Estudo de Vetores: Parte 1 - Ponto de Vista Geométrico

GA CV Engenharia Civil Noturno 2 º SEMESTRE DE 202 2 PROF ª Barbara Lutaif Bianchini ESTUDO DE VETORES PARTE 1 11 PONTO DE VISTA GEOMÉTRICO Neste tópico estudaremos a noção de vetores do ponto de vista geométrico ou seja não usaremos referencial cartesiano para representalos mas sim figuras Trataremos de algumas noções preliminares que subsidiarão a definição de vetores geometricamente além de suas operações e propriedades 1 11 N oções preliminares Grandezas escalares e vetoriais A noção de grandeza é uma noção primitiva isto é intuitiva e portanto não definida Classificamos as grandezas em escalares caracterizadas por um valor numérico e a unidade de medida correspondente comprimento área massa tempo vetoriais caracterizadas por um valor numérico e também por direção e sentido em que atua força velocidade Segmentos orientados Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos em que o primeiro é chamado origem do segme nto e o segundo de extremidade Na figura 1 A B é um segmento orientado em que A é origem e B a extremidade e C D é um segmento orientado em que C é origem e D é extremidade Figura 1 Segmentos orientados Note que A B BA e como consequência a se tivermos dois segmentos orientados A B e C D dizemos que eles são iguais isto é A B C D se e somente se A C e B D b chamase segmento nulo aquele em que a origem coincide com a extremidade c dado um segmento orientado A B o segmento orientado B A se diz oposto de A B d o comprimento de um segmento orientado será a sua medida em relação a uma unidade de medida de comprimento escolhida Direção e Sentido Considerando que a direção é o que existe de comum num feixe de retas paralelas diremos que os segmentos orientados A B e C D têm mesma direção se AB CD A notação AB representa o segmento sem orientação isto é não tem origem e nem extremidade e consequentemente AB CD Assim só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção Figura 2 Direção e sentido Veja na figura 2 que AB e CD têm a mesma direção e têm mesmo sentido logo AB CD e AB CD Por outro lado observando a figura vemos que há pares de segmentos orientados como CD e EF não paralelos isto é com direções diferentes e que portanto nada podemos afirmar a respeito do sentido Convém observar também que A B e B A com AB têm mesmo comprimento mesma direção e sentido contrário O segmento nulo tem direção e sentido indeterminados e medida nula Segmentos Equipolentes Figura 3 Segmentos equipolentes Dizemos que o segmento orientado A B é equipolente ao segmento orientado C D se A B e C D t ê m mesmo comprimento direção e sentido como mostra a figura 3 Indicase por A B C D Se dois segmentos orientados não nulos A B e C D são eq u ipolentes e não são colineares isto é não estão contidos em uma mesma reta então dizemos que A B C D Como consequência AC BD isto é AB D C é um paralelogramo Propriedades dos segmentos equipolentes Observe na figura 4 as propriedades sendo A B C D E e F pontos do espaço a Reflexiva A B A B b Simétrica A B C D então C D A B c Transitiva A B C D e C D E F então A B E F d Dado s o segmento orientado A B e o ponto C existe C D tal que A B C D e Se A B C D então B A D C f Todos os segmentos nulos são eq u ipolentes g Se A B C D então A C B D Figura 4 Propiedades dos segmentos equipolentes Segmentos orientados coplanares Dizemos que dois ou mais segmentos orientados são coplanares quando eles estão contidos em um mesmo plano Na figura 4 A B e C D são segmentos orientados coplanares porém A B C D e E F não são segmentos orientados coplanares 112 V etores Definição Chamase vetor determinado por um segmento orientado A B à classe de eq u ipolência de A B isto é ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes à A B O vetor cujo representante é A B será indicado por AB Em outras palavras um vetor AB é um objeto matemático que se define por uma direção um sentido e um comprimento Usase também a seguinte representação a b x Igualdade de vetores Se os segmentos orientados A B e C D são eq u ipolentes então os vetores AB e CD são iguais isto é os dois segmentos orientados representam um mesmo vetor v v AB e v CD representado em posições distintas do espaço Observe na figura 4 Em outras palavras AB e CD são iguais se e somente se o quadrilátero ABDC é um paralelogramo Assim dado um ponto A do espaço e um vetor v V 3 a notação V 3 indica o conjunto de todos os vetores d o espaço existe um único ponto B tal que AB v Norma ou módulo de um vetor A norma ou módulo de um vetor é o comprimento de qualquer um de seus representantes Indicase a norma do vetor x por x Se x 1 o vetor x é dito unitário Versor C hamase versor de um vetor v 0 ao vetor v 0 que tem mesma direção e sentido do vetor v mas que tem módulo 1 veja na figura 5 O versor é obtido por v 0 v v De fato calculando o módulo do versor obtemos v 0 v v v v 1 Figura 5 Módulo e versor de vetor OPERAÇÕES COM VETORES ADIÇÃO Em V 3 uma operação de adição faz corresponder a cada par de vetores u e v o vetor soma u v Relação de Chasles fechamento do triângulo Sejam dois vetores u e v cujos representantes são AB e BC definimos a adição de dois vetores u e v pela relação AB BC AC de onde u v AC como mostra a figura 6 Esta operação é sempre possível pois podemos sempre deslocar o segundo vetor v para que sua origem coincida com a extremidade do vetor u Figura 6 Adição de vetores Relação de Chasles Adição de dois vetores de mesma origem regra do paralelogramo Observe na figura 7 que construindose representantes de u e v com orige ns em um mesmo ponto A u AB e v AC temse o paralelogramo ABDC definido O vetor AD dessa forma obtido é o vetor soma u v ou seja AD u v Se ABDC é um paralelogramo então AC BD de onde vem que u v AB AC AB BD AD Figura 7 Adição de vetores paralelogramo P ropriedades da adição de vetores Encontramos as mesmas propriedades na adição de dois vetores que na adição de dois números a A adição de dois vetores é co mutativa u v V 3 u v v u Esta propriedade permite mudar a ordem com que se faz a adição b A adição de três vetores é a ssociativa u v w V 3 u v w u v w c Existência do elemento neutro vetor nulo u V 3 0 V 3 u 0 u O vetor nulo vem do fato que se aplicamos a relação de Chasles à AB BA AA que se decide então chamar de vetor nulo e de notar por 0 d Existência do elemento oposto v V 3 v V 3 tal que v v 0 De onde vem a subtração de vetores u v u v Se AB BA 0 decidese de notar que BA AB MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Sejam um vetor v ϵ V 3 e um número real λ D efinese da seguinte maneira o produto λ v do escalar λ pelo vetor v Se λ0 λ v tem a mesma direção e o mesmo sentido que v e seu comprimento é multiplicado por λ Temos então que λ v λ v Se λ0 λ v tem a mesma direção e sentido contrário ao de v e seu comprimento é multiplicado por λ Temos então que λ v λ v Se λ0 temos então 0 v 0 Se v 0 então λ v 0 Reciprocamente se λ v 0 então λ0 ou v 0 Observe a figura 8 Figura 8 Multiplicação por escalar P ropriedades da multiplicação de vetor por escalar Para α λ ϵ R e u v V 3 a λ u v λ u λ v b λα v λ v α v Estas duas propriedades permite m desenvolver expressões vetoriais como equações numéricas Elas permitem então resolver equações vetoriais quer dizer permite m à Geometria ter acesso à performance da Álgebra Outras propriedades da multiplicação de vetor por escalar são c 1 R tal que 1 v v d λ α v λα v e α v α v f α v α v g α v α v V ETORES PARALELOS Dados os vetores u e v não nulos em V 3 dizemos que eles são paralelos e indicamos por u v se existe um representante de u que é paralelo a um representante de v Por convenção dizemos que o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor de V 3 V ETORES ORTOGONAIS Dados os vetores u e v não nulos em V 3 dizemos que eles são ortogonais e indicamos por u v se existe um representante de u que é perpendicular a um representante de v Por convenção dizemos que o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor de V 3 Na figura 9 um representante de u é AF que é perpendicular ao representante de v que é AB logo podemos dizer que AF é ortogonal aos vetores CD e BC entre outros Figura 9 Vetores paralelos e ortogonais Exercício 1 Dados os vetores a b determine o vetor x tal que a x a 2 b 2 x 3 b 2 x 3 2 x a b a x 2 Exercício 2 A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações justificando sua resposta a AB OF b AM PF c BC OP d BL MC e DE ED f AO MG g KN FI h AC HI i JO LD J AJ FG k AB EG l AM BL m PE EC n PN NB o AB EG p AC FP q IF MF r AJ AC s AO 2 NP t AM BL Exercício 3 A figura ao lado representa um paralelepípedo retângulo Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a DH BF b AB HG c AB CG d AF BC e AC HF f AG DF g BG ED h AB BC e CG são coplanares i AB FG e EG são coplanares j EG CB e HF são coplanares k AC DB e FG são coplanares l AB BG e CF são coplanares m AB DC e CF são coplanares n AE é ortogonal ao plano ABC o AB é ortogonal ao plano BCG p DC é paralelo ao plano HEF Exercício 4 Com base na figura do exercício 2 determine os vetores a AC CN b AB BD c AC DC d AC AK e AC EO f AM BL g AK AN h AO OE i MO NP j BC CB l LP PN NF m BL BN PB Exercício 5 Utilizando a figura d o exercício 3 determine os vetores a AB CG b BC DE c BF EH d EG BC e CG EH f EF FB g AB AD AE h EG DA FH Exercício 6 Determine a soma dos vetores indicados na figura nos seguintes casos a b c d Material adaptado do material didático da disciplina Geometria Analítica Curso de Matemática Licenciatura modalidade a distância produzido em 2015 pelos professores Maria José Ferreira da Silva Saddo Ag Almouloud e Maria Inez Rodrigues Miguel e do professor Gabriel Loureiro de Lima em 2020