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Engenharia de Computação ·
Circuitos Elétricos 3
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Instituto Nacional de Telecomunicações INATEL E203 Circuitos Elétricos III Solução de circuitos no domínio do tempo Algumas definições Corrente elétrica A corrente elétrica é a taxa de variação de carga q por unidade de tempo que passa por uma área em ponto do circuito dada em ampère A É um movimento organizado orientado de cargas por um percurso definido Assim a corrente elétrica é dada por A carga de um elétron negativa é 16021019 coulombs C Então 1C é a carga de 62421018 elétrons Portanto 1A 1Cs A carga pode ser encontrada a partir da corrente elétrica da seguinte forma onde qt0 é a carga em t t0 Normalmente adotase t0 0 dq t i t dt 0 0 t t t q t i t dt i t dt q t Tensão A tensão é o trabalho necessário para deslocar uma unidade de carga entre dois pontos do circuito dada em volts V Para realizar o trabalho uma energia w é necessária O trabalho sobre a carga é realizado por uma força eletromotriz FEM externa Assim a tensão é dada por Então 1V 1JC Uma carga de 1C fornece uma energia de 1 joule J em uma diferença de potencial ddp de 1V entre dois pontos dw t v t dq Poténcia e energia A poténcia é a taxa com a qual a energia é fornecida ou absorvida por unidade de tempo dada em watts W sendo expressa por dwt t Pt Entao 1W 1Js Também dwt dwt dq dwt dq pt vt it dt dt dq dq dt ex vt it Se 1V 1JCe 1A 1Cs entao 1Vx1A 1Js 1W A poténcia absorvida por um componente ou recebida pelo componente ou dissipada pelo componente é aquela em que a corrente entra no terminal positivo da tens4o no componente A poténcia fornecida por um componente é aquela em que a corrente entra no terminal negativo da tensao no componente A energia é a capacidade de realizar trabalho A energia absorvida por um componente é Considerando um instante inicial t0 se o componente recebe potência para t t0 e se t0 0 temse Circuitos e componentes passivos e ativos Componente passivo absorve energia do circuito resistor indutor capacitor Componente ativo fornece energia ao circuito baterias geradores transistores Se em algum instante wt 0 t dw t p t dt dw t p t dt w t p t dt 0 0 t t t w t p t dt p t dt 0 t t w t p t dt v t i t dt Elementos e circuitos lineares Linearidade é a propriedade de um elemento descrever uma relação linear entre causa e efeito Um componente é linear se a relação entre o sinal de excitação entrada e o sinal de resposta saída satisfaz os princípios da superposição aditividade e da homogeneidade mudança de escala Para a superposição a resposta para a soma de entradas deve ser igual a soma das respostas de cada entrada aplicada separadamente Para a homogeneidade se a entrada for multiplicada por uma constante a saída deverá ser multiplicada pela mesma constante Um circuito é linear quando possui apenas elementos lineares componentes lineares fontes lineares dependentes e independentes etc Assim sua saída é linearmente relacionada ou diretamente proporcional à sua entrada Em um componente considerar a corrente como o sinal de excitação e a tensão como o sinal de resposta sendo relacionados por uma constante de proporcionalidade R ou seja v Ri Superposição aplicando i1 v1 Ri1 aplicando i2 v2 Ri2 aplicando i1 i2 v Ri1 i2 Ri1 Ri2 v1 v2 Homogeneidade fazendo ki Rki kRi kv Satisfaz os princípios da superposição e da homogeneidade Portanto a relação é linear Considerar agora que uma resposta p seja dada por p i2 Superposição aplicando i1 p1 i1 2 aplicando i2 p2 i2 2 aplicando i1 i2 p i1 i22 i1 2 2i1i2 i2 2 p1 2p1p212 p2 fazendo p1 p2 p i1 2 i2 2 p1 p2 Não satisfaz o princípio da superposição pois i1 i22 i1 2 i2 2 Portanto o comportamento é nãolinear Resistor O resistor é um componente que possui uma propriedade física conhecida como resistência R capaz de opor a passagem de corrente elétrica com menor ou maior intensidade Para um circuito formado por uma bateria e um fio condutor da lei de Ohm temse que onde R é a resistência dada em Ω constante de proporcionalidade A é a área da seção transversal do fio em m2 ρ é a resistividade em Ωm L é o comprimento do fio em m e vt é a tensão em V entre os terminais Então 1Ω 1V1A Assim temse que a tensão é diretamente proporcional à corrente A potência fornecida ao resistor é A L i t v t R L A ρ ρ R R R R R R v t v t v t Ri t i t R R i t 2 2 R R R R R v t p t v t i t R Ri t vt R it A energia absorvida dissipada pelo resistor é Portanto o resistor é um componente passivo pois wRt 0 Uma outra forma de expressar a lei de Ohm é onde G 1R é a condutância dada em siemens S que é a capacidade do componente