Análise de Séries Temporais Modelos Lineares Estacionários AR MA e ARMA

ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Definir modelos lineares estacionários Descrever condições de estacionariedade e invertibilidade Identificar modelos de médias móveis AR e ARMA Introdução A análise de séries temporais busca determinar as suas componentes funda mentais uma vez que de posse desses valores e admitindo a existência de algum padrão geral e não aleatório de comportamento como decrescimento ou crescimento é viável a utilização de relações matemáticas com as quais se torna possível a realização de antecipações quanto ao futuro comportamento do fenômeno em questão Nesse contexto o método BoxJekins que contempla os métodos AR p MAq e ARMA pq se destaca como uma alternativa uma vez que a sua di nâmica tem como objetivo identificar e estimar um modelo estatístico que possa ser interpretado como tendo sido gerado por dados amostrais Assim se esse modelo estimado for útil para realizar previsões a conjectura de que as características desse modelo são constantes ao longo do tempo e conse quentemente nos períodos futuros se efetiva Neste capítulo você verá que os modelos lineares estacionários são indicados para descrever séries estacionárias ou seja aquelas que se desenvolvem no tempo ao redor de uma média constante refletindo alguma forma de equilí Modelos lineares estacionários Rafaela Rodrigues Oliveira brio estável Além disso conhecerá os parâmetros adotados para descrever as condições de estacionariedade e invertibilidadde dos modelos lineares Por fim você conhecerá todas as características pertencentes aos métodos AR p MAq e ARMA pq Conceito de modelos lineares estacionários Os modelos lineares estacionários são casos particulares de um modelo de filtro linear Nessa concepção considerase que a série temporal é obtida por intermédio de um filtro linear ou seja um sistema linear cuja entrada é um ruído branco A Figura 1 a seguir apresenta um filtro linear em que a entrada é at a saída é Zt e a função de transferência também componente desse processo é indicada por ψB Figura 1 Filtro linear Fonte Adaptada de Morettin e Toloi 2014 Filtro linear Zt at ψ B A partir dessa concepção inicial é possível considerar que formalmente um processo linear discreto possui a representação algébrica dada por Zt μ at ψ1at1 ψ2at2 μ ψBat onde ψB 1 ψ1B ψ2B2 recebe o nome de função de transferência do filtro e μ é um parâmetro que determina o nível da série Além disso é possível estabelecer que Eat 0 t Varat σa 2 t Eatas 0 s t Modelos lineares estacionários 2 Assim ao se admitir que Z t Zt μ encontrase que Z t ψBat A partir desse cenário Morettin e Toloi 2014 esclarecem que se a se quência de pesos ψj j 1 for finita ou infinita e convergente o filtro será estável somável Zt será estacionária e μ será a média do processo Caso contrário Zt não será estacionária e μ não terá um significado específico a não ser que seja admitido como um ponto de referência para o nível da série Assim temse que Ao se admitir Eat 0 para todo t é possível a conclusão de que EZt μ se a série for Uma série é classificada como convergente quando a sequência de suas somas parciais tende a um limite isto é quando após o cálculo de seu limite o resultado é um número Já a função de autocorrelação parcial FACP facv Υj de Zt é obtida por Modelos lineares estacionários 3 Com ψ₀ 1 No caso particular de j 0 encontrase a variância de Zt cuja fórmula é dada por Y₀ VarZt σα² i0 ψj² Portanto i0 ψj² Contudo observe que a média e a variância de Zt são contantes e a covariância depende unicamente de j Isso possibilita a conclusão de que Zt possui a característica de estacionariedade Outra maneira de constatar que Zt é estacionária consiste em escrevêla de uma maneira alternativa isto é como uma soma ponderada de valores passados Zt₁ Zt₂ Zt₃ acrescentado do ruído αt Zt π₁Zt₁ π₂Zt₂ π₃Zt₃ αt i1 πjZtj αt Ao admitir que Zt Zt μ temse que Zt ψBαt De acordo com Morettin e Toloi 2014 isso possibilita a conclusão de que se a sequência de pesos ψj j 1 for finita ou infinita e convergente o filtro é estável somável e consequentemente Zt é estacionária com média do processo μ já se a sequência de pesos ψj j 1 não for finita nem infinita e convergente Zt não é estacionária e μ não tem um significado específico a não ser como um ponto de referência para o nível da série Isso retorna ao fato de que Zt μ at ψ1at1 ψ2at2 μ ψBat Assim tornase viável fixar que Como Eat 0 para todo valor de t concluise que EZt μ se a série for convergente Seguese que Ou πBZ t at onde πB é o operador πB 1 μ1B μ2B2 μ3B3 Unindo as igualdades Z t ψBat e πBZ t at chegase à relação πBψB at at de modo que πB ψ1B Essa relação é muito importante para toda essa dinâmica uma vez que é utilizada para obter os pesos πj em função dos pesos ψj e viceversa Modelos lineares estacionários 5 Estacionariedade e invertibilidade A estacionariedade e a invertibilidade de séries temporais são características importantes a serem observadas pois é por meio delas que se torna possí vel determinar qual modelo poderá ser utilizado para realizar as etapas de identificação estimação e previsão A estacionariedade em uma série temporal indica que os dados analisados oscilam isto é variam sobre uma média constante independentemente do tempo com a variância das flutuações permanecendo a mesma Morettin e Toloi 2014 afirmam que uma série temporal é estacionária se o processo aleatório oscilar em torno de um nível médio constante As séries temporais sazonais ou com tendência linear ou exponencial são exemplos de séries temporais com comportamento não estacionário A condição de estacionariedade ou não pode ser devidamente iden tificada por uma representação gráfica A Figura 2 indica uma série estacionária pois as propriedades estatísticas de qualquer sequência finita z1 z2 zn de componentes de Zt são semelhantes às da sequência z1h z2h zkh para qualquer número inteiro h Em contrapartida a Figura 3 apresenta um série que não detém a propriedade de estacionariedade pois as propriedades estatísticas de ao menos uma sequência finita z1 z2 zn de componentes de Zt são diferentes das da sequência z1h z2h zkh para pelo menos um número inteiro h Figura 2 Processo estacionário Fonte Adaptada de Davila 2010 08 064 048 032 016 0 016 032 048 064 00Jan 00Nov 01Set 02Jul 02Maio 04Mar 05Jan 05Nov 06Set 07Jul 08Maio 09Mar 10Jan 10Nov Processo de ruído branco Modelos lineares estacionários 6 Figura 3 Processo não estacionário Fonte Adaptada de Davila 2010 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 1960 1820 1680 1540 1400 1260 1120 980 840 700 560 Consumo elétrico A condição de estacionariedade de segunda ordem corresponde a afirmar que a média do processo é constante assim como a variância do processo é inalterável Matematicamente Morettin e Toloi 2014 apresentam que um processo linear é Estacionário se a série ψB ψ0 ψ1B convergir para B 1 Invertível se ΠB π0 π1B convergir para B 1 Morettin e Toloi 2014 nomeiam Zt como passeio aleatório quando o seu valor no instante t é uma soma de choques aleatórios que entraram no sistema Figura 1 desde o passado remoto até o instante t por outro lado a primeira diferença é o ruído branco Como a série converge se B 1 isto é o processo é estacionário se o operador ψB convergir para B 1 ou seja dentro de e sobre o círculo unitário Modelos lineares estacionários 7 Considere o processo Zt μ at ψ1at1 ψ2at2 μ ψBat onde ψj ϕj j 1 2 3 4 ψ0 1 e ϕ 1 Assim temse que Logo EZt μ De modo análogo utilizando as relações uma vez que a série ψj 2 converge obtémse que Υ0 2 1 2 Υ 1 2 2 1 Assim são adotados ϕ 1 e μ 0 Então Zt at at1 at2 Portanto ψj não converge de modo que o processo será não estacionário Modelos AR MA e ARMA Os modelos autorregressivos são bastante utilizados em algumas áreas como em economia em que é comum admitir a existência de alguma variável no instante t como uma função de valores defasados da mesma variável e em outros ramos da ciência como geofísica e física Em contrapartida representar um processo por intermédio do modelo de médias móveis não é tão simples ou intuitivo Contudo para muitas séries encontradas no dia a dia se desejarmos um número não muito grande de parâmetros a inclusão de termos autorregressivos e de médias móveis é a solução Modelos lineares estacionários 8 Modelo autorregressivo AR Um modelo autorregressivo de ordem p indicado por ARp consiste em uma observação no instante t dependente da combinação linear dessas observações em seus tempos passados acrescidos de um ruído branco Algebricamente esse modelo é representado por Z t ϕ1Z t1 ϕ2Z t2 ϕpZ tp at Assim ao se definir o operador autorregressivo estacionário e a ordem p a relação obtida é ϕB 1 ϕ1B ϕ2B2 ϕpBp onde ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕp são os parâmetros autorregressivos Os processos ARp podem ser utilizados como modelos se for ra zoável assumir que o valor atual de uma série temporal depende de seu passado imediato acrescentado de um erro aleatório É importante compreender que além do formato apresentado anterior mente o modelo ARp pode ser reescrito de modo mais compacto utilizando se um fator de defasagem identificado por B e definido como ϕBZ t at onde ϕB 1 ϕ1B ϕ2B2 ϕpBp é um polinômio autorregressivo Todavia o modelo ARp é limitado pois assume a existência de uma relação linear entre os elementos da sequência e baseiase na hipótese de que a série é estacionária isto é a média e o desviopadrão das observações medidas não variam com o tempo Destacase que o comportamento da função de autocorrelação FAC apresenta decaimento exponencial ou seja decresce aceleradamente com comportamento similar ao das funções seno e cosseno Modelos lineares estacionários 9 O modelo autorregressivo mais simples é o de ordem 1 ou seja p 1 consequentemente ϕ1 ϕ e a série é descrita por Z t ϕ1Z t1 at Assim Z t depende apenas de Z t1 e como πB ϕB 1 ϕB o processo é sempre invertível As principais características de um processo ARp são descritas a seguir MORETTIN TOLOI 2014 Estacionariedade e invertibilidade Sejam Gi 1 i 1 3 p as raízes da equação característica ϕBZ t at é possível reescrevêla como ϕB 1 G1B1 G2B 1 GpB Quando expandida a partir da dinâmica de frações parciais essa equação tornase Logo se ψB convergir para B 1 fazse necessário ter G1 1 i 1 2 3 p Observe que essa condição é equivalente a que a equação carac terística ϕB 0 tenha raízes fora do círculo unitário Essa é a condição de estacionariedade Função de autocorrelação Tomando por referência a equação Z t ϕ1Z t1 ϕ2Z t2 ϕpZ tp at multiplicando todos os seus termos por Z tj e considerando a esperança encontrase que EZ tZ tj ϕ1EZ t1Z tj ϕ2EZ t2Z tj ϕpEZ tpZ tj ϕ1EatZ tj Modelos lineares estacionários 10 Como a condição adotada em Z tj utiliza ruídos até atj não correlacionados com at EatZ tj é nula e j 0 chegase à seguinte igualdade γj ϕ1γj1 ϕ2γj2 ϕpγjp j 0 Quando γ0 for dividido por VarZt obtémse que ρj ϕ1ρj1 ϕ2ρj2 ϕpρjp j 0 No entanto desejandose trabalhar com uma expressão menor é possível reescrever a relação apresentada anteriormente como ϕBρJ 0 onde o operador B agora age em j Bρj ρj1 etc Se Podese demonstrar que a solução geral de ρj ϕ1ρj1 ϕ2ρj2 ϕpρjpé no caso de raízes distintas a seguinte ρj A1Gj 1 A2Gj 2 A3Gj 3 ApGp j Como Gi 1 duas situações podem ocorrer 1 se Gi for real o termo ApGp j diminui geometricamente para zero amor tecimento exponencial 2 um par de raízes complexas conjugadas contribui com um termo da forma Adj sen2πfj φ senoide amortecida De modo geral a função de autocorrelação de um processo autorregres sivo é constituída de uma mistura de polinômios exponenciais e senoides amortecias Para j 0 quando utilizada na expressão EZ tZ tj obtémse que VarZ t VarZt γ0 ϕ1γ1 ϕpγp σα 2 Modelos lineares estacionários 11 Como γj γj encontrase que 1 1 1 2 0 Ou seja Var 2 2 1 1 1 Já se for adotado j 1 2 p em ρj ϕ1ρj1 ϕ2ρj2 ϕpρjp obtémse que ρj ϕ1 ϕ2ρ1 ϕpρp1 ρj ϕ1ρ1 ϕ2 ϕpρp2 ρp ϕ1ρp1 ϕ2ρp2 ϕp Essas equações recebem o nome de equações de YuleWalker que em forma matricial podem ser escritas como 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 Os coeficientes ϕ1 ϕ2 ϕp do modelo ARp podem ser encontrados uti lizandose as equações de YuleWalker substituindose as fac ρj por suas estimativas rj Um modo de solucionar tais equações é por meio de um pro cedimento recursivo para ordens sucessivas p 1 2 3 Conforme Moretin e Toloi 2014 esse procedimento é denominado algoritmo de DurbinLevinson Para dar prosseguimento aos estudos deste capítulo especificadamente do modelo ARMA p q é importante que você compreenda o modelo de médias móveis MAq que admite que a série modelada é gerada por meio de uma combinação linear de q sinais de ruídos aleatórios e independentes entre si Modelos lineares estacionários 12 Modelos de médias móveis MA Inicialmente fazse necessário considerar o processo linear Z t ϕ1Z t1 ϕ2Z t2 ϕpZ tp at Adotando Z t Zt μ encontrase que Z t 1 θ1B θqBqat onde θB 1 θ1B θ2B2 θqBq é o operador de médias móveis de ordem q Ainda sobre os processos MA q a sua variância Var e a sua autocovariân cia γj são conhecidas respectivamente como Var 21 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 3 0 para 1 2 3 Ressaltase que como a média e a variância são valores constantes e γj não depende de t todo esse processo é estacionário independentemente dos valores dos parâmetros Contudo nem sempre esse valor é único A fim de ter unicidade fazse necessário estabelecer uma condição inicial de invertibilidade que garanta que existe um único processo MAq para uma dada função de autocorrelação Um processo MAq é invertível quando todas as raízes da equação θB 0 estão fora do círculo unitário Por incluir ambos os tipos de termos de defasagens chegase ao que é chamado de média móvel autorregressiva modelos ARMA que se baseia na combinação dos modelos ARp e MAq dando então origem ao modelo ARMApq no qual a ordem do modelo ARMA está incluída nos parênteses como ARMApq onde p é a ordem autorregressiva e q é a ordem de média móvel A Figura 4 a seguir apresenta a composição de um modelo ARMApq Modelos lineares estacionários 13 Figura 4 Composição de um modelo ARMA É importante destacar que as limitações previamente mencionadas no modelo ARp concernentes à linearidade e à estacionariedade do fenômeno modelado são também aplicáveis aos modelos MAq e ARMApq Conforme Morettin e Toloi 2014 os modelos ARMApq são dados por Z t ϕ1Z t1 ϕpZ tp at θ1at1 θqatq Assim admitindose ϕB e θB como os operadores autorregressivos também chamados de operadores de defasagem e de médias móveis a forma compacta dessa representação é ϕBZ t θBat As principais características de um modelo ARMA pq são apresentadas a seguir Estacionariedade e invertibilidade O processo é estacionário se as raízes de ϕB 0 estiverem localizadas fora do círculo unitário já para ser um processo invertível tornase necessário que θB 0 esteja fora do círculo unitário Função de autocorrelação Tomando por base a equação característica do modelo ARMApq Z t ϕ1Z t1 ϕpZ tp at θ1at1 θqatq multiplicando os seus dois membros por Z tj e considerando as esperanças obtémse γj EZ tZ t1 Eϕ1Z t1 θpZ tp at θ1at1 θpatqZ tj Modelos lineares estacionários 14 Ou seja γj ϕ1γj1 ϕ2γj2 ϕpγjp γzαj θ1γzαj θqγzαj q onde γzα é a covariância cruzada entre Zt e at definida por γzαj EatZ tj Como Z tj depende unicamente dos choques at ocorridos até o instante t j encontrase que 0 0 0 0 Desse modo γj ϕ1γj1 ϕ2γj2 ϕpγjp γzαj θ1γzαj θqγzαj q fica da seguinte maneira γj ϕ1Υj1 ϕ2Υj2 ϕpΥjp j q A partir dessa igualdade a função de autocorrelação é definida como ρj ϕ1ρj1 ϕ2ρj2 ϕpρjp j q Assim é possível concluir que as autocorrelações de lags 1 2 3 q serão afetadas diretamente pelos parâmetros de médias móveis Contudo para j q as mesmas séries se comportam como nos modelos autorregressivos Observe o fato de que a FAC consiste em uma mistura de exponenciais eou de senoides amortecidas entretanto se q p os primeiros q p 1 valores ρ0 ρ1 ρqp não seguirão esse padrão BECKER 2015 Conforme Bruce e Bruce 2019 de maneira geral para um processo ARMAp q estacionário a função de autocorrelação apresenta um decaimento expo nencial ou oscilatório após a defasagem q Em contrapartida a função de autocorrelação parcial tem o mesmo comportamento após a defasagem p Neste capítulo você conheceu a definição de modelos lineares estacionários bem como as condições de estacionariedade e invertibilidade destes No que concerne aos modelos de previsão das séries temporais o foco deste estudo foram os modelos autorregressivo AR de médias móveis MA e autorregressivo de médias móveis ARMA Modelos lineares estacionários 15 Referências BECKER J L Estatística básica transformando dados em informação Porto Alegre Bookman 2015 BRUCE P BRUCE A Estatística prática para cientistas de dados 50 conceitos essenciais Rio de Janeiro Alta Books 2019 DAVILA V H L Introdução às séries temporais 2010 Disponível em httpswwwime unicampbrhlachosMaterialSeriespdf Acesso em 17 jan 2021 MORETTIN P A TOLOI C M C Análise de séries temporais 2 ed São Paulo Blucher 2014 Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Modelos lineares estacionários 16 Conteúdo SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS