos aumentaram então mais médicos foram contratados para o hospital municipal 2 Se os impostos não aumentaram então não foram contratados mais médicos para o hospital municipal 3 Se não foram contratados mais médicos para o hospital então os impostos não foram aumentados Note que a afirmação inicial do prefeito é uma implicação contratação de novos médicos aumento de impostos Observe ainda que outros fatores podem levar ao aumento de impostos a contratação de novos professores para a escola municipal ou o aumento do salário dos funcionários da prefeitura pode levar a um aumento de impostos mesmo que não sejam contratados novos médicos Então não é correto afirmar que se os impostos aumentaram obrigatoriamente novos médicos foram contratados Assim a afirmação 1 não está correta Da mesma maneira mesmo que não tenham sido contratados novos médicos os impostos podem ter subido devido a outros motivos Logo a afirmação 3 também não está correta Mas uma coisa porém é certa se os impostos não tiveram de ser aumentados podemos concluir que não foram contratados novos médicos afinal se fossem contratados os impostos subiriam A afirmação 2 é portanto equivalente à frase inicial do prefeito Vamos fazer um esquema das conclusões que tiramos contratação de médicos aumento de impostos Assim se temos uma afirmação a que implica uma afirmação b isto é equivalente a dizer que não b implica não a Veja a b EQUIVALENTE A não b não a Esse esquema dado acima pode ajudálo a decifrar um argumento principalmente quando as frases são muito longas ou complexas Basta transformar as afirmações em símbolos não aumento de impostos não contratação de médicos Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 52 6 Desenvolvendo competências Desenvolvendo competências 1 Um analista econômico disse em uma entrevista à televisão que se os juros internacionais estiverem elevados então a inflação no Brasil crescerá A partir dessa afirmação podese concluir que certamente a se os juros internacionais estiverem baixos então a inflação no Brasil diminuirá b se a inflação no Brasil não tiver crescido então os juros internacionais estarão baixos c se a inflação no Brasil tiver crescido então os juros internacionais estarão elevados d se os juros internacionais não forem elevados então a inflação brasileira cairá ou ficará igual 2 Um quadrilátero é um polígono de 4 lados A Figura 9 mostra um quadrilátero ABCD Os segmentos AC e BD são chamados diagonais do quadrilátero Lembrese que um retângulo e um quadrado são quadriláteros As duas afirmações abaixo sobre quadriláteros são verdadeiras Se um quadrilátero é um quadrado então ele também é um retângulo As diagonais de qualquer retângulo são congruentes isto é têm a mesma medida A partir das informações acima é correto afirmar que a se um quadrilátero tem as diagonais congruentes então ele é um quadrado b todo retângulo é também um quadrado c um quadrilátero que não é um quadrado não pode ter as diagonais congruentes d um quadrilátero que não tem as diagonais congruentes não pode ser um quadrado Figura 9 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 53 Dedução Note que a menina dona do ursinho sabe quem foi o autor da brincadeira Utilizandose de um raciocínio dedutivo ela concluiu quem teria deixado o ursinho do outo lado da margem baseandose em um fato o menino está molhado Tente lembrarse de uma situação que lhe tenha ocorrido em que você utilizou a dedução Figura 10 Vamos usar o que discutimos sobre argumentação para entender como se organizam as teorias matemáticas ou seja como as pessoas conseguem descobrir novos fatos dentro da matemática e convencerse de que eles são verdadeiros Na matemática assim como no nosso dia a dia usamos com muita freqüência o raciocínio dedutivo Observe a história abaixo para entender o que chamamos de dedução Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 54 Vamos agora partindo de alguns fatos matemáticos deduzir um novo fato que você talvez já tenha ouvido falar a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 I Fatos iniciais a Considere em um plano uma reta r e um ponto P fora de r como mostra a Figura 11 Então existe uma única reta s paralela a r passando pelo ponto P b Considere num plano duas retas paralelas a e b como mostra a Figura 12 e uma reta transversal t Então os ângulos α e β assinalados na figura são congruentes isto é têm medidas iguais c Se um ângulo raso ângulo de meia volta é dividido em três ângulos então a soma desses ângulos é igual a 180 II Dedução da propriedade Vamos considerar um triângulo ABC qualquer cujos ângulos internos medem x y e z como mostra a Figura 14 Pelo fato a podemos desenhar uma reta r paralela ao lado BC passando pelo ponto A Finalmente pelo fato c concluímos que x y z 180 Acabamos de deduzir que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 Note que a nossa dedução é muito parecida com a da menina do ursinho ou com aquela que usamos no diaadia partindo de alguns fatos conhecidos e usando argumentos logicamente válidos podemos produzir novas afirmações também verdadeiras A única diferença é que na matemática sempre deixamos claros os fatos iniciais que estamos utilizando o que no cotidiano nem sempre fazemos Figura 11 Figura 12 Figura 14 Figura 15 Figura 16 Pelo fato b podemos representar Figura 13 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 55 7 Desenvolvendo competências Usando como fato conhecido que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo vale 180 deduza quanto vale a soma dos ângulos internos de um quadrilátero Sugestão utilize a Figura 17 e divida o quadrilátero em dois triângulos Vamos observar agora a dedução de uma propriedade algébrica Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação deduza uma maneira equivalente de escrever o produto a b a b Vamos relembrar a propriedade distributiva da multiplicação antes de iniciarmos nossa dedução Desenvolva o produto 2y y 3 Note que o fator 2y deve ser distribuído tanto ao y quanto ao 3 Assim Voltando à nossa pergunta vamos desenvolver o produto a b a b utilizando a propriedade distributiva Note que usamos também a lei do cancelamento da adição a b a b 0 Assim concluímos que a b a b a 2 b 2 Figura 17 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 56 8 Desenvolvendo competências Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação deduza uma maneira equivalente de escrever o produto a b2 Sugestão Lembrese de que a b2 a b a b Indução Observe a seguinte seqüência de figuras Figura 1 2 3 4 5 Bolinhas 1 x 11 2 x 24 3 x 39 4 x 416 5 x 525 Figura 18 Note que o número de bolinhas em cada figura vai aumentando seguindo uma certa lei De acordo com essa lei a desenhe a 5ª figura dessa seqüência b Quantas bolinhas há na Figura 5 c Responda sem fazer o desenho quantas bolinhas há na figura 6 Ao fazer o desenho você deve ter observado que a 5ª figura possui 25 bolinhas Em seguida você pôde sem fazer o desenho dar um bom palpite sobre o número de bolinhas existentes na 6ª figura Para isso você teve de analisar o comportamento das figuras anteriores Observe a Tabela 4 abaixo Se o comportamento for mantido esperaremos que a 6ª figura tenha 6 6 36 bolinhas Fazendo o desenho você pode comprovar que de fato esse é o número de bolinhas da figura 6 e que nosso palpite estava certo O raciocínio que utilizamos na nossa resposta sem fazer o desenho é um exemplo do que chamamos raciocínio indutivo A partir da observação de alguns casos particulares identificamos um comportamento que se repetia e fizemos uma conjectura ou seja um palpite Observe que o raciocínio indutivo em matemática ajudanos a desconfiar de um resultado e por isso é extremamente importante Tabela 4 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 57 No entanto não devemos considerar válida uma conclusão baseandonos apenas na indução No nosso caso o desenho da 6ª figura da Figura 18 poderia nos confirmar a validade de nossa conclusão Esse fato não tira a importância do raciocínio indutivo É graças a ele que a maioria das descobertas em matemática e nas demais ciências foi feita Normalmente é da observação de um comportamento que se repete em alguns casos particulares que os cientistas tiram inspiração para estudar determinado fenômeno O raciocínio dedutivo depois serve para confirmar ou não aquelas suspeitas No nosso caso poderíamos usar um argumento geométrico para confirmar o nosso palpite a 6ª figura da Figura 18 é um quadrado com 6 bolinhas em cada lado Sendo assim possui 6 fileiras com 6 bolinhas cada ou seja 6 6 36 bolinhas Observe ainda que com esse argumento poderíamos generalizar a nossa conclusão a figura n possui n n n 2 bolinhas 9 Desenvolvendo competências Desenvolvendo Competências 1 Considere a sequência de figuras formadas por bolinhas representada na figura 18 Note que em cada figura acrescentamos uma nova camada de bolinhas todas da mesma cor Assim a 4ª figura por exemplo era formada por 4 camadas de bolinhas 1 laranja 3 brancas 5 laranjas 7 brancas 16 bolinhas a Usando a 5ª figura desenhada por você tente sem efetuar a adição prever o resultado da soma 1 3 5 7 9 b Note que o resultado que você obteve no item a é a soma dos 5 primeiros números ímpares positivos Usando esse raciocínio tente prever o resultado da soma dos 10 primeiros números ímpares positivos 2 Um restaurante tem mesas retangulares de diferentes tamanhos para acomodar um número diferente de clientes A Figura 19 mostra os três menores tipos de mesa e o número de clientes acomodados em cada um deles Figura 19 Seguindo o mesmo padrão apresentado na seqüência de figuras acima o número de clientes que podem ser acomodados em uma mesa do tipo 6 é a 12 b 14 c 16 d 18 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 58 Seqüências Os jogos olímpicos o mais importante evento esportivo do planeta ocorrem a cada 4 anos Os últimos jogos olímpicos ocorreram na cidade de Atenas no ano de 2004 É possível sabermos em quais anos teremos a realização de jogos olímpicos Ora essa não é uma pergunta difícil já temos as informações necessárias para respondêla 2004 2008 2012 2016 2020 Os números acima formam uma seqüência Note que obedecemos uma ordem ao escrevermos esses números Dizemos que 2004 é o 1º termo da seqüência 2008 é o 2º termo 2012 é o 3º termo e assim sucessivamente Essa informação normalmente é dada de maneira mais resumida Observe a1 2004 a2 2008 a3 2012 Quem é na nossa seqüência a4 E a6 A nossa seqüência é formada por números mas também podemos estudar seqüências de figuras objetos letras ou qualquer outra coisa que desejarmos Note que existe uma lei em nossa seqüência que nos permite descobrir quais serão os seus próximos elementos Nem sempre porém isso ocorre Imagine que a seqüência 3 0 2 1 1 2 seja o número de gols que uma equipe marcou nos 6 primeiros jogos de um campeonato É possível sabermos o próximo elemento dessa seqüência apenas observando os anteriores Neste capítulo vamos estudar apenas as seqüências que obedecem alguma lei permitindo prever quais serão seus próximos elementos Com isso estaremos utilizando tanto o nosso raciocínio dedutivo quanto o indutivo Uma estrada possui telefones de emergência a cada 3 quilômetros O primeiro telefone está colocado no quilômetro 2 da estrada a Determine a localização dos cinco primeiros telefones de emergência b Determine a localização do 72º telefone de emergência c Se a estrada tem uma extensão de 350 km quantos telefones de emergência ela possui a Observe que das informações do enunciado percebemos a existência de um padrão regular na colocação dos telefones Assim partindo do quilômetro 2 basta acrescentarmos 3 quilômetros para obtermos a localização do próximo telefone Figura 21 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 59 Então os cinco primeiros telefones de emergência estão localizados nos quilômetros 2 5 8 11 e 14 b É possível obtermos a localização do 72º telefone da mesma maneira que fizemos no item anterior ou seja somando 3 quilômetros à 1 2 3 4 5 Telefone Operação realizada Localização km 2 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 5 8 11 14 Note que temos de efetuar uma série de adições sempre com a mesma parcela 3 Então podemos 2 1 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 8 11 14 1 2 3 4 5 Telefone Operação realizada Localização km Você percebe a relação entre o número do telefone e o fator pelo qual devemos multiplicar o 3 Observe que o fator pelo qual multiplicamos o 3 é sempre um a menos do que o número do telefone telefone 5 2 4 3 De maneira semelhante para o 72º telefone teríamos telefone 72 2 71 3 215 Então o 72º telefone estaria no quilômetro 215 c Para responder a esta pergunta vamos tentar generalizar a conclusão que tiramos no item b Lembrese que o fator pelo qual multiplicamos o 3 é sempre um a menos do que o número do telefone Então vamos considerar um telefone genérico n De acordo com a conclusão acima então a sua localização seria telefone n 2 n 1 3 A expressão acima é chamada lei de formação da seqüência Note que a partir dela é possível obtermos a localização de qualquer telefone bastando para isso substituir a variável n pelo número do telefone cuja localização desejamos saber Por exemplo para sabermos a localização do 58º telefone basta fazermos telefone 58 2 58 1 3 2 57 3 173 isto é o 58º telefone está localizado no quilômetro 173 Tabela 5 Tabela 6 localização de cada telefone para obter a localização do seguinte e assim sucessivamente Deve haver porém uma maneira mais simples você não acha Vamos tentar estabelecer um padrão efetuar essa operação utilizando a multiplicação Olhe como fica melhor Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 60 Voltando à nossa pergunta desejamos saber o número do telefone que está localizado no quilômetro 350 seria o último telefone da estrada Nesse caso então conhecemos a localização 350 e queremos obter o valor de n correspondente Basta então resolvermos esta equação 350 2 n 1 3 Aplicando a propriedade distributiva temos 350 2 3n 3 350 2 3 3n 351 3n n n 117 n 1 a1 4 2 1 2 a1 4 2 a1 2 n 2 a2 4 2 2 2 a 2 4 8 a 2 4 n 3 a3 4 2 3 2 a3 4 18 a3 14 n 4 a4 4 2 4 2 a4 4 32 a4 28 n 5 a5 4 2 5 2 a5 4 50 a5 46 Então os cinco primeiros termos dessa seqüência são 2 4 14 28 e 46 Portanto a estrada conta com 117 telefones de emergência Você notou como a lei de formação da seqüência é importante Com ela podemos obter qualquer termo da seqüência bastando para isso substituir a variável n pela posição do termo que queremos descobrir Por exemplo se a lei de formação de uma seqüência é an 4 2n 2 e desejamos obter os cinco primeiros termos da seqüência basta fazermos Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 61 10 Desenvolvendo competências 1 Se a lei de formação de uma seqüência é dada por an n n2 então o segundo a2 e o quinto a5 termos dessa seqüência são respectivamente a 6 e 30 b 16 e 30 c 6 e 100 d 16 e 100 2 Uma pessoa desejando recuperar a forma física elaborou um plano de treinamento que consistia em caminhar por 20 minutos no primeiro dia 22 minutos no segundo dia 24 minutos no terceiro dia e assim sucessivamente Uma lei que permite calcular quantos minutos essa pessoa caminharia no dia n é dada por a 20 n 1 2 b 20 n 2 c 20 n 1 2 d 20 n 2 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 62 Conferindo seu conhecimento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Não pois em matemática não podemos concluir que um fato é verdadeiro a partir apenas da observação de alguns exemplos É possível que para algum caso que não analisamos aquele fato não se verifique 2 Resposta c note que a alternativa c fala de uma possibilidade a equipe V pode ser a campeã enquanto que a alternativa a fala de uma certeza a equipe V será a campeã o que não pode ser afirmado pois ainda faltam duas rodadas para o término do torneio 1 6 2 5 3 Resposta b 4 Cinco das oito casas da rua tiveram um aumento de mais de 100 KWh em suas contas de luz de março para abril Não havendo motivo aparente para tal aumento solicitamos a visita de um técnico para verificar se há problemas na rede elétrica da rua 1 Resposta a 1 Resposta b 2 Resposta d 1 Resposta b 2 Resposta c 1 Resposta b 2 Resposta d 360 Note que o quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos Como a soma dos ângulos internos de cada triângulo é 180 obteremos para o quadrilátero 180 180 360 ab2 ab ab a a a b a b b b a2 2ab b2 1 a 5 5 25 b 10 10 100 2 Resposta b 10 1 Resposta a 2 Resposta c Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 63 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar e interpretar conceitos e procedimentos matemáticos expressos em diferentes formas Utilizar conceitos e procedimentos matemáticos para explicar fenômenos ou fatos do cotidiano Utilizar conceitos e procedimentos matemáticos para construir formas de raciocínio que permitam aplicar estratégias para a resolução de problemas Identificar e utilizar conceitos e procedimentos matemáticos na construção de argumentação consistente Reconhecer a adequação da proposta de ação solidária utilizando conceitos e procedimentos matemáticos Elynir Garrafa CONVIVENDO COM OS NÚMEROS Capítulo III CONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS JÁ EXISTENTES PARA OS NÚMEROS NATURAIS INTEIROS RACIONAIS E REAIS Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 66 Capítulo III Convivendo com os números O sistema numérico Muitos séculos se passaram até que os hindus desenvolvessem o sistema de numeração decimal Por não haver muitos documentos sobre a Matemática conhecida na Antigüidade é impossível saber com exatidão quando isso aconteceu Estimase ter sido por volta do século V dC Os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 escolhidos para compor o sistema de numeração decimal e posicional foram por muito tempo denominados erroneamente algarismos arábicos por terem sido apresentados pelos árabes Por volta do século VII ao entrarem em contato com a cultura hindu e motivados pela simplicidade e praticidade do sistema de numeração encontrado tornaramse seus divulgadores em todo o Oriente Assim mais tarde esses algarismos passaram a ser conhecidos como hinduarábicos Em toda a Europa durante muitos séculos o sistema numérico usado era o romano e apesar da simplicidade do sistema hinduarábico houve muita resistência à sua adesão que só aconteceu efetivamente no século XVI Outro fato historicamente interessante foi a origem do número zero Não há consenso entre os historiadores sobre a invenção do zero atribuída tanto aos povos da Mesopotâmia quanto aos árabes hindus e chineses Arqueólogos identificaram um símbolo para esse número em tábuas de escrita cuneiforme de 300 aC feitas na Mesopotâmia numa época em que a região era dominada pelos persas A invenção do zero aumentou a precisão de todos os cálculos e trouxe um grande desenvolvimento para a aritmética e a astronomia O sistema de numeração hinduarábico é o que utilizamos Os números fazem parte efetiva do nosso cotidiano Estão em toda parte nos cercam Precisamos deles Abrimos o jornal e nos deparamos com notícias repletas de números Através deles nos expressamos diariamente Você já deve ter ouvido frases como estas Meu tapete mede 2 metros por 3 metros O maior vírus conhecido mede 000025 cm A parte correspondente a do meu salário é gasta com despesas mensais fixas A catedral fica no marco zero da cidade O diâmetro de uma molécula grande é 0000017 cm A temperatura em Nova York era de 8º Celsius enquanto que no Rio de Janeiro fazia 30ºC à sombra A cidade Vila Feliz fica no quilômetro 122 da rodovia João Paulo O número encontrado foi 03111 Para calcular o comprimento da circunferência basta multiplicar o diâmetro por π cujo valor é aproximadamente 3141592 O resultado foi 0333 Era um número diferente 010110111 Minha casa fica no número 122 dessa rua Pedro conseguiu ser classificado em 1º lugar no vestibular Quando dividi 12 por 33 encontrei como resultado 01212 Capítulo III Convivendo com os números 67 Um freezer congela à temperatura de 18 Celsius Viajamos à velocidade média de 80 quilômetros por hora O cano mede de polegadas Um pão de queijo custa R 080 A caixa dágua tem 10000 litros de capacidade Verificamos um resultado de 002 Observe na Figura 1 como os números são escritos de modos diferentes Quantas vezes temos de carregar uma sacola com várias coisas pesadas e nos perguntamos Quantos quilos estarei carregando Aí começamos a pensar São dois quilos e meio de feijão um quilo e trezentos de carne um quilo e meio de farinha e meio quilo de sal Calcule o peso dessa sacola Você poderá fazer esse cálculo de vários modos Um deles seria primeiro juntar os quilos inteiros 2kg de feijão mais 1kg de carne mais 1kg de farinha o que resulta em 4kg Depois juntar os meios quilos 05kg de feijão mais 05kg de farinha mais 05kg de sal o que resulta em 15kg Juntando os 4kg com 15kg são 55kg E por fim juntar os 300 gramas de carne o que resulta em 5kg e 800 gramas que pode ser escrito como 58kg Outro modo seria pensar que dois quilos e meio de feijão são 25kg um quilo e trezentos de carne são 13kg um quilo e meio de farinha são 15kg meio quilo de sal são 05kg Calculando a soma teremos 2 5 1 3 1 5 0 5 5 8 Veja que nos dois modos de solução os números que usamos foram representados com vírgula Esses não são naturais nem inteiros Podem ser chamados de racionais e também de números reais São conhecidos como decimais e podem ser escritos em forma de uma fração com denominador 10 100 1000 etc 25 048 1245 Você vai notar que a escrita de números às vezes usa a vírgula outras a forma de fração como o E outras o sinal negativo como o 8 que é um número negativo No diaadia você encontra várias situações envolvendo esses números Veja algumas dessas situações e os problemas propostos As respostas que você não encontrar no próprio texto estarão no final do capítulo Vivemos calculando fazendo estimativas e pensando em soluções envolvendo números Por exemplo Você está trabalhando na barraca de refrigerante da quermesse No início da festa havia 400 latas de refrigerantes e você gostaria de saber quantas vendeu Para calcular essa quantidade é necessário contar as latas que sobraram e depois encontrar a diferença entre essa quantidade que sobrou e 400 Os números usados para resolver esse problema são chamados de números naturais mas podem também ser chamados de inteiros racionais ou ainda números reais Figura 1 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 68 Observe que o número de casas decimais algarismos depois da vírgula é igual ao número de zeros do denominador As frações surgiram há muitos anos atrás com a necessidade de medir quantidades não inteiras Há Desenvolvendo competências 1 Desenvolvendo competências A receita abaixo é de um bolo básico para 15 pessoas Como você faria para calcular os ingredientes da mesma receita se quisesse fazer o mesmo bolo com o recheio para 30 pessoas sem perder a qualidade Como a receita é para 15 pessoas para 30 é só colocar o dobro dos ingredientes Figura 3 Nessa receita aparecem também as frações registros de sua origem desde o tempo dos faraós do Egito 3000 anos antes de Cristo e estão presentes em nosso diaadia RECHEIO PARA BOLO 2 colheres de sopa de manteiga de xícara de açúcar 2 ovos batidos 1 colher se sopa de casca de laranja xícara de suco de limão de litro de leite Como O dobro de E agora para o recheio Figura 2 Figura 4 Capítulo III Convivendo com os números 69 Como queremos dobrar essa quantidade teremos Situações como essa acontecem sempre Uma representação dessa situação poderá ajudálo a descobrir quanto é o dobro de A Figura 5 mostra que Quando fazemos cálculos desse tipo estamos trabalhando com os números racionais escritos na forma de fração Agora faça você uma representação para obter o dobro de Mas quanto é o dobro de do litro de leite É mais que 1 litro Vamos usar também uma representação dessa situação para nos ajudar Veja na figura seguinte que para representar de um litro de leite podemos dividilo em 4 partes iguais e colorir 3 dessas partes Figura 5 Figura 6 Para perceber melhor que quantidade é essa você pode completar um dos litros de leite tirando do outro Veja como fica a nova representação Figura 7 Como vimos antes Então o dobro de é 1 litro e meio Usando o que discutimos aqui pense em triplicar a receita do bolo Para quantas pessoas daria Qual é o triplo de De De Figura 8 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 70 Usando Frações Vamos ver uma outra situação em que usamos as frações Uma receita de suco indica que se use 1 copo de caldo da fruta para 8 copos de água Para fazer um suco mais suave com 50 a menos de caldo de fruta eu preciso a aumentar a quantidade de caldo de fruta para 2 copos e aumentar a quantidade de água para 16 copos b aumentar a quantidade de água para 10 copos e a de caldo de fruta para 5 c diminuir a quantidade de caldo de fruta para copo e aumentar a quantidade de água para 16 copos d diminuir a quantidade de caldo de fruta para copo e manter a quantidade de água Resolvendo o problema Nesse problema vamos comparar quantidades e escrever essa comparação na forma de fração Para começar vamos entender o que o enunciado quer dizer quando se refere a 50 a menos de caldo de fruta Cinqüenta por cento 50 é uma forma de representar a fração Essa fração é equivalente a veja que 50 é metade de 100 Então reduzir a quantidade de caldo de fruta em 50 significa usar apenas a metade da quantidade indicada na receita Pensando assim vamos analisar cada uma das alternativas de respostas para esse problema Na alternativa a em que se propõe usar 2 copos de caldo de fruta para 16 de água note que a receita foi dobrada isto é as quantidades foram multiplicadas por dois o que não reduziu a quantidade de caldo de fruta como requer o problema Teremos o suco idêntico ao da receita e não mais fraco Na alternativa b em que se propõe aumentar a quantidade de água para 10 copos e a de caldo de fruta para 5 note que a quantidade de água foi aumentada em 2 copos e a de caldo de fruta foi aumentada em 3 copos Assim o suco não ficou mais suave e sim mais forte Na receita devemos usar a relação isto é um para oito e nessa alternativa a relação usada é isto é cinco para dez que é igual a A alternativa c em que se propõe diminuir a quantidade de caldo de fruta para copo e aumentar a quantidade de água para 16 copos também não é a correta A relação para 16 é equivalente a usar 1 copo de suco para 32 copos de água ficando assim 25 mais fraco reduzindo do caldo de fruta da receita original e não da metade como propõe o problema A alternativa d é a correta porque ao diminuir a quantidade de caldo de fruta para copo e ao manter a quantidade de água estabelecemos a relação para 8 que é equivalente à relação 1 para 16 indicando uma redução de metade de caldo de fruta da receita original como propõe o problema Capítulo III Convivendo com os números 71 2 Desenvolvendo competências Para fazer 160 queijos todos com o mesmo peso são necessários 240 litros de leite Se quisermos aumentar a produção em 25 mantendo a qualidade do produto teremos a 200 queijos e serão usados 600 litros de leite b 200 queijos e serão usados 240 litros de leite c 40 queijos a mais e serão usados 300 litros de leite d 200 queijos e serão usados 480 litros de leite Dois alunos estavam discutindo para saber quem tirou a maior nota na prova em que 100 de acertos correspondia à nota 10 No lugar da nota o professor escreveu a fração correspondente ao 3 Desenvolvendo competências Qual a maneira mais conveniente financeiramente de embalar para transportar uma colheita de 560 maçãs a Usando caixotes que acomodam da colheita pagando por todos R 2000 e colocando o restante em caixas pequenas para 8 unidades a R 100 a caixa b Usando caixotes que acomodam da colheita pagando por todos R 2000 e colocando o restante em caixas pequenas para 8 unidades a R 100 a caixa c Usando caixotes que acomodam da colheita pagando por todos R 2000 e colocando o restante em caixas pequenas para 8 unidades a R 100 a caixa d Usando caixotes que acomodam da colheita pagando por todos R 2000 e colocando o restante em caixas pequenas para 8 unidades a R 100 a caixa que cada um acertou Um deles tinha da prova correta e o outro Você sabe a nota que cada um tirou Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 72 Resolvendo o problema Esse problema pode ser resolvido de várias maneiras Uma delas seria usar o conceito de número racional como o resultado da divisão de dois números inteiros Observe como Números negativos Além das frações e dos decimais o homem no decorrer do tempo precisou de registros para expressar números menores que zero Foram chamados de números negativos que acrescentados ao conjunto dos números naturais deram origem a um novo conjunto numérico chamado de conjunto dos números inteiros Atualmente convivemos com situações envolvendo os números negativos usados por exemplo para registrar queda ou perda As mais comuns são o saldo bancário devedor as temperaturas abaixo de zero os pontos perdidos no campeonato de futebol Ao obtermos a porcentagem de acerto na prova fica mais fácil percebermos a nota correspondente O primeiro aluno ficará com nota 4 quatro e o outro com nota 75 sete e meio Usando esses registros podemos resolver problemas como Numa cidade da Europa onde no inverno faz muito frio o termômetro está marcando 8 Celsius ao mesmo tempo em que em outra localidade nesse país a temperatura é de 2 Celsius Em qual das duas cidades faz mais frio na que tem temperatura de 8 Celsius ou na que tem 2 Celsius Capítulo III Convivendo com os números 73 Resolvendo o problema Antes de discutirmos o problema vamos lembrar como fazemos a leitura de um termômetro Um termômetro marca temperaturas abaixo de zero como negativas e acima de zero como positivas Assim se está muito frio e a temperatura atingiu 2 graus abaixo de zero podemos dizer que o termômetro marcou 2 graus negativos isto é a temperatura local era de 2 Celsius Se forem 2 graus acima de zero dizemos simplesmente 2 Celsius Celsius é a unidade de temperatura usada no Brasil Você pode observar que quanto mais abaixo de zero estiver a temperatura mais frio estará fazendo isto é 8º Celsius é uma temperatura menor do que 2º Celsius Essa comparação entre as temperaturas pode ser escrita em linguagem matemática simbólica Em Matemática usamos o sinal para indicar maior e o sinal para indicar menor Usando esses sinais podemos escrever 2 8 ou 8 2 Escreva você mais alguns números negativos e compareos usando os sinais ou Vejamos mais um problema envolvendo temperatura Às 9 horas da manhã a temperatura estava agradável fazia 18ºC Ao meio dia passou para 20C e às três horas da tarde começou a esfriar caindo para 17C Durante a noite esfriou muito e às 2 horas da madrugada os termômetros marcavam 2C Às 5 horas da manhã já estava marcando 4C C é a abreviação de Celsius e ao lermos 2C devemos dizer dois graus Celsius negativos Encontre a maior variação de temperatura ocorrida nesse período Resolvendo o problema Use os sinais ou para registrar as temperaturas observadas durante esse período e encontre a diferença entre a maior e a menor temperatura 1 As temperaturas positivas18 20 17 2 As temperaturas negativas 2 e 3 3 A maior temperatura 20 4 A menor temperatura 3 5 Para calcular a diferença entre 3 e 20 podemos pensar que de 3 até zero a diferença é 3 de 0 até 20 a diferença é 20 Então a diferença entre 3 e 20 é 23 Figura 9 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 74 Juntar os dois totais 266797 97413 163384 Outro modo de fazer os cálculos é na ordem que a quantia aparece no extrato 90197 74197 68197 65197 1503 1616 163384 Uma pessoa deposita seu dinheiro no banco podendo retirar quando necessitar pagar contas com cheques ou usar serviços que o banco oferece pagando também algumas taxas cobradas de acordo com as normas estabelecidas pelo governo A conta é conhecida como conta corrente Para acompanhar os depósitos e as retiradas isto é a movimentação da conta o banco fornece um extrato em que estão registrados todos os lançamentos através de números positivos e negativos Observe o extrato abaixo referente a uma conta bancária no período de 30 de abril até o dia 7 de maio 3004 s a l d o 0205 cheque compensado 0305 cheque compensado 0305 cheque compensado 0405 cheque compensado 0505 pagamento de título 0605 IOF 0705 depósito em cheque 0705 saldo Como você faria para calcular o saldo isto é quanto dinheiro essa pessoa tinha no banco no dia 7 de maio Uso dos números negativos no diaadia Veja que toda vez que a quantia é depositada entra no banco aparece o sinal de na frente da quantia e quando é retirada sai através de cheques ou descontos aparece o sinal de na frente da quantia Um modo de se resolver esse problema é Somar os positivos e Somar os negativos 95797 5600 16000 6000 3000 66700 113 165000 95797 165000 260797 5600 6000 16000 3000 66700 113 97413 Total de positivos Total de negativos 95797 90197 74197 68197 65197 1503 1616 5600 16000 6000 3000 66700 113 165000 Capítulo III Convivendo com os números 75 4 5 Desenvolvendo competências Suponha que o cliente que possui essa conta bancária tenha uma despesa total mensal de R 200000 além do que está registrado nesse extrato Se nenhuma quantia for depositada no fim do mês de maio seu saldo será positivo ou negativo De quanto Desenvolvendo competências Vamos fazer uma previsão de quanto essa pessoa precisa ganhar por mês para poder pagar as despesas fixas R 200000 e as que estavam registradas como negativas no extrato pretendendo ainda guardar dinheiro de modo que no final de um ano tenha economizado R 140000 Supondo que não ocorra nenhum gasto extra essa pessoa precisa ganhar mensalmente a no mínimo R 310000 b no mínimo R 320000 c no mínimo R 330000 d no mínimo R 340000 6 Desenvolvendo competências O saldo de gols de um time de futebol é o número de gols marcados menos o número de gols sofridos Observe a tabela e calcule o saldo de gols de cada time Times do Recreio Amarelo 2 x 1 Azul Vermelho 2 x 2 Verde Azul 1 x 1 Vermelho Amarelo 3 x 0 Verde Amarelo 1 x 2 Azul Azul 0 x 3 Verde Tabela 1 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 76 7 Números inteiros também aparecem em gráficos Gráficos são usados para transmitir dados e informações Observar e analisar esses dados e informações são habilidades necessárias a todas as pessoas que queiram participar da sociedade complexa em que vivemos pois os gráficos fazem parte do cotidiano dessa sociedade Veja o gráfico ao lado que se refere às temperaturas de uma determinada cidade no mês de dezembro Ao observar esse gráfico você pode notar que em alguns dias do mês de dezembro ocorreram temperaturas negativas e em outros temperaturas positivas 8 Desenvolvendo competências A partir dessas observações responda às questões a A cidade a qual o gráfico se refere pode estar localizada numa região tropical no hemisfério sul Por quê b Qual a maior e a menor temperatura registrada c A diferença entre dois dados de mesma natureza pode ser chamada de variação Qual foi a variação da temperatura entre os dias 3 e 4 d Qual a variação da temperatura entre os dias 6 e 10 e Qual a diferença entre a maior e a menor temperatura registrada Desenvolvendo competências De acordo com o gráfico escolha a alternativa correta a A temperatura mantevese constante em todo o período b Nos primeiros dias do mês as temperaturas registradas foram as mais baixas do período c Após o dia 7 a temperatura abaixou 8 graus d Após o dia 7 a temperatura abaixou 16 graus Figura 10 TEMPERATURA NO MÊS DE DEZEMBRO Celsius Capítulo III Convivendo com os números 77 Os gráficos de colunas também são muito usados para transmitir informações Figura 11 9 Desenvolvendo competências Analisando o gráfico responda a Em que meses a empresa teve lucro b Em que meses a empresa teve prejuízo c Qual o total dos lucros registrados no período d Qual o total dos prejuízos registrados no período e No ano de 2000 essa empresa teve lucro ou prejuízo De quanto Você observou que este gráfico apresenta além dos números positivos e negativos uma forma econômica de registrar números Veja que no eixo vertical os números que aparecem devem ser lidos como milhões Por exemplo o 150 e o 12 que lá estão devem ser lidos como 150 milhões e 12 milhões respectivamente Essa forma de escrita numérica que expressa grandes quantidades é muito usada na imprensa talvez porque ao ler 150 milhões a ordem de grandeza do número é imediatamente percebida pelo leitor o que não aconteceria se fosse expressa como 150000000 VALORES ARRECADADOS EM REAIS NO ANO DE 2000 Este que apresentamos mostra os resultados da arrecadação anual de uma firma Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 78 Observe essa forma de escrita numérica na reportagem extraída da revista de grande circulação comentando o transporte no rio Guaíba EM 7 ANOS O BRASIL REDESCOBRIU O CAMINHO DAS ÁGUAS O Brasil possui mais de 40 mil rios navegáveis mas vinha utilizando muito pouco esse sistema que é 80 mais econômico que o rodoviário O Governo Federal por meio do Ministério dos Transportes investiu muito nas hidrovias e os resultados apareceram A hidrovia do Tietê por exemplo passou a movimentar 4 milhões de toneladasano depois que ficou pronta a eclusa de Jupiá E a circulação de cargas no rio Madeira praticamente dobrou passando de 13 milhões para 24 milhões de toneladas ano Além de mais econômico o transporte hidroviário é o que menos interfere na natureza deixando preservados os nossos rios patrimônio de muitos brasileiros Com os investimentos do Governo Federal o Brasil está redescobrindo as hidrovias e mudando o seu sistema de transportes E os transportes estão ajudando a mudar o Brasil Fonte Revista Veja São Paulo 5 dez 2001 Perceba que a escrita numérica usada dessa forma causa mais impacto para ressaltar o que está acontecendo com o transporte hidroviário no Brasil São elas 40 mil em vez de 40000 4 milhões em vez de 4000000 13 milhões em vez de 1300000 24 milhões em vez de 2400000 10 Desenvolvendo competências De acordo com a reportagem acima os números indicam que o transporte utilizado no rio a é uma boa solução por preservar o ambiente sendo seu custo 20 menor que o rodoviário b não é uma boa solução sendo 80 mais econômico que o rodoviário c não é uma boa solução sendo 20 mais econômico que o rodoviário d é uma boa solução por preservar o ambiente sendo seu custo 80 menor que o rodoviário Capítulo III Convivendo com os números 79 Ainda refletindo sobre a reportagem extraída da revista Veja quais das alternativas abaixo estão matematicamente corretas a Depois dos investimentos em hidrovias houve um aumento de aproximadamente 50 na circulação de cargas isto é de 1000000 de toneladas por ano b O aumento de aproximadamente 50 na circulação de cargas indica que essa circulação dobrou c Dizer que passou para o dobro significa um aumento de 100 o que praticamente aconteceu d O dobro de 13 milhões é 26 milhões e não 24 milhões e Pela ordem de grandeza dos números podemos aceitar o argumento do jornalista ao dizer que ao atingir 24 milhões de toneladasano a circulação de cargas praticamente dobrou Resolvendo o problema Você deve ter percebido que as alternativas a e b não estão corretas porque dizer que a circulação de cargas dobrou não quer dizer que aumentou 50 e sim 100 e 50 de 13 milhões Figura 12 Adaptação do gráfico da Revista Veja São Paulo 5 jun 2002 não é 1000000 e sim 650000 As alternativas c d e e estão corretas porque o dobro de 13 milhões é 26 milhões da mesma forma que um aumento de 100 significa passar de 13 milhões para 26 milhões e não para 24 milhões No entanto o emprego do termo praticamente permite ao jornalista a comparação feita porque a diferença entre 26 milhões e 24 milhões é de 200 mil que corresponde a menos de da circulação final ocorrida Voltando aos gráficos Observando o gráfico que apresenta uma comparação entre o Produto Interno Bruto PIB do Brasil e o Produto Interno Bruto da agropecuária a partir do segundo trimestre de 2001 até o primeiro de 2002 O MOTOR DA AGRICULTURA Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 80 11 Desenvolvendo competências De acordo com o gráfico da Figura 12 podemos afirmar que a a maior variação do PIB da agropecuária foi de 323 b a maior variação do PIB da agropecuária foi de 348 c a diferença entre o menor valor do PIB da agropecuária e o valor registrado no 1º trimestre de 2002 foi de 323 d o maior valor do PIB da agricultura foi de 185 Números irracionais Você saberia dizer qual dos dois caminhos a formiga faz para chegar ao doce ac ou b O professor Luiz Barco em sua coluna na revista Super Interessante nº 147 afirma que até as formigas escolhem andar pelo maior lado do triângulo retângulo em vez de percorrer os outros dois Segundo o prof Barco calcular caminhos é uma das várias aplicações práticas do teorema de Pitágoras Usando este teorema é possível calcular a menor distância entre dois pontos Pitágoras um filósofo que viveu na Grécia aproximadamente 500 anos antes de Cristo Figura 13 a b c Figura 14 estabeleceu uma relação entre os lados do triângulo retângulo que ficou conhecida como teorema de Pitágoras A descoberta de Pitágoras foi uma revelação para a Matemática pois surgiram números para os quais não é possível extrair a raiz quadrada exata O teorema de Pitágoras diz que Em um triângulo retângulo a soma das medidas dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa Capítulo III Convivendo com os números 81 Veja o que ocorre quando aplicamos o teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo cujos catetos medem 1m Escrevemos x 2 1 2 1 2 x 2 11 x 2 2 x Ao calcularmos o valor dessa raiz com o auxílio de um computador encontramos 14142135623730950488016887242097 Note que os três pontinhos que aparecem depois do último algarismo 7 indicam que podemos continuar calculando essa raiz e ir aumentando infinitamente o número de casas decimais Outro fato importante para ser observado na representação decimal desse número é que não acontece com ele o mesmo que com outros números racionais que também têm infinitas casas decimais como por exemplo os números 133333 5215234234234234 Nesses casos a partir de um determinado algarismo há na parte decimal regularidade na repetição de algarismos Veja que para essa regularidade não ocorre Números como o são chamados de irracionais porque não é possível escrevêlos na forma de uma razão isto é na forma fracionária com numerador e denominador inteiros Existem muitos números irracionais Veja mais alguns 010101101111 e o conhecido π que nos permite calcular a área do círculo e o perímetro da circunferência Você viu no decorrer desse capítulo que o conhecimento dos números e suas operações pode ajudálo em diferentes situações cotidianas Existem ainda outras situações reais nas quais o conhecimento dos números irracionais pode ajudálo e a toda sua comunidade Os mutirões entre vizinhos para a construção da casa própria ocorrem em grande número em diferentes regiões do país Veja uma possibilidade de usar seu conhecimento dos números para resolver problemas que podem aparecer em construções Figura 16 Como você faria para calcular aproximadamente a medida da viga lateral da estrutura de um telhado como o da figura acima Resolvendo o problema Você deve ter encontrado o valor para x Para obter o valor aproximado você pode usar uma calculadora ou então considerar que como 5 é maior que 4 então deve ser maior que mas é igual a 2 como 5 é menor que 9 então deve ser menor que mas é igual a 3 então é um número que está entre 2 e 3 Como 5 está mais próximo de 4 do que de 9 então deve estar mais próximo de 2 do que de 3 Assim multiplique 21 por 21 e depois multiplique 22 por 22 experimente também multiplicar 23 por 23 Qual dos resultados que você obteve mais se aproxima de 5 Se você achar que é o produto de 22 por 22 então poderá dizer que é aproximadamente igual a 22 Isso quer dizer que a medida da viga é de aproximadamente 22 metros que é o mínimo necessário Porém como há alguma perda em cortes você deve considerar alguns centímetros a mais na hora da compra do material Figura 15 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 82 Ao juntarmos o conjunto dos números irracionais ao conjunto dos números racionais formamos o conjunto dos números reais Dessa forma todos os números que foram utilizados neste capítulo são números reais Chegando ao final dessa leitura você deve ter percebido a importância de conhecer e saber utilizar os números naturais inteiros racionais e reais para resolver as mais diversas situações de seu cotidiano Figura 17 12 Desenvolvendo competências Uma antena precisa ser fixada por 2 cabos de aço conforme a figura abaixo A quantidade mínima necessária de cabo de aço é a 2 m b 2 m c 4 m d 20 m Capítulo III Convivendo com os números 83 BOLO BÁSICO 2 xícaras de manteiga 4 xícaras de açúcar 6 xícaras de farinha de trigo 6 colheres de chá de fermento em pó 2 xícara de manteiga 2 colher de chá de baunilha 8 ovos 2 xícaras de leite Conferindo seu conhecimento 1 2 3 4 5 6 7 Resposta c Resposta a Negativo R 24116 Resposta b Amarelos 3 Verde 3 Azul 4 Vermelho 0 a Não porque é verão em dezembro no Hemisfério Sul b A menor temperatura é 8ºC c A diferença é de 10 graus d A diferença é de 9 graus e A diferença é de 18 graus Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 84 8 9 10 11 Resposta d Analisando o gráfico você pode dizer se a empresa teve a Janeiro fevereiro março abril julho novembro dezembro b Maio junho agosto setembro outubro c 456 milhões de reais d 224 milhões de reais e Lucro de R 232 milhões de reais Resposta d Resposta c 12 Resposta b Capítulo III Convivendo com os números 85 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar interpretar e representar os números naturais inteiros racionais e reais Construir e aplicar conceitos de números naturais inteiros racionais e reais para explicar fenômenos de qualquer natureza Interpretar informações e operar com números naturais inteiros racionais e reais para tomar decisões e enfrentar situaçõesproblema Utilizar os números naturais inteiros racionais e reais na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas de qualquer natureza Recorrer à compreensão numérica para avaliar propostas de intervenção frente a problemas da realidade Marília Toledo UTILIZAR O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO PARA REALIZAR A LEITURA E A REPRESENTAÇÃO DA REALIDADE E AGIR SOBRE ELA Capítulo IV NOSSA REALIDADE E AS FORMAS QUE NOS RODEIAM Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 88 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam A sabedoria popular Em nosso diaadia realizamos uma grande quantidade de ações que estão apoiadas em conhecimentos de vários tipos Tudo é feito de um modo tão natural que nem identificamos o conhecimento que estamos usando Vejamos algumas situações nas quais isso ocorre Se você tiver que atravessar uma rua movimentada qual o melhor trajeto o 1 ou o 2 Imaginese agora organizando um jogo em que você é encarregado de receber uma bola e passá la a cada um dos demais jogadores Em qual das posições 1 ou 2 representadas abaixo você distribuiria as pessoas para participarem do jogo Solução 1 Solução 2 Figura 1 Solução 1 Solução 2 Figura 2 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 89 Nossa experiência nos diz que em cada caso a solução 2 parece ser a mais conveniente não é Se alguém nos pedir para justificar essas escolhas diremos que estamos usando a sabedoria popular e não pensaremos mais no caso De fato ao longo da história da Humanidade foram surgindo no diaadia dos diversos povos problemas que eles tiveram que solucionar As soluções encontradas foram sendo passadas de pai para filho formando essa sabedoria que todos nós possuímos Alguns escritos que ficaram dos povos antigos muitas vezes descrevem alguma situação e a solução encontrada justificando apenas que fazendo assim dá certo Com o tempo esses conhecimentos da sabedoria popular foram sendo organizados pelos estudiosos que procuraram explicações lógicas para cada uma das situações e de suas soluções Desse modo foise organizando um conjunto de conhecimentos que até hoje continua sendo ampliado e aprofundado Nas situações apresentadas podemos dizer que os conceitos usados são de natureza geométrica A Geometria é uma parte da Matemática que estuda as figuras sua forma elementos e propriedades Vamos então analisar cada uma das situações apresentadas pensando nos aspectos geométricos envolvidos Na primeira situação a intenção do pedestre é fazer o menor caminho possível para ficar menos exposto ao movimento dos veículos Podemos pensar em um desenho simplificado um modelo que irá nos ajudar a pensar melhor na situação As duas beiradas das calçadas representam retas paralelas e a menor distância entre elas é o segmento pedaço de reta perpendicular às duas Figura 3 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 90 Nessa explicação falamos em retas paralelas e em retas perpendiculares Vamos entender melhor o que isso significa Duas retas que estão em um mesmo plano podem ser Paralelas se não se encontram Perpendiculares se elas se encontram em um ponto separando o plano em quatro regiões iguais ou seja se elas formam quatro ângulos retos Oblíquas se elas se encontram em um ponto separando o plano em regiões diferentes duas a duas ou seja formam dois ângulos maiores que o ângulo reto e dois menores Figura 4 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 91 Repare nas características das faixas de pedestres sinalizadas nas ruas muito movimentadas encontramse em posição perpendicular às guias das calçadas e as listas que as formam são paralelas entre si Além do exemplo das ruas faixas de pedestres e calçadas você pode encontrar muitos outros objetos da nossa realidade que poderiam ser representados por retas paralelas Pense em alguns exemplos Do mesmo modo você pode observar modelos de retas perpendiculares na rua no seu trabalho em sua casa como por exemplo nos batentes das portas Procure outros exemplos Vejamos como fica a situação dos jogadores na 1ª solução do problema da página 88 Novamente vamos usar um modelo da situação uma figura simplificada que nos permite analisar melhor o que está ocorrendo A figura formada é um retângulo Observe que os pontos assinalados se encontram a distâncias diferentes do centro Os jogadores mais prejudicados são os que se encontram nos vértices P Q R S do retângulo pois estes são os pontos mais distantes do centro Na segunda situação em que se organiza um jogo com bola é mais justo que todas as pessoas estejam à mesma distância do jogador central para terem facilidades iguais de pegar e jogar a bola Por isso a melhor escolha é que suas posições formem uma circunferência como na 2ª solução do problema apresentado na página 88 1 Desenvolvendo competências Repare que no retângulo podemos observar lados perpendiculares o lado PQ e o lado QR por exemplo formam um par de segmentos de retas perpendiculares Indique outros pares de lados perpendiculares no retângulo No retângulo também podemos observar pares de lados que são paralelos Quais são eles Figura 5 Figura 6 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 92 Vamos pensar em uma outra situação de nossa realidade Você já prestou atenção à forma de um poço ou de uma panela com tampa que fecha bem justinho Tente descobrir um motivo para a escolha da forma desses objetos ser sempre a da opção 2 e não a da opção 1 No caso de o poço ou da panela ter forma de um prisma de base quadrada sua tampa terá a Um bom argumento para justificar essa escolha pode ser verificado por você Pegue duas embalagens de produtos quaisquer uma com a 1ª forma apresentada e outra com a 2ª forma sem uma das tampas Você deve construir uma tampa para cada embalagem apoiandoa sobre um papel grosso desenhando o contorno da parte a ser tampada e depois recortandoo Agora tente guardar cada tampa dentro da sua respectiva caixa sem dobrála nem amassála Você deve ter notado que apenas a tampa da 1ª embalagem pode ser guardada nas condições do problema isto é sem ser dobrada nem amassada Isso quer dizer que se o poço ou as panelas tivessem a 1ª forma haveria o risco de se deixar a tampa cair no fundo A figura da opção 1 tem a forma de um prisma de base quadrada ou paralelepípedo e a figura da opção 2 tem a forma de um cilindro forma de um quadrado Então se encaixarmos o lado da tampa na diagonal da boca do poço certamente a tampa irá ao fundo Pense na situação do pedestre atravessando a rua No caso de o poço ter a forma cilíndrica sua tampa será redonda e nunca irá para o fundo pois no círculo qualquer um de seus pontos estará a uma mesma distância do centro distância igual ao raio Pense nas crianças jogando bola AB lado AC diagonal PO OQ TO OU raio opção 1 opção 2 Se você quiser saber mais Figura 7 Figura 8 Figura 9 Figura 10 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 93 Um famoso teorema o de Pitágoras Você já observou o início da construção de uma casa Ela se inicia pela marcação do terreno indicandose no chão cada aposento com barbante e estacas Em geral as paredes formam ângulos retos ou ficam no esquadro como se costuma dizer E como é que os trabalhadores da obra têm certeza disso Existe um modo prático de resolver o problema que é o seguinte Quando não se consegue isso devese modificar um pouco a posição da estaca C daí a necessidade do golpe de vista do chefe da obra Com isso formase um ângulo reto entre os fios AB e AC Pense no triângulo que foi construído as medidas de seus lados são 3 4 e 5 metros Existe uma relação muito interessante entre estes números 3 2 4 2 5 2 ou 9 16 25 3 2 3 3 4 2 4 4 5 2 5 5 prendese um fio de barbante em uma estaca A e ele é esticado até uma estaca B de modo que o barbante fique com 3 metros de comprimento entre A e B repetese a mesma operação entre a estaca A e uma outra C de modo que o novo barbante fique com comprimento de 4 metros entre A e C A operação seguinte é mais delicada para posicionar a estaca C de modo que as futuras paredes fiquem no esquadro é necessário esticarse novo fio de barbante de B a C para que a distância entre essas duas estacas seja exatamente 5 metros Figura 11 Figura 12 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 94 Um pouco de História Há muitos séculos há cerca de 5000 anos desde os tempos em que os egípcios construíram suas pirâmides eles já sabiam dessa relação em todo triângulo que tem lados com as medidas 3 4 e 5 unidades formase um ângulo reto entre os lados que medem 3 e 4 unidades Naquele tempo ainda não se usava a unidade de medidas de comprimento em metros O que os operários egípcios faziam era preparar uma corda com 13 nós com o cuidado de deixar sempre a mesma distância a unidade de medida escolhida por eles entre um nó e outro Prendiase a corda no chão com as estacas no primeiro nó no quarto e no oitavo deixando 3 espaços e 4 espaços entre essas estacas O décimo terceiro nó deveria coincidir com o primeiro a posição do oitavo nó era a mais importante ela deveria ser corrigida se necessário Com isso eles tinham certeza de ter um ângulo reto formado entre os lados que se uniam na segunda estaca Só muito mais tarde por volta do século VI aC os gregos começaram a se preocupar em recolher os conhecimentos dos povos e a tentar organizálos e explicálos Um de seus trabalhos se referiu exatamente a essa relação entre as medidas dos lados dos triângulos que têm um ângulo reto eles descobriram que a relação vale não só para os triângulos de lados medindo 3 4 e 5 unidades Eles descobriram que sempre que um triângulo possui um ângulo reto o quadrado da medida do lado maior é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados Chamaram o lado maior de hipotenusa e os outros dois lados de catetos Essa descoberta ficou conhecida como teorema de Pitágoras em homenagem a um dos maiores filósofos daqueles tempos O teorema ficou conhecido da seguinte forma Em todo o triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos dois catetos Figura 13 Figura 14 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 95 Atualmente quando precisamos medir ou desenhar um ângulo reto utilizamos o esquadro um instrumento bastante simples barato e fácil de se usar Se você quiser saber mais Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são expressas por três números naturais esses números são chamados pitagóricos Já sabemos que as medidas 3 4 e 5 representam um desses trios de números pitagóricos Você pode obter novos trios multiplicando essas medidas por 2 3 4 ou qualquer outro número natural maior que 1 Os triângulos que você irá obter com essas novas medidas são semelhantes ao primeiro pois têm a mesma forma os mesmos ângulos que ele só mudando os comprimentos dos lados Você pode fazer o mesmo com os números pitagóricos 5 12 e 13 ou com qualquer outro trio O triângulo retângulo mais famoso é o que possui lados medindo 3 4 e 5 unidades pois esses números são bastante simples de se memorizar Outro trio de números inteiros para os quais também vale a relação é 5 12 13 Verifique com auxílio do esquadro construa um ângulo reto deixe um dos lados do ângulo com 5 cm de comprimento e o outro com 12 cm ligando as extremidades dos dois lados você irá obter o terceiro lado de um triângulo Meça esse lado Se você não encontrou 13 cm confira com o esquadro se o ângulo que você traçou está mesmo com 90 graus isto é se ele é um ângulo reto para que você tenha um triângulo retângulo Figura 15 Figura 16 Figura 17 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 96 Voltando aos problemas do pedestre e do poço Vamos pensar agora no problema de colocar a tampa na boca de um poço se ela for quadrada Imaginemos que a boca do poço forma um quadrado em que cada lado tem 1 metro de comprimento Agora que já foi discutido o teorema de Pitágoras você pode retomar os problemas citados realizando alguns cálculos Vejamos o problema do pedestre é possível desenharmos um modelo da situação onde fica clara a representação de um triângulo retângulo Vamos imaginar que a rua tem 8 metros de largura Então o pedestre poderá fazer a travessia perpendicularmente às calçadas ou atravessar a rua seguindo uma direção oblíqua Imaginemos que pelo caminho oblíquo ele chegue à calçada oposta em um ponto R que está 6 metros abaixo do ponto de partida P na outra calçada Teremos aí um modelo de triângulo retângulo Localize as medidas dadas nesse modelo para concluir quantos metros o pedestre irá percorrer em cada trajeto Novamente podemos desenhar um modelo da situação em que aparece um triângulo retângulo formado por dois lados e pela diagonal do quadrado Vamos usar as indicações a medida de CB b medida de AC c medida de AB 2 Desenvolvendo competências Aplique no triângulo ABC a relação de Pitágoras e descubra quanto mede a diagonal CB da boca do poço Observação Você vai precisar do valor de Use 141 Figura 18 Figura 19 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam E por falar em construções Você já deve ter visto uma casa sem forro Deve então ter reparado que servindo como estrutura para o telhado quase sempre encontramos uma tesoura uma construção de madeira com forma triangular Figura 20 Resolvendo o problema Você já pensou no motivo que leva os carpinteiros a escolherem sempre a forma triangular para essa estrutura Por que será que não a fazem em forma quadrada retangular ou qualquer outra Para encontrar a resposta para essa questão faça a seguinte experiência Corte sete pedaços de canudinhos de refresco e com um fio de linha ou de barbante construa um retângulo e um triângulo Pegue cada uma dessas figuras e putea por um de seus lados tomando o cuidado de não dobrar nem entortar nenhum dos canudinhos Você irá verificar que o retângulo muda de forma à medida que você for puxando seu lado enquanto que o triângulo apresenta maior resistência à deformação a ponto de só mudar de forma se for destruído Dizemos que de todas as figuras que podemos construir com três lados quatro lados ou mais a única que tem a propriedade da rigidez é o triângulo Figura 21 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 98 Nessa experiência você deve observar que a rigidez do triângulo isto é sua maior resistência à deformação é que justifica o uso dessa forma em diversas construções vistas hoje em dia Procure em sua casa bairro ou cidade objetos ou Conversando um pouco sobre ângulos Você percebeu que nesse texto já nos referimos a ângulos retos como sendo aqueles que medem 90 o lêse noventa graus Vamos então saber um pouco mais sobre ângulos Você já deve ter ouvido muitas pessoas usarem expressões como dar meia volta dar uma volta ou ainda dar um giro de 180 graus e assim por diante Para entender melhor o significado dessas expressões e perceber o que elas têm a ver com ângulos vamos pensar em um caso bem prático o dos movimentos dos ponteiros de um relógio 3 Quando o ponteiro dos minutos sai por exemplo de 12 dá a volta completa no mostrador e volta para o 12 dizemos que ele percorreu um ângulo de uma volta ou de 360 graus ou 360 o se ele sair do12 e chegar ao 6 diremos que ele percorreu um ângulo de meia volta ou de 180 graus 180 o se ele sair do 12 e chegar ao 3 diremos que ele percorreu um quarto de volta formando um ângulo reto ou de 90 o Nesse caso diremos que as duas posições do ponteiro estão representando segmentos de retas perpendiculares construções em que foram usados triângulos e verifique se esse uso foi para garantir maior resistência à deformação do objeto ou da construção Desenvolvendo competências Você já deve ter visto um portão como o da figura ao lado com ripas de madeira Se fosse você que o tivesse construído qual dos argumentos abaixo você usaria para justificar o uso da ripa colocada em diagonal a Ela é necessária para se pregar as madeiras que formam o portão b Ela é necessária para deixar o portão mais bonito e mais fácil de abrir c Ela é necessária porque forma triângulos com as ripas verticais e com as horizontais impedindo que o portão se deforme d Ela é necessária para deixar o portão mais resistente contra as batidas Figura 22 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 99 Você verá nesse capítulo alguns usos dos ângulos em geometria e na resolução de problemas em situações cotidianas Faça a seguinte experiência desenhe e recorte peças com formas triangulares diversas A seguir separe cada uma dessas peças em três partes conservando seus ângulos como na figura Agora junte as três partes de cada uma das peças colocandoas lado a lado sem sobreposição com todos os vértices em um mesmo ponto Observe que ao arrumar as partes assim você formou sempre um ângulo de meia volta isto é um ângulo de medida igual a 180 o para qualquer das formas triangulares que você recortou Uma outra propriedade importante dos triângulos Figura 23 Figura 24 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 100 Os antigos gregos também descobriram essa propriedade que você acabou de verificar Eles provaram que essa propriedade vale para qualquer triângulo e criaram o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo completar uma volta inteira você precisará formar outro ângulo de medida 180 o e continuar assim até recobrir todo seu quadro Procure observar em revistas livros ou mesmo exposições de pinturas como muitos artistas fazem uso de figuras geométricas em seus trabalhos O pintor brasileiro Volpe por exemplo é autor de uma série famosa de quadros cujo tema são bandeirinhas como as usadas em festas juninas Procure conhecer alguma coisa da obra desse artista e você irá observar como ele lançou mão de figuras geométricas de forma criativa e bela Até aqui você já pôde observar diferentes situações do cotidiano em que estão envolvidos conceitos geométricos figuras geométricas e suas propriedades Você já deve ter percebido que quanto mais dominarmos esses conceitos mais condições teremos de compreender situações da realidade desenvolver modelos geométricos para representálas e desse modo encontrar soluções para problemas que podem surgir 4 Desenvolvendo competências Uma questão para você se um triângulo tiver todos os seus ângulos iguais qual será a medida de cada um Em um triângulo qualquer a soma das medidas de seus ângulos internos é igual a 180o Um triângulo cujos ângulos têm a mesma medida tem também seus lados com mesma medida Ele é chamado de triângulo eqüiângulo ou eqüilátero Todo triângulo eqüiângulo e eqüilátero é chamado triângulo regular Geometria e arte Vamos aproveitar o que aprendemos sobre os triângulos para construir um pequeno quadro todo recoberto de triângulos coloridos de modo que não haja espaços vazios entre eles e nem sobreposição de figuras isto é os triângulos devem ser colocados lado a lado sem que fiquem com alguma parte sobre o outro Quadros assim formados são chamados de mosaicos Para construir seu mosaico desenhe um triângulo e tomandoo como molde recorte várias peças iguais em papéis coloridos use folhas de revistas Recorte em papel mais grosso um quadro para que você possa montar o mosaico sobre ele Misture as peças coloridas quanto mais colorido melhor Observe que para fazer o mosaico sem deixar vãos e sem sobrepor as peças é necessário encaixar os ângulos do mesmo modo que você fez na experiência anterior isto é formando um ângulo de medida 180 o ou de meia volta Para Figura 25 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam Escolhendo ladrilhos Vamos então a mais um exemplo o da escolha de ladrilhos Observe os seguintes tipos de ladrilhos 1 2 3 4 5 6 Figura 26 Quais deles você tem visto em pisos ou em lojas de materiais de construção Por que será que alguns deles não aparecem em nenhum mostrário dessas lojas Para encontrar uma resposta a essa questão considere o seguinte problema Você deve ladrilhar uma sala retangular usando ladrilhos de um só tipo sem que fiquem espaços entre os ladrilhos sem ter que cortar ladrilhos a não ser nas extremidades da sala acompanhando os rodapés Escolha quais dos seis modelos acima poderão atender às condições dadas Se você tiver dúvidas em alguns dos casos faça uma experiência reproduzindo e recortando várias peças iguais ao ladrilho em questão Você deve ter descoberto que os modelos arredondados não resolvem o problema porque sempre deixam espaços entre um ladrilho e outro Figura 27 Assim sobraram apenas os modelos 3 e 5 que ficaram exatamente dentro das condições do problema dado Figura 28 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 102 Qual será a explicação geométrica para isso Vamos estudar algumas características de figuras geométricas que são modelos dos ladrilhos que têm contornos retos elas recebem o nome de polígonos Se você quiser saber mais pentágono penta cinco hexágono hexa seis octógono octo oito A palavra polígono vem do grego e significa figura de muitos ângulos poli muitos gono ângulo Os nomes dos diferentes polígonos são dados a partir do total de ângulos ou de lados que eles possuem Como esses nomes vêm do grego temos nomes como Os artistas que criam os azulejos e ladrilhos para revestimentos sabem que não é prático nem decorativo deixar espaços sem revestimento Por outro lado sabem também que não é econômico ficar quebrando pedaços de ladrilhos Então o problema que se apresenta a esses artistas é o mesmo que foi apresentado a você isto é para prever quais as formas que serão mais adequadas para revestir pisos ou paredes usam modelos matemáticos para a representação de possíveis ladrilhamentos Como vimos até aqui nossos ladrilhos têm formas poligonais e os polígonos possuem muitos ângulos Estes ângulos têm um papel importante quando se pensa em ladrilhamentos Você viu que conforme as aberturas dos lados dos ladrilhos os ângulos dos polígonos eles servem ou não para recobrir uma superfície sem deixar vãos ou se sobreporem Podemos pensar então que os ladrilhos que cobrem o piso sem deixar espaços entre eles têm as aberturas de seus lados de tal modo que quando se juntam formam um ângulo de uma volta em torno de um ponto Ângulo de uma volta em torno de P Figura 30 Figura 31 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 103 Para verificar isso em cada caso é necessário conhecermos cada um dos ângulos dos polígonos que servem de modelos para tais ladrilhos Se quiser saber mais 5 Desenvolvendo competências Pensando na soma dos ângulos internos de um polígono de quatro lados quadriláteros como fizemos para os triângulos assinale quais dos argumentos apresentados abaixo você considera corretos É interessante que antes de indicar os argumentos você verifique com diferentes quadriláteros o que ocorre com a soma de seus ângulos internos procedendo do mesmo modo que com os triângulos a A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 180o como nos triângulos b A soma dos ângulos internos de um quadrilátero tem medida igual a 360o porque quando encostados uns aos outros eles formam uma volta inteira c A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360o porque todo quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos e daí temos 180o 180o 360o d A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360o porque todo quadrilátero tem os quatro ângulos medindo 90o e 4 90o 360o Assim como no caso dos triângulos também há um tipo de quadrilátero que é chamado regular pois tem todos os seus ângulos com a mesma medida e todos os seus lados com o mesmo comprimento é o quadrado Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 104 6 Desenvolvendo competências Que tal agora você verificar como estão seus conhecimentos até aqui Então coloque V verdadeiro ou F falso em cada uma das afirmações procurando justificar cada uma de suas respostas baseandose no que está sendo discutido a É possível construir um ladrilho com a forma de um triângulo regular que tenha seus três ângulos internos medindo 70o cada b Se construirmos um quadrilátero PQRS que tenha ângulos de medidas mp 108o m q 94o m r 76o então a medida do ângulo s deve ser 82o c Se um terreno tiver a forma de um triângulo com dois ângulos tais que um deles é reto e o outro é obtuso de medida maior que 90o seu terceiro ângulo deverá ser agudo de medida menor que 90o d É possível construir um quadrilátero que tenha apenas um ângulo reto e os demais ângulos com medidas diferentes de 90o e É possível construir um quadrilátero que tenha três ângulos retos e apenas um ângulo de medida diferente de 90o Agora já temos uma justificativa geométrica para o fato de não encontrarmos à venda alguns tipos de ladrilhos como os dos tipos 1 2 ou 4 de nosso problema inicial Depois da escolha a compra Aproveitando o tema do ladrilhamento imagine agora que você já escolheu o tipo de ladrilho ideal para revestir sua sala que é retangular com lados medindo 3m e 4m O passo seguinte é fazer a compra Para isso você deverá calcular quantidade e preços Modelo Capri Dimensões 40 cm x 40 cm Tabela 1 Preço por unidade R 120 Nº de unidadescaixa 15 Em geral o vendedor possui uma tabela impressa em papel ou registrada no computador da loja onde há as informações sobre o ladrilho escolhido Veja um exemplo de tabela Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 105 Como destrinchar todos os dados contidos na tabela e fazer a tal compra Em primeiro lugar o que significa 1 m 2 Se desenharmos em um piso um quadrado de 1 metro de lado teremos uma superfície desse piso que mede 1m 2 1m 1m 1m2 Em segundo lugar como saber quantos metros quadrados mede uma sala retangular de lados medindo 3m e 4m Vamos desenhar no piso da sala quadrados de 1m 2 para contar quantos cabem nesse piso No lado de 3 m podemos acomodar os lados de 3 quadrados e no lado de 4m acomodamos os lados de 4 quadrados assim podemos dizer que temos 3 fileiras de 4 quadrados ou seja 3 4 12 quadrados o que nos indica que a sala mede 12m 2 O próximo passo é saber quantas caixas de ladrilhos deveremos comprar cada ladrilho mede 40 cm por 40 cm ou seja 04 m 04 m 016m 2 Cada caixa contém 15 ladrilhos o que dá para cobrir uma superfície de 240 m 2 Descobrimos isso assim 15 016 m 2 240 m 2 Como será necessário cobrir uma superfície de 12 m 2 devemos calcular de quantas caixas precisaremos 12 m 2 240 m 2 5 Isso quer dizer que para ladrilhar a sala são necessárias 5 caixas Não podemos esquecer que em toda obra existe uma perda de material isto é alguns ladrilhos se quebram ao serem manuseados ou recortados para os cantos e então você precisará comprar alguns ladrilhos a mais para repor as possíveis perdas É comum comprarse aproximadamente 10 a mais do que o necessário Finalmente calculemos o preço da compra Necessitamos comprar 5 caixas de ladrilhos e cada uma contém 15 unidades o que nos dá um total de 75 ladrilhos Calculamos assim 5 15 75 Calculando 10 desse total teremos Como não é possível comprar 7 ladrilhos e meio acrescentaremos 8 ladrilhos no total calculado anteriormente 75 8 83 Cada unidade custa R 120 o que nos permite calcular 83 120 9960 Então o preço total será R 9960 Figura 32 Figura 33 Figura 34 04m 04m Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 106 Uma questão para você refletir Quantos conhecimentos matemáticos estão por trás de uma simples compra de ladrilhos não Naturalmente hoje a maioria das lojas conta com programas de computador que realizam todos esses cálculos Mas para isso houve alguém que tinha o domínio dos conceitos aqui discutidos para poder programar o computador E como é bom saber que temos computadores à nossa disposição mas não dependemos deles porque dominamos os conceitos necessários para resolver o problema Pense em uma outra situação de compras em seu diaa dia e procure listar quantos conceitos matemáticos estão envolvidos nela Essas experiências servem para nos mostrar quanto de Matemática conhecemos e utilizamos sem sequer nos darmos conta disso Vejamos uma outra situação em que você utiliza naturalmente vários conhecimentos geométricos Uma figura vale por mil palavras Esse é um velho ditado cujo espírito tem sido muito explorado por vários profissionais entre eles os que lidam com comunicação e propaganda Os especialistas em Estatística também utilizam muito esse recurso para transmitir suas informações de maneira clara e rápida por meio de vários tipos de gráficos encontrados em jornais revistas noticiários de TV etc Os aspectos geométricos das figuras utilizadas fornecem o impacto visual para as pessoas de modo a destacar o que os gráficos representam Observe alguns exemplos Nesse gráfico de colunas a ordem de grandeza de cada um dos números nos é mostrada pela altura de cada um dos retângulos todos eles apresentando a mesma base Observe que o aumento da porcentagem é facilmente visualizado pelo aumento da altura dos retângulos INCIDÊNCIA DE HIV NAS MULHERES GRÁVIDAS SULAFRICANAS PESQUISA MOSTRA QUE O POVO CONFIA NO PENTA O BRASIL SERÁ CAMPEÃO Figura 36 Adaptado do Jornal O Estado de S Paulo 22 062002 Nesse gráfico de setores conhecido como gráfico de pizza temos o círculo separado em regiões por meio de ângulos determinando setores circulares Observe como fica fortemente evidenciado pelo grande setor circular que a maioria dos brasileiros acreditava que o Brasil seria pentacampeão mundial de futebol Figura 35 Adaptado da Revista Época 25022002 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 107 Esse gráfico constituído por uma poligonal das freqüências nos indica as variações da grandeza considerada por meio das alturas atingidas pelos extremos dos segmentos de reta que formam essa linha poligonal Observe como os segmentos de reta que ligam os pontos assinalados nos anos de 1999 2000 e 2001 registram os altos e baixos sofridos pelo fenômeno considerado ao longo do tempo É fácil visualizar que houve uma diminuição de casos registrados em 2000 e um grande aumento em 2001 CASOS DE DENGUE NO ESTADO Figura 37 Adaptado do Jornal Folha de S Paulo 23062002 Construindo caixas Até aqui temos trabalhado com pontos segmentos de reta círculos retângulos etc figuras conhecidas como figuras planas que servem de modelo para várias situações de nosso cotidiano No entanto em outras situações precisamos de modelos não planos para representar os objetos com os quais convivemos Vamos então analisar algumas figuras geométricas desse tipo Você já verificou que os ladrilhos que cobrem o piso sem deixar espaços entre eles têm seus ângulos internos de tal modo que quando se juntam formam um ângulo de uma volta ou 360 o em torno de um ponto Assim no caso dos ladrilhos quadrados são necessários quatro deles para completar 360 o 4 90 o 7 Desenvolvendo competências Se unirmos apenas três desses ladrilhos como na figura ao lado quantos graus tem o ângulo indicado Faça a seguinte experiência recorte três pedaços quadrados e iguais em papel e una os três em torno de um mesmo vértice usando fita adesiva Como você deve ter verificado a figura obtida forma um bico que não fica com todos os seus pontos apoiados em um único plano Forma portanto uma figura não plana Figura 38 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 108 Desenvolvendo competências Se você construir outro bico igual a este e depois unir os dois de maneira adequada terá uma caixa em forma de cubo como um dado Responda e justifique sua resposta Essa caixa é uma figura plana ou não plana Examine a caixa construída e verifique quantas superfícies quadradas de papel você usou para montála Cada uma dessas superfícies é chamada face do cubo Vamos agora a outra experiência Desenhe um triângulo eqüilátero de lados medindo 4 cm Recorte em papel quatro figuras iguais a esta Agora faça uma construção semelhante à que você fez com os recortes quadrados una três figuras triangulares em torno de um mesmo vértice com fita adesiva de modo a obter um bico Use o quarto recorte triangular como tampa para fechar essa caixa que tem a forma de uma pirâmide Observe essa caixa e verifique quantas faces ela possui Dizemos que cada uma das caixas apresentadas tem a forma de um poliedro 8 Figura 39 Figura 40 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 109 Você já sabe que a palavra polígono vem do grego Lembrase de como ela foi formada e qual o seu significado poli gono E a palavra poliedro o que então poderá significar Se pensando nas construções feitas você respondeu figura de muitas faces acertou Como você já sabe poli significa muitos e edro significa face Procure se lembrar de alguns objetos da sua vida cotidiana que têm forma de um cubo Ao pensar nessas figuras você pode ter se lembrado de uma caixa de sapatos mas deve ter percebido que ela é um pouco diferente não é Desenvolvendo competências 9 Desenvolvendo competências Três tarefas para você 1 Faça uma lista de semelhanças e outra de diferenças entre a caixa que tem forma de cubo e a caixa de sapatos 2 Que tipos de recortes em papel você poderia fazer para construir dois bicos como fez para o cubo e unilos formando uma caixa como a de sapatos 3 Faça desenhos representando essas faces A seguir recorteos e tente construir a caixa para verificar se você imaginou corretamente Procure agora listar alguns objetos que você conhece no seu diaadia que têm a forma de pirâmide É possível que entre outras coisas você tenha se lembrado de ter visto fotos ou ilustrações das famosas pirâmides do Egito construídas há cerca de 5000 anos Elas são pirâmides como essa da figura Desenvolvendo competências Figura 41 Figura 42 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 110 10 Comparando prismas e pirâmides Sua nova tarefa é compare caixas com forma de prismas e caixas com forma de pirâmides e liste as diferenças que você encontra entre elas É possível que entre as diferenças que você encontrou estejam as seguintes No grupo dos prismas Todas as faces laterais são retângulos ou paralelogramos As outras duas podem ter outras formas as bases Existem pares de faces que não se encontram faces paralelas Cada grupo de 3 faces se encontra em um ponto diferente No grupo das pirâmides Tabela 2 Todas as faces laterais são triângulos A outra pode ter outras formas a base Não existe par de faces paralelas Existe um só ponto onde todas as faces laterais se encontram com uma só exceção a base a face que pode não ser triangular Desenvolvendo competências Agora responda e faça a Que figuras você recortaria em papel para montar uma pirâmide como a dos egípcios b Desenhe e recorte figuras como você imaginou e verifique se você consegue montar essa pirâmide Se você não observou essas diferenças ao realizar a tarefa solicitada pegue caixas em forma de prismas e de pirâmides e procure observar nelas as características descritas Você poderá encontrar esses tipos de caixas como embalagens de vários produtos que estão à venda Aliás observe como embalagens com formas de prismas com bases triangulares ou hexagonais ou com formas de pirâmides chamam a atenção das pessoas Uma embalagem diferente chega a ajudar a aumentar a venda de um produto Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 111 Construindo novas caixas Use meia folha de papel sulfite para enrolar formando um tubo Apóie com cuidado esse tubo sobre a metade da folha que sobrou contornando com um lápis a boca do tubo Recorte dois círculos a partir do contorno obtido e feche com eles as duas bocas do tubo Você tem uma nova caixa bem diferente das outras que você construiu Essa tem a forma de um cilindro Procure à sua volta objetos que apresentam a forma de um cilindro De fato essa caixa não é um poliedro porque nem todas as suas partes são regiões planas A própria forma dela nos dá uma indicação para o grupo ao qual ela pertence grupo dos corpos redondos Agora é a sua vez Procure lembrarse de alguns objetos do nosso diaadia que também têm forma de corpos redondos Você pode ter se lembrado de um ovo de uma bola e também de um chapéu de palhaço ou de uma casquinha de sorvete que remetem à figura ao lado que recebe o nome de cone Ótimo Você pode observar que se apoiar qualquer um desses objetos sobre uma mesa dependendo da posição ele poderá rolar 11 Desenvolvendo competências Analise essa nova caixa e pense em como poderia completar a frase a seguir O cilindro não é um poliedro porque Figura 43 Figura 44 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 112 Resumindo Ao longo deste capítulo você retomou uma série de conhecimentos práticos que todos nós utilizamos até sem perceber e para os quais se procurou dar explicações baseadas em propriedades de figuras geométricas Analisou também alguns problemas que os homens foram tendo que resolver para facilitar seu modo de vida e como as soluções para eles podem ser encontradas com maior facilidade quando se tem conhecimentos matemáticos Apenas alguns desses problemas foram apresentados mas aqueles que se interessarem por esse tipo de estudos encontrarão muitos outros e certamente se tornarão cada vez mais hábeis em resolvêlos Você foi convidado também a executar algumas tarefas cuja intenção era contribuir para você aumentar suas habilidades em relação ao traçado e à construção de modelos Esses modelos são muito úteis na resolução de situaçõesproblema da vida real pois neles são eliminadas as informações supérfluas e são representados apenas os elementos que nos permitem ter uma visão geométrica da questão Por exemplo ao examinarmos um portão empenado o que nos importa é ver um conjunto de retas as ripas do portão onde deverá ser construída uma nova reta a ripa em diagonal que dará origem a um grupo de triângulos figuras que por sua propriedade de rigidez irão impedir que o portão modifique sua forma com o uso Esperamos que assim tenhamos contribuído para que você possa reconhecer que os conhecimentos matemáticos e em nosso caso os geométricos nos ajudam a compreender a nossa realidade e a agir sobre ela Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 113 Outros pares de lados perpendiculares no retângulo PS e SR ou SR e RQ Pares de lados paralelos no retângulo PS e QR PQ e SR Conferindo seu conhecimento 1 2 Medida da diagonal a m CB b m AC 1m e c m AB 1m b2 c2 a2 12 12 a2 2 a2 a ou a 141m 3 As medidas dos ângulos Se um triângulo tem todos os seus ângulos iguais então cada um medirá 60º pois podemos fazer 180 3 60 4 Os argumentos corretos Alternativas b e c 5 Verdadeiro ou Falso a F b V c F d V e F 6 A medida do ângulo indicado 270º 7 Justificando o uso de ripa na diagonal Alternativa c Essa caixa é uma figura plana ou não plana É uma figura não plana 8 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 114 9 Três tarefas para você 1 Entre as semelhanças podemos destacar as duas caixas têm 6 faces todas as faces nas duas caixas são poligonais com quatro lados todas as faces têm todos os seus ângulos internos medindo 90o nas duas caixas as faces são paralelas duas a duas Como diferença podemos destacar que no cubo as faces são regulares têm lados com a mesma medida e ângulos iguais e na caixa de sapatos as faces têm lados com medidas diferentes 2 Para cada bico deveremos recortar três figuras retangulares não regulares mas cujas medidas dos lados permitam unir as faces 10 3 Por exemplo para cada bico Agora responda e faça a A pirâmide egípcia tem base quadrada Então para montar uma caixa com esta forma serão necessários um quadrado e quatro triângulos iguais com a base de mesmo comprimento do lado do quadrado 4 cm 4 cm Como poderia completar a frase cilindro não é um poliedro porque não possui faces poligonais 11 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 115 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar e interpretar fenômenos de qualquer natureza expressos em linguagem geométrica Construir e identificar conceitos geométricos no contexto da atividade cotidiana Interpretar informações e aplicar estratégias geométricas na solução de problemas do cotidiano Utilizar conceitos geométricos na solução de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano Recorrer a conceitos geométricos para avaliar propostas de intervenção sobre problemas do cotidiano José Luiz Pastore Mello MEDIDAS E SEUS USOS Capítulo V CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE GRANDEZAS E MEDIDAS PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO COTIDIANO Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 118 Capítulo V Medidas e seus usos Apresentação Contar e medir são duas das operações que realizamos com maior freqüência no diaadia A dona de casa ao preparar uma refeição utiliza determinado padrão de medida para cada ingrediente do prato que está fazendo um operário ao ajustar um instrumento de precisão utiliza determinado padrão de medida em seu ofício um agricultor ao calcular a quantidade de sementes que irá utilizar em determinada área de terra também está realizando uma operação de medição Se em nosso cotidiano realizamos várias operações de medição nada mais adequado do que refletirmos sobre a seguinte pergunta o que é medir Medir significa comparar duas grandezas de mesma espécie como por exemplo dois comprimentos duas massas dois volumes duas áreas duas temperaturas dois ângulos dois intervalos de tempo etc As unidades de medidas utilizadas para se estabelecer um padrão de comparação foram até certa época definidas arbitrariamente Até o final do século XVIII todos os sistemas de medidas existentes eram baseados nos costumes e nas tradições Algumas partes do corpo humano a palma da mão o polegar o braço ou a passada e alguns utensílios de uso cotidiano tais como cuias e vasilhas foram os primeiros padrões de comparação usados para medir Com o tempo cada civilização definiu padrões diferentes e fixou suas próprias unidades de medidas Os primeiros sistemas de medidas As diferentes civilizações começam a padronizar as unidades de medidas já na Antigüidade Antes disso as medições não eram muito precisas O cúbito ou côvado egípcio por exemplo é uma medida de comprimento cujo padrão é a distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio estando o braço e o antebraço dobrados em ângulo reto e a mão esticada A milha é a distância percorrida por mil passos duplos 1609 metros Com esse tipo de unidade as medições podem dar resultados tão variados quantas são as diferenças individuais do corpo humano A padronização era feita pela definição de unidades médias fixadas através de padrões materiais construídos em pedra argila ou ligas metálicas Vejamos uma situação prática onde o problema da escolha de um padrão fixo de medida se torna importante Resolvendo problemas 1 João e Paulo precisavam medir a largura de uma rua mas não dispunham de uma fita métrica Na tentativa de resolver o problema ambos caminharam pela rua contando o número de passos João contou um total de 18 passos e Paulo um total de 16 passos Como não conseguiram chegar a um acordo sobre o comprimento da rua foram para casa e mediram com a fita métrica o comprimento das suas passadas Sabendo que a Capítulo V Medidas e seus usos 119 passada de João media aproximadamente 80 cm determine o comprimento da rua Resolução Você deve ter observado que João e Paulo encontraram números de passadas diferentes ao estimar o comprimento da rua porque suas passadas não são iguais Se a passada de João mede aproximadamente 80 cm podemos dizer então que o comprimento da rua é igual ao número de passadas de João multiplicado pelo comprimento da sua passada Comprimento da rua 16 80 1440 cm ou 144 m 1 Desenvolvendo competências Catarina e seu filho Pedro mediram o comprimento de um palmo de suas mãos obtendo 20cm e 15cm respectivamente Se Catarina mediu uma mesa obtendo 10 palmos da sua mão usando a mão de Pedro para medir a mesa serão necessários a pouco menos de 13 palmos b pouco mais de 13 palmos c exatamente 13 palmos d exatamente 15 palmos a Sabendo que Paulo mediu a rua em 16 passadas e que o comprimento da rua estimado pelas passadas de João é de 144 m para determinar o comprimento da passada de Paulo basta dividir o comprimento da rua pelo número de passadas Comprimento da passada de Paulo Tendo calculado o comprimento da rua em metros utilizando a largura da passada de João como referência de medida seria possível agora estimarmos o comprimento da passada de Paulo a Releia o problema coletando todos os dados disponíveis e estime o comprimento da passada de Paulo Resposta ao final da página Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 120 A busca da precisão nos padrões de medida A necessidade de medidas cada vez mais precisas surge a partir do Renascimento com as grandes navegações e o desenvolvimento da ciência experimental Para os cientistas da era moderna conhecer um fenômeno significa compreendêlo e poder medilo Nos séculos XVII e XVIII multiplicamse os instrumentos de precisão como termômetros relógios e lunetas Com a revolução industrial e o desenvolvimento do capitalismo o comércio internacional também se intensifica e Quando dizemos que a largura de uma sala é igual a 6 m queremos dizer que na largura da sala cabem 6 unidades iguais a 1 metro que é o nosso padrão de medida no Sistema Internacional SI Poderíamos nos perguntar agora qual o significado da unidade m2 Um m2 equivale a um quadrado de comprimento e largura iguais a 1 metro Dessa forma definimos então que todo quadrado de 1 m de largura por 1 m de comprimento tem área de 1 m2 que será nosso padrão de comparação para a grandeza superfície Se dissermos então que a sala da nossa casa tem área igual a 20m2 isso quer dizer que na superfície da sala cabem 20 quadrados de 1 m por 1 m exige sistemas de medidas que garantam não apenas precisão mas também padrões reconhecidos por todos os países Para unificar e padronizar os diversos sistemas em uso nas diferentes áreas da ciência a Conferência Internacional de Pesos e Medidas em 1960 sugere um Sistema Internacional de Unidades SI As principais unidades de medida desse sistema estão na Tabela 1 Grandeza Unidade de medida Sigla da unidade de medida Comprimento Superfície área Volume Ângulos Massa Tempo Corrente Elétrica Temperatura Metro Metro quadrado Metro cúbico Radianos Quilograma Segundo Ampère Kelvin m m2 m3 rad kg s A K Tabela 1 O mesmo raciocínio segue para m3 que por definição é o volume de um cubo de 1 m de largura por 1 m de comprimento e 1 m de altura Ao dizermos por exemplo que o volume da nossa caixa dágua é de 2 m3 estamos dizendo que na caixa cabem duas unidades de volume conforme definimos Figura 1 Capítulo V Medidas e seus usos 121 As unidades do Sistema Internacional de Medidas nem sempre são as mais usadas no nosso cotidiano Vejamos uma atividade de conversão de unidades de um sistema para outro Resolvendo problemas 2 Consultando uma tabela sobre diversas temperaturas medidas na escala Kelvin unidade de medida do SI abreviada por K encontramos que a chama de um fogão tem temperatura média de 1100 K Esse número não nos diz muito porque estamos mais acostumados a medir temperaturas na escala CelsiusSabendo que a escala da temperatura Tc na escala Celsius está relacionada à temperatura Tk na escala Kelvin por Tk Tc 273 calcule a 2 Desenvolvendo Competências Brincando em um balanço Mário nota que são necessários 3 segundos para um movimento completo de ida e volta O total de movimentos completos de ida e volta do balanço necessários para que Mário possa brincar 5 minutos no brinquedo é igual a a 150 b 120 c 100 d 80 Figura 2 temperatura média da chama de um fogão em graus Celsius b Você já pensou no calor produzido pela explosão de uma bomba atômica Sabendo que a temperatura média da chama do fogão é 1100K e que a temperatura gerada por uma bomba atômica é 300000K estabeleça uma comparação entre essas temperaturas usando como padrão a temperatura média da chama do fogão Resposta ao final da página b Dividindo 300000k por 1100k descobrimos que a explosão de uma bomba atômica produz aproximadamente temperatura 273 vezes a temperatura média da chama do fogão Resolução Tk Tc 273 1100 Tc 273 Tc 827 oC Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 122 Os múltiplos e submúltiplos de uma unidade de medida Quando utilizamos determinado sistema de unidades como por exemplo o SI para representar certo comprimento certa massa ou qualquer outra grandeza podemos nos valer de várias subdivisões decimais da unidade estabelecida Por exemplo o Quadro 1 indica alguns submúltiplos e múltiplos da unidade de comprimento metro Quadro 1 A escolha da subdivisão mais adequada para representar determinada medida de comprimento deve sempre levar em consideração o caráter prático da sua utilização Seria bastante incômodo por exemplo se um vendedor de tecidos no varejo tivesse que tomar como padrão de medida o quilômetro porque sabemos que na prática suas vendas individuais de tecidos serão sempre da ordem de alguns centímetros ou poucos metros no caso de uma venda maior Da mesma forma não seria razoável que um motorista utilizasse o milímetro para representar as distâncias rodoviárias que percorre porque sabemos que elas em geral são da ordem de algumas dezenas centenas ou até milhares de quilômetros Estudos específicos envolvendo comprimentos muito pequenos como por exemplo a medição das dimensões de uma célula ou muito grandes como por exemplo a distância entre corpos celestes podem utilizar outros múltiplos ou submúltiplos do metro conforme indica o Quadro 2 Quadro 2 MÚLTIPLOS E SUBMÚTIPLOS DO METRO MUITO PEQUENO E MUITO GRANDE Capítulo V Medidas e seus usos 123 Para medir a distância entre corpos celestes normalmente os astrônomos não utilizam como unidade o metro ou o quilômetro Você sabe por quê Como a distância entre os astros é muito grande não seria conveniente representála com uma unidade de medida muito pequena Por exemplo se quiséssemos medir a distância entre a Terra e o Sol em metros teríamos que indicála como 150000000000 m A unidade normalmente usada para distâncias muito grandes é o anoluz cuja representação em metros está indicada na última linha do Quadro 2 Vamos compreender melhor a conversão entre metro e anoluz por meio do seguinte problema Resolvendo problemas 3 Um anoluz representa a distância percorrida pela luz em um ano Sabendo que a velocidade da luz é aproximadamente igual a 300000 kms determine a distância de 1 anoluz em metros Resolução Observe que estamos querendo neste problema uma dedução da conversão entre unidades apresentada na segunda linha da Tabela 3 Dizer que a velocidade da luz é 300000 kms é equivalente a dizer que a luz percorre 300000 quilômetros em um intervalo de tempo igual a 1 segundo Para saber quanto a luz percorre em um ano precisamos inicialmente converter 1 ano em segundos e depois 300000 km em metros 1º 1 ano em segundos 1 ano 365 dias 365 24 horas 365 24 60 minutos 365 24 60 60 segundos 31536000 segundos 2º 300000 km em metros 1 km 1000 metros 300000 km x x 1 300000 x 1000 x 300000000 m usando potência de dez x310 8m Concluímos então que a velocidade da luz de 300000 kms é equivalente a 310 8metros por 1 segundo Para calcular quanto a luz percorre em metros no período de 1 ano 31536000 segundos faremos 310 8 m 1 s x 31536000 s x 1 3 10 8 x 31536000 x 94608000 x 10 8 m aproximadamente 95 10 15m Observe com esse resultado que verificamos exatamente o que está indicado na segunda linha do Quadro 2 Compreendendo adequadamente as subdivisões de uma unidade de medida podemos resolver uma série de problemas práticos do nosso cotidiano Um deles pode ser o de estimarmos a quantidade de parafusos contida em um pacote 4 Um pacote de parafusos pesa aproximadamente 54 kg Sabendo que cada parafuso pesa aproximadamente 15g calcule quantos parafusos contém o pacote Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 124 Resolução Para resolver esse problema vamos inicialmente converter a massa do pacote de parafusos para gramas Se 1kg equivale a 1000g para determinar a massa de um pacote de 54kg em gramas basta multiplicarmos 54 por 1000 Dividindo a massa do pacote 540g pela massa de cada parafuso 15g concluiremos que cada pacote possui 36 parafusos Você já parou para pensar que também nosso sistema monetário possui uma unidade R com múltiplos e submúltiplos Admitindo 1 real como unidade uma moeda de 1 centavo equivale a da unidade assim como uma nota de R 1000 equivale a 10 vezes a unidade 5 Maria decidiu guardar em um cofrinho todas as moedas de 1 5 e 10 centavos que tivesse Ao final de um ano Maria abriu o cofrinho e encontrou 120 moedas de 1 centavo 192 moedas de 5 centavos e 85 moedas de 10 centavos Qual o total de dinheiro que Maria poupou nesse ano Resolução Quais são os submúltiplos da nossa unidade monetária o real Veja que 1 real é igual a 100 centavos e portanto 100 moedas de 1 centavo equivalem a R100 Por outro lado são necessárias 20 moedas de 5 centavos para totalizar R100 e 10 moedas de 10 centavos para totalizar R100 Faremos o cálculo do total de dinheiro poupado através de regra das proporções 100 moedas de 1 centavo R100 120 moedas de 1 centavo x 20 moedas de 5 centavos R100 192 moedas de 5 centavos y c Chame de z o total de reais obtido com 85 moedas de 10 centavos e calcule o total de dinheiro poupado x y z Em muitas situações precisamos compreender um sistema de medidas seus múltiplos e submúltiplos para resolver um problema geométrico de cálculo de comprimento área ou volume como o que analisaremos a seguir Resposta ao final da página 6 Suponha que você tenha uma horta retangular que mede 65 m por 85 m e deverá receber uma camada de 10 cm de espessura de adubo A cooperativa local vende o adubo em dm 3 decímetros cúbicos Como podemos determinar a quantidade de adubo que deverá ser adquirido para a realização do trabalho Resolução A quantidade de adubo necessária para o serviço será dada pelo volume do paralelepípedo reto retângulo representado na Figura 3 O volume V de um paralelepípedo é igual a área da base A b multiplicada pela altura h ou seja V A b h Como a base do paralelepípedo é um retângulo A b é a área de um retângulo que é igual ao produto do comprimento pela largura Figura 3 c 10 moedas de 10 centavos R 100 85 moedas de 10 centavos z O total poupado será igual a x y z ou seja R 1930 Capítulo V Medidas e seus usos 125 Cálculo da área da base A b área de um retângulo A b 85 65 A b 5525 m2 Cálculo do volume V A b h V 5525 01 V 5525 m3 Como o adubo é vendido em dm3 precisamos converter 5525 m3 na unidade requerida Você já refletiu sobre o que significa 1 dm3 Por definição 1 dm3 será o volume de um cubo que tem comprimento altura e largura igual a 1 dm veja Figura 5 Quantos cubos de 1 dm3 cabem em um cubo de 1 m3 Essa pergunta pode ser melhor compreendida através da Figura 6 Figura 5 Figura 6 Observe que em 1m3 cabem 1000dm3 ou seja que em um cubo de lados iguais a 1m cabem 1000 cubos de lados iguais a 1dm 01m Fazendo agora uma regra de três simples podemos obter o que queríamos calcular ou seja o total de adubo na unidade dm3 1dm3 10 3m3 x 5525m3 Concluímos então que será necessário adquirir 5525 dm 3 de adubo na cooperativa para realizar o serviço de fertilização da horta Figura 4 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 126 3 Desenvolvendo competências 1 Muitas vezes um olhar atento sobre as informações contidas na embalagem de um produto pode indicar surpresa Esse é o caso de uma informação contida na embalagem de um conhecido refrigerante de baixo teor calórico Resolvendo o problema abaixo você compreenderá o erro contido nas informações desse produto A Figura 7 mostra a embalagem de uma determinada marca de refrigerante de baixo teor calórico Admitindo uma informação do rótulo de que 2 litros do refrigerante contêm 9kcal o valor calórico de uma porção de 200ml indicado na embalagem como sendo de 0kcal deve ser corrigido para a 020kcal b 045kcal c 060kcal d 090kcal 2 Dentre as atividades físicas recomendadas pelos médicos para que tenhamos uma vida saudável a corrida é uma das mais indicadas Resolvendo o problema abaixo você estará trabalhando com um sistema de medida para o cálculo do tempo Se um praticante de corrida percorre a distância de 4 quilômetros em 18 minutos em quanto tempo ele percorreu em média cada quilômetro do percurso a 4 minutos e 20 segundos b 4 minutos e 30 segundos c 4 minutos e 40 segundos d 4 minutos e 50 segundos Figura 7 Capítulo V Medidas e seus usos 127 lembrese que é o mesmo que 15 1pol 25mm 1 5pol x x 1 15 25 x 375mm Conversão entre sistemas de medida Se você já teve a oportunidade de observar viu que a medida de tubos e canos é dada em geral em polegadas A unidade de medida polegada faz parte do sistema de unidades inglês que é diferente do Sistema Internacional SI No sistema inglês por exemplo 1 pé 13 jarda e 1 polegada 112 pé 1 jarda do sistema inglês equivale a 09144 m do SI Resolvendo problemas Usando a informação de que 1 polegada equivale aproximadamente a 25 mm vamos resolver o problema abaixo 7 O sistema de tubulação de um prédio prevê a instalação de tubos de polegada de diâmetro numa extensão de 12 metros conforme indica a Figura 8 Determine o total de tubos que deverão ser utilizados nessa instalação Resolução Você sabe o que significa polegada A indicação representa 1 inteiro mais Usando a notação decimal 1 05 ou seja 15 polegada uma polegada e meia Para resolvermos o problema proposto em primeiro lugar temos que converter polegadas para metros Figura 8 Em seguida como precisamos saber quantos tubos cabem na extensão de 12 m teremos que converter o diâmetro de cada tubo da Figura 8 de milímetros para metros 0001m 1mm x 375mm x 1 375 0001 x 00375 m d Tente calcular com os dados obtidos o total de tubos necessários para a realização do serviço Resposta ao final da página Vejamos outro problema 8 O velocímetro de um veículo importado indica a velocidade em milhas por hora Sabendo que 1 milha é aproximadamente igual a 16km determine a velocidade que estará indicada no velocímetro quando o veículo estiver a 80kmh Resolução Se 1 milha é equivalente a 16 quilômetros vamos converter 80 quilômetros em milhas d Basta agora dividir 12 m por 00375m para descobrir que serão usados 32 tubos na instalação 1 milha 16km x 80km Como a velocidade do veículo é de 80kmh o velocímetro indicará 50 milhash Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 128 4 Desenvolvendo competências 1 Sabemos que 1 litro é equivalente a 1000 cm3 o que é o mesmo que afirmar que 1000 litros é equivalente a 1 m3 Segundo dados da companhia de água de uma cidade uma torneira pingando pode gastar 1 litro de água a cada 6 minutos Levandose em consideração esses dados a torneira irá gastar 1 m3 de água em a 80 horas b 100 horas c 120 horas d 150 horas A tabela abaixo indica as operações de compra e venda de dólar americano US feitas por uma casa de câmbio em moeda brasileira reais e moeda argentina pesos Compramos 1 US por Vendemos 1 US por 28 pesos 30 pesos 22 reais 25 reais 2 Utilizando os serviços da casa de câmbio expressos na tabela um cliente que deseja trocar R 10000 por pesos argentinos irá obter a 112 pesos b 108 pesos c 92 pesos d 88 pesos Medida de ângulos e arcos A unidade de medida de ângulos com a qual estamos mais familiarizados é o grau O grau representa a fração de um círculo conforme indica a Figura 9 Nos cálculos científicos uma medida mais útil de ângulo é o radiano rad por isso ele faz parte do SI Vamos compreender agora o significado dessa unidade Figura 9 Capítulo V Medidas e seus usos 129 Resolvendo problemas 9 Imaginemos um arco de 6 cm em uma circunferência de raio igual a 3 cm como mostra a Figura 10 Assumindo o raio como unidade quantos raios cabem no comprimento desta circunferência Medidas de ângulos e arcos A utilização adequada da medida de um ângulo pode nos auxiliar na resolução de muitos problemas Vamos estudar uma medida importante em um triângulo que nos permitirá resolver alguns problemas práticos o seno de um ângulo Em um triângulo retângulo definimos o seno de um dos ângulos internos agudos ângulos menores que 90 o como sendo o quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo pela medida da hipotenusa do triângulo Observe na Figura 12 a definição de seno de um ângulo Figura 11 Figura 12 Figura 10 Resolução Para respondermos a esta pergunta basta dividirmos 6 cm por 3 cm Segue que neste arco cabem 2 raios Podemos dizer que o ângulo  mede 2 radianos abreviase 2 rad Em geral uma fórmula bastante simples que nos ajuda a encontrar um ângulo  em radianos a partir de um arco de comprimento igual a C em um círculo de raio R é Para convertermos um ângulo de radianos para graus e vice versa procedemos da seguinte maneira Sabendo que o comprimento C de uma circunferência de raio R é dado por C 2πR e que uma circunferência tem 360 º podemos dizer que 2πR ou 2π rad equivalem a 360 o De forma prática temos então que π rad equivale a 180 o Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 130 Atualmente podemos utilizar tabelas ou calculadoras científicas para encontrarmos a medida do seno de um ângulo qualquer Vamos discutir agora para que nos serviria na prática o valor do seno de um determinado ângulo O problema que desenvolveremos a seguir nos permitirá trabalhar com a conversão entre unidades de medidas de ângulos e responder à pergunta sobre qual a importância do seno de um ângulo na resolução de um problema com triângulos Resolvendo problemas 10 Um pedreiro precisa construir uma rampa que atinja uma altura de 5 m em relação ao solo e ela deve ter elevação de 36 Para determinar o comprimento da rampa o pedreiro possui apenas uma calculadora que determina o seno de ângulos contudo esses ângulos devem estar em unidade do SI radianos Determine qual deverá ser o ângulo da rampa em radianos e em seguida calcule a altura da rampa admitindo como conhecido o seno do ângulo encontrado Resolução Inicialmente vamos converter o ângulo de 36 em radianos para podermos utilizar a calculadora posteriormente Já vimos anteriormente que π radianos equivalem a 180 Para converter 36 em radianos basta estabelecer uma regra de três simples π rad 180 x 36 Agora convertendo o ângulo de 36 para radianos temos a seguinte situação Como o valor de sen é aproximadamente igual a 0588 podemos calcular o comprimento da rampa x da seguinte forma É bom observar que nos interessa desenvolver nessa atividade apenas a habilidade de conversão de um ângulo de grau para radiano Sempre que preciso podemos consultar tabelas ou calculadoras para obtermos o seno de um ângulo mas devemos estar atentos à unidade de medida que está sendo usada para ângulo x 180 36 π rad x x 36 π rad 180 π 5 rad Capítulo V Medidas e seus usos 131 Resolvendo problemas Vejamos agora um problema no qual poderemos explorar novamente a idéia da medida de um ângulo em radianos 11 A ponta de um limpador de párabrisa de 45 cm de comprimento percorreu um arco de 1 radiano Calcule a distância percorrida pela ponta do limpador e em seguida calcule um valor aproximado em graus para o ângulo percorrido pela ponta do limpador Resolução Como discutimos anteriormente um ângulo  em radianos pode ser obtido por onde C é o comprimento do arco e R o raio do círculo Como temos o ângulo  em radianos e o raio R do círculo comprimento do limpador iremos calcular a distância percorrida pela ponta do limpador representada por C Em seguida vamos converter 1 radiano em graus π rad 180 o 1 rad x 5 Desenvolvendo competências Um ângulo de 30o medido com transferidor corresponde a um ângulo de a b c d Figura 13 Concluímos então que a ponta do limpador percorreu 45 cm e que o ângulo descrito nesse percurso foi de aproximadamente 57 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 132 Escalas plantas e mapas Certamente em algum momento você já se deparou com uma planta ou um mapa São exemplos de plantas e mapas o guia de ruas de uma cidade a planta de uma casa ou de um terreno o mapa de um país o projeto de uma peça industrial em escala etc Dizemos então que uma planta ou um mapa são reproduções de figuras que buscam algum tipo de semelhança com as figuras originais Em geral boa parte dos mapas que manipulamos em nosso diadia mantém a seguinte semelhança com a figura original Os ângulos não mudam As medidas de comprimento são multiplicadas ou divididas por um certo número Chamamos esse número de escala da planta ou do mapa Observe na Figura 14 um exemplo de planta em escala de uma casa A escala da planta é de lêse 1 para 100 o que significa que cada unidade de comprimento indicada na planta equivale a 100 unidades de comprimento na casa original Por exemplo se medirmos na planta com a régua um comprimento de 600 cm ele corresponderá a um comprimento de 600 cm ou 6 m na casa Como você pode notar a informação da escala pode aparecer em uma planta ou mapa sem referências à unidade de medida nesse caso precisamos utilizar algum instrumento para medir comprimentos régua fita métrica etc Ao observarmos que a planta da Figura 14 indica uma cozinha de comprimento igual a 500 usando a escala dada sabemos portanto que o comprimento real da cozinha é igual a 500 A unidade de medida que corresponderá a 500 é a mesma unidade de medida obtida com uma régua ao medirmos 500 na planta centímetros no caso do nosso exemplo Segue então que a cozinha da casa tem 500 cm ou 5 m de comprimento Figura 14 Capítulo V Medidas e seus usos 133 Em outros casos a escala indicada na planta ou no mapa informa a equivalência com uma determinada unidade de medida como segue abaixo Esta escala indica que cada distância de 1 cm do mapa representa 100 km em situação real Voltando ao exemplo da Figura 14 em que não aparecia a unidade de medida se mudarmos a escala da planta de para isso implica dizer que cada unidade de comprimento da planta irá equivaler a 200 unidades na casa Por exemplo a largura do banheiro medida na planta com auxílio de uma régua 300 cm irá equivaler a uma largura real de 600 cm ou 6 m no banheiro da casa O tamanho da escala de um mapa ou de uma planta depende sempre de dois fatores Do tamanho daquilo que estamos querendo representar em escala Do nível de detalhamento de que necessitamos Analisemos esta informação por meio dos mapas da Figura 15 Figura 15 b 1 cm Medindo com uma régua o comprimento da Avenida São Paulo no primeiro mapa encontramos 450 cm Utilizando a escala desse mapa concluímos então que a Avenida São Paulo tem comprimento igual a 45000 cm ou 450 m No caso do mapa do Estado de São Paulo a distância entre as duas cidades indicadas medida com uma régua é igual a 05 cm o que equivale a 9000000 cm ou seja 90 km A análise das figuras nos permite concluir que para representar algumas ruas de uma cidade em um mapa com escala de 1 para x o valor de x deverá ser menor do que seria em uma escala de um mapa de um estado brasileiro Cidade A Cidade B Figura 15 a Escala 1 18000000 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 134 Plantas em escala A planta de uma casa térrea indicada na Figura 16 tem as medidas dadas em centímetros e será utilizada nas demais atividades deste capítulo Figura 16 Capítulo V Medidas e seus usos 135 6 Desenvolvendo competências Utilizando a planta da Figura 16 indicamos o cálculo de algumas dimensões de cômodos da casa e reservamos lacunas para que você pratique interpretação e cálculo com os dados contidos na planta Quarto 1 NY AB 42 e YV MN ML 32 Quarto 2 BY NA e NY AB Quarto 3 QE CD e CQ DE NA Banheiro 1 WX ML e MW LX AB XV 42 29 13 Banheiro 2 BO CP 12 e BC OP KI AB Lavabo RU ST e RS UT Varanda EF IH CD e FG YV Pelo teorema de Pitágoras no triângulo EFG temos que EG2 312 322 ou seja EG Sala de estar QR YV QE CD RG IH e EG 44 Sala de jantar SG IH UT 6 2 4 GH LK e UI GH UR Cozinha ZR JI ZJ RI LK e ZV AB MW Área de serviço ZJ LK e LZ KJ Corredor livre VR OP JI BC OY PQ NA BO 3 12 18 e YV QR NL Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 136 Resolvendo problemas Ao observarmos a planta da casa Figura 16 podemos estar interessados em comparar o tamanho de alguns cômodos ou seja em comparar a área total desses cômodos No problema que se segue iremos calcular a área de dois banheiros e de um lavabo para verificarmos qual deles é maior 12 Comparando o lavabo o banheiro 1 e o banheiro 2 qual deles é maior Resolução Indicaremos sempre por A a área do cômodo que estamos querendo calcular Revisando o cálculo da área de um retângulo temos A retângulo comprimento largura O comprimento do lavabo que tem a forma de um retângulo medido na planta é igual a 2 cm e sua largura é de 13 cm Como a escala da planta é de 1 para 150 segue que cada 1 cm da planta equivale a 150 cm de comprimento na casa Dessa forma temos então que o comprimento do lavabo é igual a 300 cm ou 3 m e sua largura igual a 195 cm ou 195 m A área do lavabo será igual a A lavabo 3 195 A lavabo 585m 2 Utilizando o mesmo raciocínio em relação aos dois banheiros concluiremos que A banheiro 1 A retângulo 2 13 A banheiro 1 46 m 2 A banheiro 2 A retângulo 12 21 A banheiro 2 252 m 2 Comparando a área dos três ambientes verificamos que o lavabo é o maior deles Para pintar as paredes de um cômodo da casa precisamos saber qual a sua área a fim de estimar o total de tinta que utilizaremos Façamos uma atividade em que nosso objetivo será o de calcular a área total das paredes de um cômodo para em seguida estimar o total de tinta necessário para pintar esse cômodo 13 Se a altura das paredes da casa mede 3 m calcule a área total das quatro paredes e do teto da sala de estar Resolução A sala de estar será um prisma cuja base é um trapézio Prismas são sólidos geométricos que possuem as seguintes características Bases paralelas iguais Arestas laterais iguais e paralelas ligando as duas bases Retângulo Capítulo V Medidas e seus usos 137 Vejamos alguns exemplos de prismas Observemos agora a forma geométrica que representa a sala de estar da casa Figura 17 Figura 18 Os cálculos das dimensões da casa indicados na figura foram feitos utilizando a escala da planta Ex Cada 1 cm da planta equivale a 150 cm da casa A parede de 22 cm na planta equivale portanto a 22 x 150 cm ou seja a 330 cm ou 33 m Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 138 Vamos agora calcular a área das paredes e a área do teto Observe na figura 19 que as quatro paredes têm a forma de retângulos e que o teto e o chão têm a forma de um trapézio Recordemos que a área de um trapézio é dada por Figura 19 Trapézio Trapézio retângulo Figura 20 ATrapézio Base maior Base menor Altura 2 Capítulo V Medidas e seus usos 139 Segue então que A área total que queremos calcular será igual a 139519899272252 m 2 ou seja 9317 m 2 14 Se 1 litro de tinta for suficiente para pintar 20 m 2 de parede quantos litros serão necessários para pintar as paredes e o teto da sala de estar da casa Resolução Como já calculamos na atividade anterior a área das paredes e do teto basta agora estabelecer a seguinte proporção 1 litro 20m 2 x 9317m 2 Resolvendo problemas 15 Como última atividade vamos agora calcular o total de cerâmica necessário para ladrilhar o chão da varanda da casa Concluímos então que serão necessários aproximadamente 4 litros e 600 ml de tinta para realizar o serviço Quantos m 2 de cerâmica são necessários para recobrir o chão da varanda da casa Resolução O total de cerâmica necessário para recobrir o chão da varanda em m 2 é igual à área da varanda observe na planta da casa que o chão da varanda tem a forma de um triângulo retângulo Dependendo do formato dos ladrilhos para que o serviço fique bem feito precisaremos cortar algumas cerâmicas se quisermos que o chão fique totalmente preenchido Assim haverá uma pequena perda de cerâmica que deverá ser levada em consideração nos cálculos Figura 21 Lembremos agora que a área de um triângulo é Figura 21 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 140 Triângulo Triângulo Retângulo Figura 22 dada por Segue então que a área da varanda pode ser calculada como Levandose em consideração as perdas nos cantos podemos dizer que são necessários aproximadamente 12 m 2 de cerâmica para ladrilhar o chão da varanda Capítulo V Medidas e seus usos 141 Conferindo seu conhecimento 1 6 2 3 4 5 Cômodo Quarto 1 Quarto 2 Quarto 3 Banheiro 1 Banheiro 2 Lavabo Varanda Sala de estar Sala de jantar Cozinha Àrea de serviço Corredor livre Dimensões na planta do apartamento NY AB 42 YV MN ML 32 BY NA 3 NY AB 42 QE CD 29 CQ DE NA 3 WX ML 2 MW LX AB XV 13 BO CP 12 BC OP KI AB 18 45 42 21 RU ST 13 RS UT 2 EF IH CD 6 29 31 FG YV 32 EG QRYV32 QECD29 RGIH6 EG SGIH UT4 GHLK38 UIGHUR38 13 25 ZRJI45 ZJRILK38 ZVAB MW 42 13 ZJ LK 38 LZ KJ 18 Resposta b Resposta c Respostas 1 d e 2 b VR OP JI BC 45 2124 OY PQ NA BO18 YVQNL12 232 Rspostas 1 b e 2 a Resposta d Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 142 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar e interpretar registros utilizando a notação convencional de medidas Estabelecer relações adequadas entre os diversos sistemas de medida e a representação de fenômenos naturais e do cotidiano Selecionar compatibilizar e operar informações métricas de diferentes sistemas ou unidades de medida na resolução de problemas do cotidiano Selecionar e relacionar informações referentes a estimativas ou outras formas de mensuração de fenômenos de natureza qualquer com a construção de argumentação que possibilitem sua compreensão Reconhecer propostas adequadas de ação sobre a realidade utilizando medidas e estimativas Lúci M Loreto Rodrigues AS GRANDEZAS NO DIAADIA Capítulo VI CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE VARIAÇÃO DE GRANDEZA PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO COTIDIANO Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 144 Capítulo VI As grandezas no diaadia Nossa sociedade se torna cada dia mais complexa produz e incorpora novas informações a todo instante e faz com que alteremos nosso modo de vida em curtos espaços de tempo Para nos adaptarmos precisamos de conhecimentos básicos e essenciais Devemos compreender linguagens variadas raciocinar de forma criativa saber organizar e interpretar as informações recebidas e relacionálas com outros conhecimentos disponíveis Saber analisar situações é fundamental para que possamos reconhecer e criar formas de proteção contra por exemplo a propaganda enganosa e os estratagemas de marketing a que somos submetidos como consumidores Saber resolver problemas faz com que adquiramos mais confiança em nós e sejamos mais respeitados pelos colegas que nos vêem como alguém que contribui com idéias A Matemática pode dar uma grande contribuição para isso à medida que explora a resolução de problemas e a construção de estratégias e favorece o desenvolvimento da capacidade de investigar argumentar comprovar e justificar A proposta desse capítulo é abordar as idéias matemáticas sobre variação de grandezas através de uma linguagem familiar relacionada à realidade ao seu diaadia colocandoo frente a situaçõesproblema incentivandoo a pensar raciocinar formular hipóteses e buscar soluções bem como exercitar a leitura Neste capítulo resolveremos com você algumas das atividades entretanto outras devem ser resolvidas por você como forma de fixar os conceitos apresentados e testar suas habilidades Para conferir e acompanhar o seu desempenho as respostas estarão a seu dispor no final do capítulo Um bom estudo Figura 1 Figura 2 Figura 3 Capítulo VI As grandezas no diaadia 145 Analisando a variação de algumas grandezas Em nosso diaadia é muito comum necessitarmos comparar grandezas como os preços no supermercado os ingredientes de uma receita a velocidade média e o tempo E quando comparamos percebemos que existem situações em que sabendo como uma das grandezas varia podemos prever a variação da outra com o uso de cálculos matemáticos simples Informalmente você já conhece e utiliza esses cálculos Pretendemos aqui aprimorar esses conhecimentos para que você possa aplicálos com mais confiança e consistência Leia analise cada situação e responda às perguntas abaixo Depois então confira suas respostas Figura 4 Grandeza é o que pode ser medido contado que pode sofrer aumento ou diminuição como tempo velocidade comprimento superfície volume massa capacidade temperatura quantidade custo etc Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 146 Conferindo as respostas Situação 1 é possível fazer cálculos e chegar ao resultado pois existe uma relação matemática entre as grandezas envolvidas número de pães e custo dos pães Se dobrarmos o número de pães dobra o custo Se dividirmos por 3 o número de pães o custo também fica dividido por 3 Se multiplicarmos o número de pães por 27 multiplicaremos também o custo por 27 Situação 2 é possível fazer cálculos e chegar ao resultado pois existe uma relação matemática entre as grandezas envolvidas velocidade média e tempo Se dobrarmos a velocidade média o tempo fica dividido por 2 Se dividirmos por 2 a velocidade média o tempo fica multiplicado por 2 Situação 3 analisando a situação podese concluir que não é possível fazer cálculos e chegar ao resultado pois o tempo de resolução e a quantidade de testes são grandezas que nessa situação independem uma da outra Ela tanto pode conseguir resolver todos os testes em um tempo menor do que o previsto como pode não conseguir resolvêlos dentro do tempo determinado Situação 4 não é possível fazer cálculos e chegar ao resultado somente com essas informações pois as grandezas altura e idade não variam uma de acordo com a outra em todas as fases da vida apenas nas fases iniciais em que médicos fazem tabelas e gráficos para acompanhar o crescimento de crianças Como você pôde perceber em algumas situações é possível comparar a variação das grandezas fazer os cálculos necessários e prever os resultados mas em outras isso não é possível No decorrer do capítulo as respostas dadas às situações acima se tornarão mais claras Sempre que achar conveniente volte a esta página para conferir os resultados Usando razão para comparar grandezas Uma das maneiras de comparar duas grandezas é encontrar a razão entre elas ou seja encontrar o quociente entre as medidas dessas grandezas Você sabe dizer quantas vezes 10 é maior que 2 E se uma pessoa percorre de bicicleta 30 km em 2 horas você sabe dizer qual foi a velocidade média que ela desenvolveu Para responder a essas questões você comparou duas grandezas Veja como 1 A razão entre os números 10 e 2 pode ser expressa por 10 2 10 está para 2 ou ou seja comparando os números 10 e 2 podemos dizer que 10 é 5 vezes maior que 2 2 Se Bruno percorre em sua bicicleta 30 km em 2 horas qual a razão entre a distância percorrida e o tempo Essa razão conhecida como velocidade média será igual a De modo geral podemos escrever Capítulo VI As grandezas no diaadia 147 Como as razões são iguais isto é temos uma proporção uma igualdade entre duas razões Também podemos escrever 1 Desenvolvendo competências Se em cada hora Bruno percorre em sua bicicleta 15 km quantos quilômetros percorrerá em 5 horas Em quanto tempo percorrerá 90 km Se achar necessário construa uma tabela para organizar esses dados Da razão à proporção 1 A tabela abaixo estabelece uma relação entre quantidade e custo aproximado de gasolina Comparando as grandezas quantidade de gasolina e custo da gasolina verifique o que ocorre com o custo quando dobramos a quantidade de gasolina Agora multiplique por 10 a quantidade de gasolina O custo ficou multiplicado por quanto E se quisermos reduzir o custo pela metade o que ocorre com a quantidade de gasolina Você pode observar que Quando dobramos a quantidade de gasolina o custo também dobra Quando dividimos por 2 a quantidade de gasolina o custo também fica dividido por 2 A razão entre o custo e a quantidade de gasolina correspondente é sempre a mesma Quando isto acontece dizemos que a quantidade de gasolina e o custo da gasolina são grandezas diretamente proporcionais e que o valor 160 razão que corresponde ao preço de 1 litro de gasolina é a constante de proporcionalidade Quantidade Custo Tabela 1 5 litros R 800 10 litros R 1600 20 litros R 3200 50 litros R 8000 8 5 16 10 ou 8 está para 5 assim como 16 está para 10 8 5 32 20 ou 8 está para 5 assim como 32 está para 20 16 10 80 50 ou 16 está para 10 assim como 80 está para 50 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 148 Observe uma propriedade muito importante que acontece em todas as proporções Multiplicando os termos em cruz obtemos o mesmo resultado Vamos utilizar essa propriedade para resolver as questões abaixo ainda relacionadas ao custo da gasolina da tabela dada 1 Jorge ao fazer uma viagem de automóvel gastou R 6400 com gasolina Quantos litros de gasolina ele consumiu nessa viagem Resolvendo o problema Vamos chamar a quantidade desconhecida de gasolina de x formar uma proporção aplicar a propriedade e encontrar esse valor Proporção Propriedade 8 x 5 64 Valor de x x 40 Portanto R 6400 equivalem a um consumo de 40 litros de gasolina 2 Desenvolvendo competências A partir do que foi exposto anteriormente obtenha mais proporções por exemplo igualando as razões entre a quantidade de gasolina e os custos correspondentes Será que esse é o único modo de resolver esse problema Você conhece outro modo Pense um pouco Na verdade existem vários modos de resolver esse problema Um deles seria dividir 64 por 8 para saber quantas vezes posso colocar 5 litros de gasolina no carro Essa divisão dá 8 Isso quer dizer que posso colocar 8 x 5 litros de gasolina que são 40 litros Um outro modo é aplicar a constante de proporcionalidade Se você conhece o custo pode determinar a quantidade Assim como se conhece a quantidade podese determinar o custo Faça os cálculos e compare o seu resultado com o anterior 2 Se Jorge percorreu 400 km e gastou 40 litros qual o consumo médio de combustível do automóvel de Jorge Resolvendo o problema Para responder a essa questão você deve se lembrar de que o consumo médio é dado pela razão entre o total de quilômetros percorridos e a quantidade total de gasolina consumida Consumo Logo o consumo médio do carro de Jorge é de 10 km por litro de gasolina Em outras palavras em média o carro de Jorge faz 10 km com 1 litro de gasolina quantidade de quilômetros quantidade de combustível 400km 40 litros 10 kml Capítulo VI As grandezas no diaadia 149 Quando falamos em consumo médio de combustível do automóvel estamos considerando que o carro de Jorge não faz exatamente 10 km 3 Desenvolvendo competências Se Jorge percorre 10 km com 1 litro de gasolina quantos quilômetros ele percorrerá com 15 litros de gasolina Carlos e Sônia planejam reunir os funcionários de sua empresa para uma pequena comemoração Para isso vão encomendar pizzas Supondo que cada pessoa coma 2 pedaços de pizza e que cada pizza tamanho grande venha dividida em 8 Analisando a tabela você pode perceber que Quando dobramos a quantidade de pizzas dobramos também a quantidade de pessoas Quando dividimos por 2 a quantidade de pizzas dividimos por 2 também a quantidade de pessoas A razão entre o número de pizzas com 8 pedaços e o número de pessoas que comem 2 pedaços de pizza é sempre a mesma Nº de pizzas 1 pizza 2 pizzas 4 pizzas x pizzas Nº de pedaços 8 pedaços 2 pedaços p cada pessoa 16 pedaços 2 pedaços p cada pessoa 32 pedaços 2 pedaços p cada pessoa Tabela 2 Nº de pessoas 4 8 16 82 Mais proporcionalidade direta Quantas pizzas Portanto podemos dizer que essas duas grandezas variam numa proporcionalidade direta Formando a proporção e aplicando a propriedade 4 x 82 1 temos x 205 Para arredondar os cálculos e evitar a falta de pizzas devemos encomendar 21 pizzas com exatamente 1 litro de gasolina porque alguns fatores podem alterar o desempenho do automóvel pedaços quantas pizzas eles devem encomendar para servir o total de 82 pessoas Vamos fazer uma tabela para visualizar esta situação Figura 5 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 150 4 Desenvolvendo competências 1 Tomando como base a pizza grande dividida em 8 pedaços e considerando que cada pessoa coma 2 pedaços de pizza qual o número máximo de pessoas que poderá participar de uma festa beneficente onde 150 pizzas serão servidas a 800 b 600 c 400 d 100 Desenvolvendo competências 2 Analise os itens abaixo e assinale a alternativa correta Tome como base a pizza grande dividida em 8 pedaços 21 Se as 82 pessoas que estavam no encontro que Carlos promoveu comessem somente 1 pedaço de pizza seriam necessárias e suficientes a 12 pizzas b 11 pizzas c 10 pizzas d 8 pizzas 22 Para servir 20 rapazes que comem quatro pedaços de pizza cada um seriam necessárias a 12 pizzas b 10 pizzas c 9 pizzas d 8 pizzas 23 A razão entre o número de pizzas necessárias para servir 24 pessoas e o número de pizzas necessárias para servir 143 pessoas que comem dois pedaços de pizza é a b c d Desenvolvendo competências 3 Uma avenida com 600m de comprimento está sendo asfaltada Em 3 dias foram asfaltados 150 m da avenida Supondo que o ritmo de trabalho continue o mesmo em quantos dias os 600 m da avenida estarão asfaltados a 9 b 12 c 15 d 18 Capítulo VI As grandezas no diaadia 151 4 Em todo mapa deve existir proporcionalidade direta entre as grandezas distância no desenho e distância real A razão constante entre a distância no desenho e a distância real entre duas cidades é chamada de escala Desenvolvendo competências 4 Em todo mapa deve existir proporcionalidade direta entre as grandezas distância no desenho e distância real A razão constante entre a distância no desenho e a distância real entre duas cidades é chamada de escala A escala utilizada neste mapa é E ou seja a cada 1 cm no desenho correspondem 5000000cm 50km no real Usando esse mesmo mapa assinale V verdadeiro ou F falso para as afirmações a seguir a Quanto maior for a medida em cm no mapa menor será a distância entre as cidades b A uma medida de 30cm no mapa corresponde uma distância real de 2000km c A distância BrasíliaSalvador que é de aproximadamente 1400km corresponde a 28 cm no mapa d Cada 3 cm no desenho corresponde a uma distância real de 15km e A distância São PauloBrasília que é de aproximadamente 1000km está representada por 20cm Figura 6 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 152 Outro tipo de proporcionalidade Voltemos à situação 2 do início do capítulo na qual um automóvel deslocandose a uma velocidade média de 60 kmh faz um determinado Velocidade Tempo 30 kmh 8h 120 kmh 2h Tabela 3 60 kmh 4h 240 kmh 1h A Tabela 3 mostra a relação entre a velocidade e o tempo Comparando as grandezas velocidade média e tempo verifique o que ocorre com o tempo quando dobramos a velocidade Agora multiplique por 8 a velocidade O que aconteceu com o tempo E se quisermos reduzir o tempo pela metade o que ocorre com a velocidade Você pode observar que Quando multiplicamos a velocidade média por 2 o tempo fica dividido por dois Quando dividimos a velocidade média por 2 o tempo fica multiplicado por 2 O produto entre a velocidade média e o tempo é sempre o mesmo 60 4 240 120 2 240 240 1 240 Quando isto acontece dizemos que a velocidade média e o tempo são grandezas inversamente proporcionais à medida que uma grandeza aumenta a outra diminui na mesma proporção Como as razões entre as velocidades e os tempos correspondentes são inversas para obtermos uma proporção precisamos inverter uma das razões isto é Observe que após inverter uma das razões a propriedade importante que acontece em todas as proporções continua valendo 120 2 60 4 120 2 30 8 120 2 240 1 Multiplicando os termos em cruz obtemos o mesmo resultado Portanto se a velocidade média fosse de 120 kmh o mesmo percurso seria feito em 2 horas percurso em 4h Em quanto tempo faria esse mesmo percurso se a velocidade média utilizada fosse de 120 kmh Capítulo VI As grandezas no diaadia 153 5 Desenvolvendo competências Nas situações abaixo identifique as grandezas envolvidas analiseas e verifique se elas variam numa proporcionalidade direta PD ou inversa PI ou se não existe necessariamente proporcionalidade NP a A medida do lado de um terreno quadrado e o perímetro desse terreno b O ordenado de um carteiro e o número de cartas que ele distribui c A distância percorrida por um automóvel e a quantidade de combustível consumida d O número de pedreiros e o tempo gasto para construir um muro e A idade de um jovem e seu peso f A medida do lado de um terreno quadrado e a área desse terreno g A quantidade de pó de café e o número de cafezinhos h O número de acertadores da megassena e o valor do prêmio distribuído Mais proporcionalidade inversa Quanto receberá cada um Um clube decidiu promover uma competição de atletismo entre seus atletas E querendo incentivar e motivar os atletas participantes ofereceu um prêmio de R 60000 a ser dividido entre aqueles que fizerem os 100 metros rasos em menos de 13 segundos Se 2 atletas conseguirem fazer isso cada um receberá R 30000 E se 4 atletas conseguirem quanto receberá cada um Resolvendo o problema Vamos organizar esses dados Comparando as grandezas número de atletas e valor do prêmio você pode observar que Quando multiplicamos o número de atletas por 2 o valor do prêmio fica dividido por dois Quando dividimos o número de atletas por 2 o valor do prêmio fica multiplicado por 2 O produto entre o número de atletas e o valor do prêmio correspondente é sempre o mesmo 1 600 600 2 300 600 4 150 600 Nº de atletas Valor do prêmio 1 atleta 2 atletas 4 atletas R 60000 R 30000 x Tabela 4 Figura 7 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 154 Portanto podemos dizer que o número de atletas e o valor do prêmio são grandezas inversamente proporcionais Formando a proporção observe que invertemos uma das razões e aplicando a propriedade 4 x 600 1 temos Então se quatro atletas conseguirem chegar ao fim da corrida no tempo previsto cada um receberá um prêmio de R 15000 Será que esse é o único modo de resolver esse problema Você conhece outro modo Pense um pouco Como o produto entre o número de atletas e o prêmio é sempre constante e igual a 600 então se você conhece o número de atletas pode determinar o valor do prêmio Da mesma forma se conhece o valor do prêmio pode determinar a quantidade de atletas Faça os cálculos e compare o seu resultado com o anterior 6 Desenvolvendo competências 61 Calcule o valor do prêmio que receberá cada atleta se 5 obtiverem êxito Desenvolvendo competências Leia analise e responda aos itens abaixo 62 Todos os dias ao entardecer costumo fazer minha caminhada diária de 2 horas seguindo o mesmo trajeto e mantendo a mesma velocidade média de 25 kmh Outro dia cronometrei o meu tempo e percebi que estava com uma velocidade média de 5 kmh Nessas condições em quanto tempo fiz o mesmo trajeto a hora b hora c 1 hora d 4 horas Desenvolvendo competências 63 Para transportar areia para uma construção foram usados 4 caminhões com capacidade de 3 m3 cada um Para fazer o mesmo serviço e com base nessas informações podemos concluir que a se a capacidade de cada caminhão fosse de 6 m3 seriam necessários 8 caminhões b quanto maior a capacidade do caminhão menor será o número de caminhões necessários c seriam necessários 10 caminhões se a capacidade de cada caminhão fosse de 1m3 d a quantidade de caminhões não depende da capacidade de cada caminhão Capítulo VI As grandezas no diaadia 155 Tomando como base os conhecimentos que adquiriu e as experiências que viveu pense e responda Você conhece algum caso de união de pessoas que melhorou a qualidade de vida e a qualidade profissional dessas pessoas Em algum momento você se uniu ou sentiu necessidade de se unir a outras pessoas para defender uma causa comum Quais as vantagens da união de pessoas em cooperativas e associações Figura 8 Disponível em httpwwwdesenvolvimentogovbrprogacoesPAB Vamos analisar outras situações BONECAS DE PANO ENCANTAM BRASILEIROS E ESTRANGEIROS As bonecas de pano feitas em Riacho Fundo zona rural de Esperança município da Paraíba estão encantando brasileiros de norte a sul e já são vendidas na Alemanha Itália Inglaterra e Estados Unidos Atualmente os 40 artesãos que trabalham na confecção da Boneca Esperança produzem de quinhentas a mil peças todos os meses a um preço que varia de R 250 a R 6000 Há um ano e meio no entanto a produção era desorganizada e os artesãos tinham dificuldades de vender suas bonecas para outros mercados Foram promovidas oficinas locais com o objetivo de melhorar a qualidade do produto e orientar os artesãos na composição de preço dos produtos Hoje a qualidade de vida dos 40 artesãos que trabalham na produção das bonecas também melhorou Eles fazem parte da Associação dos Artesãos de Riacho Fundo e têm uma renda mensal entre R 15000 e R 40000 7 Desenvolvendo competências Analisando o texto podemos concluir que a os artesãos eram desorganizados e desqualificados por isso não vendiam suas bonecas b cada artesão confecciona em média de 500 a 1000 bonecas por mês c para formar uma associação ou cooperativa é preciso ter muitos recursos financeiros d a união e a organização dos artesãos promoveram o sucesso que pôde ser comprovado matematicamente através dos resultados numéricos obtidos Para refletir Mesmo em lugares simples e distantes e com poucos recursos pessoas unidas podem superar obstáculos e obter sucesso pessoal e profissional devendo para isso Buscar ajuda de órgãos ou pessoas responsáveis e competentes para organizar a equipe e a produção Possuir em comum um forte desejo de vencer e progredir Envolver mais pessoas interessadas para aumentar a produtividade e fortalecer a associação Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 156 NO PRÓXIMO SÉCULO A ÁGUA DOCE SERÁ O RECURSO NATURAL MAIS DISPUTADO NA MAIORIA DOS PAÍSES O Brasil possui 137 de toda a água doce do planeta e desse total 7 encontramse na região da bacia hidrográfica do rio Paraná que inclui o rio Tietê Existe água em abundância mas existe também o desperdício e o comprometimento dos mananciais Você sabe quanto custa a água que consumimos Um real cada mil litros Parece pouco mas esse custo poderá ser bem mais alto se a água não for utilizada de forma adequada sem desperdícios O cálculo da tarifa é progressivo quanto maior o consumo maior é o preço A faixa de consumo de água por pessoa varia de 150 a 400 litros por dia Uma maneira de detectar vazamento é fechar todas as torneiras e registros da casa e verificar se no hidrômetro aparelho que mede o consumo de água ocorre movimento dos números ou do ponteiro do relógio Caso isso aconteça certamente existe vazamento Por exemplo um pequeno buraco de dois milímetros do tamanho da cabeça de um prego vai desperdiçar em torno de 3200 litros de água por dia Esse volume é suficiente para o consumo de uma família de 4 pessoas durante 5 dias incluindo limpeza da casa higiene pessoal preparação de alimentos e água para beber 8 Desenvolvendo competências Com base nos dados acima e supondo que essa família de 4 pessoas não detectou um vazamento em sua residência durante 3 dias podemos então dizer que houve um desperdício de água suficiente para o consumo de a 2 pessoas durante 7 dias b 1 pessoa durante 12 dias c 8 pessoas durante 3 dias d10 pessoas durante 2 dias Você já observou qual o consumo médio mensal de água de sua residência Que tal dar uma olhadinha na última conta para conferir E o consumo diário de água por pessoa Se em sua casa residem 5 pessoas e o consumo mensal de água é de 30 m 3 podemos fazer os seguintes cálculos para obter o consumo médio diário por pessoa Como 1 m 3 1000 litros então 30 m 3 30 000 litros por mês 30 000 litros 5 pessoas 6000 litros por pessoa por mês 6000 litros 30 dias 200 litros por pessoa por dia E se em sua casa moram apenas 3 pessoas Qual o consumo diário de água por pessoa Esse valor é razoável O texto afirma que o consumo médio por pessoa varia de 150 a 400 litros de água por dia o que envolve uma grande variação numérica e com certeza financeira Converse com parentes e amigos e compare os resultados Você sabia que a válvula de descarga ao ser acionada gasta de 10 a 30 litros de água enquanto a caixa acoplada ao vaso descarrega apenas 6 litros de água por vez Você economiza água de algum modo Se não economiza já pensou em alguma forma de economizar Capítulo VI As grandezas no diaadia 157 Você sabia que a vazão de uma torneira é diretamente proporcional ao tempo em que ela fica aberta Por exemplo se você escovar os dentes em 5 minutos deixando a torneira aberta estará gastando 12 litros de água por dia quantidade que uma pessoa poderia beber durante 6 dias No entanto se escovar os dentes de maneira econômica ou seja mantendo a torneira fechada e só usando água quando for necessário gastará em média 1 litro A economia será de aproximadamente 11 litros de água por dia Pense nisso sempre que for escovar os dentes fazer a barba etc Para refletir Hoje quando há algum desperdício pelo uso abusivo de água ninguém se incomoda Mas esse comportamento terá de mudar Economizar e conservar a água é fundamental A consciência de que é preciso mudar está crescendo Todos nós sempre dependemos da água Agora a água também dependerá de nós de nossas atitudes e comportamentos de nosso grau de civilidade httpwwwtvculturacombraloescolaciencias Você pode intervir e mudar essa realidade Para isso é preciso ter Consciência do que está ocorrendo e manterse informado Argumentos consistentes para conversar e informar outras pessoas Força de vontade e dedicação para mudar o que realmente precisa ser mudado Porcentagem e juros Quase todos os dias vemos ou ouvimos a expressão por cento indicando acréscimo ou desconto ou noticiando a situação econômica Também ocorrem inúmeras operações envolvendo dinheiro como empréstimos aplicações financeiras compra e venda pagamento de impostos etc Boa parte das perdas de dinheiro que as pessoas têm ao fazer negócios depende do cálculo de porcentagens que estão presentes nessas situações Por isso precisamos conhecer o conceito matemático de porcentagem para saber interpretálo e aplicálo corretamente sempre que for necessário O que significa O sinal é uma abreviação da expressão dividido por 100 Lembrese que lemos 30 30 por cento Porcentagem é uma comparação com 100 Nos anúncios acima temos Na situação 1 uma taxa percentual de 30 de desconto Como 30 significa que em cada R 10000 haverá um desconto de R 3000 Na situação 2 uma taxa percentual de aumento de 2 Como 2 significa que em cada R 10000 haverá um aumento de R 200 Além das situações acima você conhece outras que envolvam cálculos com porcentagem Pense um pouco Acredito que tenha pensado e respondido que conhece muitas situações Pois é quantas vezes precisamos recorrer à nossa calculadora para conferirmos se a oferta de um determinado produto vale a pena mesmo E como é bom sabermos efetuar os cálculos e chegarmos a uma conclusão Por isso mãos à obra Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 158 Vamos analisar algumas situações 1 O dono de uma sorveteria preocupado com a qualidade e a quantidade de seus sorvetes realizou uma pesquisa com seus clientes Dos 180 que responderam constatou que 60 preferem sorvete de chocolate e o restante prefere os demais sabores Resolvendo o problema a Dentre os clientes que responderam à pesquisa quantos preferem sorvete de chocolate Sabemos que a taxa percentual que representa esse número de clientes é 60 do número total de clientes Então devemos calcular 60 de 180 60 de180 180 Portanto 108 clientes preferem sorvete de chocolate Você sabia que podemos calcular o percentual de um número de duas maneiras Veja o caso de 60 de 180 Forma fracionária 180 Forma decimal 060 180 108 Pois é a forma como os cálculos são efetuados é uma escolha pessoal Escolhemos aquela que achamos mais apropriada mais conveniente mas é interessante saber que existem outras formas de efetuarmos esses cálculos b Dentre os clientes que responderam à pesquisa qual o percentual e o número de clientes que preferem sorvete de outros sabores Se a taxa percentual dos que preferem sorvete de chocolate é 60 e a taxa que representa o total de clientes é 100 então ao subtrairmos 60 de 100 encontramos a taxa de 40 que representa os clientes que preferem sorvete de outros sabores Para encontrar o número de clientes que representa essa taxa percentual vamos usar o mesmo procedimento do item a 40 de 180 180 Portanto 72 clientes preferem sorvete de outros sabores Como no item a utilize a forma decimal para calcular a porcentagem e confirme o resultado encontrado Você sabe encontrar o número de clientes que preferem sorvete de outros sabores de outra forma Vamos pensar juntos Se o número total de clientes pesquisados é 180 e destes 108 preferem sorvete de chocolate e sabemos que os demais preferem de outros sabores podemos efetuar a subtração 180 108 para encontrar os 72 clientes que procuramos Observe a tabela abaixo para melhor visualizar esta situação Sorvete de chocolate Sorvete de outros sabores Total Taxa de porcentagem de clientes 60 100 60 40 100 Tabela 5 Número de clientes 108 180 108 72 180 Capítulo VI As grandezas no diaadia 159 c 99 clientes representam mais ou menos que 50 dos clientes que responderam à pesquisa Observe que Quando dividimos por 2 a porcentagem de clientes o número de clientes também fica dividido por 2 A razão entre a porcentagem de clientes e o número de clientes correspondentes é sempre a mesma Taxa percentual de clientes 100 x 50 180 99 90 Número de clientes Tabela 6 9 Desenvolvendo competências Faça os cálculos e responda Para os 180 clientes que responderam a pesquisa 91 Quantos clientes representam 12 do total de clientes 92 Quanto por cento do total de clientes representam 135 clientes a 45 b 60 c 70 d 75 Portanto como as grandezas porcentagem de clientes e número de clientes variam numa proporcionalidade direta podemos formar uma proporção aplicar a propriedade e encontrar o valor desejado Proporção Propriedade 180 x 100 99 Valor de x Portanto 99 clientes representam 55 do total de clientes Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 160 AUTOMEDICAÇÃO É bastante freqüente entre os brasileiros o hábito de tomar medicamentos por conta própria por sugestão de amigos ou pessoas não habilitadas a receitar Na área de saúde esse procedimento chamase automedicação que quer dizer medicar a si mesmo Atualmente a intoxicação por medicamentos é uma ocorrência comum Em 1998 por exemplo o Centro de Assistência Toxicológica CEATOX órgão da Universidade de São Paulo USP registrou 3211 casos de intoxicação dos quais cerca de 40 provocados por uso de medicamentos Os farmacêuticos consideram que grande parcela desses casos resulta da automedicação praticada no país Segundo dados da Organização Mundial da Saúde OMS e do Ministério da Saúde o mercado brasileiro dispõe de mais de 32 mil medicamentos motivo pelo qual o Brasil situase em sexto lugar entre os países consumidores de medicamentos respondendo por R 143 bilhões dos 529 bilhões movimentados no mercado mundial de medicamentos No entanto sabese que para tratar as mais diversas doenças cerca de 420 produtos seriam suficientes Adaptado de wwwnibunicampbr 10 Desenvolvendo competências Analisando o texto acima interpretando e avaliando as variações percentuais nele contidas podemos concluir que a o mercado brasileiro possui um número insuficiente de medicamentos para tratar as mais diversas doenças existentes b mais da metade dos casos de intoxicação registrados em 1998 pelo CEATOX foram provocados pela automedicação c se os 420 produtos estiverem entre os 32 mil existentes no Brasil aproximadamente 13 do total de medicamentos disponíveis seriam suficientes para tratar as mais diversas doenças d o Brasil ocupa o 6o lugar no mundo em relação aos casos registrados de automedicação Figura 9 Capítulo VI As grandezas no diaadia 161 Você costuma se automedicar Conhece alguém que se automedicou Quais os resultados obtidos Você sabia que um mesmo remédio com dosagem idêntica usado durante o mesmo período de tempo por duas pessoas diferentes pode dar excelentes resultados para uma delas e não surtir efeito na outra Por que será que existem tantos medicamentos no Brasil 11 Será que somente a liberdade que as indústrias têm para fabricar anunciar e vender seus produtos justifica esse elevado número de medicamentos O fato de nos automedicarmos com xaropes analgésicos gotas nasais laxantes e outros medicamentos aparentemente inofensivos não contribui também para o crescimento e fortalecimento das indústrias farmacêuticas O que você acha que poderia ser feito para tentar diminuir esse índice elevado de automedicação Para refletir A vida saudável não está sempre no balcão da farmácia Os cuidados de higiene pessoal e ambiental hábitos sadios e qualidade de vida promovem a saúde A prática de esportes caminhadas alimentação balanceada lazer e descanso dão mais sabor e qualidade à vida humana Leia mais sobre automedicação Busque idéias consistentes para argumentar com outras pessoas e de alguma forma intervir e mudar essa realidade nada saudável do consumo exagerado e inadequado de medicamentos no Brasil Vamos analisar outras situações 1 Alberto trabalha em uma pequena firma e recebe um salário mensal de R 80000 Como fez alguns cursos de atualização profissional foi promovido e recebeu um aumento de 15 em seu salário Qual será então o novo salário de Alberto Resolvendo o problema Calculamos 15 de 800 e a seguir somamos ao valor inicial de 800 para obtermos o valor do novo salário 15 de 800 015 800 120 800 120 920 portanto o novo salário será R 92000 Você conhece outro modo de resolver esse problema Vamos pensar juntos Se hoje o salário representa 100 e o aumento será de 15 então o novo salário representará 115 do salário inicial Lembrando que 115 115 faça os cálculos e confira o resultado Desenvolvendo competências Aproveite os dados do problema anterior e resolva este Se Alberto passasse a receber um salário de R 100000 poderíamos afirmar que a ele teve um aumento percentual de 50 b o aumento de R 20000 equivale a um aumento de 20 no salário inicial c a porcentagem que representa o novo salário seria de 125 d um salário de R 100000 representa um aumento superior a 30 sobre o salário antigo Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 162 2 Uma revendedora de automóveis anunciou a venda de um modelo popular usado por R 750000 Percebendo que o interesse dos clientes pelo automóvel foi pequeno decidiu abaixar o preço para R 690000 Qual a taxa de desconto aplicada ao automóvel Resolvendo o problema Obtemos o valor do desconto em reais efetuando R 750000 R 690000 e a seguir calculamos quanto por cento esse valor representa de R 750000 Cálculos Proporção Propriedade 7500 x 100 600 Valor de x Portanto a taxa de desconto aplicada foi de 8 Como no item anterior será que é possível fazer os cálculos de outro modo O que representa a divisão Quanto por cento 6900 representa de 7500 Termine os cálculos e compareos com o resultado obtido acima 7500 600 Taxa de porcentagem Valor R Tabela 7 100 12 Desenvolvendo competências Aproveite os dados do problema acima e responda à seguinte questão Se a revendedora tivesse aplicado um desconto de 55 sobre o valor inicial do automóvel poderíamos afirmar que a o valor do desconto seria de R 50000 b o valor do automóvel após esse desconto seria de R 715050 c a porcentagem que representa o valor do automóvel após o desconto seria de 955 d o valor desse desconto seria superior a R 40000 Observações importantes Se a um determinado valor for aplicado um acréscimo de 10 podemos calcular o novo valor apenas multiplicando o valor inicial por 11 pois 100 10 110 11 Se a um determinado valor for aplicado um desconto de 10 podemos calcular o novo valor apenas multiplicando o valor inicial por 09 pois 100 10 90 09 Essas observações facilitam muito os nossos cálculos mesmo os feitos com o uso da calculadora Dada a sua importância observe alguns exemplos expostos a seguir Capítulo VI As grandezas no diaadia 163 Veja como alguns cálculos dos valores expostos acima foram efetuados Aumento de 10 110 10 110 11 Desconto de 10 110 10 90 09 Desconto de 175 100 175 825 0825 Aumento de 100 100 100 200 2 Aumento de 10 Aumento de 305 Aumento de 50 Aumento de 100 Multiplicar o valor inicial por 11 1305 150 2 Tabela 8 Desconto de 8 Desconto de 10 Desconto de 175 Desconto de 50 Multiplicar o valor inicial por 092 09 0825 05 Tabela 9 Aproveite os conceitos utilizados na construção da tabela acima e resolva Se uma empresa possui 360 funcionários e 25 deles utilizam transporte próprio qual o número de funcionários dessa empresa que utiliza outros meios de transporte Resolvendo o problema 100 25 75 360 075 270 270 funcionários 13 Desenvolvendo competências 131 Um litro de leite custava R 080 e sofreu um acréscimo de 15 Qual será o novo valor do litro desse leite 132 Solaine abriu com R 50000 uma caderneta de poupança no dia 2 de maio Não fez nenhum outro depósito durante o mês Se o rendimento nesse mês foi de 07 qual será o saldo de Solaine no dia 3 de junho a R 50350 b R 50770 c R 53500 d R 57000 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 164 Aumentos e descontos sucessivos Vamos analisar algumas situações 1 Uma loja de material esportivo estava vendendo uma camisa de um time de futebol por R 10000 no mês de janeiro e aplicou um aumento de 10 no mês de abril Como no mês de junho o time ganhou um torneio e as vendas aumentaram resolveu aplicar outro aumento de 10 Qual a porcentagem total de aumento aplicado à camisa