Distribuição de Probabilidade Contínua - Material Teórico

Econometria Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Bruno Leonardo Silva Tardelli Revisão Textual Prof Ms Luciano Vieira Francisco Distribuição de Probabilidade Contínua Introdução Função Densidade de Probabilidade Cálculo de Probabilidade e Função Densidade de Probabilidade Distribuição Normal Cálculo de Probabilidade e Distribuição Normal Considerações Finais Verificar como ocorre a identificação da probabilidade de um intervalo de valores em uma distribuição contínua com enfoque na distribuição normal Para o caso da distribuição normal o cálculo da probabilidade será apresentado através da padronização dos valores extremos de interesse da distribuição e uso da tabela de distribuição normal padronizada OBJETIVO DE APRENDIZADO Distribuição de Probabilidade Contínua Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como o seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas Entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discussão pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua Contextualização Figura 1 Fonte iStockGetty Images Enxergar uma formiga de longe pode ser uma tarefa difícil mas quando as formigas se juntam tornase possível Assim qual a relação disso às probabilidades de uma distribuição contínua 8 9 Introdução Uma distribuição de probabilidade discreta apresenta a forma de dispersão das probabilidades e os eventos mais prováveis de ocorrer Entretanto quando o assunto é uma distribuição de probabilidade contínua apesar de continuar a existir a análise da dispersão das probabilidades dos eventos possíveis individualmente a probabilidade de cada evento tende a zero Isto ocorre pelo fato de que em uma distribuição de probabilidade contínua existem infinitos eventos Ao comentar sobre uma distribuição de probabilidade contínua não se trata de uma jogada de cara ou coroa com estas duas possibilidades ou de uma jogada de um dado com seis possibilidades mas sim da probabilidade de sortear uma formiga entre milhões No limite é muito próximo de zero Considerando uma distribuição contínua apesar de o número exato de um evento qualquer apresentar probabilidade tendendo a zero em determinado intervalo será possível encontrar uma massa de probabilidade Tratase da tarefa desta Unidade trabalhar com a probabilidade de um intervalo de eventos envolvidos em uma distribuição de probabilidade contínua Além da Introdução e das Considerações finais este Material teórico está dividido em quatro seções a primeira seção apresenta o significado de uma função densidade de probabilidade na segunda seção é abordada a forma de cálculo de probabilidade no contexto de uma função densidade de probabilidade qualquer a terceira seção insere com alguma profundidade a distribuição normal por fim na quarta seção a distribuição normal é colocada na atmosfera do cálculo de probabilidade envolvendo áreas a partir da tabela de distribuição normal padronizada Função Densidade de Probabilidade Grosso modo uma Função Densidade de Probabilidade FDP diz respeito à função que encobre a massa total de probabilidade existente em uma distribuição de probabilidade contínua Como a soma das probabilidades é de 100 ou seja igual a 1 então a área total abaixo de uma FDP e acima do eixo horizontal eixo x será de 1 Por exemplo será que a função f x 1 x 8 com 0 x 4 e x pertencente ao conjunto dos números reais pode ser uma FDP A resposta é sim Como Vamos à explicação mais esmiuçada 9 UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua Antes de qualquer cálculo observe o seguinte gráfico Figura 1 Função densidade de probabilidade O gráfico acima foi construído com base em f x 1 x 8 com 0 x 4 Por exemplo se x é igual a 2 f x x 1 8 1 8 2 2 8 1 4 0 25 Calculemos agora a área total do gráfico entre o eixo x e a função f x 1 x 8 A área é de um triângulo retângulo de modo que o cálculo é base vezes altura dividido por 2 Área total do triângulo base x altura x 2 4 0 50 2 2 2 1 Ou seja a área total do triângulo inteiro que é igual a 1 representa que a probabilidade de em um sorteio encontrarmos qualquer valor real que esteja dentro do intervalo de 0 x 4 será de 100 100 100 1 Tal conclusão implica que a função f x 1 x 8 com 0 x 4 representa uma FDP Cálculo de Probabilidade e Função Densidade