conduzir corrente elétrica Então 2 2 t R t t R R R t R v t dt R w t p t dt v t i t dt Ri t dt i t Gv t 2 2 Gv t p t v t i t i t G Capacitor O capacitor é um componente que pode ser modelado por duas placas condutoras separadas por uma distância d com um material isolantedielétrico entre elas Uma tensão vC aplicada aos seus terminais fornece a energia necessária para movimentar uma carga q da placa negativa para a placa positiva A carga q do capacitor é proporcional à tensão vC aplicada então onde C é a capacitância constante de proporcionalidade dada em CV e também chamada de farad F A corrente no capacitor é e a tensão no capacitor é onde vCt0 qt0C é a tensão no capacitor no instante t0 que é a condição inicial Normalmente adotase t0 0 C C q t q t Cv t C v t C C C C dq t dv t dv t q t Cv t C i t C dt dt dt 0 0 1 1 t t C C C C t v t i t dt i t dt v t C C q q q v dielétrico placas condutoras paralelas vt C it Para uma tensão constante aplicada a corrente pelo capacitor é nula se comportando como um circuito aberto A potência no capacitor é A energia absorvida armazenada no capacitor considerando vC 0V é Portanto o capacitor é um componente passivo pois wCt 0 O capacitor ideal armazena energia não dissipa podendo ser recuperada O capacitor possui capacidade de armazenar energia na forma de um campo elétrico tensão gerado pela diferença de potencial entre as placas condutoras Os capacitores reais possuem perdas que podem ser modeladas por resistências sendo uma em série baixo valor com o capacitor ideal devido às placas condutoras e outra em paralelo alto valor com o capacitor ideal devido ao dielétrico C C C C C dv t p t v t i t Cv t dt 2 2 t C C C C Cv t w t v t i t dt A tensão em um capacitor não pode variar instantaneamente pois resultaria em uma corrente infinita em um intervalo de tempo nulo Pela lei da conservação de carga a quantidade de carga em um ponto qualquer de um circuito não pode variar instantaneamente ou seja qt deve ser uma função contínua Assim vCt também deve ser contínua Portanto vC0 vC0 vC0 Por outro lado a corrente no capacitor pode variar instantaneamente O valor da capacitância é diretamente proporcional à área entre as placas em m2 e inversamente proporcional à distância entre elas em m da forma onde ε é a permissividade elétrica ou constante dielétrica dada em Fm É um parâmetro que descreve a quantidade de energia que um material isolante é capaz de armazenar por unidade de volume e por unidade de diferença de potencial No vácuo εo 10936π Fm A C d ε Associação em série onde E a capacitância equivalente é dada por Associação em paralelo E a capacitância equivalente é dada por it vt C1 C2 CN v1t v2t vNt 0 1 2 0 1 1 t N N n n t v t v t v t v t i t dt v t C 0 1 0 2 0 0 N v t v t v t v t 1 2 1 1 1 1 1 eq n N C C C C C it C1 i1t vt C2 i2t CN iNt 1 2 1 N N n n dv t i t i t i t i t C dt 1 2 eq n N C C C C C Indutor O indutor é um componente que pode ser modelado como um fio condutor enrolado na forma de uma bobina com N espiras Uma corrente circulando por um fio produz um campo magnético sendo linearmente relacionados O fluxo magnético total Nϕ dado em weber Wb que envolve o indutor é proporcional à corrente que passa por ele Depende do número de espiras N e do fluxo magnético ϕ que envolve uma espira Assim onde L é a indutância constante de proporcionalidade dada em WbA e também chamada de henry H De acordo com a lei de Faraday a variação do fluxo ϕ com o tempo dá origem a uma tensão induzida em cada espira que é proporcional à derivada do fluxo Então Portanto uma tensão vL aplicada entre os terminais da bobina é proporcional à taxa de variação da corrente iL que passa por ela por unidade de tempo A corrente no indutor é onde iLt0 é a corrente no indutor no instante t0 que é a condição inicial Normalmente adotase t0 0 L N t Li t φ L L L d t di t v t N v t L dt dt φ 0 0 1 1 t t L L L L t i t v t dt v t dt i t L L N vt it Nφ vt it L Para uma corrente constante pelo indutor a tensão é nula se comportando como um curtocircuito A potência no indutor é A energia absorvida armazenada no indutor considerando iL 0A é Portanto o indutor é um componente passivo pois wLt 0 O indutor ideal armazena energia não dissipa podendo ser recuperada O indutor possui capacidade de armazenar energia na forma de um campo magnético corrente gerado pela corrente que passa pelo fio condutor Os indutores reais possuem perdas que podem ser modeladas por resistências sendo em série baixo valor com o indutor ideal devido à resistência do fio condutor L L L L L di t p t v t i t Li t dt 2 2 t L L L L Li t w t v t i t dt A corrente em um indutor não pode variar instantaneamente pois