Exercício Escolar de Eletromagnetismo 2 - Turma E2

Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Turma E2 Semestre 20212 Primeiro Exercício Escolar 1 30 pontos Uma barra condutora está conectada a um par de trilhos através de conectores flexíveis em um campo magnético 𝐵 6 cos 10𝑡 𝑎 𝑥 𝑊𝑏𝑚2 Se o eixo 𝑧 é a posição de equilíbrio da barra e sua velocidade é 2 cos 10𝑡𝑎 𝑦 𝑚𝑠 calcule a tensão induzida na barra Solução 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝐵 𝑡 𝑑𝑆 𝑠 𝑢 𝐵 𝐿 𝑑𝑙 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝑡 6cos 10𝑡 𝑎 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎 𝑥 0 10 5 0 2 cos 10𝑡𝑎 𝑦 6 cos 10𝑡 𝑎 𝑥𝑑𝑧𝑎 𝑧 5 0 𝑉𝑓𝑒𝑚 60sen 10𝑡 𝑎 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎 𝑥 0 10 5 0 12 cos2 10𝑡 𝑎 𝑧𝑑𝑧𝑎 𝑧 5 0 𝑉𝑓𝑒𝑚 60 sen 10𝑡 𝑑𝑧 𝑑𝑦 0 10 5 0 12 cos2 10𝑡 𝑑𝑧 5 0 𝑉𝑓𝑒𝑚 605 00 10sen 10𝑡 125 0 cos2 10𝑡 𝑉𝑓𝑒𝑚 3000sen 10𝑡 60 cos2 10𝑡 𝑉 2 20 pontos Em uma determinada região do espaço 𝐽 2𝑦𝑎 𝑥 𝑥𝑧𝑎 𝑦 𝑧3𝑎 𝑧 sen 103𝑡 𝑚𝐴𝑚2 Calcule 𝜌𝑣 dado que 𝜌𝑣𝑥 𝑦 0 𝑡 0 Solução 𝐽 𝜌𝑉 𝑡 𝐽 𝐽𝑥 𝑥 𝐽𝑦 𝑦 𝐽𝑧 𝑧 𝐽 1030 0 3𝑧2 sen 103𝑡 3 103𝑧2 sen 103𝑡 𝜌𝑉 0003𝑧2 sen 103𝑡 𝑑𝑡 3 103𝑧2 103 cos 103𝑡 𝐾 3 106𝑧2 cos 103𝑡 𝐾 Como 𝜌𝑣𝑥 𝑦 0 𝑡 0 então 3 10602 cos 103𝑡 𝐾 0 𝐾 0 Portanto 𝜌𝑉 3 106𝑧2 cos 103𝑡 𝐶𝑚3 3 30 pontos A amplitude de uma onda que se propaga em um meio não magnético 𝜇 𝜇0 com perdas se reduz de 18 a cada metro A onda opera a 10 MHz e o campo elétrico está adiantado com relação campo magnético em 30 Calcule a A constante de propagação b O comprimento de onda c A profundidade de penetração pelicular d A condutividade do meio Solução Letra a 𝛾 𝛼 𝑗𝛽 𝐸 𝐸0𝑒𝛼𝑧 𝐸0 1 018𝐸0𝑒𝛼1 082𝐸0𝑒𝛼 1 082 𝑒𝛼 ln 1 082 𝛼 𝛼 020 𝛽 𝜔𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 𝑡𝑎𝑛 2𝜃𝜂 𝜎 𝜔𝜀 𝜎 𝜔𝜀 𝑡𝑎𝑛2 30 3 𝛽 𝜔𝜇𝜀 2 1 3 2 1 𝜔𝜇𝜀 2 3 Mas 𝛼 𝜔𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 02 𝜔𝜇𝜀 2 1 3 2 1 02 𝜔𝜇𝜀 2 02 Então 𝛽 𝜔𝜇𝜀 2 3 𝜔𝜇𝜀 2 3 023 035 Por fim 𝛾 02 𝑗035 𝑚1 Letra b 𝜆 2𝜋 𝛽 2𝜋 035 1795 𝑚 Letra c 𝛿 1 𝛼 1 02 5 𝑚 Letra d Da expressão de 𝛼 sabese que 𝜔 𝜇𝜀 2 02 1074𝜋 107𝜀 2 02 4𝜋 107𝜀 2 2 108 4𝜋 107𝜀 2 4 1016 𝜀 8 1016 4𝜋 107 064 109 Como 𝜎 𝜔𝜀 3 𝜎 107 064 109 3 𝜎 1108𝑚𝑆 𝑚 4 20 pontos O vetor campo elétrico de uma onda plana uniforme que se propaga no espaço livre é dado por 𝐸 𝐸0 cos𝜔𝑡 𝛽𝑟 𝑎 𝜃 𝑉𝑚 Calcule o vetor campo magnético utilizando as propriedades do vetor de Poynting Solução O vetor de Poynting aponta para o sentido de propagação da onda 𝑎 𝑘 E por se tratar de uma onda plana uniforme não componentes de campos elétrico e magnético na direção da propagação 𝑎 𝑘 𝑎 𝐸 𝑎 𝐻 𝑎 𝑘 𝑎 𝑟 pois cos𝜔𝑡 𝛽𝑟 e 𝑎 𝐸 𝑎 𝜃 𝑎 𝑟 𝑎 𝜃 𝑎 𝐻 Logo 𝑎 𝐻 𝑎 𝜙 Como o meio é o espaço livre os campos elétrico e magnético estão em fase e a impedância é dada por 𝜂0 𝐸0 𝐻0 120𝜋 Portanto 𝐻 𝐸0 𝜂0 cos𝜔𝑡 𝛽𝑟 𝑎 𝜙 𝐴𝑚 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Turma E2 Semestre 20222 Primeiro Escolar Final Instrução utilize três casas decimais 1 20 Um carro viaja a 90 𝑘𝑚ℎ Se o campo magnético terrestre é de 43 105 𝑊𝑏𝑚 calcule a tensão induzida no parachoque de 16 𝑚 de comprimento Considere que o ângulo entre o campo magnético terrestre e a normal do carro é de 65 Solução 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝑢 𝐵 𝑑𝑙 90 36 𝑎 𝑥 43 105 𝑐𝑜𝑠 65𝑎 𝑦 𝑑𝑧𝑎 𝑧 16 0 𝑉𝑓𝑒𝑚 07269 𝑚𝑉 2 40 Um material não magnético tem uma impedância intrínseca de 21030 Ω Calcule a A tangente de perdas b A constante dielétrica c A permissividade complexa d A constante de atenuação em 12 𝑀𝐻𝑧 Solução Letra a 𝑡𝑎𝑛 𝜃 𝑡𝑎𝑛2𝜃𝜂 𝑡𝑎𝑛 𝜃 𝑡𝑎𝑛2 30 3 Letra b 𝜂 𝜇 𝜀 1 𝜎 𝜔𝜀 2 4 210 120𝜋 1 𝜀𝑟 1 3 2 4 1 𝜀𝑟 2104 4 120𝜋 𝜀𝑟 120𝜋 2104 4 2 161 Letra c 𝜀𝑐 𝜀 1 𝑗𝜎 𝜔𝜀 𝜀𝑟𝜀01 𝑗 𝑡𝑎𝑛 𝜃 𝜀𝑐 161 109 36𝜋 1 𝑗3 𝜀𝑐 142 𝑗247 1011 𝐹𝑚 Letra d 𝛼 𝜔𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 𝜔𝜇𝜀 2 1 𝑡𝑎𝑛 𝜃2 1 𝛼 2𝜋12 106 3 108 1 161 2 1 3 2 1 𝛼 002 𝑁𝑝𝑚 3 40 Uma onda plana uniforme especificada por 𝐸 𝑖 9 𝑐𝑜𝑠𝜋 107𝑡 𝛽1𝑧 𝑎 𝑥 𝑉𝑚 incide normalmente a partir do ar 𝑧 0 em um meio nãomagnético z 0 𝜎 005 𝑆𝑚 e εr 9 Calcule a A expressão instantânea do campo elétrico transmitido b A expressão instantânea do campo elétrico refletido c A densidade de potência média temporal para a onda incidente d A densidade de potência média temporal para a onda transmitida Nota indicar o valor de 𝛽1 Solução 𝜂1 𝜂0 120𝜋 Ω 𝛾1 𝛼1 𝑗𝛽1 0 𝑗 𝜔 𝑐 𝑗 𝜋 107 3 108 0105 𝑟𝑎𝑑𝑚 𝜂2 𝑗𝜔𝜇2 𝜎 𝑗𝜔𝜀2 𝑗𝜋 107 4𝜋 107 005 𝑗𝜋 107 9 109 36𝜋 𝑗4𝜋2 005 𝑗25 103 𝜂2 280824357 Ω 20346 𝑗19355 Ω 𝛾2 𝛼2 𝑗𝛽2 𝛼2 𝜔𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 𝜋107 3 108 1 9 2 1 005 𝜋107 9 109 36𝜋 2 1 𝛼2 0988 𝑁𝑝𝑚 𝛽2 𝜔𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜔𝜀 2 1 𝜋107 3 108 1 9 2 1 005 𝜋107 9 109 36𝜋 2 1 𝛽2 1024 𝑟𝑎𝑑𝑚 Γ 𝜂2 𝜂1 𝜂2 𝜂1 20346 𝑗19355 