Lajes de Concreto Armado NBR 6118-2014 - Notas de Aula UNESP

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP BauruSP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil Disciplina 2117 ESTRUTURAS DE CONCRETO I NOTAS DE AULA LAJES DE CONCRETO Prof Dr PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS wwwpfebunespbrpbastos BauruSP Agosto2015 APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 2317 Estruturas de Concreto I do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da Universidade Estadual Paulista UNESP Campus de BauruSP O texto apresentado está conforme as novas prescrições contidas na NBR 61182014 Projeto de estruturas de concreto Procedimento para o projeto e dimensionamento das lajes de Concreto Armado A apostila apresenta o estudo das lajes maciças das lajes nervuradas e lajes préfabricadas Os esforços nas lajes maciças são determinados pela Teoria das Placas Críticas e sugestões serão bemvindas visando a melhoria da apostila O autor agradece ao técnico Éderson dos Santos Martins pela confecção dos desenhos SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 1 2 DEFINIÇÃO 1 3 LAJE MACIÇA 1 31 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À DIREÇÃO 1 32 VÃO EFETIVO 3 33 VINCULAÇÃO NAS BORDAS 3 34 AÇÕES A CONSIDERAR 6 341 Peso Próprio 7 342 Contrapiso 7 343 Revestimento do Teto 7 344 Piso 8 345 Paredes 8 3451 Laje Armada em Duas Direções 8 3452 Laje Armada em Uma Direção 9 346 Ações Variáveis 10 35 ESPESSURA MÍNIMA 10 36 COBRIMENTOS MÍNIMOS 10 37 ESTIMATIVA DA ALTURA DA LAJE 12 38 MOMENTOS FLETORES SOLICITANTES 13 381 Laje Armada em Uma Direção 13 382 Laje Armada em Duas Direções 16 383 Compatibilização dos Momentos Fletores 18 384 Momentos Volventes 19 39 REAÇÕES DE APOIO 19 310 FLECHAS 20 3101 Verificação do Estádio 21 3102 Flecha Imediata 22 3103 Flecha Diferida no Tempo 24 3104 Flechas Máximas Admitidas 24 3105 Flecha Imediata 26 31051 Laje Armada em Duas Direções 26 31052 Laje Armada em Uma Direção 27 311 DIMENSIONAMENTO 27 3111 Flexão 29 3112 Força Cortante 29 31121 Lajes sem Armadura para Força Cortante 29 31122 Lajes com Armadura para Força Cortante 31 312 DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 31 3121 Armaduras Longitudinais Máximas e Mínimas 31 3122 Diâmetro Máximo 32 3123 Espaçamento Máximo e Mínimo 32 3124 Bordas Livres e Aberturas 33 3125 Comprimento da Armadura Negativa nos Apoios com Continuidade de Lajes 34 3126 Comprimento da Armadura Positiva 35 3127 Armaduras Complementares 35 315 TABELAS DAS ARMADURAS 36 316 CÁLCULO PRÁTICO 37 3161 Prédimensionamento da Altura da Laje 37 3162 Cálculo das Ações 37 3163 Verificação das Flechas 37 3164 Reações nas Vigas 38 3165 Momentos Fletores e Dimensionamento 38 317 LAJE MACIÇA RETANGULAR COM UMA BORDA LIVRE 38 3171 Detalhamento das Armaduras 40 31711 Lajes com Três Bordas Apoiadas 40 31712 Lajes com Três Bordas Engastadas 41 3172 Exemplo Numérico de Aplicação 42 318 EXEMPLO DE CÁLCULO DE LAJES MACIÇAS DE UMA EDIFICAÇÃO 44 3181 Vãos Efetivos e Vinculação nas Bordas 45 3182 PréDimensionamento da Altura das Lajes 47 3183 Cálculo das Ações Atuantes 47 3184 Reações de Apoio nas Vigas de Borda 49 3185 Momentos Fletores e Dimensionamento das Armaduras Longitudinais de Flexão 51 3186 Verificação das Flechas 54 31861 Flecha na Laje L2 55 31862 Flecha na Laje L1 57 31863 Flecha na Laje L4 59 3187 Verificação da Força Cortante 60 3188 Detalhamentos das Armaduras Longitudinais de Flexão 61 4 LAJES NERVURADAS 64 41 DEFINIÇÃO 64 42 TIPOS 66 43 CÁLCULO SIMPLIFICADO 67 44 AÇÕES 69 45 MOMENTOS FLETORES NOS APOIOS INTERMEDIÁRIOS 70 46 DIMENSIONAMENTO 71 461 Flexão nas Nervuras 71 462 Força Cortante 71 47 EXEMPLO 71 471 Laje em Cruz nervuras nas duas direções cc 65 cm 71 5 LAJES PRÉFABRICADAS 75 51 DEFINIÇÕES 75 52 LAJE TRELIÇA 77 521 Nervura Transversal 78 522 Armadura Complementar 79 523 Armadura de Distribuição 80 524 Escolha da Laje 80 53 LAJE PRÉFABRICADA CONVENCIONAL 81 531 Detalhes Construtivos 82 532 Paredes Sobre Laje 84 533 Lançamento do Concreto 85 534 Dimensionamento 86 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 1 1 INTRODUÇÃO Neste texto serão estudadas as lajes denominadas usualmente como maciças e as lajes nervuradas do tipo moldada no local ou com partes préfabricadas também chamadas lajes mistas As lajes maciças de forma retangular apoiadas sobre as quatro bordas são as lajes mais comuns nas construções correntes de Concreto Armado As lajes com uma ou duas bordas livres embora bem menos comuns na prática serão também estudadas O processo de cálculo das lajes maciças demonstrado nesta apostila é aquele já desenvolvido há muitos anos possível de ser executado manualmente sem auxílio de computadores Tem o aval da NBR 61182014 e aplicação segura demonstrada por centenas de construções já executadas Neste processo as lajes têm os esforços de flexão e as flechas determinadas segundo a Teoria das Placas com base na teoria matemática da elasticidade 2 DEFINIÇÃO As lajes são classificadas como elementos planos bidimensionais que são aqueles onde duas dimensões o comprimento e a largura são da mesma ordem de grandeza e muito maiores que a terceira dimensão a espessura As lajes são também chamadas elementos de superfície ou placas Destinamse a receber a maior parte das ações aplicadas numa construção normalmente de pessoas móveis pisos paredes e os mais variados tipos de carga que podem existir em função da finalidade arquitetônica do espaço que a laje faz parte As ações são comumente perpendiculares ao plano da laje podendo ser divididas em distribuídas na área distribuídas linearmente ou forças concentradas Embora menos comuns também podem ocorrer ações externas na forma de momentos fletores normalmente aplicados nas bordas das lajes As ações são normalmente transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje mas eventualmente também podem ser transmitidas diretamente aos pilares quando são chamadas lajes lisas 3 LAJE MACIÇA Laje maciça é aquela onde toda a espessura é composta por concreto contendo armaduras longitudinais de flexão e eventualmente armaduras transversais e apoiada em vigas ou paredes ao longo das bordas Laje com borda ou bordas livres é um caso particular de laje apoiada nas bordas A laje lisa e a laje cogumelo são também lajes maciças de concreto porém nessas lajes as cargas e outras ações são transferidas diretamente aos pilares sem intermédio de apoios nas bordas Por uma questão de tradição no Brasil é costume chamar a laje apoiada nas bordas como laje maciça As lajes maciças podem ser de Concreto Armado ou de Concreto Protendido nesta apostila são apresentadas apenas as lajes maciças retangulares ou quadradas de Concreto Armado Nas pontes e edifícios de múltiplos pavimentos e em construções de grande porte as lajes maciças são as mais comuns entre os diferentes tipos de laje existentes As lajes maciças de concreto com espessuras que normalmente variam de 7 cm a 15 cm são projetadas para os mais variados tipos de construção como edifícios de múltiplos pavimentos residenciais comerciais etc muros de arrimo escadas reservatórios construções de grande porte como escolas indústrias hospitais pontes de grandes vãos etc De modo geral não são aplicadas em construções residenciais e outras construções de pequeno porte pois nesses tipos de construção as lajes nervuradas pré fabricadas apresentam vantagens nos aspectos custo e facilidade de construção 31 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À DIREÇÃO As lajes maciças podem ser classificadas segundo diferentes critérios como em relação à forma geométrica dos tipos de vínculos nos apoios quanto à direção etc As formas geométricas podem ter as mais variadas formas possíveis porém a forma retangular é a grande maioria dos casos da prática Hoje em dia com os avançados programas computacionais existentes as lajes podem ser facilmente calculadas e dimensionadas segundo quaisquer formas geométricas e carregamentos que tiverem Uma classificação muito importante das lajes maciças é aquela referente à direção ou direções da armadura principal Existem dois casos laje armada em uma direção ou laje armada em duas direções UNESPBauruSP Lajes de Concreto 2 a Laje armada em uma direção As lajes armadas em uma direção tem relação entre o lado maior e o lado menor superior a dois isto é 2 x y Eq 1 com x vão menor Figura 1 y vão maior 1 m y x Figura 1 Vãos da laje retangular armada em uma direção Os esforços solicitantes de maior magnitude ocorrem segundo a direção do menor vão chamada direção principal Na outra direção chamada secundária os esforços solicitantes são bem menores e por isso são comumente desprezados nos cálculos Os esforços solicitantes e as flechas são calculados supondose a laje como uma viga com largura de 1 m segundo a direção principal da laje como se verá adiante b Laje armada em duas direções ou em cruz Nas lajes armadas em duas direções os esforços solicitantes são importantes segundo as duas direções principais da laje A relação entre os lados é menor que dois tal que 2 x y Eq 2 com x lado menor Figura 2 y lado maior y x Figura 2 Vãos da laje retangular armada em duas direções UNESPBauruSP Lajes de Concreto 3 32 VÃO EFETIVO Os vãos efetivos das lajes nas direções principais NBR 6118 item 14624 considerando que os apoios são suficientemente rígidos na direção vertical devem ser calculados pela expressão 2 1 0 ef a a Eq 3 com h 30 t 2 a 1 1 e h 30 t 2 a 2 2 Eq 4 As dimensões 0 t1 t2 e h estão indicadas na Figura 3 1 0 t t2 h Figura 3 Dimensões consideradas no cálculo do vão efetivo das lajes 33 VINCULAÇÃO NAS BORDAS De modo geral são três os tipos de apoio das lajes paredes de alvenaria ou de concreto vigas ou pilares de concreto Dentre eles as vigas nas bordas são o tipo de apoio mais comuns nas construções Para o cálculo dos esforços solicitantes e das deformações nas lajes tornase necessário estabelecer os vínculos da laje com os apoios sejam eles pontuais como os pilares ou lineares como as vigas de borda Devido à complexidade do problema devem ser feitas algumas simplificações de modo a possibilitar o cálculo manual que será desenvolvido Os três tipos comuns de vínculo das lajes são o apoio simples o engaste perfeito e o engaste elástico Como as tabelas usuais para cálculo das lajes só admitem apoios simples engaste perfeito e apoios pontuais a vinculação nas bordas deve se resumir apenas a esses três tipos Com a utilização de programas computacionais é possível admitir também o engaste elástico A idealização teórica de apoio simples ou engaste perfeito nas lajes correntes dos edifícios raramente ocorre na realidade No entanto segundo CUNHA SOUZA 1994 o erro cometido é pequeno não superando os 10 a bordas simplesmente apoiadas O apoio simples surge nas bordas onde não existe ou não se admite a continuidade da laje com outras lajes vizinhas O apoio pode ser uma parede de alvenaria ou uma viga de concreto No caso de vigas de concreto de dimensões correntes a rigidez da viga à torção é pequena de modo que a viga gira e deformase acompanhando as pequenas rotações da laje o que acaba garantindo a concepção teórica do apoio simples Figura 4 Cuidado especial há de se tomar na ligação de lajes com vigas de alta rigidez à torção Pode ser mais adequado engastar perfeitamente a laje na viga dispondose uma armadura geralmente negativa na ligação com a viga Os esforços de torção daí decorrentes devem ser obrigatoriamente considerados no projeto da viga de borda UNESPBauruSP Lajes de Concreto 4 50 20 10 Figura 4 Viga de borda como apoio simples para a laje b engaste perfeito O engaste perfeito surge no caso de lajes em balanço como marquises varandas etc Figura 5 É considerado também nas bordas onde há continuidade entre duas lajes vizinhas Figura 5 Laje em balanço engastada na viga de apoio Quando duas lajes contínuas têm espessuras muito diferentes como mostrado na Figura 6 pode ser mais adequado considerar a laje de menor espessura L2 engastada na de maior espessura L1 mas a laje com maior espessura pode ser considerada apenas apoiada na borda comum as duas lajes L1 h1 h1 h2 h2 L2 Figura 6 Lajes adjacentes com espessuras muito diferentes No caso onde as lajes não têm continuidade ao longo de toda a borda comum o critério simplificado para se considerar a vinculação é o seguinte Figura 7 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 5 se 3 L a 2 a laje L1 pode ser considerada com a borda engastada na laje L2 se 3 L a 2 a laje L1 fica com a borda simplesmente apoiada apoio simples Eq 5 Em qualquer dos casos a laje L2 tem a borda engastada na laje L1 L2 L1 a L Figura 7 Lajes parcialmente contínuas c engaste elástico No caso de apoios intermediários de lajes contínuas surgem momentos fletores negativos devido à continuidade das lajes A ponderação feita entre os diferentes valores dos momentos fletores que surgem nesses apoios conduz ao engastamento elástico Figura 8 No entanto para efeito de cálculo inicial dos momentos fletores ML1 e ML2 as lajes que apresentam continuidade devem ser consideradas perfeitamente engastadas nos apoios intermediários L1 L2 M M L1 L2 Figura 8 Engastamento elástico na continuidade das lajes decorrente dos momentos fletores negativos diferentes Conforme as tabelas de BARÉS que serão utilizadas neste curso anexas ao final da apostila para cálculo das lajes maciças retangulares a convenção de vinculação é feita com diferentes estilos de linhas como mostrado na Figura 9 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 6 engaste perfeito apoio simples livre Figura 9 Convenção de estilo de linha para os vínculos engaste perfeito apoio simples e borda livre Em função das várias combinações possíveis de vínculos nas quatro bordas das lajes retangulares as lajes recebem números que diferenciam as combinações de vínculos nas bordas como indicados na Figura 10 4A 1 2A 2B 3 4B 5A 5B 6 7 8 9 10 Figura 10 Tipos de lajes em função dos vínculos nas bordas 34 AÇÕES A CONSIDERAR As ações ou carregamentos a se considerar nas lajes são os mais variados desde pessoas até móveis equipamentos fixos ou móveis divisórias paredes água solo etc As lajes atuam recebendo as cargas de utilização e transmitindoas para os apoios geralmente vigas nas bordas Nos edifícios as lajes ainda têm a função de atuarem como diafragmas rígidos elemento de rigidez infinita no seu próprio plano distribuindo os esforços horizontais do vento para as estruturas de contraventamento pórticos paredes núcleos de rigidez etc responsáveis pela estabilidade global dos edifícios UNESPBauruSP Lajes de Concreto 7 Para determinação das ações atuantes nas lajes devese recorrer às normas NBR 6118 NBR 8681 e NBR 6120 entre outras pertinentes As ações peculiares das lajes de cada obra também devem ser cuidadosamente avaliadas Se as normas brasileiras não tratarem de cargas específicas podese recorrer a normas estrangeiras na bibliografia especializada com os fabricantes de equipamentos mecânicos de máquinas etc Nas construções de edifícios correntes geralmente as ações principais a serem consideradas são as ações permanentes g e as ações variáveis q chamadas pela norma de carga acidental termo esse inadequado As principais ações permanentes diretas que devem ser verificadas e determinadas são as apresentadas a seguir 341 Peso Próprio O peso próprio da laje é o peso do concreto armado que forma a laje maciça Para o peso específico do concreto armado conc a NBR 6118 indica o valor de 25 kNm3 O peso próprio para lajes com espessura constante é uniformemente distribuído na área da laje e para um metro quadrado de laje Figura 11 pode ser calculado como gpp conc h 25 h Eq 6 com gpp peso próprio da laje kNm2 h altura da laje m 1 m 1 m h Figura 11 Peso próprio calculado para 1 m2 de laje 342 Contrapiso A camada de argamassa colocada logo acima do concreto da superfície superior das lajes recebe o nome de contrapiso ou argamassa de regularização A sua função é de nivelar e diminuir a rugosidade da laje preparandoa para receber o revestimento de piso final A espessura do contrapiso deve ser cuidadosamente avaliada Recomendase adotar espessura não inferior a 3 cm A argamassa do contrapiso tem comumente o traço 13 em volume sendo considerado o peso específico contr de 21 kNm3 conforme a NBR 6120 A ação permanente do contrapiso é função da espessura e do contrapiso gcontr contr e 21 e Eq 7 com gcontr carga permanente do contrapiso kNm2 e espessura do contrapiso m 343 Revestimento do Teto Na superfície inferior das lajes teto do pavimento inferior é padrão executarse uma camada de revestimento de argamassa sobreposta à camada fina de chapisco Para essa argamassa menos rica em cimento podese considerar o peso específico rev de 19 kNm3 conforme a NBR 6120 De modo geral este revestimento tem pequena espessura mas recomendase adotar espessura não inferior a 15 ou 2 cm Para o revestimento de teto a ação permanente é grev teto rev e 19 e Eq 8 com grev teto carga permanente do revestimento do teto kNm2 e espessura do revestimento m UNESPBauruSP Lajes de Concreto 8 344 Piso O piso é o revestimento final na superfície superior da laje assentado sobre a argamassa de regularização Para a sua correta quantificação é necessário definir o tipo ou material do qual o piso é composto o que normalmente é feito com auxílio do projeto arquitetônico que define o tipo de piso de cada ambiente da construção Os tipos mais comuns são os de madeira de cerâmica carpetes ou forrações e de rochas como granito e mármore A Tabela 1 da NBR 6120 fornece os pesos específicos de diversos materiais valores estes que auxiliam no cálculo da carga do piso por metro quadrado de área de laje 345 Paredes A carga das paredes sobre as lajes maciças deve ser determinada em função da laje ser armada em uma ou em duas direções É necessário conhecer o tipo de unidade de alvenaria tijolo bloco etc que compõe a parede ou o peso específico da parede a espessura e a altura da parede bem como a sua disposição e extensão sobre a laje O peso específico da parede pode ser dado em função do peso total da parede composta pela unidade de alvenaria e pelas argamassas de assentamento e de revestimento ou pelos pesos específicos individuais dos materiais que a compõe 3451 Laje Armada em Duas Direções Para as lajes armadas em duas direções considerase simplificadamente a carga da parede uniformemente distribuída na área da laje de forma que a carga é o peso total da parede dividido pela área da laje isto é laje alv laje par par A e h A P g Eq 9 com alv peso específico da unidade de alvenaria que compõe a parede kNm3 gpar carga uniforme da parede kNm2 e espessura total da parede m h altura da parede m comprimento da parede sobre a laje m Alaje área da laje m2 x y Para blocos cerâmicos furados a NBR 6120 recomenda o peso específico alv de 13 kNm3 e para tijolos maciços cerâmicos 18 kNm3 Ao se considerar o peso específico da unidade de alvenaria para toda a parede está se cometendo um erro pois os pesos específicos das argamassas de revestimento e de assentamento são diferentes do peso específico da unidade de alvenaria O peso específico das paredes correto pode ser calculado considerandose os pesos específicos dos materiais individualmente Para a argamassa de revestimento podese considerar o peso específico de 19 kNm3 NBR 6120 Não se conhecendo o peso específico global da parede podese determinar a sua carga com os pesos específicos individuais da parede calculandose a carga da parede por metro quadrado de área par alv ealv arg earg Eq 10 com par peso específico da parede kNm2 alv peso específico da unidade de alvenaria kNm3 ealv espessura da unidade de alvenaria que resulta na espessura da parede m arg peso específico da argamassa do revestimento kNm3 earg espessura do revestimento considerando os dois lados da parede m A carga da parede sobre a laje é laje par par A h g Eq 11 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 9 com gpar carga uniforme da parede kNm2 h altura da parede m comprimento da parede sobre a laje m Alaje área da laje m2 x y Para a espessura média dos revestimentos das paredes recomendase o valor de 2 cm nos dois lados da parede 3452 Laje Armada em Uma Direção Para laje armada em uma direção há dois casos a serem analisados em função da disposição da parede sobre a laje Para o caso de parede com direção paralela à direção principal da laje direção do menor vão considerase simplificadamente a carga da parede distribuída uniformemente numa área da laje adjacente à parede com largura de 23 x como mostrado na Figura 12 23 x x y I II I Figura 12 Parede paralela à direção principal da laje armada em uma direção A laje fica com duas regiões com carregamentos diferentes Nas regiões I não ocorre a carga da parede que fica limitada apenas à região II Portanto dois cálculos de esforços solicitantes necessitam serem feitos para as regiões I e II A carga uniformemente distribuída devida à parede na faixa 23 x é 2 x par x x par par 2 P 3 3 2 P g Eq 12 com gpar carga uniforme da parede na laje kNm2 Ppar peso da parede kN x menor vão da laje m No caso de parede com direção perpendicular à direção principal a carga da parede deve ser considerada como uma força concentrada na viga que representa a laje como mostrado na Figura 13 O valor da força concentrada P representativo da carga da parede é e h 1 P alv e h P alv Eq 13 com P força concentrada representativa da parede kN alv peso específico da parede kNm3 e espessura da parede m h altura da parede m UNESPBauruSP Lajes de Concreto 10 x y 1 m P Figura 13 Parede perpendicular à direção principal da laje armada em uma direção 346 Ações Variáveis A ação variável nas lajes é tratada pela NBR 6120 item 22 como carga acidental Na prática costumam chamar também de sobrecarga A carga acidental é definida pela NBR 6120 como toda aquela que pode atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso pessoas móveis materiais diversos veículos etc As cargas verticais que se consideram atuando nos pisos de edificações além das que se aplicam em caráter especial referemse a carregamentos devidos a pessoas móveis utensílios materiais diversos e veículos e são supostas uniformemente distribuídas com os valores mínimos indicados na Tabela 2 35 ESPESSURA MÍNIMA A NBR 6118 item 13241 estabelece que a espessura mínima para as lajes maciças deve respeitar a 7 cm para lajes de cobertura não em balanço b 8 cm para lajes de piso não em balanço c 10 cm para lajes em balanço d 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN e 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN f 15 cm para lajes com protensão apoiada em vigas com o mínimo de 42 para lajes de piso biapoiadas e 50 para lajes de piso contínuas f 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelo fora do capitel 36 COBRIMENTOS MÍNIMOS A NBR 6118 item 7472 estabelece os valores a serem prescritos para o cobrimento nominal das armaduras das lajes Nos projetos de estruturas correntes a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo com o apresentado na Tabela 1 e pode ser avaliada simplificadamente segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes Conhecendo o ambiente em que a estrutura será construída o projetista estrutural pode considerar uma condição de agressividade maior que aquelas mostradas na Tabela 2 Para garantir o cobrimento mínimo cmín o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal cnom que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução c Figura 14 c c c mín nom Eq 14 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 11 Tabela 1 Classes de agressividade ambiental CAA Tabela 61 da NBR 6118 Classe de agressividade Ambiental Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de Projeto Risco de deterioração da estrutura I Fraca Rural Insignificante Submersa II Moderada Urbana1 2 Pequeno III Forte Marinha1 Grande Industrial1 2 IV Muito forte Industrial1 3 Elevado Respingos de maré NOTAS 1 Podese admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda uma classe acima para ambientes internos secos salas dormitórios banheiros cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura 2 Podese admitir uma classe de agressividade mais branda uma classe acima em obras em regiões de clima seco com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65 partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde raramente chove 3 Ambientes quimicamente agressivos tanques industriais galvanoplastia branqueamento em indústrias de celulose e papel armazéns de fertilizantes indústrias químicas Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm Esse valor pode ser reduzido para 5 mm quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução das estruturas de concreto Em geral o cobrimento nominal de uma determinada barra deve ser n c c n feixe nom barra nom Eq 15 c c Armaduras longitudinais h Figura 14 Cobrimento da armadura A dimensão máxima característica do agregado graúdo dmáx utilizado no concreto não pode superar em 20 a espessura nominal do cobrimento ou seja nom máx c 21 d Eq 16 Para determinar a espessura do cobrimento é necessário antes definir a classe de agressividade ambiental a qual a estrutura está inserida Nos projetos das estruturas correntes a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo com o apresentado na Tabela 2 e pode ser avaliada simplificadamente segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes NBR 6118 item 642 A Tabela 2 apresenta valores de cobrimento nominal de lajes vigas e pilares para a tolerância de execução c de 10 mm em função da classe de agressividade ambiental UNESPBauruSP Lajes de Concreto 12 Tabela 2 Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para c 10 mm Tabela 72 da NBR 6118 Tipo de estrutura Componente ou elemento Classe de agressividade ambiental CAA I II III IV2 Cobrimento nominal mm Concreto Armado4 Laje1 20 25 35 45 VigaPilar 25 30 40 50 Elementos estruturais em contato com o solo3 30 40 50 Notas 1 Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira com argamassa de revestimento e acabamento como pisos de elevado desempenho pisos cerâmicos pisos asfálticos e outros tantos as exigências desta tabela podem ser substituídas pelas de 7475 respeitado um cobrimento nominal 15 mm 2 Nas superfícies expostas a ambientes agressivos como reservatórios estações de tratamento de água e esgoto condutos de esgoto canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV 3 No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm 4 Para parâmetros relativos ao Concreto Protendido consultar a Tabela 72 da NBR 6118 No caso de elementos estruturais préfabricados os valores relativos ao cobrimento das armaduras Tabela 72 devem seguir o disposto na ABNT NBR 90621 item 7477 Para concretos de classe de resistência superior ao mínimo exigido os cobrimentos definidos na Tabela 2 podem ser reduzidos em até 5 mm A altura útil d que é a distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a face comprimida da seção depende principalmente do cobrimento da armadura Conforme a laje maciça mostrada na Figura 15 de modo geral a altura útil é dada pela relação d h c 2 Eq 17 Para podese estimar inicialmente a barra com diâmetro de 10 mm d c h Figura 15 Altura útil d para as lajes maciças supondo armadura de flexão positiva 37 ESTIMATIVA DA ALTURA DA LAJE Para o cálculo das lajes é necessário estimar inicialmente a sua altura Existem vários e diferentes processos para essa estimativa sendo um deles dado pela equação seguinte n 10 52 d Eq 18 onde d altura útil da laje cm n número de bordas engastadas da laje 1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto e execução de estruturas de concreto prémoldado NBR 9062 ABNT 2001 36p UNESPBauruSP Lajes de Concreto 13 dimensão da laje assumida da seguinte forma y x 70 Eq 19 com x y e x e y em metro A estimativa da altura com a Eq 18 não dispensa a verificação da flecha que existirá na laje que deverá ser calculada Com a altura útil calculada fica simples determinar a altura h da laje h d 2 c Eq 20 Como não se conhece inicialmente o diâmetro da barra longitudinal da laje o diâmetro deve ser estimado Normalmente para as lajes correntes o diâmetro varia de 5 mm a 8 mm O cobrimento c deve ser determinado conforme a Tabela 2 38 MOMENTOS FLETORES SOLICITANTES Os momentos fletores e as flechas nas lajes maciças são determinadas conforme a laje é armada em uma ou em duas direções As lajes armadas em uma direção são calculadas como vigas segundo a direção principal e as lajes armadas em duas direções podem ser aplicadas diferentes teorias como a Teoria da Elasticidade e a das Charneiras Plásticas 381 Laje Armada em Uma Direção No caso das lajes armadas em uma direção considerase simplificadamente que a flexão na direção do menor vão da laje é preponderante à da outra direção de modo que a laje será suposta como uma viga com largura constante de um metro 100 cm segundo a direção principal da laje como mostrado na Figura 16 Na direção secundária desprezamse os momentos fletores existentes 1 m Figura 16 Momentos fletores em laje armada em uma direção A Figura 17 Figura 18 e Figura 19 mostram os casos de vinculação possíveis de existirem quando se consideram apenas apoios simples e engastes perfeitos Estão indicadas as equações para cálculo das reações de apoio momentos fletores máximos e flechas imediatas para carregamento uniformemente distribuído UNESPBauruSP Lajes de Concreto 14 Flecha máxima EI p 384 5 a 4 i máx M p 2 p p 2 2 8 p Figura 17 Laje armada em uma direção sobre apoios simples e com carregamento uniforme Flecha máxima EI p 185 1 a 4 i 5 8 p M máx 8 2 p 8 p 3 p p 1422 2 Figura 18 Laje armada em uma direção sobre apoio simples e engaste perfeito com carregamento uniforme UNESPBauruSP Lajes de Concreto 15 Flecha máxima EI p 384 1 a 4 i 2 p p M máx p 24 2 p 2 p 12 2 p 12 2 Figura 19 Laje armada em uma direção biengastada com carregamento uniforme As lajes em balanço como as lajes de marquises e varandas são também casos típicos de lajes armadas em uma direção que devem ser calculadas como viga segundo a direção do menor vão Figura 20 Laje em balanço Planta de fôrma M Esquema estático e diagrama de M Figura 20 Laje em balanço armada em uma direção No caso de lajes contínuas armadas em uma direção como mostrado na Figura 21 com duas bordas livres o cálculo pode ser feito supondo viga contínua com largura de um metro na direção dos vãos dos apoios Para a obtenção dos esforços e flechas máximas nas lajes devese decompor o carregamento total em carregamento permanente e carregamento variável Os esforços solicitantes máximos podem ser obtidos aplicandose os carregamentos nas lajes separadamente sendo o primeiro o carregamento permanente e em UNESPBauruSP Lajes de Concreto 16 seguida o carregamento variável Os esforços finais são somados obtendose assim os esforços desfavoráveis máximos 1 m Viga com B 1m Viga de apoio Laje Figura 21 Lajes contínuas armadas em uma direção 382 Laje Armada em Duas Direções O comportamento das lajes armadas em duas direções apoiadas nos quatro lados é bem diferente das lajes armadas em uma direção de modo que o seu cálculo é bem mais complexo se comparado ao das lajes armadas em uma direção Sob a ação do carregamento a laje apoiase no trecho central dos apoios e os cantos se levantam dos apoios como mostrado na Figura 22 Sem ancoragem de canto ou sem sobrecarga Com sobrecarga no canto Com ancoragem de canto Linhas de apoio M 1 M 2 Figura 22 Laje retangular com apoios simples nos quatro lados LEONHARDT MÖNNIG 1982 Se a laje estiver ligada a vigas de concreto ou se existirem pilares nos cantos o levantamento da laje fica impedido o que faz surgir momentos fletores nos cantos negativos que causam tração no lado superior da laje na direção da diagonal e positivos na direção perpendicular à diagonal que causam tração no lado inferior da laje Os momentos nos cantos são chamados momentos volventes ou momentos de torção e recebem a notação de Mxy A direção dos momentos principais M1 e M2 principais está mostrada na Figura 23 Nos cantos os momentos principais desviamse por influência dos momentos volventes No centro da laje os momentos principais desenvolvemse perpendicularmente às bordas e nos cantos com ângulos de 45 Os esforços solicitantes e as deformações nas lajes armadas em duas direções podem ser determinados por diferentes teorias sendo as mais importantes as seguintes a Teoria das Placas desenvolvida com base na Teoria da Elasticidade podem ser determinados os esforços e as flechas em qualquer ponto da laje b Processos aproximados c Método das Linhas de Ruptura ou das Charneiras Plásticas d Métodos Numéricos como o dos Elementos Finitos de Contorno etc UNESPBauruSP Lajes de Concreto 17 x y 1 x 15 y x y 2 x y Figura 23 Direção dos momentos fletores principais em lajes armadas em duas direções sob bordas de apoio simples LEONHARDT MÖNNIG 1982 A Teoria das Placas desenvolvida com base na teoria matemática da elasticidade onde o material é elástico linear vale a Lei de Hooke homogêneo e isótropo proporciona a equação geral das placas equação diferencial de quarta ordem não homogênea obtida por Lagrange em 1811 que relaciona a deformada elástica w da placa com a carga p unitária uniformemente distribuída na área da placa A equação tem a forma D p y w y x w 2 x w 4 4 2 2 4 4 4 Eq 21 com w deslocamento vertical da placa p carregamento na placa D rigidez da placa à flexão dada por 2 3 1 12 E h D Eq 22 A solução da equação geral das placas é tarefa muito complexa o que motivou o surgimento de diversas tabelas de diferentes origens e autores com coeficientes que proporcionam o cálculo dos momentos fletores e das flechas para casos específicos de apoios e carregamentos Há diversas tabelas de autores como Czerny StiglatWippel Bares Szilard etc De modo geral abrangem os casos de lajes retangulares triangulares circulares apoiadas em pilares com bordas livres etc sob carregamento uniforme e triangular No caso desta apostila serão utilizadas as tabelas apresentadas no anexo Tabela A8 a Tabela A17 desenvolvidas por Barés e adaptadas por PINHEIRO 1994 A Tabela A8 até a Tabela A12 são tabelas para lajes com carregamento uniformemente distribuído na área da laje e a Tabela A13 até a Tabela A17 são para carregamento triangular conforme os desenhos mostrados nessas tabelas As tabelas servem para o cálculo dos momentos fletores em lajes retangulares com apoios nas quatro bordas Conforme as tabelas de Barés os momentos fletores negativos ou positivos são calculados pela expressão 100 p M 2 x Eq 23 onde M momento fletor kNmm coeficiente tabelado de acordo com cada tipo de laje e em função de y x sendo x e y coeficientes para cálculo dos momentos fletores positivos atuantes nas direções paralelas a x e y respectivamente UNESPBauruSP Lajes de Concreto 18 x e y coeficientes para cálculo dos momentos fletores negativos atuantes nas bordas perpendiculares às direções x e y respectivamente p valor da carga uniforme ou triangular atuante na laje kNm2 x menor vão da laje m 383 Compatibilização dos Momentos Fletores Ao se considerar as lajes de um pavimento isoladas umas das outras os momentos fletores negativos em uma borda comum a duas lajes contíguas são geralmente diferentes ver Figura 24 A NBR 6118 item 14762 permite que seja feita uma compatibilização dos momentos fletores negativos Quando houver predominância de cargas permanentes as lajes vizinhas podem ser consideradas isoladas realizandose a compatibilização dos momentos sobre os apoios de forma aproximada No caso de análise plástica a compatibilização pode ser realizada mediante alteração das razões entre momentos de borda e vão em procedimento iterativo até a obtenção de valores equilibrados nas bordas Permitese simplificadamente a adoção do maior valor de momento negativo em vez de equilibrar os momentos de lajes diferentes sobre uma borda comum Há muitos anos está consolidada na prática brasileira um método de compatibilização onde o momento fletor negativo X de duas lajes adjacentes é tomado como 2 X X X 80 X 2 1 1 com X1 X2 Eq 24 Os momentos fletores positivos são corrigidos e aumentados quando for o caso conforme indicado no esquema mostrado na Figura 24 Se ocorrer diminuição do momento fletor alívio este não é considerado sendo desprezado Acrescentese que a compatibilização dos momentos positivos e negativos deve ser feita nas duas direções da laje A rigor as relações apresentadas na Eq 52 Eq 53 e Eq 54 devem ser verificadas o que configura um trabalho laborioso caso os cálculos sejam efetuados manualmente Uma opção ao procedimento da compatibilização de momentos fletores é adotar para a borda comum a maior armadura negativa que simplifica muito o cálculo e não resulta um procedimento antieconômico M 1 2 M X2 X1 X3 X2 1 X X2 M 1 X2 X3 M 2 M 3 XA B X M 2 M 1 X 1 XA 2 M X 2 X 3 B 3 X 2 X 1 2 08 X1 08 X X 2 X 2 3 3 M M Momentos fletores não compatibilizados Momentos fletores compatibilizados 3 M Figura 24 Compatibilização dos momentos fletores negativos e positivos UNESPBauruSP Lajes de Concreto 19 384 Momentos Volventes Nos cantos das lajes com bordas apoiadas surgem momentos fletores negativos que causam tração no lado superior da laje na direção da diagonal e positivos na direção perpendicular à diagonal que causam tração no lado inferior da laje Os momentos nos cantos são chamados momentos volventes ou momentos de torção e recebem a notação de Mxy Para os momentos volventes devem ser dispostas armaduras convenientemente calculadas As armaduras podem ser dispostas como mostrado na Figura 25 Ancorar com segurança Embaixo Em cima 025 x 025 x Em cima e em baixo como alternativa Figura 25 Armadura para os momentos volventes nos cantos 39 REAÇÕES DE APOIO Assim como no cálculo dos momentos fletores solicitantes e das flechas no cálculo das reações da laje nas bordas as lajes serão analisadas em função de serem armadas em uma ou em duas direções No caso das lajes armadas em uma direção as reações de apoio são provenientes do cálculo da viga suposta como visto no item 381 Considerase que as cargas na laje caminhem para as vigas nas bordas perpendiculares à direção principal da laje Nas outras vigas caso existirem podese considerar a favor da segurança uma carga referente à área do triângulo adjacente à viga como mostrado na Figura 26 Viga de borda 30 60 60 30 Direção principal y x Área do triângulo Figura 26 Carga nas vigas paralelas à direção principal da laje armada em uma direção sob carregamento uniformemente distribuído A carga linear da laje na viga em função da área do triângulo pode ser considerada como x viga 015 p V Eq 25 com Vviga carga da laje na viga kNm x menor vão da laje m UNESPBauruSP Lajes de Concreto 20 A NBR 6118 item 14761 prescreve que Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme podem ser feitas as seguintes aproximações a as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada com os critérios de 1474 sendo que essas reações podem ser de maneira aproximada consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio b quando a análise plástica não for efetuada as charneiras podem ser aproximadas por retas inclinadas a partir dos vértices com os seguintes ângulos 45 entre dois apoios do mesmo tipo 60 a partir do apoio considerado engastado se o outro for considerado simplesmente apoiado 90 a partir do apoio quando a borda vizinha for livre A Figura 27 mostra o esquema prescrito pela norma onde cada viga de apoio da laje receberá a carga que estiver nos triângulos ou trapézios a ela relacionada 45 45 45 45 30 45 45 45 45 60 60 30 Figura 27 Definição das áreas de influência de carga para cálculo das reações de apoio nas vigas de borda das lajes armadas em duas direções No Anexo estão apresentadas as Tabelas A5 a A7 com coeficientes que auxiliam o cálculo das reações de apoio para lajes armadas em duas direções com carregamento uniformemente distribuído As reações são calculadas pela equação 10 p V x Eq 26 onde V reação de apoio kNm coeficiente tabelado em função de y x onde x reação nos apoios simples perpendiculares à direção de x y reação nos apoios simples perpendiculares à direção de y x reação nos apoios engastados perpendiculares à direção de x y reação nos apoios engastados perpendiculares à direção de y p valor da carga uniforme atuante na laje kNm2 x menor vão da laje m 310 FLECHAS Assim como nas vigas o estadolimite de deformações excessivas ELSDEF definido pela NBR 6118 item 324 como o estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal dados em 133 deve ser também verificado nas lajes de concreto No item 1931 a NBR 6118 recomenda que sejam usados os critérios propostos no item 1732 considerando a possibilidade de fissuração estádio II As prescrições contidas no item 1732 tratam dos UNESPBauruSP Lajes de Concreto 21 deslocamentos flechas nas vigas de Concreto Armado o que implica que a norma recomenda que as flechas nas lajes sejam tratadas do mesmo modo como nas vigas O texto do item 1732 Estadolimite de deformação é o seguinte A verificação dos valores limites estabelecidos na Tabela 133 para a deformação da estrutura mais propriamente rotações e deslocamentos em elementos estruturais lineares analisados isoladamente e submetidos à combinação de ações conforme a Seção 11 deve ser realizada através de modelos que considerem a rigidez efetiva das seções do elemento estrutural ou seja que levem em consideração a presença da armadura a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo assim como das propriedades dos materiais principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à tração no momento de sua efetiva solicitação Em face da grande variabilidade dos parâmetros citados existe uma grande variabilidade das deformações reais Não se pode esperar portanto grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos analíticos prescritos A avaliação da flecha nas vigas e lajes é feita de maneira aproximada onde segundo o item 17321 O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço como materiais de comportamento elástico e linear de modo que as seções ao longo do elemento estrutural possam ter as deformações específicas determinadas no estádio I desde que os esforços não superem aqueles que dão início à fissuração e no estádio II em caso contrário Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs definido na Seção 8 sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência 3101 Verificação do Estádio Para o cálculo da flecha é necessário conhecer o estádio de cálculo da seção crítica considerada Segundo a NBR 6118 item 1731 Nos estadoslimites de serviço as estruturas trabalham parcialmente no estádio I e parcialmente no estádio II A separação entre esses dois comportamentos é definida pelo momento de fissuração Esse momento pode ser calculado pela seguinte expressão aproximada t c ct r y I f M Eq 27 sendo 12 para seções T ou duplo T 13 para seções I ou T invertido 15 para seções retangulares onde é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta yt é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto fct é a resistência à tração direta do concreto conforme 825 com o quantil apropriado a cada verificação particular Para determinação do momento de fissuração deve ser usado o fctkinf no estadolimite de formação de fissuras e o fctm no estadolimite de deformação excessiva ver 825 No caso da utilização de armaduras ativas deve ser considerado o efeito da protensão no cálculo do momento de fissuração Na falta de ensaios o valor médio da resistência à tração direta fctm pode ser avaliado em função da resistência característica do concreto à compressão fck por meio das expressões NBR 6118 item 825 a para concretos de classes até C50 3 2 ck ctm f 30 f Eq 28 com fctkinf 07 fctm Eq 29 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 22 fctksup 13 fctm Eq 30 b para concretos de classes C55 até C90 fctm 212 ln 1 011fck Eq 31 com fctm e fck em MPa Sendo fckj 7 MPa a Eq 28 a Eq 31 podem também ser usadas para idades diferentes de 28 dias Os valores fctkinf e fctksup são os valores mínimo e máximo para a resistência à tração direta Se o momento fletor solicitante de uma seção na laje é maior que o momento fletor de fissuração a seção está no estádio II ou seja está fissurada Neste caso devese considerar o módulo de elasticidade secante Ecs e a posição da linha neutra deve ser calculada no estádio II Por outro lado no caso do momento fletor solicitante na laje ser menor que o momento de fissuração a seção está no estádio I ou seja não está fissurada As deformações podem ser determinadas no estádio I com o momento de inércia da seção bruta de concreto Ic ver Eq 34 Para o momento fletor na laje a ser comparado com o momento fletor de fissuração deve ser considerada a combinação rara A esse respeito no item 1183 a NBR 6118 trata das combinações de serviço classificadas em quase permanentes frequentes e raras As combinações raras ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estadolimite de formação de fissuras A combinação rara de serviço conforme mostrada na Tabela 114 da NBR 6118 11832 a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor característico Fq1k e todas as demais ações variáveis são consideradas com seus valores frequentes 1 Fqk O cálculo da ação de serviço é feito segundo a equação Fdser Σ Fgik Fq1k Σ 1j Fqjk Eq 32 onde Fgk ações permanentes características 1 fator de redução de combinação frequente para ELS ver Tabela 112 da NBR 6118 Fq1k ação variável principal direta característica Fqjk demais ações variáveis características Nas lajes de construções residenciais correntes de modo geral existe apenas uma ação variável a carga acidental conforme definida pela NBR 6120 de modo que a Eq 32 fica reduzida aos dois primeiros termos 3102 Flecha Imediata A flecha imediata é aquela que ocorre quando é aplicado o primeiro carregamento na peça que não leva em conta os efeitos da fluência A NBR 6118 item 173211 prescreve que Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas podese utilizar a expressão de rigidez equivalente dada a seguir cs c II 3 a r c 3 a r cs eq E I I M M 1 I M M E EI Eq 33 onde Ic momento de inércia da seção bruta de concreto 12 b h I 3 c Eq 34 III momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II calculado com cs s e E E Eq 35 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 23 Mr momento de fissuração do elemento estrutural cujo valor deve ser reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas Ma momento fletor na seção crítica do vão considerado ou seja o momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços para a combinação de ações considerada nessa avaliação Ecs módulo de elasticidade secante do concreto O módulo de elasticidade secante pode ser obtido pelo método de ensaio da NBR 8522 ou estimado pela expressão ci i cs E E Eq 36 sendo 01 80 f 20 80 ck i Na falta de resultados de ensaios a NBR 6118 item 828 permite estimar o valor do módulo de elasticidade inicial Eci aos 28 dias segundo a expressão a para fck de 20 a 50 MPa ck E ci f 5600 E Eq 37 sendo E 12 para basalto e diabásio E 10 para granito e gnaisse E 09 para calcário E 07 para arenito b para fck de 55 a 90 MPa 3 1 ck E 3 ci 1 25 10 f 21 5 10 E Eq 38 com Eci e fck em MPa Para cálculo do momento fletor Ma deve ser considerada a combinação rara com a ação definida na Eq 32 Para o cálculo do momento de inércia no estádio II é necessário conhecer a posição da linha neutra neste estádio Como a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção homogeneizada xII tem a equação 0 x A d d A x 2 x b II s e II s e 2 II 0 A d A d b 2 x A A b 2 x s s e II s s e 2 II se As 0 a equação tornase 0 b 2 A d x b 2 A x e s II e s 2 II Eq 39 com b 1 m 100 cm no caso das lajes maciças O momento de inércia no estádio II será 2 II s e 2 II s e 2 II II 3 II II x A d d A x 2 x bx 12 b x I se As 0 a equação tornase UNESPBauruSP Lajes de Concreto 24 2 II s e 2 II II 3 II II x A d 2 x b x 12 b x I Eq 40 3103 Flecha Diferida no Tempo A flecha diferida no tempo é aquela que leva em conta o fato do carregamento atuar na estrutura ao longo do tempo causando a sua deformação lenta ou fluência Segundo a NBR 6118 item 173212 A flecha adicional diferida decorrente das cargas de longa duração em função da fluência pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator f dado pela expressão 50 1 f Eq 41 onde d b A s Eq 42 As área da armadura comprimida se existir b largura da seção transversal d altura útil coeficiente função do tempo que pode ser obtido diretamente na Tabela 3 ou ser calculado pelas expressões seguintes t t 0 Eq 43 t 068 0996 t t032 para t 70 meses Eq 44 t 2 para t 70 meses Eq 45 Tabela 3 Valores do coeficiente em função do tempo Tabela 171 da NBR 6118 Tempo t meses 0 05 1 2 3 4 5 10 20 40 70 Coeficiente t 0 054 068 084 095 104 112 136 164 189 2 sendo t tempo em meses quando se deseja o valor da flecha diferida t0 idade em meses relativa à data de aplicação da carga de longa duração No caso de parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes podese tomar para t0 o valor ponderado a seguir i i0 i 0 P P t t Eq 46 onde Pi parcelas de carga t0i idade em que se aplicou cada parcela Pi em meses O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por 1 f 3104 Flechas Máximas Admitidas As flechas máximas ou deslocamentoslimites como definidos pela NBR 6118 item 133 são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estadolimite de deformações excessivas da estrutura Os deslocamentos limites são classificados em quatro grupos básicos relacionados a seguir UNESPBauruSP Lajes de Concreto 25 a aceitabilidade sensorial o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável A limitação da flecha para prevenir essas vibrações em situações especiais de utilização deve ser realizada como estabelecido na Seção 23 b efeitos específicos os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção c efeitos em elementos não estruturais deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que apesar de não fazerem parte da estrutura estão a ela ligados d efeitos em elementos estruturais os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados incorporandoas ao modelo estrutural adotado Os valoreslimites de deslocamentos que visam proporcionar um adequado comportamento da estrutura em serviço estão apresentados na Tabela 4 Tabela 4 Valoreslimites de deslocamentos Tabela 133 da NBR 6118 Tipo de efeito Razão da limitação Exemplo Deslocamento a considerar Deslocamento limite Aceitabilidade sensorial Visual Deslocamentos visíveis em elementos estruturais Total 250 Outro Vibrações sentidas no piso Devido a cargas acidentais 350 Efeitos estruturais em serviço Superfícies que devem drenar água Coberturas e varandas Total 2501 Pavimentos que devem permanecer planos Ginásios e pistas de boliche Total 350 contra flecha2 Ocorrido após a construção do piso 600 Elementos que suportam equipamentos sensíveis Laboratórios Ocorrido após nivelamento do equipamento De acordo com recomendação do fabricante do equipamento Efeitos em elementos não estruturais Paredes Alvenaria caixilhos e revestimentos Após a construção da parede 5003 e 10 mm e 00017 rad4 Divisórias leves e caixilhos telescópicos Ocorrido após a instalação da divisória 2503 e 25 mm Movimento lateral de edifícios Provocado pela ação do vento para combinação frequente 1 030 H1700 e Hi8505 entre pavimentos6 Movimentos térmicos verticais Provocado por diferença de temperatura 4007 e 15 mm Forros Movimentos térmicos horizontais Provocado por diferença de temperatura Hi500 Revestimentos colados Ocorrido após a construção do forro 350 Revestimentos pendurados ou com juntas Deslocamento ocorrido após a construção do forro 175 Pontes rolantes Desalinhamento de trilhos Deslocamento provocado pelas ações decorrentes da frenação H400 Efeitos em elementos estruturais Afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados incorporandoos ao modelo estrutural adotado UNESPBauruSP Lajes de Concreto 26 Tabela 4 continuação 1 As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas de modo a não se ter acúmulo de água 2 Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas Entretanto a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que 350 3 O vão deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve 4 Rotação nos elementos que suportam paredes 5 H é a altura total do edifício e Hi o desnível entre dois pavimentos vizinhos 6 Este limite aplicase ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de ações horizontais Não podem ser incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares O limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de linteis conectados a duas paredes de contraventamento quando Hi representa o comprimento do lintel 7 O valor referese à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno NOTAS a Todos os valoreslimites de deslocamentos supõem elementos de vão suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movem Quando se tratar de balanços o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço b Para o caso de elementos de superfície os limites prescritos consideram que o valor é o menor vão exceto em casos de verificação de paredes e divisórias onde interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve limitandose esse valor a duas vezes o vão menor c O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes definidos na Seção 11 d Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas 3105 Flecha Imediata 31051 Laje Armada em Duas Direções Para as lajes armadas em duas direções a flecha imediata pode ser calculada com auxílio dos coeficientes constantes das Tabelas A1 a A4 ver anexo para carregamentos uniformes e triangulares Usase a equação I E p 1200 b a 4 x i Eq 47 Considerando a largura b igual a 100 cm para as lajes a Eq 47 tornase I E p 12 a 4 x i Eq 48 onde ai flecha imediata p valor do carregamento na laje considerando a combinação quase permanente x menor vão b largura unitária da laje coeficiente tabelado em função de ou ver Tabelas A1 a A4 anexas EI rigidez da laje à flexão No item 1183 a NBR 6118 trata das combinações de serviço classificadas em quase permanentes frequentes e raras As combinações quase permanentes podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estadolimite de deformações excessivas Na combinação de serviço quase permanente conforme mostrada na Tabela 114 da NBR 6118 todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase permanentes 2 Fqk O valor da ação de serviço na combinação quase permanente é dado pela equação Fdser Σ Fgik Σ 2j Fqjk Eq 49 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 27 onde Fgik ações permanentes características 2j fator de redução de combinação quase permanente para ELS ver Tabela 112 da NBR 6118 Fqjk ações variáveis características Se Ma Mr EI EIeq Se Ma Mr EI Ecs Ic Eq 50 A flecha total é obtida multiplicando a flecha imediata por 1 f at ai 1 f Eq 51 31052 Laje Armada em Uma Direção Assim como a armadura longitudinal o cálculo das flechas nas lajes armadas em uma direção se faz supondo viga com largura de um metro As equações mostradas nas Figuras 17 18 e 19 fornecem o valor da flecha imediata A flecha total é obtida multiplicando a flecha imediata por 1 f como indicada na Eq 51 311 DIMENSIONAMENTO No item 192 a NBR 6118 especifica que Na determinação dos esforços resistentes das seções de lajes submetidas a forças normais e momentos fletores devem ser usados os mesmos princípios estabelecidos nos itens 1721 a 1723 Nas regiões de apoio das lajes devem ser garantidas boas condições de dutilidade atendendose às disposições de 14643 O item 172 referese aos Elementos lineares sujeitos a solicitações normais Estadolimite último de modo que os esforços resistentes nas lajes podem ser determinados como no caso das vigas assunto já estudado O item 1464 trata da Análise linear com ou sem redistribuição e o item 14643 apresenta os Limites para redistribuição de momentos e condições de ductilidade válidos para vigas e lajes onde a norma afirma que a capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU Quanto menor for xd tanto maior será essa capacidade E para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites a xd 045 para concretos com fck 50 MPa b xd 035 para concretos com 50 fck 90 MPa Eq 52 Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões Quando for efetuada uma redistribuição reduzindose um momento fletor de M para δM em uma determinada seção transversal a profundidade da linha neutra nessa seção xd para o momento reduzido δM deve ser limitada por a xd δ 044125 para concretos com fck 50 MPa b xd δ 056125 para concretos com 50 fck 90 MPa Eq 53 O coeficiente de redistribuição deve ainda obedecer aos seguintes limites a δ 090 para estruturas de nós móveis b δ 075 para qualquer outro caso Eq 54 Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos nesta Norma desde que a estrutura seja calculada mediante o emprego de análise não linear ou de análise plástica com verificação explícita da capacidade de rotação das rótulas plásticas UNESPBauruSP Lajes de Concreto 28 A NBR 6118 item 1471 estabelece duas hipóteses básicas para a análise das placas lajes a manutenção da seção plana após a deformação em faixas suficientemente estreitas b representação dos elementos por seu plano médio Na determinação dos esforços solicitantes nas lajes deverá ser avaliada a necessidade da consideração da aplicação da alternância das sobrecargas Para estruturas de edifícios em que a carga variável seja de até 5 kNm2 e que seja no máximo igual a 50 da carga total a análise estrutural pode ser realizada sem a consideração de alternância de cargas Segundo a NBR 6118 1722 o estadolimite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios Os domínios de deformações estão apresentados na Figura 28 yd 4 3 1 d 10 A reta a s2 A d As1 h 2lim x 4a 5 0 x3lim reta b C 0 B Alongamento Encurtamento 2 cu c2 c2 c2 cu cu h Figura 28 Domínios de deformações no estadolimite último de uma seção transversal A ruptura convencional por deformação de alongamento excessiva pode ser alcançada nos seguintes domínios a reta a tração uniforme b domínio 1 tração não uniforme sem compressão c domínio 2 flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto c cu e com o máximo alongamento permitido A ruptura convencional por deformação de encurtamento do concreto comprimido pode ocorrer nos domínios a domínio 3 flexão simples seção subarmada ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço s yd b domínio 4 flexão simples seção superarmada ou composta com ruptura à compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento s yd c domínio 4a flexão composta com armaduras comprimidas d domínio 5 compressão não uniforme sem tração e reta b compressão uniforme A análise das lajes pode ser feita segundo a Análise linear com ou sem redistribuição item 1473 Análise plástica item 1474 ou Análise não linear item 1475 As análises plástica e não linear não serão apresentadas A análise linear com ou sem redistribuição Aplicase às estruturas de placas os métodos baseados na teoria da elasticidade com coeficiente de Poisson igual a 02 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 29 3111 Flexão Conhecidos os momentos fletores máximos atuantes na laje o dimensionamento à flexão normal simples pode ser feito de modo semelhante às vigas supondo faixas vigas com largura de um metro 100 cm Fazendo uso das equações com coeficientes tabelados K2 deve ser determinado o coeficiente Kc d 2 w c M d K b Eq 55 com bw 100 cm d 2 c M K 100 d Eq 56 com Md em kNcm e d em cm Com a Tabela A25 do Anexo determinamse os coeficientes βx e Ks e o domínio em que a laje está Com βx xd é determinada a posição x da linha neutra de modo a verificar os valores limites para a relação xd conforme a Eq 52 Se for efetuada uma redistribuição de momentos fletores devese também verificar os limites impostos mostrados na Eq 53 e na Eq 54 Se atendidos todos os valores limites a área de armadura em cm2m é calculada com d K M A d s s Eq 57 Na Tabela A26 encontramse o diâmetro e o espaçamento das barras para uma dada área de armadura em cm2m 3112 Força Cortante A força cortante em lajes e elementos lineares com bw 5d é verificada no item 194 da NBR 6118 A norma faz distinção entre laje sem e com armadura transversal para a força cortante 31121 Lajes sem Armadura para Força Cortante As lajes maciças ou nervuradas conforme 174112b podem prescindir de armadura transversal para resistir as forças de tração oriundas da força cortante quando a força cortante de cálculo a uma distância d da face do apoio obedecer à expressão Rd1 Sd V V Eq 58 onde VSd é a força cortante de cálculo e a força cortante máxima VRd1 é d b 015 40 21 k V w cp 1 Rd Rd1 Eq 59 onde c Sd cp A N Eq 60 NSd força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento compressão com sinal positivo Não existindo a protensão ou força normal que cause a compressão a Eq 59 tornase 2 BASTOS PSS Flexão Normal Simples Vigas BauruSP Unesp Departamento de Engenharia Civil Notas de aula Fev201578p disponível em httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto1htm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 30 d b 40 21 k V w 1 Rd Rd1 Eq 61 Rd 025 fctd Eq 62 fctd fctkinf c Eq 63 d b A w 1 s 1 não maior que 002 Eq 64 k coeficiente que tem os seguintes valores para elementos onde 50 da armadura inferior não chega até o apoio k 1 para os demais casos k 16 d não menor que 1 com d em metros onde Rd tensão resistente de cálculo do concreto à força cortante ou cisalhamento conforme a norma As1 área da armadura de tração que se estende até não menos que d bnec além da seção considerada Figura 29 com bnec definido como NBR 6118 9425 mín b ef s calc s b b nec A A Eq 65 onde 10 para barras sem gancho 07 para barras tracionadas com gancho com cobrimento no plano normal ao do gancho 3 07 quando houver barras transversais soldadas conforme o item 9422 da norma 05 quando houver barras transversais soldadas conforme o item 9422 da norma e gancho com cobrimento normal no plano normal ao do gancho 3 b comprimento de ancoragem básico mostrado na Tabela A27 e Tabela A28 NBR 6118 9424 Ascalc área da armadura calculada Asef área da armadura efetiva 100 mm 10 30 b mín b Eq 66 bw largura mínima da seção ao longo da altura útil d As 45 45 sd d Vsd 45 bnec b nec b nec d s A s A V Seção considerada Figura 29 Comprimento de ancoragem necessário para as armaduras nos apoios UNESPBauruSP Lajes de Concreto 31 31122 Lajes com Armadura para Força Cortante No caso de se projetar a laje com armadura transversal para a força cortante a NBR 6118 recomenda que sejam seguidos os critérios apresentados em 1742 que trata do dimensionamento de vigas à força cortante assunto que será estudado na disciplina Estruturas de Concreto II A tensão nos estribos deve ser NBR 6118 1942 A resistência dos estribos pode ser considerada com os seguintes valores máximos sendo permitida interpolação linear 250 MPa para lajes com espessura até 15 cm 435 MPa fywd para lajes com espessura maior que 35 cm 312 DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 3121 Armaduras Longitudinais Máximas e Mínimas Os princípios básicos para o estabelecimento de armaduras máximas e mínimas são os dados em 17351 Como as lajes armadas nas duas direções têm outros mecanismos resistentes possíveis os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação aos definidos para elementos estruturais lineares NBR 6118 19331 a armadura máxima Sobre a armadura máxima a NBR 6118 173524 diz que A soma das armaduras de tração e de compressão As As não pode ter valor maior que 4 Ac calculada na região fora da zona de emendas devendo ser garantidas as condições de ductilidade requeridas em 14643 As As 4 Ac Eq 67 b armadura mínima Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão assim como controlar a fissuração são necessários valores mínimos de armadura passiva Alternativamente estes valores mínimos podem ser calculados com base no momento mínimo conforme 173521 Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas NBR 6118 19332 Os valores mínimos para as armaduras são apresentados na Tabela 5 Os valores de mín encontramse na Tabela 6 Tabela 5 Valores mínimos para armaduras passivas aderentes Armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas Armaduras negativas s mín Armaduras negativas de bordas sem continuidade s 067mín Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções s 067mín Armadura positiva principal de lajes armadas em uma direção s mín Armadura positiva secundária de lajes armadas em uma direção ss 20 da armadura principal ss 09 cm2m s 05 mín s Asbw h Os valores de mín constam da Tabela 6 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 32 Tabela 6 Taxas mínimas mín de armadura de flexão para vigas e lajes Forma da seção Valores de mína 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Retan gular 0150 0150 0150 0164 0179 0194 0208 0211 0219 0226 0233 0239 0245 0251 0256 a Os valores de mín estabelecidos nesta Tabela pressupõem o uso de aço CA50 dh 08 c 14 e s 115 Caso esses fatores sejam diferentes mín deve ser recalculado mín AsmínAc Nos apoios de lajes que não apresentem continuidade com planos de lajes adjacentes e que tenham ligação com os elementos de apoio devese dispor de armadura negativa de borda Essa armadura deve se estender até pelo menos 015 do vão menor da laje a partir da face do apoio NBR 6118 19332 A armadura a ser especificada está indicada na Tabela 5 3122 Diâmetro Máximo Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h8 NBR 6118 201 3123 Espaçamento Máximo e Mínimo As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores NBR 6118 201 cm 20 2h Eq 68 Obs As armaduras devem ser detalhadas no projeto de forma que durante a execução seja garantido o seu posicionamento durante a concretagem Nas lajes armadas em uma ou em duas direções em que seja dispensada armadura transversal de acordo com 1941 e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença dos momentos volventes nas lajes toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios não se permitindo escalonamento desta armadura A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20 da armadura principal mantendose ainda um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal Ver a Tabela 5 A norma não especifica valores para o espaçamento mínimo A rigor podese adotar o valor recomendado para as barras de uma mesma camada horizontal das armaduras longitudinais das vigas agr máx mín h d 21 cm 2 a Eq 69 Devese considerar também que o espaçamento mínimo deve ser aquele que não dificulte a disposição e amarração das barras da armadura o completo preenchimento da peça pelo concreto e o envolvimento das barras pelo concreto De modo geral na prática adotamse espaçamentos entre barras superiores a 7 ou 8 cm A norma também não especifica o diâmetro mínimo para a armadura negativa das lajes No entanto normalmente considerase que o diâmetro deva ser de no mínimo 63 mm a fim de evitar que a barra possa se deformar durante as atividades de execução da laje Barras de diâmetros maiores ficam menos sujeitas a entortamentos além de levarem a espaçamentos maiores sobre as vigas Portanto barras com diâmetros de 8 e 10 mm são mais indicadas para a armadura negativa UNESPBauruSP Lajes de Concreto 33 3124 Bordas Livres e Aberturas As bordas livres e as faces das lajes maciças junto as aberturas devem ser adequadamente protegidas por armaduras transversais e longitudinais Os detalhes típicos sugeridos para armadura complementar mostrados na Figura 201 são indicativos e devem ser adequados em cada situação considerando a dimensão e o posicionamento das aberturas o carregamento aplicado nas lajes e a quantidade de barras que está sendo interrompida pelas aberturas NBR 6118 202 A Figura 32 mostra as indicações da norma Figura 30 Bordas livres e aberturas das lajes maciças Relativamente a aberturas que atravessam lajes na direção de sua espessura a NBR 6118 item 13252 também prescreve que Em lajes lisas ou lajescogumelo a verificação de resistência e deformação previstas em 1325 deve sempre ser realizada Lajes de outros tipos podem ser dispensadas dessa verificação quando armadas em duas direções e sendo verificadas simultaneamente as seguintes condições a as dimensões da abertura devem corresponder no máximo a 110 do vão menor x b a distância entre a face de uma abertura e o eixo teórico de apoio da laje deve ser igual ou maior que 14 do vão na direção considerada e c a distância entre faces de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade do menor vão A Figura 31 mostra as especificações da norma y 1 4 y x x y a 1 4 x a a 10 y a 10 x x x Furo Figura 31 Dimensões limites para aberturas de lajes com dispensa de verificação UNESPBauruSP Lajes de Concreto 34 3125 Comprimento da Armadura Negativa nos Apoios com Continuidade de Lajes A NBR 6118 não especifica o comprimento das barras da armadura negativa Por este motivo será adotado o critério recomendado na versão da norma NB 1 de 1978 É suposto um diagrama triangular para o momento fletor negativo sobre a borda comum às duas lajes como mostrado na Figura 32 O triângulo tem a base com comprimento 2 025x onde x é o maior vão entre os vãos menores das duas lajes 2 x 1 x x Eq 70 A armadura negativa deve estenderse o comprimento de ancoragem básico b além da seção de momento fletor nulo como indicado na Figura 32 Na Tabela A27 e Tabela A28 anexas encontramse os comprimentos de ancoragem para os aços CA50 e CA60 em função da resistência do concreto O comprimento de ancoragem deve ser considerado com gancho porque geralmente fazse a barra com ganchos nas extremidades Na Figura 32 estão mostrados três arranjos diferentes para as barras da armadura negativa O arranjo de número 1 é o mais simples porém conduz ao maior consumo de aço e os arranjos 2 e 3 são mais econômicos Na prática de modo geral o arranjo 3 tem a preferência porque as barras são idênticas variandose apenas o seu ponto de início 1 2 1 2 L1 L2 b b 025 025 As 1 2 3 x x x y y x Figura 32 Extensão da armadura negativa nos apoios com continuidade entre lajes O comprimento total para a barra negativa do arranjo 3 é ganchos b 0 25 x 51 C Eq 71 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 35 onde x vão da laje conforme definido na Eq 70 b comprimento de ancoragem básico ver Tabela A27 e Tabela A28 ganchos comprimento dos ganchos nas extremidades da barra 3126 Comprimento da Armadura Positiva A NBR 6118 201 apresenta que Nas lajes armadas em uma ou em duas direções em que seja dispensada armadura transversal de acordo com 1941 e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença dos momentos volventes nas lajes toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios não se permitindo escalonamento desta armadura A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio No caso de laje com quatro bordas engastadas onde não ocorrem momentos volventes podese fazer o detalhamento das armaduras positivas conforme indicado na Figura 33 que é um detalhamento tradicional Ou como opção e de modo a simplificar estender todas as barras até os apoios x 07 y y 07 x Figura 33 Comprimento mínimo das barras da armadura positiva em lajes com quatro bordas engastadas 3127 Armaduras Complementares Em LENHARD MÖNNIG 1982 encontramse alguns detalhes construtivos de armaduras de lajes descritos a seguir a Lajes apoiadas em uma só direção Malha construtiva contra fissuras Comprim 015 vão Figura 34 Detalhe da armadura para apoio externo UNESPBauruSP Lajes de Concreto 36 b Armadura construtiva entre laje e viga de apoio para diminuir as fissuras na ligação 02 Armadura construtiva Ex Ø 63 c 20 ou Figura 35 Armadura construtiva na ligação lajeviga c Apoio paralelo à direção do vão não considerado estaticamente Arm distribuição corrida A sy Asx 09 cm²m 02 Viga de apoio Figura 36 Armadura de distribuição positiva A A sx s x 4 x 4 x Figura 37 Armadura negativa no apoio não considerado 315 TABELAS DAS ARMADURAS Todas as armaduras positivas negativas construtivas etc devem ser convenientemente desenhadas para a sua correta execução Para maior clareza as armaduras positivas e negativas devem ser desenhadas em plantas de fôrma diferentes a fim de não sobrecarregar o desenho e causar confusões Na planta as barras são numeradas da esquerda para a direita e de cima para baixo No prancha das armaduras as barras devem ser agrupadas conforme mostrado na Tabela 7 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 37 Tabela 7 Especificação das barras Nº Quant Comprimento Unit cm Total m O consumo de aço mostrado em cada prancha de desenho é resumido como mostrado na Tabela 8 em função do diâmetro das barras e da classe do aço Tabela 8 Resumos dos aços Resumo CA50 Massa kgm Comprim total m Massa total kg TOTAL 316 CÁLCULO PRÁTICO Neste item apresentase um roteiro prático para a organização e cálculo das lajes maciças de um edifício por meio de tabelas 3161 Prédimensionamento da Altura da Laje A Tabela 9 fornece a estimativa das espessuras das lajes para fins de cálculo do peso próprio Tabela 9 Estimativa de h Laje x m y m 07 y m m n d cm h cm 3162 Cálculo das Ações Tabela 10 Ações nas lajes kNm2 Laje h cm gpp Revest forro Revest piso Paredes Perman total Variável Total 3163 Verificação das Flechas Tabela 11 Cálculo das flechas Laje Tipo x cm g kNm2 q kNm2 2 q kNm2 p g 2 q kNm2 h cm Mr kNcm Ma kNcm EI kNm2 ai cm at cm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 38 3164 Reações nas Vigas Tabela 12 Reações nas vigas kNm Laje Tipo x m p kNm2 Vx Vx Vy Vy As reações das lajes sobre as vigas devem ser colocadas num desenho esquemático da planta de fôrma da estrutura 3165 Momentos Fletores e Dimensionamento Tabela 13 Cálculo dos momentos fletores kNcm Laje Tipo x m p kNm2 Mx Mx My My Calculados os momentos estes devem ser plotados num desenho esquemático da planta de fôrma Figura 38 mx my mx my mx my mx my mx my mx my mx my my my mx mx mx mx my my my L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 Figura 38 Esquema de plotagem dos momentos fletores Em seguida fazse a compatibilização dos momentos positivos e negativos Os resultados finais dos momentos devem ser plotados num outro desenho da planta de fôrma Com os resultados dos momentos finais fazse o dimensionamento das armaduras positivas e negativas As armaduras calculadas As são plotadas junto aos momentos finais Em seguida o próximo passo é detalhar as armaduras na planta de fôrma 317 LAJE MACIÇA RETANGULAR COM UMA BORDA LIVRE As lajes maciças retangulares com uma borda livre são particularmente importantes no projeto das escadas marquises e outros casos A Figura 39 mostra as direções dos momentos principais m1 e m2 atuantes em lajes retangulares apoiadas em três lados com uma borda livre sob a ação de carga uniformemente distribuída As direções dos momentos principais dependem muito da relação yx como se pode verificar na Figura 40 Para relações entre lados yx 05 os momentos volventes Mxy também chamados momentos de torção são maiores que o momento no meio da borda livre Mr Nessas lajes portanto deve ser disposta uma armadura de canto suficiente e uma ancoragem segura contra a força que tende a levantar o canto Na borda livre a armadura inferior deve ter um espaçamento menor que no resto do vão e a borda livre deve ser protegida com uma armadura em forma de estribo conforme a Figura 43 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 39 Lajes com yx 15 podem ser consideradas como apoiadas em uma direção na região y x O anexo no final da apostila apresenta a Tabela A11 Tabela A12 Tabela A16 e Tabela A17 para cálculo dos momentos fletores em lajes com uma borda livre para alguns casos de vinculação que não abrangem todos os casos possíveis y x 05 y x x y y x 2 y x x y y x 1 Figura 39 Momentos principais nas lajes apoiadas em três lados com uma borda livre A Tabela A18 até a Tabela A23 extraídas de ROCHA 1987 e de HAHN 1966 possibilitam o cálculo das flechas e dos momentos fletores com carga uniforme e carga triangular A Tabela A24 possibilita o cálculo das reações de apoio somente para o caso de carregamento uniforme A notação para os momentos fletores é a seguinte Mx e My momentos positivos no centro nas direções x e y respectivamente Mr momento positivo no centro da borda livre na direção x Xx e Xy momentos negativos no centro da borda engastada nas direções x e y respectivamente Xr momento negativo no extremo da borda livre na direção x Mxy momento volvente nos cantos As equações a empregar estão indicadas na Tabela A18 até a Tabela A23 Os valores de P são os seguintes a carga uniforme na área P F x y Eq 72 b carga concentrada uniforme na borda livre P F1 x Eq 73 d momento T uniforme na borda livre P T Eq 74 onde F carga uniforme distribuída na área da laje kNm2 ou valor máximo da carga triangular F1 carga concentrada uniforme aplicada na borda livre kNm T momento fletor na borda livre kNm x vão paralelo à borda livre A Tabela A24 como comentado serve para cálculo das reações de apoio para carga distribuída uniforme na área da laje Em função das vinculações cada tipo de laje tem um número indicativo As UNESPBauruSP Lajes de Concreto 40 posições das reações estão indicadas nos esquemas das lajes As fórmulas também estão indicadas sendo p o valor da carga uniforme distribuída na área da laje A Figura 40 mostra a forma como se distribuem as reações notandose a existência das reações concentradas R negativas que tendem a levantar os cantos A e B y 2V 2Vx Vx x V x 2V R R Vy y V x y Figura 40 Reações da laje sobre três apoios A reação negativa nos cantos vale R 2 Mxy Eq 75 Nos cantos deve haver garantia contra o seu levantamento Se a laje estiver ligada a vigas ou se houver pilares nos cantos A e B ela estará suficientemente ancorada Em ROCHA 1987 itens 2105 e 2106 encontramse exemplos resolvidos 3171 Detalhamento das Armaduras Em LEONHARDT MÖNNIG 1982 encontramse os detalhamentos das armaduras das lajes com uma borda livre em função do tipo de vinculação nos apoios 31711 Lajes com Três Bordas Apoiadas As Figura 41 e Figura 42 ilustram as armaduras a serem dispostas nessas lajes Nos cantos da laje devem ser dimensionadas armaduras para o momento volvente Mxy Como uma alternativa para simplificar a armadura de canto pode ser feita a simplificação indicada na Figura 42 Nas bordas livres deve ser feito o detalhamento indicado na Figura 44 a a M máx y y 2 y 2 A para M sx x A para Mr sx y 04 1 Asy 2 A para M sy ymax 1 Asy 2 y x 2 h b1 L Seção aa Figura 41 Armadura de lajes retangulares com apoios simples em três lados para carga uniforme UNESPBauruSP Lajes de Concreto 41 Ancorar com segurança Embaixo Em cima 025 x 025 x Em cima e em baixo como alternativa Figura 42 Armadura para os momentos volventes nos cantos h 2h b Figura 43 Detalhe da armadura na borda livre 31712 Lajes com Três Bordas Engastadas Nesse caso são pequenos os momentos volventes nos cantos As armaduras positivas ao longo do vão Figura 44 e negativas das bordas engastadas Figura 45 são dispostas de modo semelhante ao das lajes apoiadas em todo contorno Na borda livre ambas as armaduras devem ser reforçadas conforme mostrado na Figura 43 a a b b A para M x sx A para M sx r Asy mín Armadura mínima 025 x sy A 025 y Seção bb x Asx Não é usual Seção aa 025 x Figura 44 Armadura inferior de laje retangular apoiada em três lados engastados com carga uniforme UNESPBauruSP Lajes de Concreto 42 A armadura de engastamento deve ser prolongada ao vão adjacente ou ser ancorada com segurança 12 y ey 12 f yerm ey para m f 025 025 y x 12 f ey para m f ex xere f para m x xerm Figura 45 Armadura superior de laje retangular apoiada em três lados engastados com carga uniforme 3172 Exemplo Numérico de Aplicação Considerando a laje da Figura 46 calcular os esforços solicitantes Dado F 60 kNm2 carga total uniformemente distribuída na área 45 m y 30 m x Figura 46 Dimensões e vinculações da laje RESOLUÇÃO 51 03 54 x y Da Tabela A22 para a carga 1 uniforme na área temse os coeficientes mr 225 my 130 nx 141 mx 276 nr 112 ny 193 a Cálculo dos momentos fletores 81 0 kN 54 03 06 F P y x 3 60 kNm 360 kNcm 5 22 0 81 m P M r r UNESPBauruSP Lajes de Concreto 43 2 93 kNm 293 kNcm 6 27 0 81 m P M x x 0 62 kNm 62 kNcm 130 0 81 m P M y y 7 23 kNm 723 kNcm 2 11 0 81 n P X r r 574 kNcm 5 74 kNm 1 14 0 81 n P X x x 4 20 kNm 420 kNcm 3 19 0 81 n P X y y Devido aos lados engastados o momento volvente Mxy é pequeno nesta laje e não precisa ser considerado A Figura 47 mostra os momentos fletores plotados na laje 30 m x 45 m y 420 574 723 360 62 293 Figura 47 Momentos fletores kNcm b Reações de apoio Conforme a Tabela A24 temse o caso A25 de vinculação Os coeficientes tabelados são Vx1 050 Vx2 028 Vy 022 As reações são kNm 09 0 50 03 06 pL V R x1 x x1 kNm 05 0 28 03 06 pL V R x2 x x2 kNm 95 0 22 54 06 pL V R y y y A Figura 48 apresenta as reações de apoio plotadas no desenho da laje Verificação Result 50 90 45 59 30 807 kN 810 kN Se o cálculo for feito conforme indica a NB611803 por áreas de influência os valores são Rx1 90 kN Rx2 52 kN Ry 57 kN UNESPBauruSP Lajes de Concreto 44 90 59 50 Figura 48 Reações de apoio kNm 318 EXEMPLO DE CÁLCULO DE LAJES MACIÇAS DE UMA EDIFICAÇÃO Na Figura 49 está mostrada a planta de arquitetura do apartamento de um pavimento com disposição das paredes divisórias Na Figura 50 está mostrada a planta de fôrma da estrutura do mesmo pavimento O objetivo deste exemplo é ilustrar os cálculos que devem ser feitos para o dimensionamento das lajes maciças do pavimento Escada 600 450 650 170 397 567 365 402 282 382 382 385 417 150 400 140 282 550 452 417 Sala EstarJantar Cozinha Área Serviço Quarto Banh Quarto Quarto Sala Íntima Suíte Banheiro Hall Banh Varanda Figura 49 Planta arquitetônica do pavimento Para o projeto das lajes maciças as seguintes informações devem ser consideradas UNESPBauruSP Lajes de Concreto 45 espessura média do contrapiso ou camada de regularização com 3 cm e peso específico da argamassa argcontr de 21 kNm3 espessura média do revestimento da face inferior das lajes com 2 cm e peso específico da argamassa argrev de 19 kNm3 considerado revestimento com piso cerâmico de 015 kNm2 em toda a área útil do apartamento parede de bloco cerâmico com espessura de 9 cm x 19 cm x 19 cm com peso específico alv de 13 kNm3 Todas as paredes externas com espessura final de 23 cm e todas as paredes internas com espessura final de 13 cm altura da parede de 28 m laje L1 com acesso ao público q 20 kNm2 demais lajes ver Tabela 2 da NBR 6120 concreto C25 com brita 1 de granito aços CA50 e CA60 todas as vigas com largura de 20 cm classe II de agressividade ambiental espessura mínima do cobrimento c 20 cm com c 5 mm ver Tabela 2 coeficientes de ponderação c f 14 s 115 L8 L9 L10 300 500 400 270 500 300 800 180 670 200 400 300 500 270 400 600 620 170 600 L2 L3 L1 L4 L5 L6 L7 Figura 50 Planta de fôrma simplificada da estrutura do pavimento 3181 Vãos Efetivos e Vinculação nas Bordas Para cálculo dos vãos efetivos é necessário conhecer a altura das lajes o vão livre nas duas direções e a largura das vigas de apoio Por outro lado para estimativa da altura das lajes conforme a Eq 18 é preciso conhecer os vãos efetivos das lajes Para resolver o problema será adotada uma altura comum a todas as lajes de 10 cm Considerando que a largura das vigas de apoio é de 20 cm os vãos efetivos Eq 3 e Eq 4 nas duas direções das lajes serão os vãos livres acrescidos dos valores UNESPBauruSP Lajes de Concreto 46 3 cm 10 30 h 30 10 cm 20 2 t 2 a a 1 2 1 6 cm a a 0 2 1 0 ef Os vãos efetivos de todas as lajes estão mostrados na Tabela 14 bem como a relação entre os lados e o tipo de laje Admitemse dois tipos de vínculos das lajes nas bordas apoio simples ou engaste perfeito No caso do pavimento deste exemplo todas as lajes encontramse ligadas ou apoiadas nas bordas superiores das vigas ou seja nenhuma das lajes está rebaixada de modo que as lajes podem ser consideradas contínuas umas com as outras Os vínculos nas bordas e o tipo de laje para as dez lajes do pavimento estão mostrados na Figura 51 A laje L1 em balanço está engastada na laje L2 L1 L2 tipo 3 n 2 L3 tipo 3 n 2 L4 L5 Laje armada em 1 direção n 2 L6 tipo 6 n 4 tipo 6 n 4 L7 tipo 5A n 3 L8 tipo 5A n 3 L9 tipo 5B n 3 L10 tipo 3 n 2 Figura 51 Vínculos das lajes nas vigas de borda Tabela 14 Vãos efetivos das lajes Laje x cm y cm Tipo Observação L1 163 600 368 laje armada em uma direção L2 586 606 103 3 L3 586 656 112 3 L4 286 786 275 laje armada em uma direção L5 486 486 100 6 L6 256 486 190 6 L7 386 486 126 5A L8 286 486 170 5A L9 256 286 112 5B L10 286 386 135 3 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 47 3182 PréDimensionamento da Altura das Lajes A Tabela 15 facilita os cálculos a serem feitos A estimativa da altura das lajes pode ser feita com a Eq 18 n 10 52 d As alturas das lajes foram calculadas fazendo h d c 2 d 20 102 d 25 cm O valor resultante foi arredondado para o inteiro mais próximo Para laje de piso não em balanço a altura mínima é de 8 cm Por se tratar de laje em balanço a laje L1 não tem a altura estimada pela Eq 18 a sua altura será adotada igual a 10 cm que é a altura mínima especificada pela NBR 6118 para laje de piso em balanço Tabela 15 Prédimensionamento da altura das lajes Laje x cm y cm 07 y cm m n d cm hd cm L2a 586 606 103 424 424 2b 98 12 L3 586 656 112 459 459 2 106 13 L4 286 786 275 550 286 2 66 9 L5 486 486 100 340 340 4 71 10 L6 256 486 190 340 256 4 54 8 L7 386 486 126 340 340 3 75 10 L8 286 486 170 340 286 3 63 9 L9 256 286 112 200 200 3 44 8c L10 286 386 135 270 270 2 62 9 NOTAS a a laje L2 foi simplificada e considerada com forma retangular sem o hall de entrada ao lado da escada Assim pode ser feito porque o hall tem uma área muito pequena se comparada à área restante da laje b não ocorre continuidade da laje L2 com a escada de modo que o número de bordas engastadas n é 2 como mostrado na Figura 51 E a laje L2 não pode ser considerada engastada na laje L1 porque esta laje está em balanço A laje L1 deve estar engastada em um elemento e no caso está engastada na laje L2 o que é possível porque existe continuidade entre as duas lajes ou seja ambas tem a face superior no mesmo nível c para a laje L9 a altura resultou 7 cm no entanto foi adotada a altura mínima especificada pela norma de 8 cm d após ser feita a determinação das alturas das lajes devese analisar os resultados visando uniformizar as alturas para simplificar o cálculo e a execução No exemplo a laje L3 poderia ser considerada com altura igual à da laje L2 de 12 cm ou a laje L2 ser feita com 13 cm como a laje L3 As demais lajes L4 a L10 poderiam ter uma altura única uniformizada como 9 ou 10 cm As flechas resultantes e as quantidades de armadura das lajes mostrarão se a altura adotada foi suficiente e no caso de não ser a altura de uma laje específica poder ser alterada 3183 Cálculo das Ações Atuantes O cálculo das ações atuantes nas lajes fica facilitado com o auxílio da Tabela 16 Para o carregamento total nas lajes devem ser consideradas todas as ações possíveis como peso próprio revestimento do lado inferior da laje contrapiso argamassa de regularização sobre a laje paredes ações variáveis e todas as demais porventura existentes Tabela 16 Ações nas lajes kNm2 Laje h cm Peso próprio Revest inferior Piso1 Parede6 gpar Perman total gtot Variável5 q Total p gtot q L1 11 275 038 078 0173 408 20 608 L2 12 300 038 078 021 437 15 587 L3 13 325 038 078 067 508 15 658 L4 9 225 038 078 341 202 541 165 506 202 706 L5 10 250 038 078 174 540 15 690 L6 8 200 038 078 158 474 15 624 L7 10 250 038 078 097 463 15 613 L8 9 225 038 078 097 438 15 588 L9 8 200 038 078 370 686 15 836 L10 9 225 038 078 341 15 491 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 48 Observações 1 contrapiso e piso gcontr piso 003 21 015 078 kNm2 onde econtr 3 cm argcontr 21 kNm3 e piso final com 015 kNm3 2 a laje L4 compõe a cozinha e a área de serviço com ações variáveis de 15 kNm2 e 20 kNm2 respectivamente Como uma simplificação a favor da segurança foi adotado o valor de 20 kNm2 para toda a área da laje 3 a laje em balanço L1 tem um gradil de parapeito ao longo de usas bordas livres com carga adotada neste caso de 50 kgfm 05 kNm A carga do gradil apoiado sobre as duas bordas livres menores pode ser somada à carga total por m2 de área da laje com valor de 2 05 163 1163 60 017 kNm2 A carga do gradil apoiado sobre a borda livre maior deve ser computada como força concentrada na extremidade livre da viga que representa a laje juntamente com a carga uniformemente distribuída vertical de 20 kNm conforme item 2215 da NBR 6120 ver Figura 53 4 a laje L4 foi dividida em duas regiões uma com carga de parede e outra sem carga de parede 5 a carga variável é também chamada carga acidental ou sobrecarga 6 os cálculos das cargas das paredes sobre as lajes estão mostrados a seguir A Figura 52 mostra a planta arquitetônica sobreposta à planta de fôrma da estrutura o que auxilia na visualização e no cálculo da carga das paredes sobre as lajes 567 Escada L8 L9 L10 300 500 800 180 670 200 400 500 270 400 600 620 170 600 L2 L3 L1 L4 L5 L6 L7 Figura 52 Paredes sobrepostas na planta de fôrma da estrutura A equação básica para cálculo as cargas das paredes sobre as lajes é laje alv par A e h g onde alv peso específico da parede de alvenaria e espessura da parede h altura da parede comprimento total de parede Alaje área da laje considerando os vãos efetivos UNESPBauruSP Lajes de Concreto 49 a Laje L2 0 21 06 5 86 6 13 013 2 80 0 90 gpar kNm2 b Laje L3 0 67 56 5 86 6 13 013 2 80 5 45 gpar kNm2 c Região da parede da Laje L4 conforme a Eq 12 65 1 2 86 2 3 13 013 2 80 190 g 2 par kNm2 d Laje L5 174 86 4 86 4 13 013 2 80 8 70 gpar kNm2 e Laje L6 158 56 4 86 2 13 013 2 80 415 gpar kNm2 f Laje L7 0 97 86 4 86 3 13 013 2 80 3 86 gpar kNm2 g Laje L8 0 97 86 4 86 2 13 013 2 80 2 86 gpar kNm2 h Laje L9 3 70 56 2 86 2 13 013 2 80 5 72 gpar kNm2 3184 Reações de Apoio nas Vigas de Borda As reações de apoio das lajes armadas em duas direções nas vigas de borda estão calculadas e mostradas na Tabela 17 O cálculo das reações foi feito com aplicação da Eq 26 para as lajes armadas em duas direções Tabela 17 Reações de apoio nas vigas de borda das lajes armadas em duas direções kNm Laje Tipo x m p kNm2 x x y y Vx Vx Vy Vy L2 3 586 103 587 227 332 217 317 781 1142 746 1090 L3 3 586 112 658 236 346 217 317 910 1334 837 1222 L5 6 486 100 69 250 250 838 838 L6 6 256 190 624 368 250 588 399 L7 5A 386 126 613 213 313 317 504 741 750 L8 5A 286 170 588 272 398 317 457 669 533 L9 5B 256 112 811 321 171 250 666 355 519 L10 3 286 135 491 273 399 217 317 383 560 305 445 No caso das lajes armadas em uma direção L1 e L4 as reações de apoio devem ser calculadas supondo as lajes com vigas segundo a direção do vão principal As reações de apoio nas lajes LI e L4 estão mostradas na UNESPBauruSP Lajes de Concreto 50 Figura 53 Figura 54 e Figura 55 A laje L1 está em balanço e como já comentado em sua extremidade livre deve ser considerada uma carga linear vertical de 2 kNm NBR 6120 item 2215 como mostrado na Figura 53 A carga vertical total distribuída na área da laje é de 633 kNm2 conforme indicado na Tabela 16 163 1215 1241 Vk 25 kNm M k kN 608 kNm 25 kN 05 kNm gradil L1 600 163 20 05 kNm Figura 53 Esquema estático carregamento e esforços solicitantes característicos na laje L1 A laje L4 deve ser dividida em três regiões sendo duas sem carga de parede I e outra com carga de parede II O posicionamento e o comprimento da parede estão indicados na Figura 54 Observase que o trecho correspondente à porta não foi considerado com carga Considerando o carregamento total nas regiões I e II da laje conforme mostrado na Tabela 16 os esforços solicitantes na laje L4 nas regiões I e II estão indicados nas Figura 55 e Figura 56 A região II tem a largura determinada como 191 3 2 86 2 3 2 x m 286 m 406 380 285 191 310 786 m I II I 541 KNm 286 m 311 553 M k KNm 967 Vk KN 580 Figura 54 Divisão da laje L4 em regiões com carga de parede e sem carga de parede Figura 55 Esquema estático carregamento e esforços solicitantes na região I da laje L4 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 51 kNm 411 731 M k 286 m 706 kNm 767 1278 Vk kN Figura 56 Esquema estático carregamento e esforços solicitantes na região II da laje L4 As reações de apoio das lajes do pavimento devem ser indicadas num desenho esquemático da planta de fôrma da estrutura como mostrado na Figura 57 L6 L3 285 191 310 1241 781 746 x 1090 1222 1142 838 x 910 837 1334 399 750 580 767 580 967 1278 967 838 838 838 588 588 399 x 741 504 750 519 355 L9 666 666 x x x x 669 457 533 533 445 305 560 383 L8 L4 L5 L2 L1 L10 L7 Figura 57 Reações de apoio características kNm das lajes nas vigas de borda 3185 Momentos Fletores e Dimensionamento das Armaduras Longitudinais de Flexão Os momentos fletores solicitantes nas lajes armadas em duas direções podem ser facilmente calculados com auxílio de uma planilha eletrônica Os momentos fletores das lajes armadas em duas direções foram calculados conforme a Eq 23 e encontramse mostrados na Tabela 18 No caso de lajes armadas em uma direção como as lajes L1 e L4 os cálculos devem ser feitos separadamente em função do esquema estático e do carregamento nessas lajes como exemplificado na Figura 53 à Figura 56 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 52 Tabela 18 Momentos fletores solicitantes característicos nas lajes armadas em duas direções kNmm Laje Tipo x m p kNm2 x x y y Mx Mx My My L2 3 586 103 587 294 743 268 718 593 1498 540 1447 L3 3 586 112 658 319 787 267 736 721 1778 603 1663 L5 6 486 100 69 202 515 202 515 329 839 329 839 L6 6 256 190 624 399 824 101 572 163 337 041 234 L7 5A 386 126 613 323 881 264 736 295 805 241 672 L8 5A 286 170 588 484 1034 222 810 233 497 107 390 L9 5B 256 112 811 287 676 191 565 153 359 102 300 L10 3 286 135 491 424 965 245 788 170 388 098 316 Os momentos fletores característicos estão plotados na Figura 58 conforme os valores contidos na Tabela 18 A plotagem dos momentos fletores nas lajes deve ser feita com muito cuidado para evitar erros no posicionamento dos momentos fletores e consequentemente erros de posicionamento das armaduras A Figura 58 mostra que a laje L2 não está engastada na laje em balanço L1 Em cada laje está indicada a direção x não necessariamente na horizontal e sim segundo a direção do vão x menor vão 329 x 337 805 388 672 359 316 390 359 839 337 553 839 839 390 311 411 311 603 721 x 540 593 x 1778 1663 1778 1215 1498 1447 672 839 839 497 234 300 234 731 553 191 310 285 L10 h 9 cm L9 h 8 cm L8 h 9 cm L7 h 10 cm L6 h 8 cm L5 h 10 cm L4 h 9 cm L3 h 13 cm L2 h 12 cm L1 h 11 cm x x 233 107 x 102 153 x 170 98 241 295 163 x 41 329 Figura 58 Momentos fletores característicos Mk kNcmm Conforme os valores constantes na Tabela 2 e classe de agressividade ambiental II com c de 5 mm para cálculo das armaduras positivas foi considerado o cobrimento nominal de 20 cm e para as armaduras negativas o cobrimento nominal foi reduzido para 15 cm de acordo com a possibilidade apresentada na nota 1 da Tabela 2 Considerando armadura composta por barras com diâmetro de 10 mm e que d h c 2 a altura útil d é d h 25 cm para os momentos fletores positivos UNESPBauruSP Lajes de Concreto 53 d h 20 cm para os momentos fletores negativos De acordo com a Tabela 5 a armadura mínima negativa para lajes armadas em uma ou duas direções e positiva para lajes armadas em uma direção deve ter s mín Para o concreto C25 a taxa de armadura mínima Tabela 6 é h b A w s mín 015 Fazendo bw 100 cm a armadura mínima resulta Asmín 015h cm2m para h em centímetro Para as lajes armadas em duas direções a armadura mínima positiva deve ser multiplicada pelo fator 067 tal que Asmín 067 015h 010h cm2m para h em centímetro Na Figura 59 estão plotados os momentos fletores e as respectivas áreas de armadura já considerando os valores de armadura mínima Todos os cálculos de armadura resultaram o domínio 2 e a relação xd 045 ver Eq 52 foi atendida em todos os casos Os momentos fletores determinados com a Eq 23 para as lajes armadas em duas direções são relativos a faixas de largura de 1 m 100 cm de modo que devese considerar bw 100 cm Como opção ao procedimento de compatibilização de momentos fletores conforme mostrado na Eq 24 foi considerada a maior armadura negativa entre as bordas comuns a duas lajes contíguas conforme previsto na NBR 6118 Por exemplo entre as lajes L2 e L3 existem os momentos fletores de 1447 kNcmm e 1663 kNcmm e considerando a altura útil de cada laje d h 2 com f 14 as áreas de armadura resultam L2 94 1447 41 10 100 M d b K 2 d 2 w c e na Tabela A25 Ks 0025 domínio 2 βx xd 018 045 ok 5 07 10 0 025 41 1447 d K M A d s s cm2m 015h 015 12 180 cm2m ok L3 25 1663 41 11 100 M d b K 2 d 2 w c e na Tabela A25 Ks 0025 domínio 2 βx xd 017 045 ok 5 30 11 0 025 41 1663 d K M A d s s cm2m 015h 015 13 195 cm2m ok Das duas armaduras negativas calculadas deve ser adotada a maior a qual será disposta ao longo da borda comum às duas lajes Os detalhamentos das armaduras positivas e negativas estão apresentados na Figura 60 e Figura 61 Para a laje L1 com altura de 11 cm e altura útil de 9 cm a armadura negativa é 84 1215 41 9 100 M d b K 2 d 2 w c e na Tabela A25 Ks 0025 domínio 2 βx xd 018 045 ok 4 73 9 0 025 41 1215 d K M A d s s cm2m 015h 015 11 165 cm2m ok UNESPBauruSP Lajes de Concreto 54 285 310 191 553 265 731 365 234 131 300 168 234 131 497 239 839 367 839 367 672 282 1447 507 1498 524 1215 473 1778 566 1663 530 1778 566 x 593 210 540 191 x 721 231 603 193 311 411 311 390 187 839 367 839 367 553 265 337 189 839 367 359 201 390 187 316 152 359 201 672 282 388 186 805 352 337 189 x 329 148 329 148 41 080 x 163 295 132 241 103 98 090 170 090 x 153 102 080 x 107 233 120 x x L1 h 11 cm L2 h 12 cm L3 h 13 cm L4 h 9 cm L5 h 10 cm L6 h 8 cm L7 h 10 cm L8 h 9 cm L9 h 8 cm L10 h 9 cm 090 099 161 212 161 093 Figura 59 Momentos fletores kNcmm característicos e áreas de armadura de flexão cm2m 3186 Verificação das Flechas Na Tabela 19 encontramse os valores calculados para a flecha total das lajes As flechas nas lajes armadas em duas direções foram calculadas com auxílio do coeficiente encontrado na Tabela A1 até a Tabela A4 e por meio da Eq 48 Já nas lajes armadas em uma direção L1 e L4 as flechas foram calculadas com as equações contidas na Figura 17 Figura 18 e Figura 19 supondo as lajes como vigas na direção do menor vão As variáveis contidas na Tabela 19 indicam g carregamento permanente total na laje q ação variável carga acidental 2 fator de redução de combinação quase permanente para o estadolimite de serviço adotado igual a 03 ou 04 p g 2q carregamento total na laje considerando o carregamento permanente acrescido do carregamento variável corrigido pelo fator de redução para combinação quase permanente Mr momento fletor de fissuração da laje Ma momento fletor na laje com carregamento correspondente à combinação rara coeficiente tabelado encontrado na Tabela A1 a Tabela A4 EI rigidez à flexão da laje ai flecha imediata at flecha total na laje considerando a fluência do concreto A fim de facilitar o entendimento dos cálculos feitos com auxílio de uma planilha eletrônica mostrados na Tabela 19 os cálculos das flechas nas lajes L1 L2 e L4 estão demonstrados na sequência UNESPBauruSP Lajes de Concreto 55 Tabela 19 Flecha imediata ai e total at nas lajes Laje Tipo x cm g kNm2 q kNm2 2 q2 kNm2 p g 2 q h cm Mr kNcm Ma kNcm EI kNcm2 ai cm at cm L11 163 408 20 080 488 11 776 889 20039262 025 058 L2 3 586 103 437 15 045 482 12 923 593 272 34675200 037 086 L3 3 586 112 508 15 045 553 13 1083 721 296 44086467 036 085 L4 286 506 20 060 566 9 519 411 14628600 014 032 L5 6 486 100 54 15 045 585 10 641 329 149 20066667 020 047 L6 6 256 190 474 15 045 519 8 410 163 290 10274133 005 012 L7 5A 386 126 463 15 045 508 10 641 295 300 20066667 014 033 L8 5A 286 170 438 15 045 483 9 519 233 459 14628600 008 020 L9 5B 256 112 661 15 045 706 8 314 153 208 10274133 005 012 L10 3 286 135 341 15 045 386 9 519 170 399 14628600 006 014 Notas 1 Existe também carga de gradil de parapeito na borda da extremidade livre da laje 2 2 foi adotado como 04 locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo ou de elevada concentração de pessoas como edifícios comerciais de escritórios estações e edifícios públicos 31861 Flecha na Laje L2 A laje L2 com 103 é uma laje armada em duas direções A altura da laje h é 12 cm o menor vão x é de 586 cm o carregamento total permanente g é de 437 kNm2 a ação variável carga acidental é de 15 kNm2 O momento fletor de fissuração que é aquele correspondente ao surgimento da primeira fissura na laje pode ser calculado com a Eq 27 t c ct r y I f M A resistência do concreto à tração direta fct pode ser considerada com o valor médio adotandose o valor fornecido na NBR 6118 Eq 28 que possibilita determinar a resistência média à tração direta em função da resistência característica do concreto à compressão 2 565 25 30 f 30 f f 3 2 3 2 ck ctm ct MPa 02565 kNcm2 Momento de inércia da laje considerando seção homogênea não fissurada Eq 34 14400 12 12 100 12 b h I 3 3 c cm4 O fator é 15 para seção retangular A distância yt entre o centro de gravidade da seção e a fibra mais tracionada é igual a h2 923 4 6 51 0 2565 14400 Mr kNcm O momento fletor atuante na laje correspondente à combinação rara de serviço é Eq 32 Fdser Σ Fgik Fq1k Σ 1j Fqjk A laje L2 tem apenas uma ação variável importante que deve ser considerada que é a carga acidental de 15 kNm2 de modo que Fdser coincide com o carregamento total na laje mostrado na Tabela 16 de 587 kNm2 Para esse carregamento os momentos fletores positivos na área interna da laje resultaram 593 e 540 kNcm mostrados na Figura 58 Portanto para Ma devese considerar o maior valor 593 kNcm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 56 Observase que Ma 593 kNcm é menor que o momento fletor de fissuração Mr 9234 kNcm o que significa que a laje L2 não estará fissurada quando submetida ao carregamento total de 587 kNm2 isto é a laje estará no estádio I em serviço como comumente ocorre com as lajes maciças dimensionadas segundo a Teoria das Placas A flecha imediata na laje armada em duas direções pode ser calculada pela Eq 48 I E p 12 a 4 x i Com a Tabela A1 anexa determinase o fator 272 para laje do tipo 3 e carregamento uniformemente distribuído na área da laje O módulo de elasticidade secante do concreto para brita de granito E 10 é ck E i ci i cs f 5600 E E 24080 25 0 86 01 5600 MPa 0 86 80 25 20 80 80 f 20 80 ck i que multiplicado pelo momento de inércia fornece a rigidez à flexão da laje 34675200 12 100 12 2408 0 EI 3 kNcm2 Para o carregamento p deve ser adotada a combinação quase permanente dada pela Eq 49 O fator de redução de carga 2 para combinação quase permanente pode ser adotado igual a 03 locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo nem de elevadas concentrações de pessoas edifícios residenciais Fdser Σ Fgik Σ 2j Fqjk 437 03 15 482 kNm2 A flecha imediata na laje será 0 37 34675200 000482 586 0 12 2 72 a 4 i cm A flecha total que leva em conta a fluência do concreto da laje é dada pela Eq 51 at ai 1 f O fator f é dado pela Eq 41 como 50 1 f onde é igual a zero porque na laje em questão não existe armadura comprimida As armadura superior na área do centro da laje Basta portanto determinar que é dado pela Eq 43 t t 0 t será adotado igual a 200 para o tempo t superior a 70 meses Eq 45 Assumindo que a carga de longa duração atuará na laje a partir de um mês após executada valor conservador neste caso na Tabela 3 encontrase t0 068 Resulta para o valor 132 0 68 2 00 A flecha total na laje será at 037 1 132 086 cm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 57 Para a flecha máxima permitida na laje L2 conforme a Tabela 4 podese considerar a Aceitabilidade sensorial deslocamentos visíveis em elementos estruturais onde o valor limite é 250 586250 234 cm Quanto à possibilidade de vibração devido a cargas acidentais o limite é 350 586350 167 cm Como não existe parede apoiada na laje L2 a flecha máxima para este caso não necessita ser considerada A flecha resultante de 086 cm é menor que as flechas máximas permitidas o que significa que a laje L2 poderia ter uma altura um pouco menor como 11 cm Porém devese evitar a ocorrência de flechas elevadas visando impedir o surgimento de vibrações indesejáveis que prejudicam o conforto dos usuários 31862 Flecha na Laje L1 A laje L1 é uma laje em balanço engastada na laje L2 e deve ser calculada como uma viga em balanço A altura especificada para a laje é 11 cm vão x de 163 cm carregamento total permanente g de 408 kNm2 e ação variável carga acidental de 20 kNm2 O momento fletor de fissuração é Eq 27 t c ct r y I f M O momento de inércia da seção bruta sem considerar as armaduras de aço considerando uma faixa de 100 cm é 12 100 11 I 3 c 11092 cm4 O fator é 15 para seções retangulares A distância yt entre o centro de gravidade da seção e a fibra mais tracionada é igual a h2 776 55 51 0 2565 11092 Mr kNcm O momento fletor atuante na laje correspondente à combinação rara de serviço é Eq 32 Fdser Σ Fgik Fq1k Σ 1j Fqjk A laje L1 tem apenas uma ação variável importante que é a carga acidental de 20 kNm2 de modo que Fdser coincide com o carregamento total na laje mostrado na Tabela 16 de 608 kNm2 A carga vertical de 20 kNm prevista de ser aplicada na extremidade livre da laje conforme NBR 6120 Figura 53 não necessita ser considerada na verificação da flecha Para o carregamento total na área da laje e também a carga do gradil na borda livre da laje 05 kNm o momento fletor na seção de engastamento da laje resulta 8 89 1 63 50 2 6 08 1 63 M M 2 a kNm Observase que Ma 889 kNcm é maior que o momento fletor de fissuração Mr 776 kNcm o que significa que a laje L1 estará fissurada quando submetida ao carregamento total de 608 kNm2 isto é na seção de engaste a laje estará no estádio II em serviço Portanto conforme a Eq 50 deve ser considerada a rigidez equivalente dada pela Eq 33 cs c II 3 a r c 3 a r cs eq E I I M M 1 I M M E EI Para cálculo de EIeq vários valores devem ser calculados A razão modular entre os módulos de elasticidade dos materiais Eq 35 com o módulo de elasticidade secante do concreto de 24080 MPa conforme já calculado para a laje L2 é UNESPBauruSP Lajes de Concreto 58 cs s e E E 2408 21000 872 Desprezando a armadura construtiva inferior da laje As 0 com a Eq 39 calculase a posição da linha neutra no estádio II xII considerando a altura útil d de 9 cm e a área de armadura negativa da laje composta por 8 mm c8 cm 625 cm2 ver Figura 61 o que atende com folga à área de armadura calculada de 473 cm2m 0 b 2 A d x b 2 A x e s II e s 2 II 0 100 2 6 259 8 72 x 100 2 6 25 8 72 x II 2 II xII 254 cm O momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II conforme a Eq 40 é 2 II s e 2 II II 3 II II x A d 2 x b x 12 b x I 2 2 3 II 2 54 8 72 6 25 9 2 2 54 100 2 54 12 100 2 54 I 2821 cm4 A rigidez equivalente será 2821 889 776 1 11092 889 776 2408 EI 3 3 eq 20039262 kNcm2 EIeq 20039262 kNcm2 Ecs Ic 2408 11092 26709536 kNcm2 ok A flecha imediata na laje em balanço pode ser calculada pelas equações clássicas I E P 3 1 I E p 8 1 a 3 x 4 x i Para a carga uniformemente distribuída p deve ser adotada a combinação quase permanente dada pela Eq 49 O fator de redução de carga 2 para combinação quase permanente por questão de segurança neste caso pode ser adotado igual a 04 locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo ou de elevada concentração de pessoas edifícios comerciais de escritórios estações e edifícios públicos Fdser Σ Fgik Σ 2j Fqjk 408 04 20 488 kNm2 Esta carga juntamente com a carga do gradil P deve ser multiplicada pela largura da viga considerada de 1 m o que leva aos valores de 488 kNm e 05 kN A flecha imediata na laje será 20039262 163 50 3 1 20039262 0488 163 0 8 1 a 3 4 i 025 cm A flecha total que leva em conta a fluência do concreto da laje considerando o valor já calculado para f de 132 é at ai 1 f 025 1 132 058 cm Para a flecha máxima permitida conforme a Tabela 4 podese considerar UNESPBauruSP Lajes de Concreto 59 a aceitabilidade sensorial 250 2 163250 130 cm o vão deve ser multiplicado por dois quando se tratar de balanço ver nota a da Tabela 4 b vibração devido a cargas acidentais 350 2 163350 093 cm Como não existe parede apoiada na laje L1 a flecha máxima para este caso não necessita ser considerada A flecha resultante de 058 cm é menor que a menor flecha máxima permitida 093 cm o que significa que a laje L1 tem altura adequada 11 cm 31863 Flecha na Laje L4 A laje L4 é uma laje armada em uma direção e deve ser calculada como uma viga segundo a direção principal x no trecho com parede A altura da laje é 9 cm o vão x é 286 cm o carregamento total permanente g no trecho com parede é 506 kNm2 e a ação variável carga acidental é 20 kNm2 O momento fletor de fissuração calculado de forma análoga aos dois itens anteriores é 519 kNcm e o momento fletor atuante Ma é 411 kNcm o que significa que a laje está no estádio I em serviço não fissurada Neste caso pode ser considerado o momento de inércia da seção bruta de concreto O momento de inércia da seção bruta sem armadura é 12 100 9 I 3 c 6075 cm4 A rigidez da laje à flexão é Ecs Ic 2408 6075 14628600 cm4 A flecha imediata na laje em balanço pode ser calculada pela equação mostrada na Figura 18 vínculos engaste apoio simples I E p 185 1 a 4 x i Para a carga p deve ser adotada a combinação quase permanente Eq 49 O fator de redução de carga 2 para combinação quase permanente pode ser adotado igual a 03 locais em que não há predominância de pesos de equipamentos fixos nem de concentração de pessoas edifícios residenciais Fdser Σ Fgik Σ 2j Fqjk 506 03 20 566 kNm2 A flecha imediata na laje será 14628600 0566 286 0 185 1 a 4 i 014 cm A flecha total que leva em consideração a fluência do concreto e com o valor já calculado para f de 132 é at ai 1 f 014 1 132 032 cm A flecha limite neste caso como a laje tem carga de parede conforme a Tabela 4 pode ser considerada como 500 com o vão na direção da parede que coincide com o vão principal 500 286500 057 cm A flecha calculada de 032 cm é menor que a flecha limite 057 cm Caso resultasse o contrário a altura da laje deveria ser aumentada Considerando a existência ou não de paredes sobre as lajes ver Figura 52 as flechas limites da NBR 6118 Tabela 4 e a flecha total ver a Tabela 19 para as demais lajes resulta UNESPBauruSP Lajes de Concreto 60 L3 amáx 500 656500 131 cm at 085 cm at amáx L5 amáx 500 486500 097 cm at 047 cm at amáx L6 amáx 500 486500 097 cm at 012 cm at amáx L7 amáx 500 386500 077 cm at 033 cm at amáx L8 amáx 500 286500 057 cm at 020 cm at amáx L9 amáx 500 286500 057 cm at 012 cm at amáx L10 amáx 250 286250 114 cm at 014 cm at amáx Verificase que todas as flechas calculadas resultaram menores que as máximas permitidas Caso alguma laje apresentasse flecha maior que a flecha limite a sua altura deveria ser aumentada 3187 Verificação da Força Cortante Raramente as lajes maciças de edifícios residenciais necessitam de armadura transversal para resistir às forças cortantes A título de exemplo serão verificadas as lajes L1 e L4 a Laje L1 A laje é em balanço e tem reação de apoio força cortante na laje característica de 1241 kNm Para não ser necessária a armadura transversal devese ter Eq 58 VSd VRd1 VSd f Vk 14 1241 174 kNm A força cortante máxima que pode ser resistida VRd1 é Eq 61 d b 40 21 k V w 1 Rd Rd1 Rd 025fctd fctkinf c 0 3206 41 25 30 70 25 0 3 2 MPa 003206 kNcm2 A área de armadura negativa especificada para a laje L1 é 8 mm c8 cm o que representa 625 cm2 e altura útil da armadura negativa é d h 2 11 2 9 cm Com bw 100 cm d b A w 1 s 1 002 0 0069 9 100 25 6 1 002 ok Considerando que 100 da armadura negativa principal chega até a viga de apoio k 16 d 16 009 151 1 ok VRd1 é 40 0 0069 100 9 21 0 03206 151 V Rd1 643 kNm Portanto VSd 174 kNm VRd1 643 kNm o que significa que não é necessário dispor armadura transversal na laje L1 a Laje L4 Será considerado o trecho que tem a parede apoiada na laje com a maior reação de apoio característica de 1278 kNm Para não ser necessária a armadura transversal devese ter Eq 58 VSd VRd1 VSd f Vk 14 1278 179 kNm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 61 A força cortante máxima que pode ser resistida VRd1 é Eq 61 d b 40 21 k V w 1 Rd Rd1 Rd 025fctd fctkinf c 03206 MPa 003206 kNcm2 A área de armadura positiva especificada para a laje L4 no trecho da parede é 5 mm c9 cm o que representa 222 cm2 e altura útil da armadura positiva é d h 25 9 25 65 cm Com bw 100 cm d b A w 1 s 1 002 0 0034 56 100 22 2 1 002 ok Considerando que 100 da armadura positiva chega até a viga de apoio k 16 d 16 0065 1535 1 ok VRd1 é 56 40 0 0034 100 21 0 03206 1535 V Rd1 427 kNm Portanto VSd 179 kNm VRd1 427 kNm o que significa que não é necessário colocar armadura transversal na laje L4 Nas demais lajes também não é necessário colocar estribos como armadura transversal 3188 Detalhamentos das Armaduras Longitudinais de Flexão A Figura 60 e a Figura 61 mostram o detalhamento das armaduras longitudinais das lajes positivas e negativas Os critérios aplicados para determinação do comprimento das barras foram apresentados nos itens 3125 e 3126 Os espaçamentos das barras devem obedecer aos valores mostrados na Eq 68 s 2h e s 20 cm A norma não especifica um espaçamento mínimo para as barras de armaduras de lajes maciças mas podese indicar por motivos construtivos um espaçamento mínimo de 8 cm para a armadura negativa e um valor um pouco inferior para a armadura positiva O ideal muitas vezes é que o espaçamento de ambas armaduras fique entre 8 e 20 nas lajes correntes As áreas de armadura calculadas e plotadas na Figura 59 estão de acordo com as armaduras mínimas para as lajes apresentadas na Tabela 5 A armadura secundária ou de distribuição da laje L4 foi determinada segundo a área mínima indicada na Tabela 5 Na laje L1 foi disposta uma armadura inferior construtiva barras N13 A escolha do diâmetro e espaçamento das barras positivas e negativas pode ser feita com auxílio da Tabela A26 em função das áreas de armadura apresentadas na Figura 59 Exemplos a armaduras positivas da laje L3 193 e 231 cm2m 193 cm2m 63 mm c16 197 cm2m ou 5 mm c10 200 cm2m 231 cm2m 63 mm c13 242 cm2m ou 5 mm c8 250 cm2m b armadura negativa de 530 cm2m da laje L3 530 cm2m 8 mm c9 556 cm2m ou 10 mm c15 533 cm2m c armadura negativa de 367 cm2m da laje L5 367 cm2m 8 mm c13 385 cm2m ou 10 mm c20 400 cm2m Simplificadamente todas as armaduras positivas foram estendidas 100 até os apoios O critério