Matematica Aplicada I - Atividade 1 - Taxa de Variacao e Derivadas

FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS EAESP Profª Larissa Marques Sartori Matemática Aplicada I Atividade 1 Monitorada Esta é uma atividade de complementação de carga horária referente à aula de sábado 130822 Vale nota será parte dos 30 da nota de Atividades Leiam atentamente as instruções Pode ser feita em dupla ou individualmente No caso de ser feita em dupla somente uma pessoa da dupla deverá enviar a atividade a qual terá o nome de ambos no cabeçalho O envio deverá conter somente um arquivo formato docx ou pdf sendo entregue via Eclass no link de Entrega de Atividade nomeado Atividade 1 Cada solução deve conter o desenvolvimento completo Soluções contendo somente resultado não serão pontuadas Exercício 1 20 pts A equação de demanda para um certo detergente é 𝑥 100050 5𝑝 𝑝2 em que x caixas são demandadas quando p é o preço por caixa a 10 Determine a taxa média de variação da demanda em relação ao preço quanto o preço é aumentado de 2 para 220 Interprete o resultado b 10 Determine a taxa instantânea de variação da demanda em relação ao preço quando o preço é 2 Interprete o resultado Exercício 2 30 pts a 10 Calcule a função derivada de 𝑓𝑥 𝑥3 utilizando a definição de derivadas com limite b 20 Calcule as derivadas das seguintes funções utilizando a regra de derivação apropriada e o valor de cada derivada no ponto indicado 𝑓𝑥 𝑥3 5𝑥 7 3𝑥5 7𝑥2 1 em 𝑥 1 𝑔𝑥 2𝑥28𝑥1 𝑥39 em 𝑥 0 𝑝𝑥 2𝑒𝑥 3𝑥 1 5𝑥 ln𝑥 em 𝑥 1 𝑞𝑥 𝑥33𝑠𝑒𝑛𝑥 2 cos𝑥1 em 𝑥 𝜋 2 Exercício 3 15 pts O lucro anual de uma empresa t anos após 1º de janeiro de 1991 t0 é dado por 𝐿𝑡 2 5 𝑡2 2𝑡 10 𝑒𝑚 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 a 075 Calcule a taxa de variação do lucro em 1º de janeiro de 1993 Interprete b 075 Calcule a taxa de variação do lucro em 1º de janeiro de 1997 Interprete Exercício 4 15 pts Se a equação de demanda para um certo produto é 3𝑥 4𝑝 12 determine a 025 a função receita b 05 a função receita marginal c 075 faça esboços no mesmo conjunto de eixos das curvas de demanda receita e receita marginal Você observa alguma relação entre elas Exercício 5 20 pts Esperase que a população de uma certa cidade t anos após 1º de janeiro de 1984 t0 seja 𝑓𝑡 10000 4000 𝑡 1 a 10 Use a diferencial para estimar a mudança esperada na população de 1º de janeiro de 1988 a 1º de janeiro de 1989 Interprete b 10 Calcule a real mudança esperada neste período 2a fx x³ fx Lim Tx ft fx T x Lim Tx T³ x³ T x LimTx TxT² Tx x² Tx Lim Tx T² Tx x² x² xx x² 3x² 2B fx x³ 5x 73x⁵ 7x² 1 Assum pela regra do produto fx 3x² 53x⁵ 7x² 1 x³ 5x 715x⁴ 14x Daí f1 31 531 71 1 1³ 51 7151⁴ 141 81 5 131 40 182 142 2B gx 2x² 8x 1 x³ 9 Daí gx 2x² 8x 1 x³ 9 2x² 8x 1x³ 9 x³ 9² Isto é gx 7x 8x³ 9 2x² 8x 13x² x³ 9² Daê g10 8109 9² 89 Px 2x² 3x 15x lnx em x 1 Assim Px 2x² 35x lnx 2x² 3x 15 1x Daí P1 21 351 ln1 21 3 15 1 2x 35 2x34 10x 15 8x 16 18x 31 x 1000150 5p p² A A taxa média é V2 V22 2 22 1000150 52 52² 1000150 522 22² 2 22 02 100050 10 20 1000150 1584 02 200002 134160 70800 02 Isto nos diz que em média 70800 unidades a função mudou B Queremos determinar x2 como xp 1000l5 2p Assim x2 1000l5 22 10005 4 9000 fx x3 3senx 2cosx 1 fx x3 3senx2cosx 1 x3 3senx 2cosx 1 2cosx 12 3x2 3cosx2cosx 1 x3 3senx2senx 2cosx 12 dds fπ2 3π22 3cosπ22cosπ2 1 π23 3senπ22senπ2 2cosπ2 12 3π2 4 π3 8 312 1 3π2 4 π3 4 6 Lt 25 t2 2t 10 Assim Lt 4t5 2 3A A taxa de lucro é L2 425 2 85 2 185 total é em 1993 o lucro subiu a uma taxa de 185 milhões por ano 3B L7 475 2 285 2 385 Assim em 1997 o lucro subiu a uma taxa de 385 milhões por ano 4 3x 4p 12 sendo p o custo do produto e x a quantidade Então p 12 3x4 Logo a função receita é Rx px 12 3x 4 x 3x2 12x 4 b Assim a receita marginal é Rx 6x 12 4 3x 6 2 c Rx 3 2 0 Rx y Demanda 4C Assim podemos ver que a Demanda receita e Receita Marginal se intersectam ft 10000 4000 T1 A Queremos estimar a mudança quando T0 4 e T1 5 anos pzo ΔT T1 T0 5 4 1 Como dydt ft então dy fτ dτ onde fτ 4000 T12 4000 1T12 Assim f4 4000 152 400025 160 Assim dy 160 ΔT 160 1 160 É a mudança estimada b A mudança real é f5f4 10000 40006 10000 40005 666 800 1134