120𝜋 20346 𝑗19355 120𝜋 089817412 0893 𝑗0092 𝜏 1 Γ 1 0893 𝑗0092 0107 𝑗0092 01414069 Letra a 𝐸 𝑡 𝐸0𝑡𝑒𝛼2𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜋 107𝑡 𝛽2𝑧 𝑎 𝑥 𝐸 𝑡 0141 9𝑒0988𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜋 107𝑡 1024𝑧 4069𝑎 𝑥 𝐸 𝑡 1269𝑒0988𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜋 107𝑡 1024𝑧 4069𝑎 𝑥 𝑉𝑚 Letra b 𝐸 𝑟 𝐸0𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜋 107𝑡 𝛽1𝑧 𝑎 𝑥 𝐸 𝑟 9 0898 𝑐𝑜𝑠𝜋 107𝑡 0105𝑧 17412 𝑎 𝑥 𝑉𝑚 𝐸 𝑟 8082𝑐𝑜𝑠𝜋 107𝑡 0105𝑧 17412𝑎 𝑥 𝑉𝑚 Letra c 𝒫 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑧 𝐸0 2 2𝜂 𝑒2𝛼𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝜂 𝑎 𝑧 92 2 120𝜋 𝑎 𝑧 0107𝑎 𝑧 𝑊𝑚2 Letra d 𝒫 𝑚𝑒𝑑𝑡𝑧 12692 2 28082𝑒20988𝑧 𝑐𝑜𝑠4357𝑎 𝑧 0021𝑒20988𝑧𝑎 𝑧 𝑊𝑚2 𝒫 𝑚𝑒𝑑𝑡0 0021𝑎 𝑧 𝑊𝑚2 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Turma E2 Semestre 20211 Segundo Exercício Escolar 1 Uma linha de transmissão sem perdas possui 425 𝑚 de comprimento e impedância característica igual a 50 𝛺 Ela é alimentada por um gerador com os seguintes parâmetros tensão de a 20 𝑉 frequência de 75 𝑀𝐻𝑧 fase inicial nula e impedância interna igual a 20 𝛺 Na extremidade oposta da linha de transmissão temse uma carga com impedância igual a 100 𝑗50 𝛺 A permissividade relativa do dielétrico da linha é igual a 4 e sua permeabilidade magnética relativa é igual a 1 Calcule a 10 ponto A equação de onda de tensão na linha b 10 ponto A equação de onda de corrente na linha c 10 ponto A potência média dissipada na carga d 10 ponto A potência média dissipada no gerador e 10 ponto O coeficiente de reflexão na carga Solução 𝛽 𝜔 𝑢 𝜔 𝑐 𝜀𝑟𝜇𝑟 2𝜋75 106 3 108 4 1 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑚 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍0 𝑍𝑐𝑗𝑍0 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙 𝑍0 𝑗𝑍𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙 50 100 𝑗50 𝑗50 𝑡𝑎𝑛425𝜋 50 𝑗100 𝑗50 𝑡𝑎𝑛425𝜋 50 𝑗50 Ω 𝑉0 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍𝑔 𝑉𝑔 50 𝑗50 50 𝑗50 20 200 164435054 𝑉 𝐼0 𝑉𝑔 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍𝑔 200 50 𝑗50 20 0233554 𝐴 𝑉0 1 2 164435054 50 0233554 1286 𝑗19 𝑉 1384 𝑉 𝑉0 1 2 164435054 50 0233554 336 𝑗46 𝑉 5730615 𝑉 𝑉𝑠𝑧 𝑉0 𝑒𝛾𝑧 𝑉0 𝑒𝛾𝑧 1384𝑒𝑗𝜋𝑧 5730615𝑒𝑗𝜋𝑧 𝑽𝒔𝒛 𝟏𝟑𝒆𝒋𝟖𝟒𝒆𝒋𝝅𝒛 𝟓 𝟕𝒆𝒋𝟑𝟎𝟔𝟏𝟓𝒆𝒋𝝅𝒛 𝑽 letra a 𝐼𝑠𝑧 𝑉0 𝑍0 𝑒𝛾𝑧 𝑉0 𝑍0 𝑒𝛾𝑧 1384 50 𝑒𝑗𝜋𝑧 5730615 50 𝑒𝑗𝜋𝑧 𝑰𝒔𝒛 𝟎 𝟐𝟔𝒆𝒋𝟖𝟒𝒆𝒋𝝅𝒛 𝟎 𝟏𝟏𝟒𝒆𝒋𝟑𝟎𝟔𝟏𝟓𝒆𝒋𝝅𝒛 𝑨 letra b Corrente na carga 𝐼𝑠𝑙 425 026𝑒𝑗84𝑒𝑗425𝜋 0114𝑒𝑗30615𝑒𝑗425𝜋 02684 1 45 011430615 145 026 366 0114 35176 021 𝑗016 011 𝑗002 01 𝑗014 𝐴 01730554 𝐴 Potência dissipada na carga 𝑷𝒄 𝑹𝒄 𝑰𝒄 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟏𝟕𝟐 𝟐 𝟖𝟗 𝑾 letra c Corrente no gerador 𝐼𝑠𝑙 0 026𝑒𝑗84𝑒0 0114𝑒𝑗30615𝑒0 02684 011430615 0233438 𝐴 Potência dissipada no gerador 𝑷𝒈 𝑹𝒈 𝑰𝒈 𝟐 𝟐𝟎 𝟎 𝟐𝟑𝟐 𝟏 𝟎𝟔 𝑾 letra d 𝜞𝒄 𝒁𝒄 𝒁𝟎 𝒁𝒄 𝒁𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝒋𝟓𝟎 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝒋𝟓𝟎 𝟓𝟎 𝟎 𝟒 𝒋𝟎 𝟐 𝟎 𝟒𝟓𝟐𝟔 𝟓𝟕 letra e 2 Uma guia de onda retangular possui como dimensões de sua face frontal 1905 𝑐𝑚 e 0953 𝑐𝑚 Ele é preenchido por ar e a frequência de operação é 18 𝐺𝐻𝑧 a 10 ponto Calcule a frequência de corte dos modos que se propagam no guia b Para a frequência de operação calcule i 10 ponto O comprimento de onda no guia ii 10 ponto A constante de fase no guia iii 10 ponto A velocidade de fase no guia iv 10 ponto As impedâncias para os modos TM que se propagam no guia Solução Letra a 𝑓𝑐 𝑢 2 𝑚 𝑎 2 𝑛 𝑏 2 Para 𝑇𝐸10 𝒇𝒄 𝟑 𝟏𝟎𝟖 𝟐 𝟏 𝟏 𝟗𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟗𝟓𝟑 𝟏𝟎𝟐 𝟐 𝟕 𝟖𝟕 𝑮𝑯𝒛 Para 𝑇𝐸01 𝒇𝒄 𝟑 𝟏𝟎𝟖 𝟐 𝟎 𝟏 𝟗𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟗𝟓𝟑 𝟏𝟎𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟕𝟒 𝑮𝑯𝒛 Para 𝑇𝐸11 e 𝑇𝑀11 𝒇𝒄 𝟑 𝟏𝟎𝟖 𝟐 𝟏 𝟏 𝟗𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟗𝟓𝟑 𝟏𝟎𝟐 𝟐 𝟏𝟕 𝟔𝟎 𝑮𝑯𝒛 Para 𝑇𝐸20 𝒇𝒄 𝟑 𝟏𝟎𝟖 𝟐 𝟐 𝟏 𝟗𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟗𝟓𝟑 𝟏𝟎𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟕𝟓 𝑮𝑯𝒛 Letra bi Para 𝑇𝐸10 𝜆 𝜆 1 𝑓𝑐 𝑓 2 𝑢 𝑓 1 𝑓𝑐 𝑓 2 𝝀 𝟑 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟏 𝟕 𝟖𝟕 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟏 𝟖𝟓 𝒄𝒎 Para 𝑇𝐸01 𝝀 𝟑 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟏 𝟏𝟓 𝟕𝟒 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟑 𝟒𝟑 𝒄𝒎 Para 𝑇𝐸11 e 𝑇𝑀11 𝝀 𝟑 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟏 𝟏𝟕 𝟔 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟕 𝟗𝟓 𝒄𝒎 Para 𝑇𝐸20 𝝀 𝟑 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟏 𝟏𝟓 𝟕𝟓 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟑 𝟒𝟒 𝒄𝒎 Letra bii Para 𝑇𝐸10 𝛽 𝛽1 𝑓𝑐 𝑓 2 𝜔 𝑢 1 𝑓𝑐 𝑓 2 2𝜋𝑓 𝑢 1 𝑓𝑐 𝑓 2 𝛽 2𝜋18 109 3 108 1 