Cálculo do Centro de Massa de Chapas Planas

Suponha que você tem uma chapa plana de densidade constante que pode ser representada no plano cartesiano por uma região que está compreendida entre o gráfico de uma função fx e o eixo x para a x b O centro de massa dessa chapa plana se dá no ponto de coordenadas x y onde x 1A ab xfx dx y 12A ab fx² dx e A é a área da chapa que equivale à área da região do plano que a representa Exemplo Determine o centro de massa da chapa de densidade constante que pode ser representada no plano cartesiano pela região entre o gráfico da função fx x³ e o eixo x para x entre 0 e 2 A4 ²₀ xfx dx ²₀ xx³ dx x⁴4 C Gx x⁵5 G0 0 G2 2⁵5 325 ²₀ x⁴ dx G2 G0 325 x 1A ²₀ x⁴ dx 14 325 85 ²₀ fx² dx ²₀ x³² dx ²₀ x⁶ dx x⁷7 C Hx x⁷7 H0 0 H2 2⁷7 1287 ²₀ x⁶ dx H2 H0 1287 centro de massa x y 85 67 y x³ Suponha que você tem uma chapa plana de densidade constante que pode ser representada no plano cartesiano por uma região que está compreendida entre os gráficos das funções fx e gx e o para a x b e que fx gx para todo x entre a e b O centro de massa dessa chapa plana se dá no ponto de coordenadas x y onde x 1A from a to b xfx gx dx y 12A from a to b fx² gx² dx e A é a área da chapa que equivale à área da região do plano que a representa A from a to b fx gx dx Área from 0 to 2 fx gx dx from 0 to 2 6x 3x² dx 6 x²2 3 x³3 C 3x² x³ C Fx 3x² x³ F0 0 F2 3 2² 2³ 12 8 4 A F2 F0 4 0 4 from 0 to 2 fx² gx² dx from 0 to 2 6x² 3x²² dx from 0 to 2 36x² 9x⁴ dx 36 from 0 to 2 x² dx 9 from 0 to 2 x⁴ dx 36 2 3x³3 C 12x³ 9x⁵5 from 0 to 2 1925 y 12A from 0 to 2 fx² gx² dx 12 4 1925 245 centro de massa x y 1 245 y 3x² Exemplo Determine o centro de massa da chapa de uma chapa de densidade constante que pode ser representada no plano cartesiano pela região entre os gráficos das funções gx 3x² e fx x² 8 para x entre 2 e 2 2² xfx gx dx 2² xx² 8 3x² dx 8x4 16x2 64 dx 8 x55 16x2dx 64 dx 2x5 16x33 64x C centro de massa xy 056 Cálculo de volumes pelo método das seções transversais O volume do sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo x da região do plano entre o gráfico de uma função fx e o eixo x para x entre a e b é dado pela integral Volume ab πfx² dx Exemplo Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região entre o gráfico da função fx x² e o eixo x para x entre 0 e 2 ao redor do eixo x Volume 0² πfx² dx 0² πx²² dx 0² π x⁴ dx π x⁴ dx π x⁵5 C Fx π2⁵5 π325 F0 π0⁵5 0 F2 π2⁵5 32π5 Volume 0² π x⁴ dx F2 F0 32π5 201 unidades de volume Exemplo Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região entre o gráfico da função fx x e o eixo x para x entre 0 e 4 ao redor do eixo x Volume 0⁴ πfx² dx 0⁴ πx² dx 0⁴ πx dx π x dx πx²2 C Fx πx²2 F0 0 F4 π4²2 8π Volume F4 F0 8π unidades de volume 251 Exemplo Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região entre o gráfico da função fx x e o eixo x para x entre 1 e 4 ao redor do eixo x Volume 4 1 π x dx Fx πx²2 F1 π1²2 π2 F4 2π Volume 2π π2 4π2 π2 3π 47 unidades de volume O volume do sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo x da região do plano compreendida entre os gráficos das funções fx e gx para x entre a e b é dado pela integral Volume ab πfx² πgx² dx se fx gx para todo x entre a e b Exemplo Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região do plano entre os gráficos das funções gx x³ e fx 6x para x entre 0 e 2 ao redor do eixo x Volume 2 0 π6x² πx³² dx 36π x² πx⁶ dx 36π x² dx π x⁶ dx 36π x³3 πx⁷7 12π x³ π x⁷7 Fx 12π x³ π x⁷7 F0 12π0³ π0⁷7 0 F2 12π2³ π2⁷7 96π 128π7 6727 128π7 5447 Volume F2 F0 5447 777 unidades de volume Exemplo Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região do plano limitada pelos gráficos das funções gx x² 1 e fx x 3 ao redor do eixo x Volume F1 F2 67π15 284π15 351π15 234π