resultaria em uma tensão infinita em um intervalo de tempo nulo Pela lei da conservação de fluxo magnético o fluxo magnético não pode variar instantaneamente ou seja ϕt deve ser uma função contínua Assim iLt também deve ser contínua Portanto iL0 iL0 iL0 Por outro lado a tensão no indutor pode variar instantaneamente A indutância de uma bobina na forma de um solenoide é onde N é o número de espiras A é a área da seção reta do núcleo em m2 l é o comprimento da bobina em m d é o diâmetro do núcleo em m e μo é a permeabilidade magnética do vácuo 4π107 Hm A permeabilidade é um parâmetro que quantifica a concentração de fluxo magnético aumentando a indutância da bobina 2 045 oN A L l d µ Associação em série E a indutância equivalente é dada por Associação em paralelo onde E a indutância equivalente é dada por 1 2 1 N N n n di t v t v t v t v t L dt it vt L1 L2 LN v1t v2t vNt 1 2 eq n N L L L L L it L1 i1t vt L2 i2t LN iNt 0 1 2 0 1 1 t N N n n t i t i t i t i t v t dt i t L 0 1 0 2 0 0 N i t i t i t i t 1 2 1 1 1 1 1 eq n N L L L L L Exercícios 1 Utilizando as leis de Kirchhoff de tensão e de corrente e a associação série de capacitores demostrar que a b 2 Utilizando as leis de Kirchhoff de tensão e de corrente e a associação paralela de capacitores demostrar que a b 3 Utilizando as leis de Kirchhoff de tensão e de corrente e a associação série de indutores demostrar que a b 4 Utilizando as leis de Kirchhoff de tensão e de corrente e a associação paralela de indutores demostrar que a b 0 0 1 1 t N n n t v t i t dt v t C 1 2 1 1 1 1 eq N C C C C 1 N n n dv t i t C dt 1 2 eq N C C C C 1 N n n di t v t L dt 1 2 eq N L L L L 0 0 1 1 t N n n t i t v t dt i t L 1 2 1 1 1 1 eq N L L L L 5 Demonstrar que a energia armazenada no capacitor é dada por a b 6 Demonstrar que a energia armazenada no indutor é dada por a b 2 2 C C Cv t w t 2 2 L L Li t w t 2 2 C q t w t C 2 2 L N t w t L φ Solução de circuitos RC e RL no domínio do tempo Equação diferencial representativa para um sistema linear de ordem n considerando xt o sinal de entrada excitação e yt o sinal de saída resposta é A solução de circuitos RC e RL de 1ª ordem no domínio do tempo para tensão ou para corrente considerando um sinal de entrada constante xt A é dada por Resolvendo dy t dy t ay t x t ay t A dt dt 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 n n m m n n m m n n m m d y t d y t dy t d x t d x t dx t a a a a y t b b b b x t dt dt dt dt dt dt ln 1 2 1 2 ln onde A y t at B at B a B at at B dy t dy t dy t dy t dy t A ay t A A ay t a y t adt adt A A dt dt dt a y t y t a a dy t A A a dt B y t at B e e y t e e A a a y t a A A y t e e y t K K e K K e a a 0 at y t y y y e Para t Para t 0 Então a resposta pode ser reescrita da seguinte forma Definindo a constante de tempo como sendo a resposta fica 1 2 2 1 0 0 0 y K K K y K y y 1 A y K a 1 a τ 1 2 2 2 t at at A y t K K e K e A K e a τ τ Um teorema fundamental das equacoes diferenciais afirma que se yt solugao de dyt aytA ese yt solucao de dyt tayt0 entao yt yt yi dt at onde yt éaresposta completa yt a resposta particular ou forgada ou permanente estacionaria yt a resposta homogénea complementar ou natural ou transitoria Sabendo que a e A sao constantes e para que a solugao de yt seja verdadeira temse que y constante K Entao dy t A tM tA yp t k 0 Para a solucao de yt temse que dy t dy t dy t dy t Bilt ay t0 Bolt ay t Bilt adt polo a dt dt dt Yh 1 Yn 1 In y t gt B eM Hl pe y tee ay tKe Entio ytytyt K Ke permanente transitéria Observações 1 Resposta completa yt K1 K2eat p t s y K1 p t 0s y0 K1 K2 2 Resposta homogênea para a 0 yht K2eat K2etτ Considerando τ 1s p t 0s yh0 K2 p t 1τs yh1τ 03678K2 3678 p t 2τs yh2τ 01353K2 1353 p t 3τs yh3τ 00497K2 497 p t 4τs yh4τ 00183K2 183 p t 5τs yh5τ 00067K2 067 p t τs yhτ 0 τ resposta mais lenta τ resposta mais rápida 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 t s yht K2 1 Regime transitório p τ 1 Regime permanente p τ 1 τ 3 τ 5 τ 1 3 Para t s f 1t 0Hz cc Capacitor circuito aberto Indutor curtocircuito Para t 0s f 1t Hz ca Capacitor Indutor 4 Indutor iL0 iL0 iL0 Capacitor vC0 vC0 vC0 0 C C dv t i t dt 0 L L di t v t dt 0 C C dv t i t dt 0 L L di t v t dt Circuito RC sem fonte Chave em A s a 0s Considerar que o circuito esteja nesta posição por muito tempo ou seja tenha atingido o regime permanente Portanto Vg atingiu um valor constante Assim o capacitor comportase como um circuito aberto não circulando corrente pela malha O capacitor irá se carregar com o valor da fonte então V0 Vg vC0 condição inicial Vg Ig Rg V0 C R it A B Rg Vg V0 C Chave em B 0s a s A chave é comutada para B em t 0s e o circuito fica Solução a 1RC τ 1a RC constante de tempo vC0 vC0 vC0 V0 i K1 i 0A K1 0 capacitor é circuito aberto em regime permanente i0 K1 K2 K2 i0 v0R V0R K2 V0R it V0RetRC A p t 0s vt V0etRC V p t 0s V0 C R it vt 1 0 0 1 1 0 0 t c d v t v t Ri t i t dt C dt di t di t R i t R i t dt C dt RC 1 2 1 2 t at i t K K e K K e τ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 t s V0 1V R 05Ω C 2F vt it Circuito RL sem fonte Chave em A s a 0s Considerar que o circuito esteja nesta posição por muito tempo ou seja tenha atingido o regime permanente Portanto Ig atingiu um valor constante Assim o indutor comportase como um curtocircuito e toda a corrente irá circular por ele O indutor carregase com o valor da fonte então I0 Ig iL0 condição inicial it L B A I0 R Rg Ig Ig it L I0 R Rg Chave em B 0s a s A chave é aberta em t 0s e o circuito fica Solução a RL τ 1a LR constante de tempo iL0 iL0 iL0 I0 i K1 i 0A K1 0 indutor é curtocircuito em regime permanente i0 K1 K2 K2 i0 I0 K2 I0 it I0etRL A p t 0s vt RI0etRL V p t 0s it L I0 R vt 0 0 0 L di t v t v t Ri t L L dt di t R i t dt L 1 2 1 2 t at i t K K e K K e τ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 t s I0 1A R 05Ω L 05H vt it Exemplo Assumir que a chave ficou na posição 1 por muito tempo e no instante t 0s a chave é alterada para a posição 2 Calcular it para t 0s Chave na posição 1 s a 0s temse que o capacitor é um circuito aberto Então 12V 6kΩ 100µF it 1 2 3kΩ V0 12V 6kΩ it 3kΩ 0 3k 12 4V 3k 6k condição inicial V Chave na posição 2 0s a s As correntes iTt e iCt foram adotadas com os sentidos indicados assim como a tensão vt com a polaridade indicada 100 6 3 1 1 100 0 100 0 3 6 3 6 100 500 0 100 5 0 T C v t dv t v t i t i t i t k dt k dv t v t v t dv t v t dt k k dt k k dv t dv t v t v t dt dt µ µ µ µ µ µ 1 2 0 1 1 1 2 2 2 5 5 5 02 0 0 0 4 0 0 0 0 4 4 133 mA 3k t C C C t t v t K K e a v v v V V v v K v V K v K K K K v t v t e i t e τ τ 6kΩ 100µF it 3kΩ iTt iCt V0 vt 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 0 1 2 3 4 t s it mA vt V Exercício Assumir que a chave ficou fechada por muito tempo e no instante t 0s a chave é aberta Calcular it para t 0s Resposta it 4e9tA 36V 8Ω it 4Ω 6Ω 2Η 2Ω IT I0 Circuitos RC e RL com fontes constantes Exemplo Calcular it vt e vrt para t 0s Assumir que a chave ficou em sua posição inicial por muito tempo e que no instante t 0s a chave é alterada de posição 10V 4kΩ it 2kΩ 4V 5µF vt vrt 2kΩ 4V vc0 Em t 0s Como o circuito está em regime permanente o capacitor é um circuito aberto e não há corrente circulando Portanto a tensão da fonte aparece sobre os terminais do capacitor Assim vc0 4V condição inicial Para t 0s 10V 4kΩ it 5µF vt vrt vc0 1 10 10 1 1 0 0 1 0 50 0 4 5 t r d v t v t Ri t i t dt C dt di t di t R i t R i t dt C dt RC di t di t i t i t dt k dt µ it K1 K2etτ a 50 τ 20m i K1 i 0A K1 0 i0 K1 K2 K2 i0 1044k 15mA K2 15m it 15e50t mA para t 0s vrt 4x103it 6e50t V para t 0s vt 10 6e50t V para t 0s 0 002 004 006 008 01 012 014 016 018 02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s vt V it mA vtR V Exercícios 1 Calcular it vrt e vLt para t 0s Assumir que a chave ficou em sua posição inicial por muito tempo e que no instante t 0s a chave é alterada de posição Resposta it 6 4e2t A p t 0s vrt 24 16e2t V p t 0s vLt 16e2t V p t 0s 2 Calcular vt para t 0s Assumir que a chave ficou em sua posição inicial por muito tempo e que no instante t 0s a chave é alterada de posição Resposta vt 24 8e3t V p t 0s 24V 4Ω 2H 8Ω it vrt vLt 24V 118F 24Ω 4A vt 4Ω 8Ω Fontes dependentes ou fontes controladas São fontes de tensão ou de corrente que possuem seus valores controlados ou que dependem por outras grandezas tensão ou corrente do circuito Simbologia fonte controlada ou dependente de tensão fonte controlada ou dependente de corrente Existem basicamente quatro tipos de fontes controladas v i Fonte de tensão controlada por tensão FTCT É uma fonte de tensão que possui valor controlado por uma tensão Fonte de tensão controlada por corrente FTCC É uma fonte de tensão que possui valor controlado por uma corrente 2 2 1 1 ganho de tensão v v v v A v A v 2 2 1 1 resistência de transferência v v ri r i Ω Avv1 v1 v2 ri1 i1 v2 Fonte de corrente controlada por tensão FCCT É uma fonte de corrente que possui valor controlado por uma tensão Fonte de corrente controlada por corrente FCCC É uma fonte de corrente que possui valor controlado por uma corrente 2 2 1 1 condutância de transferência S i i gv g v 2 2 1 1 ganho de corrente i i i i Ai A i gv1 v1 i2 i1 Aii1 i2 Exemplo Calcular os valores de i e de v1 Resp i 043A v1 086V Exercícios 1 Calcular os valores de i e de v1 Resp i 3A v1 6V 2 Repetir o exercício 1 com o resistor de 2Ω substituído por um resistor de 1Ω Resp i 15A v1 15V 3 Repetir o exercício 1 com o resistor de 2Ω substituído por um resistor de 4Ω Resp i 3A v1 12V 6Ω 3v1 i v1 6V 2Ω 6Ω 3v1 i v1 6V 2Ω 4 Calcular os valores de v e de i1 Resp v 12V i1 2A 5 Calcular os valores de i1 e de i2 Resp i1 3A i2 2A 12V 4Ω 3Ω 6Ω i1 i i2 v1 3v1 4Ω 2Ω 4A 6Ω 2i1 v i1 i 6 Considerando o amplificador operacional ideal obter o circuito equivalente para uma FTCT relacionando v2 com v1 utilizando as fontes controladas Apresentar o desenvolvimento analítico v1 v2 i1 R1 R2
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de 1 joule J em uma diferença de potencial ddp de 1V entre dois pontos dw t v t dq Poténcia e energia A poténcia é a taxa com a qual a energia é fornecida ou absorvida por unidade de tempo dada em watts W sendo expressa por dwt t Pt Entao 1W 1Js Também dwt dwt dq dwt dq pt vt it dt dt dq dq dt ex vt it Se 1V 1JCe 1A 1Cs entao 1Vx1A 1Js 1W A poténcia absorvida por um componente ou recebida pelo componente ou dissipada pelo componente é aquela em que a corrente entra no terminal positivo da tens4o no componente A poténcia fornecida por um componente é aquela em que a corrente entra no terminal negativo da tensao no componente A energia é a capacidade de realizar trabalho A energia absorvida por um componente é Considerando um instante inicial t0 se o componente recebe potência para t t0 e se t0 0 temse Circuitos e componentes passivos e ativos Componente passivo absorve energia do circuito resistor indutor capacitor Componente ativo fornece energia ao circuito baterias geradores transistores Se em algum instante wt 0 t dw t p t dt dw t p t dt w t p t dt 0 0 t t t w t p t dt p t dt 0 t t w t p t dt v t i t dt Elementos e circuitos lineares Linearidade é a propriedade de um elemento descrever uma relação linear entre causa e efeito Um componente é linear se a relação entre o sinal de excitação entrada e o sinal de resposta saída satisfaz os princípios da superposição aditividade e da homogeneidade mudança de escala Para a superposição a resposta para a soma de entradas deve ser igual a soma das respostas de cada entrada aplicada separadamente Para a homogeneidade se a entrada for multiplicada por uma constante a saída deverá ser multiplicada pela mesma constante Um circuito é linear quando possui apenas elementos lineares componentes lineares fontes lineares dependentes e independentes etc Assim sua saída é linearmente relacionada ou diretamente proporcional à sua entrada Em um componente considerar a corrente como o sinal de excitação e a tensão como o sinal de resposta sendo relacionados por uma constante de proporcionalidade R ou seja v Ri Superposição aplicando i1 v1 Ri1 aplicando i2 v2 Ri2 aplicando i1 i2 v Ri1 i2 Ri1 Ri2 v1 v2 Homogeneidade fazendo ki Rki kRi kv Satisfaz os princípios da superposição e da homogeneidade Portanto a relação é linear Considerar agora que uma resposta p seja dada por p i2 Superposição aplicando i1 p1 i1 2 aplicando i2 p2 i2 2 aplicando i1 i2 p i1 i22 i1 2 2i1i2 i2 2 p1 2p1p212 p2 fazendo p1 p2 p i1 2 i2 2 p1 p2 Não satisfaz o princípio da superposição pois i1 i22 i1 2 i2 2 Portanto o comportamento é nãolinear Resistor O resistor é um componente que possui uma propriedade física conhecida como resistência R capaz de opor a passagem de corrente elétrica com menor ou maior intensidade Para um circuito formado por uma bateria e um fio condutor da lei de Ohm temse que onde R é a resistência dada em Ω constante de proporcionalidade A é a área da seção transversal do fio em m2 ρ é a resistividade em Ωm L é o comprimento do fio em m e vt é a tensão em V entre os terminais Então 1Ω 1V1A Assim temse que a tensão é diretamente proporcional à corrente A potência fornecida ao resistor é A L i t v t R L A ρ ρ R R R R R R v t v t v t Ri t i t R R i t 2 2 R R R R R v t p t v t i t R Ri t vt R it A energia absorvida dissipada pelo resistor é Portanto o resistor é um componente passivo pois wRt 0 Uma outra forma de expressar a lei de Ohm é onde G 1R é a condutância dada em siemens S que é a capacidade do componente conduzir corrente elétrica Então 2 2 t R t t R R R t R v t dt R w t p t dt v t i t dt Ri t dt i t Gv t 2 2 Gv t p t v t i t i t G Capacitor O capacitor é um componente que pode ser modelado por duas placas condutoras separadas por uma distância d com um material isolantedielétrico entre elas Uma tensão vC aplicada aos seus terminais fornece a energia necessária para movimentar uma carga q da placa negativa para a placa positiva A carga q do capacitor é proporcional à tensão vC aplicada então onde C é a capacitância constante de proporcionalidade