787 109 18 109 2 376991 787 109 18 109 2 𝜷 𝟑𝟕𝟔 𝟗𝟗𝟏 𝟕 𝟖𝟕 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟑𝟑𝟗 𝟎𝟓 𝒓𝒂𝒅𝒎 Para 𝑇𝐸01 𝜷 𝟑𝟕𝟔 𝟗𝟗𝟏 𝟏𝟓 𝟕𝟒 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟏𝟖𝟐 𝟖𝟗 𝒓𝒂𝒅𝒎 Para 𝑇𝐸11 e 𝑇𝑀11 𝜷 𝟑𝟕𝟔 𝟗𝟗𝟏 𝟏𝟕 𝟔 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟕𝟗 𝟎𝟑 𝒓𝒂𝒅𝒎 Para 𝑇𝐸20 𝜷 𝟑𝟕𝟔 𝟗𝟗𝟏 𝟏𝟓 𝟕𝟓 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟏𝟖𝟐 𝟓𝟏 𝒓𝒂𝒅𝒎 Letra biii Para 𝑇𝐸10 𝒖𝒑 𝒖 𝟏 𝒇𝒄 𝒇 𝟐 𝟑 𝟏𝟎𝟖 𝟏 𝟕 𝟖𝟕 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟑 𝟑𝟒 𝟏𝟎𝟖 𝒎𝒔 Para 𝑇𝐸01 𝒖𝒑 𝟑 𝟏𝟎𝟖 𝟏 𝟏𝟓 𝟕𝟒 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟔 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟖 𝒎𝒔 Para 𝑇𝐸11 e 𝑇𝑀11 𝒖𝒑 𝟑 𝟏𝟎𝟖 𝟏 𝟏𝟕 𝟔 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟏 𝟒𝟑 𝟏𝟎𝟗 𝒎𝒔 Para 𝑇𝐸20 𝒖𝒑 𝟑 𝟏𝟎𝟖 𝟏 𝟏𝟓 𝟕𝟓 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟔 𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝒎𝒔 Letra biv 𝜼𝑻𝑴𝟏𝟏 𝜼𝟏 𝒇𝒄 𝒇 𝟐 𝟏𝟐𝟎𝝅𝟏 𝟏𝟕 𝟔 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔𝝅 𝟕𝟗 𝟎𝟑 𝛀 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Turma HA Semestre 20211 Segundo Exercício Escolar 1 30 pontos Um guia de onda retangular é preenchido por um dielétrico com 𝜀𝑟 28 As dimensões dele são 38 𝑐𝑚 e 25 𝑐𝑚 a Calcule a frequência de corte do guia de onda b Quais modos propagarão na frequência de 3 𝐺𝐻𝑧 c Calcule a impedância do guia de onda em 3 𝐺𝐻𝑧 Solução Letra a 𝑓𝑐10 𝑢 2𝑎 𝑐 𝜀𝑟2𝑎 3 108 28 2 38 102 236 𝐺𝐻𝑧 Letra b 𝑓𝑐01 𝑢 2𝑏 𝑐 𝜀𝑟2𝑏 3 108 28 2 25 102 359 𝐺𝐻𝑧 Apenas o modo 𝑇𝐸10 se propaga em 3 𝐺𝐻𝑧 Letra c 𝜂𝑇𝐸 𝜂 1 𝑓𝑐 𝑓 2 120𝜋 28 1 236 109 3 109 2 4427𝜋 Ω 2 40 pontos Um guia de onda com dimensões 23 𝑐𝑚 e 10 𝑐𝑚 opera em 14 𝐺𝐻𝑧 Calcule o comprimento de onda no guia a velocidade de fase a velocidade de grupo e a impedância para cada modo suportado Solução Para o modo 𝑇𝐸10 𝑓𝑐01 𝑐 2𝑎 3 108 2 23 102 652 𝐺𝐻𝑧 𝜆 𝜆 1 𝑓𝑐 𝑓 2 𝑢 𝑓 1 𝑓𝑐 𝑓 2 3 108 14 109 1 652 109 14 109 2 242 𝑐𝑚 𝑢𝑝 𝑢 1 𝑓𝑐 𝑓 2 3 108 1 652 109 14 109 2 339 108 𝑚𝑠 𝑢𝑔 3 1081 652 109 14 109 2 265 108 𝑚𝑠 𝜂𝑇𝐸 120𝜋 1 652 109 14 109 2 13560𝜋 Ω 42601 Ω Para o modo 𝑇𝐸01 𝑓𝑐01 𝑐 2𝑏 3 108 2 10 102 15 𝐺𝐻𝑧 Como 𝑓𝑐01 𝑓 o modo 𝑇𝐸01 não é suportado neste guia Para o modo 𝑇𝐸20 𝑓𝑐01 2𝑐 2𝑎 2 3 108 2 23 102 1304 𝐺𝐻𝑧 𝜆 𝜆 1 𝑓𝑐 𝑓 2 𝑢 𝑓 1 𝑓𝑐 𝑓 2 3 108 14 109 1 1304 109 14 109 2 589 𝑐𝑚 𝑢𝑝 𝑢 1 𝑓𝑐 𝑓 2 3 108 1 1304 109 14 109 2 824 108 𝑚𝑠 𝑢𝑔 3 1081 1304 109 14 109 2 109 108 𝑚𝑠 𝜂𝑇𝐸 120𝜋 1 1304 109 14 109 2 32974𝜋 Ω 103591 Ω Para os modos 𝑇𝐸11 e 𝑇𝑀11 𝑓𝑐11 𝑢 2 𝑚 𝑎 2 𝑛 𝑏 2 3 108 2 1 23 102 2 1 1 102 2 1636 𝐺𝐻𝑧 Como 𝑓𝑐11 𝑓 oz modos 𝑇𝐸11 e 𝑇𝑀11 não são suportados neste guia 3 30 pontos Uma antena localizada na origem de um sistema de coordenadas emite uma onda eletromagnética que se propaga radialmente no espaço livre A expressão do campo magnético dessa onda é dado por 𝐻 𝑠 𝐼0𝑒𝑗𝛽 𝑟 sen 𝜃 𝑎 𝜙 𝐴𝑚 Calcule a O fasor campo elétrico b A média temporal da densidade de potência c A resistência de radiação para essa antena Solução Letra a Como o campo se propaga radialmente temse que 𝑎 𝑘 𝑎 𝑟 Uma vez que 𝑎 𝑘 𝑎 𝐸 𝑎 𝐻 podese determinar 𝑎 𝐸 da seguinte forma 𝑎 𝑟 𝑎 𝐸 𝑎 𝜙 𝑎 𝐸 𝑎 𝜃 No espaço livre 𝐻0 𝐸0𝜂0 Portanto 𝐸 𝑠 𝜂0𝐼0𝑒𝑗𝛽 𝑟 sen 𝜃 𝑎 𝜃 𝑉𝑚 Letra b 𝒫 𝑚𝑒𝑑 1 2 𝑅𝑒𝐸 𝑠 𝐻 𝑠 1 2 𝑅𝑒 𝜂0𝐼0𝑒𝑗𝛽 𝑟 sen 𝜃 𝑎 𝜃 𝐼0𝑒𝑗𝛽 𝑟 sen 𝜃 𝑎 𝜙 1 2 𝜂0 𝐼0 𝑟 sen 𝜃 2 𝑎 𝑟 𝑊𝑚2 Letra c 𝑃𝑟𝑎𝑑 𝒫 𝑚𝑒𝑑 𝑑𝑠 1 2 𝐼0 2𝑅𝑟𝑎𝑑 𝑃𝑟𝑎𝑑 1 2 𝜂0 𝐼0 𝑟 sen 𝜃 2 𝑎 𝑟 𝜋 𝜃0 2𝜋 𝜙0 𝑟2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙𝑎 𝑟 𝑃𝑟𝑎𝑑 1 2 𝜂0𝐼0 2 𝑑𝜙 𝑑𝜃 𝜋 𝜃0 2𝜋 𝜙0 1 2 𝜂0𝐼0 22𝜋2 𝜂0𝐼0 2𝜋2 𝑊 Como 𝑃𝑟𝑎𝑑 1 2 𝐼0 2𝑅𝑟𝑎𝑑 𝜂0𝐼0 2𝜋2 1 2 𝐼0 2𝑅𝑟𝑎𝑑 𝑅𝑟𝑎𝑑 2𝜋2𝜂0 Ω Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Turma E2 Semestre 20212 Segundo Exercício Escolar 1 30 pontos Uma linha de transmissão de 6 metros de comprimento possui os seguintes parâmetros distribuídos 𝑅 6 Ω𝑚 𝐿 34 𝜇𝐻𝑚 𝐺 9 𝑚𝑆𝑚 e 𝐶 21 𝑝𝐹𝑚 Calcule a impedância característica da linha e o tempo de propagação entre os seus terminais quando ela é alimentada por um sinal de 4MHz Solução 𝑍 7𝑅 𝑗𝜔𝐿 𝐺 𝑗𝜔𝐶 7 6 𝑗2𝜋4 10 34 10 9 10 𝑗2𝜋4 10 21 10 7321 𝑗6435 Ω 𝛾 𝛼 𝑗𝛽 C𝑅 𝑗𝜔𝐿𝐺 𝑗𝜔𝐶 C6 𝑗2𝜋4 10 34 109 10 𝑗2𝜋4 10 21 10 062 𝑗062 𝑚 Δ𝑡 𝑙 𝑢 𝑙 𝜔𝛽 6 2𝜋4 10062 014 𝜇𝑠 2 30 pontos Um guia de onda retangular é preenchido com um dielétrico cuja permissividade elétrica relativa é igual a 121 Sabendo que a frequência de corte do modo 𝑇𝐸 é 5 𝐺𝐻𝑧 e para o modo 𝑇𝐸 é 12 𝐺𝐻𝑧 calcule a As dimensões do guia b As frequências de corte dos cinco modos TE de menor ordem explicitando os Solução Letra a Para o modo 𝑇𝐸 𝑓 𝑢 2𝑎 𝑐 𝜇𝜀 2𝑎 𝑎 𝑢 2𝑓 3 10 1 121 2 5 10 273 𝑐𝑚 Para o modo 𝑇𝐸 𝑓 𝑢 2𝑏 𝑐 𝜇𝜀 2𝑏 𝑏 𝑢 2𝑓 3 10 1 121 2 12 10 114 𝑐𝑚 Letra b 𝑓 𝑢 2 7T𝑚 𝑎 U T𝑛 𝑏U Modo Frequência de corte GHz 𝑇𝐸 5 𝑇𝐸 12 𝑇𝐸 1296 𝑇𝐸 999 𝑇𝐸 2392 𝑇𝐸 1499 𝑇𝐸 1558 Resposta Modo Frequência de corte GHz 