desse time durante esse 1º semestre Alguma situação semelhante a essa já ocorreu com você Será que o aumento foi de 20 Como você faria os cálculos para descobrir a porcentagem total do aumento Pense um pouco Resolvendo o problema Sobre o valor inicial de R10000 vamos aplicar o 1º aumento 1º aumento 100 10 110 11 100 11 110 Sobre o valor de R 11000 obtido após o primeiro aumento vamos aplicar o 2º aumento 100 10 100 11 110 11 121 Você pode constatar que se a camisa custava R 10000 em janeiro e passou a custar R 12100 em junho houve um aumento de R 2100 que equivale a 21 Você conhece outro modo de resolver esse problema Esse modo escolhido não é único existem diversos procedimentos corretos que levam ao resultado Você deve escolher a forma que achar mais apropriada mais conveniente ao seu modo de interpretar e resolver questões Como na situação anterior aplique dois aumentos sucessivos de 10 sobre os seguintes valores iniciais a R 8000 b R 600 Agora compare os resultados obtidos com o do item anterior O que você pode concluir Será que dois aumentos sucessivos de 10 equivalem sempre a um único aumento de 21 Observe que efetuamos os seguintes cálculos 100 11 11 100 11 2 100 121 121 Como 121 121 e 121 100 21 obtemos então o aumento de 21 2 Algumas lojas de roupas e acessórios costumam fazer no mês de maio uma liquidação dos seus artigos de verão para então colocar nas vitrines a nova coleção de inverno Flávia sabendo dessa liquidação não comprou uma blusa que custava R 5000 em março Ela teve sorte pois sobre esse valor foram aplicados dois descontos sucessivos um em abril de 10 e outro em maio de 20 Qual o desconto total aplicado sobre o valor da blusa Qual o valor final da blusa após os descontos Resolvendo o problema Como na situação anterior vamos aplicar os descontos separadamente 1º desconto sobre o valor inicial 100 10 90 09 50 09 45 Capítulo VI As grandezas no diaadia 165 2º desconto sobre o valor obtido após o 1º desconto 100 20 80 08 45 08 36 Se a blusa custava R 5000 em março e passou a custar R 3600 em maio houve um desconto de R 1400 que equivale a 28 50 x 14 100 x Portanto o desconto total aplicado sobre o valor da blusa foi 28 Atenção o desconto total não foi igual à soma dos descontos ou seja 30 e o valor final da blusa após os descontos foi R 3600 Você saberia encontrar esse desconto total de outro modo Pense um pouco Seria possível aplicar um desconto único e encontrar o preço final da blusa Observe os cálculos que efetuamos 50 09 08 50 072 36 Como 072 72 e 72 100 28 obtemos então o desconto total de 28 3 Sobre uma mercadoria que custa R 20000 houve um desconto de 20 e depois outro desconto de 30 então a Qual a porcentagem final do desconto sobre essa mercadoria 08 07 056 056 56 e 100 56 44 Portanto a porcentagem final do desconto sobre essa mercadoria será de 44 b Qual o valor em reais do desconto total 44 de 200 044 200 88 Portanto o valor total do desconto é R 8800 c Qual o valor final da mercadoria após os descontos 200 88 112 Portanto o valor final da mercadoria é R 11200 A ordem em que os descontos ou aumentos são calculados não altera os cálculos pois 08 07 x 07 08 x onde x representa o preço inicial da mercadoria Algumas pessoas erram a solução desse tipo de problema porque usam a soma Mas como você pôde observar utilizamos a multiplicação e não a soma Ao contrário da situação 4 agora você calcula os descontos separadamente e depois compara os resultados encontrados através dos cálculos com o desconto único 14 Desenvolvendo competências Se em um determinado país a taxa de inflação no mês de maio foi de 2 e a do mês de junho foi de 5 então 141 A taxa de inflação acumulada nesses dois meses foi de a 7 b 71 c 82 d 10 Desenvolvendo competências 142 O valor de um objeto no dia 1o de julho sabendo que ele custava R 5000 em 30 de abril e que recebeu aumento de acordo com a inflação será de a R 5300 b R 5355 c R 5550 d R 5700 23 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 166 Os juros no diaadia Vejamos algumas situações 1 Uma loja de informática está vendendo um computador por R 250000 à vista ou em 2 parcelas R 150000 de entrada e R 150000 ao fim de 30 dias O preço desse computador à vista é diferente do preço a prazo porque estão sendo cobrados juros pelo parcelamento da dívida Qual será o valor do juro mensal que essa loja está cobrando pelo parcelamento 2 Mirella emprestou R 30000 a Juliane que depois de 1 mês devolveulhe R 31500 Mirella recebeu então como compensação R 1500 de juro O juro é uma compensação em dinheiro que a empresa ou a instituição financeira cobra por estar parcelando ou financiando uma dívida Quando o cliente aplica seu dinheiro em um banco está emprestando esse dinheiro ao banco e por isso recebe uma quantia de juro pelo empréstimo Para conhecermos melhor as operações que envolvem juros vamos ver os principais nomes usados nesses cálculos e suas respectivas abreviações Capital inicial C é o dinheiro que se empresta ou que se toma emprestado Montante M é a soma do capital inicial aplicado ou tomado emprestado e do juro Tempo ou prazo t é o tempo que decorre desde o início até o final de uma dada operação financeira Taxa de juro i é a taxa percentual que se recebe ou se paga em relação a um dado intervalo de tempo Na determinação dos juros A taxa e o tempo devem estar relacionados na mesma unidade dia mês ano etc Adotase o chamado prazo comercial em que o mês é considerado como tendo 30 dias e o ano como tendo 360 dias Existem duas modalidades ou regimes de juro simples e composto A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos porque há interesse de se escolher um intervalo de tempo menor dia mês ou ano para que ao final de cada intervalo o juro correspondente seja pago O regime de juros simples é utilizado com menos freqüência geralmente nas operações de curtíssimo prazo JUROS SIMPLES os juros de cada intervalo de tempo são calculados sempre em relação ao capital inicial emprestado ou aplicado e com isso o valor do juro em cada intervalo é sempre constante Observe a situação abaixo Vitor aplicou R 200000 em um banco que paga juro simples de 1 ao mês am Após 3 meses de investimento qual será o saldo final ou montante capital juro de Vitor Resolvendo o problema Você já resolveu um problema semelhante a esse anteriormente A única diferença entre os problemas encontrase no tempo Solaine aplicou seu dinheiro por 1 mês e Vitor por 3 meses Use os conhecimentos que possui e os que foram apresentados nesse capítulo para encontrar o saldo final de Vitor ao final de três meses Se você concluiu que Vitor possuirá R 206000 acertou Veja uma das maneiras de encontrar esse resultado Capital C R 200000 Taxa i 1 am Tempo t 3 meses Figura 10 Figura 11 Capítulo VI As grandezas no diaadia 167 Veja que a taxa e o tempo estão relacionados na mesma unidade mês Desenvolvendo competências Desenvolvendo competências 15 JUROS COMPOSTOS também conhecido como juros sobre juros os juros de cada intervalo de tempo são calculados e somados ao capital inicial desse intervalo que por sua vez passam a render juros também É como funcionam as cadernetas de poupança Desenvolvendo competências Aproveite os dados e complete a tabela imaginando que Vitor tenha aplicado seu dinheiro por mais dois meses Mês 1º 2º 3º Montante no início de cada mês 2000 2020 2040 Tabela 10 Juro do mês 1 de 2000 20 1 de 2000 20 1 de 2000 20 Montante no final de cada mês 2020 2040 2060 Mês 1º 2º 3º Montante no início de cada mês 2000 2020 204020 Tabela 11 Juro do mês 1 de 2000 20 1 de 2020 202 1 de 204020 2040 Montante no final de cada mês 2020 204020 206060 Resolvendo o problema Vitor terá um montante de R 206000 após três meses de investimento Observe a situação abaixo Suponhamos agora que Vitor tenha aplicado seus R 200000 em um banco que paga juro composto de 1 ao mês am Então após 3 meses de investimento qual será o saldo final ou montante capital juro de Vitor Vitor terá um montante de R 206060 após três meses de investimento Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 168 Você se recorda da situação referente a aumentos sucessivos Esse problema tem alguma semelhança com aquele Observe os cálculos que fizemos para encontrar o montante ao final de três meses 2000 101 101 101 2000 101 3 Vamos voltar à situação sobre as formas de pagamento do computador Como R 150000 devem ser pagos no ato da compra ou seja à vista na verdade apenas a quantia de R 100000 será financiada pela qual se pagará R 150000 Portanto está sendo cobrado um valor de R 50000 de juro que corresponde a 50 de R 100000 Um absurdo 16 Desenvolvendo competências Utilize o modo que achar melhor ou mais simples para continuar os cálculos da tabela acima imaginando que Vitor tenha aplicado seu dinheiro por mais dois meses Você costuma ficar atento aos juros cobrados pelo parcelamento como no caso acima Acreditamos que depois desta leitura ficará mais atento ainda pois é muito importante observar nesses problemas o quanto realmente está sendo financiado para não nos enganarmos nem sermos enganados No caso acima a primeira parcela foi paga à vista logo não se deve fazer incidir juros sobre a mesma Se o financiamento tivesse sido feito em duas vezes sem entrada deveriam se fazer incidir juros relativos a um mês sobre a primeira prestação e relativos a dois meses sobre a segunda prestação Dona Vera possui uma televisão muito antiga de 14 polegadas por isso há algum tempo vem juntando uma certa quantia em dinheiro para comprar uma televisão maior e mais moderna Quando viu a oferta de uma televisão de 20 polegadas em 10 vezes de R 6220 Figura 12 não pensou em aguardar um pouco mais para comprar uma televisão com uma tela maior Figura 13 e nem sequer fez os cálculos para verificar quanto estava pagando de juros Com o auxílio de uma calculadora efetue este cálculo e compare o resultado com o da tabela Parece complicado mas quando entendemos o processo tudo se torna mais simples Figura 12 Figura 13 Vamos analisar outra situação Capítulo VI As grandezas no diaadia 169 17 Desenvolvendo competências Com base nessas informações organize os dados e responda 171 Que valor em reais Dona Vera pagou de juros por ter parcelado a TV 172 Quantos por cento aproximadamente sobre o preço à vista Dona Vera pagou de juros a 1272 b 1721 c 1012 d 1127 173 Se até o momento Dona Vera tivesse conseguido economizar R 40000 e decidisse não comprar a TV de 20 e aplicasse todo mês os R 6220 juntamente com os R 40000 em um banco que paga juro composto a uma taxa de 1 ao mês em quanto tempo ela poderia comprar a TV de 29 da figura 13 Iniciamos a organização dos dados na tabela abaixo Termine os cálculos e encontre a resposta correta Os cálculos parecem complexos mas se você entendeu o processo que é o fundamental com o auxílio de uma calculadora eles se tornam simples Observe como alguns cálculos da tabela foram efetuados 1o mês Juros 1 de 46220 462 Montante no final do mês valor anterior juros 46220 462 46682 2o mês Juros 1 de 52982 529 Montante no final do mês valor anterior juros 52982 529 53431 3o mês Juros 1 de 59651 596 Montante no final do mês valor anterior juros 59651 596 60247 Mês 1º 2º 3º Montante no início de cada mês 40000 6220 46220 46682 6220 52902 53431 6220 59651 Tabela 12 Juros de cada mês 462 529 596 Montante no final de cada mês 46682 53431 60247 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 170 Antes de comprar um objeto você costuma verificar se o preço à vista não oferece muito mais vantagens do que o parcelamento mesmo que isso implique esperar um pouco mais para obter esse objeto Não se esqueça de que não podemos comparar diretamente uma quantia de dinheiro agora com uma em outro instante passado ou futuro Para finalizar Esperamos que ao término da leitura desse capítulo você Tenha dominado e entendido melhor a linguagem matemática específica usada nesse texto para ler ouvir enfim comunicarse corretamente Tenha ampliado seus conhecimentos sobre variação de grandezas e que essa ampliação venha a facilitar a compreensão e a resolução de problemas do cotidiano que envolvam esses conceitos matemáticos Sinta necessidade e prazer em exercitar a leitura de revistas ou jornais para manterse informado sobre os principais fatos que ocorrem no Brasil e no mundo E ao encontrar grandezas nessas leituras procure identificálas e avaliar suas variações para entender explicar e argumentar com consistência sobre os processos naturais sócioeconômicos e tecnológicos que vivenciamos Possa recorrer aos conhecimentos adquiridos e a outros tantos disponíveis e relacionálos às suas experiências de vida para contribuir com idéias e propostas que possam sempre que necessário intervir de forma concreta e solidária na realidade em que vivemos Capítulo VI As grandezas no diaadia 171 Conferindo seu conhecimento 1 2 3 4 4 a F b F c V d F e V a PD b NP c PD d PI e NP f NP g PD h PI 5 1 R 12000 6 2 Resposta c 3 Resposta b 7 Resposta d 8 Resposta b 9 91 216 clientes 92 Resposta d 1 Resposta b 21 Resposta b 22 Resposta b 23 Resposta a 3 Resposta b 75 km e 6 horas Mais proporções 150 km Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 172 10 Resposta c 11 Resposta c 12 Resposta d 13 131 R 092 132 Resposta a 141 Resposta b 142 Resposta b 15 Tabela de juros simples Mês 4º 5º Montante no início de cada mês 2060 2080 Juro do mês 1 de 2000 20 1 de 2000 20 Montante no final de cada mês 2080 2100 16 Tabela de juros compostos Mês 4º 5º Montante no início de cada mês 206060 208121 Juro do mês 1 de 206060 2060 1 de 208121 2081 Montante no final de cada mês 208120 210202 17 171 R 6300 172 Resposta d 173 Ao final do 6º mês conforme a tabela abaixo Mês 4º 5º 6º Montante no início de cada mês 60247 6220 66467 67432 6220 73352 74085 6220 80305 Juro do mês 1 de 66467 664 1 de 73352 733 1 de 80305 803 Montante no final de cada mês 66467 664 67132 73352 733 74085 80305 803 81108 14 Capítulo VI As grandezas no diaadia 173 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar grandezas direta e inversamente proporcionais e interpretar a notação usual de porcentagem Identificar e avaliar a variação de grandezas para explicar fenômenos naturais processos socioeconômicos e da produção tecnológica Resolver problemas envolvendo grandezas direta e inversamente proporcionais e porcentagem Identificar e interpretar variações percentuais de variável socioeconômica ou técnicocientífica como importante recurso para a construção de argumentação consistente Recorrer a cálculos com porcentagem e relações entre grandezas proporcionais para avaliar a adequação de propostas e intervenção na realidade Wilson Roberto Rodrigues A MATEMÁTICA POR TRÁS DOS FATOS Capítulo VII APLICAR EXPRESSÕES ANALÍTICAS PARA MODELAR E RESOLVER PROBLEMAS ENVOLVENDO VARIÁVEIS SOCIOECONÔMICAS OU TÉCNICOCIENTÍFICAS Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 176 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos Matemática no café da manhã A matemática que não vemos Todos os dias realizamos um grande número de operações matemáticas Na maioria das vezes nem nos damos conta disso mas nem sempre foi assim Se hoje temos muitos recursos matemáticos à nossa disposição é porque eles foram construídos passo a passo através dos tempos Cada um dos conhecimentos descobertos em seu momento permitiu que o homem subisse um degrau em direção ao estágio de desenvolvimento em que vivemos hoje Dois fatores foram essenciais nessa busca por parte do homem a necessidade e a curiosidade E é desses mesmos dois fatores que vamos nos valer nesse capítulo Queremos que você desperte seu olhar curioso sobre os temas apresentados e veja neles algo que explique e amplie sua visão sobre coisas simples do diaadia Em algumas situações você poderá achar tudo muito óbvio mas não perca a paciência nem pule etapas Cada novo passo dado irá enriquecer sua bagagem de conhecimentos matemáticos Esperamos que esses conhecimentos possam tornálo mais autônomo e apto a interpretar de maneira mais precisa e crítica as coisas do diaadia Isso mesmo É comum começarmos a lidar com a matemática desde que acordamos Vamos ver Comprando os pãezinhos pela manhã podemos encontrar uma tabela como essa pregada no caixa da padaria PADARIA BELO PÃO Pão Francês Quantidade PreçoR 1 018 2 036 3 054 4 072 5 090 6 108 7 126 8 144 9 162 10 180 11 198 12 216 13 234 14 252 15 270 Tabela 1 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 177 Você já viu isso alguma vez Ela permite que o caixa economize tempo na hora de saber o preço dos pães Vamos pensar um pouquinho nessa tabela e nas possíveis maneiras de usála e construíla Resolvendo Problemas Caso um cliente desejasse comprar 17 pãezinhos seria necessário calcular o preço pois ele não consta da tabela É possível que nessa hora sejam trocadas as seguintes palavras entre o caixa e o cliente Pensando em voz alta o caixa diz 270 036 306 O cliente por sua vez responde De fato 17 018 306 Esse diálogo traduz dois raciocínios que revelam duas maneiras diferentes de chegar à mesma conclusão Pense um pouquinho e explique como pensou cada um para chegar ao valor dos 17 pães A E você como faria essa conta Encontre outras maneiras de chegar a esse resultado Vamos pensar um pouco na construção da tabela da padaria Poderíamos pensar por exemplo assim Existe Basta chamarmos de P o preço a ser pago e de n o número de pães comprados Pn será o preço a ser pago por n pãezinhos A expressão será Pn018 n Estamos dizendo a mesma coisa agora na língua da Matemática Podemos até dizer que descobrimos a lei matemática ou o modelo matemático que está por trás desse fato Vamos usálo agora B Substitua n por 25 na expressão que encontramos A expressão ficará P25 018 25 Faça essa conta O caixa da padaria faria essa conta para descobrir o quê Vamos explorar mais um pouco a expressão matemática do preço dos pães Se substituirmos P por 072 a expressão ficará 072 018 n Para resolvêla devemos fazer C Faça a conta O resultado fornecerá o número de pães que podem ser comprados com R 072 O preço a ser pago pelo cliente é igual ao preço de um pão multiplicado pelo número de pães comprados A frase que está no quadro deixa bem clara qual é a lei matemática que relaciona o número de pães com o preço desses pães Será que não existe um jeito de dizer isso com símbolos matemáticos a Você poderia calcular o preço de 15 pães mais o preço de 2 pães ou o preço de 1 pão multiplicado por 15 b P 450 O caixa faria este cálculo para obter o preço de 25 pães c 4 pães 018 018 1 036 018 2 054 018 3 072 018 4 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 178 1 PROMOÇÃO Pão Francês R 015 Desenvolvendo competências 1 Agora é sua vez Utilize as idéias que desenvolvemos para auxiliar um cliente que deseja comprar 20 pães e tem R 320 Será que o dinheiro é suficiente Se não for quantos pães ele poderia comprar Se o dinheiro dele não for suficiente e você fosse aquele amigo certo na hora certa quanto teria que emprestar a ele para que pudesse comprar os 20 pães Coisas do comércio A cem metros de nossa padaria foi inaugurada uma outra e os moradores das redondezas agora têm duas opções para comprar seu pãozinho matinal Para manter sua clientela o proprietário da padaria Belo Pão tratou de baixar seus custos diminuindo o desperdício e conseguindo desconto na compra das matériasprimas Reduziu também sua margem de lucro e mandou fazer um belo cartaz 2 Será necessário obtermos um novo modelo matemático para essa nova situação Compare as duas situações e verifique o que mudou com a redução de preço Escolha o modelo correto dentre as alternativas propostas a n015 Pn b Pn015n c Pn015n d n015Pn 3 Se você conhecer a lei matemática que modela a nova situação poderá utilizála para descobrir por exemplo quanto custariam 17 pães no novo preço Calcule também quantos pães poderiam ser comprados com R195 4 Aquele cliente que tem R320 e quer comprar 20 pães agora conseguiria comprar todos os pães que deseja 5 Vamos fazer agora um uso um pouco mais sofisticado dessas idéias Pense na seguinte situação Uma senhora que costumava comprar uma certa quantidade de pães todos os dias pode após a redução do preço comprar um pão a mais gastando a mesma quantia Como fazer para descobrir quantos pães ela costumava comprar Vamos resolver essa situação juntos Escreva a expressão que corresponde ao valor pago por n pães no preço antigo O valor pago por n1 pães no preço novo é P n1 015 n1 Como o preço é o mesmo as duas expressões são iguais Assim podemos escrever 018 n 015 n1 Para resolver essa equação é preciso tirar os parênteses do segundo membro 018 n 015n 015 Resolva a equação e assinale o valor de n a 3 b 5 c 7 d 9 6 A resposta obtida no problema anterior corresponde ao número de pães que a senhora comprava antes ou depois da redução do preço Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 179 Matemática ao sair de casa Onde fica a Rua dos Bandeirantes É muito comum nas grandes cidades precisarmos de auxílio para descobrir a localização de uma rua Felizmente os catálogos telefônicos dessas cidades dispõem de mapas que nos ajudam a resolver esse problema Os catálogos têm um índice em que os nomes das ruas aparecem em ordem alfabética como este da Figura 1 da cidade de Campinas no Estado de São Paulo No início do catálogo foi colocado o exemplo abaixo para mostrar o que significam esses códigos Procure no índice a Praça da Bandeira Verifique em que mapa ela se encontra Procure também a Rua dos Bandeirantes Figura 1 Quase todos os problemas apresentados até agora poderiam ser resolvidos sem formalização Na verdade eles serviram apenas como ponto de partida para apresentarmos de forma simples o conceito de modelo matemático Ao longo do capítulo você verá como essa idéia é importante Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 180 A Figura 2 reproduz o mapa 14 do catálogo de Campinas A indicação C3 para achar a Rua dos Bandeirantes pode ser usada da seguinte maneira Aponte o dedo indicador para a letra C na borda direita do mapa Percorra com o dedo na horizontal até a altura do número 3 na linha de números na parte inferior do mapa A rua dos Bandeirantes deve estar por perto Confira Volte ao índice e procure os dados da Rua Barata Ribeiro Procurea no mapa Você concorda que é um processo eficiente para se localizar ruas em mapas Vamos concentrar nossa atenção agora na região C3 do mapa 14 Além da Rua dos Bandeirantes indique mais três ruas que se encontram nessa região Figura 2 Lista Telefônica Listel Campinas 20012002 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 181 O sistema de identificar regiões que estamos usando é útil quando queremos encontrar uma rua ou uma praça num mapa pois conduz nosso olhar para uma pequena região do mapa e nessa região encontramos o local procurado Às vezes porém precisamos de um critério mais preciso em que cada ponto tenha um endereço próprio Usando a mesma idéia de localização vamos construir uma nova maneira de identificar pontos Observe o mapa abaixo As linhas de números e de letras usadas pelo catálogo telefônico foram trocadas por duas linhas numeradas que chamamos de eixos x e y Para identificar um ponto utilizaremos o mesmo processo de cruzar duas direções agora com linhas Encontre o ponto A no mapa De onde partem as linhas tracejadas que se cruzam em A Os valores de x e y de onde partem essas linhas definem o ponto A Por convenção escrevemos sempre primeiro o valor de x Assim o ponto A será representado pelo par de números 3 4 Esse par de números é conhecido como coordenadas cartesianas do ponto A Figura 3 Adaptado de Lista Telefônica Listel Campinas 20012002 Rua S Domingos Sávio Liceu Salesiano N Sra Auxiliadora Praça Pres Kennedy Praça Antonio B Miranda Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 182 O método de representar pontos por coordenadas cartesianas consiste em dividir o plano em dois eixos chamados eixos coordenados e identificar os pontos do plano por dois números que indicam respectivamente as distâncias desses pontos aos eixos coordenados veja a figura 4 Figura 4 APRENDENDO COM A HISTÓRIA A idéia de identificar os pontos do plano através de suas distâncias em relação a retas de referência aparece pela primeira vez na obra de Apolônio de Perga por volta de 300 a 200 aC com o estudo das secções cônicas Seu uso porém só se intensifica e se sistematiza cerca de 1800 anos depois com as idéias do filósofo e matemático francês René Descartes 1596 1650 A filosofia de Descartes exposta em sua obraprima O Discurso do Método 1637 define uma clara e precisa lógica da idéia baseada na dedução que parte do simples para o complexo e teve influência fundamental na formação do pensamento científico moderno Embora Descartes não tenha proposto explicitamente o sistema de coordenadas retangulares este é considerado fruto da sistematização de suas idéias pelos matemáticos que o sucederam Por isso o nome gráfico cartesiano dado aos gráficos construídos dessa forma homenageia esse grande filósofo e matemático 2 Desenvolvendo competências 1 Agora é com você Observe que pelo processo do catálogo os pontos A e B eram ambos designados por C3 Descubra as coordenadas de B segundo o sistema de eixos da figura 3 2 Nesse novo método de representação é possível que dois pontos diferentes tenham as mesmas coordenadas 3 Passeie um pouco mais pelo mapa Você vai precisar de uma régua Verifique se o ponto 6 8 está numa área de edifícios ou numa área verde cor cinza no mapa 4 Qual desses pontos está na Rua dos Bandeirantes a 2 3 b 3 2 c 1 3 d 3 1 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 183 A Vamos partir de Brasília em linha reta para Teresina Siga pelo mapa O caminho passa pelos pontos A B e C As coordenadas desses pontos estão na Tabela 2 Complete a Tabela Figura 5 Tabela 2 Cidade Coordenada x Coordenada y Brasília 0 0 Ponto A 1 Ponto B 4 Ponto C 3 Teresina 4 8 Resolvendo problemas Afinal existe alguma relação entre o problema da padaria e o problema do mapa Vamos viajar um pouco pelo Brasil enquanto pensamos nisso Observe o mapa abaixo Viajando com as coordenadas A Completando a tabela A12 B 24 C 36 A B C Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 184 3 Desenvolvendo competências 1 Procure uma relação entre os valores de x e y de cada ponto assinalado na linha BrasíliaTeresina Qual das alternativas abaixo responde a essa pergunta a Em todos os pontos assinalados o valor de x é o dobro do valor de y b Em todos os pontos assinalados o valor de y é a metade do valor de x c Em todos os pontos assinalados o valor de y é o dobro do valor de x d Em todos os pontos assinalados o valor de y é igual ao valor de x Da mesma forma que no problema da padaria podemos obter uma lei matemática que relaciona os valores de y e x dos pontos dessa reta 2 Viaje você agora Será necessário usar uma régua e um esquadro Siga a direção da reta y 05 x Você deverá chegar ao mar em um ponto a entre Salvador e Aracaju b entre Aracaju e Maceió c entre Maceió e Recife d entre Recife e João Pessoa Para obter um ponto de uma reta escolha um valor qualquer para x e calcule o valor de y desse ponto através da lei matemática Exemplo Se x 4 y 05 4 2 Logo o ponto 2 4 está nessa reta Os sistemas de coordenadas cartesianas só podem ser usados para mapas com distâncias relativamente pequenas pois eles consideram uma superfície plana A superfície da Terra como sabemos é esférica Por isso em grandes distâncias usamse as coordenadas geográficas latitude e longitude em que as coordenadas não são distâncias em relação a eixos mas ângulos medidos a partir do centro da Terra A expressão é y 2x Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 185 Tabela gráfico ou lei matemática N P R 1 018 2 036 3 054 4 072 5 090 Figura 6 Tabela 3 NA PADARIA P 018N Se você observou bem deve ter notado que as tabelas os gráficos e as leis matemáticas são maneiras equivalentes de representarmos matematicamente um mesmo fato ou situação Em alguns casos pode ser mais conveniente usarmos uma tabela em outros um gráfico ou mesmo a lei matemática porém é sempre possível do ponto de vista matemático substituir um pelo outro Às vezes eles são tão equivalentes que a escolha entre usar o gráfico a tabela ou a lei matemática é definida apenas por nossa preferência pessoal Vamos procurar mais semelhanças Observe as Figuras 6 e 7 Note que tanto no caso da padaria quanto no mapa os gráficos são formados por pontos alinhados segundo uma reta que passa por 0 0 No caso dos pães o gráfico é representado apenas por pontos correspondentes a números inteiros porque referese à compra de pães inteiros e desse modo não unimos os pontos como fizemos no caso do mapa Quando se trata de medidas não usamos apenas números inteiros podemos usar qualquer número real e desse modo podemos unir os pontos do gráfico que nesse caso formam uma reta Figura 7 y2x x y 1 2 2 4 3 6 4 8 Tabela 4 NO MAPA Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 186 Em busca das leis matemáticas Dá para desprezar dois centavos O preço da energia consumida por uma lâmpada comum de 100 Watts de potência é aproximadamente R 002 dois centavos por hora Vamos usar essa informação para refletir sobre o significado de pequenos gestos que podemos fazer no diaadia Essa informação pode ser traduzida para a linguagem simbólica como fizemos no caso da padaria Faça isso chamando de P o preço da energia e de t o tempo em horas que a lâmpada permanecer acesa De posse do modelo matemático Pt 002t Foi esse mesmo que você encontrou você pode calcular o custo da energia consumida por uma lâmpada acesa por 5 horas Se a lâmpada ficar acesa 5 horas por dia qual seu custo mensal Admita que um mês tem 30 dias Resolvendo problemas 1 Repita agora o mesmo problema imaginando que a lâmpada ficará acesa apenas 4 horas por dia Qual será o novo custo E a economia será de quanto É razoável imaginarmos que uma casa tenha dez lâmpadas desse tipo e que existam 40 milhões de casas no Brasil Faça as contas Esse pequeno gesto de economia representa quanto em reais Este resultado é uma constatação de que a participação de cada um por menor que seja pode fazer diferença E as leis matemáticas Que semelhanças apresentam Observe o padrão Na padaria para relacionar o número de pães ao preço multiplicamos o número de pães por um valor fixo No mapa para obtermos a coordenada y de um ponto multiplicamos a coordenada x por um valor fixo Podemos dizer então que nos dois casos duas grandezas se relacionam por expressões do tipo y k x sendo k um valor fixo e x e y variáveis Resumindo Fatos ou situações muito diferentes podem ser representados por ferramentas matemáticas muito parecidas Vamos tirar proveito dessa possibilidade Resolvendo problemas Pense e responda 1 Se quisermos pesquisar valores numéricos para utilizar em outros cálculos o que é melhor o gráfico ou a tabela 2 Se quisermos observar se um determinado fenômeno aumentou ou diminuiu de valor ao longo do tempo o que permite que se veja melhor esse comportamento o gráfico ou a tabela 3 O caixa da padaria provavelmente vai preferir o gráfico ou a tabela E o redator de um jornal se quiser noticiar as variações da Bolsa de Valores Desenvolvendo a capacidade de buscar essa lei matemática que está escondida nos gráficos fatos ou tabelas você será capaz de enxergar além do que as tabelas ou gráficos mostram e terá maior capacidade de fazer afirmações argumentar e tirar conclusões que vão além da simples leitura dos dados Este é o grande objetivo desse capítulo Tabela gráfico ou lei matemática 1 Para retirar um dado numérico é melhor usar uma tabela 2 Para observar o fenômeno é melhor o gráfico 3 Resposta pessoal Em busca das leis matemáticas 1 A economia de uma hora representa R 24000000000 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 187 Resolvendo passo a passo Para descobrir a lei matemática que descreve esse fato procure responder às seguintes perguntas Quanto custaria usar um carro por 1 quilômetro E por 2 quilômetros E por 3 quilômetros Que cálculos você fez para obter essas respostas Pense em cada um dos procedimentos que você fez e tente criar uma regra para calcular o valor do aluguel para n quilômetros Essa resposta deverá leválo à lei matemática Pn 30 12 n sendo P o preço da locação em reais e n o número de quilômetros rodados Dispondo dessa lei você poderá responder às questões seguintes Mãos à obra a Um cliente que tenha rodado 135 km numa locação deverá pagar quanto de aluguel b Quantos quilômetros um cliente pode rodar no máximo se ele dispõe de R 12000 para pagar o aluguel Dê sua opinião O que seria melhor Afixar na locadora uma tabela com o valor a ser pago de acordo com os quilômetros rodados ou um gráfico que contivesse as mesmas informações da tabela 4 Desenvolvendo competências Leia este problema Uma locadora de automóveis adota o seguinte critério para calcular o valor a ser cobrado pelo aluguel de seus carros Uma taxa fixa de R 3000 independente de quantos quilômetros foram rodados Uma taxa variável de R 120 por quilômetro rodado Quanto tempo esperar Uma caixa dágua com volume de 12000 litros cheia deverá ser esvaziada por uma tubulação que permite uma vazão constante de 50 litros por minuto Desejamos saber o volume que ainda resta na caixa após alguns minutos do início da operação Alguns raciocínios simples permitirão que você responda às seguintes questões Tente a Quantos litros de água restam na caixa um minuto após o início da operação E dois minutos E três minutos Resolva também estes casos b Qual a quantidade de água escoada em 10 minutos Quantos litros restam na caixa após 10 minutos c Qual a quantidade de água escoada em 15 minutos Quantos litros restam na caixa após 15 minutos d Pense nos cálculos que foram feitos para responder a essas duas questões A partir deles é possível obter uma regra geral para o número de litros que restam na caixa após n minutos Essa é a lei matemática que descreve esse problema Escrevaa Este valor inicial de R 3000 é novidade O que vai mudar na lei matemática Locadora de Automóveis a R 19200 b 75 km Caixa dágua a 11950l 11900l 11850l b 500l 11500l c 750l 11250l d Vt1200050t Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 188 Com a lei matemática você poderá responder a outras questões que não seriam tão facilmente respondidas com os procedimentos usados no início do problema Use a lei obtida para respondêlas e Cinco horas após o início do esvaziamento a caixa já estará vazia Esse resultado lhe causou alguma surpresa Como interpretálo f Quanto tempo passará até que o volume de água na caixa seja 5000 litros g Por fim você já percebeu qual a expressão que deverá ser resolvida para sabermos qual o tempo mínimo necessário para o escoamento de toda a água Usea para assinalar a alternativa correta a 2 horas b 4 horas c 6 horas d 8 horas O modelo é por sua conta Nos próximos problemas o modelo matemático será por sua conta Vamos começar por um tema que pode lhe interessar Analisando propostas de emprego Um candidato a um emprego de vendedor de assinaturas de um certo jornal ao ser admitido recebeu duas propostas de cálculo para seu salário mensal Proposta 1 Um salário fixo de R 18000 mais uma comissão de R 200 por assinatura vendida Proposta 2 Um salário fixo de R 40000 mais uma comissão de R 090 por assinatura vendida Observe bem as duas propostas Alguém que venda poucas assinaturas por mês deve optar por qual proposta Mas será que existe um número de assinaturas vendidas que define qual proposta é melhor Quem souber calcular esse número certamente fará uma escolha mais segura Vamos procurar conhecer cada uma das propostas por suas leis matemáticas Se você chamar o salário de S e o número de assinaturas vendidas de n poderá obter as leis matemáticas que descrevem essas propostas Observe que o salário depende do número de assinaturas e por isso a lei deve ser expressa por Sn Resolvendo problemas a Compare as leis que você encontrou com as alternativas abaixo Só uma alternativa é correta e as leis descrevem as propostas 1 e 2 nessa ordem a Sn 180 09n e Sn 400 2n b Sn 180 2n e Sn 400 090n c Sn 400 9n e Sn 180 2n d Sn 180 2n e Sn 400 2n b Coloquese no lugar do candidato Se você achar que consegue vender 120 assinaturas por mês qual proposta deverá aceitar Nesse caso quanto ganhará a mais por ter tomado a decisão correta c Afinal a partir de quantas assinaturas vendidas é melhor a proposta 1 Você precisará descobrir o valor de n que resolve a equação Descobrir n nesta expressão é o mesmo que responder à pergunta Qual o valor de n para o qual o salário na proposta 1 é igual ao salário na proposta 2 Pense nisso 180 2n 400 090n e Após 5 horas o volume será negativo Significa que já está vazia f V 5000 para t 140 minutos g Tempo de esvaziamento 4 horas Resposta b Proposta de emprego a Sn 180 2n e Sn 400 090 n b A proposta 02 R 8800 a mais c n 200 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 189 Faça as contas Conhecendo o valor de n obtido no item c decida d Se você pretende vender 250 assinaturas por mês deve escolher a proposta 1 ou 2 Quanto ganhará por mês Este problema também poderia ser resolvido graficamente Observe o gráfico abaixo que corresponde à sua solução e responda e Qual o significado do cruzamento das duas retas no gráfico f Esse número coincide com o valor que você obteve analiticamente g Qual o salário de quem vender 200 assinaturas por mês Figura 8 Otimizar Questão de sobrevivência A próxima atividade será desenvolvida a partir desta leitura A necessidade de reduzir custos e otimizar cada detalhe da cadeia produtiva fez com que surgisse na indústria automobilística japonesa o conceito de Produção Enxuta que conferiu grande competitividade à produção industrial do Japão e levou a indústria ocidental a rever seus princípios para fazer frente aos poderosos concorrentes O conceito ocidental de Produção em Massa define um limite de aceitação em termos de número de defeitos tamanhos definidos de estoques de matérias primas quantidade limitada de produtos padronizados A Produção Enxuta defende a perfeição custos continuamente decrescentes elevação da qualidade de modo a que os estoques e o número de defeitos tendam a zero tudo isso associado à maior variedade possível de produtos No mundo globalizado e competitivo em que vivemos otimizar é uma questão de sobrevivência h Procure explicar por que a reta que representa a proposta 1 é mais inclinada que a que representa a proposta 2 d Proposta 1 R 68000 e O número de assinatura em que as duas propostas correspondem ao mesmo salário f Observe no gráfico que n200 como na solução do item c g R 58000 h A inclinação está associada ao valor da comissão por assinatura vendida Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 190 Figura 9 a 350 ton em Janeiro b Diminui 25 tonmês c lei Rt 350 25t d Em julho t6 e Em Dezembro t11 Rt75 ton O custo do desperdício vai além do custo da matériaprima não utilizada pois os resíduos gerados trazem custos adicionais de remoção ou armazenamento além da degradação do meio ambiente Resolvendo problemas Vamos pensar nesse problema de maneira quantitativa Observe o gráfico Ele descreve o programa de redução de desperdício de uma empresa ao longo deste ano Você pode tirar duas informações importantes da leitura do gráfico a Quantas toneladas de resíduos a empresa produziu em janeiro b A quantidade dos resíduos diminui de quantas toneladas por mês De posse da lei você disporá de elementos convincentes para argumentar sobre questões do tipo d Em que mês a quantidade de resíduos será 200 toneladas lembrese que em janeiro t0 em fevereiro t1 e assim sucessivamente e Se a meta da empresa for chegar a dezembro com menos de 100 toneladas de resíduos essa meta deverá ser atingida Faça suas contas e defenda suas idéias com segurança Ampliando os horizontes A partir de agora serão propostas algumas situações em que você deverá utilizar as idéias aqui desenvolvidas para ir mais longe Utilizeas para prever argumentar analisar e criticar com base em argumentos consistentes Transporteas também para os seus problemas do diaadia e utilizeas para a sua interpretação do mundo Afinal a Matemática é uma conquista da humanidade que está colocada ao seu dispor Procure essas respostas c Com esses dados você pode obter com facilidade a lei matemática que modela esse fato Escreva essa lei Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 191 5 Desenvolvendo competências Argumentando com segurança Leia estas duas notícias que apareceram na mesma edição do jornal da cidade de Sapiência mas que poderiam muito bem estar no jornal da sua cidade Figura 10 EVOLUÇÃO DA POPULAÇÃO DE SAPIÊNCIA Foi divulgado o resultado de uma pesquisa iniciada em 1996 mostrando a evolução da população da cidade Sapiência nos últimos anos Os indicadores econômicos da cidade fazem crer que esse crescimento se manterá nas mesmas condições nos próximos anos NOVA ESTAÇÃO DE TRATAMENTO DE ESGOTOS DE SAPIÊNCIA Nossa cidade conta com uma nova estação de tratamento de esgotos que tem capacidade para atender a uma população de 20 mil habitantes e deverá resolver o problema de tratamento de esgotos da cidade até o ano de 2015 Vamos fazer uma leitura atenta dessas notícias a Olhando o gráfico verifique qual era a população da cidade quando o estudo começou O gráfico também nos traz a informação de que três anos depois a população passou a 13925 habitantes Qual foi o aumento da população nesses 3 anos b Calcule também o aumento da população em um ano admitindo que seja igual nos três anos c Com esses dados você pode obter o modelo matemático desse crescimento Faça isso d No jornal foi dito que o estudo foi iniciado em 1996 assim x0 corresponde a 1996 Qual o valor de x para 2015 e Qual deverá ser a população de Sapiência em 2015 f Após analisar os dados obtidos com seus cálculos escreva uma pequena carta para o redator do Jornal de Sapiência com um comentário sobre a credibilidade da notícia sobre a estação de tratamento de esgotos Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 192 Há sempre algo a ser feito No ambiente de consumismo desmedido em que vivemos muitas vezes nos servimos dos confortos que a tecnologia nos oferece sem que notemos conseqüências importantes de pequenas atitudes que podemos assumir Movidos pela propaganda e pelo comodismo não nos damos conta por exemplo de que entre a decisão de descascar e chupar uma laranja ou abrir uma embalagem de suco industrializado existe uma diferença fundamental enquanto o bagaço da laranja em pouco tempo estará reincorporado à natureza a embalagem do suco poderá permanecer por séculos poluindo algum ponto da Terra Este problema pode ser muito diminuído com a reciclagem mas nem ela é suficiente para nos livrar da companhia de imensos aterros sanitários que ocupam espaços cada vez mais preciosos custam caro e são fontes de poluição Da necessidade da conscientização para o consumo responsável surgiu um novo termo PRECICLAR que consiste em fazer a reciclagem antes da compra escolhendo materiais e produtos que causem o menor impacto ambiental possível É comum recebermos uma grande quantidade de informações qualitativas a respeito desse tema mas normalmente os dados quantitativos ficam restritos às discussões mais especializadas Vamos pensar um pouco nas 85 bilhões de latas de alumínio que o Brasil fabricou em 1998 das quais 55 bilhões por reciclagem As latas recicladas representaram 65 das latas produzidas naquele ano e corresponderam a 82300 toneladas de sucata Para se ter uma idéia desse volume basta lembrar que se fossem para um aterro sanitário seriam necessárias 16000 viagens de caminhões de lixo O grande ganho na verdade com a reciclagem do alumínio está na economia de energia pois para se obter 1 kg de alumínio por reciclagem gastase apenas 5 da energia necessária para produzir esse mesmo 1kg de alumínio a partir do minério O gráfico e a lei matemática abaixo relacionam em valores aproximados a quantidade de energia necessária para produzir as 85 bilhões de latinhas e o percentual de reciclagem Para entender melhor o gráfico verifique qual o consumo de energia se a porcentagem de alumínio reciclado for 0 nada reciclado ou 100 tudo reciclado Com a lei matemática fornecida descubra quantos MWh foram gastos para produzir as latinhas sabendo que 65 delas são recicladas Figura 11 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 193 Resolvendo problemas aA lei matemática nos permite ir mais longe Faça o mesmo cálculo imaginando que a porcentagem reciclada seja de 66 em vez de 65 bSubtraia um valor do outro Você descobrirá quantos MWh de energia são consumidos a menos se o percentual de reciclagem aumentar de 1 cPara saber o que esse número representa considere que uma família pode viver com conforto consumindo 03 MWh por mês Verifique quanto tempo essa família levaria para consumir a quantidade de energia economizada por esse aumento de 1 na reciclagem Esse número lhe causou surpresa Não se esqueça que ele corresponde a apenas uma diferença de Há sempre algo a ser feito a Para 65 841500 MWh Para 66 820600MWh b Diferença 20900 MWh c Suficiente para aproximadamente 5805 anos 1 no total de alumínio reciclado Se pensarmos nos 35 do alumínio que são desperdiçados chegaremos à conclusão de que muito pode ser feito Se você acha esses números convincentes lembre se de que um estudo semelhante também pode ser aplicado ao papel ao plástico ao aço ao vidro e a muitos outros materiais que se incorporaram ao nosso cotidiano Muitas vezes não nos damos conta das conseqüências de seu uso indiscriminado Pense nisso Enumere providências que possa tomar no seu diaadia e em sua comunidade que o tornem um consumidor consciente e responsável Se a Matemática o ajudou nessa compreensão nosso objetivo foi atingido Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 194 1 O dinheiro não é suficiente Ele poderia comprar 17 pães Faltariam R 040 2 Pn 015n Resposta b 3 17 pães custariam R255 Com R195 poderiam ser comprados 13 pães 4 20 pães custam R300 portanto ele poderia comprálos 5 n5 Resposta b 6 Corresponde ao número de pães que ela comprava antes do aumento Logo ela comprava 5 pães e passou a comprar 6 pães Conferindo seu conhecimento 1 2 3 4 5 1 B 42 2 Não Dois pontos diferentes não têm coordenadas iguais 3 Área verde cor cinza no mapa 4 O ponto 3 2 Resposta b 1 Resposta c y é o dobro de x 2 Resposta d Entre Recife e João Pessoa Locadora a R19200 b 75km a População no início do estudo 12050 habitantes Aumento em 3 anos 1875 habitantes b Aumento anual 625 hab c Lei matemática Px 12050 625x d Em 2015 x 19 e População em 2015 23925 hab f Notícia falsa sobre a estação de tratamento de esgotos Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 195 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar e interpretar representações analíticas de processos naturais ou da produção tecnológica e de figuras geométricas como pontos retas e circunferências Interpretar ou aplicar modelos analíticos envolvendo equações algébricas inequações ou sistemas lineares objetivando a compreensão de fenômenos naturais ou processos de produção tecnológica Modelar e resolver problemas utilizando equações e inequações com uma ou mais variáveis Utilizar modelagem analítica como recurso importante na elaboração de argumentação consistente Avaliar com auxílio de ferramentas analíticas a adequação de propostas de intervenção na realidade Jayme Leme GRÁFICOS E TABELAS DO DIAADIA Capítulo VIII INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE NATUREZA CIENTÍFICA E SOCIAL OBTIDAS DA LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS REALIZANDO PREVISÃO DE TENDÊNCIA EXTRAPOLAÇÃO INTERPOLAÇÃO E INTERPRETAÇÃO Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 198 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia Conhecendo os gráficos e tabelas Talvez você já tenha visto em algum filme ou desenho animado que as paredes das pirâmides do Egito eram recobertas por desenhos e gravuras Esses símbolos eram a escrita que os egípcios utilizavam Em tempos mais remotos os seres humanos primitivos faziam gravuras nas paredes das cavernas chamadas de pinturas rupestres Repare que desde a préhistória o homem utiliza artifícios para a comunicação Esta pode ser expressa por símbolos desenhos gravuras ou palavras Hoje existem dezenas de meios e formas de comunicação sendo a fala e a escrita as mais utilizadas Os gráficos e tabelas são um desses meios se destacando das demais formas de comunicação pela possibilidade de transmitir um grande volume de informações de modo sintético e de fácil interpretação Normalmente os gráficos e tabelas apresentam o cruzamento entre dois dados relacionados entre si Podemos dar como exemplos o peso de uma criança que depende da idade o faturamento de uma firma que depende do mês o índice de analfabetismo que depende da região o índice de chuva que depende da época do ano etc Podemos utilizar as tabelas para os mais diversos fins Empresas de grande porte utilizamnas para apresentar seus balanços mensais já um balconista pode usar uma tabela para agilizar seu diaadia Apresentação Caro leitor você já reparou que gráficos e tabelas fazem parte do nosso cotidiano Eles podem ser encontrados num supermercado numa sorveteria na televisão em revistas ou em jornais com o objetivo de passar alguma informação Ler interpretar ou usar gráficos e tabelas não é privilégio de pessoas que freqüentaram escolas pois vemos em nossas comunidades pessoas que não tiveram uma formação escolar mas conseguem facilmente descobrir o preço de uma carne numa tabela de um açougue ou de um sanduíche no cardápio da lanchonete Se observarmos com atenção podemos perceber que existe uma certa linguagem característica dos gráficos e tabelas Conhecer essa linguagem é de fundamental importância para que possa haver uma boa comunicação entre os diversos segmentos de uma sociedade Convido os leitores a vivenciarem algumas situações apresentadas neste capítulo para podermos juntos discutir a leitura dos gráficos e tabelas Além disso discutiremos também como essas informações podem nos ajudar a enfrentar os problemas que encontramos no nosso diaadia Sugiro fazer a leitura do capítulo acompanhado de lápis e papel pois eventualmente irei propor que se façam algumas anotações ou que se resolva algum problema Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 199 199 A utilidade das tabelas é tão variada que saber construir ler e interpretálas é de grande importância para nos auxiliar a enfrentar os problemas diários Vamos ver como se fazem essas construções 1 Desenvolvendo competências Construindo tabelas Uma tabela como esta ao lado é muito comum Ela permite que se obtenha rapidamente quanto uma pessoa deve pagar de acordo com a quantidade de cópias que tira em um estabelecimento que possua copiadora Observe que alguns valores estão apagados Calculeos Uma grande vantagem do uso de tabelas é a possibilidade de trabalhar com várias informações simultâneas por exemplo poderíamos aproveitar a mesma tabela para acrescentar novas informações como o preço da plastificação de documentos 2 Desenvolvendo competências Calcule os valores dos espaços em branco da tabela ao lado Observe que tabelas semelhantes a essas podem ser encontradas em vários locais como mercados padarias mercearias etc Depois que uma tabela estiver construída qualquer pessoa que souber compreendêla terá condições de retirar as informações desejadas Vamos ver como se faz isso Tabela 1 Nº de cópias 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor R 008 016 024 040 056 080 Tabela 2 Quantidade 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cópias 008 016 024 032 040 048 056 064 072 080 Plastificação 120 240 360 600 720 1200 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 200 O Brasil é o único país do mundo a ter o título de Pentacampeão ou seja já ganhou cinco vezes a Copa do Mundo Escreva num papel os outros quatro anos em que o Brasil foi campeão Você pode ter conseguido achar os anos em que o Brasil foi campeão por diversas maneiras talvez você já soubesse essas datas ou teve que procurálas na tabela ano a ano localizando os anos de 58 62 70 e 94 Um outro modo que talvez você tenha utilizado para agilizar a busca foi o de localizar na fileira Colocação do Brasil as que indicavam 1º lugar encontrando os anos citados Ano Colocação do Brasil 54 5º 58 1º 62 1º 66 11º 70 1º 74 4º 78 3º 82 5º 86 5º 90 9º 94 1º 98 2º 2002 1º Tabela 3 Leitura de tabelas Como dissemos anteriormente as tabelas também chamadas de quadros apresentam os dados e cabe a nós fazermos sua leitura para entendermos o que estão informando Vamos começar por um assunto de que todo brasileiro gosta e até quem não gosta nessa hora passa a gostar Estamos falando sobre Copa do Mundo Você sabe que em 2002 o Brasil inteiro parou para gritar PENTACAMPEÃO Verifique pela tabela a seguir a colocação do Brasil em 2002 Iremos chamar os procedimentos utilizados para encontrar dados numa tabela de leitura de tabela Vamos localizar outro dado nessa tabela Procure o ano em que o Brasil teve sua pior colocação Acredito que você deva ter encontrado o ano de 1966 Vamos acrescentar agora mais dados nessa tabela para podermos fazer outras leituras Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 201 201 Durante o capítulo proporemos algumas perguntas para que você possa verificar se está compreendendo o texto ou não Após as perguntas será apresentada uma forma de resolução para você comparála com o que fez Lembrese de que os dados são coletados a partir do cruzamento de duas informações Então vamos à pergunta Em que país ocorreu a copa de 1990 As duas informações que temos de tomar como ponto de partida são o ano de 90 e o local de realização da Copa Faça o cruzamento dessas duas informações e descubra a resposta Você deve ter localizado a Itália Vamos localizar outros dados a partir de outras informações Veja Quantas seleções participaram das eliminatórias na Copa realizada no Chile A resposta é 51 Quais informações se cruzam para fornecer essa resposta Neste caso teríamos de cruzar as informações relacionadas ao Chile e participantes das eliminatórias Às vezes necessitamos comparar os dados para determinar qual é a informação solicitada Veja Em que ano houve mais seleções nas eliminatórias Ao localizar o maior número de participantes encontramos o ano de 94 Em algumas partes deste capítulo serão apresentadas questões com o título PESQUISE para você fazer sozinho aplicando o que leu As respostas a essas questões estarão à sua disposição nas últimas páginas Sugiro que você faça as atividades no momento em que forem propostas pois assim você testa seu conhecimento Ano 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94 98 2002 5º 1º 1º 11º 1º 4º 3º 5º 5º 9º 1º 2º 1º Tabela 4 Colocação do Brasil Local onde se realizou a Copa Participantes das eliminatórias País Campeão Suíça Suécia Chile Inglaterra México Alemanha Argentina Espanha México Itália Estados Unidos França JapãoCoréia 36 48 51 53 70 92 98 105 113 105 126 99 106 Alemanha Brasil Brasil Inglaterra Brasil Alemanha Argentina Itália Argentina Alemanha Brasil França Brasil Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 202 Usando as tabelas Agora que nós já vimos como construir e ler as tabelas vamos utilizar esse conhecimento para nos ajudar a resolver os seguintes problemas Utilize a Tabela 2 para resolvêlos Suponha que você deseje obter uma cópia plastificada da sua carteira de identidade e da sua habilitação de motorista Sabendo que uma papelaria cobra 2 cópias para tirar frente e verso de um único documento quanto você irá gastar Veja que para resolvermos esse problema necessitamos interpretálo e também ler as informações contidas na tabela Como o problema pede para tirar cópia de dois documentos e informa que para cada um temos que pagar duas cópias pagaremos então quatro cópias Além disso necessitamos plastificar esses dois novos documentos Veja na tabela quanto você pagaria por quatro cópias e duas plastificações Você deve ter encontrado R 032 e R 240 logo teria gasto um total de R 272 Suponha que você tenha perdido seu cachorro de estimação e gostaria de colocar cartazes com a foto dele e um telefone de contato Você se dispôs a gastar R 1000 para tirar cópia desses cartazes Quantas cópias você poderá tirar Existem várias maneiras de resolver o problema Uma das maneiras que talvez você tenha pensado é 3 Desenvolvendo competências PESQUISE 1 Quantas seleções participaram das eliminatórias em 1998 Qual foi a campeã 2 Onde foi realizada a Copa de 86 Em qual colocação o Brasil ficou 3 Qual foi o país campeão da Copa da Espanha Em que ano isso aconteceu 4 Em que ano foi realizada a Copa que teve menor número de participantes nas eliminatórias A tabela apresenta valores somente até 10 cópias que sairiam R 080 100 cópias custariam R 800 Restam então R 200 Se 10 cópias custam R 080 20 cópias custariam R 160 Restam então R 040 Com este valor pela tabela podemos ainda tirar mais 5 cópias Logo poderíamos tirar 100 20 5 o que dá um total de 125 cópias Leitura de gráficos Assim como as tabelas os gráficos também apresentam grandes quantidades de informações e necessitamos fazer uma leitura para obtêlas Vejamos a seguinte situação No ano de 2001 o Brasil passou por uma crise energética levando muitos estados a fazer racionamento de energia Nesses estados algumas empresas e edifícios fizeram gráficos para informar o consumo de energia e também solicitar às pessoas que os freqüentavam que fizessem economia Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 203 203 Resolvendo o problema Vamos considerar o exemplo do consumo de energia de um prédio nos últimos doze meses apresentado no Gráfico 1 Observe que este gráfico apresenta numa linha horizontal os meses do ano e numa linha vertical o consumo mensal Esse consumo é expresso em kWh Lêse quilovate hora que corresponde ao consumo de 1000 Watts em uma hora Veja que o gráfico apresenta alguns pontos que estão destacados Você notou que cada um dos pontos assinalados no gráfico corresponde ao cruzamento de duas informações Ao observar isso você pode olhar para o primeiro ponto da esquerda para direita e responder às seguintes questões Qual o mês que corresponde a esse ponto Qual o consumo de energia desse mês Cada ponto corresponde ao cruzamento das informações mês do ano e consumo de energia Gráfico 1 Assim o primeiro ponto corresponde ao cruzamento do mês de abril com o consumo de 11500 kWh Isso quer dizer que durante o mês de abril esse prédio consumiu 11500 kWh Agora é sua vez localize o mês e consumo do segundo ponto do gráfico Veja outras questões que você já pode responder Qual foi o consumo do mês de junho Repare que para fazermos esta leitura temos que localizar o mês solicitado e encontrar o ponto de cruzamento para chegar ao consumo Faça isso e verifique se nesse mês o consumo foi de 12500 kWh Queremos ressaltar que o gráfico apresenta somente doze pontos que relacionam os meses com seus respectivos consumos No entanto os pontos estão ligados entre si apenas para uma melhor visualização da variação do consumo de um mês para outro 4 Desenvolvendo competências PESQUISE 1 Qual foi o maior consumo durante o ano Em que mês isso ocorreu 2 Qual o consumo de maio Encontre outro mês que teve esse mesmo consumo 3 Comparando os meses de junho e dezembro qual deles teve o maior consumo 4 Em quais meses foram consumidos 12000 kWh 5 Qual foi o menor consumo do ano Quando isso ocorreu CONSUMO MENSAL DE ENERGIA Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 204 Fazendo aproximações Nem sempre os valores que desejamos obter estão marcados no gráfico Às vezes temos que fazer estimativas e aproximações para obter a informação desejada A situação a seguir apresenta leituras em que temos que fazer esse tipo de aproximação Vejamos Um trem ao percorrer o trajeto de uma estação a outra anda ora mais rápido ora mais devagar seja pela presença de curvas ou pela má conservação dos trilhos Se estivéssemos dentro dele poderíamos perceber essas mudanças de velocidade pois ficaríamos balançando para frente e para trás Quando o trem dá aquelas aceleradas e todo mundo inclinase para trás é porque a velocidade está aumentando nas freadas quando todo mundo cai para frente é porque a velocidade está diminuindo O Gráfico 2 apresenta as velocidades do trem durante o percurso entre duas estações O tempo que ele levou para percorrer esse trajeto foi de 19 minutos Veja como o gráfico que representa sua velocidade começa no número 0 e termina no 19 O gráfico foi construído em um sistema cartesiano onde foi registrada a velocidade do trem em cada momento durante os 19 minutos de percurso Essa marcação formou uma curva que pode ser observada no gráfico Repare que o tempo está sendo assinalado numa reta horizontal e a velocidade numa reta vertical Essas retas são chamadas de eixos cartesianos Observe agora só o eixo do tempo Veja que não estão assinalados todos os minutos de 0 a 20 Assinale você os que faltam O mesmo ocorre nos valores da velocidade que se encontram no eixo vertical Estes valores estão marcados de dez em dez Assinale no eixo um ponto que corresponda a uma velocidade de 65 kmh Você deve ter assinalado no meio do segmento de reta entre 60 e 70 Do mesmo modo poderíamos utilizar nossa estimativa para marcar um ponto correspondente à velocidade de 31 kmh Onde você marcaria Gráfico 2 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 205 205 Você pode pensar assim como 31 está entre 30 e 40 o ponto a ser marcado deve estar no segmento de reta entre 30 e 40 Como o número 31 está mais próximo do 30 do que do 40 o ponto a ser marcado no segmento deve também estar mais próximo do 30 Gostaríamos de lembrálo que para fazermos a leitura desse gráfico necessitamos cruzar duas informações No gráfico temos as informações do tempo que o trem leva para percorrer o trajeto e também de sua velocidade Resolvendo o problema Veja a curva que representa a velocidade do trem durante o tempo de 19 minutos Essa velocidade foi medida a partir da saída da estação até chegar à outra Vamos ver como foi a viagem Quando o trem saiu da estação começamos a marcar o tempo No momento em que iniciamos o cronômetro era o tempo zero segundo sendo que nesse instante o trem também estava numa velocidade zero pois estava parado Destaque na curva o ponto que indica a velocidade e o tempo zero Após a saída vemos que a curva começa a subir isto é a velocidade do trem começa a aumentar Nos primeiros dois minutos vá acompanhando com um lápis sobre a curva observamos que a velocidade subiu até atingir aproximadamente 66 kmh Entre 2 e 3 minutos o trem diminui um pouco a velocidade Sendo que logo após volta a aumentar a velocidade Ao atingir 5 minutos de viagem a velocidade do trem pára de aumentar e permanece por alguns minutos sem variar muito Continue com esse raciocínio e confira o que acontece com a velocidade do trem até o final da viagem Observando o gráfico responda Qual a velocidade aproximada do trem aos a dez minutos b dois minutos c dezessete minutos Observe que para encontrar a velocidade em que o trem estava aos 10 minutos basta você acompanhar as linhas já existentes da malha quadriculada Para encontrar a velocidade do trem aos 2 minutos a linha já existente na malha ajudao a chegar até a curva mas para ir da curva até o eixo da velocidade você é que terá que traçar essa linha e verificar por aproximação qual seria o valor da velocidade Para encontrar a velocidade em que o trem estava aos 17 minutos você terá que traçar as duas linhas a que vai do 17 até a curva e a que vai da curva até o eixo da velocidade Os valores aproximados das velocidades do trem que você deve ter encontrado são 80kmh 66 kmh e 5 kmh Como são valores aproximados pode existir uma diferença de até 2 kmh em cada item tanto para mais como para menos devido à imprecisão da leitura feita no gráfico 5 Desenvolvendo competências PESQUISE 1 Qual a maior velocidade que o trem atingiu durante o percurso 2 Dos 10 aos 14 minutos qual é a menor velocidade que o trem atingiu 3 Dos 5 aos 9 minutos a velocidade do trem não mudou muito Qual foi essa velocidade 4 Em sua trajetória o trem atingiu duas vezes a velocidade de 80 kmh Em quais momentos isso aconteceu 5 Dos 12 aos 16 minutos qual a velocidade máxima que o trem atingiu 6 Qual a velocidade do trem no tempo 19 minutos 7 O que você pode concluir sobre a velocidade do trem dos 15 aos 16 minutos E dos 17 aos 18 minutos Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 206 Interpretação da linguagem Caro leitor apesar de estranha leia a frase abaixo Oi satuco me tadesco o minuca de quebala luarama Você entendeu alguma coisa Que bom não era para entender mesmo pois a frase acima não significa nada Essa frase foi feita juntandose letras e sílabas conhecidas produzindo uma frase possível de ser lida mas sem possuir sentido É possível então fazer uma leitura sem que exista uma compreensão Do mesmo modo o fato de nós conseguirmos ler os gráficos e as tabelas não significa que estamos compreendendo o que está sendo lido A compreensão e interpretação aparecem durante uma leitura ou após sua conclusão É sobre esta compreensão que começaremos a discutir agora Interpretação de tabelas Vejamos a situação a seguir A taxa de natalidade indica quantas crianças nasceram durante um ano em uma determinada região em relação à população total dessa mesma região Por exemplo podemos ver pela tabela abaixo que a região Nordeste tem uma taxa de natalidade de 24 Isso quer dizer que num grupo de 100 pessoas adultas nascem 24 crianças a cada ano A tabela abaixo apresenta as taxas de natalidade das cinco regiões brasileiras Pesquisas mostram que 1 as regiões brasileiras com maior nível de desenvolvimento econômico possuem menor taxa de natalidade 2 as classes mais pobres e menos instruídas apresentam um alto índice de natalidade Com essas informações observe a tabela e indique a região brasileira que possui maior nível de desenvolvimento econômico Indique qual das regiões apresenta um maior índice de pessoas com baixa renda Veja que para responder ao que foi pedido não basta fazer a leitura da tabela mas também uma interpretação dela A leitura nos auxiliará a determinar os valores dos índices de natalidade em relação às regiões mas será uma reflexão sobre os dados lidos na tabela comparados com as informações que o enunciado apresenta que nos possibilitará determinar a resposta Considerando os dados lidos na tabela e os das pesquisas podemos concluir que a região Sudeste apresenta maior desenvolvimento econômico pois possui o menor índice de natalidade Sendo a região Norte a que apresenta a maior taxa de natalidade concluímos que é a região que possuí o maior índice de pessoas de baixa renda Taxa de Natalidade no Brasil Região Taxa de natalidade Sul 19 Nordeste 24 CentroOeste 21 Norte 29 Sudeste 18 Tabela 5 Fonte Adaptação dos dados do IBGE 2002 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 207 207 Interpretação de gráficos Assim como as tabelas também podemos interpretar gráficos Essa interpretação decorre igualmente da leitura e reflexão sobre os dados lidos Você sabia que em alguns países as estações primavera verão outono e inverno acontecem em meses diferentes dos que acontecem aqui no Brasil Esse fato pode ser observado em filmes ou desenhos animados em que na época do Natal aparecem crianças brincando de construir bonecos de neve No Brasil nessa mesma época do ano estamos nos rios e nas praias desfrutando o verão Vejamos o seguinte problema O gráfico a seguir apresenta as temperaturas médias mensais de um certo país durante o ano Sabese que os três meses mais quentes correspondem ao verão e os três meses mais frios correspondem ao inverno Veja no Gráfico 3 que o eixo horizontal apresenta os meses do ano e o eixo vertical as temperaturas em graus Celsius Considerando as informações e os dados lidos no gráfico determine quando ocorre o verão Observe que para responder à questão não é suficiente fazer apenas a leitura dos dados Necessitamos aliar essa leitura às informações apresentadas pelo enunciado Ao determinarmos pelo gráfico que os meses de junho julho e agosto são os que possuem maior temperatura concluímos que nesses meses ocorre o verão Gráfico 3 6 Desenvolvendo competências PESQUISE 1 Quais são os meses de inverno nesse país 2 Depois do inverno vem a primavera Em que meses ocorre a primavera nesse país 3 No inverno as temperaturas estão abaixo de a 0º b 3º c 6º d 9º TEMPERATURAS MAIS FREQÜENTES Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 208 Criando respostas Normalmente os problemas não são resolvidos apresentandose apenas uma simples resposta Às vezes temos que justificar por que fizemos uma determinada escolha e não outra Em outras situações devemos explicar por que a resposta dada é a mais adequada Essa justificativa também é chamada de argumentação A argumentação deve ser formada por um raciocínio lógico apoiado em dados a fim de concluir alguma coisa No nosso caso os dados coletados serão apresentados por tabelas ou gráficos Leia o texto a seguir e reflita um pouco sobre uma situação gravíssima que futuramente o Brasil poderá enfrentar Se não houver uma conscientização das pessoas do mundo inteiro futuramente passaremos por uma crise de falta de água potável de proporções inimagináveis Para solucionar o problema os governantes deverão tomar medidas como o racionamento Países mais desenvolvidos já estão fazendo um levantamento dos hábitos de consumo de água a fim de tomarem providências antecipadas O Gráfico 4 apresenta os hábitos de consumo de água de alguns lugares Este gráfico chamado de gráfico de barras possui uma legenda à direita que relaciona a informação aliada a uma cor com as barras do gráfico Observe o gráfico e veja que 42 da água consumida na Suíça é gasta pelas bacias sanitárias 37 é gasta pelos banhos das pessoas 18 pelas torneiras das cozinhas e para lavagem de roupas e 5 por outros meios Observe também que os gastos de água dos outros países são semelhantes aos da Suíça Gráfico 4 HÁBITOS DE CONSUMO DE ÀGUA Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 209 209 Resolvendo o problema Em questões de múltipla escolha somente uma resposta é correta Em especial as questões que envolvem argumentações necessitam da análise de cada uma das respostas apresentadas para se verificar qual delas pode ser sustentada pelo problema A seguir apresentaremos uma questão com essa característica portanto pense em um argumento para validar ou invalidar cada uma das alternativas Se você fosse o dirigente de um país preocupado com o gasto de água e dispusesse de um gráfico idêntico ao apresentado que medidas poderia propor para haver economia de água Assinale a alternativa mais adequada a Propor à nação que bebesse menos água para ajudar na economia b Solicitar que as pessoas armazenassem água em suas residências para um eventual racionamento c Solicitar pesquisas no setor hidráulico para criar dispositivos econômicos no setor de descargas de água d Fazer uma campanha para as pessoas deixarem as caixas dágua abertas para aproveitar as águas da chuva Veja algumas análises em que talvez você tenha pensado A alternativa a seria uma resposta inválida pois pelo gráfico esse tipo de consumo se encaixaria na categoria outros que corresponde a um consumo insignificante se comparado com os demais A alternativa b seria uma proposta que não acarretaria economia de água sendo que provavelmente haveria um aumento do consumo pois fora os gastos normais haveria um gasto de estocagem de água A alternativa c poderia proporcionar dispositivos mais econômicos no consumo das descargas sanitárias Podemos observar no gráfico que em quase todos os países o maior consumo de água é para esse fim logo dispositivos hidráulicos mais econômicos proporcionariam uma economia no consumo de água sendo então a alternativa correta A alternativa d não é uma atitude correta pois já vimos nos jornais e nas campanhas de combate a epidemias que deixar abertas caixas dágua ou lugares que acumulem água parada favorece a proliferação de mosquitos transmissores de doenças como dengue e malária 7 Desenvolvendo competências PESQUISE 1 O que você poderia propor para sua comunidade de forma a ajudar o seu bairro a economizar água a Solicitar à comunidade uma ajuda financeira para investir em pesquisas de desenvolvimento de equipamentos hidráulicos mais econômicos b Conversar com amigos e parentes sobre uma possível crise de água num futuro próximo a fim de criar uma conscientização e combate ao desperdício de água c Não proporia nada pois a água nunca vai acabar d Solicitar à comunidade que beba mais refrigerantes e cervejas a fim de economizar água 2 O que você poderia fazer para combater o desperdício de água a Tomar banhos demorados b Ingerir menos líquidos para economizar água c Lavar ruas e calçadas para melhorar a saúde pública d Criar uma cultura de economia de água em sua própria casa Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 210 Variações e períodos Você já deve ter ouvido ou visto em algum jornal algo como O dólar teve uma alta de 235 em relação ao real ou A gasolina vai aumentar R 015 ou ainda A Bolsa de Valores teve uma queda de 155 A diferença entre o preço do dólar no dia anterior e hoje ou do preço da gasolina é chamada de variação O conceito de variação é muito utilizado nas interpretações de gráficos e tabelas Ele nos permite quantificar as mudanças ou seja determinar o quanto algo mudou entre dois momentos Costumamos chamar também o tempo que decorreu entre dois momentos de período Vamos trabalhar um pouco com estes dois conceitos Maria montou uma tabelinha marcando seu peso dos 20 aos 26 anos Ela informou também que aos vinte anos estava com o peso ideal Observe que dos 20 aos 21 anos ela engordou 2kg logo durante o período de 20 a 21 ela teve uma variação de 2kg em seu peso Do mesmo modo seu peso também variou dos 21 aos 22 anos dos 22 aos 23 anos dos 23 aos 24 anos etc Vamos montar uma tabelinha com as variações do peso de Maria Encontre os valores das variações de peso durante esses períodos Na construção dessa tabela talvez você tenha encontrado duas dificuldades que normalmente aparecem quando falamos de variação A primeira dificuldade que pode ter surgido foi no período de 23 a 24 anos pois nesse período o peso de Maria não mudou ou seja poderíamos dizer que não variou Quando estivermos verificando variações e observarmos que entre duas leituras não houve nenhuma mudança indicaremos a variação pelo valor zero Logo no caso de Maria a variação dos 23 aos 24 anos é 0 Outra dificuldade que você talvez tenha encontrado pode ter sido em distinguir quando Maria estava engordando ou emagrecendo Como iremos diferenciar estas variações Lembrese de que estamos estudando a variação do peso O fato de engordar significa ganhar peso Ganhar nos faz lembrar de algo positivo o que nos leva a tratar intuitivamente essa variação com um valor positivo Já emagrecer significa perder peso logo podemos indicar essa variação por valores negativos pois expressam uma perda de peso Por exemplo dos 25 aos 26 anos ela teve uma variação de 4 ou seja perdeu 4 quilos Anote os dados de sua tabela com valores positivos e negativos caso não tenha feito 20 21 22 23 24 25 26 50 52 60 70 70 55 51 Tabela 6 Idade anos Peso kg Tabela 7 Período anos 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 Variação kg 2 8 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 211 211 8 Desenvolvendo competências PESQUISE 1 Qual foi a maior variação do peso de Maria Essa variação foi positiva ou negativa O que significa a variação encontrada 2 Que variação de peso ela teve no período de 20 a 23 anos 3 Que variação de peso ela teve no período de 24 a 26 anos Variação de gráficos e tabelas Independente de preferências políticas ou ideológicas a simples observação de gráfico e tabela nos permite fazer uma análise sem entrar no mérito das causas Em 2001 a inflação estava por volta dos 10 aa lêse dez por cento ao ano que é o aumento de inflação durante o período de um ano Você se lembra de quanto era a inflação anual há quinze anos A tabela ao lado o auxiliará a recordar aqueles tempos Podemos ver pela tabela que a inflação nesses vinte e dois anos teve seus altos e baixos Só para você ter uma idéia um refrigerante que custa hoje R 200 com uma inflação de 1000 aa depois de um ano estaria custando R 2000 Depois de mais um ano estaria custando R 20000 chegando ao absurdo de custar R 200000 após mais um ano Parece loucura mas já foi assim ANO 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Inflação anual 110 95 100 221 224 235 655 416 1038 1609 1700 458 1175 2567 1247 15 9 8 2 20 10 10 Presidente João Baptista Figueiredo José Sarney Fernando Collor de MelloItamar Franco Fernando Henrique Cardoso Tabela 8 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 212 O Gráfico 5 a seguir foi feito com os dados da tabela Observe que algumas características são mais visíveis no gráfico por exemplo para Gráfico 5 Resolvendo o problema Utilizando o gráfico e a tabela determine a inflação anual de 1996 Você deve ter percebido que pelo gráfico não se consegue fazer uma leitura aproximada desse ano Sendo que pela tabela determinase exatamente uma inflação de 9 aa A dificuldade de se fazer uma leitura aproximada do ano de 96 pelo gráfico se dá pela escala em que o eixo se encontra Como o eixo está subdividido de 500 em 500 só conseguimos fazer aproximações na ordem das centenas Por exemplo uma leitura do gráfico para o ano de 1983 é aproximadamente 200 aa Desde 1986 o Brasil vem passando por diversos Planos Econômicos como Cruzado I e II Bresser Verão Collor I e II e Real Durante o mandato do Presidente José Sarney uma de suas tentativas de conter a inflação foi o Plano Cruzado lançado em 1º março de 1986 Analise os dados apresentados e crie um argumento coerente sobre o sucesso ou fracasso desse Plano Você deve ter percebido que durante o mandato do referido presidente o ano de 86 foi o que apresentou menor inflação Entretanto os três anos subseqüentes tiveram aumentos elevadíssimos logo podemos concluir que o Plano fracassou pois não conseguiu conter o aumento progressivo da inflação e ainda causou um aumento maior O Plano Collor foi instituído pela Lei 802490 de 12 de abril de 1990 e adotado pelo presidente da República Fernando Collor de Mello A meta do Plano era a estabilização da moeda através da tentativa de confisco monetário congelamento de preços e salários e reformulação dos índices de correção monetária Em abril a inflação desabou de 45 ao mês para 787 Porém quatro meses depois o tigre ressuscitou levando mais uma vez a inflação a atingir níveis muitos elevados No dia 1º de fevereiro de 1991 uma nova tentativa foi feita para conter a inflação o Plano Econômico Collor II Utilizando o texto o gráfico e a tabela crie argumentos para relatar se os Planos Collor I e II foram bem sucedidos Uma argumentação que você pode ter feito foi comentar que esses dois Planos contiveram a inflação por um curto período de tempo mas podese ver pelo gráfico ou pela tabela que essas tentativas não tiveram sucesso a longo prazo Você pode ter comentado também que o Plano Collor I conseguiu apenas manter uma inflação anual próxima à do ano anterior já o Plano Collor II conseguiu causar uma diminuição significativa da inflação anual No entanto passados dois anos a inflação atingiu marcas altíssimas acima dos 2500 aa observar quando ocorreu a maior inflação nesse período uma rápida olhada nos permite identificar o ano de 1993 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 213 213 9 Desenvolvendo competências PESQUISE O Plano Real começou a ser gerado em junho de 1993 ocorrendo a conversão do Cruzeiro para o Real em julho de 1994 O objetivo era criar condições necessárias para a implementação de um plano de estabilização econômica Crie uma argumentação para relatar se o Plano Real teve sucesso no combate à inflação Os gráficos que ajudam a saúde Uma mãe leva mensalmente seu filho de 15 meses ao pediatra A cada mês o médico marca pontos na malha quadriculada indicando o peso dessa criança Localize esses pontos A curva que aparece próxima a esses pontos indica os pesos normais que uma criança deve apresentar durante os 24 primeiros meses de vida Os médicos costumam fazer comparações entre os pontos marcados e essa curva Faça a leitura dos dois primeiros pontos da esquerda para a direita Nós já fizemos esse tipo de leitura em capítulos anteriores Você deve ter visto que o primeiro ponto indica que a criança no primeiro mês possuía um peso aproximado de 5 kg Observe todos os pontos que o médico marcou e compare com a curva Durante esses 15 meses você acha que essa criança teve um desenvolvimento normal Justifique sua resposta com argumentações apoiadas pela leitura do gráfico Talvez você tenha suposto que a criança tenha apresentado um desenvolvimento normal até o 5º mês e por algum motivo do 5º ao 8º mês apresentou problemas que a fizeram perder peso Após o 8º mês começou a ganhar peso se aproximando do desenvolvimento normal novamente Gráfico 6 Marque um ponto relativo a uma criança de cinco meses pesando sete quilos Ela está com o desenvolvimento normal Se você respondeu com um sim deveria ter um pouco mais de cuidado Por exemplo se essa criança nos seus quatros meses de vida tivesse pontos que representassem seu peso bem acima na curva no 5º mês ela teria perdido peso Por isso temos que ter cuidado ao analisar um caso isolado Sendo mais cautelosos poderíamos responder que a criança para o 5º mês possui um peso próximo do normal Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 214 Qual seria o peso normal para uma criança de um ano Essa pergunta já não necessita de tanto cuidado Basta procurar na curva o ponto correspondente 10 Desenvolvendo competências PESQUISE Suponha que você possui um filho e não tem condições de leválo mensalmente a um pediatra porém gostaria de acompanhar o desenvolvimento dele pelos gráficos Mensalmente você faz sua pesagem e o mede obtendo os dados indicados na Tabela 9 1Coloque os dados nos gráficos abaixo e avalie se o desenvolvimento do seu filho está normal Tabela 9 Mês nascimento 1 2 3 4 5 6 7 Peso kg 4 48 6 65 7 77 81 85 Medida cm 51 54 55 58 61 63 65 67 Gráfico 7 aos 12 meses e verificar que a criança para ter um peso normal deveria ter aproximadamente 10 quilos e meio Gráfico 8 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 215 215 Para terminar Prezado leitor durante todo o capítulo propusemos situaçõesproblema possíveis de serem encontradas em seu diaadia Com isso tentamos mostrar a importância do conhecimento matemático aqui estudado auxiliandoo na aquisição de novas informações que o ajudarão a exercer melhor sua cidadania Comece fazendo o que é necessário depois o que é possível e de repente você estará fazendo o impossível São Francisco de Assis Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 216 LEITURA DE TABELAS 1 Houve 99 participantes em 98 A seleção campeã foi a França 2 A copa de 86 foi realizada México O Brasil ficou em 5º lugar 3 A seleção campeã da Copa da Espanha foi a Itália no ano de 1982 4 Pela tabela o menor número de participantes das copas ocorreu em 1954 LEITURA DE GRÁFICOS 1 O maior consumo foi de 13500 KWh referente ao mês de julho 2 Em maio foram consumidos 13000 KWh o mesmo consumo de agosto 3 O mês de junho 4 Setembro e dezembro 5 Consumo de 10500 kWh referente ao mês de fevereiro Conferindo seu conhecimento 3 4 1 4 6 8 9 032 048 064 072 2 4 7 8 9 480 840 960 1080 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 217 217 5 6 7 8 FAZENDO APROXIMAÇÕES 1 A maior velocidade foi de aproximadamente de 88 kmh 2 Aproximadamente 58 kmh 3 Aproximadamente 88 kmh 4 O trem atingiu 80 kmh aos 10 minutos e aos 4 minutos e meio 5 Aproximadamente 72 kmh 6 Aos 19 minutos o trem parou portanto sua velocidade era 0 kmh 7 Entre os 15 e 16 minutos a velocidade variou bastante pois passou de 50 kmh para 10 kmh Já entre 17 e 18 minutos a velocidade não variou muito ficando aproximadamente nos 5 kmh INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS 1 Os meses são dezembro janeiro e fevereiro 2 Nos meses de março abril e maio 3 Resposta d CRIANDO RESPOSTAS 1 Resposta b 2 Resposta d VARIAÇÕES E PERÍODOS 1 Houve uma variação de 15 kg A variação foi negativa significando que Maria perdeu quinze quilos 2 Houve uma variação positiva de 20 kg 3 Houve uma variação negativa de 19 kg Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 218 9 10 VARIAÇÃO DE GRÁFICOS E TABELAS Você poderia ter respondido assim Se comparado com os outros Planos Econômicos que reduziam por um curto período de tempo a inflação mais ou menos um ano podemos afirmar que o Plano Real teve sucesso em relação ao combate à inflação pois até o momento o Brasil apresentou apenas inflações anuais menores que 21 OS GRÁFICOS QUE SALVAM VIDAS Pela comparação dos pontos marcados e as curvas do gráfico podese concluir que a criança teve um bom desenvolvimento durante os sete meses apresentados pela tabela Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 219 219 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Reconhecer e interpretar as informações de natureza científica ou social expressas em gráficos ou tabelas Identificar ou inferir aspectos relacionados a fenômenos de natureza científica ou social a partir de informações expressas em gráficos ou tabelas Selecionar e interpretar informações expressas em gráficos ou tabelas para a resolução de problemas Analisar o comportamento de variável expresso em gráficos ou tabelas como importante recurso para a construção de argumentação consistente Avaliar com auxílio de dados apresentados em gráficos ou tabelas a adequação de propostas de intervenção na realidade Helenalda Nazareth UMA CONVERSA SOBRE FATOS DO NOSSO DIAADIA Capítulo IX COMPREENDER O CARÁTER ALEATÓRIO E NÃO DETERMINÍSTICO DOS FENÔMENOS NATURAIS E SOCIAIS E UTILIZAR INSTRUMENTOS ADEQUADOS PARA MEDIDAS E CÁLCULOS DE PROBABILIDADE PARA INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE VARIÁVEIS APRESENTADAS EM UMA DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 222 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia Jogando pesquisando e aprendendo Estatística escolheu uma Sua chance de ganhar era de 1 em 2 E se você soltar uma moeda ela cairá ou não Você deve ter dito que a moeda cairá Esse fenômeno é determinístico Você pode repeti lo quantas vezes quiser nas mesmas condições que o resultado será sempre o mesmo a moeda cairá se não houver nada ou ninguém que a segure em locais onde haja a força da gravidade No caso de a moeda dar cara ou coroa ou você acerta ou você erra Acertar que face cairá depende da sua sorte A sua probabilidade isto é a chance de acertar é de 1 para 2 Este fenômeno é chamado aleatório não é determinístico Quando você jogar a moeda novamente poderá acontecer ou não o mesmo resultado Em outras palavras dizemos que um fenômeno é aleatório se observado sob as mesmas condições podemos no máximo falar de seus possíveis resultados Se você lançar um dado o resultado é um fenômeno aleatório ou determinístico Escreva duas situações para um fenômeno aleatório e duas para um fenômeno determinístico No decorrer de nossa conversa iremos propor a você que reflita sobre algumas questões do diaa dia e que as tente responder para perceber a teoria envolvida Você irá adquirir conhecimentos interpretando informações que lhe darão oportunidade de compreender fenômenos naturais e sociais Conversando sobre fenômenos Fenômenos eventos ou acontecimentos Você já jogou na loteria esportiva Se não jogou conhece alguém que já tenha jogado É possível saber a chance que temos de ganhar Vamos iniciar com um jogo de cara e coroa Se você tiver aí uma moeda escolha a face que você aposta que vai cair Lancea ao ar e aguarde que ela caia Deu cara ou coroa Você ganhou Que chance você tinha para ganhar nesse jogo Você dispunha de duas possibilidades de escolha e Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 223 Resolvendo o Problema Vamos fazer o jogo do dado Você pode apostar em qualquer dos números que aparecem em suas faces 1 2 3 4 5 6 Escolha um Qual será sua chance de ganhar Para responder pensemos juntos você fez uma escolha por exemplo vai cair o número 4 qual é o número de possíveis resultados quando você jogar o dado quantos resultados são favoráveis para que você ganhe Quando você joga o dado há seis possíveis resultados e dos seis apenas um ocorrerá A sua chance de ganhar neste jogo é de 1 para 6 Uma forma de escrever sua chance de ganhar é Figura 1 1 Desenvolvendo competências Resolvendo mais problemas Jogue uma moeda para cima e anote que face caiu Se caiu cara escreva C Se caiu coroa escreva R Jogue novamente a moeda Que face caiu voltada para cima Escreva a letra que representa esta face C ou R ao lado da letra que você já tinha escrito Suponhamos que tenha caído R no primeiro lançamento e R no segundo Você deve ter registrado o resultado RR Poderiam ter ocorrido resultados diferentes Se você quiser saber qual é a probabilidade de sair coroa nos dois lançamentos RR poderá ir escrevendo os possíveis resultados em um esquema Veja ao lado Esse esquema é chamado árvore de possibilidades e facilita a visualização e a contagem das possibilidades Podemos contar e saber que são quatro os possíveis resultados nos dois lançamentos de uma moeda CC CR RC RR A probabilidade de obtermos R nos dois lançamentos RR é de um em quatro Indicamos Lembrese tenho 1 situação favorável no total de 4 possíveis resultados Figura 2 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 224 Vamos agora pensar em um problema de Biologia Suponhamos que um casal queira ter dois filhos O primeiro filho poderá ser do sexo masculino M ou feminino F O segundo também poderá ser de um dos dois sexos Que chance esse casal tem de ter os dois filhos do sexo masculino MM Para responder desenhe uma árvore conte as possibilidades e descubra a probabilidade de acontecer MM Você sabia que podemos colocar o resultado da probabilidade em forma de porcentagem Em Estatística trabalhamos muito com porcentagens No problema que você acabou de resolver a chance de um casal ter os dois filhos do sexo masculino é de 1 em 4 ou seja Veja a representação da porcentagem Então podemos dizer que a probabilidade de um casal ter dois filhos do sexo masculino é de 25 Vamos agora mudar um pouco a situação Você é um pesquisador e quer escolher 10 das pessoas de sua cidade com mais de 16 anos para responderem à questão de sua pesquisa Como você escolheria essas pessoas Não vale escolher seus amigos Sua cidade está dividida em bairros Vamos imaginar que sua cidade tenha 24000 habitantes com mais de 16 anos e que esteja organizada em 80 bairros Você poderá sortear 10 dos bairros e 10 dos 24000 habitantes com mais de 16 anos ou seja 8 bairros e 2400 habitantes distribuídos nestes 8 bairros Um pesquisador precisa escolher um número significativo de habitantes desta cidade para compor a amostra No exemplo da cidade acima a amostra é formada pelos 2400 habitantes que foram sorteados nos 8 bairros A amostra é aleatória O sentido principal da amostra é a representatividade estatística da população para que estudando a amostra as conclusões obtidas possam ser estendidas para toda a população Existem técnicas apropriadas para selecionar amostras e fazem parte dos estudos da Estatística Resolvendo o Problema Suponhamos que um jornal tenha publicado a reportagem A Cidade X está otimista Foi feita uma pesquisa na Cidade X que está organizada em 100 bairros tendo em média 400 habitantes cada um Foram selecionados 10 dos bairros e 10 dos habitantes de cada bairro De 400 pessoas entrevistadas 60 estão otimistas isto é afirmam que o próximo ano será melhor do que o atual Se você tiver um quadrado dividido em 100 partes do mesmo tamanho a parte pintada representa do quadrado ou 25 dos 100 quadradinhos em que o quadrado maior foi dividido Podemos escrever 25100 é o mesmo que 025 ou 25 então 25 é o mesmo que Figura 3 1 4 1 4 1 4 25 100 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 225 Observe o gráfico Em que bairro há menos otimistas E no total quantos são os otimistas Você sabe qual é a população da cidade Leia novamente o texto Podemos considerar que há 100 bairros com 400 moradores em cada um então a população da cidade é de 100 400 40000 habitantes Foram entrevistadas 40 pessoas de cada um dos 10 bairros sorteados em um total de 400 pessoas Se 60 estão otimistas quantas pessoas responderam que o próximo ano será melhor Figura 4 Com base nas respostas de 400 pessoas o jornal afirma que 60 da população está otimista Isto significa que 60 das 400 pessoas entrevistadas responderam que o próximo ano será melhor que o atual Se quisermos saber quantas pessoas se mostraram otimistas basta calcularmos 60 de 400 400 240 ou 060 400 240 Observando o gráfico você pode ver que a coluna mais baixa é a do bairro D este é o bairro que apresenta o menor número de otimistas apenas 10 2 Desenvolvendo competências Vamos resolver problemas Você já assistiu a algum programa de televisão em que são feitos sorteios Imagine que um programa de televisão vai sortear uma pessoa de sua cidade para dar um prêmio A cidade está organizada em 50 bairros e a emissora vai iniciar sorteando um dos bairros Se você morasse no bairro A gostaria que ele fosse sorteado Qual seria a chance de seu bairro ser sorteado Agora a emissora de TV vai sortear uma rua entre as 500 de seu bairro Qual é a probabilidade de ser sorteada a rua em que você mora entre as 500 de seu bairro Supondo que cada bairro de sua cidade tem em média 500 ruas o número total de ruas da cidade é de 50 500 25000 ruas Qual é a chance de ser sorteada a sua rua entre as ruas da cidade Se em uma cidade há 50 bairros em cada bairro há em média 500 ruas e em cada rua existem em média 80 casas qual é a probabilidade de uma casa da cidade ser sorteada Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 226 Vamos conversar mais um pouco A Estatística trabalha com métodos de coleta organização apresentação e análise de dados permitindonos conclusões e tomadas de decisões Você já respondeu a algum telefonema perguntando se sua TV está ligada ou em que canal está sintonizada Essa é uma pesquisa que interessa às emissoras de TV para medir seus índices de audiência Assim elas decidem se determinado programa continuará sendo transmitido ou não É comum também dias antes das eleições serem feitas pesquisas sobre a preferência dos eleitores por determinados candidatos sendo feitas previsões de quem poderá ser o vencedor Essa pesquisa é feita com uma parte dos eleitores Um pesquisador foi coletar dados no comício do candidato A para uma pesquisa sobre a preferência em relação aos candidatos à Prefeitura da cidade Qual você acha que foi o resultado dessa pesquisa Você confia nesse resultado Por quê É claro que no caso deste exemplo o resultado não é confiável porque a escolha das pessoas entrevistadas não foi aleatória Já era esperado que a maioria das pessoas que estavam no comício era eleitora do referido candidato A maneira como as pessoas são escolhidas para participar da pesquisa é chamada amostragem e se ela não for aleatória teremos uma amostra viciada Se para a coleta de dados fossem sorteados alguns cruzamentos de ruas da cidade e fossem entrevistadas pessoas que por ali passassem durante determinado dia também sorteado dentro de um período a amostragem seria aleatória A população envolvida na pesquisa seria formada por todas as pessoas que costumam passar por cada um desses cruzamentos Veja um outro exemplo O proprietário do barzinho de uma escola fez uma pesquisa para saber o gosto dos alunos Para isto solicitou que os alunos do período da tarde preenchessem a ficha Contando as respostas o proprietário concluiu que 80 dos entrevistados preferiam sanduíche de presunto Preparou então os lanches fazendo 80 de sanduíches de presunto No fim do dia ficou com muitos sanduíches de presunto tendo vendido mais os sanduíches do tipo cachorro quente Percebeu que no período da manhã os alunos só queriam empadinhas ou cachorro quente Por que a pesquisa não deu certo Como você acha que deveria ter sido feita a pesquisa para que desse certo Se a pesquisa foi feita com os alunos do período da tarde o resultado só será válido para esse grupo No nosso exemplo a população da pesquisa envolvia todos os alunos da escola A amostra deveria ter alunos de todos os períodos Para fazer melhor uma amostragem é preciso pensar na probabilidade de escolha dos elementos da amostra Assinale o que você prefere Empadinha Sanduíche de presunto Sanduíche de queijo Cachorro quente Número de alunos da Escola Municipal Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 228 Você já estudou que para encontrar amostras utilizamos porcentagens Assim garantimos a probabilidade de termos elementos que representem proporcionalmente toda a população Encontre a amostra para a professora 2 O quadro 4 apresenta o número de operários de cada setor da empresa Se o total é de 800 operários qual é a probabilidade de sortearmos um que seja do setor de produção São 410 os funcionários do setor de produção A probabilidade de um deles ser sorteado 05125 ou 5125 Se calcularmos a chance de ser sorteado um funcionário do setor de controle de qualidade teremos 0025 ou 25 Setor Administração Limpeza Cozinha Produção Controle de Qualidade Vendas Total Número 30 40 20 410 20 280 800 Quadro 4 Fonte de dados Administração da Empresa 3 Desenvolvendo competências Vamos resolver outros problemas 1 Em uma escola a professora de Educação Física deverá fazer um estudo sobre a altura de seus alunos Agrupandoos por faixa etária considerando sempre a idade completada até março ela quer usar uma amostra com 20 da população de sua pesquisa Observando que as probabilidades de escolha são diferentes nos diversos setores devemos escolher uma amostra proporcional Copie e complete o quadro para obter uma amostra com 200 elementos formada pelos funcionários da empresa OPERÁRIOS DE UMA EMPRESA POR SETORES Faixa etária População Quadro 3 7 a 10 anos 160 11 a 14 anos 90 15 a 18 anos 80 total 330 Período Nº de alunos Cálculo do nº de alunos da amostra Alunos da amostra Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 229 3 Para estudo sobre a incidência de cárie entre os filhos dos funcionários de uma firma o empresário quer fazer uma amostragem organizando as crianças por faixa etária considerando as idades em anos Ele já tem o quadro Encontre uma amostra com 20 dos elementos da população Idades Nº de crianças Quadro 5 1 a 2 anos 40 3 a 5 anos 60 6 a 8 anos 70 9 a 11 anos 50 12 a 14 anos 35 Continuando nossa conversa Você costuma ler jornais Eles sempre trazem notícias com resultados de pesquisas Veja os dados que retiramos de uma reportagem publicada a 31032002 no jornal Folha de S Paulo Figura 5 Fonte Folha de S Paulo 31032002 A notícia se refere ao resultado de uma pesquisa sobre o número de casos de dengue clássica nesse ano manhã 500 10 de 500 010 500 50 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 230 Você já ouviu falar dessa doença Quantas pessoas você conhece que já tiveram dengue Veja no texto que número indica os casos notificados da doença Junto a essa notícia aparece um gráfico de setores É um círculo dividido em partes que representam as porcentagens do fenômeno observado No caso dessa notícia vemos que na parte que representa o percentual de casos no Estado do Rio de Janeiro está escrito 41 O texto indica que há 317787 casos de dengue No total podemos dizer que esses casos são aproximadamente 318 mil sendo 41 no Estado do Rio de Janeiro Quantos são os casos nesse Estado Os casos de dengue no Estado do Rio de Janeiro são 41 de 318000 ou seja 041 x 318000 130380 Em um outro trecho a reportagem afirma que há 2373 casos de dengue hemorrágica nos estados brasileiros sendo 1271 no Rio de Janeiro Sem fazer cálculos podemos pensar qual é a porcentagem aproximada de casos de dengue hemorrágica no Estado do Rio de Janeiro Para saber que porcentagem 1271 representa em relação a 2373 calcule 1271 2373 se possível use uma calculadora e escreva o resultado em forma de porcentagem Observe que o resultado é um pouco maior que 50 isto é é um pouco maior do que a metade dos casos de dengue Você tinha acertado antes de fazer o cálculo DISCUTA COM PESSOAS DE SEU RELACIONAMENTO Como a dengue é transmitida Existe vacina contra a dengue A pessoa que já teve dengue poderá contraíla novamente O que devemos fazer para diminuir os casos de dengue Faça um levantamento dos terrenos baldios onde está acumulado lixo que pode conter água da chuva e ser criadouro Com tais dados dirijase ao setor de controle de zoonoses ou à Prefeitura de sua cidade para argumentar sobre a necessidade de interferência das autoridades junto aos donos dos terrenos para que façam a limpeza evitando o acúmulo de água e lixo tarde 200 10 de 200 010 200 20 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 231 Resolvendo o Problema Observe que a Estatística nos permite estudar fenômenos do dia a dia descrevendoos e muitas vezes permitindo que façamos previsões da probabilidade de ocorrência de determinados acontecimentos Veja um exemplo Haverá uma eleição em que dois candidatos estão na disputa e a televisão anunciou o resultado de uma pesquisa Figura 6 A linha que representa o candidato A mostra que houve um crescimento nas intenções de voto até 30 07 tendo decrescido no período de 3007 a 3008 e voltando a crescer lentamente no período de 3008 a 3009 Observe o candidato B O que o gráfico com a linha interrompida mostra Quem você acha que ganharia a eleição em 3009 Se a eleição acontecesse nesse dia o resultado estaria indefinido mas há grande possibilidade do candidato B vencer porque a curva indica o crescimento de intenção de votos para ele Se o crescimento se concretizar ele será o vencedor Veja que os resultados das pesquisas são números próximos Dizemos que há um empate estatístico Mas observe a curva do gráfico O candidato B que havia saído na frente teve um decréscimo nas intenções de voto voltando a subir a partir de 3006 com um crescimento bem maior no período de 3008 a 3009 enquanto o candidato A teve uma queda no período de 3007 a 3008 e um pequeno crescimento de 3008 a 3009 As intenções de voto apontam como mais provável a vitória do candidato B se o crescimento continuar no mesmo ritmo até a eleição Você viu como fatos complexos podem muitas vezes ser representados por gráficos e descritos numericamente facilitando sua compreensão A sociedade moderna acumula uma grande quantidade de informações e dados numéricos relativos a eventos de toda ordem econômicos esportivos históricos geográficos políticos ou da natureza noite 100 10 de 100 010 100 10 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 232 4 Desenvolvendo competências Vamos resolver outros problemas 1 Uma empresa deseja lançar determinado sabonete no mercado Para saber se terá sucesso faz uma pesquisa sobre a preferência dos consumidores Feita a amostragem alguns pesquisadores são distribuídos em alguns pontos de uma cidade perguntando às pessoas que passam qual é o seu sabonete preferido As respostas vão sendo anotadas para serem depois representadas em uma tabela Tabela 1 PREFERÊNCIA POR SABONETES CIDADE X Marcas de sabonete A B C D E G Total F Freqüência 30 51 36 28 17 6 168 PREFERÊNCIA POR SABONETES CIDADE X Figura 7 Tabela 1 Você sabe o que indica o número 30 na primeira linha da tabela Qual é a marca de sabonete menos citada A representação dos dados também pode ser feita por um gráfico Veja o gráfico de colunas feito com os dados da pesquisa total 800 10 de 800 010 800 80 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 233 ESCOLARIDADE PESSOAS DE 10 ANOS OU MAIS Figura 8 Fonte Folha de S Paulo 20081998 2 Em jornais e revistas é comum serem publicados apenas os gráficos de uma pesquisa Veja o exemplo de um dos gráficos sobre a escolaridade dos moradores da cidade de São Paulo de dez anos ou mais com dados coletados no censo de 1991 pelo IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística publicados na Folha de S Paulo de 20081998 Observando o gráfico podemos verificar que na época da pesquisa a maioria da população da cidade de São Paulo tinha de quatro anos a dez anos de escolaridade 3759 163 5389 Que porcentagem da população tinha menos de um ano de escolaridade Se a população da cidade era de aproximadamente 10 milhões de habitantes quantos eram os habitantes com menos de um ano de escolaridade Lembrese a representatividade da amostra é importante para que o resultado obtido possa ser estendido para a população Quanto maior a porcentagem de elementos da amostra maior será a representatividade Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 234 5 Desenvolvendo competências Vamos resolver outros problemas 1 O gráfico abaixo representa os salários dos funcionários de uma firma No eixo horizontal estão representados os salários em mil reais A primeira coluna com largura de 0 a 1 por exemplo indica os salários entre zero e mil reais Observando também a altura desta coluna vemos que há 35 salários entre zero e 1000 reais Assinale a resposta correta a A quantidade dos salários mais altos é 35 b A quantidade dos salários mais baixos é 5 c Entre 4 e 5 mil reais estão os salários mais baixos d Entre 4 e 5 mil reais estão os salários mais altos Figura 9 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 235 respostas como outro qualquer de sorte de azar para não sair de casa Total no de pessoas 630 SUPERSTIÇÃO COMO SERÁ O DIA 13 DE AGOSTO porcentagem 81 100 2 Se no dia 13 de agosto você se levanta da cama com o pé direito se benze ou bate na madeira para se livrar do azar saiba que você não está sozinho Foi realizada uma pesquisa publicada no jornal Folha de S Paulo do dia 13 de agosto de 1993 que afirma que de cada 100 pessoas duas não pretendem sair de casa nesse dia 7 pensam que esse dia dá azar 10 acham que é um dia de sorte mas 81 dizem que esse é um dia como outro qualquer Vamos fazer uma tabela com os dados do texto Copie e complete a tabela com os dados do problema Que porcentagem de pessoas poderia ter as atitudes de levantar com o pé direito ou bater na madeira e se benzer Tabela 2 Fonte Adaptado da Folha de S Paulo São Paulo 13 ago 1993 Continuando nossa conversa Se você já ficou atento a comentários esportivos já ouviu falar em média de gols Veja o exemplo Em um campeonato de futebol a regra diz que se houver empate na final será considerado vencedor o time que tiver melhor média de gols durante os últimos quatro jogos Os times A e B empataram no jogo da decisão Observe a tabela dos gols por partida e descubra quem foi considerado campeão A B Partidas Time 1ª partida 2 3 2 ª partida 5 2 3ª partida 1 2 4 ª partida 0 3 Quadro 6 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 236 Para calcular a média aritmética basta somar todos os gols de cada time e dividir por quatro uma vez que são quatro os jogos Assim você deve ter descoberto que o time campeão foi o B com uma média de 25 gols por partida contra 2 gols por partida do time A Fizemos o cálculo de uma medida a média aritmética de gols que nos permitiu comparar o desempenho de cada time em quatro partidas A média aritmética é uma medida bastante utilizada em nosso diaadia Você se lembra do apagão No ano de 2001 as companhias de energia elétrica enviaram cartas às residências referindo se ao consumo de energia elétrica e à necessidade de economia A meta era de economizar 20 de energia sobre a média dos meses de maio junho e julho de 2001 Dona Luz que mora em São Paulo recebeu a correspondência Você sabe o que foi feito para saber a meta de consumo Nessa correspondência a Companhia de Energia Elétrica de São Paulo Eletropaulo apresenta o cálculo da média aritmética dos três meses considerados como base Sra Cliente Atendendo à Resolução nº 004 de 23052002 da Câmara de Gestão da Crise de Energia Elétrica informamos o cálculo da meta do consumo de energia elétrica adotandose como base de referência os meses indicados como referência para determinar o consumo médio dessa unidade consumidora Consumo médio 410 kWh Meta redução de 20 410 x 1 020 328 A partir de junho de 2001 sua meta é de 328 kwh Mês Maio2000 Junho2000 Julho2000 Soma 417 408 406 1231 Consumo de referência kWh 1231 3 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 237 A soma dos consumos dos três meses é 417 408 406 1231 Dividindo a soma obtida por 3 três é a quantidade de meses considerados como referência foi calculada a média aritmética do consumo dos 3 mesesreferência 1231 3 410 kWh Como a lei determinou que todos os consumidores de São Paulo a partir de 4 de junho deveriam economizar 20 no consumo de energia elétrica que porcentagem dona Luz poderia gastar A Eletropaulo calculou 80 de 410kwh 410 x 1 020 328kWh Lembrese de que 1 020 significa 100 20 80 Conversando mais um pouco Existem outras medidas bastante usadas em Estatística a moda e a mediana Média aritmética mediana e moda são chamadas medidas de tendência central Veja um exemplo nomes acertos Quadro 7 Joana 15 Maria 8 Antonio 10 José 8 Selma 9 Em uma escola os alunos de uma classe fizeram uma prova e os números das questões que cada um acertou foram anotados no quadro 8 Maria acertou 8 questões Ela acertou mais ou menos que a média da classe São cinco alunos Você precisa calcular o total de pontos que a turma toda fez para dividir por cinco Veja 15 8 10 7 10 50 então a média aritmética é Ma 10 e Maria que acertou 8 questões acertou menos que a média da classe Já sabemos que Ma 10 significa que se todos tivessem o mesmo número de acertos cada um teria acertado 10 questões Média aritmética é a distribuição equitativa dos dados ou seja é a distribuição dos dados em partes iguais Colocando os dados em ordem podemos descobrir o termo que ocupa a posição do meio 8 8 9 10 15 No nosso exemplo o termo do meio é o número 9 há dois termos a sua esquerda e dois a sua direita O termo que ocupa a posição do meio é chamado mediana E qual é o número de acertos que aparece mais vezes O dado que aparece mais vezes com maior freqüência é chamado moda No exemplo a moda é 8 pontos Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 238 Vamos resolver outros problemas 1 Observe o gráfico abaixo Quantos reais a empresa gasta com todos os salários Multiplicando cada salário x por sua freqüência F temos 20 salários de 200 reais 20 200 4000 30 salários de 300 reais 30 300 9000 15 salários de 600 reais 15 600 9000 10 salários de 900 reais 10 900 9000 5 salários de 1200 reais 5 1200 6000 Cada produto significa a soma dos salários iguais Assim por exemplo 20 200 significa a soma dos 20 salários iguais a 200 reais Somando os produtos saberemos que a empresa gasta 37000 reais com seus 80 funcionários A média aritmética é 46250 reais ou R 46250 Analisando o gráfico nós podemos verificar que a moda dos salários dessa empresa é 300 reais É a coluna mais alta no gráfico Há 30 salários de 300 reais Quantos reais a empresa gasta para pagar esses salários de 300 reais Você deve ter respondido 30 300 9000 reais Agora veja a coluna mais baixa há 5 salários iguais ao maior da empresa Que salário é esse Quanto a empresa gasta com os maiores salários Para calcular a média aritmética dos salários precisamos saber quantos eles são e quanto a empresa gasta com todos Quantos são os salários da empresa Observando no gráfico os números que representam as freqüências e somandoos saberemos que são 80 salários Figura 10 SALÁRIOS DOS FUNCIONÁRIOS DE UMA EMPRESA Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 239 Para organizar e facilitar os cálculos de média aritmética podemos representar os dados em uma tabela No exemplo anterior para calcular a média aritmética a tabela fica Vamos pensar em outro problema de média aritmética 2 Suponhamos que você tem dinheiro aplicado na poupança e que durante 5 meses anotou seus rendimentos em uma tabela Tabela 3 Fonte Recursos humanos da empresa 200 300 600 900 1200 total F SALÁRIO DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Fx x em reais 20 30 15 10 5 80 4000 9000 9000 9000 6000 37000 Como calcularia o rendimento médio durante esses meses Na barra inferior da tabela está indicada a soma dos rendimentos que é 70 reais Como são rendimentos de 5 meses basta calcular 70 5 14 A média dos rendimentos de sua poupança nos 5 meses foi de R1400 Janeiro Fevereiro Março Abril Maio total Rendimento em reais Mês 1120 1250 1560 1550 1520 7000 Na primeira coluna estão representados os salários x e na coluna F estão as quantidades de salários Na terceira coluna estão os produtos Fx que representam as somas dos salários em cada linha Assim 4000 é a soma dos 20 salários iguais a 200 reais Tabela 4 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 240 Vamos resolver outros problemas 1 Maria ouviu uma música que citava a estatura das pessoas Sou brasileiro de estatura mediana Ficou pensativa e conversando com seu irmão perguntoulhe se média e mediana eram valores iguais Você saberia responder Seu irmão Jorge propôs que ela fosse medindo as alturas de seus amigos e fosse anotando as medidas em centímetros formando um rol em ordem crescente 140 140 150 150 155 165 175 180 185 Ajude Maria a responder às questões que Jorge também lhe propôs A mediana é o valor que ocupa a posição do meio Qual é esse valor Para calcular a média você deve saber o total dos dados e dividir pela quantidade deles Calcule a média aritmética Você deve ter percebido que nesse caso a média 160cm e a mediana 155cm são valores diferentes Na maioria dos casos isso acontece porque essas medidas têm significados diferentes 2 Os funcionários de uma empresa estavam reivindicando melhores salários O dono conferiu os números registrados em seus documentos e recusou a solicitação Usou como argumento o fato de a média dos salários ser de aproximadamente R148500 Os funcionários acharamse enganados e iniciaram um movimento de greve E alguns mostrando seus contracheques chegaram a comentar que o dono não dizia a verdade 400 500 1000 2000 10000 20000 total F X em reais 50 20 20 5 3 3 101 SALÁRIO DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Tabela 5 Veja abaixo a tabela de salários dos funcionários da empresa e discuta o que aconteceu nessa relação trabalhista Muitas vezes as pessoas confundem média com a mediana ou com a moda Em uma distribuição normal essas três medidas se localizam mais ou menos na posição do meio No nosso exemplo a moda é 400 reais e a mediana é 500 reais total de 101 salários A média é realmente aquela que o dono diz porque os poucos salários altos fazem com que a média seja alta A soma dos 3 salários mais altos é 3 20000 60000 enquanto que a soma dos mais baixos praticamente metade dos salários da firma é 50 400 20000 Com os 3 salários mais altos o empresário gasta o triplo do que gasta com os 50 menores salários da firma A distribuição de salários dessa empresa não é estatisticamente normal Será que não havia verdade no argumento do dono Calcule a média dos salários Os funcionários não tinham razão ao reivindicar melhores salários Como você resolveria este impasse Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 241 6 400 500 2000 10000 total F X em reais 50 15 3 2 70 SALÁRIO DOS FUNCIONÁRIOS A média aritmética ou das outras medidas de tendência central moda e mediana sozinha não retrata o comportamento de um conjunto de dados Veja um exemplo Consideremos o caso em que uma mesma prova foi aplicada a dois grupos de alunos e que as notas foram as seguintes Grupo A 10 20 50 50 50 80 80 100 100 Grupo B 50 50 50 50 50 50 80 80 80 Calcule a média para cada conjunto de dados A média dos dois grupos de notas é a mesma mas observe que os comportamentos dos dois conjuntos de dados são diferentes no grupo A as notas variam de 10 a 100 no grupo B as notas variam de 50 a 80 Podemos dizer que as notas do grupo B estão mais concentradas perto da média aritmética do que as do grupo A ou então dizemos que a dispersão é maior no grupo A Para analisar melhor o comportamento de um conjunto de dados a Estatística se utiliza de outras medidas como por exemplo o desvio padrão Observe que no exemplo os dois conjuntos de dados também têm a mesma moda e a mesma mediana Tabela 6 Desenvolvendo competências O dono de uma empresa paga os salários a seus funcionários de acordo com a tabela abaixo Assinale a alternativa correta a A média aritmética dos salários é menor que a mediana b A média aritmética dos salários é maior que a moda c A média aritmética dos salários é igual à mediana d A média aritmética dos salários é menor que a moda Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 242 Os resultados diferentes que poderiam ter ocorrido são CC CR e RC Conferindo seu conhecimento 2 3 1 A probabilidade de seu bairro ser sorteado seria de um entre os 50 da cidade ou A probabilidade de sua rua ser sorteada entre as 500 de seu bairro é Queremos sortear uma das 25 000 ruas A probabilidade é Viu como é pequena a chance de ser sorteada a sua rua Por quê A chance de sortear um dos 50 bairros era e a chance de sortear uma em 500 ruas é 1500 Logo a chance é de ou seja A probabilidade de uma casa ser sorteada é ou Uma em dois milhões Faixa etária População Cálculo nº de elementos amostra Amostra 7 a 10 anos 160 20 de 160 160 020 32 10 a 14 anos 90 20 de 90 90 020 18 14 a 18 anos 80 20 de 80 80 020 16 Total 330 20 de 330 330 020 66 Problema 2 Para resolver o problema basta pensar que porcentagem 200 é de 800 e calcular essa porcentagem dos funcionários de cada setor 200 em 800 é 200800 025 ou 25 ou ¼ Então basta calcular 25 dos funcionários de cada setor A amostra ficará com 8 funcionários da administração e 10 5 102 5 e 70 dos demais setores respectivamente Problema 1 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 243 Problema 3 Calculando 20 em cada faixa etária o quadro sobre incidência de cárie ficará 5 6 4 Problema 1 Resposta d Problema 2 Usando números aproximados sua tabela deve ter ficado Superstição Como será o dia 13 de agosto Respostas Quantos porcentagem como outro qualquer 513 81 de sorte 63 10 de azar 42 7 para não sair de casa 12 2 total 630 100 9 pessoas 729 poderiam ter atitudes de demonstração de medo no dia 13 Resposta b Problema 1 Na tabela o número 30 indica que o sabonete A foi citado 30 vezes Pela altura da coluna do sabonete B no gráfico da figura 6 vemos que ele foi o mais citado O sabonete G foi o menos citado Problema 2 Observando o gráfico Figura 7 podemos ver que são 9 Calculando 9 de 10 milhões temos 009 10 000 000 900000 São 900 mil pessoas Idades Nº de crianças Amostra 1 a 2 anos 40 8 3 a 5 anos 60 12 6 a 8 anos 70 14 9 a 11 anos 50 10 12 a 14 anos 35 7 Fonte Folha de S Paulo São Paulo 13 jul 1993 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 244 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar interpretar e produzir registros de informações sobre fatos ou fenômenos de caráter aleatório Caracterizar ou inferir aspectos relacionados a fenômenos de natureza científica ou social a partir de informações expressas por meio de uma distribuição estatística Resolver problemas envolvendo processos de contagem medida e cálculo de probabilidades Analisar o comportamento de variável expresso por meio de uma distribuição estatística como importante recurso para a construção de argumentação consistente Avaliar com auxílio de dados apresentados em ditribuições estatísticas a adequação de propostas de intervenção na realidade
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Matemática e suas Tecnologias Livro do Estudante Ensino Médio Brasília MECINEP 2006 Matemática e suas Tecnologias Livro do Estudante Ensino Médio Coordenação Geral do Projeto Maria Inês Fini Coordenação de Articulação de Textos do Ensino Médio Zuleika de Felice Murrie Coordenação de Texto de Área Ensino Médio Matemática e suas Tecnologias Maria Silvia Brumatti Sentelhas Leitores Críticos Área de Psicologia do Desenvolvimento Márcia Zampieri Torres Maria da Graça Bompastor Borges Dias Leny Rodrigues Martins Teixeira Lino de Macedo Área de Matemática Área de Matemática e suas Tecnologias Eduardo Sebastiani Ferreira Maria Eliza Fini Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão Diretoria de Avaliação para Certificação de Competências DACC Equipe Técnica Ataíde Alves Diretor Alessandra Regina Ferreira Abadio Célia Maria Rey de Carvalho Ciro Haydn de Barros Clediston Rodrigo Freire Daniel Verçosa Amorim David de Lima Simões Dorivan Ferreira Gomes Érika Márcia Baptista Caramori Fátima Deyse Sacramento Porcidonio Gilberto Edinaldo Moura Gislene Silva Lima Helvécio Dourado Pacheco Hugo Leonardo de Siqueira Cardoso Jane Hudson Abranches Kelly Cristina Naves Paixão Lúcia Helena P Medeiros Maria Cândida Muniz Trigo Maria Vilma Valente de Aguiar Pedro Henrique de Moura Araújo Sheyla Carvalho Lira Suely Alves Wanderley Taíse Pereira Liocádio Teresa Maria Abath Pereira Weldson dos Santos Batista Capa Marcos Hartwich Ilustrações Raphael Caron Freitas Coordenação Editorial Zuleika de Felice Murrie O MECINEP cede os direitos de reprodução deste material às Secretarias de Educação que poderão reproduzilo respeitando a integridade da obra M425 Matemática e suas tecnologias livro do estudante ensino médio Coordenação Zuleika de Felice Murrie 2 ed Brasília MEC INEP 2006 244p 28cm 1 Matemática Ensino Médio I Murrie Zuleika de Felice CDD 510 Sumário Introdução Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade Suzana Laino Cândido Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática Fabio Orfali Capítulo III Convivendo com os números Elynir Garrafa Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam Marília Toledo Capítulo V Medidas e seus usos José Luiz Pastore Mello Capítulo VI As grandezas no diaadia Lúci M Loreto Rodrigues Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos Wilson Roberto Rodrigues Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia Jayme Leme Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia Helenalda Nazareth 8 11 39 65 87 117 143 175 197 221 8 Este material foi desenvolvido pelo Ministério da Educação com a finalidade de ajudálo a prepararse para a avaliação necessária à obtenção do certificado de conclusão do Ensino Médio denominada ENCCEJA Exame Nacional de Certificação de Competências de Jovens e Adultos A avaliação proposta pelo Ministério da Educação para certificação do Ensino Médio é composta de 4 provas 1 Linguagens Códigos e suas Tecnologias 2 Matemática e suas Tecnologias 3 Ciências Humanas e suas Tecnologias 4 Ciências da Natureza e suas Tecnologias Este exemplar contém as orientações necessárias para apoiar sua preparação para a prova de Matemática e suas Tecnologias A prova é composta de 45 questões objetivas de múltipla escolha valendo 100 pontos Este exame é diferente dos exames tradicionais pois buscará verificar se você é capaz de usar os conhecimentos em situações reais da sua vida em sociedade As competências e habilidades fundamentais desta área de conhecimento estão contidas em I Compreender a Matemática como construção humana relacionando o seu desenvolvimento com a transformação da sociedade II Ampliar formas de raciocínio e processos mentais por meio de indução dedução analogia e estimativa utilizando conceitos e procedimentos matemáticos III Construir significados e ampliar os já existentes para os números naturais inteiros racionais e reais IV Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela V Construir e ampliar noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano VI Construir e ampliar noções de variação de grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano VII Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas envolvendo variáveis socioeconômicas ou técnicocientíficas Introdução 9 VIII Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas realizando previsão de tendência extrapolação interpolação e interpretação IX Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística Os textos que se seguem pretendem ajudálo a compreender melhor cada uma dessas nove competências Cada capítulo é composto por um texto básico que discute os conhecimentos referentes à competência tema do capítulo Esse texto básico está organizado em duas colunas Durante a leitura do texto básico você encontrará dois tipos de boxes um boxe denominado de desenvolvendo competências e outro de texto explicativo O boxe desenvolvendo competências apresenta atividades para que você possa ampliar seu conhecimento As respostas podem ser encontradas no fim do capítulo O boxe de texto explicativo indica possibilidades de leitura e reflexão sobre o tema do capítulo O texto básico está construído de forma que você possa refletir sobre várias situações problema de seu cotidiano aplicando o conhecimento técnicocientífico construído historicamente organizado e transmitido pelos livros e pela escola Você poderá ainda complementar seus estudos com outros materiais didáticos freqüentando cursos ou estudando sozinho Para obter êxito na prova de Matemática e suas Tecnologias do ENCCEJA esse material será fundamental em seus estudos Suzana Laino Cândido A MATEMÁTICA UMA CONSTRUÇÃO DA HUMANIDADE COMPREENDER A MATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA RELACIONANDO SEU DESENVOLVIMENTO COM A TRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE Capítulo I Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 12 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade A Matemática e o diaadia As condições de vida da humanidade se modificaram ao longo do tempo com o desenvolvimento da agricultura do comércio da indústria do conhecimento e da tecnologia E através das conseqüências do avanço em todas essas áreas Apesar de o homem não ter registrado o que fazia e pensava no início de sua história ele precisava resolver problemas de seu diaadia ligados à sua subsistência Ao buscar soluções para eles o conhecimento matemático começou a ser construído Figura 1 Na comparação entre o número de aves do caçador e o número de peixes do pescador está a raiz de uma das mais belas idéias matemáticas a proporcionalidade 1 Desenvolvendo competências Reflita sobre a seguinte situação Se os pescadores e caçadores daquela época trocassem sempre 2 aves por 3 peixes quantos peixes deveria ter um pescador para trocar por 22 aves Como você resolveria esse problema Os homens das cavernas não dispunham ainda dos registros e técnicas operatórias atuais para resolver a questão O pescador poderia pensar assim quero aves mas só tenho peixes Vou agrupar meus peixes de 3 em 3 e para cada grupo ponho 2 pedrinhas ao lado para representar as aves até completar 22 pedrinhas Então conto quantos peixes preciso São 33 peixes Figura 2 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 13 O caçador poderia pensar de um modo semelhante para resolver o problema agrupando suas 22 aves em grupos de 2 agora as pedrinhas seriam peixes 3 para cada grupo de aves Contanto as pedrinhas ele descobre que são 33 peixes Assim como esse outros problemas que o homem tem resolvido em seu cotidiano deram grande impulso ao conhecimento da humanidade e em particular ao conhecimento matemático A Matemática e a linguagem Tanto o pescador como o caçador pensaram de um modo até bastante sofisticado Entretanto talvez a estratégia que utilizaram para resolver a questão da troca já não fosse tão eficiente se tivessem que decidir quantos peixes trocar por 560 aves Com o correr do tempo o homem passou a produzir mais e a ter um estoque do que produzia superávit além da necessidade do consumo próprio e de seu grupo Com isso as idéias e técnicas matemáticas foram se aperfeiçoando para poder resolver os problemas que envolviam grandes quantidades por exemplo É bem possível que você tenha resolvido o problema dos peixes de um modo mais rápido como por exemplo Esses símbolos que atualmente combinamos e usamos de um modo conveniente para registrar a resolução do problema dos peixes fazem parte de uma linguagem escrita que foi sendo construída à medida que as idéias e conceitos matemáticos foram sendo descobertos elaborados e aplicados pelo homem em outras situações é a linguagem matemática Essa linguagem quando é escrita utiliza símbolos próprios e universais o que permite uma comunicação que ultrapassa fronteiras das diversas línguas Entretanto quando nos comunicamos oralmente utilizando essa linguagem lançamos mão da língua materna Veja um exemplo Um freguês de uma padaria compra todos os dias leite a R110 o litro e alguns pãezinhos a R 020 cada Como se pode representar a despesa dessa pessoa num dia A situação acima descrita em nossa língua materna pode ser registrada por meio da linguagem matemática que favorece a representação da despesa desse freguês para qualquer quantidade de pães que ele compre Podemos representar por n o número de pães e por fn lêse f de n a despesa Assim a despesa pode ser representada pela igualdade f n 110 020 n Despesa total Despesa com o leite Despesa com os pães Figura 3 11 3 33 ou 22 2 11 00 2 3 22 x então x 33 3 22 2 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 14 2 3 Desenvolvendo competências Você e as placas de trânsito Algumas placas de trânsito que você encontra nas ruas e estradas utilizam uma linguagem simbólica muitas vezes impregnada de idéias matemáticas Observe as placas ao lado a O que elas significam b Que idéia matemática cada uma delas utiliza Desenvolvendo competências Represente o que é solicitado em cada situação por uma sentença matemática de acordo com as informações dadas 1 Um táxi cobra R350 a bandeirada e R120 por quilômetro rodado Como você pode representar a despesa de um passageiro que faz um percurso de alguns quilômetros nesse táxi Represente por n o número de quilômetros rodados e por fn a despesa do passageiro 2 Todos os terrenos de um condomínio têm 10m de frente porém têm largura que varia de um terreno para outro Como você pode representar a área de um terreno qualquer desse condomínio que tem alguns metros de largura Represente por A a área do terreno e por l sua largura É claro que até chegarmos a esse tipo de linguagem milhares de anos se passaram Além de todos esses símbolos que utilizamos para nos comunicar e para resolver problemas muitas vezes nos valemos de uma linguagem constituída de ícones gráficos e diagramas impregnada de idéias matemáticas e cujo objetivo é comunicar informações do modo mais claro e preciso possível Agora é sua vez de simbolizar A linguagem matemática está sempre em evolução já que novas idéias e conceitos são criados a todo momento Figura 4 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 15 A todo momento podemos constatar nos meios de comunicação televisão jornais revistas internet folhetos livros etc a presença dessa linguagem Uma pessoa que não a domina não é Pense um pouco sobre os gráficos acima Os gráficos publicados pelo jornal fizeram parte de matéria sobre o caso cracolândia ocorrido na capaz de compreender as informações apresentadas o que poderá tornála incapaz de participar de maneira integral de uma vida em sociedade cidade de São Paulo no final de 2001 e dizem respeito às ações promovidas pela Corregedoria da polícia civil e à situação de seus funcionários Adaptado da Folha de S Paulo São Paulo 17 dez 2001 Cotidiano p C4 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 16 5 O gráfico denominado de Os motivos das demissões é chamado gráfico de barras pois é constituído de barras retangulares horizontais cujo comprimento representa o percentual dos motivos de corrupção no período de 1996 a 2001 Ao justificar suas respostas sobre o gráfico dos demitidos você deve ter argumentado baseando se nos conhecimentos que construiu até hoje Por exemplo quando dizemos que em 2001 o número de demitidos foi de aproximadamente 22 do total entre 1996 e 2001 estamos comparando 172 com 797 e registrando o número na forma percentual Confira dividimos 172 por 797 obtendo aproximadamente 0215808 confira com uma calculadora multiplicamos 0215808 por 100 para escrever esse número na forma percentual 215808 agora você já não precisa de calculadora 4 O gráfico denominado de O número de demitidos é chamado gráfico de linha já que uma linha a laranja liga os pontos que representam os números de demitidos mostrando a evolução desse número no período de 1996 a 2001 Desenvolvendo competências a Você pode concluir que no período de 1996 a 2001 o número de demitidos da polícia civil em São Paulo sempre cresceu Por quê b Na primeira metade desse período 19961998 foram demitidos aproximadamente 50 dos policiais demitidos no período todo 19962001 Você considera essa afirmação verdadeira Justifique sua resposta também aproximamos esse número para 216 desprezando as demais casas decimais que não representariam sequer 1 pessoa A forma percentual indica que comparamos uma parte dos demitidos com um total de 100 Assim o número 216 representa a seguinte situação ideal se pudéssemos agrupar os 797 demitidos em grupos de 100 e espalhar igualmente por esses grupos os 172 demitidos aproximadamente 216 pessoas em cada grupo teriam sido demitidas em 2001 o que na realidade não acontece já que não existe 06 de pessoa Então esse número 216 por estar mais próximo de 22 do que de 21 deve ser aproximado para 22 significando que em cada grupo de 100 demitidos entre 1996 e 2001 há aproximadamente 22 demitidos em 2001 Desenvolvendo competências Agora é com você Observe o gráfico de barras e verifique quantos policiais foram demitidos no período de 1996 a 2001 por corrupção A partir das situações apresentadas você deve ter percebido a importância da linguagem matemática para controlar e prever resultados como no caso da despesa dos pães e leite bem como para comunicar dados e idéias como no caso das placas de trânsito e dos gráficos do jornal Essa linguagem foi pseudoconstruída ao longo do tempo à medida que as idéias matemáticas que ela descreve foram ficando cada vez mais claras e precisas para a humanidade Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 17 O desenvolvimento da Matemática e os outros campos do conhecimento Você já viu que o desenvolvimento da Matemática se deve em grande parte à busca de soluções para problemas que a humanidade tem enfrentado em seu diaadia Apenas para dar alguns exemplos Que chance tenho em ter meu bilhete sorteado numa loteria de números Como fixar as ripas de meu portão Quantas estampas diferentes posso obter nos tecidos da tecelagem onde trabalho se o fundo pode ser ou azul ou amarelo e o desenho pode ser de bolinhas brancas ou de listras pretas ou ainda xadrez vermelho Questões semelhantes a essa fizeram o homem pensar nos fenômenos probabilísticos em questões geométricas e nos problemas de contagem respectivamente Além desses campos específicos da Matemática aos quais eles se referem outros mais foram desenvolvidos a partir de problemas que envolviam números medidas álgebra ligados à realidade da humanidade Entretanto os outros campos do conhecimento também têm solicitado respostas da Matemática para solucionar seus problemas específicos contribuindo indiretamente para seu desenvolvimento Para citar um exemplo que mostra a Matemática sendo utilizada em outro campo do conhecimento vamos focalizar nosso olhar na Trigonometria ramo da Matemática que até por volta do século XVII desenvolveuse em decorrência de uma ligação estreita entre a teoria e a prática No início de sua criação a Trigonometria era um campo da Matemática no qual os ângulos de um triângulo e as medidas de seus lados eram relacionados As razões trigonométricas apareceram inicialmente por necessidades da Astronomia da Agrimensura e da navegação Posteriormente por volta dos séculos XVI e XVII a Trigonometria esteve a serviço da Física para descrever e explicar fenômenos periódicos como por exemplo o movimento periódico dos planetas estudado por Kepler o movimento periódico dos pêndulos estudado por Galileu a propagação do som em forma de ondas estudada por Newton a propagação da luz em forma de ondas estudada por Huyghens a vibração de uma corda de violino estudada por Mersenne Astronomia é a ciência que estuda as posições relativas os movimentos a estrutura e a evolução dos astros Agrimensura é a técnica de medida dos elementos geométricos das partes de um terreno Tri gono metria três medida ângulo Todos sabem que se você deseja ser um físico ou engenheiro deveria ser bom em Matemática Mais e mais pessoas estão descobrindo que se desejam trabalhar em certas áreas da Economia ou Biologia deveriam rever sua Matemática A Matemática penetrou na Sociologia Psicologia Medicina e Lingüística Sob o nome de cliometria está se infiltrando na História para sobressalto dos mais velhos DAVIS Philip J KERSH Reuben A experiência matemática Tradução de João Bosco Pitombeira Rio de Janeiro F Alves c 1989 481p Coleção Ciência The Mathematical experience Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 18 Já no final do século XVII com o início do desenvolvimento do conceito de Função o estudo da Trigonometria se ampliou para um campo mais abstrato desligandose assim das aplicações práticas Figura 6 Onde a b e c são as medidas dos catetos e da hipotenusa desse triângulo retângulo a e b seus ângulos agudos e sen seno cos coseno e tg tangente são razões entre medidas dos lados desse triângulo como estão descritas acima h1 h2 h3 v1 v2 v3 c constante As razões trigonométricas já eram utilizadas pelos egípcios para resolver problemas de Arquitetura por ocasião das construções das pirâmides Para manter constante a inclinação das paredes das pirâmides durante a construção eles mantinham constante o quociente do afastamento horizontal pelo afastamento vertical que eram medidos com unidades diferentes Na figura a seguir os afastamentos horizontais foram representados por h 1 h 2 e h 3 e os verticais por v 1 v 2 e v 3 Figura 7 Assim quando eles constatavam que Atualmente as razões trigonométricas num triângulo retângulo são apresentadas como na Figura 6 concluíam que a parede apresentava sempre a mesma inclinação Ora o quociente entre essas medidas é nada mais nada menos do que uma razão trigonométrica conhecida hoje por cotangente do ângulo de inclinação da parede com o chão Hoje em dia medese a inclinação de uma reta por uma razão entre segmentos verticais e horizontais tangente do ângulo de inclinação razão essa inversa da utilizada pelos egípcios para resolverem problemas arquitetônicos Figura 5 Triângulo retângulo é o triângulo que tem um ângulo reto de 90 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 19 Hoje usase Egípcios usavam tg α v h cotg α h v Atualmente os topógrafos dispõem de instrumentos de medida de ângulo que lhes permitem determinar medidas por vezes inacessíveis tg 30º h 200 ou 057 h 200 Desejando saber qual a altura do morro que tinha à sua frente um topógrafo colocouse com seu teodolito a 200m do morro Ele sabe que a altura do teodolito é de 160m Posiciona o aparelho que lhe fornece a medida do ângulo de visada de parte do morro 30 Consulta uma tabela de tangentes e verifica que tg 30 057 Assim no triângulo TPM temos Figura 8 o que lhe permite calcular h h 200 x 057 114 O topógrafo conclui que o morro tem 114 160 11560m de altura Figura 9 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 20 Uma experiência que você também pode fazer Veja como é possível encontrar a tangente de um ângulo agudo experimentalmente Como exemplo vamos determinar a tangente de um ângulo de 35 indicase tg 35 utilizando Construímos com a régua e o transferidor um ângulo de 35 Apoiamos o esquadro em um dos lados do ângulo em vários pontos desse lado por exemplo A B C traçamos perpendiculares a esse lado até encontrar o outro lado em pontos correspondentes A B C Régua Transferidor Esquadro Figura 10 Figura 11 Figura 12 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 21 Foram construídos assim vários triângulos retângulos OAA OBB OCC destacados a seguir medida do cateto oposto ao ângulo de 35 Como tg 35 medida do cateto adjascente ao ângulo de 35 em cada triângulo medimos o cateto oposto ao ângulo de 35 AA BB CC e o cateto adjacente a esse ângulo OA OB OC para encontrarmos o valor de tg 35 102 tg 35 067 152 305 406 tg 35º 075 tg 35º 073 356 483 Calculamos a média aritmética dos valores obtidos para expressar o valor mais representativo de tg 35 do seguinte modo tg 35 071 067 075 073 3 Com um processo semelhante podemos determinar experimentalmente o seno e o cosseno de ângulos agudos Figura 13 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 22 6 Desenvolvendo competências Para você desvendar uma construção estranha O quebracabeça a seguir é muito conhecido Para desvendálo você precisa pensar na tangente de ângulos agudos em triângulos retângulos Vamos experimentar A Figura 14 é uma região quadrada montada com figuras de um quebracabeça formado por 4 peças dois triângulos e dois trapézios Essas peças são compostas de outra maneira formando outra região retangular na Figura 15 Isso é possível já que as peças que formam o quebracabeça da Figura 14 são as mesmas que formam o quebracabeça da Figura 15 Concorda ou não Você acha que eles deveriam ter a mesma área já que são compostos pelas mesmas peças Agora confira se a região quadrada da Figura 14 tem 64 de área e a região retangular da Figura 15 tem 65 de área Finalmente responda por que a área da Figura 14 tem uma unidade a mais do que a área da Figura 15 Para resolver esse problema imite os egípcios porém usando a tangente dos ângulos α e β assinalados na Figura 16 ao lado Se eles possuírem a mesma tangente é porque são iguais e então a linha AB é realmente um segmento de reta Caso eles não tenham a mesma tangente então a linha AB muda de inclinação no ponto X Aproveite o quadriculado e escolha dois triângulos retângulos convenientes na figura para você determinar tg α e tg β Considere o lado do quadradinho como uma unidade de medida u Mãos à obra Figura 16 Figura 14 Figura 15 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 23 Depois de tirar sua conclusão você pode confirmála montando o quebracabeça da Figura 14 numa malha quadriculada de 2cm x 2cm e depois recortando as peças e montando o quebra cabeça da Figura 15 Vai ter uma surpresa que confirmará sua resolução anterior Experimente Neste quebracabeça você foi incentivado a utilizar seu conhecimento sobre as tangentes de ângulos agudos na prática a fim de explicar por que a área da nova região retângular é diferente da área da região quadrada inicial Você observou que foi necessária uma ferramenta teórica para dar tal explicação o conceito de tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo Mas você fez também o caminho inverso Experimentou montar a região quadrada inicial num quadriculado maior separando suas peças rearranjandoas para montar a segunda região retangular Verificou então que nesse caso o quebracabeça não fecha fica uma fenda no meio dele mostrando que a área da segunda figura é maior do que a da primeira Essa prática confere ao conhecimento construído conceito de tangente uma certa confiabilidade Esse movimento conhecimentoprática conhecimento ocorreu inúmeras vezes na construção do conhecimento matemático Algumas teorias como as geometrias não euclidianas foram criadas não por necessidades impostas pela realidade nem para atender a outras ciências nem à Matemática mas por simples exercício do intelecto e só muito tempo depois de sua criação encontraram aplicação na Física A teoria geral da relatividade elaborada por Einstein não teria sido possível sem uma dessas geometrias É a aplicação prática novamente dando confiabilidade ao conhecimento matemático construído Ainda vale a pena lembrar que muitos problemas práticos ou científicos são resolvidos por modelização isto é criamse modelos matemáticos para resolvêlos como no caso da Química Durante muito tempo no campo da Química procuraramse modelos para representar os átomos de elementos químicos Era desejável que tais modelos por meio de sua configuração espacial pudessem descrever e explicar as propriedades desses elementos como por exemplo o tetraedro que representa o átomo de carbono O que você pensa sobre isso Você considera que um modelo desse tipo é algébrico geométrico ou aritmético 7 Desenvolvendo competências Esse modelo do átomo de carbono pode ser considerado como o esqueleto de um sólido o tetraedro No caso da modelização nem sempre os modelos construídos são suficientemente bons para responder às necessidades práticas Por isso as teorias têm que ser colocadas à prova é a experiência validando o conhecimento construído Figura 17 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 24 A Matemática e suas questões internas Quantas vezes você já deve ter feito a mesma pergunta que aparece na Figura 18 não é mesmo Muitas vezes aprendemos conceitos matemáticos que à primeira vista nada têm a ver com a realidade em que vivemos Posteriormente percebemos que eles serviram para construirmos novos conceitos e idéias matemáticas que têm grande aplicação em nossa vida Um exemplo interessante é o dos números complexos É muito comum entrarmos em contato com esse tipo de número por meio de problemas que envolvem raiz quadrada de número negativo Veja um problema famoso a seguir Descubra dois números cuja soma é 10 e cujo produto é 40 Esse problema foi objeto de estudo do matemático italiano Cardano em 1545 que o considerou manifestamente impossível mas mesmo assim vamos operar A equação do segundo grau já era conhecida no tempo de Cardano ax 2 bx c 0 e a fórmula que a resolve também onde a b e c são números reais Cardano concluiu que a equação que resolvia esse problema é x 210 x 40 0 e que eram soluções do problema Entretanto considerou essas expressões inúteis pois envolviam números para os quais ainda não tinha sido dado nenhum significado a raiz quadrada de número negativo Nesse tempo Bombelli outro matemático italiano resolveu operar com esses números mesmo sem dar a eles um significado imitando o procedimento que utilizava para operar com números reais Bombelli confirma por exemplo que a soma e o produto dos números e soluções do problema inicial são 10 e 40 respectivamente Ele operou com esses números usando as mesmas regras e propriedades dos números reais que conhecia Figura 18 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 25 9 Desenvolvendo competências Você já operou com os números Agora representeos por dois pontos no plano Antes porém escrevaos na forma e construa os dois eixos perpendiculares o da parte real onde você vai marcar o número a e o da parte imaginária onde você vai marcar o número b Figura 19 8 As raízes quadradas de números negativos continuaram a aparecer nos séculos XVI XVII e XVIII Os matemáticos manipulavam esses números sem saber o que significavam tanto é que os nomes que tais números receberam na época descreviam bem esse desconforto sofísticos fictícios impossíveis místicos sem sentido imaginários este último perdura até hoje O conjunto desses números só passou a ter status de campo numérico a partir dos trabalhos de Gauss no final do século XVIII e início do século XIX quando os números da forma onde a e b são números reais passaram a ser Como você pode ver a criação dos números complexos não se deveu a nenhum problema do cotidiano das pessoas mas sim à necessidade de dar um significado a soluções de equações onde apareciam raízes quadradas de números negativos E essa é uma questão interna à Matemática Aprender sobre os avanços da Matemática que surgiram em virtude da necessidade de resolver seus problemas internos contribui para desenvolver maneiras particulares de raciocinar compreender como um conteúdo matemático de grande aplicação na realidade foi criado a partir de outro que aparentemente nada tem a ver com ela mas somente como exercício do pensar aumentar sua cultura chamados de números complexos e a ser representados por um par ordenado de números reais a b que admitia uma representação geométrica por um ponto no plano Desenvolvendo competências Imitando Bombelli Tente encontrar a soma e o produto abaixo Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 26 Afinal o que a Matemática tem a ver com o lixo Ora uma campanha de conscientização sobre a coleta do lixo pode ser feita com as pessoas que moram em seu quarteirão Ela pode ser desenvolvida em várias etapas como por exemplo Um grupo de vizinhos interessados em solucionar o problema pode se organizar para fazer essa campanha Fazer um levantamento do tipo de lixo que é jogado nas ruas observando as ruas todos os dias durante um certo período estipulado pela equipe recolhendo e anotando o lixo encontrado papéis casca de frutas embalagens garrafas etc Para fazer essa coleta o grupo de vizinhos deve se munir de luvas de borracha sacos de lixo de 20 litros marcados com cores diferentes azul Usando a Matemática para modificar o mundo A todo momento convivemos com uma grande quantidade de objetos fatos e informações de procedências e naturezas diversas Por isso precisamos compreendêlos analisálos relacionálos e muitas vezes modificálos para tornar melhor a realidade em que vivemos Você pode notar que essas três situações são de caráter muito diferente Arrumar os objetos no armário demanda de você uma habilidade em ocupar o espaço de modo conveniente para que todos os objetos caibam Mas não só isso É possível que você queira colocar na prateleira de cima os objetos que usa para escrever lápis caderno e livro e na de baixo os que não utiliza para esse fim relógio tesoura caixinhas Isso mesmo você classifica os objetos de acordo com o critério que mais lhe interessa Já a questão do lixo é mais complexa pois sua solução não depende apenas de você Que tal uma campanha de conscientização entre as pessoas que moram no seu quarteirão Como fazer isso Seria bom fazer uma coleta seletiva As pessoas sabem o que é isso Os exemplos são tantos que tropeçamos neles em nosso diaadia desde os mais simples até os mais complexos Figura 20 Figura 21 Figura 22 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 27 para papel verde para vidro amarelo para latas vermelho para plásticos branco para lixo orgânico de como é feita a coleta de lixo nesse quarteirão por caminhão coletor por cada morador que queima seu lixo ou levao para um depósito comunitário etc sobre o conhecimento que as pessoas têm sobre coleta seletiva e se praticam a coleta seletiva Papel Vidro Latas de bebida Orgânico restos de alimentos folhas animais mortos etc Plástico 2kg 1kg 3kg 3kg Sarjeta Portas de casas Sarjeta calçadas Sarjeta calçadas rua porta de casa Tipo de lixo Quantidade Local 1kg Sarjeta esquinas Conhece Não conhece 10 1 15 64 Coleta seletiva de lixo Pratica Não pratica papel 34 12 44 vidro 2 0 88 lata 24 15 51 orgânico 13 8 69 plástico 6 10 74 Tipo de lixo Em relação ao hábito de jogar lixo na rua a Tabela 1 apresenta o nº de moradores em cada situação Em relação ao conhecimento e à prática da coleta seletiva de lixo a Tabela 2 apresenta o nº de moradores em cada situação Em relação ao tipo de lixo e à quantidade encontrados nas ruas durante um certo período por exemplo 1 semana Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3 sobre os insetos mais freqüentes nas casas desse quarteirão e na parte externa às moradias O grupo de vizinhos poderá encontrar outros itens que considerar mais convenientes De posse desses dados o grupo poderá arrumálos em tabelas poderá também confeccionar gráficos para a conscientização dos moradores do quarteirão como por exemplo Joga freqüentemente raramente nunca Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 28 A elaboração das tabelas favorecerá a observação de semelhanças e diferenças entre os materiais coletados e portanto favorecerá os processos de classificação para a realização de coleta seletiva a tabulação e análise de dados Na coleta encontrouse um número muito maior de latas do que garrafas de vidro A que se deve esse fato Na pesquisa percebeuse que o hábito de jogar papel e latinhas de refrigerante ou cerveja ainda é muito forte entre os moradores desse quarteirão O que se poderia fazer a respeito os cálculos que por ventura devam ser feitos para por exemplo fazer previsões se cada garrafa coletada pesa em média 300g e cada lata 50g quantas garrafas e quantas latas foram coletadas na semana Se os sacos de lixo utilizados na coleta suportam em média 20kg de quantos sacos vamos precisar para a próxima semana de coleta a observação de regularidades A tabela anterior mostra que é na sarjeta que se encontra a maior diversidade de lixo a verificação de quantos moradores estão envolvidos direta ou indiretamente na coleta de lixo do quarteirão em questão na primeira tabela é fácil perceber que são 90 essas pessoas a previsão sobre as medidas que deverão ser tomadas para conscientizar as pessoas que não conhecem ou não praticam a coleta seletiva ao todo 80 moradores do quarteirão Essas medidas podem ser de vários tipos folhetos explicativos reuniões com os moradores do quarteirão visitas do grupo de pesquisa a cada casa do quarteirão para explicar sobre a coleta de lixo etc a confecção de gráficos que possam por meio do impacto visual mostrar aos moradores do quarteirão o problema do lixo de forma imediata Um cartaz como o seguinte Figura 23 nos mostra que os moradores do quarteirão precisam ser informados sobre o que é a coleta seletiva e suas vantagens Para confeccionar um gráfico desse tipo gráfico de setores você precisa mobilizar conhecimentos sobre ângulo ângulo central setor circular proporcionalidade entre ângulo central do setor e o número de moradores que não conhecem ou não praticam coleta seletiva do lixo 80 08888 888 90 Veja como é possível fazer isso Dentre os 90 moradores pesquisados 80 não conhecem ou não praticam a coleta seletiva Isso pode ser registrado assim ou seja 888 dos moradores não conhecem ou não praticam coleta seletiva O setor circular que corresponde a 888 do círculo é determinado por um ângulo central que deve medir 888 de 360 que é 0888 360 320 AÔB é um ângulo central tem o vértice no centro do círculo pintado de duas cores Cada uma das regiões branca e cinza é chamada de setor circular Figura 24 Não conhecem ou não praticam coleta seletiva Figura 23 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 29 O valor que se obtém com a calculadora é 31968 que aproximamos para 320 para facilitar a confecção do gráfico com um transferidor Caso o elaborador do gráfico disponha de um microcomputador e de um programa que faça gráficos tudo fica bem mais fácil É só alimentar o programa com os dados obtidos na pesquisa que o gráfico sai prontinho De posse de todo esse material o grupo de vizinhos que fez a pesquisa poderá discutir com os demais moradores sobre a questão do lixo daquele quarteirão no sentido de conscientizálos a não jogar lixo nas ruas a praticar a coleta seletiva e quem sabe a ampliar esse projeto para outros quarteirões do bairro Eis aí um grupo de vizinhos que usou a Matemática para modificar as condições de sua realidade de seu mundo Você também pode fazer isso Construindo o setor de 320 Dica Comece por reduzir o consumo Aproveite produtos que usualmente não costuma utilizar como por exemplo as folhas da beterraba para fazer um refogado ou as cascas do abacaxi para um refresco e depois sempre que possível reutilize as embalagens Com isso você estará combatendo o aumento do lixo o que facilitará posteriormente a reciclagem Caso o grupo tenha algum outro tipo de interesse em promover mudanças em seu bairro no quarteirão onde mora no espaço em que trabalha ou nas instituições que freqüenta igrejas centros de saúde por exemplo é possível promovêlas nos mesmo moldes da coleta do lixo com as devidas adaptações que o próprio grupo fará Alguns temas poderão ser escolhidos como motivo de um levantamento estatístico para ser o ponto inicial de tais mudanças Interesse da comunidade em promover um sábado cultural a cada mês com os artistas da própria comunidade A vacina contra a gripe e os idosos funciona ou não O período de lazer das crianças do bairro quem como e onde promovêlo e organizálo O trabalho voluntário uma opção para qualquer pessoa Mãos à obra Para você intervir em sua realidade Você também pode fazer uma campanha de esclarecimento junto à sua comunidade sobre a redução reutilização reciclagem do lixo O levantamento de dados sobre essas ações pode ser obtido mediante um questionário que seria aplicado às pessoas da comunidade alvo da tal campanha Para que essa comunidade se conscientize da importância da redução reutilização reciclagem do lixo é importante que os resultados de sua pesquisa sejam mostrados e analisados por elas nesse caso nada melhor do que um gráfico para que percebam clara e imediatamente em que situação se encontram diante do problema e decidam que atitudes tomar para eliminálo Então combine com alguns amigos interessados nas vantagens da reduçãoreutilização reciclagem e da coleta seletiva do lixo para desenvolver um programa de conscientização em seu quarteirão em seu bairro ou em sua escola como o que foi descrito anteriormente Figura 25 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 30 Fazendo uma maquete É claro que quando se quer modificar o mundo a nossa volta é preciso pensar não só na Matemática mas também muito além dela em outras áreas do conhecimento Por exemplo iniciar uma campanha de esclarecimento sobre o lixo leva as pessoas envolvidas a buscar conhecimentos sobre desvantagens do lixo a céu aberto processos de coleta de reciclagem vantagens e desvantagens da reciclagem como reaproveitar o material reciclado como recolocálo no mercado para o consumo etc Muito provavelmente a Física a Química a Biologia a Sociologia e a Economia são campos do conhecimento que contribuirão para que essa campanha tenha sucesso Se a Matemática tem algo a ver com o problema do lixo o que dizer sobre sua relação com a exposição da qual a menina deseja participar Como a Matemática pode ajudar a garota a externar esse sentimento de prazer e orgulho de ser aluna de uma escola que ela considera bonita Para começar seu projeto a menina foi medir o terreno de sua escola e a altura comprimento e largura do prédio Percebeu que seria difícil pensou até em providenciar um teodolito para imitar o topógrafo quando vai encontrar o ângulo de visada e com sua tangente determinar a altura do prédio Entretanto não foi necessário Como havia um terraço no alto desse prédio foi ajudada por alguns colegas enquanto segurava a ponta do barbante do alto do terraço do prédio um colega cortava o barbante no ponto em que ele atingia o chão e depois mediu o barbante Para medir a largura e comprimento é mais fácil pois podese fazer todas essas medições no chão mesmo Figura 26 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 31 Depois de tanto trabalho alguém lhe deu a idéia de procurar a planta do prédio da escola na Prefeitura e foi o que ela fez Com a planta na mão resolveu fazer uma maquete de tal maneira que a relação entre as medidas da maquete e as medidas reais deveriam estar na razão 1 50 isto é cada centímetro de comprimento na maquete representava 50 cm na realidade ou cada 2 cm correspondia a 1 m Fez sua maquete em cartolina com uma base de papelão Construiu um paralelepípedo para representar o prédio principal com as medidas adequadas e outro para representar a cantina Não esqueceu de um prisma triangular para o telhado da cantina Recortou vários retângulos para as janelas e parte da porta e um semicírculo para o alto da porta Com arame fino fez os enfeites do terraço do telhado que foram fixados em pequenos prismas de isopor A exposição foi um sucesso e a menina chamou a atenção dos visitantes para sua escola que durante tantos anos havia passado despercebida pelos moradores do bairro menos para as crianças professores e funcionários que lá trabalhavam Muitas pessoas se interessaram em saber se nessa escola havia trabalho voluntário das pessoas da comunidade se a escola recebia os moradores do bairro para oferecer cursos de alfabetização de adultos de atendente de enfermagem etc etc etc A partir desse dia professores alunos e demais funcionários dessa escola juntamente com pessoas da comunidade resolveram desenvolver um projeto de caráter sócioeducativo a cada ano O primeiro foi o de alfabetização de adultos Figura 27 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 32 10 Desenvolvendo competências Como será que a menina fez a Se o prédio principal da escola tem 10 m de altura 12 m de comprimento e 8 m de largura quais as medidas desse prédio na maquete b Dos moldes abaixo qual você acha que a menina utilizou para fazer o prédio da escola c E para fazer o telhado da cantina d Quantos cm2 de cartolina a menina gastou na confecção do prédio da escola em sua maquete Terminando Figura 28 Figura 29 Nestas poucas páginas você teve a oportunidade de refletir sobre a Matemática como uma ciência que foi e continua sendo construída pela humanidade não só em decorrência de problemas que surgem em muitas situações de nossa realidade mas também por solicitação de outros campos do conhecimento e por questões internas à própria Matemática Você deve ter notado também que os problemas que resolvemos em nosso cotidiano têm caráter Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 33 interdisciplinar ninguém sai de casa pensando hoje vou resolver um problema de subtração para calcular o troco quando fizer as compras no supermercado Muito provavelmente além do troco é preciso fazer estimativas para ver se o dinheiro disponível para as compras será suficiente ou se a data de validade é conveniente tendo em vista o ritmo de consumo do comprador em relação ao produto que está querendo comprar Um comprador também precisa estar atento na hora da compra para o que é mais vantajoso em termos de preço uma embalagem de molho de tomate de 350 ml por R 280 ou outra da mesma marca de 500 ml por R 380 Além disso é preciso decidir por uma ou outra marca de um produto é preferível comprar um produto de marca comprovadamente idônea do Afinal Por que a Matemática é importante Por ser útil como instrumentador para a vida Por ser útil como instrumentador para o trabalho Por ser parte integrante de nossas raízes culturais Porque ajuda a pensar com clareza e a raciocinar melhor Por sua própria universalidade Por sua beleza intrínseca como construção lógica formal etc Texto adaptado de DAMBRÓSIO Ubiratan Etnomatemática arte ou técnica de explicar e conhecer São Paulo Ática c1990 88 p Fundamentos v 74 Figura 30 Figura 31 Figura 32 11 Desenvolvendo competências E você o que acha O que é mais vantajoso comprar uma embalagem de molho de tomate de 350 ml por R280 ou outra da mesma marca com 500ml por R380 que de outra desconhecida da qual não sabemos a procedência dos artigos utilizados na confecção do produto e os cuidados com seu preparo Não podemos esquecer também que ao escolhermos este ou aquele supermercado para fazermos as compras temos que levar em conta o que sabemos sobre a higiene do estabelecimento seus procedimentos de estocagem o tratamento que os funcionários dispensam aos fregueses etc Enfim o problema das compras como muitos e muitos problemas que resolvemos a todo momento em nossa vida não se limita a um único campo do conhecimento humano Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 34 Conferindo seu conhecimento Você e as placas de trânsito Largura máxima 18m Medida Grandeza medida comprimento Velocidade máxima permitida 80kmh Medida Grandeza medida velocidade Altura máxima 3m Medida Grandeza medida comprimento Restaurante a 500m Medida Grandeza medida comprimento 3 a Entre 1996 e 2001 o número de demitidos nem sempre cresceu Ele diminui de 1998 para 1999 e de 2000 para 2001 b De 1996 a 1998 foram demitidos 75 96 134 305 policiais corruptos De 1996 a 2001 foram demitidos 797 policiais corruptos Logo 4 1 fn 120 n 350 2 A10 l 2 305 038 38 50 797 Agora é com você De 1996 a 2001 foram demitidos 75 96 134 131 189 172 797 policiais corruptos 5 Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 35 Para você desvendar uma construção estranha Como as duas figuras são compostas pelas mesmas peças então deveriam ter mesma área Área da Figura 33 64 Área da Figura 34 65 6 7 8 tg α 266 3 5 2 tg β 25 logo α e β não são iguais porque suas tangentes são diferentes Assim o segmento AB não é um segmento na verdade já que AX e XB têm inclinações diferentes Nessa Figura 34 o que ocorre é que as quatro peças não se juntam no meio mas ficam dispostas como ao lado O primeiro de área extra é a área do paralelogramo sombreado que na Figura 34 está exagerada Fazendo as peças num quadriculado de 2cm x 2cm já se pode notar o paralelogramo O modelo para descrever o átomo de carbono é de caráter geométrico O tetraedro associado a esse modelo é um poliedro sólido cuja superfície sempre pode ser decomposta num número finito de partes planas e poligonais as faces Figura 33 Figura 34 8 Imitando Bombelli 2 2 5 15 5 15 55 15 15 10 0 10 5 15 5 15 15 25 15 25 15 40 5 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 36 a b Representandoos no plano cartesiano Como você viu os números complexos podem ser postos na forma onde a e b são números reais Nesse caso quando b 0 o número fica reduzido a a que indica simplesmente um número real Isso significa que todo número real é um número complexo da forma 9 Registrando os números na forma a b Capítulo I A Matemática uma construção da humanidade 37 a Na maquete o prédio deverá ter 20 cm de altura 24 cm de comprimento e 16 cm de largura c Molde do telhado da cantina Molde do prédio da escola Na maquete No prédio E você o que acha Efetuandose R280 350 ml obtémse R0008 por 1ml de molho Efetuandose R380 500ml obtémse R00076 por 1ml de molho Então o molho mais barato é o segundo o da embalagem maior 10 11 d A menina gastou 2 24 20 2 24 10 2 20 10 1840cm2 de cartolina b Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 38 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar e interpretar a partir da leitura de textos apropriados diferentes registros do conhecimento matemático ao longo do tempo Reconhecer a contribuição da Matemática na compreensão e análise de fenômenos naturais e da produção tecnológica ao longo da história Identificar o recurso matemático utilizado pelo homem ao longo da história para enfrentar e resolver problemas Identificar a Matemática como importante recurso para a construção de argumentação Reconhecer pela leitura de textos apropriados a importância da Matemática na elaboração de proposta de intervenção solidária na realidade Fabio Orfali LÓGICA E ARGUMENTAÇÃO DA PRÁTICA À MATEMÁTICA AMPLIAR FORMAS DE RACIOCÍNIO E PROCESSOS MENTAIS POR MEIO DE INDUÇÃO DEDUÇÃO ANALOGIA E ESTIMATIVA UTILIZANDO CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS Capítulo II Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 40 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática Argumentação Você já pensou no que existe em comum entre uma propaganda de certo produto na televisão um artigo do editorial de um jornal e um debate entre dois políticos Essas situações podem parecer bem diferentes mas se você analisar com cuidado verá que nos três casos basicamente tentase convencer uma ou mais pessoas de determinada idéia ou teoria Os criadores do comercial procuram convencer o público de que aquele produto é melhor do que o de seus concorrentes O jornalista que escreve um artigo defende seu ponto de vista sobre um acontecimento do dia anterior e procura convencer os leitores de que suas idéias são as mais corretas Já cada um dos políticos tenta mostrar aos eleitores que possui melhores condições de ocupar determinado cargo público do que seu adversário Mas como convencer alguém ou nós mesmos de que determinada idéia é de fato correta É necessário que sejam apresentados fatos que justifiquem aquela idéia Esses fatos são chamados de argumentos Eles devem ser bem claros ter uma relação lógica entre si de tal maneira que a idéia considerada seja uma conseqüência natural dos argumentos apresentados Nem sempre porém isso ocorre Muitas vezes a argumentação não é feita de modo consistente e o resultado é que aquela idéia acaba não sendo aceita pelas outras pessoas Observe o exemplo a seguir Você acha que o argumento utilizado pelo marido para justificar seu atraso está consistente Figura1 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 41 argumentar é uma habilidade extremamente importante ao ser humano Ora os resultados de uma teoria matemática só são aceitos mediante uma argumentação rigorosamente correta É o que os matemáticos chamam de demonstração Assim no estudo da matemática as regras do raciocínio lógico devem ser muito bem conhecidas e analisadas o que leva ao aprimoramento de nossa capacidade de argumentar mesmo em situações fora da matemática Observe a história abaixo Você já percebeu o quanto a argumentação é importante no diaadia das pessoas Observe que utilizamos argumentos para convencer nosso chefe de que merecemos um aumento para convencer nossa namorada ou namorado a ir ao cinema quando ela ou ele preferia ficar em casa e em diversas outras ocasiões De uma boa argumentação pode mesmo depender o resultado de uma entrevista para se conseguir um novo emprego Mas afinal como a matemática se relaciona com tudo isso Já discutimos que a capacidade de Figura 2 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 42 A expressão utilizada por Juninho CQD como queríamos demonstrar foi emprestada da Matemática Ela normalmente é usada ao final de uma demonstração quando os argumentos expostos já são suficientes para comprovar a afirmação que foi feita inicialmente Assim o menino fez duas afirmações querendo dizer que na sua cama o ambiente está tranqüilo aconchegante e fora dela a situação é ruim confusa Neste instante a mãe grita pedindo auxílio com as compras Ora como alguém pode preferir guardar compras a uma cama quente e confortável Para Juninho essa é uma prova de que lá fora é o caos Por isso na sua opinião aquele era um argumento que demonstrava suas afirmações iniciais Muitas vezes na vida real usamos apenas um fato para demonstrar que nossas idéias são verdadeiras Em certas ocasiões isso é aceitável em outras não Observe os exemplos abaixo Não disse que aquele time não era bom Após 25 jogos ele foi derrotado no último domingo Não disse que aquele político era desonesto Foi comprovado pela polícia seu envolvimento com o crime organizado As duas argumentações baseiamse em apenas um fato Em sua opinião qual dos argumentos é o mais razoável No ambiente científico porém as regras são bem mais rígidas Uma afirmação não pode ser comprovada baseandose em apenas um fato E esse rigor está muito presente na matemática de onde tiraremos vários exemplos analisados neste capítulo Observe o diálogo abaixo Paulo Todo número elevado ao quadrado é igual ao seu dobro Cláudia Como você pode comprovar isso Paulo Veja só o quadrado de 2 é 2 2 4 e o dobro de 2 também é 4 Encontre um exemplo que mostre que a primeira afirmação feita por Paulo é falsa Está vendo Neste caso pode até ter sido fácil encontrar um exemplo mostrando que a afirmação acima não é verdadeira Observe que o quadrado de 3 é 3 2 9 mas o dobro de 3 é 2 x 3 6 Existem outros casos porém em que certo comportamento pode ser observado em muitos números diferentes o que nos dá vontade de dizer que ele ocorre com todos os números Cuidado Em Matemática analisar apenas alguns exemplos não é suficiente para comprovar uma propriedade pode no máximo nos dar uma pista de que aquela propriedade possa ser verdadeira Vamos mostrar um outro exemplo para ressaltar ainda mais a importância desse fato Considere três retas r s e t que se cruzam num único ponto P É possível que r e s sejam perpendiculares e ao mesmo tempo r e t sejam perpendiculares Lembre que retas perpendiculares são aquelas que se cruzam formando ângulos retos como mostra a Figura 3 Figura 3 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 43 Tente pensar nesse problema antes de ler a solução Uma boa dica é utilizar modelos para representar as retas como por exemplo três canetas colocandoas em diferentes posições e observando se em alguma delas uma das canetas fica perpendicular ao mesmo tempo às outras duas Ao tentar resolver esse problema Carlos não utilizou modelos foi fazendo diversos desenhos imaginando a situação sugerida no enunciado No entanto depois de desenhar as retas r e s perpendiculares nunca conseguia uma posição para a reta t de tal modo que ela também ficasse perpendicular a r Observe alguns desses desenhos Muitos desenhos depois sempre sem sucesso Carlos finalmente concluiu Não é possível obtermos três retas r s e t nas condições do problema Os desenhos anteriores comprovam essa conclusão Ao utilizar apenas desenhos Carlos não visualizou todas as situações possíveis para as retas Com as canetas você enxergou possibilidades diferentes das de Carlos Você concorda com o argumento utilizado em sua conclusão Dias depois olhando uma caixa de sapatos Carlos finalmente visualizou uma solução para o problema conseguiu enxergar sobre a caixa três retas que se cruzavam em um ponto e eram perpendiculares entre si Se você não encontrou a solução do problema com as canetas pegue uma caixa com o mesmo formato de uma caixa de sapatos e tente encontrar a solução de Carlos para o problema Na Figura 5 você encontra uma caixa parecida com a utilizada por Carlos Observe as retas r s e t que passam por três arestas da caixa Figura 4 Figura 5 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 44 1 Note que Carlos em seus desenhos não considerou a possibilidade das três retas não estarem no mesmo plano Assim mesmo que fizesse muitos desenhos não conseguiria visualizar a solução do problema Então sua argumentação inicial estava inválida do ponto de vista matemático ele tirou uma conclusão baseandose apenas em alguns desenhos que não representavam todas as possibilidades Então não se esqueça embora no nosso diaadia façamos isto em algumas situações em matemática não devemos generalizar uma afirmação baseandonos em apenas alguns exemplos sem buscar uma comprovação daquele fato por uma demonstração que englobe todas as possibilidades Desenvolvendo competências 1 Observe os seguintes cálculos efetuados entre números ímpares 1 1 2 3 3 6 1 3 4 3 5 8 1 5 6 5 5 10 A partir apenas dos cálculos efetuados acima você pode concluir que sempre que somamos dois números ímpares obtemos como resultado um número par Por quê 2 Num torneio de basquete seis equipes enfrentamse entre si num total de cinco rodadas Se uma equipe vencer todas as suas partidas é automaticamente declarada campeã Caso contrário as duas equipes com maior número de vitórias disputam uma final para decidir a campeã A tabela abaixo mostra a posição de cada equipe após a realização de três rodadas Pelas regras do torneio e pela análise da tabela podese afirmar que a a equipe V será a campeã do torneio b final do torneio será entre as equipes III e IV ou entre as equipes IV e V c equipe V é a única que pode ser a campeã sem ter de jogar a partida final d equipe I não pode mais ser a campeã do torneio Equipe Vitórias Derrotas Tabela 1 I 1 2 II 0 3 III 2 1 IV 2 1 V 3 0 VI 1 2 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 45 1 220 210 2 100 330 3 180 210 4 230 360 5 90 250 6 200 160 7 180 410 Jorge 150 270 2 Desenvolvendo competências No último mês o consumo de energia elétrica na residência de Jorge apontado na conta de luz teve um aumento significativo subindo de 150 para 270 kWh Como aparentemente não havia motivo para tal aumento Jorge começou a desconfiar que o problema pudesse ser da companhia fornecedora de energia elétrica Por isso ele decidiu perguntar aos seus vizinhos se eles tinham tido problema semelhante ultimamente A Tabela 2 mostra o que cada vizinho respondeu Tabela 2 1 Em quantas das 8 casas da rua de Jorge houve aumento do consumo de energia elétrica do mês de março para o mês de abril 2 Das residências onde houve aumento do consumo em quantas esse aumento foi maior do que 100 kWh 3 Utilizando como argumento os números da tabela acima você diria que a companhia fornecedora de energia elétrica a certamente é a responsável pelo aumento do consumo de energia nas casas da rua de Jorge b provavelmente é a responsável pelo aumento do consumo de energia nas casas da rua de Jorge c provavelmente não tem relação com o aumento do consumo de energia nas casas da rua de Jorge d certamente não tem relação com o aumento do consumo de energia nas casas da rua de Jorge 4 Jorge vai solicitar à companhia fornecedora de energia elétrica que verifique se há algum problema com a instalação elétrica de sua rua que possa explicar o aumento do consumo de energia em algumas casas Para isso ele deve preencher um formulário fazendo uma pequena justificativa de seu pedido Escreva em no máximo três linhas essa justificativa dando argumentos que convençam a companhia da necessidade de enviar um técnico à rua de Jorge Casa Consumo em março kWh Consumo em abril kWh Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 46 Silogismos Embora do ponto de vista matemático a argumentação de Júlio não esteja rigorosamente correta não podemos generalizar uma conclusão a partir de apenas três observações você tomaria a mesma atitude que Júlio Por quê Note que o fato de Júlio ter passado mal justamente nos três dias em que almoçou lá poderia ser uma coincidência Como porém não se tratava de uma comprovação científica baseada em argumentos rigorosos Júlio preferiu não se arriscar e não voltou mais ao restaurante Vamos tentar agora obter uma conclusão baseandonos em argumentos rigorosos Observe este exemplo Toda ave tem penas As garças são aves Que conclusão podese tirar a partir das duas afirmações acima Bem se você respondeu que as garças têm penas então acertou Se você não tinha chegado a essa conclusão tente pensar por que ela está correta Note ainda que no caso de Júlio a conclusão era bem provável mas não era necessariamente verdadeira Já nesse exemplo considerando as duas afirmações iniciais a conclusão é obrigatoriamente verdadeira Este tipo de argumentação composta de duas afirmações e uma conclusão é conhecida como silogismo e foi muito estudada pelos filósofos gregos Observe agora o seguinte silogismo Todos os carros da marca X têm direção hidráulica Alguns carros da marca Y têm direção hidráulica Logo alguns carros da marca X são da marca Y Note que a conclusão do silogismo é certamente inválida pois um carro não pode ser ao mesmo tempo de duas marcas Explique nesse caso por que considerando as duas afirmações iniciais a conclusão não é necessariamente verdadeira Flávia possui dois filhos Pedro de 7 anos e Amanda de 3 anos Considerando as afirmações acima o que Flávia pode concluir Ela deve levar seus dois filhos a um posto de saúde Como você pôde notar no exemplo acima é muito comum a partir de duas ou mais afirmações tirarmos conclusões sobre um determinado assunto Quando porém essas conclusões são válidas Em outras palavras será que existem maneiras que nos ajudem a decidir se a conclusão obtida realmente era uma conseqüência necessária das afirmações iniciais A resposta é sim dentro daquilo que os matemáticos chamam de raciocínio formal existem regras claras para decidir se um argumento é ou não válido É muito útil trabalharmos alguns exemplos disso que nos ajudem a melhorar nossas argumentações e a não aceitar certas argumentações completamente sem fundamentos Lembrese sempre porém de uma coisa a nossa vida cotidiana não exige tanta precisão quanto a matemática Em algumas situações do diaadia certos raciocínios embora não sejam rigorosamente corretos são plenamente aceitáveis Observe o exemplo Júlio foi almoçar três sextasfeiras seguidas em um restaurante que foi inaugurado recentemente perto de seu trabalho Nas três vezes acabou passando muito mal do estômago Concluiu que a comida do restaurante não lhe fazia bem e decidiu que não almoçaria mais naquele lugar A vacina contra a Paralisia Infantil vai estar disponível nos postos de saúde até o dia 31 de agosto Todas as crianças com menos de cinco anos de idade devem tomar a dose Fonte httpwwwsaudescgovbr Observe a frase abaixo sobre a campanha de vacinação contra a paralisia infantil Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 47 Observe agora este outro exemplo A direção de uma empresa decidiu que somente os funcionários que trabalham há mais de 10 anos na firma têm direito de solicitar ao setor de benefícios empréstimo para compra de casa própria O funcionário mais antigo do departamento de compras trabalha na empresa há 7 anos Se o Sr Odécio trabalha no departamento de compras podese concluir que a dentre os funcionários do departamento de compras somente o Sr Odécio não tem direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria b somente os funcionários do departamento de compras não têm direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria c não é possível saber se o Sr Odécio tem direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria pois não sabemos há quanto tempo ele trabalha na firma d o Sr Odécio e todos os demais funcionários do departamento de compras não têm direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria Na realidade temos três afirmações iniciais e queremos a partir delas tirar uma conclusão 1 Somente funcionários com mais de 10 anos na empresa têm direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria 2 Nenhum funcionário do departamento de compras tem mais de 10 anos na empresa pois o mais antigo tem 7 anos 3 O Sr Odécio trabalha no departamento de compras Usando as informações 2 e 3 concluímos que o Sr Odécio trabalha na empresa há menos de 10 anos Então usando a informação 1 concluímos que ele não tem direito a solicitar empréstimo para compra da casa própria Note ainda que usando as informações 1 e 2 podemos concluir que nenhum funcionário do departamento de compras tem direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria Assim concluímos que a alternativa correta é d Vamos analisar também a alternativa b Pelo enunciado não podemos afirmar com certeza se a afirmação está correta pois podem existir outros funcionários com menos de 10 anos na empresa que não trabalham no departamento de compras e portanto não têm direito de solicitar empréstimo para compra de casa própria Sendo assim a afirmação não pode ser considerada correta 3 Desenvolvendo competências 1 Numa escola particular 20 das suas 100 vagas são reservadas a alunos que por se destacarem nos estudos não pagam mensalidade Metade desses alunos participam do time de futebol da escola A partir dessas informações podese concluir que a Pelo menos 10 alunos da escola fazem parte do time de futebol b Todos os integrantes do time de futebol da escola não pagam mensalidade c Alguns alunos que pagam mensalidade fazem parte do time de futebol d Metade dos integrantes do time de futebol não pagam mensalidade Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 48 4 Desenvolvendo competências O diagrama abaixo Figura 6 mostra a distribuição dos alunos de uma escola de Ensino Médio nos cursos optativos que são oferecidos no período da tarde T curso de teatro F curso de fotografia D curso de dança Note que o diagrama mostra por exemplo que apenas 1 aluno freqüenta os três cursos ao mesmo tempo e que 31 alunos não freqüentam nenhum dos cursos optativos 1 Deverá ser entregue um aviso por escrito a todos os alunos que freqüentam mais de um curso optativo Assim o número de alunos que receberá o aviso é igual a a 30 b 13 c 12 d 1 2 Os números de alunos matriculados nos cursos de teatro de fotografia e de dança são respectivamente a 10 12 e 8 b 11 7 e 9 c 16 18 e 20 d 21 19 e 17 Diagramas e problemas numéricos construção de um espaço de recreação e prática de esportes para crianças construção de uma sala para leitura e realização de palestras nenhuma das duas Os dados da pesquisa que foi respondida por todas as famílias foram organizados na tabela abaixo Na atividade 4 nós utilizamos diagramas para representar as quantidades de alunos que freqüentavam cada um dos cursos optativos oferecidos pela escola Vamos agora usando diagramas resolver outros problemas envolvendo quantidades numéricas A associação de moradores de uma comunidade conseguiu verba para melhorar o centro de cultura e lazer existente em sua sede Decidiuse então fazer uma consulta aos membros da comunidade para definir a melhor maneira de aplicar o dinheiro Cada uma das 250 famílias recebeu uma ficha com a seguinte pergunta Quais das opções abaixo a sua família considera importantes para o centro de cultura e lazer de nossa comunidade As opções de resposta eram Figura 6 Opção N de respostas espaço para recreação e 111 Tabela 3 183 24 esportes sala para leitura e palestras nenhuma das duas Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 49 dentro de F mas fora de R e fora de L ou seja dentro do retângulo mas fora dos dois círculos Para preenchermos o diagrama com dados numéricos devemos começar pela região de intersecção pois as outras regiões dependem dela Como não conhecemos no nosso problema quantas famílias estão nessa região chamamos esta quantidade de x Há 111 famílias que optaram pelo espaço para recreação Destas x também optaram pela sala de leitura Então 111 x são as que optaram apenas pelo espaço para recreação Com o mesmo raciocínio concluímos que 183 x optaram apenas pela sala de leitura Como 24 não se interessaram por nenhuma das duas obras nosso diagrama fica Um líder comunitário ao observar a Tabela 3 anterior perguntou se muitas famílias se interessaram tanto pelo espaço para recreação e esportes quanto pela sala de leitura pois dependendo da quantidade eles poderiam pensar em adiar a compra de um computador para a associação que estava programada e construir as duas coisas A partir dos dados da tabela é possível identificar quantas famílias se interessaram pelas duas obras quantas apenas pelo espaço para recreação e quantas apenas pela sala de leitura Pode ser que fazendo apenas algumas contas você consiga responder à questão acima Mas e se a pesquisa fosse mais complexa e o questionário envolvesse três opções por exemplo Por isso é bastante útil representarmos o problema acima com diagramas Observe a Figura 7 Nela F é o conjunto de todas as famílias R é o conjunto das famílias que optaram pelo espaço de recreação e L o das que optaram pela sala de leitura Quais famílias estariam representadas na região quadriculada do diagrama Como há 250 famílias na comunidade a soma das quantidades das quatro regiões deve ser igual a 250 Obtemos então a seguinte equação 111 x x 183 x 24 250 318 x 250 x 68 x 68 Com isso concluímos que 68 famílias estão interessadas pelas duas obras Somente pelo espaço para recreação existem 111 68 43 famílias interessadas Somente pela sala de leitura são 183 68 115 famílias interessadas Note que a soma 68 43 115 24 deve ser igual ao total de famílias ou seja 250 Figura 7 Observe que a região quadriculada na figura pertence tanto ao conjunto R quanto ao L e por isso é reservada às famílias que optaram pelas duas obras pois isso era possível na pesquisa Dizemos que essa região corresponde à intersecção dos dois conjuntos Há ainda uma região reservada às famílias que não se interessam por nenhuma das duas obras Figura 8 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 50 A partir dos dados do gráfico podese concluir que o número de entrevistados que habitualmente lêem os jornais I e II é igual a a 44 b 55 c 63 d 71 2 Uma academia de ginástica após a inauguração de sua piscina ofereceu mais dois cursos a seus freqüentadores hidroginástica e natação 52 pessoas inscreveramse na hidroginástica e 47 na natação Constatouse que 7 pessoas inscreveramse nos dois cursos Então o número de pessoas que se interessaram por pelo menos um dos novos cursos é a 106 b 99 c 92 d 85 Implicação 1 A frase abaixo foi retirada de uma propaganda veiculada em um jornal de grande circulação e diz respeito a uma grande festa promovida por uma empresa SE VOCÊ NÃO CONSEGUIU INGRESSO PARA A FESTA DESTE ANO TENTE ENCARAR PELO LADO BOM VOCÊ DANÇOU As pessoas que não conseguiram ingresso não puderam ir à festa deste ano Sendo assim a palavra dançou foi utilizada na propaganda com qual significado Note que existe uma relação entre dois fatos mencionados na propaganda SE você não conseguiu ingresso ENTÃO dançou Esta é uma 5 Desenvolvendo competências 1 O Gráfico 1 mostra uma pesquisa realizada com 500 pessoas sobre o seu hábito de leitura dos jornais I e II relação de causa e conseqüência também chamada de causa e efeito CAUSA não conseguiu ingresso CONSEQÜÊNCIA dançou Em matemática esta relação é conhecida como implicação e é representada pelo símbolo Poderíamos representar nosso exemplo da seguinte maneira não conseguiu ingresso dançou 2 Vamos analisar agora um outro exemplo de implicação Suponha que você chegue a sua casa e observe que a rua está molhada A partir desse fato você pode concluir que choveu na sua casa naquele dia Gráfico 1 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 51 Note que a sua rua pode estar molhada porque algum cano de água se rompeu ou alguém estava regando as plantas do jardim Então não é possível afirmar com certeza que choveu naquele dia Pensando sobre essa situação observe as duas implicações abaixo 1 Se chove então a rua fica molhada 2 Se a rua está molhada então choveu As duas implicações acima têm o mesmo significado Repare que apesar de serem muito parecidas a implicação 2 é a implicação 1 invertida as duas frases não têm o mesmo significado A única coisa que fica garantida com a primeira frase é que no caso de ocorrer chuva a rua ficará molhada O contrário porém não é necessariamente verdadeiro Como já vimos a rua pode estar molhada sem que tenha chovido Inverter uma relação de implicação é um erro bastante comum em argumentações que não deve ser feito Existe no entanto uma maneira equivalente de escrevermos uma implicação muito utilizada em matemática que iremos discutir a seguir 3 Observe a questão abaixo O prefeito de uma cidade declarou à imprensa que se forem contratados mais médicos para o hospital municipal então os impostos deverão ser aumentados Qual das frases abaixo é equivalente à declaração do prefeito 1 Se os impostos aumentaram então mais médicos foram contratados para o hospital municipal 2 Se os impostos não aumentaram então não foram contratados mais médicos para o hospital municipal 3 Se não foram contratados mais médicos para o hospital então os impostos não foram aumentados Note que a afirmação inicial do prefeito é uma implicação contratação de novos médicos aumento de impostos Observe ainda que outros fatores podem levar ao aumento de impostos a contratação de novos professores para a escola municipal ou o aumento do salário dos funcionários da prefeitura pode levar a um aumento de impostos mesmo que não sejam contratados novos médicos Então não é correto afirmar que se os impostos aumentaram obrigatoriamente novos médicos foram contratados Assim a afirmação 1 não está correta Da mesma maneira mesmo que não tenham sido contratados novos médicos os impostos podem ter subido devido a outros motivos Logo a afirmação 3 também não está correta Mas uma coisa porém é certa se os impostos não tiveram de ser aumentados podemos concluir que não foram contratados novos médicos afinal se fossem contratados os impostos subiriam A afirmação 2 é portanto equivalente à frase inicial do prefeito Vamos fazer um esquema das conclusões que tiramos contratação de médicos aumento de impostos Assim se temos uma afirmação a que implica uma afirmação b isto é equivalente a dizer que não b implica não a Veja a b EQUIVALENTE A não b não a Esse esquema dado acima pode ajudálo a decifrar um argumento principalmente quando as frases são muito longas ou complexas Basta transformar as afirmações em símbolos não aumento de impostos não contratação de médicos Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 52 6 Desenvolvendo competências Desenvolvendo competências 1 Um analista econômico disse em uma entrevista à televisão que se os juros internacionais estiverem elevados então a inflação no Brasil crescerá A partir dessa afirmação podese concluir que certamente a se os juros internacionais estiverem baixos então a inflação no Brasil diminuirá b se a inflação no Brasil não tiver crescido então os juros internacionais estarão baixos c se a inflação no Brasil tiver crescido então os juros internacionais estarão elevados d se os juros internacionais não forem elevados então a inflação brasileira cairá ou ficará igual 2 Um quadrilátero é um polígono de 4 lados A Figura 9 mostra um quadrilátero ABCD Os segmentos AC e BD são chamados diagonais do quadrilátero Lembrese que um retângulo e um quadrado são quadriláteros As duas afirmações abaixo sobre quadriláteros são verdadeiras Se um quadrilátero é um quadrado então ele também é um retângulo As diagonais de qualquer retângulo são congruentes isto é têm a mesma medida A partir das informações acima é correto afirmar que a se um quadrilátero tem as diagonais congruentes então ele é um quadrado b todo retângulo é também um quadrado c um quadrilátero que não é um quadrado não pode ter as diagonais congruentes d um quadrilátero que não tem as diagonais congruentes não pode ser um quadrado Figura 9 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 53 Dedução Note que a menina dona do ursinho sabe quem foi o autor da brincadeira Utilizandose de um raciocínio dedutivo ela concluiu quem teria deixado o ursinho do outo lado da margem baseandose em um fato o menino está molhado Tente lembrarse de uma situação que lhe tenha ocorrido em que você utilizou a dedução Figura 10 Vamos usar o que discutimos sobre argumentação para entender como se organizam as teorias matemáticas ou seja como as pessoas conseguem descobrir novos fatos dentro da matemática e convencerse de que eles são verdadeiros Na matemática assim como no nosso dia a dia usamos com muita freqüência o raciocínio dedutivo Observe a história abaixo para entender o que chamamos de dedução Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 54 Vamos agora partindo de alguns fatos matemáticos deduzir um novo fato que você talvez já tenha ouvido falar a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 I Fatos iniciais a Considere em um plano uma reta r e um ponto P fora de r como mostra a Figura 11 Então existe uma única reta s paralela a r passando pelo ponto P b Considere num plano duas retas paralelas a e b como mostra a Figura 12 e uma reta transversal t Então os ângulos α e β assinalados na figura são congruentes isto é têm medidas iguais c Se um ângulo raso ângulo de meia volta é dividido em três ângulos então a soma desses ângulos é igual a 180 II Dedução da propriedade Vamos considerar um triângulo ABC qualquer cujos ângulos internos medem x y e z como mostra a Figura 14 Pelo fato a podemos desenhar uma reta r paralela ao lado BC passando pelo ponto A Finalmente pelo fato c concluímos que x y z 180 Acabamos de deduzir que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 Note que a nossa dedução é muito parecida com a da menina do ursinho ou com aquela que usamos no diaadia partindo de alguns fatos conhecidos e usando argumentos logicamente válidos podemos produzir novas afirmações também verdadeiras A única diferença é que na matemática sempre deixamos claros os fatos iniciais que estamos utilizando o que no cotidiano nem sempre fazemos Figura 11 Figura 12 Figura 14 Figura 15 Figura 16 Pelo fato b podemos representar Figura 13 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 55 7 Desenvolvendo competências Usando como fato conhecido que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo vale 180 deduza quanto vale a soma dos ângulos internos de um quadrilátero Sugestão utilize a Figura 17 e divida o quadrilátero em dois triângulos Vamos observar agora a dedução de uma propriedade algébrica Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação deduza uma maneira equivalente de escrever o produto a b a b Vamos relembrar a propriedade distributiva da multiplicação antes de iniciarmos nossa dedução Desenvolva o produto 2y y 3 Note que o fator 2y deve ser distribuído tanto ao y quanto ao 3 Assim Voltando à nossa pergunta vamos desenvolver o produto a b a b utilizando a propriedade distributiva Note que usamos também a lei do cancelamento da adição a b a b 0 Assim concluímos que a b a b a 2 b 2 Figura 17 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 56 8 Desenvolvendo competências Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação deduza uma maneira equivalente de escrever o produto a b2 Sugestão Lembrese de que a b2 a b a b Indução Observe a seguinte seqüência de figuras Figura 1 2 3 4 5 Bolinhas 1 x 11 2 x 24 3 x 39 4 x 416 5 x 525 Figura 18 Note que o número de bolinhas em cada figura vai aumentando seguindo uma certa lei De acordo com essa lei a desenhe a 5ª figura dessa seqüência b Quantas bolinhas há na Figura 5 c Responda sem fazer o desenho quantas bolinhas há na figura 6 Ao fazer o desenho você deve ter observado que a 5ª figura possui 25 bolinhas Em seguida você pôde sem fazer o desenho dar um bom palpite sobre o número de bolinhas existentes na 6ª figura Para isso você teve de analisar o comportamento das figuras anteriores Observe a Tabela 4 abaixo Se o comportamento for mantido esperaremos que a 6ª figura tenha 6 6 36 bolinhas Fazendo o desenho você pode comprovar que de fato esse é o número de bolinhas da figura 6 e que nosso palpite estava certo O raciocínio que utilizamos na nossa resposta sem fazer o desenho é um exemplo do que chamamos raciocínio indutivo A partir da observação de alguns casos particulares identificamos um comportamento que se repetia e fizemos uma conjectura ou seja um palpite Observe que o raciocínio indutivo em matemática ajudanos a desconfiar de um resultado e por isso é extremamente importante Tabela 4 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 57 No entanto não devemos considerar válida uma conclusão baseandonos apenas na indução No nosso caso o desenho da 6ª figura da Figura 18 poderia nos confirmar a validade de nossa conclusão Esse fato não tira a importância do raciocínio indutivo É graças a ele que a maioria das descobertas em matemática e nas demais ciências foi feita Normalmente é da observação de um comportamento que se repete em alguns casos particulares que os cientistas tiram inspiração para estudar determinado fenômeno O raciocínio dedutivo depois serve para confirmar ou não aquelas suspeitas No nosso caso poderíamos usar um argumento geométrico para confirmar o nosso palpite a 6ª figura da Figura 18 é um quadrado com 6 bolinhas em cada lado Sendo assim possui 6 fileiras com 6 bolinhas cada ou seja 6 6 36 bolinhas Observe ainda que com esse argumento poderíamos generalizar a nossa conclusão a figura n possui n n n 2 bolinhas 9 Desenvolvendo competências Desenvolvendo Competências 1 Considere a sequência de figuras formadas por bolinhas representada na figura 18 Note que em cada figura acrescentamos uma nova camada de bolinhas todas da mesma cor Assim a 4ª figura por exemplo era formada por 4 camadas de bolinhas 1 laranja 3 brancas 5 laranjas 7 brancas 16 bolinhas a Usando a 5ª figura desenhada por você tente sem efetuar a adição prever o resultado da soma 1 3 5 7 9 b Note que o resultado que você obteve no item a é a soma dos 5 primeiros números ímpares positivos Usando esse raciocínio tente prever o resultado da soma dos 10 primeiros números ímpares positivos 2 Um restaurante tem mesas retangulares de diferentes tamanhos para acomodar um número diferente de clientes A Figura 19 mostra os três menores tipos de mesa e o número de clientes acomodados em cada um deles Figura 19 Seguindo o mesmo padrão apresentado na seqüência de figuras acima o número de clientes que podem ser acomodados em uma mesa do tipo 6 é a 12 b 14 c 16 d 18 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 58 Seqüências Os jogos olímpicos o mais importante evento esportivo do planeta ocorrem a cada 4 anos Os últimos jogos olímpicos ocorreram na cidade de Atenas no ano de 2004 É possível sabermos em quais anos teremos a realização de jogos olímpicos Ora essa não é uma pergunta difícil já temos as informações necessárias para respondêla 2004 2008 2012 2016 2020 Os números acima formam uma seqüência Note que obedecemos uma ordem ao escrevermos esses números Dizemos que 2004 é o 1º termo da seqüência 2008 é o 2º termo 2012 é o 3º termo e assim sucessivamente Essa informação normalmente é dada de maneira mais resumida Observe a1 2004 a2 2008 a3 2012 Quem é na nossa seqüência a4 E a6 A nossa seqüência é formada por números mas também podemos estudar seqüências de figuras objetos letras ou qualquer outra coisa que desejarmos Note que existe uma lei em nossa seqüência que nos permite descobrir quais serão os seus próximos elementos Nem sempre porém isso ocorre Imagine que a seqüência 3 0 2 1 1 2 seja o número de gols que uma equipe marcou nos 6 primeiros jogos de um campeonato É possível sabermos o próximo elemento dessa seqüência apenas observando os anteriores Neste capítulo vamos estudar apenas as seqüências que obedecem alguma lei permitindo prever quais serão seus próximos elementos Com isso estaremos utilizando tanto o nosso raciocínio dedutivo quanto o indutivo Uma estrada possui telefones de emergência a cada 3 quilômetros O primeiro telefone está colocado no quilômetro 2 da estrada a Determine a localização dos cinco primeiros telefones de emergência b Determine a localização do 72º telefone de emergência c Se a estrada tem uma extensão de 350 km quantos telefones de emergência ela possui a Observe que das informações do enunciado percebemos a existência de um padrão regular na colocação dos telefones Assim partindo do quilômetro 2 basta acrescentarmos 3 quilômetros para obtermos a localização do próximo telefone Figura 21 Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 59 Então os cinco primeiros telefones de emergência estão localizados nos quilômetros 2 5 8 11 e 14 b É possível obtermos a localização do 72º telefone da mesma maneira que fizemos no item anterior ou seja somando 3 quilômetros à 1 2 3 4 5 Telefone Operação realizada Localização km 2 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 5 8 11 14 Note que temos de efetuar uma série de adições sempre com a mesma parcela 3 Então podemos 2 1 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 8 11 14 1 2 3 4 5 Telefone Operação realizada Localização km Você percebe a relação entre o número do telefone e o fator pelo qual devemos multiplicar o 3 Observe que o fator pelo qual multiplicamos o 3 é sempre um a menos do que o número do telefone telefone 5 2 4 3 De maneira semelhante para o 72º telefone teríamos telefone 72 2 71 3 215 Então o 72º telefone estaria no quilômetro 215 c Para responder a esta pergunta vamos tentar generalizar a conclusão que tiramos no item b Lembrese que o fator pelo qual multiplicamos o 3 é sempre um a menos do que o número do telefone Então vamos considerar um telefone genérico n De acordo com a conclusão acima então a sua localização seria telefone n 2 n 1 3 A expressão acima é chamada lei de formação da seqüência Note que a partir dela é possível obtermos a localização de qualquer telefone bastando para isso substituir a variável n pelo número do telefone cuja localização desejamos saber Por exemplo para sabermos a localização do 58º telefone basta fazermos telefone 58 2 58 1 3 2 57 3 173 isto é o 58º telefone está localizado no quilômetro 173 Tabela 5 Tabela 6 localização de cada telefone para obter a localização do seguinte e assim sucessivamente Deve haver porém uma maneira mais simples você não acha Vamos tentar estabelecer um padrão efetuar essa operação utilizando a multiplicação Olhe como fica melhor Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 60 Voltando à nossa pergunta desejamos saber o número do telefone que está localizado no quilômetro 350 seria o último telefone da estrada Nesse caso então conhecemos a localização 350 e queremos obter o valor de n correspondente Basta então resolvermos esta equação 350 2 n 1 3 Aplicando a propriedade distributiva temos 350 2 3n 3 350 2 3 3n 351 3n n n 117 n 1 a1 4 2 1 2 a1 4 2 a1 2 n 2 a2 4 2 2 2 a 2 4 8 a 2 4 n 3 a3 4 2 3 2 a3 4 18 a3 14 n 4 a4 4 2 4 2 a4 4 32 a4 28 n 5 a5 4 2 5 2 a5 4 50 a5 46 Então os cinco primeiros termos dessa seqüência são 2 4 14 28 e 46 Portanto a estrada conta com 117 telefones de emergência Você notou como a lei de formação da seqüência é importante Com ela podemos obter qualquer termo da seqüência bastando para isso substituir a variável n pela posição do termo que queremos descobrir Por exemplo se a lei de formação de uma seqüência é an 4 2n 2 e desejamos obter os cinco primeiros termos da seqüência basta fazermos Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 61 10 Desenvolvendo competências 1 Se a lei de formação de uma seqüência é dada por an n n2 então o segundo a2 e o quinto a5 termos dessa seqüência são respectivamente a 6 e 30 b 16 e 30 c 6 e 100 d 16 e 100 2 Uma pessoa desejando recuperar a forma física elaborou um plano de treinamento que consistia em caminhar por 20 minutos no primeiro dia 22 minutos no segundo dia 24 minutos no terceiro dia e assim sucessivamente Uma lei que permite calcular quantos minutos essa pessoa caminharia no dia n é dada por a 20 n 1 2 b 20 n 2 c 20 n 1 2 d 20 n 2 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 62 Conferindo seu conhecimento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Não pois em matemática não podemos concluir que um fato é verdadeiro a partir apenas da observação de alguns exemplos É possível que para algum caso que não analisamos aquele fato não se verifique 2 Resposta c note que a alternativa c fala de uma possibilidade a equipe V pode ser a campeã enquanto que a alternativa a fala de uma certeza a equipe V será a campeã o que não pode ser afirmado pois ainda faltam duas rodadas para o término do torneio 1 6 2 5 3 Resposta b 4 Cinco das oito casas da rua tiveram um aumento de mais de 100 KWh em suas contas de luz de março para abril Não havendo motivo aparente para tal aumento solicitamos a visita de um técnico para verificar se há problemas na rede elétrica da rua 1 Resposta a 1 Resposta b 2 Resposta d 1 Resposta b 2 Resposta c 1 Resposta b 2 Resposta d 360 Note que o quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos Como a soma dos ângulos internos de cada triângulo é 180 obteremos para o quadrilátero 180 180 360 ab2 ab ab a a a b a b b b a2 2ab b2 1 a 5 5 25 b 10 10 100 2 Resposta b 10 1 Resposta a 2 Resposta c Capítulo II Lógica e argumentação da prática à Matemática 63 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar e interpretar conceitos e procedimentos matemáticos expressos em diferentes formas Utilizar conceitos e procedimentos matemáticos para explicar fenômenos ou fatos do cotidiano Utilizar conceitos e procedimentos matemáticos para construir formas de raciocínio que permitam aplicar estratégias para a resolução de problemas Identificar e utilizar conceitos e procedimentos matemáticos na construção de argumentação consistente Reconhecer a adequação da proposta de ação solidária utilizando conceitos e procedimentos matemáticos Elynir Garrafa CONVIVENDO COM OS NÚMEROS Capítulo III CONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS JÁ EXISTENTES PARA OS NÚMEROS NATURAIS INTEIROS RACIONAIS E REAIS Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 66 Capítulo III Convivendo com os números O sistema numérico Muitos séculos se passaram até que os hindus desenvolvessem o sistema de numeração decimal Por não haver muitos documentos sobre a Matemática conhecida na Antigüidade é impossível saber com exatidão quando isso aconteceu Estimase ter sido por volta do século V dC Os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 escolhidos para compor o sistema de numeração decimal e posicional foram por muito tempo denominados erroneamente algarismos arábicos por terem sido apresentados pelos árabes Por volta do século VII ao entrarem em contato com a cultura hindu e motivados pela simplicidade e praticidade do sistema de numeração encontrado tornaramse seus divulgadores em todo o Oriente Assim mais tarde esses algarismos passaram a ser conhecidos como hinduarábicos Em toda a Europa durante muitos séculos o sistema numérico usado era o romano e apesar da simplicidade do sistema hinduarábico houve muita resistência à sua adesão que só aconteceu efetivamente no século XVI Outro fato historicamente interessante foi a origem do número zero Não há consenso entre os historiadores sobre a invenção do zero atribuída tanto aos povos da Mesopotâmia quanto aos árabes hindus e chineses Arqueólogos identificaram um símbolo para esse número em tábuas de escrita cuneiforme de 300 aC feitas na Mesopotâmia numa época em que a região era dominada pelos persas A invenção do zero aumentou a precisão de todos os cálculos e trouxe um grande desenvolvimento para a aritmética e a astronomia O sistema de numeração hinduarábico é o que utilizamos Os números fazem parte efetiva do nosso cotidiano Estão em toda parte nos cercam Precisamos deles Abrimos o jornal e nos deparamos com notícias repletas de números Através deles nos expressamos diariamente Você já deve ter ouvido frases como estas Meu tapete mede 2 metros por 3 metros O maior vírus conhecido mede 000025 cm A parte correspondente a do meu salário é gasta com despesas mensais fixas A catedral fica no marco zero da cidade O diâmetro de uma molécula grande é 0000017 cm A temperatura em Nova York era de 8º Celsius enquanto que no Rio de Janeiro fazia 30ºC à sombra A cidade Vila Feliz fica no quilômetro 122 da rodovia João Paulo O número encontrado foi 03111 Para calcular o comprimento da circunferência basta multiplicar o diâmetro por π cujo valor é aproximadamente 3141592 O resultado foi 0333 Era um número diferente 010110111 Minha casa fica no número 122 dessa rua Pedro conseguiu ser classificado em 1º lugar no vestibular Quando dividi 12 por 33 encontrei como resultado 01212 Capítulo III Convivendo com os números 67 Um freezer congela à temperatura de 18 Celsius Viajamos à velocidade média de 80 quilômetros por hora O cano mede de polegadas Um pão de queijo custa R 080 A caixa dágua tem 10000 litros de capacidade Verificamos um resultado de 002 Observe na Figura 1 como os números são escritos de modos diferentes Quantas vezes temos de carregar uma sacola com várias coisas pesadas e nos perguntamos Quantos quilos estarei carregando Aí começamos a pensar São dois quilos e meio de feijão um quilo e trezentos de carne um quilo e meio de farinha e meio quilo de sal Calcule o peso dessa sacola Você poderá fazer esse cálculo de vários modos Um deles seria primeiro juntar os quilos inteiros 2kg de feijão mais 1kg de carne mais 1kg de farinha o que resulta em 4kg Depois juntar os meios quilos 05kg de feijão mais 05kg de farinha mais 05kg de sal o que resulta em 15kg Juntando os 4kg com 15kg são 55kg E por fim juntar os 300 gramas de carne o que resulta em 5kg e 800 gramas que pode ser escrito como 58kg Outro modo seria pensar que dois quilos e meio de feijão são 25kg um quilo e trezentos de carne são 13kg um quilo e meio de farinha são 15kg meio quilo de sal são 05kg Calculando a soma teremos 2 5 1 3 1 5 0 5 5 8 Veja que nos dois modos de solução os números que usamos foram representados com vírgula Esses não são naturais nem inteiros Podem ser chamados de racionais e também de números reais São conhecidos como decimais e podem ser escritos em forma de uma fração com denominador 10 100 1000 etc 25 048 1245 Você vai notar que a escrita de números às vezes usa a vírgula outras a forma de fração como o E outras o sinal negativo como o 8 que é um número negativo No diaadia você encontra várias situações envolvendo esses números Veja algumas dessas situações e os problemas propostos As respostas que você não encontrar no próprio texto estarão no final do capítulo Vivemos calculando fazendo estimativas e pensando em soluções envolvendo números Por exemplo Você está trabalhando na barraca de refrigerante da quermesse No início da festa havia 400 latas de refrigerantes e você gostaria de saber quantas vendeu Para calcular essa quantidade é necessário contar as latas que sobraram e depois encontrar a diferença entre essa quantidade que sobrou e 400 Os números usados para resolver esse problema são chamados de números naturais mas podem também ser chamados de inteiros racionais ou ainda números reais Figura 1 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 68 Observe que o número de casas decimais algarismos depois da vírgula é igual ao número de zeros do denominador As frações surgiram há muitos anos atrás com a necessidade de medir quantidades não inteiras Há Desenvolvendo competências 1 Desenvolvendo competências A receita abaixo é de um bolo básico para 15 pessoas Como você faria para calcular os ingredientes da mesma receita se quisesse fazer o mesmo bolo com o recheio para 30 pessoas sem perder a qualidade Como a receita é para 15 pessoas para 30 é só colocar o dobro dos ingredientes Figura 3 Nessa receita aparecem também as frações registros de sua origem desde o tempo dos faraós do Egito 3000 anos antes de Cristo e estão presentes em nosso diaadia RECHEIO PARA BOLO 2 colheres de sopa de manteiga de xícara de açúcar 2 ovos batidos 1 colher se sopa de casca de laranja xícara de suco de limão de litro de leite Como O dobro de E agora para o recheio Figura 2 Figura 4 Capítulo III Convivendo com os números 69 Como queremos dobrar essa quantidade teremos Situações como essa acontecem sempre Uma representação dessa situação poderá ajudálo a descobrir quanto é o dobro de A Figura 5 mostra que Quando fazemos cálculos desse tipo estamos trabalhando com os números racionais escritos na forma de fração Agora faça você uma representação para obter o dobro de Mas quanto é o dobro de do litro de leite É mais que 1 litro Vamos usar também uma representação dessa situação para nos ajudar Veja na figura seguinte que para representar de um litro de leite podemos dividilo em 4 partes iguais e colorir 3 dessas partes Figura 5 Figura 6 Para perceber melhor que quantidade é essa você pode completar um dos litros de leite tirando do outro Veja como fica a nova representação Figura 7 Como vimos antes Então o dobro de é 1 litro e meio Usando o que discutimos aqui pense em triplicar a receita do bolo Para quantas pessoas daria Qual é o triplo de De De Figura 8 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 70 Usando Frações Vamos ver uma outra situação em que usamos as frações Uma receita de suco indica que se use 1 copo de caldo da fruta para 8 copos de água Para fazer um suco mais suave com 50 a menos de caldo de fruta eu preciso a aumentar a quantidade de caldo de fruta para 2 copos e aumentar a quantidade de água para 16 copos b aumentar a quantidade de água para 10 copos e a de caldo de fruta para 5 c diminuir a quantidade de caldo de fruta para copo e aumentar a quantidade de água para 16 copos d diminuir a quantidade de caldo de fruta para copo e manter a quantidade de água Resolvendo o problema Nesse problema vamos comparar quantidades e escrever essa comparação na forma de fração Para começar vamos entender o que o enunciado quer dizer quando se refere a 50 a menos de caldo de fruta Cinqüenta por cento 50 é uma forma de representar a fração Essa fração é equivalente a veja que 50 é metade de 100 Então reduzir a quantidade de caldo de fruta em 50 significa usar apenas a metade da quantidade indicada na receita Pensando assim vamos analisar cada uma das alternativas de respostas para esse problema Na alternativa a em que se propõe usar 2 copos de caldo de fruta para 16 de água note que a receita foi dobrada isto é as quantidades foram multiplicadas por dois o que não reduziu a quantidade de caldo de fruta como requer o problema Teremos o suco idêntico ao da receita e não mais fraco Na alternativa b em que se propõe aumentar a quantidade de água para 10 copos e a de caldo de fruta para 5 note que a quantidade de água foi aumentada em 2 copos e a de caldo de fruta foi aumentada em 3 copos Assim o suco não ficou mais suave e sim mais forte Na receita devemos usar a relação isto é um para oito e nessa alternativa a relação usada é isto é cinco para dez que é igual a A alternativa c em que se propõe diminuir a quantidade de caldo de fruta para copo e aumentar a quantidade de água para 16 copos também não é a correta A relação para 16 é equivalente a usar 1 copo de suco para 32 copos de água ficando assim 25 mais fraco reduzindo do caldo de fruta da receita original e não da metade como propõe o problema A alternativa d é a correta porque ao diminuir a quantidade de caldo de fruta para copo e ao manter a quantidade de água estabelecemos a relação para 8 que é equivalente à relação 1 para 16 indicando uma redução de metade de caldo de fruta da receita original como propõe o problema Capítulo III Convivendo com os números 71 2 Desenvolvendo competências Para fazer 160 queijos todos com o mesmo peso são necessários 240 litros de leite Se quisermos aumentar a produção em 25 mantendo a qualidade do produto teremos a 200 queijos e serão usados 600 litros de leite b 200 queijos e serão usados 240 litros de leite c 40 queijos a mais e serão usados 300 litros de leite d 200 queijos e serão usados 480 litros de leite Dois alunos estavam discutindo para saber quem tirou a maior nota na prova em que 100 de acertos correspondia à nota 10 No lugar da nota o professor escreveu a fração correspondente ao 3 Desenvolvendo competências Qual a maneira mais conveniente financeiramente de embalar para transportar uma colheita de 560 maçãs a Usando caixotes que acomodam da colheita pagando por todos R 2000 e colocando o restante em caixas pequenas para 8 unidades a R 100 a caixa b Usando caixotes que acomodam da colheita pagando por todos R 2000 e colocando o restante em caixas pequenas para 8 unidades a R 100 a caixa c Usando caixotes que acomodam da colheita pagando por todos R 2000 e colocando o restante em caixas pequenas para 8 unidades a R 100 a caixa d Usando caixotes que acomodam da colheita pagando por todos R 2000 e colocando o restante em caixas pequenas para 8 unidades a R 100 a caixa que cada um acertou Um deles tinha da prova correta e o outro Você sabe a nota que cada um tirou Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 72 Resolvendo o problema Esse problema pode ser resolvido de várias maneiras Uma delas seria usar o conceito de número racional como o resultado da divisão de dois números inteiros Observe como Números negativos Além das frações e dos decimais o homem no decorrer do tempo precisou de registros para expressar números menores que zero Foram chamados de números negativos que acrescentados ao conjunto dos números naturais deram origem a um novo conjunto numérico chamado de conjunto dos números inteiros Atualmente convivemos com situações envolvendo os números negativos usados por exemplo para registrar queda ou perda As mais comuns são o saldo bancário devedor as temperaturas abaixo de zero os pontos perdidos no campeonato de futebol Ao obtermos a porcentagem de acerto na prova fica mais fácil percebermos a nota correspondente O primeiro aluno ficará com nota 4 quatro e o outro com nota 75 sete e meio Usando esses registros podemos resolver problemas como Numa cidade da Europa onde no inverno faz muito frio o termômetro está marcando 8 Celsius ao mesmo tempo em que em outra localidade nesse país a temperatura é de 2 Celsius Em qual das duas cidades faz mais frio na que tem temperatura de 8 Celsius ou na que tem 2 Celsius Capítulo III Convivendo com os números 73 Resolvendo o problema Antes de discutirmos o problema vamos lembrar como fazemos a leitura de um termômetro Um termômetro marca temperaturas abaixo de zero como negativas e acima de zero como positivas Assim se está muito frio e a temperatura atingiu 2 graus abaixo de zero podemos dizer que o termômetro marcou 2 graus negativos isto é a temperatura local era de 2 Celsius Se forem 2 graus acima de zero dizemos simplesmente 2 Celsius Celsius é a unidade de temperatura usada no Brasil Você pode observar que quanto mais abaixo de zero estiver a temperatura mais frio estará fazendo isto é 8º Celsius é uma temperatura menor do que 2º Celsius Essa comparação entre as temperaturas pode ser escrita em linguagem matemática simbólica Em Matemática usamos o sinal para indicar maior e o sinal para indicar menor Usando esses sinais podemos escrever 2 8 ou 8 2 Escreva você mais alguns números negativos e compareos usando os sinais ou Vejamos mais um problema envolvendo temperatura Às 9 horas da manhã a temperatura estava agradável fazia 18ºC Ao meio dia passou para 20C e às três horas da tarde começou a esfriar caindo para 17C Durante a noite esfriou muito e às 2 horas da madrugada os termômetros marcavam 2C Às 5 horas da manhã já estava marcando 4C C é a abreviação de Celsius e ao lermos 2C devemos dizer dois graus Celsius negativos Encontre a maior variação de temperatura ocorrida nesse período Resolvendo o problema Use os sinais ou para registrar as temperaturas observadas durante esse período e encontre a diferença entre a maior e a menor temperatura 1 As temperaturas positivas18 20 17 2 As temperaturas negativas 2 e 3 3 A maior temperatura 20 4 A menor temperatura 3 5 Para calcular a diferença entre 3 e 20 podemos pensar que de 3 até zero a diferença é 3 de 0 até 20 a diferença é 20 Então a diferença entre 3 e 20 é 23 Figura 9 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 74 Juntar os dois totais 266797 97413 163384 Outro modo de fazer os cálculos é na ordem que a quantia aparece no extrato 90197 74197 68197 65197 1503 1616 163384 Uma pessoa deposita seu dinheiro no banco podendo retirar quando necessitar pagar contas com cheques ou usar serviços que o banco oferece pagando também algumas taxas cobradas de acordo com as normas estabelecidas pelo governo A conta é conhecida como conta corrente Para acompanhar os depósitos e as retiradas isto é a movimentação da conta o banco fornece um extrato em que estão registrados todos os lançamentos através de números positivos e negativos Observe o extrato abaixo referente a uma conta bancária no período de 30 de abril até o dia 7 de maio 3004 s a l d o 0205 cheque compensado 0305 cheque compensado 0305 cheque compensado 0405 cheque compensado 0505 pagamento de título 0605 IOF 0705 depósito em cheque 0705 saldo Como você faria para calcular o saldo isto é quanto dinheiro essa pessoa tinha no banco no dia 7 de maio Uso dos números negativos no diaadia Veja que toda vez que a quantia é depositada entra no banco aparece o sinal de na frente da quantia e quando é retirada sai através de cheques ou descontos aparece o sinal de na frente da quantia Um modo de se resolver esse problema é Somar os positivos e Somar os negativos 95797 5600 16000 6000 3000 66700 113 165000 95797 165000 260797 5600 6000 16000 3000 66700 113 97413 Total de positivos Total de negativos 95797 90197 74197 68197 65197 1503 1616 5600 16000 6000 3000 66700 113 165000 Capítulo III Convivendo com os números 75 4 5 Desenvolvendo competências Suponha que o cliente que possui essa conta bancária tenha uma despesa total mensal de R 200000 além do que está registrado nesse extrato Se nenhuma quantia for depositada no fim do mês de maio seu saldo será positivo ou negativo De quanto Desenvolvendo competências Vamos fazer uma previsão de quanto essa pessoa precisa ganhar por mês para poder pagar as despesas fixas R 200000 e as que estavam registradas como negativas no extrato pretendendo ainda guardar dinheiro de modo que no final de um ano tenha economizado R 140000 Supondo que não ocorra nenhum gasto extra essa pessoa precisa ganhar mensalmente a no mínimo R 310000 b no mínimo R 320000 c no mínimo R 330000 d no mínimo R 340000 6 Desenvolvendo competências O saldo de gols de um time de futebol é o número de gols marcados menos o número de gols sofridos Observe a tabela e calcule o saldo de gols de cada time Times do Recreio Amarelo 2 x 1 Azul Vermelho 2 x 2 Verde Azul 1 x 1 Vermelho Amarelo 3 x 0 Verde Amarelo 1 x 2 Azul Azul 0 x 3 Verde Tabela 1 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 76 7 Números inteiros também aparecem em gráficos Gráficos são usados para transmitir dados e informações Observar e analisar esses dados e informações são habilidades necessárias a todas as pessoas que queiram participar da sociedade complexa em que vivemos pois os gráficos fazem parte do cotidiano dessa sociedade Veja o gráfico ao lado que se refere às temperaturas de uma determinada cidade no mês de dezembro Ao observar esse gráfico você pode notar que em alguns dias do mês de dezembro ocorreram temperaturas negativas e em outros temperaturas positivas 8 Desenvolvendo competências A partir dessas observações responda às questões a A cidade a qual o gráfico se refere pode estar localizada numa região tropical no hemisfério sul Por quê b Qual a maior e a menor temperatura registrada c A diferença entre dois dados de mesma natureza pode ser chamada de variação Qual foi a variação da temperatura entre os dias 3 e 4 d Qual a variação da temperatura entre os dias 6 e 10 e Qual a diferença entre a maior e a menor temperatura registrada Desenvolvendo competências De acordo com o gráfico escolha a alternativa correta a A temperatura mantevese constante em todo o período b Nos primeiros dias do mês as temperaturas registradas foram as mais baixas do período c Após o dia 7 a temperatura abaixou 8 graus d Após o dia 7 a temperatura abaixou 16 graus Figura 10 TEMPERATURA NO MÊS DE DEZEMBRO Celsius Capítulo III Convivendo com os números 77 Os gráficos de colunas também são muito usados para transmitir informações Figura 11 9 Desenvolvendo competências Analisando o gráfico responda a Em que meses a empresa teve lucro b Em que meses a empresa teve prejuízo c Qual o total dos lucros registrados no período d Qual o total dos prejuízos registrados no período e No ano de 2000 essa empresa teve lucro ou prejuízo De quanto Você observou que este gráfico apresenta além dos números positivos e negativos uma forma econômica de registrar números Veja que no eixo vertical os números que aparecem devem ser lidos como milhões Por exemplo o 150 e o 12 que lá estão devem ser lidos como 150 milhões e 12 milhões respectivamente Essa forma de escrita numérica que expressa grandes quantidades é muito usada na imprensa talvez porque ao ler 150 milhões a ordem de grandeza do número é imediatamente percebida pelo leitor o que não aconteceria se fosse expressa como 150000000 VALORES ARRECADADOS EM REAIS NO ANO DE 2000 Este que apresentamos mostra os resultados da arrecadação anual de uma firma Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 78 Observe essa forma de escrita numérica na reportagem extraída da revista de grande circulação comentando o transporte no rio Guaíba EM 7 ANOS O BRASIL REDESCOBRIU O CAMINHO DAS ÁGUAS O Brasil possui mais de 40 mil rios navegáveis mas vinha utilizando muito pouco esse sistema que é 80 mais econômico que o rodoviário O Governo Federal por meio do Ministério dos Transportes investiu muito nas hidrovias e os resultados apareceram A hidrovia do Tietê por exemplo passou a movimentar 4 milhões de toneladasano depois que ficou pronta a eclusa de Jupiá E a circulação de cargas no rio Madeira praticamente dobrou passando de 13 milhões para 24 milhões de toneladas ano Além de mais econômico o transporte hidroviário é o que menos interfere na natureza deixando preservados os nossos rios patrimônio de muitos brasileiros Com os investimentos do Governo Federal o Brasil está redescobrindo as hidrovias e mudando o seu sistema de transportes E os transportes estão ajudando a mudar o Brasil Fonte Revista Veja São Paulo 5 dez 2001 Perceba que a escrita numérica usada dessa forma causa mais impacto para ressaltar o que está acontecendo com o transporte hidroviário no Brasil São elas 40 mil em vez de 40000 4 milhões em vez de 4000000 13 milhões em vez de 1300000 24 milhões em vez de 2400000 10 Desenvolvendo competências De acordo com a reportagem acima os números indicam que o transporte utilizado no rio a é uma boa solução por preservar o ambiente sendo seu custo 20 menor que o rodoviário b não é uma boa solução sendo 80 mais econômico que o rodoviário c não é uma boa solução sendo 20 mais econômico que o rodoviário d é uma boa solução por preservar o ambiente sendo seu custo 80 menor que o rodoviário Capítulo III Convivendo com os números 79 Ainda refletindo sobre a reportagem extraída da revista Veja quais das alternativas abaixo estão matematicamente corretas a Depois dos investimentos em hidrovias houve um aumento de aproximadamente 50 na circulação de cargas isto é de 1000000 de toneladas por ano b O aumento de aproximadamente 50 na circulação de cargas indica que essa circulação dobrou c Dizer que passou para o dobro significa um aumento de 100 o que praticamente aconteceu d O dobro de 13 milhões é 26 milhões e não 24 milhões e Pela ordem de grandeza dos números podemos aceitar o argumento do jornalista ao dizer que ao atingir 24 milhões de toneladasano a circulação de cargas praticamente dobrou Resolvendo o problema Você deve ter percebido que as alternativas a e b não estão corretas porque dizer que a circulação de cargas dobrou não quer dizer que aumentou 50 e sim 100 e 50 de 13 milhões Figura 12 Adaptação do gráfico da Revista Veja São Paulo 5 jun 2002 não é 1000000 e sim 650000 As alternativas c d e e estão corretas porque o dobro de 13 milhões é 26 milhões da mesma forma que um aumento de 100 significa passar de 13 milhões para 26 milhões e não para 24 milhões No entanto o emprego do termo praticamente permite ao jornalista a comparação feita porque a diferença entre 26 milhões e 24 milhões é de 200 mil que corresponde a menos de da circulação final ocorrida Voltando aos gráficos Observando o gráfico que apresenta uma comparação entre o Produto Interno Bruto PIB do Brasil e o Produto Interno Bruto da agropecuária a partir do segundo trimestre de 2001 até o primeiro de 2002 O MOTOR DA AGRICULTURA Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 80 11 Desenvolvendo competências De acordo com o gráfico da Figura 12 podemos afirmar que a a maior variação do PIB da agropecuária foi de 323 b a maior variação do PIB da agropecuária foi de 348 c a diferença entre o menor valor do PIB da agropecuária e o valor registrado no 1º trimestre de 2002 foi de 323 d o maior valor do PIB da agricultura foi de 185 Números irracionais Você saberia dizer qual dos dois caminhos a formiga faz para chegar ao doce ac ou b O professor Luiz Barco em sua coluna na revista Super Interessante nº 147 afirma que até as formigas escolhem andar pelo maior lado do triângulo retângulo em vez de percorrer os outros dois Segundo o prof Barco calcular caminhos é uma das várias aplicações práticas do teorema de Pitágoras Usando este teorema é possível calcular a menor distância entre dois pontos Pitágoras um filósofo que viveu na Grécia aproximadamente 500 anos antes de Cristo Figura 13 a b c Figura 14 estabeleceu uma relação entre os lados do triângulo retângulo que ficou conhecida como teorema de Pitágoras A descoberta de Pitágoras foi uma revelação para a Matemática pois surgiram números para os quais não é possível extrair a raiz quadrada exata O teorema de Pitágoras diz que Em um triângulo retângulo a soma das medidas dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa Capítulo III Convivendo com os números 81 Veja o que ocorre quando aplicamos o teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo cujos catetos medem 1m Escrevemos x 2 1 2 1 2 x 2 11 x 2 2 x Ao calcularmos o valor dessa raiz com o auxílio de um computador encontramos 14142135623730950488016887242097 Note que os três pontinhos que aparecem depois do último algarismo 7 indicam que podemos continuar calculando essa raiz e ir aumentando infinitamente o número de casas decimais Outro fato importante para ser observado na representação decimal desse número é que não acontece com ele o mesmo que com outros números racionais que também têm infinitas casas decimais como por exemplo os números 133333 5215234234234234 Nesses casos a partir de um determinado algarismo há na parte decimal regularidade na repetição de algarismos Veja que para essa regularidade não ocorre Números como o são chamados de irracionais porque não é possível escrevêlos na forma de uma razão isto é na forma fracionária com numerador e denominador inteiros Existem muitos números irracionais Veja mais alguns 010101101111 e o conhecido π que nos permite calcular a área do círculo e o perímetro da circunferência Você viu no decorrer desse capítulo que o conhecimento dos números e suas operações pode ajudálo em diferentes situações cotidianas Existem ainda outras situações reais nas quais o conhecimento dos números irracionais pode ajudálo e a toda sua comunidade Os mutirões entre vizinhos para a construção da casa própria ocorrem em grande número em diferentes regiões do país Veja uma possibilidade de usar seu conhecimento dos números para resolver problemas que podem aparecer em construções Figura 16 Como você faria para calcular aproximadamente a medida da viga lateral da estrutura de um telhado como o da figura acima Resolvendo o problema Você deve ter encontrado o valor para x Para obter o valor aproximado você pode usar uma calculadora ou então considerar que como 5 é maior que 4 então deve ser maior que mas é igual a 2 como 5 é menor que 9 então deve ser menor que mas é igual a 3 então é um número que está entre 2 e 3 Como 5 está mais próximo de 4 do que de 9 então deve estar mais próximo de 2 do que de 3 Assim multiplique 21 por 21 e depois multiplique 22 por 22 experimente também multiplicar 23 por 23 Qual dos resultados que você obteve mais se aproxima de 5 Se você achar que é o produto de 22 por 22 então poderá dizer que é aproximadamente igual a 22 Isso quer dizer que a medida da viga é de aproximadamente 22 metros que é o mínimo necessário Porém como há alguma perda em cortes você deve considerar alguns centímetros a mais na hora da compra do material Figura 15 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 82 Ao juntarmos o conjunto dos números irracionais ao conjunto dos números racionais formamos o conjunto dos números reais Dessa forma todos os números que foram utilizados neste capítulo são números reais Chegando ao final dessa leitura você deve ter percebido a importância de conhecer e saber utilizar os números naturais inteiros racionais e reais para resolver as mais diversas situações de seu cotidiano Figura 17 12 Desenvolvendo competências Uma antena precisa ser fixada por 2 cabos de aço conforme a figura abaixo A quantidade mínima necessária de cabo de aço é a 2 m b 2 m c 4 m d 20 m Capítulo III Convivendo com os números 83 BOLO BÁSICO 2 xícaras de manteiga 4 xícaras de açúcar 6 xícaras de farinha de trigo 6 colheres de chá de fermento em pó 2 xícara de manteiga 2 colher de chá de baunilha 8 ovos 2 xícaras de leite Conferindo seu conhecimento 1 2 3 4 5 6 7 Resposta c Resposta a Negativo R 24116 Resposta b Amarelos 3 Verde 3 Azul 4 Vermelho 0 a Não porque é verão em dezembro no Hemisfério Sul b A menor temperatura é 8ºC c A diferença é de 10 graus d A diferença é de 9 graus e A diferença é de 18 graus Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 84 8 9 10 11 Resposta d Analisando o gráfico você pode dizer se a empresa teve a Janeiro fevereiro março abril julho novembro dezembro b Maio junho agosto setembro outubro c 456 milhões de reais d 224 milhões de reais e Lucro de R 232 milhões de reais Resposta d Resposta c 12 Resposta b Capítulo III Convivendo com os números 85 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar interpretar e representar os números naturais inteiros racionais e reais Construir e aplicar conceitos de números naturais inteiros racionais e reais para explicar fenômenos de qualquer natureza Interpretar informações e operar com números naturais inteiros racionais e reais para tomar decisões e enfrentar situaçõesproblema Utilizar os números naturais inteiros racionais e reais na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas de qualquer natureza Recorrer à compreensão numérica para avaliar propostas de intervenção frente a problemas da realidade Marília Toledo UTILIZAR O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO PARA REALIZAR A LEITURA E A REPRESENTAÇÃO DA REALIDADE E AGIR SOBRE ELA Capítulo IV NOSSA REALIDADE E AS FORMAS QUE NOS RODEIAM Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 88 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam A sabedoria popular Em nosso diaadia realizamos uma grande quantidade de ações que estão apoiadas em conhecimentos de vários tipos Tudo é feito de um modo tão natural que nem identificamos o conhecimento que estamos usando Vejamos algumas situações nas quais isso ocorre Se você tiver que atravessar uma rua movimentada qual o melhor trajeto o 1 ou o 2 Imaginese agora organizando um jogo em que você é encarregado de receber uma bola e passá la a cada um dos demais jogadores Em qual das posições 1 ou 2 representadas abaixo você distribuiria as pessoas para participarem do jogo Solução 1 Solução 2 Figura 1 Solução 1 Solução 2 Figura 2 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 89 Nossa experiência nos diz que em cada caso a solução 2 parece ser a mais conveniente não é Se alguém nos pedir para justificar essas escolhas diremos que estamos usando a sabedoria popular e não pensaremos mais no caso De fato ao longo da história da Humanidade foram surgindo no diaadia dos diversos povos problemas que eles tiveram que solucionar As soluções encontradas foram sendo passadas de pai para filho formando essa sabedoria que todos nós possuímos Alguns escritos que ficaram dos povos antigos muitas vezes descrevem alguma situação e a solução encontrada justificando apenas que fazendo assim dá certo Com o tempo esses conhecimentos da sabedoria popular foram sendo organizados pelos estudiosos que procuraram explicações lógicas para cada uma das situações e de suas soluções Desse modo foise organizando um conjunto de conhecimentos que até hoje continua sendo ampliado e aprofundado Nas situações apresentadas podemos dizer que os conceitos usados são de natureza geométrica A Geometria é uma parte da Matemática que estuda as figuras sua forma elementos e propriedades Vamos então analisar cada uma das situações apresentadas pensando nos aspectos geométricos envolvidos Na primeira situação a intenção do pedestre é fazer o menor caminho possível para ficar menos exposto ao movimento dos veículos Podemos pensar em um desenho simplificado um modelo que irá nos ajudar a pensar melhor na situação As duas beiradas das calçadas representam retas paralelas e a menor distância entre elas é o segmento pedaço de reta perpendicular às duas Figura 3 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 90 Nessa explicação falamos em retas paralelas e em retas perpendiculares Vamos entender melhor o que isso significa Duas retas que estão em um mesmo plano podem ser Paralelas se não se encontram Perpendiculares se elas se encontram em um ponto separando o plano em quatro regiões iguais ou seja se elas formam quatro ângulos retos Oblíquas se elas se encontram em um ponto separando o plano em regiões diferentes duas a duas ou seja formam dois ângulos maiores que o ângulo reto e dois menores Figura 4 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 91 Repare nas características das faixas de pedestres sinalizadas nas ruas muito movimentadas encontramse em posição perpendicular às guias das calçadas e as listas que as formam são paralelas entre si Além do exemplo das ruas faixas de pedestres e calçadas você pode encontrar muitos outros objetos da nossa realidade que poderiam ser representados por retas paralelas Pense em alguns exemplos Do mesmo modo você pode observar modelos de retas perpendiculares na rua no seu trabalho em sua casa como por exemplo nos batentes das portas Procure outros exemplos Vejamos como fica a situação dos jogadores na 1ª solução do problema da página 88 Novamente vamos usar um modelo da situação uma figura simplificada que nos permite analisar melhor o que está ocorrendo A figura formada é um retângulo Observe que os pontos assinalados se encontram a distâncias diferentes do centro Os jogadores mais prejudicados são os que se encontram nos vértices P Q R S do retângulo pois estes são os pontos mais distantes do centro Na segunda situação em que se organiza um jogo com bola é mais justo que todas as pessoas estejam à mesma distância do jogador central para terem facilidades iguais de pegar e jogar a bola Por isso a melhor escolha é que suas posições formem uma circunferência como na 2ª solução do problema apresentado na página 88 1 Desenvolvendo competências Repare que no retângulo podemos observar lados perpendiculares o lado PQ e o lado QR por exemplo formam um par de segmentos de retas perpendiculares Indique outros pares de lados perpendiculares no retângulo No retângulo também podemos observar pares de lados que são paralelos Quais são eles Figura 5 Figura 6 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 92 Vamos pensar em uma outra situação de nossa realidade Você já prestou atenção à forma de um poço ou de uma panela com tampa que fecha bem justinho Tente descobrir um motivo para a escolha da forma desses objetos ser sempre a da opção 2 e não a da opção 1 No caso de o poço ou da panela ter forma de um prisma de base quadrada sua tampa terá a Um bom argumento para justificar essa escolha pode ser verificado por você Pegue duas embalagens de produtos quaisquer uma com a 1ª forma apresentada e outra com a 2ª forma sem uma das tampas Você deve construir uma tampa para cada embalagem apoiandoa sobre um papel grosso desenhando o contorno da parte a ser tampada e depois recortandoo Agora tente guardar cada tampa dentro da sua respectiva caixa sem dobrála nem amassála Você deve ter notado que apenas a tampa da 1ª embalagem pode ser guardada nas condições do problema isto é sem ser dobrada nem amassada Isso quer dizer que se o poço ou as panelas tivessem a 1ª forma haveria o risco de se deixar a tampa cair no fundo A figura da opção 1 tem a forma de um prisma de base quadrada ou paralelepípedo e a figura da opção 2 tem a forma de um cilindro forma de um quadrado Então se encaixarmos o lado da tampa na diagonal da boca do poço certamente a tampa irá ao fundo Pense na situação do pedestre atravessando a rua No caso de o poço ter a forma cilíndrica sua tampa será redonda e nunca irá para o fundo pois no círculo qualquer um de seus pontos estará a uma mesma distância do centro distância igual ao raio Pense nas crianças jogando bola AB lado AC diagonal PO OQ TO OU raio opção 1 opção 2 Se você quiser saber mais Figura 7 Figura 8 Figura 9 Figura 10 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 93 Um famoso teorema o de Pitágoras Você já observou o início da construção de uma casa Ela se inicia pela marcação do terreno indicandose no chão cada aposento com barbante e estacas Em geral as paredes formam ângulos retos ou ficam no esquadro como se costuma dizer E como é que os trabalhadores da obra têm certeza disso Existe um modo prático de resolver o problema que é o seguinte Quando não se consegue isso devese modificar um pouco a posição da estaca C daí a necessidade do golpe de vista do chefe da obra Com isso formase um ângulo reto entre os fios AB e AC Pense no triângulo que foi construído as medidas de seus lados são 3 4 e 5 metros Existe uma relação muito interessante entre estes números 3 2 4 2 5 2 ou 9 16 25 3 2 3 3 4 2 4 4 5 2 5 5 prendese um fio de barbante em uma estaca A e ele é esticado até uma estaca B de modo que o barbante fique com 3 metros de comprimento entre A e B repetese a mesma operação entre a estaca A e uma outra C de modo que o novo barbante fique com comprimento de 4 metros entre A e C A operação seguinte é mais delicada para posicionar a estaca C de modo que as futuras paredes fiquem no esquadro é necessário esticarse novo fio de barbante de B a C para que a distância entre essas duas estacas seja exatamente 5 metros Figura 11 Figura 12 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 94 Um pouco de História Há muitos séculos há cerca de 5000 anos desde os tempos em que os egípcios construíram suas pirâmides eles já sabiam dessa relação em todo triângulo que tem lados com as medidas 3 4 e 5 unidades formase um ângulo reto entre os lados que medem 3 e 4 unidades Naquele tempo ainda não se usava a unidade de medidas de comprimento em metros O que os operários egípcios faziam era preparar uma corda com 13 nós com o cuidado de deixar sempre a mesma distância a unidade de medida escolhida por eles entre um nó e outro Prendiase a corda no chão com as estacas no primeiro nó no quarto e no oitavo deixando 3 espaços e 4 espaços entre essas estacas O décimo terceiro nó deveria coincidir com o primeiro a posição do oitavo nó era a mais importante ela deveria ser corrigida se necessário Com isso eles tinham certeza de ter um ângulo reto formado entre os lados que se uniam na segunda estaca Só muito mais tarde por volta do século VI aC os gregos começaram a se preocupar em recolher os conhecimentos dos povos e a tentar organizálos e explicálos Um de seus trabalhos se referiu exatamente a essa relação entre as medidas dos lados dos triângulos que têm um ângulo reto eles descobriram que a relação vale não só para os triângulos de lados medindo 3 4 e 5 unidades Eles descobriram que sempre que um triângulo possui um ângulo reto o quadrado da medida do lado maior é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados Chamaram o lado maior de hipotenusa e os outros dois lados de catetos Essa descoberta ficou conhecida como teorema de Pitágoras em homenagem a um dos maiores filósofos daqueles tempos O teorema ficou conhecido da seguinte forma Em todo o triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos dois catetos Figura 13 Figura 14 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 95 Atualmente quando precisamos medir ou desenhar um ângulo reto utilizamos o esquadro um instrumento bastante simples barato e fácil de se usar Se você quiser saber mais Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são expressas por três números naturais esses números são chamados pitagóricos Já sabemos que as medidas 3 4 e 5 representam um desses trios de números pitagóricos Você pode obter novos trios multiplicando essas medidas por 2 3 4 ou qualquer outro número natural maior que 1 Os triângulos que você irá obter com essas novas medidas são semelhantes ao primeiro pois têm a mesma forma os mesmos ângulos que ele só mudando os comprimentos dos lados Você pode fazer o mesmo com os números pitagóricos 5 12 e 13 ou com qualquer outro trio O triângulo retângulo mais famoso é o que possui lados medindo 3 4 e 5 unidades pois esses números são bastante simples de se memorizar Outro trio de números inteiros para os quais também vale a relação é 5 12 13 Verifique com auxílio do esquadro construa um ângulo reto deixe um dos lados do ângulo com 5 cm de comprimento e o outro com 12 cm ligando as extremidades dos dois lados você irá obter o terceiro lado de um triângulo Meça esse lado Se você não encontrou 13 cm confira com o esquadro se o ângulo que você traçou está mesmo com 90 graus isto é se ele é um ângulo reto para que você tenha um triângulo retângulo Figura 15 Figura 16 Figura 17 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 96 Voltando aos problemas do pedestre e do poço Vamos pensar agora no problema de colocar a tampa na boca de um poço se ela for quadrada Imaginemos que a boca do poço forma um quadrado em que cada lado tem 1 metro de comprimento Agora que já foi discutido o teorema de Pitágoras você pode retomar os problemas citados realizando alguns cálculos Vejamos o problema do pedestre é possível desenharmos um modelo da situação onde fica clara a representação de um triângulo retângulo Vamos imaginar que a rua tem 8 metros de largura Então o pedestre poderá fazer a travessia perpendicularmente às calçadas ou atravessar a rua seguindo uma direção oblíqua Imaginemos que pelo caminho oblíquo ele chegue à calçada oposta em um ponto R que está 6 metros abaixo do ponto de partida P na outra calçada Teremos aí um modelo de triângulo retângulo Localize as medidas dadas nesse modelo para concluir quantos metros o pedestre irá percorrer em cada trajeto Novamente podemos desenhar um modelo da situação em que aparece um triângulo retângulo formado por dois lados e pela diagonal do quadrado Vamos usar as indicações a medida de CB b medida de AC c medida de AB 2 Desenvolvendo competências Aplique no triângulo ABC a relação de Pitágoras e descubra quanto mede a diagonal CB da boca do poço Observação Você vai precisar do valor de Use 141 Figura 18 Figura 19 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam E por falar em construções Você já deve ter visto uma casa sem forro Deve então ter reparado que servindo como estrutura para o telhado quase sempre encontramos uma tesoura uma construção de madeira com forma triangular Figura 20 Resolvendo o problema Você já pensou no motivo que leva os carpinteiros a escolherem sempre a forma triangular para essa estrutura Por que será que não a fazem em forma quadrada retangular ou qualquer outra Para encontrar a resposta para essa questão faça a seguinte experiência Corte sete pedaços de canudinhos de refresco e com um fio de linha ou de barbante construa um retângulo e um triângulo Pegue cada uma dessas figuras e putea por um de seus lados tomando o cuidado de não dobrar nem entortar nenhum dos canudinhos Você irá verificar que o retângulo muda de forma à medida que você for puxando seu lado enquanto que o triângulo apresenta maior resistência à deformação a ponto de só mudar de forma se for destruído Dizemos que de todas as figuras que podemos construir com três lados quatro lados ou mais a única que tem a propriedade da rigidez é o triângulo Figura 21 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 98 Nessa experiência você deve observar que a rigidez do triângulo isto é sua maior resistência à deformação é que justifica o uso dessa forma em diversas construções vistas hoje em dia Procure em sua casa bairro ou cidade objetos ou Conversando um pouco sobre ângulos Você percebeu que nesse texto já nos referimos a ângulos retos como sendo aqueles que medem 90 o lêse noventa graus Vamos então saber um pouco mais sobre ângulos Você já deve ter ouvido muitas pessoas usarem expressões como dar meia volta dar uma volta ou ainda dar um giro de 180 graus e assim por diante Para entender melhor o significado dessas expressões e perceber o que elas têm a ver com ângulos vamos pensar em um caso bem prático o dos movimentos dos ponteiros de um relógio 3 Quando o ponteiro dos minutos sai por exemplo de 12 dá a volta completa no mostrador e volta para o 12 dizemos que ele percorreu um ângulo de uma volta ou de 360 graus ou 360 o se ele sair do12 e chegar ao 6 diremos que ele percorreu um ângulo de meia volta ou de 180 graus 180 o se ele sair do 12 e chegar ao 3 diremos que ele percorreu um quarto de volta formando um ângulo reto ou de 90 o Nesse caso diremos que as duas posições do ponteiro estão representando segmentos de retas perpendiculares construções em que foram usados triângulos e verifique se esse uso foi para garantir maior resistência à deformação do objeto ou da construção Desenvolvendo competências Você já deve ter visto um portão como o da figura ao lado com ripas de madeira Se fosse você que o tivesse construído qual dos argumentos abaixo você usaria para justificar o uso da ripa colocada em diagonal a Ela é necessária para se pregar as madeiras que formam o portão b Ela é necessária para deixar o portão mais bonito e mais fácil de abrir c Ela é necessária porque forma triângulos com as ripas verticais e com as horizontais impedindo que o portão se deforme d Ela é necessária para deixar o portão mais resistente contra as batidas Figura 22 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 99 Você verá nesse capítulo alguns usos dos ângulos em geometria e na resolução de problemas em situações cotidianas Faça a seguinte experiência desenhe e recorte peças com formas triangulares diversas A seguir separe cada uma dessas peças em três partes conservando seus ângulos como na figura Agora junte as três partes de cada uma das peças colocandoas lado a lado sem sobreposição com todos os vértices em um mesmo ponto Observe que ao arrumar as partes assim você formou sempre um ângulo de meia volta isto é um ângulo de medida igual a 180 o para qualquer das formas triangulares que você recortou Uma outra propriedade importante dos triângulos Figura 23 Figura 24 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 100 Os antigos gregos também descobriram essa propriedade que você acabou de verificar Eles provaram que essa propriedade vale para qualquer triângulo e criaram o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo completar uma volta inteira você precisará formar outro ângulo de medida 180 o e continuar assim até recobrir todo seu quadro Procure observar em revistas livros ou mesmo exposições de pinturas como muitos artistas fazem uso de figuras geométricas em seus trabalhos O pintor brasileiro Volpe por exemplo é autor de uma série famosa de quadros cujo tema são bandeirinhas como as usadas em festas juninas Procure conhecer alguma coisa da obra desse artista e você irá observar como ele lançou mão de figuras geométricas de forma criativa e bela Até aqui você já pôde observar diferentes situações do cotidiano em que estão envolvidos conceitos geométricos figuras geométricas e suas propriedades Você já deve ter percebido que quanto mais dominarmos esses conceitos mais condições teremos de compreender situações da realidade desenvolver modelos geométricos para representálas e desse modo encontrar soluções para problemas que podem surgir 4 Desenvolvendo competências Uma questão para você se um triângulo tiver todos os seus ângulos iguais qual será a medida de cada um Em um triângulo qualquer a soma das medidas de seus ângulos internos é igual a 180o Um triângulo cujos ângulos têm a mesma medida tem também seus lados com mesma medida Ele é chamado de triângulo eqüiângulo ou eqüilátero Todo triângulo eqüiângulo e eqüilátero é chamado triângulo regular Geometria e arte Vamos aproveitar o que aprendemos sobre os triângulos para construir um pequeno quadro todo recoberto de triângulos coloridos de modo que não haja espaços vazios entre eles e nem sobreposição de figuras isto é os triângulos devem ser colocados lado a lado sem que fiquem com alguma parte sobre o outro Quadros assim formados são chamados de mosaicos Para construir seu mosaico desenhe um triângulo e tomandoo como molde recorte várias peças iguais em papéis coloridos use folhas de revistas Recorte em papel mais grosso um quadro para que você possa montar o mosaico sobre ele Misture as peças coloridas quanto mais colorido melhor Observe que para fazer o mosaico sem deixar vãos e sem sobrepor as peças é necessário encaixar os ângulos do mesmo modo que você fez na experiência anterior isto é formando um ângulo de medida 180 o ou de meia volta Para Figura 25 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam Escolhendo ladrilhos Vamos então a mais um exemplo o da escolha de ladrilhos Observe os seguintes tipos de ladrilhos 1 2 3 4 5 6 Figura 26 Quais deles você tem visto em pisos ou em lojas de materiais de construção Por que será que alguns deles não aparecem em nenhum mostrário dessas lojas Para encontrar uma resposta a essa questão considere o seguinte problema Você deve ladrilhar uma sala retangular usando ladrilhos de um só tipo sem que fiquem espaços entre os ladrilhos sem ter que cortar ladrilhos a não ser nas extremidades da sala acompanhando os rodapés Escolha quais dos seis modelos acima poderão atender às condições dadas Se você tiver dúvidas em alguns dos casos faça uma experiência reproduzindo e recortando várias peças iguais ao ladrilho em questão Você deve ter descoberto que os modelos arredondados não resolvem o problema porque sempre deixam espaços entre um ladrilho e outro Figura 27 Assim sobraram apenas os modelos 3 e 5 que ficaram exatamente dentro das condições do problema dado Figura 28 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 102 Qual será a explicação geométrica para isso Vamos estudar algumas características de figuras geométricas que são modelos dos ladrilhos que têm contornos retos elas recebem o nome de polígonos Se você quiser saber mais pentágono penta cinco hexágono hexa seis octógono octo oito A palavra polígono vem do grego e significa figura de muitos ângulos poli muitos gono ângulo Os nomes dos diferentes polígonos são dados a partir do total de ângulos ou de lados que eles possuem Como esses nomes vêm do grego temos nomes como Os artistas que criam os azulejos e ladrilhos para revestimentos sabem que não é prático nem decorativo deixar espaços sem revestimento Por outro lado sabem também que não é econômico ficar quebrando pedaços de ladrilhos Então o problema que se apresenta a esses artistas é o mesmo que foi apresentado a você isto é para prever quais as formas que serão mais adequadas para revestir pisos ou paredes usam modelos matemáticos para a representação de possíveis ladrilhamentos Como vimos até aqui nossos ladrilhos têm formas poligonais e os polígonos possuem muitos ângulos Estes ângulos têm um papel importante quando se pensa em ladrilhamentos Você viu que conforme as aberturas dos lados dos ladrilhos os ângulos dos polígonos eles servem ou não para recobrir uma superfície sem deixar vãos ou se sobreporem Podemos pensar então que os ladrilhos que cobrem o piso sem deixar espaços entre eles têm as aberturas de seus lados de tal modo que quando se juntam formam um ângulo de uma volta em torno de um ponto Ângulo de uma volta em torno de P Figura 30 Figura 31 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 103 Para verificar isso em cada caso é necessário conhecermos cada um dos ângulos dos polígonos que servem de modelos para tais ladrilhos Se quiser saber mais 5 Desenvolvendo competências Pensando na soma dos ângulos internos de um polígono de quatro lados quadriláteros como fizemos para os triângulos assinale quais dos argumentos apresentados abaixo você considera corretos É interessante que antes de indicar os argumentos você verifique com diferentes quadriláteros o que ocorre com a soma de seus ângulos internos procedendo do mesmo modo que com os triângulos a A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 180o como nos triângulos b A soma dos ângulos internos de um quadrilátero tem medida igual a 360o porque quando encostados uns aos outros eles formam uma volta inteira c A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360o porque todo quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos e daí temos 180o 180o 360o d A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360o porque todo quadrilátero tem os quatro ângulos medindo 90o e 4 90o 360o Assim como no caso dos triângulos também há um tipo de quadrilátero que é chamado regular pois tem todos os seus ângulos com a mesma medida e todos os seus lados com o mesmo comprimento é o quadrado Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 104 6 Desenvolvendo competências Que tal agora você verificar como estão seus conhecimentos até aqui Então coloque V verdadeiro ou F falso em cada uma das afirmações procurando justificar cada uma de suas respostas baseandose no que está sendo discutido a É possível construir um ladrilho com a forma de um triângulo regular que tenha seus três ângulos internos medindo 70o cada b Se construirmos um quadrilátero PQRS que tenha ângulos de medidas mp 108o m q 94o m r 76o então a medida do ângulo s deve ser 82o c Se um terreno tiver a forma de um triângulo com dois ângulos tais que um deles é reto e o outro é obtuso de medida maior que 90o seu terceiro ângulo deverá ser agudo de medida menor que 90o d É possível construir um quadrilátero que tenha apenas um ângulo reto e os demais ângulos com medidas diferentes de 90o e É possível construir um quadrilátero que tenha três ângulos retos e apenas um ângulo de medida diferente de 90o Agora já temos uma justificativa geométrica para o fato de não encontrarmos à venda alguns tipos de ladrilhos como os dos tipos 1 2 ou 4 de nosso problema inicial Depois da escolha a compra Aproveitando o tema do ladrilhamento imagine agora que você já escolheu o tipo de ladrilho ideal para revestir sua sala que é retangular com lados medindo 3m e 4m O passo seguinte é fazer a compra Para isso você deverá calcular quantidade e preços Modelo Capri Dimensões 40 cm x 40 cm Tabela 1 Preço por unidade R 120 Nº de unidadescaixa 15 Em geral o vendedor possui uma tabela impressa em papel ou registrada no computador da loja onde há as informações sobre o ladrilho escolhido Veja um exemplo de tabela Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 105 Como destrinchar todos os dados contidos na tabela e fazer a tal compra Em primeiro lugar o que significa 1 m 2 Se desenharmos em um piso um quadrado de 1 metro de lado teremos uma superfície desse piso que mede 1m 2 1m 1m 1m2 Em segundo lugar como saber quantos metros quadrados mede uma sala retangular de lados medindo 3m e 4m Vamos desenhar no piso da sala quadrados de 1m 2 para contar quantos cabem nesse piso No lado de 3 m podemos acomodar os lados de 3 quadrados e no lado de 4m acomodamos os lados de 4 quadrados assim podemos dizer que temos 3 fileiras de 4 quadrados ou seja 3 4 12 quadrados o que nos indica que a sala mede 12m 2 O próximo passo é saber quantas caixas de ladrilhos deveremos comprar cada ladrilho mede 40 cm por 40 cm ou seja 04 m 04 m 016m 2 Cada caixa contém 15 ladrilhos o que dá para cobrir uma superfície de 240 m 2 Descobrimos isso assim 15 016 m 2 240 m 2 Como será necessário cobrir uma superfície de 12 m 2 devemos calcular de quantas caixas precisaremos 12 m 2 240 m 2 5 Isso quer dizer que para ladrilhar a sala são necessárias 5 caixas Não podemos esquecer que em toda obra existe uma perda de material isto é alguns ladrilhos se quebram ao serem manuseados ou recortados para os cantos e então você precisará comprar alguns ladrilhos a mais para repor as possíveis perdas É comum comprarse aproximadamente 10 a mais do que o necessário Finalmente calculemos o preço da compra Necessitamos comprar 5 caixas de ladrilhos e cada uma contém 15 unidades o que nos dá um total de 75 ladrilhos Calculamos assim 5 15 75 Calculando 10 desse total teremos Como não é possível comprar 7 ladrilhos e meio acrescentaremos 8 ladrilhos no total calculado anteriormente 75 8 83 Cada unidade custa R 120 o que nos permite calcular 83 120 9960 Então o preço total será R 9960 Figura 32 Figura 33 Figura 34 04m 04m Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 106 Uma questão para você refletir Quantos conhecimentos matemáticos estão por trás de uma simples compra de ladrilhos não Naturalmente hoje a maioria das lojas conta com programas de computador que realizam todos esses cálculos Mas para isso houve alguém que tinha o domínio dos conceitos aqui discutidos para poder programar o computador E como é bom saber que temos computadores à nossa disposição mas não dependemos deles porque dominamos os conceitos necessários para resolver o problema Pense em uma outra situação de compras em seu diaa dia e procure listar quantos conceitos matemáticos estão envolvidos nela Essas experiências servem para nos mostrar quanto de Matemática conhecemos e utilizamos sem sequer nos darmos conta disso Vejamos uma outra situação em que você utiliza naturalmente vários conhecimentos geométricos Uma figura vale por mil palavras Esse é um velho ditado cujo espírito tem sido muito explorado por vários profissionais entre eles os que lidam com comunicação e propaganda Os especialistas em Estatística também utilizam muito esse recurso para transmitir suas informações de maneira clara e rápida por meio de vários tipos de gráficos encontrados em jornais revistas noticiários de TV etc Os aspectos geométricos das figuras utilizadas fornecem o impacto visual para as pessoas de modo a destacar o que os gráficos representam Observe alguns exemplos Nesse gráfico de colunas a ordem de grandeza de cada um dos números nos é mostrada pela altura de cada um dos retângulos todos eles apresentando a mesma base Observe que o aumento da porcentagem é facilmente visualizado pelo aumento da altura dos retângulos INCIDÊNCIA DE HIV NAS MULHERES GRÁVIDAS SULAFRICANAS PESQUISA MOSTRA QUE O POVO CONFIA NO PENTA O BRASIL SERÁ CAMPEÃO Figura 36 Adaptado do Jornal O Estado de S Paulo 22 062002 Nesse gráfico de setores conhecido como gráfico de pizza temos o círculo separado em regiões por meio de ângulos determinando setores circulares Observe como fica fortemente evidenciado pelo grande setor circular que a maioria dos brasileiros acreditava que o Brasil seria pentacampeão mundial de futebol Figura 35 Adaptado da Revista Época 25022002 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 107 Esse gráfico constituído por uma poligonal das freqüências nos indica as variações da grandeza considerada por meio das alturas atingidas pelos extremos dos segmentos de reta que formam essa linha poligonal Observe como os segmentos de reta que ligam os pontos assinalados nos anos de 1999 2000 e 2001 registram os altos e baixos sofridos pelo fenômeno considerado ao longo do tempo É fácil visualizar que houve uma diminuição de casos registrados em 2000 e um grande aumento em 2001 CASOS DE DENGUE NO ESTADO Figura 37 Adaptado do Jornal Folha de S Paulo 23062002 Construindo caixas Até aqui temos trabalhado com pontos segmentos de reta círculos retângulos etc figuras conhecidas como figuras planas que servem de modelo para várias situações de nosso cotidiano No entanto em outras situações precisamos de modelos não planos para representar os objetos com os quais convivemos Vamos então analisar algumas figuras geométricas desse tipo Você já verificou que os ladrilhos que cobrem o piso sem deixar espaços entre eles têm seus ângulos internos de tal modo que quando se juntam formam um ângulo de uma volta ou 360 o em torno de um ponto Assim no caso dos ladrilhos quadrados são necessários quatro deles para completar 360 o 4 90 o 7 Desenvolvendo competências Se unirmos apenas três desses ladrilhos como na figura ao lado quantos graus tem o ângulo indicado Faça a seguinte experiência recorte três pedaços quadrados e iguais em papel e una os três em torno de um mesmo vértice usando fita adesiva Como você deve ter verificado a figura obtida forma um bico que não fica com todos os seus pontos apoiados em um único plano Forma portanto uma figura não plana Figura 38 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 108 Desenvolvendo competências Se você construir outro bico igual a este e depois unir os dois de maneira adequada terá uma caixa em forma de cubo como um dado Responda e justifique sua resposta Essa caixa é uma figura plana ou não plana Examine a caixa construída e verifique quantas superfícies quadradas de papel você usou para montála Cada uma dessas superfícies é chamada face do cubo Vamos agora a outra experiência Desenhe um triângulo eqüilátero de lados medindo 4 cm Recorte em papel quatro figuras iguais a esta Agora faça uma construção semelhante à que você fez com os recortes quadrados una três figuras triangulares em torno de um mesmo vértice com fita adesiva de modo a obter um bico Use o quarto recorte triangular como tampa para fechar essa caixa que tem a forma de uma pirâmide Observe essa caixa e verifique quantas faces ela possui Dizemos que cada uma das caixas apresentadas tem a forma de um poliedro 8 Figura 39 Figura 40 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 109 Você já sabe que a palavra polígono vem do grego Lembrase de como ela foi formada e qual o seu significado poli gono E a palavra poliedro o que então poderá significar Se pensando nas construções feitas você respondeu figura de muitas faces acertou Como você já sabe poli significa muitos e edro significa face Procure se lembrar de alguns objetos da sua vida cotidiana que têm forma de um cubo Ao pensar nessas figuras você pode ter se lembrado de uma caixa de sapatos mas deve ter percebido que ela é um pouco diferente não é Desenvolvendo competências 9 Desenvolvendo competências Três tarefas para você 1 Faça uma lista de semelhanças e outra de diferenças entre a caixa que tem forma de cubo e a caixa de sapatos 2 Que tipos de recortes em papel você poderia fazer para construir dois bicos como fez para o cubo e unilos formando uma caixa como a de sapatos 3 Faça desenhos representando essas faces A seguir recorteos e tente construir a caixa para verificar se você imaginou corretamente Procure agora listar alguns objetos que você conhece no seu diaadia que têm a forma de pirâmide É possível que entre outras coisas você tenha se lembrado de ter visto fotos ou ilustrações das famosas pirâmides do Egito construídas há cerca de 5000 anos Elas são pirâmides como essa da figura Desenvolvendo competências Figura 41 Figura 42 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 110 10 Comparando prismas e pirâmides Sua nova tarefa é compare caixas com forma de prismas e caixas com forma de pirâmides e liste as diferenças que você encontra entre elas É possível que entre as diferenças que você encontrou estejam as seguintes No grupo dos prismas Todas as faces laterais são retângulos ou paralelogramos As outras duas podem ter outras formas as bases Existem pares de faces que não se encontram faces paralelas Cada grupo de 3 faces se encontra em um ponto diferente No grupo das pirâmides Tabela 2 Todas as faces laterais são triângulos A outra pode ter outras formas a base Não existe par de faces paralelas Existe um só ponto onde todas as faces laterais se encontram com uma só exceção a base a face que pode não ser triangular Desenvolvendo competências Agora responda e faça a Que figuras você recortaria em papel para montar uma pirâmide como a dos egípcios b Desenhe e recorte figuras como você imaginou e verifique se você consegue montar essa pirâmide Se você não observou essas diferenças ao realizar a tarefa solicitada pegue caixas em forma de prismas e de pirâmides e procure observar nelas as características descritas Você poderá encontrar esses tipos de caixas como embalagens de vários produtos que estão à venda Aliás observe como embalagens com formas de prismas com bases triangulares ou hexagonais ou com formas de pirâmides chamam a atenção das pessoas Uma embalagem diferente chega a ajudar a aumentar a venda de um produto Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 111 Construindo novas caixas Use meia folha de papel sulfite para enrolar formando um tubo Apóie com cuidado esse tubo sobre a metade da folha que sobrou contornando com um lápis a boca do tubo Recorte dois círculos a partir do contorno obtido e feche com eles as duas bocas do tubo Você tem uma nova caixa bem diferente das outras que você construiu Essa tem a forma de um cilindro Procure à sua volta objetos que apresentam a forma de um cilindro De fato essa caixa não é um poliedro porque nem todas as suas partes são regiões planas A própria forma dela nos dá uma indicação para o grupo ao qual ela pertence grupo dos corpos redondos Agora é a sua vez Procure lembrarse de alguns objetos do nosso diaadia que também têm forma de corpos redondos Você pode ter se lembrado de um ovo de uma bola e também de um chapéu de palhaço ou de uma casquinha de sorvete que remetem à figura ao lado que recebe o nome de cone Ótimo Você pode observar que se apoiar qualquer um desses objetos sobre uma mesa dependendo da posição ele poderá rolar 11 Desenvolvendo competências Analise essa nova caixa e pense em como poderia completar a frase a seguir O cilindro não é um poliedro porque Figura 43 Figura 44 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 112 Resumindo Ao longo deste capítulo você retomou uma série de conhecimentos práticos que todos nós utilizamos até sem perceber e para os quais se procurou dar explicações baseadas em propriedades de figuras geométricas Analisou também alguns problemas que os homens foram tendo que resolver para facilitar seu modo de vida e como as soluções para eles podem ser encontradas com maior facilidade quando se tem conhecimentos matemáticos Apenas alguns desses problemas foram apresentados mas aqueles que se interessarem por esse tipo de estudos encontrarão muitos outros e certamente se tornarão cada vez mais hábeis em resolvêlos Você foi convidado também a executar algumas tarefas cuja intenção era contribuir para você aumentar suas habilidades em relação ao traçado e à construção de modelos Esses modelos são muito úteis na resolução de situaçõesproblema da vida real pois neles são eliminadas as informações supérfluas e são representados apenas os elementos que nos permitem ter uma visão geométrica da questão Por exemplo ao examinarmos um portão empenado o que nos importa é ver um conjunto de retas as ripas do portão onde deverá ser construída uma nova reta a ripa em diagonal que dará origem a um grupo de triângulos figuras que por sua propriedade de rigidez irão impedir que o portão modifique sua forma com o uso Esperamos que assim tenhamos contribuído para que você possa reconhecer que os conhecimentos matemáticos e em nosso caso os geométricos nos ajudam a compreender a nossa realidade e a agir sobre ela Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 113 Outros pares de lados perpendiculares no retângulo PS e SR ou SR e RQ Pares de lados paralelos no retângulo PS e QR PQ e SR Conferindo seu conhecimento 1 2 Medida da diagonal a m CB b m AC 1m e c m AB 1m b2 c2 a2 12 12 a2 2 a2 a ou a 141m 3 As medidas dos ângulos Se um triângulo tem todos os seus ângulos iguais então cada um medirá 60º pois podemos fazer 180 3 60 4 Os argumentos corretos Alternativas b e c 5 Verdadeiro ou Falso a F b V c F d V e F 6 A medida do ângulo indicado 270º 7 Justificando o uso de ripa na diagonal Alternativa c Essa caixa é uma figura plana ou não plana É uma figura não plana 8 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 114 9 Três tarefas para você 1 Entre as semelhanças podemos destacar as duas caixas têm 6 faces todas as faces nas duas caixas são poligonais com quatro lados todas as faces têm todos os seus ângulos internos medindo 90o nas duas caixas as faces são paralelas duas a duas Como diferença podemos destacar que no cubo as faces são regulares têm lados com a mesma medida e ângulos iguais e na caixa de sapatos as faces têm lados com medidas diferentes 2 Para cada bico deveremos recortar três figuras retangulares não regulares mas cujas medidas dos lados permitam unir as faces 10 3 Por exemplo para cada bico Agora responda e faça a A pirâmide egípcia tem base quadrada Então para montar uma caixa com esta forma serão necessários um quadrado e quatro triângulos iguais com a base de mesmo comprimento do lado do quadrado 4 cm 4 cm Como poderia completar a frase cilindro não é um poliedro porque não possui faces poligonais 11 Capítulo IV Nossa realidade e as formas que nos rodeiam 115 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar e interpretar fenômenos de qualquer natureza expressos em linguagem geométrica Construir e identificar conceitos geométricos no contexto da atividade cotidiana Interpretar informações e aplicar estratégias geométricas na solução de problemas do cotidiano Utilizar conceitos geométricos na solução de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano Recorrer a conceitos geométricos para avaliar propostas de intervenção sobre problemas do cotidiano José Luiz Pastore Mello MEDIDAS E SEUS USOS Capítulo V CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE GRANDEZAS E MEDIDAS PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO COTIDIANO Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 118 Capítulo V Medidas e seus usos Apresentação Contar e medir são duas das operações que realizamos com maior freqüência no diaadia A dona de casa ao preparar uma refeição utiliza determinado padrão de medida para cada ingrediente do prato que está fazendo um operário ao ajustar um instrumento de precisão utiliza determinado padrão de medida em seu ofício um agricultor ao calcular a quantidade de sementes que irá utilizar em determinada área de terra também está realizando uma operação de medição Se em nosso cotidiano realizamos várias operações de medição nada mais adequado do que refletirmos sobre a seguinte pergunta o que é medir Medir significa comparar duas grandezas de mesma espécie como por exemplo dois comprimentos duas massas dois volumes duas áreas duas temperaturas dois ângulos dois intervalos de tempo etc As unidades de medidas utilizadas para se estabelecer um padrão de comparação foram até certa época definidas arbitrariamente Até o final do século XVIII todos os sistemas de medidas existentes eram baseados nos costumes e nas tradições Algumas partes do corpo humano a palma da mão o polegar o braço ou a passada e alguns utensílios de uso cotidiano tais como cuias e vasilhas foram os primeiros padrões de comparação usados para medir Com o tempo cada civilização definiu padrões diferentes e fixou suas próprias unidades de medidas Os primeiros sistemas de medidas As diferentes civilizações começam a padronizar as unidades de medidas já na Antigüidade Antes disso as medições não eram muito precisas O cúbito ou côvado egípcio por exemplo é uma medida de comprimento cujo padrão é a distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio estando o braço e o antebraço dobrados em ângulo reto e a mão esticada A milha é a distância percorrida por mil passos duplos 1609 metros Com esse tipo de unidade as medições podem dar resultados tão variados quantas são as diferenças individuais do corpo humano A padronização era feita pela definição de unidades médias fixadas através de padrões materiais construídos em pedra argila ou ligas metálicas Vejamos uma situação prática onde o problema da escolha de um padrão fixo de medida se torna importante Resolvendo problemas 1 João e Paulo precisavam medir a largura de uma rua mas não dispunham de uma fita métrica Na tentativa de resolver o problema ambos caminharam pela rua contando o número de passos João contou um total de 18 passos e Paulo um total de 16 passos Como não conseguiram chegar a um acordo sobre o comprimento da rua foram para casa e mediram com a fita métrica o comprimento das suas passadas Sabendo que a Capítulo V Medidas e seus usos 119 passada de João media aproximadamente 80 cm determine o comprimento da rua Resolução Você deve ter observado que João e Paulo encontraram números de passadas diferentes ao estimar o comprimento da rua porque suas passadas não são iguais Se a passada de João mede aproximadamente 80 cm podemos dizer então que o comprimento da rua é igual ao número de passadas de João multiplicado pelo comprimento da sua passada Comprimento da rua 16 80 1440 cm ou 144 m 1 Desenvolvendo competências Catarina e seu filho Pedro mediram o comprimento de um palmo de suas mãos obtendo 20cm e 15cm respectivamente Se Catarina mediu uma mesa obtendo 10 palmos da sua mão usando a mão de Pedro para medir a mesa serão necessários a pouco menos de 13 palmos b pouco mais de 13 palmos c exatamente 13 palmos d exatamente 15 palmos a Sabendo que Paulo mediu a rua em 16 passadas e que o comprimento da rua estimado pelas passadas de João é de 144 m para determinar o comprimento da passada de Paulo basta dividir o comprimento da rua pelo número de passadas Comprimento da passada de Paulo Tendo calculado o comprimento da rua em metros utilizando a largura da passada de João como referência de medida seria possível agora estimarmos o comprimento da passada de Paulo a Releia o problema coletando todos os dados disponíveis e estime o comprimento da passada de Paulo Resposta ao final da página Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 120 A busca da precisão nos padrões de medida A necessidade de medidas cada vez mais precisas surge a partir do Renascimento com as grandes navegações e o desenvolvimento da ciência experimental Para os cientistas da era moderna conhecer um fenômeno significa compreendêlo e poder medilo Nos séculos XVII e XVIII multiplicamse os instrumentos de precisão como termômetros relógios e lunetas Com a revolução industrial e o desenvolvimento do capitalismo o comércio internacional também se intensifica e Quando dizemos que a largura de uma sala é igual a 6 m queremos dizer que na largura da sala cabem 6 unidades iguais a 1 metro que é o nosso padrão de medida no Sistema Internacional SI Poderíamos nos perguntar agora qual o significado da unidade m2 Um m2 equivale a um quadrado de comprimento e largura iguais a 1 metro Dessa forma definimos então que todo quadrado de 1 m de largura por 1 m de comprimento tem área de 1 m2 que será nosso padrão de comparação para a grandeza superfície Se dissermos então que a sala da nossa casa tem área igual a 20m2 isso quer dizer que na superfície da sala cabem 20 quadrados de 1 m por 1 m exige sistemas de medidas que garantam não apenas precisão mas também padrões reconhecidos por todos os países Para unificar e padronizar os diversos sistemas em uso nas diferentes áreas da ciência a Conferência Internacional de Pesos e Medidas em 1960 sugere um Sistema Internacional de Unidades SI As principais unidades de medida desse sistema estão na Tabela 1 Grandeza Unidade de medida Sigla da unidade de medida Comprimento Superfície área Volume Ângulos Massa Tempo Corrente Elétrica Temperatura Metro Metro quadrado Metro cúbico Radianos Quilograma Segundo Ampère Kelvin m m2 m3 rad kg s A K Tabela 1 O mesmo raciocínio segue para m3 que por definição é o volume de um cubo de 1 m de largura por 1 m de comprimento e 1 m de altura Ao dizermos por exemplo que o volume da nossa caixa dágua é de 2 m3 estamos dizendo que na caixa cabem duas unidades de volume conforme definimos Figura 1 Capítulo V Medidas e seus usos 121 As unidades do Sistema Internacional de Medidas nem sempre são as mais usadas no nosso cotidiano Vejamos uma atividade de conversão de unidades de um sistema para outro Resolvendo problemas 2 Consultando uma tabela sobre diversas temperaturas medidas na escala Kelvin unidade de medida do SI abreviada por K encontramos que a chama de um fogão tem temperatura média de 1100 K Esse número não nos diz muito porque estamos mais acostumados a medir temperaturas na escala CelsiusSabendo que a escala da temperatura Tc na escala Celsius está relacionada à temperatura Tk na escala Kelvin por Tk Tc 273 calcule a 2 Desenvolvendo Competências Brincando em um balanço Mário nota que são necessários 3 segundos para um movimento completo de ida e volta O total de movimentos completos de ida e volta do balanço necessários para que Mário possa brincar 5 minutos no brinquedo é igual a a 150 b 120 c 100 d 80 Figura 2 temperatura média da chama de um fogão em graus Celsius b Você já pensou no calor produzido pela explosão de uma bomba atômica Sabendo que a temperatura média da chama do fogão é 1100K e que a temperatura gerada por uma bomba atômica é 300000K estabeleça uma comparação entre essas temperaturas usando como padrão a temperatura média da chama do fogão Resposta ao final da página b Dividindo 300000k por 1100k descobrimos que a explosão de uma bomba atômica produz aproximadamente temperatura 273 vezes a temperatura média da chama do fogão Resolução Tk Tc 273 1100 Tc 273 Tc 827 oC Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 122 Os múltiplos e submúltiplos de uma unidade de medida Quando utilizamos determinado sistema de unidades como por exemplo o SI para representar certo comprimento certa massa ou qualquer outra grandeza podemos nos valer de várias subdivisões decimais da unidade estabelecida Por exemplo o Quadro 1 indica alguns submúltiplos e múltiplos da unidade de comprimento metro Quadro 1 A escolha da subdivisão mais adequada para representar determinada medida de comprimento deve sempre levar em consideração o caráter prático da sua utilização Seria bastante incômodo por exemplo se um vendedor de tecidos no varejo tivesse que tomar como padrão de medida o quilômetro porque sabemos que na prática suas vendas individuais de tecidos serão sempre da ordem de alguns centímetros ou poucos metros no caso de uma venda maior Da mesma forma não seria razoável que um motorista utilizasse o milímetro para representar as distâncias rodoviárias que percorre porque sabemos que elas em geral são da ordem de algumas dezenas centenas ou até milhares de quilômetros Estudos específicos envolvendo comprimentos muito pequenos como por exemplo a medição das dimensões de uma célula ou muito grandes como por exemplo a distância entre corpos celestes podem utilizar outros múltiplos ou submúltiplos do metro conforme indica o Quadro 2 Quadro 2 MÚLTIPLOS E SUBMÚTIPLOS DO METRO MUITO PEQUENO E MUITO GRANDE Capítulo V Medidas e seus usos 123 Para medir a distância entre corpos celestes normalmente os astrônomos não utilizam como unidade o metro ou o quilômetro Você sabe por quê Como a distância entre os astros é muito grande não seria conveniente representála com uma unidade de medida muito pequena Por exemplo se quiséssemos medir a distância entre a Terra e o Sol em metros teríamos que indicála como 150000000000 m A unidade normalmente usada para distâncias muito grandes é o anoluz cuja representação em metros está indicada na última linha do Quadro 2 Vamos compreender melhor a conversão entre metro e anoluz por meio do seguinte problema Resolvendo problemas 3 Um anoluz representa a distância percorrida pela luz em um ano Sabendo que a velocidade da luz é aproximadamente igual a 300000 kms determine a distância de 1 anoluz em metros Resolução Observe que estamos querendo neste problema uma dedução da conversão entre unidades apresentada na segunda linha da Tabela 3 Dizer que a velocidade da luz é 300000 kms é equivalente a dizer que a luz percorre 300000 quilômetros em um intervalo de tempo igual a 1 segundo Para saber quanto a luz percorre em um ano precisamos inicialmente converter 1 ano em segundos e depois 300000 km em metros 1º 1 ano em segundos 1 ano 365 dias 365 24 horas 365 24 60 minutos 365 24 60 60 segundos 31536000 segundos 2º 300000 km em metros 1 km 1000 metros 300000 km x x 1 300000 x 1000 x 300000000 m usando potência de dez x310 8m Concluímos então que a velocidade da luz de 300000 kms é equivalente a 310 8metros por 1 segundo Para calcular quanto a luz percorre em metros no período de 1 ano 31536000 segundos faremos 310 8 m 1 s x 31536000 s x 1 3 10 8 x 31536000 x 94608000 x 10 8 m aproximadamente 95 10 15m Observe com esse resultado que verificamos exatamente o que está indicado na segunda linha do Quadro 2 Compreendendo adequadamente as subdivisões de uma unidade de medida podemos resolver uma série de problemas práticos do nosso cotidiano Um deles pode ser o de estimarmos a quantidade de parafusos contida em um pacote 4 Um pacote de parafusos pesa aproximadamente 54 kg Sabendo que cada parafuso pesa aproximadamente 15g calcule quantos parafusos contém o pacote Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 124 Resolução Para resolver esse problema vamos inicialmente converter a massa do pacote de parafusos para gramas Se 1kg equivale a 1000g para determinar a massa de um pacote de 54kg em gramas basta multiplicarmos 54 por 1000 Dividindo a massa do pacote 540g pela massa de cada parafuso 15g concluiremos que cada pacote possui 36 parafusos Você já parou para pensar que também nosso sistema monetário possui uma unidade R com múltiplos e submúltiplos Admitindo 1 real como unidade uma moeda de 1 centavo equivale a da unidade assim como uma nota de R 1000 equivale a 10 vezes a unidade 5 Maria decidiu guardar em um cofrinho todas as moedas de 1 5 e 10 centavos que tivesse Ao final de um ano Maria abriu o cofrinho e encontrou 120 moedas de 1 centavo 192 moedas de 5 centavos e 85 moedas de 10 centavos Qual o total de dinheiro que Maria poupou nesse ano Resolução Quais são os submúltiplos da nossa unidade monetária o real Veja que 1 real é igual a 100 centavos e portanto 100 moedas de 1 centavo equivalem a R100 Por outro lado são necessárias 20 moedas de 5 centavos para totalizar R100 e 10 moedas de 10 centavos para totalizar R100 Faremos o cálculo do total de dinheiro poupado através de regra das proporções 100 moedas de 1 centavo R100 120 moedas de 1 centavo x 20 moedas de 5 centavos R100 192 moedas de 5 centavos y c Chame de z o total de reais obtido com 85 moedas de 10 centavos e calcule o total de dinheiro poupado x y z Em muitas situações precisamos compreender um sistema de medidas seus múltiplos e submúltiplos para resolver um problema geométrico de cálculo de comprimento área ou volume como o que analisaremos a seguir Resposta ao final da página 6 Suponha que você tenha uma horta retangular que mede 65 m por 85 m e deverá receber uma camada de 10 cm de espessura de adubo A cooperativa local vende o adubo em dm 3 decímetros cúbicos Como podemos determinar a quantidade de adubo que deverá ser adquirido para a realização do trabalho Resolução A quantidade de adubo necessária para o serviço será dada pelo volume do paralelepípedo reto retângulo representado na Figura 3 O volume V de um paralelepípedo é igual a área da base A b multiplicada pela altura h ou seja V A b h Como a base do paralelepípedo é um retângulo A b é a área de um retângulo que é igual ao produto do comprimento pela largura Figura 3 c 10 moedas de 10 centavos R 100 85 moedas de 10 centavos z O total poupado será igual a x y z ou seja R 1930 Capítulo V Medidas e seus usos 125 Cálculo da área da base A b área de um retângulo A b 85 65 A b 5525 m2 Cálculo do volume V A b h V 5525 01 V 5525 m3 Como o adubo é vendido em dm3 precisamos converter 5525 m3 na unidade requerida Você já refletiu sobre o que significa 1 dm3 Por definição 1 dm3 será o volume de um cubo que tem comprimento altura e largura igual a 1 dm veja Figura 5 Quantos cubos de 1 dm3 cabem em um cubo de 1 m3 Essa pergunta pode ser melhor compreendida através da Figura 6 Figura 5 Figura 6 Observe que em 1m3 cabem 1000dm3 ou seja que em um cubo de lados iguais a 1m cabem 1000 cubos de lados iguais a 1dm 01m Fazendo agora uma regra de três simples podemos obter o que queríamos calcular ou seja o total de adubo na unidade dm3 1dm3 10 3m3 x 5525m3 Concluímos então que será necessário adquirir 5525 dm 3 de adubo na cooperativa para realizar o serviço de fertilização da horta Figura 4 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 126 3 Desenvolvendo competências 1 Muitas vezes um olhar atento sobre as informações contidas na embalagem de um produto pode indicar surpresa Esse é o caso de uma informação contida na embalagem de um conhecido refrigerante de baixo teor calórico Resolvendo o problema abaixo você compreenderá o erro contido nas informações desse produto A Figura 7 mostra a embalagem de uma determinada marca de refrigerante de baixo teor calórico Admitindo uma informação do rótulo de que 2 litros do refrigerante contêm 9kcal o valor calórico de uma porção de 200ml indicado na embalagem como sendo de 0kcal deve ser corrigido para a 020kcal b 045kcal c 060kcal d 090kcal 2 Dentre as atividades físicas recomendadas pelos médicos para que tenhamos uma vida saudável a corrida é uma das mais indicadas Resolvendo o problema abaixo você estará trabalhando com um sistema de medida para o cálculo do tempo Se um praticante de corrida percorre a distância de 4 quilômetros em 18 minutos em quanto tempo ele percorreu em média cada quilômetro do percurso a 4 minutos e 20 segundos b 4 minutos e 30 segundos c 4 minutos e 40 segundos d 4 minutos e 50 segundos Figura 7 Capítulo V Medidas e seus usos 127 lembrese que é o mesmo que 15 1pol 25mm 1 5pol x x 1 15 25 x 375mm Conversão entre sistemas de medida Se você já teve a oportunidade de observar viu que a medida de tubos e canos é dada em geral em polegadas A unidade de medida polegada faz parte do sistema de unidades inglês que é diferente do Sistema Internacional SI No sistema inglês por exemplo 1 pé 13 jarda e 1 polegada 112 pé 1 jarda do sistema inglês equivale a 09144 m do SI Resolvendo problemas Usando a informação de que 1 polegada equivale aproximadamente a 25 mm vamos resolver o problema abaixo 7 O sistema de tubulação de um prédio prevê a instalação de tubos de polegada de diâmetro numa extensão de 12 metros conforme indica a Figura 8 Determine o total de tubos que deverão ser utilizados nessa instalação Resolução Você sabe o que significa polegada A indicação representa 1 inteiro mais Usando a notação decimal 1 05 ou seja 15 polegada uma polegada e meia Para resolvermos o problema proposto em primeiro lugar temos que converter polegadas para metros Figura 8 Em seguida como precisamos saber quantos tubos cabem na extensão de 12 m teremos que converter o diâmetro de cada tubo da Figura 8 de milímetros para metros 0001m 1mm x 375mm x 1 375 0001 x 00375 m d Tente calcular com os dados obtidos o total de tubos necessários para a realização do serviço Resposta ao final da página Vejamos outro problema 8 O velocímetro de um veículo importado indica a velocidade em milhas por hora Sabendo que 1 milha é aproximadamente igual a 16km determine a velocidade que estará indicada no velocímetro quando o veículo estiver a 80kmh Resolução Se 1 milha é equivalente a 16 quilômetros vamos converter 80 quilômetros em milhas d Basta agora dividir 12 m por 00375m para descobrir que serão usados 32 tubos na instalação 1 milha 16km x 80km Como a velocidade do veículo é de 80kmh o velocímetro indicará 50 milhash Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 128 4 Desenvolvendo competências 1 Sabemos que 1 litro é equivalente a 1000 cm3 o que é o mesmo que afirmar que 1000 litros é equivalente a 1 m3 Segundo dados da companhia de água de uma cidade uma torneira pingando pode gastar 1 litro de água a cada 6 minutos Levandose em consideração esses dados a torneira irá gastar 1 m3 de água em a 80 horas b 100 horas c 120 horas d 150 horas A tabela abaixo indica as operações de compra e venda de dólar americano US feitas por uma casa de câmbio em moeda brasileira reais e moeda argentina pesos Compramos 1 US por Vendemos 1 US por 28 pesos 30 pesos 22 reais 25 reais 2 Utilizando os serviços da casa de câmbio expressos na tabela um cliente que deseja trocar R 10000 por pesos argentinos irá obter a 112 pesos b 108 pesos c 92 pesos d 88 pesos Medida de ângulos e arcos A unidade de medida de ângulos com a qual estamos mais familiarizados é o grau O grau representa a fração de um círculo conforme indica a Figura 9 Nos cálculos científicos uma medida mais útil de ângulo é o radiano rad por isso ele faz parte do SI Vamos compreender agora o significado dessa unidade Figura 9 Capítulo V Medidas e seus usos 129 Resolvendo problemas 9 Imaginemos um arco de 6 cm em uma circunferência de raio igual a 3 cm como mostra a Figura 10 Assumindo o raio como unidade quantos raios cabem no comprimento desta circunferência Medidas de ângulos e arcos A utilização adequada da medida de um ângulo pode nos auxiliar na resolução de muitos problemas Vamos estudar uma medida importante em um triângulo que nos permitirá resolver alguns problemas práticos o seno de um ângulo Em um triângulo retângulo definimos o seno de um dos ângulos internos agudos ângulos menores que 90 o como sendo o quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo pela medida da hipotenusa do triângulo Observe na Figura 12 a definição de seno de um ângulo Figura 11 Figura 12 Figura 10 Resolução Para respondermos a esta pergunta basta dividirmos 6 cm por 3 cm Segue que neste arco cabem 2 raios Podemos dizer que o ângulo  mede 2 radianos abreviase 2 rad Em geral uma fórmula bastante simples que nos ajuda a encontrar um ângulo  em radianos a partir de um arco de comprimento igual a C em um círculo de raio R é Para convertermos um ângulo de radianos para graus e vice versa procedemos da seguinte maneira Sabendo que o comprimento C de uma circunferência de raio R é dado por C 2πR e que uma circunferência tem 360 º podemos dizer que 2πR ou 2π rad equivalem a 360 o De forma prática temos então que π rad equivale a 180 o Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 130 Atualmente podemos utilizar tabelas ou calculadoras científicas para encontrarmos a medida do seno de um ângulo qualquer Vamos discutir agora para que nos serviria na prática o valor do seno de um determinado ângulo O problema que desenvolveremos a seguir nos permitirá trabalhar com a conversão entre unidades de medidas de ângulos e responder à pergunta sobre qual a importância do seno de um ângulo na resolução de um problema com triângulos Resolvendo problemas 10 Um pedreiro precisa construir uma rampa que atinja uma altura de 5 m em relação ao solo e ela deve ter elevação de 36 Para determinar o comprimento da rampa o pedreiro possui apenas uma calculadora que determina o seno de ângulos contudo esses ângulos devem estar em unidade do SI radianos Determine qual deverá ser o ângulo da rampa em radianos e em seguida calcule a altura da rampa admitindo como conhecido o seno do ângulo encontrado Resolução Inicialmente vamos converter o ângulo de 36 em radianos para podermos utilizar a calculadora posteriormente Já vimos anteriormente que π radianos equivalem a 180 Para converter 36 em radianos basta estabelecer uma regra de três simples π rad 180 x 36 Agora convertendo o ângulo de 36 para radianos temos a seguinte situação Como o valor de sen é aproximadamente igual a 0588 podemos calcular o comprimento da rampa x da seguinte forma É bom observar que nos interessa desenvolver nessa atividade apenas a habilidade de conversão de um ângulo de grau para radiano Sempre que preciso podemos consultar tabelas ou calculadoras para obtermos o seno de um ângulo mas devemos estar atentos à unidade de medida que está sendo usada para ângulo x 180 36 π rad x x 36 π rad 180 π 5 rad Capítulo V Medidas e seus usos 131 Resolvendo problemas Vejamos agora um problema no qual poderemos explorar novamente a idéia da medida de um ângulo em radianos 11 A ponta de um limpador de párabrisa de 45 cm de comprimento percorreu um arco de 1 radiano Calcule a distância percorrida pela ponta do limpador e em seguida calcule um valor aproximado em graus para o ângulo percorrido pela ponta do limpador Resolução Como discutimos anteriormente um ângulo  em radianos pode ser obtido por onde C é o comprimento do arco e R o raio do círculo Como temos o ângulo  em radianos e o raio R do círculo comprimento do limpador iremos calcular a distância percorrida pela ponta do limpador representada por C Em seguida vamos converter 1 radiano em graus π rad 180 o 1 rad x 5 Desenvolvendo competências Um ângulo de 30o medido com transferidor corresponde a um ângulo de a b c d Figura 13 Concluímos então que a ponta do limpador percorreu 45 cm e que o ângulo descrito nesse percurso foi de aproximadamente 57 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 132 Escalas plantas e mapas Certamente em algum momento você já se deparou com uma planta ou um mapa São exemplos de plantas e mapas o guia de ruas de uma cidade a planta de uma casa ou de um terreno o mapa de um país o projeto de uma peça industrial em escala etc Dizemos então que uma planta ou um mapa são reproduções de figuras que buscam algum tipo de semelhança com as figuras originais Em geral boa parte dos mapas que manipulamos em nosso diadia mantém a seguinte semelhança com a figura original Os ângulos não mudam As medidas de comprimento são multiplicadas ou divididas por um certo número Chamamos esse número de escala da planta ou do mapa Observe na Figura 14 um exemplo de planta em escala de uma casa A escala da planta é de lêse 1 para 100 o que significa que cada unidade de comprimento indicada na planta equivale a 100 unidades de comprimento na casa original Por exemplo se medirmos na planta com a régua um comprimento de 600 cm ele corresponderá a um comprimento de 600 cm ou 6 m na casa Como você pode notar a informação da escala pode aparecer em uma planta ou mapa sem referências à unidade de medida nesse caso precisamos utilizar algum instrumento para medir comprimentos régua fita métrica etc Ao observarmos que a planta da Figura 14 indica uma cozinha de comprimento igual a 500 usando a escala dada sabemos portanto que o comprimento real da cozinha é igual a 500 A unidade de medida que corresponderá a 500 é a mesma unidade de medida obtida com uma régua ao medirmos 500 na planta centímetros no caso do nosso exemplo Segue então que a cozinha da casa tem 500 cm ou 5 m de comprimento Figura 14 Capítulo V Medidas e seus usos 133 Em outros casos a escala indicada na planta ou no mapa informa a equivalência com uma determinada unidade de medida como segue abaixo Esta escala indica que cada distância de 1 cm do mapa representa 100 km em situação real Voltando ao exemplo da Figura 14 em que não aparecia a unidade de medida se mudarmos a escala da planta de para isso implica dizer que cada unidade de comprimento da planta irá equivaler a 200 unidades na casa Por exemplo a largura do banheiro medida na planta com auxílio de uma régua 300 cm irá equivaler a uma largura real de 600 cm ou 6 m no banheiro da casa O tamanho da escala de um mapa ou de uma planta depende sempre de dois fatores Do tamanho daquilo que estamos querendo representar em escala Do nível de detalhamento de que necessitamos Analisemos esta informação por meio dos mapas da Figura 15 Figura 15 b 1 cm Medindo com uma régua o comprimento da Avenida São Paulo no primeiro mapa encontramos 450 cm Utilizando a escala desse mapa concluímos então que a Avenida São Paulo tem comprimento igual a 45000 cm ou 450 m No caso do mapa do Estado de São Paulo a distância entre as duas cidades indicadas medida com uma régua é igual a 05 cm o que equivale a 9000000 cm ou seja 90 km A análise das figuras nos permite concluir que para representar algumas ruas de uma cidade em um mapa com escala de 1 para x o valor de x deverá ser menor do que seria em uma escala de um mapa de um estado brasileiro Cidade A Cidade B Figura 15 a Escala 1 18000000 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 134 Plantas em escala A planta de uma casa térrea indicada na Figura 16 tem as medidas dadas em centímetros e será utilizada nas demais atividades deste capítulo Figura 16 Capítulo V Medidas e seus usos 135 6 Desenvolvendo competências Utilizando a planta da Figura 16 indicamos o cálculo de algumas dimensões de cômodos da casa e reservamos lacunas para que você pratique interpretação e cálculo com os dados contidos na planta Quarto 1 NY AB 42 e YV MN ML 32 Quarto 2 BY NA e NY AB Quarto 3 QE CD e CQ DE NA Banheiro 1 WX ML e MW LX AB XV 42 29 13 Banheiro 2 BO CP 12 e BC OP KI AB Lavabo RU ST e RS UT Varanda EF IH CD e FG YV Pelo teorema de Pitágoras no triângulo EFG temos que EG2 312 322 ou seja EG Sala de estar QR YV QE CD RG IH e EG 44 Sala de jantar SG IH UT 6 2 4 GH LK e UI GH UR Cozinha ZR JI ZJ RI LK e ZV AB MW Área de serviço ZJ LK e LZ KJ Corredor livre VR OP JI BC OY PQ NA BO 3 12 18 e YV QR NL Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 136 Resolvendo problemas Ao observarmos a planta da casa Figura 16 podemos estar interessados em comparar o tamanho de alguns cômodos ou seja em comparar a área total desses cômodos No problema que se segue iremos calcular a área de dois banheiros e de um lavabo para verificarmos qual deles é maior 12 Comparando o lavabo o banheiro 1 e o banheiro 2 qual deles é maior Resolução Indicaremos sempre por A a área do cômodo que estamos querendo calcular Revisando o cálculo da área de um retângulo temos A retângulo comprimento largura O comprimento do lavabo que tem a forma de um retângulo medido na planta é igual a 2 cm e sua largura é de 13 cm Como a escala da planta é de 1 para 150 segue que cada 1 cm da planta equivale a 150 cm de comprimento na casa Dessa forma temos então que o comprimento do lavabo é igual a 300 cm ou 3 m e sua largura igual a 195 cm ou 195 m A área do lavabo será igual a A lavabo 3 195 A lavabo 585m 2 Utilizando o mesmo raciocínio em relação aos dois banheiros concluiremos que A banheiro 1 A retângulo 2 13 A banheiro 1 46 m 2 A banheiro 2 A retângulo 12 21 A banheiro 2 252 m 2 Comparando a área dos três ambientes verificamos que o lavabo é o maior deles Para pintar as paredes de um cômodo da casa precisamos saber qual a sua área a fim de estimar o total de tinta que utilizaremos Façamos uma atividade em que nosso objetivo será o de calcular a área total das paredes de um cômodo para em seguida estimar o total de tinta necessário para pintar esse cômodo 13 Se a altura das paredes da casa mede 3 m calcule a área total das quatro paredes e do teto da sala de estar Resolução A sala de estar será um prisma cuja base é um trapézio Prismas são sólidos geométricos que possuem as seguintes características Bases paralelas iguais Arestas laterais iguais e paralelas ligando as duas bases Retângulo Capítulo V Medidas e seus usos 137 Vejamos alguns exemplos de prismas Observemos agora a forma geométrica que representa a sala de estar da casa Figura 17 Figura 18 Os cálculos das dimensões da casa indicados na figura foram feitos utilizando a escala da planta Ex Cada 1 cm da planta equivale a 150 cm da casa A parede de 22 cm na planta equivale portanto a 22 x 150 cm ou seja a 330 cm ou 33 m Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 138 Vamos agora calcular a área das paredes e a área do teto Observe na figura 19 que as quatro paredes têm a forma de retângulos e que o teto e o chão têm a forma de um trapézio Recordemos que a área de um trapézio é dada por Figura 19 Trapézio Trapézio retângulo Figura 20 ATrapézio Base maior Base menor Altura 2 Capítulo V Medidas e seus usos 139 Segue então que A área total que queremos calcular será igual a 139519899272252 m 2 ou seja 9317 m 2 14 Se 1 litro de tinta for suficiente para pintar 20 m 2 de parede quantos litros serão necessários para pintar as paredes e o teto da sala de estar da casa Resolução Como já calculamos na atividade anterior a área das paredes e do teto basta agora estabelecer a seguinte proporção 1 litro 20m 2 x 9317m 2 Resolvendo problemas 15 Como última atividade vamos agora calcular o total de cerâmica necessário para ladrilhar o chão da varanda da casa Concluímos então que serão necessários aproximadamente 4 litros e 600 ml de tinta para realizar o serviço Quantos m 2 de cerâmica são necessários para recobrir o chão da varanda da casa Resolução O total de cerâmica necessário para recobrir o chão da varanda em m 2 é igual à área da varanda observe na planta da casa que o chão da varanda tem a forma de um triângulo retângulo Dependendo do formato dos ladrilhos para que o serviço fique bem feito precisaremos cortar algumas cerâmicas se quisermos que o chão fique totalmente preenchido Assim haverá uma pequena perda de cerâmica que deverá ser levada em consideração nos cálculos Figura 21 Lembremos agora que a área de um triângulo é Figura 21 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 140 Triângulo Triângulo Retângulo Figura 22 dada por Segue então que a área da varanda pode ser calculada como Levandose em consideração as perdas nos cantos podemos dizer que são necessários aproximadamente 12 m 2 de cerâmica para ladrilhar o chão da varanda Capítulo V Medidas e seus usos 141 Conferindo seu conhecimento 1 6 2 3 4 5 Cômodo Quarto 1 Quarto 2 Quarto 3 Banheiro 1 Banheiro 2 Lavabo Varanda Sala de estar Sala de jantar Cozinha Àrea de serviço Corredor livre Dimensões na planta do apartamento NY AB 42 YV MN ML 32 BY NA 3 NY AB 42 QE CD 29 CQ DE NA 3 WX ML 2 MW LX AB XV 13 BO CP 12 BC OP KI AB 18 45 42 21 RU ST 13 RS UT 2 EF IH CD 6 29 31 FG YV 32 EG QRYV32 QECD29 RGIH6 EG SGIH UT4 GHLK38 UIGHUR38 13 25 ZRJI45 ZJRILK38 ZVAB MW 42 13 ZJ LK 38 LZ KJ 18 Resposta b Resposta c Respostas 1 d e 2 b VR OP JI BC 45 2124 OY PQ NA BO18 YVQNL12 232 Rspostas 1 b e 2 a Resposta d Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 142 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar e interpretar registros utilizando a notação convencional de medidas Estabelecer relações adequadas entre os diversos sistemas de medida e a representação de fenômenos naturais e do cotidiano Selecionar compatibilizar e operar informações métricas de diferentes sistemas ou unidades de medida na resolução de problemas do cotidiano Selecionar e relacionar informações referentes a estimativas ou outras formas de mensuração de fenômenos de natureza qualquer com a construção de argumentação que possibilitem sua compreensão Reconhecer propostas adequadas de ação sobre a realidade utilizando medidas e estimativas Lúci M Loreto Rodrigues AS GRANDEZAS NO DIAADIA Capítulo VI CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE VARIAÇÃO DE GRANDEZA PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO COTIDIANO Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 144 Capítulo VI As grandezas no diaadia Nossa sociedade se torna cada dia mais complexa produz e incorpora novas informações a todo instante e faz com que alteremos nosso modo de vida em curtos espaços de tempo Para nos adaptarmos precisamos de conhecimentos básicos e