de Probabilidade A partir da função f x 1 x 8 com 0 x 4 e x pertencente ao conjunto dos números reais da seção anterior qual seria a probabilidade de sortearmos por exemplo um número de x entre 1 e 2 Para obter tal resultado devemos ter em 10 11 mente que a área calculada de intervalo de uma FDP representa a probabilidade de sortear um número qualquer dentro do trecho em questão No caso se o intervalo apontado é de x entre 1 e 2 devemos então calcular a área abaixo da função f x 1 x 8 e acima do eixo x entre os valores 1 e 2 Por meio da Figura 1 podemos observar que a área de x entre 1 e 2 é um trapézio Para tal condição fazse o seguinte cálculo Área do trapézio base maior base menor x altura 2 O cálculo do trapézio de x entre 1 e 2 possui altura 1 e bases maior e menor sendo 025 e 0125 respectivamente Assim denominando a área de f x 1 x 8 com 1 x 2 de B teremos B x 0 25 0 125 1 2 0 375 2 0 1875 Ou seja a probabilidade de sortearmos um número entre 1 e 2 a partir da função densidade de probabilidade f x 1 x 8 com 0 x 4 e x pertencente ao conjunto dos números reais é de 1875 Distribuição Normal Entre os tipos de FDP existe uma função que representa o formato da distribui ção normal Tal distribuição normal é uma distribuição contínua que pode derivar de uma distribuição binomial Quando o número de eventos possíveis de uma distribuição binomial se eleva os eventos desta tendem a se unir de modo a formar uma distribuição contínua em formato de sino a qual foi denominada distribuição normal ou gaussiana A FDP que simboliza a distribuição normal é dada por f x e x 1 2 2 2 2 2 πσ µ σ De modo que x N µ σ ou seja x segue uma distribuição normal com média μ e desviopadrão σ 11 UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua A distribuição normal tem por característica apresentar o formato de sino com média centrada no meio da distribuição ou seja a média da distribuição é igual à mediana Outro aspecto importante é que a distribuição é simétrica de modo que o lado esquerdo e o lado direito são espelhos um do outro Por fim cabe também destacar o fato de termos uma maior massa de probabilidade concentrada ao redor da média a qual diminui à medida que caminhamos para os extremos Isto simboliza que conjuntos de eventos com menores probabilidades de ocorrência estão nos extremos dessa distribuição e conjuntos de eventos com maior probabilidade estão mais próximos da média da distribuição A média da distribuição normal define onde está o centro da distribuição e o desviopadrão aponta como os eventos se dispersam de modo que quanto maior o desviopadrão mais dispersa espalhada estará a distribuição Compare as figuras 2 e 3 A Figura 3 apresenta maior dispersão de modo que possui desvio padrão maior que a Figura 2 assim como maior variância por consequência Observe novamente as figuras 2 e 3 as quais simbolizam uma distribuição normal com média e desviopadrão qualquer Cada variável e população podem ter uma média e desviopadrão distintos Imagine ter de calcular a FDP da distribuição normal inserindo nesta um μ e σ distintos de acordo com a necessidade do momento Sim seria uma tarefa complexa não desanime pois podemos percorrer um atalho para atingir nossos objetivos Figura 2 Distribuição normal Figura 3 Distribuição normal Na prática o que se faz para calcular a probabilidade de qualquer intervalo envolvendo uma distribuição normal é de sempre convertêla em uma distribuição normal com média µ 0 e desviopadrão σ 1 além de observar a tabela normal padronizada a qual estudaremos na próxima seção Veja a Figura 4 que representa uma distribuição normal padrão ou seja N 0 1 12 13 Probability Density 00 3 2 1 0 1 2 3 01 02 03 04 Figura 4 Distribuição normal padronizada Cálculo de Probabilidade e Distribuição Normal A distribuição normal possui inúmeras aplicações no estudo da Econometria Neste momento nos reservaremos a exemplos mais simples para haver o entendimento de usos gerais dessa distribuição Vamos agora realizar um exercício para aplicar exemplos Imagine que os lucros anuais de uma firma seguem uma distribuição normal com média de R 750 e desviopadrão de R 150 A partir somente dessas informações calcule a probabilidade de em um dado ano os lucros a Serem menores que R 75150 b Estarem entre R 525 e R 84150 c Estarem entre R 825 e R 900 d Serem maiores que R 900 Antes de iniciar a solução do exemplo observe o formato da distribuição normal apresentada no enunciado por meio da seguinte figura Probability Density 00000 200 400 600 800 η750 1000 1200 00010 00020 Figura 5 13 Observe que a média de R 750 se apresenta exatamente na mediana da distribuição ou seja na linha que divide em metade o número de eventos da direita e da esquerda Entretanto para cálculo da probabilidade de qualquer intervalo de eventos utilizando os lucros anuais a forma mais fácil é a transformação da variável lucros anuais em uma variável z cuja média é 0 e o desviopadrão é 1 Importante Com a transformação de qualquer variável com distribuição normal em uma variável z cuja distribuição normal padronizada ou seja N01 precisamos apenas conhecer essa variável para saber das probabilidades que desejamos encontrar independentemente de qual variável e valores estiverem contidos no enunciado Para a transformação da distribuição dos lucros anuais que seguem N750150 em uma distribuição N01 devemos realizar o seguinte cálculo z X μ σ Em que X é um valor que queiramos padronizar μ é o valor médio da variável X e σ é o desviopadrão dos eventos possíveis No caso do exercício dos lucros anuais podemos converter qualquer valor de lucro anual possível de ocorrer em uma distribuição z a qual segue N01 ou seja uma normal com média 0 e desviopadrão 1 Por exemplo suponhamos que temos por objetivo converter o valor R 750 da distribuição normal dos lucros anuais em uma distribuição z Para isto basta aplicar a equação anterior de modo que z X μ σ 750 750 150 0 150 0 Ou seja transformamos a média 750 em uma média 0 e então a mediana da distribuição normal é 0 ao invés de R 750 Para qualquer outro valor presente na distribuição normal dos lucros anuais a mesma operação poderia ser realizada A figura a seguir mostra como seria representada a nova distribuição de probabilidades note que agora as probabilidades estão em função dos valores de z e não mais dos lucros anuais 15 Probability Density η0 3 2 1 0 1 2 3 00 01 02 03 04 Figura 6 Ao longo do exercício em todos os cálculos intermediários serão utilizadas 4 casas decimais após a vírgula quando necessário Note que a tabela da distribuição z distribuição normal padronizada está anexada a este Material teórico Resolução Comentada a Serem menores do que R 75150 Resposta comentada O problema a ser solucionado está de acordo com a Figura a seguir Esta apresenta os lucros anuais seguindo uma distribuição normal com média de R 750 e desviopadrão de R 150 ou seja lucros anuais N 750 150 Pedese para avaliar a probabilida de de os lucros anuais serem meno res do que R 75150 a qual é re presentada pela Figura a seguir de modo que o objetivo é calcular a área em azul Entretanto a fim de facilitar o cálculo podese recorrer à padro nização da distribuição normal e transformála de lucros anuais em uma variável z a qual seguirá uma distribuição normal com média 0 e desviopadrão igual a 1 ou seja N 0 1 Com o intuito de padronizar a distribuição dos lucros anuais recorrese ao valor do extremo solicitado Neste exercício pedese a probabilidade de os lucros anuais serem menores que R 75150 A tarefa será a de transformar este valor extremo em um valor da variável z Para tal tome o valor de R 75150 subtraia o valor da média 750 e divida pelo desviopadrão 150 como é apresentado a seguir z X µ σ 751 50 750 150 1 50 150 0 01 Probability Density 00000 200 400 600 800 η7515 1000 1200 00010 00020 Figura 7 15 UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua A partir deste procedimento a distribuição foi transformada em uma distribuição normal com média 0 e desviopadrão 1 conforme a seguinte Figura Probability Density η001 3 2 1 0 1 2 3 00 01 02 03 04 Figura 8 O valor z 0 01 representa o valor de R 75150 A partir do qual podese calcular a área em azul a qual representa todos os valores possíveis abaixo de R 75150 A tabela z é a tabela da distribuição normal padronizada e está presente ao final deste Material teórico Nesta podese encontrar o valor 001 Para tal observe o valor 00 na primeira coluna da tabela e o número 1 no eixo horizontal O valor correspondente no miolo da tabela é o 0004 Este número representa a área da distribuição normal padronizada entre a média 0 e o valor 001 que é a