Apresentação da Equipe de Professores do Claretiano Rede de Educação

Fazemos parte do Claretiano Rede de Educação LÓGICA II Meu nome é Luís Fernando Crespo Sou doutorando em Filosofia pela Pontifícia Universidade Católica de Campinas possuo graduação em Filosofia Bacharelado e mestrado em Filosofia Ética por essa mesma universidade Tenho experiência na área de Filosofia com ênfase em Ética atuando principalmente nos seguintes temas Lógica Ética Estética Sociedade e Ciência Tenho experiência também na Educação Presencial e a Distância além de vasta experiência no ensino de Filosofia para Ensinos Fundamental e Médio Meu nome é Renato Rodrigues Kinouchi Sou bacharel em Psicologia e Psicólogo pela Universidade Federal de São Carlos doutor em Filosofia também pela Universidade Federal de São Carlos e pósdoutorando em Filosofia da Ciência pela Universidade de São Paulo Atualmente sou professor adjunto da Universidade Federal do ABC Tenho experiência nas áreas de Filosofia da Ciência Epistemologia e Ensino de Ciências Dentre os temas de pesquisa incluem se Ciência e Valores Pragmatismo Filosofia e História da Psicologia Vieses Cognitivos Também sou colunista da seção Lógica na Revista Discutindo Filosofia que é vendida em bancas de jornal Email rekinouchiyahoocombr Claretiano Centro Universitário Rua Dom Bosco 466 Bairro Castelo Batatais SP CEP 14300000 ceadclaretianoedubr Fone 16 36601777 Fax 16 36601780 0800 941 0006 wwwclaretianobtcombr Meu nome é Ricardo Matheus Benedicto Sou graduado e mestre em Filosofia pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo e doutorando em Educação pela Universidade de São Paulo Além de lecionar no Claretiano Centro Universitário sou professor da rede pública lecionando para Ensinos Fundamental e Médio Email ricardobenedictoclaretianoedubr O Claretiano Centro Universitário agradece ao Prof Juan Antonio Acha graduado em Licenciatura em Filosofia pelo Claretiano e especialista em Gestão e Filosofia pelo apoio na elaboração de Questões Autoavaliativas explicativas desta obra Luis Fernando Crespo Renato Rodrigues Kinouchi Ricardo Matheus Benedicto Batatais Claretiano 2016 LÓGICA II Ação Educacional Claretiana 2012 Batatais SP Todos os direitos reservados É proibida a reprodução a transmissão total ou parcial por qualquer forma eou qualquer meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação e distribuição na web ou o arquivamento em qualquer sistema de banco de dados sem a permissão por escrito do autor e da Ação Educacional Claretiana CORPO TÉCNICO EDITORIAL DO MATERIAL DIDÁTICO MEDIACIONAL Coordenador de Material Didático Mediacional J Alves Preparação Aline de Fátima Guedes Camila Maria Nardi Matos Carolina de Andrade Baviera Cátia Aparecida Ribeiro Dandara Louise Vieira Matavelli Elaine Aparecida de Lima Moraes Josiane Marchiori Martins Lidiane Maria Magalini Luciana A Mani Adami Luciana dos Santos Sançana de Melo Patrícia Alves Veronez Montera Raquel Baptista Meneses Frata Rosemeire Cristina Astolphi Buzzelli Simone Rodrigues de Oliveira Revisão Cecília Beatriz Alves Teixeira Eduardo Henrique Marinheiro Felipe Aleixo Filipi Andrade de Deus Silveira Juliana Biggi Paulo Roberto F M Sposati Ortiz Rafael Antonio Morotti Rodrigo Ferreira Daverni Sônia Galindo Melo Talita Cristina Bartolomeu Vanessa Vergani Machado Projeto gráfico diagramação e capa Bruno do Carmo Bulgarelli Eduardo de Oliveira Azevedo Joice Cristina Micai Lúcia Maria de Sousa Ferrão Luis Antônio Guimarães Toloi Raphael Fantacini de Oliveira Tamires Botta Murakami Videoaula Fernanda Ferreira Alves José Lucas Viccari de Oliveira Marilene Baviera Renan de Omote Cardoso Bibliotecária Ana Carolina Guimarães CRB7 6411 DADOS INTERNACIONAIS DE CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil 160 C94L Crespo Luis Fernando Lógica II Luis Fernando Crespo Renato Rodrigues Kinouchi Ricardo Matheus Benedicto Batatais SP Claretiano 2016 163 p ISBN 9788583774815 1 Cálculo proporcional 2 Método dedutivo 3 Provas formais 4 Cálculo de predicados I Kinouchi Renato Rodrigues II Benedicto Ricardo Matheus III Lógica II CDD 160 INFORMAÇÕES GERAIS Cursos Graduação Título Lógica II Versão ago2016 Formato 15x21 cm Páginas 163 páginas SUMÁRIO CONTEÚDO INTRODUTÓRIO 1 INTRODUÇÃO 9 2 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO 11 3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 35 Unidade 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA 1 OBJETIVOS 37 2 CONTEÚDOS 37 3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE 37 4 INTRODUÇÃO 41 5 PROPOSIÇÕES 42 6 CONECTIVOS E TABELAS DE VERDADE 45 7 TEXTOS COMPLEMENTARES 52 8 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS 53 9 CONSIDERAÇÕES 64 10 eReFeRÊnCiaS 65 11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 65 Unidade 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS 1 OBJETIVOS 67 2 CONTEÚDOS 67 3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE 68 4 INTRODUÇÃO 68 5 TABELA DE VERDADE 69 6 PROVA DE VALIDADE 72 7 TAUTOLOGIAS CONTRADIÇÕES CONTINGÊNCIAS IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICA 75 8 DEDUÇÃO NATURAL 80 9 TEXTOS COMPLEMENTARES 87 10 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS 89 11 CONSIDERAÇÕES 94 12 eReFeRÊnCiaS 95 13 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 95 Unidade 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS 1 OBJETIVOS 97 2 CONTEÚDOS 97 3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE 97 4 INTRODUÇÃO 99 5 A LINGUAGEM DO CÁLCULO DE PREDICADOS 100 6 QUANTIFICADORES 103 7 TEXTO COMPLEMENTAR 105 8 QUESTÕES AUTOVALIATIVAS 108 9 CONSIDERAÇÕES 110 10 eReFeRÊnCiaS 111 11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 111 Unidade 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO 1 OBJETIVOS 113 2 CONTEÚDOS 113 3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE 113 4 INTRODUÇÃO 119 5 PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 119 6 PROBLEMA ONTOLÓGICO 122 7 TEXTOS COMPLEMENTARES 127 8 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS 131 9 CONSIDERAÇÕES 134 10 eReFeRÊnCia 134 11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 135 Unidade 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE 1 OBJETIVO 137 2 CONTEÚDOS 137 3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE 137 4 INTRODUÇÃO 139 5 REGRAS PARA QUANTIFICADORES 139 6 TEXTO COMPLEMENTAR 145 7 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS 155 8 CONSIDERAÇÕES FINAIS 161 9 eReFeRÊnCia 162 10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 162 9 CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Conteúdo Cálculo Proposicional proposições e conectivos análise de proposições compostas operações com proposições tabelas de verdade teste de validade Método dedutivo e Provas Formais Cálculo de Predicados tradução para a língua do cálculo quantificadores o Problema Ontológico e provas formais 1 INTRODUÇÃO Seja bemvindo a Lógica II Provavelmente você já estudou sobre os princípios da Ló gica Formal como o que são premissas e seus indicadores como se organizam os argumentos categórico hipotético e dedutivo Estudou também sobre a Lógica Formal Clássica e a oposição de proposições categóricas bem como as noções de indução e dedução Esses estudos capacitaram você para dar prossegui mento ao estudo da Lógica Simbólica Tratase de um dos ramos da Filosofia que mais se desenvolveu a partir do século 19 Com esta obra você entrará no terreno da Lógica Simbólica conteúdo imprescindível na sua formação acadêmicofilosófica pois con tribuirá para a formação do pensar dos futuros educandos 10 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO O que você vai aprender O conteúdo programático foi dividido em cinco unidades Na Unidade 1 você conhecerá o tópico referente às ques tões preliminares sobre a Lógica Simbólica em que você vai co nhecer as noções básicas relacionadas à lógica como os Princí pios da Não Contradição e do Terceiro Excluído os Valores da Verdade as proposições simples e compostas os conectivos e Tabelas de Verdade Na Unidade 2 trataremos da validade de argumentos e você aprenderá a utilizar as Tabelas de Verdade para demonstrar a validade ou invalidade de argumentos Para isso você aprende rá os princípios de Tautologia Contradição e Contingência Na Unidade 3 você estudará a sintaxe do Cálculo de Predi cados que é o cerne da Lógica Clássica Procuraremos também traduzir proposições de linguagem ordinária para a linguagem do Cálculo de Predicados Teremos a oportunidade de conhecer e aprofundar as constantes individuais e de predicados as variá veis individuais e os quantificadores Na Unidade 4 trataremos das proposições categóricas na linguagem do Cálculo de Predicados procurando traduzir essas proposições para a linguagem do Cálculo de Predicados Alguns temas serão objeto de nossa reflexão tais como quadro tradi cional de oposição Problema Ontológico e a resposta de Russel a essa questão e às novas relações do quadro tradicional de oposição Na Unidade 5 vamos procurar demonstrar a validade no Cálculo de Predicados Vamos estudar e aplicar as regras de in ferência a introdução e a eliminação do universal bem como a introdução e a eliminação do existencial 11 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Esperamos que você atinja os objetivos propostos e me diante pesquisa e estudo da bibliografia indicada vá além e aprofunde mais os seus conhecimentos de Lógica Simbólica pro curando sobretudo aplicálos na prática de seu dia a dia e no exercício profissional 2 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO Abordagem Geral Prof Ms Luís Fernando Crespo Neste tópico apresentase uma visão geral do que será estudado nesta obra Aqui você entrará em contato com os as suntos principais deste conteúdo de forma breve e geral e terá a oportunidade de aprofundar essas questões no estudo de cada unidade Desse modo essa Abordagem Geral visa fornecerlhe o conhecimento básico necessário a partir do qual você possa construir um referencial teórico com base sólida científica e cultural para que no futuro exercício de sua profissão você a exerça com competência cognitiva ética e responsabilidade social Vamos começar nossa aventura pela apresentação das ideias e dos princípios básicos que fundamentam esta obra Para apresentar esta obra que não é nenhum bicho de sete cabeças é preciso retomar alguns dos conceitos importan tes estudados anteriormente Desse modo é importante relem brar que um dos objetivos da Lógica consiste em saber avaliar a validade de argumentos Assim fazse necessário recordar que argumento pode ser entendido como sinônimo de raciocínio e se define como um conjunto de proposições em que encontramos premissas e conclusão Recordemos também que premissas são 12 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO justificativas que apresentamos para uma determinada conclu são e que um argumento não é verdadeiro ou falso mas válido ou inválido Verdade e falsidade são atributos das proposições A Lógica que tem sua origem na Filosofia com Aristóte les passou a fazer parte de várias outras áreas do conhecimen to devido à sua grande importância Assim cada ramo acabou acrescentando noções regras e maneiras de trabalhar com os exercícios lógicos Neste estudo trataremos de uma disciplina da Filosofia chamada de Lógica Simbólica também conhecida como Lógi ca Matemática Para quem acreditava que a Teoria do Silogismo se assemelha muito mais à Matemática que à Filosofia verá que agora sim nossos estudos parecerão mais matemáticos ainda principalmente por sua exatidão Dentro da Lógica Simbólica veremos de maneira especial o Cálculo Proposicional Aqui encontraremos um tipo de raciocínio iniciado por George Boole que aplica os métodos algébricos Matemática à Lógica do Discurso Assim trataremos de argumentos e proposições a partir do Cálculo Algébrico Trataremos de uma Lógica que trabalha com símbolos Daí você pode questionar a necessidade de se trabalhar com símbo los será que existe mesmo tal necessidade Convidamos você a enxergar a dificuldade que existe no trabalho com argumentos na linguagem usual não simbólica Imagine a partir das grandes diferenças linguísticas como seria difícil tratar de um mesmo argumento em português depois em inglês alemão japonês etc Pense como seria calcular pois é 13 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO isso o que faremos a validade de um argumento com tais dife renças linguísticas Daí a utilidade dos símbolos Um simples exemplo é ver a diferença de dificuldades um filósofo e um matemático brasileiros que devem resolver pro blemas em suas áreas sendo que tudo está em alemão Was heisst denken 4x43x2x 713 Como o matemático se utiliza de linguagem simbólica será mais fácil para ele entender o que se passa A linguagem pelos símbolos é muito mais simples Temos tal linguagem como a superação de obstáculos Para este estudo é muito importante que você já tenha as noções básicas de Lógica por exemplo 1 Argumento 2 Premissas 3 Conclusão 4 Proposições Categóricas O que é um argumento Como identificar as premissas e conclusão Quais são as proposições categóricas e que relações existem entre elas Mesmo que voltemos aqui a ver algumas definições é im portante que se tenha em mente o conteúdo inicial de Lógica O objetivo principal deste estudo é dar condições de ava liar um argumento se ele é válido ou não Lembrese de que ra ciocinar corretamente significa construir raciocínios válidos Na verdade você terá condições de construir as chamadas provas formais de validade 14 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Para falar diretamente então do conteúdo deste nosso es tudo tenhamos em mente o argumento Você se lembra o que é ele Argumento é uma série de proposições uma delas é a con clusão tese defendida e as outras são as evidências premissas oferecidas em apoio à conclusão Mas o que são as proposições São sentenças que podem ser descritas com sentido como verdadeiras V ou falsas F e apenas um destes ou seja é sempre um predicado que é atribuí do a um sujeito e ele pode ser verdadeiro ou falso Veja agora um argumento apenas para que você o obser ve pois trataremos dele a seguir O argumento é o seguinte 1 Existe mal no mundo 2 Se existe mal no mundo Deus não pode evitar o mal ou Deus não quer evitar o mal 3 Se Deus não pode evitar o mal Deus não é onipotente 4 Se Deus não quer evitar o mal Deus não é benevolente 5 Portanto Deus não é onipotente ou Deus não é benevolente Por agora apenas pense sobre ele pois tentaremos mos trar algumas atividades lógicas por meio desse argumento Mas você acha que ele é válido ou não Você não deve se desesperar pois nesta Abordagem Geral apenas falaremos brevemente de toda a conceituação e do Cál culo de Proposições somente para mostrar quais são os conteú dos você terá tempo para entender calmamente Quando falamos do argumento dizemos que ele pode ser válido ou contraválido inválido ou não válido Diferentemente de uma proposição apenas podemos dizer que ela é verdadeira 15 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO ou falsa O que significa isso Uma proposição é verdadeira se aquilo que ela afirma ocorre de fato se ela não é verdadeira ela é falsa você se lembra do Princípio do Terceiro Excluído Mas e o argumento válido o que é Podemos responder de várias maneiras Ele é válido Se suas premissas sustentam plenamente sua conclusão Se a verdade da conclusão segue da verdade das premissas Se não podemos afirmar de premissas verdadeiras uma conclusão falsa Preste atenção agora em algo muito simples e muito im portante o argumento apenas será contraválido quando suas premissas forem verdadeiras e sua conclusão for falsa A seguir temos um simples quadro de dedução PREMISSAS V F F V CONCLUSÃO V F V F Só podemos ter essas combinações de valores entre pre missas e conclusão de um argumento lembrando que a última combinação VF indica um argumento contraválido E qualquer proposição seja premissa ou conclusão será atômica quando apresentar um enunciado simples ou molecu lar quando apresentar um enunciado composto Por exemplo Proposição Atômica chove Proposição Molecular chove e fico resfriado Com esses tipos de proposição é que trabalharemos neste estudo 16 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Mas até agora tudo o que falamos serviu apenas como introdução pois ainda não vimos nada de simbólico A partir da qui ficará mais claro o que se explica Vejamos alguns exemplos de símbolos p q r s P Q R S Os símbolos que usamos para as proposições são sempre letras e normalmente partimos das seguintes letras p q r s Letras minúsculas designam sempre proposições atômicas en quanto as maiúsculas designam proposições moleculares A proposição chove é uma proposição atômica vamos chamála de p a proposição fico resfriado é uma proposição atômica que chamaremos de q Mas se eu juntar essas duas teremos uma proposição molecular a proposição chove e fico resfriado chamaremos de R Assim toda proposição pode ser transformada simbolica mente apenas é preciso prestar muita atenção para fazer a tra dução simbólica corretamente Chove p Fico resfriado p Chove e fico resfriado R Observe que quando juntamos as duas usamos um co nectivo entre elas A proposição é chove e fico resfriado por tanto é preciso que também essa conexão seja simbolizada Daí temos também símbolos para os conectivos por exemplo para o conectivo e temos este símbolo Conectivo e Então veja como fica a proposição chove e fico resfriado p q Assim temos a proposição escrita simbolicamente 17 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Você entendeu bem até aqui Para prosseguir você já deve até ter suposto que teremos então um símbolo para cada co nectivo observem 1 Chove p Não chove p 2 Fico resfriado q Não fico resfriado q 3 Chove e fico resfriado p q 4 Chove ou fico resfriado p q 5 Se chove então fico resfriado p q 6 Se e somente se chove fico resfriado p q 7 Se não chove não fico resfriado p q Você se acostumará no decorrer dos estudos com os vários símbolos lembrese de que somente a prática levará à assimilação Agora voltemos ao exemplo anterior preste atenção pois para cada proposição atribuiremos um símbolo 1 Existe mal no mundo p 2 Se existe mal no mundo p Deus não pode evitar o mal q ou Deus não quer evitar o mal r 3 Se Deus não pode evitar o mal q Deus não é onipo tente s 4 Se Deus não quer evitar o mal r Deus não é bene volente t 5 Portanto Deus não é onipotente s ou Deus não é benevolente t Tendo atribuído os símbolos para proposições faremos o mesmo agora para os conectivos 18 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO 1 Existe mal no mundo p 2 Se existe mal no mundo Deus não pode evitar o mal ou Deus não quer evitar o mal p q r 3 Se Deus não pode evitar o mal Deus não é onipotente q s 4 Se Deus não quer evitar o mal Deus não é benevolente r t 5 Portanto Deus não é onipotente ou Deus não é bene volente s t Como ficou então nosso argumento em linguagem sim bólica Veja p p q r q s r t s t Até aqui mostramos o que é a linguagem simbólica e como traduzir um argumento para tal linguagem Não se esqueça de que cada letra simboliza uma proposição A seguir veremos a construção de Tabelas de Verdade e o que significam as provas formais de validade Vamos lá De início precisamos aprender a construir um diagrama e uma Tabela de Verdade Você deve se lembrar de que uma pro posição só pode ter um único valor de verdade ou ela é verda deira V ou é falsa F Assim para uma proposição p temos duas únicas possibilidades Teremos portanto o seguinte diagrama 19 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Figura 1 Diagrama 1 Mas imagine que tenhamos um argumento com duas pro posições p e q O que vai acontecer Simplesmente teremos também duas possibilidades de valores para a proposição q e isso acontecerá para cada valor de p Quando a proposição p for V a proposição q poderá ser V ou F e quando a proposição p for F a proposição q também poderá ser V ou F Essas possibilidades podem aparecem repre sentado pela a Figura 2 a seguir observe Figura 2 Diagrama 2 20 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Mas e se tivermos um argumento com três proposições p q e r Observe para cada valor de q teremos r que poderá ser V ou F Agora tente construir o diagrama para as três pro posições Quando você terminar de construir o diagrama verifi que quantas combinações de valores são possíveis com aquelas proposições Você poderá fazer isso com quantas proposições forem necessárias o diagrama apenas vai aumentar de tamanho mas você continua a construílo da mesma maneira Preste atenção Quantas proposições tínhamos para a construção do diagrama Eram 3 E chegamos a 8 combinações diferentes Isso pode ser obtido por uma fórmula que é 2n sen do que n é o número de proposições Dessa maneira com 3 pro posições tínhamos 23 que é igual a 8 No entanto o que mais utilizamos não é o diagrama e sim a chamada Tabela de Verdade Para sua construção começa mos da mesma maneira que o diagrama temos 3 proposições assim fazendo 2n teremos 8 linhas na tabela Vejamos como esboçar as mesmas relações que traçamos no diagrama na Tabela de Verdade Em primeiro lugar apenas lançaremos os valores de p Dividimos a coluna pela metade co locando o valor V na primeira parte e o valor F na segunda como representado a seguir p q V V F F 21 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Em seguida faremos o mesmo com a coluna q Cada uma das partes anteriores será dividida pela metade e serão atribuí dos valores V e F O resultado é o que aparece a seguir p q V V V F F V F F Assim temos nossa tabela completa com os valores em todas as combinações possíveis Observe que as combinações são as mesmas obtidas pelo diagrama É muito importante treinar essas construções prati que sempre mais para que adquira habilidade nessa atividade Você se lembra de que quando simbolizamos as proposi ções também o fizemos com os conectivos A questão é como trabalhar com os conectivos nas Tabelas de Verdade Aqui co meçamos o Cálculo Proposicional Para cada conectivo teremos uma tabela diferente Você não conhecerá todos aqui é importante apenas que você en tenda o que está acontecendo Tomemos duas proposições ao mesmo tempo 1 Chove 2 Não chove Você deve concordar que as duas não podem ter o mesmo valor se forem tomadas juntas Chove e não chove Assim se 1 é verdadeira 2 tem de ser falsa e se 1 for falsa 2 tem de ser verdadeira Como representamos isso simbolicamente Veja 22 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO p p V F F V Vejamos agora como se relacionam juntas outras duas proposições 1 Viajamos para a praia 2 Viajamos para o sítio E construímos uma proposição molecular viajamos para a praia ou para o sítio simbolicamente p q Estamos afir mando que podemos ter ido para a praia ou para o sítio mas não aos dois ao mesmo tempo Então perguntamos quando essa proposição molecular será totalmente falsa Somente quando não formos para ne nhum dos dois lugares ou quando dissermos que fomos para a praia e para o sítio ao mesmo tempo ou seja quando as duas forem verdadeiras ou quando as duas forem falsas Vejam como montamos a Tabela de Verdade Primeiro construímos a tabela apenas com as proposi ções atômicas como vimos agora há pouco p q V V V F F V F F Depois acrescentamos uma coluna para a proposição mo lecular e calculamos os valores conforme dissemos agora 23 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO p q p q V V F V F V F V V F F F Outro exemplo alguém diz eu tenho um carro e uma moto Um outro alguém pode dizer isso é verdade pois você tem os dois Outra pessoa diz isto é falso pois você só tem uma moto Outro ainda diz isso é falso pois você só tem um carro E mais uma pessoa diz isso é falso pois você não tem nenhum dos dois Desse exemplo podemos construir mais uma tabela dife rente Eu tenho um carro será a proposição p e eu tenho uma moto será a proposição q Assim simbolizando a proposição eu tenho um carro e uma moto teremos p q Vamos construir a tabela da mesma maneira como a anterior p q V V V F F V F F E agora acrescentamos a proposição molecular p q p q p q V V V V F F F V F F F F 24 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Você só precisa treinar para entender bem como fazer esse cálculo pois ele é simples Por isso faça cada atividade proposta e procure sempre por exercícios extras só assim você alcançará o sucesso Aqui visualizamos apenas as tabelas de proposições atômi cas e moleculares O mais importante será tratar dos argumen tos com as Tabelas de Verdade agora que você já sabe o que é uma tabela e o que ela significa Se em algum momento você não se lembrar dos valores de uma tabela substitua os símbolos pelas proposições e tente raciocinar a partir delas sempre tendo em mente que a lingua gem simbólica é mais simples e por isso simplifica a atividade tornando sua resolução mais rápida Vamos analisar a validade de um argumento para você ver que não é algo tão complicado quanto parece Antes de qualquer coisa perguntamos quando um argumento é contraválido Você se lembra Disto você não pode esquecer um argumento é contraválido sempre que apresenta premissas verdadeiras e con clusão falsa Considere então o argumento Ele viajou para a praia ou para o sítio Ele não viajou para a praia Portanto ele viajou para o sítio Em linguagem simbólica temos as duas premissas e a conclusão p q p q 25 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Vamos agora construir a Tabela de Verdade primeira mente colocamos as proposições atômicas p q p e na última coluna colocamos a proposição molecular p q Em seguida completamos com os valores da maneira como foi colocado an teriormente e depois calculamos os valores necessários p q p p q V V F F V F F V F V V V F F V F Note que as premissas são as duas últimas colunas en quanto a conclusão é a segunda coluna Como avaliamos então se o argumento é válido É simples em alguma das linhas da tabela aparecem as premissas verdadeiras e a conclusão falsa Não Portanto o argumento é válido No entanto imagine se você tiver que verificar a validade de um argumento que tenha cinco proposições como é o caso daquele exemplo dado anteriormente sobre a existência do mal no mundo seria uma tabela bem grande que poderia até nos confundir Ainda bem que temos algumas regrinhas que facilita rão nosso trabalho são as regras de inferência Regras de inferência são modelos de argumentos que são sempre válidos não havendo a necessidade de comprovar com a Tabela de Verdade Com tais regras é possível construir as chamadas provas formais de validade Essas provas formais são simplesmente a utilização das várias regras de inferência para mostrar que das premissas é possível ou não chegar à conclusão E sem a ne 26 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO cessidade de construção de tabela É importante que você me morize as regras no momento em que as estudar e saiba que quando estiver praticando nas atividades já terá mudado a pró pria maneira de raciocinar Por exemplo tomemos novamente este vltimo exemplo de argumento p q p q Nem precisaríamos construir a tabela pois esse argumen to é uma regra de inferência chamada Silogismo Disjuntivo já saberíamos que ele é válido e o demonstraríamos assim SILOGISMO DISJUNTIVO 1 p q 2 p 3 q A primeira premissa que vamos chamar de linha 1 é p q e a segunda premissa é p e vamos chamar de linha 2 e q é a conclusão linha 3 Indicamos então que aplicando a regra do Silogismo Dis juntivo SD com as linhas 1 e 2 chegaremos à conclusão q E assim construímos uma prova formal de validade 1 p q 2 p 3 q 12 SD 27 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Enfim em linhas gerais mostramos o que esperamos que você consiga fazer depois deste estudo Certamente não é a coi sa mais fácil estudar Lógica aqui foi diferente pois utilizamos exemplos simples e não tratamos de todas as regras Será preciso que você se dedique muito e saiba que esse conteúdo é muito importante para sua formação intelectual e que os frutos desses estudos se estenderão a toda sua vida pois afetarão diretamente sua maneira de raciocinar Esta breve apresentação da Lógica Simbólica deve ser encarada como uma introdução a seus estudos para esclareci mento dos principais conteúdos que o aguardam E lembrese de que para aprender a linguagem e fixar a regras estudadas é importante que você faça os exercícios propostos nesta obra Esperamos que os estudos desses conteúdos o ajudem a organi zar os seus estudos de Lógica que é uma disciplina fundamental para os estudantes de Filosofia Bons ventos Glossário de Conceitos O Glossário de Conceitos permite a você uma consulta rá pida e precisa das definições conceituais possibilitandolhe um bom domínio dos termos técnicocientíficos utilizados na área de conhecimento dos temas tratados em Lógica II Veja a seguir a definição dos principais conceitos 1 Cálculo Proposicional consiste em um sistema formal no qual as fórmulas representam proposições que po dem ser formadas pela combinação de proposições atômicas usando conectivos lógicos e um sistema de regras de inferência que permite que certas fórmu las sejam estabelecidas como teoremas do sistema formal 28 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO 2 Cálculo de Predicados sistema lógico que estende a Lógica Proposicional Para tanto utilizase do quanti ficador universal e do quantificador existencial O Cál culo de Predicados também é conhecido como Lógica de Primeira Ordem 3 Contradição proposição falsa independentemente dos valores de verdade atribuídos aos componentes mais elementares 4 Contingência aquela proposição que depende do va lor de verdade das suas partes mais elementares 5 Princípio de Identidade todo objeto é idêntico a si mesmo 6 Princípio de Não Contradição dadas duas proposições contraditórias uma é negação da outra uma delas é falsa 7 Princípio do Terceiro Excluído toda proposição ou é verdadeira ou é falsa e não há um terceiro caso possível 8 Problema Ontológico consiste no problema filosófi co de investigar e determinar quais tipos de entidades existem 9 Lógica Clássica compreende de um modo geral o Cál culo Proposicional e o Cálculo de Predicados e aceita como válidos o Princípio de Identidade de Não Con tradição e do Terceiro Excluído 10 Lógicas Não Clássicas podem ampliar o escopo da Ló gica Clássica ou revogar alguns de seus princípios As Lógicas Complementares ou Lógicas Ampliadas con sideram que a Lógica Clássica está correta dentro dos seus limites Já as Lógicas Alternativas também cha 29 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO madas de heterodoxas partem do princípio de que a Lógica Clássica está errada e precisa ser substituída 11 Tabela de Verdade é uma tabela matemática utiliza da para verificar se uma fórmula é verdadeira ou falsa e para verificar se os argumentos expressos no Cálculo Proposicional são válidos ou inválidos 12 Tautologia proposição verdadeira independentemen te dos valores de verdade atribuídos aos seus compo nentes mais elementares Esquema dos conceitoschave Para que você tenha uma visão geral dos conceitos mais importantes deste estudo apresentamos a seguir Figura 1 um Esquema dos Conceitoschave O mais aconselhável é que você mesmo faça o seu esquema de conceitoschave ou até mesmo o seu mapa mental Esse exercício é uma forma de você construir o seu conhecimento ressignificando as informações a partir de suas próprias percepções É importante ressaltar que o propósito desse Esquema dos Conceitoschave é representar de maneira gráfica as relações entre os conceitos por meio de palavraschave partindo dos mais complexos para os mais simples Esse recurso pode auxiliar você na ordenação e na sequenciação hierarquizada dos conteú dos de ensino Com base na teoria de aprendizagem significativa enten dese que por meio da organização das ideias e dos princípios em esquemas e mapas mentais o indivíduo pode construir o seu conhecimento de maneira mais produtiva e obter assim ganhos pedagógicos significativos no seu processo de ensino e aprendizagem 30 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Aplicado a diversas áreas do ensino e da aprendizagem escolar tais como planejamentos de currículo sistemas e pes quisas em Educação o Esquema dos Conceitoschave baseiase ainda na ideia fundamental da Psicologia Cognitiva de Ausubel que estabelece que a aprendizagem ocorre pela assimilação de novos conceitos e de proposições na estrutura cognitiva do alu no Assim novas ideias e informações são aprendidas uma vez que existem pontos de ancoragem Temse de destacar que aprendizagem não significa ape nas realizar acréscimos na estrutura cognitiva do aluno é preci so sobretudo estabelecer modificações para que ela se configu re como uma aprendizagem significativa Para isso é importante considerar as entradas de conhecimento e organizar bem os ma teriais de aprendizagem Além disso as novas ideias e os novos conceitos devem ser potencialmente significativos para o aluno uma vez que ao fixar esses conceitos nas suas já existentes es truturas cognitivas outros serão também relembrados Nessa perspectiva partindose do pressuposto de que é você o principal agente da construção do próprio conhecimen to por meio de sua predisposição afetiva e de suas motivações internas e externas o Esquema dos Conceitoschave tem por objetivo tornar significativa a sua aprendizagem transformando o seu conhecimento sistematizado em conteúdo curricular ou seja estabelecendo uma relação entre aquilo que você acabou de conhecer com o que já fazia parte do seu conhecimento de mundo adaptado do site disponível em httppenta2ufrgs bredutoolsmapasconceituaisutilizamapasconceituaishtml Acesso em 11 mar 2010 31 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Figura 1 Esquema de Conceitoschave de Lógica II Como pode observar esse Esquema oferece a você como dissemos anteriormente uma visão geral dos conceitos mais im portantes desse estudo Ao seguilo será possível transitar entre os principais conceitos desta obra e descobrir o caminho para construir o seu processo de ensinoaprendizagem Por exemplo o Cálculo Proposicional e o Cálculo de Predicados são parte da Lógica Clássica pois respeitam os Princípios de Identidade de Não Contradição e do Terceiro Excluído 32 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO O Esquema dos Conceitoschave é mais um dos recursos de aprendizagem que vem se somar àqueles disponíveis no am biente virtual por meio de suas ferramentas interativas bem como àqueles relacionados às atividades didáticopedagógicas realizadas presencialmente no polo Lembrese de que você alu no EaD deve valerse da sua autonomia na construção de seu próprio conhecimento Questões Autoavaliativas No final de cada unidade você encontrará algumas ques tões autoavaliativas sobre os conteúdos ali tratados as quais podem ser de múltipla escolha abertas objetivas ou abertas dissertativas Responder discutir e comentar essas questões bem como relacionálas com a prática do ensino de Filosofia pode ser uma forma de você avaliar o seu conhecimento Assim mediante a resolução de questões pertinentes ao assunto tratado você es tará se preparando para a avaliação final que será dissertativa Além disso essa é uma maneira privilegiada de você testar seus conhecimentos e adquirir uma formação sólida para a sua práti ca profissional Você encontrará ainda no final de cada unidade um gabarito que lhe permitirá conferir as suas respostas sobre as questões autoavaliativas de múltipla escolha 33 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO As questões de múltipla escolha são as que têm como res posta apenas uma alternativa correta Por sua vez entendemse por questões abertas objetivas as que se referem aos conteú dos matemáticos ou àqueles que exigem uma resposta determi nada inalterada Já as questões abertas dissertativas obtêm por resposta uma interpretação pessoal sobre o tema tratado por isso normalmente não há nada relacionado a elas no item Gabarito Você pode comentar suas respostas com o seu tutor ou com seus colegas de turma Bibliografia Básica É fundamental que você use a Bibliografia Básica em seus estudos mas não se prenda só a ela Consulte também as bi bliografias apresentadas no Plano de Ensino e no item Orienta ções para o estudo da unidade Figuras ilustrações quadros Neste material instrucional as ilustrações fazem parte in tegrante dos conteúdos ou seja elas não são meramente ilus trativas pois esquematizam e resumem conteúdos explicitados no texto Não deixe de observar a relação dessas figuras com os conteúdos da obra pois relacionar aquilo que está no campo vi sual com o conceitual faz parte de uma boa formação intelectual Dicas motivacionais O estudo desta obra convida você a olhar de forma mais apurada a Educação como processo de emancipação do ser hu mano É importante que você se atente às explicações teóricas práticas e científicas que estão presentes nos meios de comunica 34 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO ção bem como partilhe suas descobertas com seus colegas pois ao compartilhar com outras pessoas aquilo que você observa permitese descobrir algo que ainda não se conhece aprenden do a ver e a notar o que não havia sido percebido antes Obser var é portanto uma capacidade que nos impele à maturidade Você como aluno do curso de Graduação na modalidade EaD necessita de uma formação conceitual sólida e consistente Para isso você contará com a ajuda do tutor a distância do tutor presencial e sobretudo da interação com seus colegas Sugeri mos pois que organize bem o seu tempo e realize as atividades nas datas estipuladas É importante ainda que você anote as suas reflexões em seu caderno ou no Bloco de Anotações pois no futuro elas po derão ser utilizadas na elaboração de sua monografia ou de pro duções científicas Leia os livros da bibliografia indicada para que você am plie seus horizontes teóricos Cotejeos com o material didático discuta a unidade com seus colegas e com o tutor e assista às videoaulas No final de cada unidade você encontrará algumas ques tões autoavaliativas que são importantes para a sua análise sobre os conteúdos desenvolvidos e para saber se estes foram significativos para sua formação Indague reflita conteste e construa resenhas pois esses procedimentos serão importantes para o seu amadurecimento intelectual Lembrese de que o segredo do sucesso em um curso na modalidade a distância é participar ou seja interagir procuran do sempre cooperar e colaborar com seus colegas e tutores 35 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO Caso precise de auxílio sobre algum assunto relacionado a este estudo entre em contato com seu tutor Ele estará pronto para ajudar você 3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BRANQUINHO J MURCHO D Enciclopédia de termos lógicofilosóficos Lisboa Grádiva 2001 COPI I M Introdução à Lógica São Paulo Mestre Jou 1978 MORTARI C A Introdução à Lógica São Paulo Unesp 2001 36 LÓGICA II CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO 37 UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA 1 OBJETIVOS Conhecer as noções básicas envolvidas numa aborda gem formal à Lógica Conhecer e familiarizarse com os símbolos lógicos utili zados na Lógica Simbólica 2 CONTEÚDOS Proposição Princípios da Não Contradição e Terceiro Excluído Valores de Verdade Proposições Simples e Compostas Conectivos 3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE 1 Tenha sempre à mão o significado dos conceitos expli citados no Glossário e suas ligações pelo Esquema de Conceitoschave para o estudo de todas as unidades desta obra Isso poderá facilitar sua aprendizagem e desempenho 38 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA 2 Para atingir os objetivos propostos desta unidade atente para o papel dos conectivos na Lógica Simbóli ca Eles foram desenvolvidos para eliminar a ambigui dade da linguagem corrente e dessa forma permitir que essa linguagem seja formalizada Ao observar es ses conectivos todos compreendem o seu significado que está expresso na Tabela de Verdade Não é preciso decorar essas tabelas O importante é compreender o processo que levou à simbolização de linguagem Com o desenvolvimento dos exercícios o significado desses conectivos será assimilado de forma natural Atente também para os princípios da Lógica Clássica Identi dade Não Contradição e Terceiro Excluído Eles podem ser expressos em linguagem simbólica 3 Leia os livros da bibliografia indicada para que você amplie seus horizontes teóricos Cotejeos com esta obra e discuta a unidade com seus colegas e com seu tutor 4 Para compreender ainda mais esse conteúdo pesqui se em livros revistas e na internet sobre a Lógica Ma temática Não se limite somente aos conteúdos aqui abordados 5 Antes de iniciar os estudos desta unidade é interes sante que você conheça um pouco da biografia dos pensadores cujo pensamento norteia nosso estudo Para saber mais acesse os sites indicados 39 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA George Boole Matemático lógico professor e autor inglês nascido em Lincoln Lincolnshire cujos estudos deu início a um processo que conduziria a importantes aplicações tecnológicas tais como os computadores eletrônicos baseados em dígitos binários De uma família sem muitos recursos foi praticamente um autodidata inicialmente se dedicando ao estudo de latim e grego tornandose professor para seu sustento 1831 e fundando sua própria escola 1835 Paralelamente se interessou por matemática estudou obras de Newton de Laplace e de Lagrange e começou a publicar suas idéias sobre o assunto tornandose então autor de importantes textos sobre equações diferenciais e transformação linear com ênfase no conceito de invariância Foi então condecorado com uma medalha da Royal Society por suas contribuições ao desenvolvimento da análise matemática 1844 Depois divulgou uma de suas mais originais contribuições em The mathematical analysis of logic 1847 com os princípios da moderna lógica simbólica mostrando que a esta deveria ser associada à matemática e acabando com a controvérsia sobre lógica criada entre William Hamilton e De Morgan e conseguindo com esta publicação o cargo de professor de matemática no recémfundado Quenns College da cidade irlandesa de Cork 1849 apesar de não possuir grau universitário O desenvolvimento de suas idéias deu origem à chamada álgebra de Boole ou álgebra booliana base da lógica simbólica e das probabilidades e sua principal obra apresentada no livro An Investigation into the Laws of Thought on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities 1854 considerada um clássico na história da matemática Com este trabalho ganhou o grau honorário da Universidade de Dublin Faleceu em Ballintemple County Cork Irlanda e é considerado o pai da lógica matemática moderna por introduzir o uso de símbolos matemáticos para expressar processos lógicos de forma que estes possam ser lidos com o mesmo rigor de uma equação algébrica Sua obra foi continuada por De Morgan e Benjamin Pierce Imagem disponível em httpsptwikipediaorgwikiGeorgeBoole Acesso em 14 set 2015 Texto disponível em httpwwwdecufcgedubrbiografiasGeoreBoohtml Acesso em 14 set 2015 40 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA Friedrich Ludwig Gottlob Frege Gottlob Frege nasceu a 8 de Novembro de 1848 em Wis mar Merklenberg Schwerin actualmente Alemanha Estudou na Universidade de Jena 18691871 e na Universidade de Gottingen 18711873 dedicandose à Matemática à Física e à Química Ensinou na Universi dade de Jena no departamento de Matemática onde per maneceu o resto da sua vida profissional Inicialmente ensinava qualquer ramo da matemática mas as suas pu blicações eram fundamentalmente no campo da lógica Os seus estudos em Filosofia da Lógica Filosofia da Ma temática e Filosofia da Linguagem fazem de Frege um dos maiores matemáticos lógicos e filósofos de sempre Frege queria mostrar que a aritmética era idêntica à lógica e podese dizer que recriou a disciplina da lógica ao construir o primeiro cálculo de predicados Um cálculo de pre dicados é um sistema formal constituído por duas componentes a linguagem formal e a lógica Tal como Leibniz 16461716 pensava que a característica específica da Ma temática era a construção de cálculos que poderiam ser interpretados sem referência a números ou quantidades Contudo como consideram Marta e Kneale Frege foi mais longe do que qualquer dos seus predecessores na sua exigência de rigor formal dentro da lógica e a teoria dedutiva ou cálculo que elaborou é a maior realização alguma vez alcançada na história da lógica Confrontado com a ambiguidade da linguagem usual e com a inadequação dos sistemas lógicos existentes Frege inventou inúmeras notações simbólicas tais como quantificadores e variáveis que pudessem fornecer fundamentos para a lógica matemática moderna E na tentativa de concretizar as ideias de Leibniz de uma linguagem universal adequada de um cálculo racional Frege desenvolveu uma ideografia Begriffsschrift No entanto o seu trabalho não foi muito bem recebido Aliás pode mesmo dizerse que inicialmente foi igno rado mas teve grande influência em Bertrand Russell como podemos ver atra vés da carta que Russel enviou a Frege Frege faleceu a 26 de Julho de 1925 em Bad Kleinen Alemanha Imagem disponível em httpwwwieputmedu frege Acesso em 14 set 2015 Texto disponível em httpwwwacademia edu8778814FriedrichLudwigGottlobFrege Acesso em 14 set 2015 41 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA 4 INTRODUÇÃO Ao iniciar os estudos desta obra acreditamos que você já tenha aprendido sobre a Teoria do Silogismo de Aristóteles e como julgar a validade de argumentos A Lógica Aristotélica foi predominante até o século 19 o que levou pensadores como Kant a afirmar que não havia mais como desenvolver a Lógica A previsão de Kant foi equivocada pois poucos anos de pois o inglês George Boole apresentou um cálculo lógico que foi precursor do que hoje conhecemos por Lógica Simbólica No entanto é com o filósofo e matemático Johann Gottlob Frege que a lógica contemporânea avançou de maneira decisiva Como coloca Cezar Mortari Ao contrário de Aristóteles e mesmo de Boole que procura vam identificar as formas válidas de argumento a preocupação básica de Frege era a sistematização do raciocínio matemático ou dito de outra maneira encontrar uma caracterização pre cisa do que é uma demonstração matemática Você sabe que na matemática para mostrar que uma proposição é verdadeira um teorema não se recorre à experiência ou à observação como em várias outras ciências Na matemática para colocar as coisas de um modo simples a verdade de uma proposição é estabelecida por meio da demonstração dela isto é uma se quência argumentativa dedutiva mostrando que ela se segue logicamente de outras proposições aceitas ou já mostradas verdadeiras Ora Frege havia notado que os matemáticos da época frequentemente cometiam erros em suas demonstra ções supondo assim que certos teoremas estavam demonstra dos quando na verdade não estavam Para corrigir isso Frege procurou formalizar as regras da demonstração iniciando com regras elementares bem simples sobre cuja aplicação não houvesse dúvidas O resultado que revolucionou a lógica foi a criação do cálculo de predicados MORTARI 2001 p 29 42 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA Como podemos depreender das palavras do professor Mortari a Lógica teve um importante desenvolvimento E é essa nova maneira de conceber a Lógica que apresentaremos em Ló gica II 5 PROPOSIÇÕES Para iniciar nosso estudo precisamos definir o que é uma proposição pois esta é o elemento básico do raciocínio em Ló gica Simbólica De acordo com Alencar Filho 2002 p 11 uma proposição é todo conjunto de palavras ou símbolos que expri mem um pensamento de sentido completo Como exemplos de proposições temos 1 Sergio foi ao mercado 2 Sergio foi ao cinema ou ao mercado 3 Se Paula foi ao mercado então fez compras 4 Todo político é desonesto Porém para operar logicamente com proposições como as mencionadas anteriormente temos que adicionar dois Princí pios Metodológicos Princípio da Não Contradição uma proposição não pode ser ao mesmo tempo falsa e verdadeira Princípio do Terceiro Excluído toda proposição ou é verdadeira ou é falsa e não há um terceiro caso possível Em função dessas duas regras o que muda no estudo da Lógica Simbólica 43 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA Em virtude desses dois princípios a Lógica Simbólica é uma Lógica Bivalente isto é apenas dois valores podem ser atribuí dos às proposições Verdadeiro V ou Falso F O Princípio da Não Contradição exclui a possibilidade de que uma proposição seja julgada como contendo algum tipo de meia verdade Já o Princípio do Terceiro Excluído generaliza essa situação para todas as proposições que são objeto da Lógica Alguns sistemas lógicos contemporâneos procuram escapar das limitações impostas pelos Princípios da Não Contradição e do Terceiro Excluído surgindo então os sistemas de Lógica Po livalente Valores de verdade Com base nas regras de Não Contradição e do Terceiro Ex cluído como podemos definir o que é valor de verdade Como podemos formalizar as proposições e atribuirlhes os valores como Verdade ou Falsidade Como são os termos utilizados para a formalização Denominase valor de verdade de uma proposição a atri buição de ela ser verdadeira ou falsa Abreviadamente se uma proposição é verdadeira assinalamos o valor de verdade V se ela for falsa assinalamos o valor F De acordo com os Princípios de Não Contradição e do Terceiro Excluído obtémse então que toda proposição tem um e somente um dos valores V ou F 44 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA Proposições simples e compostas Após verificarmos como são classificadas as proposições surge a questão qual nome iremos dar a um determinado tipo de proposição Quais os critérios para classificação As proposições podem ser classificadas como simples ou atômicas ou como compostas ou moleculares Elas são simples quando não contêm dentro de si nenhu ma outra proposição e compostas ou moleculares quando são a combinação de duas ou mais proposições Por exemplo a proposição José foi ao teatro é uma pro posição simples Já a proposição José foi ao teatro e ao restaurante é uma proposição composta que poderia ser subdividida em José foi ao teatro José foi ao restaurante Para facilitar a manipulação das proposições os lógicos costumam denominálas por símbolos simples Dessa forma qualquer proposição atômica pode ser assinalada por qualquer letra minúscula por exemplo p q r s etc Já as proposições moleculares são assinaladas por letras maiúsculas P Q R S etc Quando se deseja assinalar que determinada proposição molecular X é composta por proposições atômicas w y e z es crevese X w y z querendo dizer que X é o conjunto formado por w y e z Essa organização dos símbolos simples não nos recorda a teoria dos conjuntos conteúdo das aulas de Matemática a qual nos demonstra que determinados objetos de utilidade parecida 45 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA bolas carrinhos bonecas etc podem entrar em grupo específi co chamado grupo dos brinquedos Agora que você já sabe como transformar as proposições atômicas e moleculares em linguagem simbólica está apto a compreender como os conectivos que ligam essas proposições umas às outras em um argumento são simbolizados pela Lógica Simbólica Vamos lá 6 CONECTIVOS E TABELAS DE VERDADE O que são conectivos Quais são eles Como são utilizados Os conectivos são palavras utilizadas para formar novas proposições a partir de outras O mais importante é notar que eles são formas de operação sobre proposições Os conectivos mais utilizados são e ou não se então se e somen te se Como exemplo de proposições compostas formadas por proposições atômicas ligadas por conectivos temos P O número 7 é ímpar e é primo Q Ou você está gripado ou você está com dengue R Hoje não está chovendo S Se você estudar então você é um bom aluno T Você vai ser aprovado se e somente se estudar a apostila Depois de conhecer como se utilizam os conectivos em conjunto com os valores de verdade vamos conhecer o funcio namento da Tabela de Verdade 46 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA Conjunção O enunciado conjuntivo é caracterizado pela combinação de duas proposições pela conjunção e Assim o enunciado com posto Carla foi ao clube e à ópera é uma conjunção cujos con juntivos são Carla foi ao clube e Carla foi à ópera Para formalizarmos em outras palavras se colocarmos em símbolos esse tipo de proposição recorremos à seguinte notação a Cada enunciado será representado por uma única letra minúscula b A conjunção e será representada pelo símbolo Logo o enunciado anterior em nossa notação pode ser escrito da seguinte forma p q Relembramos anteriormente que todo enunciado ou proposição possui um valor de verdade ou seja deve ser verdadeiro ou falso Desse modo dados quaisquer enunciados p e q temos quatro combinações possíveis de valores de verdade que podemos atribuir a saber 1 Se p é verdadeiro e q e verdadeiro p q é verdadeiro 2 Se p é verdadeiro e q é falso p q é falso 3 Se p é falso e q é verdadeiro p q é falso 4 Se p é falso e q é falso p q é falso Observando as combinações anteriores podemos dizer que uma conjunção é verdadeira apenas quando ambos os conjuntivos são verdadeiros e disso decorre a seguinte Tabela de Verdade 47 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA p q p q V V V V F F F V F F F F Com essa Tabela de Verdade conseguimos definir o sím bolo visto que a tabela abrange todos os valores de verdade possíveis que podem ser assumidos por p e q Disjunção Temos um enunciado disjuntivo quando a palavra ou está entre enunciados compostos O conectivo ou possui dois senti dos diferentes um inclusivo e outro exclusivo O sentido inclusivo é aquele de eou ou seja podemos ter uma possibilidade outra possibilidade ou ainda ambas A título de exemplo podemos dizer que Paulo é advogado ou filósofo Desse modo temos que Paulo pode ser advogado filósofo ou os dois Já o sentido exclusivo do ou pode ser entendido como uma possibilidade ou outra Por exemplo Margarete será eleita pre sidente do Brasil ou Neusa será eleita presidente do Brasil Nesse caso é óbvio que ambas as possibilidades não podem acontecer Assim temos duas funções de verdade para a disjunção porém no Cálculo Proposicional Clássico costumase represen tar por meio do símbolo a disjunção inclusiva que é a única utilizada nesse cálculo Como na conjunção temos quatro combinações possíveis de valores de verdade a saber 48 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA 1 Se p é verdadeiro e q e verdadeiro p q é verdadeiro 2 Se p é verdadeiro e q é falso p q é verdadeiro 3 Se p é falso e q é verdadeiro p q é verdadeiro 4 Se p é falso e q é falso p q é falso Pela combinação anterior temos que a disjunção só é falsa quando ambos os enunciados são falsos o que nos dá a Tabela de Verdade a seguir p q p q V V V V F V F V V F F F Já a Tabela de Verdade para disjunção exclusiva seria a seguinte p q p q V V F V F V F V V F F F É conveniente observar que pela definição da disjunção inclusiva a proposição O São Paulo foi o campeão da Liberta dores de 2005 ou A lua é feita de queijo é uma disjunção verda deira mesmo não havendo nenhuma relação entre os disjuntos 49 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA Negação De um modo geral podemos expressar a negação de um enunciado inserindo nele a palavra não Utilizaremos o símbolo para expressar essa palavra Desse modo se p simboliza a propo sição Silvia é uma excelente aluna p simboliza a proposição Silvia não é uma excelente aluna Temos então que se uma determinada proposição p é verdadeira sua negação será falsa e viceversa Podemos ex pressar esse fato por meio da seguinte Tabela de Verdade p p V F F V Podemos considerar a tabela anterior como a definição do símbolo de negação Implicação Material A tradução da frase se então que caracteriza a implica ção material para linguagem simbólica não é uma tarefa fácil Isso porque na linguagem comum existem vários significados possíveis para essa expressão Porém os lógicos concordam que há pelos menos uma coisa em comum entre as diferentes pro posições todos concordam que se o antecedente de uma impli cação for verdadeiro e o consequente for falso então a impli cação deve ser falsa Logo na proposição se você não estudar então não será aprovado o antecedente é se você não estudar e o consequente é então não será aprovado Assim os lógicos procurando atender às necessidades da matemática optaram pela seguinte Tabela de Verdade 50 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA p q p q V V V V F F F V V F F V Essa situação é um tanto estranha pois essa definição tor na verdadeiro o seguinte argumento Se os homens têm quatro pernas então o Brasil é heptacampeão mundial de futebol vis to que por nossa tabela quando o antecedente é falso a impli cação é verdadeira Existem objeções a essa caracterização tradicional da implica ção material formulada pelos criadores da Lógica Modal e da Ló gica Relevante Para mais informações sobre essas lógicas leia o livro MORTARI C Introdução à Lógica São Paulo Unesp 2001 Veremos mais sobre esse assunto na Unidade 4 desta obra Biimplicação As dificuldades que encontramos para caracterizar os con dicionais também se aplicam na análise dos bicondicionais Para facilitar nosso trabalho basta entender que uma bi implicação consiste em uma implicação nas duas direções ou seja p q que é o mesmo que p q q p Assim fazendo os cálculos nossa Tabela de Verdade será a seguinte 51 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA p q p q V V V V F F F V F F F V Podemos entender também o bicondicional como uma equivalência Desse modo para proposições com valores de verdade iguais seguese que a biimplicação é verdadeira caso contrário esta será falsa Pontuação Antes de passarmos às atividades devemos fazer referên cia à pontuação na Lógica Simbólica Para enunciados compos tos assim como na Matemática devemos efetuar corretamente a pontuação a fim de evitar ambiguidades Por exemplo a ex pressão 4 X 7 9 pode ter seu resultado alterado se os parênte ses forem ordenados da seguinte forma 4 X 7 9 ou 4 X 7 9 Assim se não pontuada corretamente a expressão p q r pode significar tanto p q r quanto p q r No caso de expressões similares a p q para evitar o número de parênteses convencionase que a negação se aplica somente à proposição p diferenciandose assim da expressão p q 52 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA 7 TEXTOS COMPLEMENTARES O Estabelecimento da Semântica Científica O excerto pertence ao artigo O Estabelecimento da Semântica Cientifica do lógico polonês Alfred Tarski e se encontra no livro A concepção semântica da verdade Textos clássicos de Tarski organizado por Cezar A Mortari e Luiz Henrique de Araújo Dutra e publicado pela Editora Unesp em 2006 Diante da possível ocorrência de antinomias o problema de especificar a es trutura formal e o vocabulário de uma linguagem na qual a definição dos con ceitos semânticos serão dadas tornase especialmente sério Voltamos agora para esse problema Há certas condições gerais sob as quais se considera que a estrutura de uma linguagem está exatamente especificada Assim para especificar a estrutu ra de uma linguagem devemos caracterizar sem ambigüidade a classe de palavras e expressões que serão consideradas significativas Em particular devemos indicar todas as palavras que decidimos usar sem definição e que são chamadas termos nãodefinidos ou primitivos e apresentar as chama das regras de definição para introduzir termos definidos ou novos Além dis so devemos estabelecer os critérios para distinguir na classe de expressões aquelas que denominaremos sentenças Finalmente devemos formular as condições sobre as quais uma sentença pode ser afirmada em particular de vemos indicar todos os axiomas ou sentenças primitivas isto é as sentenças que decidimos afirmar sem prova E devemos fornecer as chamadas regras de inferência ou regras de demonstração por meio das quais podemos deduzir novas sentenças afirmadas a partir de outras sentenças previamente afirma das Os axiomas assim como as sentenças deles deduzidas por meio das regras de inferência são chamados teoremas ou sentenças demonstráveis Se ao especificar a estrutura de uma linguagem referimonos exclusivamente à forma das expressões envolvidas a linguagem é dita formalizada Em tal linguagem os teoremas são as únicas sentenças que podem ser afirmadas No momento presente as únicas linguagens com uma estrutura especificada são as linguagens formalizadas de vários sistemas de lógica dedutiva possi velmente enriquecidas pela introdução de certos termos nãológicos Contudo o campo de aplicação dessas linguagens é bastante abrangente Somos capa zes teoricamente de desenvolver neles vários ramos da ciência por exemplo a matemática e a física teórica TARSKI 2006 p 165166 grifos do autor 53 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA Sobre a história da Lógica a Lógica Clássica e o surgimento das lógicas não clássicas Devemos mencionar entre os precursores da lógica contemporânea Boole 1847 e De Morgan 1847 e 1860 em álgebra da lógica Peirce precursor da pesquisa moderna que introduziu a definição de ordem simples o primei ro tratamento do cálculo proposicional como um cálculo com dois valores de verdade e a definição de igualdade tendo iniciado em 1881 o tratamento dos fundamentos da aritmética Schröder e McColl que em 1877 construiu o pri meiro cálculo de proposições Os primeiros cálculos da lógica introduzidos por esses autores não chegaram a constituir sistemas no sentido da lógica moderna mas cálculos num sentido menos rigoroso Apesar do trabalho precursor de Leibniz Boole de Morgan e Peirce que já se contrapunham à posição de Kant o verdadeiro fundador da lógica moderna foi Gottlöb Frege O pensamento de Frege praticamente desconhecido foi descoberto por Bertrand Russel Os passos essenciais para a introdução do método logístico foram dados em 1879 no Begriffsschrift Frege 1977 O livro contém pela primeira vez o cál culo proposicional em sua forma logística moderna a noção de função pro posicional o uso de quantificadores e a análise lógica de prova por indução matemática O Begriffsschrift de Frege só é comparável na história da lógica aos Analytica Priora de Aristóteles Frege foi um dos precursores da distinção entre linguagem e metalinguagem Em 1884 Frege adota a tese logicismo de que a aritmética é um ramo da lógica no sentido de que todos os termos da aritmética podem ser definidos com o auxílio apenas de termos lógicos e todos os teoremas da aritmética po dem ser provados a partir dos axiomas lógicos Essa posição é rigorosamente apresentada por Frege em 1893 DOTTAVIANO FEITOSA 2003 p 6 8 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS Sugerimos que você procure responder discutir e comen tar as questões a seguir que tratam da temática desenvolvida nesta unidade 54 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA A autoavaliação pode ser uma ferramenta importante para você testar seu desempenho Se você encontrar dificuldades em responder a essas questões procure revisar os conteúdos es tudados para sanar suas dúvidas Esse é o momento ideal para que você faça uma revisão desta unidade Lembrese de que na Educação a Distância a construção do conhecimento ocorre de forma cooperativa e colaborativa compartilhe portanto as suas descobertas com os seus colegas Confira a seguir as ques tões propostas para verificar o seu desempenho no estudo desta unidade 1 Quais dos seguintes enunciados são verdadeiros a Getúlio Vargas se suicidou Jânio Quadros renunciou b Getúlio Vargas suicidouse Jânio Quadros renunciou c Getúlio Vargas suicidouse Jânio Quadros renunciou d Getúlio Vargas suicidouse Jânio Quadros renunciou Getúlio Vargas suicidouse e Getúlio Vargas suicidouse Jânio Quadros renunciou f Getúlio Vargas suicidouse Jânio Quadros renunciou Getúlio Vargas suicidouse 2 Para realizar o seguinte exercício considere que p q e r são verdadeiros e s t e u são falsos Quais enunciados dentre os seguintes são falsos a r u t q b p q t q c p q r d p q u e s t q u f r u t q g s t t q h u t q p q r 55 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA 3 Neste exercício você irá exercitar seu raciocínio lógico a Quatro senhoras gordinhas entram num elevador que tem como car ga máxima 380 kg Para que não dispare a alarme de excesso de peso e consequentemente pare o equipamento o porteiro do prédio deve calcular o peso das quatro senhoras mas quanto pesa cada uma Maria é a mais pesada se cada uma das outras senhoras pesar tan to quanto ela o alarme dispararia e deteria o elevador Cida é a mais magra o elevador tem condições de levar até cinco como ela Renata pesa 14 kg a menos que Maria e só 6 kg a menos que Leila Leila pesa 17 kg a mais do que Cida Os pesos de Maria e de Cida são múltiplos de cinco b Preencha o quadro a seguir levando em consideração as seguintes informações 1 3 6 8 estão na horizontal superior 2 5 7 9 estão na horizontal inferior 3 1 2 3 6 7 9 não estão na vertical esquerda 4 1 3 4 5 8 9 não estão na vertical direita Gabarito 1 Para realizar estes exercícios vamos raciocinar juntos Quais dos seguintes enunciados são verdadeiros Para responder primeiramente é preciso transcrever a proposição que está na linguagem natural para a linguagem simbólica em seguida deve se estabelecer por meio dos conhecimentos históricos se o fato referido é falso ou verdadeiro por último é preciso aplicar a Tabela de Verdade correspondente Certo até aqui Vamos lá Você sabe se Getúlio Vargas se suicidou Sim então essa proposição é verdadeira e a vamos designála com a letra p E Jânio Quadros renunciou 56 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA Sim em 25 de agosto de 1961 portanto essa proposição também é ver dadeira e vamos designála com a letra q a Getúlio Vargas se suicidou Jânio Quadros renunciou Resposta é uma proposição composta formada por duas proposições simples com o conectivo lógico que significa e Sua forma propo sicional é p q b Getúlio Vargas suicidouse Jânio Quadros renunciou Resposta é uma proposição composta formada por duas proposições simples com o conectivo lógico que significa ou e uma negação que por estar fora do parêntese altera todo o resultado Ficou assim p q não é verdade que Getúlio Vargas suicidouse ou Jânio Quadros renunciou c Getúlio Vargas suicidouse Jânio Quadros renunciou Resposta é uma proposição composta formada por duas proposições simples negativas com o conectivo lógico que significa e Ficou assim p q Getúlio Vargas não se suicidou e Jânio Qua dros não renunciou d Getúlio Vargas suicidouse Jânio Quadros renunciou Getúlio Var gas suicidouse Resposta é uma proposição composta formada por duas proposições simples com o conectivo lógico que significa ou e mais uma pro posição composta com o conectivo lógico que significa e com uma negação que altera seu valor lógico Ficou assim p q p Getúlio Vargas suicidouse ou não é ver dade que Jânio Quadros renunciou e Getúlio Vargas suicidouse 57 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA e Getúlio Vargas suicidouse Jânio Quadros renunciou Resposta é uma proposição composta formada por duas proposições simples com o conectivo lógico que significa e e uma negação que a antecede Ficou assim p q não é verdade que Getúlio Vargas suicidouse e Jânio Quadros renunciou f Getúlio Vargas suicidouse Jânio Quadros renunciou Getúlio Vargas suicidouse Resposta é uma proposição composta formada por outra proposição composta com o conectivo lógico que significa e e mais uma pro posição simples unida pelo conectivo que significa se então Ficou assim p q p se Getúlio Vargas suicidouse e Jânio Qua dros renunciou então Getúlio Vargas suicidouse Terminando de traduzir as proposições da linguagem natural para a sim bólica por fim estamos em condições de estabelecer o valor de verdade de cada uma das proposições precedentes a partir da Tabela de Verdade correspondente a cada conectivo Como já estudamos a Tabela de Verdade é onde consta o valor de verdade de cada proposição atômica a partir do qual podemos calcular o valor de verdade da proposição molecular Negação p p V F F V 58 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA Conjunção Antecedente Consequente a c V V V V F F F V F F F F Disjunção Antecedente Consequente a c V V V V F V F V V F F F Condicional Antecedente Consequente a c V V V V F F F V V F F V Bicondicional Antecedente Consequente a c V V V V F F F V F F F V 59 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA Respostas a V b F c F d V e F f V 2 Enquanto no exercício anterior era preciso realizar a tradução da lingua gem natural para a simbólica e descobrir se a proposição simples era ou não verdadeira no exercício 2 já existem os valores de verdade para cada uma das proposições simples e estas também estão indicadas com as le tras proposicionais p q r s t e u As proposições simples p q r são verdadeiras e as proposições simples s t u são falsas Para resolver o que se está pedindo quais enunciados dentre os seguin tes são falsos vamos precisar utilizar as Tabelas de Verdade de cada conectivo Como foi visto anteriormente cada conectivo lógico que participa da construção da proposição composta tem sua própria Tabela de Verdade Na continuação encontraremos as diferentes tabelas Negação p p V F F V Conjunção Antecedente Consequente a c V V V V F F F V F F F F 60 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA Disjunção Antecedente Consequente a c V V V V F V F V V F F F Condicional Antecedente Consequente a c V V V V F F F V V F F V Bicondicional Antecedente Consequente a c V V V V F F F V F F F V Observando as tabelas de Disjunção e Conjunção temos a possibi lidade de completar a Tabela de Verdade da proposição a A seguir iremos resolver por completo três dos exercícios propostos Esco lhemos os exercícios a e e h Vamos lá a r u t q Precisamos começar a resolução pela parte mais simples que é estipular o valor das proposições simples Segundo o enunciado 61 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA r verdadeira u falsa t falsa q verdadeira Após estabelecer o valor de verdade das proposições simples resolvemos r u se o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso a proposi ção composta Disjunção observe a segunda linha da Tabela Verdade é verdadeira 1º resultado r u verdadeira Em seguida resolveremos t q se o antecedente é falso e o consequen te é verdadeiro a proposição composta Conjunção observe a Conjun ção terceira linha da Tabela Verdade é falsa 2º resultado t q falsa Agora que temos os valores de verdade das proposições compostas resol veremos por último V F r u t q V F V F é uma conjunção observe a segunda linha Conjunção na Tabela Verdade se o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso a propo sição composta conjuntiva é Antecedente Consequente V F V F F Sendo assim a proposição composta r u t q é falsa b s t q u Para resolver o exercício o primeiro passo é estabelecermos os valores das proposições simples ok 62 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA 1º passo s F t F q V u F 2º passo resolvemos s t 3º passo com o resultado de s t que denominamos resultado 1 resolveremos resultado 1 q 4º passo com esse resultado que acabamos de denominar resultado 2 resolveremos resultado 2 u Tudo entendido até aqui Vamos lá Se s é falsa e t é falsa segundo o enunciado do exercício a condicional s t é observe a quarta linha da Condicional na Tabela de Ver dade Se o antecedente é falso e consequente é falso a condicional é verdadeira Temos o resultado de s t que é esse resultado se converte no antecedente de q Se o antecedente s t é verdadeiro e consequente q é verdadeiro as sim a condicional é observe a primeira linha da Tabela Verdade Se o antecedente é verdadeiro e o consequente é verdadeiro a condicional é verdadeira correto Agora sabemos que s t q é verdadeira Para finalizar resolvemos u Lembrando que já sabemos que u é falsa segundo o enunciado do exercício Observe a segunda linha da tabela da condicional Antecedente Consequente V u V F F Logo s t q u é falsa 63 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA Percebeu que é preciso resolver o exercício baseado nos valores definidos para cada letra e sempre consultar a Tabela de Verdade Portanto para resolver o exercício sempre inicie do simples para o complexo 1º s t verdadeiro 2º V q falsa 3º V u falsa Vamos resolver outro exercício para elucidar qualquer dúvida c u t q p q r 1º passo estabelecer o valor das letras considerando que temos r e r que possuem valores diferentes u t q p r r 2º passo resolver com a Tabela de Verdade da Conjunção t q 3º passo com esse valor resolver u t q 4º passo resolveremos a próxima proposição p q e com esse valor resolver r Agora vejamos o valor porque existe uma negação antes da proposição composta p q r Importante quando a negação está fora como nesse exemplo alterase o valor de toda a proposição composta Assim primeiro calculamos o valor de verdade e depois aplicamos a regra da negação que altera tudo Observando a tabela de Negação V passa para F e F passa para V 64 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA 5º passo por último quando já temos calculado o valor de verdade de A u t q B p q r Resolvemos A B observando a tabela da Bicondicional Respostas a F b V c V d F