Fundamentos de Vetores e Sistemas de Coordenadas

Sumário Siglas 52 Vetores Um escalar é uma grandeza completamente caracterizada por sua magnitude Grandezas como tempo massa temperatura rapidez e potencial elétrico são escalares Um vetor é uma grandeza caracterizada por sua magnitude e orientação Grandezas vetoriais incluem força deslocamento velocidade e aceleração Igualdade de vetores Dois vetores 𝐴 e 𝐵 são iguais somente se tem a mesma magnitude e a mesma orientação Portanto se Propriedades básicas da álgebra vetorial Vetores posição e distância Vamos demonstrar como expressar o produto escalar em termos das componentes dos vetores Uma vez que o ângulo entre dois vetores iguais é zero segue da da Eq 125 que A A 0 21 SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONAIS SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS Resolvendo as Eq 26 simultaneamente para x e 𝑦 obtemos as relações inversas x cos φ r sin φ φ y sin φ r cos φ φ A localização de um ponto no espaço é definida exclusivamente por três coordenadas R φ θ conforme mostra a Fig 23 A coordenada R é o alcance a partir da origem θ é o ângulo zenital medido a partir do eixo z positivo e φ é o ângulo azimutal medido a partir do eixo x positivo Os intervalos de variação dessas coordenadas são x sin θ cos φ R cos θ cos φ θ sin φ φ 22 COMPRIMENTO ÁREA E VOLUME DIFERENCIAIS Um volume diferencial é igual ao produto dos três comprimentos diferenciais As áreas de superfícies diferenciais em coordenadas cilíndricas são Conforme mostra a Fig 26 o comprimento diferencial dl em coordenadas esféricas é dado por O vetor dentro dos parênteses na Eq 32 define a variação de temperatura dT que corresponde a um deslocamento na direção do dl a partir do ponto P1 Esse vetor é denominado gradiente de T ou na forma reduzida grad T e costuma ser simbolicamente escrito como T Ou seja dT T dl T dl cos θ Ou seja onde θ é o ângulo entre os vetores T e dl É evidente da Eq 35 que a taxa de variação da função T xyz é máxima quando θ 0 Isso significa que a taxa de variação da função será a maior possível quando realizamos um pequeno deslocamento dl na mesma direção do vetor T Portanto O gradiente T aponta na direção de aumento máximo da função T xyz Além disso A magnitude T fornece a taxa de aumento da função T xyz nessa direção CAMPO ELETROSTÁTICO A força eletromagnética consiste em uma força elétrica F e e uma força magnética F m A fonte ou seja a origem da força elétrica é a carga elétrica Isso significa que uma carga elétrica produz força elétrica sobre qualquer outra carga que estiver nas suas proximidades e viceversa Cargas elétricas em movimento denominadas correntes podem produzir também força magnética No SI a unidade de carga elétrica é o coulomb C A menor quantidade de carga possível é a carga do elétron simbolizada por e e chamada de quantidade de carga fundamental e 16 x 1019 C O eletromagnetismo moderno é baseado num conjunto de quatro relações fundamentais conhecidas como equações de Maxwell Lei de Gauss para o Campo Magnético Lei de Gauss Magnetostática B 0 Esta equação afirma que não há cargas magnéticas monopólios magnéticos no universo O campo magnético B é solenoidal o que significa que suas linhas de campo são fechadas não começando ou terminando em uma carga magnética isolada Lei de AmpèreMaxwell com a Lei de Ampère Modificada B μ0J μ0ε0 Et Esta equação relaciona o campo magnético B com a densidade de corrente elétrica J e a variação do campo elétrico no tempo Aqui μ0 é a permeabilidade magnética no vácuo Juntas essas quatro equações descrevem completamente o comportamento dos campos elétricos e magnéticos bem como suas interações com cargas elétricas e correntes Elas são essenciais para entender fenômenos elétricos e magnéticos como a propagação de ondas eletromagnéticas a operação de motores elétricos a geração de energia elétrica e muito mais Em um situação estática todas as cargas estão permanentemente fixas no espaço ou caso se movam o fazem com velocidade constante No caso estático nenhuma das grandezas que