Flexão Normal Simples em Vigas de Concreto Armado - NBR 6118 2014

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP Campus de BauruSP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil Disciplina 2117 ESTRUTURAS DE CONCRETO I FLEXÃO NORMAL SIMPLES VIGAS Prof Dr PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS wwwpfebunespbrpbastos BauruSP Fevereiro2015 APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina Estruturas de Concreto I do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da Universidade Estadual Paulista UNESP Campus de BauruSP O texto apresentado está de acordo com as prescrições contidas na norma NBR 61182014 Projeto de estruturas de concreto Procedimento para o projeto e dimensionamento das vigas de Concreto Armado à flexão normal simples A apostila apresenta o estudo das seções retangulares com armaduras simples e dupla e das seções T com armadura simples para solicitação de flexão simples Visando iniciar o cálculo prático das vigas dos edifícios são introduzidos alguns tópicos adicionais como o cálculo das cargas verticais sobre as vigas e algumas prescrições na norma para as vigas simples e contínuas O texto constante desta apostila não inclui todos os tópicos relativos ao projeto das vigas como o dimensionamento aos esforços cortantes e aos momentos torçores ancoragem nos apoios etc Esses temas serão abordados nas apostilas da disciplina Estruturas de Concreto II Críticas e sugestões serão bemvindas visando a melhoria da apostila O autor agradece ao técnico Éderson dos Santos Martins pela confecção dos desenhos SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 1 2 DEFINIÇÃO DE VIGA 1 3 COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SOB FLEXÃO SIMPLES 1 4 COMPARAÇÃO DOS DOMÍNIOS 2 3 E 4 4 5 ALGUMAS PRESCRIÇÕES PARA AS VIGAS 6 51 Vão Efetivo 6 52 Definição da Altura e da Largura 6 53 Cargas Verticais nas Vigas 7 531 Peso Próprio 7 532 Paredes 8 533 Lajes 8 534 Outras Vigas 8 54 Disposições Construtivas das Armaduras 8 541 Armaduras Longitudinais Máximas e Mínimas 8 542 Armadura Mínima de Tração 9 1 9 543 Armadura Longitudinal Máxima 9 544 Armadura de Pele 9 55 Armaduras de Ligação Mesaalma 10 56 Espaçamento Livre entre as Faces das Barras Longitudinais 10 6 HIPÓTESES BÁSICAS 11 7 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 13 71 Equações de Equilíbrio 13 72 Cálculo Mediante Equações com Coeficientes K 16 73 Exemplos Numéricos 17 8 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA 33 81 Equações de Equilíbrio 33 82 Cálculo Mediante Equações com Coeficientes K 37 83 Exemplos Numéricos 37 9 SEÇÃO T 43 91 Largura Colaborante 49 92 Seção T com Armadura Simples 52 921 08x hf 53 922 08x hf 53 923 Cálculo Mediante Equações com Coeficientes K 55 924 Exemplos Numéricos 56 10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 66 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 71 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 71 TABELAS ANEXAS 72 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1 1 INTRODUÇÃO A flexão simples é definida como a flexão sem força normal Quando a flexão ocorre com a atuação de força normal temse a flexão composta Solicitações normais são aquelas cujos esforços solicitantes produzem tensões normais perpendiculares às seções transversais dos elementos estruturais Os esforços que provocam tensões normais são o momento fletor M e a força normal N Nas estruturas de Concreto Armado são três os elementos estruturais mais importantes as lajes as vigas e os pilares E dois desses elementos as lajes e as vigas são submetidos à flexão normal simples embora possam também eventualmente estarem submetidos à flexão composta Por isso o dimensionamento de seções retangulares e seções T sob flexão normal simples é a atividade diária mais comum aos engenheiros projetistas de estruturas de Concreto Armado SANTOS 1983 O estudo da flexão normal simples tem como objetivo proporcionar ao aluno o correto entendimento dos mecanismos resistentes proporcionados pelo concreto sob compressão e pelo aço sob tração em seções retangulares e T visando leválo a bem dimensionar ou verificar a resistência dessas seções O equacionamento para a resolução dos problemas da flexão simples é deduzido em função de duas equações de equilíbrio da estática e que proporciona as aqui chamadas equações teóricas que podem ser facilmente implementadas para uso em programas computacionais Também é apresentado o equacionamento com base em coeficientes tabelados tipo K largamente utilizado no Brasil É importante esclarecer o estudante que nesta apostila ele aprenderá a dimensionar as seções transversais das vigas aos momentos fletores máximos e fazer o detalhamento das armaduras de flexão apenas na seção transversal correspondente Nesta disciplina o estudo das vigas está apenas iniciando O estudo completo das vigas simples ou contínuas com dimensionamentos aos esforços cortantes e momentos torçores bem como o detalhamento completo e ancoragem das armaduras só será alcançado ao término da disciplina 2123 Estruturas de Concreto II Além disso outros tópicos relativos às vigas como fissuração e flecha serão estudados na disciplina 2158 Estruturas de Concreto IV 2 DEFINIÇÃO DE VIGA Vigas são elementos lineares em que a flexão é preponderante NBR 6118141 item 14411 Elementos lineares são aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal sendo também denominada barras 3 COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SOB FLEXÃO SIMPLES Considere uma viga de concreto armado biapoiada Figura 1 submetida a duas forças concentradas P crescentes e de igual intensidade A armadura é composta por armadura longitudinal resistente às tensões de tração provenientes da flexão e armadura transversal dimensionada para resistir aos esforços cortantes composta por estribos verticais no lado esquerdo da viga e estribos e barras dobradas no lado direito da viga A Figura 2a mostra as trajetórias das tensões principais de tração e de compressão da viga ainda no estádio I Observe que no trecho de flexão pura as trajetórias das tensões de compressão e de tração são paralelas ao eixo longitudinal da viga Nos demais trechos as trajetórias das tensões são inclinadas devido à influência dos esforços cortantes Enquanto a resistência à tração do concreto é superior às tensões principais de tração não surgem fissuras na viga As primeiras fissuras de flexão só surgem na região de máximos momentos fletores no instante que as tensões de tração atuantes igualam e superam a resistência do concreto à tração na flexão Figura 2b Para este nível de carregamento a viga apresenta trechos fissurados no estádio II e trechos não fissurados no estádio I Note que a direção ou inclinação das fissuras é aproximadamente perpendicular à direção das tensões principais de tração ou seja a inclinação das fissuras depende da inclinação das tensões principais de tração Por esta razão na região de flexão pura as fissuras são verticais 1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto Procedimento NBR 6118 Rio de Janeiro ABNT 2014 238p Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 2 Armadura Transversal somente estribos Armadura Transversal estribos e barras dobradas P M V P Figura 1 Viga biapoiada e diagramas de esforços solicitantes LEONHARDT e MÖNNIG 1982 a a b b Estádio I Estádio II Estádio I Seção aa Seção bb c s c s c c s t c e Ec ctf tração compressão a b c b b Estádio II Seção bb s c s c fc f y d e Figura 2 Comportamento resistente de uma viga biapoiada LEONHARDT e MÖNNIG 1982 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 3 A Figura 2c mostra os diagramas de deformações e de tensões nas seções a e b da viga nos estádios I e II respectivamente No estádio I a máxima tensão de compressão c ainda pode ser avaliada de acordo com a lei de Hooke o mesmo não valendo para o estádio II Com o carregamento num patamar superior começam a surgir fissuras inclinadas nas proximidades dos apoios por influência das forças cortantes atuando em conjunto com os momentos fletores Essas fissuras inclinadas são chamadas de fissuras de cisalhamento Figura 2d que não é um termo adequado porque tensões de cisalhamento não ocorrem por ação exclusiva de força cortante Sugerimos fissura de flexão com cortante Com carga elevada a viga em quase toda a sua extensão apresentase no estádio II Apenas nas proximidades dos apoios a viga permanece no estádio I No caso de uma viga biapoiada sob carregamento uniformemente distribuído no estádio I as tensões principais na altura da linha neutra a meia altura da viga apresentam inclinação de 45 ou 135 em relação ao eixo longitudinal da viga como mostrado na Figura 3 Observe que nas regiões próximas aos apoios as trajetórias das tensões principais inclinamse por influência das forças cortantes mantendo no entanto a perpendicularidade entre as trajetórias II I Direção de tensões de tração Direção de tensões de compressão III M V x Figura 3 Trajetória das tensões principais de uma viga biapoiada no estádio I sob carregamento uniformemente distribuído LEONHARDT e MÖNNIG 1982 O carregamento induz o surgimento de diferentes estados de tensão nos infinitos pontos que compõem a viga e que podem ser representados por um conjunto de diferentes componentes em função da orientação do sistema de eixos considerados Como exemplo a Figura 4 mostra a representação dos estados de tensão em dois pontos da viga conforme os eixos coordenados xy e os eixos principais O estado de tensão segundo os eixos xy define as tensões normais x as tensões y e as tensões de cisalhamento xy e yx O estado de tensão segundo os eixos principais definem as tensões principais de tração I e de compressão II A tensão y pode ser em geral desprezada tendo importância apenas nos trechos próximos à introdução de cargas O dimensionamento das estruturas de concreto armado toma como base normalmente as tensões x e xy Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 4 X y X y y 0 x X y II I xy yx Figura 4 Componentes de tensão segundo os estados de tensão relativos aos eixos principais e aos eixos nas direções x e y LEONHARDT e MÖNNIG 1982 4 COMPARAÇÃO DOS DOMÍNIOS 2 3 E 4 As deformações nos materiais componentes das vigas de Concreto Armado submetidas à flexão simples encontramse nos domínios de deformações 2 3 ou 4 conforme definidos na NBR 6118 item 1722 A análise da Figura 5 e da Figura 6 permite fazer as seguintes considerações das vigas à flexão simples em relação aos domínios 2 3 e 4 a Domínio 2 No domínio 2 a deformação de alongamento sd na armadura tracionada As é fixa e igual a 10 e a deformação de encurtamento cd na fibra mais comprimida de concreto varia entre zero e cu considerando que para os concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa cu assume o valor de 35 Sob a deformação de 10 a tensão na armadura corresponde à máxima permitida no aço fyd como se pode verificar no diagrama x do aço mostrado na Figura 6 No domínio 2 portanto a armadura tracionada é econômica isto é a máxima tensão possível no aço pode ser implementada nessa armadura Na questão relativa à segurança no caso de vir a ocorrer a ruptura ou seja o colapso da viga será com aviso prévio porque como a armadura continuará escoando além dos 10 a fissuração na viga será intensa e ocorrerá antes de uma possível ruptura por esmagamento do concreto na região comprimida A intensa fissuração será visível e funcionará como um aviso aos usuários de que a viga apresenta um problema sério alertandoos de modo que sejam tomadas medidas visando a evacuação do local antes que a ruptura venha a ocorrer superarmada seção B 35 0 0 A 10 2 3 4 zona útil yd A s cu Figura 5 Diagrama de deformações dos domínios 2 3 e 4 para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa onde cu 35 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 5 Zona Útil 10 s yd f s yd Seções Superarmadas Figura 6 Zonas de dimensionamento em função da deformação no aço b Domínio 3 No domínio 3 a deformação de encurtamento na fibra mais comprimida corresponde ao valor último cu de 35 para os concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa A deformação de alongamento na armadura tracionada varia entre yd deformação de início de escoamento do aço e 10 o que significa que a armadura escoa um certo valor Verificase na Figura 6 que a tensão na armadura é a máxima permitida igual à fyd pois qualquer que seja a deformação entre yd e 10 zona útil a tensão será fyd Isso implica que assim como no domínio 2 a armadura também é econômica no domínio 3 Neste domínio portanto tanto o concreto comprimido quanto o aço tracionado são aproveitados ao máximo diferentemente do domínio 2 onde o concreto tem deformações de encurtamento menores que a máxima cu A ruptura no domínio 3 é também chamada com aviso prévio pois a armadura ao escoar acarretará fissuras visíveis na viga antes que o concreto alcance a ruptura por esmagamento Quando a viga tem as deformações últimas de cu no concreto e 10 na armadura alcançadas simultaneamente dizse que a seção é normalmente armada A linha neutra coincide com o x2lim e a seção está no limite entre os domínios 2 e 3 A NBR 6118 1722 indica que a seção dimensionada à flexão simples no domínio 3 é subarmada um termo que parece inadequado por passar a falsa impressão de que a armadura é menor que a necessária Na Tabela 1 constam os valores da deformação de início de escoamento do aço yd o limite da posição da linha neutra entre os domínios 3 e 4 x3lim e x3lim x xd para os diferentes tipos de aço e para os concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa Tabela 1 Valores de yd x3lim e x3lim para os concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa e em função da categoria do aço Aço yd x3lim x3lim CA25 104 077 d 077 CA50 207 063 d 063 CA60 248 059 d 059 c Domínio 4 No domínio 4 a deformação de encurtamento na fibra mais comprimida está com o valor máximo de cu e a armadura tracionada não está escoando pois sua deformação é menor que a de início de escoamento yd Neste caso conforme se pode notar no diagrama x do aço mostrado na Figura 6 a tensão na armadura é menor que a máxima permitida fyd A armadura resulta portanto antieconômica pois não aproveita a máxima capacidade resistente do aço Dizse então que a armadura está folgada e a seção é chamada superarmada na flexão simples NBR 6118 1722 como mostrado na Figura 5 e na Figura 6 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 6 As vigas não podem ser projetadas à flexão simples no domínio 4 pois além da questão econômica a ruptura se ocorrer será do tipo frágil ou sem aviso prévio onde o concreto rompe esmaga por compressão cd cu causando o colapso da viga antes da intensa fissuração provocada pelo aumento do alongamento na armadura tracionada Segundo a NBR 6118 1722 a ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no domínio 4 com ou sem armadura de compressão d Conclusão Como conclusão podese afirmar as vigas devem ser projetadas à flexão simples nos domínios 2 ou 3 e não podem ser projetadas no domínio 4 Para complementar essa análise é importante observar que a NBR 6118 item 14643 apresenta limites para a posição da linha neutra que visam dotar as vigas e lajes de ductilidade afirmando que quanto menor for a relação xd x posição da linha neutra d altura útil da viga maior será a ductilidade Os limites são xd 045 para concretos com fck 50 MPa e xd 035 para concretos com fck 50 MPa Considerando os concretos do Grupo I de resistência cu 35 e o aço mais comum CA50 no limite entre os domínios 3 e 4 a relação xd para a linha neutra é 063d e a deformação no aço é a deformação de início de escoamento yd de 207 o limite máximo de xd 045 corresponde à deformação de alongamento de 43 o que significa que a norma está impondo uma deformação maior àquela de início de escoamento visando vigas mais seguras Portanto o dimensionamento no domínio 3 não é permitido ao longo de toda a faixa possível de variação da posição da linha neutra e sim somente até o limite x 045d 5 ALGUMAS PRESCRIÇÕES PARA AS VIGAS 51 Vão Efetivo O vão efetivo NBR 6118 item 14624 pode ser calculado pela expressão 2 1 o ef a a Eq 1 com h 30 t 2 a 1 1 e h 30 t 2 a 2 2 Eq 2 As dimensões o t1 t2 e h estão indicadas na Figura 7 h 0 t1 2t Figura 7 Dimensões consideradas no cálculo do vão efetivo das vigas 52 Definição da Altura e da Largura De modo geral a preferência dos engenheiros e arquitetos é que as vigas fiquem embutidas nas paredes de vedação de tal forma que não possam ser percebidas visualmente Para que isso ocorra a largura das vigas deve ser escolhida em função da espessura final da parede a qual depende basicamente das dimensões e da posição de assentamento das unidades de alvenaria tijolo maciço bloco furado etc Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 7 Devem também ser consideradas as espessuras das argamassas de revestimento emboço reboco etc nos dois lados da parede Os revestimentos de argamassa no interior do Estado de São Paulo têm usualmente a espessura total de 15 cm a 20 cm Existe no comércio uma infinidade de unidades de alvenaria com as dimensões as mais variadas tanto para os blocos cerâmicos de seis como para os de oito furos como também para os tijolos maciços cerâmicos Antes de se definir a largura da viga é necessário portanto definir o tipo e as dimensões da unidade de alvenaria levandose em consideração a posição em que a unidade será assentada No caso de construções de pequeno porte como casas sobrados barracões etc onde é usual se construir primeiramente as paredes de alvenaria para em seguida serem construídos os pilares as vigas e as lajes é interessante escolher a largura das vigas igual à largura da parede sem os revestimentos ou seja igual à dimensão da unidade que resulta na largura da parede A altura das vigas depende de diversos fatores sendo os mais importantes o vão o carregamento e a resistência do concreto A altura deve ser suficiente para proporcionar resistência mecânica e baixa deformabilidade flecha Considerando por exemplo o esquema de uma viga como mostrado na Figura 8 para concretos do tipo C20 e C25 e construções de pequeno porte uma indicação prática para a estimativa da altura das vigas de concreto armado é dividir o vão efetivo por