Função de Transferência e Resposta ao Impulso em Sistemas Lineares

Função de transferência É a relação entre a variável de saída pela variável de entrada do sistema circuito ou dispositivo no domínio da frequência Hs é a função de transferência Ys é a variável de saída Xs é variável de entrada Resposta ao impulso É a resposta de um circuito inicialmente em repouso a uma excitação de um impulso unitário Portanto a transformada da resposta ao impulso é a função de transferência e desta forma podese calcular a resposta a qualquer excitação Resposta ao impulso unitário δt Resposta ao degrau unitário ut Sistema ht Hs Entrada xt Xs Saída yt Ys L Y s y t h t x t Y s H s X s H s X s 1 1 1 1 ou L L t X s Y s H s y t h t y t L H s h t δ L h t H s 1 0 0 1 1 1 L t t L t X s Y s H s X s Y s H s y t h t t dt δ δ δ 1 0 0 1 1 1 0 L t H s u t L u t X s Y s H s X s Y s y t h t u t t s s s Tipos de funções de transferência Ganho de tensão Ganho de corrente Ganho de potência Impedância de transferência Ω Admitância de transferência S o v i V s A s H s V s o i i I s A s H s I s o p i P s A s H s P s o i V s Z s H s I s o i I s Y s H s V s Forma padronizada e forma fatorada da função de transferência Em um sistema linear de ordem n a equação representativa é dada pela seguinte equação diferencial no domínio do tempo onde a e b são constantes reais e a ordem n representa o número de elementos armazenadores de energia do circuito Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial com condições iniciais nulas no domínio da frequência fica que é a forma padronizada da função de transferência Considerase m n para que se tenha um circuito realizável função ou fração racional própria existência da transformada unilateral 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 n n m m n n m m n n m m d y t d y t dy t d x t d x t dx t a a a a y t b b b b x t dt dt dt dt dt dt 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 n n m m n n m m n n m m n n m m m m m m n n n n a s Y s a s Y s a sY s a Y s b s X s b s X s b sX s b X s a s a s a s a Y s b s b s b s b X s Y s b s b s b s b H s X s a s a s a s a E a forma fatorada fica onde k ba é um número real constante zi são as raízes do numerador zeros da função de transferência pj são as raízes do denominador pólos da função de transferência Pólos zeros e representação no plano complexo s Frequência complexa s σ jω Res σ Ims ω Diagrama do lugar das raízes rootlocus o zeros x pólos 1 2 1 2 m n Y s s z s z s z H s k X s s p s p s p ω σ x o x x x o x x Frequências naturais As frequências naturais de um circuito linear são aquelas que ocorrem naturalmente em sua função de transferência ou seja determinam a resposta natural transitória ou homogênea do circuito Frequências naturais associadas aos zeros ωzi zi rads Frequências naturais associadas aos pólos ωpj pj rads Relação entre constante de tempo e frequêncial natural A constante de tempo τ estima a duração da resposta natural homogênea ou transitória do sistema 1 s pj τ ω pj t t nh t Ke Ke ω τ Função de transferência de sistemas em cascata e em paralelo Sistemas em cascata 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 3 3 2 3 3 2 3 2 1 1 1 3 2 1 1 2 3 L L L L n n n n n n y t h t x t Y s H s X s y t h t y t Y s H s Y s H s H s X s y t h t y t Y s H s Y s H s H s H s X s y t h t y t Y s H s Y s H s H s H s H s X s Y s H s H s H s H s H s X s h1t H1s xt Xs y1t Y1s h2t H2s h3t H3s y2t Y2s y3t Y3s yt Ys hnt Hns yn1t Yn1s Sistemas em paralelo 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 L L L L n n n n n n n n y t h t x t Y s H s X s y t h t x t Y s H s X s y t h t x t Y s H s X s y t h t x t Y s H s X s y t y t y t y t y t L Y s Y s Y s Y s Y s Y s H s X s H s X s H s X s H s X s Y s H s H s H s H s X s Y s H s H s X s 2 3 n H s H s H s h1t H1s xt Xs y1t Y1s h2t H2s h3t H3s y2t Y2s y3t Y3s Σ yt Ys hnt Hns ynt Yns Exemplos 1 Determinar a função de transferência em termos do ganho de tensão Avs 2 Obter a função de transferência em termos do ganho de tensão Avs Esboçar o rootlocus da função de transferência Determinar as respostas ao impulso e ao degrau Analisar o comportamento do circuito em baixa e em alta frequência Vis Vos Z1s Z2s 1µF 100Ω vit vot Exercícios 1 Obter a função de transferência em termos do ganho de tensão Avs Esboçar o rootlocus da função de transferência Determinar as frequências naturais e a constante de tempo as respostas ao impulso e ao degrau Analisar o comportamento do circuito em baixa e em alta frequência Resp z1 0 p1 103 ωz1 0rads ωp1 103rads τ 1ms vot δt 103e103t V vot e103t V 2 Obter a função de transferência em termos do ganho de tensão Avs Esboçar o rootlocus da função de transferência Determinar as frequências