Cálculo de Juros Simples e Montante em Matemática Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA Adriana Claudia Schmidt Juros simples Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Calcular juros simples e montante Descobrir o valor futuro com base no cálculo de juros simples Resolver problemas que envolvem operações com juros simples Introdução A capitalização simples é utilizada no mercado financeiro especificamente em operações de curto prazo O desenvolvimento desses cálculos é extremamente simples pois os juros incidem somente sobre o capital inicial ou seja o juro produzido em cada período é constante Neste capítulo você vai entender e praticar as fórmulas básicas utiliza das no cálculo de juros simples assim como resolver exemplos utilizados nessa capitalização Para entender melhor o conceito de juros simples você vai trabalhar com aplicações práticas de fácil entendimento Assim vai perceber a importância do cálculo do valor futuro e de todas as ope rações relacionadas à capitalização simples Cálculo de juros e aplicações Entender os juros simples ou a capitalização simples vai auxiliálo em cálculos futuros em especial nos juros compostos uma vez que o juro simples lhe dará todo o embasamento necessário para cálculos mais aprofundados Conforme Almeida 2016 os juros simples são utilizados no mercado financeiro nas operações de curtíssimo prazo desde que não maiores de 30 dias ou que não há capitalizações intermediárias durante todo o período em que os juros são computados OLIVEIRA 2009 p426 hot money empréstimo diário e renovável cheque especial desconto de títulos notas promissórias e duplicatas desconto antecipado de cheques Nos cálculos financeiros é preciso considerar o tempo de duas formas o tempo exato e o tempo aproximado Tempo exato É quando consideramos o número exato de dias de um intervalo Para saber o número exato de dias considerando que os meses variam entre 28 e 31 dias você pode fazer isso verifi cando em um calendário ou por meio de uma calculadora fi nanceira HP 12c Veja a seguir um exemplo para calcular o número exato de dias pela HP 12c Determine o número exato de dias entre 24052019 e 31122019 Regule a sua calculadora no sistema brasileiro g DMY Insira na calculadora 24052019 ENTER 31122019 g DYS está na tecla EEX A resposta será 221 dias exatos O tempo exato corresponde ao ano civil que tem 365 dias ou 366 dias se o ano for bissexto Tempo aproximado É quando consideramos qualquer mês como tendo 30 dias O tempo aproxi mado é calculado a partir do ano comercial ou ordinário considerandose 360 dias Veja a seguir como resolver o exemplo anterior considerando tempo aproximado Determine o número aproximado de dias entre 24052019 e 31122019 Insira na calculadora 24052019 ENTER 31122019 g DYS está na tecla EEX A resposta novamente será 221 dias exatos Tecle x y A resposta será 217 dias aproximados Se o tempo não for mencionado considere sempre o ano comercial ou seja o tempo aproximado em que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias Juros simples 2 A capitalização simples acontece de forma linear isto é o juro é gerado somente sobre o capital inicial A seguir você verá a introdução das principais fórmulas dos juros simples e as suas aplicações onde J juro PV valor principal capital ou valor inicial i taxa de juros que deve ser decimal n prazo tempo número de períodos É importante lembrar que o tempo n e a taxa de juros i devem estar na mesma unidade Assim se a taxa for em dias o tempo também deverá ser em dias já se a taxa for em anos o tempo deverá ser em anos e assim por diante Se isso não ocorrer no problema com o qual você está lidando você poderá modificar tanto a taxa como o tempo transformandoos na mesma unidade Exemplo 1 Antônio empresta a seu irmão uma quantia de 670000 para serem pagos daqui a seis meses cobrando uma taxa de juros simples de 2 ao mês Quanto de juros Antônio receberá Resolução PV 670000 n 6 meses i 2 am 100 002 J Lembrese de que a taxa de juros quando substituída em qualquer fórmula deve ser sempre unitária ou seja dividida por 100 como demonstrado no exemplo acima Na situação do exemplo a taxa e o tempo estão na mesma unidade não sendo necessário transformálos 3 Juros simples Para calcular os juros na calculadora HP 12c é imprescindível que o tempo seja em dias e a taxa em anos Logo no Exemplo 1 seria necessário transformar seis meses em 180 dias 6 x 30 e 2 am em 24 aa 2 x 12 Resolução 6700 CHS PV 180 n 24 i f INT para calcular o juro Por meio da fórmula do juro simples é possível demonstrar as suas fórmulas decorrentes como você verá a seguir Valor principal É o valor atual ou aquilo que temos em mãos hoje É também chamado de capital onde J juros i taxa de juros n tempo Exemplo 2 Carla aplicou certo valor a uma taxa de juros simples de 14 ao semestre durante 12 meses tendo um rendimento de 135000 Qual o valor aplicado por Carla i 14 as 100 014 n 12 meses 2 semestres J 1350 Juros simples 4 PV 1 ano 2 semestres 4 trimestres 6 bimestres 12 meses Número de períodos É o tempo que um valor pode fi car aplicado isto é o tempo que decorre do início ao fi nal de uma operação fi nanceira O número de períodos é representado pela letra n e a fórmula utilizada é a seguinte onde J juros PV valor principal i taxa de juros Exemplo 3 Adão aplicou o seu décimo terceiro salário no valor de 370370 no banco X a uma taxa de juros simples de 15 ao mês tendo um rendimento de 50000 Durante quantos meses Adão deixou o seu dinheiro aplicado PV 370370 i 15 am 100 0015 J 500 5 Juros simples N Taxa de juros A taxa de juros é representada pela letra i Tratase do valor cobrado por algum empréstimo ou do valor atribuído a alguma aplicação A fórmula usual no juro simples é a seguinte onde J juros PV valor principal n tempo Exemplo 4 Ana aplicou as suas economias no valor de 1100000 e resgatou cinco anos depois o valor de 1830000 Qual a taxa mensal de juros dessa aplicação PV 1100000 J 1830000 1100000 730000 n 5 anos 60 meses i Juros simples 6 Quando você encontra a taxa de juros ela sempre será decimal Então para transformá la em percentual você deverá multiplicar o número encontrado por 100 Valor futuro na capitalização simples Montante Também chamado de valor futuro o montante é representado pelas letras M S ou FV Neste capítulo vamos utilizar o FV por ser uma das teclas da calcu ladora HP 12c Por defi nição montante é a soma do capital aos juros Então Colocando em evidência o PV que é o termo comum temos Exemplo 5 Você aplicou 800000 a uma taxa de juros simples de 13 ao mês durante 10 meses Determine o valor acumulado ao fi nal desse período PV 8000 i 13 100 0013 n 10 meses PV No Exemplo 6 as taxas não são equivalentes 7 Juros simples Exemplo 6 Um investidor aplicou o valor de 15000000 em títulos de capitalização que lhe renderão uma taxa de juros simples de 48 ao bimestre durante um semestre Qual será o valor do resgate ao fi nal desse prazo PV 150000 i 48 100 0048 n 1 semestre 3 bimestres FV Na utilização de fórmulas é importante lembrar as regras básicas da matemática Primeiramente você deve resolver a multiplicação e a divisão por último resolve a adição e a subtração Ainda primeiramente você deve resolver os parênteses depois os colchetes e por último as chaves Para realizar o cálculo anterior na HP 12c você precisa transformar a taxa mensal em anual fazendo 13 12 156 aa e o tempo mensal em dias fazendo 10 meses 30 300 dias Na HP 12c 8000 CHS PV 156 i 300 n f int Juros simples 8 Taxas proporcional e equivalente Em muitos problemas de juros simples as taxas e o tempo não estão na mesma unidade e como você viu anteriormente é necessário que haja essa homogeneidade Assim nos juros simples tanto a taxa como o tempo podem ser modifi cados Para Veras 2005 duas taxas se dizem proporcionais quando há uma proporção entre as grandezas em que se expressam e as durações dos períodos de tempo a que se referem Na capitalização simples as taxas propor cionais são equivalentes isto é elas são consideradas a mesma coisa Logo a colocação proporcional ou equivalente é indiferente pois elas são idênticas Exemplo 7 Dada a taxa de 20 ao trimestre determine as taxas equivalentes mensal bimestral e anual Resolução Trimestral para mensal basta dividir por 3 pois um trimestre tem três meses Trimestral para bimestral você pode usar a taxa mensal e multiplicar por 2 pois um bimestre tem dois meses Ainda pode usar a taxa trimestral e dividir por 15 pois um trimestre corresponde a um bimestre e meio Trimestral para anual você deverá multiplicar por 4 pois um ano tem quatro trimestres Na capitalização simples ao realizar transformações das taxas em que você tem o maior período e quer encontrar o menor basta dividir pelo correspondente Se você tiver o menor período e quer encontrar o maior multiplique pelo correspondente 9 Juros simples Juro exato e juro comercial Ambos os tipos de juros são calculados da mesma maneira o que difere é o tempo em relação a cada um Para Assaf Neto 2012 é comum nas operações de curto prazo em que predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples o prazo ser defi nido em número de dias Nesse caso o número de dias pode ser calculado de duas maneiras Pelo tempo exato utilizandose efetivamente o calendário do ano civil 365 dias O juro apurado dessa maneira denominase juro exato Pelo ano comercial o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias Nesse critério denominase juro comercial ou ordinário Exemplo 8 Encontre a taxa diária pelos critérios do juro exato e comercial equivalente a 16 ao ano Juro exato Juro comercial Todas essas relações são muito importantes em cálculos da capitalização simples em especial os juros e o montante Veja o Exemplo 9 Exemplo 9 Uma quantia de 5000000 foi aplicada em 18 de agosto para ser resgatada em 20 de novembro a uma taxa de 21 ao ano Calcule o montante a ser resgatado considerando os juros comerciais e exatos Primeiramente vamos explorar os dados do problema No juro comer cial o ano tem 360 dias e cada mês tem 30 dias Logo 18 de agosto a 18 de setembro 30 dias 18 de setembro a 18 de outubro 30 dias 18 de outu bro a 18 de novembro 30 dias 18 de novembro a 20 de novembro 2 dias Portanto o total é 92 dias No juro exato o processo é o mesmo mas você precisará ter conhecimento dos dias exatos de cada mês Então 18 de agosto Juros simples 10 a 18 de setembro 31 dias agosto tem 31 dias 18 de setembro a 18 de outubro 30 dias 18 de outubro a 18 de novembro 31 dias outubro tem 31 dias 18 de novembro a 20 de novembro 2 dias Portanto o total no juro exato será de 94 dias Resolução pelo juro comercial PV 50000 n 92 dias i FV 50000 1053636 FV Resolução pelo juro exato PV 50000 n 94 dias i FV Dependendo do número de casas que você utilizar após a vírgula o resultado pode divergir O ideal é usar o maior número de casas possíveis após a vírgula 11 Juros simples Resolução de problemas Conforme Puccini e Puccini 2006 p 22 na prática os juros simples são bastante utilizados pelo mercado pela facilidade de cálculo e porque aumentam fi cticiamente a rentabilidade efetiva das aplicações fi nanceiras A partir de agora você vai acompanhar a utilização das principais fórmulas do regime de juros simples e as suas aplicações em problemas do mercado Exemplo 10 Seu João aplicou em uma instituição fi nanceira o valor de 18000000 resgatando 21000000 quatro meses depois Calcule a taxa mensal de juros simples auferida nessa aplicação PV 180000 n 4 meses FV 210000 J FV PV J 210000 180000 30000 i Tanto na convenção linear juros simples como na convenção exponencial juro composto podese dizer que FV PV J PV FV J J FV PV Juros simples 12 Exemplo 11 Juliana vai precisar de 12000000 daqui a 11 meses para comprar um terreno Quanto Juliana deverá depositar hoje num fundo de poupança que remunera a uma taxa linear de 10 ao ano FV 120000 n 11 meses i 10 aa 100 01 12 0008333 am PV Exemplo 12 Determine a taxa trimestral de juros simples que faz com que um capital dobre de valor após um ano PV 100 FV 200 J 200 100 100 n 1 ano 4 trimestres i Na resolução de problemas em que você não conhece os valores você pode atribuir qualquer valor Por convenção é recomendável utilizar 100 como base de cálculo Exemplo 13 Antônio depositou o valor de 60000 aplicados a uma taxa de 22 ao ano durante 25 dias Quais os juros recebidos por Antônio PV 600 n 25 dias 13 Juros simples i 22 100 022 360 dias 0000611 ad Por padrão você sempre deverá usar os juros comerciais ano igual a 360 dias a menos que seja explicitado o contrário Exemplo 14 Uma pessoa aplica 1200000 a 28 ao ano de 12 de maio a 31 de dezembro do mesmo ano Determine os juros exatos e o tempo exato pela convenção linear PV 12000 n 233 dias i 28 100 028 365 dias 0000767 ad Para calcular o número de dias exatos você pode utilizar o calendário tabelas ou ainda uma calculadora HP 12c Acompanhe o exemplo anterior pela HP 12c 12052019 ENTER você pode considerar qualquer ano 31122019 g DYS 233 dias Juros simples 14 Exemplo 15 Ana aplicou na poupança o valor de 500000 a uma taxa de 18 ao bimestre resgatando um montante de 625000 Durante quantos meses Ana deixou esse valor aplicado PV 5000 FV 6250 J 6250 5000 1250 i 18 100 0018 2 0009 am O juro simples é uma parte da matemática financeira baseada no cálculo do capital principal independentemente dos aumentos no decorrer do tempo Com base no que você viu até aqui poderá verificar as diversas fórmulas para resolver problemas financeiros taxas de juros capital e montante ALMEIDA J T S Matemática financeira Rio de Janeiro LTC 2016 ASSAF NETO A Matemática financeira e suas aplicações 12 ed São Paulo Atlas 2012 PUCCINI A L PUCCINI A Matemática financeira objetiva e aplicada São Paulo Sa raiva 2006 VERAS L L Matemática financeira São Paulo Atlas 2005 15 Juros simples Encerrra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo