Matemática Financeira: Fundamentos e Aplicações

MATEMÁTICA FINANCEIRA fundamentos e aplicações Catalogação na publicação Poliana Sanchez de Araujo CRB 102094 D136m Dal Zot Wili Matemática financeira fundamentos e aplicações recurso eletrônico Wili Dal Zot Manuela Longoni de Castro Porto Alegre Bookman 2015 Editado como livro impresso em 2015 ISBN 9788582603338 1 Matemática financeira I Castro Manuela Longoni de II Título CDU 51 Os autores Wili Dal Zot É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRGS desde 1984 É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS espe cialista em Finanças pela Escola de PósGraduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas FGV e mes tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas EBAPE pela mesma instituição Atualmente é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças Corporativas em cursos de PósGraduação Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços Manuela Longoni de Castro É bacharel em Matemática pela UFRGS mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e PhD em Matemática pela University of New Mexico Estados Unidos É professora adjunta da Universidade Federal do Rio Grande do Sul desde 2006 ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007 Tem experiência na área de Matemática Aplicada atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais Aná lise Numérica e Ecologia Matemática CAPÍTULO 5 TAXAS 51 Introdução Na prática comercial e bancária o termo taxa tem sido utilizado com diversos significados e em diferentes situações Assim é importante distinguir algumas dessas situações para que se possam aplicar os conceitos e as fórmulas adequadamente 511 Diversas abordagens sobre taxas de juros Algumas das abordagens mais frequentes são Quanto à comparação entre taxas Taxas proporcionais entre si Taxas equivalentes entre si Quanto à forma de capitalização Taxas de juros simples Taxas de juros compostos Taxas efetivas Taxas nominais Em ambiente inflacionário Taxas aparente Taxas de inflação ou de correção monetária Taxas reais Em operações de desconto Taxas racionais ou taxas por dentro Taxas de desconto ou taxas por fora 34 Matemática Financeira 52 Taxas proporcionais CONCEITO 51 Duas taxas de juros são ditas proporcionais entre si quando a relação de seus valores é a mesma que existe entre os tempos representados por elas DAL ZOT 2008 p 32 ASSAF NETO 2009 p 8 Por exemplo 6 ao ano é uma taxa proporcional a 3 ao semestre porque Outros exemplos de taxas proporcionais entre si 12 aa e 1 am 24 at e 8 am Observe que a existência de proporcionalidade entre duas taxas é uma propriedade intrínseca a elas e independe do regime de capitalização dos juros 53 Taxas equivalentes CONCEITO 52 Duas taxas de juros são denominadas equivalentes entre si quando aplicadas sobre um mesmo capital durante um mesmo período de tempo reproduzem a mesma quantia de juros ou o mesmo montante DAL ZOT 2008 p 33 ASSAF NETO 2009 p 8 SAMANEZ 2002 p 49 No caso da equivalência de taxas devemos considerar as diferenças entre os regimes de juros simples e compostos uma vez que nas mesmas condições eles reproduzem juros diferentes Assim duas taxas podem ser equivalentes em um regime simples ou composto mas não o serão no outro 531 Juros simples Vamos examinar a condição de equivalência entre as taxas mensal im e anual ia no regime de juros simples Para que elas sejam equivalentes devem reproduzir os mesmos juros logo o mesmo montante Se considerarmos uma aplicação P após o período de 1 ano teremos as seguintes equações ia im se e somente se garantirem a igualdade das equações a seguir S P1 ia1 e S P1 im12 ou ia1 im12 Logo para que ia im devemos ter Verificase que a relação entre as taxas equivalentes ia e im é o número 12 que é justa mente a relação de proporcionalidade entre as unidades dos prazos 1 ano tem 12 meses ou seja para essas taxas serem equivalentes também