essenciais Devemos compreender linguagens variadas raciocinar de forma criativa saber organizar e interpretar as informações recebidas e relacionálas com outros conhecimentos disponíveis Saber analisar situações é fundamental para que possamos reconhecer e criar formas de proteção contra por exemplo a propaganda enganosa e os estratagemas de marketing a que somos submetidos como consumidores Saber resolver problemas faz com que adquiramos mais confiança em nós e sejamos mais respeitados pelos colegas que nos vêem como alguém que contribui com idéias A Matemática pode dar uma grande contribuição para isso à medida que explora a resolução de problemas e a construção de estratégias e favorece o desenvolvimento da capacidade de investigar argumentar comprovar e justificar A proposta desse capítulo é abordar as idéias matemáticas sobre variação de grandezas através de uma linguagem familiar relacionada à realidade ao seu diaadia colocandoo frente a situaçõesproblema incentivandoo a pensar raciocinar formular hipóteses e buscar soluções bem como exercitar a leitura Neste capítulo resolveremos com você algumas das atividades entretanto outras devem ser resolvidas por você como forma de fixar os conceitos apresentados e testar suas habilidades Para conferir e acompanhar o seu desempenho as respostas estarão a seu dispor no final do capítulo Um bom estudo Figura 1 Figura 2 Figura 3 Capítulo VI As grandezas no diaadia 145 Analisando a variação de algumas grandezas Em nosso diaadia é muito comum necessitarmos comparar grandezas como os preços no supermercado os ingredientes de uma receita a velocidade média e o tempo E quando comparamos percebemos que existem situações em que sabendo como uma das grandezas varia podemos prever a variação da outra com o uso de cálculos matemáticos simples Informalmente você já conhece e utiliza esses cálculos Pretendemos aqui aprimorar esses conhecimentos para que você possa aplicálos com mais confiança e consistência Leia analise cada situação e responda às perguntas abaixo Depois então confira suas respostas Figura 4 Grandeza é o que pode ser medido contado que pode sofrer aumento ou diminuição como tempo velocidade comprimento superfície volume massa capacidade temperatura quantidade custo etc Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 146 Conferindo as respostas Situação 1 é possível fazer cálculos e chegar ao resultado pois existe uma relação matemática entre as grandezas envolvidas número de pães e custo dos pães Se dobrarmos o número de pães dobra o custo Se dividirmos por 3 o número de pães o custo também fica dividido por 3 Se multiplicarmos o número de pães por 27 multiplicaremos também o custo por 27 Situação 2 é possível fazer cálculos e chegar ao resultado pois existe uma relação matemática entre as grandezas envolvidas velocidade média e tempo Se dobrarmos a velocidade média o tempo fica dividido por 2 Se dividirmos por 2 a velocidade média o tempo fica multiplicado por 2 Situação 3 analisando a situação podese concluir que não é possível fazer cálculos e chegar ao resultado pois o tempo de resolução e a quantidade de testes são grandezas que nessa situação independem uma da outra Ela tanto pode conseguir resolver todos os testes em um tempo menor do que o previsto como pode não conseguir resolvêlos dentro do tempo determinado Situação 4 não é possível fazer cálculos e chegar ao resultado somente com essas informações pois as grandezas altura e idade não variam uma de acordo com a outra em todas as fases da vida apenas nas fases iniciais em que médicos fazem tabelas e gráficos para acompanhar o crescimento de crianças Como você pôde perceber em algumas situações é possível comparar a variação das grandezas fazer os cálculos necessários e prever os resultados mas em outras isso não é possível No decorrer do capítulo as respostas dadas às situações acima se tornarão mais claras Sempre que achar conveniente volte a esta página para conferir os resultados Usando razão para comparar grandezas Uma das maneiras de comparar duas grandezas é encontrar a razão entre elas ou seja encontrar o quociente entre as medidas dessas grandezas Você sabe dizer quantas vezes 10 é maior que 2 E se uma pessoa percorre de bicicleta 30 km em 2 horas você sabe dizer qual foi a velocidade média que ela desenvolveu Para responder a essas questões você comparou duas grandezas Veja como 1 A razão entre os números 10 e 2 pode ser expressa por 10 2 10 está para 2 ou ou seja comparando os números 10 e 2 podemos dizer que 10 é 5 vezes maior que 2 2 Se Bruno percorre em sua bicicleta 30 km em 2 horas qual a razão entre a distância percorrida e o tempo Essa razão conhecida como velocidade média será igual a De modo geral podemos escrever Capítulo VI As grandezas no diaadia 147 Como as razões são iguais isto é temos uma proporção uma igualdade entre duas razões Também podemos escrever 1 Desenvolvendo competências Se em cada hora Bruno percorre em sua bicicleta 15 km quantos quilômetros percorrerá em 5 horas Em quanto tempo percorrerá 90 km Se achar necessário construa uma tabela para organizar esses dados Da razão à proporção 1 A tabela abaixo estabelece uma relação entre quantidade e custo aproximado de gasolina Comparando as grandezas quantidade de gasolina e custo da gasolina verifique o que ocorre com o custo quando dobramos a quantidade de gasolina Agora multiplique por 10 a quantidade de gasolina O custo ficou multiplicado por quanto E se quisermos reduzir o custo pela metade o que ocorre com a quantidade de gasolina Você pode observar que Quando dobramos a quantidade de gasolina o custo também dobra Quando dividimos por 2 a quantidade de gasolina o custo também fica dividido por 2 A razão entre o custo e a quantidade de gasolina correspondente é sempre a mesma Quando isto acontece dizemos que a quantidade de gasolina e o custo da gasolina são grandezas diretamente proporcionais e que o valor 160 razão que corresponde ao preço de 1 litro de gasolina é a constante de proporcionalidade Quantidade Custo Tabela 1 5 litros R 800 10 litros R 1600 20 litros R 3200 50 litros R 8000 8 5 16 10 ou 8 está para 5 assim como 16 está para 10 8 5 32 20 ou 8 está para 5 assim como 32 está para 20 16 10 80 50 ou 16 está para 10 assim como 80 está para 50 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 148 Observe uma propriedade muito importante que acontece em todas as proporções Multiplicando os termos em cruz obtemos o mesmo resultado Vamos utilizar essa propriedade para resolver as questões abaixo ainda relacionadas ao custo da gasolina da tabela dada 1 Jorge ao fazer uma viagem de automóvel gastou R 6400 com gasolina Quantos litros de gasolina ele consumiu nessa viagem Resolvendo o problema Vamos chamar a quantidade desconhecida de gasolina de x formar uma proporção aplicar a propriedade e encontrar esse valor Proporção Propriedade 8 x 5 64 Valor de x x 40 Portanto R 6400 equivalem a um consumo de 40 litros de gasolina 2 Desenvolvendo competências A partir do que foi exposto anteriormente obtenha mais proporções por exemplo igualando as razões entre a quantidade de gasolina e os custos correspondentes Será que esse é o único modo de resolver esse problema Você conhece outro modo Pense um pouco Na verdade existem vários modos de resolver esse problema Um deles seria dividir 64 por 8 para saber quantas vezes posso colocar 5 litros de gasolina no carro Essa divisão dá 8 Isso quer dizer que posso colocar 8 x 5 litros de gasolina que são 40 litros Um outro modo é aplicar a constante de proporcionalidade Se você conhece o custo pode determinar a quantidade Assim como se conhece a quantidade podese determinar o custo Faça os cálculos e compare o seu resultado com o anterior 2 Se Jorge percorreu 400 km e gastou 40 litros qual o consumo médio de combustível do automóvel de Jorge Resolvendo o problema Para responder a essa questão você deve se lembrar de que o consumo médio é dado pela razão entre o total de quilômetros percorridos e a quantidade total de gasolina consumida Consumo Logo o consumo médio do carro de Jorge é de 10 km por litro de gasolina Em outras palavras em média o carro de Jorge faz 10 km com 1 litro de gasolina quantidade de quilômetros quantidade de combustível 400km 40 litros 10 kml Capítulo VI As grandezas no diaadia 149 Quando falamos em consumo médio de combustível do automóvel estamos considerando que o carro de Jorge não faz exatamente 10 km 3 Desenvolvendo competências Se Jorge percorre 10 km com 1 litro de gasolina quantos quilômetros ele percorrerá com 15 litros de gasolina Carlos e Sônia planejam reunir os funcionários de sua empresa para uma pequena comemoração Para isso vão encomendar pizzas Supondo que cada pessoa coma 2 pedaços de pizza e que cada pizza tamanho grande venha dividida em 8 Analisando a tabela você pode perceber que Quando dobramos a quantidade de pizzas dobramos também a quantidade de pessoas Quando dividimos por 2 a quantidade de pizzas dividimos por 2 também a quantidade de pessoas A razão entre o número de pizzas com 8 pedaços e o número de pessoas que comem 2 pedaços de pizza é sempre a mesma Nº de pizzas 1 pizza 2 pizzas 4 pizzas x pizzas Nº de pedaços 8 pedaços 2 pedaços p cada pessoa 16 pedaços 2 pedaços p cada pessoa 32 pedaços 2 pedaços p cada pessoa Tabela 2 Nº de pessoas 4 8 16 82 Mais proporcionalidade direta Quantas pizzas Portanto podemos dizer que essas duas grandezas variam numa proporcionalidade direta Formando a proporção e aplicando a propriedade 4 x 82 1 temos x 205 Para arredondar os cálculos e evitar a falta de pizzas devemos encomendar 21 pizzas com exatamente 1 litro de gasolina porque alguns fatores podem alterar o desempenho do automóvel pedaços quantas pizzas eles devem encomendar para servir o total de 82 pessoas Vamos fazer uma tabela para visualizar esta situação Figura 5 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 150 4 Desenvolvendo competências 1 Tomando como base a pizza grande dividida em 8 pedaços e considerando que cada pessoa coma 2 pedaços de pizza qual o número máximo de pessoas que poderá participar de uma festa beneficente onde 150 pizzas serão servidas a 800 b 600 c 400 d 100 Desenvolvendo competências 2 Analise os itens abaixo e assinale a alternativa correta Tome como base a pizza grande dividida em 8 pedaços 21 Se as 82 pessoas que estavam no encontro que Carlos promoveu comessem somente 1 pedaço de pizza seriam necessárias e suficientes a 12 pizzas b 11 pizzas c 10 pizzas d 8 pizzas 22 Para servir 20 rapazes que comem quatro pedaços de pizza cada um seriam necessárias a 12 pizzas b 10 pizzas c 9 pizzas d 8 pizzas 23 A razão entre o número de pizzas necessárias para servir 24 pessoas e o número de pizzas necessárias para servir 143 pessoas que comem dois pedaços de pizza é a b c d Desenvolvendo competências 3 Uma avenida com 600m de comprimento está sendo asfaltada Em 3 dias foram asfaltados 150 m da avenida Supondo que o ritmo de trabalho continue o mesmo em quantos dias os 600 m da avenida estarão asfaltados a 9 b 12 c 15 d 18 Capítulo VI As grandezas no diaadia 151 4 Em todo mapa deve existir proporcionalidade direta entre as grandezas distância no desenho e distância real A razão constante entre a distância no desenho e a distância real entre duas cidades é chamada de escala Desenvolvendo competências 4 Em todo mapa deve existir proporcionalidade direta entre as grandezas distância no desenho e distância real A razão constante entre a distância no desenho e a distância real entre duas cidades é chamada de escala A escala utilizada neste mapa é E ou seja a cada 1 cm no desenho correspondem 5000000cm 50km no real Usando esse mesmo mapa assinale V verdadeiro ou F falso para as afirmações a seguir a Quanto maior for a medida em cm no mapa menor será a distância entre as cidades b A uma medida de 30cm no mapa corresponde uma distância real de 2000km c A distância BrasíliaSalvador que é de aproximadamente 1400km corresponde a 28 cm no mapa d Cada 3 cm no desenho corresponde a uma distância real de 15km e A distância São PauloBrasília que é de aproximadamente 1000km está representada por 20cm Figura 6 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 152 Outro tipo de proporcionalidade Voltemos à situação 2 do início do capítulo na qual um automóvel deslocandose a uma velocidade média de 60 kmh faz um determinado Velocidade Tempo 30 kmh 8h 120 kmh 2h Tabela 3 60 kmh 4h 240 kmh 1h A Tabela 3 mostra a relação entre a velocidade e o tempo Comparando as grandezas velocidade média e tempo verifique o que ocorre com o tempo quando dobramos a velocidade Agora multiplique por 8 a velocidade O que aconteceu com o tempo E se quisermos reduzir o tempo pela metade o que ocorre com a velocidade Você pode observar que Quando multiplicamos a velocidade média por 2 o tempo fica dividido por dois Quando dividimos a velocidade média por 2 o tempo fica multiplicado por 2 O produto entre a velocidade média e o tempo é sempre o mesmo 60 4 240 120 2 240 240 1 240 Quando isto acontece dizemos que a velocidade média e o tempo são grandezas inversamente proporcionais à medida que uma grandeza aumenta a outra diminui na mesma proporção Como as razões entre as velocidades e os tempos correspondentes são inversas para obtermos uma proporção precisamos inverter uma das razões isto é Observe que após inverter uma das razões a propriedade importante que acontece em todas as proporções continua valendo 120 2 60 4 120 2 30 8 120 2 240 1 Multiplicando os termos em cruz obtemos o mesmo resultado Portanto se a velocidade média fosse de 120 kmh o mesmo percurso seria feito em 2 horas percurso em 4h Em quanto tempo faria esse mesmo percurso se a velocidade média utilizada fosse de 120 kmh Capítulo VI As grandezas no diaadia 153 5 Desenvolvendo competências Nas situações abaixo identifique as grandezas envolvidas analiseas e verifique se elas variam numa proporcionalidade direta PD ou inversa PI ou se não existe necessariamente proporcionalidade NP a A medida do lado de um terreno quadrado e o perímetro desse terreno b O ordenado de um carteiro e o número de cartas que ele distribui c A distância percorrida por um automóvel e a quantidade de combustível consumida d O número de pedreiros e o tempo gasto para construir um muro e A idade de um jovem e seu peso f A medida do lado de um terreno quadrado e a área desse terreno g A quantidade de pó de café e o número de cafezinhos h O número de acertadores da megassena e o valor do prêmio distribuído Mais proporcionalidade inversa Quanto receberá cada um Um clube decidiu promover uma competição de atletismo entre seus atletas E querendo incentivar e motivar os atletas participantes ofereceu um prêmio de R 60000 a ser dividido entre aqueles que fizerem os 100 metros rasos em menos de 13 segundos Se 2 atletas conseguirem fazer isso cada um receberá R 30000 E se 4 atletas conseguirem quanto receberá cada um Resolvendo o problema Vamos organizar esses dados Comparando as grandezas número de atletas e valor do prêmio você pode observar que Quando multiplicamos o número de atletas por 2 o valor do prêmio fica dividido por dois Quando dividimos o número de atletas por 2 o valor do prêmio fica multiplicado por 2 O produto entre o número de atletas e o valor do prêmio correspondente é sempre o mesmo 1 600 600 2 300 600 4 150 600 Nº de atletas Valor do prêmio 1 atleta 2 atletas 4 atletas R 60000 R 30000 x Tabela 4 Figura 7 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 154 Portanto podemos dizer que o número de atletas e o valor do prêmio são grandezas inversamente proporcionais Formando a proporção observe que invertemos uma das razões e aplicando a propriedade 4 x 600 1 temos Então se quatro atletas conseguirem chegar ao fim da corrida no tempo previsto cada um receberá um prêmio de R 15000 Será que esse é o único modo de resolver esse problema Você conhece outro modo Pense um pouco Como o produto entre o número de atletas e o prêmio é sempre constante e igual a 600 então se você conhece o número de atletas pode determinar o valor do prêmio Da mesma forma se conhece o valor do prêmio pode determinar a quantidade de atletas Faça os cálculos e compare o seu resultado com o anterior 6 Desenvolvendo competências 61 Calcule o valor do prêmio que receberá cada atleta se 5 obtiverem êxito Desenvolvendo competências Leia analise e responda aos itens abaixo 62 Todos os dias ao entardecer costumo fazer minha caminhada diária de 2 horas seguindo o mesmo trajeto e mantendo a mesma velocidade média de 25 kmh Outro dia cronometrei o meu tempo e percebi que estava com uma velocidade média de 5 kmh Nessas condições em quanto tempo fiz o mesmo trajeto a hora b hora c 1 hora d 4 horas Desenvolvendo competências 63 Para transportar areia para uma construção foram usados 4 caminhões com capacidade de 3 m3 cada um Para fazer o mesmo serviço e com base nessas informações podemos concluir que a se a capacidade de cada caminhão fosse de 6 m3 seriam necessários 8 caminhões b quanto maior a capacidade do caminhão menor será o número de caminhões necessários c seriam necessários 10 caminhões se a capacidade de cada caminhão fosse de 1m3 d a quantidade de caminhões não depende da capacidade de cada caminhão Capítulo VI As grandezas no diaadia 155 Tomando como base os conhecimentos que adquiriu e as experiências que viveu pense e responda Você conhece algum caso de união de pessoas que melhorou a qualidade de vida e a qualidade profissional dessas pessoas Em algum momento você se uniu ou sentiu necessidade de se unir a outras pessoas para defender uma causa comum Quais as vantagens da união de pessoas em cooperativas e associações Figura 8 Disponível em httpwwwdesenvolvimentogovbrprogacoesPAB Vamos analisar outras situações BONECAS DE PANO ENCANTAM BRASILEIROS E ESTRANGEIROS As bonecas de pano feitas em Riacho Fundo zona rural de Esperança município da Paraíba estão encantando brasileiros de norte a sul e já são vendidas na Alemanha Itália Inglaterra e Estados Unidos Atualmente os 40 artesãos que trabalham na confecção da Boneca Esperança produzem de quinhentas a mil peças todos os meses a um preço que varia de R 250 a R 6000 Há um ano e meio no entanto a produção era desorganizada e os artesãos tinham dificuldades de vender suas bonecas para outros mercados Foram promovidas oficinas locais com o objetivo de melhorar a qualidade do produto e orientar os artesãos na composição de preço dos produtos Hoje a qualidade de vida dos 40 artesãos que trabalham na produção das bonecas também melhorou Eles fazem parte da Associação dos Artesãos de Riacho Fundo e têm uma renda mensal entre R 15000 e R 40000 7 Desenvolvendo competências Analisando o texto podemos concluir que a os artesãos eram desorganizados e desqualificados por isso não vendiam suas bonecas b cada artesão confecciona em média de 500 a 1000 bonecas por mês c para formar uma associação ou cooperativa é preciso ter muitos recursos financeiros d a união e a organização dos artesãos promoveram o sucesso que pôde ser comprovado matematicamente através dos resultados numéricos obtidos Para refletir Mesmo em lugares simples e distantes e com poucos recursos pessoas unidas podem superar obstáculos e obter sucesso pessoal e profissional devendo para isso Buscar ajuda de órgãos ou pessoas responsáveis e competentes para organizar a equipe e a produção Possuir em comum um forte desejo de vencer e progredir Envolver mais pessoas interessadas para aumentar a produtividade e fortalecer a associação Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 156 NO PRÓXIMO SÉCULO A ÁGUA DOCE SERÁ O RECURSO NATURAL MAIS DISPUTADO NA MAIORIA DOS PAÍSES O Brasil possui 137 de toda a água doce do planeta e desse total 7 encontramse na região da bacia hidrográfica do rio Paraná que inclui o rio Tietê Existe água em abundância mas existe também o desperdício e o comprometimento dos mananciais Você sabe quanto custa a água que consumimos Um real cada mil litros Parece pouco mas esse custo poderá ser bem mais alto se a água não for utilizada de forma adequada sem desperdícios O cálculo da tarifa é progressivo quanto maior o consumo maior é o preço A faixa de consumo de água por pessoa varia de 150 a 400 litros por dia Uma maneira de detectar vazamento é fechar todas as torneiras e registros da casa e verificar se no hidrômetro aparelho que mede o consumo de água ocorre movimento dos números ou do ponteiro do relógio Caso isso aconteça certamente existe vazamento Por exemplo um pequeno buraco de dois milímetros do tamanho da cabeça de um prego vai desperdiçar em torno de 3200 litros de água por dia Esse volume é suficiente para o consumo de uma família de 4 pessoas durante 5 dias incluindo limpeza da casa higiene pessoal preparação de alimentos e água para beber 8 Desenvolvendo competências Com base nos dados acima e supondo que essa família de 4 pessoas não detectou um vazamento em sua residência durante 3 dias podemos então dizer que houve um desperdício de água suficiente para o consumo de a 2 pessoas durante 7 dias b 1 pessoa durante 12 dias c 8 pessoas durante 3 dias d10 pessoas durante 2 dias Você já observou qual o consumo médio mensal de água de sua residência Que tal dar uma olhadinha na última conta para conferir E o consumo diário de água por pessoa Se em sua casa residem 5 pessoas e o consumo mensal de água é de 30 m 3 podemos fazer os seguintes cálculos para obter o consumo médio diário por pessoa Como 1 m 3 1000 litros então 30 m 3 30 000 litros por mês 30 000 litros 5 pessoas 6000 litros por pessoa por mês 6000 litros 30 dias 200 litros por pessoa por dia E se em sua casa moram apenas 3 pessoas Qual o consumo diário de água por pessoa Esse valor é razoável O texto afirma que o consumo médio por pessoa varia de 150 a 400 litros de água por dia o que envolve uma grande variação numérica e com certeza financeira Converse com parentes e amigos e compare os resultados Você sabia que a válvula de descarga ao ser acionada gasta de 10 a 30 litros de água enquanto a caixa acoplada ao vaso descarrega apenas 6 litros de água por vez Você economiza água de algum modo Se não economiza já pensou em alguma forma de economizar Capítulo VI As grandezas no diaadia 157 Você sabia que a vazão de uma torneira é diretamente proporcional ao tempo em que ela fica aberta Por exemplo se você escovar os dentes em 5 minutos deixando a torneira aberta estará gastando 12 litros de água por dia quantidade que uma pessoa poderia beber durante 6 dias No entanto se escovar os dentes de maneira econômica ou seja mantendo a torneira fechada e só usando água quando for necessário gastará em média 1 litro A economia será de aproximadamente 11 litros de água por dia Pense nisso sempre que for escovar os dentes fazer a barba etc Para refletir Hoje quando há algum desperdício pelo uso abusivo de água ninguém se incomoda Mas esse comportamento terá de mudar Economizar e conservar a água é fundamental A consciência de que é preciso mudar está crescendo Todos nós sempre dependemos da água Agora a água também dependerá de nós de nossas atitudes e comportamentos de nosso grau de civilidade httpwwwtvculturacombraloescolaciencias Você pode intervir e mudar essa realidade Para isso é preciso ter Consciência do que está ocorrendo e manterse informado Argumentos consistentes para conversar e informar outras pessoas Força de vontade e dedicação para mudar o que realmente precisa ser mudado Porcentagem e juros Quase todos os dias vemos ou ouvimos a expressão por cento indicando acréscimo ou desconto ou noticiando a situação econômica Também ocorrem inúmeras operações envolvendo dinheiro como empréstimos aplicações financeiras compra e venda pagamento de impostos etc Boa parte das perdas de dinheiro que as pessoas têm ao fazer negócios depende do cálculo de porcentagens que estão presentes nessas situações Por isso precisamos conhecer o conceito matemático de porcentagem para saber interpretálo e aplicálo corretamente sempre que for necessário O que significa O sinal é uma abreviação da expressão dividido por 100 Lembrese que lemos 30 30 por cento Porcentagem é uma comparação com 100 Nos anúncios acima temos Na situação 1 uma taxa percentual de 30 de desconto Como 30 significa que em cada R 10000 haverá um desconto de R 3000 Na situação 2 uma taxa percentual de aumento de 2 Como 2 significa que em cada R 10000 haverá um aumento de R 200 Além das situações acima você conhece outras que envolvam cálculos com porcentagem Pense um pouco Acredito que tenha pensado e respondido que conhece muitas situações Pois é quantas vezes precisamos recorrer à nossa calculadora para conferirmos se a oferta de um determinado produto vale a pena mesmo E como é bom sabermos efetuar os cálculos e chegarmos a uma conclusão Por isso mãos à obra Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 158 Vamos analisar algumas situações 1 O dono de uma sorveteria preocupado com a qualidade e a quantidade de seus sorvetes realizou uma pesquisa com seus clientes Dos 180 que responderam constatou que 60 preferem sorvete de chocolate e o restante prefere os demais sabores Resolvendo o problema a Dentre os clientes que responderam à pesquisa quantos preferem sorvete de chocolate Sabemos que a taxa percentual que representa esse número de clientes é 60 do número total de clientes Então devemos calcular 60 de 180 60 de180 180 Portanto 108 clientes preferem sorvete de chocolate Você sabia que podemos calcular o percentual de um número de duas maneiras Veja o caso de 60 de 180 Forma fracionária 180 Forma decimal 060 180 108 Pois é a forma como os cálculos são efetuados é uma escolha pessoal Escolhemos aquela que achamos mais apropriada mais conveniente mas é interessante saber que existem outras formas de efetuarmos esses cálculos b Dentre os clientes que responderam à pesquisa qual o percentual e o número de clientes que preferem sorvete de outros sabores Se a taxa percentual dos que preferem sorvete de chocolate é 60 e a taxa que representa o total de clientes é 100 então ao subtrairmos 60 de 100 encontramos a taxa de 40 que representa os clientes que preferem sorvete de outros sabores Para encontrar o número de clientes que representa essa taxa percentual vamos usar o mesmo procedimento do item a 40 de 180 180 Portanto 72 clientes preferem sorvete de outros sabores Como no item a utilize a forma decimal para calcular a porcentagem e confirme o resultado encontrado Você sabe encontrar o número de clientes que preferem sorvete de outros sabores de outra forma Vamos pensar juntos Se o número total de clientes pesquisados é 180 e destes 108 preferem sorvete de chocolate e sabemos que os demais preferem de outros sabores podemos efetuar a subtração 180 108 para encontrar os 72 clientes que procuramos Observe a tabela abaixo para melhor visualizar esta situação Sorvete de chocolate Sorvete de outros sabores Total Taxa de porcentagem de clientes 60 100 60 40 100 Tabela 5 Número de clientes 108 180 108 72 180 Capítulo VI As grandezas no diaadia 159 c 99 clientes representam mais ou menos que 50 dos clientes que responderam à pesquisa Observe que Quando dividimos por 2 a porcentagem de clientes o número de clientes também fica dividido por 2 A razão entre a porcentagem de clientes e o número de clientes correspondentes é sempre a mesma Taxa percentual de clientes 100 x 50 180 99 90 Número de clientes Tabela 6 9 Desenvolvendo competências Faça os cálculos e responda Para os 180 clientes que responderam a pesquisa 91 Quantos clientes representam 12 do total de clientes 92 Quanto por cento do total de clientes representam 135 clientes a 45 b 60 c 70 d 75 Portanto como as grandezas porcentagem de clientes e número de clientes variam numa proporcionalidade direta podemos formar uma proporção aplicar a propriedade e encontrar o valor desejado Proporção Propriedade 180 x 100 99 Valor de x Portanto 99 clientes representam 55 do total de clientes Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 160 AUTOMEDICAÇÃO É bastante freqüente entre os brasileiros o hábito de tomar medicamentos por conta própria por sugestão de amigos ou pessoas não habilitadas a receitar Na área de saúde esse procedimento chamase automedicação que quer dizer medicar a si mesmo Atualmente a intoxicação por medicamentos é uma ocorrência comum Em 1998 por exemplo o Centro de Assistência Toxicológica CEATOX órgão da Universidade de São Paulo USP registrou 3211 casos de intoxicação dos quais cerca de 40 provocados por uso de medicamentos Os farmacêuticos consideram que grande parcela desses casos resulta da automedicação praticada no país Segundo dados da Organização Mundial da Saúde OMS e do Ministério da Saúde o mercado brasileiro dispõe de mais de 32 mil medicamentos motivo pelo qual o Brasil situase em sexto lugar entre os países consumidores de medicamentos respondendo por R 143 bilhões dos 529 bilhões movimentados no mercado mundial de medicamentos No entanto sabese que para tratar as mais diversas doenças cerca de 420 produtos seriam suficientes Adaptado de wwwnibunicampbr 10 Desenvolvendo competências Analisando o texto acima interpretando e avaliando as variações percentuais nele contidas podemos concluir que a o mercado brasileiro possui um número insuficiente de medicamentos para tratar as mais diversas doenças existentes b mais da metade dos casos de intoxicação registrados em 1998 pelo CEATOX foram provocados pela automedicação c se os 420 produtos estiverem entre os 32 mil existentes no Brasil aproximadamente 13 do total de medicamentos disponíveis seriam suficientes para tratar as mais diversas doenças d o Brasil ocupa o 6o lugar no mundo em relação aos casos registrados de automedicação Figura 9 Capítulo VI As grandezas no diaadia 161 Você costuma se automedicar Conhece alguém que se automedicou Quais os resultados obtidos Você sabia que um mesmo remédio com dosagem idêntica usado durante o mesmo período de tempo por duas pessoas diferentes pode dar excelentes resultados para uma delas e não surtir efeito na outra Por que será que existem tantos medicamentos no Brasil 11 Será que somente a liberdade que as indústrias têm para fabricar anunciar e vender seus produtos justifica esse elevado número de medicamentos O fato de nos automedicarmos com xaropes analgésicos gotas nasais laxantes e outros medicamentos aparentemente inofensivos não contribui também para o crescimento e fortalecimento das indústrias farmacêuticas O que você acha que poderia ser feito para tentar diminuir esse índice elevado de automedicação Para refletir A vida saudável não está sempre no balcão da farmácia Os cuidados de higiene pessoal e ambiental hábitos sadios e qualidade de vida promovem a saúde A prática de esportes caminhadas alimentação balanceada lazer e descanso dão mais sabor e qualidade à vida humana Leia mais sobre automedicação Busque idéias consistentes para argumentar com outras pessoas e de alguma forma intervir e mudar essa realidade nada saudável do consumo exagerado e inadequado de medicamentos no Brasil Vamos analisar outras situações 1 Alberto trabalha em uma pequena firma e recebe um salário mensal de R 80000 Como fez alguns cursos de atualização profissional foi promovido e recebeu um aumento de 15 em seu salário Qual será então o novo salário de Alberto Resolvendo o problema Calculamos 15 de 800 e a seguir somamos ao valor inicial de 800 para obtermos o valor do novo salário 15 de 800 015 800 120 800 120 920 portanto o novo salário será R 92000 Você conhece outro modo de resolver esse problema Vamos pensar juntos Se hoje o salário representa 100 e o aumento será de 15 então o novo salário representará 115 do salário inicial Lembrando que 115 115 faça os cálculos e confira o resultado Desenvolvendo competências Aproveite os dados do problema anterior e resolva este Se Alberto passasse a receber um salário de R 100000 poderíamos afirmar que a ele teve um aumento percentual de 50 b o aumento de R 20000 equivale a um aumento de 20 no salário inicial c a porcentagem que representa o novo salário seria de 125 d um salário de R 100000 representa um aumento superior a 30 sobre o salário antigo Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 162 2 Uma revendedora de automóveis anunciou a venda de um modelo popular usado por R 750000 Percebendo que o interesse dos clientes pelo automóvel foi pequeno decidiu abaixar o preço para R 690000 Qual a taxa de desconto aplicada ao automóvel Resolvendo o problema Obtemos o valor do desconto em reais efetuando R 750000 R 690000 e a seguir calculamos quanto por cento esse valor representa de R 750000 Cálculos Proporção Propriedade 7500 x 100 600 Valor de x Portanto a taxa de desconto aplicada foi de 8 Como no item anterior será que é possível fazer os cálculos de outro modo O que representa a divisão Quanto por cento 6900 representa de 7500 Termine os cálculos e compareos com o resultado obtido acima 7500 600 Taxa de porcentagem Valor R Tabela 7 100 12 Desenvolvendo competências Aproveite os dados do problema acima e responda à seguinte questão Se a revendedora tivesse aplicado um desconto de 55 sobre o valor inicial do automóvel poderíamos afirmar que a o valor do desconto seria de R 50000 b o valor do automóvel após esse desconto seria de R 715050 c a porcentagem que representa o valor do automóvel após o desconto seria de 955 d o valor desse desconto seria superior a R 40000 Observações importantes Se a um determinado valor for aplicado um acréscimo de 10 podemos calcular o novo valor apenas multiplicando o valor inicial por 11 pois 100 10 110 11 Se a um determinado valor for aplicado um desconto de 10 podemos calcular o novo valor apenas multiplicando o valor inicial por 09 pois 100 10 90 09 Essas observações facilitam muito os nossos cálculos mesmo os feitos com o uso da calculadora Dada a sua importância observe alguns exemplos expostos a seguir Capítulo VI As grandezas no diaadia 163 Veja como alguns cálculos dos valores expostos acima foram efetuados Aumento de 10 110 10 110 11 Desconto de 10 110 10 90 09 Desconto de 175 100 175 825 0825 Aumento de 100 100 100 200 2 Aumento de 10 Aumento de 305 Aumento de 50 Aumento de 100 Multiplicar o valor inicial por 11 1305 150 2 Tabela 8 Desconto de 8 Desconto de 10 Desconto de 175 Desconto de 50 Multiplicar o valor inicial por 092 09 0825 05 Tabela 9 Aproveite os conceitos utilizados na construção da tabela acima e resolva Se uma empresa possui 360 funcionários e 25 deles utilizam transporte próprio qual o número de funcionários dessa empresa que utiliza outros meios de transporte Resolvendo o problema 100 25 75 360 075 270 270 funcionários 13 Desenvolvendo competências 131 Um litro de leite custava R 080 e sofreu um acréscimo de 15 Qual será o novo valor do litro desse leite 132 Solaine abriu com R 50000 uma caderneta de poupança no dia 2 de maio Não fez nenhum outro depósito durante o mês Se o rendimento nesse mês foi de 07 qual será o saldo de Solaine no dia 3 de junho a R 50350 b R 50770 c R 53500 d R 57000 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 164 Aumentos e descontos sucessivos Vamos analisar algumas situações 1 Uma loja de material esportivo estava vendendo uma camisa de um time de futebol por R 10000 no mês de janeiro e aplicou um aumento de 10 no mês de abril Como no mês de junho o time ganhou um torneio e as vendas aumentaram resolveu aplicar outro aumento de 10 Qual a porcentagem total de aumento aplicado à camisa desse time durante esse 1º semestre Alguma situação semelhante a essa já ocorreu com você Será que o aumento foi de 20 Como você faria os cálculos para descobrir a porcentagem total do aumento Pense um pouco Resolvendo o problema Sobre o valor inicial de R10000 vamos aplicar o 1º aumento 1º aumento 100 10 110 11 100 11 110 Sobre o valor de R 11000 obtido após o primeiro aumento vamos aplicar o 2º aumento 100 10 100 11 110 11 121 Você pode constatar que se a camisa custava R 10000 em janeiro e passou a custar R 12100 em junho houve um aumento de R 2100 que equivale a 21 Você conhece outro modo de resolver esse problema Esse modo escolhido não é único existem diversos procedimentos corretos que levam ao resultado Você deve escolher a forma que achar mais apropriada mais conveniente ao seu modo de interpretar e resolver questões Como na situação anterior aplique dois aumentos sucessivos de 10 sobre os seguintes valores iniciais a R 8000 b R 600 Agora compare os resultados obtidos com o do item anterior O que você pode concluir Será que dois aumentos sucessivos de 10 equivalem sempre a um único aumento de 21 Observe que efetuamos os seguintes cálculos 100 11 11 100 11 2 100 121 121 Como 121 121 e 121 100 21 obtemos então o aumento de 21 2 Algumas lojas de roupas e acessórios costumam fazer no mês de maio uma liquidação dos seus artigos de verão para então colocar nas vitrines a nova coleção de inverno Flávia sabendo dessa liquidação não comprou uma blusa que custava R 5000 em março Ela teve sorte pois sobre esse valor foram aplicados dois descontos sucessivos um em abril de 10 e outro em maio de 20 Qual o desconto total aplicado sobre o valor da blusa Qual o valor final da blusa após os descontos Resolvendo o problema Como na situação anterior vamos aplicar os descontos separadamente 1º desconto sobre o valor inicial 100 10 90 09 50 09 45 Capítulo VI As grandezas no diaadia 165 2º desconto sobre o valor obtido após o 1º desconto 100 20 80 08 45 08 36 Se a blusa custava R 5000 em março e passou a custar R 3600 em maio houve um desconto de R 1400 que equivale a 28 50 x 14 100 x Portanto o desconto total aplicado sobre o valor da blusa foi 28 Atenção o desconto total não foi igual à soma dos descontos ou seja 30 e o valor final da blusa após os descontos foi R 3600 Você saberia encontrar esse desconto total de outro modo Pense um pouco Seria possível aplicar um desconto único e encontrar o preço final da blusa Observe os cálculos que efetuamos 50 09 08 50 072 36 Como 072 72 e 72 100 28 obtemos então o desconto total de 28 3 Sobre uma mercadoria que custa R 20000 houve um desconto de 20 e depois outro desconto de 30 então a Qual a porcentagem final do desconto sobre essa mercadoria 08 07 056 056 56 e 100 56 44 Portanto a porcentagem final do desconto sobre essa mercadoria será de 44 b Qual o valor em reais do desconto total 44 de 200 044 200 88 Portanto o valor total do desconto é R 8800 c Qual o valor final da mercadoria após os descontos 200 88 112 Portanto o valor final da mercadoria é R 11200 A ordem em que os descontos ou aumentos são calculados não altera os cálculos pois 08 07 x 07 08 x onde x representa o preço inicial da mercadoria Algumas pessoas erram a solução desse tipo de problema porque usam a soma Mas como você pôde observar utilizamos a multiplicação e não a soma Ao contrário da situação 4 agora você calcula os descontos separadamente e depois compara os resultados encontrados através dos cálculos com o desconto único 14 Desenvolvendo competências Se em um determinado país a taxa de inflação no mês de maio foi de 2 e a do mês de junho foi de 5 então 141 A taxa de inflação acumulada nesses dois meses foi de a 7 b 71 c 82 d 10 Desenvolvendo competências 142 O valor de um objeto no dia 1o de julho sabendo que ele custava R 5000 em 30 de abril e que recebeu aumento de acordo com a inflação será de a R 5300 b R 5355 c R 5550 d R 5700 23 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 166 Os juros no diaadia Vejamos algumas situações 1 Uma loja de informática está vendendo um computador por R 250000 à vista ou em 2 parcelas R 150000 de entrada e R 150000 ao fim de 30 dias O preço desse computador à vista é diferente do preço a prazo porque estão sendo cobrados juros pelo parcelamento da dívida Qual será o valor do juro mensal que essa loja está cobrando pelo parcelamento 2 Mirella emprestou R 30000 a Juliane que depois de 1 mês devolveulhe R 31500 Mirella recebeu então como compensação R 1500 de juro O juro é uma compensação em dinheiro que a empresa ou a instituição financeira cobra por estar parcelando ou financiando uma dívida Quando o cliente aplica seu dinheiro em um banco está emprestando esse dinheiro ao banco e por isso recebe uma quantia de juro pelo empréstimo Para conhecermos melhor as operações que envolvem juros vamos ver os principais nomes usados nesses cálculos e suas respectivas abreviações Capital inicial C é o dinheiro que se empresta ou que se toma emprestado Montante M é a soma do capital inicial aplicado ou tomado emprestado e do juro Tempo ou prazo t é o tempo que decorre desde o início até o final de uma dada operação financeira Taxa de juro i é a taxa percentual que se recebe ou se paga em relação a um dado intervalo de tempo Na determinação dos juros A taxa e o tempo devem estar relacionados na mesma unidade dia mês ano etc Adotase o chamado prazo comercial em que o mês é considerado como tendo 30 dias e o ano como tendo 360 dias Existem duas modalidades ou regimes de juro simples e composto A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos porque há interesse de se escolher um intervalo de tempo menor dia mês ou ano para que ao final de cada intervalo o juro correspondente seja pago O regime de juros simples é utilizado com menos freqüência geralmente nas operações de curtíssimo prazo JUROS SIMPLES os juros de cada intervalo de tempo são calculados sempre em relação ao capital inicial emprestado ou aplicado e com isso o valor do juro em cada intervalo é sempre constante Observe a situação abaixo Vitor aplicou R 200000 em um banco que paga juro simples de 1 ao mês am Após 3 meses de investimento qual será o saldo final ou montante capital juro de Vitor Resolvendo o problema Você já resolveu um problema semelhante a esse anteriormente A única diferença entre os problemas encontrase no tempo Solaine aplicou seu dinheiro por 1 mês e Vitor por 3 meses Use os conhecimentos que possui e os que foram apresentados nesse capítulo para encontrar o saldo final de Vitor ao final de três meses Se você concluiu que Vitor possuirá R 206000 acertou Veja uma das maneiras de encontrar esse resultado Capital C R 200000 Taxa i 1 am Tempo t 3 meses Figura 10 Figura 11 Capítulo VI As grandezas no diaadia 167 Veja que a taxa e o tempo estão relacionados na mesma unidade mês Desenvolvendo competências Desenvolvendo competências 15 JUROS COMPOSTOS também conhecido como juros sobre juros os juros de cada intervalo de tempo são calculados e somados ao capital inicial desse intervalo que por sua vez passam a render juros também É como funcionam as cadernetas de poupança Desenvolvendo competências Aproveite os dados e complete a tabela imaginando que Vitor tenha aplicado seu dinheiro por mais dois meses Mês 1º 2º 3º Montante no início de cada mês 2000 2020 2040 Tabela 10 Juro do mês 1 de 2000 20 1 de 2000 20 1 de 2000 20 Montante no final de cada mês 2020 2040 2060 Mês 1º 2º 3º Montante no início de cada mês 2000 2020 204020 Tabela 11 Juro do mês 1 de 2000 20 1 de 2020 202 1 de 204020 2040 Montante no final de cada mês 2020 204020 206060 Resolvendo o problema Vitor terá um montante de R 206000 após três meses de investimento Observe a situação abaixo Suponhamos agora que Vitor tenha aplicado seus R 200000 em um banco que paga juro composto de 1 ao mês am Então após 3 meses de investimento qual será o saldo final ou montante capital juro de Vitor Vitor terá um montante de R 206060 após três meses de investimento Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 168 Você se recorda da situação referente a aumentos sucessivos Esse problema tem alguma semelhança com aquele Observe os cálculos que fizemos para encontrar o montante ao final de três meses 2000 101 101 101 2000 101 3 Vamos voltar à situação sobre as formas de pagamento do computador Como R 150000 devem ser pagos no ato da compra ou seja à vista na verdade apenas a quantia de R 100000 será financiada pela qual se pagará R 150000 Portanto está sendo cobrado um valor de R 50000 de juro que corresponde a 50 de R 100000 Um absurdo 16 Desenvolvendo competências Utilize o modo que achar melhor ou mais simples para continuar os cálculos da tabela acima imaginando que Vitor tenha aplicado seu dinheiro por mais dois meses Você costuma ficar atento aos juros cobrados pelo parcelamento como no caso acima Acreditamos que depois desta leitura ficará mais atento ainda pois é muito importante observar nesses problemas o quanto realmente está sendo financiado para não nos enganarmos nem sermos enganados No caso acima a primeira parcela foi paga à vista logo não se deve fazer incidir juros sobre a mesma Se o financiamento tivesse sido feito em duas vezes sem entrada deveriam se fazer incidir juros relativos a um mês sobre a primeira prestação e relativos a dois meses sobre a segunda prestação Dona Vera possui uma televisão muito antiga de 14 polegadas por isso há algum tempo vem juntando uma certa quantia em dinheiro para comprar uma televisão maior e mais moderna Quando viu a oferta de uma televisão de 20 polegadas em 10 vezes de R 6220 Figura 12 não pensou em aguardar um pouco mais para comprar uma televisão com uma tela maior Figura 13 e nem sequer fez os cálculos para verificar quanto estava pagando de juros Com o auxílio de uma calculadora efetue este cálculo e compare o resultado com o da tabela Parece complicado mas quando entendemos o processo tudo se torna mais simples Figura 12 Figura 13 Vamos analisar outra situação Capítulo VI As grandezas no diaadia 169 17 Desenvolvendo competências Com base nessas informações organize os dados e responda 171 Que valor em reais Dona Vera pagou de juros por ter parcelado a TV 172 Quantos por cento aproximadamente sobre o preço à vista Dona Vera pagou de juros a 1272 b 1721 c 1012 d 1127 173 Se até o momento Dona Vera tivesse conseguido economizar R 40000 e decidisse não comprar a TV de 20 e aplicasse todo mês os R 6220 juntamente com os R 40000 em um banco que paga juro composto a uma taxa de 1 ao mês em quanto tempo ela poderia comprar a TV de 29 da figura 13 Iniciamos a organização dos dados na tabela abaixo Termine os cálculos e encontre a resposta correta Os cálculos parecem complexos mas se você entendeu o processo que é o fundamental com o auxílio de uma calculadora eles se tornam simples Observe como alguns cálculos da tabela foram efetuados 1o mês Juros 1 de 46220 462 Montante no final do mês valor anterior juros 46220 462 46682 2o mês Juros 1 de 52982 529 Montante no final do mês valor anterior juros 52982 529 53431 3o mês Juros 1 de 59651 596 Montante no final do mês valor anterior juros 59651 596 60247 Mês 1º 2º 3º Montante no início de cada mês 40000 6220 46220 46682 6220 52902 53431 6220 59651 Tabela 12 Juros de cada mês 462 529 596 Montante no final de cada mês 46682 53431 60247 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 170 Antes de comprar um objeto você costuma verificar se o preço à vista não oferece muito mais vantagens do que o parcelamento mesmo que isso implique esperar um pouco mais para obter esse objeto Não se esqueça de que não podemos comparar diretamente uma quantia de dinheiro agora com uma em outro instante passado ou futuro Para finalizar Esperamos que ao término da leitura desse capítulo você Tenha dominado e entendido melhor a linguagem matemática específica usada nesse texto para ler ouvir enfim comunicarse corretamente Tenha ampliado seus conhecimentos sobre variação de grandezas e que essa ampliação venha a facilitar a compreensão e a resolução de problemas do cotidiano que envolvam esses conceitos matemáticos Sinta necessidade e prazer em exercitar a leitura de revistas ou jornais para manterse informado sobre os principais fatos que ocorrem no Brasil e no mundo E ao encontrar grandezas nessas leituras procure identificálas e avaliar suas variações para entender explicar e argumentar com consistência sobre os processos naturais sócioeconômicos e tecnológicos que vivenciamos Possa recorrer aos conhecimentos adquiridos e a outros tantos disponíveis e relacionálos às suas experiências de vida para contribuir com idéias e propostas que possam sempre que necessário intervir de forma concreta e solidária na realidade em que vivemos Capítulo VI As grandezas no diaadia 171 Conferindo seu conhecimento 1 2 3 4 4 a F b F c V d F e V a PD b NP c PD d PI e NP f NP g PD h PI 5 1 R 12000 6 2 Resposta c 3 Resposta b 7 Resposta d 8 Resposta b 9 91 216 clientes 92 Resposta d 1 Resposta b 21 Resposta b 22 Resposta b 23 Resposta a 3 Resposta b 75 km e 6 horas Mais proporções 150 km Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 172 10 Resposta c 11 Resposta c 12 Resposta d 13 131 R 092 132 Resposta a 141 Resposta b 142 Resposta b 15 Tabela de juros simples Mês 4º 5º Montante no início de cada mês 2060 2080 Juro do mês 1 de 2000 20 1 de 2000 20 Montante no final de cada mês 2080 2100 16 Tabela de juros compostos Mês 4º 5º Montante no início de cada mês 206060 208121 Juro do mês 1 de 206060 2060 1 de 208121 2081 Montante no final de cada mês 208120 210202 17 171 R 6300 172 Resposta d 173 Ao final do 6º mês conforme a tabela abaixo Mês 4º 5º 6º Montante no início de cada mês 60247 6220 66467 67432 6220 73352 74085 6220 80305 Juro do mês 1 de 66467 664 1 de 73352 733 1 de 80305 803 Montante no final de cada mês 66467 664 67132 73352 733 74085 80305 803 81108 14 Capítulo VI As grandezas no diaadia 173 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar grandezas direta e inversamente proporcionais e interpretar a notação usual de porcentagem Identificar e avaliar a variação de grandezas para explicar fenômenos naturais processos socioeconômicos e da produção tecnológica Resolver problemas envolvendo grandezas direta e inversamente proporcionais e porcentagem Identificar e interpretar variações percentuais de variável socioeconômica ou técnicocientífica como importante recurso para a construção de argumentação consistente Recorrer a cálculos com porcentagem e relações entre grandezas proporcionais para avaliar a adequação de propostas e intervenção na realidade Wilson Roberto Rodrigues A MATEMÁTICA POR TRÁS DOS FATOS Capítulo VII APLICAR EXPRESSÕES ANALÍTICAS PARA MODELAR E RESOLVER PROBLEMAS ENVOLVENDO VARIÁVEIS SOCIOECONÔMICAS OU TÉCNICOCIENTÍFICAS Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 176 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos Matemática no café da manhã A matemática que não vemos Todos os dias realizamos um grande número de operações matemáticas Na maioria das vezes nem nos damos conta disso mas nem sempre foi assim Se hoje temos muitos recursos matemáticos à nossa disposição é porque eles foram construídos passo a passo através dos tempos Cada um dos conhecimentos descobertos em seu momento permitiu que o homem subisse um degrau em direção ao estágio de desenvolvimento em que vivemos hoje Dois fatores foram essenciais nessa busca por parte do homem a necessidade e a curiosidade E é desses mesmos dois fatores que vamos nos valer nesse capítulo Queremos que você desperte seu olhar curioso sobre os temas apresentados e veja neles algo que explique e amplie sua visão sobre coisas simples do diaadia Em algumas situações você poderá achar tudo muito óbvio mas não perca a paciência nem pule etapas Cada novo passo dado irá enriquecer sua bagagem de conhecimentos matemáticos Esperamos que esses conhecimentos possam tornálo mais autônomo e apto a interpretar de maneira mais precisa e crítica as coisas do diaadia Isso mesmo É comum começarmos a lidar com a matemática desde que acordamos Vamos ver Comprando os pãezinhos pela manhã podemos encontrar uma tabela como essa pregada no caixa da padaria PADARIA BELO PÃO Pão Francês Quantidade PreçoR 1 018 2 036 3 054 4 072 5 090 6 108 7 126 8 144 9 162 10 180 11 198 12 216 13 234 14 252 15 270 Tabela 1 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 177 Você já viu isso alguma vez Ela permite que o caixa economize tempo na hora de saber o preço dos pães Vamos pensar um pouquinho nessa tabela e nas possíveis maneiras de usála e construíla Resolvendo Problemas Caso um cliente desejasse comprar 17 pãezinhos seria necessário calcular o preço pois ele não consta da tabela É possível que nessa hora sejam trocadas as seguintes palavras entre o caixa e o cliente Pensando em voz alta o caixa diz 270 036 306 O cliente por sua vez responde De fato 17 018 306 Esse diálogo traduz dois raciocínios que revelam duas maneiras diferentes de chegar à mesma conclusão Pense um pouquinho e explique como pensou cada um para chegar ao valor dos 17 pães A E você como faria essa conta Encontre outras maneiras de chegar a esse resultado Vamos pensar um pouco na construção da tabela da padaria Poderíamos pensar por exemplo assim Existe Basta chamarmos de P o preço a ser pago e de n o número de pães comprados Pn será o preço a ser pago por n pãezinhos A expressão será Pn018 n Estamos dizendo a mesma coisa agora na língua da Matemática Podemos até dizer que descobrimos a lei matemática ou o modelo matemático que está por trás desse fato Vamos usálo agora B Substitua n por 25 na expressão que encontramos A expressão ficará P25 018 25 Faça essa conta O caixa da padaria faria essa conta para descobrir o quê Vamos explorar mais um pouco a expressão matemática do preço dos pães Se substituirmos P por 072 a expressão ficará 072 018 n Para resolvêla devemos fazer C Faça a conta O resultado fornecerá o número de pães que podem ser comprados com R 072 O preço a ser pago pelo cliente é igual ao preço de um pão multiplicado pelo número de pães comprados A frase que está no quadro deixa bem clara qual é a lei matemática que relaciona o número de pães com o preço desses pães Será que não existe um jeito de dizer isso com símbolos matemáticos a Você poderia calcular o preço de 15 pães mais o preço de 2 pães ou o preço de 1 pão multiplicado por 15 b P 450 O caixa faria este cálculo para obter o preço de 25 pães c 4 pães 018 018 1 036 018 2 054 018 3 072 018 4 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 178 1 PROMOÇÃO Pão Francês R 015 Desenvolvendo competências 1 Agora é sua vez Utilize as idéias que desenvolvemos para auxiliar um cliente que deseja comprar 20 pães e tem R 320 Será que o dinheiro é suficiente Se não for quantos pães ele poderia comprar Se o dinheiro dele não for suficiente e você fosse aquele amigo certo na hora certa quanto teria que emprestar a ele para que pudesse comprar os 20 pães Coisas do comércio A cem metros de nossa padaria foi inaugurada uma outra e os moradores das redondezas agora têm duas opções para comprar seu pãozinho matinal Para manter sua clientela o proprietário da padaria Belo Pão tratou de baixar seus custos diminuindo o desperdício e conseguindo desconto na compra das matériasprimas Reduziu também sua margem de lucro e mandou fazer um belo cartaz 2 Será necessário obtermos um novo modelo matemático para essa nova situação Compare as duas situações e verifique o que mudou com a redução de preço Escolha o modelo correto dentre as alternativas propostas a n015 Pn b Pn015n c Pn015n d n015Pn 3 Se você conhecer a lei matemática que modela a nova situação poderá utilizála para descobrir por exemplo quanto custariam 17 pães no novo preço Calcule também quantos pães poderiam ser comprados com R195 4 Aquele cliente que tem R320 e quer comprar 20 pães agora conseguiria comprar todos os pães que deseja 5 Vamos fazer agora um uso um pouco mais sofisticado dessas idéias Pense na seguinte situação Uma senhora que costumava comprar uma certa quantidade de pães todos os dias pode após a redução do preço comprar um pão a mais gastando a mesma quantia Como fazer para descobrir quantos pães ela costumava comprar Vamos resolver essa situação juntos Escreva a expressão que corresponde ao valor pago por n pães no preço antigo O valor pago por n1 pães no preço novo é P n1 015 n1 Como o preço é o mesmo as duas expressões são iguais Assim podemos escrever 018 n 015 n1 Para resolver essa equação é preciso tirar os parênteses do segundo membro 018 n 015n 015 Resolva a equação e assinale o valor de n a 3 b 5 c 7 d 9 6 A resposta obtida no problema anterior corresponde ao número de pães que a senhora comprava antes ou depois da redução do preço Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 179 Matemática ao sair de casa Onde fica a Rua dos Bandeirantes É muito comum nas grandes cidades precisarmos de auxílio para descobrir a localização de uma rua Felizmente os catálogos telefônicos dessas cidades dispõem de mapas que nos ajudam a resolver esse problema Os catálogos têm um índice em que os nomes das ruas aparecem em ordem alfabética como este da Figura 1 da cidade de Campinas no Estado de São Paulo No início do catálogo foi colocado o exemplo abaixo para mostrar o que significam esses códigos Procure no índice a Praça da Bandeira Verifique em que mapa ela se encontra Procure também a Rua dos Bandeirantes Figura 1 Quase todos os problemas apresentados até agora poderiam ser resolvidos sem formalização Na verdade eles serviram apenas como ponto de partida para apresentarmos de forma simples o conceito de modelo matemático Ao longo do capítulo você verá como essa idéia é importante Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 180 A Figura 2 reproduz o mapa 14 do catálogo de Campinas A indicação C3 para achar a Rua dos Bandeirantes pode ser usada da seguinte maneira Aponte o dedo indicador para a letra C na borda direita do mapa Percorra com o dedo na horizontal até a altura do número 3 na linha de números na parte inferior do mapa A rua dos Bandeirantes deve estar por perto Confira Volte ao índice e procure os dados da Rua Barata Ribeiro Procurea no mapa Você concorda que é um processo eficiente para se localizar ruas em mapas Vamos concentrar nossa atenção agora na região C3 do mapa 14 Além da Rua dos Bandeirantes indique mais três ruas que se encontram nessa região Figura 2 Lista Telefônica Listel Campinas 20012002 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 181 O sistema de identificar regiões que estamos usando é útil quando queremos encontrar uma rua ou uma praça num mapa pois conduz nosso olhar para uma pequena região do mapa e nessa região encontramos o local procurado Às vezes porém precisamos de um critério mais preciso em que cada ponto tenha um endereço próprio Usando a mesma idéia de localização vamos construir uma nova maneira de identificar pontos Observe o mapa abaixo As linhas de números e de letras usadas pelo catálogo telefônico foram trocadas por duas linhas numeradas que chamamos de eixos x e y Para identificar um ponto utilizaremos o mesmo processo de cruzar duas direções agora com linhas Encontre o ponto A no mapa De onde partem as linhas tracejadas que se cruzam em A Os valores de x e y de onde partem essas linhas definem o ponto A Por convenção escrevemos sempre primeiro o valor de x Assim o ponto A será representado pelo par de números 3 4 Esse par de números é conhecido como coordenadas cartesianas do ponto A Figura 3 Adaptado de Lista Telefônica Listel Campinas 20012002 Rua S Domingos Sávio Liceu Salesiano N Sra Auxiliadora Praça Pres Kennedy Praça Antonio B Miranda Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 182 O método de representar pontos por coordenadas cartesianas consiste em dividir o plano em dois eixos chamados eixos coordenados e identificar os pontos do plano por dois números que indicam respectivamente as distâncias desses pontos aos eixos coordenados veja a figura 4 Figura 4 APRENDENDO COM A HISTÓRIA A idéia de identificar os pontos do plano através de suas distâncias em relação a retas de referência aparece pela primeira vez na obra de Apolônio de Perga por volta de 300 a 200 aC com o estudo das secções cônicas Seu uso porém só se intensifica e se sistematiza cerca de 1800 anos depois com as idéias do filósofo e matemático francês René Descartes 1596 1650 A filosofia de Descartes exposta em sua obraprima O Discurso do Método 1637 define uma clara e precisa lógica da idéia baseada na dedução que parte do simples para o complexo e teve influência fundamental na formação do pensamento científico moderno Embora Descartes não tenha proposto explicitamente o sistema de coordenadas retangulares este é considerado fruto da sistematização de suas idéias pelos matemáticos que o sucederam Por isso o nome gráfico cartesiano dado aos gráficos construídos dessa forma homenageia esse grande filósofo e matemático 2 Desenvolvendo competências 1 Agora é com você Observe que pelo processo do catálogo os pontos A e B eram ambos designados por C3 Descubra as coordenadas de B segundo o sistema de eixos da figura 3 2 Nesse novo método de representação é possível que dois pontos diferentes tenham as mesmas coordenadas 3 Passeie um pouco mais pelo mapa Você vai precisar de uma régua Verifique se o ponto 6 8 está numa área de edifícios ou numa área verde cor cinza no mapa 4 Qual desses pontos está na Rua dos Bandeirantes a 2 3 b 3 2 c 1 3 d 3 1 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 183 A Vamos partir de Brasília em linha reta para Teresina Siga pelo mapa O caminho passa pelos pontos A B e C As coordenadas desses pontos estão na Tabela 2 Complete a Tabela Figura 5 Tabela 2 Cidade Coordenada x Coordenada y Brasília 0 0 Ponto A 1 Ponto B 4 Ponto C 3 Teresina 4 8 Resolvendo problemas Afinal existe alguma relação entre o problema da padaria e o problema do mapa Vamos viajar um pouco pelo Brasil enquanto pensamos nisso Observe o mapa abaixo Viajando com as coordenadas A Completando a tabela A12 B 24 C 36 A B C Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 184 3 Desenvolvendo competências 1 Procure uma relação entre os valores de x e y de cada ponto assinalado na linha BrasíliaTeresina Qual das alternativas abaixo responde a essa pergunta a Em todos os pontos assinalados o valor de x é o dobro do valor de y b Em todos os pontos assinalados o valor de y é a metade do valor de x c Em todos os pontos assinalados o valor de y é o dobro do valor de x d Em todos os pontos assinalados o valor de y é igual ao valor de x Da mesma forma que no problema da padaria podemos obter uma lei matemática que relaciona os valores de y e x dos pontos dessa reta 2 Viaje você agora Será necessário usar uma régua e um esquadro Siga a direção da reta y 05 x Você deverá chegar ao mar em um ponto a entre Salvador e Aracaju b entre Aracaju e Maceió c entre Maceió e Recife d entre Recife e João Pessoa Para obter um ponto de uma reta escolha um valor qualquer para x e calcule o valor de y desse ponto através da lei matemática Exemplo Se x 4 y 05 4 2 Logo o ponto 2 4 está nessa reta Os sistemas de coordenadas cartesianas só podem ser usados para mapas com distâncias relativamente pequenas pois eles consideram uma superfície plana A superfície da Terra como sabemos é esférica Por isso em grandes distâncias usamse as coordenadas geográficas latitude e longitude em que as coordenadas não são distâncias em relação a eixos mas ângulos medidos a partir do centro da Terra A expressão é y 2x Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 185 Tabela gráfico ou lei matemática N P R 1 018 2 036 3 054 4 072 5 090 Figura 6 Tabela 3 NA PADARIA P 018N Se você observou bem deve ter notado que as tabelas os gráficos e as leis matemáticas são maneiras equivalentes de representarmos matematicamente um mesmo fato ou situação Em alguns casos pode ser mais conveniente usarmos uma tabela em outros um gráfico ou mesmo a lei matemática porém é sempre possível do ponto de vista matemático substituir um pelo outro Às vezes eles são tão equivalentes que a escolha entre usar o gráfico a tabela ou a lei matemática é definida apenas por nossa preferência pessoal Vamos procurar mais semelhanças Observe as Figuras 6 e 7 Note que tanto no caso da padaria quanto no mapa os gráficos são formados por pontos alinhados segundo uma reta que passa por 0 0 No caso dos pães o gráfico é representado apenas por pontos correspondentes a números inteiros porque referese à compra de pães inteiros e desse modo não unimos os pontos como fizemos no caso do mapa Quando se trata de medidas não usamos apenas números inteiros podemos usar qualquer número real e desse modo podemos unir os pontos do gráfico que nesse caso formam uma reta Figura 7 y2x x y 1 2 2 4 3 6 4 8 Tabela 4 NO MAPA Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 186 Em busca das leis matemáticas Dá para desprezar dois centavos O preço da energia consumida por uma lâmpada comum de 100 Watts de potência é aproximadamente R 002 dois centavos por hora Vamos usar essa informação para refletir sobre o significado de pequenos gestos que podemos fazer no diaadia Essa informação pode ser traduzida para a linguagem simbólica como fizemos no caso da padaria Faça isso chamando de P o preço da energia e de t o tempo em horas que a lâmpada permanecer acesa De posse do modelo matemático Pt 002t Foi esse mesmo que você encontrou você pode calcular o custo da energia consumida por uma lâmpada acesa por 5 horas Se a lâmpada ficar acesa 5 horas por dia qual seu custo mensal Admita que um mês tem 30 dias Resolvendo problemas 1 Repita agora o mesmo problema imaginando que a lâmpada ficará acesa apenas 4 horas por dia Qual será o novo custo E a economia será de quanto É razoável imaginarmos que uma casa tenha dez lâmpadas desse tipo e que existam 40 milhões de casas no Brasil Faça as contas Esse pequeno gesto de economia representa quanto em reais Este resultado é uma constatação de que a participação de cada um por menor que seja pode fazer diferença E as leis matemáticas Que semelhanças apresentam Observe o padrão Na padaria para relacionar o número de pães ao preço multiplicamos o número de pães por um valor fixo No mapa para obtermos a coordenada y de um ponto multiplicamos a coordenada x por um valor fixo Podemos dizer então que nos dois casos duas grandezas se relacionam por expressões do tipo y k x sendo k um valor fixo e x e y variáveis Resumindo Fatos ou situações muito diferentes podem ser representados por ferramentas matemáticas muito parecidas Vamos tirar proveito dessa possibilidade Resolvendo problemas Pense e responda 1 Se quisermos pesquisar valores numéricos para utilizar em outros cálculos o que é melhor o gráfico ou a tabela 2 Se quisermos observar se um determinado fenômeno aumentou ou diminuiu de valor ao longo do tempo o que permite que se veja melhor esse comportamento o gráfico ou a tabela 3 O caixa da padaria provavelmente vai preferir o gráfico ou a tabela E o redator de um jornal se quiser noticiar as variações da Bolsa de Valores Desenvolvendo a capacidade de buscar essa lei matemática que está escondida nos gráficos fatos ou tabelas você será capaz de enxergar além do que as tabelas ou gráficos mostram e terá maior capacidade de fazer afirmações argumentar e tirar conclusões que vão além da simples leitura dos dados Este é o grande objetivo desse capítulo Tabela gráfico ou lei matemática 1 Para retirar um dado numérico é melhor usar uma tabela 2 Para observar o fenômeno é melhor o gráfico 3 Resposta pessoal Em busca das leis matemáticas 1 A economia de uma hora representa R 24000000000 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 187 Resolvendo passo a passo Para descobrir a lei matemática que descreve esse fato procure responder às seguintes perguntas Quanto custaria usar um carro por 1 quilômetro E por 2 quilômetros E por 3 quilômetros Que cálculos você fez para obter essas respostas Pense em cada um dos procedimentos que você fez e tente criar uma regra para calcular o valor do aluguel para n quilômetros Essa resposta deverá leválo à lei matemática Pn 30 12 n sendo P o preço da locação em reais e n o número de quilômetros rodados Dispondo dessa lei você poderá responder às questões seguintes Mãos à obra a Um cliente que tenha rodado 135 km numa locação deverá pagar quanto de aluguel b Quantos quilômetros um cliente pode rodar no máximo se ele dispõe de R 12000 para pagar o aluguel Dê sua opinião O que seria melhor Afixar na locadora uma tabela com o valor a ser pago de acordo com os quilômetros rodados ou um gráfico que contivesse as mesmas informações da tabela 4 Desenvolvendo competências Leia este problema Uma locadora de automóveis adota o seguinte critério para calcular o valor a ser cobrado pelo aluguel de seus carros Uma taxa fixa de R 3000 independente de quantos quilômetros foram rodados Uma taxa variável de R 120 por quilômetro rodado Quanto tempo esperar Uma caixa dágua com volume de 12000 litros cheia deverá ser esvaziada por uma tubulação que permite uma vazão constante de 50 litros por minuto Desejamos saber o volume que ainda resta na caixa após alguns minutos do início da operação Alguns raciocínios simples permitirão que você responda às seguintes questões Tente a Quantos litros de água restam na caixa um minuto após o início da operação E dois minutos E três minutos Resolva também estes casos b Qual a quantidade de água escoada em 10 minutos Quantos litros restam na caixa após 10 minutos c Qual a quantidade de água escoada em 15 minutos Quantos litros restam na caixa após 15 minutos d Pense nos cálculos que foram feitos para responder a essas duas questões A partir deles é possível obter uma regra geral para o número de litros que restam na caixa após n minutos Essa é a lei matemática que descreve esse problema Escrevaa Este valor inicial de R 3000 é novidade O que vai mudar na lei matemática Locadora de Automóveis a R 19200 b 75 km Caixa dágua a 11950l 11900l 11850l b 500l 11500l c 750l 11250l d Vt1200050t Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 188 Com a lei matemática você poderá responder a outras questões que não seriam tão facilmente respondidas com os procedimentos usados no início do problema Use a lei obtida para respondêlas e Cinco horas após o início do esvaziamento a caixa já estará vazia Esse resultado lhe causou alguma surpresa Como interpretálo f Quanto tempo passará até que o volume de água na caixa seja 5000 litros g Por fim você já percebeu qual a expressão que deverá ser resolvida para sabermos qual o tempo mínimo necessário para o escoamento de toda a água Usea para assinalar a alternativa correta a 2 horas b 4 horas c 6 horas d 8 horas O modelo é por sua conta Nos próximos problemas o modelo matemático será por sua conta Vamos começar por um tema que pode lhe interessar Analisando propostas de emprego Um candidato a um emprego de vendedor de assinaturas de um certo jornal ao ser admitido recebeu duas propostas de cálculo para seu salário mensal Proposta 1 Um salário fixo de R 18000 mais uma comissão de R 200 por assinatura vendida Proposta 2 Um salário fixo de R 40000 mais uma comissão de R 090 por assinatura vendida Observe bem as duas propostas Alguém que venda poucas assinaturas por mês deve optar por qual proposta Mas será que existe um número de assinaturas vendidas que define qual proposta é melhor Quem souber calcular esse número certamente fará uma escolha mais segura Vamos procurar conhecer cada uma das propostas por suas leis matemáticas Se você chamar o salário de S e o número de assinaturas vendidas de n poderá obter as leis matemáticas que descrevem essas propostas Observe que o salário depende do número de assinaturas e por isso a lei deve ser expressa por Sn Resolvendo problemas a Compare as leis que você encontrou com as alternativas abaixo Só uma alternativa é correta e as leis descrevem as propostas 1 e 2 nessa ordem a Sn 180 09n e Sn 400 2n b Sn 180 2n e Sn 400 090n c Sn 400 9n e Sn 180 2n d Sn 180 2n e Sn 400 2n b Coloquese no lugar do candidato Se você achar que consegue vender 120 assinaturas por mês qual proposta deverá aceitar Nesse caso quanto ganhará a mais por ter tomado a decisão correta c Afinal a partir de quantas assinaturas vendidas é melhor a proposta 1 Você precisará descobrir o valor de n que resolve a equação Descobrir n nesta expressão é o mesmo que responder à pergunta Qual o valor de n para o qual o salário na proposta 1 é igual ao salário na proposta 2 Pense nisso 180 2n 400 090n e Após 5 horas o volume será negativo Significa que já está vazia f V 5000 para t 140 minutos g Tempo de esvaziamento 4 horas Resposta b Proposta de emprego a Sn 180 2n e Sn 400 090 n b A proposta 02 R 8800 a mais c n 200 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 189 Faça as contas Conhecendo o valor de n obtido no item c decida d Se você pretende vender 250 assinaturas por mês deve escolher a proposta 1 ou 2 Quanto ganhará por mês Este problema também poderia ser resolvido graficamente Observe o gráfico abaixo que corresponde à sua solução e responda e Qual o significado do cruzamento das duas retas no gráfico f Esse número coincide com o valor que você obteve analiticamente g Qual o salário de quem vender 200 assinaturas por mês Figura 8 Otimizar Questão de sobrevivência A próxima atividade será desenvolvida a partir desta leitura A necessidade de reduzir custos e otimizar cada detalhe da cadeia produtiva fez com que surgisse na indústria automobilística japonesa o conceito de Produção Enxuta que conferiu grande competitividade à produção industrial do Japão e levou a indústria ocidental a rever seus princípios para fazer frente aos poderosos concorrentes O conceito ocidental de Produção em Massa define um limite de aceitação em termos de número de defeitos tamanhos definidos de estoques de matérias primas quantidade limitada de produtos padronizados A Produção Enxuta defende a perfeição custos continuamente decrescentes elevação da qualidade de modo a que os estoques e o número de defeitos tendam a zero tudo isso associado à maior variedade possível de produtos No mundo globalizado e competitivo em que vivemos otimizar é uma questão de sobrevivência h Procure explicar por que a reta que representa a proposta 1 é mais inclinada que a que representa a proposta 2 d Proposta 1 R 68000 e O número de assinatura em que as duas propostas correspondem ao mesmo salário f Observe no gráfico que n200 como na solução do item c g R 58000 h A inclinação está associada ao valor da comissão por assinatura vendida Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 190 Figura 9 a 350 ton em Janeiro b Diminui 25 tonmês c lei Rt 350 25t d Em julho t6 e Em Dezembro t11 Rt75 ton O custo do desperdício vai além do custo da matériaprima não utilizada pois os resíduos gerados trazem custos adicionais de remoção ou armazenamento além da degradação do meio ambiente Resolvendo problemas Vamos pensar nesse problema de maneira quantitativa Observe o gráfico Ele descreve o programa de redução de desperdício de uma empresa ao longo deste ano Você pode tirar duas informações importantes da leitura do gráfico a Quantas toneladas de resíduos a empresa produziu em janeiro b A quantidade dos resíduos diminui de quantas toneladas por mês De posse da lei você disporá de elementos convincentes para argumentar sobre questões do tipo d Em que mês a quantidade de resíduos será 200 toneladas lembrese que em janeiro t0 em fevereiro t1 e assim sucessivamente e Se a meta da empresa for chegar a dezembro com menos de 100 toneladas de resíduos essa meta deverá ser atingida Faça suas contas e defenda suas idéias com segurança Ampliando os horizontes A partir de agora serão propostas algumas situações em que você deverá utilizar as idéias aqui desenvolvidas para ir mais longe Utilizeas para prever argumentar analisar e criticar com base em argumentos consistentes Transporteas também para os seus problemas do diaadia e utilizeas para a sua interpretação do mundo Afinal a Matemática é uma conquista da humanidade que está colocada ao seu dispor Procure essas respostas c Com esses dados você pode obter com facilidade a lei matemática que modela esse fato Escreva essa lei Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 191 5 Desenvolvendo competências Argumentando com segurança Leia estas duas notícias que apareceram na mesma edição do jornal da cidade de Sapiência mas que poderiam muito bem estar no jornal da sua cidade Figura 10 EVOLUÇÃO DA POPULAÇÃO DE SAPIÊNCIA Foi divulgado o resultado de uma pesquisa iniciada em 1996 mostrando a evolução da população da cidade Sapiência nos últimos anos Os indicadores econômicos da cidade fazem crer que esse crescimento se manterá nas mesmas condições nos próximos anos NOVA ESTAÇÃO DE TRATAMENTO DE ESGOTOS DE SAPIÊNCIA Nossa cidade conta com uma nova estação de tratamento de esgotos que tem capacidade para atender a uma população de 20 mil habitantes e deverá resolver o problema de tratamento de esgotos da cidade até o ano de 2015 Vamos fazer uma leitura atenta dessas notícias a Olhando o gráfico verifique qual era a população da cidade quando o estudo começou O gráfico também nos traz a informação de que três anos depois a população passou a 13925 habitantes Qual foi o aumento da população nesses 3 anos b Calcule também o aumento da população em um ano admitindo que seja igual nos três anos c Com esses dados você pode obter o modelo matemático desse crescimento Faça isso d No jornal foi dito que o estudo foi iniciado em 1996 assim x0 corresponde a 1996 Qual o valor de x para 2015 e Qual deverá ser a população de Sapiência em 2015 f Após analisar os dados obtidos com seus cálculos escreva uma pequena carta para o redator do Jornal de Sapiência com um comentário sobre a credibilidade da notícia sobre a estação de tratamento de esgotos Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 192 Há sempre algo a ser feito No ambiente de consumismo desmedido em que vivemos muitas vezes nos servimos dos confortos que a tecnologia nos oferece sem que notemos conseqüências