Produto Escalar e Cossenos Diretores em Vetores

GA CV ENGENHARIA CIVIL 2 º SEMESTRE DE 202 2 PROF ª BARBARA LUTAIF BIANCHINI PRODUTOS ESCALAR VETORIAL E MISTO PARTE 1 2 1 P RODUTO ESCALAR Consideremos os vetores não nulos u e v tais que u OP e v OQ como mostra a figura 1 Figura 1 Ângulo entre vetores Seja a medida do ângulo P O Q com 0 ϕπ O número se chama medida em radianos do ângulo entre u e v Seja uma base ortonormal i j k e considere u x 1 y 1 z 1 e v x 2 y 2 z 2 Definição C hamase produto escalar dos vetores u e v ao número real u v dado por u v u v cos ϕ x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 como mostra a figura 2 Figura 2 Produto escalar Convém observar que a Resulta da definição acima que se u v u v cos ϕ então cos ϕ u v u v b u u u pois u u x 1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 2 y 1 2 z 1 2 u 2 Exemplo 1 Calcule o produto escalar entre os vetores 1 2 3 e 4 1 2 Exemplo 2 Determine o ângulo entre os vetores u 1 2 2 e v 1 4 8 Proposição Dizemos que u v se e somente se u v 0 pois cos π 2 0 Essa propriedade nos permite caracterizar uma base ortonormal Se B e 1 e 2 e 3 B será ortonormal se e i e i 1 e e i e j 0 com ij e ij1 2 3 Isto é e 1 e i 1 e 1 e 2 0 e 1 e 3 0 e e 2 e 3 0 Propriedades do produto escalar a u v v u b u λ v λ u v λ u v c u v w u v u w d u u 0 u u 0 u 0 21 1 Aplicações do produto escalar Cossenos diretores Fixada uma base ortonormal i j k chamamse cossenos diretores do vetor v 0 os cossenos dos ângulos que v forma com os vetores da base como mostra a figura 3 Figura 2 Cossenos diretores Chamandose a b e c os ângulos que v forma com i j e k respectivamente e sendo v x i y j z k temos cosa i v i v x v cosb j v j v y v cosc k v k v z v Os ângulos de medidas a b e c são os ângulos diretores do vetor v Exemplo 3 Determine os ângulos diretores do vetor v i 2 j 2 k Propriedades a Como o versor de v é dado por v 0 v v x v y v z v então v v cosa cosb cosc Logo os cossenos diretores de v são precisamente as coordenadas do versor d esse QQJJ vetor b Como o versor de v x y z é um vetor unitário temse que v 0 1 ou seja x 2 x 2 y 2 z 2 y 2 x 2 y 2 z 2 z 2 x 2 y 2 z 2 1 O que nos dá cos 2 a cos 2 b cos 2 c1 isto é a soma dos quadrados dos cossenos diretores é sempre 1 Vetor componente ou vetor projeção Um problema de muita aplicação na Física é o de determinar o vetor componente ou vetor projeção de um vetor dado em uma direção dada ou ainda a decomposição de um vetor em dois vetores Figura 4 Vetor projeção Na figura 4 temos o vetor c chamado vetor componente ou vetor projeção de u na direção de v 0 e indicase proj v u c Para obtermos o vetor c a partir de u e v conhecidos basta observar que a c v se e somente se λ R tal que c λ v b u c v se e somente se u c v 0 Isto é como c λ v temos u λ v v 0 u v λ v v 0 então u v λ v v Logo λ u v v v u v v 2 portanto proj v u c λ v u v v 2 v Exemplo 4 Determine a projeção c do vetor w 1 1 2 na direção do vetor v 3 1 1 Exercício 1 Calcule a 1 0 1 2 10 2 b i j k i j 5 k c 1 2 0 0 1 2 7 d 0 0 0 1 9 10 e 3 1 0 1 3 7 f 2 1 1 1 4 2 Exercício 2 Calcule o ângulo entre os vetores a u 1 2 2 e v 1 4 8 b r 4 1 3 e s 1 1 1 Exerc ício 3 Qual o valor de m para que os vetores sejam ortogonais a u m 2 3 e v 2 1 2 b r m 3 4 e s m 2 3 Exerc ício 4 Achar os ângulos diretores do vetor v i 2 j 2 k Exerc ício 5 Determine a medida em radianos do arco determinado pelo ângulo formado pelos vetores u e v nos seguintes casos a u 1 0 1 e v 2 10 2 b u 3 3 0 e v 2 1 2 c u 1 1 1 e v 1 1 1 d u 3 2 1 2 0 e v 3 2 1 2 3 e u 300 300 0 e v 2000 1000 2000 Exerc ício 6 Determine x de modo que u v nos casos seguintes a u x 0 3 e v 1 x 3 b u x1 1 2 e v x1 1 2 Exerc ício 7 Determine a projeção do vetor w na direção do vetor v nos casos seguintes a w 1 1 1 e v 2 1 2 b w 1 3 5 e v 3 1 0 Exerc ício 8 Decomponha w 1 3 2 como soma de dois vetores w 1 e w 2 de tal forma que w 1 seja paralelo e w 2 seja ortogonal ao vetor 0 1 3 Exerc ício 9 Os vetores a e b são ortogonais o vetor c forma com a e b ângulos iguais a π 3 Sabendose que a 3 b 5 e c 8 calcule a 3 a 2 b b 3 c b a b c 2 c a 2 b 3 c 2 Exercício 1 0 O ângulo entre a e b mede Sendo a 4 b 3 u a b e v a 2 b o ângulo entre u e v é agudo reto ou obtuso Material adaptado do material didático da disciplina Geometria Analítica Curso de Matemática Licenciatura modalidade a distância produzido em 2015 pelos professores Maria José Ferreira da Silva Saddo Ag Almouloud e Maria Inez Rodrigues Miguel e pelo prof Gabriel L de Lima em 2020