utilizado para definir o comprimento foi de estender as barras 5 cm além do eixo das vigas internas e até a face externa das vigas de periferia do edifício menos 2 cm para considerar o cobrimento c na extremidade ponta da UNESPBauruSP Lajes de Concreto 62 barra pelo concreto Por exemplo para a barra N3 C 670 8 5 683 cm onde 670 cm é a distância de eixo a eixo das vigas até onde a barra estendese 8 cm é quanto a barra adentra a viga vertical do lado direito e 5 cm além do eixo da viga interna do lado esquerdo O comprimento das barras das armaduras negativas foi determinado para o arranjo 3 mostrado na Figura 32 e conforme a Eq 70 e Eq 71 Por exemplo a armadura negativa N1 na borda comum entre as lajes L2 e L3 530 cm2m ver Figura 59 Para definir o comprimento da barra inicialmente podese calcular c 025x b 025 586 21 1675 cm onde c comprimento da barra do arranjo 3 de um lado da viga x maior vão entre os menores vãos das duas lajes No caso das lajes L2 2e L3 os vão menores são iguais a 586 cm b 21 cm comprimento de ancoragem da barra 8 mm com gancho região de boa aderência e C25 determinado na Tabela A27 O valor calculado para c deve ser preferencialmente arredondado para múltiplo de 10 de modo que a barra terá 170 cm de comprimento de um lado da viga e a metade desse valor do outro O comprimento total da barra será C 170 1702 9 10 274 cm onde 9 e 10 são os comprimentos dos ganchos nas extremidades da barra O comprimento do gancho deve ser definido em função do cobrimento da armadura No caso foi adotado como gancho h 3 cm b armadura negativa N3 na borda comum entre as lajes L4 e L5 367 cm2m Figura 59 c 025x b 025 486 21 1425 cm 486 286 x x 486 cm b 21 cm comprimento de ancoragem da barra 8 mm com gancho região de boa aderência e C25 determinado na Tabela A27 Fazendo o valor múltiplo de 10 mais próximo 140 cm como comprimento da barra de um lado da viga o comprimento total da barra será C 140 1402 6 7 223 cm onde 6 e 7 são os comprimentos dos ganchos nas extremidades da barra As quantidades de barras como indicadas nas cotas setas das armaduras positivas e negativas Figura 60 e Figura 61 são calculadas dividindose o comprimento da cota geralmente de face à face das vigas de apoio das lajes pelo espaçamento das barras da armadura Por exemplo a barra N3 da armadura positiva da laje L3 está disposta entre as faces das vigas na extensão de 580 cm 600 20 que dividido por 16 cm espaçamento das barras resulta a quantidade de 3625 que deve ser arredondado para o inteiro mais próximo portanto 36 barras O procedimento é semelhante na quantificação das barras da armadura negativa Como exemplo as barras N3 da armadura negativa entre as lajes L4 e L5 dispostas na extensão de 480 cm 500 20 que dividido por 13 cm espaçamento das barras resulta a quantidade de 369 arredondado para 37 barras As barras N2 e N13 mostradas no detalhamento da armadura negativa Figura 61 formam uma armadura para proporcionar resistência a momentos volventes que ocorrem com maior intensidade em cantos de lajes com bordas simplesmente apoiadas conforme indicado na Figura 25 Essa armadura diminui a possibilidade de UNESPBauruSP Lajes de Concreto 63 surgimento de fissuras na face superior da laje próximas aos cantos Nas lajes L4 e L10 a armadura não foi disposta porque os vãos dessas lajes são relativamente pequenos L1 N2 25 Ø 63 C 633 N1 11 Ø 63 C 813 N3 36 Ø 63 C 683 N11 40 c15 N1 11 c16 N2 25 c16 N12 12 c15 N17 50 c13 N3 36 c16 N13 40 c15 N10 19 Ø 42 C 813 N11 40 Ø 63 C 613 N1212 Ø 63 C213 N1340 Ø 5 C176 N17 50 Ø 63 C613 N16 15 Ø 42 C510 N14 25 c15 N9 19 N14 15 N7 19 N14 44 c11 N6 19 N423 c12 N7 53 Ø 42 C275 c17 N4 69 Ø 5 C313 N6 19 Ø 42 C510 N5 37 Ø 5 C510 c15 c15 N8 32 Ø 5 C413 N9 19 Ø 42 C413 c15 N14 84 Ø 42 C313 N16 15 N15 37 c13 N5 37 c13 c12 N4 25 N4 21 c9 N1019 c15 N7 34 c14 c17 N15 57 Ø 5 C510 N8 32 c15 N15 20 c19 Figura 60 Detalhamento das armaduras positivas UNESPBauruSP Lajes de Concreto 64 N8 16 Ø 63 C128 40 80 4 4 9 9 9 9 6 4 120 60 N7 53 Ø 63 C190 N4 23 Ø 63 C145 45 90 5 5 N12 45 c85 N11 29 c85 6 9 85 170 N12 45 Ø 8 C270 N11 29 Ø 8 C268 170 85 9 4 5 8 85 170 N10 82 Ø 8 C268 6 5 120 60 N9 35 Ø 63 C191 5 N6 19 Ø 63 C144 45 90 4 5 4 5 90 45 N6 19 Ø 63 C146 N5 37 Ø 8 C220 70 140 6 4 N13 10 Ø 5 C170 N13 10 c15 N2 10 c15 N2 10 Ø 5 C170 N1 64 Ø 8 C272 170 85 9 8 N1 64 c9 N10 82 c95 N14 75 Ø 8 C349 167 167 7 8 N14 75 c8 6 5 140 70 N3 37 Ø 8 C221 N3 37 Ø 8 C221 6 70 140 N9 35 c11 N8 16 N7 53 c9 c16 N5 37 c13 N6 19 c15 N6 19 c15 N3 37 c13 N4 23 c12 N3 37 c13 Figura 61 Detalhamento das armaduras negativas 4 LAJES NERVURADAS 41 DEFINIÇÃO A NBR 6118 item 1477 define laje nervurada como as lajes moldadas no local ou com nervuras prémoldadas cuja zona de tração para momentos positivos esteja localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte A resistência do material de enchimento material inerte Figura 62 não é considerada ou seja não contribui para aumentar a resistência da laje nervurada São as nervuras unidas e solidarizadas pela mesa capa que proporcionam a necessária resistência e rigidez UNESPBauruSP Lajes de Concreto 65 Figura 62 Enchimento com blocos de concreto celular autoclavado material inerte SICAL 2001 A laje nervurada é particularmente indicada quando há necessidade de vencer grandes vãos ou resistir a altas ações verticais Ao vencer grandes vãos a quantidade de pilares e vigas resultam menores As lajes nervuradas podem ser armadas em uma direção unidirecional ou em duas direções bidirecional ou em cruz em função da existência de nervuras em uma ou em duas direções A Figura 63 ilustra uma planta de fôrma onde uma laje nervurada com nervuras em duas direções vence grandes vãos Figura 63 Laje nervurada em cruz ou bidirecional CÓDIGO ENGENHARIA 2001 Os materiais de enchimento podem ser constituídos por diversos materiais como bloco cerâmico furado bloco de concreto bloco de concreto celular autoclavado Figura 62 isopor Figura 64 etc As nervuras podem também ficar expostas ou aparentes quando não são colocados materiais inertes entre elas Figura 65 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 66 Figura 64 Laje nervurada protendida com cordoalhas engraxadas e isopor como material de enchimento Figura 65 Laje nervurada com moldes plásticos httpwwwflickrcomphotosatex As lajes nervuradas apresentam as seguintes vantagens em relação às lajes maciças de concreto menor peso próprio menor consumo de concreto redução de fôrmas maior capacidade de vencer grandes vãos maiores planos lisos sem vigas 42 TIPOS Em função da forma e disposição do material de enchimento há diversas possibilidades para a execução das lajes nervuradas conforme indicado na Figura 66 O esquema indicado na Figura 66a é o mais comum encontrado na prática devido à sua facilidade de execução O esquema b com a mesa no lado inferior é indicado para proporcionar maior resistência aos momentos fletores negativos como nos balanços Os esquemas de b a h embora possíveis não são comuns na prática UNESPBauruSP Lajes de Concreto 67 b w b w h f h f 60 a b c e g d f h h f h f Fôrma perdida Não estrutural Junta seca Placa prémoldada f h Não estrutural Fôrma perdida f h Fôrma perdida f h f h h f Figura 66 Várias disposições possíveis para as lajes nervuradas ANDRADE 1982 43 CÁLCULO SIMPLIFICADO A laje nervurada pode ser entendida como um elemento estrutural constituído por vigas em uma direção ou em duas direções ortogonais ou não solidarizadas pela mesa capa de concreto O comportamento estático é intermediário entre o de grelha e o de laje maciça No item 1477 a NBR 6118 indica que Todas as prescrições anteriores relativas às lajes podem ser consideradas válidas desde que sejam obedecidas as condições de 13242 onde as prescrições anteriores referemse às Estruturas com elementos de placa item 147 Portanto a norma permite o cálculo da laje nervurada como placa laje no regime elástico desde que as condições apresentadas no item 13242 sejam obedecidas O cálculo da laje nervurada como laje maciça é chamado simplificado Quando as condições de 13242 não ocorrem a norma diz que item 1477 devese analisar a laje nervurada considerando a capa como laje maciça apoiada em uma grelha de vigas As condições da norma apresentadas em 13242 são de dois tipos relativas às especificações para as dimensões da laje e relativas ao projeto da laje Conforme o desenho em corte mostrado na Figura 67 as especificações quanto às dimensões são as seguintes a A espessura da mesa quando não existirem tubulações horizontais embutidas deve ser maior ou igual a 115 da distância entre as faces das nervuras o e não menor que 4 cm b O valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser 5 cm quando existirem tubulações embutidas de diâmetro menor ou igual a 10 mm Para tubulações com diâmetro maior que 10 mm a mesa deve ter a espessura mínima de 4 cm ou 4 cm 2 no caso de haver cruzamento destas tubulações c A espessura das nervuras não pode ser inferior a 5 cm d Nervuras com espessura menor que 8 cm não podem conter armadura de compressão UNESPBauruSP Lajes de Concreto 68 h h f mesa arm da mesa b 5 w armadura principal nervura o capa enchimento ou vazio enchimento ou vazio cc Figura 67 Seção transversal de uma laje nervurada Quanto ao projeto item 13242 Para o projeto das lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes condições a para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras permitese a consideração dos critérios de laje isto é cortante nas nervuras verificad a como nas lajes maciças força 65 cm não é necessário fazer verificação da mesa à flexão cc b para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm exigese a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas permitese essa verificação como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das nervuras for maior que 12 cm isto é cortante nas nervuras verificad a como nas vigas força é necessário fazer a verificação da mesa à flexão 110 cm 65 cm cc 12 cm força cortante nas nervuras verificad a como nas lajes maciças 90 cme b wnerv cc c para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm a mesa deve ser projetada como laje maciça apoiada na grelha de vigas respeitandose os seus limites mínimos de espessura isto é mesa calculada como laje maciça apoiada nas nervuras cc 110 cm Esta recomendação é reforçada pelo texto do item 1477 Quando essas hipóteses não forem verificadas devese analisar a laje nervurada considerando a capa como laje maciça apoiada em grelha de vigas Os limites mínimos de espessura referemse às espessuras mínimas estabelecidas pela norma para as lajes maciças apresentadas no item 13241 O cálculo simplificado consiste em determinar os esforços solicitantes momentos fletores e reações de apoio e deslocamentos flechas de acordo com as tabelas desenvolvidas para as lajes maciças segundo a Teoria das Placas tabelas de Bares Czerny etc A NBR 6118 item 1477 especifica que as lajes nervuradas unidirecionais devem ser calculadas segundo a direção das nervuras desprezadas a rigidez transversal e a rigidez à torção As lajes nervuradas bidirecionais conforme ABNT NBR 148592 podem ser calculadas para efeito de esforços solicitantes como lajes maciças Em versão anterior da norma NB 178 era previsto que nas lajes nervuradas armadas em uma direção unidirecionais deveriam ser dispostas nervuras transversais a cada 2 m sempre que houvesse cargas concentradas a distribuir na laje e sempre que o vão principal ultrapassasse 4 m Essa recomendação deve ser adotada porque aumenta a resistência e rigidez da laje UNESPBauruSP Lajes de Concreto 69 Quando for necessário o projeto de uma laje nervurada de modo mais refinado que aquele proporcionado pelo cálculo simplificado devese calcular os esforços solicitantes e deslocamentos considerandose a laje como uma grelha ou o que é ainda mais refinado considerar o método dos Elementos Finitos O cálculo da laje como uma grelha é simples e fácil de ser implementado além de conduzir a resultados confiáveis e de boa precisão No Brasil existem programas computacionais comerciais para o projeto de lajes nervuradas que permitem o cálculo por analogia de grelha e pelo método dos Elementos Finitos 44 AÇÕES As ações nas lajes nervuradas podem ter várias e diferentes causas como previsto nas normas NBR 6118 item 11 e NBR 8681 sendo as mais importantes as ações permanentes e as cargas acidentais estas últimas apresentadas na NBR 6120 As cargas de paredes apoiadas na laje podem ser determinadas segundo os mesmos critérios de cálculo especificados para as lajes maciças como apresentados no item 34 As demais cargas permanentes devem ser obrigatoriamente consideradas e calculadas O peso próprio das lajes nervuradas pode ser calculado por metro quadrado de área Uma forma de cálculo consiste em separar uma área da laje cujo centro coincide com o cruzamento de duas nervuras com lados de dimensões iguais à distância entre os eixos das nervuras Na Figura 68 está mostrada a área de uma laje com nervuras em duas direções igualmente espaçadas com 24 cm de altura total e espessura de capa de 4 cm O procedimento consiste em determinar o volume de concreto e as espessuras médias de concreto e de enchimento correspondentes à área delimitada da laje O volume de concreto resulta Vc 48 x 48 x 4 48 x 8 x 20 2 20 x 8 x 20 23296 cm3 capa nervura nervura A espessura média de concreto é 1011 48 48 23296 Área V e c c cm 20 8 20 20 8 20 Figura 68 Área da laje considerada no cálculo do peso próprio A espessura média do material de enchimento é a diferença entre a altura total da laje e a espessura média de concreto 1389 1011 24 e h e c ench cm Considerando conc 25 kNm3 e ench 6 kNm3 o peso próprio total da laje é UNESPBauruSP Lajes de Concreto 70 concreto 01011 x 25 253 kNm2 enchimento 01389 x 60 083 Total gpp 336 kNm2 45 MOMENTOS FLETORES NOS APOIOS INTERMEDIÁRIOS Semelhantemente às lajes maciças contínuas sobre vigas de apoio comuns nas lajes nervuradas também surgem momentos fletores negativos que solicitam as lajes na região do apoio como ilustrado na Figura 69 O projeto de lajes nervuradas contínuas e com a mesa superior capa apoiada na borda superior das nervuras quanto aos momentos fletores negativos pode ser feito admitindose uma das seguintes hipóteses obedecendose os limites impostos para a posição da linha neutra xd quando for o caso a a seção da nervura seção retangular com armadura simples negativa é suficiente para resistir ao momento fletor negativo b se a seção da nervura é insuficiente com armadura simples podese utilizar armadura dupla desde que bw 8 cm c a seção da nervura é insuficiente mas podese aumentar a seção normalmente aumentase a altura d eliminar a continuidade isto é considerar as lajes isoladas e totalmente independentes o que significa dizer que estará se considerando o momento fletor negativo igual a zero Neste caso a fim de evitar fissuras devese colocar uma armadura negativa construtiva como por exemplo 63 mm cada 15 ou 20 cm ou em maior quantidade em função dos vãos e carregamentos principalmente Outra solução consiste em impor uma armadura negativa nas nervuras e então determinar o momento fletor resistente proporcionado pelas nervuras Este momento fletor seria imposto à laje na seção sobre a viga de apoio o que pode ser feito facilmente por meio de engastes elásticos Os esforços e deformações calculadas para a laje nervurada seriam função do momento fletor negativo aplicado na borda com a garantia da seção no apoio estar verificada Uma solução bem menos usual na prática consiste em fazer a laje nervurada com mesa dupla na extensão dos momentos fletores negativos Esta solução leva à maior resistência aos momentos negativos com a desvantagem da execução da laje ser mais trabalhosa Nervuras Apoio Intermediário M M X Figura 69 Lajes nervuradas com continuidade na região de momentos fletores negativos UNESPBauruSP Lajes de Concreto 71 46 DIMENSIONAMENTO Os momentos fletores determinados de acordo com a Teoria das Placas Mx My Mx ou Xx e My ou Xy são momentos atuantes em faixas de largura unitária No caso de lajes nervuradas com nervuras nas duas direções bidirecionais é necessário determinar o momento fletor atuante em cada nervura o que depende da distância entre as nervuras 461 Flexão nas Nervuras Quando a mesa está comprimida no cálculo da armadura de flexão As podese considerar a contribuição da mesa Neste caso o cálculo é para seção T bf h Quando a mesa está tracionada o cálculo é como seção retangular bw h pois a mesa tracionada não pode ser considerada no cálculo à flexão Devem ainda ser observados extensão da armadura longitudinal cobrimento do diagrama de momentos fletores ancoragem da armadura longitudinal nos apoios taxas mínimas de armadura fissuração etc 462 Força Cortante O dimensionamento das lajes nervuradas à força cortante é feito em função do espaçamento entre as nervuras Quando a distância de eixo a eixo das nervuras é menor que 65 cm a força cortante deve ser verificada de forma análoga ao das lajes maciças como apresentado no item 3112 Quando essa distância é superior a 65 cm e menor que 110 cm a força cortante nas nervuras deve ser verificado como nas vigas de Concreto Armado o que será estudado na disciplina Estruturas de Concreto II Neste caso sempre haverá uma armadura transversal nas nervuras mesmo que mínima ao longo de todo o comprimento da nervura A NBR 6118 item 201 especifica que Os estribos em lajes nervuradas quando necessários não podem ter espaçamento superior a 20 cm 47 EXEMPLO 471 Laje em Cruz nervuras nas duas direções cc 65 cm São conhecidos C20 c 20 cm CA50 brita 1 conc 25 kNm3 ação variável qk 20 kNm2 piso final cerâmico piso 015 kNm2 f c 14 s 115 enchimento da laje com blocos cerâmicos furados bloco cer 13 kNm3 espessura de 2 cm para o revestimento inferior de argamassa arg revest 19 kNm3 e de 3 cm para o contrapiso arg contrap 21 kNm3 A planta de fôrma com o detalhe das nervuras está mostrada na Figura 70 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 72 600 700 19 8 19 8 8 9 9 9 9 8 9 9 9 9 8 20 20 20 20 44 44 4 19 8 38 8 46 Figura 70 Planta de fôrma com detalhe das nervuras RESOLUÇÃO 1º Cálculo das cargas Para cálculo do peso próprio da laje será considerada a área de laje mostrada na Figura 71 19 8 19 18 8 18 44 46 Figura 71 Área da laje a ser considerada para cálculo do peso próprio Volume de concreto Vc 46 x 44 x 4 46 x 8 x 19 2 18 x 8 x 19 20560 cm3 Espessura média equivalente de concreto 1016 46 44 20560 Área V e c c cm Espessura média do material de enchimento UNESPBauruSP Lajes de Concreto 73 1284 1016 23 e h e c ench cm Carga total atuante na laje concreto 01016 25 254 kNm2 enchimento 01284 13 167 revest infer 002 19 038 contrapiso 003 21 063 piso 015 ação variável q 200 Total p 737 kNm2 2º Esforços solicitantes a Momentos fletores Laje do tipo 1 apoiada nos 4 lados 117 600 700 x y Tabela A8 x 553 y 422 100 p M 2 x x x 1467 100 7 37 6 53 5 2 kNmm 1467 kNcmm 100 p M 2 x y y 1120 100 7 37 6 22 4 2 kNmm 1120 kNcmm b Reações de apoio Na Tabela A5 encontramse x 287 e y 250 As reações nas vigas de apoio da laje são 10 p V x x x 1269 10 7 37 6 2 87 kNm 10 p V x y y 1106 10 7 37 6 2 50 kNm c Esforços solicitantes por nervura Os esforços por nervura são obtidos multiplicandose os esforços por metro pela distância entre os eixos das nervuras observandose a distância conforme a direção considerada Mxnerv 1467 044 645 kNcm Mynerv 1120 046 515 kNcm Vxnerv 1269 044 558 kNm Vynerv 1106 046 509 kNm 3º Dimensionamento à flexão O detalhamento esquemático das armaduras de flexão nas duas direções está mostrado na Figura 72 a Direção x Md f M 645 x 14 903 kNcm d h 25 cm 23 25 205 cm UNESPBauruSP Lajes de Concreto 74 A mesa está comprimida pelos momentos fletores positivos de modo que a seção resistente à flexão pode ser suposta T com largura colaborante bf igual à distância de eixo a eixo das nervuras Considerando inicialmente que a seção T será calculada como se fosse retangular com dimensões bf h temse 20 5 903 20 5 44 M d b K 2 d 2 w c Tabela A25 x 005 domínio 2 Ks 0024 x xd 005 045 ok x 005 205 103 cm 08x hf 4 cm confirma o cálculo como seção retangular 1 06 20 5 0 024 903 d K M A d s sx cm2nerv 2 8 mm 100 cm2 0 28 0 0015 8 23 A mín s cm2nerv b Direção y Semelhantemente ao que foi feito para a direção x porém com d h 3 cm 23 3 20 cm Md f M 14 515 721 kNcm 25 5 721 46 20 K 2 c Tabela A25 x 004 domínio 2 Ks 0023 0 83 20 0 023 721 Asy cm2nervura 2 8 mm 100 cm2 A NBR 6118 item 1837 especifica que deve existir uma armadura nos planos de ligação entre mesas e almas de vigas de pelo menos 15 cm2 por metro exemplos 5 c13 154 cm2 ou 63 c20 158 cm2 Como foi considerada a mesa da laje para compor vigas de seção T nas duas direções será disposta uma armadura em malha próxima à face inferior da capa com 5 c13 cm Essa armadura aumenta a resistência da capa à flexão e à força cortante 25 sy 2 Ø 8 A 3 2 Ø 8 A sx Figura 72 Detalhamento das armaduras de flexão nas nervuras 4º Verificações A verificação da resistência da mesa à flexão não é necessária pois cc 65 cm nas duas direções e não há força concentrada aplicada sobre a laje É necessário verificar a laje nervurada à força cortante e como cc é menor que 65 cm esta verificação pode ser feita como laje maciça Essa verificação não será efetuada mas geralmente as lajes nervuradas apoiadas em vigas de borda bem como as lajes maciças não necessitam de armadura transversal UNESPBauruSP Lajes de Concreto 75 A ancoragem das armaduras longitudinais das nervuras nas vigas de apoio e a flecha máxima que ocorre na laje necessitam ser calculadas e verificadas 5º Detalhamento final O detalhamento esquemático das armaduras está mostrado na Figura 73 As barras N1 e N3 são as armaduras das nervuras e as barras N2 e N4 são as barras de reforço da mesa dispostas próximas à face inferior N1 12 x 2 Ø 8 N3 15 x 2 Ø 8 N1 24 Ø 8 C 755 N3 30 Ø 8 C 655 20 20 20 20 10 10 10 10 N2 45 Ø 5 C 710 N4 52 Ø 5 C 610 N2 45 c13 N4 52 c13 Figura 73 Detalhamento das armaduras da laje 5 LAJES PRÉFABRICADAS As normas brasileiras NBR 148591 NBR 148592 NBR 148601 NBR 148602 e NBR 14861 apresentam as características exigíveis para alguns tipos de lajes préfabricadas Definese como laje préfabricada ou prémoldada a laje que tem suas partes constituintes fabricadas em escala industrial no canteiro de uma fábrica Pode ser de concreto armado ou de concreto protendido São aplicadas tanto nas construções de pequeno porte como também nas de grande porte Neste texto se dará ênfase às lajes préfabricadas para as construções de pequeno porte como casas edifícios de baixa altura sobrados galpões etc 51 DEFINIÇÕES Conforme as várias normas citadas no item anterior as seguintes lajes préfabricadas podem ser assim definidas a laje préfabricada unidirecional são as lajes constituídas por nervuras principais longitudinais dispostas em uma única direção Podem ser empregadas algumas nervuras transversais perpendiculares às nervuras principais b laje préfabricada bidirecional laje nervurada constituída por nervuras principais nas duas direções c prélaje são placas com espessura de 3 cm a 5 cm e larguras padronizadas constituídas por concreto estrutural executadas industrialmente fora do local de utilização definitivo da estrutura ou mesmo em canteiros de obra Englobam total ou parcialmente a armadura inferior de tração integrando a seção de concreto da nervura As prélajes podem ser unidirecionais ou bidirecionais e as placas podem ser de concreto armado ou de concreto protendido UNESPBauruSP Lajes de Concreto 76 d laje alveolar protendida conjunto formado por painéis alveolares protendidos préfabricados montados por justaposição lateral eventual capa de concreto estrutural e material de rejuntamento As lajes préfabricadas são constituídas por nervuras também chamadas vigotas ou trilhos de concreto e armadura blocos de enchimento e capeamento superior de concreto Figura 74 São muito comuns tanto para laje de piso como para laje de forro Em função da armadura e da forma da vigota as lajes préfabricadas são hoje comumente encontradas segundo dois tipos diferentes laje treliça Figura 75 e laje convencional Figura 76 A seguir são apresentadas as principais características desses dois tipos de laje préfabricada Figura 74 Laje préfabricada do tipo treliçada FAULIM 1998 Figura 75 Laje préfabricada do tipo treliçada FAULIM 1998 Figura 76 Laje préfabricada do tipo convencional UNESPBauruSP Lajes de Concreto 77 52 LAJE TRELIÇA A laje treliça surgiu na Europa com o propósito de ser uma opção mais econômica que as lajes maciças de concreto sendo utilizada em vários países do mundo Possibilitam vencer grandes vãos com menor peso próprio e redução de mãodeobra durante sua execução Na laje treliça a armadura das nervuras tem a forma de uma treliça espacial Figura 77 O banzo inferior é constituído por duas barras e o banzo superior por uma barra Os banzos inferior e superior são unidos por barras diagonais inclinadas em sinusóide soldadas por eletrofusão Proporcionam rigidez ao conjunto melhoram o transporte e manuseio das vigotas já prontas e aumentam a resistência aos esforços cortantes Figura 77 Armação em forma de treliça espacial FAULIM 1998 As vigotas ou trilhos são constituídos pela armação treliçada com as barras do banzo inferior envolvidas por concreto em forma de uma placa fina como mostrado na Figura 78 Figura 78 Nervura da laje treliça FAULIM 1998 As vigotas em conjunto com a capa de concreto ou mesa fornecem a resistência necessária à laje atuando para resistir aos momentos fletores e às forças cortantes Servem de apoio também aos blocos cerâmicos ou de isopor EPS As vigotas treliçadas constituem as nervuras principais vigas da laje treliça As vigotas podem conter barras longitudinais adicionais que proporcionam maior resistência à flexão possibilitando vencer vãos maiores Os blocos de enchimento exercem a função de dar forma ao concreto Figura 79 dando forma às nervuras e à capa além de proporcionarem superfícies inferiores lisas Os materiais de enchimento devem UNESPBauruSP Lajes de Concreto 78 ser preferencialmente leves e de custo baixo sendo mais comuns os de material cerâmico principalmente para as construções de pequeno porte Outros materiais são o concreto celular autoclavado e o EPS Por serem elementos vazados e constituídos de material mais leve que o concreto reduzem o peso próprio das lajes Os blocos cerâmicos são produzidos segundo diversas e diferentes dimensões conforme o fabricante Tabela 20 São normalmente fornecidos pelo fabricante em conjunto com as vigotas da laje treliça Figura 79 Bloco cerâmico de enchimento FAULIM 1998 Tabela 20 Dimensões dos blocos cerâmicos de enchimento FAULIM 1998 Designação H 72520 H 73020 H 103020 H 123020 H 163020 H 203020 Altura H cm 7 7 12 16 20 10 Largura L cm 25 30 30 30 30 30 Comprimento c cm 20 20 20 20 20 20 Massa Unitária kgpeça 20 23 30 38 48 52 521 Nervura Transversal As nervuras transversais devem ser dispostas na direção perpendicular às nervuras principais a cada dois metros São construídas entre os blocos afastados entre si para permitir a penetração do concreto e a colocação de armadura longitudinal como indicado na Figura 80 As nervuras transversais exercem a função de travamento lateral das nervuras principais levando a uma melhor uniformidade do comportamento estrutural das nervuras contribuindo na redistribuição dos esforços solicitantes UNESPBauruSP Lajes de Concreto 79 Figura 80 Nervura transversal FAULIM 1998 522 Armadura Complementar A armadura complementar tem a função de aumentar a resistência das lajes aos momentos fletores positivos e negativos A armadura positiva é composta por barras de aço dispostas ao longo do comprimento das nervuras as quais se somam às duas barras do banzo inferior Pode estar situada dentro da placa de concreto ou sobre ela como indicado na Figura 81 A armadura longitudinal negativa é posicionada próxima à face superior da capa Figura 82 e tem o objetivo de aumentar a resistência da laje aos momentos negativos Figura 81 Armadura complementar positiva FAULIM 1998 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 80 Figura 82 Armadura complementar negativa FAULIM 1998 523 Armadura de Distribuição É a armadura que fica posicionada transversalmente às nervuras e sobre a barra do banzo superior da treliça Figura 83 Esta armadura tem algumas funções aumentar a resistência da mesa à flexão e à força cortante fazer as nervuras trabalharem mais conjuntamente e melhorar a ligação entre a mesa e as nervuras a fim de criar a seção T Figura 83 Armadura complementar na capa FAULIM 1998 524 Escolha da Laje Para a escolha das dimensões da laje os principais parâmetros iniciais são os seguintes vãos efetivos ações abrangendo os carregamentos permanentes e variáveis vinculação nos apoios tipo de utilização da laje Com o auxílio de tabelas ou programas computacionais normalmente fornecidas pelo fabricante da laje podese determinar as características da laje para diversas finalidades como as especificações da armadura em treliça a lajota cerâmica as armaduras complementares nervuras transversais etc Devese ter atenção especial com relação à flecha final da laje A Figura 84 ilustra imagens do programa computacional do fabricante Faulim3 Especial atenção deve ser dispensada a lajes com possibilidade de vibração em função da utilização como pisos de academias de ginástica por exemplo 3 Faulim httpwwwfaulimcombrdepartamentotecnicosoftwareslistagemphp UNESPBauruSP Lajes de Concreto 81 Figura 84 Programa computacional para projeto de laje treliçada da empresa FAULIM 53 LAJE PRÉFABRICADA CONVENCIONAL É chamada laje préfabricada convencional aquela laje constituída por nervuras na forma de um T invertido conforme indicado na Figura 85 Também é formada pelas nervuras vigotas capa e material de enchimento Atualmente e após o surgimento das lajes treliça as lajes convencionais têm sido utilizadas quase que exclusivamente como lajes de forro Figura 85 Laje préfabricada convencional SOUZA CUNHA 1994 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 82 As Tabela 21 e Tabela 22 fornecem indicações das dimensões peso próprio e vãos livres máximos para as lajes convencionais Tabela 21 Dimensões e peso próprio das lajes préfabricadas convencionais SOUZA CUNHA 1994 Tipo de Laje Altura Total cm Altura dos Blocos cm Capeamento cm Peso Próprio kNm2 Intereixo cm 33 40 50 B10 10 8 2 135 145 115 B11 11 8 3 160 170 140 B12 12 8 4 185 195 B15 15 12 3 195 205 B16 16 12 4 220 230 B20 20 16 4 275 260 B25 25 20 5 35 B30 30 25 5 400 B35 35 30 5 430 Tabela 22 Vãos livres máximos para laje isolada com intereixo de 33 cm SOUZA CUNHA 1994 Tipo Ação Variável q kNm2 05 10 20 35 50 80 100 B10 480 440 B11 520 490 B12 540 510 460 410 370 300 240 B15 650 610 B16 670 630 580 520 480 430 400 B20 790 750 690 620 570 510 470 B25 850 850 800 730 630 570 500 B30 850 850 850 770 720 620 570 B35 850 850 850 830 780 660 600 531 Detalhes Construtivos Embora não estritamente necessário convém iniciar a montagem da laje colocandose uma linha de blocos apoiados sobre a viga ou parede de apoio Figura 86 Figura 86 Início da montagem da laje LAJES ALMEIDA E VOLTERRANA UNESPBauruSP Lajes de Concreto 83 Pequenos balanços como um beiral podem ser construídos colocandose armaduras negativas como indicadas na Figura 87 Figura 87 Beiral com a laje préfabricada LAJES ALMEIDA O apoio das nervuras sobre vigas ou paredes é feito como indicado nas Figura 88 e Figura 89 As nervuras devem prolongarse sobre o apoio por no mínimo 5 cm e no caso de lajes apoiadas em paredes sua armadura deve estar sobre as barras de aço da cinta de amarração no respaldo da parede Figura 88 Apoio das nervuras SOUZA CUNHA 1994 Figura 89 Apoio das nervuras SOUZA CUNHA 1994 Mesmo nas lajes consideradas estaticamente com apoios simples é indicado dispor uma armadura negativa construtiva na continuidade das lajes Figura 90 Em lajes consideradas engastadas tornase necessário calcular a armadura negativa a qual leva em conta a existência do concreto comprimido apenas nas nervuras já que a capa encontrase tracionada A Figura 91 mostra a laje apoiada em vigas invertidas Neste caso é importante que as barras das nervuras sejam ancoradas passando sobre as barras da armadura positiva da viga de apoio UNESPBauruSP Lajes de Concreto 84 Figura 90 Detalhes da armadura negativa LAJES ALMEIDA Figura 91 Lajes sobre vigas invertidas SOUZA CUNHA 1994 532 Paredes Sobre Laje Paredes paralelas às nervuras podem ser sustentadas pela associação de duas ou mais nervuras ou por uma viga de concreto moldada no local com a altura da laje Figura 92 Ambas as soluções requerem um cálculo de verificação ou dimensionamento a fim de evitar fissuras eou flechas indesejáveis A Figura 93 mostra uma laje com uma nervura transversal às nervuras principais Essa nervura tem a função de solidarizar as nervuras principais de modo a fazêlas trabalhar mais conjuntamente Figura 92 Parede sobre a laje SOUZA CUNHA 1994 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 85 Figura 93 Nervura de travamento LAJES ALMEIDA 533 Lançamento do Concreto Antes do lançamento do concreto concretagem a laje deve ser molhada para evitar que os blocos cerâmicos retirem água do concreto Figura 94 Figura 94 Molhagem da laje préconcretagem SOUZA CUNHA 1994 As nervuras devem ser movimentadas na posição vertical como mostrado na Figura 95 A Figura 96 mostra como normalmente é feito o escoramento deste tipo de laje e a Figura 97 mostra etapas da concretagem Figura 95 Manuseio das nervuras LAJES VOLTERRANA UNESPBauruSP Lajes de Concreto 86 Figura 96 Escoramento da laje LAJES VOLTERRANA Figura 97 Concretagem da laje LAJES VOLTERRANA 534 Dimensionamento O dimensionamento à flexão é semelhante ao das lajes maciças de concreto com a necessidade porém de que a linha neutra fique posicionada na altura do capeamento de concreto A armadura de flexão calculada por metro de largura de laje é distribuída às nervuras em função da distância entre elas A verificação da necessidade ou não de armadura transversal é feita também como no caso das lajes maciças desde que a distância livre entre as nervuras não supere 65 cm REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto Procedimento NBR 6118 Rio de Janeiro ABNT 2014 238p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Cargas para o cálculo das edificações NBR 6120 Rio de Janeiro ABNT 1980 6p UNESPBauruSP Lajes de Concreto 87 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Ações e segurança nas estruturas Procedimento NBR 8681 Rio de Janeiro ABNT 2003 18p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Laje préfabricada Requisitos Parte 1 Lajes unidirecionais NBR 148591 Rio de Janeiro ABNT 2002 15p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Laje préfabricada Requisitos Parte 1 Lajes bidirecionais NBR 148592 Rio de Janeiro ABNT 2002 2p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Laje préfabricada Prélaje Requisitos Parte 1 Lajes unidirecionais NBR 148601 Rio de Janeiro ABNT 2002 8p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Laje préfabricada Prélaje Requisitos Parte 1 Lajes bidirecionais NBR 148602 Rio de Janeiro ABNT 2002 3p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Lajes alveolares prémoldadas de concreto protendido Requisitos e procedimentos NBR 14861 Rio de Janeiro ABNT 2011 36p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Armaduras treliçadas eletrossoldadas Requisitos NBR 14862 Rio de Janeiro ABNT 2002 10p BASTOS PSS Flexão Normal Simples Vigas BauruSP Unesp Departamento de Engenharia Civil Notas de aula Fev201578p disponível em httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto1htm HAHN J Vigas continuas porticos placas y vigas flotantes sobre lecho elastico Barcelona Ed Gustavo Gili 1972 LATEX 2001 Catálogos LAJES FAULIM 1998 Manual LAJES ALMEIDA sd Manual LAJES VOLTERRANA sd Manual LEONHARDT F MÖNNIG E Construções de concreto Princípios básicos sobre a armação de estruturas de concreto armado vol 13 Rio de Janeiro Ed Interciência 1984 PINHEIRO L M Concreto armado tabelas e ábacos São Carlos Escola de Engenharia de São Carlos USP Departamento de Engenharia de Estruturas 1994 ROCHA A M Concreto armado vol 3 São Paulo Ed Nobel 1987 SICAL 2001 Catálogos SOUZA VCM CUNHA AJP 1994 Lajes em Concreto Armado e Protendido Niterói Ed da Universidade Federal Fluminense 580p UNESPBauruSP Lajes de Concreto 88 TABELAS ANEXAS Tabela A1 FLECHAS EM LAJES COM CARGA UNIFORME VALORES DE x y Tipo de Laje 1 2A 2B 3 4A 4B 5A 5B 6 100 476 326 326 246 225 225 184 184 149 105 526 368 348 272 260 235 208 196 163 110 574 411 370 296 297 245 231 208 177 115 620 455 389 318 335 253 254 218 190 120 664 500 409 340 374 261 277 228 202 125 708 544 426 361 414 268 300 237 214 130 749 588 443 380 456 274 322 246 224 135 790 632 458 399 501 277 342 253 234 140 829 674 473 415 541 280 362 261 241 145 867 715 487 431 583 285 380 267 249 150 903 755 501 446 625 289 398 273 256 155 939 795 509 461 666 291 414 278 262 160 971 832 518 473 706 292 430 282 268 165 1004 868 522 486 746 292 445 283 273 170 1034 903 526 497 784 293 459 284 277 175 1062 936 536 506 821 293 471 286 281 180 1091 969 546 516 858 294 484 288 285 185 1116 1000 553 525 893 294 496 290 288 190 1141 1029 560 533 925 295 507 292 290 195 1165 1058 568 541 958 295 517 294 293 200 1189 1087 576 549 990 296 528 296 296 1563 1563 650 650 1563 313 650 313 313 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 I E p 12 a 4 x i p carga uniforme x menor vão y maior vão E módulo elasticidade h altura da laje UNESPBauruSP Lajes de Concreto 89 Tabela A2 FLECHAS EM LAJES COM CARGA UNIFORME VALORES DE e B b a Tipo b a 7 a b y x 8 a x b y 9 a x b y 10 a y x b B B B B 030 5313 15000 5313 15000 030 030 21571 41259 13464 23163 4198 11002 3764 9700 030 035 16397 30959 9526 16437 3748 9670 3165 7805 035 040 12222 20659 5588 9711 3298 8337 2565 5909 040 045 8876 16099 4173 7135 2906 7161 2089 4671 045 050 6529 11539 2758 4559 2514 5985 1613 3433 050 055 5296 9240 2135 3438 2212 5142 1322 2707 055 060 4063 6940 1511 2316 1909 4298 1031 1981 060 065 3358 5648 1207 1803 1680 3700 853 1596 065 070 2652 4356 903 1289 1450 3101 674 1211 070 075 2214 3564 741 1031 1279 2667 563 982 075 080 1775 2771 578 773 1108 2233 452 753 080 085 1523 2354 482 632 978 1925 384 619 085 090 1271 1937 386 490 847 1616 315 484 090 095 1092 1648 326 408 749 1396 271 404 095 100 913 1358 266 325 650 1176 226 324 100 105 946 1385 271 326 691 1219 234 326 105 110 979 1411 276 328 732 1260 242 327 110 115 1012 1438 281 329 772 1301 249 329 115 120 1045 1464 286 330 813 1346 257 330 120 125 1069 1477 288 331 846 1372 261 331 125 130 1093 1491 290 331 880 1397 264 331 130 135 1118 1504 293 332 913 1423 268 332 135 140 1142 1517 295 333 946 1448 271 333 140 145 1166 1531 297 333 980 1474 275 333 145 150 1190 1544 299 334 1013 1499 278 334 150 155 1204 1550 300 334 1035 1509 279 334 155 160 1218 1555 300 334 1057 1519 280 334 160 165 1231 1561 301 335 1079 1529 281 335 165 170 1245 1566 301 335 1101 1539 282 335 170 175 1259 1572 302 335 1223 1550 283 335 175 180 1273 1578 302 335 1144 1560 284 335 180 185 1287 1583 303 335 1166 1570 285 335 185 190 1300 1589 303 336 1188 1580 286 336 190 195 1314 1594 304 336 1210 1590 287 336 195 200 1328 1600 304 336 1232 1600 288 336 200 1563 1600 313 336 1563 1600 313 336 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 I E p 12 a 4 x i p carga uniforme h altura da laje menor valor entre a e b coeficiente centro da laje b coeficiente centro da borda livre E módulo de elasticidade UNESPBauruSP Lajes de Concreto 90 Tabela A3 VALORES de PARA CÁLCULO DE FLECHA EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR b a Tipo b y 11 a x p a 12 b p y x a 13 b p y x 14 p x a b y 15 b p y x a a 16 b p y x p x 17 a b y p x 18 a b y 050 782 287 366 157 782 287 366 157 050 593 258 332 154 494 238 309 147 055 550 248 319 151 437 221 284 142 060 507 238 306 147 379 203 259 137 065 467 228 291 144 330 187 236 130 070 426 217 275 141 280 170 213 122 075 390 206 261 138 244 155 194 114 080 354 195 246 134 207 140 174 106 085 323 185 231 129 180 126 156 098 090 292 174 216 124 152 111 137 090 095 265 162 202 118 134 099 121 083 100 238 150 187 112 115 087 105 075 105 262 171 211 130 122 093 114 082 110 286 192 235 148 129 099 123 090 115 311 213 262 168 136 105 130 096 120 335 234 289 188 143 111 137 102 125 359 254 315 208 149 117 144 107 130 381 274 339 228 152 121 147 111 135 403 294 363 248 154 124 150 115 140 425 314 386 268 157 127 153 119 145 446 333 409 288 160 130 155 122 150 464 353 428 309 162 132 157 124 155 482 372 448 330 164 134 158 126 160 501 391 468 351 167 136 160 128 165 519 410 487 371 169 138 162 131 170 536 426 505 390 172 143 164 134 180 571 455 540 425 179 154 168 143 185 588 469 557 443 182 159 170 147 190 605 483 574 461 185 165 172 151 195 623 498 591 478 189 170 174 156 200 640 512 608 496 192 176 176 160 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 I E p 12 a 4 x i p carga máxima h altura da laje menor valor entre a e b E módulo de elasticidade coeficiente da flecha máxima UNESPBauruSP Lajes de Concreto 91 Tabela A4 FLECHAS EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR VALORES DE e B b a Tipo b a a 19 b p y x a 20 b p y x 21 p x a b y p x 22 a b y B B B B 030 1531 4000 1531 4000 030 030 7383 12305 4633 7528 1303 3040 1158 2461 030 035 5730 9565 3324 5253 1133 2642 946 1918 035 040 4077 6825 2015 2977 962 2244 733 1374 040 045 3230 5308 1533 2192 875 1938 601 1100 045 050 2383 3790 1051 1407 788 1632 469 825 050 055 1938 3004 847 1066 706 1413 411 671 055 060 1493 2217 642 724 624 1194 353 516 060 065 1245 1800 519 558 552 1015 309 405 065 070 996 1382 396 391 479 835 264 293 070 075 845 1131 327 302 429 717 228 231 075 080 693 879 258 212 378 598 192 169 080 085 601 728 217 165 338 513 162 136 085 090 508 577 175 118 297 427 132 102 090 095 437 486 149 093 266 367 114 082 095 100 365 394 123 067 234 306 095 062 100 105 383 396 126 064 255 316 101 060 105 110 402 398 128 062 276 326 108 058 110 115 420 400 131 059 296 336 114 056 115 120 438 402 133 056 317 346 120 054 120 125 452 398 135 053 334 346 123 052 125 130 466 395 136 051 351 345 126 050 130 135 480 391 138 048 368 345 129 047 135 140 494 387 139 046 386 345 131 045 140 145 507 384 141 043 403 344 134 043 145 150 521 380 142 041 420 344 137 041 150 155 531 376 142 040 434 342 138 040 155 160 542 371 142 039 448 339 138 039 160 165 552 367 143 038 462 337 139 038 165 170 562 362 143 037 476 334 140 037 170 175 573 358 143 036 490 332 141 036 175 180 583 354 143 035 504 330 141 035 180 185 593 349 143 035 518 327 142 035 185 190 603 345 144 034 532 325 143 034 190 195 614 340 144 033 546 322 143 033 195 200 624 336 144 032 560 320 144 032 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 I E p 12 a 4 x i p carga máxima h altura da laje menor valor entre a e b E módulo de elasticidade coeficiente centro da laje b coeficiente centro da borda livre UNESPBauruSP Lajes de Concreto 92 Tabela A5 REAÇOES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME x y Tipo x y 1 y x x y 2A x y y x 2B y x x y x y x y y x x y 100 250 250 183 275 402 275 402 183 100 105 262 250 192 280 410 282 413 183 105 110 273 250 201 285 417 289 423 183 110 115 283 250 210 288 422 295 432 183 115 120 292 250 220 291 427 301 441 183 120 125 300 250 229 294 430 306 448 183 125 130 308 250 238 295 432 311 455 183 130 135 315 250 247 296 433 316 462 183 135 140 321 250 256 296 433 320 468 183 140 145 328 250 264 296 433 324 474 183 145 150 333 250 272 296 433 327 479 183 150 155 339 250 280 296 433 331 484 183 155 160 344 250 287 296 433 334 489 183 160 165 348 250 293 296 433 337 493 183 165 170 353 250 299 296 433 340 497 183 170 175 357 250 305 296 433 342 501 183 175 180 361 250 310 296 433 345 505 183 180 185 365 250 315 296 433 347 509 183 185 190 368 250 320 296 433 350 512 183 190 195 372 250 325 296 433 352 515 183 195 200 375 250 329 296 433 354 518 183 200 200 500 250 500 296 433 438 625 183 200 Tabela elaborada por PINHEIRO 1994 conforme NBR 6118 10 p V x p carga uniforme x menor vão os alívios foram considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais UNESPBauruSP Lajes de Concreto 93 Tabela A6 REAÇOES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME x y Tipo x y 3 x y y x 4A x y y x 4B y x x y x x y y x y x y 100 217 317 217 317 144 356 356 144 100 105 227 332 217 317 152 366 363 144 105 110 236 346 217 317 159 375 369 144 110 115 245 358 217 317 166 384 374 144 115 120 253 370 217 317 173 392 380 144 120 125 260 380 217 317 180 399 385 144 125 130 263 390 217 317 188 406 389 144 130 135 273 399 217 317 195 412 393 144 135 140 278 408 217 317 202 417 397 144 140 145 284 415 217 317 209 422 400 144 145 150 289 423 217 317 217 425 404 144 150 155 293 429 217 317 224 428 407 144 155 160 298 436 217 317 231 430 410 144 160 165 302 442 217 317 238 432 413 144 165 170 306 448 217 317 245 433 415 144 170 175 309 453 217 317 253 433 418 144 175 180 313 458 217 317 259 433 420 144 180 185 316 463 217 317 263 433 422 144 185 190 319 467 217 317 272 433 424 144 190 195 322 471 217 317 278 433 426 144 195 200 325 475 217 317 283 433 428 144 200 200 438 625 217 317 500 433 500 144 200 Tabela elaborada por PINHEIRO 1994 conforme NBR 6118 10 p V x p carga uniforme x menor vão os alívios foram considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais UNESPBauruSP Lajes de Concreto 94 Tabela A7 REAÇOES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME x y Tipo x y 5A x y y x 5B x y y x x 6 y y x x x y x y y x y 100 171 250 303 303 171 250 250 250 100 105 179 263 308 312 171 250 262 250 105 110 188 275 311 321 171 250 273 250 110 115 196 288 314 329 171 250 283 250 115 120 205 300 316 336 171 250 292 250 120 125 213 313 317 342 171 250 300 250 125 130 222 325 317 348 171 250 308 250 130 135 230 336 317 354 171 250 315 250 135 140 237 347 317 359 171 250 321 250 140 145 244 357 317 364 171 250 328 250 145 150 250 366 317 369 171 250 333 250 150 155 256 375 317 373 171 250 339 250 155 160 261 383 317 377 171 250 344 250 160 165 267 390 317 381 171 250 348 250 165 170 272 398 317 384 171 250 353 250 170 175 276 404 317 387 171 250 357 250 175 180 280 411 317 390 171 250 361 250 180 185 285 417 317 393 171 250 365 250 185 190 289 422 317 396 171 250 368 250 190 195 292 428 317 399 171 250 372 250 195 200 296 433 317 401 171 250 375 250 200 200 438 625 317 500 171 250 500 250 200 Tabela elaborada por PINHEIRO 1994 conforme NBR 6118 10 p V x p carga uniforme x menor vão os alívios foram considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais UNESPBauruSP Lajes de Concreto 95 Tabela A8 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo 1 y x x y 2A x y y x 2B y x x y Tipo x y x y x y y x x y x y 100 423 423 291 354 840 354 840 291 100 105 462 425 326 364 879 377 879 284 105 110 500 427 361 374 918 399 917 276 110 115 538 425 398 380 953 419 949 268 115 120 575 422 435 386 988 438 980 259 120 125 610 417 472 389 1016 455 1006 251 125 130 644 412 509 392 1041 471 1032 242 130 135 677 406 544 393 1064 486 1054 234 135 140 710 400 579 394 1086 500 1075 225 140 145 741 395 612 391 1105 512 1092 219 145 150 772 389 645 388 1123 524 1109 212 150 155 799 382 676 385 1139 534 1123 204 155 160 826 374 707 381 1155 544 1136 195 160 165 850 366 728 378 1167 553 1148 187 165 170 874 358 749 374 1179 561 1160 179 170 175 895 353 753 369 1188 568 1172 174 175 180 916 347 756 363 1196 575 1184 168 180 185 935 338 810 358 1205 581 1194 167 185 190 954 329 863 353 1214 586 1203 159 190 195 973 323 886 345 1217 590 1208 154 195 200 991 316 908 336 1220 594 1213 148 200 200 1250 316 1250 336 1220 703 1250 148 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 x p carga uniforme x menor vão UNESPBauruSP Lajes de Concreto 96 Tabela A9 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo 3 x y y x 4A x y y x 4B y x x y Tipo x y x x y y x y y x x y x y 100 269 699 269 699 201 309 699 309 699 201 100 105 294 743 268 718 232 323 743 322 720 192 105 110 319 787 267 736 263 336 787 335 741 183 110 115 342 828 265 750 293 346 826 346 756 173 115 120 365 869 262 763 322 356 865 357 770 163 120 125 386 903 256 772 363 364 903 366 782 156 125 130 406 937 250 781 399 372 933 374 793 149 130 135 424 965 245 788 434 377 969 380 802 141 135 140 442 993 239 794 469 382 1000 386 811 133 140 145 458 1017 232 800 503 386 1025 391 813 126 145 150 473 1041 225 806 537 390 1049 396 815 119 150 155 486 1062 216 809 570 390 1070 400 820 114 155 160 499 1082 207 812 603 389 1091 404 825 108 160 165 510 1099 199 814 635 385 1108 407 828 103 165 170 521 1116 191 815 667 381 1124 410 830 098 170 175 531 1130 185 816 697 379 1139 412 831 095 175 180 540 1143 178 817 727 376 1153 414 832 091 180 185 548 1155 172 817 755 372 1165 415 833 087 185 190 556 1167 166 818 782 367 1177 416 833 083 190 195 563 1178 163 819 809 360 1183 416 833 080 195 200 570 1189 160 820 835 352 1188 417 833 076 200 200 703 1250 160 820 1250 352 1188 417 833 076 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 x p carga uniforme x menor vão UNESPBauruSP Lajes de Concreto 97 Tabela A10 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo 5A x y y x 5B x y y x x 6 y y x Tipo x y x x y y x x y y x x y y x y 100 202 546 252 617 252 617 202 546 202 515 202 515 100 105 227 598 256 646 270 647 197 556 222 550 200 529 105 110 252 650 260 675 287 676 191 565 242 585 198 543 110 115 276 711 263 697 302 699 184 570 265 614 194 551 115 120 300 772 265 719 316 722 177 575 287 643 189 559 120 125 323 881 264 736 328 740 170 575 297 667 183 564 125 130 345 859 261 751 340 757 162 576 306 690 177 568 130 135 366 874 257 763 350 770 155 575 319 709 171 569 135 140 386 888 253 774 359 782 147 574 332 728 165 570 140 145 405 916 248 783 367 791 141 573 343 743 157 571 145 150 423 944 243 791 374 800 135 572 353 757 149 572 150 155 439 968 239 798 380 807 129 569 361 768 143 572 155 160 455 991 234 802 386 814 123 566 369 779 136 572 160 165 470 1013 228 803 391 820 118 562 376 788 129 572 165 170 484 1034 222 810 395 825 113 558 383 797 121 572 170 175 497 1053 215 813 399 830 107 556 388 805 117 572 175 180 510 1071 208 817 402 834 100 554 392 812 113 572 180 185 520 1088 202 816 405 838 097 555 396 818 107 572 185 190 530 1104 196 814 408 842 094 556 399 824 101 572 190 195 540 1120 188 813 410 845 091 560 402 829 099 572 195 200 550 1135 180 812 412 847 088 564 405 833 096 572 200 200 703 1250 180 812 417 833 088 564 417 833 096 572 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 x p carga uniforme x menor vão UNESPBauruSP Lajes de Concreto 98 Tabela A11 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo x 7 b y a x 8 y a b Tipo b a x y yb x y yb y yb b a 030 1133 1589 2844 1044 1422 2555 4189 7700 030 035 1063 1560 2719 885 1286 2237 3569 6294 035 040 994 1531 2594 725 1150 1919 2950 4888 040 045 913 1448 2447 622 1039 1682 2589 4136 045 050 832 1364 2300 520 928 1444 2228 3384 050 055 758 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170 175 270 1053 1290 082 413 450 831 845 175 180 266 1065 1295 080 413 450 831 845 180 185 263 1077 1300 078 414 450 832 845 185 190 259 1090 1306 076 415 450 832 845 190 195 256 1102 1311 074 416 450 833 845 195 200 252 1114 1316 072 417 450 833 845 200 200 252 1250 1316 072 417 450 833 845 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 p carga uniforme menor valor entre a e b Mb momento ao longo da borda livre UNESPBauruSP Lajes de Concreto 99 Tabela A12 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo x 9 y a b x 10 y a b Tipo b a x x y yb x x y yb y yb b a 030 1250 5000 078 622 125 5000 211 867 1456 3700 030 030 733 4308 078 622 489 3833 211 867 1456 3700 030 035 517 3998 189 789 257 3308 318 974 1484 3553 035 040 300 3687 300 956 025 2783 425 1081 1513 3406 040 045 178 3389 362 1054 054 2394 453 1077 1426 3121 045 050 056 3091 424 1152 132 2004 480 1072 1340 2836 050 055 025 2802 462 1182 162 1740 486 999 1248 2526 055 060 106 2513 500 1211 192 1476 492 925 1156 2217 060 065 147 2290 525 1212 191 1291 468 855 1081 1963 065 070 188 2066 549 1212 190 1106 443 784 1006 1708 070 075 206 1884 561 1181 182 986 414 715 942 1517 075 080 223 1702 572 1150 173 865 386 645 877 1325 080 085 226 1559 566 1105 164 778 359 586 819 1187 085 090 228 1416 560 1059 154 691 333 526 760 1049 090 095 225 1299 548 1007 140 625 311 481 712 950 095 100 221 1182 536 955 125 559 288 435 664 851 100 105 233 1191 572 991 125 559 298 437 682 850 105 110 245 1200 608 1027 124 558 308 439 699 850 110 115 257 1208 644 1062 124 558 318 441 717 649 115 120 269 1217 680 1098 124 557 327 443 734 848 120 125 267 1220 709 1120 120 557 334 444 744 848 125 130 264 1222 737 1142 117 557 341 445 754 847 130 135 262 1225 755 1164 114 557 349 446 764 847 135 140 259 1228 793 1185 111 558 356 447 773 847 140 145 257 1231 822 1207 109 558 363 448 783 846 145 150 254 1233 850 1229 106 558 370 449 793 846 150 155 256 1235 868 1237 104 558 374 449 797 846 155 160 258 1236 886 1245 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200 243 597 116 332 490 145 070 075 363 205 231 579 121 315 468 150 075 080 335 209 219 561 123 298 446 155 080 085 311 212 207 542 126 283 424 159 085 090 286 214 194 523 128 267 402 163 090 095 264 213 183 509 131 252 377 167 095 100 241 212 172 495 134 236 352 170 100 105 247 232 178 520 151 244 364 192 105 110 253 251 184 544 168 253 375 213 110 115 258 271 190 568 187 260 386 234 115 120 264 290 196 592 205 268 396 255 120 125 266 310 200 613 223 273 402 276 125 130 270 328 206 637 240 279 407 296 130 135 273 346 210 659 258 283 409 317 135 140 276 364 214 680 275 286 412 337 140 145 279 381 217 700 292 289 414 356 145 150 281 397 221 720 308 293 416 374 150 155 284 412 223 738 324 295 417 392 155 160 287 427 225 755 339 297 417 409 160 165 285 443 225 766 356 295 412 427 165 170 283 459 225 776 372 294 408 446 170 175 284 472 227 792 385 296 406 460 175 180 285 485 230 807 398 298 405 474 180 185 284 498 233 818 411 297 401 489 185 190 284 511 235 829 423 296 397 503 190 195 280 524 234 834 436 292 387 518 195 200 278 536 232 840 448 288 376 532 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 menor valor entre a e b UNESPBauruSP Lajes de Concreto 101 Tabela A14 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR Tipo 14 p y a x b p x 15 y a b 16 p y a x b Tipo b a x xi xs y x y y x x y y b a 050 215 500 333 068 641 180 612 298 667 096 360 050 050 213 512 336 068 442 180 612 259 614 096 360 050 055 211 509 335 073 397 187 587 243 590 093 359 055 060 208 506 333 078 352 194 561 227 565 089 358 060 065 204 500 329 083 315 196 542 210 535 103 353 065 070 199 493 324 088 278 198 522 192 505 116 347 070 075 193 483 317 092 252 194 499 175 475 121 338 075 080 187 472 309 095 226 189 475 157 445 125 328 080 085 181 464 300 097 208 183 449 145 447 124 317 085 090 174 456 290 099 186 177 423 133 389 123 306 090 095 167 444 279 100 169 169 399 122 365 121 296 095 100 160 432 267 101 151 162 375 111 340 119 285 100 105 170 464 281 118 152 172 389 113 350 129 303 105 110 179 496 294 134 154 181 402 115 360 138 320 110 115 187 523 303 151 155 189 414 115 369 147 336 115 120 194 550 315 167 156 197 426 116 378 154 351 120 125 202 575 323 184 153 204 438 116 384 161 366 125 130 206 605 331 202 152 210 446 117 394 167 378 130 135 211 633 335 221 150 217 457 118 399 173 392 135 140 215 661 339 239 147 223 467 119 405 179 405 140 145 218 682 345 256 146 228 475 120 411 184 416 145 150 221 704 351 272 144 232 482 121 418 190 427 150 155 222 721 356 288 142 236 494 122 422 196 436 155 160 223 737 361 303 141 240 506 123 427 202 446 160 165 222 749 363 320 137 244 515 123 430 208 455 165 170 222 760 364 337 133 247 523 123 433 213 463 170 175 224 777 368 351 131 249 532 125 438 218 469 175 180 227 794 373 366 130 251 541 126 444 223 475 180 185 229 808 374 381 126 253 549 126 448 228 481 185 190 231 823 375 395 123 254 557 126 451 233 486 190 195 230 832 374 410 117 256 565 125 450 238 492 195 200 228 840 372 424 112 258 572 124 448 243 498 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 menor valor entre a e b UNESPBauruSP Lajes de Concreto 102 Tabela A15 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR Tipo 17 p x b y a b p a 18 y x Tipo b a x x y y x xi xs y y b a 050 423 583 116 464 215 500 333 080 292 050 050 362 512 116 464 207 494 323 080 292 050 055 338 483 123 461 199 484 316 079 295 055 060 313 453 131 458 191 474 308 078 297 060 065 290 418 139 453 181 459 293 080 298 065 070 267 382 147 447 170 444 278 082 298 070 075 247 348 152 433 162 426 262 087 294 075 080 227 313 156 419 153 408 245 092 291 080 085 208 284 155 402 144 389 228 097 289 085 090 188 255 154 385 134 370 211 101 286 090 095 172 230 152 373 124 350 194 102 278 095 100 155 205 149 361 114 330 176 103 270 100 105 158 199 160 375 117 343 175 114 290 105 110 160 193 171 389 120 356 175 125 309 110 115 160 190 180 403 121 366 173 134 326 115 120 159 186 189 418 122 376 173 142 343 120 125 156 180 198 432 120 383 169 151 359 125 130 157 176 205 446 122 392 167 158 374 130 135 156 169 212 461 121 398 163 166 390 135 140 155 163 219 475 120 404 159 174 405 140 145 155 158 225 487 121 411 156 181 417 145 150 155 154 230 498 122 418 153 188 428 150 155 155 149 235 508 122 422 149 195 438 155 160 155 143 240 518 123 427 145 201 448 160 165 154 138 244 528 123 430 140 207 456 165 170 153 133 249 538 123 433 135 213 465 170 175 153 131 251 547 125 438 133 217 471 175 180 152 130 253 555 126 444 130 221 477 180 185 148 126 256 564 126 448 126 225 483 185 190 144 123 258 573 126 451 123 229 488 190 195 140 117 261 582 125 450 115 233 494 195 200 136 112 263 591 124 448 108 237 500 200 Valores extraídos de BARES e adaptada por PINHEIRO 1994 100 p M 2 menor valor entre a e b UNESPBauruSP Lajes de Concreto 103 Tabela A16 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR Tipo b p a 19 y x p b 20 a y x Tipo b a x y yb x y yb y yb b a 030 578 578 956 589 500 811 1533 2356 030 035 549 567 909 532 466 715 1348 1887 035 040 519 556 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fletores em lajes com uma borda livre y M r y X x y M Carregamento 1 Carregamento 3 2 F kNm y x P F 1 x P F 1 kNm F P 05F x y Carregamento 2 F x y r r m M P x x m M P y y m P M xy xy m P M y y n X P Carregam 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 025 1 mr 131 125 121 117 115 114 115 120 130 152 194 294 602 105 mx 181 181 181 183 188 197 210 233 270 342 480 790 174 293 my 84 77 70 64 59 55 52 54 57 68 72 85 107 124 ny 121 113 105 98 91 85 79 74 71 68 68 71 81 90 mxy1 262 195 146 110 84 64 48 40 33 29 26 26 30 35 2 mr 273 254 238 226 216 213 210 217 235 276 352 535 110 189 mx 223 227 233 243 256 275 305 350 423 550 805 137 307 504 my 48 46 45 44 43 43 44 46 50 57 68 85 112 132 ny 101 98 95 92 89 87 85 84 84 85 89 98 115 132 mxy1 174 187 215 282 510 343 161 101 75 63 59 65 74 3 mr 43 43 43 43 44 46 48 52 57 64 80 116 21 26 mx 217 198 175 152 142 137 125 126 135 161 222 33 52 70 my 398 357 325 296 270 245 221 208 186 162 141 125 115 118 ny 353 299 213 165 129 103 84 70 59 51 45 42 43 45 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x x Xx Carregamento 1 y M Carregamento 2 M y 2 F kNm F1 kNm 1 x P F y x P F x y r r m M P x x m M P y y m P M xy xy m P M r r n X P x x n P X Carregam 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 025 1 mr 353 331 307 282 259 235 214 193 175 160 148 145 154 172 mx 371 351 333 314 299 284 269 257 247 238 238 248 282 323 my 108 102 96 90 83 76 68 60 53 48 424 382 375 375 nr 173 160 148 136 124 112 100 88 76 65 55 48 43 41 nx 172 165 155 145 135 126 118 110 102 96 91 87 84 83 2 mr 72 72 72 72 72 72 71 71 71 70 70 72 78 88 mx 140 105 77 56 42 33 27 21 17 15 14 14 14 15 my 20 20 20 20 20 20 20 20 20 22 26 35 65 120 nr 23 23 23 23 22 22 22 22 21 21 21 21 21 20 nx 275 174 106 70 461 346 250 186 135 101 79 63 53 52 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 109 Tabela A22 Momentos fletores em lajes com uma borda livre y r M X y X x x y M Carregamento 1 Carregamento 3 P F x y F kNm 2 F1 kNm P F x 1 y x P 05F Carregamento 2 F x y r r m M P x x m M P y y m P M r r n X P x x n P X y y n X P Carre gamento 20 18 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 025 1 mr 301 267 237 225 210 198 186 174 164 156 151 154 160 191 252 410 540 mx 332 303 273 276 270 265 260 259 260 265 279 305 349 440 635 118 196 my 201 195 137 130 123 115 106 95 83 73 67 66 71 80 105 247 550 nr 147 133 119 112 103 96 90 84 78 72 67 63 60 59 60 69 76 nx 179 163 148 141 134 130 126 123 121 122 123 129 136 151 174 223 261 ny 253 229 205 193 180 167 154 141 128 115 103 92 84 80 79 84 91 2 mr 95 72 566 459 371 319 282 306 367 486 101 mx 38 343 317 304 306 326 384 512 66 89 165 my 77 751 733 678 620 551 524 620 75 98 178 nr 443 393 330 276 226 182 145 113 115 118 142 nx 193 176 162 151 145 144 153 179 204 240 402 ny 181 168 155 142 130 118 108 102 104 110 138 3 mr 55 55 55 56 56 56 56 56 57 57 58 59 66 72 98 140 185 mx 73 61 49 55 47 39 32 26 21 191 171 183 201 235 291 45 58 my 735 621 518 228 234 235 240 238 232 220 202 183 164 144 128 118 114 nr 26 26 26 26 26 26 25 24 24 23 23 22 23 24 29 36 42 nx 81 63 473 348 242 161 116 119 104 108 118 137 147 ny 301 230 152 105 70 48 34 24 141 101 76 61 55 52 51 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 110 Tabela A23 Momentos fletores em lajes com uma borda livre X y M r x y X x Carregamento 2 y M Carregamento 1 M y P F x y F kNm 2 P F x 1 1 kNm F x y r r m M P x x m M P y y m P M r r n X P x x n P X y y n X P Carregam 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 025 1 mr 358 234 310 286 264 243 224 209 199 198 213 268 464 770 mx 398 383 370 358 349 343 340 343 356 386 456 636 126 228 my 163 152 141 130 119 109 995 910 834 800 834 108 208 417 nr 178 166 153 141 128 116 104 93 82 74 68 68 76 86 nx 187 178 170 162 156 150 145 143 142 147 158 181 230 272 ny 264 246 228 211 193 176 158 142 126 111 98 90 90 96 2 mr 70 70 71 71 72 72 73 73 74 79 92 130 212 335 mx 143 112 85 63 475 355 282 240 221 233 271 343 54 84 my 22 22 22 22 22 22 22 21 21 19 17 15 13 12 nr 23 23 23 22 22 22 21 21 21 22 22 26 33 41 nx 262 165 102 68 471 358 270 205 158 132 121 125 139 156 ny 250 120 59 35 20 124 86 59 53 52 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 111 Tabela A24 Reações de apoio das lajes com uma borda livre Carregamento uniforme A23 Vx1 x2 V Vy A24 Vx Vx A25 Vx1 x2 V Vy A26 Vx Vy x V y V Vx x V A21 Vy A22 Vx x V Vy x y x x x v p R x1 x x1 v p R x2 x x2 v p R y y y v p R Caso 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 025 A21 Vx 045 045 044 043 042 041 039 037 034 031 028 022 016 013 Vy 028 020 032 034 036 040 044 049 054 059 064 072 080 084 A22 Vx 034 032 030 028 027 026 024 021 019 018 015 014 012 010 Vy 030 034 038 040 042 042 044 048 050 052 054 056 062 068 A23 Vx1 054 053 053 052 051 051 050 048 047 045 043 039 036 034 Vx2 037 036 035 035 034 033 032 031 028 026 023 021 018 015 Vy 015 018 020 021 023 024 026 029 035 036 040 046 051 056 A24 Vx 043 042 042 041 041 040 040 039 038 037 035 032 029 027 Vy 014 016 016 018 018 020 020 022 024 026 030 036 042 046 A25 Vx1 050 050 049 048 046 046 041 038 034 032 028 023 018 014 Vx2 028 027 027 026 025 024 023 022 021 018 015 012 010 010 Vy 022 023 024 026 029 032 035 038 042 045 051 057 063 066 A26 Vx 042 041 040 039 038 037 035 034 032 030 027 023 019 017 Vy 016 016 020 022 024 026 030 032 036 040 046 054 062 066 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 112 Tabela A25 Valores de Kc e Ks para o aço CA50 para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa c 14 γs 115 FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES d x x Kc cm2kN Ks cm2kN Dom C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA50 001 1378 1034 827 689 591 517 459 413 0023 2 002 692 519 415 346 296 259 231 208 0023 003 463 347 278 232 198 174 154 139 0023 004 349 262 209 174 149 131 116 105 0023 005 280 210 168 140 120 105 93 84 0023 006 234 176 141 117 100 88 78 70 0024 007 202 151 121 101 86 76 67 61 0024 008 177 133 106 89 76 66 59 53 0024 009 158 119 95 79 68 59 53 47 0024 010 143 107 86 71 61 54 48 43 0024 011 131 98 78 65 56 49 44 39 0024 012 120 90 72 60 51 45 40 36 0024 013 111 84 67 56 48 42 37 33 0024 014 104 78 62 52 45 39 35 31 0024 015 97 73 58 49 42 37 32 29 0024 016 92 69 55 46 39 34 31 27 0025 017 87 65 52 43 37 32 29 26 0025 018 82 62 49 41 35 31 27 25 0025 019 78 59 47 39 34 29 26 23 0025 020 75 56 45 37 32 28 25 22 0025 021 71 54 43 36 31 27 24 21 0025 022 68 51 41 34 29 26 23 21 0025 023 66 49 39 33 28 25 22 20 0025 024 63 47 38 32 27 24 21 19 0025 025 61 46 37 31 26 23 20 18 0026 026 59 44 35 29 25 22 20 18 0026 027 57 43 34 28 24 21 19 17 0026 3 028 55 41 33 28 24 21 18 17 0026 029 54 40 32 27 23 20 18 16 0026 030 52 39 31 26 22 19 17 16 0026 031 51 38 30 25 22 19 17 15 0026 032 49 37 30 25 21 18 16 15 0026 033 48 36 29 24 21 18 16 14 0026 034 47 35 28 23 20 18 16 14 0027 035 46 34 27 23 20 17 15 14 0027 036 45 33 27 22 19 17 15 13 0027 037 44 33 26 22 19 16 15 13 0027 038 43 32 26 21 18 16 14 13 0027 040 41 31 25 20 18 15 14 12 0027 042 39 29 24 20 17 15 13 12 0028 044 38 28 23 19 16 14 13 11 0028 045 37 28 22 19 16 14 12 11 0028 046 37 27 22 18 16 14 12 11 0028 048 35 27 21 18 15 13 12 11 0028 050 34 26 21 17 15 13 11 10 0029 052 33 25 20 17 14 12 11 10 0029 054 32 24 19 16 14 12 11 10 0029 056 32 24 19 16 14 12 11 09 0030 058 31 23 18 15 13 12 10 09 0030 060 30 23 18 15 13 11 10 09 0030 062 29 22 18 15 13 11 10 09 0031 063 29 22 17 15 12 11 10 09 0031 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 113 Tabela A26 ÁREA DE ARMADURA POR METRO DE LARGURA cm2m Espaçamento cm Diâmetro Nominal mm 42 5 63 8 10 125 5 277 400 630 1000 1600 2500 55 252 364 573 909 1455 2273 6 231 333 525 833 1333 2083 65 213 308 485 769 1231 1923 7 198 286 450 714 1143 1786 75 185 267 420 667 1067 1667 8 173 250 394 625 1000 1563 85 163 235 371 588 941 1471 9 154 222 350 556 889 1389 95 146 211 332 526 842 1316 10 139 200 315 500 800 1250 11 126 182 286 455 727 1136 12 115 167 262 417 667 1042 125 111 160 252 400 640 1000 13 107 154 242 385 615 962 14 099 143 225 357 571 893 15 092 133 210 333 533 833 16 087 125 197 313 500 781 17 081 118 185 294 471 735 175 079 114 180 286 457 714 18 077 111 175 278 444 694 19 073 105 166 263 421 658 20 069 100 158 250 400 625 22 063 091 143 227 364 568 24 058 083 131 208 333 521 25 055 080 126 200 320 500 26 053 077 121 192 308 481 28 049 071 112 179 286 446 30 046 067 105 167 267 417 33 042 061 095 152 242 379 Elaborada por PINHEIRO 1994 Diâmetros especificados pela NBR 7480 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 114 Tabela A27 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM b cm para Asef Ascalc e aço CA50 nervurado mm Concreto C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 63 48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 8 61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 10 76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 125 95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 16 121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 20 151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 225 170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53 119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 25 189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 32 242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 40 303 212 250 175 215 151 191 133 172 120 157 110 145 102 136 95 212 148 175 122 151 105 133 93 120 84 110 77 102 71 95 66 Valores de acordo com a NBR 611814 No Superior Má Aderência No Inferior Boa Aderência b Sem e Com ganchos nas extremidades Asef área de armadura efetiva Ascalc área de armadura calculada O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo 100 mm 10 30 b mín b c 14 s 115 UNESPBauruSP Lajes de Concreto 115 Tabela A28 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM b cm para Asef Ascalc e aço CA60 entalhado mm Concreto C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 34 50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 42 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 5 73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 6 88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 7 102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 8 117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26 95 139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 Valores de acordo com a NBR 611814 No Superior Má Aderência No Inferior Boa Aderência b Sem e Com ganchos nas extremidades Asef área de armadura efetiva Ascalc área de armadura calculada O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo 100 mm 10 30 b mín b c 14 s 115