Lista de Exercícios 2 - Circuitos Elétricos e Eletrônicos II

ENG1421 Circuitos Elétricos e Eletrônicos II Lista de Exercícios 2 Gabarito Circuitos de Segunda Ordem 1 Considere o circuito da Figura 1 e calcule a A resposta homogênea para a corrente 𝑖2𝑡 b A resposta completa para a corrente 𝑖2𝑡 c Os polos da função de transferência d As constantes de tempo do circuito e Em quanto tempo o circuito atinge o regime permanente f Qual o tipo de amortecimento do circuito Dados 𝑅1 8 Ω 𝑅2 4 Ω L1 2 H L2 1 H 𝑉𝑡 5𝑢1𝑡 𝐼10 1 𝐴 𝐼20 2 𝐴 FIGURA 1 Resposta a Escrevendo a equação pela lei das malhas para as duas correntes 𝑣𝑖𝑡 𝑖1𝑡𝑅1 𝐿1 𝑑𝑖1𝑡 𝑑𝑡 𝑅2𝑖1𝑡 𝑖2𝑡 0 𝑅2𝑖2𝑡 𝑖1𝑡 𝐿2 𝑑𝑖2𝑡 𝑑𝑡 Substituindo os valores e fazendo a transformada de Laplace 𝑉𝑖𝑆 12𝐼1𝑆 2𝑆𝐼1𝑆 4𝐼2𝑆 0 3𝐼2𝑆 4𝐼1𝑆 𝑆𝐼2𝑆 Fazendo ViS0 pois na homogênea as fontes estão desligadas e resolvendo o sistema de equações encontramos a equação característica 𝐼2𝑆𝑆2 10𝑆 15 0 As raízes são 2 e 8 𝑖2ℎ𝑡 𝐴1𝑒2𝑡 𝐴2𝑒8𝑡 Para encontrar A1 e A2 Em t0 4𝑖2𝑡 4𝑖1𝑡 𝑑𝑖2𝑡 𝑑𝑡 0 logo 𝑑𝑖20 𝑑𝑡 4 𝐴 𝑠 𝑖2ℎ0 𝐴1 𝐴2 2𝐴 logo 𝐴1 2𝐴2 𝑑𝑖2ℎ𝑡 𝑑𝑡 2𝐴1𝑒2𝑡 8𝐴2𝑒8𝑡 em t0 𝑑𝑖20 𝑑𝑡 4 2𝐴1 8𝐴2 Substituindo 𝐴1 2𝐴2 12𝐴2 4 𝐴2 13 e 𝐴1 23 𝑖2ℎ𝑡 2 3 𝑒2𝑡 1 3 𝑒8𝑡 𝑢1𝑡 b Queremos encontrar 𝐻𝑆 𝐼2𝑆𝑉𝑖𝑆 𝑉𝑖𝑆 12𝐼1𝑆 2𝑆𝐼1𝑆 4𝐼2𝑆 0 3𝐼2𝑆 4𝐼1𝑆 𝑆𝐼2𝑆 𝐼1𝑆 𝐼2𝑆 𝑆 4 𝐼2𝑆 Substituindo na primeira equação 𝑉𝑖𝑆 12𝐼2𝑆 3𝑆𝐼2𝑆 2𝑆𝐼2𝑆 𝑆2 2 𝐼2𝑆 4𝐼2𝑆 2𝑉𝑖𝑆 𝐼2𝑆𝑠2 10𝑆 16 𝐼2𝑆 𝑉𝑖𝑆 2 𝑠2 10𝑆 16 Multiplicando pela entrada 5ut 2 𝑠2 10𝑆 16 5 𝑆 Separando por Cauchy para fazer a transformada de Laplace inversa 𝐼𝑝𝑡 ℒ1 5 6 1 𝑠 2 5 24 1 𝑠 8 5 8 𝑆 𝐼𝑝𝑡 5 6 𝑒2𝑡 5 24 𝑒8𝑡 5 8 𝑢1𝑡 𝑖2𝑡 1 6 𝑒2𝑡 13 24 𝑒8𝑡 5 8 𝑢1𝑡 c Os polos são 2 e 8 d 𝜏1 1 2 𝑠 𝑒 𝜏2 1 8 𝑠 e O circuito leva 5𝜏 para chegar ao regime permanente sendo 𝜏 1 2 𝑠 o circuito leva 25 segundos para chegar ao RP f O circuito é superamortecido 2 Encontre a equação característica e as raízes dos seguintes circuitos a Dados os componentes na Figura 2 𝑅1 1 Ω 𝑅2 2 Ω 𝐿1 1 𝑚𝐻 𝐶1 10 𝜇𝐹 FIGURA 2 Podemos encontrar o polinômio característico com a fonte desligada Fazendo a equação das malhas na esquerda 𝑅1𝐼1 𝑅2𝐼1 𝑅2𝐼2 𝐿𝑆𝐼1 𝐿𝑆𝐼2 0 𝐼1𝑅1 𝑅2 𝐿𝑆 𝐼2𝑅2 𝐿𝑆 0 Sabemos que a tensão no resistor R1 será igual à do capacitor fonte desligada 𝑅1𝐼1 1 𝐶𝑆 𝐼2 𝐼2 𝑅1𝐶𝑆𝐼1 Substituindo esse valor de I2 na segunda equação 𝐼1𝑅1 𝑅2 𝐿𝑆 𝑅1𝐶𝑆𝐼1𝑅2 𝐿𝑆 0 𝐼1𝑅1 𝑅2 𝐿𝑆 𝑅1𝑅2𝐶𝑆 𝑅1𝐶𝐿𝑆2 0 Encontramos a equação característica 𝑅1 𝑅2 𝐿𝑆 𝑅1𝑅2𝐶𝑆 𝑅1𝐶𝐿𝑆2 0 Colocando o S² em evidência 𝑆2 𝑆𝐿 𝑅1𝑅2𝐶 𝑅1𝐶𝐿 𝑅1 𝑅2 𝑅1𝐶𝐿 0 Substituindo os valores encontramos as raízes 𝜆1 2950 𝑒 𝜆2 102 106 b Dados os componentes na Figura 3 𝑅 40 Ω 𝐿 100 𝑚𝐻 𝐶1 1 3 𝑚𝐹 FIGURA 3 Temos o circuito RLC série podemos encontrar o polinômio característico pela lei das malhas 𝑅𝑖𝑡 𝐿𝑑𝑖𝑡 𝑑𝑡 1 𝐶 𝑖𝜏𝑑𝜏 0 𝑅𝑑𝑖𝑡 𝑑𝑡 𝐿𝑑2𝑖𝑡 𝑑𝑡2 𝑖𝑡 𝐶 0 𝑑2𝑖𝑡 𝑑𝑡2 𝑅 𝐿 𝑑𝑖𝑡 𝑑𝑡 1 𝐿𝐶 𝑖𝑡 0 𝑆2 40𝑆 01 1 01 1 3 103 𝛼 400 𝜔0 2 3 104 𝜆12 400 2 4002 4 3 104 2 400 2 4 104 2 200 100 𝜆1 100 𝜆2 300 3 A partir do circuito da Figura 4 a Encontre a expressão para a corrente no indutor 𝑖𝐿𝑡 b Desenhe o diagrama de polos e zeros da função de transferência 𝐻𝑆 𝐼𝐿𝑆𝑉𝑖𝑆 𝑅 4 Ω 𝐿 1 3 𝐻 𝐶1 5 𝑚𝐹 𝑉𝐶 0 3 𝑉 𝐼𝐿 0 1 𝐴 FIGURA 4 a Com as fontes desligadas o circuito é um RLC paralelo o polinômio característico é λ2 1 𝑅𝐶 𝜆 1 𝐿𝐶 0 𝛼 1 2𝑅𝐶 25 𝜔0 2 1 𝐿𝐶 600 Δ 625 600 5 𝜆1 25 5 20 𝜆2 25 5 30 O circuito é superamortecido a homogênea tem o formato 𝑣ℎ𝑡 𝐴1𝑒20𝑡 𝐴2𝑒30𝑡 𝑣0 3 𝐴1 𝐴2 𝑖𝐿𝑡 1 𝐿 𝑑𝑣ℎ𝑡 𝑑𝑡 320𝐴1𝑒20𝑡 30𝐴2𝑒30𝑡 𝑖𝐿0 0 60𝐴1 90𝐴2 Resolvendo o sistema de equações para encontrar A1 e A2 𝐴1 21 5 𝐴2 6 5 𝑖𝐿ℎ𝑡 1 𝐿 𝑑𝑣ℎ𝑡 𝑑𝑡 320𝐴1𝑒20𝑡 30𝐴2𝑒30𝑡 252𝑒20𝑡 108𝑒30𝑡 Para encontrar a solução particular No nó A 𝑉𝑖𝑠 𝐼1𝑅 𝑆𝐿𝐼2𝑠 0 No capacitor 𝐼𝑐𝑠 𝐼1𝑠 𝐼2𝑠 𝐼2𝑠 𝐼𝐿𝑠 𝑉𝑐𝑠 𝑉𝐿𝑠 1 𝐶𝑠 𝐼𝑐𝑠 𝐿𝑠𝐼𝐿𝑠 Substituindo 𝑉𝑖𝑠 𝐼𝑐𝑠𝑅 𝑅𝐼2𝑠 𝑆𝐿𝐼2𝑠 0 𝑉𝑖𝑠 𝐼2𝑠𝑅𝐿𝐶𝑠2 𝐿𝑆 𝑅 𝐼2𝑠 𝑉𝑖𝑠 1 𝑅𝐿𝐶𝑠2 𝐿𝑆 𝑅 1 𝑅𝐿𝐶 𝑆2 1 𝑅𝐶 𝑆 1 𝐿𝐶 150 𝑠2 50𝑠 600 Fazendo a separação do denominador já sabemos as raízes do polinômio pela resposta homogênea encontramos 𝐻𝑠 3 𝑠 20 3 𝑠 30 Fazendo transformada inversa de Laplace 𝑖𝐿𝑝𝑡 3𝑒20𝑡 3𝑒30𝑡 Somando a particular com a homogênea para encontrar a corrente no indutor 𝑖𝐿𝑡 255𝑒20𝑡 105𝑒30𝑡 b O diagrama de polos e zeros fica