Análise de Séries Temporais ARIMA - Identificação de Modelos e Aplicações

ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Descrever o processo de identificação dos modelos ARIMA Resolver problemas aplicados envolvendo a identificação de modelos ARIMA Reconhecer formas alternativas de identificação dos modelos ARIMA Introdução Um dos métodos para analisar modelos paramétricos é o método de Box e Jenkins Tal método consiste em ajustar modelos autorregressivos integrados de médias móveis ARIMA a um conjunto de dados Sua estratégia para a construção do modelo é baseada em um ciclo iterativo em que a escolha do modelo é baseada nos próprios dados Uma das etapas desse método é a identificação de um mo delo que seja o mais adequado aos dados Quando o modelo encontrado não é adequado o ciclo é repetido Existem estimadores também chamados de critérios definidos com base no máximo da função de verossimilhança que são bastante utilizados para avaliar os modelos Neste capítulo você estudará a fase mais crítica do modelo ARIMA que é sua identificação feita com base nas autocorrelações FAC e autocorrelações parciais FACP estimadas Você conhecerá a descrição do processo de identificação do ARIMA verá problemas aplicados envolvendo esse processo bem como várias formas alternativas para a identificação de tais modelos Identificação de modelos ARIMA Cristiane da Silva Identificação dos modelos ARIMA Para que possamos descrever o processo de identifi cação dos modelos ARIMA vamos relembrar que a FAC função de autocorrelação é estimada por onde é a estimativa da FAC e sendo a média amostral Lembrando que uma expressão aproximada para a variância de para um processo estacionário normal é dada por MORETTIN TOLOI 2018 Conforme Morettin e Toloi 2018 em um processo em que as autocor relações são nulas para todos os termos do lado direito da equação se anulam para com exceção do primeiro gerando Desconhecidas as autocorrelações de as substituímos por obtendo uma estimativa para a equação anterior Assim para suficientemente grande e considerando a hipótese de que para a distribuição de é aproximadamente normal com média igual a zero e variância dada pela equação imediatamente anterior Dessa Identificação de modelos ARIMA 2 forma é possível construir um intervalo de confiança aproximado para as autocorrelações dado por onde é o valor da estatística de Student com graus de liberdade tal que Na prática usase de modo que possamos consi derar como sendo signifi cativamente diferente de zero se MORETTIN TOLOI 2018 Para a FACP temos que sob a hipótese de que o processo é a de modo que Além disso para grande e sob a hipótese de que o processo é terá distribuição aproximadamente normal com média zero e variância determinada por de modo que consideramos signifi cativamente diferente de zero se MO RETTIN TOLOI 2018 De acordo com Morettin e Toloi 2018 o objetivo da identificação dos modelos ARIMA é determinar os valores e do modelo O processo de identificação consiste em três partes listadas a seguir 1 Verificar se existe necessidade de uma transformação na série original com o objetivo de estabilizar sua variância Tal identificação pode ser realizada utilizando o auxílio de gráficos Identificação de modelos ARIMA 3 2 Tomar diferenças da série obtida na etapa anterior tantas vezes quantas necessárias para obter uma série estacionária lembrando que uma série temporal é dita estacionária quando se desenvolve no tempo aleato riamente ao redor de uma média constante refletindo alguma forma de equilíbrio estável de modo que o processo seja reduzido a um O número de diferenças necessárias para que o processo se torne estacionário é alcançado quando a FAC amostral de decresce rapidamente para zero Para relembrar o conceito de estacio nariedade você pode consultar a seção 24 de Morettin e Toloi 2018 3 Identificar o processo resultante mediante a análise das auto correlações e autocorrelações parciais estimadas cujos comportamentos devem imitar os comportamentos das respectivas quantidades teóricas Nesse momento a utilização de um teste para verificar a existência de raízes unitárias no polinômio autorregressivo pode ser de grande utilidade Um teste utilizado para verificar a existência de raízes unitárias no polinômio autorregressivo é o teste de Dickey e Fuller Você pode saber mais sobre esse teste consultando o capítulo 21 seção 219 da obra Econometria Básica de Gujarati e Porter 2011 Considerando a forma complicada da FAC e da FACP de um modelo essas funções não são muito úteis para a identificação de tais modelos O recomendado nesse caso é ajustar alguns modelos de baixa ordem como e utilizar critérios que permitam escolher o modelo mais ade quado MORETTIN TOLOI 2018 Em relação ao item 1 do procedimento de identificação podemos justificálo da seguinte forma para um modelo estacionário as FACs são dadas por supondo raízes distintas Como e as raízes de devem estar fora do círculo unitário devemos ter Seguese de Identificação de modelos ARIMA 4 que se nenhuma raiz está muito próxima do círculo unitário as autocorrela ções decairão a zero para valores moderados de MORETTIN TOLOI 2018 Por outro lado suponhamos uma raiz real que esteja próxima de 1 ou seja pequeno Como temos que o que mostra que a FAC decairá lentamente para zero e de forma aproxima damente linear Um problema relevante neste estágio do procedimento é evitar um excesso de diferenças Algumas considerações importantes são examinadas a seguir a Um número excessivo de diferenças resulta em um valor negativo da autocorrelação de ordem 1 da série diferenciada neste caso b Quando a série é corretamente diferenciada a variância da série trans formada diminui por outro lado excesso de diferenças aumentará essa variância Assim o monitoramento da variância é bastante útil para escolher o valor apropriado de Na prática e é suficiente para inspecionar as primeiras 15 ou 20 autocorrelações da série e de suas diferenças Além disso é conveniente testar se é zero comparando com seu desviopadrão estimado MORETTIN TOLOI 2018 Os modelos e apresentam a função de auto correlação com características especiais a um processo tem função de autocorrelação infinita em extensão que decai de acordo com exponenciais eou senoides amortecidas b um processo tem função de autocorrelação finita no sentido de apre sentar um corte após a defasagem Identificação de modelos ARIMA 5 c um processo tem função de autocorrelação infinita que decai de acordo com exponenciais eou senoides amortecidas após a defasagem Assim a partir das funções de autocorrelação estimadas tentamos identificar um padrão que se comporte teoricamente com algum modelo Em particular a função de autocorrelação estimada é útil para identificar modelos por causa da característica b e não são muito úteis na identificação de modelos ARMA que possuem funções de autocorrelação complicadas PORTAL ACTION 201 Nesta seção conhecemos o processo de identificação dos modelos ARIMA retomamos alguns conceitos e observamos uma dica de leitura para aprofun dar o estudo sobre a existência de raízes unitárias bem como alguns pontos de atenção nesse processo de identificação Na próxima seção trataremos de aplicações envolvendo a identificação de modelos ARIMA Aplicações Apresentaremos nesta seção algumas resoluções de problemas aplicados envolvendo a identifi cação dos modelos ARIMA Vejamos alguns exemplos de Morettin e Toloi 2018 Exemplo 1 Considere seguintes dados do Quadro 1 Quadro 1 Dados do Exemplo 1 1 2 3 4 5 6 7 8 081 069 058 044 030 026 019 015 081 011 003 012 013 017 001 002 Fonte Adaptado de Morettin e Toloi 2018 Temos que Identificação de modelos ARIMA 6 Logo que mostra que só desqualifi ca a possibilidade de um processo e sugere um processo Para um processo considere o Quadro 2 Quadro 2 Valores da estatística Transformação 10 0125 05 0032 0 0192 05 0328 10 0423 Fonte Adaptado de Morettin e Toloi 2018 Temos que E como a média pode ser considerada igual a zero e o modelo sugerido é Exemplo 2 Considere a série AtmosferaUmidade simplesmente Umidade de 1º de janeiro a 24 de dezembro de 1997 com observações A série foi dividida em grupos de 7 observações consecutivas uma semana completa calculandose para cada grupo a média e a amplitude ou desvio padrão cuja representação gráfica aparece na Figura 1 Identificação de modelos ARIMA 7 Figura 1 Gráficos da série Umidade a amplitude média b desviopadrão média Fonte Morettin e Toloi 2018 p 171 No Quadro 3 a seguir apresentamos os valores da estatística dada por utilizando as transformações usuais Quadro 3 Novos valores da estatística Transformação 10 0187 05 0168 0 0147 05 0125 10 0103 Fonte Adaptado de Morettin e Toloi 2018 Identificação de modelos ARIMA 8 A análise da Figura 1 sugere que a amplitude e também o desviopadrão não depende da média da série original indicando a não necessidade de transformação para estabilizar a variância Os resultados do Quadro 3 indicam que o mínimo de ocorre para significando que os dados originais são simétricos e provavelmente seguem uma distribuição normal Assim trabalhamos com a série original ou seja O Quadro 4 e a Figura 2 apresentam os valores e as correspondentes representações gráficas das funções de autocorrelação e autocorrelação parcial da série e de suas diferenças de ordem 1 e 2 O comportamento da função de autocorrelação de não indica aparentemente a necessidade de diferenças na série original com o objetivo de tornála estacionária Quadro 4 Autocorrelações e autocorrelações parciais estimadas das séries a Umidade b Umidade Lag a b c FAC FACP FAC FACP FAC FACP 1 053 053 016 016 045 045 2 021 010 027 030 017 045 3 014 010 000 012 014 027 4 008 004 007 020 008 033 5 008 007 007 003 010 017 6 001 009 001 010 001 012 7 005 003 009 013 007 012 8 002 002 000 011 004 010 9 000 001 000 011 002 014 10 003 003 005 005 005 007 11 001 003 000 008 000 003 12 001 001 006 011 006 005 13 003 005 001 009 009 008 Continua Identificação de modelos ARIMA 9 Lag a b c FAC FACP FAC FACP FAC FACP 14 007 003 012 026 017 017 15 021 023 015 003 015 006 16 022 000 008 007 002 004 17 016 004 006 005 009 001 18 015 003 001 006 002 005 19 014 003 004 002 004 004 20 008 004 001 002 004 000 Fonte Adaptado de Morettin e Toloi 2018 Figura 2 Autocorrelações e autocorrelações parciais estimadas das séries Umidade Umidade e Umidade Fonte Morettin e Toloi 2018 p 174 Continuação Identificação de modelos ARIMA 10 A aplicação do teste de DickeyFuller foi feita com sugerido pelo comportamento da função de autocorrelação parcial de fornecendo o modelo Com e consequentemente O valor crítico de fornecido pelo R com o nível de 1 é 344 indicando que a hipótese de raiz unitária é rejeitada com nível de 1 A Figura 3 apresenta a série original Figura 3 Gráfico da série Umidade Fonte Morettin e Toloi 2018 p 175 Pelo que mencionamos anteriormente e de acordo com o comportamento das funções de autocorrelação e autocorrelação parcial da série um modelo preliminar para a série de Umidade é um processo com uma constante ou seja Exemplo 3 Vejamos a série PoluiçãoCO simplesmente CO de 1º de janeiro a 24 de dezembro de 1997 com observações Esta série de dados diários foi dividida em grupos de uma semana 7 dias para os quais calculouse a média e a amplitude ou desviopadrão os resul tados são apresentados na Figura 4 Identificação de modelos ARIMA 11 Figura 4 Gráficos da série CO a amplitude média b amplitude Fonte Morettin e Toloi 2018 p 175 No Quadro 5 temos os valores da estatística dada por Quadro 5 Valores da estatística Transformação 10 01856 05 0096 0 0002 05 0098 10 0180 Fonte Adaptado de Morettin e Toloi 2018 Identificação de modelos ARIMA 12 A análise da Figura 4 sugere um aumento das medidas de variabilidade pro porcional à média indicando a necessidade de uma transformação logarítmica para estabilizar a variabilidade da série Essa transformação também é indicada para tornar os dados mais simétricos e possivelmente com distribuição mas próxima de uma normal Tal indicação pode ser visualizada nos resultados do Quadro 6 que apresenta um valor mínimo para quando Assim utilizaremos na análise da série de concentração de CO a trans formação A Figura 5 apresenta a série original e a série transformada podemos notar que o tem uma variabilidade mais uniforme Figura 5 Gráficos das séries CO e Fonte Morettin e Toloi 2018 p 176 As funções de autocorrelação e autocorrelação parcial amostrais de bem como suas representações gráficas se encontram no Quadro 6 e Figura 6 respectivamente Identificação de modelos ARIMA 13 Quadro 6 Autocorrelações e autocorrelações parciais das séries a b c lag a b c FAC FACP FAC FACP FAC FACP 1 060 060 008 008 038 038 2 026 016 034 035 024 045 3 019 017 009 018 003 040 4 020 004 011 006 016 022 5 012 005 005 016 005 021 6 008 006 009 015 011 029 7 012 007 010 000 013 015 8 009 007 001 009 000 012 9 004 003 009 011 009 016 10 007 006 000 006 004 009 11 010 001 000 013 003 008 12 012 009 004 014 004 011 13 018 012 001 012 002 014 14 025 010 007 009 007 009 15 027 008 001 013 007 021 16 029 013 006 002 005 014 17 025 002 003 002 003 005 18 019 002 008 010 008 011 19 019 010 003 004 002 003 20 022 005 001 012 006 020 Fonte Adaptado de Morettin e Toloi 2018 Identificação de modelos ARIMA 14 Figura 6 Autocorrelações e autocorrelações parciais estimadas das séries e Fonte Morettin e Toloi 2018 p 178 Podemos notar pela função de autocorrelação amostral de que parece não existir necessidade da aplicação de uma diferença simples para tornar a série estacionária embora pareça existir o fenômeno de memória longa nessa série Para confirmar a suspeita da não necessidade de tomar dife renças fizemos o teste da raiz unitária utilizando pois temos as três primeiras autocorrelações parciais significativamente diferentes de zero como podemos observar na Figura 6 O modelo ajustado foi com Identificação de modelos ARIMA 15 implicando em O valor crítico para a estatística com o nível de 1 é 344 o que nos leva a rejeitar a hipótese de existência de raiz unitária Assim um modelo preliminar para a série CO é um processo dado por onde Nesta seção vimos diversos problemas aplicados envolvendo a identifica ção de modelos ARIMA As tabelas e as representações gráficas contribuíram para a melhor compreensão do assunto Na seção seguinte trataremos das formas alternativas de identificação de modelos ARIMA Formas alternativas de identificação do ARIMA Como mencionamos anteriormente uma grande difi culdade na construção de modelos ARIMA está na sua identifi cação Usando uma mesma série de dados vários pesquisadores podem identifi car modelos diferentes Nesta seção estudaremos algumas propostas de identifi cação desses modelos MORETTIN TOLOI 2018 Métodos baseados em uma função penalizadora A partir de 1970 foram propostos vários procedimentos para identifi cação de modelos ARMA A ideia é escolher as ordens e que minimizem a quantidade em que é uma estimativa da variância residual obtida ajustando um mo delo às observações da série e é uma função do tamanho da série Identificação de modelos ARIMA 16 A quantidade denominada termo penalizador aumenta quando o número de parâmetros aumenta enquanto a variância residual diminui Assim minimizar corresponde a identifi car as ordens e que equilibrem esse comportamento É natural supor que as ordens selecionadas aumentem quando cresce MORETTIN TOLOI 2018 Morettin e Toloi 2018 apresentam um resultado importante quando uti lizamos um critério tipo função penalizadora para identificar os parâmetros e de um modelo Considere um modelo dado pela expressão Sejam e os valores que minimizam a expressão onde satisfaz as seguintes condições Então e são fracamente consistentes Vejamos alguns procedimentos de identificação que minimizam funções penalizadoras particulares apre sentados por Morettin e Toloi 2018 Critério de Informação Akaike AIC Este critério sugere escolher o modelo cujas ordens e minimizam o critério Identificação de modelos ARIMA 17 em que e é o estimador de máxima verossimilhança de Para a comparação de vários modelos com fi xado os dois últimos termos de podem ser ignorados Levando em conta que normalmente identifi camos a série apropriadamente diferenciada obtendo como critério para a determinação das ordens e O que se faz então é estipular valoreslimite superiores e para e e calcular para todas as possíveis combinações com e Em geral e são funções de como por exemplo Podemos escrever o AIC na forma pois os valores de e que minimizam essa última expressão são os mesmos que minimizam A depender dos valores de e muitos modelos precisam ser ajustados para obter o mínimo de AIC MORETTIN TOLOI 2018 Identificação de modelos ARIMA 18 Para o caso de modelos o critério AIC reduzse a Morettin e Toloi 2018 explicam que minimizar o AIC fornece estimativas inconsistentes da verdadeira ordem do processo AR e que o resultado foi generalizado para o processo Existem diversas correções para melhorar o comportamento do AIC visando diminuir a probabilidade de selecionar uma ordem maior do que a verdadeira Uma correção proposta para o AIC é dada por Essa correção é útil quando é pequeno ou quando é uma fração mo deradamente grande de N Akaike 1979 apresenta uma expressão dada por em que é uma constante Assintoticamente a probabilidade de selecionar a ordem correta quando se minimiza aumenta quando aumenta Além disso o critério com é fortemente consistente para qualquer MORETTIN TOLOI 2018 Critério de Informação Bayesiano BIC Morettin e Toloi 2018 afi rmam que estudiosos como Akaike Rissanen e Schwarz sugeriram minimizar o critério de informação bayesiano dado por No caso de um processo ARMA essa quantidade é dada por onde é a estimativa de máxima verossimilhança da variância residual do modelo Identificação de modelos ARIMA 19 Sob determinadas condições as estimativas e que minimizam a expressão são fortemente consistentes MORETTIN TOLOI 2018 Critério de Hannan e Quinn HQC Hannan e Quinn 1979 sugerem minimizar a quantidade Esse critério também fornece estimativas das ordens do modelo que são fortemente consistentes Para o caso de modelos o critério HQC reduzse a Os demais critérios que veremos a seguir supõem que a série temporal seja gerada por um processo autorregressivo MORETTIN TOLOI 2018 Critério Final Preditor Error FPE Sob a suposição de que a série é representada por um modelo Akaike 1969 sugere minimizar a quantidade onde Identificação de modelos ARIMA 20 Podese demonstrar que o FPE é um estimador assintoticamente não viesado e consistente para o erro quadrático médio da previsão a um passo de Demonstrase ainda que quando usado para o ajuste de um modelo AR o procedimento de minimizar o AIC é assintoticamente equivalente ao procedimento de minimizar o FPE pois Dessa forma o critério FPE também fornece estimativas inconsistentes da verdadeira ordem do processo AR Neste caso de modelos AR o algoritmo de DurbinLevinson pode ser utilizado juntamente com o FPE ou AIC tornando o problema computacional mais eficaz Novamente para contornar o problema da inconsistência o FPE modificado é dado por Se for suficientemente grande a probabilidade da verdadeira ordem ser selecionada se aproxima arbitrariamente de 1 Para fixo a pro babilidade de selecionar uma ordem maior do que a verdadeira decresce exponencialmente com o aumento de MORETTIN TOLOI 2018 Critério da Função de Transferência Autorregressiva CAT De acordo com Morettin e Toloi 2018 o critério da função de transferência autorregressiva criterion autoregressive transfer function também conhecido como método de Parzen utiliza um procedimento diferente dos anteriormente estudados Neste critério assumese que o verdadeiro modelo é um A partir daí estimase a função de transferência Assim a ordem selecionada é interpretada como uma aproximação finita ótima para o processo Para selecionar uma função de transferência ótima devese escolher o valor de que minimize a quantidade Identificação de modelos ARIMA 21 onde é a variância residual para o modelo ajustado de ordem A seguinte modifi cação é proposta onde Nesta seção você conheceu várias formas alternativas de identificação dos modelos ARIMA Ademais elementos importantes de especificação des sas alternativas de identificação foram fornecidos bem como modificações propostas pelos estudiosos Referências AKAIKE H Fitting Autoregressive Models for Prediction Annals of the Institute of Statistical Mathematics n 21 p 243247 1969 GUJARATI D N PORTER D C Econometria básica 5 ed Porto Alegre AMGH 2011 MORETTIN P A TOLOI C M de C Análise de séries temporais 3 ed São Paulo Egard Blucher 2018 PORTAL ACTION Identificação de modelos ARIMA São Carlos Portal Action 201 Disponível em httpwwwportalactioncombrseriestemporais45identificacao demodelosarima Acesso em 7 dez 2020 Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Identificação de modelos ARIMA 22 Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS