Circuitos Elétricos: Análise da Resposta Forçada em Circuitos RLC Série

CIRCUITOS ELÉTRICOS E ENERGIA Circuitos de segunda ordem Resposta Forçada Vóldi C Zambenedetti Com material de Prof Alessandro Koerich Ementa Circuito RLC resposta forçada Resposta ao degrau aplicação abrupta de uma fonte de corrente contínua Circuitos de RLC Série Resposta ao Degrau Considerando o circuito RLCSérie queremos encontrar a tensão v devido à aplicação abrupta de uma fonte de tensão contínua Aplicando a LTK no laço para t 0 temos 𝑅 𝑖 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑣 𝑉𝑠 𝑖 𝐶 𝑑𝑣 𝑑𝑡 Circuitos de RLC Série Resposta ao Degrau Substituindo i e dividindo por LC 𝑑2𝑣 𝑑𝑡2 𝑅 𝐿 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 𝐿𝐶 𝑉𝑠 𝐿𝐶 a qual tem a mesma forma característica das equações vistas anteriormente Mais especificamente os coeficientes são os mesmos mas a variável é diferente Logo a equação característica para o circuito RLCSérie não é afetada pela presença da fonte cc Equação não homogenea Circuito RLCSérie Sem Fonte Substituindo 𝐴 𝑒𝑠𝑡 na equação diferencial obtemos 𝑑2𝑣 𝑑𝑡2 𝑅 𝐿 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 𝐿𝐶 𝐴 𝑠2𝑒𝑠𝑡 𝐴𝑅 𝐿 𝑠 𝑒𝑠𝑡 𝐴 𝐿𝐶 𝑒𝑠𝑡 𝑉𝑠 𝐿𝐶 Resolvemos inicialmente a equação homogênea a parte transitória ou 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑠2 𝑅 𝐿 𝑠 1 𝐿𝐶 0 Como o primeiro termo é a solução assumida devemos resolver a equação a seguir 𝑠2 𝑅 𝐿 𝑠 1 𝐿𝐶 0 A equação tem duas raízes chamadas s1 e s2 Circuitos de RLC Série Resposta ao Degrau A solução da equação anterior possui dois componentes a resposta transitória vtt e a resposta em regime permanente vsst isto é natural forçada transitória estado estável A resposta transitória vtt é o componente da resposta total que se extingue com o tempo A forma dela é mesma do circuito RLC sem fonte ou seja Circuitos de RLC Série Resposta ao Degrau A resposta em regime permanente é o valor final de vt Para o circuito o valor da tensão final no capacitor é a mesma da fonte de tensão Vs portanto Então as soluções completas para os casos são Circuitos de RLC Série Resposta ao Degrau Circuitos de RLC Série Resposta ao Degrau As constantes A1 e A2 podem ser determinadas a partir das condições iniciais para v0 e dv0dt Super Amortecido 𝑣 𝑡 𝑉𝑠 𝐴1𝑒𝑠1𝑡 𝐴2𝑒𝑠1𝑡 𝑣 0 𝑉𝑠 𝐴1𝑒𝑠10 𝐴2𝑒𝑠20 𝑉𝑠 𝐴1 𝐴2 Criticamente 𝑣 0 𝑉𝑠 𝐴1 𝐴2 𝑒𝛼0 𝑉𝑠 𝐴1 SubAmortecido 𝑣 0 𝑉𝑠 𝐵1cos𝜔𝑑 0 𝐵2sen𝜔𝑑 0 𝑒𝛼0 𝑣 0 𝑉𝑠 𝐵1 Circuitos de RLC Série Resposta ao Degrau As constantes A1B1 e A2B2 podem ser determinadas a partir das condições iniciais para v0 e dv0dt Super Amortecido 𝑑𝑣 𝑡 𝑑𝑡 𝑠1𝐴1𝑒𝑠1𝑡 𝑠2𝐴2𝑒𝑠2𝑡 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝑠1𝐴1𝑒0 𝑠2𝐴2𝑒0 𝑠1𝐴1 𝑠2𝐴2 𝐼0 𝐶 Criticamente 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝛼𝐴1𝑒0 𝛼𝐴2 0 𝑒0 𝐴2𝑒0 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝛼𝐴1 𝐴2 𝐼0 𝐶 SubAmortecido 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝛼𝑒𝛼0𝐵1 cos 𝜔𝑑 0 𝐵1𝜔𝑑 sen 𝜔𝑑 0 𝛼𝑒𝛼0𝐵2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑑 0 𝐵2𝜔𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑 0 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝛼𝐵1 𝐵2𝜔𝑑 𝐼0 𝐶 Circuitos de RLC Série Resposta ao Degrau V 24V R220W R2110W L 1mH C 1mF Exemplo chave fechada por um longo tempo e abre em t0s Esboçar resposta para V 12V R100W R2100W L 2mH C 047mF Circuitos de RLC Série Resposta ao Degrau RLC Paralelo Resposta ao Degrau Considerando o circuito RLCParalelo queremos encontrar a corrente i devido à aplicação abrupta de uma corrente contínua Aplicando a LCK temos iRiLic Is v R 𝑖 𝐶 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝐼𝑠 𝑣 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 Circuito RLCParalelo Analise de um circuito RLCSérie sem fonte resposta forçada Substituindo v e dividindo por LC 𝑑2𝑖 𝑑𝑡2 1 𝑅𝐶 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑖 𝐿𝐶 𝐼𝑠 a qual tem a mesma forma característica das equações vistas anteriormente A solução completa consiste na resposta transitória e na resposta em regime permanente A resposta transitória é mesma vista anteriormente A resposta em regime permanente é o valor final de i Para o circuito RLCParalelo é o valor final da corrente através do indutor que é o mesmo da fonte de corrente IS Circuito RLC Paralelo Da mesma forma que o circuito serie devemos resolver a equação diferencial de segunda ordem 𝑑2𝑖 𝑑𝑡2 1 𝑅𝐶 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑖 𝐿𝐶 𝐼𝑠 São necessárias condições iniciais a tensãocorrente no instante inicial t0 e a derivada da corrente naquele instante 1 𝑑𝑖 0 𝑑𝑡 𝑉0 𝐿 2 𝑑2𝑖0 𝑑𝑡2 1 𝑅𝐶 𝑉0 𝐿 𝐼0 𝐿𝐶 0 3 I0 iL0 vC0 V0 A corrente será sempre uma exponencial genericamente dada por 𝑖 𝑡 𝐴 𝑒𝑠𝑡 sendo A e s constantes a serem determinadas Circuito RLCParalelo Da mesma forma substituindo 𝐴 𝑒𝑠𝑡 na equação diferencial obtemos 𝑑2𝑖 𝑑𝑡2 1 𝑅𝐶 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑖 𝐿𝐶 𝐴 𝑠2𝑒𝑠𝑡 𝐴 𝑅𝐶 𝑠 𝑒𝑠𝑡 𝐴 𝐿𝐶 𝑒𝑠𝑡 𝐼𝑠 ou 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑠2 1 𝑅𝐶 𝑠 1 𝐿𝐶 0 Novamente a equação tem duas raízes chamadas s1 e s2 Circuito RLCParalelo 𝑠12 1 2𝑅𝐶 1 2𝑅𝐶2 1 𝐿𝐶 Fazendo 𝛼 1 2𝑅𝐶 𝑒 𝜔0 1 𝐿𝐶 então 𝑠12 𝛼 𝛼2 𝜔02 Ainda temos 𝜔𝑑 𝛼2 𝜔02 RCL Forçado Resumo Serie Paralelo s12 𝛼 𝛼2 𝜔02 𝛼 𝑅 2𝐿 1 2𝑅𝐶 𝜔0 1 𝐿𝐶 𝜔𝑑 𝛼2 𝜔02 Variável xt vt série cap it paralela indutor Condição inicial v0 V0 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝐼0 𝐶 I0 I0 𝑑𝑖 0 𝑑𝑡 𝑉0 𝐿 RCL Forçado Resumo Tipo Condição inicial Equação solução a w0 SUPER AMORTECIDO 𝑥 0 𝑋𝑠 𝐴1 𝐴2 𝑑𝑥 0 𝑑𝑡 𝑠1𝐴1 𝑠2𝐴2 𝑥 𝑡 𝑋𝑠 𝐴1𝑒𝑠1𝑡 𝐴2𝑒𝑠2𝑡 a w0 CRITICAMENTE AMORTECIDO 𝑥 0 𝑋𝑠 𝐴1 𝑑𝑥 0 𝑑𝑡 𝛼𝐴1 𝐴2 x 𝑡 𝑋𝑠 𝐴1 𝑡 𝐴2𝑒𝛼𝑡 a w0 SUB AMORTECIDO 𝑥 0 𝑋𝑠 𝐵1 𝑑𝑥 0 𝑑𝑡 𝛼𝐵1 𝜔𝑑𝐵2 𝑥 𝑡 𝑋𝑠 𝑒𝛼𝑡 𝐵1cos𝜔𝑑𝑡 𝐵2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 a 0 OSCILAÇÃO LIVRE 𝑥 0 𝐵1 𝑑𝑥 0 𝑑𝑡 𝜔𝑑𝐵2 𝑥 𝑡 𝐵1cos𝜔𝑑𝑡 𝐵2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