Aspectos Iniciais de Modelagem Econométrica

Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Bruno Leonardo Silva Tardelli Revisão Textual Prof Ms Luciano Vieira Francisco Aspectos Iniciais de Modelagem Econométrica Introdução Estimação População e Amostra Objetivo da Econometria e Análise de Regressão Linear Anatomia da Modelagem Econométrica Processo de Cálculo das Estimativas Método dos Mínimos Quadrados Ordinários MQO Considerações Finais Apresentar aspectos iniciais que envolvem o estudo da econometria com ênfase no processo de estimação de parâmetros por meio do método dos mínimos quadrados ordinários OBJETIVO DE APRENDIZADO Aspectos Iniciais de Modelagem Econométrica Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como o seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas Entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discussão pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Aspectos Iniciais de Modelagem Econométrica Contextualização Para a inicialização do estudo da estimação econométrica leia o resumo do artigo intitulado Evidências brasileiras sobre o impacto da obesidade no salário de Adriano Dutra Teixeira e Maria Dolores Montoya Diaz apresentado no 43 Encontro Nacional de Economia No mundo todo o estudo da ligação entre as medidas antropométricas e o emprego avançou nos últimos anos Neste trabalho buscamos estimar o efeito da obesidade no salário usando dados brasileiros oriundos da POF Na especificação sem controles encontramos que o aumento de uma unidade no IMC está associado a um aumento de 47 no saláriohora entre homens e uma redução de 06 no saláriohora entre mulheres Ao adicionar variáveis de controle este efeito se reduz a 19 entre homens e tornase não significativo entre mulheres Além de trazer novos resultados este trabalho revê as estratégias já usadas pela literatura internacional para lidar com a endogeneidade da medida de obesidade na equação do salário É fundamental neste momento compreender a importância da econometria para os estudos ligados às Ciências Sociais Aplicadas em geral No artigo acima citado a análise econométrica tenta grosso modo compreender a relação da dependência de uma variável em relação a outras Nesse exemplo tentase avaliar como a obesidade pode afetar o salário de um indivíduo Ou seja querse mostrar a dependência do salário a partir de índices de obesidade de indivíduos 8 9 Introdução Esta Unidade tem a intenção de revelar a problemática do estudo da econometria apresentando a ideia da importância dos estimadores de mínimos quadrados ordinários Dessa forma você terá amplo entendimento da relevância da econometria no estudo tanto do economista como também para profissionais envolvidos nos vários ramos das Ciências Sociais Aplicadas como finanças e marketing por exemplo Assim a Unidade está dividida em quatro seções além desta Introdução e das Considerações finais Em primeiro lugar abordase o tema da estimação e se apresenta o conceito de estimador em segundo lugar apresentase o objetivo do estudo econométrico por meio da regressão linear em terceiro lugar revelase a anatomia da modelagem econométrica por fim é apresentada a forma de estimar coeficientes por meio do método de mínimos quadrados ordinários Estimação População e Amostra Uma das formas fundamentais para o entendimento da realidade é a realização de pesquisas as quais gerarão determinadas conclusões Por exemplo se quisermos saber a intenção de voto dos candidatos à prefeitura em um município qualquer seria interessante perguntarmos a todas as pessoas que votam nesse local Assim teríamos a proporção de votos correta naquele momento abstraindo a possibilidade de uma resposta falsa por parte dos participantes da pesquisa Entretanto é economicamente inviável como também impraticável obter a resposta de todos os eleitores Uma saída para tal questão é a coleta de uma amostra de dados sob os quais se tentará imitar da forma mais próxima o comportamento da população O ramo da estatística que estuda formas de obter estimativas para representar a população a partir de uma amostra de observações é denominado inferência estatística Este estudo se apropria da criação de meios de trabalhar as informações testálas e gerar resultados satisfatórios