Lista de Exercícios de Equações Diferenciais de Primeira Ordem

1 Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais LISTA DE EXERCÍCIOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 1 Em cada caso indique a ordem da ED e verifique se a função dada é uma solução a c b d 2 Em cada caso verifique se a função dada é uma solução da ED a c b d 3 Em cada caso determine crie uma ED de primeira ordem envolvendo que seja satisfeita pela função dada a b c d 0 2 y y Ce x y 2 0 y y Bsenx x A y cos y 0 c bx ax y 2 0 y y x x C e C e y 2 1 x y 2 C x y 2 y x y C y x 2 2 0 2 xy y Ce x2 y 0 2 y xy y y x e y C Cx y 2 y e y y y 4x3 x y 1 y tgx e x y 4 3 2 4 Em cada caso de EDO simples determine a e também a constante de integração C de modo que satisfaça a condição dada a b c d 5 Determine a curva do plano xy que passa pelo ponto 32 e possui em cada ponto coeficiente angular 6 Verifique se é solução de em a 7 Se é solução da ED encontre a solução particular para Respostas 1 a 1ª ordem é solução b 3ª ordem é solução c 2ª ordem é solução d 2ª ordem é solução 2 a é solução b é solução c é solução d é solução de Desconsidere 3 a y y 4x³ 12x² b c y y tgx sec²x d y y 3e4x 12e4x 4 No exercício y a b y cy d y 5 6 a sim bsim csim 7 y 2ex3 ò f x dx y 0 2 2 e y x f x 2 cos 2 p p x e y x f 1 0 cos2 x e y f x 0 0 2 e y xe x f x 2 x y y 0 4 cos2 2 0 0 2 1 2 1 2 2 y x e y C C sen x c y y e y Ce b y xy C e y x y x Ce x y 0 y y 2 3 y C2 Cx y 0 2 y xy y y x y ² 1 1 x x y y ò f x dx 2 3 x³ y 4 2 2 1 sen x x 1 2 2 x sen 2 1 2 1 ² x e 7 3 y x³ 3 A Resolva as ED 1 2 3 4 5 6 7 R 8 R 9 R 10 R 11 R arcsenyarctgxc 12 R 13 R 2 2 2 1 x C R y x dy xydx dy C ou x y R y y x y dx dy ln 3 4 3 4 cey x y 3 4 cx R y xdy ydx 0 y dx dy 2 C x R y 1 c x y R x dy y dx 11 0 1 1 0 2 2 2 2 tx x dt dx xt t c t x tx t R x ln 0 2 x dy a dx y ce x a y 1 0 1 2 xdy dx y c arctgy x 2 dy ytgxdx 0 x c y cos 0 cos cos xsenydy ydx senx y c x cos cos 0 1 1 2 2 y dx dy x 0 sec 1 3 2 ydy e e tgydx x x 31 c ex tgy 0 2 2 x y dy y y x dx x k x y y x 2 2 2 2 4 B Achar as soluções particulares para as condições iniciais dadas Problemas de valor inicial 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8 R 1 Dar a solução geral das equações diferenciais lineares do primeiro grau a b c d e 2 1 0 1 2 3 para y x ydx dy x 4 1 3 3 x y 1 2 0 2 para y ydx xdy 2 4 x y 1 0 0 1 1 2 2 y para y y x x x tgc ou y xy x y 1 1 1 1 1 0 para y y xy x y 1 1 ytgx para y p y x y sec ln 2 2 2 2 ln y para y x yx ln x 2 y 0 1 3 para y y xyy ln27 3 3ln x y y k yx para y dx dy 0 2 ke x2 y x x C e x R y e y y 3 3 x C sen x x R y x ytgx y sec 2 4 1 2 1 cos Cex x R y x y y 1 ex C R y y y 1 1 x C x R y x y xy 2 5 f g h i j 2 Achar a solução particular das ED lineares do primeiro grau PVI a b Ce senx senx R y x sen x y y 1 2 2 1 cos 2 2 4 2 Ce x R y x xy dx dy Cx x R y x x y dx dy 2 3 2 t C sent R r rsent t dt dr cos 1 cos 42 2 1 2 4 Ce R y y dx dy x x R y sen x com y ytgx y 2cos2 3cos 1 0 2 2 1 1 0 3 5 5x x x e e R y com y e y y 6 1 Calcule o diferencial total das funções a𝑈𝑥 𝑦 𝑥𝑦 ln b 𝑈𝑥 𝑦 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 c 𝑈𝑥 𝑦 2𝑥 2𝑥𝑦 2𝑥 4𝑦 3𝑦 2 Nos Problemas seguintes verifique se a equação dada é exata Se for resolva a Resposta b Resposta c Resposta d Resposta não exata e Resposta f Resposta não exata g Resposta h Resposta i Resposta 3 Mostre que as equações nos problemas 1 a 4 não são exatas mas tornamse exatas ao serem multiplicadas por um fator integrante µxy Depois resolva as equações 0 7 3 1 2 dy y dx x C y y x x 7 2 3 2 2 0 8 4 4 5 3 dy y x y dx x C y xy x 4 2 2 4 2 5 0 4 2 3 2 2 2 dy yx dx y x C y x x y 4 3 2 2 0 2 y dy x x y dx y x x 0 2 cos 3 sen 2 2 3 x dy y xy x dx x y y C x x y xy 2 2 3 2 1 cos 0 ln ln 1 y dy x y dx e y y xy 6 2 2 x y xe xy x C x e xe xy x x 2 3 2 2 0 3 1 3 1 1 1 x dy y y dx x C xy xy y x ln 3 0 9 1 1 2 3 2 2 3 x y dy dx x x y C x artg x y 3 3 3 x y x x x xe x y y dy x y dx x y x y dy ye x dx y ye x y y dy y x e y x dx e y y xy x y dx dy y y x ø ö çç è æ ø ö çç è æ 0 cos 2sen 4 0 2 3 0 cos 2 cos sen 2 sen 2 1 0 1 1 3 2 3 2 µ µ µ µ