𝑇𝐸 5 𝑇𝐸 999 𝑇𝐸 12 𝑇𝐸 1296 𝑇𝐸 1499 3 40 pontos Uma antena radia no espaço livre um campo elétrico dado por 𝐸 03 cos 𝜃 4𝜋𝑟 𝑒 𝑉𝑚 na região de campo distante Calcule a A potência total radiada b O ganho diretivo para 𝜃 30 Solução Letra a 𝑃01 𝒫b231 𝑑𝑠 𝒫b231 1 2 𝑅𝑒e𝐸b 𝐻bbf 1 2 𝑅𝑒e𝐸5𝐻 𝑎f 1 2𝜂 h𝐸bh 𝑎 𝒫b231 1 2𝜂 i03 𝑐𝑜𝑠 𝜃 4𝜋𝑟 k 𝑎 1 240𝜋 009 𝑐𝑜𝑠6 𝜃 16𝜋𝑟 𝑎 𝑃01 1 240𝜋 009 𝑐𝑜𝑠6 𝜃 16𝜋𝑟 𝑎 7 58 7 8 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙𝑎 𝑃01 009 3840𝜋 𝑑𝜙 𝑐𝑜𝑠6 𝜃 7 58 7 8 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑃01 2𝜋 009 3840𝜋 𝑐𝑜𝑠6 𝜃 7 58 sen 𝜃 𝑑𝜃 Fazendo 𝑢 cos 𝜃 𝑢6𝑑𝑢 𝑢9 5 q 1 5 1 5 2 5 𝑃01 2𝜋 009 3840𝜋 2 5 1875 𝜋 𝜇𝑊 19𝜇𝑊 Letra b 𝐺1𝜃 𝜙 𝑈𝜃 𝜙 𝑈2é1 4𝜋𝑈𝜃 𝜙 𝑃01 4𝜋𝑟𝒫231 𝑃01 𝐺1𝜃 𝜙 4𝜋𝑟 1 240𝜋 009 𝑐𝑜𝑠6 𝜃 16𝜋𝑟 1875 10 𝜋 9375 10 𝜋 𝑐𝑜𝑠6 𝜃 1875 10 𝜋 5 𝑐𝑜𝑠6 𝜃 Para 𝜃 30 𝐺1 5 cos6 30 28125 449 𝑑𝐵 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Turma E2 Semestre 20222 Segundo Exercício Escolar Instrução utilize três casas decimais 1 Medições em uma linha de transmissão de 08 𝑘𝑚 de comprimento operando na frequência de 5 𝑘𝐻𝑧 trouxeram os seguintes resultados Impedância característica igual a 94 23 Ω Atenuação total de 0096 𝑁𝑝 Defasagem entre o sinal na entrada e na saída da linha de transmissão igual a 128 Sobre essa linha de transmissão calcule a A constante de propagação 10 ponto b Os parâmetros 𝑅 𝐿 𝐺 e 𝐶 10 ponto c A velocidade de fase 10 ponto Solução Letra a 𝛼𝑙 0096 𝛼 0096 08 012 𝑁𝑝𝑘𝑚 𝛽𝑙 128 128 180 𝜋 𝛽 128 08 180𝜋 0279 𝑟𝑎𝑑𝑘𝑚 𝛾 𝛼 𝑗𝛽 𝜸 𝟎 𝟏𝟐 𝒋𝟎 𝟐𝟕𝟗 𝒌𝒎𝟏 Letra b 𝛾 012 𝑗0279 030366727 𝑍0 𝑅 𝑗𝜔𝐿 𝐺 𝑗𝜔𝐶 𝑅 𝑗𝜔𝐿 𝛾 𝛾 𝐺 𝑗𝜔𝐶 𝑅 𝑗𝜔𝐿 𝛾𝑍0 030366727 94 23 2848243727 𝑅 𝑗𝜔𝐿 20582 𝑗19687 𝑹 𝟐𝟎 𝟓𝟖𝟐 𝛀𝒌𝒎 𝜔𝐿 19687 𝐿 19687 2𝜋 5 103 𝑳 𝟔𝟐𝟔 𝟔𝟓𝟕 𝝁𝑯𝒌𝒎 𝐺 𝑗𝜔𝐶 𝛾 𝑍0 030366727 94 23 000389727 𝐺 𝑗𝜔𝐶 14294 106 𝑗0003 𝑮 𝟏𝟒 𝟐𝟗𝟒 𝝁𝑺𝒌𝒎 𝜔𝐶 0003 𝐶 0003 2𝜋 5 103 𝑪 𝟗𝟓 𝟒𝟗𝟑 𝒏𝑭𝒌𝒎 Letra c 𝑢 𝜔 𝛽 2𝜋 5 103 0279 𝒖 𝟏 𝟏𝟐𝟔 𝟏𝟎𝟓 𝒌𝒎𝒔 2 Um guia de onda retangular sem perdas e preenchido com o ar tem como dimensões 𝑎 7214 𝑐𝑚 e 𝑏 3404 𝑐𝑚 Ele é utilizado para operar numa frequência 11 vezes superior à frequência de corte do modo 𝑇𝑀11 Calcule a A frequência de corte do modo 𝑇𝑀11 10 ponto b A frequência de operação 10 ponto c A constante de propagação 10 ponto d A impedância da onda 10 ponto Solução Letra a 𝑓𝑐 𝑢 2 𝑚 𝑎 2 𝑛 𝑏 2 3 108 2 1 7214 102 2 1 3404 102 2 𝑓𝑐 3 108 2 1 7214 102 2 1 3404 102 2 𝒇𝒄 𝟒 𝟖𝟕𝟑 𝑮𝑯𝒛 Letra b 𝑓 11 4873 𝒇 𝟓 𝟑𝟔𝟎 𝑮𝑯𝒛 Letra c 𝛾 𝛼 𝑗𝛽 𝑗𝛽1 𝑓𝑐 𝑓 2 𝑗 2𝜋 5360 109 3 108 1 4873 5360 2 𝜸 𝒋𝟒𝟔 𝟕𝟓𝟓 𝒎𝟏 Letra c 𝜂𝑇𝑀 𝜂1 𝑓𝑐 𝑓 2 120𝜋1 4873 5360 2 49978𝜋 𝜼𝑻𝑴 𝟏𝟓𝟕 𝟎𝟏𝟐 𝛀 3 Considere um dipolo hertziano de 001 𝑚 no ar a Calcule a corrente necessária para radiar uma potência de 100 𝑊 em 100 𝑀𝐻𝑧 10 ponto b Calcule o módulo do campo magnético no ponto 100 𝑚 90 0 10 ponto c Calcule o módulo do campo elétrico no ponto 100 𝑚 90 0 10 ponto Solução Letra a 𝑃𝑟𝑎𝑑 1 2 𝐼0 2𝑅𝑟𝑎𝑑 𝐼0 2𝑃𝑟𝑎𝑑 𝑅𝑟𝑎𝑑 𝑅𝑟𝑎𝑑 80𝜋2 𝑑𝑙 𝜆 2 80𝜋2 𝑑𝑙 𝑐𝑓 2 80𝜋2 001 3 108 100 106 2 8773 103 Ω 𝐼0 2 100 8773 103 𝑰𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟗𝟖𝟕 𝑨 Letra b 𝐻𝜙𝑠 𝑗𝛽𝐼0𝑑𝑙 4𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑒𝑗𝛽𝑟 𝐻𝜙𝑠 𝛽𝐼0𝑑𝑙 4𝜋𝑟 sen 𝜃 2𝜋𝑓 𝑐 𝐼0𝑑𝑙 4𝜋𝑟 sen 𝜃 𝑓𝐼0𝑑𝑙 𝑐2𝑟 sen 𝜃 100 106 150987 001 3 108 2 100 sen 90 𝑯𝝓𝒔 𝟐 𝟓𝟏𝟔 𝒎𝑨𝒎 Letra c 𝐸𝜃𝑠 𝜂𝐻𝜙𝑠 𝐸𝜃𝑠 120𝜋 2516 103 𝑬𝜽𝒔 𝟎 𝟗𝟒𝟗 𝑽 𝒎 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Turma E2 Semestre 20212 Segunda Chamada 1 O raio 𝑟 de uma espira de metal condutor perfeito no espaço livre situada no plano 𝑥𝑦 aumenta à taxa de 𝜋𝑟1 𝑚𝑠 Um pequeno resistor de 2 Ω é colocado em uma descontinuidade na espira Sabendo que nessa região a densidade de fluxo do campo magnético é dada por 𝐵 1𝑎 𝑧 𝑇 Calcule a corrente induzida na espira Solução 𝜙 𝐵 𝑑𝑆 1𝑎 𝑧 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑎 𝑧 𝑟 0 2𝜋 0 𝑑𝜙 2𝜋 0 𝜌𝑑𝜌 𝑟 0 𝜙0 2𝜋 𝜌2 2 0 𝑟 2𝜋 𝑟2 2 𝜋𝑟2 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝑑𝜙 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝜋𝑟2 𝑑 𝑑𝑟 𝜋𝑟2 𝑑𝑟 𝑑𝑡 2𝜋𝑟 𝜋𝑟1 2 𝑉 𝐼 𝑉 𝑅 2 2 1 𝐴 𝑜𝑢 1 𝐴 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝜙 2 Uma onda eletromagnética possui um comprimento de onda de 5 𝑐𝑚 no ar Ela incide em um meio líquido nãomagnético 𝜇𝑟 1 sem perdas No líquido o comprimento de onda é de 1 𝑐𝑚 Calcule a A frequência da onda no ar b A frequência da onda no líquido c A permissividade elétrica relativa do líquido Solução Letra a 𝑓 𝑢 𝜆 3 108 5 102 6 𝐺𝐻𝑧 Letra b A frequência da onda não muda ao passar de um meio para outro Logo 𝑓 6 𝐺𝐻𝑧 Letra c 𝑓 𝑢 𝜆 𝑐𝜇𝑟𝜀𝑟 𝜆 𝑐 𝜇𝑟𝜀𝑟 𝜆𝑓 𝑐 𝜆𝑓 𝜇𝑟𝜀𝑟 𝜀𝑟 𝑐 𝜆𝑓𝜇𝑟 2 3 108 102 6 109 1 2 3 06 2 𝜀𝑟 25 3 Uma fonte de tensão senoidal operando em 75 𝑀𝐻𝑧 alimenta a combinação série de uma impedância 𝑍𝑔 50 𝑗50 Ω e uma linha de transmissão sem perdas de comprimento 𝐿 curtocircuitada na extremidade da carga Calcule o menor valor para o comprimento da linha o qual resultará na fonte de tensão alimentando uma impedância total de 50 Ω Solução 𝑍𝑐𝑐 𝑍𝑒𝑛𝑡𝑍𝑐0 𝑗𝑍0 𝑡𝑎𝑛𝛽𝑙 𝑍𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑍𝑔 𝑍𝑒𝑛𝑡 50 50 𝑗50 𝑗50𝑡𝑎𝑛𝛽𝑙 𝑡𝑎𝑛𝛽𝑙 1 𝛽𝑙 𝜋 4 𝑙 𝜋 4𝛽 𝜋 4𝜔 𝑢 𝜋 4 2𝜋 75 106 3 108 1 2 05 𝑚 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Turma E2 Semestre 20222 Segunda Chamada Instrução utilize três casas decimais 1 Em um material cuja condutividade é igual a 50 𝑆𝑚 e constante dielétrica igual a 1 a intensidade do campo elétrico é dada por 𝐸 250 sen 1010𝑡 𝑉𝑚 Calcule a A densidade de corrente de condução 10 b A densidade de corrente de deslocamento 10 c A frequência para qual as densidades de corrente possuem o mesmo módulo 10 Solução Letra a 𝐽 𝜎𝐸 5 250 𝑠𝑒𝑛 1010𝑡 𝑱 𝟏𝟐𝟓𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟎𝟏𝟎𝒕 𝑨𝒎𝟐 Letra b 𝐽𝑑 𝐷 𝑡 𝜀𝐸 𝑡 𝜀𝑟𝜀0𝐸 𝑡 𝜀0 𝐸 𝑡 109 36𝜋 𝑡 250 𝑠𝑒𝑛 1010𝑡 𝐽𝑑 250 36𝜋 𝑐𝑜𝑠 1010𝑡 𝑱𝒅 𝟐 𝟐𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟎𝟏𝟎𝒕 𝑨𝒎𝟐 Letra c 𝐽 𝐽𝑑 logo 𝜎 𝜔𝜀 𝜔 𝜎 𝜀 5 109 36𝜋 𝝎 𝟓 𝟔𝟓𝟓 𝟏𝟎𝟏𝟏 𝒓𝒂𝒅𝒔 2 Para uma onda eletromagnética de frequência igual a 16 𝑀𝐻𝑧 que se propaga em um material não magnético e que possui uma condutividade igual a 382 𝑀𝑆𝑚 calcule a A profundidade de penetração pelicular 10 b A velocidade de propagação 10 Solução Letra a 𝛿 1 𝜋𝑓𝜇𝜎 1 𝜋16 106 4𝜋 107 382 106 𝜹 𝟔𝟒 𝟑𝟕𝟕 𝝁𝒎 Letra b 𝑢 𝜔 𝛽 𝜔𝛿 𝒖 𝟔𝟒𝟕 𝟏𝟖𝟖 𝒎𝒔 3 Explique o que é o comprimento de onda de corte 20 Solução O comprimento de onda de corte é o valor máximo permitido para que haja propagação da onda eletromagnética no guia 4 Um dipolo hertziano tem 2 𝑚 de comprimento é feito de cobre e opera na frequência de 1𝑀𝐻𝑧 Considerando a condutividade do cobre igual a 57 𝑀𝑆𝑚 o raio do condutor igual a 1 𝑚𝑚 e a permeabilidade magnética relativa igual a 1 calcule a eficiência de radiação desta antena 30 Solução 𝜂𝑟𝑎𝑑 𝑅𝑟𝑎𝑑 𝑅𝑟𝑎𝑑 𝑅𝑙 𝛿 1 𝜋𝑓𝜇𝜎 1 𝜋106 4𝜋107 57 106 66663 𝜇𝑚 Como 𝛿 𝑎 podese considerar a corrente confinada numa casca cilíndrica de espessura 𝛿 Logo 𝑅𝑙 𝑙 𝜎2𝜋𝑎𝛿 2 57 106 2𝜋 103 66663 106 𝑅𝑙 0084 Ω 𝑅𝑟𝑎𝑑 80𝜋2 𝑑𝑙 𝜆 2 80𝜋2 𝑑𝑙 𝑐𝑓 2 80𝜋2 2 106 3 108 2 𝑅𝑟𝑎𝑑 0035 Ω 𝜂𝑟𝑎𝑑 0035 0035 0084 𝜼𝒓𝒂𝒅 𝟎 𝟐𝟗𝟒 𝟐𝟗 𝟒 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Turma HA Semestre 20211 Exercício Escolar Final 1 O vetor campo elétrico de uma onda que se propaga no espaço livre é dado por 𝐸 𝐸0 𝑟 sen 𝜃 cos𝜔𝑡 𝛽𝑟 𝑎 𝜃 𝑉𝑚 Calcule o vetor campo magnético utilizando as equações de Maxwell Solução 𝐸 𝜇0 𝐻 𝑡 𝐻 𝑡 1 𝜇0 𝐸 𝐸 1 𝑟2 sen 𝜃 𝑎 𝑟 𝑟𝑎 𝜃 𝑟 sen 𝜃 𝑎 𝜙 𝑟 𝜃 𝜙 0 𝐸0 sen 𝜃 cos𝜔𝑡 𝛽𝑟 0 𝐸 𝑟 sen 𝜃 𝛽 𝑟2 sen 𝜃 𝐸0 sen 𝜃 sen𝜔𝑡 𝛽𝑟 𝑎 𝜙 𝛽 𝑟 𝐸0 sen 𝜃 sen𝜔𝑡 𝛽𝑟 𝑎 𝜙 𝐻 𝑡 𝛽𝐸0 sen 𝜃 𝜇0𝑟 sen𝜔𝑡 𝛽𝑟 𝑎 𝜙 𝐻 𝛽𝐸0 sen 𝜃 𝜇0𝑟 sen𝜔𝑡 𝛽𝑟 𝑎 𝜙𝑑𝑡 𝛽𝐸0 sen 𝜃 𝜇0𝑟 sen𝜔𝑡 𝛽𝑟 𝑎 𝜙𝑑𝑡 𝐻 𝛽𝐸0 sen 𝜃 𝜔𝜇0𝑟 cos𝜔𝑡 𝛽𝑟 𝑎 𝜙 𝐴𝑚 Ou 𝐻 𝐸0 sen 𝜃 𝑟 𝜀0 𝜇0 cos𝜔𝑡 𝛽𝑟 𝑎 𝜙 𝐴𝑚 2 Uma onda eletromagnética incide normalmente a partir do ar sobre um material sem perdas com 𝜇𝑟 36 e 𝜀𝑟 4 O campo elétrico transmitido é dado por 𝐸 𝑡 15 cos𝜔𝑡 𝛽2𝑧 𝑎 𝑥 𝑚𝑉𝑚 Calcule as expressões dos campos elétricos incidente e refletido Solução Meio 1 ar 𝜂1 𝜂0 120𝜋 Ω Meio 2 𝜂2 𝜀𝑟 𝜇𝑟 𝜂0 36 4 120𝜋 360𝜋 Ω Γ 𝜂2 𝜂1 𝜂2 𝜂1 360𝜋 120𝜋 360𝜋 120𝜋 05 𝜏 1 Γ 1 05 15 𝐸𝑡0 𝜏𝐸𝑖0 𝐸𝑖0 1 𝜏 𝐸𝑡0 1 15 15 10 𝑚𝑉𝑚 𝐸𝑟0 Γ𝐸𝑖0 05 10 5 𝑚𝑉𝑚 Logo 𝐸 𝑖 10 cos𝜔𝑡 𝛽1𝑧 𝑎 𝑥 𝑚𝑉𝑚 incidente 𝐸 𝑟 5 cos𝜔𝑡 𝛽1𝑧 𝑎 𝑥 𝑚𝑉𝑚 refletido 3 Uma linha de transmissão com impedância característica de 50Ω e comprimento de 80𝑚 é alimentada por um gerador com fasor de tensão dado por 1200 𝑉 e resistência interna igual a 12Ω Uma carga de 80Ω é conectada na outra extremidade da linha Sabendo que a velocidade de propagação da onda é igual a 2𝑐3 Calcule a potência média consumida pela carga para uma frequência de 500 𝑘𝐻𝑧 Solução 𝛽 ω 𝑢 2π 500 103 23 3 108 157 102 𝑟𝑎𝑑𝑚 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍0 𝑍𝑐𝑗𝑍0 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙 𝑍0 𝑗𝑍𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙 50 80 𝑗50 𝑡𝑎𝑛157 102 80 50 𝑗80 𝑡𝑎𝑛157 102 80 𝑍𝑒𝑛𝑡 50 80 𝑗50 𝑡𝑎𝑛126 50 𝑗80 𝑡𝑎𝑛126 50 80 𝑗50 𝑡𝑎𝑛7219 50 𝑗80 𝑡𝑎𝑛7219 𝑍𝑒𝑛𝑡 50 80 𝑗15564 50 𝑗24902 3314 𝑗941 Ω 3445 1585 Ω 𝑉0 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍𝑔 𝑉𝑔 3314 𝑗941 3314 𝑗941 12 120 8943 𝑗637 𝑉 8966 407 𝑉 𝐼0 𝑉𝑔 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍𝑔 120 3314 𝑗941 12 255 𝑗053 𝐴 261174 𝐴 𝑉𝑠𝑧 𝑉0 𝑒𝛾𝑧 𝑉0 𝑒𝛾𝑧 𝑉0 1 2 𝑉0 𝑍0𝐼0 1 2 8943 𝑗637 50 255 𝑗053 10846 𝑗1006 𝑉 1089353 𝑉 𝑉0 1 2 𝑉0 𝑍0𝐼0 1 2 8943 𝑗637 50 255 𝑗053 1903 𝑗1643 𝑉 2514 13919 𝑉 𝑉𝑠𝑧 10893𝑒𝑗53𝑒157102𝑧 2514𝑒13919𝑒157102𝑧 𝑉 Na carga 𝑉𝑐 𝑉𝑠80 10893𝑒𝑗53𝑒𝑗7219 2514𝑒𝑗13919𝑒𝑗7219 10893𝑒𝑗6689 2514𝑒𝑗67 13407𝑒𝑗6691 𝑉 𝑃𝑐 1 2 𝑉𝑐2 𝑅𝐶 1 2 134072 80 11234 𝑊 4 Uma guia de onda retangular preenchido com o ar possui como dimensões transversais 8𝑐𝑚 e 4𝑐𝑚 Calcule a faixa de frequência para que apenas um modo seja propagado neste guia Solução Para 𝑇𝐸10 𝑓𝑐 𝑢 2𝑎 3 108 2 8 102 1875 𝐺𝐻𝑧 Para 𝑇𝐸01 𝑓𝑐 𝑢 2𝑏 3 108 2 4 102 375 𝐺𝐻𝑧 Para 𝑇𝐸20 𝑓𝑐 2 𝑢 2𝑎 375 𝐺𝐻𝑧 Portanto 1875 𝐺𝐻𝑧 𝑓 375 𝐺𝐻𝑧 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Turma E2 Semestre 20212 Exercício Escolar Final 1 30 Usando as equações de Maxwell calcule a densidade de fluxo elétrico de um campo eletromagnético que apresenta 𝐵 20𝑒𝑗104𝑡104𝑧𝑎 𝑥 𝑇 em um material livre de fontes e com propriedades 𝜀𝑟 9 e 𝜇𝑟 1 Solução 𝐻 𝐽 𝐷 𝑡 𝐵 𝜇𝐻 𝐻 1 𝜇 𝐵 1 𝜇 20𝑒𝑗104𝑡104𝑧𝑎 𝑥 1 𝜇0 20𝑒𝑗104𝑡104𝑧𝑎 𝑥 𝐴𝑚 𝐻 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝜇0 20𝑒𝑗104𝑡104𝑧 0 0 𝑎 𝑦 𝑧 1 𝜇0 20𝑒𝑗104𝑡104𝑧 2 103 𝜇0 𝑗𝑒𝑗104𝑡104𝑧𝑎 𝑦 𝐻 2 103 𝜇0 𝑗𝑒𝑗104𝑡104𝑧𝑎 𝑦 𝐽 𝐷 𝑡 2 103 𝜇0 𝑗𝑒𝑗104𝑡104𝑧𝑎 𝑦 𝐷 𝑡 𝐷 2 103 𝜇0 𝑗𝑒𝑗104𝜏104𝑧𝑑𝜏𝑎 𝑦 𝑡 𝐷 2 103 𝜇0 𝑗𝑒𝑗104𝑡104𝑧 𝑗104 𝑎 𝑦 𝐷 2 107 4𝜋 107 𝑒𝑗104𝑡104𝑧 𝑎 𝑦 𝐷 1 2𝜋 𝑒𝑗104𝑡104𝑧 𝑎 𝑦 𝐶𝑚2 2 30 Uma antena radia no espaço livre uma onda eletromagnética cujo campo elétrico é dado em coordenadas esféricas por 𝐸 12𝜋 𝑟 𝑒𝑗2𝜋𝑟 sen 𝜃 𝑎 𝜃 𝑉𝑚 a Calcule a expressão do campo magnético da antena b Calcule a média temporal da densidade de potência a uma distância 𝑑 da antena c Calcule a potência total radiada pela antena Solução Letra a 𝑎 𝑘 𝑎 𝐸 𝑎 𝐻 𝑎 𝑟 𝑎 𝜃 𝑎 𝐻 Logo 𝑎 𝐻 𝑎 𝜙 𝐻 𝑠 𝐸0 𝜂0𝑟 𝑒𝑗2𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑎 𝜙 12𝜋 120𝜋𝑟 𝑒𝑗2𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑎 𝜙 01 𝑟 𝑒𝑗2𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑎 𝜙 𝐴𝑚 Letra b 𝒫 𝑚𝑒𝑑 1 2 𝑅𝑒𝐸 𝑠 𝐻 𝑠 1 2 𝑅𝑒 12𝜋 𝑟 𝑒𝑗2𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑎 𝜃 01 𝑟 𝑒𝑗2𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑎 𝜙 06𝜋 𝑟2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑎 𝑟𝑊𝑚2 Fazendo 𝑟 𝑑 𝒫 𝑚𝑒𝑑 06𝜋 𝑑2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑎 𝑟 𝑊𝑚2 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑏 Letra c 𝑃𝑟𝑎𝑑 𝒫 𝑚𝑒𝑑 𝑑𝑠 06𝜋 𝑟2 𝜋 𝜃0 2𝜋 𝜙0 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑟2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 06𝜋 𝑠𝑒𝑛3 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 𝜋 𝜃0 2𝜋 𝜙0 06𝜋 𝑑𝜙 2𝜋 𝜙0 𝑠𝑒𝑛3 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 𝜃0 06𝜋 2𝜋 𝑠𝑒𝑛3 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 𝜃0 12𝜋2 𝑠𝑒𝑛3 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 𝜃0 12𝜋2 4 3 1579 𝑊 𝑠𝑒𝑛3 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 𝜃0 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 𝜃0 1 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 𝜃0 Fazendo 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝜃 temse 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 1 𝑢2𝑑𝑢 1 1 𝑢3 3 𝑢 1 1 1 3 1 1 3 1 2 2 3 4 3 3 40 A tensão e a corrente no ponto médio de uma linha de transmissão sem perdas são respectivamente 𝑉𝑐 1872 𝑉 e 𝐼𝑐 02 36 𝐴 O comprimento total da linha é 4 𝑚 e a sua impedância característica é igual a 100 Ω O gerador possui impedância de 50 Ω e o comprimento de onda do sinal é igual a 1 𝑚 a Calcule a impedância da carga b Calcule 𝑉0 e 𝑉0 Solução Letra a 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑉𝑠𝑧 𝐼𝑠𝑧 1872 02 36 90108 𝛺 3380 𝑗8341 Ω 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍0 𝑍𝑐𝑗𝑍0 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙 𝑍0 𝑗𝑍𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙 𝛽 2𝜋 𝜆 𝑍𝑐 𝑍0 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑗𝑍0 𝑡𝑎𝑛𝛽𝑙 𝑍0 𝑗𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑎𝑛𝛽𝑙 100 3380 𝑗8341 𝑗100 𝑡𝑎𝑛 2𝜋 1 4 100 𝑗3380 𝑗8341 𝑡𝑎𝑛 2𝜋 1 4 𝑍𝑐 100 3380 𝑗8341 100 90108 𝛺 3380 𝑗8341 Ω Letra b 𝑉0 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍𝑔 𝑉𝑔 3380 𝑗8341 3380 𝑗8341 50 𝑉𝑔 07 𝑗03𝑉𝑔 𝐼0 𝑉𝑔 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍𝑔 𝑉𝑔 3380 𝑗8341 50 𝑉𝑔 8380 𝑗8341 𝑉0 1 2 𝑉0 𝑍0𝐼0 1 2 07 𝑗03𝑉𝑔 100 𝑉𝑔 8380 𝑗8341 065 𝑗015𝑉𝑔 𝑉𝑠𝑧 𝑉0 𝑒𝛾𝑧 𝑉0 𝑒𝛾𝑧 𝑉𝑠2 𝑉0 𝑒𝑗2𝜋2 𝑉0 𝑒𝑗2𝜋2 𝑉0 𝑉0 1872 556 𝑗1711 𝐼𝑠𝑧 𝑉0 𝑍0 𝑒𝛾𝑧 𝑉0 𝑍0 𝑒𝛾𝑧 𝐼𝑠2 𝑉0 100 𝑒𝑗2𝜋2 𝑉0 100 𝑒𝑗2𝜋2 02 36 𝑉0 𝑉0 20 36 1618 𝑗1176 𝑉0 𝑉0 556 𝑗1711 𝑉0 𝑉0 1618 𝑗1176 𝑉0 1087 𝑗267 𝑉 1119 1375 𝑉 𝑉0 531 𝑗1444 𝑉 1538110 𝑉 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Turma E2 Semestre 20222 Exercício Escolar Final 1 30 pontos Uma onda plana uniforme propagase em um meio 𝑧 0 com 𝜇𝑟 1 e 𝜀𝑟 16 sendo a o campo elétrico expresso por 𝐸 10 cos𝜔𝑡 𝛽1𝑧𝑎 𝑥 20 cos𝜔𝑡 𝛽1𝑧 𝜋3𝑎 𝑦 𝑉𝑚 Essa onda incide em um meio sem perdas 𝑧 0 cujas características são 𝜇𝑟 12 e 𝜀𝑟 6 Calcule as expressões instantâneas para os campos elétricos transmitido e refletido se a frequência da onda for 1 𝑀𝐻𝑧 Os valores das constantes de fase devem ser indicados Solução 𝜔 2𝜋𝑓 2𝜋106 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐸 𝑖𝑠 10𝑒𝑗𝛽1𝑧𝑎 𝑥 20𝑒𝑗𝛽1𝑧𝑒𝑗𝜋3𝑎 𝑦 𝑉𝑚 campo incidente 𝐸 𝑟𝑠 10Γ𝑒𝑗𝛽1𝑧𝑎 𝑥 20Γ𝑒𝑗𝛽1𝑧𝑒𝑗𝜋3𝑎 𝑦 𝑉𝑚 campo refletido 𝐸 𝑡𝑠 10𝜏𝑒𝑗𝛽2𝑧𝑎 𝑥 20𝜏𝑒𝑗𝛽2𝑧𝑒𝑗𝜋3𝑎 𝑦 𝑉𝑚 campo transmitido 𝜂1 𝜇1 𝜀1 𝜂0 𝜇𝑟 𝜀𝑟 120𝜋 1 16 30𝜋 Ω 𝜂2 𝜇2 𝜀2 𝜂0 𝜇𝑟 𝜀𝑟 120𝜋12 6 120𝜋2 Ω Γ 𝜂2 𝜂1 𝜂2 𝜂1 120𝜋2 30𝜋 120𝜋2 30𝜋 07 𝜏 1 Γ 1 07 17 𝛽1 𝜔𝜇1𝜀1 2𝜋106𝜇𝑟𝜇0𝜀𝑟𝜀0 2𝜋106 𝑐 𝜇𝑟𝜀𝑟 2𝜋106 3 108 1 16 𝛽1 008𝜋 3 0084 𝑟𝑎𝑑𝑚 𝛽2 𝜔𝜇2𝜀2 2𝜋100 106𝜇𝑟𝜇0𝜀𝑟𝜀0 2𝜋106 𝑐 𝜇𝑟𝜀𝑟 2𝜋106 3 108 12 6 𝛽2 0178 𝑟𝑎𝑑𝑚 Campo refletido 𝐸 𝑟𝑠 10 07𝑒𝑗0084𝑧𝑎 𝑥 20 07𝑒𝑗0084𝑧𝑒𝑗𝜋3𝑎 𝑦 7𝑒𝑗0084𝑧𝑎 𝑥 14𝑒𝑗0084𝑧𝑒𝑗𝜋3𝑎 𝑦 𝐸 𝑟 𝑅𝑒7𝑒𝑗0084𝑧𝑎 𝑥 14𝑒𝑗0084𝑧𝑒 𝑗𝜋 3 𝑎 𝑦𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑬 𝒓 𝟕 𝐜𝐨𝐬𝟐𝝅𝟏𝟎𝟔 𝟎 𝟎𝟖𝟒𝒛 𝒂 𝒙 𝟏𝟒 𝐜𝐨𝐬𝟐𝝅𝟏𝟎𝟔 𝟎 𝟎𝟖𝟒𝒛 𝝅𝟑 𝒂 𝒚 𝑽𝒎 Campo transmitido 𝐸 𝑡𝑠 10 17𝑒𝑗0178𝑧𝑎 𝑥 20 17𝑒𝑗0178𝑧𝑒𝑗𝜋3𝑎 𝑦 17𝑒𝑗0178𝑧𝑎 𝑥 34𝑒𝑗0178𝑧𝑒𝑗𝜋3𝑎 𝑦 𝐸 𝑡 𝑅𝑒17𝑒𝑗0178𝑧𝑎 𝑥 34𝑒𝑗0178𝑧𝑒𝑗𝜋3𝑎 𝑦 𝑬 𝒕 𝟏𝟕 𝐜𝐨𝐬𝟐𝝅𝟏𝟎𝟔 𝟎 𝟏𝟕𝟖𝒛 𝒂 𝒙 𝟑𝟒 𝐜𝐨𝐬𝟐𝝅𝟏𝟎𝟔 𝟎 𝟏𝟕𝟖𝒛 𝝅𝟑 𝒂 𝒚 𝑽𝒎 2 20 pontos A impedância de entrada de uma linha de transmissão de 100 Ω que possui 30 𝑐𝑚 de comprimento e opera em 2 𝐺𝐻𝑧 é 923 𝑗675 Ω Calcule a impedância da carga sabendo que a velocidade de propagação é 07𝑐 e que a linha é sem perdas Solução 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑍0 𝑍𝑐𝑗𝑍0 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙 𝑍0 𝑗𝑍𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙 𝛽 𝜔 𝑢 2𝜋2 109 07 3 108 5984 𝑟𝑎𝑑𝑚 Resolvendo a expressão de 𝑍𝑒𝑛𝑡 para 𝑍𝑐 temse 𝑍𝑐 𝑍0 𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑗𝑍0 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙 𝑍0 𝑗𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙 𝑍𝑐 100 923 𝑗675 𝑗100 𝑡𝑎𝑛5984 03 100 𝑗923 𝑗675 𝑡𝑎𝑛5984 03 100 923 𝑗675 𝑗100 𝑡𝑎𝑛102857 100 𝑗923 𝑗675 𝑡𝑎𝑛102857 𝑍𝑐 100 923 𝑗675 𝑗100 125 100 𝑗923 𝑗675 125 100 923 𝑗575 18437 𝑗11537 𝒁𝒄 𝟓𝟎 𝟎 𝟏𝒋 𝛀 3 30 pontosUm guia de onda retangular é preenchido por um dielétrico com 𝜀𝑟 28 As dimensões dele são 38 𝑐𝑚 e 25 𝑐𝑚 a Calcule a frequência de corte do guia de onda b Quais modos propagarão na frequência de 3 𝐺𝐻𝑧 c Calcule a impedância do guia de onda em 3 𝐺𝐻𝑧 Solução Letra a 𝑓𝑐10 𝑢 2𝑎 𝑐 𝜀𝑟2𝑎 3 108 28 2 38 102 𝟐 𝟑𝟔 𝑮𝑯𝒛 Letra b 𝑓𝑐01 𝑢 2𝑏 𝑐 𝜀𝑟2𝑏 3 108 28 2 25 102 𝟑 𝟓𝟗 𝑮𝑯𝒛 Apenas o modo 𝑇𝐸10 se propaga em 3 𝐺𝐻𝑧 Letra c 𝜂𝑇𝐸 𝜂 1 𝑓𝑐 𝑓 2 120𝜋 28 1 236 109 3 109 2 𝟒𝟒 𝟐𝟕𝝅 𝛀 𝟏𝟑𝟗 𝟎𝟖 𝛀 4 20 pontos Uma antena localizada na origem de um sistema de coordenadas emite uma onda eletromagnética que se propaga radialmente no espaço livre A expressão do campo magnético dessa onda é dado por 𝐻 𝑠 𝐼0𝑒𝑗𝛽𝑟 𝑟 sen 𝜃 𝑎 𝜙 𝐴𝑚 Calcule a O fasor campo elétrico b A média temporal da densidade de potência Solução Letra a Como o campo se propaga radialmente temse que 𝑎 𝑘 𝑎 𝑟 Uma vez que 𝑎 𝑘 𝑎 𝐸 𝑎 𝐻 podese determinar 𝑎 𝐸 da seguinte forma 𝑎 𝑟 𝑎 𝐸 𝑎 𝜙 𝑎 𝐸 𝑎 𝜃 No espaço livre 𝐻0 𝐸0𝜂0 Portanto 𝑬 𝒔 𝜼𝟎𝑰𝟎𝒆𝒋𝜷𝒓 𝒓 𝐬𝐞𝐧 𝜽 𝒂 𝜽 𝑽𝒎 Letra b 𝒫 𝑚𝑒𝑑 1 2 𝑅𝑒𝐸 𝑠 𝐻 𝑠 1 2 𝑅𝑒 𝜂0𝐼0𝑒𝑗𝛽𝑟 𝑟 sen 𝜃 𝑎 𝜃 𝐼0𝑒𝑗𝛽𝑟 𝑟 sen 𝜃 𝑎 𝜙 𝟏 𝟐 𝜼𝟎 𝑰𝟎 𝒓 𝐬𝐞𝐧 𝜽 𝟐 𝒂 𝒓 𝑾𝒎𝟐 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Semestre 20231 Segundo Exercício Escolar Instruçõesobservações Utilize três casas decimais Apenas serão aceitas questões com cálculos que justifiquem como as respostas foram obtidas Apenas serão revisadas questões cujas respostas estejam escritas com caneta Utilizar caneta de cor azul ou preta Jamais usar caneta de cor vermelha A prova vale 7 sete pontos e os valores de cada questão já refletem esse valor 1 Defina o que é a frequência de corte de um guia de onda 10 ponto Solução É a frequência de operação abaixo da qual ocorre atenuação e acima da qual ocorre propagação 2 Desejase projetar dois guias de onda ambos com a frequência de corte de 10 𝐺𝐻𝑧 O primeiro Tipo I deve possuir base e altura iguais e o segundo Tipo II deve ter a base com o dobro do tamanho da altura Calcule as frequências de corte dos primeiros 10 modos 𝑇𝑀 e dos primeiros 10 modos 𝑇𝐸 em ordem crescente de frequências para os dois guias de onda lembrese de informar os valores de 𝑚 e 𝑛 para cada frequência de corte 20 pontos Solução 𝑓𝑐 𝑢 2 𝑚 𝑎 2 𝑛 𝑏 2 Tipo I 𝑎 𝑏 𝑢 2𝑓𝑐10 3 108 2 10 109 0015 𝑚 Tipo II 𝑎 𝑢 2𝑓𝑐10 3 108 2 10 109 0015 𝑚 𝑏 𝑎 2 00075 𝑚 Tipo I Modo TM 𝑚 𝑛 𝑓𝑐 𝐺𝐻𝑧 1 1 14142 1 2 22361 2 1 22361 2 2 28284 1 3 31623 3 1 31623 2 3 36056 3 2 36056 1 4 41231 4 1 41231 Tipo I Modo TE 𝑚 𝑛 𝑓𝑐 𝐺𝐻𝑧 1 0 10000 0 1 10000 1 1 14142 2 0 20000 0 2 20000 1 2 22361 2 1 22361 2 2 28284 3 0 30000 0 3 30000 Tipo II Modo TM 𝑚 𝑛 𝑓𝑐 𝐺𝐻𝑧 1 1 22361 2 1 28284 3 1 36056 1 2 41231 2 2 44721 4 1 44721 3 2 50000 5 1 53852 4 2 56569 1 3 60828 Tipo II Modo TE 𝑚 𝑛 𝑓𝑐 𝐺𝐻𝑧 1 0 10 0 1 20 2 0 20 1 1 22361 2 1 28284 3 0 30 3 1 36055 0 2 40 4 0 40 1 2 41231 3 Um entusiasta de rádio está