Mecânica dos Sólidos: Torção - Fundamentos e Aplicações

MECÂNICA DOS SÓLIDOS Engenharias Elétrica e de Produção TORÇÃO Introdução Torção 3 Torque é um tipo de momento que tende a girar um membro ao longo do seu eixo longitudinal Seus efeitos são de grande interesse no projeto de eixos utilizados em veículos e maquinário em geral A aplicação de momento torsor resulta em linha longitudinais distorcidas adquirindo um formato helicoidal Torção Introdução Introdução Torção 5 As circunferências permanecem como circunferências e a interseção entre as linhas horizontais e as circunferências possuem sempre o mesmo ângulo Note também que as seções transversais eram planas e permanecem planas assim como linhas radiais permanecem retas Introdução Torção 6 Caso o ângulo de giro seja pequeno o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados Considerando então um eixo engastado livre uma linha radial a uma distância x da origem irá rotacionar um ângulo φx Convenção de Sinais Torção 7 A convenção de sinais é dada pela regra da mão direta sendo o torque e o giro positivos quando apontarem para fora da seção Introdução Torção 9 Considerando que o material permaneça no regime linear elástico então podese dizer que Torção Exemplo Ângulo de torção Torção 10 Por vezes o projeto de um eixo depende de uma restrição da quantidade de rotação ou do giro que é permitido quando submetido a um torque Para determinar o ângulo de giro φ de uma seção do eixo em relação a outra devese adotar as seguintes hipóteses que o eixo possui uma seção transversal circular que pode variar ao longo do comprimento que o material é homogêneo que está solicitado dentro da região linear elástica Transmissão de Potência Torção 11 Eixos e tubos de seção transversal circular normalmente são utilizados para transmitir potência gerada por uma máquina Nestes casos são submetidos a um torque que depende da potência transmitida e da velocidade angular do eixo Assim o trabalho transmitido por um eixo rotativo é igual ao produto entre o torque aplicado a velocidade de rotação rads Transmissão de Potência Torção 12 Em máquinas rotativas é comum se informar a frequência ao invés da velocidade angular A frequência marca a quantidade de ciclos por segundo assim Eixos não Circulares Torção 13 Devido à uniformidade da tensão de cisalhamento em todos os pontos de mesmo raio a seção transversal de eixos circulares não se deforma ela permanece plana após a deformação Seções transversais não circulares quando submetidas a torção tenderão a abaular ou entortar Eixos não Circulares Torção 14 Normalmente esperase que a maior tensão esteja localizada na superfície externa mas neste caso a tensão máxima sempre acaba ocorrendo no ponto da superfície mais próximo do centro do eixo ESTRUTURAS EM FLEXÃO Introdução Estruturas em Flexão Até o momento viuse como os carregamentos externos provocam em uma estrutura esforços internos No caso dos esforços normais viuse como estes são responsáveis por provocar alongamentos ou contrações nas estruturas Já no caso de esforços aplicados transversalmente a estrutura ocorre a flexão da estrutura a qual é caracterizada por sua distribuição tensões ao longo da seção 16 Introdução Estruturas em Flexão Os carregamento de flexão provocam deformações no eixo da estruturaviga o qual se curva de acordo com a deflexão promovida Inicialmente iremos considerar apenas carregamentos aplicados no plano xy conhecido como plano de flexão 17 Introdução Estruturas em Flexão Ao se analisar vigas em flexão é necessário identificar a presença de forças de cisalhamento A flexão pura é aquela que ocorre em regiões onde o esforço cortante é nulo e por consequência o momento fletor é constante 18 Introdução Estruturas em Flexão No caso de existirem esforços cortantes na viga o momento será nãouniforme ou seja o momento fletor irá variar ao longo do eixo longitudinal da viga No exemplo abaixo a parte central da viga está em flexão pura já que esforço cortante é nulo 19 Hipóteses Estruturas em Flexão São ainda consideradas outras simplificações em relação a teoria da elasticidade as quais resultam no modelo de viga de EulerBernoulli O comprimento da viga é muito maior que as outras dimensões Planos perpendiculares à seção da viga permanecem planos e perpendiculares depois da deformação O ângulo de rotação é muito pequeno raio de curvatura grande A energia envolvida no cisalhamento é desprezada 20 Hipóteses Estruturas em Flexão 21 Viga de EulerBernoulli httpswwwyoutubecomwatchvBthnS6LJt8s Hipóteses Estruturas em Flexão Quanto ao material ele deve atender aos seguintes prérequisitos A viga é constituída de um material linearmente elástico O Coeficiente de Poisson é negligenciável A viga é constituída de material homogêneo com densidade constante 22 Hipóteses Estruturas em Flexão Conforme aumentase o ângulo de rotação da viga deformada atingindo menores raios de curvatura as seções transversais deixam de ser perpendiculares a linha neutra 23 Hipóteses Estruturas em Flexão Estas hipóteses implicam na existência de uma superfície paralela às faces superior e inferior da barra fletida na qual a tensão 𝜎𝑥 e a deformação 𝜀𝑥 sejam iguais à zero Ou seja esta linha não sofrerá alteração em seu comprimento após a deformação da viga o que pode ser visto nas figuras abaixo 24 Hipóteses Estruturas em Flexão Finalmente 25 Exemplo Estruturas em Flexão A viga simplesmente apoiada abaixo tem a área da seção transversal conforme mostrado abaixo Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e trace a distribuição de tensão ao longo da seção transversal neste local 26 Exemplo Estruturas em Flexão O diagrama de momento fletor para a viga em questão é da forma onde é possível notar que o centro da viga estará sujeito a maiores esforços 27 Exemplo Estruturas em Flexão Por se tratar de uma seção transversal simétrica na horizontal e na vertical não é necessário determinar o centróide da seção da viga 28 Exemplo Estruturas em Flexão Porém ainda é necessário determinar o momento de inércia 29 𝐼𝑥 ഥ𝐼𝑥 𝐴 𝑑𝑦2 𝐼𝑥 𝑠𝑢𝑝 𝐼𝑥 𝑖𝑛𝑓 1 12 𝑏 ℎ3 𝑏 ℎ 𝑑2 𝐼𝑥 𝑠𝑢𝑝 𝐼𝑥 𝑖𝑛𝑓 1 12 250 20 3 250 20 160 2 𝐼𝑥 𝑠𝑢𝑝 𝐼𝑥 𝑖𝑛𝑓 1282 108𝑚𝑚4 𝐼𝑥 𝑠𝑢𝑝 𝐼𝑥 𝑖𝑛𝑓 1282 104𝑚4 Exemplo Estruturas em Flexão Porém ainda é necessário determinar o momento de inércia 30 𝐼𝑥 ഥ𝐼𝑥 𝐼𝑥 𝑐𝑒𝑛𝑡 1 12 𝑏 ℎ3 𝐼𝑥 𝑐𝑒𝑛𝑡 1 12 20 300 3 𝐼𝑥 𝑐𝑒𝑛𝑡 45 107𝑚𝑚4 𝐼𝑥 𝑐𝑒𝑛𝑡 45 105𝑚4 𝐼𝑥 𝑠𝑢𝑝 𝐼𝑥 𝑖𝑛𝑓 1282 104𝑚4 𝐼𝑥 𝐼𝑥 𝑐𝑒𝑛𝑡 𝐼𝑥 𝑠𝑢𝑝 𝐼𝑥 𝑖𝑛𝑓 𝐼𝑥 45 105 2 1282 104 𝐼𝑥 3014 104𝑚4 Exemplo Estruturas em Flexão Porém ainda é necessário determinar o momento de inércia 31 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑀 𝑐 𝐼 225 103 017 3014 104 𝜎 𝑀 𝑦 𝐼 𝜎𝑚𝑎𝑥 127 106 127 𝑀𝑃𝑎 32 Flexão Exercícios 1 A viga de madeira mostrada está apoiada sobre dois perfis I Determine o valor de P para que a tensão máxima não ultrapasse 10 𝑀𝑃𝑎 Resposta Exercícios Flexão 34 Flexão Exercícios 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑀 𝑐 𝐼 𝜎𝑚𝑎𝑥 10 106 15 𝑃 0125 1 12 015 025 3 𝑃 1042 103 1042 𝑘𝑁 CONCENTRAÇÕES DE TENSÃO Introdução Concentrações de Tensão 36 Conforme visto anteriormente no ponto de aplicação das cargas ocorre uma complexa distribuição de tensões princípio de Saint Venant Contudo distribuições de tensão complexas ocorrem também em seções nas quais a área da seção transversal do elemento estrutural muda Introdução Concentrações de Tensão 37 Introdução Concentrações de Tensão 38 Este fenômeno já foi a causa de graves acidentes tais como os desastres do avião Comet onde uma alteração no formato das janelas causa o completo colapso da aeronave Introdução Concentrações de Tensão 39 As concentrações agem como intensificadores da tensão atuante na região em questão causando a falha prematura do elemento Introdução Concentrações de Tensão 40 Na prática as distribuições de tensão reais não precisam ser determinadas apenas o conhecimento da tensão máxima na seção de interesse já é suficiente Para isso utilizase o conceito de Fator de Concentração de Tensão K Estes são definidos para uma grande quantidade de elementos estruturais com diferentes concentradores de tensão e diferentes tipos de carregamentos Introdução Concentrações de Tensão 41 Introdução Concentrações de Tensão 42 Primeiramente é necessário notar que os fatores de concentração de tensão serão distintos para tensão normais ou de cisalhamento Além disso o subscrito t significa que esse fator de concentração de tensão depende apenas da geometria do elemento isto é o material usado não tem efeito sobre o valor de K É por este motivo que ele é denominado de fator de concentração de tensão teórico Introdução Concentrações de Tensão 43 Concentrações de tensão ocorrem em mudança repentinas da seção transversal dos elementos estruturas sendo que quanto mais severa a mudança maior será a concentração de tensão Para projetos ou análises basta determinar a tensão máxima que age sobre a menor área de seção transversal Em geral a concentração de tensão em um corpo de prova dúctil sujeito a um carregamento estático não terá que ser considerada no projeto pois as deformações plásticas atenuam o problema Introdução Concentrações de Tensão 44 Introdução Concentrações de Tensão 45 Exemplo Concentrações de Tensão 46 Para a barra de aço mostrada determine a máxima força axial que pode ser aplicada sem que a tensão admissível seja superada 𝜎𝑎𝑑𝑚 150 𝑀𝑃𝑎 Exemplo Concentrações de Tensão 47 Neste caso existem 2 concentradores de tensão o raio e o furo Exemplo Concentrações de Tensão 48 Neste caso existem 2 concentradores de tensão o raio e o furo 𝑑 𝑤 24 60 04 𝐾𝑡 22 𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑃 𝑤 𝑑 𝑡 𝜎𝑚á𝑥 𝐾𝑡 𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝐾𝑡 𝑃 𝑤 𝑑 𝑡 Exemplo Concentrações de Tensão 49 Neste caso existem 2 concentradores de tensão o raio e o furo 𝑟 ℎ 15 30 05 𝐾𝑡 14 𝑤 ℎ 60 30 2 𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑃 ℎ 𝑡 𝜎𝑚á𝑥 𝐾𝑡 𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝐾𝑡 𝑃 ℎ 𝑡 Exemplo Concentrações de Tensão 50 Raio 𝜎𝑚á𝑥 𝐾𝑡 𝑃 ℎ 𝑡 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝐾𝑡 14 Furo 𝜎𝑚á𝑥 𝐾𝑡 𝑃 𝑤 𝑑 𝑡 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝐾𝑡 22 𝑃 𝜎𝑎𝑑𝑚 ℎ 𝑡 𝐾𝑡 𝑃 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑤 𝑑 𝑡 𝐾𝑡 𝑃 150 106 003 002 14 𝑃 150 106 006 0024 002 22 𝑃 643 𝑘𝑁 𝑃 491 𝑘𝑁 PROJETO Energia de Distorção von Mises Dúcteis Projeto de Eixos 52 A teoria da energia de distorção prevê que O escoamento ocorre quando a energia de deformação por distorção em uma unidade de volume alcança ou excede à energia de deformação por distorção por unidade de volume correspondente ao escoamento sob tração ou compressão do mesmo material DE Energia de Distorção von Mises Dúcteis Falhas Estáticas 53 Para o caso de tensões planas 𝜎 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑦 𝜎𝑧 2 𝜎𝑧 𝜎𝑥 2 6 𝜏𝑥𝑦 2 𝜏𝑦𝑧 2 𝜏𝑧𝑥 2 2 𝑆𝑦 𝜎 𝜎𝑥 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑦 2 3 𝜏𝑥𝑦 2 𝑆𝑦 DE Projeto Exemplos Nos projetos mecânicos há a necessidade do conhecimento das tensões mais críticas dos sistemas para que os mesmos sejam dimensionados adequadamente principalmente os elementos de fixação como o parafuso No sistema mostrado na figura uma força de 90 N é aplicada ao parafuso de aço com 20 mm de diâmetro e as tensões de cisalhamento devido à força cortante são negligenciadas Exemplo Projeto 55 Calcule a tensão equivalente de von Mises σ nos pontos A e B Indique em qual deles irá ocorrer a falha Verifique ainda de acordo com a tabela abaixo qual deve ser o tipo do aço para a fabricação do parafuso com fator de segurança 5 Exemplo Projeto 56 Nos projetos mecânicos há a necessidade do conhecimento das tensões mais críticas dos sistemas para que os mesmos sejam dimensionados adequadamente No sistema mostrado na figura uma força F é aplicada Exemplo Projeto 57 Determine as tensões atuantes nos pontos A e B indique em qual destes pontos é mais provável que ocorra a falha identifique na tabela abaixo qual deve ser o material do sistema para que o coeficiente de segurança seja de 15