Análise de Circuitos no Domínio da Frequência: Resistores, Capacitores e Indutores

Solução de circuitos no domínio da frequência Resistor No domínio do tempo No domínio da frequência vRt R iRt R R R R v t v t Ri t i t R impedância resistiva R R R R R R R V s V s RI s I s R V s Z s R I s VRs R IRs Capacitor No domínio do tempo No domínio da frequência onde vC0 é a condição inicial tensão armazenada Para vC0 0V temse vCt C iCt C C dv t i t C dt 0 0 C C C C C I s C sV s v sCV s Cv 1 impedância capacitiva C C C C C I s sCV s V s Z s I s sC VCs 1sC ICs s v sC s I sC Cv sC s I s V C C C C C 0 0 Circuito equivalente transformado Do ponto de vista da corrente o circuito equivalente é Do ponto de vista da tensão o circuito equivalente é ℒCvC0δt CvC0 ℒvC0ut vC0s Portanto CvC0 é uma fonte do tipo impulsiva Portanto vC0s é uma fonte do tipo degrau VCs ICs 1sC vC0s 0 C C C I s sCV s Cv 0 C C C I s v V s sC s VCs ICs 1sC CvC0 ICs Indutor No domínio do tempo No domínio da frequência onde iL0 é a condição inicial corrente armazenada Para iL0 0A temse vLt iLt L L L di t v t L dt 0 0 L L L L L V s L sI s i sLI s Li impedância indutiva L L L L L V s sLI s V s Z s sL I s VLs ILs sL s i sL s V sL Li sL V s s I L L L L L 0 0 Circuito equivalente transformado Do ponto de vista da tensão o circuito equivalente é Do ponto de vista da corrente o circuito equivalente é ℒLiL0δt LiL0 ℒiL0ut iL0s Portanto LiL0 é uma fonte do tipo impulsiva Portanto iL0s é uma fonte do tipo degrau VLs ILs sL LiL0 0 L L L V s sLI s Li 0 L L L V s i I s sL s VLs ILs sL iL0s ILs Exemplos 1 Calcular it vRt vLt e vCt para t 0s com iL0 4A e vC0 8V Resp it 13et 20e2t 3e3t A p t 0s vRt 39et 60e2t 9e3t V p t 0s vLt 13et 40e2t 9e3t V p t 0s vCt 26et 20e2t 2e3t V p t 0s 2 Calcular it para t 0s e considerando as condições iniciais nulas Resp it 05etsen2tA p t 0s 2Ω 1H 15F utV it 3Ω 1H 12F 2e3tV it Resposta completa Ys Yfs Yns onde Ys é a resposta completa do sistema tensão ou corrente Yfs é a resposta permanente do sistema forçada ou particular depende da excitação e condições iniciais nulas Yns é a resposta transitória do sistema natural ou homogênea depende das condições iniciais e excitação nula Exemplo Determinar as respostas natural forçada e completa para it para t 0s com iL0 4A e vC0 8V Resp int 12et 16e2t A p t 0s ift et 4e2t 3e3t A p t 0s it 13et 20e2t 3e3t A p t 0s R L C vt it 3Ω 1H 12F 2e3tV it Exercícios 1 Determinar as respostas natural forçada e completa para it para t 0s em resposta à tensão aplicada vt com R 1Ω L 12H iL0 2A e vt etV Resp int 2e2t A p t 0s ift 2et 2e2t A p t 0s it 2et A p t 0s 2 Determinar as respostas natural forçada e completa para a saída it em resposta à entrada vt para t 0s com R 3Ω L 1H C 12F iL0 2A vC0 1V e vt e3tV Resp int 3et 5e2t A p t 0s ift 05et 2e2t 15e3t A p t 0s it 35et 7e2t 15e3t A p t 0s L R vt it R L C vt it 3 Determinar vRt para t 0s com vC0 5V e vt 2e10tV Resp vRt 3e20t V p t 0s 4 Determinar it para t 0s com iL0 2A e vC0 4V Resp it 2etcost 8etsent A p t 0s 100µF 1kΩ vt 1kΩ vRt 1F 1Ω 12utV it 1H 1Ω 5 Determinar as respostas natural forçada e completa para it para t 0s com R 2Ω L 1H C 15F iL0 2A vC0 1V vt 2etV Resp int 2etcos2t 15etsen2t A p t 0s ift 05et etsen2t 05etcos2t A p t 0s it 05et 05etsen2t 25etcos2t A p t 0s R L C vt it Impedância e admitância Zs é a impedância Ω Rs é a resistência Ω Xs é a reatância Ω Ys é a admitância S Gs é a condutância S Bs é a susceptância S Em regime permanente senoidal s jω Resistor Vs Zs ou Ys Is V s Z s R s jX s I s 1 I s Y s G s jB s Z s V s 1 1 R R R Z j R Y j G Z j R ω ω ω Capacitor Para ω 0rads ZCj0 Ω circuito aberto Para ω rads ZCj 0Ω curtocircuito Para ω 0rads YCj0 0S circuito aberto Para ω rads YCj S curtocircuito Indutor Para ω 0rads ZLj0 0Ω curtocircuito Para ω rads ZLj Ω circuito aberto Para ω 0rads YLj0 S curtocircuito Para ω rads YLj 0S circuito aberto 1 1 1 1 90 reatância capacitiva C C C C Z j j Z j jX j X j j C C C C ω ω ω ω ω ω ω ω 1 1 90 susceptância capacitiva 1 C C C C C Y j j C C Y j jB j B j C Z j j C ω ω ω ω ω ω ω ω ω 90 reatância indutiva L L L L Z j j L L Z j jX j X j L ω ω ω ω ω ω ω 1 1 1 1 1 90 susceptância indutiva L L L L L Y j j Y j jB j B j Z j j L L L L ω ω ω ω ω ω ω ω ω Portanto R 4Xja indutivo HY K Z jRt jX jo Ce capacitivo Zj indutivo j06 80 ic iBGe capacitivo 1 R X jo Y jo FF JS Gt OB Jo Zj RXjo TR X jo G B Exercicio Determinar a admitancia Y de uma impedancia Z 4 j3Q Desenhar o circuito equivalente para Z e Y Resp Y 016j012S 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sen cos sen cos 2 cos o L L L L at L L L at L at t L o o o o o f t F s t u t s e s a t s s t s e t s a s a e t s a K K K e t s j s j σ δ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ϕ σ ω σ ω Alguns pares da Transformada de Laplace