dada em CV e também chamada de farad F A corrente no capacitor é e a tensão no capacitor é onde vCt0 qt0C é a tensão no capacitor no instante t0 que é a condição inicial Normalmente adotase t0 0 C C q t q t Cv t C v t C C C C dq t dv t dv t q t Cv t C i t C dt dt dt 0 0 1 1 t t C C C C t v t i t dt i t dt v t C C q q q v dielétrico placas condutoras paralelas vt C it Para uma tensão constante aplicada a corrente pelo capacitor é nula se comportando como um circuito aberto A potência no capacitor é A energia absorvida armazenada no capacitor considerando vC 0V é Portanto o capacitor é um componente passivo pois wCt 0 O capacitor ideal armazena energia não dissipa podendo ser recuperada O capacitor possui capacidade de armazenar energia na forma de um campo elétrico tensão gerado pela diferença de potencial entre as placas condutoras Os capacitores reais possuem perdas que podem ser modeladas por resistências sendo uma em série baixo valor com o capacitor ideal devido às placas condutoras e outra em paralelo alto valor com o capacitor ideal devido ao dielétrico C C C C C dv t p t v t i t Cv t dt 2 2 t C C C C Cv t w t v t i t dt A tensão em um capacitor não pode variar instantaneamente pois resultaria em uma corrente infinita em um intervalo de tempo nulo Pela lei da conservação de carga a quantidade de carga em um ponto qualquer de um circuito não pode variar instantaneamente ou seja qt deve ser uma função contínua Assim vCt também deve ser contínua Portanto vC0 vC0 vC0 Por outro lado a corrente no capacitor pode variar instantaneamente O valor da capacitância é diretamente proporcional à área entre as placas em m2 e inversamente proporcional à distância entre elas em m da forma onde ε é a permissividade elétrica ou constante dielétrica dada em Fm É um parâmetro que descreve a quantidade de energia que um material isolante é capaz de armazenar por unidade de volume e por unidade de diferença de potencial No vácuo εo 10936π Fm A C d ε Associação em série onde E a capacitância equivalente é dada por Associação em paralelo E a capacitância equivalente é dada por it vt C1 C2 CN v1t v2t vNt 0 1 2 0 1 1 t N N n n t v t v t v t v t i t dt v t C 0 1 0 2 0 0 N v t v t v t v t 1 2 1 1 1 1 1 eq n N C C C C C it C1 i1t vt C2 i2t CN iNt 1 2 1 N N n n dv t i t i t i t i t C dt 1 2 eq n N C C C C C Indutor O indutor é um componente que pode ser modelado como um fio condutor enrolado na forma de uma bobina com N espiras Uma corrente circulando por um fio produz um campo magnético sendo linearmente relacionados O fluxo magnético total Nϕ dado em weber Wb que envolve o indutor é proporcional à corrente que passa por ele Depende do número de espiras N e do fluxo magnético ϕ que envolve uma espira Assim onde L é a indutância constante de proporcionalidade dada em WbA e também chamada de henry H De acordo com a lei de Faraday a variação do fluxo ϕ com o tempo dá origem a uma tensão induzida em cada espira que é proporcional à derivada do fluxo Então Portanto uma tensão vL aplicada entre os terminais da bobina é proporcional à taxa de variação da corrente iL que passa por ela por unidade de tempo A corrente no indutor é onde iLt0 é a corrente no indutor no instante t0 que é a condição inicial Normalmente adotase t0 0 L N t Li t φ L L L d t di t v t N v t L dt dt φ 0 0 1 1 t t L L L L t i t v t dt v t dt i t L L N vt it Nφ vt it L Para uma corrente constante pelo indutor a tensão é nula se comportando como um curtocircuito A potência no indutor é A energia absorvida armazenada no indutor considerando iL 0A é Portanto o indutor é um componente passivo pois wLt 0 O indutor ideal armazena energia não dissipa podendo ser recuperada O indutor possui capacidade de armazenar energia na forma de um campo magnético corrente gerado pela corrente que passa pelo fio condutor Os indutores reais possuem perdas que podem ser modeladas por resistências sendo em série baixo valor com o indutor ideal devido à resistência do fio condutor L L L L L di t p t v t i t Li t dt 2 2 t L L L L Li t w t v t i t dt A corrente em um indutor não pode variar instantaneamente pois resultaria em uma tensão infinita em um intervalo de tempo nulo Pela lei da conservação de fluxo magnético o fluxo magnético não pode variar instantaneamente ou seja ϕt deve ser uma função contínua Assim iLt também deve ser contínua Portanto iL0 iL0 iL0 Por outro lado a tensão no indutor pode variar instantaneamente A indutância de uma bobina na forma de um solenoide é onde N é o número de espiras A é a área da seção reta do núcleo em m2 l é o comprimento da bobina em m d é o diâmetro do núcleo em m e μo é a permeabilidade magnética do vácuo 