Nesse contexto temse que diferenciar o valor verdadeiro da população daquele que será gerado a partir de uma amostra com o uso de uma regra de cálculo que nos levará a uma estimativa Conforme Sartoris 2003 p 155 grifos nossos o valor da população chamado de parâmetro populacional é desconhecido O que é possível de se obter é um valor da amostra que supostamente nos dá uma ideia do valor correto populacional do parâmetro Esse valor amostral é chamado de estimador do parâmetro populacional 9 11 No caso da função consumo apresentada o consumo C é explicado pela variável renda R ou seja o consumo depende da renda E a propensão marginal a consumir c1 representa a parcela da renda que será gasta em consumo A função consumo anterior é dada por uma função de primeiro grau Assim em uma função de primeiro grau dada por Y a bX os coeficientes coeficiente linear ou intercepto e b coeficiente angular ou inclinação teriam de ser encontrados para a geração de uma reta Se considerarmos X como a renda e Y o consumo poderíamos a partir de determinados valores crescentes de renda encontrar o ritmo no qual o consumo em geral seria elevado Observe que antever que um aumento médio da renda elevaria o consumo médio das famílias faz parte da teoria econômica para os produtos que são considerados bens normais Em um exemplo de aplicação o que a econometria poderia tentar resolver é dado o aumento na renda qual o ritmo de variação do consumo A inclinação de uma função de primeiro grau b espelha esse ritmo ou seja seria a propensão marginal a consumir enquanto o intercepto a mostra o ponto que a reta gerada pela função cruzará o eixo Y ou seja seria o consumo autônomo Para praticarmos e o entendimento ficar mais simples suponha que determinada população possua 10 famílias e que as informações sejam as dispostas no Quadro 1 Quadro 1 Informações de Y e X de uma população de 10 famílias Y X i 1 23 1 i 2 85 4 i 3 104 6 i 4 122 7 i 5 150 75 i 6 202 8 i 7 197 8 i 8 180 85 i 9 193 9 i 10 236 12 Para entender o Quadro 1 este por exemplo explicita que a família da primeira linha do Quadro possui o valor 23 de uma variável Y qualquer e ao mesmo tempo 1 de uma variável X qualquer a família que está na segunda linha possui o valor 85 de uma variável Y qualquer e ao mesmo tempo 4 de uma variável X qualquer e assim sucessivamente 11 UNIDADE Aspectos Iniciais de Modelagem Econométrica O seguinte gráfico ilustra com bolinhas em vermelho os conjuntos X Y Os pontos em vermelho representam os conjuntos ordenados 1 23 4 85 6 104 7 122 75 150 8 202 8 197 85 180 9 193 e 12 236 500 400 300 Y 200 X 100 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Figura 1 Informações de Y e X de uma população de 10 famílias Veja que se ligássemos todos os pontos em vermelho não conseguiríamos encontrar uma reta então não teríamos nossa reta Y a bX Mas e se quiséssemos traçar uma reta que passasse simultaneamente o mais próximo de todos os pontos em vermelho Seria possível Sim esta é a ideia básica desta Unidade Tentaremos encontrar uma reta que melhor se ajuste ao comportamento dos dados a fim de observar algum padrão A linha ascendente em azul na Figura 1 é tal reta Observe que a reta em azul comete alguns erros em relação aos pontos em vermelho Imagine que a reta representa a trajetória de bala que tenta acertar os pontos em vermelho Observe então que errou todos os pontos mas passou o mais perto possível de todos A distância que a reta azul erra em relação aos pontos vermelhos é denominada na econometria de termo de erro e é simbolizada normalmente por ε 12 13 Como a reta gerada não representa exatamente a ligação entre os pontos vermelhos ao invés de um modelo matemático como Y a bX teremos um modelo estatístico que será representado por Y a bX ε Em que ε representa os desvios ou erros dos pontos efetivos e a reta azul Na literatura de econometria os coeficientes a e b são normalmente chamados de b1 e b2 Então a partir deste momento os chamaremos desta forma A equação a seguir substitui os termos a e b por b1 e b2 respectivamente Te mos então Y b1 b2X ε Em que Y é a variável dependente b1 é o coeficiente linear ou intercepto b2 é o coeficiente angular ou inclinação X é a variável independente ε é o termo de erro Entretanto