doze isto é 12 h 12 e h 2 ef 2 1 ef 1 Eq 3 Na estimativa da altura de vigas com concretos de resistência superior devem ser considerados valores maiores que doze na Eq 3 Vigas para edifícios de vários pavimentos onde as ações horizontais do vento impliquem esforços solicitantes consideráveis sobre a estrutura devem ter a altura definida em função dos esforços a que estarão submetidas h 1 h 2 ef 1 ef 2 Figura 8 Valores práticos para estimativa da altura das vigas A altura das vigas deve ser preferencialmente modulada de 5 em 5 cm ou de 10 em 10 cm A altura mínima indicada é de 25 cm Vigas contínuas devem ter a altura dos vãos obedecendo uma certa padronização a fim de evitar várias alturas diferentes 53 Cargas Verticais nas Vigas Normalmente as cargas ações atuantes nas vigas são provenientes de paredes de lajes de outras vigas de pilares e sempre o peso próprio da viga As cargas nas vigas devem ser analisadas e calculadas em cada vão da viga trecho por trecho do vão se este conter trechos de carga diferentes Nos próximos itens são detalhados esses tipos de cargas verticais nas vigas 531 Peso Próprio O peso próprio de vigas com seção transversal constante é uma carga considerada uniformemente distribuída ao longo do comprimento da viga e deve sempre ser obrigatoriamente considerado O seu valor é conc w pp h b g Eq 4 com gpp kNm γconc 25 kNm3 bw largura da seção m h altura da seção m Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 8 532 Paredes Geralmente as paredes têm espessura e altura constantes quando então a carga da parede pode ser considerada uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento Seu valor é alv par e h g Eq 5 com gpar kNm alv peso específico da parede kNm3 e espessura final da parede m h altura da parede m De acordo com a NBR 6120 o peso específico é de 18 kNm3 para o tijolo maciço e 13 kNm3 para o bloco cerâmico furado Aberturas de portas geralmente não são consideradas como trechos de carga No caso de vitrôs janelas e outros tipos de esquadrias devem ser verificados os valores de carga por metro quadrado a serem considerados Para janelas com vidros podem ser consideradas as cargas de 05 a 10 kNm2 533 Lajes As reações das lajes sobre as vigas de apoio devem ser conhecidas Importante é verificar se uma ou duas lajes descarregam a sua carga sobre a viga As reações das lajes nas vigas de borda serão estudadas posteriormente nesta disciplina 534 Outras Vigas Quando é possível definir claramente qual viga serve de apoio e qual viga está apoiada em outra a carga concentrada na viga que serve de apoio é igual a reação de apoio daquela que está apoiada Em determinados pavimentos a escolha de qual viga apoiase sobre qual fica muito difícil A escolha errada pode se tornar perigosa Para contornar este problema podese calcular os esforços e deslocamentos de todas as vigas por meio de uma grelha com o auxílio de um programa de computador Desse modo os resultados são excelentes e muito próximos aos reais 54 Disposições Construtivas das Armaduras No item 183 a NBR 6118 estabelece diversas prescrições relativas às armaduras e referemse às vigas isostáticas com relação h 20 e às vigas contínuas com relação h 30 em que é o comprimento do vão efetivo ou o dobro do comprimento efetivo no caso de balanço e h é a altura total da viga Vigas com relações h menores devem ser tratadas como vigasparede 541 Armaduras Longitudinais Máximas e Mínimas No item 1735 a NBR 6118 estabelece como princípios básicos A ruptura frágil das seções transversais quando da formação da primeira fissura deve ser evitada considerandose para o cálculo das armaduras um momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples supondo que a resistência à tração do concreto seja dada por fctksup devendo também obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras dadas em 1733 A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade de se assegurar condições de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto açoconcreto Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 9 542 Armadura Mínima de Tração A armadura mínima de tração em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir respeitada a taxa mínima absoluta 015 NBR 6118 173521 Mdmín 08 W0 fctksup Eq 6 onde W0 módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra mais tracionada fctksup resistência característica superior do concreto à tração fctksup 13 fctm Eq 7 com 3 2 ck ctm f 30 f MPa Eq 8 Alternativamente a armadura mínima pode ser considerada atendida se forem respeitadas as taxas mínimas de armadura da Tabela 2 Tabela 2 Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas Forma da seção Valores de mín a 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Retan gular 0150 0150 0150 0164 0179 0194 0208 0211 0219 0226 0233 0239 0245 0251 0256 a Os valores de mín estabelecidos nesta Tabela pressupõem o uso de aço CA50 dh 08 c 14 e s 115 Caso esses fatores sejam diferentes mín deve ser recalculado mín AsmínAc Em elementos estruturais exceto elementos em balanço cujas armaduras sejam calculadas com um momento fletor igual ou maior ao dobro de Md não é necessário atender à armadura mínima Neste caso a determinação dos esforços solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as combinações possíveis de carregamento assim como os efeitos de temperatura deformações diferidas e recalques de apoio Devese ter ainda especial cuidado com o diâmetro e espaçamento das armaduras de limitação de fissuração No item 173522 a NBR 6118 ainda estabelece Valores mínimos para a armadura de tração sob deformações impostas 543 Armadura Longitudinal Máxima A soma das armaduras de tração e de compressão As As não pode ter valor maior que 4 Ac calculada na região fora da zona de emendas devendo ser garantidas as condições de ductilidade requeridas em 14643 NBR 6118 173524 544 Armadura de Pele Segundo a NBR 6118 173523 nas vigas com h 60 cm deve ser colocada uma armadura lateral chamada armadura de pele Figura 9 composta por barras de CA50 ou CA60 com espaçamento não maior que 20 cm e devidamente ancorada nos apoios com área mínima em cada face da alma da viga igual a Aspface 010 Acalma 00010 bw h Eq 9 Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm pode ser dispensada a utilização da armadura de pele As armaduras principais de tração e de compressão não podem ser computadas no cálculo da armadura de pele Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 10 e e e e e e e e e e b d h 60 cm w Figura 9 Disposição da armadura de pele Asp em cada face e com espaçamento e 20 cm na seção transversal de vigas com h 60 cm Embora a norma indique a disposição de armadura de pele somente em vigas com alturas superiores a 60 cm recomendamos a sua aplicação em vigas com altura a partir de 50 cm para evitar o aparecimento de fissuras superficiais por retração nas faces laterais verticais e que acarretam preocupações aos executores da obra Nesses casos a armadura de pele pode ser adotada igual à sugerida na Eq 9 ou uma quantidade menor como aquela que era indicada na NB 1 de 1978 Aspface 005 bw h por face 55 Armaduras de Ligação Mesaalma Conforme o item 1837 da NBR 6118 Os planos de ligação entre mesas e almas ou talões e almas de vigas devem ser verificados com relação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de tensões normais ao longo do comprimento da viga tanto sob o aspecto de resistência do concreto quanto das armaduras necessárias para resistir às trações decorrentes desses efeitos As armaduras de flexão da laje existentes no plano de ligação podem ser consideradas parte da armadura de ligação quando devidamente ancoradas complementandose a diferença entre ambas se necessário A seção transversal mínima dessa armadura estendendose por toda a largura útil e adequadamente ancorada deve ser de 15 cm2 por metro como indicado na Figura 10 b f h f w b h 15 cm m 2 Figura 10 Armadura transversal à alma em seções transversais com mesa 56 Espaçamento Livre entre as Faces das Barras Longitudinais A fim de garantir que o concreto penetre com facilidade dentro da fôrma e envolva completamente as barras de aço das armaduras a NBR 6118 18322 estabelece os seguintes espaçamentos livres mínimos entre as faces das barras longitudinais Figura 11 NBR 6118 18322 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 11 na direção horizontal ah agr máx mín h d 21 cm 2 a Eq 10 na direção vertical av agr máx mín v d 50 cm 2 a Eq 11 onde ahmín espaçamento livre horizontal mínimo entre as faces de duas barras da mesma camada avmín espaçamento livre vertical mínimo entre as faces de duas barras de camadas adjacentes dmáxagr dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto diâmetro da barra do feixe ou da luva w h v Øt Ø c b e e Figura 11 Espaçamentos livres mínimos entre as faces das barras de aço longitudinais 6 HIPÓTESES BÁSICAS As hipóteses descritas a seguir são válidas para elementos lineares sujeitos a solicitações normais no estadolimite último ELU que possibilitam estabelecer critérios para a determinação de esforços resistentes de seções de elementos como vigas pilares e tirantes submetidos à força normal e momentos fletores NBR 6118 item 172 a as seções transversais permanecem planas após a deformação distribuição linear de deformações na seção b a deformação em cada barra de aço é a mesma do concreto no seu entorno Essa propriedade ocorre desde que haja aderência entre o concreto e a barra de aço c no estadolimite último ELU desprezase obrigatoriamente a resistência do concreto à tração d o ELU é caracterizado segundo os domínios de deformação e o alongamento máximo permitido ao longo da armadura de tração é de 10 a fim de prevenir deformações plásticas excessivas A tensão nas armaduras deve ser obtida conforme o diagrama tensão deformação de cálculo do aço ver Figura 6 f a distribuição de tensões de compressão no concreto é feita de acordo com o diagrama tensão deformação parábolaretângulo com tensão máxima σcd de 085fcd Figura 12 Esse diagrama pode ser substituído por um retangular simplificado com profundidade y x onde Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 12 y 08x para os concretos do Grupo I fck 50 MPa y 08 fck 50400 x para os concretos do Grupo II fck 50 MPa Eq 12 h 35 2 x y 08 x cd cd LN cu Figura 12 Diagramas x parábolaretângulo e retangular simplificado para distribuição de tensões de compressão no concreto para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa A tensão de compressão no concreto cd pode ser tomada como f1 no caso da largura da seção medida paralelamente à linha neutra não diminuir da linha neutra em direção à borda comprimida Figura 13 a tensão é c ck cd cd 0 85f 0 85f para os concretos do Grupo I fck 50 MPa cd ck cd 0 85f 50 200 f 1 para os concretos do Grupo II fck 50 MPa Eq 13 LN Figura 13 Seções onde a largura não diminui da linha neutra em direção à borda comprimida f2 em caso contrário isto é quando a seção diminui Figura 14 a tensão é cd cd 0 85f 90 para os concretos do Grupo I fck 50 MPa cd ck cd 0 85f 50 200 f 1 90 para os concretos do Grupo II fck 50 MPa Eq 14 LN Figura 14 Seções onde a largura diminui da linha neutra em direção à borda comprimida Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 13 7 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES Embora as vigas possam ter a seção transversal com qualquer forma geométrica na maioria dos casos da prática a seção é a retangular Definese viga com armadura simples a seção que necessita apenas de uma armadura longitudinal resistente tracionada No entanto por questões construtivas são colocadas barras longitudinais também na região comprimida para a amarração dos estribos não sendo esta armadura considerada no cálculo de flexão como armadura resistente ou seja na seção com armadura simples as tensões de compressão são resistidas unicamente pelo concreto No item 8 será estudada a seção com armadura dupla que é aquela que necessita também de uma armadura resistente comprimida além da armadura tracionada Na sequência serão deduzidas as equações válidas apenas para a seção retangular As equações para outras formas geométricas da seção transversal podem ser deduzidas de modo semelhante à dedução seguinte 71 Equações de Equilíbrio A formulação dos esforços internos resistentes da seção é feita com base nas equações de equilíbrio das forças normais e dos momentos fletores N 0 M 0 A Figura 15 mostra a seção transversal de uma viga sob flexão simples de forma retangular e solicitada por momento fletor positivo com largura bw e altura h armadura As e área Ac de concreto comprimido delimitada pela linha neutra LN A linha neutra é demarcada pela distância x contada a partir da fibra mais comprimida da seção transversal A altura útil é d considerada da fibra mais comprimida até o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada O diagrama de deformações ao longo da altura da seção com as deformações notáveis cd máxima deformação de encurtamento do concreto comprimido e sd deformação de alongamento na armadura tracionada e o diagrama retangular simplificado de distribuição de tensões de compressão com altura y 08x Eq 12 e as respectivas resultantes de tensão Rcc e Rst estão também mostrados na Figura 15 Observe que a altura do diagrama y 08x e a tensão de compressão no concreto σcd são valores válidos para os concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa Para os concretos do Grupo II esses valores são diferentes A Figura 16 também é válida apenas para os concretos do Grupo I cd Rcc cc Z Rst cd LN x Rcc M As Ac bw Rst sd s A h d d x y 08x 085 fcd Figura 15 Distribuição de tensões e deformações em viga de seção retangular com armadura simples para concretos do Grupo I Para ilustrar melhor a forma de distribuição das tensões de compressão na seção a Figura 16 mostra a seção transversal em perspectiva com os diagramas parábolaretângulo e retangular simplificado como apresentados no item 5 O equacionamento apresentado a seguir será feito segundo o diagrama retangular simplificado que conduz a equações mais simples e com resultados muito próximos àqueles obtidos com o diagrama parábolaretângulo Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 14 z 04x 08x 085 fcd bw cc R As x cd cc R Rst As w b x LN LN st R 085 f Figura 16 Distribuição de tensões de compressão segundo os diagramas parábolaretângulo e retangular simplificado para concretos do Grupo I a Equilíbrio de Forças Normais Considerando que na flexão simples não ocorrem forças normais solicitantes e que a força resultante das tensões de compressão no concreto deve estar em equilíbrio com a força resultante das tensões de tração na armadura As como indicadas na Figura 15 podese escrever Rcc Rst Eq 15 Tomando da Resistência dos Materiais que σ RA a força resultante das tensões de compressão no concreto considerando o diagrama retangular simplificado pode ser escrita como Rcc σcd Ac Considerando a área de concreto comprimido Ac correspondente ao diagrama retangular simplificado com altura 08x fica Rcc 085fcd 08x bw Rcc 068bw x fcd Eq 16 e a força resultante das tensões de tração na armadura tracionada Rst σsd As Eq 17 com sd tensão de cálculo na armadura tracionada As área de aço da armadura tracionada b Equilíbrio de Momentos Fletores Considerando o equilíbrio de momentos fletores na seção o momento fletor solicitante deve ser equilibrado por um momento fletor resistente proporcionado pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada Assumindo valores de cálculo por simplicidade de notação ambos os momentos fletores devem ser iguais ao momento fletor de cálculo Md tal que Msolic Mresist Md As forças resistentes internas proporcionadas pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada formam um binário oposto ao momento fletor solicitante podendo ser escrito Md Rcc zcc Eq 18 Md Rst zcc Eq 19 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 15 onde Rcc zcc momento interno resistente proporcionado pelo concreto comprimido Rst zcc o momento interno resistente proporcionado pela armadura tracionada Com zcc d 04x e aplicando a Eq 16 na Eq 18 fica Md 068bw x fcd d 04x Eq 20 onde bw largura da seção x posição da linha neutra fcd resistência de cálculo do concreto à compressão d altura útil Md é definido como o momento interno resistente proporcionado pelo concreto comprimido deve ser considerado em valor absoluto na Eq 20 bem como nas demais equações Substituindo a Eq 17 na Eq 19 definese o momento interno resistente proporcionado pela armadura tracionada Md σsd As d 04x Eq 21 Isolando a área de armadura tracionada 40 x d M A sd d s Eq 22 As Eq 20 e Eq 22 proporcionam o dimensionamento das seções retangulares com armadura simples Notase que são sete as variáveis contidas nas duas equações o que leva portanto na necessidade de se adotarem valores para cinco das sete variáveis De modo geral na prática fixamse os materiais concreto e aço e a seção transversal e o momento fletor solicitante geralmente é conhecido ficando como incógnitas apenas a posição da linha neutra x e a área de armadura As Com a Eq 20 determinase a posição x para a linha neutra e comparando x com os valores x2lim e x3lim definese qual o domínio em que a viga se encontra 2 3 ou 4 Nos domínios 2 ou 3 a tensão na armadura tracionada sd é igual à máxima tensão possível isto é fyd ver diagramas nas Figura 5 e Figura 6 Definidos x e sd calculase a área de armadura tracionada As com a Eq 22 Se resultar o domínio 4 alguma alteração deve ser feita de modo a tornar x x3lim e resultar como consequência o domínio 2 ou o 3 Conforme a Eq 20 verificase que para diminuir x podese diminuir o valor do momento fletor solicitante Md aumentar a largura ou a altura da viga d aumentar a resistência do concreto Dessas possibilidades geralmente a solução mais viável de ser implementada na prática é o aumento da altura da viga h considerando sempre essa possibilidade em função do projeto arquitetônico Quando nenhuma alteração pode ser adotada resta ainda estudar a possibilidade de dimensionar a seção com armadura dupla que está apresentada no item 8 Para complementar a análise do domínio da viga deve também ser analisada a relação entre a posição da linha neutra e a altura útil xd para obedecer limites impostos pela norma No item 14643 a NBR 6118 apresenta limites para redistribuição de momentos fletores e condições de ductilidade afirmando que a capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU Quanto menor for xd tanto maior será essa capacidade E para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites a xd 045 para concretos com fck 50 MPa b xd 035 para concretos com 50 fck 90 MPa Eq 23 Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 16 A versão anterior 2003 da NBR 6118 preconizava que caso a seção transversal da viga fosse de apoio ou de ligação com outros elementos estruturais limites semelhantes àqueles da Eq 23 deveriam ser atendidos Na versão de 2014 embora de maneira não explícita foi introduzida uma alteração que os limites da Eq 23 passar a serem válidos também para as seções com momentos fletores positivos como aqueles por exemplo de vigas biapoiadas além das seções de apoio com momento fletor negativo mesmo que não tenha sido feita uma redistribuição dos momentos fletores c Permanência da Seção Plana Do diagrama de deformações mostrado na Figura 15 definese a relação entre as deformações de cálculo na armadura sd e no concreto correspondente à fibra mais comprimida x d x sd cd Eq 24 Considerandose a variável x que relaciona a posição da linha neutra com a altura útil d temse d x x Eq 25 Substituindo x por x d na Eq 24 fica sd cd cd x Eq 26 72 Cálculo Mediante Equações com Coeficientes K Com o intuito de facilitar o cálculo manual há muitos anos vem se ensinando no Brasil o dimensionamento de vigas com a utilização de tabelas com coeficientes K Para diferentes posições da linha neutra expressa pela relação x xd são tabelados coeficientes Kc e Ks relativos à resistência do concreto e à tensão na armadura tracionada Os coeficientes Kc e Ks encontramse apresentados na Tabela A1 e na Tabela A2 constantes do Anexo no final desta apostila A Tabela A1 é para apenas o aço CA50 e a Tabela A2 é para todos os tipos de aço aplicados no Concreto Armado Considere que as tabelas citadas são válidas apenas para os concretos do Grupo I fck 50 MPa Considerando a Eq 20 Md 068bw x fcd d 04x substituindo x por x d encontrase Md 068bw βx d fcd d 04βx d Md 068bw βx d2 fcd 1 04βx Introduzindo o coeficiente Kc c 2 w d K d M b com x cd x c 40 1 f 0 68 K 1 Eq 27 Isolando o coeficiente Kc temse d 2 w c M K b d Eq 28 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 17 O coeficiente Kc está apresentado na Tabela A1 e Tabela A2 Observe na Eq 22 que Kc depende da resistência do concreto à compressão fcd e da posição da linha neutra expressa pela variável x O coeficiente tabelado Ks é definido substituindose x por x d na Eq 22 40 x d M A sd d s d 40 1 M A x sd d s com x sd s 40 1 1 K Eq 29 a área de armadura tracionada As em função do coeficiente Ks é d K M A d s s Eq 30 O coeficiente Ks está apresentado na Tabela A1 e na Tabela A2 Observe que Ks depende da tensão na armadura tracionada sd e da posição da linha neutra expressa por x É muito importante observar que os coeficientes K foram calculados considerando as unidades de kN e cm de modo que as variáveis mostradas na Eq 28 e na Eq 30 bw d Md devem ter essas unidades 73 Exemplos Numéricos As vigas têm basicamente dois tipos de problemas para serem resolvidos de dimensionamento e de verificação Os três primeiros exemplos apresentados são de dimensionamento e os dois últimos são de verificação O dimensionamento consiste em se determinar qual a armadura necessária para uma viga sendo previamente conhecidos os materiais a seção transversal e o momento fletor solicitante Esse tipo de cálculo normalmente é feito durante a fase de projeto das estruturas para a sua futura construção Nos problemas de verificação a incógnita principal é o máximo momento fletor que a seção pode resistir Problemas de verificação normalmente ocorrem quando a viga pertence a uma construção já executada e em utilização e se deseja conhecer a capacidade de carga de uma viga Para isso é necessário conhecer os materiais que compõem a viga como a classe do concreto fck o tipo de aço a quantidade de armadura e o seu posicionamento na seção transversal as dimensões da seção transversal etc Na grande maioria dos casos da prática os problemas são de dimensionamento e esporadicamente ocorrem os problemas de verificação e por este motivo será dada maior ênfase aos problemas de dimensionamento Após o estudo dos exemplos seguintes o estudante deve fazer os exercícios propostos no item 10 1º Para a viga indicada na Figura 17 calcular a área de armadura longitudinal de flexão e as deformações na fibra de concreto mais comprimida e na armadura de flexão tracionada São conhecidos Mkmáx 10000 kNcm h 50 cm c f 14 s 115 bw 20 cm concreto C20 fck 20 MPa Grupo I d 47 cm altura útil aço CA50 c 20 cm cobrimento nominal t 5 mm diâmetro do estribo concreto com brita 1 dmáx 19 mm sem brita 2 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 18 Mkmáx A A ef bw 20 cm h 50 cm Figura 17 Viga biapoiada RESOLUÇÃO O problema é de dimensionamento aquele que mais ocorre no dia a dia do engenheiro estrutural A incógnita principal é a área de armadura tracionada As além da posição da linha neutra dada pela variável x que deve ser determinada primeiramente A resolução será feita segundo as equações teóricas deduzidas do equilíbrio da seção Eq 20 e Eq 22 e também com aplicação das equações com coeficientes K tabelados O momento fletor de cálculo é kNcm 10000 14000 41 M M k f d sendo f o coeficiente de ponderação que majora os esforços solicitantes O valor x2lim delimita os domínios 2 e 3 e para os concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa é fixo e igual a 026d 12 2 cm 0 26 47 0 26d x lim 2 O valor x3lim delimita os domínios 3 e 4 e para os concretos do Grupo I e aço CA50 x3lim é igual a 063d ver Tabela 1 x3lim 063d 063 47 296 cm a Resolução com Equações Teóricas Com a Eq 20 determinase a posição x da linha neutra para a seção 40 x d x f 0 68b M cd w d 40 x 47 41 02 0 68 20 x 14000 0 18018 1175 x x2 181 cm x 99 4 cm x 2 1 A primeira raiz não interessa pois 994 cm h 50 cm Portanto x 181 cm como mostrado na Figura 18 Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo a posição da linha neutra deve ser medida a partir da borda superior comprimida Observe que as unidades adotadas para as variáveis da Eq 20 foram o kN e o cm Se outras unidades diferentes forem adotadas devese tomar o cuidado de mantêlas em todas as variáveis É importante observar que o momento fletor deve ser colocado na equação com o seu valor absoluto O momento fletor positivo traciona a parte inferior da viga e para resistir a ele é colocada uma armadura longitudinal chamada armadura positiva No caso de momento fletor negativo é colocada a armadura negativa próxima à borda superior da viga Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 19 Comparando a posição da linha neutra x com os limites x2lim e x3lim determinase o domínio em que a viga se encontra 29 6 cm x 181 cm x 12 2 cm x 3lim 2lim Como a linha neutra está no intervalo entre x2lim e x3lim conforme a Figura 18 verificase que a viga está no domínio 3 Conforme os limites estabelecidos na Eq 23 considerando o concreto C20 fck 20 MPa temse ok 045 47 039 d 181 x como o limite foi atendido nenhuma alteração é necessária e a viga pode ter a armadura determinada No domínio 3 a deformação na armadura varia de yd início de escoamento do aço a 10 ver Figura 5 Conforme o diagrama x do aço Figura 6 a tensão nesta faixa de deformação é sd fyd fyks para o aço CA50 fyk 50 kNcm2 500 MPa A área de armadura é calculada pela Eq 22 40 x d M A sd d s 10 8 181 40 115 47 50 14000 As cm2 47 50 2lim x 122 x 296 s A LN 20 3lim x 181 Figura 18 Posição da linha neutra na seção transversal e limites entre os domínios 2 3 e 4 b Resolução com Equações com Coeficientes K Nas equações do tipo K devem ser obrigatoriamente consideradas as unidades de kN e cm para as variáveis Primeiramente devese determinar o coeficiente Kc Eq 28 d 2 w c M K b d 23 14000 20 47 2 com Kc 32 concreto C20 e aço CA50 na Tabela A1 determinamse os coeficientes x 038 Ks 0027 e domínio 3 A posição da linha neutra fica determinada pela Eq 25 d x x x x d 038 47 179 cm Como x xd 038 é menor que o valor limite de 045 para concreto C20 e conforme a Eq 23 nenhuma alteração é necessária e a armadura pode ser calculada com a Eq 30 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 20 d K M A d s s 8 04 47 0 02714000 cm2 Comparando os resultados obtidos segundo as duas formulações verificase que os valores são muito próximos c Detalhamento da armadura na seção transversal Inicialmente devese comparar a armadura calculada As 810 cm2 com a armadura mínima longitudinal prescrita pela NBR 6118 Conforme a Tabela 2 para concreto C20 e seção retangular a armadura mínima de flexão é Asmín 015 bw h 00015 20 50 150 cm2 Verificase que a armadura calculada de 810 cm2 é maior que a armadura mínima Quando a armadura calculada for menor que a armadura mínima deve ser disposta a área da armadura mínima na seção transversal da viga A escolha do diâmetro ou dos diâmetros e do número de barras para atender à área de armadura calculada admite diversas possibilidades Um ou mais diâmetros podem ser escolhidos preferencialmente diâmetros próximos entre si A área de aço escolhida deve atender à área de armadura calculada preferencialmente com uma pequena folga mas segundo sugestão do autor admitese uma área até 5 inferior à calculada O número de barras deve ser aquele que não resulte numa fissuração significativa na viga e nem dificuldades adicionais durante a confecção da armadura A fissuração é diminuída quanto mais barras de menor diâmetro são utilizadas Porém devese cuidar para não ocorrer exageros e aumentar o trabalho de montagem da armadura Para a área de armadura calculada neste exemplo de 810 cm2 com auxílio das Tabela A3 e Tabela A4 podem ser enumeradas as seguintes combinações 16 8 mm 800 cm2 10 10 mm 800 cm2 7 125 mm 875 cm2 4 16 mm 800 cm2 3 16 mm 2 125 mm 850 cm2 3 20 mm 945 cm2 2 20 mm 1 16 mm 830 cm2 2 20 mm 2 125 mm 880 cm2 Outras combinações de número de barras e de diâmetros podem ser enumeradas A escolha de uma das combinações listadas deve levar em conta os fatores fissuração facilidade de execução porte da obra número de camadas de barras exequibilidade largura da viga principalmente entre outros Detalhamentos com uma única camada resultam seções mais resistentes que seções com duas ou mais camadas de barras pois quanto mais próximo estiver o centro de gravidade da armadura à borda tracionada maior será a resistência da seção Definese como camada as barras que estão numa mesma linha paralela à linha de borda inferior ou superior da seção O menor número possível de camadas deve ser um dos objetivos do detalhamento Das combinações listadas 16 8 e 10 10 devem ser descartadas porque o número de barras é excessivo o que aumentaria o trabalho do armador operário responsável pela confecção das armaduras nas construções Por outro lado as três últimas combinações com o diâmetro de 20 mm têm um número pequeno de barras não sendo o ideal para a fissuração além do fato da barra de 20 mm representar maiores dificuldades no seu manuseio confecção de ganchos etc Entre todas as combinações as melhores alternativas são 7 125 e 4 16 mm sendo esta última pior para a fissuração mas que certamente ficará dentro de valores máximos recomendados pela NBR 6118 O estudo da fissuração nas vigas será apresentado em outra disciplina Na escolha entre 7 125 e 4 16 mm devese também atentar para o porte da obra Construções de pequeno porte devem ter especificados diâmetros preferencialmente até 125 mm pois a maioria delas Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 21 não têm máquinas elétricas de corte de barras onde são cortadas com serras ou guilhotinas manuais com capacidade de corte de barras até 125 mm Guilhotinas maiores são praticamente inexistentes nas obras de pequeno porte Além disso as armaduras são feitas por pedreiros e ajudantes e não armadores profissionais Não há também bancadas de trabalho adequadas para o dobramento das barras De modo que recomendamos diâmetros de até 125 mm para as obras de pequeno porte e acima de 125 mm apenas para as obras de maior porte com trabalho de armadores profissionais Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo é extremamente importante que a armadura As calculada seja disposta na posição correta da viga isto é nas proximidades da borda sob tensões de tração que no caso em questão é a borda inferior Um erro de posicionamento da armadura como as barras serem colocadas na borda superior pode resultar no sério comprometimento da viga em serviço podendo a levar inclusive ao colapso imediatamente à retirada dos escoramentos A disposição das barras entre os ramos verticais do estribo deve proporcionar uma distância livre entre as barras suficiente para a passagem do concreto a fim de evitar o surgimento de nichos de concretagem chamados na prática de bicheira Para isso conforme apresentado na Eq 10 o espaçamento livre horizontal mínimo entre as barras é dado por agr máx mín h d 21 cm 2 a Quando as barras de uma mesma camada têm diâmetros diferentes a verificação do espaçamento livre mínimo ahmín entre as barras deve ser feita aplicandose a Eq 10 acima Por outro lado quando as barras da camada têm o mesmo diâmetro a verificação pode ser feita com auxílio da Tabela A4 que mostra a Largura bw mínima para um dado cobrimento nominal c Determinase a largura mínima na intersecção entre a coluna e a linha da tabela correspondente ao número de barras da camada e o diâmetro das barras respectivamente O valor para a largura de bw mínimo depende do diâmetro máximo da brita de maior dimensão utilizada no concreto A Figura 19 mostra o detalhamento da armadura na seção transversal da viga onde foi adotada a combinação 4 16 mm a combinação 7 125 mm deve ser feita como atividade do aluno Para 4 16 mm na Tabela A4 encontrase a largura mínima de 19 cm para concreto com brita 1 e cobrimento de 20 cm Como a largura da viga é 20 cm maior que a largura mínima é possível alojar as quatro barras numa única camada atendendo ao espaçamento livre mínimo Além da armadura tracionada As devem ser dispostas também no mínimo duas barras na borda superior da seção barras construtivas chamadas portaestribos que servem para a amarração dos estribos da viga Armaduras construtivas são muito comuns nos elementos estruturais de concreto armado auxiliam na confecção e montagem das armaduras e colaboram com a resistência da peça embora não sejam levadas em conta nos cálculos A distância acg medida entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a fibra mais tracionada da seção transversal neste caso é dada pela soma do cobrimento do diâmetro do estribo e metade do diâmetro da armadura acg 20 05 162 33 cm A altura útil d definida como a distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada à fibra mais comprimida da seção transversal conforme o detalhamento da Figura 19 é d h acg 50 33 467 cm O valor inicialmente adotado para a altura útil d foi 47 cm Existe portanto uma pequena diferença de 03 cm entre o valor inicialmente adotado e o valor real calculado em função do detalhamento escolhido Pequenas diferenças de até 1 cm ou 2 cm podem de modo geral serem desconsideradas em vigas de dimensões correntes não havendo a necessidade de se recalcular a armadura pois a diferença de armadura geralmente é pequena Embora a norma indique a armadura de pele para vigas com h 60 cm ver Eq 9 recomendase a sua aplicação quando h 50 cm para evitar o aparecimento de fissuras por retração com área igual àquela indicada na antiga NB 1 de 1978 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 22 Aspface 005 bw h Aspface 005 20 50 05 cm2 3 5 mm 060 cm2 em cada face vertical 4Ø16 800 cm² 20 a d 50 cg armadura construtiva armadura de pele 6Ø 5 Figura 19 Detalhamento da armadura longitudinal As na seção transversal d Deformações na fibra mais comprimida concreto e na armadura tracionada No domínio 3 a deformação de encurtamento na fibra de concreto mais comprimida é fixa e igual a 35 para os concretos do Grupo I A deformação na armadura As varia de yd 207 para o aço CA50 a 10 podendo ser calculada pela Eq 24 Considerando d 467 cm conforme determinado no detalhamento mostrado na Figura 19 x d x sd cd 181 7 46 181 53 sd sd 55 A Figura 20 ilustra as deformações nos materiais e os domínios 2 e 3 de deformação d 2 3 4 x 181 cm LN sd cu 10 yd 0 35 0 55 x 2lim 3lim x 207 Figura 20 Diagrama de domínios para concretos do Grupo I e deformações no concreto comprimido e na armadura tracionada 2º Calcular a altura útil d e a armadura longitudinal de flexão As para o máximo momento fletor positivo da viga de seção retangular mostrada na Figura 21 Dados concreto C25 t 5 mm diâmetro do estribo aço CA50 c 25 cm Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 23 bw 20 cm concreto com brita 1 Mkmáx 12570 kNcm c f 14 s 115 M 12570 kNcm kmáx Figura 21 Esquema estático e diagrama de momentos fletores RESOLUÇÃO Como a altura da viga não está fixada dado que a altura útil d é uma incógnita o problema admite infinitas soluções tanto no domínio 2 como no domínio 3 desde que no domínio 3 sejam obedecidos os limites estabelecidos na Eq 23 No domínio 4 não se admite o dimensionamento mesmo porque os limites da Eq 23 seriam ultrapassados O problema é resolvido fixandose a posição da linha neutra isto é adotandose um valor para x e para cada x adotado resulta um par d As Considerando o concreto C25 e a Eq 23 a posição da linha neutra pode variar de zero até o limite x xd 045 domínio 3 Com o objetivo de mostrar duas soluções entre as infinitas existentes o exemplo será resolvido com a posição da linha neutra fixada em duas diferentes posições no limite entre os domínios 2 e 3 x x2lim e no valor máximo xd 045 ver Figura 5 Ambas as soluções visam dimensionar a viga com armadura simples pois outras soluções possíveis com armadura dupla não serão apresentadas neste exemplo A resolução do exercício será feita segundo as equações do tipo K ficando a resolução pelas equações teóricas como tarefa para o estudante O cálculo pelas equações teóricas Eq 20 e Eq 22 fazse arbitrando