Avaliação Somativa Modelagem Avançada de Sistemas - Transformada de Laplace

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ MODELAGEM AVANÇADA DE SISTEMAS Avaliação Somativa 12 Nome Problema 01 Calcule a transformada das funções indicando as propriedades utilizadas 1 Lteᵗsen2t 2 Lt2²ut1 Problema 02 Calcule a transformada inversa das funções indicando as propriedades utilizadas 1 L¹2s²4s6s²2s5s1² 2 L¹e²ˢs1s²2s5 Problema 03 Considere o seguinte problema de valor inicial y y ft y0 0 y0 0 em que ft 1 se 0 t 1 1 se t 1 1 Use transformada de Laplace para encontrar a solução do PVI 2 Verifique se a função encontrada na item 1 é de fato solução do PVI Problema 04 Considere o seguinte problema de valor inicial para um sistema de equações integrodiferenciais xt xt 2yt xt ₀ᵗ yτdτ 1 com x0 0 Usando transformada de Laplace resolva o sistema obtendo xt e yt Questão 1 Note que temos L sin2t 2 s 24 Logo pelas propriedades da transformada temos L e tsin2t 2 s1 24 L t e tsin2td ds L e tsin2t d ds 2 s1 24 2 s1 24 2 d s1 24 ds 2 s1 24 2 2 s1 4 s1 s1 24 2 Note que temos L t2 2u t1L t11 2u t1 Lt1 22 t11u t1 L t1 2u t12L t1u t1Lu t1 Logo pelas propriedades da transformada temos e s Lt 22e sL t e sL 1 e s L t 22L t L1 e s 2 s 3 2 s 2 1 s e s 22ss 2 s 3 Questão 2 Note que temos L 1 2s 24 s6 s 22s5 s1 22 L 1 s 22s3 s 22s5 s1 2 2 L 1 s 22s52 s 22s5 s1 2 2 L 1 s 22s5 s 22s5 s1 22L 1 2 s 22s5 s1 2 2 L 1 1 s1 24 L 1 1 s 22s14 s1 2 2 L 1 1 s1 24 L 1 1 s1 24 s1 2 2 L 1 1 s1 2L 1 1 s1 2 1 s1 24 L 1 1 s1 2L 1 1 s1 24 L 1 1 s1 2 1 2 L 1 2 s1 24 e t L 1 1 s 2 1 2 e t L 1 2 s 24 e tt 1 2 e tsin2t e tt 1 2 sin2t Note que temos L 1 e 2s s1 s 22s5L 1e 2s s1 s 22s14 L 1e 2s s1 s1 22 2 L 1 s1 s1 22 2t2 u t2 e t L 1 s s 22 2t2 u t2 e tcos2t t2u t2 e t2cos 2t4 u t2 e t2cos 2t4 u t2 Questão 3 Note que podemos expressar f da seguinte forma f 12u t1 Logo a equação fica y yf y y12u