importantes de pequenas atitudes que podemos assumir Movidos pela propaganda e pelo comodismo não nos damos conta por exemplo de que entre a decisão de descascar e chupar uma laranja ou abrir uma embalagem de suco industrializado existe uma diferença fundamental enquanto o bagaço da laranja em pouco tempo estará reincorporado à natureza a embalagem do suco poderá permanecer por séculos poluindo algum ponto da Terra Este problema pode ser muito diminuído com a reciclagem mas nem ela é suficiente para nos livrar da companhia de imensos aterros sanitários que ocupam espaços cada vez mais preciosos custam caro e são fontes de poluição Da necessidade da conscientização para o consumo responsável surgiu um novo termo PRECICLAR que consiste em fazer a reciclagem antes da compra escolhendo materiais e produtos que causem o menor impacto ambiental possível É comum recebermos uma grande quantidade de informações qualitativas a respeito desse tema mas normalmente os dados quantitativos ficam restritos às discussões mais especializadas Vamos pensar um pouco nas 85 bilhões de latas de alumínio que o Brasil fabricou em 1998 das quais 55 bilhões por reciclagem As latas recicladas representaram 65 das latas produzidas naquele ano e corresponderam a 82300 toneladas de sucata Para se ter uma idéia desse volume basta lembrar que se fossem para um aterro sanitário seriam necessárias 16000 viagens de caminhões de lixo O grande ganho na verdade com a reciclagem do alumínio está na economia de energia pois para se obter 1 kg de alumínio por reciclagem gastase apenas 5 da energia necessária para produzir esse mesmo 1kg de alumínio a partir do minério O gráfico e a lei matemática abaixo relacionam em valores aproximados a quantidade de energia necessária para produzir as 85 bilhões de latinhas e o percentual de reciclagem Para entender melhor o gráfico verifique qual o consumo de energia se a porcentagem de alumínio reciclado for 0 nada reciclado ou 100 tudo reciclado Com a lei matemática fornecida descubra quantos MWh foram gastos para produzir as latinhas sabendo que 65 delas são recicladas Figura 11 Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 193 Resolvendo problemas aA lei matemática nos permite ir mais longe Faça o mesmo cálculo imaginando que a porcentagem reciclada seja de 66 em vez de 65 bSubtraia um valor do outro Você descobrirá quantos MWh de energia são consumidos a menos se o percentual de reciclagem aumentar de 1 cPara saber o que esse número representa considere que uma família pode viver com conforto consumindo 03 MWh por mês Verifique quanto tempo essa família levaria para consumir a quantidade de energia economizada por esse aumento de 1 na reciclagem Esse número lhe causou surpresa Não se esqueça que ele corresponde a apenas uma diferença de Há sempre algo a ser feito a Para 65 841500 MWh Para 66 820600MWh b Diferença 20900 MWh c Suficiente para aproximadamente 5805 anos 1 no total de alumínio reciclado Se pensarmos nos 35 do alumínio que são desperdiçados chegaremos à conclusão de que muito pode ser feito Se você acha esses números convincentes lembre se de que um estudo semelhante também pode ser aplicado ao papel ao plástico ao aço ao vidro e a muitos outros materiais que se incorporaram ao nosso cotidiano Muitas vezes não nos damos conta das conseqüências de seu uso indiscriminado Pense nisso Enumere providências que possa tomar no seu diaadia e em sua comunidade que o tornem um consumidor consciente e responsável Se a Matemática o ajudou nessa compreensão nosso objetivo foi atingido Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 194 1 O dinheiro não é suficiente Ele poderia comprar 17 pães Faltariam R 040 2 Pn 015n Resposta b 3 17 pães custariam R255 Com R195 poderiam ser comprados 13 pães 4 20 pães custam R300 portanto ele poderia comprálos 5 n5 Resposta b 6 Corresponde ao número de pães que ela comprava antes do aumento Logo ela comprava 5 pães e passou a comprar 6 pães Conferindo seu conhecimento 1 2 3 4 5 1 B 42 2 Não Dois pontos diferentes não têm coordenadas iguais 3 Área verde cor cinza no mapa 4 O ponto 3 2 Resposta b 1 Resposta c y é o dobro de x 2 Resposta d Entre Recife e João Pessoa Locadora a R19200 b 75km a População no início do estudo 12050 habitantes Aumento em 3 anos 1875 habitantes b Aumento anual 625 hab c Lei matemática Px 12050 625x d Em 2015 x 19 e População em 2015 23925 hab f Notícia falsa sobre a estação de tratamento de esgotos Capítulo VII A Matemática por trás dos fatos 195 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar e interpretar representações analíticas de processos naturais ou da produção tecnológica e de figuras geométricas como pontos retas e circunferências Interpretar ou aplicar modelos analíticos envolvendo equações algébricas inequações ou sistemas lineares objetivando a compreensão de fenômenos naturais ou processos de produção tecnológica Modelar e resolver problemas utilizando equações e inequações com uma ou mais variáveis Utilizar modelagem analítica como recurso importante na elaboração de argumentação consistente Avaliar com auxílio de ferramentas analíticas a adequação de propostas de intervenção na realidade Jayme Leme GRÁFICOS E TABELAS DO DIAADIA Capítulo VIII INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE NATUREZA CIENTÍFICA E SOCIAL OBTIDAS DA LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS REALIZANDO PREVISÃO DE TENDÊNCIA EXTRAPOLAÇÃO INTERPOLAÇÃO E INTERPRETAÇÃO Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 198 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia Conhecendo os gráficos e tabelas Talvez você já tenha visto em algum filme ou desenho animado que as paredes das pirâmides do Egito eram recobertas por desenhos e gravuras Esses símbolos eram a escrita que os egípcios utilizavam Em tempos mais remotos os seres humanos primitivos faziam gravuras nas paredes das cavernas chamadas de pinturas rupestres Repare que desde a préhistória o homem utiliza artifícios para a comunicação Esta pode ser expressa por símbolos desenhos gravuras ou palavras Hoje existem dezenas de meios e formas de comunicação sendo a fala e a escrita as mais utilizadas Os gráficos e tabelas são um desses meios se destacando das demais formas de comunicação pela possibilidade de transmitir um grande volume de informações de modo sintético e de fácil interpretação Normalmente os gráficos e tabelas apresentam o cruzamento entre dois dados relacionados entre si Podemos dar como exemplos o peso de uma criança que depende da idade o faturamento de uma firma que depende do mês o índice de analfabetismo que depende da região o índice de chuva que depende da época do ano etc Podemos utilizar as tabelas para os mais diversos fins Empresas de grande porte utilizamnas para apresentar seus balanços mensais já um balconista pode usar uma tabela para agilizar seu diaadia Apresentação Caro leitor você já reparou que gráficos e tabelas fazem parte do nosso cotidiano Eles podem ser encontrados num supermercado numa sorveteria na televisão em revistas ou em jornais com o objetivo de passar alguma informação Ler interpretar ou usar gráficos e tabelas não é privilégio de pessoas que freqüentaram escolas pois vemos em nossas comunidades pessoas que não tiveram uma formação escolar mas conseguem facilmente descobrir o preço de uma carne numa tabela de um açougue ou de um sanduíche no cardápio da lanchonete Se observarmos com atenção podemos perceber que existe uma certa linguagem característica dos gráficos e tabelas Conhecer essa linguagem é de fundamental importância para que possa haver uma boa comunicação entre os diversos segmentos de uma sociedade Convido os leitores a vivenciarem algumas situações apresentadas neste capítulo para podermos juntos discutir a leitura dos gráficos e tabelas Além disso discutiremos também como essas informações podem nos ajudar a enfrentar os problemas que encontramos no nosso diaadia Sugiro fazer a leitura do capítulo acompanhado de lápis e papel pois eventualmente irei propor que se façam algumas anotações ou que se resolva algum problema Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 199 199 A utilidade das tabelas é tão variada que saber construir ler e interpretálas é de grande importância para nos auxiliar a enfrentar os problemas diários Vamos ver como se fazem essas construções 1 Desenvolvendo competências Construindo tabelas Uma tabela como esta ao lado é muito comum Ela permite que se obtenha rapidamente quanto uma pessoa deve pagar de acordo com a quantidade de cópias que tira em um estabelecimento que possua copiadora Observe que alguns valores estão apagados Calculeos Uma grande vantagem do uso de tabelas é a possibilidade de trabalhar com várias informações simultâneas por exemplo poderíamos aproveitar a mesma tabela para acrescentar novas informações como o preço da plastificação de documentos 2 Desenvolvendo competências Calcule os valores dos espaços em branco da tabela ao lado Observe que tabelas semelhantes a essas podem ser encontradas em vários locais como mercados padarias mercearias etc Depois que uma tabela estiver construída qualquer pessoa que souber compreendêla terá condições de retirar as informações desejadas Vamos ver como se faz isso Tabela 1 Nº de cópias 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor R 008 016 024 040 056 080 Tabela 2 Quantidade 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cópias 008 016 024 032 040 048 056 064 072 080 Plastificação 120 240 360 600 720 1200 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 200 O Brasil é o único país do mundo a ter o título de Pentacampeão ou seja já ganhou cinco vezes a Copa do Mundo Escreva num papel os outros quatro anos em que o Brasil foi campeão Você pode ter conseguido achar os anos em que o Brasil foi campeão por diversas maneiras talvez você já soubesse essas datas ou teve que procurálas na tabela ano a ano localizando os anos de 58 62 70 e 94 Um outro modo que talvez você tenha utilizado para agilizar a busca foi o de localizar na fileira Colocação do Brasil as que indicavam 1º lugar encontrando os anos citados Ano Colocação do Brasil 54 5º 58 1º 62 1º 66 11º 70 1º 74 4º 78 3º 82 5º 86 5º 90 9º 94 1º 98 2º 2002 1º Tabela 3 Leitura de tabelas Como dissemos anteriormente as tabelas também chamadas de quadros apresentam os dados e cabe a nós fazermos sua leitura para entendermos o que estão informando Vamos começar por um assunto de que todo brasileiro gosta e até quem não gosta nessa hora passa a gostar Estamos falando sobre Copa do Mundo Você sabe que em 2002 o Brasil inteiro parou para gritar PENTACAMPEÃO Verifique pela tabela a seguir a colocação do Brasil em 2002 Iremos chamar os procedimentos utilizados para encontrar dados numa tabela de leitura de tabela Vamos localizar outro dado nessa tabela Procure o ano em que o Brasil teve sua pior colocação Acredito que você deva ter encontrado o ano de 1966 Vamos acrescentar agora mais dados nessa tabela para podermos fazer outras leituras Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 201 201 Durante o capítulo proporemos algumas perguntas para que você possa verificar se está compreendendo o texto ou não Após as perguntas será apresentada uma forma de resolução para você comparála com o que fez Lembrese de que os dados são coletados a partir do cruzamento de duas informações Então vamos à pergunta Em que país ocorreu a copa de 1990 As duas informações que temos de tomar como ponto de partida são o ano de 90 e o local de realização da Copa Faça o cruzamento dessas duas informações e descubra a resposta Você deve ter localizado a Itália Vamos localizar outros dados a partir de outras informações Veja Quantas seleções participaram das eliminatórias na Copa realizada no Chile A resposta é 51 Quais informações se cruzam para fornecer essa resposta Neste caso teríamos de cruzar as informações relacionadas ao Chile e participantes das eliminatórias Às vezes necessitamos comparar os dados para determinar qual é a informação solicitada Veja Em que ano houve mais seleções nas eliminatórias Ao localizar o maior número de participantes encontramos o ano de 94 Em algumas partes deste capítulo serão apresentadas questões com o título PESQUISE para você fazer sozinho aplicando o que leu As respostas a essas questões estarão à sua disposição nas últimas páginas Sugiro que você faça as atividades no momento em que forem propostas pois assim você testa seu conhecimento Ano 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94 98 2002 5º 1º 1º 11º 1º 4º 3º 5º 5º 9º 1º 2º 1º Tabela 4 Colocação do Brasil Local onde se realizou a Copa Participantes das eliminatórias País Campeão Suíça Suécia Chile Inglaterra México Alemanha Argentina Espanha México Itália Estados Unidos França JapãoCoréia 36 48 51 53 70 92 98 105 113 105 126 99 106 Alemanha Brasil Brasil Inglaterra Brasil Alemanha Argentina Itália Argentina Alemanha Brasil França Brasil Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 202 Usando as tabelas Agora que nós já vimos como construir e ler as tabelas vamos utilizar esse conhecimento para nos ajudar a resolver os seguintes problemas Utilize a Tabela 2 para resolvêlos Suponha que você deseje obter uma cópia plastificada da sua carteira de identidade e da sua habilitação de motorista Sabendo que uma papelaria cobra 2 cópias para tirar frente e verso de um único documento quanto você irá gastar Veja que para resolvermos esse problema necessitamos interpretálo e também ler as informações contidas na tabela Como o problema pede para tirar cópia de dois documentos e informa que para cada um temos que pagar duas cópias pagaremos então quatro cópias Além disso necessitamos plastificar esses dois novos documentos Veja na tabela quanto você pagaria por quatro cópias e duas plastificações Você deve ter encontrado R 032 e R 240 logo teria gasto um total de R 272 Suponha que você tenha perdido seu cachorro de estimação e gostaria de colocar cartazes com a foto dele e um telefone de contato Você se dispôs a gastar R 1000 para tirar cópia desses cartazes Quantas cópias você poderá tirar Existem várias maneiras de resolver o problema Uma das maneiras que talvez você tenha pensado é 3 Desenvolvendo competências PESQUISE 1 Quantas seleções participaram das eliminatórias em 1998 Qual foi a campeã 2 Onde foi realizada a Copa de 86 Em qual colocação o Brasil ficou 3 Qual foi o país campeão da Copa da Espanha Em que ano isso aconteceu 4 Em que ano foi realizada a Copa que teve menor número de participantes nas eliminatórias A tabela apresenta valores somente até 10 cópias que sairiam R 080 100 cópias custariam R 800 Restam então R 200 Se 10 cópias custam R 080 20 cópias custariam R 160 Restam então R 040 Com este valor pela tabela podemos ainda tirar mais 5 cópias Logo poderíamos tirar 100 20 5 o que dá um total de 125 cópias Leitura de gráficos Assim como as tabelas os gráficos também apresentam grandes quantidades de informações e necessitamos fazer uma leitura para obtêlas Vejamos a seguinte situação No ano de 2001 o Brasil passou por uma crise energética levando muitos estados a fazer racionamento de energia Nesses estados algumas empresas e edifícios fizeram gráficos para informar o consumo de energia e também solicitar às pessoas que os freqüentavam que fizessem economia Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 203 203 Resolvendo o problema Vamos considerar o exemplo do consumo de energia de um prédio nos últimos doze meses apresentado no Gráfico 1 Observe que este gráfico apresenta numa linha horizontal os meses do ano e numa linha vertical o consumo mensal Esse consumo é expresso em kWh Lêse quilovate hora que corresponde ao consumo de 1000 Watts em uma hora Veja que o gráfico apresenta alguns pontos que estão destacados Você notou que cada um dos pontos assinalados no gráfico corresponde ao cruzamento de duas informações Ao observar isso você pode olhar para o primeiro ponto da esquerda para direita e responder às seguintes questões Qual o mês que corresponde a esse ponto Qual o consumo de energia desse mês Cada ponto corresponde ao cruzamento das informações mês do ano e consumo de energia Gráfico 1 Assim o primeiro ponto corresponde ao cruzamento do mês de abril com o consumo de 11500 kWh Isso quer dizer que durante o mês de abril esse prédio consumiu 11500 kWh Agora é sua vez localize o mês e consumo do segundo ponto do gráfico Veja outras questões que você já pode responder Qual foi o consumo do mês de junho Repare que para fazermos esta leitura temos que localizar o mês solicitado e encontrar o ponto de cruzamento para chegar ao consumo Faça isso e verifique se nesse mês o consumo foi de 12500 kWh Queremos ressaltar que o gráfico apresenta somente doze pontos que relacionam os meses com seus respectivos consumos No entanto os pontos estão ligados entre si apenas para uma melhor visualização da variação do consumo de um mês para outro 4 Desenvolvendo competências PESQUISE 1 Qual foi o maior consumo durante o ano Em que mês isso ocorreu 2 Qual o consumo de maio Encontre outro mês que teve esse mesmo consumo 3 Comparando os meses de junho e dezembro qual deles teve o maior consumo 4 Em quais meses foram consumidos 12000 kWh 5 Qual foi o menor consumo do ano Quando isso ocorreu CONSUMO MENSAL DE ENERGIA Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 204 Fazendo aproximações Nem sempre os valores que desejamos obter estão marcados no gráfico Às vezes temos que fazer estimativas e aproximações para obter a informação desejada A situação a seguir apresenta leituras em que temos que fazer esse tipo de aproximação Vejamos Um trem ao percorrer o trajeto de uma estação a outra anda ora mais rápido ora mais devagar seja pela presença de curvas ou pela má conservação dos trilhos Se estivéssemos dentro dele poderíamos perceber essas mudanças de velocidade pois ficaríamos balançando para frente e para trás Quando o trem dá aquelas aceleradas e todo mundo inclinase para trás é porque a velocidade está aumentando nas freadas quando todo mundo cai para frente é porque a velocidade está diminuindo O Gráfico 2 apresenta as velocidades do trem durante o percurso entre duas estações O tempo que ele levou para percorrer esse trajeto foi de 19 minutos Veja como o gráfico que representa sua velocidade começa no número 0 e termina no 19 O gráfico foi construído em um sistema cartesiano onde foi registrada a velocidade do trem em cada momento durante os 19 minutos de percurso Essa marcação formou uma curva que pode ser observada no gráfico Repare que o tempo está sendo assinalado numa reta horizontal e a velocidade numa reta vertical Essas retas são chamadas de eixos cartesianos Observe agora só o eixo do tempo Veja que não estão assinalados todos os minutos de 0 a 20 Assinale você os que faltam O mesmo ocorre nos valores da velocidade que se encontram no eixo vertical Estes valores estão marcados de dez em dez Assinale no eixo um ponto que corresponda a uma velocidade de 65 kmh Você deve ter assinalado no meio do segmento de reta entre 60 e 70 Do mesmo modo poderíamos utilizar nossa estimativa para marcar um ponto correspondente à velocidade de 31 kmh Onde você marcaria Gráfico 2 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 205 205 Você pode pensar assim como 31 está entre 30 e 40 o ponto a ser marcado deve estar no segmento de reta entre 30 e 40 Como o número 31 está mais próximo do 30 do que do 40 o ponto a ser marcado no segmento deve também estar mais próximo do 30 Gostaríamos de lembrálo que para fazermos a leitura desse gráfico necessitamos cruzar duas informações No gráfico temos as informações do tempo que o trem leva para percorrer o trajeto e também de sua velocidade Resolvendo o problema Veja a curva que representa a velocidade do trem durante o tempo de 19 minutos Essa velocidade foi medida a partir da saída da estação até chegar à outra Vamos ver como foi a viagem Quando o trem saiu da estação começamos a marcar o tempo No momento em que iniciamos o cronômetro era o tempo zero segundo sendo que nesse instante o trem também estava numa velocidade zero pois estava parado Destaque na curva o ponto que indica a velocidade e o tempo zero Após a saída vemos que a curva começa a subir isto é a velocidade do trem começa a aumentar Nos primeiros dois minutos vá acompanhando com um lápis sobre a curva observamos que a velocidade subiu até atingir aproximadamente 66 kmh Entre 2 e 3 minutos o trem diminui um pouco a velocidade Sendo que logo após volta a aumentar a velocidade Ao atingir 5 minutos de viagem a velocidade do trem pára de aumentar e permanece por alguns minutos sem variar muito Continue com esse raciocínio e confira o que acontece com a velocidade do trem até o final da viagem Observando o gráfico responda Qual a velocidade aproximada do trem aos a dez minutos b dois minutos c dezessete minutos Observe que para encontrar a velocidade em que o trem estava aos 10 minutos basta você acompanhar as linhas já existentes da malha quadriculada Para encontrar a velocidade do trem aos 2 minutos a linha já existente na malha ajudao a chegar até a curva mas para ir da curva até o eixo da velocidade você é que terá que traçar essa linha e verificar por aproximação qual seria o valor da velocidade Para encontrar a velocidade em que o trem estava aos 17 minutos você terá que traçar as duas linhas a que vai do 17 até a curva e a que vai da curva até o eixo da velocidade Os valores aproximados das velocidades do trem que você deve ter encontrado são 80kmh 66 kmh e 5 kmh Como são valores aproximados pode existir uma diferença de até 2 kmh em cada item tanto para mais como para menos devido à imprecisão da leitura feita no gráfico 5 Desenvolvendo competências PESQUISE 1 Qual a maior velocidade que o trem atingiu durante o percurso 2 Dos 10 aos 14 minutos qual é a menor velocidade que o trem atingiu 3 Dos 5 aos 9 minutos a velocidade do trem não mudou muito Qual foi essa velocidade 4 Em sua trajetória o trem atingiu duas vezes a velocidade de 80 kmh Em quais momentos isso aconteceu 5 Dos 12 aos 16 minutos qual a velocidade máxima que o trem atingiu 6 Qual a velocidade do trem no tempo 19 minutos 7 O que você pode concluir sobre a velocidade do trem dos 15 aos 16 minutos E dos 17 aos 18 minutos Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 206 Interpretação da linguagem Caro leitor apesar de estranha leia a frase abaixo Oi satuco me tadesco o minuca de quebala luarama Você entendeu alguma coisa Que bom não era para entender mesmo pois a frase acima não significa nada Essa frase foi feita juntandose letras e sílabas conhecidas produzindo uma frase possível de ser lida mas sem possuir sentido É possível então fazer uma leitura sem que exista uma compreensão Do mesmo modo o fato de nós conseguirmos ler os gráficos e as tabelas não significa que estamos compreendendo o que está sendo lido A compreensão e interpretação aparecem durante uma leitura ou após sua conclusão É sobre esta compreensão que começaremos a discutir agora Interpretação de tabelas Vejamos a situação a seguir A taxa de natalidade indica quantas crianças nasceram durante um ano em uma determinada região em relação à população total dessa mesma região Por exemplo podemos ver pela tabela abaixo que a região Nordeste tem uma taxa de natalidade de 24 Isso quer dizer que num grupo de 100 pessoas adultas nascem 24 crianças a cada ano A tabela abaixo apresenta as taxas de natalidade das cinco regiões brasileiras Pesquisas mostram que 1 as regiões brasileiras com maior nível de desenvolvimento econômico possuem menor taxa de natalidade 2 as classes mais pobres e menos instruídas apresentam um alto índice de natalidade Com essas informações observe a tabela e indique a região brasileira que possui maior nível de desenvolvimento econômico Indique qual das regiões apresenta um maior índice de pessoas com baixa renda Veja que para responder ao que foi pedido não basta fazer a leitura da tabela mas também uma interpretação dela A leitura nos auxiliará a determinar os valores dos índices de natalidade em relação às regiões mas será uma reflexão sobre os dados lidos na tabela comparados com as informações que o enunciado apresenta que nos possibilitará determinar a resposta Considerando os dados lidos na tabela e os das pesquisas podemos concluir que a região Sudeste apresenta maior desenvolvimento econômico pois possui o menor índice de natalidade Sendo a região Norte a que apresenta a maior taxa de natalidade concluímos que é a região que possuí o maior índice de pessoas de baixa renda Taxa de Natalidade no Brasil Região Taxa de natalidade Sul 19 Nordeste 24 CentroOeste 21 Norte 29 Sudeste 18 Tabela 5 Fonte Adaptação dos dados do IBGE 2002 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 207 207 Interpretação de gráficos Assim como as tabelas também podemos interpretar gráficos Essa interpretação decorre igualmente da leitura e reflexão sobre os dados lidos Você sabia que em alguns países as estações primavera verão outono e inverno acontecem em meses diferentes dos que acontecem aqui no Brasil Esse fato pode ser observado em filmes ou desenhos animados em que na época do Natal aparecem crianças brincando de construir bonecos de neve No Brasil nessa mesma época do ano estamos nos rios e nas praias desfrutando o verão Vejamos o seguinte problema O gráfico a seguir apresenta as temperaturas médias mensais de um certo país durante o ano Sabese que os três meses mais quentes correspondem ao verão e os três meses mais frios correspondem ao inverno Veja no Gráfico 3 que o eixo horizontal apresenta os meses do ano e o eixo vertical as temperaturas em graus Celsius Considerando as informações e os dados lidos no gráfico determine quando ocorre o verão Observe que para responder à questão não é suficiente fazer apenas a leitura dos dados Necessitamos aliar essa leitura às informações apresentadas pelo enunciado Ao determinarmos pelo gráfico que os meses de junho julho e agosto são os que possuem maior temperatura concluímos que nesses meses ocorre o verão Gráfico 3 6 Desenvolvendo competências PESQUISE 1 Quais são os meses de inverno nesse país 2 Depois do inverno vem a primavera Em que meses ocorre a primavera nesse país 3 No inverno as temperaturas estão abaixo de a 0º b 3º c 6º d 9º TEMPERATURAS MAIS FREQÜENTES Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 208 Criando respostas Normalmente os problemas não são resolvidos apresentandose apenas uma simples resposta Às vezes temos que justificar por que fizemos uma determinada escolha e não outra Em outras situações devemos explicar por que a resposta dada é a mais adequada Essa justificativa também é chamada de argumentação A argumentação deve ser formada por um raciocínio lógico apoiado em dados a fim de concluir alguma coisa No nosso caso os dados coletados serão apresentados por tabelas ou gráficos Leia o texto a seguir e reflita um pouco sobre uma situação gravíssima que futuramente o Brasil poderá enfrentar Se não houver uma conscientização das pessoas do mundo inteiro futuramente passaremos por uma crise de falta de água potável de proporções inimagináveis Para solucionar o problema os governantes deverão tomar medidas como o racionamento Países mais desenvolvidos já estão fazendo um levantamento dos hábitos de consumo de água a fim de tomarem providências antecipadas O Gráfico 4 apresenta os hábitos de consumo de água de alguns lugares Este gráfico chamado de gráfico de barras possui uma legenda à direita que relaciona a informação aliada a uma cor com as barras do gráfico Observe o gráfico e veja que 42 da água consumida na Suíça é gasta pelas bacias sanitárias 37 é gasta pelos banhos das pessoas 18 pelas torneiras das cozinhas e para lavagem de roupas e 5 por outros meios Observe também que os gastos de água dos outros países são semelhantes aos da Suíça Gráfico 4 HÁBITOS DE CONSUMO DE ÀGUA Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 209 209 Resolvendo o problema Em questões de múltipla escolha somente uma resposta é correta Em especial as questões que envolvem argumentações necessitam da análise de cada uma das respostas apresentadas para se verificar qual delas pode ser sustentada pelo problema A seguir apresentaremos uma questão com essa característica portanto pense em um argumento para validar ou invalidar cada uma das alternativas Se você fosse o dirigente de um país preocupado com o gasto de água e dispusesse de um gráfico idêntico ao apresentado que medidas poderia propor para haver economia de água Assinale a alternativa mais adequada a Propor à nação que bebesse menos água para ajudar na economia b Solicitar que as pessoas armazenassem água em suas residências para um eventual racionamento c Solicitar pesquisas no setor hidráulico para criar dispositivos econômicos no setor de descargas de água d Fazer uma campanha para as pessoas deixarem as caixas dágua abertas para aproveitar as águas da chuva Veja algumas análises em que talvez você tenha pensado A alternativa a seria uma resposta inválida pois pelo gráfico esse tipo de consumo se encaixaria na categoria outros que corresponde a um consumo insignificante se comparado com os demais A alternativa b seria uma proposta que não acarretaria economia de água sendo que provavelmente haveria um aumento do consumo pois fora os gastos normais haveria um gasto de estocagem de água A alternativa c poderia proporcionar dispositivos mais econômicos no consumo das descargas sanitárias Podemos observar no gráfico que em quase todos os países o maior consumo de água é para esse fim logo dispositivos hidráulicos mais econômicos proporcionariam uma economia no consumo de água sendo então a alternativa correta A alternativa d não é uma atitude correta pois já vimos nos jornais e nas campanhas de combate a epidemias que deixar abertas caixas dágua ou lugares que acumulem água parada favorece a proliferação de mosquitos transmissores de doenças como dengue e malária 7 Desenvolvendo competências PESQUISE 1 O que você poderia propor para sua comunidade de forma a ajudar o seu bairro a economizar água a Solicitar à comunidade uma ajuda financeira para investir em pesquisas de desenvolvimento de equipamentos hidráulicos mais econômicos b Conversar com amigos e parentes sobre uma possível crise de água num futuro próximo a fim de criar uma conscientização e combate ao desperdício de água c Não proporia nada pois a água nunca vai acabar d Solicitar à comunidade que beba mais refrigerantes e cervejas a fim de economizar água 2 O que você poderia fazer para combater o desperdício de água a Tomar banhos demorados b Ingerir menos líquidos para economizar água c Lavar ruas e calçadas para melhorar a saúde pública d Criar uma cultura de economia de água em sua própria casa Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 210 Variações e períodos Você já deve ter ouvido ou visto em algum jornal algo como O dólar teve uma alta de 235 em relação ao real ou A gasolina vai aumentar R 015 ou ainda A Bolsa de Valores teve uma queda de 155 A diferença entre o preço do dólar no dia anterior e hoje ou do preço da gasolina é chamada de variação O conceito de variação é muito utilizado nas interpretações de gráficos e tabelas Ele nos permite quantificar as mudanças ou seja determinar o quanto algo mudou entre dois momentos Costumamos chamar também o tempo que decorreu entre dois momentos de período Vamos trabalhar um pouco com estes dois conceitos Maria montou uma tabelinha marcando seu peso dos 20 aos 26 anos Ela informou também que aos vinte anos estava com o peso ideal Observe que dos 20 aos 21 anos ela engordou 2kg logo durante o período de 20 a 21 ela teve uma variação de 2kg em seu peso Do mesmo modo seu peso também variou dos 21 aos 22 anos dos 22 aos 23 anos dos 23 aos 24 anos etc Vamos montar uma tabelinha com as variações do peso de Maria Encontre os valores das variações de peso durante esses períodos Na construção dessa tabela talvez você tenha encontrado duas dificuldades que normalmente aparecem quando falamos de variação A primeira dificuldade que pode ter surgido foi no período de 23 a 24 anos pois nesse período o peso de Maria não mudou ou seja poderíamos dizer que não variou Quando estivermos verificando variações e observarmos que entre duas leituras não houve nenhuma mudança indicaremos a variação pelo valor zero Logo no caso de Maria a variação dos 23 aos 24 anos é 0 Outra dificuldade que você talvez tenha encontrado pode ter sido em distinguir quando Maria estava engordando ou emagrecendo Como iremos diferenciar estas variações Lembrese de que estamos estudando a variação do peso O fato de engordar significa ganhar peso Ganhar nos faz lembrar de algo positivo o que nos leva a tratar intuitivamente essa variação com um valor positivo Já emagrecer significa perder peso logo podemos indicar essa variação por valores negativos pois expressam uma perda de peso Por exemplo dos 25 aos 26 anos ela teve uma variação de 4 ou seja perdeu 4 quilos Anote os dados de sua tabela com valores positivos e negativos caso não tenha feito 20 21 22 23 24 25 26 50 52 60 70 70 55 51 Tabela 6 Idade anos Peso kg Tabela 7 Período anos 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 Variação kg 2 8 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 211 211 8 Desenvolvendo competências PESQUISE 1 Qual foi a maior variação do peso de Maria Essa variação foi positiva ou negativa O que significa a variação encontrada 2 Que variação de peso ela teve no período de 20 a 23 anos 3 Que variação de peso ela teve no período de 24 a 26 anos Variação de gráficos e tabelas Independente de preferências políticas ou ideológicas a simples observação de gráfico e tabela nos permite fazer uma análise sem entrar no mérito das causas Em 2001 a inflação estava por volta dos 10 aa lêse dez por cento ao ano que é o aumento de inflação durante o período de um ano Você se lembra de quanto era a inflação anual há quinze anos A tabela ao lado o auxiliará a recordar aqueles tempos Podemos ver pela tabela que a inflação nesses vinte e dois anos teve seus altos e baixos Só para você ter uma idéia um refrigerante que custa hoje R 200 com uma inflação de 1000 aa depois de um ano estaria custando R 2000 Depois de mais um ano estaria custando R 20000 chegando ao absurdo de custar R 200000 após mais um ano Parece loucura mas já foi assim ANO 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Inflação anual 110 95 100 221 224 235 655 416 1038 1609 1700 458 1175 2567 1247 15 9 8 2 20 10 10 Presidente João Baptista Figueiredo José Sarney Fernando Collor de MelloItamar Franco Fernando Henrique Cardoso Tabela 8 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 212 O Gráfico 5 a seguir foi feito com os dados da tabela Observe que algumas características são mais visíveis no gráfico por exemplo para Gráfico 5 Resolvendo o problema Utilizando o gráfico e a tabela determine a inflação anual de 1996 Você deve ter percebido que pelo gráfico não se consegue fazer uma leitura aproximada desse ano Sendo que pela tabela determinase exatamente uma inflação de 9 aa A dificuldade de se fazer uma leitura aproximada do ano de 96 pelo gráfico se dá pela escala em que o eixo se encontra Como o eixo está subdividido de 500 em 500 só conseguimos fazer aproximações na ordem das centenas Por exemplo uma leitura do gráfico para o ano de 1983 é aproximadamente 200 aa Desde 1986 o Brasil vem passando por diversos Planos Econômicos como Cruzado I e II Bresser Verão Collor I e II e Real Durante o mandato do Presidente José Sarney uma de suas tentativas de conter a inflação foi o Plano Cruzado lançado em 1º março de 1986 Analise os dados apresentados e crie um argumento coerente sobre o sucesso ou fracasso desse Plano Você deve ter percebido que durante o mandato do referido presidente o ano de 86 foi o que apresentou menor inflação Entretanto os três anos subseqüentes tiveram aumentos elevadíssimos logo podemos concluir que o Plano fracassou pois não conseguiu conter o aumento progressivo da inflação e ainda causou um aumento maior O Plano Collor foi instituído pela Lei 802490 de 12 de abril de 1990 e adotado pelo presidente da República Fernando Collor de Mello A meta do Plano era a estabilização da moeda através da tentativa de confisco monetário congelamento de preços e salários e reformulação dos índices de correção monetária Em abril a inflação desabou de 45 ao mês para 787 Porém quatro meses depois o tigre ressuscitou levando mais uma vez a inflação a atingir níveis muitos elevados No dia 1º de fevereiro de 1991 uma nova tentativa foi feita para conter a inflação o Plano Econômico Collor II Utilizando o texto o gráfico e a tabela crie argumentos para relatar se os Planos Collor I e II foram bem sucedidos Uma argumentação que você pode ter feito foi comentar que esses dois Planos contiveram a inflação por um curto período de tempo mas podese ver pelo gráfico ou pela tabela que essas tentativas não tiveram sucesso a longo prazo Você pode ter comentado também que o Plano Collor I conseguiu apenas manter uma inflação anual próxima à do ano anterior já o Plano Collor II conseguiu causar uma diminuição significativa da inflação anual No entanto passados dois anos a inflação atingiu marcas altíssimas acima dos 2500 aa observar quando ocorreu a maior inflação nesse período uma rápida olhada nos permite identificar o ano de 1993 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 213 213 9 Desenvolvendo competências PESQUISE O Plano Real começou a ser gerado em junho de 1993 ocorrendo a conversão do Cruzeiro para o Real em julho de 1994 O objetivo era criar condições necessárias para a implementação de um plano de estabilização econômica Crie uma argumentação para relatar se o Plano Real teve sucesso no combate à inflação Os gráficos que ajudam a saúde Uma mãe leva mensalmente seu filho de 15 meses ao pediatra A cada mês o médico marca pontos na malha quadriculada indicando o peso dessa criança Localize esses pontos A curva que aparece próxima a esses pontos indica os pesos normais que uma criança deve apresentar durante os 24 primeiros meses de vida Os médicos costumam fazer comparações entre os pontos marcados e essa curva Faça a leitura dos dois primeiros pontos da esquerda para a direita Nós já fizemos esse tipo de leitura em capítulos anteriores Você deve ter visto que o primeiro ponto indica que a criança no primeiro mês possuía um peso aproximado de 5 kg Observe todos os pontos que o médico marcou e compare com a curva Durante esses 15 meses você acha que essa criança teve um desenvolvimento normal Justifique sua resposta com argumentações apoiadas pela leitura do gráfico Talvez você tenha suposto que a criança tenha apresentado um desenvolvimento normal até o 5º mês e por algum motivo do 5º ao 8º mês apresentou problemas que a fizeram perder peso Após o 8º mês começou a ganhar peso se aproximando do desenvolvimento normal novamente Gráfico 6 Marque um ponto relativo a uma criança de cinco meses pesando sete quilos Ela está com o desenvolvimento normal Se você respondeu com um sim deveria ter um pouco mais de cuidado Por exemplo se essa criança nos seus quatros meses de vida tivesse pontos que representassem seu peso bem acima na curva no 5º mês ela teria perdido peso Por isso temos que ter cuidado ao analisar um caso isolado Sendo mais cautelosos poderíamos responder que a criança para o 5º mês possui um peso próximo do normal Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 214 Qual seria o peso normal para uma criança de um ano Essa pergunta já não necessita de tanto cuidado Basta procurar na curva o ponto correspondente 10 Desenvolvendo competências PESQUISE Suponha que você possui um filho e não tem condições de leválo mensalmente a um pediatra porém gostaria de acompanhar o desenvolvimento dele pelos gráficos Mensalmente você faz sua pesagem e o mede obtendo os dados indicados na Tabela 9 1Coloque os dados nos gráficos abaixo e avalie se o desenvolvimento do seu filho está normal Tabela 9 Mês nascimento 1 2 3 4 5 6 7 Peso kg 4 48 6 65 7 77 81 85 Medida cm 51 54 55 58 61 63 65 67 Gráfico 7 aos 12 meses e verificar que a criança para ter um peso normal deveria ter aproximadamente 10 quilos e meio Gráfico 8 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 215 215 Para terminar Prezado leitor durante todo o capítulo propusemos situaçõesproblema possíveis de serem encontradas em seu diaadia Com isso tentamos mostrar a importância do conhecimento matemático aqui estudado auxiliandoo na aquisição de novas informações que o ajudarão a exercer melhor sua cidadania Comece fazendo o que é necessário depois o que é possível e de repente você estará fazendo o impossível São Francisco de Assis Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 216 LEITURA DE TABELAS 1 Houve 99 participantes em 98 A seleção campeã foi a França 2 A copa de 86 foi realizada México O Brasil ficou em 5º lugar 3 A seleção campeã da Copa da Espanha foi a Itália no ano de 1982 4 Pela tabela o menor número de participantes das copas ocorreu em 1954 LEITURA DE GRÁFICOS 1 O maior consumo foi de 13500 KWh referente ao mês de julho 2 Em maio foram consumidos 13000 KWh o mesmo consumo de agosto 3 O mês de junho 4 Setembro e dezembro 5 Consumo de 10500 kWh referente ao mês de fevereiro Conferindo seu conhecimento 3 4 1 4 6 8 9 032 048 064 072 2 4 7 8 9 480 840 960 1080 Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 217 217 5 6 7 8 FAZENDO APROXIMAÇÕES 1 A maior velocidade foi de aproximadamente de 88 kmh 2 Aproximadamente 58 kmh 3 Aproximadamente 88 kmh 4 O trem atingiu 80 kmh aos 10 minutos e aos 4 minutos e meio 5 Aproximadamente 72 kmh 6 Aos 19 minutos o trem parou portanto sua velocidade era 0 kmh 7 Entre os 15 e 16 minutos a velocidade variou bastante pois passou de 50 kmh para 10 kmh Já entre 17 e 18 minutos a velocidade não variou muito ficando aproximadamente nos 5 kmh INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS 1 Os meses são dezembro janeiro e fevereiro 2 Nos meses de março abril e maio 3 Resposta d CRIANDO RESPOSTAS 1 Resposta b 2 Resposta d VARIAÇÕES E PERÍODOS 1 Houve uma variação de 15 kg A variação foi negativa significando que Maria perdeu quinze quilos 2 Houve uma variação positiva de 20 kg 3 Houve uma variação negativa de 19 kg Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 218 9 10 VARIAÇÃO DE GRÁFICOS E TABELAS Você poderia ter respondido assim Se comparado com os outros Planos Econômicos que reduziam por um curto período de tempo a inflação mais ou menos um ano podemos afirmar que o Plano Real teve sucesso em relação ao combate à inflação pois até o momento o Brasil apresentou apenas inflações anuais menores que 21 OS GRÁFICOS QUE SALVAM VIDAS Pela comparação dos pontos marcados e as curvas do gráfico podese concluir que a criança teve um bom desenvolvimento durante os sete meses apresentados pela tabela Capítulo VIII Gráficos e tabelas do diaadia 219 219 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Reconhecer e interpretar as informações de natureza científica ou social expressas em gráficos ou tabelas Identificar ou inferir aspectos relacionados a fenômenos de natureza científica ou social a partir de informações expressas em gráficos ou tabelas Selecionar e interpretar informações expressas em gráficos ou tabelas para a resolução de problemas Analisar o comportamento de variável expresso em gráficos ou tabelas como importante recurso para a construção de argumentação consistente Avaliar com auxílio de dados apresentados em gráficos ou tabelas a adequação de propostas de intervenção na realidade Helenalda Nazareth UMA CONVERSA SOBRE FATOS DO NOSSO DIAADIA Capítulo IX COMPREENDER O CARÁTER ALEATÓRIO E NÃO DETERMINÍSTICO DOS FENÔMENOS NATURAIS E SOCIAIS E UTILIZAR INSTRUMENTOS ADEQUADOS PARA MEDIDAS E CÁLCULOS DE PROBABILIDADE PARA INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE VARIÁVEIS APRESENTADAS EM UMA DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 222 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia Jogando pesquisando e aprendendo Estatística escolheu uma Sua chance de ganhar era de 1 em 2 E se você soltar uma moeda ela cairá ou não Você deve ter dito que a moeda cairá Esse fenômeno é determinístico Você pode repeti lo quantas vezes quiser nas mesmas condições que o resultado será sempre o mesmo a moeda cairá se não houver nada ou ninguém que a segure em locais onde haja a força da gravidade No caso de a moeda dar cara ou coroa ou você acerta ou você erra Acertar que face cairá depende da sua sorte A sua probabilidade isto é a chance de acertar é de 1 para 2 Este fenômeno é chamado aleatório não é determinístico Quando você jogar a moeda novamente poderá acontecer ou não o mesmo resultado Em outras palavras dizemos que um fenômeno é aleatório se observado sob as mesmas condições podemos no máximo falar de seus possíveis resultados Se você lançar um dado o resultado é um fenômeno aleatório ou determinístico Escreva duas situações para um fenômeno aleatório e duas para um fenômeno determinístico No decorrer de nossa conversa iremos propor a você que reflita sobre algumas questões do diaa dia e que as tente responder para perceber a teoria envolvida Você irá adquirir conhecimentos interpretando informações que lhe darão oportunidade de compreender fenômenos naturais e sociais Conversando sobre fenômenos Fenômenos eventos ou acontecimentos Você já jogou na loteria esportiva Se não jogou conhece alguém que já tenha jogado É possível saber a chance que temos de ganhar Vamos iniciar com um jogo de cara e coroa Se você tiver aí uma moeda escolha a face que você aposta que vai cair Lancea ao ar e aguarde que ela caia Deu cara ou coroa Você ganhou Que chance você tinha para ganhar nesse jogo Você dispunha de duas possibilidades de escolha e Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 223 Resolvendo o Problema Vamos fazer o jogo do dado Você pode apostar em qualquer dos números que aparecem em suas faces 1 2 3 4 5 6 Escolha um Qual será sua chance de ganhar Para responder pensemos juntos você fez uma escolha por exemplo vai cair o número 4 qual é o número de possíveis resultados quando você jogar o dado quantos resultados são favoráveis para que você ganhe Quando você joga o dado há seis possíveis resultados e dos seis apenas um ocorrerá A sua chance de ganhar neste jogo é de 1 para 6 Uma forma de escrever sua chance de ganhar é Figura 1 1 Desenvolvendo competências Resolvendo mais problemas Jogue uma moeda para cima e anote que face caiu Se caiu cara escreva C Se caiu coroa escreva R Jogue novamente a moeda Que face caiu voltada para cima Escreva a letra que representa esta face C ou R ao lado da letra que você já tinha escrito Suponhamos que tenha caído R no primeiro lançamento e R no segundo Você deve ter registrado o resultado RR Poderiam ter ocorrido resultados diferentes Se você quiser saber qual é a probabilidade de sair coroa nos dois lançamentos RR poderá ir escrevendo os possíveis resultados em um esquema Veja ao lado Esse esquema é chamado árvore de possibilidades e facilita a visualização e a contagem das possibilidades Podemos contar e saber que são quatro os possíveis resultados nos dois lançamentos de uma moeda CC CR RC RR A probabilidade de obtermos R nos dois lançamentos RR é de um em quatro Indicamos Lembrese tenho 1 situação favorável no total de 4 possíveis resultados Figura 2 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 224 Vamos agora pensar em um problema de Biologia Suponhamos que um casal queira ter dois filhos O primeiro filho poderá ser do sexo masculino M ou feminino F O segundo também poderá ser de um dos dois sexos Que chance esse casal tem de ter os dois filhos do sexo masculino MM Para responder desenhe uma árvore conte as possibilidades e descubra a probabilidade de acontecer MM Você sabia que podemos colocar o resultado da probabilidade em forma de porcentagem Em Estatística trabalhamos muito com porcentagens No problema que você acabou de resolver a chance de um casal ter os dois filhos do sexo masculino é de 1 em 4 ou seja Veja a representação da porcentagem Então podemos dizer que a probabilidade de um casal ter dois filhos do sexo masculino é de 25 Vamos agora mudar um pouco a situação Você é um pesquisador e quer escolher 10 das pessoas de sua cidade com mais de 16 anos para responderem à questão de sua pesquisa Como você escolheria essas pessoas Não vale escolher seus amigos Sua cidade está dividida em bairros Vamos imaginar que sua cidade tenha 24000 habitantes com mais de 16 anos e que esteja organizada em 80 bairros Você poderá sortear 10 dos bairros e 10 dos 24000 habitantes com mais de 16 anos ou seja 8 bairros e 2400 habitantes distribuídos nestes 8 bairros Um pesquisador precisa escolher um número significativo de habitantes desta cidade para compor a amostra No exemplo da cidade acima a amostra é formada pelos 2400 habitantes que foram sorteados nos 8 bairros A amostra é aleatória O sentido principal da amostra é a representatividade estatística da população para que estudando a amostra as conclusões obtidas possam ser estendidas para toda a população Existem técnicas apropriadas para selecionar amostras e fazem parte dos estudos da Estatística Resolvendo o Problema Suponhamos que um jornal tenha publicado a reportagem A Cidade X está otimista Foi feita uma pesquisa na Cidade X que está organizada em 100 bairros tendo em média 400 habitantes cada um Foram selecionados 10 dos bairros e 10 dos habitantes de cada bairro De 400 pessoas entrevistadas 60 estão otimistas isto é afirmam que o próximo ano será melhor do que o atual Se você tiver um quadrado dividido em 100 partes do mesmo tamanho a parte pintada representa do quadrado ou 25 dos 100 quadradinhos em que o quadrado maior foi dividido Podemos escrever 25100 é o mesmo que 025 ou 25 então 25 é o mesmo que Figura 3 1 4 1 4 1 4 25 100 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 225 Observe o gráfico Em que bairro há menos otimistas E no total quantos são os otimistas Você sabe qual é a população da cidade Leia novamente o texto Podemos considerar que há 100 bairros com 400 moradores em cada um então a população da cidade é de 100 400 40000 habitantes Foram entrevistadas 40 pessoas de cada um dos 10 bairros sorteados em um total de 400 pessoas Se 60 estão otimistas quantas pessoas responderam que o próximo ano será melhor Figura 4 Com base nas respostas de 400 pessoas o jornal afirma que 60 da população está otimista Isto significa que 60 das 400 pessoas entrevistadas responderam que o próximo ano será melhor que o atual Se quisermos saber quantas pessoas se mostraram otimistas basta calcularmos 60 de 400 400 240 ou 060 400 240 Observando o gráfico você pode ver que a coluna mais baixa é a do bairro D este é o bairro que apresenta o menor número de otimistas apenas 10 2 Desenvolvendo competências Vamos resolver problemas Você já assistiu a algum programa de televisão em que são feitos sorteios Imagine que um programa de televisão vai sortear uma pessoa de sua cidade para dar um prêmio A cidade está organizada em 50 bairros e a emissora vai iniciar sorteando um dos bairros Se você morasse no bairro A gostaria que ele fosse sorteado Qual seria a chance de seu bairro ser sorteado Agora a emissora de TV vai sortear uma rua entre as 500 de seu bairro Qual é a probabilidade de ser sorteada a rua em que você mora entre as 500 de seu bairro Supondo que cada bairro de sua cidade tem em média 500 ruas o número total de ruas da cidade é de 50 500 25000 ruas Qual é a chance de ser sorteada a sua rua entre as ruas da cidade Se em uma cidade há 50 bairros em cada bairro há em média 500 ruas e em cada rua existem em média 80 casas qual é a probabilidade de uma casa da cidade ser sorteada Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 226 Vamos conversar mais um pouco A Estatística trabalha com métodos de coleta organização apresentação e análise de dados permitindonos conclusões e tomadas de decisões Você já respondeu a algum telefonema perguntando se sua TV está ligada ou em que canal está sintonizada Essa é uma pesquisa que interessa às emissoras de TV para medir seus índices de audiência Assim elas decidem se determinado programa continuará sendo transmitido ou não É comum também dias antes das eleições serem feitas pesquisas sobre a preferência dos eleitores por determinados candidatos sendo feitas previsões de quem poderá ser o vencedor Essa pesquisa é feita com uma parte dos eleitores Um pesquisador foi coletar dados no comício do candidato A para uma pesquisa sobre a preferência em relação aos candidatos à Prefeitura da cidade Qual você acha que foi o resultado dessa pesquisa Você confia nesse resultado Por quê É claro que no caso deste exemplo o resultado não é confiável porque a escolha das pessoas entrevistadas não foi aleatória Já era esperado que a maioria das pessoas que estavam no comício era eleitora do referido candidato A maneira como as pessoas são escolhidas para participar da pesquisa é chamada amostragem e se ela não for aleatória teremos uma amostra viciada Se para a coleta de dados fossem sorteados alguns cruzamentos de ruas da cidade e fossem entrevistadas pessoas que por ali passassem durante determinado dia também sorteado dentro de um período a amostragem seria aleatória A população envolvida na pesquisa seria formada por todas as pessoas que costumam passar por cada um desses cruzamentos Veja um outro exemplo O proprietário do barzinho de uma escola fez uma pesquisa para saber o gosto dos alunos Para isto solicitou que os alunos do período da tarde preenchessem a ficha Contando as respostas o proprietário concluiu que 80 dos entrevistados preferiam sanduíche de presunto Preparou então os lanches fazendo 80 de sanduíches de presunto No fim do dia ficou com muitos sanduíches de presunto tendo vendido mais os sanduíches do tipo cachorro quente Percebeu que no período da manhã os alunos só queriam empadinhas ou cachorro quente Por que a pesquisa não deu certo Como você acha que deveria ter sido feita a pesquisa para que desse certo Se a pesquisa foi feita com os alunos do período da tarde o resultado só será válido para esse grupo No nosso exemplo a população da pesquisa envolvia todos os alunos da escola A amostra deveria ter alunos de todos os períodos Para fazer melhor uma amostragem é preciso pensar na probabilidade de escolha dos elementos da amostra Assinale o que você prefere Empadinha Sanduíche de presunto Sanduíche de queijo Cachorro quente Número de alunos da Escola Municipal Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 228 Você já estudou que para encontrar amostras utilizamos porcentagens Assim garantimos a probabilidade de termos elementos que representem proporcionalmente toda a população Encontre a amostra para a professora 2 O quadro 4 apresenta o número de operários de cada setor da empresa Se o total é de 800 operários qual é a probabilidade de sortearmos um que seja do setor de produção São 410 os funcionários do setor de produção A probabilidade de um deles ser sorteado 05125 ou 5125 Se calcularmos a chance de ser sorteado um funcionário do setor de controle de qualidade teremos 0025 ou 25 Setor Administração Limpeza Cozinha Produção Controle de Qualidade Vendas Total Número 30 40 20 410 20 280 800 Quadro 4 Fonte de dados Administração da Empresa 3 Desenvolvendo competências Vamos resolver outros problemas 1 Em uma escola a professora de Educação Física deverá fazer um estudo sobre a altura de seus alunos Agrupandoos por faixa etária considerando sempre a idade completada até março ela quer usar uma amostra com 20 da população de sua pesquisa Observando que as probabilidades de escolha são diferentes nos diversos setores devemos escolher uma amostra proporcional Copie e complete o quadro para obter uma amostra com 200 elementos formada pelos funcionários da empresa OPERÁRIOS DE UMA EMPRESA POR SETORES Faixa etária População Quadro 3 7 a 10 anos 160 11 a 14 anos 90 15 a 18 anos 80 total 330 Período Nº de alunos Cálculo do nº de alunos da amostra Alunos da amostra Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 229 3 Para estudo sobre a incidência de cárie entre os filhos dos funcionários de uma firma o empresário quer fazer uma amostragem organizando as crianças por faixa etária considerando as idades em anos Ele já tem o quadro Encontre uma amostra com 20 dos elementos da população Idades Nº de crianças Quadro 5 1 a 2 anos 40 3 a 5 anos 60 6 a 8 anos 70 9 a 11 anos 50 12 a 14 anos 35 Continuando nossa conversa Você costuma ler jornais Eles sempre trazem notícias com resultados de pesquisas Veja os dados que retiramos de uma reportagem publicada a 31032002 no jornal Folha de S Paulo Figura 5 Fonte Folha de S Paulo 31032002 A notícia se refere ao resultado de uma pesquisa sobre o número de casos de dengue clássica nesse ano manhã 500 10 de 500 010 500 50 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 230 Você já ouviu falar dessa doença Quantas pessoas você conhece que já tiveram dengue Veja no texto que número indica os casos notificados da doença Junto a essa notícia aparece um gráfico de setores É um círculo dividido em partes que representam as porcentagens do fenômeno observado No caso dessa notícia vemos que na parte que representa o percentual de casos no Estado do Rio de Janeiro está escrito 41 O texto indica que há 317787 casos de dengue No total podemos dizer que esses casos são aproximadamente 318 mil sendo 41 no Estado do Rio de Janeiro Quantos são os casos nesse Estado Os casos de dengue no Estado do Rio de Janeiro são 41 de 318000 ou seja 041 x 318000 130380 Em um outro trecho a reportagem afirma que há 2373 casos de dengue hemorrágica nos estados brasileiros sendo 1271 no Rio de Janeiro Sem fazer cálculos podemos pensar qual é a porcentagem aproximada de casos de dengue hemorrágica no Estado do Rio de Janeiro Para saber que porcentagem 1271 representa em relação a 2373 calcule 1271 2373 se possível use uma calculadora e escreva o resultado em forma de porcentagem Observe que o resultado é um pouco maior que 50 isto é é um pouco maior do que a metade dos casos de dengue Você tinha acertado antes de fazer o cálculo DISCUTA COM PESSOAS DE SEU RELACIONAMENTO Como a dengue é transmitida Existe vacina contra a dengue A pessoa que já teve dengue poderá contraíla novamente O que devemos fazer para diminuir os casos de dengue Faça um levantamento dos terrenos baldios onde está acumulado lixo que pode conter água da chuva e ser criadouro Com tais dados dirijase ao setor de controle de zoonoses ou à Prefeitura de sua cidade para argumentar sobre a necessidade de interferência das autoridades junto aos donos dos terrenos para que façam a limpeza evitando o acúmulo de água e lixo tarde 200 10 de 200 010 200 20 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 231 Resolvendo o Problema Observe que a Estatística nos permite estudar fenômenos do dia a dia descrevendoos e muitas vezes permitindo que façamos previsões da probabilidade de ocorrência de determinados acontecimentos Veja um exemplo Haverá uma eleição em que dois candidatos estão na disputa e a televisão anunciou o resultado de uma pesquisa Figura 6 A linha que representa o candidato A mostra que houve um crescimento nas intenções de voto até 30 07 tendo decrescido no período de 3007 a 3008 e voltando a crescer lentamente no período de 3008 a 3009 Observe o candidato B O que o gráfico com a linha interrompida mostra Quem você acha que ganharia a eleição em 3009 Se a eleição acontecesse nesse dia o resultado estaria indefinido mas há grande possibilidade do candidato B vencer porque a curva indica o crescimento de intenção de votos para ele Se o crescimento se concretizar ele será o vencedor Veja que os resultados das pesquisas são números próximos Dizemos que há um empate estatístico Mas observe a curva do gráfico O candidato B que havia saído na frente teve um decréscimo nas intenções de voto voltando a subir a partir de 3006 com um crescimento bem maior no período de 3008 a 3009 enquanto o candidato A teve uma queda no período de 3007 a 3008 e um pequeno crescimento de 3008 a 3009 As intenções de voto apontam como mais provável a vitória do candidato B se o crescimento continuar no mesmo ritmo até a eleição Você viu como fatos complexos podem muitas vezes ser representados por gráficos e descritos numericamente facilitando sua compreensão A sociedade moderna acumula uma grande quantidade de informações e dados numéricos relativos a eventos de toda ordem econômicos esportivos históricos geográficos políticos ou da natureza noite 100 10 de 100 010 100 10 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 232 4 Desenvolvendo competências Vamos resolver outros problemas 1 Uma empresa deseja lançar determinado sabonete no mercado Para saber se terá sucesso faz uma pesquisa sobre a preferência dos consumidores Feita a amostragem alguns pesquisadores são distribuídos em alguns pontos de uma cidade perguntando às pessoas que passam qual é o seu sabonete preferido As respostas vão sendo anotadas para serem depois representadas em uma tabela Tabela 1 PREFERÊNCIA POR SABONETES CIDADE X Marcas de sabonete A B C D E G Total F Freqüência 30 51 36 28 17 6 168 PREFERÊNCIA POR SABONETES CIDADE X Figura 7 Tabela 1 Você sabe o que indica o número 30 na primeira linha da tabela Qual é a marca de sabonete menos citada A representação dos dados também pode ser feita por um gráfico Veja o gráfico de colunas feito com os dados da pesquisa total 800 10 de 800 010 800 80 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 233 ESCOLARIDADE PESSOAS DE 10 ANOS OU MAIS Figura 8 Fonte Folha de S Paulo 20081998 2 Em jornais e revistas é comum serem publicados apenas os gráficos de uma pesquisa Veja o exemplo de um dos gráficos sobre a escolaridade dos moradores da cidade de São Paulo de dez anos ou mais com dados coletados no censo de 1991 pelo IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística publicados na Folha de S Paulo de 20081998 Observando o gráfico podemos verificar que na época da pesquisa a maioria da população da cidade de São Paulo tinha de quatro anos a dez anos de escolaridade 3759 163 5389 Que porcentagem da população tinha menos de um ano de escolaridade Se a população da cidade era de aproximadamente 10 milhões de habitantes quantos eram os habitantes com menos de um ano de escolaridade Lembrese a representatividade da amostra é importante para que o resultado obtido possa ser estendido para a população Quanto maior a porcentagem de elementos da amostra maior será a representatividade Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 234 5 Desenvolvendo competências Vamos resolver outros problemas 1 O gráfico abaixo representa os salários dos funcionários de uma firma No eixo horizontal estão representados os salários em mil reais A primeira coluna com largura de 0 a 1 por exemplo indica os salários entre zero e mil reais Observando também a altura desta coluna vemos que há 35 salários entre zero e 1000 reais Assinale a resposta correta a A quantidade dos salários mais altos é 35 b A quantidade dos salários mais baixos é 5 c Entre 4 e 5 mil reais estão os salários mais baixos d Entre 4 e 5 mil reais estão os salários mais altos Figura 9 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 235 respostas como outro qualquer de sorte de azar para não sair de casa Total no de pessoas 630 SUPERSTIÇÃO COMO SERÁ O DIA 13 DE AGOSTO porcentagem 81 100 2 Se no dia 13 de agosto você se levanta da cama com o pé direito se benze ou bate na madeira para se livrar do azar saiba que você não está sozinho Foi realizada uma pesquisa publicada no jornal Folha de S Paulo do dia 13 de agosto de 1993 que afirma que de cada 100 pessoas duas não pretendem sair de casa nesse dia 7 pensam que esse dia dá azar 10 acham que é um dia de sorte mas 81 dizem que esse é um dia como outro qualquer Vamos fazer uma tabela com os dados do texto Copie e complete a tabela com os dados do problema Que porcentagem de pessoas poderia ter as atitudes de levantar com o pé direito ou bater na madeira e se benzer Tabela 2 Fonte Adaptado da Folha de S Paulo São Paulo 13 ago 1993 Continuando nossa conversa Se você já ficou atento a comentários esportivos já ouviu falar em média de gols Veja o exemplo Em um campeonato de futebol a regra diz que se houver empate na final será considerado vencedor o time que tiver melhor média de gols durante os últimos quatro jogos Os times A e B empataram no jogo da decisão Observe a tabela dos gols por partida e descubra quem foi considerado campeão A B Partidas Time 1ª partida 2 3 2 ª partida 5 2 3ª partida 1 2 4 ª partida 0 3 Quadro 6 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 236 Para calcular a média aritmética basta somar todos os gols de cada time e dividir por quatro uma vez que são quatro os jogos Assim você deve ter descoberto que o time campeão foi o B com uma média de 25 gols por partida contra 2 gols por partida do time A Fizemos o cálculo de uma medida a média aritmética de gols que nos permitiu comparar o desempenho de cada time em quatro partidas A média aritmética é uma medida bastante utilizada em nosso diaadia Você se lembra do apagão No ano de 2001 as companhias de energia elétrica enviaram cartas às residências referindo se ao consumo de energia elétrica e à necessidade de economia A meta era de economizar 20 de energia sobre a média dos meses de maio junho e julho de 2001 Dona Luz que mora em São Paulo recebeu a correspondência Você sabe o que foi feito para saber a meta de consumo Nessa correspondência a Companhia de Energia Elétrica de São Paulo Eletropaulo apresenta o cálculo da média aritmética dos três meses considerados como base Sra Cliente Atendendo à Resolução nº 004 de 23052002 da Câmara de Gestão da Crise de Energia Elétrica informamos o cálculo da meta do consumo de energia elétrica adotandose como base de referência os meses indicados como referência para determinar o consumo médio dessa unidade consumidora Consumo médio 410 kWh Meta redução de 20 410 x 1 020 328 A partir de junho de 2001 sua meta é de 328 kwh Mês Maio2000 Junho2000 Julho2000 Soma 417 408 406 1231 Consumo de referência kWh 1231 3 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 237 A soma dos consumos dos três meses é 417 408 406 1231 Dividindo a soma obtida por 3 três é a quantidade de meses considerados como referência foi calculada a média aritmética do consumo dos 3 mesesreferência 1231 3 410 kWh Como a lei determinou que todos os consumidores de São Paulo a partir de 4 de junho deveriam economizar 20 no consumo de energia elétrica que porcentagem dona Luz poderia gastar A Eletropaulo calculou 80 de 410kwh 410 x 1 020 328kWh Lembrese de que 1 020 significa 100 20 80 Conversando mais um pouco Existem outras medidas bastante usadas em Estatística a moda e a mediana Média aritmética mediana e moda são chamadas medidas de tendência central Veja um exemplo nomes acertos Quadro 7 Joana 15 Maria 8 Antonio 10 José 8 Selma 9 Em uma escola os alunos de uma classe fizeram uma prova e os números das questões que cada um acertou foram anotados no quadro 8 Maria acertou 8 questões Ela acertou mais ou menos que a média da classe São cinco alunos Você precisa calcular o total de pontos que a turma toda fez para dividir por cinco Veja 15 8 10 7 10 50 então a média aritmética é Ma 10 e Maria que acertou 8 questões acertou menos que a média da classe Já sabemos que Ma 10 significa que se todos tivessem o mesmo número de acertos cada um teria acertado 10 questões Média aritmética é a distribuição equitativa dos dados ou seja é a distribuição dos dados em partes iguais Colocando os dados em ordem podemos descobrir o termo que ocupa a posição do meio 8 8 9 10 15 No nosso exemplo o termo do meio é o número 9 há dois termos a sua esquerda e dois a sua direita O termo que ocupa a posição do meio é chamado mediana E qual é o número de acertos que aparece mais vezes O dado que aparece mais vezes com maior freqüência é chamado moda No exemplo a moda é 8 pontos Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 238 Vamos resolver outros problemas 1 Observe o gráfico abaixo Quantos reais a empresa gasta com todos os salários Multiplicando cada salário x por sua freqüência F temos 20 salários de 200 reais 20 200 4000 30 salários de 300 reais 30 300 9000 15 salários de 600 reais 15 600 9000 10 salários de 900 reais 10 900 9000 5 salários de 1200 reais 5 1200 6000 Cada produto significa a soma dos salários iguais Assim por exemplo 20 200 significa a soma dos 20 salários iguais a 200 reais Somando os produtos saberemos que a empresa gasta 37000 reais com seus 80 funcionários A média aritmética é 46250 reais ou R 46250 Analisando o gráfico nós podemos verificar que a moda dos salários dessa empresa é 300 reais É a coluna mais alta no gráfico Há 30 salários de 300 reais Quantos reais a empresa gasta para pagar esses salários de 300 reais Você deve ter respondido 30 300 9000 reais Agora veja a coluna mais baixa há 5 salários iguais ao maior da empresa Que salário é esse Quanto a empresa gasta com os maiores salários Para calcular a média aritmética dos salários precisamos saber quantos eles são e quanto a empresa gasta com todos Quantos são os salários da empresa Observando no gráfico os números que representam as freqüências e somandoos saberemos que são 80 salários Figura 10 SALÁRIOS DOS FUNCIONÁRIOS DE UMA EMPRESA Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 239 Para organizar e facilitar os cálculos de média aritmética podemos representar os dados em uma tabela No exemplo anterior para calcular a média aritmética a tabela fica Vamos pensar em outro problema de média aritmética 2 Suponhamos que você tem dinheiro aplicado na poupança e que durante 5 meses anotou seus rendimentos em uma tabela Tabela 3 Fonte Recursos humanos da empresa 200 300 600 900 1200 total F SALÁRIO DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Fx x em reais 20 30 15 10 5 80 4000 9000 9000 9000 6000 37000 Como calcularia o rendimento médio durante esses meses Na barra inferior da tabela está indicada a soma dos rendimentos que é 70 reais Como são rendimentos de 5 meses basta calcular 70 5 14 A média dos rendimentos de sua poupança nos 5 meses foi de R1400 Janeiro Fevereiro Março Abril Maio total Rendimento em reais Mês 1120 1250 1560 1550 1520 7000 Na primeira coluna estão representados os salários x e na coluna F estão as quantidades de salários Na terceira coluna estão os produtos Fx que representam as somas dos salários em cada linha Assim 4000 é a soma dos 20 salários iguais a 200 reais Tabela 4 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 240 Vamos resolver outros problemas 1 Maria ouviu uma música que citava a estatura das pessoas Sou brasileiro de estatura mediana Ficou pensativa e conversando com seu irmão perguntoulhe se média e mediana eram valores iguais Você saberia responder Seu irmão Jorge propôs que ela fosse medindo as alturas de seus amigos e fosse anotando as medidas em centímetros formando um rol em ordem crescente 140 140 150 150 155 165 175 180 185 Ajude Maria a responder às questões que Jorge também lhe propôs A mediana é o valor que ocupa a posição do meio Qual é esse valor Para calcular a média você deve saber o total dos dados e dividir pela quantidade deles Calcule a média aritmética Você deve ter percebido que nesse caso a média 160cm e a mediana 155cm são valores diferentes Na maioria dos casos isso acontece porque essas medidas têm significados diferentes 2 Os funcionários de uma empresa estavam reivindicando melhores salários O dono conferiu os números registrados em seus documentos e recusou a solicitação Usou como argumento o fato de a média dos salários ser de aproximadamente R148500 Os funcionários acharamse enganados e iniciaram um movimento de greve E alguns mostrando seus contracheques chegaram a comentar que o dono não dizia a verdade 400 500 1000 2000 10000 20000 total F X em reais 50 20 20 5 3 3 101 SALÁRIO DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Tabela 5 Veja abaixo a tabela de salários dos funcionários da empresa e discuta o que aconteceu nessa relação trabalhista Muitas vezes as pessoas confundem média com a mediana ou com a moda Em uma distribuição normal essas três medidas se localizam mais ou menos na posição do meio No nosso exemplo a moda é 400 reais e a mediana é 500 reais total de 101 salários A média é realmente aquela que o dono diz porque os poucos salários altos fazem com que a média seja alta A soma dos 3 salários mais altos é 3 20000 60000 enquanto que a soma dos mais baixos praticamente metade dos salários da firma é 50 400 20000 Com os 3 salários mais altos o empresário gasta o triplo do que gasta com os 50 menores salários da firma A distribuição de salários dessa empresa não é estatisticamente normal Será que não havia verdade no argumento do dono Calcule a média dos salários Os funcionários não tinham razão ao reivindicar melhores salários Como você resolveria este impasse Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 241 6 400 500 2000 10000 total F X em reais 50 15 3 2 70 SALÁRIO DOS FUNCIONÁRIOS A média aritmética ou das outras medidas de tendência central moda e mediana sozinha não retrata o comportamento de um conjunto de dados Veja um exemplo Consideremos o caso em que uma mesma prova foi aplicada a dois grupos de alunos e que as notas foram as seguintes Grupo A 10 20 50 50 50 80 80 100 100 Grupo B 50 50 50 50 50 50 80 80 80 Calcule a média para cada conjunto de dados A média dos dois grupos de notas é a mesma mas observe que os comportamentos dos dois conjuntos de dados são diferentes no grupo A as notas variam de 10 a 100 no grupo B as notas variam de 50 a 80 Podemos dizer que as notas do grupo B estão mais concentradas perto da média aritmética do que as do grupo A ou então dizemos que a dispersão é maior no grupo A Para analisar melhor o comportamento de um conjunto de dados a Estatística se utiliza de outras medidas como por exemplo o desvio padrão Observe que no exemplo os dois conjuntos de dados também têm a mesma moda e a mesma mediana Tabela 6 Desenvolvendo competências O dono de uma empresa paga os salários a seus funcionários de acordo com a tabela abaixo Assinale a alternativa correta a A média aritmética dos salários é menor que a mediana b A média aritmética dos salários é maior que a moda c A média aritmética dos salários é igual à mediana d A média aritmética dos salários é menor que a moda Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 242 Os resultados diferentes que poderiam ter ocorrido são CC CR e RC Conferindo seu conhecimento 2 3 1 A probabilidade de seu bairro ser sorteado seria de um entre os 50 da cidade ou A probabilidade de sua rua ser sorteada entre as 500 de seu bairro é Queremos sortear uma das 25 000 ruas A probabilidade é Viu como é pequena a chance de ser sorteada a sua rua Por quê A chance de sortear um dos 50 bairros era e a chance de sortear uma em 500 ruas é 1500 Logo a chance é de ou seja A probabilidade de uma casa ser sorteada é ou Uma em dois milhões Faixa etária População Cálculo nº de elementos amostra Amostra 7 a 10 anos 160 20 de 160 160 020 32 10 a 14 anos 90 20 de 90 90 020 18 14 a 18 anos 80 20 de 80 80 020 16 Total 330 20 de 330 330 020 66 Problema 2 Para resolver o problema basta pensar que porcentagem 200 é de 800 e calcular essa porcentagem dos funcionários de cada setor 200 em 800 é 200800 025 ou 25 ou ¼ Então basta calcular 25 dos funcionários de cada setor A amostra ficará com 8 funcionários da administração e 10 5 102 5 e 70 dos demais setores respectivamente Problema 1 Capítulo IX Uma conversa sobre fatos do nosso diaadia 243 Problema 3 Calculando 20 em cada faixa etária o quadro sobre incidência de cárie ficará 5 6 4 Problema 1 Resposta d Problema 2 Usando números aproximados sua tabela deve ter ficado Superstição Como será o dia 13 de agosto Respostas Quantos porcentagem como outro qualquer 513 81 de sorte 63 10 de azar 42 7 para não sair de casa 12 2 total 630 100 9 pessoas 729 poderiam ter atitudes de demonstração de medo no dia 13 Resposta b Problema 1 Na tabela o número 30 indica que o sabonete A foi citado 30 vezes Pela altura da coluna do sabonete B no gráfico da figura 6 vemos que ele foi o mais citado O sabonete G foi o menos citado Problema 2 Observando o gráfico Figura 7 podemos ver que são 9 Calculando 9 de 10 milhões temos 009 10 000 000 900000 São 900 mil pessoas Idades Nº de crianças Amostra 1 a 2 anos 40 8 3 a 5 anos 60 12 6 a 8 anos 70 14 9 a 11 anos 50 10 12 a 14 anos 35 7 Fonte Folha de S Paulo São Paulo 13 jul 1993 Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio 244 ORIENTAÇÃO FINAL Para saber se você compreendeu bem o que está apresentado neste capítulo verifique se está apto a demonstrar que é capaz de Identificar interpretar e produzir registros de informações sobre fatos ou fenômenos de caráter aleatório Caracterizar ou inferir aspectos relacionados a fenômenos de natureza científica ou social a partir de informações expressas por meio de uma distribuição estatística Resolver problemas envolvendo processos de contagem medida e cálculo de probabilidades Analisar o comportamento de variável expresso por meio de uma distribuição estatística como importante recurso para a construção de argumentação consistente Avaliar com auxílio de dados apresentados em ditribuições estatísticas a adequação de propostas de intervenção na realidade