valores para x na Eq 20 donde se obtém um valor correspondente para d A área de armadura é calculada então com a Eq 22 tendo todas as suas variáveis conhecidas O momento fletor de cálculo é Md f Mk 14 12570 17598 kNcm a Linha neutra passando por x2lim Com a linha neutra em x2lim implica que x x2lim 026 para os concretos do Grupo I de resistência e na Tabela A1 para concreto C25 e aço CA50 encontramse 0 026 K 53 K s c Com a Eq 28 calculase a altura útil d d 2 w c M K b d 55 5 cm 20 17598 53 b K M d w d c A área de armadura As Eq 30 resulta 2 d s s 8 24 cm 555 0 02617598 d K M A Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 24 Um arranjo possível de barras para a área calculada é 3 16 mm 2 125 mm 850 cm2 Há várias outras combinações ou arranjos possíveis A posição da linha neutra x pode ser obtida com a Eq 25 14 4 cm 0 26 555 d x x d x x2lim 2lim x A Figura 22 mostra a posição da linha neutra os domínios e o diagrama de deformações para a seção em análise Observe que com a linha neutra passando por x2lim a deformação de encurtamento no concreto comprimido cd é igual a 35 concretos do Grupo I e a deformação de alongamento na armadura sd é igual a 100 ambas iguais aos máximos valores permitidos pela NBR 6118 10 yd 2lim x 0 35 x 144 2lim 35 cd sd As LN As 20 555 2 3 c A h Figura 22 Diagrama de domínios e deformações nos materiais com a linha neutra passando em x2lim A Figura 23 mostra o detalhamento da armadura na seção transversal Como já observado no exercício anterior é extremamente importante posicionar corretamente a armadura As dispondoa próxima à face tracionada da seção que neste caso é a face inferior pois a viga está solicitada por momento fletor positivo Inicialmente devese tentar colocar as cinco barras na primeira camada próxima à borda tracionada Como foram escolhidos dois diâmetros diferentes para a armadura não é possível utilizar a Tabela A4 para verificar a possibilidade de alojar as cinco barras numa única camada Neste caso a verificação deve ser feita comparando o espaçamento livre existente entre as barras com o espaçamento mínimo preconizado pela NBR 6118 Considerando a barra de maior diâmetro e concreto com brita 1 dmáxagr 19 mm o espaçamento mínimo entre as barras conforme a Eq 10 é cm 32 91 21 d 21 cm 61 cm 2 a agr máx hmín ahmín 23 cm O espaçamento livre existente entre as barras considerando as cinco barras numa única camada é 71 4 3 61 1 25 50 52 2 20 ah cm Como ah 17 ahmín 23 cm as cinco barras não podem ser alojadas numa única camada Como uma segunda tentativa uma barra 125 deve ser deslocada para a segunda camada acima da primeira o que resulta para ah 72 3 1 25 3 61 50 52 2 20 ah cm Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 25 Como ah 27 ahmín 23 cm as quatro barras podem ser alojadas na primeira camada A barra 125 da segunda camada fica amarrada num dos ramos verticais dos estribos x x 144 555 60 20 3 Ø 16 a 2 Ø 125 a 27 h c LN 2lim 1ª cam cg Figura 23 Detalhamento da armadura na seção transversal e posição da linha neutra em x x2lim Não há a necessidade de determinar a posição exata do centro de gravidade da armadura As a posição aproximada é suficiente não conduzindo a erro significativo No exemplo o centro de gravidade pode ser tomado na linha que passa pela face superior das barras 16 mm A distância acg entre o centro de gravidade CG da armadura longitudinal tracionada As à fibra mais tracionada da seção neste caso é acg c t 25 05 16 46 cm A altura da viga é a soma da altura útil d com a distância acg h d acg 555 46 601 cm 60 cm Para as vigas recomendase adotar alturas com valores múltiplos de 5 cm ou 10 cm A armadura mínima de flexão conforme a Tabela 2 é 015 b h A w s mín 2 s mín 180 cm 0 0015 20 60 A As 824 cm2 Asmín 180 cm2 dispor a armadura calculada Embora a norma indique a armadura de pele quando h 60 cm Eq 9 recomendamos a sua aplicação para h 50 cm com área indicada na NB 11978 Aspface 005 bw h Aspface 005 20 60 06 cm2 3 5 mm 060 cm2 em cada face vertical Esta armadura de pele não está indicada na Figura 23 b Linha neutra passando no limite xd 045 Neste caso x 045 e na Tabela A1 para concreto C25 e aço CA50 encontramse 0 028 K 22 K s c Com a Eq 28 calculase a altura útil d Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 26 d 2 w c M K b d 44 0 cm 20 17598 22 b K M d w d c A área de armadura As Eq 30 resulta 2 d s s 1120 cm 44 0 02817598 d K M A Um arranjo de barras é composto por 6 16 mm 1200 cm2 Outros arranjos podem ser utilizados A posição da linha neutra x pode ser obtida com a Eq 25 198 cm 0 45 44 x 045 d x x A Figura 24 mostra a posição da linha neutra os domínios e o diagrama de deformações para a seção em análise Observe que com a linha neutra passando por x 045d o domínio é o 3 e a deformação de encurtamento no concreto comprimido cd é igual a 35 para concretos do Grupo I e a deformação de alongamento na armadura sd é Eq 24 x d x sd cd 198 44 198 53 sd sd 43 maior que yd 207 como era de se esperar 10 yd s A x 3lim sd 35 LN 0 B x 198 35 cd 20 s A d 440 Ac h 2 3 2lim x 0 43 Figura 24 Diagrama de domínios e deformações nos materiais com a linha neutra passando por x 045d Na distribuição das seis barras 16 mm na seção transversal podese fazer uso Tabela A4 para se determinar quantas camadas de barras são necessárias O intuito é de alojar o maior número de barras numa primeira camada Na Tabela A4 com c 25 cm verificase que a largura bw mínima necessária para alojar 6 16 mm é de 27 cm maior que a largura existente de 20 cm não sendo possível portanto alojar as seis barras Cinco barras também não podem já que bwmín 23 cm supera a largura existente Mas quatro barras podem ser alojadas numa única camada como mostrado na Tabela A4 a largura bwmín de 20 cm é igual à largura da viga As duas outras barras restantes devem ser dispostas numa segunda camada amarradas nos ramos verticais dos estribos posicionadas com o espaçamento livre mínimo avmín relativo à face superior das barras da primeira camada como mostrado na Figura 25 O espaçamento livre mínimo vertical entre as barras conforme a Eq 11 é cm 01 91 50 d 50 cm 61 cm 2 a agr máx v mín avmín 20 cm De modo geral o espaçamento livre entre camadas resulta igual a 20 cm Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 27 2 Ø 16 4 Ø 16 a v t Ø c 05 cg a LN CG 20 440 491 x 198 Ac Figura 25 Detalhamento da armadura na seção transversal e posição da linha neutra em x 045d Adotandose a posição do centro de gravidade da armadura de forma aproximada numa linha passando a 05 cm acima da superfície superior das barras 16 mm da primeira camada a distância acg distância do centro de gravidade CG da armadura longitudinal tracionada As à fibra mais tracionada da seção é acg 25 05 16 05 51 cm Para a altura da viga resulta h d acg 440 51 491 cm A altura calculada para a viga de 491 cm não é uma medida padrão de execução na prática das construções É comum adotarem alturas múltiplas de 5 cm ou 10 cm para as vigas o que leva à altura de 50 cm a3 Comparação dos resultados Os cálculos efetuados com a linha neutra fixada em x2lim e x 045d forneceram as soluções a x2lim h 60 cm As 824 cm2 b x 045d h 50 cm As 1120 cm2 Os resultados permitem tecer as seguintes considerações quanto menor for o valor de x ou a profundidade da linha neutra dentro da seção transversal maior será a altura resultante para a viga e menor será a área de armadura tracionada Com a maior altura da seção o braço de alavanca z entre as forças resultantes internas também é maior o que leva a menor necessidade de armadura as vigas dimensionadas no domínio 2 resultam vigas com maior altura e menor armadura que as vigas dimensionadas no domínio 3 a consideração anterior implica que as vigas dimensionadas no domínio 2 consomem maiores volumes de concreto e maiores quantidades de fôrma escoramento mãodeobra etc Um estudo de custos deve constatar que o dimensionamento no domínio 2 resulta num custo maior que o dimensionamento no domínio 3 apesar do menor consumo de aço proporcionado pelo domínio 2 outro aspecto importante é que o dimensionamento no domínio 3 com vigas de menor altura resultam vigas mais flexíveis sujeitas a flechas de maior magnitude Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 28 3º Calcular a armadura longitudinal As de uma viga submetida à flexão simples sendo dados concreto C25 c 25 cm aço CA50 t 63 mm diâmetro do estribo h 60 cm concreto com brita 1 bw 22 cm c f 14 s 115 Mk 15000 kNcm momento fletor negativo no apoio da viga RESOLUÇÃO Neste caso como todas as variáveis estão fixadas com exceção da posição da linha neutra x e da área de armadura As existe apenas uma solução dada pelo par x As A resolução é iniciada pela determinação de x e em seguida pelo cálculo de As A questão será resolvida utilizandose as equações teóricas e também com as equações com coeficientes K A altura útil d não é conhecida porque não se conhece o arranjo da armadura na seção transversal É necessário estimar d fazendo a altura da viga menos a distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a fibra mais tracionada distância acg Essa distância depende da armadura As da largura da viga do diâmetro do estribo e principalmente da espessura do cobrimento de concreto que quanto maior maior será a distância acg De modo geral para as vigas correntes o valor de acg varia em torno de 3 cm a 6 cm A solução é adotar um valor para acg e depois verificar o valor exato no detalhamento da armadura na seção transversal Normalmente não é necessário recalcular a armadura para o valor de acg determinado no detalhamento dado que a variação de armadura geralmente é pequena Para a distância acg desta questão será adotado o valor de 5 cm e d é d h 5 cm 60 5 55 cm O momento fletor de cálculo é Md γf Mk 14 15000 21000 kNcm o sinal negativo do momento fletor não deve ser considerado nos cálculos equações a Resolução com Equações Teóricas Os limites entre os domínios 2 3 e 4 considerando os concretos do Grupo I de resistência são x2lim 026d 026 55 143 cm x3lim 063d 063 55 347 cm para o aço CA50 Com a Eq 20 determinase a posição da linha neutra para a seção 40 x d x f 0 68b M cd w d 40 x 55 41 52 0 68 22 x 21000 x 162 cm Comparando a posição da linha neutra x com os limites x2lim e x3lim determinase qual o domínio em que a viga se encontra 34 7 cm x 16 2 cm x 143 cm x 3lim 2lim a seção está no domínio 3 Considerando os limites fornecidos na Eq 23 e o concreto C25 temse xd 16255 029 045 como o limite foi atendido existe solução com armadura simples A área de armadura é calculada pela Eq 22 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 29 40 x d M A sd d s 95 9 16 2 40 115 55 50 21000 As cm2 b Resolução com Equações com Coeficientes K A posição da linha neutra é determinada com o cálculo de Kc Eq 28 d 2 w c M K b d 23 21000 22 55 K 2 c Observe que o momento fletor de cálculo Md é considerado com o seu valor absoluto no cálculo de Kc Com Kc 32 para concreto C25 e aço CA50 na Tabela A1 encontramse Ks 0026 x 029 e domínio 3 Com x xd 029 o limite de 045 da Eq 23 concreto C25 é atendido pois x 029 045 Isso significa que a seção pode ser dimensionada com armadura simples sem necessidade de se fazer qualquer alteração nos dados iniciais A área de armadura Eq 30 resulta 2 d s s 9 93 cm 55 0 02621000 d K M A 5 16 mm 1000 cm2 A armadura mínima para a viga conforme a Tabela 2 é 015 b h A w s mín 2 s mín 198 cm 0 0015 22 60 A As Asmín 198 cm2 O detalhamento da armadura na seção transversal está mostrado na Figura 26 Como o momento fletor é negativo a armadura deve obrigatoriamente ser disposta próxima à face superior tracionada da seção Seria um erro gravíssimo fazer o contrário com a armadura As no lado inferior da viga Tanto no projeto quanto na execução das vigas especial atenção deve ser dada a este detalhe A posição do centro de gravidade da armadura foi adotada de forma aproximada a 5 mm da face inferior das barras da primeira camada Para vigas de pequeno porte não há a necessidade de se determinar com rigor a posição exata do centro de gravidade da armadura Na distribuição das barras da armadura longitudinal negativa nas seções transversais das vigas é importante deixar espaço suficiente entre as barras para a passagem da agulha do vibrador Devese ter em mente qual o diâmetro da agulha do vibrador que será utilizado Os diâmetros de agulha mais comuns utilizados na prática são de 25 35 e 49 mm De preferência o espaçamento entre as barras deve ser um pouco superior ao diâmetro da agulha para permitir a penetração da agulha com facilidade sem que se tenha que forçar a sua passagem Para quatro e três barras na primeira camada os espaçamentos livres horizontais entre as barras são 13 3 61 4 0 63 52 2 22 a h 4 cm 55 2 61 3 0 63 52 2 22 a h 3 cm Considerando o diâmetro da agulha do vibrador igual a 49 mm verificase que devem ser dispostas apenas três barras na primeira camada e as duas outras na segunda camada O espaçamento livre mínimo horizontal entre as barras é Eq 10 12 19 23 cm d 12 cm 16 cm 2 a agr máx hmín ahmín 23 cm Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 30 O espaçamento livre mínimo vertical entre as barras das camadas é Eq 11 05 19 10 cm d 05 cm 16 cm 2 a agr máx v mín avmín 20 cm A distância entre o centro de gravidade da armadura e a face tracionada da viga adotada inicialmente como 5 cm é acg 25 063 16 05 52 cm Conforme a NBR 6118 a viga não necessita de armadura de pele pois h 60 cm ver Eq 9 no entanto recomendamos a sua aplicação para h 50 cm com área indicada na NB 11978 Aspface 005 bw h Aspface 005 22 60 066 cm2 3 5 mm 060 cm2 em cada face vertical CG a a 2 cm v 05 cg a h 1ª cam 2ª cam armadura de pele 6Ø 5 a d 22 cg 5 Ø 16 1000 cm² 60 c Øt CG Figura 26 Detalhamento da armadura negativa na seção transversal 4º Dada a seção retangular de uma viga como mostrada na Figura 27 calcular qual é o momento fletor admissível de serviço São conhecidos bw 20 cm f c 14 h 50 cm s 115 d 46 cm As 800 cm2 concreto C20 aço CA50 46 20 50 A 800 cm² s Figura 27 Características da seção transversal Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 31 RESOLUÇÃO O problema agora não é de dimensionamento e sim de verificação As variáveis a serem determinadas são a posição da linha neutra x e o momento fletor de serviço ou admissível Mk A resolução deve ser feita por meio das equações teóricas A primeira equação a considerar é a de equilíbrio das forças resultantes na seção transversal Eq 15 Rcc Rst As resultantes de compressão no concreto comprimido e de tração na armadura são Eq 16 e Eq 17 cd w cc x f 0 68b R s sd st A R Inicialmente devese supor que a seção foi dimensionada no domínio 2 ou 3 onde temse 115 50 f f s yk yd sd Aplicando a Eq 10 determinase a posição da linha neutra x s sd cd w A x f 0 68b 17 9 cm x 115 8 00 50 41 02 0 68 20x É necessário verificar se a hipótese inicialmente considerada da viga estar nos domínios 2 ou 3 é verdadeira o que se faz comparando x com os valores limites x2lim e x3lim Para o concreto C20 e CA50 x2lim 026d 026 46 120 cm x3lim 063d 063 46 290 cm x2lim 120 x 179 x3lim 290 cm Verificase que a seção encontrase no domínio 3 e portanto a tensão sd é igual a fyd Verificase também que o limite apresentado na Eq 23 0 45 0 39 46 9 17 d x ok O dimensionamento foi feito atendendo ao limite O momento fletor de serviço pode ser calculado pelas Eq 20 ou Eq 21 40 x d x f 0 68b M cd w d ou 40 x d A M sd s d 17 9 M 9 650kNcm 40 115 46 8 00 50 M 41 k k Portanto o momento fletor característico a que a seção pode resistir é 9650 kNcm momento fletor positivo 5º Determinar o máximo momento fletor que pode suportar uma viga com a seção mostrada na Figura 28 Dados Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 32 concreto C25 aço CA50 As 945 cm2 c f 14 s 115 d 36 cm 40 20 3 3 Ø 20 945 cm² Figura 28 Seção transversal da viga RESOLUÇÃO Como no exercício anterior o problema é de verificação e a incógnita principal do problema é o momento fletor característico Mk a que a seção transversal pode resistir Da equação de equilíbrio de forças normais Eq 15 temse o equilíbrio das forças resultantes Rcc Rst As resultantes de compressão no concreto comprimido e de tração na armadura são Eq 16 e Eq 17 cd w cc x f 0 68b R s sd st A R Supondose inicialmente que a seção foi dimensionada nos domínios 2 ou 3 a tensão na armadura é 115 50 f f s yk yd sd Aplicando a Eq 15 determinase a posição da linha neutra x s sd cd w A x f 0 68b 16 9 cm 115 9 45 x 50 41 52 0 68 20x É necessário verificar se a hipótese inicialmente considerada da viga estar no domínio 2 ou 3 é verdadeira o que se faz comparando x com os valores limites x2lim e x3lim Para o concreto C25 Grupo I e CA50 temse x2lim 026d 026 36 94 cm x3lim 063d 063 36 227 cm x2lim 94 x 169 x3lim 227 cm Verificase que a seção encontrase no domínio 3 e a tensão sd é igual a fyd Verificase que os limites da Eq 23 0 45 0 47 36 9 16 d x não ok O dimensionamento foi feito não atendendo ao limite O momento fletor de serviço pode ser calculado pelas Eq 20 ou Eq 21 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 33 40 x d x f 0 68b M cd w d ou 40 x d A M sd s d M 8581kNcm 16 9 40 115 36 9 45 50 M 41 k k Portanto o momento fletor característico a que a seção pode resistir é 8581 kNcm momento fletor negativo 8 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA Definese seção com armadura dupla a seção que além da armadura resistente tracionada contém também armadura longitudinal resistente na região comprimida ali colocada para auxiliar o concreto na resistência às tensões de compressão A armadura dupla é um artifício que permite dimensionar as seções cujas deformações encontram se no domínio 4 sem que haja a necessidade de se alterar algum dos parâmetros inicialmente adotados A seção com armadura dupla surge como solução ao dimensionamento antieconômico e contra a segurança ruptura frágil sem aviso prévio proporcionado pelo domínio 4 Este domínio é evitado alterandose a posição da linha neutra para o limite entre os domínios 3 e 4 ou seja com a linha neutra passando por x3lim no que resulta na máxima seção comprimida possível no domínio 3 Ao se fazer assim a área de concreto comprimido não mais considerada para a resistência da seção é compensada pelo acréscimo de uma armadura longitudinal próxima à borda