Sistemas de Amortização e Métodos de Avaliação de Fluxos de Caixa

UNIDADE IV Sistemas de Amortização e Métodos de Avaliação de Fluxos de Caixa Révero Campos da Silva DISCIPLINAS A DISTÂNCIA DA GRADUAÇÃO Matemática Financeira Sumário 1 Sistema de Amortização Constante SAC 3 11 Conceitos introdutórios 3 12 Exercícios de aplicação 3 2 Sistema Francês de Amortização ou Tabela Price 6 21 Conceitos introdutórios 6 22 Exercícios de aplicação 6 3 Metódos de Avaliação de Fluxos de Caixa 9 31 VPL e TIR 9 32 Análise de Investimentos 10 33 Exercícios de aplicação 11 PUC Minas Virtual 3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE SAC Sua denominação deriva da sua principal característica ou seja as amortizações periódicas são todas iguais ou constantes Consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas sucessivas e decrescentes em progressão aritmética dentro do conceito de termos vencidos postecipados em que o valor de cada prestação ou pagamento é composto por duas parcelas distintas uma de juros e outra de capital chamada amortização Assim o pagamento dos juros e do saldo devedor é decrescente O valor de cada parcela de amortização é obtido dividindo se o valor do empréstimo ou financiamento pelo número n de prestações A SD0 n e PMT J A Onde EXERCÍCIOS 01 Elaborar um plano de pagamentos com base no Sistema de Amortização Constante correspon dente a um empréstimo de 120 00000 à taxa de 3 am a ser liquidado em 10 prestações mensais Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 120 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Com base na tabela acima determine a o valor da parcela de juros embutido na 5ª prestação b o saldo devedor após o pagamento da 8ª prestação c o valor total amortizado até a 4ª prestação d o valor de juros acumulados até o pagamento da 6ª prestação e o valor da parcela de amortização correspondente à 9ª prestação f o valor da 7ª prestação g o valor dos juros pagos nesse financiamento PMT prestação A amortização J juros n nº de prestações SDo saldo devedor inicial Exemplo 1 SD saldo devedor PUC Minas Virtual 4 Atenção Os 7sete itens propostos no primeiro exercício podem ser respondidos sem que seja consultada a planilha que demonstra a evolução da liquidação da dívida Devemos para isso recorrer à fórmula matemática que determina o enésimo termo de uma progressão aritmética PA ou ainda recorrer à fórmula que determina a soma dos n primeiros termos de uma PA Quais sejam an a1 n 1 r e Sn na1an 2 Onde Neste primeiro exercício proposto é possível escrever as seguintes progressões aritméticas para juros J e prestações PMT J 3600 3240 2880 r 360 PMT 15600 15240 14880 r 360 Em seguida usando as fórmulas de PA responda aos 7sete itens propostos no primeiro exercício sem recorrer à planilha de amortizações elaborada 02 Uma loja de microinformática está anunciando a venda de impressoras a laser por 1 28000 à vista ou em 5 parcelas mensais iguais e sem entrada Se a taxa de juros compostos cobrada pela loja é de 4 am elabore um plano de pagamentos com base no sistema SAC de amortiza ções que explicite a evolução da liquidação dessa dívida 03 Você financiou a compra de seu imóvel em 96 prestações mensais pelo sistema SAC O valor da amortização contida em cada pagamento é de 1 25000 A taxa nominal de juros convenciona da é de 12 aa Determine o valor financiado e construa as sequências numéricas PA que explicitam a evolução dos juros e das prestações pagas nesse financiamento Em seguida determine a o valor da parcela de juros embutida na 38ª prestação b o saldo devedor após o pagamento da metade das prestações c o valor total amortizado até a 75ª prestação d o valor de juros acumulados até o pagamento de 2 3 das prestações e o valor da 91ª prestação f o valor dos juros pagos nesse financiamento 04 Uma empresa toma um empréstimo de 1000000 a ser amortizado pelo sistema SAC em 6 prestações quadrimestrais com carência de 2 quadrimestres A taxa nominal de juros é de 15 ao ano com capitalização quadrimestral Determine o valor da amortização e construa a planilha que explicita a evolução da liquidação dessa dívida Calcule também o saldo devedor remanescente após o pagamento da 4a prestação an é o enésimo termo da PA a1 é o primeiro termo da PA r é a razão da PA n é o número de termos da PA Sn é a soma dos n primeiros