devem ser proporcionais Em juros simples duas taxas são equivalentes entre si se e somente se forem propor cionais entre si Capítulo 5 Taxas 35 Generalizando as taxas i1 e i2 serão equivalentes entre si em juros simples consideran dose um prazo medido por n1 na unidade de tempo de i1 e n2 na unidade de tempo de i2 que satisfaça as seguintes equações S P1 i1n1 e S P1 i2n2 Resumindo Juros simples i1 i2 se e somente se i1n1 i2n2 EXEMPLO 51 Calcular a taxa trimestral equivalente a 1350 aa em juros simples Dados ia 1350 0135 aa it Solução it4 ia1 1 ano tem 4 trimestres it it 0 0337500 337500 Resposta 338 at1 532 Juros compostos Considere as equações a seguir S1 P1 ia1 S2 P1 im12 No regime de juros compostos para que ocorra equivalência entre as taxas mensal e anual im ia é necessário que S1 S2 ou seja 1 ia1 1 im12 de onde podemos concluir que e Observe que nos juros compostos a relação entre os prazos encontrase num expo ente Generalizando as taxas i1 e i2 serão equivalentes entre si considerandose um prazo medido por n1 na unidade de tempo de i1 e n2 na unidade de tempo de i2 que satisfaça as equações S P1 i1n1 e S P1 i2n2 1 Note que a resposta foi dada em taxa percentual com duas decimais sendo essa a forma mais usual e a adotada como padrão neste livro salvo menção em contrário 36 Matemática Financeira Logo se e somente se Juros compostos Taxas proporcionais em geral não são equivalentes no regime de juros compostos EXEMPLO 52 Calcular a taxa anual equivalente a 9 ao trimestre em juros compostos Dados ia it 9 009 at n 1a n1 1a n2 4t Tomase o prazo de 1 ano como referência para a compara ção entre as taxas Ao utilizarmos a taxa anual consideramos o tempo em 1 ano e para a taxa trimestral 4 trimestres Solução 1 ia1 1 it4 ia 1 it4 1 ia 1 0094 1 0411582 Resposta 4116 aa Usando a calculadora 1 0094 1 ALG RPN 109 yx 109 ENTER 4 4 yx 1 1 0411582 04115821 EXEMPLO 53 Calcular a taxa mensal equivalente a 14 ao semestre em juros compostos Dados im is 14 014 as n 1s n1 1s n2 6m Tomase o prazo de 1 semestre como referência para a comparação entre as taxas Ao utilizarmos a taxa semestral consideramos o tempo em 1 semestre e para a taxa mensal 6 meses Solução Resposta 221 am Capítulo 5 Taxas 37 Usando a calculadora ALG RPN 114 yx 114 ENTER 6 1x 6 1x yx 1 1 0022078 0022078 Outra maneira de calcular taxas equivalentes em juros compostos é utilizar os recur sos préprogramados existentes nas calculadoras financeiras Partese do conceito de taxas equivalentes da escolha de um principal qualquer R 10000 por exemplo e de um prazo de duração normalmente o correspondente à taxa de maior prazo como referência de com paração Os cálculos são feitos em duas etapas Primeiro se calcula o montante considerando o principal escolhido a taxa de juros co nhecida e o prazo de 1 ano ajustado à unidade de tempo da taxa conhecida Depois se calcula a taxa equivalente à taxa informada a partir dos dados anteriores mesmo principal mesmo montante e mesmo prazo ajustando apenas a quantidade do prazo à unidade de tempo da taxa Calcular as taxas equivalentes nos exemplos anteriores usando o recurso préprograma do para juros compostos da calculadora financeira Exemplo 2 Exemplo 3 clear fin clear fin 100 PV 100 PV 9 i 14 i 4 n 1 n FV 141158161 FV 114000000 1 n 6 n i 41158161 i 2207824 Observe que as respostas em taxas quando utilizado o recurso préprogramado das calculadoras financeiras são dadas no formato percentual 54 Taxa nominal Na prática comercial e bancária há duas maneiras de enunciar problemas em juros compos tos Seja o exemplo de um empréstimo de R 10000 durante um ano podemos enunciálo Calcular o valor de resgate de um empréstimo de R 10000 após 1 ano à taxa de juros compostos de 12 ao ano Calcular o valor de resgate de um empréstimo de R 10000 após 1 ano à taxa de juros compostos de 12 ao ano capitalizados compostos mensalmente 38 Matemática Financeira Para o primeiro caso usamos como solução a equação conhecida S P1 ia1 1001 012 11200 Observe que o juro calculado foi exatamente o esperado 12 sobre o capital emprestado A taxa que reproduz juros correspondentes ao percentual esperado é denominada taxa efetiva DAL ZOT 2008 p 71 PUCCINI 2009 p 62 Já na segunda situação temos uma novidade a simultaneidade de duas unidades de tempo diferentes ano e mês na referência da taxa ao ano mas capitalizados mensalmente indica pela prática secular desse enunciado que se deve usar uma taxa de juros compostos de 1 ao mês Assim teremos S P1 in 1001 00112 112 68 Nesse caso o resul tado foi 1268 sobre o capital emprestado bem diferente da taxa enunciada Quando isso ocorre a taxa do enunciado é denominada taxa nominal PUCCINI 2009 p 73 SAMANEZ 2002 p 37 CONCEITO 53 Denominase taxa nominal iN a toda taxa de juros que é apresentada com um período de capitalização diferente da unidade de tempo da taxa A taxa nominal não expressa adequadamente o rendimento ou custo de um empréstimo ou apli cação financeira Logo quando ela ocorre devese encontrar a taxa efetiva correspondente O enunciado sugere que uma taxa efetiva é a taxa proporcional da taxa nominal no período de capitalização Para calcular a taxa efetiva a partir de uma taxa nominal devese seguir os seguintes passos Passo 1 encontrar a taxa proporcional à taxa nominal do enunciado ela é a taxa efetiva do problema na unidade de tempo correspondente ao período de capitalização no exemplo Passo 2 por meio da equivalência em juros compostos encontrar a taxa efetiva na uni dade de tempo desejada no exemplo ia 1 00112 1 0 126825 1268 aa Observe que uma vez encontrada uma taxa efetiva a partir de um enunciado contendo taxa nominal todas as demais taxas equivalentes em juros compostos são taxas efetivas do problema VIEIRA SOBRINHO 2000 p 191 EXEMPLO 54 Calcular a taxa efetiva anual de 10 ao ano compostos mensalmente Dados i iN 10 010 aa cap mens2 Solução Resposta 1047 2 Observe que é fundamental a identificação do período de capitalização na taxa nominal Capítulo 5 Taxas 39 Usando a calculadora ALG RPN FIN 10 10 ENTER clear fin 12 12 10 ENTER 1 yx 1 12 i 12 12 yx 100 PV 1 1 12 n 0104713 0104713 FV 1 n i 104713 EXEMPLO 55 Calcular a taxa efetiva anual correspondente à taxa de juros de 12 ao semestre compostos trimestralmente Dados i iN 12 012 as cap trim Solução Resposta 2625 Usando a calculadora ALG RPN FIN 12 12 ENTER clear fin 2 2 12 ENTER 1 yx 1 2 i 4 4 yx 100 PV 1 1 4 n 0262477 0262477 FV 1 n i 262477 40 Matemática Financeira EXEMPLO 56 Calcular o valor de resgate de uma aplicação financeira de R 4300000 à taxa de 8 ao ano compostos mensalmente após 7 meses Dados S P 43000 n 7 m iN 8 008 aa cap mens Solução S P1 in mas como i é uma taxa efetiva e a taxa conhecida é uma taxa nominal iN substituise ajustandose n à unidade do período de capitalização Passamos de uma taxa anual para uma mensal dividindo a taxa anual nominal por 12 que é o número de meses que tem um ano Logo Resposta R 4504725 Usando a calculadora ALG RPN FIN 08 08 ENTER clear fin 12 12 8 ENTER 1 yx 1 12 i RPN 7 7 yx 43000 PV 43000 43000 7 n 450472489 450472489 FV 450472489 Caso o problema envolva a convenção linear para períodos não inteiros a fórmula que teremos que substituir passa a ser onde k é a parte inteira de n e sua parte fracionária conforme o Capítulo Juros Compostos EXEMPLO 57 Qual é o valor de resgate de uma aplicação de R 2700000 à taxa de 10 ao ano compostos trimestralmente após 285 dias considerandose a convenção linear para períodos não inteiros Dados S P 27000 iN 10 010 aa cap trim n 285 d Capítulo 5 Taxas 41 Solução 1 Transformase a taxa nominal em efetiva at 2 Adequase o prazo para trimestres t t t t 3 Fórmula da convenção linear Resposta R 2919720 Usando a calculadora ALG RPN FIN 1 4 1 1 ENTER 4 1 clear fin yx 3 3 yx 10 ENTER 4 i 1 4 1 ENTER 4 285 ENTER 90 n 15 90 1 15 90 1 27000 PV 27000 27000 FV 2919719707 2919719707 2919719707 O recurso financeiro préprogramado para a convenção linear está disponível apenas nas cal culadoras HP 12c para usálo é necessário que o visor não tenha a letra C indicador de con venção exponencial para se tirar ou colocar a opção devese teclar seguido de Onde a taxa nominal é utilizada A nível internacional predomina o uso da taxa nominal logo contratos de financia mento em moeda estrangeira são feitos com taxas nominais A poupança no Brasil durante longos períodos além de correção monetária remune rava a uma taxa de juros juros de 6 aa capitalizados mensalmente que equivale às taxas efetivas de 05 am ou 617 aa No mercado financeiro a taxaover de 3 am de uma determinada aplicação significa que a taxa diária da referida aplicação foi de O BNDES e a maioria do sistema financeiro brasileiro preferem o uso de taxas efetivas A Caixa Econômica Federal tem por hábito indicar em seus contratos ambas as taxas nominal e efetiva fazendo menção explícita a elas 55 Taxas de inflação Em ambiente de inflação é importante se desdobrar a taxa efetiva em duas partes a que cor responde ao componente meramente inflacionário e a dos juros propriamente ditos Temos então as seguintes taxas 42 Matemática Financeira Taxa aparente de juros é a taxa efetiva de juros contendo porém o componente da inflação Taxa de correção monetária corresponde à atualização da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação Taxa real de juros é também uma taxa efetiva de juros mas sem o componente da in flação A Matemática Financeira costuma dedicar um tópico específico para o estudo da inflação Neste livro a matemática financeira da inflação será examinada no Capítulo Correção mo netária 56 Taxas de desconto Quando partimos de uma quantia futura conhecida geralmente um direito creditício ou dí vida e queremos descobrir quanto essa quantia vale hoje qual é o seu valor presente ou valor atual utilizamos as denominadas taxas de desconto As taxas de desconto podem ser classificadas em Taxas de desconto racional ou por dentro são as taxas de juros simples ou compostos já vistas nos tópicos anteriores Taxas de desconto bancário podem ser de juros simples ou compostos predominando o primeiro e praticamente inexistindo o segundo Este livro dedica o Capítulo Descontos para o estudo das taxas de descontos Capítulo 11 Correção monetária 129 113 Fórmula de Fischer 1131 Taxas aparente de correção monetária e real EXEMPLO 117 O proprietário de um imóvel adquirido em maio de 2009 pelo valor de R 27000000 deseja vendêlo em fevereiro de 2013 a 20 acima do valor atualizado monetariamente pelo IGPMFGV Calcular o valor de venda do imóvel Dados ireal 20 Valorvenda Valorhistorico27000000 Datacompramai09 Datavenda fev13 Solução Valorvenda Valoratualizado1 ireal Valoratualizado Valorhistórico1 icm Valorvenda Valorhistórico1 icm1 ireal Valorvenda 2700001 026194811 020 40887119256 Resposta R 40887119 CONCEITO 114 A taxa aparente chamada nominal nas transações financeiras e co merciais é aquela que vigora nas operações correntes A taxa real é calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionáriosSAMANEZ 2002 p 67 Taxas aparente e real se relacionam pela Fórmula de Fischer1 1 iaparente 1 icm1 ireal 111 No exemplo anterior temos 1 iaparente 1 icm1 ireal 1 026194811 020 1 051433775 Valorvenda Valorhistórico1 iaparente Valorvenda 2700001 051433775 40887119256 Em geral a Fórmula de Fischer 1 iaparente 1 icm1 ireal é aplicada em duas situações Quando desejamos calcular uma taxa aparente a partir do conhecimento da taxa de inflação ou correção monetária icm e da taxa real de juros ireal iaparente 1 icm1 ireal 1 1 A Fórmula ou Efeito de Fischer é atribuída ao economista e estatístico americano Irving Fischer considerado um dos fundadores da corrente macroeconômica denominada monetarista 130 Matemática Financeira Quando se quer conhecer a taxa real de uma operação financeira conhecidas as taxas aparente e de inflação Os contratos de operações de empréstimos no que diz respeito à correção monetária são classificados em dois tipos Com correção monetária préfixada aqueles em que não há menção explícita de cri tério de correção A correção monetária é estimada a priori Atualmente a maioria das operações de empréstimos de curto prazo até um ano são préfixadas Com correção monetária pósfixada aqueles em que os saldos são atualizados mone tariamente a posteriori PUCCINI 2009 p 253 por meio de algum índice de preços identificado no contrato Os valores em reais somente são conhecidos após a publicação do respectivo índice de cada data EXEMPLO 118 Na década de 1970 a poupança rendia 05 am sobre o saldo corri gido pelo IGPDI Sabendose que em um determinado mês a taxa de inflação medida pelo IGPDI foi de 10 calcular a taxa de remuneração da poupança naquele mês Dados ireal 05 icm 10 iaparente Solução iaparente 1 icm1 ireal 1 iaparente 1 0101 0005 1 01055 1055 Resposta 1055 am Observe que para o público em geral a remuneração ou os rendimentos se referem a taxas aparentes EXEMPLO 119 Na década de 1990 antes do Plano Real lançado pelo Governo Itamar uma aplicação financeira de 100000 se converteu após um ano em 300000 Saben dose que a taxa de inflação média mensal foi de 11 am calcule a taxa real mensal de juros da referida aplicação Dados P 1000 S 3000 n 12 m ireal am icm 11 am Capítulo 11 Correção monetária 131 Solução Resposta 127 am Em épocas de alta inflação é muito frequente encontrar situações como a do exemplo em que a taxa real foi negativa ou seja a pessoa que aplicou durante um ano recebe um montante com menor poder de compra que o principal investido O exemplo é tirado de um caso real EXEMPLO 1110 O dono de uma loja de vestuário que financia a seus clientes pelo cré dito direto ao consumidor solicita que você forneça um coeficiente para calcular anuida des com 3 prestações postecipadas É exigência do lojista uma remuneração real de 05 ao mês Conside a taxa de inflação média de 1 ao mês Dados P 1 as anuidades obtidas a partir do principal igual a R 100 são utilizadas como coeficientes conforme o Capítulo Anuidades n 3 pm post ireal 0 5 0005 am icm 1 001 am Solução Observe que a taxa para anuidades não considerava a inflação nela embutida Assim ela está sendo agora considerada na taxa aparente iaparente 1 icm1 ireal 1 1 0011 0005 1 001505000 Resposta 03434 132 Matemática Financeira Usando a calculadora RPN FIN 101 ENTER 1005 1 iaparente 001505000 100 iaparente 1505000 101505 ENTER clear fin END 3 n yx 1 PV 01505 3 n 101505 ENTER 1505 i 3 n yx PMT CHS 1 Coeficiente 03434166 Coeficiente 03434166 EXEMPLO 1111 Um empresário descontou duplicatas no valor de R 4500000 60 dias antes do vencimento a uma taxa de desconto bancário simples de 5 ao mês Sabendo que a taxa média de inflação é de 23 ao mês calcule a taxa implícita real mensal de juros taxa efetiva real da operação Dados S 45000 n 60 d 2 m d 5 005 am icm 23 0023 am Solução Observe que nas operações de desconto a taxa efetiva ou implícita de juros no capítulo 6 é uma taxa aparente uma vez que engloba a inflação P S1 dn 45000 1 005 2 40500 Resposta 304 am Capítulo 11 Correção monetária 133 Usando a calculadora RPN FIN 45000 ENTER 1 ENTER 05 ENTER 2 P 405000000 45000 ENTER clear fin 40500 40500 PV 2 1x yx 45000 CHS FV 1 2 n i iaparente 00540925534 iaparente 540925534 10540925534 ENTER 1023 1 100 ireal 303935028 114 Tabelas de preços 1141 Tabela 1 IGPDIFGV dez2011 a ago2013 Ano Mês Índice Var am Var no ano Var em 12 m 2011 dez 465586 016 500 500 2012 jan 466979 030 030 429 fev 467308 007 037 338 mar 469910 056 093 332 abr 474683 102 195 386 mai 479019 091 289 480 jun 482311 069 359 566 jul 489621 152 516 731 ago 495949 129 652 804 set 500314 088 746 817 out 498739 031 712 741 nov 499989 025 739 722 dez 503283 066 810 810