comprimida que irá auxiliar o concreto no trabalho de resistência às tensões de compressão Por outro lado os limites impostos pela NBR 6118 item 14643 para a posição da linha neutra mostrados na Eq 23 a fim de melhorar a ductilidade de vigas e lajes podem ser também motivos para a utilização de armadura dupla Quando a posição da linha neutra excede os limites ao invés de se aumentar a altura da seção por exemplo é geralmente possível manter todos os dados iniciais acrescentando uma armadura na região comprimida da viga e desse modo possibilitar que a linha neutra não ultrapasse os limites impostos pela norma Na maioria dos casos da prática a necessidade de armadura dupla surge nas seções submetidas a momentos fletores negativos nos apoios intermediários de vigas contínuas Como os momentos fletores negativos são significativamente maiores que os momentos fletores máximos positivos nos vãos eles requerem seções transversais com alturas maiores que para os momentos fletores positivos Porém fixar a altura das vigas para todos os seus tramos em função dos momentos fletores negativos aumenta o custo pois se nas seções de apoio a altura fixada é a ideal nas seções ao longo dos vãos a altura resulta exagerada Daí que uma solução simples e econômica pode ser fixar a altura da viga de tal forma que resulte armadura dupla nos apoios e armadura simples nos vãos 81 Equações de Equilíbrio Do mesmo modo como feito na dedução das equações para a seção retangular com armadura simples a formulação será desenvolvida com base nas duas equações de equilíbrio da estática N 0 e M 0 A Figura 29 mostra a seção retangular de uma viga com armadura tracionada As e armadura comprimida As submetida a momento fletor positivo O diagrama de distribuição de tensões de compressão no concreto é o retangular simplificado com profundidade 08x Eq 12 e tensão σcd de 085fcd Eq 13 sendo ambos os valores válidos apenas para os concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa Portanto a formulação que será apresentada não é válida para os concretos do Grupo II 50 fck 90 MPa Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 34 s A As b s A Rsc sd sc R sc z w LN s A Rst cc R cd sd R cc st R cd zcc 085 fcd c A M d h d d x x y 08x Figura 29 Seção retangular com armadura dupla para concretos do Grupo I a Equilíbrio de Forças Normais Na flexão simples não ocorre a força normal de forma que existem apenas as forças resultantes relativas aos esforços resistentes internos que devem se equilibrar de tal forma que st sc cc R R R Eq 31 sendo Rcc força resultante de compressão proporcionada pelo concreto comprimido Rsc força resultante de compressão proporcionada pela armadura comprimida Rst força resultante de tração proporcionada pela armadura tracionada sd tensão de cálculo na armadura comprimida sd tensão de cálculo na armadura tracionada Considerando que R A as forças resultantes definidas com auxílio da Figura 29 são Rcc 085 fcd 08 x bw 068bw x fcd Eq 32 Rsc As sd Eq 33 Rst As sd Eq 34 b Equilíbrio de Momentos Fletores O momento fletor solicitante tem que ser equilibrado pelos momentos fletores internos resistentes proporcionados pelo concreto comprimido e pelas armaduras a tracionada e a comprimida e que podem ser representados pelo momento fletor de cálculo Md tal que Msolic Mresist Md Fazendo o equilíbrio de momentos fletores em torno da linha de ação da força resultante Rst o momento resistente à compressão será dado pelas forças resultantes de compressão multiplicadas pelas suas respectivas distâncias à linha de ação de Rst braços de alavanca zcc e zsc Md Rcc zcc Rsc zsc Substituindo Rcc e Rsc pelas Eq 27 e 28 fica Md 068bw x fcd zcc As sd zsc Aplicando as distâncias zcc e zsc a equação tornase Md 068 bw x fcd d 04x As sd d d Eq 35 Com o intuito de facilitar o cálculo podese decompor o momento fletor Md em duas parcelas como indicado na Figura 30 tal que Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 35 Md M1d M2d Eq 36 z d 04x cc z d d sc s A Md s1 M A 1d s2 A M2d As2 As1 As LN As As d d 04 x 08x x a b c Figura 30 Decomposição da seção com armadura dupla O momento fletor M1d corresponde ao primeiro termo da Eq 30 cujo significado físico é o de ser o momento fletor interno resistente proporcionado por uma parcela As1 da armadura tracionada e pela área de concreto comprimido com a maior profundidade possível conforme esquema mostrado na Figura 30b 40 x d x f 0 68b M cd w 1d Eq 37 O valor de x a ser aplicado na Eq 32 deve ser adotado conforme o critério da NBR 6118 já apresentado na Eq 23 havendo as seguintes possibilidades a x 045d para concretos do Grupo I fck 50 MPa b x 035d para concretos do Grupo II 50 fck 90 MPa Eq 38 Nota os valores limites para x devem ser considerados para seções transversais de vigas e lajes tanto para as seções de apoio como para aquelas ao longo dos vãos com ou sem redistribuição de momentos fletores Determinada a primeira parcela M1d do momento fletor total podese calcular a segunda parcela como 1d d 2d M M M Eq 39 A armadura comprimida As equilibra a parcela As2 da armadura tracionada total As e surge do equilíbrio de momentos fletores na seção da Figura 30c como a força resultante na armadura comprimida multiplicada pela distância à armadura tracionada M2d Rsc zsc Aplicando a Eq 28 de Rsc fica d d A z A M sd s sc sd s 2d Isolando a área de armadura comprimida d d M A sd d 2 s Eq 40 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 36 A tensão sd na armadura comprimida depende do tipo de aço da posição da armadura dentro da seção transversal expressa pela relação dd e da posição x fixada para a linha neutra geralmente assumida nos valores limites 045d ou 035d Na Tabela A5 encontramse os valores de sd em função de dd e do tipo de aço para concretos do Grupo I de resistência As parcelas As1 e As2 da armadura tracionada resultam do equilíbrio de momentos fletores nas seções b e c indicadas na Figura 30 São dadas pelas forças resultantes nas armaduras tracionadas multiplicadas pelos respectivos braços de alavanca isto é a distância entre as resultantes que se equilibram na seção Para a seção da Figura 30 b 40 x d A z A M sd s1 cc sd s1 1d Isolando a parcela As1 da armadura tracionada 40 x d M A sd d 1 s1 Eq 41 Para a seção da Figura 30 c d d A z A M sd s2 sd sc s2 2d Isolando a parcela As2 da armadura tracionada d d M A sd d 2 s2 Eq 42 A armadura total tracionada é a soma das parcelas As1 e As2 s2 s1 s A A A Eq 43 onde As1 parcela da armadura tracionada As que equilibra o momento fletor resistente proporcionado pela área de concreto comprimido com profundidade x As2 parcela da armadura tracionada As que equilibra o momento fletor resistente proporcionado pela armadura comprimida As c Permanência das Seções Planas Conforme o diagrama de deformações mostrado na Figura 29 definemse as relações entre as deformações de cálculo nas armaduras tracionada sd e comprimida sd e no concreto da fibra mais comprimida da seção x d x sd cd Eq 44 x d d x x sd sd cd Eq 45 Assumindo a relação entre a posição da linha neutra e a altura útil d podese também escrever d x x Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 37 sd cd cd x Eq 46 82 Cálculo Mediante Equações com Coeficientes K O cálculo de dimensionamento das vigas à flexão simples pode ser feito com equações mais simples fazendose uso dos coeficientes K como mostrados na Tabela A1 ou Tabela A2 Inicialmente devese definir qual será a posição da linha neutra na seção transversal A sugestão é de posicionar a linha neutra com a profundidade máxima possível no limite estabelecido na NBR 6118 com a variável x em função da classe do concreto a x xd 045 para concretos do Grupo I fck 50 MPa b x xd 035 para concretos do Grupo II 50 fck 90 MPa Eq 47 Definida a posição da linha neutra devese determinar os valores correspondentes de Kclim e de Kslim na Tabela A1 ou Tabela A2 conhecendose a classe do concreto e a categoria do aço O momento fletor M1d fica assim determinado lim c 2 w 1d K b d M Eq 48 A parcela M2d do momento total também fica determinada 1d d 2d M M M Eq 49 A área total de armadura tracionada fica determinada por d d f M d M K A yd 2d d 1 slim s Eq 50 A área de armadura comprimida é d d K M A d 2 s s Eq 51 O coeficiente Ks é o inverso da tensão na armadura comprimida assumindo diferentes valores em função da relação dd e da posição adotada para a linha neutra geralmente assumida nos limites 045d ou 035d Os valores de Ks estão mostrados na Tabela A5 para concretos do Grupo I de resistência sd s 1 K Eq 52 Como já observado os coeficientes K foram calculados considerando as unidades de kN e cm de modo que as variáveis das equações devem ter essas unidades 83 Exemplos Numéricos 1º Dimensionar e detalhar a armadura longitudinal de flexão para o momento fletor negativo no apoio intermediário de uma viga contínua considerando os dados a seguir Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 38 bw 20 cm h 50 cm Mk 15700 kNcm concreto C25 aço CA50 c 20 cm t 63 mm brita 1 Mk RESOLUÇÃO O problema em questão é de dimensionamento da área de armadura e as incógnitas são a posição da linha neutra x e a área de armadura As Inicialmente não se conhece o domínio de deformação da seção o que significa que é uma incógnita se a seção será dimensionada com armadura simples ou dupla Para essa definição é necessário determinar x e o domínio em que a seção se encontra O momento fletor de cálculo é Md f Mk 14 15700 21980 kNcm Como não se conhece o detalhamento da armadura não é possível determinar a altura útil d de modo que deve ser adotado inicialmente um valor para d que é igual a altura da viga menos a distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a face tracionada da seção acg ver Figura 31 Adotando acg 5 cm d resulta d h 5 cm 50 5 45 cm Para a distância d entre o centro de gravidade da armadura comprimida à face comprimida da seção será adotado o valor de 3 cm ver Figura 31 Os limites entre os domínios 2 3 e 4 considerando aço CA50 e concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa são x2lim 026d 026 45 117 cm x3lim 063d 063 45 284 cm para o aço CA50 a Resolução com Equações Teóricas A posição da linha neutra x é determinada pela Eq 20 com o valor absoluto de Md 40 x d x f 0 68b M cd w d 40 x 45 41 52 0 68 20 x 21980 x 262 cm Observe que x2lim 117 x 262 x3lim 284 cm o que significa que a seção se encontra no domínio 3 Conforme a Eq 38 a relação xd deve ser verificada xd 26245 058 Como a relação xd é maior que o limite xd 045 é necessário estudar o problema e adotar uma solução de modo a atender o valor limite Algum dado inicial do problema pode ser alterado e analisando a Eq 20 que fornece x verificamse as seguintes alternativas diminuir a solicitação Md aumentar as dimensões da seção transversal principalmente a altura h aumentar a resistência do concreto fck Das alternativas listadas de modo geral a única que resulta exequível é o aumento da altura da seção Diminuir a solicitação depende de outros fatores como diminuir o carregamento o vão etc o que geralmente é inviável Aumentar a largura da seção também não é uma solução prática pois normalmente as vigas são projetadas para ficarem completamente embutidas nas paredes Não é usual também fazer os elementos estruturais de um mesmo pavimento com concretos de diferentes resistências Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 39 Resta ainda a solução de dimensionar a viga com armadura dupla que é uma solução interessante porque possibilita resolver o problema sem se fazer alterações nos dados iniciais como será mostrado em seguida Uma nova posição deve ser assumida para a linha neutra sendo possível infinitos valores até o limite de 045d Geralmente assumese o maior valor possível tal que x 045d 045 45 2025 cm Aplicando o novo valor de x na Eq 37 determinase o valor para M1d 40 x d x f 0 68b M cd w 1d 18147 kNcm 2025 40 45 41 52 0 68 20 2025 M d 1 Aplicando a Eq 39 determinase o valor da segunda parcela do momento fletor resistente M2d Md M1d 21980 18147 3833 kNcm Para CA50 e dd 345 007 conforme a Tabela A5 a tensão na armadura comprimida sd é 435 MPa 435 kNcm2 Do momento fletor M2d aplicando a Eq 40 resulta a armadura comprimida d d M A sd d 2 s 210cm2 45 3 5 43 3833 2 125 250 cm2 As áreas de armaduras tracionadas são determinadas com a Eq 41 e a Eq 42 considerando que no domínio 3 a tensão sd na armadura é igual a fyd 2 sd d 1 s1 cm 31 11 2025 40 115 45 50 18147 40 x d M A 2 sd d 2 s2 10 cm 2 3 115 45 50 3833 d d M A A área total de armadura tracionada é As As1 As2 1131 210 1341 cm2 3 20 2 16 1345 cm2 b Resolução com Equações com Coeficientes K O coeficiente Kc é calculado pela Eq 28 81 21980 45 20 M b d K 2 d 2 w c Na Tabela A1 com concreto C25 e aço CA50 verificase que a seção está no domínio 3 e x 058 045 Neste caso uma solução entre outras para atender ao limite máximo como mostrado anteriormente é dimensionar a seção com armadura dupla Com x 045 na Tabela A1 encontramse 0 028 K 22 K lim s clim Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 40 A primeira parcela do momento fletor resistente Eq 48 é kNcm 18409 22 45 20 K d b M 2 lim c 2 w 1d A segunda parcela do momento fletor resistente Eq 49 é M2d Md M1d 21980 18409 3571 kNcm Com d 3 cm e sendo dd 345 007 para o CA50 na Tabela A5 temse Ks 0023 As áreas de armadura comprimida e tracionada Eq 51 e Eq 50 são 2 d 2 s s 196 cm 3 45 0 023 3571 d d M K A 2 125 mm 250 cm2 d d f M d M K A yd 2d d 1 slim s cm2 41 13 3 115 45 50 3571 45 0 02818409 O detalhamento das armaduras na seção transversal está mostrado na Figura 31 Outros arranjos com número de barras e diâmetros diferentes poderiam ser utilizados Como já comentado em outros exemplos numéricos anteriores é importante posicionar corretamente as armaduras na seção transversal Como o momento fletor solicitante é negativo a armadura tracionada As deve obrigatoriamente ser posicionada próxima à borda superior da viga sendo esta chamada armadura negativa e a armadura comprimida As deve ser posicionada na borda inferior que está comprimida pelo momento fletor negativo O valor d foi inicialmente adotado igual a 3 cm O seu valor conforme o detalhamento da armadura d 20 063 1252 33 cm O espaçamento vertical livre mínimo entre as faces das barras das primeira e segunda camadas da armadura negativa é Eq 11 05 19 10 cm 05d cm 20 cm 2 a agr máx v mín avmín 20 cm d a 20 50 cg armadura de pele 6 Ø 5 2 Ø 125 d CG 2 Ø 16 3 Ø 20 ah a vmín 063 20 20 20 05 a CG 1ª camada 2ª camada cg Figura 31 Detalhamento das armaduras longitudinais de flexão na seção transversal Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 41 A distância acg que definiu a altura útil d foi adotada inicialmente igual a 5 cm Considerando aproximadamente que o centro de gravidade da armadura está posicionado 05 cm abaixo da face inferior das barras da primeira camada ver Figura 31 a distância acg segundo o detalhamento adotado resulta acg 20 063 20 05 51 cm O valor de 5 cm previamente adotado para acg é praticamente o valor resultante do detalhamento Diferenças de até um ou dois centímetros no valor de acg não justificam o recálculo das armaduras em função dos acréscimos serem muito pequenos A Tabela A4 mostra que a largura mínima necessária para alojar 3 20 mm numa única camada é de 16 cm menor que a largura existente de 20 cm o que mostra que é possível alojar as três barras Isso fica confirmado pela comparação entre ahmín Eq 10 e ah como calculados a seguir cm 12 19 23 12d cm 20 cm 2 a agr máx hmín ahmín 23 cm cm 44 2 02 3 0 63 02 2 20 ah ahmín 23 cm A distância livre entre as barras da primeira camada de 44 cm não é suficiente para a passagem do vibrador com diâmetro da agulha de 49 mm Neste caso devese utilizar uma agulha de menor diâmetro como por exemplo 25 e 35 mm A viga não necessita de armadura de pele pois h 50 cm ver Eq 9 no entanto recomendamos a sua aplicação para h 50 cm com área indicada na NB 11978 Aspface 005 bw h Aspface 005100 20 50 050 cm2 3 5 mm 060 cm2 em cada face vertical 2º Calcular e detalhar a armadura longitudinal da seção de apoio de uma viga contínua Figura 32 considerando concreto C30 aço CA50 c 25 cm t 63 mm brita 1 bw 14 cm h 60 cm Mk 18500 kNcm 18500 Figura 32 Valor do momento fletor negativo no apoio da viga contínua RESOLUÇÃO O problema é de dimensionamento como os anteriores onde as incógnitas são as áreas de armadura e a posição x da linha neutra A resolução será feita com as equações do tipo K a título de exemplificação Será inicialmente adotada a distância acg igual a 6 cm o que resulta para a altura útil d h 6 cm 60 6 54 cm O momento fletor de cálculo é Md f Mk 14 18500 25900 kNcm O coeficiente Kc é calculado pela Eq 28 com Md em valor absoluto Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 42 61 25900 54 14 M b d K 2 d 2 w c Na Tabela A1 com concreto C30 e aço CA50 verificase que a seção está no domínio 3 e conforme a Eq 38 x 056 045 Neste caso uma solução para atender ao limite máximo entre outras possíveis é dimensionar a seção com armadura dupla Com x 045 na Tabela A1 encontramse 0 028 K 91 K lim s clim A primeira parcela do momento fletor resistente Eq 48 é kNcm 21486 91 54 14 K d b M 2 lim c 2 w 1d A segunda parcela do momento fletor resistente Eq 49 é M2d Md M1d 25900 21486 4414 kNcm Adotando d 4 cm e sendo dd 454 007 para o CA50 na Tabela A5 temse Ks 0023 As áreas de armadura comprimida e tracionada Eq 51 e Eq 50 são 2 d 2 s s 2 03 cm 4 54 0 023 4414 d d M K A 2 125 mm 250 cm2 d d f M d M K A yd 2d d 1 slim s 17 cm2 13 4 115 54 50 4414 54 0 028 21486 A armadura mínima de acordo com a Tabela 2 é Asmín 0150 bw h 000150 14 60 126 cm2 As Asmín Entre várias possibilidades de arranjos de barras pode ser escolhido 3 20 2 16 1345 cm2 O detalhamento das armaduras na seção transversal está mostrado na Figura 33 A Tabela A4 mostra que é possível alojar duas barras numa camada pois a largura mínima é 13 cm menor que a largura existente de 14 cm No entanto a distância livre entre as barras deve proporcionar a passagem da agulha do vibrador A distância livre entre as barras é ah 14 225 063 20 37 cm A distância de 37 cm não possibilita a passagem da agulha com diâmetro de 49 mm Neste caso devese utilizar uma agulha menor com diâmetro de 25 mm por exemplo A distância livre