termos da PA PUC Minas Virtual 5 GABARITO 01 a 2 16000 b 24 00000 c 48 00000 d 16 20000 e 12 00000 f 13 44000 g 19 80000 02 SD1 1 02400 Amort1 25600 J1 5120 PMT1 30720 03 SD0 120 00000 i 1 am a J38 73750 b SD48 60 00000 c Amort75 93 75000 d J64 51 60000 e PMT91 1 32500 f J96 58 20000 04 SD0 10 50000 i 5 ao quadrimestre Amort 1 75000 SD4 3 50000 PUC Minas Virtual 6 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO OU TABELA PRICE Consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas iguais e sucessivas dentro do conceito de termos vencidos postecipados em que o valor de cada prestação ou pagamento é composto por duas parcelas distintas uma de juros e outra de capital chamada amortização Assim o pagamento dos juros é decrescente enquanto as amortizações do principal crescem exponencialmente A Tabela Price é assim denominada por ter sido amplamente divulgada na França por volta do século XVIII pelo economista inglês Richard Price Ela é um caso particular do Sistema Francês de Amortização quando a prestação é mensal PMT J A Onde EXERCÍCIOS 01 Elaborar um plano de pagamentos com base no sistema PRICE de amortização correspondente a um empréstimo de 120 00000 à taxa de 3 am a ser liquidado em 10 prestações mensais Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 120 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Com base na tabela acima determine a o valor da parcela de juros embutido na 5ª prestação b o saldo devedor após o pagamento da 8ª prestação c o valor total amortizado até a 4ª prestação d o valor de juros acumulados até o pagamento da 6ª prestação e o valor da parcela de amortização correspondente à 9ª prestação f o valor dos juros pagos nesse financiamento 1 1 1 n n i i i PV PMT J SD i PMT prestação A amortização J juros n nº de prestações SD saldo devedor Exemplo 2 SD saldo devedor PUC Minas Virtual 7 Atenção A calculadora financeira HP12C é programada para o trabalho com o sistema PRICE de amortização Veja como proceder aos cálculos do primeiro exercício proposto 1º passo Calcular o valor das prestações fixas f fin g end 120 000 CHS PV 10 n 3 i PMT 2º passo Calcular o valor das parcelas de juros e amortiza ção embutidas nas prestações contratadas Em seguida apurase o saldo devedor remanescente n f Amort juros acumulados até a enésima prestação amortização acumulada até a enésima prestação RCL PV saldo devedor após o pagamento da enésima prestação 02 Uma loja de microinformática está anunciando a venda de impressoras a laser por 1 28000 à vista ou em 5 parcelas mensais iguais e sem entrada Se a taxa de juros compostos cobrada pela loja é de 4 am elabore um plano de pagamentos com base no sistema PRICE de amorti zações que explicita a evolução da liquidação dessa dívida 03 Você financiou a compra de seu imóvel em 96 prestações mensais pelo sistema de prestações constantes O imóvel foi anunciado por 120 00000 e a taxa nominal de juros acordada foi de 12 aa Calcule o valor das prestações fixas contratadas e com auxílio da calculadora financeira HP12C determine a o valor da parcela de juros embutida na 38ª prestação b o saldo devedor após o pagamento da metade das prestações c o valor total amortizado até a 75ª prestação d o valor de juros acumulados até o pagamento de 2 3 das prestações e o valor da parcela de amortização correspondente à 9ª prestação f o valor dos juros pagos nesse financiamento 04 Observe o anúncio Considerando o anúncio promocional e o sistema PRICE de amortização determine a a taxa mensal de juros implícita no anúncio promocional b o valor a ser financiado no plano 011 parcelas mensais iguais e sucessivas c os juros embutidos na prestação que liquida o financiamento d o saldo devedor após o pagamento de 75 das prestações e o valor de juros acumulados até a 5ª prestação f o valor da parcela de amortização referente à 4ª prestação g o total amortizado quando metade das prestações estiverem liquidadas PUC Minas Virtual 8 05 Uma empresa toma um empréstimo de 1000000 a ser amortizado pelo sistema PRICE em 6 prestações quadrimestrais com carência de 2 quadrimestres à taxa anual de 157625 Determine o valor da prestação contratada e construa a planilha que explicita a evolução da liquidação dessa dívida Calcule também o saldo devedor remanescente após o pagamento da 4a prestação GABARITO 01 PMT 14 06766 a 2 