Lista de Exercicios Resolvidos - Vibracoes Livres Nao Amortecidas - Engenharia Mecanica

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Mecânica Vibrações Lista de exercícios sobre vibrações livres não amortecidas 1 Utilizando dos métodos da mecânica clássica ou o princípio de conservação da energia mecânica determine as equações diferenciais que regem o movimento e fórmula para cálculo da frequência de oscilação para cada um dos sistemas ilustrados abaixo A B C D Considere a barra rígida de massa desprezível Adote pequenos deslocamentos angulares E Considere a barra fina e rígida de massa igual a 𝑚 𝑘𝑔 Adote pequenos deslocamentos angulares Supor que o sistema seja estável F Considere o ponto 𝑂 como o ponto de articulação Adote pequenos deslocamentos angulares Supor que o sistema seja estável G Polias Concêntricas Jo m xt k H k k m 4k 4k A Como temos um acoplamento de molas em série a constante elástica equivalente é 1keq 1kn 1kb keq kn kb kn kb Medindo a partir do ponto de equilíbrio temos a energia mecânica dada por E mj²2 keq y² 2 Como ela se conserva dEdt 0 mj ÿ keq y 0 ÿ ue² y 0 com ue keqm ou seja ue kn kb mkn kb B Note que o deslocamento do ponto P na vertical devido ao peso do bloco é igual à deformação da mola Logo pela equivalência das energias potenciais keq k e temos simplesmente ÿ ue² y 0 com ue km C Pela equivalência das energias potenciais temos 12 keq y² 12 k x² onde y é a deflexão do ponto P abaixo e x é a deformação da mola Logo keq k x² y² mas x e y se relacionam com o ângulo θ por m2 x T2 k2 x 2 kT θ T1 a T2 b Jo θ T2 T1 a kT θ Jo θ b 3 Para pequenas oscilações x b θ θ x b x1 a θ a x b Logo da equação 1 T1 m1 a x b k1 a x b e substituindo em 3 T2 m1 a2 x b2 k1 a2 x b2 kT x b Jo x b2 Por fim substituindo em 2 m2 x k2 x m1 a2 x b2 k1 a2 x b2 kT x b2 Jo x b2 0 Logo x m2 m1 a2 b2 Jo b2 x k2 k1 a2 b2 kT b2 0 x ω2 x 0 com ω k2 k1 a2 b2 kT b2 m2 m1 a2 b2 Jo b2 G A energia cinética do sistema é Ec m x2 2 Jo θ2 2 onde para pequenas oscilações θ x π A energia potencial é Ep k 4 r θ 2 2 onde 4 r θ é o alongamento da mola Logo a energia total é E m x2 2 Jo x2 2 r 2 8 k x2 Como dE dt 0 m x Jo x r 2 16 k x 0 x m Jo r 2 16 k x 0 x ω2 x 0 com ω 16 k m Jo r 2 H A energia cinética do sistema é Ec m x2 2 A energia potencial é Ep 2 k y2 2 1 2 16 k2 8 k z2 k y2 k z2 Lo molas em paralelo Lo molas em série Mas y z x 4 de modo que Ep k x2 8