Exercícios Resolvidos - Relações, Funções e Teoria dos Conjuntos

Q3 Te R x R tal que a T y y x² 1 a O domínio e o contradomínio de T são R Vamos determinar a imagem Temos que para todo x em R x² 0 x² 1 1 ImT y em R y 1 b A relação T é funcional pois cada x se relaciona com apenas um y No entanto T não é injetora Vejamos um contrexemplo temos que 1² 1 2 1² 1 1 T 2 e 1 T 2 mas 1 1 Além disso a relação não é sobrejetora pois ImT R Por fim como T não é injetora também não é bijetora e sua inversa não será funcional Q4 R1 12 23 22 31 44 N Reflexiva Não temos o par 11 N Antissimétrica 1 R1 2 e 2 R1 1 mas 1 2 N Simétrica 2 R 3 mas não temos 3 R 2 N Transitiva 1 R1 2 e 2 R 3 mas não temos 1 R 3 N Rel de Equiv N Rel de Ordem Não é transitiva R2 1 2 2 3 3 4 1 3 N Reflexiva Não temos 1 1 S Antissimétrica N Simétrica Temos 12 mas não temos 21 N Transitiva Temos 2 3 e 3 4 mas não temos 2 4 N Rel Equiv N Rel Ordem Q1 A 0 2 4 e B 1 2 3 a R S A x B tal que xRy y x1 para y 1 temos 1 0 1 1 02 e 1 0 4 Não temos pares da forma x 1 Para y 2 temos 2 01 2 22 e 2 41 Temos um par 0 2 Para y 3 3 0 1 3 2 1 e 3 4 1 Temos um par 0 3 Logo os pares ordenados que satisfazem R são 0 2 e 0 3 Além disso temos que DomR 0 ImR 2 3 e a relação é classificada como um para muitos b S S A x B tal que xSy x y Temos que 0 não divide x para todo y e B Já o número 2 divide 2 e 4 não divide ninguém Logo o único par ordenado é 2 2 Assim DomS 2 ImS 2 e S é uma relação um para um c T S A x B tal que x T y x y é par Como todo elemento de A é par temos que x T y y é par Logo os pares ordenados que satisfazem T são 0 2 2 2 e 4 2 Assim DomT A ImT 2 e T é uma relação muitos para um Q2 S S R x R tal que x S y y x² e W S R x R tal que x W y y x 2 a Para representar graficamente as relações vamos esboçar os gráficos y x² e y x 2 e demarcar os pontos que satisfazem as relações b S W S W satisfaz as duas relações ao mesmo tempo c S W S W são os pontos em que y x² e y x 2 R3 11 22 33 44 12 21 S Reflexiva N Antissimétrica Temos 12 e 21 com 1 2 S Simétrico S Transitiva S Rel Equiv N Rel Ordem R4 11 22 33 44 12 34 S Reflexiva S Antissimétrica N Simétrica Temos 12 mas não temos 21 S Transitiva N Rel Equiv S Rel Ordem Q5 A relação R N x N tal que xRy xy é par é uma relação de equivalência Vejamos Reflexividade Para todo x N temos xx 2x xx é par xRx Simetria para todo x N e todo y N temos xy é par yx é par pois xy yx Comutatividade Transitividade Se xRy e yRz então xy é par e yz é par da adição em N Logo xyyz é par x2yz 2k 2yz 2k2y xz 2ky xRz Q6 A 8 7 5 3 2 1 0 1 2 4 6 7 9 e xRy x y mod k a As classes de equivalência são 0 8 0 4 Resto 4 1 7 3 1 5 Resto 1 2 2 2 6 Resto 2 7 5 1 7 Resto 3 b O grafo será a b se e somente se aRb 80 73 22 51 49 91 67 Q7 A 2 6 8 10 12 16 e xRy xy a O diagrama de Hasse será 12 16 6 8 10 2 b Esta é uma relação de ordem parcial pois alguns pares não são comparáveis Por exemplo 10 12 e 12 10 logo 1012 R e 1210 R