28622 b 26 91806 c 43 79278 d 16 69685 e 13 26012 f 20 67662 02 PMT 28752 J1 5120 Amort1 23632 SD1 1 04368 03 PMT 1 95034 i 1 am a J38 86604 b SD48 74 06226 c Amort75 83 22228 d J64 58 00689 e Amort9 81251 f J96 67 23286 04 a i 41567 am b SD0 3 69262 c J11 1696 d SD9 79992 e J5 64977 f Amort4 30688 g Amort6 1 80856 05 SD0 10 50000 i 5 ao quadrimestre PMT 2 06868 SD4 3 84655 PUC Minas Virtual 9 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXOS DE CAIXA Nas unidades de ensino anteriores foram estudados problemas financeiros em que o capital inicial PV de uma operação era emprestado ou aplicado a determinada taxa de juros i sendo liquidado por meio de um montante FV ou por meio de uma série de prestações PMT iguais consecutivas e com periodicidade constante Nesta unidade de ensino serão tratados os dois principais métodos de análise de alternativas econômicas o VPL e a TIR aplicados à solução de problemas com fluxos de caixa variáveis ou seja em que as entradas e saídas de caixa ao longo do tempo podem ser de valores e prazos variados 1º Valor Presente Líquido VPL do inglês Net Present Value NPV consiste na comparação de todas as entradas e saídas de dinheiro de um fluxo de caixa analisada no tempo zero O valor atual de determinado projeto financeiro será calculado descapitalizandose todos os valores futuros do fluxo de caixa empregandose determinada taxa de juros taxa de atratividade 2º Taxa Interna de Retorno TIR do inglês Internal Rate of Return IRR é a taxa de juros compostos que torna nulo o valor presente líquido de determinado projeto financeiro VPL 0 ou seja é a taxa que aplicada à solução de um diagrama de fluxo de caixa faz com que a somatória das entradas de caixa seja igual à somatória das saídas quando comparadas no tempo zero Objetivos 1º Determinar o valor aplicado ou financiado por uma instituição financeira 2º Obter a taxa de juros implícita nessa aplicação ou nesse financiamento 3º Analisar a viabilidade de projetos de investimentos Teclas auxiliares f CLX limpa todos os registradores REG da calculadora financeira HP12C g CFo introduz o fluxo de caixa na data zero g CFj introduz o fluxo de caixa nas demais datas respeitando uma ordem cronológica crescente g Nj introduz a quantidade de vezes que um valor se repete consecutivamente no fluxo de caixa Importante A calculadora financeira HP12C suporta até 20 fluxos de caixa de valores diferentes CFj além do investimento inicial CFo contudo se um ou mais fluxos de caixa consecutivos forem iguais ela poderá extrapolar essa quantidade quando for acionada a tecla Nj O número má ximo de fluxos de caixa além de CFo pode ser consultado pressionando a sequência de teclas g 9 A indicação P08 r20 no visor da calculadora indica que estão disponíveis 20 memórias para armazenamento de fluxos de caixa PUC Minas Virtual 10 Exemplos 01 Qual o valor de um empréstimo que pode ser liquidado no plano 010 prestações mensais à taxa de 35 am sendo as quatro primeiras prestações de 3 00000 e as seis últimas de 4 50000 Resposta 3191511 02 Uma dívida de 52 00000 pode ser liquidada por meio do pagamento de 10 prestações mensais no valor de 6 93400 cada uma Sabendose que a primeira delas vence a 90 dias da data do financiamento explicite a taxa semestral de juros compostos praticada nessa operação financeira Resposta 265277 as ANÁLISE DE INVESTIMENTOS O conceito de Análise de Investimentos pode ser entendido como um conjunto de técnicas que permitem a comparação entre os resultados de tomada de decisões referentes a alternativas diferen tes de uma maneira científica Para se expressar em termos quantitativos as diferenças entre as alternativas em uma tomada de decisões é usada basicamente a ferramenta denominada Matemá tica Financeira É importante acrescentar que na tomada de decisão a alternativa escolhida deve ser sempre a mais econômica após a verificação de que todas as variáveis que influem no sistema foram convenientemente estudadas Nesse sentido apresentamos alguns conceitos 1 Vida econômica Também conhecida como vida útil consiste no intervalo de tempo entre o início e o final previsto para determinado investimento 2 Taxa mínima de atratividade Tratase de uma taxa de juros que representa o mínimo que o investidor se propõe a ganhar quando aplica seus recursos ou o máximo que uma entidade está disposta a pagar quando faz um financiamento 3 Valor residual é o valor de mercado do bem no tempo final previsto para o investimento 4 Valor Presente Líquido VPL ou NPV é a técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos ou recebimentos iguais ou diferentes a partir de uma taxa conhecida atratividade e deduzir deste o valor do fluxo de caixa inicial o n n n j o j j FC i FC i FC i FC i FC FC i FC NPV 1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 1 onde FCj representa os valores dos fluxos de caixa de ordem j sendo j 1 2 3 n FCo representa o fluxo de caixa inicial i representa a taxa de atratividade do projeto de investimento PUC Minas Virtual 11 5 Taxa Interna de Retorno TIR ou IRR é a taxa que iguala o valor presente de um ou mais pagamentos saídas do caixa com o valor presente de um ou mais recebimentos entradas no caixa ou seja gera NPV 0 Em particular na análise da viabilidade de projetos de investi mentos é importante observarmos que Graficamente temos a seguinte representação Método do payback descontado é utilizado quando se deseja apurar o tempo de recuperação de um investimento Ou seja o tempo necessário para que o valor presente dos fluxos de caixa previs tos se iguale ao investimento inicial Exemplo Uma empresa está pretendendo adquirir à vista uma máquina no valor de 15 milhões cuja vida útil estimada é de 10 anos De acordo com estudos elaborados pelos seus técnicos essa máquina deverá gerar uma receita líquida já considerados todos os custos inclusive depreciação de 42 00000 por mês nos primeiros 12 meses de 50 00000 por mês no ano seguinte de 60 00000 por mês no terceiro ano e de 55 00000 durante os 12 meses do 4º ano Ao fim de 4 anos de uso essa máquina deverá ser vendida no mercado e de acordo com pesquisa elaborada poderá alcançar um preço de aproximadamente 1 3 do seu custo histórico Entretanto essa empresa somente fará essa aquisição se o empreendimento render a ela pelo menos o equivalente a 25 am sobre o investimento realizado Com base nos dados apresentados faça um estudo da viabilidade da aquisição dessa máquina Resposta NPV 37 22831 IRR 26049 am Nesse sentido o investimento se mostra viável pois NPV 0 e IRR i O tempo de payback será de 4778055 meses 3 anos 11 meses e 23 dias EXERCÍCIOS 01 Um cliente deseja liquidar um empréstimo bancário em 10 prestações mensais no conceito de termos postecipados de valores alternando de 1 00000 e 2 00000 respectivamente Saben dose que a taxa de juros praticada pelo banco é de 375 am calcular o valor do empréstimo 02 O Sr Alfredo adquire um aparelho celular para ser pago em 12 prestações iguais de 20000 Sabendose que a primeira prestação vence a 120 dias da data do contrato que as demais têm vencimentos mensais e sucessivos e que a taxa cobrada pela loja é de 5 am calcular o valor financiado pelo Sr Alfredo Se NPV 0 o investimento será vantajoso pois IRR i Se NPV 0 o investimento não será vantajoso pois IRR i Se NPV 0 o investimento não gera retorno financeiro pois IRR i 0 NPV IRR i taxa de atratividade PUC Minas Virtual 12 03 Parte de um veículo é financiado em um prazo de 18 meses da seguinte maneira 018 prestações mensais de 32500 cada uma 03 prestações extras pagas semestralmente nos valores de 77500 87500 e 97500 respectivamente Calcular o valor financiado sabendose que a taxa praticada pela financeira foi de 87 am 04 Uma mercadoria pode ser paga à vista ou financiada por meio de uma entrada de 42000 mais dois pagamentos mensais o primeiro de 49049 e o segundo de 73574 Sabendose que o início dos pagamentos será no fim de um período de carência de 4 meses e que a taxa de juros é de 5 am explicite o preço à vista dessa mercadoria 05 Um equipamento no valor de 70 00000 é integralmente financiado para pagamento em 7 parcelas mensais as três primeiras de 10 00000 as duas seguintes de 15 00000 a 6ª parcela de 20 00000 e a 7ª de 30 00000 Determine a taxa mensal de juros implícita nesse financia mento 06 Uma dívida no valor de 3 00000 deverá ser quitada no prazo de 9 meses em prestações men sais sem entrada de acordo com o seguinte plano a primeira de 40000 a segunda de 79000 três iguais de 62000 cada uma a serem pagas do 4º ao 6º mês e a última de 88000 a ser liquidada no final do 9º mês Determine a taxa trimestral de juros praticada 07 Um apartamento foi colocado à venda pelo valor de 300 00000 à vista ou em dois anos de prazo com 80 00000 de entrada mais 12 prestações mensais de 18 00000 e mais 12 de 28 18600 Admitindose que você esteja interessado em adquirilo e que tenha recursos para comprálo até mesmo à vista qual seria a sua decisão de compra se a taxa negociada na transação fosse de 6 am Verifique também a sua decisão para taxas de 8 am e 10 am 08 Uma empresa industrial está analisando a conveniência de adquirir equipamentos para a mon tagem de mais de uma unidade de produção O valor desses equipamentos é de 500 milhões com vida útil prevista para dez anos e valor de revenda estimado em 25 milhões no final desse prazo As receitas líquidas anuais não considerando as depreciações geradas por esse investi mento adicional são estimadas em valores não inflacionados em 200 milhões por ano durante os primeiros dois anos 210 milhões por ano nos três anos seguintes 95 milhões no 6º ano 195 milhões para os três anos seguintes e 180 milhões para o décimo ano No final do 6º ano de uso está prevista uma reforma geral no equipamento no valor de 105 milhões despesa essa não considerada na determinação da receita líquida estimada para esse ano Sabendose que a empresa só fará esse investimento se a taxa de retorno for no mínimo de 30 aa estude se a compra desses equipamentos é ou não aconselhável 09 Um terreno está sendo vendido por 500 00000 à vista ou em 36 pagamentos mensais sem entrada de acordo com o seguinte plano 12 prestações iniciais de 18 00000 12 prestações seguintes de 22 00000 12 prestações finais de 26 00000 Uma empresa interessada está na dúvida se adquire esse imóvel à vista ou a prazo visto que o gerente de uma instituição financeira garante a ela uma taxa de 275 am pela aplicação do dinheiro e retiradas mensais para pagamento das 36 prestações O que é mais vantajoso para a empresa comprar à vista ou aplicar o dinheiro e pagar mensalmente as prestações do terreno PUC Minas Virtual 13 10 Certa empresa analisa a conveniência da compra de um caminhão no valor de 103 00000 Segundo os técnicos dessa empresa a utilização desse veículo nos próximos 5 anos deverá gerar receitas líquidas estimadas em 30 00000 35 00000 32 00000 28 00000 e 20 00000 respectivamente Sabendose que no final do 5º ano se espera vender esse caminhão por 17 00000 verificar qual a decisão da empresa para taxas de juros fixadas em 15 aa e 18 aa Explicite a taxa interna de retorno e faça uma análise do problema a partir dela 11 Certo projeto de expansão está sendo avaliado por uma empresa Os dados levantados podem ser analisados na tabela abaixo Estude a viabilidade desse projeto de investimento 12 Um escritório de contabilidade necessita de um serviço de entregas rápidas Para isso está estudando duas possibilidades a saber ALTERNATIVA I Estruturar tal serviço internamente ALTERNATIVA II Contratar uma empresa especializada Compra de uma motocicleta nova por 6 00000 Gastos mensais manutenção combustível mão de obra e encargos sociais 1º ano 1 50000 por mês 2º ano 1 60000 por mês 3º ano 1 70000 por mês 4º ano 1 80000 por mês Após 4 anos de uso a motocicleta poderá ser vendida por um valor residual de 2 30000 Contrato de 4 anos com custos mensais de 1º ano 1 55000 por mês 2º ano 1 60000 por mês 3º ano 1 65000 por mês 4º ano 1 70000 por mês Considerando que o escritório trabalha com uma taxa de atratividade de 2 ao mês qual das duas alternativas sob o ponto de vista financeiro a empresa deve escolher GABARITO 01 12 24361 02 1 53128 03 3 91200 04 1 40000 05 104 am 06 189097 at 07 a 6 NPV 48 34654 compra à vista é mais vantajosa b 8 NPV 109 indiferente c 10 NPV 36 16027 compra a prazo é mais vantajosa 08 O projeto é viável pois NPV 84 milhões e IRR 364064 aa Tempo de payback 6135 anos 6 anos 1 mês e 18 dias 09 NPV 20 60215 portanto aplicar o dinheiro é mais vantajoso 10 O projeto será viável para i 17003 a m pois para i 15 temse NPV 4 99713 e i 18 temse NPV 2 34850 Tempo de payback 4728 anos 4 anos 8 meses e 22 dias 11 O projeto será viável para i 404758 aa Quando i 42 temse NPV 6 55952 12 Custo total de 54 82477 na alternativa I e de 49 39540 na alternativa II mais vantajosa Projeto Dados Investimento inicial 21000000 Vida útil 8 anos Custo operacional anual 9000000 Valor residual 3500000 Receita anual 18000000 Taxa de atratividade 42 aa