vertical entre as camadas é Eq 11 05 19 10 cm 05d cm 20 cm 2 a agr máx v mín avmín 20 cm A distância acg inicialmente adotada como 6 cm conforme o detalhamento escolhido é acg 25 063 20 20 71 cm Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 43 A distância d entre o centro de gravidade da armadura comprimida à face comprimida adotada inicialmente como 4 cm é d 25 063 1252 38 cm Com h 60 cm a viga não necessita de armadura de pele ver Eq 9 no entanto a fim de evitar o possível surgimento de fissuras por retração indicamos colocar uma armadura com área da NB 11978 Aspface 005 bw h Aspface 005 14 60 042 cm2 3 42 mm 042 cm2 em cada face vertical d 2 Ø 16 a d 14 60 3 Ø 20 CG 2 Ø 125 cg armadura de pele 6 Ø 42 Figura 33 Detalhamento das armaduras na seção transversal 9 SEÇÃO T Teoricamente as vigas podem ter a seção transversal com qualquer forma geométrica porém além das vigas de seção retangular as mais comuns são aquelas com forma de I ou T Nas estruturas do tipo pré moldadas as vigas I T e duplo T são bastante comuns Figura 34 Figura 34 Seções prémoldadas em forma de V I e duplo T É muito comum também a viga de seção T quando se considera a contribuição de lajes maciças apoiadas em viga de seção retangular como será explicado adiante A seção T é assim chamada porque a seção da viga tem a forma geométrica de um T como mostrada na Figura 35 A seção T é composta pela nervura e pela mesa sendo que a mesa pode estar parcial ou totalmente comprimida Podem ser do tipo prémoldadas quando são fabricadas com a forma do T numa empresa ou moldadas no local no caso de vigas retangulares que com o trabalho conjunto com as lajes vizinhas originam uma seção fictícia em forma de T Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 44 h b w nervura mesa f h f b Figura 35 Notação da viga seção T A seção T pode ser formada também nas lajes do tipo préfabricadas e nervuradas Figura 36 nas seções de pontes rodoviárias Figura 37 etc MESA BLOCO MATERIAL INERTE NERVURA As s A Figura 36 Laje moldada no loção do tipo nervurada Figura 37 Seção celular de pontes rodoviárias A seção T é bastante comum nas estruturas moldadas no local quando as lajes do pavimento são do tipo maciça onde a seção T é visualmente imperceptível mas surge do trabalho conjunto entre as vigas retangulares e as lajes vizinhas nela apoiadas As tensões normais de compressão provenientes da flexão alcançam também as vizinhanças das lajes apoiadas nas vigas A contribuição das lajes porém só pode ser considerada quando as lajes estão comprimidas pelas tensões normais da flexão Se comprimida a laje atua aumentando significativamente a área de concreto comprimido Ac da viga retangular É muito importante observar que a laje deve estar obrigatoriamente no lado da viga inferior ou superior submetido às tensões normais de compressão Se a laje estiver no lado tracionado a sua contribuição à flexão não existirá dado que não se considera o concreto para resistir às tensões de tração Neste caso considerase apenas a resistência proporcionada pela seção retangular da viga Levando em conta essas premissas a Figura 38 mostra as situações de cálculo seção T ou retangular de uma viga contínua associada a lajes adjacentes em função da posição da laje inferior ou superior da viga e do sinal do momento fletor Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 45 M máx máx M máx M SEÇÃO T SEÇÃO RETANG SEÇÃO T SEÇÃO RETANG SEÇÃO T SEÇÃO RETANG Figura 38 Consideração de seção retangular ou T em viga contínua com lajes adjacentes nas bordas inferior ou superior Se as lajes estiverem apoiadas no lado superior da viga o que ocorre na grande maioria dos casos da prática a seção T só é formada nos momentos fletores positivos pois na região dos apoios intermediários o momento fletor negativo traciona o lado superior da viga e as lajes tracionadas não formam a seção T Nas vigas invertidas quando as lajes são apoiadas no lado inferior das vigas a situação é inversa à laje apoiada no lado superior De modo geral os momentos fletores negativos nos apoios intermediários das vigas contínuas são bem maiores que os momentos fletores positivos nos vãos o que se configura num aspecto negativo para as vigas levandose em conta que normalmente as lajes encontramse apoiadas no lado superior das vigas Isto é justamente nos maiores momentos fletores a seção T não é formada e formase apenas na região dos momentos fletores menores os positivos Isso impõe normalmente que a altura das vigas é dependente dos momentos fletores negativos sem se falar das flechas nos vãos A contribuição proporcionada pelas lajes maciças cuja altura varia normalmente de 7 cm a 12 cm deve ser sempre verificada Nas lajes nervuradas e préfabricadas porém como a espessura da mesa ou capa tem normalmente apenas 4 cm a contribuição da mesa é de modo geral desprezada e o cálculo das vigas é feito considerandose apenas a seção retangular As vantagens de se poder considerar a contribuição das lajes para formar seções T estão na possibilidade de vigas com menores alturas economia de armadura e de fôrma flechas menores etc A Figura 39 mostra uma planta de fôrma simples de uma construção de pequeno porte suficiente porém para expor as diferentes situações que ocorrem na análise de se considerar ou não a contribuição das lajes para formar seções T ou L as seções L são calculadas como T como se verá adiante A estrutura é formada por três lajes e seis vigas estando a laje L2 em balanço e a laje L3 invertida apoiada nas partes inferiores das vigas ao longo do seu contorno A forma da seção deve ser analisada nas regiões ou posições onde ocorrem os momentos fletores máximos para os quais serão feitos os cálculos de dimensionamento das vigas Cada seção com momento máximo deve ser analisada individualmente isto é momento fletor por momento fletor Tendose como condição básica que o momento fletor positivo traciona o lado inferior das vigas e comprime o lado superior e que ocorre o contrário para os momentos fletores negativos a pergunta básica que se fazer na análise para cada momento fletor máximo é existe laje no lado comprimido Na sequência as análises serão feitas nas seis vigas da planta de fôrma da Figura 39 As vigas serão consideradas isoladas e independentes entre si Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 46 300 300 500 150 V100 20 x 50 V101 20 x 50 V102 20 x 50 V103 20 x 50 V104 20 x 50 V105 20 x 30 P1 2020 P2 2020 P3 2020 P4 2020 L 1 h 8 cm L 3 h 8 cm L 2 h 8 cm Figura 39 Planta de fôrma da estrutura a V100 Na região do momento fletor positivo máximo Figura 40 existe a laje L1 no lado superior da viga ver Figura 39 como indicado no corte esquemático mostrado na planta de fôrma Portanto a laje está submetida a tensões normais de compressão provenientes do momento fletor positivo na viga Isso implica que uma faixa da laje adjacente à viga de seção retangular pode ser considerada auxiliando a viga resistir a essas tensões de compressão Como existe apenas uma laje apoiada na viga a seção formada é a de uma seção L e não seção T Como o erro cometido é pequeno a seção L será simplificadamente calculada como se fosse seção T segundo o critério mostrado na Figura 41 V 105 P 1 P 2 máx M M máx M máx Figura 40 Esquema estático e diagrama de momentos fletores da viga V100 b f b f Figura 41 Analogia de seção L com seção T Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 47 Na região do momento fletor negativo máximo apoio no pilar P2 que comprime o lado inferior da viga não existem lajes apoiadas no lado inferior da viga As lajes L1 e L2 estão tracionadas e não podem portanto serem consideradas Concluise que a seção resistente é apenas a seção retangular da viga 20 x 50 b V101 Na região do momento fletor positivo máximo existem as lajes L1 e L3 sendo a L1 comprimida e a L3 tracionada Portanto a laje L3 deve ser desprezada e a L1 pode ser considerada formando uma seção L com a seção retangular da viga No momento fletor negativo máximo que ocorre no cruzamento com a viga V104 devem ser feitas duas análises a primeira considerando apenas as lajes L1 e L2 e a segunda considerando apenas a laje L3 As lajes L1 e L2 que estão apoiadas no lado superior da viga são tracionadas pelo momento fletor negativo não devendo ser consideradas Por outro lado a laje L3 que está no lado inferior pode ser considerada pois está comprimida No entanto o momento fletor negativo ocorre também à direita da viga V104 ver diagrama de Mf da V101 Figura 42 onde não existe laje ver Figura 39 O que ocorre então é que existe a seção L para os momentos negativos à esquerda da viga V104 e à direita desta viga existe apenas a seção retangular 20 x 50 Nesta situação existirá uma armadura negativa de flexão menor para a seção L à esquerda da V104 e outra maior para a seção retangular à direita desta viga Como na prática não é usual este tipo de detalhamento de armadura com mudança brusca de área de armadura negativa no apoio costumase calcular e detalhar apenas a maior armadura aquela da seção retangular Portanto a armadura fica a favor da segurança para o trecho da viga à esquerda da V104 V 105 V 103 V 104 Figura 42 Esquema estático e diagrama de momentos fletores da viga V101 c V102 Na região do momento fletor positivo máximo não existe laje comprimida ver Figura 39 e Figura 43 pois a laje L3 está no lado tracionado da viga A seção a ser considerada portanto é a seção retangular 20 x 50 Nos momentos fletores negativos resultantes de engastes elásticos como nos apoios da V102 o dimensionamento deve ser feito considerando a seção retangular ou T que originou a rigidez da mola considerada no engaste elástico P 4 P 3 Figura 43 Esquema estático e diagrama de momentos fletores da viga V102 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 48 d V103 Nos momentos fletores negativos provenientes dos engastes elásticos nos pilares P1 e P3 devese considerar a seção em função da rigidez da mola considerada nos engastes elásticos como já comentado No momento fletor positivo máximo que existente na ligação com a viga V101 ocorrem a seção L e a seção retangular Figura 44 A laje L3 é tracionada pelo momento positivo não podendo ser considerada o que leva à seção retangular A laje L1 por outro lado é comprimida pelo momento fletor formando portanto uma seção L Neste caso com a seção retangular de um lado do momento máximo e a seção L do outro lado optase pelo cálculo como seção retangular que conduz à maior armadura P 3 P 1 V 101 Figura 44 Esquema estático e diagrama de momentos fletores da viga V103 e V104 A análise da viga V104 Figura 45 é semelhante à da viga V103 Seção retangular para os momentos fletores negativos nos apoios e para o momento fletor positivo máximo V 101 P 4 P 2 Figura 45 Esquema estático e diagrama de momentos fletores da viga V104 f V105 A seção a ser considerada no momento fletor positivo é a L pois a laje L2 é comprimida por estar no lado superior da viga Figura 46 V 101 V 100 Figura 46 Esquema estático e diagrama de momentos fletores da viga V105 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 49 91 Largura Colaborante Definese como largura colaborante a faixa da laje adjacente à viga que colabora para resistir às tensões normais de compressão A largura colaborante não é constante ao longo do vão e depende de vários fatores viga simples ou contínua tipo de carga vão tipo de apoios da relação hfh existência de vigas transversais etc A Figura 47 mostra as trajetórias das tensões principais de compressão nas lajes adjacentes à viga Viga h h bw Pontos perigosos Seção transversal Trajetórias de tração Trajetórias de compressão f Figura 47 Trajetórias das tensões principais na viga T Leonhardt e Mönnig 1982 As tensões de compressão x na viga e nas lajes variam de intensidade diminuindo conforme se afastam da alma da viga Figura 48 De modo idealizado as tensões são tomadas constantes na largura colaborante bf Linha neutra xe xd w b 1e w 1d b b b f b h h f x máx x Figura 48 Distribuição das tensões de compressão x na alma e nas lajes da seção T Leonhardt e Mönnig 1982 Como as lajes se deformam menos que a alma da viga a linha neutra mostra uma curvatura além da alma Figura 49 sendo várias as causas para tal curvatura Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 50 x xmáx Linha neutra curva Curva Tensão na borda superior x Figura 49 Distribuição das tensões de compressão x e trajetória da linha neutra na seção T Leonhardt e Mönnig 1982 Segundo a NBR 6118 item 14622 Quando a estrutura for modelada sem a consideração automática da ação conjunta de lajes e vigas esse efeito pode ser considerado mediante a adoção de uma largura colaborante da laje associada à viga compondo uma seção transversal T A consideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de esforços internos tensões deformações e deslocamentos da estrutura de uma forma mais realista A Figura 50 mostra os parâmetros a serem analisados no estudo das seções T b4 c f h bf bw c b3 b1 b2 bf b1 b1 bw míssula Figura 50 Largura colaborante de vigas seção T A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida de no máximo 10 da distância a entre pontos de momento fletor nulo para cada lado da viga em que haja laje colaborante A distância a pode ser assumida conforme os valores mostrados na Figura 51 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 51 a a 075 a 06 a 2 Figura 51 Valores de a em função dos vínculos da viga nos apoios Alternativamente o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura No caso de vigas contínuas permitese calculálas com uma largura colaborante única para todas as seções inclusive nos apoios sob momentos negativos desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de momentos positivos onde a largura resulte mínima A largura colaborante é dada pela soma das dimensões b1 bw e b3 Figura 50 com b1 e b3 dados por 2 1 b 50 a 10 b 4 3 b a 10 b Eq 53 com b3 sendo a largura colaborante de lajes em balanço Nos casos mais comuns da prática que é a inexistência de mísulas como indicado na viga à direita da Figura 50 as larguras b1 e b3 são contadas a partir da largura bw da face da viga No cálculo de b1 geralmente o valor 01a é menor que a metade da distância b2 pois a distância entre as vigas adjacentes normalmente não é pequena Nas lajes nervuradas geralmente a distância b1 é dada pelo fator 05b2 O valor b2 representa a distância entre a face da viga que se está considerando a seção T na direção perpendicular à face da viga mais próxima A Figura 52 mostra uma planta de fôrma simples com o propósito de servir de exemplo nos cálculos da largura colaborante das vigas seção T ou L A contribuição das lajes medidas pelas larguras b1 e b3 devem ser analisadas viga por viga e vão por vão Na planta de fôrma como as lajes estão apoiadas no lado superior das vigas as seções L ou T formadas só podem ser consideradas no cálculo dos momentos fletores positivos que comprimem as lajes Nos momentos fletores negativos a seção de cálculo é a retangular As larguras colaborantes devem ser calculadas para cada vão individualmente No caso da viga V4 a largura bf é dada pelos valores b1 à esquerda e b1 à direita da V4 que serão iguais a menos que b2 interfira na definição dos valores de b1 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 52 b3 3 b L2 L3 b4 L1 2 V3V4 b 1 b b1 1 b 1 b b1 b1 b1 V1 V2 V3 V4 V5 1 b b 2 V1V2 b 2 V4V5 2 V1V4 b 1 2 3 Figura 52 Planta de fôrma com indicação das dimensões para formar as seções L ou T 92 Seção T com Armadura Simples Assim como apresentado no estudo da seção retangular a seção T com armadura simples é aquela que tem como armadura de flexão longitudinal resistente apenas a armadura tracionada disposta próxima à borda tracionada da seção e que não tem necessidade de armadura longitudinal comprimida Nas proximidades da borda comprimida são dispostas barras longitudinais construtivas não consideradas como resistentes com no mínimo duas barras dispostas nos vértices dos estribos como indicado na Figura 53 A seção T com armadura dupla que é aquela que tem também a armadura longitudinal comprimida não será objeto de estudo nesta apostila barras construtivas As barras construtivas s A a para momento fletor positivo b para momento fletor negativo Figura 53 Seção T com armadura simples A formulação que será apresentada a seguir para o dimensionamento de vigas com seção T deve ser aplicada apenas aos concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa porque os valores da profundidade y Eq 12 e da tensão de compressão no concreto σcd Eq 13 considerados no diagrama retangular simplificado são aqueles preconizados pela NBR 6118 para esses concretos No estudo das seções T com a utilização do diagrama retangular simplificado com profundidade y 08x ver Figura 12 observase a existência de dois casos em função da posição da linha neutra na seção transversal Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 53 921 08x hf Considerando os concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa quando a altura 08x do diagrama retangular simplificado é menor ou igual à altura da mesa isto é 08x hf Figura 54 a seção comprimida de concreto Ac é retangular com área bf 08x de modo que o dimensionamento pode ser feito como se a seção fosse retangular com largura bf ao invés de bw e aplicandose as mesmas equações já desenvolvidas para a seção retangular com armadura simples A seção a ser considerada será bf h Assim pode ser feito porque o concreto da região tracionada não é considerado no dimensionamento isto é para a flexão não importa a sua inexistência em parte da área tracionada como mostrado na Figura 54 Na maioria das seções T da prática resulta 08x hf No entanto caso se considere o diagrama parábolaretângulo de distribuição de tensões de compressão no concreto a seção T será dimensionada como seção retangular bf h somente se x hf ou seja com a linha neutra dentro da mesa da seção T 08 x d h f b cc R LN s A cd 085 fcd cd sd Rst s A w b hf Ac x 08 x z Figura 54 Seção T com 08x hf para concretos do Grupo I 922 08x hf Quando 08x resulta maior que a altura da mesa hf a área da seção comprimida de concreto Ac não é retangular mas sim composta pelos retângulos I II e III como mostrado na Figura 55 Neste caso não se pode aplicar a formulação