t1 Aplicando Laplace temos L y L yL12 Lu t1 s L y y 0 L y1 s 2e s L1 sL y 0L y1 s 2e s s ss L y y 0L y1 s2e s s s 2 L y L y1 s 2e s s s 21 L y 1 s2e s s L y 1 s 1 s 21 2e s s 1 s 21 Aplicando a inversa temos yL 1 1 s 1 s 212 L 1 e s s 1 s 21 yL 1 1 s 1 s 212 L 1 1 s 1 s 21t1 u t1 yL 1 1 s s s 212 L 1 1 s s s 21t1 ut1 y1cost2 1cost t1u t1 y1cost21cos t1u t1 A função é dada por y1cost21cos t1u t1 Derivando temos y sint2 sin t1u t1 y cost2 cos t1 u t1 Substituindo na equação verificamos a solução y y12u t1 cost2cos t1u t11cos t21cos t1u t1 12u t1 2 0 u t1 12 1u t112u t1 12u t112u t1 00 Questão 4 Obs verifiquei que para este exercício não fazia sentido ter x 00 no enunciado pois isto não conduzia a nenhuma solução ver isto com o professor Assim nos cálculos precisei adotar x 01 Aplicando a transformada a ambas as equações obteremos sL x x 0L x 2 L y L x1 s L y L 1 Assim temos sL x 1L x 2 L y L x 1 s L y 1 s sL x L x 2L y 1 s L x L y 1 Da segunda equação temos L y sL x 1 Substituindo na primeira temos sL x L x 2 L y 1 sL x L x 2 sL x 11 L xsL x 1 s1L x 1 L x 1 s1 x1 L 1 1 s1 xe t L 1 1 s xe t Logo temos L y sL x 1 L y s 1 s11 L y s s1s1 s1 L y 1 s1 yL 1 1 s1 ye t Se esta solução ajudou você favor deixar um comentário no meu perfil para outros alunos verem que se trata de um Guru comprometido Obrigado Questão 1 Note que temos 𝐿sin 2𝑡 2 𝑠2 4 Logo pelas propriedades da transformada temos 𝐿𝑒𝑡 sin 2𝑡 2 𝑠 12 4 𝐿𝑡𝑒𝑡 sin 2𝑡 𝑑 𝑑𝑠 𝐿𝑒𝑡 sin 2𝑡 𝑑 𝑑𝑠 2 𝑠 12 4 2 𝑠 12 42 𝑑𝑠 12 4 𝑑𝑠 2 𝑠 12 42 2𝑠 1 𝟒𝒔 𝟏 𝒔 𝟏𝟐 𝟒𝟐 Note que temos 𝐿𝑡 22𝑢𝑡 1 𝐿𝑡 1 12𝑢𝑡 1 𝐿𝑡 12 2𝑡 1 1𝑢𝑡 1 𝐿𝑡 12𝑢𝑡 1 2𝐿𝑡 1𝑢𝑡 1 𝐿𝑢𝑡 1 Logo pelas propriedades da transformada temos 𝑒𝑠𝐿𝑡2 2𝑒𝑠𝐿𝑡 𝑒𝑠𝐿1 𝑒𝑠𝐿𝑡2 2𝐿𝑡 𝐿1 𝑒𝑠 2 𝑠3 2 𝑠2 1 𝑠 𝒆𝒔 𝟐 𝟐𝒔 𝒔𝟐 𝒔𝟑 Questão 2 Note que temos 𝐿1 2𝑠2 4𝑠 6 𝑠2 2𝑠 5𝑠 12 2𝐿1 𝑠2 2𝑠 3 𝑠2 2𝑠 5𝑠 12 2𝐿1 𝑠2 2𝑠 5 2 𝑠2 2𝑠 5𝑠 12 2𝐿1 𝑠2 2𝑠 5 𝑠2 2𝑠 5𝑠 12 2𝐿1 2 𝑠2 2𝑠 5𝑠 12 2𝐿1 1 𝑠 12 4𝐿1 1 𝑠2 2𝑠 1 4𝑠 12 2𝐿1 1 𝑠 12 4𝐿1 1 𝑠 12 4𝑠 12 2𝐿1 1 𝑠 12 𝐿1 1 𝑠 12 1 𝑠 12 4 𝐿1 1 𝑠 12 𝐿1 1 𝑠 12 4 𝐿1 1 𝑠 12 1 2 𝐿1 2 𝑠 12 4 𝑒𝑡𝐿1 1 𝑠2 1 2 𝑒𝑡𝐿1 2 𝑠2 4 𝑒𝑡𝑡 1 2 𝑒𝑡 sin 2𝑡 𝒆𝒕 𝒕 𝟏 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒕 Note que temos 𝐿1 𝑒2𝑠𝑠 1 𝑠2 2𝑠 5 𝐿1 𝑒2𝑠 𝑠 1 𝑠2 2𝑠 1 4 𝐿1 𝑒2𝑠 𝑠 1 𝑠 12 22 𝐿1 𝑠 1 𝑠 12 22 𝑡2 𝑢𝑡 2 𝑒𝑡𝐿1 𝑠 𝑠2 22 𝑡2 𝑢𝑡 2 𝑒𝑡 cos 2𝑡𝑡2𝑢𝑡 2 𝑒𝑡2 cos2𝑡 4 𝑢𝑡 2 𝒆𝒕𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒕 𝟒 𝒖𝒕 𝟐 Questão 3 Note que podemos expressar 𝑓da seguinte forma 𝑓 1 2𝑢𝑡 1 Logo a equação fica 𝑦 𝑦 𝑓 𝑦 𝑦 1 2𝑢𝑡 1 Aplicando Laplace temos 𝐿𝑦 𝐿𝑦 𝐿1 2𝐿𝑢𝑡 1 𝑠𝐿𝑦 𝑦0 𝐿𝑦 1 𝑠 2𝑒𝑠𝐿1 𝑠𝐿𝑦 0 𝐿𝑦 1 𝑠 2𝑒𝑠 𝑠 𝑠𝑠𝐿𝑦 𝑦0 𝐿𝑦 1 𝑠 2𝑒𝑠 𝑠 𝑠2𝐿𝑦 𝐿𝑦 1 𝑠 2𝑒𝑠 𝑠 𝑠2 1𝐿𝑦 1 𝑠 2𝑒𝑠 𝑠 𝐿𝑦 1 𝑠 1 𝑠2 1 2𝑒𝑠 𝑠 1 𝑠2 1 Aplicando a inversa temos 𝑦 𝐿1 1 𝑠 1 𝑠2 1 2𝐿1 𝑒𝑠 𝑠 1 𝑠2 1 𝑦 𝐿1 1 𝑠 1 𝑠2 1 2 𝐿1 1 𝑠 1 𝑠2 1 𝑡1 𝑢𝑡 1 𝑦 𝐿1 1 𝑠 𝑠 𝑠2 1 2 𝐿1 1 𝑠 𝑠 𝑠2 1 𝑡1 𝑢𝑡 1 𝑦 1 cos 𝑡 21 cos 𝑡𝑡1𝑢𝑡 1 𝒚 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝟐𝟏 𝐜𝐨𝐬𝒕 𝟏𝒖𝒕 𝟏 A função é dada por 𝑦 1 cos 𝑡 21 cos𝑡 1𝑢𝑡 1 Derivando temos 𝑦 sin 𝑡 2sin𝑡 1𝑢𝑡 1 𝑦 cos 𝑡 2cos𝑡 1𝑢𝑡 1 Substituindo na equação verificamos a solução 𝑦 𝑦 1 2𝑢𝑡 1 cos 𝑡 2cos𝑡 1𝑢𝑡 1 1 cos 𝑡 21 cos𝑡 1𝑢𝑡 1 1 2𝑢𝑡 1 20𝑢𝑡 1 1 21𝑢𝑡 1 1 2𝑢𝑡 1 1 2𝑢𝑡 1 1 2𝑢𝑡 1 0 0 Questão 4 Obs verifiquei que para este exercício não fazia sentido ter 𝑥0 0 no enunciado pois isto não conduzia a nenhuma solução ver isto com o professor Assim nos cálculos precisei adotar 𝑥0 1 Aplicando a transformada a ambas as equações obteremos 𝑠𝐿𝑥 𝑥0 𝐿𝑥 2𝐿𝑦 𝐿𝑥 1 𝑠 𝐿𝑦 𝐿1 Assim temos 𝑠𝐿𝑥 1 𝐿𝑥 2𝐿𝑦 𝐿𝑥 1 𝑠 𝐿𝑦 1 𝑠 𝑠𝐿𝑥 𝐿𝑥 2𝐿𝑦 1 𝑠𝐿𝑥 𝐿𝑦 1 Da segunda equação temos 𝐿𝑦 𝑠𝐿𝑥 1 Substituindo na primeira temos 𝑠𝐿𝑥 𝐿𝑥 2𝐿𝑦 1 𝑠𝐿𝑥 𝐿𝑥 2𝑠𝐿𝑥 1 1 𝐿𝑥 𝑠𝐿𝑥 1 𝑠 1𝐿𝑥 1 𝐿𝑥 1 𝑠 1 𝑥 1𝐿1 1 𝑠 1 𝑥 𝑒𝑡𝐿1 1 𝑠 𝒙 𝒆𝒕 Logo temos 𝐿𝑦 𝑠𝐿𝑥 1 𝐿𝑦 𝑠 1 𝑠 1 1 𝐿𝑦 𝑠 𝑠 1 𝑠 1 𝑠 1 𝐿𝑦 1 𝑠 1 𝑦 𝐿1 1 𝑠 1 𝒚 𝒆𝒕 Se esta solução ajudou você favor deixar um comentário no meu perfil para outros alunos verem que se trata de um Guru comprometido Obrigado