usando a faixa de radioamador a 30 𝑀𝐻𝑧 Após construir com sucesso um transmissor ele decide construir uma antena dipolo cujo comprimento é igual a meio comprimento de onda A antena é feita de um fio de metal de modo que sua resistência a 30 𝑀𝐻𝑧 seja de 5 𝛺 O transmissor pode fornecer 100 𝑊 potência média ao longo do tempo Desprezando quaisquer efeitos do solo calcule a As dimensões necessárias da antena 10 ponto b A potência radiada pela antena no espaço livre 10 ponto c A densidade de potência média no tempo a uma distância de 100 km da antena na direção de máxima potência 10 ponto d Qual valor de comprimento da antena o entusiasta deve utilizar para que o dipolo seja ressonante 10 ponto Solução Letra a 𝑙 𝜆 2 𝑐 𝑓 2 3 108 30 106 2 5 𝑚 Letra b 𝜂𝑟 𝑃𝑟𝑎𝑑 𝑃𝑒𝑛𝑡 𝑅𝑟𝑎𝑑 𝑅𝑟𝑎𝑑 𝑅𝑙 73 73 5 73 78 𝑃𝑟𝑎𝑑 73 78 𝑃𝑒𝑛𝑡 73 78 100 93590 𝑊 Letra c 𝒫𝑚é𝑑 𝜂𝐼𝑜 2 𝑐𝑜𝑠2 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 8𝜋2𝑟2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑐𝑜𝑠2 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 é máximo em θ 90 𝒫𝑚é𝑑𝜃 90 𝜂𝐼𝑜 2 8𝜋2𝑟2 Mas 𝑃𝑟𝑎𝑑 3656𝐼𝑜 2 𝐼0 2 93590 3656 2560 𝒫𝑚é𝑑 120𝜋 256 1000002 9651 108 𝑊𝑚2 Letra d 𝑙 0485𝜆 0485 10 485 𝑚 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Semestre 20231 Segunda Chamada Instruçõesobservações Utilize três casas decimais Apenas serão aceitas questões com cálculos que justifiquem como as respostas foram obtidas Apenas serão revisadas questões cujas respostas estejam escritas com caneta Utilizar caneta de cor azul ou preta Jamais usar caneta de cor vermelha 1 Escreva e explique cada uma das equações de Maxwell na forma diferencial 40 pontos Solução 𝐷 𝜌𝑉 Cargas elétricas estáticas geram campos elétricos estáticos cujas linhas começam cargas positivas ou terminam em um ponto cargas negativas 𝐵 0 Não há cargas magnéticas isoladas monopolos magnéticos pois as linhas de um campo magnético formam circuitos fechados 𝐸 𝐵 𝑡 Um campo elétrico que circula variável no tempo gera um campo magnético variável no tempo que se opõe a ele indução eletromagnética 𝐻 𝐽 𝐷 𝑡 Um campo magnético pode ser gerado por cargas elétricas em movimento uma corrente elétrica com valor constante ou um campo elétrico variável no tempo 2 Considere um meio dielétrico com perdas linear isotrópico homogêneo e livre de cargas para obter as equações vetoriais de ondas eletromagnéticas equações vetoriais homogêneas de Helmhotz 40 pontos Solução Um dielétrico com perdas é um meio parcialmente condutor dielétrico imperfeito ou condutor imperfeito no qual 𝜎 0 Considerando um meio dielétrico com perdas linear isotrópico e homogêneo que está livre de cargas 𝜌𝑣 0 Assumindo o fator 𝑒𝑗𝜔𝑡 como subentendido as equações de Maxwell tornamse 𝐸 𝑠 0 𝐻 𝑠 0 𝐸 𝑠 𝑗𝜔𝜇𝐻 𝑠 𝐻 𝑠 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐸 𝑠 Aplicando o rotacional nos dois lados da equação 𝐸 𝑠 𝑗𝜔𝜇𝐻 𝑠 temse 𝐸 𝑠 𝑗𝜔𝜇 𝐻 𝑠 Mas 𝐻 𝑠 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐸 𝑠 Assim 𝐸 𝑠 𝑗𝜔𝜇𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐸 𝑠 Usando a identidade vetorial 𝐴 𝐴 2𝐴 obtémse o seguinte resultado 𝐸 𝑠 2𝐸 𝑠 𝑗𝜔𝜇𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐸 𝑠 Como 𝐸 𝑠 0 2𝐸 𝑠 𝛾2𝐸 𝑠 0 em que 𝛾2 𝑗𝜔𝜇𝜎 𝑗𝜔𝜀 e 𝛾 é a chamada constante de propagação por metro do meio Aplicando o rotacional nos dois lados da equação 𝐻 𝑠 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐸 𝑠 temse 𝐻 𝑠 𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐸 𝑠 Mas 𝐸 𝑠 𝑗𝜔𝜇𝐻 𝑠 Assim 𝐻 𝑠 𝑗𝜔𝜇𝜎 𝑗𝜔𝜀𝐻 𝑠 Usando a identidade vetorial 𝐴 𝐴 2𝐴 obtémse o seguinte resultado 𝐻 𝑠 2𝐻 𝑠 𝑗𝜔𝜇𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝐻 𝑠 Como 𝐻 𝑠 0 2𝐻 𝑠 𝛾2𝐻 𝑠 0 em que 𝛾2 𝑗𝜔𝜇𝜎 𝑗𝜔𝜀 e 𝛾 é a chamada constante de propagação por metro do meio 3 Considere uma onda plana uniforme na água do mar plano 𝑥𝑦 que se propaga para baixo sentido positivo de 𝑧 Os parâmetros constitutivos da água do mar são 𝜀𝑟 80 𝜇𝑟 1 e 𝜎 4𝑆𝑚 e o campo magnético em 𝑧 0 é dado por 𝐻 0 𝑡 100 cos2000𝜋𝑡 𝜋6𝑎 𝑦 𝑚𝐴𝑚 a Obtenha a expressão instantânea para o campo elétrico 10 ponto b Calcule a profundidade na qual a amplitude do campo elétrico é igual a 1 do seu valor em 𝑧 0 10 ponto Solução Letra a 𝑎 𝑘 𝑎 𝐸 𝑎 𝐻 𝑎 𝑧 𝑎 𝐸 𝑎 𝑦 logo 𝑎 𝐸 𝑎 𝑥 𝜔 2𝜋𝑓 Da expressão 𝐻 0 𝑡 𝜔 2000𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝜔𝜀 2000𝜋 80 8854 1012 445 106 Como 𝜎 𝜔𝜀 a água do mar é um meio bom condutor nessas condições Portanto o campo elétrico está 45 adiantado em relação ao campo magnético 𝜃𝐸 𝜃𝐻 𝜋 4 𝜋 6 𝜋 4 5𝜋 12 75 𝐸0 𝜂𝐻0 𝐻0𝜔𝜇 𝜎 100 1032000𝜋 4𝜋107 4 444 𝑚𝑉𝑚 𝛼 𝛽 𝜔𝜇𝜎 2 2000𝜋 4𝜋107 4 2 0126 𝐸 𝑧 𝑡 444𝑒0126𝑧𝑐𝑜𝑠2000𝜋𝑡 0126𝑧 75𝑎 𝑥 𝑚𝑉𝑚 Letra b 001 𝑒0126𝑧 𝑧 ln 001 0126 3655 𝑚