naturais Resp z1 j141 z1 j141 z0 p1 044 p2 456 ωz1 ωz1 141rads ωp1 044rads ωp2 456rads Avs s2 2s2 5s 2 1µF 1kΩ vit vot 110F 2Ω vit vot 5H Circuitos de 1 ordem A funcao de transferéncia possui apenas um polo real ou uma raiz real Ns Ns A s onde Ns 6 o numerador da funcao de transferéncia Para um circuito estavel p 0 Sp stO 5 Pj 1 pl De uma forma mais geral a funcao de transferéncia é dada por AsB BAQ Hs Como m n fazse a diviso de polindmios e chegase a Hs A SO SO1 Fazendo a transformada inversa de Laplace obtémse a resposta ao impulso yt ht A8tB Aa Je ht ht Com A 0 temse a ocorréncia do impulso que corresponde a existéncia de um zero na fungaéo de transferéncia Exemplo Determinar as frequéncias naturais a constante de tempo e a resposta ao impulso Resp o 6250rads t 160us vt 6250e 6 V Ls V0 16kQ vt 100nF Vot Exercícios 1 Determinar as frequências naturais a constante de tempo e a resposta ao impulso Resp ωz1 0rads ωp1 RL rads τ LR s vot δt RLeRLt V 2 Determinar as frequências naturais a constante de tempo e as respostas ao impulso e ao degrau Resp ωz1 106rads ωp1 2x106rads τ 05μs vot δt 106e2x106t V vot 05 05e2x106t V L R vit vot 1kΩ 1kΩ vit vot 1mH Circuitos de 2ª ordem A função de transferência possui dois pólos ou duas raízes ambos reais ou complexos conjugados e é dada por Fazendo a função de transferência fica As raízes são dadas por onde ωn ωp1ωp2 é a média geométrica entre as frequências naturais ωp1 e ωp2 ξ é o fator de amortecimento ωn e ξ são números reais e positivos 2 1 2 1 2 1 2 p p p p p p N s N s H s s s s s ω ω ω ω ω ω 2 1 2 1 2 2 p p n p p n ω ω ω ω ω ξω 2 2 2 n n N s H s s s ξω ω 2 1 n s ξω ωn ξ Circuito superamortecido 10161 2 polos reais e distintos resposta lenta 2 P 0 G 1 p P Pp 0 para um circuito estavel 2 Pr S0 G 1 p p A fungao de transferéncia é Ns A B stso s s e a resposta ao impulso é dada por ytht At Ae Be i ee yp tht YntMn 1 As constantes de tempo sao dadas por 1 1 Tt Tt O QO A constante de tempo predominante o maior valor entre T e T que corresponde ao menor valor entre Circuito subamortecido 10311 0é1 2 polos complexo e conjugados resposta rapida apresenta elevacao antes de anular Pp 0 jo 1 p 2 ji 2 Op pp 0 0 1 Pr 0 a J 1 Wp p O O Fazendo SO 9 P Oo F JO J1 P2 F JM temse a seguinte funcao de transferéncia Ns K K Hs s Ep s6 jsoj so6j soj A resposta ao impulso é dada por ythAt A8t 2Ke cos KH A yp th d Yn th t 1 1 A constante de tempo é dada por T Oo C0 Outro casos ξ 1 pólos reais e iguais resposta mais rápida possível sem elevação ξ 0 pólos imaginários e conjugados oscilatório e não amortecido 1 ξ 0 pólos complexos e conjugados com partes reais positivas instabilidade oscilatória ξ 1 pólos reais e positivos instabilidade divergente Exemplo Determinar as respostas ao impulso e ao degrau unitário com R 25Ω L 100μH e C 10nF Resp vot 288x105e268x103t e373x106t V vot 1 107e268x103t 007e373x106t V Exercício Repetir o exemplo anterior com R 500Ω Resp vot 106e105tsen106t V vot 1 e105t cos106t 3041 V C R vit vot L 2 1 n s ξω ωn ξ Resposta em frequência Em regime permanente senoidal s jω a resposta em frequência de uma função de transferência é Na forma fatorada Respostas da amplitude magnitude e da fase argumento em função da frequência Exemplo Determinar a resposta em frequência para Avs nas frequências angulares ω 0rads ω 103rads e ω 104rads com R 1kΩ e C 1μF Re Im j s j Y j H s H j H j H j j H j H j H j e X j ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ϕ ω ω ω Sistema linear ht Hjω Entrada xt Xjω Saída yt Yjω 1 2 1 2 1 2 1 2 m m n n s z s z s z j z j z j z H s k H j k s p s p s p j p j p j p ω ω ω ω ω ω ω 2 2 Im Re Im arctan Re H j H j H j H j H j ω ω ω ω ϕ ω ω C R vit vot Ressonância série ω 0rads Zj0 Ω circuito aberto ω rads Zj Ω circuito aberto Se XL XC 0 ou XL XC Zjω 0Ω curtocircuito Nesta condição temse a frequência de ressonância 1 1 L C L C Z j Z j Z j j L j L j X X j C C ω ω ω ω ω ω ω C L Z 2 1 1 1 L C o X X L C LC LC ω ω ω ω 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 ω rads Z Ω L 1H C 1F ωo 1rads Ressonância paralela ω 0rads Zj0 0Ω curtocircuito ω rads Zj 0Ω curtocircuito Se XL XC 0 ou XL XC Zjω0 Ω circuito aberto Nesta condição temse a frequência de ressonância 1 1 L C L C L C X X j L Z j Z j Z j j L j j C j Lj C X X ω ω ω ω ω ω ω ω 2 1 1 1 L C o X X L C LC LC ω ω ω ω C L Z 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 0 100 200 300 400 500 600 ω rads Z Ω L 1H C 1F ωo 1rads Exercício Determinar o valor do módulo da impedância equivalente Z em baixa frequência ω 0 em alta frequência ω e na frequência de ressonância ω ωo Esboçar o gráfico Verificar o efeito da resistência no circuito 01F 10Ω 01H Z 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 ω rads Z Ω