Tipos de Distribuição de Probabilidade Discreta e Orientações de Estudo

Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Bruno Leonardo Silva Tardelli Revisão Textual Prof Ms Luciano Vieira Francisco Alguns Tipos de Distribuição de Probabilidade Discreta Introdução Distribuição de Probabilidade Discreta Distribuição de Probabilidade Discreta Uniforme Distribuição de Bernoulli Distribuição Binomial Da Distribuição Binomial à Distribuição Normal Apresentar alguns tipos de distribuições de probabilidade discreta com a intenção de mostrar o desenvolvimento desse tipo de distribuição até uma distribuição de probabilidade contínua OBJETIVO DE APRENDIZADO Alguns Tipos de Distribuição de Probabilidade Discreta Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como o seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas Entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discussão pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Alguns Tipos de Distribuição de Probabilidade Discreta Contextualização Leia os trechos abaixo sobre parte da história de Gauss um dos mais importantes cientistas para a econometria a partir do desenvolvimento da distribuição normal e do método dos Mínimos Quadrados Ordinários MQO Os trechos pertencem ao artigo intitulado Hoje na História 1855 morre o matemático Carl Gauss de Max Altman publicado em fevereiro de 2012 no portal Opera Mundi e disponível em httpsgooglus8Lv4 Explor Morre em 23 de fevereiro de 1855 aos 78 anos o matemático físico e astrônomo Johann Carl Friedrich Gauss mais extraordinário espírito matemático de todos os tempos Nascido em Braunschweig em 30 de abril de 1777 cresceu em uma família pobre e tornouse um dos matemáticos mais importantes e prolíficos da história Criança prodígio aos três anos de idade já tinha boas noções de aritmética Certa vez acompanhando os cálculos feitos pelo pai para o pagamento de empregados detectou um erro nas contas Aos 10 anos iniciou estudos regulares de Matemática e surpreendeu os professores pela facilidade com que realizava complicadas operações e aprendia idiomas Há rumores de que ao receber a tarefa de somar todos os números de 1 a 100 respondeu rapidamente 5050 Isso porque teria percebido que todos os pares feitos com os números dos extremos da sequência que vai de 1 a 100 sempre resultam em 101 Em 1792 com apenas 15 anos ingressou no Collegium Carolinum e três anos depois passou a frequentar a Universidade de Göttingen onde estudou as obras mais notáveis de Euler Lagrange e Newton Apesar de já ter descoberto o teorema binominal a Lei de reciprocidade quadrática e os mínimos quadrados estava indeciso entre as carreiras de Filologia e Matemática Foi a importante descoberta de como construir um polígono regular de 17 lados com régua e compasso que o fez finalmente decidirse pela Matemática Desenvolveu o método dos mínimos quadrados 1812 que aplicado na resolução das distribuições de probabilidade nos campos da mecânica estatística economia e na abordagem da forma das superfícies curvas permitiulhe determinar pela primeira vez o tamanho e a forma aproximada da Terra Em probabilidade e estatística ficou famoso pelo desenvolvimento do método dos mínimos quadrados e pela descoberta da distribuição normal agora também conhecida como a distribuição gaussiniana a conhecida Lei de probabilidade definida graficamente por meio da chamada curva de Gauss Seu nome passou a ser utilizado para designar uma unidade de medida magnética o Gauss 8 9 Introdução Uma distribuição de probabilidade apresenta como as probabilidades se dividem entre os eventos de determinado conjunto As distribuições de probabilidade podem ser de duas naturezas discretas ou contínuas Nesta Unidade pretendese aprofundar o estudo de distribuição de probabilidade discreta com a apresentação de três tipos relevantes na teoria estatística quais sejam a distribuição uniforme a distribuição de Bernoulli e a distribuição binomial Assim esta Unidade está dividida em cinco seções além desta Introdução e das Considerações finais na primeira seção é exemplificada uma distribuição de probabilidade discreta para compreender o terreno o qual estamos pisando na segunda seção é explorada a distribuição de probabilidade discreta uniforme na terceira seção é apresentada a distribuição de Bernoulli na quarta seção é elucidada a distribuição binomial por fim a quinta seção mostra a passagem de uma distribuição de probabilidade discreta para uma distribuição de probabilidade contínua a partir da transformação da distribuição binomial em distribuição normal Distribuição de Probabilidade Discreta Para podermos avançar em relação a alguns tipos clássicos de distribuições de probabilidade discreta é necessário ter em mente o conceito desse grupo de distribuições Atenção Se formos avaliar um dado com seis lados qual a probabilidade de que cada número seja selecionado Seria 1 6 ou seja uma chance em seis possibilidades E esta probabilidade é a mesma independentemente se estamos nos referindo ao número 1 2 3 4 5 ou 6 Entretanto as probabilidades podem se diferenciar entre os eventos como no exemplo de um sorteio de um número par em um conjunto X 5 7 8 Nesse caso em um sorteio como o único número par é o oito então a probabilidade de sortear um número par é de 1 3 ao passo que o de sortear um número ímpar é de 2 3 Assim o que pode ser percebido é que os eventos possíveis podem ter probabilidades iguais ou distintas de ocorrência e o estudo da distribuição de probabilidade trata de analisar e entender o mapeamento de como as probabilidades se repartem entre os eventos Além do valor é possível apresentar a distribuição de probabilidade em formato gráfico para melhor visualização 9 UNIDADE Alguns Tipos de Distribuição de Probabilidade Discreta Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta ou contínua Nesta Unidade será concentrada exclusiva atenção às distribuições de probabilidade discreta A forma discreta referese a ser possível determinar o valor para a probabilidade de cada evento mesmo que às vezes com a necessidade de uso de arredondamento dos valores quando estes são muito quebrados Por exemplo se tivermos 9 bolas em uma urna com numeração de 1 até 9 e tivermos de sortear uma das quais a chance de cada número ser sorteado é de 1 9 que é igual a 011111111 aproximadamente 011 ou 11 Distribuição de Probabilidade Discreta Uniforme Basicamente uma distribuição de probabilidade uniforme implica que todos os eventos possuem a mesma probabilidade de ocorrência Um exemplo para o caso discreto seria a ação de jogar um dado comum O dado possui seis lados de modo que cada um dos quais possui a mesma chance de ser selecionado em uma jogada a qual é de 1 6 aproximadamente 0167 ou 167 A exposição gráfica do exemplo anterior está disposta na Figura 1 Podese observar que a altura dos retângulos é a mesma a fim de evidenciar que a mesma probabilidade está envolvida em uma jogada de um dado Figura 1 Probabilidades dos seis lados do dado em uma jogada Fonte elaborada pelo professor conteudista Agora e se quisermos calcular o valor esperado ao se jogar um dado como isto seria feito E a variância Para tal temos de recorrer inicialmente ao cálculo da esperança e posteriormente à variância com base nas probabilidades 10 UNIDADE Alguns Tipos de Distribuição de Probabilidade Discreta Calculando E X 2 E X X P X X P X X P X X P X X P X X P X 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 4 2 4 5 2 5 6 2 6 E X 2 2 2 2 2 2 2 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 E X 2 1 1 6 4 1 6 9 1 6 16 1 6 25 1 6 36 1 6 E X 2 1 6 4 6 9 6 16 6 25 6 36 6 E X 2 1 4 9 16 25 36 6 E X 2 91 6 Calculando E X 2 Como E X 21 6 Então E X 2 21 2 6 E X 2 441 36 Assim como var X E X E X 2 2 Portanto var X 91 6 441 36 var X 546 441 36 var X 105 36 Assim o valor esperado em uma jogada de um dado é de 21 6 ou seja 35 e a variância é de aproximadamente 292 12 13 O exemplo descrito foi o de uma jogada de um dado Entretanto qualquer conjunto com eventos finitos no qual se possa selecionar um evento com a mesma probabilidade entre os quais será configurada como uma distribuição de probabilidade discreta Por exemplo se um professor marcar o nome de todos os seus alunos uma única vez em um papel e sortear um dos nomes cada aluno possuirá a mesma probabilidade de ser sorteado de modo que teremos um exemplo de distribuição de probabilidade discreta Distribuição de Bernoulli Em algumas situações somente existem dois eventos possíveis Por exemplo ao se jogar uma moeda para o alto e verificar a face quando cair à mão somente poderá ocorrer cara ou coroa Da mesma forma se em uma enquete com somente uma pergunta e respostas sim ou não ao sortear a resposta de forma aleatória de um entrevistado qualquer existirá um valor de probabilidade de selecionar a resposta sim e a resposta não A distribuição de probabilidade envolvida em situações como essas é denominada distribuição de Bernoulli Em um jogo de cara ou coroa a probabilidade de sortear qualquer um desses eventos é de 1 2 Ou seja 50 de chance de ocorrer qualquer um dos eventos A Figura 2 apresenta a distribuição de Bernoulli para esse caso Figura 2 Probabilidades de cara ou coroa em uma jogada um exemplo de Bernoulli Fonte elaborada pelo professor conteudista Observe que como a probabilidade é a mesma para ambos os eventos possíveis neste caso a distribuição de Bernoulli é também um exemplo de distribuição de probabilidade uniforme Voltando à situação da enquete com respostas sim ou não suponha que de 500 pessoas entrevistadas 150 responderam sim e as 350 restantes responderam não Para este caso apesar de ser uma distribuição de Bernoulli não será uma distribuição de probabilidade uniforme pois a probabilidade de em um sorteio das respostas selecionar alguém que tenha respondido sim será de 150 500 ou seja 030 13 UNIDADE Alguns Tipos de Distribuição de Probabilidade Discreta ou 30 e a probabilidade de sortear alguém que respondeu não será de 350 500 ou seja 070 ou 70 Figura 3 Observe que os eventos envolvidos em uma distribuição de Bernoulli são mutualmente exclusivos dado que a ocorrência do evento sim implica a não ocorrência do evento não Em função disso não existe também a intersecção de eventos de modo que a probabilidade de ocorrer sim e não simultaneamente é zero Além disso a soma das probabilidades de ocorrer o evento sim ou o evento não é de 100 que é igual a 1 Algebricamente P sim P não 1 Figura 3 Probabilidades de sim e não em um sorteio um exemplo de Bernoulli Fonte elaborada pelo professor conteudista Qual o valor esperado em uma distribuição de Bernoulli Quando se define uma distribuição de Bernoulli buscase identificar um dos eventos como sucesso o qual se atribui valor um e o outro como fracasso o qual se atribui valor zero Assim o valor esperado ou esperança é sobre o evento denominado sucesso Supondo que sim seja sucesso e não como fracasso teríamos E X X P X i i 1 2 E X sim P sim não P não Quadro 2 Sim sucesso e não fracasso X i X P X X1 Sim sucesso 1 0 30 X 2 Não fracasso 0 0 70 Fonte elaborado pelo professor conteudista E X 1 0 30 0 0 70 E X 0 30 14 17 Importante Note que o valor da variância permanece o mesmo dado que a dispersão entre sucesso e fracasso é a mesma independentemente de quem seja sucesso ou fracasso Outra observação importante é que o valor da variância em uma distribuição de Bernoulli sempre será a multiplicação entre o valor das probabilidades de sucesso e de fracasso Por exemplo no caso do sim ou não independentemente de quem for considerado sucesso ou fracasso uma das probabilidades é de 030 enquanto que a outra é de 070 Multiplicando 030 e 070 obtémse como resultado 021 Trocando ideias Distribuição Binomial Na distribuição de Bernoulli buscamos descrever e calcular a esperança e a vari ância em uma jogada Entretanto uma distribuição mais interessante surge quando realizamos uma sequência de jogadas e ao mesmo tempo repomos o papel com a resposta sim ou não selecionada em cada sorteio de volta à urna A distribuição que surge nesse cenário é a distribuição binomial a qual representa a distribuição gerada a partir de uma sequência de Bernoulli com reposição do evento sorteado Vamos a um exemplo Suponha que realizemos dois sorteios com as respostas da enquete Ao fazermos isto não apenas a probabilidade de uma jogada surge mas as probabilidades de sucessos e fracassos nas duas seleções Para efeito de simplificação da análise considere agora que a probabilidade de sortear SIM é de 50 e de sortear NÃO de 50 também Primeiro devemos apontar os possíveis resultados advindos dos sorteios a partir da árvore de probabilidades apresentada na Figura 4 Observe que para cada um dos dois sorteios temos uma cor diferente para as possibilidades Na ordem estão descritos pelas cores vermelho e verde respectivamente 2 Sim 1 Sim e 1 não 2 Não Início Sim Não 050 050 050 050 050 050 Figura 4 Árvore de probabilidades para dois sorteios de respostas Fonte elaborada pelo professor conteudista 17 UNIDADE Alguns Tipos de Distribuição de Probabilidade Discreta Em cada sorteio a probabilidade de sortear sim permanece em 050 assim como não representa a probabilidade restante de 050 Entretanto se a pergunta for qual a probabilidade de sortear duas respostas sim A resolução deverá ser mais elaborada O Quadro 4 apresenta os quatro caminhos que os sorteios podem gerar como resultados Quadro 4 Caminhos e probabilidades dos resultados finais em dois sorteios Sequência Frequência Probabilidade Primeiro Segundo Sim Não Sim Sim 2 0 1 4 Sim Não 1 1 2 4 Não Sim 1 1 Não Não 0 2 1 4 Fonte elaborado pelo professor conteudista Note por exemplo que o resultado sim em ambos os sorteios representa apenas um dos quatro caminhos na árvore de probabilidades Assim possui 1 4 de probabilidade de ocorrer Por outro lado o resultado um sim e um não está em dois caminhos possíveis e portanto representa 2 4 de ocorrer Observe ainda que a probabilidade envolvida em uma distribuição binomial é em relação ao resultado final com a quantidade dos eventos Portanto a ordem na qual os eventos ocorrem não importa para esse tipo de distribuição Agora expandiremos nossa árvore de probabilidades para três sorteios Primeiramente mostramos os possíveis resultados advindos dos sorteios a partir de uma árvore de probabilidades da Figura 5 Veja que para cada um dos três sorteios temos uma cor diferente para as possibilidades Na ordem estão descritos pelas cores vermelho verde e roxo respectivamente 18 19 2 Sim 1 Sim e 1 não 2 Não Início Sim Não 050 050 050 050 050 050 050 2 Não 050 3 Sim 050 050 050 050 2 Sim e 1 não 1 Sim e 2 não Figura 5 Árvore de probabilidades para três sorteios de respostas Fonte elaborada pelo professor conteudista Veja que existem oito possibilidades ou caminhos com os três sorteios O Quadro 5 expressa tais caminhos e a probabilidade do resultado final com as quantidades de sim e não Quadro 5 Caminhos e probabilidades dos resultados fi nais em três sorteios Sequência Frequência Probabilidade Primeiro Segundo Terceiro Sim Não Sim Sim Sim 3 0 1 8 Sim Sim Não 2 1 3 8 Sim Não Sim 2 1 Não Sim Sim 2 1 Sim Não Não 1 2 3 8 Não Sim Não 1 2 Não Não Sim 1 2 Não Não Não 0 3 1 8 Fonte elaborado pelo professor conteudista 19 UNIDADE Alguns Tipos de Distribuição de Probabilidade Discreta Já o Quadro 6 mostra os caminhos e os resultados possíveis para quatro sorteios Quadro 6 Caminhos e probabilidades dos resultados finais em quatro sorteios Sequência Frequência Probabilidade Primeiro Segundo Terceiro Quarto Sim Não Sim Sim Sim Sim 4 0 1 16 Sim Sim Sim Não 3 1 4 16 Sim Sim Não Sim 3 1 Sim Não Sim Sim 3 1 Não Sim Sim Sim 3 1 Sim Sim Não Não 2 2 6 16 Sim Não Sim Não 2 2 Sim Não Não Sim 2 2 Não Sim Sim Não 2 2 Não Sim Não Sim 2 2 Não Não Sim Sim 2 2 Sim Não Não Não 1 3 4 16 Não Sim Não Não 1 3 Não Não Sim Não 1 3 Não Não Não Sim 1 3 Não Não Não Não 0 4 1 16 Fonte elaborado pelo professor conteudista Obviamente que para calcular a probabilidade de um resultado para um conjunto maior de sorteios o uso de árvores e quadros passa a ser cada vez mais complicado Entretanto existem formas de calcular a probabilidade para qualquer número de sorteios apenas com o uso de fórmulas estatísticas Para cálculos de probabilidades envolvendo grande número de jogadas consulte Sartoris 2003 p 6569 Explor 20 21 Da Distribuição Binomial à Distribuição Normal Uma observação importante em relação aos quadros é que o número de resulta dos finais distintos é elevado conforme se aumenta o número de sorteios Importante À medida que o número de sorteios aumenta elevase também o número de resultados fi nais possíveis Por exemplo com duas jogadas apenas três resultados fi nais existiam dois sim um sim e um não ou dois não Quadro 4 No caso de três jogadas existem quatro resultados possíveis Quadro 5 Já para quatro sorteios é possível encontrar cinco resultados fi nais distintos e dezesseis caminhos específi cos para se chegar a esses resultados Quadro 6 Importante A partir dos quadros 4 5 e 6 tornase possível montar gráficos que relacionem os resultados finais às probabilidades Assim a Figura 6 acompanha o Quadro 4 a Figura 7 acompanha o Quadro 5 e a Figura 8 acompanha o Quadro 6 Note que as probabilidades em cada quadro estão no formato de frações enquanto que nos gráficos em porcentagem Os referidos gráficos mostram portanto a distribuição binomial para dois três e quatro sorteios respectivamente Figura 6 Distribuição binomial para dois sorteios Fonte elaborada pelo professor conteudista Figura 7 Distribuição binomial para três sorteios Fonte elaborada pelo professor conteudista 21 UNIDADE Alguns Tipos de Distribuição de Probabilidade Discreta Figura 8 Distribuição binomial para quatro sorteios Fonte elaborada pelo professor conteudista No limite quando tivermos infinitos sorteios existirão infinitos retângulos com uma altura menor nos extremos e gradativamente maior quando nos aproximamos do meio da distribuição onde se encontram os subconjuntos de eventos de maior probabilidade A Figura 9 apresenta um exemplo dessa situação a qual contorna as alturas dos infinitos retângulos que existem abaixo da linha função como se esta estivesse marcando todas as alturas possíveis A partir de então não teremos mais uma distribuição de probabilidade discreta denominada distribuição binomial mas sim uma distribuição de probabilidade contínua denominada distribuição normal Figura 9 Distribuição normal infinitos sorteios Fonte elaborada pelo professor conteudista Considerações Finais Nesta Unidade foi possível acompanhar o desenvolvimento do estudo de distribuições de probabilidade discreta a partir da distribuição discreta uniforme da distribuição de Bernoulli e da distribuição binomial com a extensão para o início do estudo de distribuições de probabilidade contínua ao mostrar a formação de uma distribuição normal 22 23 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites Tribuna da Bahia FONSECA A Seca deixa um terço da Bahia em situação de emergência Disponível em httpsgooglzmllWV Administradores LEME J V Z Como usar a estatística para tomar melhores decisões Disponível em httpsgooglI9LTMm Livros Estatística Aplicada LARSON R FARBER B Estatística aplicada 2 ed São Paulo Prentice Hall 2004 Estatística Aplicada Administração Economia e Negócios SHARPE N R DE VEAUX R D VELLEMAN P F Estatística aplicada administração economia e negócios Porto Alegre RS Grupo A 2011 ebook 23 UNIDADE Alguns Tipos de Distribuição de Probabilidade Discreta Referências MORETTIN L G Estatística básica inferência São Paulo Pearson Makron Books 2005 SARTORIS A Estatística e introdução à Econometria São Paulo Saraiva 24