Análise de Flexão em Vigas: Esforços Internos e Diagramas

PEÇAS SUBMETIDAS À FLEXÃO VIGAS Não reproduzir por qualquer meio sem autorização prévia e expressa do Autor Situação plana V N MF Uma viga simplesmente apoiada sujeita a carregamento qualquer ao se deformar assumirá o formato da figura Beer Johnston Elemento infinitesimal da viga antes e depois da deformação 𝜖 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 A deformação em um ponto qualquer da viga distante y da linha neutra será No elemento deformado ds é um arco dado por 𝑑𝑠 𝜌𝑑𝜃 Analogamente no ponto qualquer ds é 𝑑𝑠 𝜌 𝑦 𝑑𝜃 𝜀 𝜌 𝑦 𝑑𝜃 𝜌𝑑𝜃 𝜌𝑑𝜃 𝜌𝑑𝜃 𝑦𝑑𝜃 𝜌𝑑𝜃 𝜌𝑑𝜃 𝑦𝑑𝜃 𝜌𝑑𝜃 𝜀 𝑦 𝜌 ds dx ds dx O ρ ρ dϴ y c varia linearmente tensão m m x x c y c E y E σ x Segundo a Lei de Hooke 𝜎 𝜀 varia linearmente tensão m m x x c y c E y E 𝜀 𝑦 𝜌 𝑀 𝐴 𝑦𝑑𝐹 0 I My c y S M I Mc c I y dA c M dA c y y dA y M x m x m m m m x do Substituin 2 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑀 𝑐 𝐼 I 𝑦2 𝑑𝐴 Momento de Inércia de área Momento de segunda ordem Tensão normal na flexão Determinação das tensões σ sup 𝑀 𝑐 𝑠𝑢𝑝 𝐼 σ inf 𝑀 𝑐 𝑖𝑛𝑓 𝐼 Para a barra horizontal sujeita ao carregamento indicado determinar os esforços internos nas partes AB e BC Traçar os diagramas x1 x2 Σ F y VA VB 4 5 10 0 VA VB 30 Σ MA 4 VB 4 5 2 10 6 0 VB 25 kN VA 5 kN VS1 5 5 x1 para x1 0 VA 5 kN para x1 4 VB 15 kN MS1 5 x1 5 x1 𝑥1 2 para x1 0 MA 0 para x1 4 MB 20 kNm Para a barra horizontal sujeita ao carregamento indicado determinar os esforços internos nas partes AB e BC Traçar os diagramas x1 x2 VS2 10 para x2 0 VC 10 kN para x2 2 VB 10 kN MS2 10 x2 para x2 0 MC 0 para x2 2 MB 20 kNm Diagramas Ponto de momento máximo Por meio da derivada da força cortante MS1 5 x1 5 𝑥12 2 𝑑𝑀 𝑑𝑥 5 5 x1 0 x m 1 M máx 25 kNm x 2 20 kNm 25 kNm 5 kN 15 kN V M 10 kN x m M Momentos de segunda ordem ou momentos de inércia de área dA b dy b dy dy b b y 3 3 b h 3 3 LN I LN I x d 2 A b h 3 3 h2 2 bh b h 3 12 Exemplo de aplicação O momento fletor máximo em uma viga simplesmente apoiada é igual a 60 kNm A seção transversal da viga é retangular de 25 cm x 35 cm Calcular a tensão normal máxima a que esta viga está sujeita 𝐼 𝑏ℎ3 12 b h 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑀 𝑐 𝐼 Para uma seção retangular σ sup 𝑀 𝑐 𝑠𝑢𝑝 𝐼 σ inf 𝑀 𝑐 𝑖𝑛𝑓 𝐼 𝐼 𝑏ℎ3 12 025 0353 12 893 104 𝑚4 b h 𝐼 𝑏ℎ3 12 025 0353 12 893 104 𝑚4 𝜎𝑚𝑎𝑥 60 103 893 104 035 2 1176 𝑀𝑃𝑎 b h Para a viga com as características abaixo determinar as máximas tensões nornais Seção transversal Re 30 cm Ri 15 cm Beer Johnston m Re Ri Posição do centroide posição da linha neutra Momento de inércia com relação à Linha Neutra I 𝜋 𝑟 4 4 I 𝜋 034 4 𝜋 0154 4 I LN 596 10 3 m4 Determinação do momento máximo Beer Johnston m 0 kN 52 50kN 60kN 58 0 kN 0 0 kN 58 50kN 4m m 51 60kN 5m 0 y y y A A A F D D M Determinação do momento máximo Reações de apoio Beer Johnston m 0 kN 52 50kN 60kN 58 0 kN 0 0 kN 58 50kN 4m m 51 60kN 5m 0 y y y A A A F D D M Momento fletor máximo ocorre quando V 0 ou x 26 m kN áreasobacurvada forçacortanteentreAe E M 6 67 max Determinação do momento máximo Beer Johnston m m Determinação das tensões σ sup 𝑀 𝑐 𝐼 6760 03 596 10 3 σ sup 34 10 3 kNm2 34 MPa compressão σ inf 𝑀 𝑐 𝐼 6760 03 596 10 3 σ inf 34 10 3 kNm2 tração