para complicar as coisas dificilmente teremos todos os pontos em vermelho da população lembrese do caso das pesquisas eleitorais Assim não saberemos também quais são os valores verdadeiros de b1 e b2 os quais representam o intercepto e a inclinação da reta populacional Então o que faremos A resposta é estimaremos a reta com base em algumas observações de uma amostra coletada Na parte final desta Unidade voltaremos a esta ideia da estimação para ser apresentado como podemos estimar a reta azul da Figura 1 Para tal suporemos que em uma pesquisa coletamos os conjuntos de informações que estão em amarelo no Quadro 1 Anatomia da Modelagem Econométrica Para a construção de um modelo econométrico devese estar sempre atentoa a uma sequência de passos A Figura 2 apresenta o formato da receita de bolo 13 UNIDADE Aspectos Iniciais de Modelagem Econométrica TEORIA ECONÔMICA MODELO MATEMÁTICO DA TEORIA MODELOS ECONOMÉTRICOS DA TEORIA DADOS ESTIMAÇÃO DO MODELO ECONOMÉTRICO TESTE DE HIPÓTESES PROJEÇÃO OU PREVISÃO Figura 2 Anatomia da modelagem econométrica Fonte Gujarati 2006 p 8 Em primeiro lugar devese observar a teoria econômica e tentar analisar quantitativamente uma relação de dependência que está prevista na teoria econômica Ou seja se queremos explicar o comportamento de determinada variável chamada de variável dependente a partir de outras as variáveis independentes teríamos que verificar a teoria econômica para realizar a seleção da melhor maneira possível Em segundo lugar devese avaliar a forma funcional matemática que melhor descreve a teoria econômica Por exemplo se quisermos calcular uma estimativa da curva de custo marginal ou seja mostrar a dependência do comportamento do custo em função das quantidades adicionais de bens produzidos podemos supor no modelo uma função quadrática Utilizarseia assim uma função de segundo grau para formar uma parábola ao invés de um modelo matemático com uma função de primeiro grau a qual descreveria uma reta Em terceiro lugar constróise o modelo estatístico a partir da adição do termo de erro lembrando que o comportamento social analisado normalmente quase sempre não será representado perfeitamente por uma função matemática de primeiro segundo grau ou qualquer função determinística Em quarto lugar o economista precisará de dados de todas as variáveis que estejam envolvidas no modelo A existência de dados para aplicação do modelo estatístico elaborado não é tão trivial Diversas variáveis não possuem dados disponíveis da forma que o pesquisador deseja Assim a tarefa pode exigir necessidade de adaptação no modelo ou muitas vezes o abandono da pesquisa do modo inicialmente pensado 14 15 Em quinto lugar o economista estimará os parâmetros populacionais a partir de estimadores normalmente são as variáveis com um chapéu em cima Por exemplo o parâmetro populacional b poderá ser aproximado por um estimador b como será calculado ao final desta Unidade Em sexto lugar devemse testar os vários resultados gerados pela estimação entre os quais se estatisticamente determinada variável é ou não importante para descrever o modelo Para testar o modelo é preciso ter conhecimento de distribuições de probabilidade como a distribuição normal e outras distribuições contínuas Este é um dos motivos pelos quais o econometrista precisa de tanto conhecimento sobre distribuições de probabilidade Em sétimo lugar com o modelo completamente ajustado o pesquisador poderá ter suas conclusões quantitativas a respeito das variáveis envolvidas no modelo Importante De olho na teoria econômica Na prática uma observação importante em relação à determinação de variáveis que constarão nos modelos econométricos é que a teoria econômica deve dar sustentação às variáveis inseridas caso contrário as conclusões poderão estar totalmente equivocadas mesmo que do ponto estatístico sejam apontadas como corretas Por exemplo se a teoria econômica aponta que parte da taxa de infl ação pode ser explicada pela taxa de câmbio faz sentido estabelecer um modelo que tente explicar o quanto a taxa de câmbio poderia estar afetando a taxa de infl ação Por outro lado se tentássemos criar um modelo no qual a taxa de natalidade de formigas no Paquistão esteja explicando a taxa de infl ação no Brasil mesmo que os resultados dos testes estatísticos apontem para signifi cância dessa relação de dependência do ponto de vista teórico seria uma aberração De acordo com Gujarati 2006 p 17 embora a análise de regressão lide com a dependência de uma variável em relação a outras isso não implica necessariamente causação Uma relação estatística por mais forte e sugestiva que seja nunca pode estabelecer uma conexão causal nossas ideias de causação devem se originar fora da estatística em última análise de alguma teoria A conclusão então é que a estatística funciona apenas como um instrumental para o econo mista e não para servir de fonte de inspiração para a formulação de teorias econômicas Importante A variável dependente no modelo econométrico tem nomes alternativos assim como as variávelis independentes O Quadro 2 aponta sinônimos da variável dependente e das variávelis independentes Quadro 2 Sinônimos para as variáveis dependente e independentes Variável dependente Variável independente Variável explicada Variável explicativa Variável prevista Previsor 15 UNIDADE Aspectos Iniciais de Modelagem Econométrica Variável dependente Variável independente Regressando Regressor Resposta Estímulo Variável endógena Variável exógena Saída Entrada Variável controlada Variável de controle Fonte Gujarati 2006 p 18 Processo de Cálculo das Estimativas Método dos Mínimos Quadrados Ordinários MQO Conforme apontado o estimador representa uma regra ou fórmula ou método que nos diz como estimar o parâmetro da população a partir das informações oferecidas pela amostra que temos GUJARATI 2006 p 38 Como o objetivo inicial da econometria envolve a estimação dos coeficientes b1 e b2 para poder obter a reta estimada devese ter alguma regra para estimar esses parâmetros Assim vamos a um exemplo de como estimar b1 e b2 Imagine que um pesquisador queira estudar a dependência da variável Y em relação à variável X na população de dez famílias do Quadro 1 Para tal suponha que esse pesquisador não tenha acesso a todas as famílias mas conseguiu obter as informações de quatro famílias Assim tem em mãos uma amostra com quatro observações da população Note que as informações acima coletadas e apresentadas no Quadro 3 estão em destaque no Quadro 1 Quadro 3 Amostra com 4 observações da população de 10 famílias Y X 104 6 122 7 202 8 193 9 Estimar os parâmetros b1 e b2 significa que queremos ter uma noção de como poderíamos criar um padrão no conjunto de dados sabendo que não temos aqui uma função matemática exata ou determinística mas sim a construção de um modelo estatístico Nesse exemplo a partir de uma amostra com 4 observações vamos supor que queremos entender o padrão de dependência da variável Y em relação à variável X ou seja de que forma X poderia explicar a variável Y Para termos essa noção realizaremos um procedimento que envolve alguns passos preste atenção e volte quando julgar necessário para poder compreender totalmente 16 17 Para facilitar o entendimento separaremos o procedimento em quatro passos Ao final teremos um quadro completamente preenchido de modo que poderemos estimar os coeficientes de forma bastante simples 1º passo extrair a soma e a média das variáveis X e Y conforme a seguir Quadro 4 Y X y x xy x2 i 1 104 6 i 2 122 7 i 3 202 8 i 4 193 9 Soma 621 30 Média 15525 75 2º passo calcular y e x Quadro 5 Y X y x xy x2 i 1 104 6 5125 15 i 2 122 7 3325 05 i 3 202 8 4675 05 i 4 193 9 3775 15 Soma 621 30 0 0 Média 15525 75 0 0 O cálculo de cada elemento y é gerado a partir de y Yi Y Em que Yi representa a observação i da variável Y e i vai da observação 1 até a observação 4 Y é a média dos valores da variável Y Assim existem quatro y cada qual envolvendo uma observação da amostra como apresentado no Quadro a seguir a partir da média de Y que é 15525 Quadro 6 Yi Y y i 1 104 15525 104 15525 5125 i 2 122 15525 122 15525 3325 i 3 202 15525 202 15525 4675 i 4 193 15525 193 15525 3775 Analogamente temos quatro x cada qual envolvendo uma observação da amostra como apresentado no Quadro a seguir a partir da média de X que é 75 Devese então realizar o cálculo de x Xi X Em que Xi representa a observação i da variável X e i vai da observação 1 até a obser vação 4 X é a média dos valores da variável X 17 UNIDADE Aspectos Iniciais de Modelagem Econométrica Quadro 7 Xi X x i 1 6 75 6 75 15 i 2 7 75 7 75 05 i 3 8 75 8 75 05 i 4 9 75 9 75 15 Observe que a soma dos y e dos x é igual a zero Você notará com a prática de exercícios que este resultado sempre será obtido Por consequência a média destas variáveis também será zero 3º passo calcular xy O cálculo agora envolve a multiplicação de cada xi com yi conforme o Quadro a seguir Por exemplo para i 1 o cálculo envolve a multiplicação de x1 15 com o respectivo x1 5125 que resulta em x1y1 76875 Quadro 8 Y X y x xy x2 i 1 104 6 5125 15 76875 i 2 122 7 3325 05 16625 i 3 202 8 4675 05 23375 i 4 193 9 3775 15 56625 Soma 621 30 0 0 1735 Média 15525 75 0 0 43375 4º passo calcular x2 O último passo para a finalização do Quadro envolve obter o resultado de cada x2 Por exemplo para i 1 o cálculo envolve elevar x1 15 ao quadrado o qual resulta em x2 1 225 Quadro 9 Y X y x xy x2 i 1 104 6 5125 15 76875 225 i 2 122 7 3325 05 16625 025 i 3 202 8 4675 05 23375 025 i 4 193 9 3775 15 56625 225 Soma 621 30 0 0 1735 5 Média 15525 75 0 0 43375 125 Agora basta calcular os coeficientes b 1 e b 2 a partir das seguintes regras de cálculo A representação dos estimadores de b1 e b2 é descrita como b 1 e b 2 lêse beta 1 chapéu e beta 2 chapéu respectivamente 18 UNIDADE Aspectos Iniciais de Modelagem Econométrica Para treinar o procedimento repitao com a amostra do seguinte Quadro a qual possui cinco observações Quadro 10 Y X i 1 1200 800 i 2 1800 200 i 3 2600 800 i 4 3000 400 i 5 5400 600 Em um papel construa um quadro semelhante ao anterior com as variáveis Y X y x xy e x2 Entretanto lembrese de adicionar uma linha já que agora você trabalhará com cinco observações e não mais com quatro Compare os resultados com o Quadro a seguir para verificar se conseguiu aplicar os passos de forma correta Quadro 11 Y X y x xy x2 i 1 1200 800 1600 240 384 576 i 2 1800 200 1000 360 36 1296 i 3 2600 800 200 240 48 576 i 4 3000 400 200 160 32 256 i 5 5400 600 2600 040 104 016 Soma 14000 2800 000 000 0 272 Média 2800 560 000 000 0 544 Agora os coeficientes estimados como b 1 e b 2 resultam em 28 e 0 respectivamente A equação da reta é portanto Y 0 28X ou seja Y 28X Repita o procedimento dos dois exemplos para poder assimilar a técnica Econometria não é realmente muito simples mas se você tiver bastante dedica ção poderá ser valorizadoa no mercado de trabalho por ter habilidade nessa área Considerações Finais Nesta Unidade buscouse passar a noção básica do que está por trás da análise econométrica a partir do processo de estimação dos parâmetros populacionais Lembrese que realizar uma pesquisa com as informações de toda a população é normalmente impraticável seja pela dificuldade de coleta ou por ser economi camente inviável Assim com uma amostra de dados tentase obter as estimati vas mais precisas possíveis para se tentar entender como o mundo funciona Quem exerce essa função no método de mínimos quadrados ordinários são os estimadores b 1 e b 2 os quais sob algumas circunstâncias representam as melhores formas para obter estimativas dos verdadeiros parâmetros b1 e b2 ou seja do intercepto e inclinação da função de regressão populacional 20 21 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Livros Estatística aplicada à Administração e Economia DOANE D P SEWARD L E Estatística aplicada à Administração e Economia Porto Alegre RS Grupo A 2012 Álgebra Linear Aplicada a Finanças Economia e Econometria FONSECA M A R da Álgebra Linear aplicada a finanças Economia e econometria São Paulo Manole 2003 Econometria HILL R C GRIFFITHS W E JUDGE G Econometria São Paulo Saraiva 2003 Estatística para Administração e Economia MCCLAVE J T BENSON P G SINCICH T Estatística para Administração e Economia 10 ed São Paulo Pearson 2009 Estatística Aplicada SHARPE N R DE VEAUX R D VELLEMAN P F Estatística Aplicada Administração Economia e negócios Porto Alegre RS Grupo A 2011 Introdução à Econometria WOOLDRIDGE J M Introdução à econometria uma abordagem moderna São Paulo Pioneira Thomson Learning 2006 21 UNIDADE Aspectos Iniciais de Modelagem Econométrica Referências GUJARATI D Econometria básica 4 ed São Paulo Elsevier 2006 SARTORIS A Estatística e introdução à econometria São Paulo Saraiva 2003 22