Primitivas e Integrais Indefinidas: Exemplos e Propriedades

Dizemos que uma função Fx é uma primitiva ou uma antiderivada da função fx em um intervalo real se Fx fx para todo x pertence ao intervalo Ex Como Fx x³ é tal que Fx 3x² então dizemos que x³ é uma primitiva de 3x² Ex Como Fx 12x² x²2 é tal que Fx 12x² 122x x então Fx é uma primitiva de fx x Ex Como Fx sen x é tal que Fx cos x então sen x é uma primitiva de cos x Exemplo Em cada caso determine uma primitiva para a função fx dada ou seja determine uma função Fx tal que Fx fx Ex fx x⁴ Fx 15x⁵ pois Fx 15x⁵ 155x⁴ x⁴ Ex fx x⁷ Fx 18x⁸ Fx 18x⁸ 188x⁷ x⁷ Obs fx xⁿ n 1 Fx 1m1xm1 Ex fx 1x x¹ Fx ln x pois ln x 1x Fx 4x³ Gx x⁴ 5 Gx 4x³ 0 4x³ Fx Gx Fx Gx e Hx são todos primitivas de 4x³ Se Fx Gx então Gx Fx C onde C é um nº real qualquer Ou seja todas as primitivas de uma função diferem apenas por uma soma de um nº real Se Fx fx então podemos representar a família de todas as primitivas de fx por Fx C C ℝ Integrais indefinidas ex 1x⁴ dx x3 C 13x3 C 13x3 C sen x dx cos x C Propriedades das integrais indefinidas Ex 7x³ 5x 2x xdx 7x³ dx 5x⁴ dx 2x dx xdx Integrais definidas Ex ³ 4x dx Ex 5 x1 dx Ex ³ 2x1 dx 3x6 dx Teorema fundamental do cálculo Exemplo Calcule a área entre o gráfico da função fx x² e o eixo x para x 13 ex x³ 4x² 2x 1 dx Área 1463 ex ⁴2 5x⁴ x³ 3x 2 dx 1004 área área azul vermelha Exercício ₀³ x³ 2x 4 dx