Controle de Sistemas Dinâmicos - Trabalho Complementar Revisão

Controle de Sistemas Dinâmicos Prof Fabrício Hoff Dupont TRABALHO COMPLEMENTAR Revisão dos tópicos principais abordados no decorrer do semestre Importante Este trabalho de revisão é destinado àqueles que obtiveram média final maior ou igual a 40 e inferior a 60 Após correção a nota obtida irá substituir a menor nota obtida no decorrer do semestre 1 25 A Figura 1 ilustra um sistema mecânico do tipo massamolaamortecedor sujeito a uma força eletromagnética externa Fem Sabendo que a equação diferencial que descreve a posição da massa é dada por mẍt bẋt kxt Femt 1 sendo a massa m 004 kg a constante de amortecimento b 80 N sm e a constante de elasticidade da mola k 5000 Nm Considerando condições iniciais nulas e a aplicação de uma força em degrau definida por Femt 12ut N empregue a transformada de Laplace para obter a solução da equação diferencial para xt Figura 1 Sistema mecânico referente a Questão 1 2 25 A figura Figura 2 ilustra o diagrama de blocos de um sistema de controle com múltiplas malhas de realimentação composta pelos sensores HI e HE uma estrutura de controle por alimentação à frente ou feedforward proporcionada pelo controlador CF e um pré filtro da referência F Utilizando álgebra de blocos determine a função de transferência YsRs para este sistema Figura 2 Diagrama de blocos para o sistema de controle de múltiplas malhas referente à Questão 2 Controle de Sistemas Dinâmicos Trabalho complementar Página 1 de 3 Questão 1 Seja 004ẍt 80ẋt 5000xt 12ut Aplicando a transformada de Laplace para condições iniciais nulas segue 004s²Xs 80sXs 5000Xs 12s isolando Xs temos Xs 12s004s² 80s 5000 300ss² 2000s 12500 300s as b sendo a e b as raízes do polinômio em parêntes logo a 2000 2000² 41250002 6459 b 2000 2000² 41250002 193541 Aplicando a expansão em frações parciais segue Xs As a Bs b Cs ss bA ss aB Cs as bss as b Assim temos o sistema A B C 0 bA aB a bC 0 abC 300 assim vemos que C 300ab 24 10³ Multiplicando a primeira linha por b temos bA bB bC bA aB aC bC a bB bC logo B aCb a 8285 10⁵ Por fim A B C 248285 10³ Então Xs é expandido como Xs 300ss² 2000s 125000 24 10³s 24829 10³s a 829 10⁵s b aplicando a inversa de Laplace temos xt ut24 24829eᵃᵗ 00829eᵇᵗ10³ Espaço intencionalmente deixado em branco para continuidade da Questão 4 Controle de Sistemas Dinâmicos Trabalho complementar Página 3 de 3 3 25 Aplicandose um degrau unitário na entrada rt do sistema da Figura 4 calcule o tempo de subida o tempo de pico o sobressinal máximo e o tempo de acomodação pelo critério de 2 Figura 3 Sistema de segunda ordem da Questão 4 4 25 Considere o sistema ilustrado pela Figura 4 e desenvolva o que é solicitado nos itens a seguir a 15 Desenhe o lugar das raízes b 10 Determine a faixa de valores do ganho k que estabilizam o sistema em malha fechada Figura 4 Diagrama de blocos referente ao Exercício 4 Controle de Sistemas Dinâmicos Trabalho complementar Página 2 de 3 Questão 2 A síntese do processo de simplificação é mostrada na FIG 1 As regras de transformação foram tiradas da tabela 25 do Dorf p 109 14 ed colocada no Apêndice A Figura 1 Simplificação do diagrama de blocos Primeiro simplificamos a malha com realimentação Pela regra 6 obtemos A CI GI1 CI GI HI Agora fazemos a transformação 2 para o bloco CE e o somador Perceba que assim ficará dois somadores em sequência que podemos transformar em 1 só Neste caso termos uma nova malha com realimentação negativa ao qual aplicamos novamente a Regra 6 e obtemos B AGE1 ACE GE HE CI GI GE1 CI GI HI1 CI CE GI GE HE1 CI GI HI CI GI GE1 CI GI HI CI CE GI GE HE Então a função transferência YsRs é dada por YsRs CI GI GE F CE CF1 CI GI HI CI CE GI GE HE CI GI GE F CE CI GI GE CF1 CI GI HI CI CE GI GE HE Questão 3 A malha fechada é dada por YsRs G1 G 25ss 51 25ss5 25ss 5 25 25s2 5s 25 Note portanto que ωn2 25 2ζω 5 e logo ω 5 e ζ 05 Tempo de subida Pela equação 50 do slide Controle de Sistemas Dinâmicos Módulo 3 Resposta Transitória temos tr π β ωn 1 ζ2 no qual da eq 31 sabemos que β cos1ζ Assim o tempo se subida é tr π cos105 5 1 052 04837 s Tempo de pico Da eq 52 temos tp π ωn 1 ζ2 π 5 1 052 07255 s Sobressinal máximo Da eq 56 temos Mp 100 expζπ 1 ζ2 100 exp05π 1 052 1630 Tempo de acomodação Para o critério de 2 temos que o tempo de acomodação é ts 4 ζω 4 05 5 16 s Questão 4 Seja a malha aberta dada por Gs k s 2s 12 a malha fechada é Fs G 1 G k k s 2s 12 k s2 14s 24 k Letra a O LGR lugar geométrico das raízes se inicia nos polos e zeros de malha aberta assim p1 2 e p2 12 como mostra a FIG 2 σ jω 2 12 Figura 2 Mapa de polos de Gs Determinar o lugar das raízes no eixo real Escolhendo um ponto teste s entre 0 e temos que a condição angular é s 2 s 12 0 ou seja s 2 s 12 0 logo não há LGR neste trecho Escolhendo s entre 0 e 2 temos s 2 s 12 0 ou seja s 2 s 12 0 logo não há LGR neste trecho Mas para s entre 2 e 12 segue s 2 180 s 12 0 ou seja s 2 s 12 180 existe um LGR neste trecho pois satisfazem a condição do ângulo Por fim se s entre 12 e temos s 2 s 12 9180 ou seja s 2 s 12 360 logo não há LGR neste trecho Determinar as assíntotas do lugar das raízes O ângulo das assíntotas é ângulo das assíntotas 1802k 1 núm polos num zeros k 0 1 2 180 2 90 duas assíntotas de 90 Determinar o ponto de partida do eixo real Se Gs 1 0 então K s2 14s 24 1 0 K s2 14s 24 e assim dKds 0 é dK ds 2s 14 0 logo s σc 142 7 que ocorre quando K 72 14 7 24 25 Desenho do LGR Então o LGR de Gs é σ jω 2 12 7 Figura 3 LGR de Gs Letra b O denominador de Fs é ds s2 14s 24 k Aplicando o critério de Routh temos s2 1 24 k s1 14 s0 24 k Observe portanto que o sistema é estável se a primeiro coluna mantém o sinal logo 24 k 0 k 24 do LGR já sabíamos que para k 0 o sistema era sempre estável E agora isso foi provado APÊNDICE A Regras de Simplificação do Diagrama de Blocos Esta tabela foi tirada do DORF e BISHOP p 109 2022 14 ed Table 25 Block DiagramTransformations Transformation Original Diagram Equivalent Diagram 1 Combining blocks in cascade X1 G1s X2 X3 G2s X1 G1G2 X3 X1 G2G1 X3 or 2 Moving a summing point behind a block X3 X2 X1 G X3 X2 X1 G G 3 Moving a pickoff point ahead of a block X2 X2 X1 G X2 X2 X1 G G 4 Moving a pickoff point behind a block X2 X1 X1 G X2 X1 G X1 1 G 5 Moving a summing point ahead of a block X3 X2 X1 G X3 X2 X1 G 1 G 6 Eliminating a feedback loop X2 X1 G H G 1 GH X2 X1