Vibrações Mecânicas - Lista de Exercícios Resolvidos e Problemas de Sistemas com Múltiplos Graus de Liberdade

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Mecânica Vibrações Lista de exercícios sobre sistemas de múltiplos graus de liberdade 1 Determine as equações do movimento na forma matricial para os seguintes problemas A Dados 𝑘1 𝑘 𝐾2 2𝑘 𝑚1 𝑚 𝑚2 2𝑚 𝑚 20 𝑘𝑔 𝑘 1000 𝑁𝑚 B Dados 𝐾1 𝐾2 𝐾3 10000 𝑁𝑚 𝑐1 𝑐2 𝑐3 2000 𝑁𝑠𝑚 𝑚1 1 𝑘𝑔 𝑚2 2 𝑘𝑔 C Dados 𝑘 1000 𝑁𝑚 𝑚1 𝑚2 4𝑘𝑔 𝑚3 2𝐾𝑔 𝐹1𝑡 𝐹2𝑡 0 𝐹3𝑡 100 cos 10𝑡 D Dados 𝑘 1000 𝑁𝑚 𝑚 4𝑘𝑔 E Dados 𝐾1 𝐾2 𝐾3 1000 𝑁𝑚 𝑚1 𝑚2 1 𝑘𝑔 𝑚3 4 𝑘𝑔 2 Calcule as frequências naturais e os modos de vibrar dos problemas 1A e 1B 3 Dado o sistema mecânico ilustrado pela figura abaixo determine o que se pede A Diagrama de corpo livre B Equações do movimento na forma algébrica C Equações do movimento na forma matricial D As condições de estabilidade do sistema E Frequências naturais do sistema para m110 kg m240 kg 𝐾 10000 𝑁𝑚 𝑑 05 𝑚 𝐿1 08 𝑚 𝐿2 10 𝑚 4 O sistema de dois graus de liberdade ilustrado pela figura abaixo representa as movimentações de carroceria de um automóvel Determine 12 pontos Dados 𝑚 1000𝐾𝑔 𝐽0 100 𝐾𝑔 𝑚² 𝑙1 05 𝑚 𝑙2 07 𝑚 𝐾1 30 𝑁𝑚𝑚 A As equações do movimento B As matrizes de massa e rigidez do sistema C O valor de 𝑘2 para que o sistema tenha a seguinte resposta modal 𝜆1 𝑎 𝜆2 𝑏 Z 1 0 𝜃 0 1 PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS DEPARTAMENTO DE ENGNHERIA MECÂNICA VIBRAÇÕES SEGUNDA LISTA DE EXERCICIOS 12 PONTOS Vibrações forçadas Questão 1 Um motor de massa 𝑚 apoiado sobre uma suspensão composta de uma mola de rigidez 𝑘 e de um amortecedor de constante de amortecimento viscoso igual a 𝑐 Em regime de trabalho o motor gera uma força dinâmica resultante igual a 𝑓𝑡 𝐹0 cos2𝜋𝑓𝑡 𝑁 Na rotação de 1200 𝑟𝑝𝑚 regime permanente observouse uma amplitude de vibração relativamente alta Escreva um pequeno texto técnico explicando o problema vibracional relatado apresente a solução mais eficaz para solucionar o problema Considerações 𝑚 200 𝐾𝑔 𝐾 2880 𝑁 𝑚𝑚 𝐶 4800 𝑁𝑠𝑚 Questão 2 Um equipamento de massa 𝑚 15𝐾𝑔 foi acoplada a uma suspensão desconhecida composta de uma mola e um amortecedor Em regime de funcionamento a máquina gera uma força harmônica do tipo 𝑓𝑡 2300𝑠𝑒𝑛10𝜋𝑡 Um engenheiro observou uma amplitude de vibração indesejável para as condições de instalação e resolveu realizar um teste modal para saber como resolver o problema O primeiro ensaio experimental mostrou que a frequência natural do equipamento era de 𝑓𝑛 20𝐻𝑧 Em um segundo ensaio o engenheiro realizou uma coleta do sinal harmônico de força e da resposta de deslocamento da máquina em regime permanente sobrepondo os sinais chegouse ao gráfico 1 abaixo Análise o gráfico e responda qual seria a solução mais adequada para solucionar o problema Justifique tecnicamente sua resposta Gráfico 1 Ft sobreposto com xt Magnitude de força registrada pela Célula de Carga força excitadora 23 KN Magnitude de amplitude de vibração em regime permanente 100 mm Questão 3 Um motor elétrico de massa 𝑚 75 𝑘𝑔 que trabalha a uma rotação nominal de 1200 𝑟𝑝𝑚 é montado no centro de uma viga de aço bi engastada Sabendo que o rotor do motor está desbalanceado de forma que uma força alternada de magnitude máxima igual a 𝐹𝑜 5000𝑁 é registrada sobre seus suportes determine a amplitude de vibração do sistema em regime permanente desprezando a massa da viga Dados da viga 𝑙 50𝑚 𝑏 05𝑚 e ℎ 01𝑚 𝐸 210𝐺𝑃𝑎 𝐼 𝑏ℎ3 12 𝐾 48𝐸𝐼 𝑙3 Questão 4 Em um ensaio de fadiga para determinar a vida do eixo de uma turbina fixou se o rotor de uma turbomáquina nas extremidades de cada eixo e aplicouse um momento alternado 𝑀𝑡 sobre o disco de momento de inércia de massa igual a 𝐽0 Os eixos possuem respectivamente rigidezes torcionais 𝐾𝑡1 e 𝐾𝑡2 e um coeficiente de amortecimento equivalente igual a 𝐶𝑡 Baseado no problema apresentado e nas condições de contorno mencionadas determine a amplitude de deslocamento angular em regime permanente do rotor em graus Para o valor de 𝜔 especificado qual é a maneira mais eficaz de se reduzir a amplificação dinâmica do rotor Justifique sua resposta com argumentos técnicos Qual é o valor de 𝜔 para que se tenha a maior amplitude de deslocamento angular em regime permanente Dados 𝑀𝑡 𝑀0cos 𝜔𝑡 𝐽0 15 𝐾𝑔𝑚² 𝐾𝑡1 30 𝐾𝑁𝑚𝑟𝑎𝑑 𝐾𝑡2 40 𝐾𝑁𝑚𝑟𝑎𝑑 𝑐𝑡 25 𝑁𝑚𝑠𝑟𝑎𝑑 𝜔 300 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑀0 2000 𝑁𝑚 Vibrações de Base Questão 5 Um motor de um automóvel é apoiado sobre coxins para garantir que as vibrações do motor não sejam transmitidas à carroceria do veículo Se o motor em regime de funcionamento vibra numa faixa de frequência que varia de 30 a 400 Hz Qual deve ser a frequência natural de corpo rígido ideal do motor para que se tenha o isolamento das vibrações produzidas pelo motor Quais são as formas de se reduzir a transmissibilidade do sistema Considerações O modelo do motor coxins e carroceria pode ser aproximado por um modelo de vibração de base de 1 graus de liberdade conforme ilustrado abaixo as frequências de corpo rígido do motor não podem ser maiores que 30 Hz Questão 6 A figura abaixo mostra uma mesa vibratória com um sistema mecânico acoplado O sistema mecânico é representado por um corpo 𝐵 de massa igual a 73 𝐾𝑔 que é suportado por duas massas idênticas com rigidez igual a 𝐾 54 𝐾𝑁𝑚 cada e um amortecedor com uma constante 𝑐 876 𝑁𝑠𝑚 A mesa é ajustada para um movimento vertical dado por 25𝑠𝑒𝑛40𝑡 𝑚𝑚 Baseado nas informações determine o que se pede A A amplitude do movimento em regime permanente para o corpo 𝐵 B Qual deveria ser a frequência natural do corpo 𝐵 para que sua resposta dinâmica seja isolada da mesa vibratória Justifique sua resposta Questão 7 Uma máquina de corte cuja massa vale 𝑚 500𝑘𝑔 é montada sobre uma base móvel onde se encontra também uma turbomáquina já instalada Ao iniciar os primeiros trabalhos sobre a máquina de corte os operadores constataram que as peças produzidas apresentavam problemas causado por vibrações oriundas da movimentação da base Um engenheiro foi chamado para avaliar o problema e realizou os seguintes testes Teste 1 Teste de impacto Fixouse a base e aplicouse sobre a máquina de corte uma força impulsiva do tipo delta de Dirac Coletouse um sinal de deslocamento cuja expressão vale 𝑥𝑡 0001𝑒18𝑡𝑠𝑒𝑛1791𝑡𝑚 Através do cálculo de decremento logarítmico determinouse que a razão de amortecimento da suspensão da máquina de corte vale 10 Teste 2 Com a base livre e com a máquina de corte desligada ligouse a turbo máquina Coletouse um sinal de deslocamento da base cuja expressão vale 𝑦𝑡 001𝑠𝑒𝑛234𝑡𝑚 Sabendo que somente a suspensão da máquina de corte é passível de alteração e baseado nas informações dadas realize cálculos e aponte a causa dos problemas relatados pelos operadores Aponta possíveis soluções para o problema e destaque baseado em cálculos a solução mais eficaz e factível para resolver o problema Apresente os novos valores da constante de amortecimento e de rigidez das molas Questão 8 Para evitar problemas no funcionamento de um equipamento cuja massa é de 10kg desejase limitar a amplitude da vibração que ele será submetido devido as condições de operação Testes indicam que acima de 100Hz a base rígida sobre a qual o equipamento será montado experimenta as oscilações de maiores amplitudes e que devem portanto ser minimizadas Observase ainda que a amplitude destes deslocamentos varia muito pouco nesta faixa de frequências Um engenheiro é incumbido de projetar a fixação do equipamento sobre a base rígida e decide modelar o conjunto equipamentosistema de fixação como um oscilador linear com um único grau de liberdade O engenheiro dispõe de três diferentes sistemas de fixação para os quais o fabricante fornece as constantes de mola equivalente Keq e os coeficientes de amortecimento equivalentes Ceq reproduzidos na tabela abaixo Qual deles você julga ser o mais apropriado Justifique sua resposta SISTEMA DE FIXAÇÃO Keq Nm Ceq Nsm Sistema A 4000 20 Sistema B 4000 40 Sistema C 16000 80 Desbalanceamento Rotativo Questão 9 Uma turbomáquina apoiada sobre uma suspensão conforme ilustrado na figura abaixo apresenta seu rotor ligeiramente desbalanceado por uma massa 𝑚𝑂 submetendo a mesma a ação de uma força centrípeta Baseado nas informações abaixo determine o que se pede 𝑀 10 𝐾𝑔 𝐶𝑒𝑞 600𝑁𝑠𝑚 𝐾𝑒𝑞 1000 𝑘𝑁𝑚 𝐴 00025 𝑅1 70𝑚𝑚 𝑅2 𝑅3 50𝑚𝑚 𝐴𝜔² é a magnitude da força centrípeta expressa em Newtons A Determine a equação diferencial que rege o movimento B Qual é a rotação em 𝑟𝑝𝑚 onde a máquina apresentará a maior amplitude de vibração na direção 𝑥 C Calcule a massa 𝑚 que deverá ser colocada ao furo 1 para balancear a máquina Questão 10 Uma bomba centrífuga desbalanceada cujo peso vale 60N opera em uma rotação de 500 rpm e está apoiada sobre um conjunto de molas de rigidez equivalente de 72000Nm amortecimento desprezível Baseado no contexto responda as questões abaixo 13 pontos A Determine o máximo desequilíbrio produto entre a massa desbalanceada e a excentricidade para que a amplitude de vibração em regime permanente não ultrapasse 5mm B Qual é a rotação onde a instalação terá a maior amplitude de vibração Questão 11 O sistema mecânico ilustrado pela figura abaixo é composto de duas massas excêntricas 𝑚 𝑘𝑔 que giram a uma velocidade angular 𝜔 40 𝑟𝑎𝑑𝑠 em sentidos opostos A massa suspensa 𝑀 𝑘𝑔 está apoiada sobre uma suspensão que visa controlar a amplitude de vibração vertical produzida pelo giro das massas excêntricas Baseado nas informações descritas no iniciado da questão e na tabela de dados apresentada determine o que se pede 12 pontos 𝑀 70 𝑘𝑔 𝑚 15 𝑘𝑔 𝑒 500 𝑚𝑚 𝑘 1200 𝑁𝑚𝑚 𝑐 600 𝑁𝑠𝑚 Questão 12 A figura abaixo representa uma turbomáquina ligeiramente desbalanceado Determine Dados 𝜔 100 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐾 2 𝐾𝑁𝑚𝑚 𝑐 16000 𝑁𝑠𝑚 𝑀 200 𝐾𝑔 𝑒 10 𝑐𝑚 𝑚 02 𝑘𝑔 A A equação do movimento B A amplificação dinâmica do sistema C Qual é a rotação 𝜔 onde se evidenciaria a maior amplitude de vibração em regime permanente