Exercicios de Vibrações

Um sistema massamola com uma massa de 20 lbs²in e rigidez de 500 lbin é sujeito a um deslocamento inicial de x₀ 30 in e a uma velocidade inicial de x₀ 40 ins Desenhe gráficos para as variações de tempo deslocamento da massa velocidade e aceleração com a utilização do MATLAB 4 Encontre a equação que rege o movimento do sistema mostrado a seguir 5 Questão 6 O sistema mecânico ilustrado pela figura abaixo é composto de um punhão de massa mp 2kg e raio r 10 cm de uma cremalheira de massa mc 9kg Uma mola de rigidez k 4 Nmm e um amortecedor de constante de amortecimento viscoso c 80 Nsm são acoplados na cremalheira para reduzir os efeitos de vibrações Considerando uma movimentação inicial do punhão de 5 a partir da posição de equilíbrio determine o que se pede nas alternativas A O diagrama de corpo livre na condição dinâmica para cada corpo ou o balanço de energia do sistema B A equação diferencial que rege o movimento C A resposta cinemática de posição do pinhão em função do tempo Considere o momento de inércia de massa do pinhão como sendo Jp mpr² 2 1 Código m 20 k 500 w sqrtkm A 3 x0 B 4w V0w t 0016 x AsinwtBcoswt V Awcoswt Bwsinwt a Aw2sinwt Bw2coswt subplot221 plottxg grid on xlabelt s ylabelx in subplot222 plottVk grid on xlabelt s ylabelV ins subplot223 plottab grid on xlabelt s ylabela in2s subplot224 plottxgtVktab grid on xlabelt s Saída 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝑥1 𝑎 𝑥2 𝑏 𝑥3 𝑙 𝑥1 𝑎𝜃 𝑥2 𝑏𝜃 𝑥3 𝑙𝜃 Sabendo que a energia potencial armazenada no sistema deve ser igual à energia potencial do sistema massamola equivalente 𝐸𝑝 𝐸𝑝𝑒𝑞 1 2 𝑘1𝑥1 2 1 2 𝑘2𝑥2 2 1 2 𝑘3𝑥3 2 1 2 𝑘𝑒𝑞𝑥𝑒𝑞 2 𝑥𝑒𝑞 𝑥3 𝑙𝜃 𝑘1𝑎𝜃2 𝑘2𝑏𝜃2 𝑘3𝑙𝜃2 𝑘𝑒𝑞𝑙𝜃2 𝑘𝑒𝑞 𝑘1𝑎2 𝑘2𝑏2 𝑘3𝑙2 𝑙2 Estando k1 e k2 localizadas no ponto médio l2 da viga a b l2 𝑘𝑒𝑞 𝑘1 𝑙 2 2 𝑘2 𝑙 2 2 𝑘3𝑙2 𝑙2 𝑘1 𝑘2 4 𝑘3 K3 é a constante da mola para vigas engastadas dada por 𝑘3 3𝐸𝐼 𝑙3 Para o sistema com molas 𝜔𝑛 𝑘𝑒𝑞 𝑚 1 𝑚 𝑘1 𝑘2 4 𝑘3 Para o sistema sem molas 𝜔𝑛 𝑘3 𝑚 𝜔𝑛 3𝐸𝐼 𝑙3 𝑚 3 Situação 1 10 ℎ𝑧 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠 1 ℎ𝑧 𝑘 𝑚 𝑘 𝑚 20𝜋2 Quando K é reduzido em 800 Nm k2 k800 Nm a frequência natural muda 45 Como k reduz a frequência reduz também portanto wn2 1045 wn1 055wn1 10 ℎ𝑧 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠 1 ℎ𝑧 055 𝑘 800 𝑚 𝑘 800 𝑚 11𝜋2 Isolando m 𝑚 𝑘 202𝜋2 𝑘 800 112𝜋2 𝑘 114695 𝑁 𝑚 𝑚 029 𝑘𝑔 4 sabendo que perímetro 2πr Δx r Δθ Inicialmente Δx r θ0 e o sistema estará em equilíbrio As equações do movimento são 𝑚 𝑇1 𝑘𝑥10 0 𝑇1 𝑘𝑟𝜃0 1 2𝑚 2𝑚𝑔 𝑇2 2𝑘𝑥20 2𝑚𝑔 𝑇2 2𝑘 2𝑟𝜃0 0 𝑇2 4𝑘𝑟𝜃0 2𝑚𝑔 2 𝐼𝑝 𝑇1𝑟 𝑇2 2𝑟 0 3 Substituindo 1 e 2 em 3 𝑘𝑟𝜃0𝑟 4𝑘𝑟𝜃0 2𝑚𝑔 2𝑟 0 4𝑚𝑔𝑟 9𝑘𝑟2𝜃0 9𝑘𝑟2𝜃0 4𝑚𝑔𝑟 0 4 Para quando o movimento se iniciar x rθ0 θ x r θ 𝑚 𝑇1 𝑘𝑥1 𝑚𝑥1 0 𝑇1 𝑘𝑟𝜃 𝜃0 𝑚𝑟𝜃 𝑇1 𝑘𝑟𝜃 𝑘𝑟𝜃0 𝑚𝑟𝜃 5 2𝑚 2𝑚𝑔 𝑇2 2𝑘𝑥2 2𝑚2𝑟𝜃 0 2𝑚𝑔 𝑇2 2𝑘 2𝑟𝜃 𝜃0 2𝑚2𝑟𝜃 𝑇2 4𝑘𝑟𝜃0 4𝑘𝑟𝜃 2𝑚𝑔 4𝑚𝑟𝜃 6 𝐼𝑝 𝑇1𝑟 𝑇2 2𝑟 𝐼𝑝𝜃 0 7 Substituindo 5 e 6 em 7 𝑟𝑘𝑟𝜃 𝑘𝑟𝜃0 𝑚𝑟𝜃 2𝑟4𝑘𝑟𝜃0 4𝑘𝑟𝜃 2𝑚𝑔 4𝑚𝑟𝜃 𝐼𝑝𝜃 𝑘𝑟2𝜃 𝑘𝑟2𝜃0 𝑚𝑟2𝜃 8𝑘𝑟2𝜃0 8𝑘𝑟2𝜃 4𝑚𝑔𝑟 8𝑚𝑟2𝜃 𝐼𝑝𝜃 Substituindo 4 na equação acima 9𝑘𝑟2𝜃 9𝑘𝑟2𝜃0 4𝑚𝑔𝑟 𝐼𝑝𝜃 7𝑚𝑟2𝜃 9𝑘𝑟2𝜃 𝐼𝑝 7𝑚𝑟2𝜃 9𝑘𝑟2 𝐼𝑝 7𝑚𝑟2 𝜃 𝜃 𝑜𝑢 9𝑘𝑟2𝜃 𝐼𝑝 7𝑚𝑟2𝜃 𝑘𝑡𝑒𝑞𝜃 𝐼𝑒𝑞𝜃 𝑘𝑡𝑒𝑞 9𝑘𝑟2 𝐼𝑒𝑞 𝐼𝑝 7𝑚𝑟2 𝜔𝑛2 𝑘𝑡𝑒𝑞 𝐼𝑒𝑞 9𝑘𝑟2 𝐼𝑝 7𝑚𝑟2 A equação do movimento do sistema massamola é 𝜃𝑡 𝜃0𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡 𝜃0 𝜔𝑛 cos𝜔𝑛𝑡 𝜃𝑡 𝜃0𝑠𝑒𝑛 9𝑘𝑟2 𝐼𝑝 7𝑚𝑟2 𝑡 𝜃0 𝐼𝑝 7𝑚𝑟2 9𝑘𝑟2 cos 9𝑘𝑟2 𝐼𝑝 7𝑚𝑟2 𝑡 1 Código m 20 k 500 w sqrtkm A 3 x0 B 4w V0w t 0016 x AsinwtBcoswt V Awcoswt Bwsinwt a Aw2sinwt Bw2coswt subplot221 plottxg grid on xlabelt s ylabelx in subplot222 plottVk grid on xlabelt s ylabelV ins subplot223 plottab grid on xlabelt s ylabela in2s subplot224 plottxgtVktab grid on xlabelt s Saída 2 senθθ x1 a x2 b x3 l x1aθ x2bθ x3l θ Sabendo que a energia potencial armazenada no sistema deve ser igual à energia potencial do sistema massamola equivalente E pEp eq 1 2 k1 x1 2 1 2 k2x2 21 2 k3 x3 21 2 keq xeq 2 xeqx3lθ k 1aθ 2k2bθ 2k3 l θ 2keq lθ 2 k eqk1a 2k 2b 2k3l 2 l 2 Estando k1 e k2 localizadas no ponto médio l2 da viga a b l2 k eq k1 l 2 2 k 2 l 2 2 k3l 2 l 2 k1k2 4 k3 K3 é a constante da mola para vigas engastadas dada por k 33 EI l 3 Para o sistema com molas ωn keq m 1 m k1k2 4 k 3 Para o sistema sem molas ωn k3 m ωn 3EI l 3m 3 Situação 1 10 hz2π rad s 1hz k m k m 20 π 2 Quando K é reduzido em 800 Nm k2 k800 Nm a frequência natural muda 45 Como k reduz a frequência reduz também portanto wn2 1045 wn1 055wn1 10 hz2π rad s 1hz 055 k800 m k800 m 11 π 2 Isolando m m k 20 2π 2k800 11 2π 2 k114695 N m m029kg 4 sabendo que perímetro 2πr Δx r Δθ Inicialmente Δx r θ0 e o sistema estará em equilíbrio As equações do movimento são mT 1k x100T1krθ01 2m2m gT 22k x202mgT22k2rθ00T24kr θ02mg2 I pT 1rT22r03 Substituindo 1 e 2 em 3 kr θ0r4 kr θ02mg2r04 mgr9k r 2θ09k r 2θ04mgr04 Para quando o movimento se iniciar x rθ0 θ x r θ m T1k x1m x1 0T1kr θθ0mrθ T 1krθkr θ0mrθ 5 2m2mgT 22k x22m2r θ 02mgT22k2r θθ02m2rθ T24kr θ04 krθ2mg4 mrθ 6 I pT 1rT22rI pθ 0 7 Substituindo 5 e 6 em 7 r krθkrθ0mrθ 2r 4 kr θ04 krθ2mg4mrθ I pθ k r 2θk r 2θ0m r 2θ 8k r 2θ08k r 2θ4mgr8m r 2θ I pθ Substituindo 4 na equação acima 9k r 2θ9k r 2θ04 mgrI pθ 7m r 2θ 9k r 2θ I p7 mr 2θ 9k r 2 I p7m r 2 θθ ou9k r 2θ I p7mr 2θ kt eqθI eqθ k teq9k r 2 I eqI p7m r 2ωn 2kt eq I eq 9k r 2 I p7mr 2 A equação do movimento do sistema massamola é θ t θ0sen ωnt θ0 ωn cosωnt θ t θ0sen 9k r 2 I p7m r 2 t θ0 I p7m r 2 9k r 2 cos 9k r 2 I p7mr 2 t