aparecem nas equações de Maxwell é uma função do tempo ou seja t 0 Sob tais circunstâncias as derivadas em relação ao tempo na Eq 42 são zero e as equações de Maxwell se reduzem a grandezas da força elétrica D ρv grandezas da força magnética E 0 B 0 H J Isso nos permite estudar a eletricidade e o magnetismo como dois fenômenos distintos e separados enquanto as distribuições espaciais de cargas permanecem constantes no tempo Referimonos ao estudo dos fenômenos elétricos e magnéticos sob condições estáticas como eletrostática e magnetostática respectivamente Nesta aula iniciaremos o estudo da eletrostática 41 A LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO a cargas de mesmo sinal se repelem enquanto que cargas de sinais opostos se atraem b a força elétrica age ao longo da linha imaginária que une as cargas c a intensidade da força elétrica é proporcional ao produto dos módulos das duas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas Fₑ₁₂ q₁q₂4πε₀R²₁₂ R₁₂ a Fₑ₁₂ é a força elétrica que a carga q₁ exerce sobre a carga q₂ atenção com os índices b R₁₂ é a distância entre as duas cargas c R₁₂ é um vetor unitário que aponta da carga q₁ para a carga q₂ e ε₀ é uma constante universal determinada experimentalmente denominada permissividade elétrica do espaço livre ε₀ 8854 10¹² NC²m² Fₑ₁₂ q₂4πε₀ q₁4πε₀R²₁₂ R₁₂ A quantidade entre parênteses é identificada como a intensidade de campo elétrico E₁ da carga q₁ De maneira mais geral definimos a intensidade de campo elétrico produzido por uma carga isolada q₁ em um ponto P do espaço como E₁ q₁4πε₀R²₁P R₁P E₁ q₁4πε₀ R R₁ R R₁³ a Vetor intensidade de campo elétrico E₁ b Linhas de campo elétrico CAMPO ELÉTRICO DEVIDO A DIVERSAS CARGAS PONTUAIS o vetor campo elétrico resultante em um ponto do espaço devido a um sistema de cargas pontuais é igual à soma dos vetores dos campos elétricos devido às cargas individuais no referido ponto E 1 4πε0 N i1 qi R R i R R i 3 E E1 E2 CAMPO ELÉTRICO DEVIDO A UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGAS Em alguns casos particularmente quando trabalhamos com condutores as cargas elétricas podem ser distribuídas pela superfície do material sendo que nesse caso a grandeza relevante é a densidade superficial de carga ρs definida como ρs lim Δs0 Δq Δs dq ds onde Δq é a carga presente na área Δs A densidade ρs é definida na superfície de cargas e pode eventualmente variar com o tempo Consequentemente dq ρs ds Q S ρs ds ds 419 Finalmente se a carga for distribuída ao longo de uma linha que não precisa ser reta caracterizamos a distribuição de cargas em termos da densidade linear de carga ρl definida como ρl lim Δl0 Δq Δl dq dl onde Δq é a carga ao longo do comprimento Δl A densidade ρl é definida para cada ponto na linha de cargas e pode eventualmente variar com o tempo Assim dq ρ dl q L ρ dl 421 Campo elétrico de uma distribuição de cargas E 1 4πε0 V ρv dv R R R R 3 Figura 45 Campo elétrico diferencial devido a uma distribuição volumétrica de cargas E 1 4πε0 S ρs ds R R R R 3 E 1 4πε0 L ρL dl R R R R 3 42 LEI DE GAUSS Imagine uma superfície fechada S que envolve uma carga total Q O fluxo elétrico resultante através da superfície S é proporcional à carga total encerrada por essa superfície Matematicamente S E dS Qenrvolvida ε0 E E R E q 4πεR2 R Figura 48 Densidade de fluxo elétrico D devido a uma carga positiva q LEMBRESE Se a distribuição de carga apresentar simetria esférica então E E R e S E dS 4πR2 ER 51 POTENCIAL ELÉTRICO Fext Fe qE POTENCIAL ELÉTRICO DEVIDO A UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA Nos materiais dielétricos apolares na ausência de um campo elétrico externo os elétrons em forma uma nuvem simétrica em torno dos núcleos sendo que o centro da nuvem coincide com o centro do núcleo conforme a Fig 64a Um campo elétrico externo vecE aplicado em um dielétrico não provoca o movimento das cargas mas pode polarizar os átomos ou moléculas do material distorcendo o centro da nuvem de elétrons e a localizaçao dos núcleos O processo de polarização está ilustrado na Fig 64b O átomo ou molécula polarizado pode ser representado por um dipolo elétrico que consiste em uma carga q no centro do núcleo e uma carga q no centro da nuvem de elétrons caracterizado pelo momento de dipolo vecp Fig 64c Campo no interior do dielétrico Descobrimos que o efeito da polarização é produzir cargas ligadas no interior e na superfície do dielétrico O campo devido à polarização do meio é apenas o campo dessa carga ligada Enquanto no espaço livre é verdade que vecD epsilon0 vecE a presença de dipolos microscópicos em um material dielétrico alteram essa relação para vecD epsilon0 vecE vecP 620 vecP epsilon0 chie vecE 621 onde chie é denominado susceptibilidade elétrica do material Substituindo Eq 621 na Eq 620 temos vecD epsilon0 left1 chieright vecE epsilon vecE 622 onde epsilon epsilon0 left1 chieright 623 é a permissividade elétrica do material É comum caracterizar a permissividade de um material em relação à permissividade do espaço livre epsilon0 epsilon epsilonr epsilon0 624 onde epsilonr é a permissividade relativa No espaço livre epsilonr 1 e para a maioria dos condutores epsilonr approx 1 Por exemplo a constante dielétrica do ar é aproximadamente 10006 ao nível do mar MAGNETOSTÁTICA força magnética que atua sobre uma partícula de carga 𝑞 FORCA MAGNETICA SOBRE UM CONDUTOR PERCORRIDO POR CORRENTE TORQUE MAGNETICO SOBRE UM LACO PERCORRIDO POR CORRENTE Figura 85 A força vecF atuando em um disco circular que gira em torno do eixo z gerando um torque vec au vecd imes vecF que faz com que o disco gire Figura 86 Laço retangular que gira em torno do eixo y a vista frontal e b vista da parte inferior A combinação das forças vecF1 e vecF3 no laço geram um torque que tende a girálo no sentido horário como mostrado em b Estes resultados são baseados na aplicação da equação 811 Nenhuma força magnética é exercida nos braços 2 ou 4 porque vecB é paralelo à direção que a corrente que percorre os ramos A última vista do laço ilustrada na Fig 86b mostra que as forças vecF1 e vecF3 produzem um torque em torno da origem O fazendo com que o laço gire no sentido horário O braço de alavanca a2 para as duas forças porém d1 e d3 estão em sentidos opostos resultando em um torque magnético total vec au vecd1 imes vecF1 vecd3 imes vecF3 leftfraca2right imes 1B0 vecB2 leftfracb2right imes 1Bb2 1aB0 hatx imes hatz 1Ahaty 813 onde A ab é a área do laço O sentido de rotação é o horário O resultado dado pela Eq 813 é válido apenas quando o campo vecB é paralelo ao plano do laço Assim que o laço começa a girar o torque au começa a diminuir e ao final de um quarto de rotação completa o torque se torna zero conforme discutiremos a seguir Campo magnético perpendicular ao eixo do laco 814 82 LEI DE BIOTSAVART 𝜇 e a permeabilidade magnética do meio sendo H Tm2A e a unidade denominada henry FORCA MAGNETICA ENTRE DOIS CONDUTORES EM PARALELO LEI DE AMPÈRE 91 LEI DE GAUSS PARA O MAGNETISMO Na Aula 4 aprendemos que o fluxo líquido de saída da densidade de fluxo vecD através de uma superfície fechada que envolve uma carga Q é igual a Q Referimonos a essa propriedade como lei de Gauss para eletricidade e expressamos essa lei matematicamente nas formas diferencial e integral como a seguir abla cdot vecD rhov Leftrightarrow iintS vecD cdot dvecs Q extenvolvida 91 Portanto não existe equivalência magnética com uma carga Q ou uma densidade de carga rhov não sendo portanto uma surpresa que a lei de Gauss para o magnetismo seja dada por abla cdot vecB 0 Leftrightarrow iintS vecB cdot dvecs 0 92 92 LEI DE AMPÈRE Imagine um caminho fechado C que envolve uma corrente total I A circulação de vecH neste caminho fechado é igual à corrente líquida envolvida pelo caminho Matematicamente ointC vecH cdot dvecl I extenvolvida 93 Se a direção da corrente positiva I estiver alinhada com a direção do dedo polegar da mão direita então o contorno C deve ser percorrido na direção dos outros quatro dedos da mesma mão A LEI DE AMPÈRE E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL Ao aplicar o teorema de Stokes ao lado esquerdo da Eq 93 obtemos onde S é a superfície limitada pelo contorno ampereano C A corrente Ienvolvida que atravessa a superfície S é segundo a Eq 65 Ienvolvida S jds Portanto de acordo com a lei de Ampère C Hdi Ienvolvida S Hds S jds A última igualdade deve ser válida para qualquer superfície S portanto podemos igualar os integrandos e escrever H j Essa é a quarta equação de Maxwell É essencialmente a lei de Ampère na forma diferencial Note que uma vez que H 0 o campo magnetostático não é conservativo 93 VETOR POTENCIAL MAGNÉTICO B A AR L μ0I ds 4π RR AR V μ0jR dV 4π RR 94 MAGNETIZAÇÃO EM MATERIAIS B μ0H M B μ01 χmH μH ENERGIA MAGNÉTICA E INDUTÂNCIA 101 CONDIÇÕES DE CONTORNO B1n B2n μ1H1n μ2H2n n2 H1 H2 Js H1t H2t 102 INDUTÂNCIA B μnI 2 z2 z22 a2 z1 z21 a2 z B μnI l AUTOINDUTÂNCIA Φ S B ds A autoindutância L de qualquer estrutura é definida como a razão entre o fluxo magnético de enlace A e a corrente I através da estrutura L ΛI A unidade no sistema SI para indutância é o henry H que equivale a webers por ampère 1 H 1 WbA Para o solenoide o uso da Eq 1010 resulta em L μN2T S e para a configuração com dois condutores similar à da Fig 103 L ΦI 1I S B ds Vfem N dΦBdt x H J Dt L12 Λ12I1 N2I1 B1 ds2 Equações fasoriais para meios LIH Em um meio linear homogêneo e isotrópico LIH com condutividade σ a densidade de corrente u2160 está relacionada a u2160 por u2160 σEu2160 Assumindo que não há outras correntes fluindo no meio a Eq 126 pode ser escrita como Hu2160 Ju2160 jωεEu2160 σEu2160 jωEu2160ε jσωEu2160 1211 Introduzindo a permissividade complexa εc definida como εc ε jσω 1212 a Eq 1211 pode ser reescrita como Hu2160 jωεcEu2160 1213 Tomando a divergência em ambos os lados da Eq 1213 e lembrando que a divergência do rotacional de qualquer vetor desaparece Eq 314 segue que Hu2160 jωεcEu2160 Eu2160 0 1214 Utilizando as Eqs 1213 e 1214 fasorial das equações de Maxwell é para materiais LIH assume a forma Eu2160 0 1215 Eu2160 jωμHu2160 1216 Hu2160 0 1217 Hu2160 jωεcEu2160 1218 Equações da onda Vamos investigar que tipo de campos Eu2160 e Hu2160 satisfazem às Eqs 1215 1218 Para tanto começamos tomando o rotacional em ambos os lados da Eq 1216 Eu2160 jωμHu2160 1219 Mas pelaEq 1218 Hu2160 jωεcEu2160 Assim Eu2160 jωμjωεcEu2160 ω²μεcEu2160 1220 Utilizando a identidade vetorial A A ²A podemos expressar o lado esquerdo da Eq 1220 como Eu2160 Eu2160 ²Eu2160 1221 A Eq 1215 nos informa que Eu2160 0 Logo a Eq 1221 fica Eu2160 ²Eu2160 1222 Substituindo a Eq 1222 na Eq 1220 obtemos ²Eu2160 ω²μεcEu2160 1223 Introduzindo a constante de propagação γ definida como γ² ω²μεc 1224 Eq 1223 pode ser reescrita como ²Eu2160 γ²Eu2160 0 1225 122 Ondas planas uniformes Em uma onda plana uniforme ambos os campos Eu2160 e Hu2160 estão contidos em um plano normal à direção de propagação chamado frente de onda ηc μεc Ezt ReEₓ₀ eαz ejωtβz 1251 Hzt ReEₓ₀ eαz ejωtβz ηc Velocidade da onda eletromagnética no vácuo A velocidade de fase da onda eletromagnética é uₚ ωβ onde β é dado pela Eq 1229 No espaço livre σ 0 ε ε₀ 88510¹² Fm e μ μ₀ 4π10⁷ NA² Assim uₚ c 1 μ₀ε₀ 299792458 ms 1252 Penetração da onda eletromagnética Da Eq 1250 a amplitude do campo elétrico é dada por Eₓ₀ eαz 1253 que decresce exponencialmente com z a uma taxa ditada pela constante de atenuação α Devido a Eq 1251 a magnitude do campo magnético decresce na mesma intensidade Na medida em que o campo é atenuado parte da energia carregada pela onda eletromagnética é convertida em calor devido à condução do meio Na medida em que a onda viaja uma distância z δₛ onde δₛ 1α 1254 Siglas 𝐃 densidade de fluxo elétrico 𝐄 intensidade do campo elétrico 𝐁 densidade de fluxo magnético 𝐇 intensidade do campo magnético 𝑭𝒎 forca magnética 𝐮 partícula que se move com velocidade 𝐅 força aplicada 𝐝 vetor distancia braço de alavanca 𝛕 torque 𝐧 vetor normal 𝐦 momento magnético µ permeabilidade magnética 𝐑 vetor posição de um ponto no espaço 𝑹 vetor posição de um elemento de corrente 𝐉 densidade volumétrica de corrente 𝑱𝑺 densidade superficial de corrente 𝑷 polarização 𝑴 magnetização