4π107 Hm A permeabilidade é um parâmetro que quantifica a concentração de fluxo magnético aumentando a indutância da bobina 2 045 oN A L l d µ Associação em série E a indutância equivalente é dada por Associação em paralelo onde E a indutância equivalente é dada por 1 2 1 N N n n di t v t v t v t v t L dt it vt L1 L2 LN v1t v2t vNt 1 2 eq n N L L L L L it L1 i1t vt L2 i2t LN iNt 0 1 2 0 1 1 t N N n n t i t i t i t i t v t dt i t L 0 1 0 2 0 0 N i t i t i t i t 1 2 1 1 1 1 1 eq n N L L L L L Exercícios 1 Utilizando as leis de Kirchhoff de tensão e de corrente e a associação série de capacitores demostrar que a b 2 Utilizando as leis de Kirchhoff de tensão e de corrente e a associação paralela de capacitores demostrar que a b 3 Utilizando as leis de Kirchhoff de tensão e de corrente e a associação série de indutores demostrar que a b 4 Utilizando as leis de Kirchhoff de tensão e de corrente e a associação paralela de indutores demostrar que a b 0 0 1 1 t N n n t v t i t dt v t C 1 2 1 1 1 1 eq N C C C C 1 N n n dv t i t C dt 1 2 eq N C C C C 1 N n n di t v t L dt 1 2 eq N L L L L 0 0 1 1 t N n n t i t v t dt i t L 1 2 1 1 1 1 eq N L L L L 5 Demonstrar que a energia armazenada no capacitor é dada por a b 6 Demonstrar que a energia armazenada no indutor é dada por a b 2 2 C C Cv t w t 2 2 L L Li t w t 2 2 C q t w t C 2 2 L N t w t L φ Solução de circuitos RC e RL no domínio do tempo Equação diferencial representativa para um sistema linear de ordem n considerando xt o sinal de entrada excitação e yt o sinal de saída resposta é A solução de circuitos RC e RL de 1ª ordem no domínio do tempo para tensão ou para corrente considerando um sinal de entrada constante xt A é dada por Resolvendo dy t dy t ay t x t ay t A dt dt 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 n n m m n n m m n n m m d y t d y t dy t d x t d x t dx t a a a a y t b b b b x t dt dt dt dt dt dt ln 1 2 1 2 ln onde A y t at B at B a B at at B dy t dy t dy t dy t dy t A ay t A A ay t a y t adt adt A A dt dt dt a y t y t a a dy t A A a dt B y t at B e e y t e e A a a y t a A A y t e e y t K K e K K e a a 0 at y t y y y e Para t Para t 0 Então a resposta pode ser reescrita da seguinte forma Definindo a constante de tempo como sendo a resposta fica 1 2 2 1 0 0 0 y K K K y K y y 1 A y K a 1 a τ 1 2 2 2 t at at A y t K K e K e A K e a τ τ Um teorema fundamental das equacoes diferenciais afirma que se yt solugao de dyt aytA ese yt solucao de dyt tayt0 entao yt yt yi dt at onde yt éaresposta completa yt a resposta particular ou forgada ou permanente estacionaria yt a resposta homogénea complementar ou natural ou transitoria Sabendo que a e A sao constantes e para que a solugao de yt seja verdadeira temse que y constante K Entao dy t A tM tA yp t k 0 Para a solucao de yt temse que dy t dy t dy t dy t Bilt ay t0 Bolt ay t Bilt adt polo a dt dt dt Yh 1 Yn 1 In y t gt B eM Hl pe y tee ay tKe Entio ytytyt K Ke permanente transitéria Observações 1 Resposta completa yt K1 K2eat p t s y K1 p t 0s y0 K1 K2 2 Resposta homogênea para a 0 yht K2eat K2etτ Considerando τ 1s p t 0s yh0 K2 p t 1τs yh1τ 03678K2 3678 p t 2τs yh2τ 01353K2 1353 p t 3τs yh3τ 00497K2 497 p t 4τs yh4τ 00183K2 183 p t 5τs yh5τ 00067K2 067 p t τs yhτ 0 τ resposta mais lenta τ resposta mais rápida 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 t s yht K2 1 Regime transitório p τ 1 Regime permanente p τ 1 τ 3 τ 5 τ 1 3 Para t s f 1t 0Hz cc Capacitor circuito aberto Indutor curtocircuito Para t 0s f 1t Hz ca Capacitor Indutor 4 Indutor iL0 iL0 iL0 Capacitor vC0 vC0 vC0 0 C C dv t i t dt 0 L L di t v t dt 0 C C dv t i t dt 0 L L di t v t dt Circuito RC sem fonte Chave em A s a 0s Considerar que o circuito esteja nesta posição por muito tempo ou seja tenha atingido o regime permanente Portanto Vg atingiu um valor constante Assim o capacitor comportase como um circuito aberto não circulando corrente pela malha O capacitor irá se carregar com o valor da fonte então V0 Vg vC0 condição inicial Vg Ig Rg V0 C R it A B Rg Vg V0 C Chave em B 0s a s A chave é comutada para B em t 0s e o circuito fica Solução a 1RC τ 1a RC constante de tempo vC0 vC0 vC0 V0 i K1 i 0A K1 0 capacitor é circuito aberto em regime permanente i0 K1 K2 K2 i0 v0R V0R K2 V0R it V0RetRC A p t 0s vt V0etRC V p t 0s V0 C R it vt 1 0 0 1 1 0 0 t c d v t v t Ri t i t dt C dt di t di t R i t R i t dt C dt RC 1 2 1 2 t at i t K K e K K e τ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 t s V0 1V R 05Ω C 2F vt it Circuito RL sem fonte Chave em A s a 0s Considerar que o circuito esteja nesta posição por muito tempo ou seja tenha atingido o regime permanente Portanto Ig atingiu um valor constante Assim o indutor comportase como um curtocircuito e toda a corrente irá circular por ele O indutor carregase com o valor da fonte então I0 Ig iL0 condição inicial it L B A I0 R Rg Ig Ig it L I0 R Rg Chave em B 0s a s A chave é aberta em t 0s e o circuito fica Solução a RL τ 1a LR constante de tempo iL0 iL0 iL0 I0 i K1 i 0A K1 0 indutor é curtocircuito em regime permanente i0 K1 K2 K2 i0 I0 K2 I0 it I0etRL A p t 0s vt RI0etRL V p t 0s it L I0 R vt 0 0 0 L di t v t v t Ri t L L dt di t R i t dt L 1 2 1 2 t at i t K K e K K e τ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 t s I0 1A R 05Ω L 05H vt it Exemplo Assumir que a chave ficou na posição 1 por muito tempo e no instante t 0s a chave é alterada para a posição 2 Calcular it para t 0s Chave na posição 1 s a 0s temse que o capacitor é um circuito aberto Então 12V 6kΩ 100µF it 1 2 3kΩ V0 12V 6kΩ it 3kΩ 0 3k 12 4V 3k 6k condição inicial V Chave na posição 2 0s a s As correntes iTt e iCt foram adotadas com os sentidos indicados assim como a tensão vt com a polaridade indicada 100 6 3 1 1 100 0 100 0 3 6 3 6 100 500 0 100 5 0 T C v t dv t v t i t i t i t k dt k dv t v t v t dv t v t dt k k dt k k dv t dv t v t v t dt dt µ µ µ µ µ µ 1 2 0 1 1 1 2 2 2 5 5 5 02 0 0 0 4 0 0 0 0 4 4 133 mA 3k t C C C t t v t K K e a v v v V V v v K v V K v K K K K v t v t e i t e τ τ 6kΩ 100µF it 3kΩ iTt iCt V0 vt 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 0 1 2 3 4 t s it mA vt V Exercício Assumir que a chave ficou fechada por muito tempo e no instante t 0s a chave é aberta Calcular it para t 0s Resposta it 4e9tA 36V 8Ω it 4Ω 6Ω 2Η 2Ω IT I0 Circuitos RC e RL com fontes constantes Exemplo Calcular it vt e vrt para t 0s Assumir que a chave ficou em sua posição inicial por muito tempo e que no instante t 0s a chave é alterada de posição 10V 4kΩ it 2kΩ 4V 5µF vt vrt 2kΩ 4V vc0 Em t 0s Como o circuito está em regime permanente o capacitor é um circuito aberto e não há corrente circulando Portanto a tensão da fonte aparece sobre os terminais do capacitor Assim vc0 4V condição inicial Para t 0s 10V 4kΩ it 5µF vt vrt vc0 1 10 10 1 1 0 0 1 0 50 0 4 5 t r d v t v t Ri t i t dt C dt di t di t R i t R i t dt C dt RC di t di t i t i t dt k dt µ it K1 K2etτ a 50 τ 20m i K1 i 0A K1 0 i0 K1 K2 K2 i0 1044k 15mA K2 15m it 15e50t mA para t 0s vrt 4x103it 6e50t V para t 0s vt 10 6e50t V para t 0s 0 002 004 006 008 01 012 014 016 018 02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s vt V it mA vtR V Exercícios 1 Calcular it vrt e vLt para t 0s Assumir que a chave ficou em sua posição inicial por muito tempo e que no instante t 0s a chave é alterada de posição Resposta it 6 4e2t A p t 0s vrt 24 16e2t V p t 0s vLt 16e2t V p t 0s 2 Calcular vt para t 0s Assumir que a chave ficou em sua posição inicial por muito tempo e que no instante t 0s a chave é alterada de posição Resposta vt 24 8e3t V p t 0s 24V 4Ω 2H 8Ω it vrt vLt 24V 118F 24Ω 4A vt 4Ω 8Ω Fontes dependentes ou fontes controladas São fontes de tensão ou de corrente que possuem seus valores controlados ou que dependem por outras grandezas tensão ou corrente do circuito Simbologia fonte controlada ou dependente de tensão fonte controlada ou dependente de corrente Existem basicamente quatro tipos de fontes controladas v i Fonte de tensão controlada por tensão FTCT É uma fonte de tensão que possui valor controlado por uma tensão Fonte de tensão controlada por corrente FTCC É uma fonte de tensão que possui valor controlado por uma corrente 2 2 1 1 ganho de tensão v v v v A v A v 2 2 1 1 resistência de transferência v v ri r i Ω Avv1 v1 v2 ri1 i1 v2 Fonte de corrente controlada por tensão FCCT É uma fonte de corrente que possui valor controlado por uma tensão Fonte de corrente controlada por corrente FCCC É uma fonte de corrente que possui valor controlado por uma corrente 2 2 1 1 condutância de transferência S i i gv g v 2 2 1 1 ganho de corrente i i i i Ai A i gv1 v1 i2 i1 Aii1 i2 Exemplo Calcular os valores de i e de v1 Resp i 043A v1 086V Exercícios 1 Calcular os valores de i e de v1 Resp i 3A v1 6V 2 Repetir o exercício 1 com o resistor de 2Ω substituído por um resistor de 1Ω Resp i 15A v1 15V 3 Repetir o exercício 1 com o resistor de 2Ω substituído por um resistor de 4Ω Resp i 3A v1 12V 6Ω 3v1 i v1 6V 2Ω 6Ω 3v1 i v1 6V 2Ω 4 Calcular os valores de v e de i1 Resp v 12V i1 2A 5 Calcular os valores de i1 e de i2 Resp i1 3A i2 2A 12V 4Ω 3Ω 6Ω i1 i i2 v1 3v1 4Ω 2Ω 4A 6Ω 2i1 v i1 i 6 Considerando o amplificador operacional ideal obter o circuito equivalente para uma FTCT relacionando v2 com v1 utilizando as fontes controladas Apresentar o desenvolvimento analítico v1 v2 i1 R1 R2