mesma área da distribuição dos lucros anuais entre R 750 e R 75150 Entretanto o objetivo original é observar a probabilidade dos lucros anuais serem menores do que R 75150 ou da mesma forma z ser menor que 001 P lucros anuais P z 751 50 0 01 Lembrese que cada metade média e mediana da distribuição normal possui 50 de área o que é o mesmo que dizer que a probabilidade de sair um valor de lucro anual menor que R 750 ou z menor que 0 é de 50 ou seja 050 Assim se a área 0 0 01 z é 0004 e z 0 é igual a 050 somando as duas áreas temse que P lucros anuais P z P z 751 50 0 01 0 50 0 0 01 0 50 0 004 0 504 Ou seja a probabilidade de os lucros anuais serem menores que R 75150 é de aproximadamente 5040 16 17 b Estarem entre R 525 e R 84150 Resposta comentada O problema a ser solucionado está de acordo com a Figura a seguir Esta apresenta os lucros anuais seguindo uma distribuição normal com média de R 750 e desviopadrão de R 150 ou seja lucros anuais N 750 150 Pedese para avaliar a probabilidade de os lucros anuais estarem entre R 525 e R 84150 a qual é representada pela Figura a seguir de modo que o objetivo é calcular a área em azul Entretanto a fim de facilitar o cálculo podese recorrer à padronização da distribuição normal e transformála de lucros anuais em uma variável z a qual seguirá uma distribuição normal com média 0 e desviopadrão igual a 1 ou seja N 0 1 Probability Density 00000 200 400 600 800 η525 η8415 1000 1200 00010 00020 Figura 9 Com o intuito de padronizar a distribuição dos lucros anuais recorrese aos valores dos extremos solicitados Neste exercício pedese a probabilidade de os lucros anuais estarem entre R 525 e R 84150 A tarefa será a de transformar esse valor extremo em um valor da variável z Para tanto tome os valores 525 e 84150 subtraiaos pelo valor da média 750 e os divida pelo desviopadrão 150 como é apresentado a seguir z X 1 525 750 150 225 150 1 50 µ σ z X 2 841 50 750 00 150 91 50 150 0 61 µ σ A distribuição normal dos lucros anuais foi transformada em uma distribuição normal padronizada z N 0 1 tal como realizado no item anterior do exercício Como são dois extremos sendo considerados os chamamos de z1 e z2 na Figura a seguir estão representados por η1 5 e η0 61 respectivamente 17 UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua Probability Density 3 2 1 0 1 2 3 00 01 02 03 04 η15 η061 Figura 10 O valor z1 1 5 representa o valor de R 525 enquanto z2 0 61 representa o de R 84150 A partir de z1 e z2 é possível calcular a área em azul a qual representa a probabilidade dos lucros anuais estarem entre R 525 e R 84150 A tabela z é a tabela da distribuição normal padronizada e está presente ao final deste Material teórico Observe que na tabela não é possível encontrar valores negativos de z Isso ocorre pelo fato de a distribuição normal ser simétrica de modo que os valores negativos de z são simétricos aos positivos Assim como a tabela parte do cálculo da área a partir de z igual a zero a área entre 1 50 0 z e 0 1 50 z é a mesma Importante A contagem da área para este item será calculada em duas partes com uma soma das áreas dessas dado que a distribuição normal padrão parte de z igual a zero a qual corta a área em azul Além disso na tabela observaremos os valores de z iguais a 150 e a 061 Importante Para encontrar o valor 150 note o valor 15 na primeira coluna da tabela e o número 0 no eixo horizontal O valor correspondente no miolo da tabela é 04332 Este número representa a área da distribuição normal padronizada entre a média 0 e o valor 150 o mesmo que calcular a área entre 150 e 0 correspondentes à área da distribuição dos lucros anuais entre R 525 e R 750 O valor 061 indica a área da distribuição normal padronizada entre 0 e 061 a qual implica na área entre R 750 e R 84150 Observe o valor 06 na primeira coluna da tabela e o número 1 no eixo horizontal O valor correspondente no miolo da tabela é 02261 Este número representa a área da distribuição normal padronizada entre a média 0 e o valor 061 18 19 Ao querermos encontrar a probabilidade de os lucros anuais estarem entre R 525 e R 84150 temos por objetivo formal calcular P lucros anuais P z P z P 525 841 50 1 5 0 61 1 5 0 0 z P z P z 0 61 0 1 5 0 0 61 0 4332 0 2261 0 6593 Ou seja a probabilidade de os lucros anuais estarem entre R 525 e R 84150 é de aproximadamente 6593 c Estarem entre R 825 e R 900 Resposta comentada A probabilidade de os lucros estarem entre R 825 e R 900 está representada na Figura a seguir em azul Para calcular essa probabilidade devemos encontrar os valores de z z1 e z2 correspondentes a R 825 e R 900 Probability Density 00000 200 400 600 800 η825 η900 1000 1200 00010 00020 Figura 11 As equações a seguir transformam estes valores extremos da massa de área em azul z X 1 825 750 150 75 150 0 50 µ σ z X 2 900 750 00 150 150 150 1 00 µ σ 19 UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua Probability Density η05 η1 3 2 1 0 1 2 3 00 01 02 03 04 Figura 12 Agora os valores dos extremos são z1 0 50 e z2 1 00 Para encontrar a probabilidade de os lucros anuais estarem entre R 825 e R 900 temos que calcular a área de z entre z1 0 50 e z2 1 00 Em primeiro lugar devemos consultar a tabela de distribuição normal padrão Nesta localizamos a área de z entre 0 e 050 ou seja encontramos z1 0 50 Para tal encontre o número 05 na primeira coluna e 0 na primeira linha O correspondente número no miolo da tabela é 01915 Assim a P z 0 0 50 é de 01915 Note que essa área corresponde ao cálculo da probabilidade de os lucros anuais estarem entre R 750 e R 825 dado que a mediana da distribuição normal evento que divide igualmente os eventos possíveis é de R 750 para o caso da distribuição dos lucros anuais e 0 para a distribuição normal padronizada Em segundo lugar devemos consultar a tabela de distribuição normal para encontrarmos z2 1 00 Para tal encontre o número 10 na primeira coluna e 0 na primeira linha O correspondente número no miolo da tabela é 03413 Assim a P z 0 1 00 é de 03413 Note que essa área corresponde ao cálculo da probabilidade de os lucros anuais estarem entre R 750 e R 900 Apesar desses cálculos ainda não calculamos o objetivo inicial que é o da probabilidade de os lucros anuais estarem entre R 825 e R 900 ou seja P z 0 50 1 00 Entretanto se P z 0 0 50 é de 01915 e P z 0 1 00 é de 03413 então P z 0 50 1 00 será a diferença entre os quais Tratase de um exercício de Geometria Um dos extremos tem área 0 1 00 z de 03413 ver η1 na Figura anterior e o outro 0 0 50 z que é igual a 01915 ver extremo η0 5 na Figura anterior Assim a área em azul é a diferença entre os quais Formalmente P lucros anuais P z P z 825 900 0 1 00 0 0 50 0 3413 0 1915 0 1498 20 21 Ou seja a probabilidade de os lucros anuais estarem entre R 825 e R 900 é de aproximadamente 1498 d Serem maiores que R 900 Resposta comentada A probabilidade de os lucros serem maiores que R 900 está representada na Figura a seguir em azul Para calcular essa probabilidade devemos encontrar o valor de z correspondente a R 900 Probability Density 00000 200 400 600 800 η900 1000 1200 00010 00020 Figura 13 Com o intuito de padronizar a distribuição dos lucros anuais recorrese ao valor do extremo solicitado Neste exercício pedese a probabilidade de os lucros anuais serem maiores que R 900 A tarefa será a de transformar esse valor extremo em um valor da variável z Para tanto tome o valor 900 subtraia o valor da média 750 e divida pelo desviopadrão 150 como é apresentado a seguir z X µ σ 900 750 150 150 150 1 00 A partir deste procedimento a distribuição foi transformada em uma distribuição normal com média 0 e desviopadrão 1 conforme a Figura a seguir note que z 1 00 já havia sido encontrado e somente foi repetido para fins didáticos Probability Density η1 3 2 1 0 1 2 3 00 01 02 03 04 Figura 14 21 UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua Na tabela z tabela da distribuição normal padronizada podese encontrar o valor 100 Para tanto observe o valor 10 na primeira coluna da tabela e o número 0 no eixo horizontal O valor correspondente no miolo da tabela é 03413 Este número representa a área da distribuição normal padronizada entre a média 0 e o valor 100 a qual é a mesma área da distribuição dos lucros anuais entre R 750 e R 900 Entretanto o objetivo original é observar a probabilidade de os lucros anuais serem maiores que R 900 ou da mesma forma z ser menor que 001 P lucros anuais P z 900 1 00 Lembrese que cada metade média e mediana da distribuição normal possui 50 de área o mesmo que dizer que a probabilidade de sair um valor de lucro anual maior que 750 ou z maior que 0 é de 50 ou seja 050 Assim se a área 0 1 00 z é 03413 e 0 z é igual a 050 subtraindo a área da P 0 z que é igual 050 ou seja 50 da área da P z 0 1 00 que é igual a aproximadamente 03413 temse que a área entre 1 00 z é igual a aproximadamente 01587 Formalmente P lucros anuais P z P P z z 900 1 00 0 0 1 00 0 50 P z 0 1 00 0 50 0 34143 0 1587 Ou seja a probabilidade de os lucros anuais serem maiores que R 900 é de aproximadamente 1586 Considerações Finais A partir deste Material teórico foi possível verificar como ocorre a identificação da probabilidade de um intervalo de valores em uma distribuição contínua com enfoque na distribuição normal Para o caso da distribuição normal uma forma que facilita o cálculo da probabilidade é através da padronização dos valores extremos de interesse da distribuição e uso da tabela de distribuição normal padronizada Assim estudar o comportamento de uma distribuição de probabilidade é entender as possibilidades de cada evento ou intervalo de eventos 22 23 Um economista para tomar suas decisões precisa entender as chances de os eventos ocorrerem já que isto faz parte de sua tarefa fundamental Anexo Tabela de Distribuição Normal Padronizada Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00 00000 00040 00080 00120 00160 00199 00239 00279 00319 00359 01 00398 00438 00478 00517 00557 00596 00636 00675 00714 00753 02 00793 00832 00871 00910 00948 00987 01026 01064 01103 01141 03 01179 01217 01255 01293 01331 01368 01406 01443 01480 01517 04 01554 01591 01628 01664 01700 01736 01772 01808 01844 01879 05 01915 01950 01985 02019 02054 02088 02123 02157 02190 02224 06 02257 02291 02324 02357 02389 02422 02454 02486 02517 02549 07 02580 02611 02642 02673 02704 02734 02764 02794 02823 02852 08 02881 02910 02939 02967 02995 03023 03051 03078 03106 03133 09 03159 03186 03212 03238 03264 03289 03315 03340 03365 03389 10 03413 03438 03461 03485 03508 03531 03554 03577 03599 03621 11 03643 03665 03686 03708 03729 03749 03770 03790 03810 03830 12 03849 03869 03888 03907 03925 03944 03962 03980 03997 04015 13 04032 04049 04066 04082 04099 04115 04131 04147 04162 04177 14 04192 04207 04222 04236 04251 04265 04279 04292 04306 04319 15 04332 04345 04357 04370 04382 04394 04406 04418 04429 04441 16 04452 04463 04474 04484 04495 04505 04515 04525 04535 04545 17 04554 04564 04573 04582 04591 04599 04608 04616 04625 04633 18 04641 04649 04656 04664 04671 04678 04686 04693 04699 04706 19 04713 04719 04726 04732 04738 04744 04750 04756 04761 04767 20 04772 04778 04783 04788 04793 04798 04803 04808 04812 04817 21 04821 04826 04830 04834 04838 04842 04846 04850 04854 04857 22 04861 04864 04868 04871 04875 04878 04881 04884 04887 04890 23 04893 04896 04898 04901 04904 04906 04909 04911 04913 04916 24 04918 04920 04922 04925 04927 04929 04931 04932 04934 04936 25 04938 04940 04941 04943 04945 04946 04948 04949 04951 04952 26 04953 04955 04956 04957 04959 04960 04961 04962 04963 04964 27 04965 04966 04967 04968 04969 04970 04971 04972 04973 04974 28 04974 04975 04976 04977 04977 04978 04979 04979 04980 04981 29 04981 04982 04982 04983 04984 04984 04985 04985 04986 04986 30 04987 04987 04987 04988 04988 04989 04989 04989 04990 04990 31 04990 04991 04991 04991 04992 04992 04992 04992 04993 04993 32 04993 04993 04994 04994 04994 04994 04994 04995 04995 04995 33 04995 04995 04995 04996 04996 04996 04996 04996 04996 04997 34 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04998 35 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 23 UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Livros Inferência Estatística CASELLA G BERGER R Inferência estatística São Paulo Cengage Learning 2010 Estatística aplicada à Administração e Economia DOANE D P SEWARD L E Estatística aplicada à Administração e Economia Porto Alegre RS Grupo A 2012 Estatística aplicada LARSON R FARBER B Estatística aplicada 2 ed São Paulo Prentice Hall 2004 Estatística para Administração e Economia MCCLAVE J T BENSON P G SINCICH T Estatística para Administração e Economia 10 ed São Paulo Pearson 2009 Probabilidade MEYER P L Probabilidade 2 ed São Paulo LTC 2000 24 25 Referências MORETTIN L G Estatística básica inferência São Paulo Pearson Makron Books 2005 SARTORIS A Estatística e introdução à Econometria São Paulo Saraiva 2003 25 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional