Exercícios Circuitos 3

3ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1 Defina a Função de transferência b Série de Fourier c Espectro de frequência d Curva de bode 2 Explique como a resposta de um circuito a uma entrada senoidal pode ser determinada a partir da Função de Transferência 3 Explique como a resposta de um circuito a uma entrada senoidal pode ser determinada a partir da curva de bode 4 Quais são as informações disponíveis na curva de bode 5 Descreva como a curva de bode pode ser obtida a partir da função de transferência 6 Demonstre passo a passo a obtenção da curva de bode dos fatores básicos k s 1s s1 e 1s1 7 Considere um circuito RLC série alimentado por uma fonte de tensão Valores R 500 L 02 H C 10 F a Obtenha a função de transferência que relaciona a corrente com a tensão da fonte 𝐻7𝑠 𝑉𝑅𝑠 𝑉𝑠 b Identifique os fatores básicos que compõem 𝐻7𝑠 c Coloque os fatores básicos na forma padrão 1ª ordem e quadrático d Utilizando o papel semilog esboce a curva de bode de cada fator básico identificado no item b e No mesmo papel utilizado no item d obtenha a curva de bode de 𝐻7𝑠 através da soma das curvas dos fatores básicos 8 Para o caso acima identifique as frequências de corte c1 e c2 e determine a resposta utilizando os gráficos obtidos caso seja aplicado na entrada o sinal 𝑣𝑡 10 cos𝜔𝑡 𝑉 nas frequências a 𝜔 𝜔𝑐1 10 b 𝜔 𝜔𝑐1 c 𝜔 𝜔𝑐2 d 𝜔 10 𝜔𝑐2 9 Verifique os resultados obtidos na 2ª questão através do cálculo exato a partir de cada função de transferência PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS PUC MINAS INSTITUTO POLITÉCNICO IPUC DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA CIRCUITOS ELÉTRICOS III PROF JOSÉ AUGUSTO LEÃO Função de transferência A função de transferência é uma representação numérica da relação entre a entrada e a saída de um sistema linear e invariante no tempo no domínio de Laplace É definida como Hs Ys Xs onde Ys é a transformada de Laplace da saída e Xs da entrada ela descreve como o sistema responde diferentes frequências b Série de Fourier A série de Fourier é uma forma de representar uma função periódica como a soma de senos e cossenos ou expressão complexa com diferentes amplitudes e fases É uma usada para analisar sinais no domínio da frequência c Espectro de Frequência O espectro de frequências mostra como a energia ou potência de um sinal esta distribuída entre os diferentes frequências ela revela os componentes harmônicos frequências de sinais sendo essencial na análise de sinais e sistemas d Curva de Bode A curva de Bode é uma representação gráfica de função de transferência de um sistema no domínio da frequência É composta por dois gráficos a magnitude em dB Vs frequência e Fase em graus Vs frequência Quando um circuito linear e invariante no tempo LTI recebe uma entrada senoidal do tipo xt A coswt δ A resposta em regime permanente também será uma senóide com o mesma frequência w mais com a amplitude e fase alteradas A função de transferência Hjw obtida substituindo s jw na função de transferência Hs permite determinar exatamente como a amplitude e a fase da entrada serão modificadas Se a entrada é Vt 10 cos wt e o circuito tem uma função de transferência Hjw 015 45º Voutt S cos wt 45º Continuacão de 3 monte a saída yt AHjw cos wt δ Hjw exemplo Se a curva de Bode mostra Ganho de 6 dB a w 100 rads Fase de 45º e a entrada xt 10 cos 100 t então Hj100 10612 05 H j100 45º Resposta Voutt 5 cos 100 t 45º a Gráfico de magnitude em dB vs frequência log indica o ganho do sistema em função da frequencia mostra quais frequencias são amplificada ou atenuadas permite identificação Faixas de Passagem onde o sinal é transferido com ganho 1 ou 0 dB Faixas de rejeição onde o sinal é perfeitamente atenuado Frequencia de corte onde o ganho cai 3 dB em relação a valor máximo Tipo de filtro passa baixos passa altos passa faixas e etc b Gráfico de fases em graus indica o deslocamento de fase induzida pelo sistema entre entrada e saída da frequência importante para entender o comportamento de sistemas de controle e circuitos com realimentação A versão de fase ajuda a determinar a estabilidade e atuações A curva de Bode é obtida diretamente do funcion do frequência Hs analizando seu comportamento no domínio da frequência para isso seguimos os seguintes passos 1 Substituir s jω Transformando a função de frequência Hjω Hssjω 2 Separar a função de transferência em fatores básicos Ganho constante k Fator do Tipo 1 jωT Polo em zero na origem jω Termos quadraticos filtros resonantes 1 2ξ jωωn jωωn2 Calcular a magnitude em dB Hjω dB 20log10Hjω Calcular a fase Hjω Soma das fases de cada fator 1 jωT 0 de 0 a 90 zero 11 jωT 0 de 0 a 90 polo jω 90 zero na origem 1jω 90 polo de origem Funcao os Gráficos A curva de Bode é construída somando graficamente as curvas contribuições de cada fator básico em magnitude fase após convertida a função de transferência para o domínio de frequência s jω 6 1 Força constante k magnitude 20log10k Fase 0 se k 0 180 se k 0 II Fator S jω zero na origem magnitude 20log10ω reta com inclinaçao de 20 dBdécada Fase 90 constante III Gráfico magnitude começa em 0 para w0 e sobe linearmente com 20 dBdécada Fase constante em 90 IV Fator constante 1k 05 magnitude 20 log 15 1398 14 dB Fase 0 número real e pontuais Gráfico linha horizontal em 14 dB Fase constante em 0 V Fator Ts 1 Tjω 1 Zero real magnitude Para w 1T 0 dB Para w 1T 20log10wT 20 dBdécada Fase começa em 0 sobe gradualmente tende a 90 para w 1T Transição ocorre em torno de w 1T CONTINUAÇÃO 6 ⑤ Fator 1Ts1 1Tjω1 polo real magnitude para w 1T 0 dB para w 1T 20 log10wT 20 dBdécada Fase começa em zero 0 cai gradualmente tende a 90 para w 1T ponto de frequência frequência de canto wc 1T Fator magnitude inicial inclinação Fase final K 20 log10 k 0 dBdécada 0 ou 180 2 20 log10 w 20 dBdécada 90 15 14 dB 0 dBdécada 0 Ts1 0 dB muda para 20 0 90 1Ts1 0 dB muda p20 0 90 a H₁s Is Vs Zs R sL 1sc H₂s Vs Zs Vs R sL 1aC H₁s IsVs 1 R sL 1sc Substituindo os valores R 500 L 02 C 10μF 10 x 10⁶ H₁s 1 500 02s 1 10 x 10⁶ s 1 500 02s 1 10⁵ s b H₁s H₁s 1 02s 500 2 10⁵ s 1 02s 500 10⁵ s H₁s s 02s² 500s 10⁵ e H₁s s 02s² 500s 10⁵ H₁s s 02 s² 50002 s 10⁵ 02 s 02 s² 2500s 5 x 10⁵ d imunidade s zero da origem magnitude 20 dB decada denominador forma quadratica s² 2500s 5 x 10⁵ esse é um polo de 2ª ordem que representa uma resposta resonante Continuação 7 d Para gerar o grafico pode usar o Gnumeric em 20 log₁₀W para s para denominador identificar frequencia natural wn e fator de amortecimento ζ Segue grafico básico e continuação do 7 H₁s s 02s² 500s 10⁵ 02s² 500s 10⁵ 02s² 500s 10⁵ 02 s² 2500s 5 x 10⁵ s² 2ζwns wn² Temos wn² 2 x 10⁵ wn 7071 rads 2ζwn 2500 ζ 2500 27071 1767 superamortecido Curva de Bode fator ζ magnitude reta de 20 dB decada Fase constante em 90 Fator quadrático s² 2500s 5 x 10⁵ magnitude comportamento plano em baixas frequencias Queda de 40decada após wn 7071 Fase começa em 0 cai para 180 com transição centrada em wn Composicao total de H₁s H₁jw dB s dB s² 2500s 5 x 10⁵ dB Fase Total H₁jw s s² 2500s 5 x 10⁵ s 90 Fase do denominador começa em 0 e desce ate 180 Resultado Fase Total desce de 90 ate cerca de 90 vt 10 coswt V w wc1 10 w wc1 w wc2 w 10 wc2 HIs s 0252 500s 105 HIjw jw 02 jw2 500jw 105 wc1 wc2 HIs s 0252 500s 105 wn 10502 5 105 7072 rads wc1 100 rads wc2 707 rads 2 passos vt 10 coswt it HI jw 16 cos wt HIjw Função HI jw para 1 w 100 10 10 rads 2 w 100 rads 3 w 707 rads 4 w 7070 rads HIjw jw 012jw2 500jw 105 HIjw w 012 w2 1052 500w2 HIjw tan1 Im H Re H H jw dw 012w2 500w 105 estudo em modulus H jw 012w2 500w 105 H jw 0 egsse zero 1 1 mw H 01 fw H mw 10 m tut H 01 fw mx Txm 10 m tut tm 01 fw V Acima está a curva de Bode completa para a função de transferência HIs s 02 s2 500s 105 Gráfico superior magnitude em dB Gráfico inferior fase em graus