desenvolvida para a seção retangular tornandose necessário desenvolver uma nova formulação A fim de simplificar a dedução das equações para a seção T com 08x hf a seção será subdividida em duas seções equivalentes como mostrado na Figura 55 Na seção da Figura 55b o concreto comprimido da mesa é equilibrado por uma parcela As1 da armadura longitudinal tracionada As O concreto comprimido da nervura é equilibrado pela segunda parcela As2 da armadura total As Figura 55c a Equilíbrio de Forças Normais Na flexão simples não existe a força normal solicitante externa de modo que a força resultante do concreto comprimido deve equilibrar a força resultante da armadura tracionada st cc R R Eq 54 sendo Rcc força resultante das tensões normais de compressão na área de concreto comprimido Rst força resultante das tensões normais de tração na armadura longitudinal As b Equilíbrio de Momentos Fletores As forças internas resistentes proporcionadas pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada formam um binário oposto ao momento fletor solicitante isto é Msolic Mresist Md Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 54 s A d x As As d 05 h 08x d 04x d 1 2 I II III III II I b f h b f b LN hf Md M1d M2d A s As 1 s2 A w bw bw bw f a b c Figura 55 Decomposição da seção T com armadura simples Conforme a decomposição da seção T em duas outras equivalentes o momento fletor total é subdividido em duas parcelas M1d e M2d tal que 2d 1d d M M M Eq 55 onde Md deve ser considerado com valor absoluto Do equilíbrio de momentos fletores na linha de ação da armadura As1 na Figura 55b definese o momento fletor resistente M1d proporcionado pela armadura As1 e pela mesa comprimida f cd f w f 1d 50 h d 0 85f h b b M Eq 56 Geralmente adotamse valores para todas as variáveis bf bw hf fcd d da Eq 56 de modo a tornar possível o cálculo de M1d A segunda parcela do momento fletor total fica assim determinada da Eq 55 1d d 2d M M M Eq 57 A seção da Figura 55c é uma seção retangular com armadura simples cujo equacionamento já foi desenvolvido na Eq 20 e trocando Md por M2d fica 40 x d x f 0 68b M cd w 2d Eq 58 Conhecendose os valores de M2d bw fcd e d com a Eq 58 é possível definir a posição x da linha neutra e assim determinar em qual domínio a seção T se encontra Como apresentado na Eq 23 a posição da linha neutra deve obedecer aos seguintes limites conforme o item 14643 da NBR 6118 a xd 045 para concretos com fck 50 MPa b xd 035 para concretos com 50 fck 90 MPa Eq 59 Com o equilíbrio de momentos fletores em torno do centro de gravidade das áreas comprimidas de concreto nas seções b e c da Figura 55 e considerando o dimensionamento nos domínios 2 ou 3 onde sd fyd as parcelas de armadura As1 e As2 são f s1 sd 1d 50 h d A M Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 55 f yd d 1 s1 50 h d f M A Eq 60 40 x d A M s2 sd 2d 40 x d f M A yd d 2 s2 Eq 61 Com a área de armadura total sendo s2 s1 s A A A Eq 62 c Permanência das seções planas Considerando o diagrama de deformações mostrado na Figura 54 e fazendo a semelhança de triângulos podese definir equações que relacionam as deformações na armadura tracionada e no concreto correspondente à fibra mais comprimida de modo semelhante àquelas já desenvolvidas para a seção retangular x d x sd cd Eq 63 sd cd cd x Eq 64 923 Cálculo Mediante Equações com Coeficientes K Para a seção T podese utilizar também as tabelas elaboradas para a seção retangular Inicialmente verificase a posição da linha neutra calculando Kc com bf e d d 2 f c M K b d Eq 65 Com o valor de Kc determinamse na Tabela A1 ou Tabela A2 os valores x e Ks O valor de x é imediato d x x x x d Os limites apresentados na Eq 59 igual à Eq 23 para a posição da linha neutra devem ser obedecidos Com o diagrama retangular simplificado se resultar 08x hf o cálculo é feito como uma viga de seção retangular com largura bf e altura h A armadura tracionada é d K M A d s s Eq 66 Se resultar 08x hf o dimensionamento deve ser feito com as equações desenvolvidas para a seção T O valor de x inicialmente determinado em função de Kc não é verdadeiro e serviu apenas para definir que o dimensionamento deve ser feito com as equações desenvolvidas para a seção T Para cálculo do momento fletor resistente M1d proporcionado pela área da mesa comprimida adotase 08x hf ficando Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 56 f f 1 25 h 80 h x A variável x que relaciona x com d fica d 1 25h f x Eq 67 Com x determinase Kc na Tabela A1 e c 2 w f 1d K d b b M Eq 68 Determinado o momento fletor resistente M1d a segunda parcela de Md é 1d d 2d M M M com Md em valor absoluto Com o momento fletor M2d determinase a posição x correta para a linha neutra referente à seção retangular mostrada na Figura 55c d 2 2 w c M d K b Eq 69 Com o valor de Kc na Tabela A1 determinamse Ks e βx βx xd A posição da linha neutra deve obedecer os limites apresentados na Eq 59 A armadura tracionada é d K M 50 h d f M A d 2 s f yd d 1 s Eq 70 Como já observado os coeficientes K foram calculados considerando as unidades de kN e cm de modo que as variáveis das equações devem ter essas unidades 924 Exemplos Numéricos 1º Dimensionar a armadura longitudinal de flexão da viga com a seção transversal mostrada na Figura 56 sendo dados concreto C20 aço CA50 c 25 cm s 115 c f 14 Mk 15000 kNcm brita 1 t 63 mm 20 100 8 50 Figura 56 Dimensões da seção T RESOLUÇÃO Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 57 Como exemplo de aplicação a resolução será feita segundo as equações teóricas deduzidas e também conforme as equações com coeficientes K O momento fletor de cálculo é kNcm 21000 15000 41 M M k f d O valor de acg distância do centro de gravidade da armadura tracionada à face tracionada da seção será adotado como 5 cm o que resulta na altura útil d h 5 cm 50 5 45 cm Os valores limites entre os domínios 2 3 e 4 para o aço CA50 e para os concretos do Grupo I de resistência são x2lim 026d 026 45 117 cm x3lim 063d 063 45 284 cm a Equações teóricas Inicialmente supõese que resultará 08x hf e a seção T será calculada como retangular com dimensões bf h Aplicando a Eq 20 da seção retangular com bf ao invés de bw encontrase a posição da linha neutra x 40 x d 0 68b x f M cd f d com Md sempre com valor absoluto 40 x 45 41 02 0 68100 x 21000 x 50 cm A profundidade do diagrama retangular simplificado de distribuição de tensões de compressão no concreto para os concretos do Grupo I de resistência Eq 12 é 08x 08 50 40 cm Como resultou 08x 4 cm hf 8 cm a hipótese inicial foi confirmada e a seção T pode ser dimensionada como retangular bf h com as equações definidas para a seção retangular A verificação do domínio mostra que a seção T encontrase no domínio 2 dado que x 50 cm x2lim 117 cm Além disso a posição da linha neutra atende o limite apresentado na Eq 59 xd 5045 011 045 ok para concretos do Grupo I de resistência A armadura é calculada aplicando a Eq 22 com sd fyd 2 yd d s 23 cm 11 05 40 115 45 50 21000 40 x d f M A A área de armadura mínima conforme a Tabela 2 é Asmín 015 bw h 00015 20 50 150 cm2 As Asmín Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 58 b Equações com coeficientes K Com a Eq 28 colocandose bf ao invés de bw ver Eq 65 supondose que a seção T seja calculada como seção retangular 69 21000 45 100 M b d K 2 d 2 f c Com concreto C20 e aço CA50 na Tabela A1 determinamse os valores de x 011 Ks 0024 e domínio 2 Sendo x xd os valores de x e 08x são x x d 011 45 50 cm 08x 08 50 40 cm hf 8 cm Como resultou 08 x hf a hipótese inicial foi confirmada ou seja a seção T pode ser dimensionada como seção retangular bf h Verificase também que a posição da linha neutra atende o limite apresentado na Eq 59 para concretos do Grupo I de resistência x xd 011 045 ok A armadura tracionada resulta da Eq 30 45 0 024 21000 d K M A d s s As 1120 cm2 Como resultou o domínio 2 a deformação na armadura tracionada é sd 10 e a deformação no concreto da fibra mais comprimida é Eq 24 x d x sd cd 05 45 05 10 cd cd 125 no domínio 2 cd deve estar entre zero e 35 O detalhamento da armadura longitudinal de flexão está mostrado na Figura 57 Como o momento fletor é positivo a armadura deve ser obrigatoriamente disposta no lado tracionado da viga que é o lado inferior A Tabela A4 mostra quantas das seis barras 16 mm 1200 cm2 podem ser dispostas numa única camada Para quatro barras a largura bw mínima é de 20 cm igual à largura existente de 20 cm sendo possível portanto alojar as quatro barras As duas barras restantes devem ser colocadas na segunda camada amarradas nos ramos verticais dos estribos O espaçamento livre mínimo na direção vertical entre as barras das duas camadas é Eq 11 0519 10 cm 05d cm 16 cm 2 a agr máx v mín avmín 20 cm A distância acg entre o centro de gravidade da armadura e a face tracionada é acg 25 063 16 05 52 cm Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 59 Conforme a NBR 6118 a viga não necessita de armadura de pele pois h 50 cm ver Eq 9 no entanto recomendamos a sua aplicação para h 50 cm com área indicada na NB 11978 Aspface 005 bw h Aspface 005 20 50 050 cm2 3 5 mm 060 cm2 em cada face vertical Esta armadura não está indicada na Figura 57 cg 6 Ø 16 20 8 100 50 a v CG d a 05 Figura 57 Detalhamento da armadura longitudinal na seção transversal 2º Dimensionar a armadura longitudinal de flexão para a seção T mostrada na Figura 58 sabendose que Mk 8000 kNcm concreto C25 aço CA50 s 115 c f 14 c 25 cm t 5 mm brita 1 18 7 30 45 Figura 58 Dimensões da seção transversal RESOLUÇÃO Assim como o exemplo anterior o problema é de dimensionamento onde as duas incógnitas são a área de armadura As e a posição da linha neutra x O momento fletor de cálculo é Md f Mk 14 8000 11200 kNcm Para a altura útil d será adotado o valor d 30 5 25 cm Os limites entre os domínios 2 3 e 4 para o aço CA50 e concretos do Grupo I de resistência são x2lim 026d 026 25 65 cm x3lim 063d 063 25 158 cm A resolução será feita segundo as equações teóricas e do tipo K Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 60 a Equações teóricas Inicialmente supõese que a seção T será calculada como retangular bf h e com 08x hf Aplicando a Eq 20 da seção retangular com bf no lugar de bw encontrase a posição da linha neutra x 40 x d 0 68b x f M cd f d 40 x 25 41 52 0 68 45 x 11200 x 97 cm 08x 08 97 78 hf 7 cm Logo a hipótese de seção retangular bf h não é válida pois a linha neutra passa na nervura alma e por isso o valor anterior calculado para x não é correto Neste caso a seção deve ser dimensionada com as equações desenvolvidas para a seção T Inicialmente calculase a parcela M1d do momento fletor resistente Eq 56 f cd f w f 1d 50 h d 0 85f h b b M kNcm 6 168 7 50 25 41 52 45 18 7 0 85 M d 1 A segunda parcela do momento resistente Eq 57 considerando Md sempre em valor absoluto é M2d Md M1d 11200 6168 5032 kNcm Agora da parcela M2d podese calcular a posição correta da linha neutra Eq 58 40 x d x f 0 68b M cd w 2d 40 x 25 41 52 0 6818 x 5032 x 112 cm e verificase que 08x 90 cm hf 7 cm A seção T está no domínio 3 como se verifica na comparação seguinte x2lim 65 x 112 x3lim 158 cm Além disso deve ser verificado se a posição da linha neutra atende aos limites apresentados na Eq 59 Para concretos do Grupo I de resistência xd 11225 045 045 ok Caso resulte xd 045 uma solução para resolver o problema e atende ao limite da norma é aumentar a altura da seção transversal Outra solução seria dimensionar a seção T com armadura dupla como feito para a seção retangular no entanto não recomendamos a armadura dupla para a seção T porque provavelmente a flecha apresentada pela viga deverá superar a flecha máxima permitida pela norma Aumentar a altura da viga geralmente é uma solução melhor Nos domínios 2 ou 3 a tensão na armadura tracionada é igual a fyd As parcelas As1 e As2 da armadura são Eq 60 e Eq 61 2 f yd d 1 s1 56 cm 6 7 50 115 25 50 6168 50 h d f M A Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 61 2 yd d 2 s2 64 cm 5 112 40 115 25 50 5032 40 x d f M A As As1 As2 656 564 1220 cm2 b Equações com coeficientes K Com a Eq 28 e colocandose bf ao invés de bw ver Eq 65 supondose que a seção T seja calculada como seção retangular 52 11200 25 45 M b d K 2 d 2 f c Com concreto C25 e aço CA50 na Tabela A1 determinase o valor de x 040 Com x xd os valores para x e 08x são x x d 040 25 100 cm 08x 08 100 80 cm hf 7 cm Portanto com 08x hf a seção T deve ser dimensionada com as equações desenvolvidas para a seção T Calculase x referente à altura da mesa comprimida Eq 67 x d 1 25h f 0 35 25 1 25 7 Com x 035 na Tabela A1 encontrase Kc 27 Com Kc determinase a primeira parcela do momento fletor resistente M1d Eq 68 c 2 w f 1d K d b b M 6 250 72 18 25 45 2 kNcm A segunda parcela do momento resistente é Eq 57 M2d Md M1d 11200 6250 4950 kNcm Com o momento M2d calculase a posição real x da linha neutra Eq 69 d 2 2 w c M K b d 32 4950 18 25 2 Na Tabela A1 com Kc 23 encontrase x 044 Ks 0028 e o domínio 3 Verificase que x atende ao limite máximo de 045 Eq 59 A posição da linha neutra resulta x x d 044 25 110 cm e 08x 88 cm hf 7 cm o que confirma a seção T A área de armadura é Eq 70 d K M 50 h d f M A d 2 s f yd d 1 s 25 0284950 0 7 50 115 25 50 6250 As As 669 554 1223 cm2 2 20 3 16 1230 cm2 ou 6 16 1200 cm2 ou 3 20 2 125 1195 cm2 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 62 O detalhamento da armadura longitudinal de flexão está mostrado na Figura 59 A Tabela A4 mostra que é possível colocar três barras 20 mm numa única camada pois a largura bw mínima é de 17 cm menor que a largura existente de 18 cm de modo que é possível dispor duas barras 20 mm com uma barra 16 entre as duas As outras duas barras restantes 16 devem ser colocadas na segunda camada amarradas nos ramos verticais dos estribos O espaçamento livre mínimo na direção vertical entre as barras das duas camadas é Eq 11 0519 10 cm 05d cm 02 cm 2 a agr máx v mín avmín 20 cm A distância acg entre o centro de gravidade da armadura e a face tracionada é acg 25 05 20 05 55 cm cg a CG 2 Ø 20 3 Ø 16 18 h a Figura 59 Detalhamento da armadura longitudinal na seção transversal O detalhamento indicado na Figura 59 mostra uma alta taxa de armadura em função da baixa altura da viga Nesses casos devese verificar a fissuração na seção O mais indicado seria aumentar a altura da viga visando diminuir a quantidade de armadura longitudinal tracionada 3º Dada a laje nervurada esquematizada na Figura 60 dimensionar a área de aço As das nervuras consideradas biapoiadas 4 50 b f b 1 b 1 bloco 10 10 29 Figura 60 Dimensões da laje nervurada São dados concreto C30 c 20 cm brita 1 Mk 1350 kNcmnervura vão a das nervuras 600 cm aço CA50 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 63 RESOLUÇÃO Como o momento fletor solicitante é positivo e a mesa da laje nervurada está comprimida pelo momento positivo a seção formada é de um T para cada nervura Se o momento fletor solicitante fosse negativo a seção a considerar seria a retangular ou seja 10 x 29 cm Conforme o esquema da laje mostrado na Figura 60 temse bw 10 cm h 29 cm hf 4 cm b2 50 cm O momento fletor de cálculo é kNcm 1 890 1350 41 M M k f d A largura colaborante é dada pelas dimensões b1 à esquerda e à direita das nervuras conforme definida na Eq 53 50 25 cm 50 b 05 60 cm 10 600 a 10 b 2 1 b1 25 cm A largura colaborante total da mesa é bf bw 2b1 10 2 25 60 cm Nas lajes nervuradas geralmente a largura colaborante coincide com a distância entre os eixos das nervuras Para a altura útil será adotado o valor d h 25 cm 29 25 265 cm O valor de Kc Eq 65 com bf no lugar de bw é 22 3 1890 26 5 60 M b d K 2 d 2 f c Com Kc 223 na Tabela A1 encontramse domínio 2 x 003 e Ks 0023 A verificação se o cálculo da seção T se fará com as equações desenvolvidas para a seção retangular ou para a seção T é feita comparando 08x com hf cm 80 0 03 265 d x x 08 x 08 08 06 cm hf 4 cm Além disso x 003 045 o que atende ao limite máximo estabelecido na Eq 59 Como 08x é menor que hf a seção T deve ser calculada como se fosse seção retangular portanto com as equações da seção retangular A área de armadura tracionada em cada nervura é Eq 30 2 d s s 164 cm 26 5 0 0231890 d K M A 2 10 mm 160 cm2 O detalhamento da seção transversal das nervuras está mostrado na Figura 61 O espaçamento livre mínimo entre as barras deve ser Eq 10 cm 1219 23 12d cm 01 cm 2 a agr máx hmín ahmín 23 cm De modo geral não há a necessidade de colocar estribos nas nervuras de modo que o espaçamento livre existente entre as barras é ah 10 220 10 40 cm Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 64 Portanto ah ahmín e podem ser dispostas as duas barras na largura da nervura 2 Ø 10 10 Figura 61 Detalhamento da armadura de flexão na seção transversal da nervura 4º Calcular o momento fletor admissível de serviço para a seção T indicada na Figura 62 São conhecidos o concreto C20 e o aço CA50 80 5 A 2520 cm² s 20 8 200 cm 85 Figura 62 Dimensões da seção transversal e área de armadura tracionada RESOLUÇÃO O problema em questão é de verificação onde as incógnitas são a posição da linha neutra x e o máximo momento fletor que a seção pode resistir Mk Os cálculos devem ser feitos pelas equações teóricas supondose inicialmente que a seção T tenha sido calculada como seção retangular Como a armadura tracionada As está localizada no lado superior da viga o momento fletor solicitante tem sinal negativo o qual comprime o lado inferior da viga Portanto a mesa inferior está comprimida e pode ser considerada como formando uma seção T juntamente com a alma Das equações de equilíbrio de forças resultantes no concreto comprimido e na armadura tracionada Eq 54 temse Rcc Rst Supondo que a seção tenha sido dimensionada nos domínios 2 ou 3 a tensão na armadura tracionada sd é igual à máxima tensão possível no aço fyd A força resultante de tração na armadura é Eq 17 kN 1 096 1152520 50 A R s sd st Para atender ao equilíbrio de forças resultantes devese ter Rcc Rst 1096 kN Supondo seção retangular a posição x da linha neutra é calculada pela Eq 16 com bf no lugar de bw cm 65 x 41 02 0 68 200 x 1096 0 68b x f R cd f cc Verificação se a seção T foi calculada como seção retangular 08 x 08 56 45 hf 8 cm Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 65 Como resultou 08x hf a seção T foi calculada como retangular com seção bf h O valor calculado para x está correto Temse também que xd 5680 007 045 e verificase que o limite máximo foi atendido Eq 59 A verificação do domínio serve para confirmar se sd é realmente igual a fyd x2lim 026 80 208 cm x3lim 063 80 504 cm Como x 56 x2lim 208 cm a seção está no domínio 2 e sd é realmente igual a fyd O momento fletor máximo de serviço pode ser calculado pela Eq 20 com bf no lugar de bw 40 x d 0 68b x f M cd f d 65 40 80 41 02 65 0 68 200 M 41 k Mk 60431 kNcm Portanto o momento fletor característico de serviço é 60431 kNcm momento fletor negativo 5º Calcular o momento fletor máximo de serviço que a seção mostrada na Figura 63 pode resistir São conhecidos o concreto da viga C30 e o aço CA50 45 5 50 20 8 120 A 2080 cm² s Figura 63 Seção transversal com dimensões cm e área de armadura de tração RESOLUÇÃO O problema em questão é de verificação incógnitas x e Mk como o exemplo anterior Porém como a armadura tracionada está no lado inferior da viga o momento fletor solicitante tem sinal positivo e por isso a mesa está comprimida e pode ser utilizada no cálculo formando uma seção T junto com a alma O cálculo deve ser iniciado buscandose a posição da linha neutra por meio da equação de equilíbrio das forças resultantes São feitas as suposições de que a viga tenha sido dimensionada nos domínios 2 ou 3 e que a seção T tenha sido calculada como se fosse seção retangular bf h Da equação de equilíbrio de forças resultantes temse Rcc Rst Supondo que a seção está no domínio 2 ou 3 temse sd fyd A resultante de força na armadura tracionada é Eq 17 kN 904 115 2080 50 A R s sd st Supondo seção retangular e o equilíbrio de resultantes temse Rcc Rst 904 kN A posição da linha neutra é Eq 16 cm 25 x 41 03 0 68120 x 904 0 68b x f R cd f cc Verificação se é seção retangular ou seção T 08 x 08 52 42 hf 8 cm Portanto a hipótese de seção retangular está confirmada Temse também que Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 66 xd 5245 012 045 e verificase que o limite máximo foi atendido Eq 59 O momento fletor máximo de serviço é Eq 20 40 x d 0 68b x f M cd f d 25 40 45 41 03 25 0 68120 M 41 k Mk 27875 kNcm Portanto o momento fletor de serviço é 27875 kNcm momento fletor positivo 10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1º Para a viga contínua da Figura 64 admitida com seção transversal constante nos dois vãos determinar d e As para o apoio central B de tal modo que se tenha a mínima altura e armadura simples Detalhar a seção transversal e calcular as deformações máximas no concreto e no aço Para a seção sob o máximo momento fletor característico positivo de 5750 kNcm dimensionar a armadura de flexão considerando a altura útil d determinada anteriormente Calcule as deformações nos materiais Verifique e analise os domínios de deformação para essa seção e do apoio B Dados bw 14 cm c f 14 t 5 mm C25 s 115 brita 1 CA50 c 25 cm A B C 35 KNm 300 400 máx M 1250 M 7000 kNcm máx M 5720 máx M k KNcm Figura 64 Esquema estático e diagrama de momentos fletores 2º Conhecido o momento fletor característico Mk 2400 kNcm calcular e detalhar a armadura longitudinal de flexão para uma viga baldrame com largura bw 15 cm e altura h 30 cm São dados c f 14 C25 CA50 s 115 c t 5 mm brita 1 Nota verificar como é determinado o valor do cobrimento nominal Adotar o valor adequado para a resolução do exercício proposto 3º Dimensionar a viga do Exercício 2 considerando a seção como de apoio sobre o bloco de fundação onde o momento fletor característico é negativo e de valor 3100 kNcm 4º Dado o momento fletor Mk 5000 kNcm e a seção transversal bw 15 cm h 40 cm calcular e detalhar a armadura longitudinal de flexão Determinar a deformação máxima no concreto comprimido e a deformação na armadura Dados Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 67 c f 14 c 30 cm s 115 t 5 mm C25 brita 1 CA50 5º Dimensionar a viga do Exercício 4 considerando que o momento fletor característico Mk seja 7000 kNcm 6º Calcular d e As de uma viga com armadura simples conforme as duas situações seguintes a altura mínima b fixado sd 10 e menor altura possível Detalhar a seção transversal posicionando a linha neutra Compare os resultados obtidos Dados bw 50 cm c f 14 t 8 mm Mk 49000 kNcm s 115 brita 1 C30 c 25 cm CA50 7º Para a viga da Figura 65 já executada calcular o máximo momento fletor admissível São conhecidos bw 12 cm d 36 cm h 40 cm c f 14 s 115 CA50 C20 As 2 125 mm 2 Ø 125 40 12 Figura 65 Viga executada 8º Dimensionar e detalhar a armadura longitudinal de flexão para a seção transversal da viga mostrada na Figura 66 sendo dados Mk 10000 kNcm C30 CA50 c f 14 s 115 t 63 mm brita 1 c 25 cm 7 43 20 120 50 Figura 66 Dimensões cm da seção T 9º Dimensionar a armadura longitudinal da viga da Figura 67 e calcular as deformações no concreto e no aço São dados Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 68 Mk 9000 kNcm C35 CA50 t 5 mm brita 1 c 25 cm c f 14 s 115 100 40 8 14 Figura 67 Dimensões cm da seção T 10º Dimensionar a armadura longitudinal da viga da Figura 68 e calcular as deformações no concreto e no aço São dados Mk 9000 kNcm C25 CA50 t 5 mm brita 1 c 25 cm c f 14 s 115 14 7 40 40 Figura 68 Dimensões cm da seção T 11º Dimensionar e detalhar a armadura de flexão das nervuras da laje nervurada indicada na Figura 69 conhecendo o momento fletor por nervura de Mk 4500 kNcm 5 30 12 46 12 Figura 69 Dimensões cm da laje nervurada Dados CA50 brita 1 C35 c f 14 s 115 c 20 cm vão efetivo das nervuras biapoiadas 70 m 12º Dimensionar e detalhar a armadura longitudinal da viga mostrada na Figura 70 Dados Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 69 Mk 65000 kNcm C25 CA50 t 10 mm brita 1 c 25 cm c 14 f 14 s 115 45 15 50 15 80 90 25 Figura 70 Seção transversal 13º Calcular os momentos fletores solicitantes máximos e dimensionar e detalhar as armaduras de flexão das vigas da estrutura mostrada na Figura 71 L1 L2 L3 Planta de fôrma Corte A V100 20x60 V102 20x50 V103 14x50 V104 14x50 V105 20x50 P1 2030 P2 2030 P3 2030 P4 2030 V101 20x60 h 8 cm 32 kNm 61 kNm 20 kNm 20 kNm h 8 cm h 8 cm 61 kNm 32 kNm 61 kNm 61 kNm 20 kNm 20 kNm 20 kNm 20 kNm A A 230 230 230 500 Figura 71 Planta de fôrma do pavimento medidas em cm Dados C25 CA50 brita 1 c 25 cm c f 14 s 115 t 63 mm para as vigas V100 e V101 t 5 mm para as vigas V102 a V105 par 30 kNm2 para parede com espessura final de 23 cm concr 25 kNm3 divis 05 kNm2 Supor paredes sem aberturas de 23 cm de espessura final e altura de 25 m de bloco baiano bloco cerâmico de oito furos sobre as vigas V100 V101 V102 e V105 Sobre as vigas V103 e V104 supor divisórias sem aberturas com altura de 20 m Considerar quando for o caso a contribuição das lajes maciças no dimensionamento das vigas Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 70 14º Dada a planta de fôrma da Figura 72 dimensionar e detalhar as armaduras longitudinais de flexão para as seções mais solicitadas das vigas V102 296 50 CORTE B CORTE A V100 20x60 V101 12x60 V102 25x60 V103 25x60 P2 2550 P1 2550 32 kNm 32 kNm h 9 cm 50 kNm 50 kNm A A B 630 300 PLANTA DE FÔRMA V100 25 580 25 Figura 72 Planta de fôrma e cortes A e B medidas em cm Dados C30 CA50 c f 14 s 115 t 5 mm para todas as vigas brita 1 concr 25 kNm3 c 30 cm parede 13 kNm3 para blocos cerâmicos furados Supor a existência de uma parede sem aberturas de bloco cerâmico de oito furos baiano com 22 cm de espessura final e altura de 28 m sobre a viga V100 A laje L1 não tem acesso público Considerar quando for o caso a contribuição das lajes maciças no dimensionamento das vigas 15º Dada a planta de fôrma da Figura 73 dimensionar e detalhar as armaduras longitudinais de flexão das seções mais solicitadas das vigas Dados C30 CA50 t 5 mm brita 1 c 25 cm c f 14 s 115 concr 25 kNm3 parede 18 kNm3 para tijolos cerâmicos maciços Supor a existência de paredes sem aberturas de tijolo maciço com 22 cm de espessura final e altura de 27 m ao longo do comprimento total das vigas V102 V103 e V104 e ao longo do primeiro tramo das vigas V100 e V101 Os tramos das vigas que são apoios da laje L2 devem ser calculadas com uma carga de parapeito de 20 kNm ao longo dos seus comprimentos A laje L3 é rebaixada em relação às lajes L1 e L2 Considerar quando for o caso a contribuição das lajes maciças no dimensionamento das vigas Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 71 2 kNm 500 300 V103 20 x P3 2020 V102 20 x L 3 h 8 cm 300 V101 20 x L 1 h 8 cm P1 2020 V100 20 x V104 20 x P4 2020 150 L 2 h 8 cm V105 20 x P2 2020 35 kNm 3 kNm 6 kNm 6 kNm 6 kNm 6 kNm 35 kNm 4 kNm 2 kNm 3 kNm 2 kNm Figura 73 Planta de fôrma do pavimento REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto Procedimento NBR 6118 Rio de Janeiro ABNT 2014 238p LEONHARDT F MÖNNIG E Construções de concreto Princípios básicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado v 1 Rio de Janeiro Ed Interciência 1982 305p SANTOS LM Cálculo de Concreto Armado vl São Paulo Ed LMS 1983 541p BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR AMERICAN CONCRETE INSTITUTE Building code requirements for structural concrete ACI 318 R95 Farmington Hills 1995 369p COMITÉ EUROINTERNATIONAL DU BÉTON CEBFIP Model Code 1990 final draft Bulletim DInformation n203 204 e 205 jul 1991 EUROPEAN COMMITTEE STANDARDIZATION Eurocode 2 Design of concrete structures Part 1 General rules and rules for buildings London BSI 1992 FUSCO PB Técnica de armar as estruturas de concreto São Paulo Ed Pini 2000 382p FUSCO PB Estruturas de concreto Solicitações normais Rio de Janeiro ed Guanabara Dois 1981 464p MACGREGOR JG Reinforced concrete Mechanics and design 3a ed Upper Saddle River Ed Prentice Hall 1997 939p NAWY EG Reinforced concrete A fundamental approach Englewood Cliffs Ed Prentice Hall 1985 701p PFEIL W Concreto armado v 123 5a ed Rio de Janeiro Ed Livros Técnicos e Científicos 1989 SÜSSEKIND JC Curso de concreto v 12 4a ed Porto Alegre Ed Globo 1985 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 72 TABELAS ANEXAS Tabela A1 Valores de Kc e Ks para o aço CA50 Tabela A2 Valores de Kc e Ks para os aços CA25 CA50 e CA60 Tabela A3 Área e massa linear de fios e barras de aço NBR 7480 Tabela A4 Área de aço e largura bw mínima Tabela A5 Valores de cálculo da tensão sd e da deformação sd na armadura comprimida e coeficiente Ks para a linha neutra fixada em 045d Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 73 Tabela A1 Valores de Kc e Ks para o aço CA50 para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa c 14 γs 115 FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES d x x Kc cm2kN Ks cm2kN Dom C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA50 001 1378 1034 827 689 591 517 459 413 0023 2 002 692 519 415 346 296 259 231 208 0023 003 463 347 278 232 198 174 154 139 0023 004 349 262 209 174 149 131 116 105 0023 005 280 210 168 140 120 105 93 84 0023 006 234 176 141 117 100 88 78 70 0024 007 202 151 121 101 86 76 67 61 0024 008 177 133 106 89 76 66 59 53 0024 009 158 119 95 79 68 59 53 47 0024 010 143 107 86 71 61 54 48 43 0024 011 131 98 78 65 56 49 44 39 0024 012 120 90 72 60 51 45 40 36 0024 013 111 84 67 56 48 42 37 33 0024 014 104 78 62 52 45 39 35 31 0024 015 97 73 58 49 42 37 32 29 0024 016 92 69 55 46 39 34 31 27 0025 017 87 65 52 43 37 32 29 26 0025 018 82 62 49 41 35 31 27 25 0025 019 78 59 47 39 34 29 26 23 0025 020 75 56 45 37 32 28 25 22 0025 021 71 54 43 36 31 27 24 21 0025 022 68 51 41 34 29 26 23 21 0025 023 66 49 39 33 28 25 22 20 0025 024 63 47 38 32 27 24 21 19 0025 025 61 46 37 31 26 23 20 18 0026 026 59 44 35 29 25 22 20 18 0026 027 57 43 34 28 24 21 19 17 0026 3 028 55 41 33 28 24 21 18 17 0026 029 54 40 32 27 23 20 18 16 0026 030 52 39 31 26 22 19 17 16 0026 031 51 38 30 25 22 19 17 15 0026 032 49 37 30 25 21 18 16 15 0026 033 48 36 29 24 21 18 16 14 0026 034 47 35 28 23 20 18 16 14 0027 035 46 34 27 23 20 17 15 14 0027 036 45 33 27 22 19 17 15 13 0027 037 44 33 26 22 19 16 15 13 0027 038 43 32 26 21 18 16 14 13 0027 040 41 31 25 20 18 15 14 12 0027 042 39 29 24 20 17 15 13 12 0028 044 38 28 23 19 16 14 13 11 0028 045 37 28 22 19 16 14 12 11 0028 046 37 27 22 18 16 14 12 11 0028 048 35 27 21 18 15 13 12 11 0028 050 34 26 21 17 15 13 11 10 0029 052 33 25 20 17 14 12 11 10 0029 054 32 24 19 16 14 12 11 10 0029 056 32 24 19 16 14 12 11 09 0030 058 31 23 18 15 13 12 10 09 0030 060 30 23 18 15 13 11 10 09 0030 062 29 22 18 15 13 11 10 09 0031 063 29 22 17 15 12 11 10 09 0031 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 74 Tabela A2 Valores de Kc e Ks para os aços CA25 CA50 e CA60 para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa c 14 γs 115 FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES d x x Kc cm2kN Ks cm2kN Dom C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA25 CA50 CA60 001 1378 1034 827 689 591 517 459 413 0046 0023 0019 2 002 692 519 415 346 296 259 231 208 0046 0023 0019 003 463 347 278 232 198 174 154 139 0047 0023 0019 004 349 262 209 174 149 131 116 105 0047 0023 0019 005 280 210 168 140 120 105 93 84 0047 0023 0020 006 234 176 141 117 100 88 78 70 0047 0024 0020 007 202 151 121 101 86 76 67 61 0047 0024 0020 008 177 133 106 89 76 66 59 53 0048 0024 0020 009 158 119 95 79 68 59 53 47 0048 0024 0020 010 143 107 86 71 61 54 48 43 0048 0024 0020 012 120 90 72 60 51 45 40 36 0048 0024 0020 013 111 84 67 56 48 42 37 33 0049 0024 0020 014 104 78 62 52 45 39 35 31 0049 0024 0020 015 97 73 58 49 42 37 32 29 0049 0024 0020 016 92 69 55 46 39 34 31 27 0049 0025 0020 017 87 65 52 43 37 32 29 26 0049 0025 0021 018 82 62 49 41 35 31 27 25 0050 0025 0021 019 78 59 47 39 34 29 26 23 0050 0025 0021 020 75 56 45 37 32 28 25 22 0050 0025 0021 021 71 54 43 36 31 27 24 21 0050 0025 0021 022 68 51 41 34 29 26 23 21 0050 0025 0021 023 66 49 39 33 28 25 22 20 0051 0025 0021 024 63 47 38 32 27 24 21 19 0051 0025 0021 025 61 46 37 31 26 23 20 18 0051 0026 0021 026 59 44 35 29 25 22 20 18 0051 0026 0021 027 57 43 34 28 24 21 19 17 0052 0026 0021 3 028 55 41 33 28 24 21 18 17 0052 0026 0022 029 54 40 32 27 23 20 18 16 0052 0026 0022 030 52 39 31 26 22 19 17 16 0052 0026 0022 031 51 38 30 25 22 19 17 15 0053 0026 0022 032 49 37 30 25 21 18 16 15 0053 0026 0022 033 48 36 29 24 21 18 16 14 0053 0026 0022 034 47 35 28 23 20 18 16 14 0053 0027 0022 035 46 34 27 23 20 17 15 14 0053 0027 0022 036 45 33 27 22 19 17 15 13 0054 0027 0022 037 44 33 26 22 19 16 15 13 0054 0027 0022 038 43 32 26 21 18 16 14 13 0054 0027 0023 040 41 31 25 20 18 15 14 12 0055 0027 0023 042 39 29 24 20 17 15 13 12 0055 0028 0023 044 38 28 23 19 16 14 13 11 0056 0028 0023 045 37 28 22 19 16 14 12 11 0056 0028 0023 046 37 27 22 18 16 14 12 11 0056 0028 0023 048 35 27 21 18 15 13 12 11 0057 0028 0024 050 34 26 21 17 15 13 11 10 0058 0029 0024 052 33 25 20 17 14 12 11 10 0058 0029 0024 054 32 24 19 16 14 12 11 10 0059 0029 0024 056 32 24 19 16 14 12 11 09 0059 0030 0025 058 31 23 18 15 13 12 10 09 0060 0030 0025 059 30 23 18 15 13 11 10 09 0060 0030 0025 060 30 23 18 15 13 11 10 09 0061 0030 0025 4 062 29 22 18 15 13 11 10 09 0061 0031 0025 063 29 22 17 15 12 11 10 09 0061 0031 0026 064 29 22 17 14 12 11 10 09 0062 0031 0026 066 28 21 17 14 12 11 09 08 0063 0031 0026 070 27 20 16 14 12 10 09 08 0064 0032 0027 074 26 20 16 13 11 10 09 08 0065 0033 0027 077 26 19 15 13 11 10 09 08 0066 0033 0028 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 75 Tabela A3 Área e massa linear de fios e barras de aço NBR 7480 Diâmetro mm Massa kgm Área mm2 Perímetro mm Fios Barras 24 0036 45 75 34 0071 91 107 38 0089 113 119 42 0109 139 132 46 0130 166 145 5 5 0154 196 175 55 0187 238 173 6 0222 283 188 63 0245 312 198 64 0253 322 201 7 0302 385 220 8 8 0395 503 251 95 0558 709 298 10 10 0617 785 314 125 0963 1227 393 16 1578 2011 503 20 2466 3142 628 22 2984 3801 691 25 3853 4909 785 32 6313 8042 1005 40 9865 12566 1257 Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 76 Tabela A4 Área de aço e largura bw mínima Diâm As cm2 Número de barras mm bw cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 42 As 014 028 042 056 070 084 098 112 126 140 bw Br 1 8 11 14 16 19 22 25 27 30 Br 2 9 13 16 19 23 26 30 33 36 5 As 020 040 060 080 100 120 140 160 180 200 bw Br 1 9 11 14 17 20 22 25 28 31 Br 2 9 13 16 20 23 27 30 34 37 63 As 031 062 093 124 155 186 217 248 279 310 bw Br 1 9 12 15 18 20 23 26 29 32 Br 2 10 13 17 20 24 28 31 35 39 8 As 050 100 150 200 250 300 350 400 450 500 bw Br 1 9 12 15 18 21 25 28 31 34 Br 2 10 14 17 21 25 29 33 36 40 10 As 080 160 240 320 400 480 560 640 720 800 bw Br 1 10 13 16 19 23 26 29 33 36 Br 2 10 14 18 22 26 30 34 38 42 125 As 125 250 375 500 625 750 875 1000 1125 1250 bw Br 1 10 14 17 21 24 28 31 35 38 Br 2 11 15 19 24 28 32 36 41 45 16 As 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 bw Br 1 11 15 19 22 26 30 34 38 42 Br 2 11 16 21 25 30 34 39 44 48 20 As 315 630 945 1260 1575 1890 2205 2520 2835 3150 bw Br 1 12 16 20 24 29 33 37 42 46 Br 2 12 17 22 27 32 37 42 47 52 22 As 380 760 1140 1520 1900 2280 2660 3040 3420 3800 bw Br 1 12 16 21 25 30 34 39 43 48 Br 2 13 18 23 28 33 39 44 49 54 25 As 490 980 1470 1960 2450 2940 3430 3920 4410 4900 bw Br 1 13 18 23 28 33 38 43 48 53 Br 2 13 19 24 30 35 41 46 52 57 32 As 805 1610 2415 3220 4025 4830 5635 6440 7245 8050 bw Br 1 15 21 28 34 40 47 53 60 66 Br 2 15 21 28 34 40 47 53 60 66 40 As 1260 2520 3780 5040 6300 7560 8820 10080 11340 12600 bw Br 1 17 25 33 41 49 57 65 73 81 Br 2 17 25 33 41 49 57 65 73 81 largura bw mínima bwmín 2 c t no barras ahmín no barras 1 Br 1 brita 1 dmáx 19 mm Br 2 brita 2 dmáx 25 mm Valores adotados t 63 mm cnom 20 cm Para cnom 20 cm aumentar bwmín conforme cnom 25 cm 10 cm cnom 30 cm 20 cm cnom 35 cm 30 cm cnom 40 cm 40 cm agr máx mín h 12d cm 2 a w h v Øt Ø c b a a Flexão Normal Simples Vigas UNESPBauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 77 Tabela A5 Valores de cálculo da tensão sd e da deformação sd na armadura comprimida e coeficiente Ks para a linha neutra fixada em 045d para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa γs 115 dd Deformação sd CA25 CA50 CA60 sd MPa Ks 1sd 1kNcm2 CA25 CA50 CA60 CA25 CA50 CA60 005 311 2174 4350 5217 0046 0023 0019 010 272 5217 015 233 4909 0020 020 194 4084 4091 0024 0024 025 156 3267 3273 0031 0031 030 117 2450 2454 0041 0041 43 43 cd 35 sd x 045d d sd d