e F f F g F h F 3 a Considerando que Maria pesa mais de 95 kg e Cida não pode pesar mais de que 76 kg e além do mais os pesos de Maria e de Cida são múltiplos de 5 temos que Maria pesa 100 kg Cida 75 kg Renata 86 kg e Leila 92 kg b 8 3 6 4 1 2 5 9 7 9 CONSIDERAÇÕES Nesta unidade aprendemos sobre proposições conec tivos Tabela de Verdade e os princípios da Lógica Matemática que é uma das lógicas clássicas bivalente Esses conceitos são fundamentais para a compreensão do Cálculo Proposicional que estudaremos na próxima unidade 65 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA É importante ressaltarmos que na Tabela Verdade figu ram todos os possíveis valores de verdade que uma proposição pode ter Como essa lógica é uma lógica clássica ou seja está ba seada no princípio de terceiro excluído as proposições podem ter somente dois valores de verdade V ou F Na próxima unidade você terá oportunidade de estudar outros métodos além da Tabela de Verdade para determinar a validade de um argumento Também terá oportunidade de clas sificar as proposições em evidentemente verdadeira Tautolo gia evidentemente falsa Contradição ou contingências quan do na Tabela Verdade aparecem os valores de V e F de forma alternada 10 EREFERÊNCIAS DOTTAVIANO Í M L FEITOSA H A Sobre a história da Lógica a Lógica Clássica e o surgimento das lógicas não clássicas In SEMINÁRIO NACIONAL DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 5 2003 Rio Claro Anais 2003 Disponível em ftpftpcleunicamp brpubarquivoseducacionalArtGTpdf Acesso em 16 set 2015 KENNY A A lógica e os fundamentos da matemática 2009 Disponível em http criticanaredecomhtmllogicismohtml Acesso em 17 set 2015 11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALENCAR FILHO E Iniciação à Lógica Matemática São Paulo Editora Nobel 2002 AZEREDO V D Introdução à Lógica Ijuí Unijuí 2000 BOCHENSKI M Historia de la Lógica Formal Madrid Editorial Gredos 1966 BRANQUINHO J MURCHO D Enciclopédia de termos lógicofilosóficos Lisboa Grádiva 2001 COPI I M Introdução à Lógica São Paulo Mestre Jou 1978 DAGHLIAN J Lógica e Álgebra de Boole São Paulo Atlas 1995 66 LÓGICA II UNIDADE 1 QUESTÕES PRELIMINARES SOBRE A LÓGICA SIMBÓLICA FREGE G Sobre a justificação científica de uma conceitografia São Paulo Abril Cultural 1980 Coleção os Pensadores HAACK S Filosofia das lógicas São Paulo Unesp 2002 HAIGHT M A serpente e a raposa uma introdução à Lógica São Paulo Loyola 2003 HEGENBERG L Lógica simbolização e dedução São Paulo Edusp 1975 O cálculo sentencial São Paulo Edusp 1973 KNEALE W KNEALE M O desenvolvimento da Lógica Lisboa Calouste Gulbenkian 1991 MATES B Lógica elementar São Paulo Nacional Edusp 1967 MORTARI C A Introdução à Lógica São Paulo Unesp 2001 NEWTONSMITH W Lógica um curso introdutório Lisboa Gradiva 1988 PRIEST G Lógica Lisboa Temas e Debates 2002 PINTO P R M Introdução à Lógica Simbólica Belo Horizonte Ed UFMG 2006 SALMON W C Lógica Rio de Janeiro LTC 2009 TARSKI A A concepção semântica da verdade São Paulo Unesp 2006 67 VALIDADE DE ARGUMENTOS 1 OBJETIVOS Discernir e explicar o que são argumentos válidos e inválidos Utilizar a Tabela de Verdade para demonstrar a validade ou invalidade de argumentos Expor o método da dedução para demonstrar a validade dos argumentos 2 CONTEÚDOS Tabela de Verdade Dedução Natural Tautologias Contradições Contingência Equivalência lógica Implicação lógica UNIDADE 2 68 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS 3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE Antes de iniciar o estudo desta unidade leia as orientações a seguir 1 Para atingir os objetivos propostos nesta unidade é preciso entender o que é uma Tabela de Verdade e como ela é construída As Tabelas de Verdade nos permitem combinar todos os Valores de Verdade das proposições que serão analisadas e assim descobrir mos se são Tautológicas Contraditórias ou Contingen tes A Tabela de Verdade também é importante porque podemos determinar com o seu auxílio se um argu mento é válido ou inválido Como você já deve ter es tudado anteriormente determinar a validade de um argumento é uma das tarefas essenciais da Lógica A Lógica Simbólica é uma disciplina técnica apesar de sua vinculação com a tradição filosófica Desse modo para que seu aprendizado seja qualificado é funda mental a realização dos exercícios para que as dúvidas surgidas durante a sua execução sejam dirimidas 2 Surgiram algumas dúvidas em como assimilar a Tabela de Verdade Entre em contato com seu tutor ele esta rá apto a eliminar todas as suas dúvidas 4 INTRODUÇÃO Nesta unidade aprenderemos a distinguir um argumento válido de um inválido utilizando o método da Tabela de Verdade e o método da dedução Recapitulando o que foi estudado an teriormente um argumento é válido se a verdade das premissas implica a verdade da conclusão Dito de outro modo dizer que 69 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS um argumento é válido significa que não pode haver nenhuma situação em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão não Na unidade anterior estudamos as Tabelas de Verdades dos conectivos funcionais de verdade e ou se então e se e somente se De posse desse instrumental vejamos primeiro como construir Tabelas de Verdade para em seguida avaliarmos a validade dos argumentos 5 TABELA DE VERDADE Prof Dr Renato Kinouchi O estudo da Tabela de Verdade será realizado passo a passo para que não restem dúvidas em relação aos conteúdos estuda dos Em caso de dúvida recorra a seu tutor Quais são as contribuições da Tabela de Verdade para a Ló gica Simbólica Como são construídas as Tabelas de Verdade Como já dissemos na Unidade 1 por causa do Princípio do Terceiro Excluído as proposições só podem assumir um de dois valores V ou F O mais interessante é que de posse dos pos síveis valores de verdade das proposições atômicas podemos construir tabelas que expressam os valores de verdade de pro posições compostas Ou em outros termos o valor de verdade das proposições compostas é determinado univocamente pelos valores de verdade das proposições atômicas componentes Para fazer essa operação de composição de proposições compostas utilizamos um dispositivo chamado Tabela de Ver 70 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS dade que rastreia todos os valores de verdade possíveis para proposições quaisquer Para o caso mais simples o de duas pro posições atômicas p e q temos a seguinte Tabela de Verdade que as proposições podem assumir A proposição p pode assumir V ou F Quando p é V q pode ser V ou F Já quando p é F q também pode assumir V ou F Des sa forma existem quatro possibilidades assim expressas p q 1 V V 2 V F 3 F V 4 F F Observese que cada uma das proposições podendo assu mir um de dois estados possíveis faz com que as possibilidades de combinação sejam 2 elevado a n 2n sendo n o número de proposições Assim uma Tabela de Verdade para duas propo sições será 2² dois ao quadrado terá quatro linhas para três proposições será 2³ dois ao cubo ou oito linhas para quatro proposições será 2⁴ dois elevado a quarta potência ou trinta e duas linhas e assim por diante De fato as Tabelas de Verdade não são muito apropriadas para proposições compostas por mais de três proposições atô micas pois é bastante trabalhoso montar tabelas com tantas li nhas Uma Tabela de Verdade para três proposições atômicas p q e r é montada da seguinte forma 71 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS p q r 1 V V V 2 V V F 3 V F V 4 V F F 5 F V V 6 F V F 7 F F V 8 F F F É bom salientar que existe uma técnica para organizar bem uma Tabela de Verdade O que queremos representar são todas as combinações possíveis entre os valores das proposições Para montar uma tabela para duas proposições atômicas os valores V da primeira proposição variam de dois em dois en quanto os valores da segunda proposição alternamse de um em um Para o caso de três proposições os valores da primeira va riam de quatro em quatro os valores da segunda de dois em dois e os da terceira alternamse de um em um Esse procedimento garante que todas as combinações sejam satisfeitas Como forma de apreender melhor o modo como são apre sentadas as possibilidades de montagem de uma Tabela de Ver dade veja a seguir um diagrama mostrando todas as possíveis combinações entre os valores de verdade de p q e r Observe a figura a seguir 72 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS Figura 1 Diagrama de valores de verdade 6 PROVA DE VALIDADE Agora que já aprendemos a construir uma Tabela de Verda de vejamos como podemos determinar a validade de um argu mento utilizando esse método Observe o Argumento 1 Argumento 1 Ricardo estudou Filosofia ou Direito Ricardo não estudou Filosofia Logo Ricardo estudou Direito 73 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS O argumento anterior pode ser simbolizado da seguinte forma p q p q Como o argumento possui duas variáveis distintas no enunciado a Tabela de Verdade deve ter duas colunas iniciais e exigirá quatro linhas para enumerar todas as substituições pos síveis Além dessas colunas iniciais duas colunas adicionais para as premissas são requeridas Nesse caso não é necessária a co luna da conclusão pois ela é uma das variáveis Teremos então a seguinte Tabela de Verdade p q p q p V V V F V F V F F V V V F F F V Só existe um caso na tabela anterior linha 3 em que as premissas p q e p são verdadeiras Como a conclusão q também é verdadeira seguese que o argumento é válido pois na Tabela de Verdade não existe caso onde as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa Vejamos outro argumento 74 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS Argumento 2 Se Valmir foi ao jogo do São Paulo então o São Paulo ganhou Se Ronaldo foi ao jogo do São Paulo então o São Paulo ganhou Logo se Valmir foi ao jogo do São Paulo então Ronaldo foi ao jogo do São Paulo O Argumento 2 pode ser simbolizado da seguinte forma p q r q p r Como temos três variáveis distintas teremos uma tabela com oito linhas pois pela regra estudada temos oito combina ções diferentes de valores de verdade 23 8 As três primeiras colunas como na tabela anterior são destinadas às proposições simples e as três últimas são destinadas às premissas e à conclu são Assim temos a seguinte tabela p q r p q r q p r 1 V V V V V V 2 V V F V V F 3 V F V F F V 4 V F F F V F 5 F V V V V V 6 F V F V V V 7 F F V V F V 8 F F F V V V A segunda linha da tabela anterior mostranos que as pre missas p q e r q são verdadeiras e a conclusão p r é falsa 75 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS Essa linha mostranos que a definição de validade foi violada e desse modo o argumento anterior é inválido Não importa que as linhas 1 5 6 e 8 apresentem premissas e conclusão verdadei ra Se existir pelo menos um caso em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa o argumento será inválido De posse desses conhecimentos básicos sobre a Tabela de Verdade no tópico a seguir você verá como as tautologias con tradições contingências implicação e equivalência lógica ficam representadas em uma Tabela de Verdade Vamos lá 7 TAUTOLOGIAS CONTRADIÇÕES CONTINGÊN CIAS IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICA Iniciamos nosso tópico com o estudo da tautologia aque le tipo de proposição que independentemente dos valores de verdade que são atribuídos aos seus elementos constituintes é sempre verdadeiro Vejamos Tautologias Podemos definir tautologia como um enunciado que é ver dadeiro independentemente dos valores de verdade atribuídos a seus componentes mais elementares Assim o enunciado João é médico ou João não é médico simbolizado por p p é tau tológico pois sua Tabela de Verdade será a seguinte p p p p V F V F V V 76 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS A fórmula p p é verdadeira quaisquer que sejam os va lores de verdade atribuídos a p ou p A seguir veremos o caso em que a proposição é contradi tória ou seja em que é sempre falsa independentemente da verdade de seus elementos constituintes Acompanhe Contradição Os enunciados que são falsos independentemente dos va lores de verdade atribuídos às partes mais elementares do enun ciado serão definidos como contraditórios Assim o enunciado Laura é psicóloga e Laura não é psicóloga simbolizado por p p é contraditório pois qualquer que seja o valor de verdade atribuído a p e p a fórmula p p será sempre falsa Veja na tabela a seguir p p p p V F F F V F Depois de analisar a contradição conheceremos a contin gência que está presente nas proposições cujo valor de verdade demanda recorrermos à experiência para estabelecer Contingência Os enunciados contingentes são aqueles que dependem do valor de verdade das suas partes mais elementares Por exem plo o enunciado Silvia joga futebol e basquete simbolizado pela fórmula p q terá a seguinte tabela 77 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS p q p q V V V V F F F V F F F F A análise lógica não nos diz se a fórmula é verdadeira ou falsa É preciso saber os valores de verdade de p e q ou dito de outra forma saber se Silvia de fato joga futebol e basquete para sabermos se o enunciado é verdadeiro ou falso A análise lógica não é suficiente Temos de recorrer à experiência Implicação Ao dizermos a frase Estamos em crise econômica logo os salários sobem abaixo do custo de vida na linguagem corrente estamos admitindo uma relação de causa e efeito entre a crise econômica e o aumento dos salários Do ponto de vista matemático essa frase é uma implica ção Se estamos em crise econômica então implica que os salários sobem abaixo do custo de vida Mas devemos tomar muito cuidado Na lógica matemática não nos preocupamos com qualquer relação de causa e efeito entre o antecedente e o consequente de uma implicação semântica A implicação é um tipo de relação apenas centrado nos va lores de verdade das proposições Definição A proposição p implica a proposição q quando a condicio nal p q for uma tautologia 78 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS O símbolo representa uma operação lógicomatemá tica entre proposições O símbolo indica que existe implicação entre as propo sições Observe a seguir p Michi é um gato q Michi é um animal A proposição p implica a proposição q Se p é verdadeira então q também tem que ser verdadei ra porque a informação obtida em q está também incluída em p De igual modo se q é falsa p também deve ser falsa para que haja uma relação de implicação Resumindo a proposição p implica a proposição q quando a condicional p q for uma tautologia A implicação é muito importante na linguagem matemáti ca porque aparece sistematicamente nos teoremas que consti tuem as teorias matemáticas O símbolo p q significa p implica q e representa a im plicação lógica Diferenciação dos símbolos e O símbolo representa uma operação matemática en tre as proposições p e q que tem como resultado a proposição p q Vamos analisar aplicando a Tabela Verdade da condicional a proposição p q p q 79 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS p q p q p q p q p q V V V V V V F F F V F V F F V F F F V V Portanto p q p q é uma tautologia e por isso podemos firmar que existe uma relação de implicação p q p q Dizse que uma proposição p implica a proposição q se e somente se a Tabela de Verdade de p q for uma tautologia Equivalência Há equivalência entre as proposições p e q somente quan do a bicondicional p q for uma tautologia ou quando p e q tiverem os mesmos valores na Tabela Verdade e a proposição p q for uma tautologia p q p é equivalente a q é o símbolo que representa a equivalência lógica Diferenciação dos símbolos e Vejamos a tabela da bicondicional p q p q p q p q p q p q p q p q V V F F F F V V F F V F F V F V V F F F V F F V V V V V 80 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS Portanto p q p q é uma tautologia por isso podemos firmar que existe uma relação de equivalência lógica p q p q Para finalizar esse tópico é interessante observar que em bora a Tabela de Verdade nos permita distinguir com segurança argumentos válidos de inválidos ela possui uma limitação a sa ber como manipular uma tabela com digamos dez variáveis Essa tabela teria 1024 linhas o que tornaria impraticável o seu uso para determinar a validade desse argumento Para escapar dessa dificuldade estudaremos no tópico a seguir o método de dedução 8 DEDUÇÃO NATURAL O método de dedução permitenos testar a validade dos argumentos recorrendo somente a uma sequência de raciocínios válidos que são conhecidos como regras de inferência Antes de examinarmos passo a passo o processo de dedução é necessário que conheçamos algumas dessas regras Vamos lá Regras de inferência A validade das regras de inferência a seguir pode ser esta belecida por meio de Tabelas de Verdade A título de exercício faça a verificação MODUS PONENS MP p q p q 81 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS SILOGISMO HIPOTÉTICO SH p q q r p r DILEMA CONSTRUTIVO DC p q r s p r q s SIMPLIFICAÇÃO p q p ADIÇÃO p p q MODUS TOLLENS MT p q q p 82 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS SILOGISMO DISJUNTIVO SD p q p q ABSORÇÃO ABS p q p q p CONJUNÇÃO p q p q Agora que já conhecemos as regras de inferência pode mos aprender como se faz uma prova formal de validade que é definida por Copi 1978 p 260261 como segue Definimos a prova formal de validade de um argumento dado como uma sequência de enunciados cada uma das quais tam bém é uma premissa desse argumento ou decorre de enuncia dos precedentes mediante um argumento elementar válido e de modo tal que o último enunciado na sequência é a conclu são do argumento cuja validade estamos demonstrando Suponha o seguinte argumento 83 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS p q q r r s s p t t Nesse sentido temos de saber se a conclusão t segue das cinco premissas Faremos isso nos baseando em nossas regras de inferência Por meio destas construiremos raciocínios interme diários que nos permitirão saber se a proposição t pode ser deri vada das premissas Assim nossa prova será do seguinte modo 1 p q 2 q r 3 r s 4 s 5 p t t 6 p r 12 SH 7 p s 63 SH 8 p 74 MT 9 t 58 SD A linha 6 é construída usando a regra dos Silogismo Hipo tético nas linhas 1 e 2 A linha 7 é formada pela aplicação novamente da regra do Silogismo Hipotético nas linhas 3 e 6 A linha 8 é formada pela aplicação da regra Modus Tollens nas linhas 4 e 7 84 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS Por fim concluímos t a partir das linhas 5 e 8 utilizando a regra do Silogismo Disjuntivo e demonstramos que nosso argu mento é válido Podemos dizer que em forma de uma equação o argu mento fica representado da seguinte forma 1 2 6 3 7 4 8 5 9 p q q r p r r s p s s p p t t Vamos aprimorar essa nova técnica que você acaba de conhecer Aprimorando a dedução Existem alguns argumentos cuja validade não pode ser de monstrada usando apenas as nove regras de inferências men cionadas na seção anterior Assim não conseguimos demonstrar o seguinte argumento válido sem o auxílio de regras adicionais p q r q p r 85 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS Essas regras são conhecidas como equivalências lógicas e as expressões equivalentes podem se substituir mutuamente onde quer que ocorram Vejamos a seguir essas regras Equivalências lógicas Em uma dedução também são válidas as seguintes regras DE MORGAN p q p q p q p q ASSOCIAÇÃO p q r p q r p q r p q r COMUTAÇÃO p q q p p q q p DISTRIBUIÇÃO p q r p q p r p q r p q p r DUPLA NEGAÇÃO p p 86 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS IMPLICAÇÃO MATERIAL p q p q TRANSPOSIÇÃO p q q p EQUIVALÊNCIA MATERIAL p q p q q p p q p q p q TAUTOLOGIA p p p p p p EXPORTAÇÃO p q r p q r Com essas regras adicionais ficamos mais bem preparados para demonstrar a validade formal dos argumentos semelhantes ao apresentado anteriormente Podemos mostrar a validade dessas regras por meio da Ta bela de Verdade ou da Dedução Natural No entanto deixaremos essa tarefa para você Escolher qual dos métodos utilizar nem sempre é uma tarefa fácil De acordo com Copi 1978 p 268 Embora uma prova formal de validade seja efetiva no sentido de que pode decidirse mecanicamente para qualquer sequên cia de enunciados se aquela é ou não uma prova a constru ção dessa prova formal não é em si mesma um procedimento 87 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS eficaz A este respeito as provas formais diferem das tabelas de verdade O uso das tabelas de verdade é completamente mecânico dado qualquer argumento do gênero daqueles que estamos agora interessados poderemos sempre construir uma tabela de verdade para testar a sua validade de acordo com as simples regras de procedimento estabelecida no capítulo pre cedente Mas não dispomos de regras efetivas ou mecânicas para a construção de provas formais Neste caso devemos pen sar ou imaginar por onde se deve começar e como prosseguir Com a apresentação das regras complementares termina mos a apresentação do Cálculo Proposicional Nas próximas uni dades começaremos o estudo do Cálculo de Predicados 9 TEXTOS COMPLEMENTARES Demonstrações Versus Derivações O excerto a seguir pertence ao artigo do livro Gödel Escher Bach um entrela çamento de gênios brilhantes de Douglas R Hofstadter O cálculo proposicional é muito semelhante ao raciocínio de diversas manei ras mas suas regras não devem ser equiparadas às regras do pensamen to humano Uma demonstração é algo informal ou em outras palavras um produto do pensamento normal escrito em linguagem humana para consumo humano Todos os tipos de aspectos complexos do pensamento podem ser empregados em demonstrações e embora eles possam parecer corretos podese sempre cogitar se eles podem ser defendidos logicamente É para isso na verdade que a formalização existe Uma derivação é uma contrapar tida artificial de uma demonstração e seu propósito é o de alcançar o mesmo objetivo mas por meio de uma estrutura lógica cujos métodos são não só totalmente explícitos mas também muito simples Se como normalmente acontece uma derivação formal for extremamente longa em comparação com a demonstração natural correspondente paciên cia É o preço a pagar para que cada passo seja tão simples em sentidos complementares da palavra A demonstração é simples na medida em que cada passo parece correto embora não se saiba exatamente por quê a de rivação é simples na medida em que cada um de seus milhares de passos é considerado tão trivial que fica acima de reparos e uma vez que a derivação como um todo consiste exclusivamente em tais passos triviais ela é suposta 88 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS mente livre de erros No entanto cada tipo de simplicidade traz consigo um tipo característico de complexidade No caso das demonstrações é a com plexidade do sistema subjacente cujo fundamento por sua vez é a linguagem humana e no caso das derivações é seu tamanho astronômico que torna quase impossível dominálas Assim o cálculo proposicional deve ser visto como parte de um método geral de sintetização de estruturas artificiais semelhantes a demonstrações Contu do ele não tem demasiada flexibilidade ou generalidade Ele se destina a ser empregado apenas com relação a conceitos matemáticos os quais são por si só bastante rígidos HOFSTADTER 2001 p 213 Regras de dedução natural A dedução natural é um método de demonstração introduzido independen temente por Gerhard Gentzen em 1935 e Stanislaw Jaskowski em 1934 Os sistemas de dedução natural caracterizamse entre outros aspectos por não apresentarem um conjunto de axiomas e regras de inferências mas apenas um conjunto de regras Neste artigo apresentaremos um conjunto de regras primitivas de dedução natural reservando para o final algumas considerações sobre as vantagens deste sistema que hoje em dia suplantou já nos meios fi losóficos os sistemas axiomáticos Os vários sistemas hoje existentes diferem ligeiramente em algumas das regras mais subtis Um dos aspectos mais interessantes dos sistemas de dedução natural resulta do facto de exigirem que as derivações exibam em cada passo as premissas das quais esse passo depende Esta exigência não existe nos sistemas axio máticos A seu tempo veremos uma importante consequência lógicofilosófica desta exigência Para já é útil dar uma ideia de como ela funciona Uma demonstração é constituída por 4 colunas Na coluna 1 a coluna das dependências exibemse as dependências lógicas Se o passo em causa for uma premissa escrevese Prem se for uma suposição escrevese Sup Caso contrário teremos de escrever o número da premissa ou suposição da qual o nosso passo depende caso dependa de alguma A coluna 1 é também conhe cida como coluna do cálculo do conjunto de premissas A diferença entre premissas e suposições é a seguinte muitas vezes no decur so de uma derivação queremos introduzir fórmulas a título hipotético as quais serão a seu tempo eliminadas Chamamos suposições a estas fórmulas Na coluna 2 limitamonos a numerar os passos da nossa derivação É a coluna da numeração 89 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS Na coluna 3 efetuamos o cálculo propriamente dito é nesta coluna que apre sentamos as fórmulas que estamos a manipular É a coluna do cálculo Na coluna 4 justificamos a inferência apresentada na coluna 3 É a coluna da justificação Nesta coluna afirmamos que o nosso passo resulta por exemplo do passo 4 por uma aplicação da regra da eliminação da conjunção O estudante tem tendência para confundir o papel da coluna da justificação com a coluna das dependências Afinal se justificamos um resultado apelando para o passo 4 para retomar o nosso exemplo parece óbvio que na coluna das dependências terá de surgir o número 4 Um dos resultados do estudo da lógica é a tomada de consciência de que nem tudo o que parece óbvio é ver dade e este é um desses casos Se o passo 4 do nosso exemplo não for uma premissa nem uma suposição o número que devemos inscrever na coluna das dependências não é 4 Isto acontece porque o que nos interessa é registrar as premissas das quais o nosso resultado depende MURCHO 2001 Sugerimos que você procure responder discutir e comen tar as questões a seguir que tratam da temática desenvolvida nesta unidade ou seja da verificação da validade dos argumen tos por meio da Tabela de Verdade e da Dedução Natural 10 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS Neste momento convidamos você a fazer uma autoava liação de sua aprendizagem sobre os conteúdos estudados na Unidade 2 Para tanto questionese Consigo apontar e analisar as proposições na linguagem do Cálculo Proposicional Sei traduzir as proposições categóricas da linguagem ordinária para a linguagem do Cálculo Proposicional Tenho condições de elaborar uma Tabela de Verdade e avaliar a validade dos argumentos Ainda tenho dúvidas em relação aos conteúdos abordados Quais procedimentos posso utilizar para eliminálas 90 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS A autoavaliação pode ser uma ferramenta importante para você testar o seu desempenho Se você encontrar dificuldades em responder a essas questões procure revisar os conteúdos es tudados para sanar as suas dúvidas Esse é o momento ideal para que você faça uma revisão desta unidade Lembrese de que na Educação a Distância a construção do conhecimento ocorre de forma cooperativa e colaborativa compartilhe portanto as suas descobertas com os seus colegas Confira a seguir as questões propostas para verificar o seu desempenho no estudo desta unidade 1 Avalie as expressões a seguir resolva a Tabela de Verdade indicando quais proposições moleculares são tautologia contingência e contradição a p q r p q r b p q p q c p q p q d p q p q e p q q p f p q p g A negação de uma tautologia é sempre uma h Dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e fal sa é sempre portanto a fórmula p p é uma 2 Considerando que existe equivalência lógica entre duas proposições p e q quando as Tabelas de Verdade de ambas são idênticas podemos afirmar que existe implicação lógica ou relação de Implicação entre duas proposições p e q quando a Proposição condicional p q é uma tautologia Assim responda as questões a seguir a Existe equivalência entre estas duas proposições p q r p q r b As proposições a seguir são equivalentes c Sairei de viagem a não ser que precise realizar a prova sub d Sairei de viagem se e só se não precisar fazer a prova sub 91 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS e Existe implicação ou equivalência entre estas duas proposições p q p q q p f Está correta a afirmação a seguir p q só se p q é uma tautologia g Explique com suas palavras a lei de Modus Ponens p q p q e demonstre se a mesma configura implicação lógica h Explique com suas palavras a lei de Modus Tollens p q q p e demonstre se a mesma configura Implicação Lógica i Dada a proposição p q p existe Implicação Lógica 3 Demonstre a validade das seguintes regras de inferência utilizando o mé todo da Tabela de Verdade a Silogismos disjuntivos 1 P P Q Q 1 P P Q Q b Silogismos hipotéticos 2 P Q Q R P R 3 P Q Q R P R 4 Verifique na Tabela de Verdade as Primeiras Leis de de Morgan ma temático inglês Augustus De Morgan 1806 1871 para comprovar as seguintes afirmações a p q p q que na linguagem natural equivale a Negar que se realizam em simultâneo dois acontecimentos é afirmar que não se realiza pelo menos um deles Negar a simultaneidade de p e q é afirmar pelo menos não p ou não q b p q p q que na linguagem natural equivale a Negar que se realiza pelo menos um de dois acontecimentos é afirmar que não se realiza nem um nem outro Negar a ocorrência de pelo menos p ou q é afirmar nem p nem q c As seis regras de inferência apresentadas são formas válidas de infe rência Ou seja a conclusão é decorrência lógica das premissas 5 Sobre a Dedução natural responda as seguintes questões a Para que serve b Para que não serve c Quantas regras básicas se utilizam 92 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS 6 Observe o exemplo a seguir siga o mesmo raciocínio e comprove se é vá lido o raciocínio com a seguinte estrutura 1 P1 Se alguém desliga o interruptor então a sala fica escura 2 P2 Alguém desliga o interruptor 3 Logo A sala fica escura Forma simbólica p q p q Equivale ao Modus ponens Na Tabela de Verdade temos o seguinte p q p q V V V nesta linha é verdadeira V F F F V V F F V Resposta é uma forma válida de argumento Agora é sua vez de resolver o exercício utilizando a fórmula Modus Tollens 1 P1 Se alguém desliga o interruptor então a sala fica escura 2 P2 A sala não fica escura 3 Logo Não desligaram a interruptor Você deve realizar a a Forma simbólica b Tabela de Verdade c Uma conclusão 93 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS Gabarito 1 a Tautologia b Contradição c Contingência d Tautologia e Contingência f Contingência g Contradição h Contradiçãocontradição 2 a Sim existe equivalência lógica entre as duas proposições b Sim são equivalentes porque sempre que uma for verdadeira a outra também será verdadeira c Como a Tabela de Verdade de A é idêntica à Tabela de Verdade de B existe equivalência lógica A B d Sim está correta e Dado um condicional e afirmando Ponens o antecedente podese afirmar Ponens o consequente Portanto sim configura implicação lógica f Dado um condicional e negando Tollens o consequente podese ne gar Tollens o antecedente Portanto sim configura implicação lógica g Sim existe implicação 3 Silogismos disjuntivos Silogismos Hipotéticos e as duas leis de De Morgan são raciocínios válidos Um raciocínio válido pode sempre ser reduzido a uma tautologia 4 a Configura uma tautologia b Configura uma tautologia c Sim as seis regras de inferência são formas válidas 94 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS 5 a A dedução natural serve para tentar demonstrar que um raciocínio é correto para comprovar a validade de um sequente b Não serve para demonstrar a invalidade de uma suposição c As regras que se utilizam na dedução natural são nove 6 a p q p p b p q p q P q V V F F V se p q q p V F F V F F V V F V F F V V V Conclusão é uma forma válida de argumento 11 CONSIDERAÇÕES Nesta unidade aprendemos sobre a validade de argumen tos no Cálculo Proposicional Estudamos que as operações de dedução se efetuam com um conjunto de símbolos e regras que possibilitam criar fórmulas No entanto essas técnicas associadas aos conetivos mui tas vezes são insuficientes para poder decidir sob a verdade ou falsidade de argumentos porque não há recursos para simboli 95 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS zar verbos e predicados O Cálculo Proposicional é apenas uma parte da Lógica Clássica Nas próximas unidades começaremos o estudo do Cálcu lo de Predicados que entra na estrutura lógica das proposições atômicas distinguindo indivíduos de predicativos Bons estudos 12 EREFERÊNCIAS KENNY A A Lógica e os fundamentos da Matemática 2009 Disponível em http criticanaredecomhtmllogicismohtml Acesso em 22 set 2015 MURCHO D Regras de dedução natural 2001 Disponível em httpcriticanarede comhtmlfilregrashtml Acesso em 22 set 2015 13 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALENCAR FILHO E Iniciação à Lógica Matemática São Paulo Editora Nobel 2002 AZEREDO V D Introdução à Lógica Ijuí Unijuí 2000 BOCHENSKI M Historia de la Lógica Formal Madrid Editorial Gredos 1966 BRANQUINHO J MURCHO D Enciclopédia de termos lógicofilosóficos Lisboa Gradiva 2001 COPI I M Introdução à Lógica São Paulo Mestre Jou 1978 DAGHLIAN J Lógica e Álgebra de Boole São Paulo Atlas 1995 FREGE G Sobre a justificação científica de uma conceitografia São Paulo Abril Cultural 1980 Coleção Os Pensadores HAACK S Filosofia das lógicas São Paulo Unesp 2002 HAIGHT M A serpente e a raposa uma introdução à Lógica São Paulo Loyola 2003 HEGENBERG L Lógica simbolização e dedução São Paulo Edusp 1975 O cálculo sentencial São Paulo Edusp 1973 96 LÓGICA II UNIDADE 2 VALIDADE DE ARGUMENTOS HOFSTADTER D R Gödel Escher Bach um entrelaçamento de gênios brilhantes São Paulo Imprensa Oficial do EstadoEditora Universidade de Brasília 2001 KNEALE W KNEALE M O desenvolvimento da Lógica Lisboa Calouste Gulbenkian 1991 MATES B Lógica elementar São Paulo NacionalEdusp 1967 MORTARI C A Introdução à Lógica São Paulo Unesp 2001 NEWTONSMITH W Lógica um curso introdutório Lisboa Gradiva 1988 PINTO P R M Introdução à Lógica Simbólica Belo Horizonte UFMG 2006 PRIEST G Lógica Lisboa Temas e Debates 2002 SALMON W C Lógica Rio de Janeiro LTC 2009 97 UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS 1 OBJETIVOS Reconhecer a linguagem do Cálculo de Predicados CP Traduzir proposições da linguagem ordinária para a lin guagem do Cálculo de Predicados 2 CONTEÚDOS Constantes individuais Constantes de predicados Variáveis individuais Quantificadores 3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE Antes de iniciar o estudo desta unidade é importante que você leia as orientações a seguir 1 Para atingir os objetivos propostos para esta unidade atentese para o papel dos quantificadores no Cálcu lo de Predicados Eles foram desenvolvidos porque os argumentos expressos na forma sujeito e predicado não podem ser expressos na linguagem proposicional Assim continuaremos a formalizar a linguagem ordi 98 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS nária Os quantificadores apresentam um significado preciso o que ajuda a eliminar a ambiguidade da lin guagem corrente e dessa forma permite que essa lin guagem seja simbolizada Ao observar esses quantifi cadores todos compreendem o seu significado Como sustentamos anteriormente não é preciso decorar os símbolos O importante é compreender o processo que levou à simbolização de linguagem Com o desen volvimento dos exercícios o significado desses conec tivos será assimilado de forma natural 2 Participe ativamente do estudo procure estabele cer contato com o material por meio de tantos meios quantos forem possíveis leia o texto depois faça uma revisão preferencialmente em voz alta a fim de orga nizar seus pensamentos após compreender o texto estabeleça conexões entre os temas e sua realidade faça a síntese dos textos usando técnicas de redação como resumos resenhas mapas conceituais etc pro cure enriquecer as anotações com sua contribuição pessoal 3 Aprofunde seus conhecimentos sobre o tema que es tamos estudando Para tanto sugerimos que acesse o site de busca de sua preferência e pesquise utilizan do a expressão linguagem do cálculo de predicados como palavrachave para sua busca 4 Amplie seus conhecimentos sobre a sintaxe do Cálculo de Predicados Para tanto pesquise as obras referen ciadas no final desta unidade 99 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS 4 INTRODUÇÃO Nas unidades anteriores aprendemos a formalizar algu mas proposições e determinados argumentos da linguagem cor rente Por exemplo a proposição Paulo foi ao médico e ao tea tro pode ser simbolizada por p q ao passo que o argumento Paulo foi ao cinema ou ao teatro Paulo não foi ao teatr o Logo Paulo foi ao cinema Pode ser formalizado da seguinte maneira p q p q Porém com o recurso da Lógica Proposicional teríamos alguns problemas em formalizar o seguinte argumento Todo paulista é brasileiro Lúcia é brasileira Portanto Lúcia é paulista Isso porque a formalização na linguagem do Cálculo Pro posicional teria a seguinte forma b l p Com essa simbolização o argumento parece inválido já que é fácil ver que tomando b como exemplo um único símbo 100 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS lo não formaliza adequadamente a proposição Todo paulista é brasileiro Observe que a dificuldade em formalizar esse tipo de argu mento ocorre porque os argumentos que estudamos nas unidades anteriores eram formados por enunciados compostos o que não ocorre com esse argumento Uma análise gramatical do enunciado Lúcia é brasileira classificaria Lúcia como sujeito da oração e brasileira como predicado Nesse sentido o sujeito denota um indivíduo particular já o predicado designa a propriedade atribuí da ao indivíduo Então temos de aprimorar as técnicas lógicas que apren demos para avaliar satisfatoriamente a validade desse tipo de argumento Como os enunciados que compõem os argumentos que estudaremos nesta unidade possuem a estrutura sujeito e predicado costumase chamar essa parte da lógica de Cálculo de Predicados Assim procederemos agora ao estudo dessa par te importante da Lógica Clássica Acompanhe 5 A LINGUAGEM DO CÁLCULO DE PREDICADOS Antes de definirmos nossa linguagem devemos ressaltar que o Cálculo de Predicados é o cerne da Lógica Clássica Esta por sua vez não deve ser confundida com a Lógica Aristotélica que muitas vezes é chamada de Lógica Tradicional A Lógica Clássica caracterizase por respeitar os três princí pios tradicionais Princípio de Identidade Princípio de Não Con tradição e Princípio do Terceiro Excluído Feita essa breve digressão vamos voltar à linguagem do Cálculo de Predicados 101 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS Assim como a linguagem ordinária a linguagem formal também possui um alfabeto próprio ou um conjunto de símbo los essenciais Possui também uma gramática para que possa mos distinguir as expressões bem formadas das malformadas Por exemplo 9 X 6 e 9 X 6 3 57 são expressões da linguagem da aritmética porém só a segunda é uma expressão bem formada Dissemos na introdução que o sujeito denota um indi víduo particular Não devemos concluir disso que o termo in divíduo se refira apenas a pessoas No enunciado Este livro é excelente o sujeito do enunciado é este livro e também o indivíduo que o sujeito denota Esclarecido esse ponto passemos às definições das expres sões básicas de nossa linguagem Usaremos letras minúsculas de a até w para designar indivíduos Chamaremos esses símbolos de constantes individuais É uma prática comum designar um indivíduo pela primeira letra de seu nome Desse modo os indivíduos Carlos mesa livro e Sergipe podem ser representados respectivamente pelas letras c m l e s Podemos dizer então que as constantes individuais fun cionam como nomes Elas podem substituir nomes próprios como Maria Paulo e Simone assim como descrições defi nidas por exemplo o atual presidente do Brasil Vamos à simbolização dos predicados Dissemos anteriormente que um predicado designa a propriedade que se atribui ao indivíduo Empregaremos letras maiúsculas de A até W para designar propriedades Chama remos esses símbolos de constantes de predicado e seguiremos 102 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS esse princípio adotado no uso dessas constantes Assim os pre dicados de ser feliz gentil e honesto podem ser represen tados respectivamente por F G e H Suponha que desejemos traduzir para a linguagem de Cál culo de Predicados CP de agora em diante o enunciado Fausto é médico Teríamos então a seguinte formalização Mf Note que na linguagem do CP o símbolo de predicado é escri to antes da constante individual Essa prática porém é apenas convencional Nada nos impede de fazermos ao contrário É pre ciso claro usar a notação de forma homogênea Como é usual escrevermos as constantes de predicado antes das constantes individuais adotaremos essa prática nesta obra A segunda premissa do argumento apresentado na intro dução Lúcia é brasileira será simbolizada da seguinte manei ra Bl Já vimos como funcionam as constantes individuais e de predicados Os enunciados formados na linguagem do CP que usam essas constantes podem ser verdadeiros ou falsos O enunciado Rex é um cachorro por exemplo pode ser formali zado da seguinte forma Cr Ele pode ser verdadeiro ou falso O que podemos dizer no entanto a respeito do enunciado x é um cachorro Como esse indivíduo não está especificado não podemos dizer se a ex pressão é verdadeira ou falsa Para escrevermos expressões des se tipo na linguagem do CP utilizaremos variáveis individuais que serão simbolizadas pelas letras minúsculas x y e z Assim o enunciado x é uma roupa será simbolizado da seguinte forma Rx Não é verdadeiro nem falso ao passo que o enunciado Blu sa de lã é uma roupa Rb pode ser verdadeiro ou falso 103 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS As variáveis individuais assim como as constantes funcio nam como nomes A diferença entre ambas é que as variáveis não denotam um sujeito específico Com as definições apresentadas podemos traduzir uma parte da linguagem ordinária que se utiliza da estrutura sujeito e predicado Mas como traduzir enunciados gerais do tipo Todo paulista é brasileiro Você aprenderá a fazer tal tradução a se guir quando estudarmos os quantificadores 6 QUANTIFICADORES Até agora o que aprendemos da linguagem do CP nos per mite tratar de proposições singulares isso porque as constantes individuais designam indivíduos particulares Como representa mos então as proposições gerais A proposição Todos são inteligentes é uma proposição que não se refere apenas a um ser em particular mas a todos eles Para representarmos esse tipo de proposição utilizaremos o símbolo que procura simbolizar as locuções para todo qual quer que seja todos e assim por diante Com essa notação po demos formalizar essa proposição da seguinte forma xIx e lemos Para todo x x é inteligente O símbolo é conhecido como quantificador universal visto que ele procura simbolizar proposições universais ou seja proposições referentes a todos os membros da classe designada pelo seu termo sujeito O quantificador universal será sempre seguido de uma variável Ele estende uma determinada proprie dade a todos os indivíduos de uma classe Assim temos que a proposição xPx pode ser lida A propriedade P vale para todo x 104 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS Costumamos chamar o símbolo de quantificador exis tencial e este corresponde em português além da expressão já citada aos termos algum alguns alguém etc Sobre os quantifi cadores Susan Haack afirma Frege que inventou a teoria da quantificação deu grande ênfa se à importância de deslocar a atenção da distinção sujeitopre dicado para a distinção funçãoargumento Uma conseqüência essencial à adequação do formalismo para representar o argu mento matemático é admitir relações uma vez que se podem ter funções de mais de um argumento Uma outra que é mais relevante para nossos propósitos atuais é admitir funções de segundo nível a categoria dos quantificadores Por exemplo dizer que existem cães de três pernas de acordo com Frege é dizer que o conceito cão de três pernas não é vazio HAACK 2002 p 72 Cabe lembrar que o quantificador existencial vem sempre seguido de uma variável da mesma forma que o quantificador universal Existe ainda outra forma de proposição geral a saber al guém é professor Essa proposição é considerada geral porque não sabemos a que indivíduo a proposição se refere Embora a proposição se refira a um indivíduo particular este não está determinado Outra forma de escrever a proposição anterior é existe um x tal que x é professor Utilizaremos o símbolo para simbolizar a frase existe um x tal que e assim a nossa propo sição pode ser simbolizada da seguinte maneira xPx onde lemos Existe um x tal que x é professor Com a introdução dos quantificadores completamos a linguagem do CP Essa linguagem permitenos simbolizar frases com sujeito e predicado da linguagem corrente Na próxima uni dade estudaremos com o recurso dessa linguagem as proposi ções categóricas que você já estudou anteriormente 105 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS 7 TEXTO COMPLEMENTAR A Lógica e os fundamentos da Matemática A lógica de Frege O acontecimento mais importante na história da filosofia do século XIX foi a invenção da lógica matemática Não se tratou apenas de fundar de novo a pró pria ciência da lógica foi algo que teve igualmente consequências importan tes para a filosofia da matemática para a filosofia da linguagem e em última análise para a compreensão que os filósofos têm sobre a natureza da própria filosofia O principal fundador da lógica matemática foi Gottlob Frege Nascido na costa báltica alemã em 1848 Frege 18481925 doutorouse em Filosofia em Göttingen e ensinou na Universidade de Jena de 1874 até se reformar em 1918 Excepto no que respeita à actividade intelectual a vida de Frege foi rotineira e isolada o seu trabalho foi pouco lido enquanto viveu e mesmo de pois da sua morte só exerceu influência por intermédio dos escritos de outros filósofos Mas gradualmente foise reconhecendo que Frege foi o maior de todos os filósofos da matemática e que como filósofo da lógica foi comparável a Aristóteles A sua invenção da lógica matemática foi uma das maiores contri buições para os desenvolvimentos em diversas disciplinas que estiveram na origem da invenção dos computadores Dessa forma Frege afectou as vidas de todos nós A produtiva carreira de Frege começou em 1879 com a publicação de um opús culo intitulado Begriffschrift ou Escrita Conceptual A escrita conceptual que deu o título ao livro consistia num novo simbolismo concebido com o fim de exibir claramente as relações lógicas escondidas na linguagem comum A no tação de Frege logicamente elegante mas tipograficamente incómoda já não é usada em lógica simbólica mas o cálculo por ele formulado constitui desde então a base da lógica moderna Em vez de fazer da silogística aristotélica a primeira parte da lógica Frege atribuiu esse lugar a um cálculo inicialmente explorado pelos estóicos o cál culo proposicional ou seja o ramo da lógica que trata das inferências que assentam na negação conjunção disjunção etc quando aplicadas a frases declarativas no seu todo O seu princípio fundamental que remonta igual mente aos estóicos consiste em considerar que os valores de verdade isto é verdadeiro ou falso das frases declarativas que contêm conectivos como e se ou são determinados apenas pelos valores de verdade das frases ligadas pelos conectivos da mesma forma que o valor de verdade da frase João é gordo e Maria é magra depende apenas dos valores de verdade de João é gordo e de Maria é magra As frases compostas no sentido técnico 106 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS dos lógicos são tratadas como funções de verdade das frases simples que entram na sua composição O Begriffschrift de Frege contém a primeira formu lação sistemática do cálculo proposicional este é apresentado sob uma forma axiomática na qual todas as leis da lógica são derivadas por meio de regras de inferência a partir de um certo número de princípios primitivos A maior contribuição de Frege para a lógica foi a sua invenção da teoria da quantificação isto é um método para simbolizar e exibir rigorosamente as inferências cuja validade depende de expressões como todos ou alguns qualquer ou cada um nada ou nenhum Este novo método permitiulhe entre outras coisas reformular a silogística tradicional Existe uma analogia entre a inferência Todos os homens são mortais Sócrates é um homem Logo Sócrates é mortal e a inferência Se Sócrates é um homem Sócrates é mortal Sócrates é um homem Logo Sócrates é mortal A segunda é uma inferência válida no cálculo proposicional se p então q dado que p seguese que q Mas nem sempre pode ser considerada uma tradução da primeira inferência uma vez que a sua primeira premissa parece afirmar algo acerca de Sócrates em particular ao passo que se Todos os homens são mortais for verdadeira então Se x é um homem x é mortal será verdadeira independentemente do nome que substituir a variável x De facto esta frase continuará a ser verdadeira mesmo que x seja substituída por um nome que não designe homem algum uma vez que nesse caso a antecedente é falsa e de acordo com as regras verofuncionais para frases declarativas condicionais a frase na sua totalidade será verdadeira Assim podemos exprimir a proposição tradicional Todos os homens são mortais desta forma Para todo o x se x é um homem x é mortal Esta reformulação constitui a base da teoria da quantificação de Frege para vermos como isso acontece temos que explicar de que forma Frege concebeu cada um dos elementos que contribuem para formar uma frase complexa 107 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS Frege introduziu a terminologia da álgebra na lógica Pode dizerse que uma expressão algébrica como x2 1 representa uma função de x o valor do número representado pela expressão na sua globalidade dependerá da substituição que se fizer para a variável x ou em terminologia técnica do argumento que tomarmos para a função Assim o valor da função é 3 se o argumento for 4 e é 4 se o argumento for 6 Frege aplicou esta terminologia argumento função valor tanto a expressões da linguagem comum como a expressões em notação matemática Substituiu as noções gramaticais de sujeito e de predicado pelas noções matemáticas de argumento e de função e a par dos números introduziu os valores de verdade como valores possíveis de expressões Assim x é um homem representa uma função que toma o valor verdadeiro para o argumento Sócrates e o valor falso para o argumento Vénus A expressão para todo o x que introduz a frase anterior diz em termos fregianos que o que se lhe segue se x é um homem x é mortal é uma função verdadeira para qualquer argumento A uma expressão deste tipo chamase quantificador Além de para todo o x o quantificador universal existe também o quantificador particular para algum x que diz que o que se lhe segue é verdadeiro para pelo menos um argumento Então alguns cisnes são pretos pode representarse num dialecto fregiano como para algum x x é um cisne e x é preto Pode considerarse que esta frase é equivalente a existem coisas que são cisnes pretos e na verdade Frege usou o quantificador particular para representar a existência Assim Deus existe ou há um Deus é representada no seu sistema por para algum x x é Deus O uso da sua nova notação para a quantificação permitiu a Frege apresentar um cálculo que formalizou a teoria da inferência de uma forma mais rigorosa e mais geral do que a tradicional silogística aristotélica a qual até à época de Kant fora considerada o suprasumo da lógica Depois de Frege a lógica formal podia pela primeira vez lidar com argumentos que envolviam frases com quantificação múltipla frases que eram por assim dizer quantificadas em ambos os extremos tais como ninguém conhece toda a gente e qualquer criança em idade escolar pode dominar qualquer língua KENNY 2009 Para compreender melhor os quantificadores é importan te que você faça os exercícios propostos no tópico a seguir 108 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS 8 QUESTÕES AUTOVALIATIVAS Confira a seguir as questões propostas para verificar o seu desempenho no estudo desta unidade 1 Como estudamos na linguagem CP os nomes são simbolizados com le tras minúsculas a b c n E para os predicados são utilizadas as letras maiúsculas F G R Observe o exemplo a seguir Patrícia é mulher Mp sendo que p representa Patrícia e M represen ta mulher William é médico Gb em que b representa William e G representa médico as letras não precisam coincidir com as iniciais das palavras Lula é aposentado e Dilma é presidente Rd Hc A seguir transforme as proposições na linguagem natural para a lingua gem CP a Dilma é presidente b Lula é aposentado c Brasília é grande e moderna 2 Neste exercício vamos empregar as variáveis individuais Expressões como x é um mamífero são denominadas função proposicional por te rem um componente indeterminado e são simbolizadas com as últimas letras do alfabeto x y z Observe o exemplo a seguir e resolva os demais exercícios transformando as proposições para a linguagem CP x é um homem americano Fx a x não é um número par b x é perigoso e nocivo c Se o dia está caloroso então x não está trabalhando 3 Uma função proposicional expressa simbolicamente a forma de uma pro posição individual Para significar mais indivíduos é preciso usar quanti ficadores Veja os exemplos a seguir Com um indivíduo Jx x é jornalista Com vários indivíduos xJx alguns x são jornalistas e xJx todos os x são jornalistas 109 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS Agora transcreva as proposições seguintes para a linguagem de CP se guindo os exemplos anteriores a Todos são estudantes b Nenhum é estudante c Algum é estudante d Algum não é estudante e Não é certo que ninguém é estudante f Não é certo que alguém é estudante 4 Neste exercício você irá exercitar seu raciocínio lógico Leia o texto a se guir e preencha a lacuna ao final da forma mais lógica possível De três prisioneiros que estavam num certo cárcere um tinha visão nor mal o segundo era caolho e o terceiro totalmente cego Os três eram pelo menos de inteligência média O carcereiro disse aos prisioneiros que de um jogo de três chapéus bran cos e dois vermelhos escolheria três e colocálosia em suas cabeças Cada um deles estava proibido de ver a cor do chapéu que tinha em sua própria cabeça Reunindoos o carcereiro ofereceu a liberdade ao prisioneiro com visão normal se este fosse capaz de dizer a cor do chapéu que tinha na cabeça O prisioneiro confessou que não podia dizer A seguir o carcereiro ofere ceu a liberdade ao prisioneiro que tinha um só olho na condição de que dissesse a cor de seu chapéu O caolho confessou que também não sabia dizêlo O carcereiro não se deu ao trabalho de fazer idêntica proposta ao prisioneiro cego mas à insistência deste concordou em darlhe a mesma oportunidade O prisioneiro cego abriu então um amplo sorriso e disse Não necessito da minha vista Por aquilo que meus amigos com olhos disseram vejo claramente que o meu chapéu é da cor Se necessário entre em contato com o seu tutor eou colegas e discutam o porquê de tal escolha 110 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS Gabarito 1 a Hc b Rd c Fa Ga 2 a Gx b Px Nx c Cd Tx 3 a x Ex b x Ex c x Ex d x Jx e x Ex f x Ex 9 CONSIDERAÇÕES Nesta unidade pudemos perceber o principal problema da Lógica Proposicional sua limitada capacidade para expressar co nhecimento Muitas vezes as sentenças complexas perdem seu significado quando são representadas na Lógica Proposicional Por isso surge a Lógica de Predicados capaz de representar es sas sentenças de forma mais real Para os lógicos é fundamental poder representar nas sen tenças as relações entre objetos sejam pessoas objetos físicos ou conceitos e também seus atributos e qualidades Diferente 111 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS das proposições nos predicados o valor de verdade ou veracida de depende de seus termos Um predicado pode ser verdadeiro para um conjunto de termos e falso para outro Pudemos também ter contato com a linguagem de Cálculo de Predicados a qual é o cerne da Lógica Portanto esse contato que tivemos com a linguagem de Cálculo de Predicado levounos a adquirir uma base que nos permitirá seguir em frente em nos so estudo de Lógica Em busca dos objetivos para os quais nos propomos nes ta obra na Unidade 4 você será convidado a estudar a Lógica Clássica e o Problema ontológico 10 EREFERÊNCIAS DA COSTA N C A KRAUSE D Notas de Lógica Disponível em wwwcfhufsc brdkrauseLivroLogicaPrefaciopdf Acesso em 7 maio 2012 KENNY A A Lógica e os fundamentos da Matemática 2009 Disponível em http criticanaredecomhtmllogicismohtml Acesso em 24 set 2015 PRIEST G Designadores e quantificadores será que o nada é algo 2009 Disponível em httpcriticanaredecomhtmlquantificadoreshtml Acesso em 24 set 2015 11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COPI I M Introdução à Lógica São Paulo Mestre Jou 1981 COSTA N Ensaio sobre os fundamentos da Lógica São Paulo Hucitec 1994 HAACK S Filosofia das lógicas São Paulo Unesp 2002 HAIGHT M A serpente e a raposa uma introdução à Lógica São Paulo Loyola 2003 KNEALE W KNEALE M O desenvolvimento da Lógica Lisboa Calouste Gulbenkian 1991 MATES B Lógica elementar São Paulo NacionalEdusp 1967 MORTARI C A Introdução à lógica São Paulo Unesp 2001 112 LÓGICA II UNIDADE 3 SINTAXE DO CÁLCULO DE PREDICADOS QUINE W V O Existência e quantificação São Paulo Abril Cultural 1975 Coleção Os Pensadores Sobre o que há São Paulo Abril Cultural 1975 Coleção Os Pensadores RUSSELL B Da denotação São Paulo Abril Cultural 1974 Coleção Os Pensadores SIMPSON T M Linguagem realidade e significado Trad Paulo Alcoforado São Paulo Livraria Francisco AlvesEdusp 1976 113 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO 1 OBJETIVOS Apontar e analisar as proposições categóricas na lingua gem do CP Traduzir proposições categóricas da linguagem ordiná ria para a linguagem do Cálculo de Predicados 2 CONTEÚDOS Quadro tradicional de oposição Problema Ontológico Resposta de Russell ao Problema Ontológico Novas relações do quadro tradicional de oposição 3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE Antes de iniciar o estudo desta unidade é importante que você leia as orientações a seguir 1 Para atingir os objetivos propostos para esta unidade é preciso que você se recorde do quadro tradicional de oposição estudado anteriormente Essa revisão UNIDADE 4 114 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO permitirá a você compreender melhor o Problema On tológico que é um dos temas mais intrigantes da Fi losofia já que trata do problema da existência Como toda questão filosófica o Problema Ontológico tem uma história que precisa ser conhecida Esse problema remonta a Parmênides passa pela Filosofia Medieval e desde Meinong assume uma característica incon tornável É nesse contexto que a solução de Bertrand Russell que é apresentada nesta unidade se insere 2 Como nesta unidade iremos estudar a resposta de Russell ao Problema Ontológico sugerimos que você leia o artigo indicado a seguir para aprofundar seus conhecimentos a respeito do assunto PORTELA FILHO R PORTELA C A Aspectos do atomismo lógico de Russell Cadernos de Pesquisa São Luís v 11 n 1 p 928 janjun 2000 Disponível em httpwwwpppgufmabrcadernosdepesquisa uploadsfilesArtigo201281429pdf Acesso em 24 set 2015 3 É muito importante que esses conhecimentos sejam redimensionados por pesquisa e leitura dos livros cita dos na bibliografia e consulta de sites confiáveis É im portante também que você entre na SAV e em con tato com os colegas e tutor por meio de ferramentas disponibilizadas tais como a Lista e o Fórum elimine suas dúvidas Estamos o tempo todo à sua disposição 4 Como você já sabe a simples memorização dos tex tos não contribuirá muito para seu aprendizado Dessa forma quanto mais se concentrar mais facilidade terá para aprender Sabemos que isso varia naturalmente de uma pessoa para outra por exemplo uns conse 115 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO guem se concentrar durante um longo período outros podem se concentrar melhor em intervalos mais cur tos Sugerimos portanto que você procure monito rar sua capacidade de atenção durante os estudos e realize intervalos oportunos de acordo com ela Você perceberá que seu rendimento será cada vez melhor Pense nisso 5 Antes de iniciar os estudos desta unidade sugerimos que conheça um pouco da biografia dos pensadores cujo pensamento norteia o estudo desta obra Para sa ber mais acesse os sites indicados Bertrand Russell Nasceu a 18 de maio de 1872 em Ravenscroft Monmouthshire Inglaterra Foi o mais novo dos três filhos do Visconde de Amberley filho de Lorde John Russell e de Kate Stanley filha do Barão Stanley de Alderley A sua existência no novo lar era confortável mas muito fechada Russell tornouse um rapazinho tímido e soli tário dominado por uma educação espartana embora afectuosa imposta pela sua puritana avó A sua reserva foi sem dúvida acentuada pelo mistério tecido à volta da vida dos seus pais e da sua morte prematura Esse mistério iria Russell desvendálo anos mais tarde ao consultar os seus documentos pessoais Russell procurava consolo para a sua solidão escrevendo e no que escrevia discutia atitudes e convicções fir madas Já nos princípios da sua adolescência começou a mostrarse céptico acerca dos dogmas religiosos convencido de que a felicidade terrena era o fim essencial da vida Em 1890 começa a frequentar o Trinity College onde se concentra na Matemá tica e na Filosofia Aí em companhia de amigos brilhantes que partilhavam a sua intensa curiosidade intelectual confirmouse o seu gênio Transformouse numa pessoa com um extraordinário poder de expressão e muito expansiva Após três anos doutorase com a tese An Essay on the Foundations of 116 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO Geometry O trabalho de Russell sobre os fundamentos da Matemática impul sionou a filosofia inglesa numa outra direcção Em 1900 o mais importante ano na minha vida intelectual Russell foi com Whitehead ao Congresso Internacional de Filosofia em Paris onde ouviu Pe ano a apresentar as suas descobertas na lógica simbólica Esta experiência impeleo a fazer prolongadas investigações que tiveram como fruto The Principles of Mathematics 1903 O trabalho realizado é verdadeiramente extraordinário constituindo um instru mento de grande fecundidade para a solução de numerosos problemas de filosofia da ciência Esse trabalho contribuiu decisivamente para chamar a atenção mundial sobre os seus autores Depois em colaboração com Alfredo North Whitehead dedicase a desenvolver esse trabalho que publica em três volumes entre 1910 e 1913 com o título de Principia Mathematica Depois de um curto período de actividade política Russell é convidado pela Universidade Americana de Harvard onde pronuncia uma série de lições e publica um novo trabalho sobre Our Knowledge of the External World as a Field for Scientific Method in Philosophy 1914 O desencadeamento da Primeira Grande Guerra Mundial decideo a iniciar um grande movimento pacifista de acordo com as suas convicções É por essa al tura que escreve Principles of Social Reconstruction 1916 Justice in War Time 1916 Political Ideals 1916 e Roads to Freedom Socialism Anarchism and Syndicalism 1918 Russell mostrase sempre um paladino dos perseguidos e um crente na supre macia do indivíduo Em 1916 quando seis indivíduos se recusaram a combater por motivos de consciência e foram presos por andarem a distribuir panfletos pacifistas Russell declarou ser o autor dos panfletos incitando as autoridades a voltaremse contra ele O resultado foi um julgamento que ficou célebre pela defesa que Russell apresentou Foi multado em cem libras e depois sumaria mente demitido do cargo que desempenhava no Trinity College A guerra despertou uma profunda consciência social no pensamento de Russell Não só aumentou a sua compaixão pelo sofrimento alheio como tam bém as privações próprias incluindo alguns meses de cadeia lhe deram a conhecer em primeira mão os poderes repressivos do estado contra os quais os indivíduos estão indefesos Em 1918 esteve preso vários meses porque escreveu um panfleto acusando o Exército Americano de intimidar as suas tropas impedindoas de irem a casa Durante os quatro meses que passou na prisão escreveu An Introduction to Mathematical Philosophy publicada pela primeira vez em 1919 O livro foi um fardo pesado para o Governador da Prisão que apesar de incapaz de o com 117 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO preender foi obrigado a ler o manuscrito pois podia conter possíveis tendên cias revoltosas Depois da guerra em 1920 Russell foi passar alguns meses à União Soviética com uma delegação Trabalhista Falou com Lénine Trotsky e Gorky e procu rou conhecer a estrutura do novo regime social ali instalado A sua reacção em presença do caos que reinava nesses primeiros tempos no novo estado soviético era ambivalente considerava a transformação como bemvinda mas sentiase perturbado pela miséria e sofrimento que observou Tendo previa mente rejeitado o capitalismo era levado a acreditar que não havia na altura nenhuma alternativa adequada No regresso e apesar da sua simpatia pelas finalidades mais ousadas do socialismo confessouse desiludido com o que viu e proclamouo francamente na obra que a seguir publicou The Practice and the Theory of Bolshevism 1920 Regressou a Inglaterra em 1944 e foi nomeado para leccionar cinco anos no Trinity College de Cambridge ao mesmo tempo que foi eleito Membro Vitalício do mesmo colégio universitário Depois do lançamento das bombas atômicas sobre as cidades japonesas fez um dos seus raros discursos na Câmara dos Lordes predizendo o apareci mento da bomba de hidrogênio e prevenindo a Humanidade contra o perigo que ela representava Quando a guerra terminou intensificou a sua acção para a paz no mundo convencido que esta só se poderia alcançar pelo desarma mento nuclear geral A 10 de Novembro de 1950 foi anunciado que Bertrand Russell tinha ganho o Premio Nobel da Literatura respeitante a esse ano em reconhecimento de numerosos trabalhos da sua autoria em que se defendem os ideais mais ele vados Quando um mês mais tarde recebe em Estocolmo a quantia de trinta mil dólares o secretário da Academia Sueca referindose ao laureado procla mao um dos mais brilhantes protagonistas dos ideais humanos e campeão da liberdade de expressão do mundo ocidental Com a sua crescente dedicação à causa do pacifismo o seu nome tornouse sinônimo da campanha pela paz A sua casa foi literalmente inundada por cartas vindas dos quatro cantos do mundo A resposta a essas cartas sobrecarregou ainda mais o seu programa diário já muito pesado Em 1954 as experiências com a bomba de hidrogénio realizadas no atol de Bikini acentuaram a urgência da sua tarefa Os signatários desse documento formaram o núcleo da I Conferência Pugwash realizada na Nova Escócia em 1957 Nela participaram cientistas tanto de Leste como do Ocidente Russell foi eleito presidente desta conferên cia e das que lhe seguiram No entanto não se contentou com o facto do Movimento Pugwash poder ter influência decisiva no desarmamento e pro curou outros métodos com afinco Escreveu a governantes de todo o mundo sobre os problemas de maior acuidade na altura 118 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO Não contente com a reação obtida até aí enveredou com inesgotável energia pelo campo oferecido pela possibilidade de evitar a guerra por meio de mani festações em massa O ano de 1958 viu nascer a campanha pelo Desarma mento Nuclear tendo Russell como presidente Em 1963 as suas múltiplas tarefas atingiram tais proporções que se organizou a Fundação Bertrand Russell para a Paz destinada a aliviar um pouco o tra balho pessoal de Russell e a afirmar o apoio que recebia dos mais variados sectores A fundação ocupavase especialmente de problemas internacionais em particular das aspirações do povo em nações do chamado terceiro mundo Começa então a dedicar grande parte da sua atenção à Guerra do Vietname censurando asperamente a intervenção dos americanos Retirouse do Partido Trabalhista Inglês em 1965 por não concordar com o apoio dado pelo governo do seu país à política seguida pelos americanos em vários campos Um ano mais tarde discursou na reunião preparatória do Tri bunal Internacional dos Crimes de Guerra instituição fundada para investigar acções criminosas cometidas pelos americanos no Vietname Russell foi eleito presidente do Tribunal que mandou publicar os factos averiguados em 1967 ano em que Russell publicou o seu livro War Crimes in Vietnam No seu octogésimo aniversário Russell ofereceu um conselho típico de longe vidade Recomendou um hábito hilariante de controvérsias olímpicas que nos mantivesse ocupados e que evitássemos todos os tipos de excessos excepto fumar Até à idade de quarenta e dois anos fui um abstêmio Mas nos últimos sessenta anos tenho fumado incessantemente parando somente para comer e dormir Imagem e texto disponíveis em httpwwweducfculptdocentes opomboseminariorussell Acesso em 7 maio 2012 Willard Van Orman Quine O filósofo americano mais influente da segunda metade do século XX A atenção de Quine começou por incidir sobre a lógica matemática donde resultaram as obras A System of Logistic 1943 Mathematical Logic 1940 e Methods of Logic 1950 Foi com a publicação do conjunto de ensaios que formam o livro From a Logical Point of View 1953 que a sua importância filosófica se tornou largamente reconhecida O seu célebre ataque à distinção analíticosintético anunciou uma mudança profunda nas maneiras de encarar a linguagem provenientes do positivismo lógico e uma reapreciação das 119 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO dificuldades em fornecer uma base empírica sólida para as teses sobre a convenção o significado e a sinonímia A sua reputação consolidouse com Word and Object 1960 no qual a indeterminação da tradução radical assume pela primeira vez o papel principal Na teoria do conhecimento Quine está associado à perspectiva holista da verificação concebendo um corpo de conhecimento em termos de uma teia que na periferia está em contacto com a experiência mas em que cada ponto está conectado a outros pontos por uma rede de relações Quine é também conhecido pela perspectiva segundo a qual a epistemologia devia ser naturalizada ou conduzida segundo um espírito científico sendo o objecto da investigação a relação existente nos seres humanos entre os dados de entrada inputs da experiência e os dados de saída outputs da crença Além das obras já citadas a sua bibliografia inclui The Ways of Paradox and Other Essays 1966 Ontological Relativity and Other Essays 1969 Philosophy of Logic 1970 The Roots of Reference 1974 e The Time of My Life An Autobiography 1985 Imagem disponível em httpphilosophywluedugregorypclassoldwinter03255 RQQuine2Dogshtm Acesso em 25 set 2015 Texto disponível em httpdebatadesvendeedivulguecomblogpageid2325WOQuine Acesso em 21 ago 2015 4 INTRODUÇÃO Na unidade anterior tivemos a oportunidade de conhecer a linguagem do Cálculo de Predicados e aprender a traduzir as proposições da linguagem ordinária para essa linguagem Prosseguindo nesta unidade estudaremos as proposições categóricas e o quadro tradicional de oposição por meio da lin guagem do CP Antes disso vamos recordar alguns conteúdos já estudados Bons estudos 5 PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS Como já é de nosso conhecimento existem quatro tipos de proposições categóricas a saber 120 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO 1 Todos os brasileiros são felizes 2 Nenhum brasileiro é feliz 3 Algum brasileiro é feliz 4 Algum brasileiro não é feliz Como também já sabemos essas proposições são classifica das respectivamente em universal afirmativa universal negativa particular afirmativa e particular negativa Na unidade anterior no estudo dos quantificadores per cebemos que essas proposições são semelhantes às que estuda mos Vamos rever como podemos simbolizálas com a linguagem do CP Podemos reescrever a primeira proposição da seguinte forma Para todo x se x é brasileiro então x é feliz Para escrever a locução para todo na linguagem do CP utilizamos o símbolo A expressão x é brasileiro é simboliza da por Bx Lembrese de que na Unidade 1 aprendemos que a frase se então é simbolizada por e finalmente a expres são x é feliz é simbolizada por Fx Assim temos a seguinte formalização xBx Fx Se quisermos traduzir a primeira premissa do argumento apresentado na introdução da unidade anterior todo paulista é brasileiro teremos a seguinte formalização xPx Bx Vejamos agora a tradução da proposição universal nega tiva Podemos reescrevêla da seguinte maneira para todo x se x é brasileiro então x não é feliz Utilizando os recursos da linguagem do CP e da Lógica Proposicional temos a seguinte simbolização 121 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO xBx Fx Passemos agora às proposições particulares começan do com a particular afirmativa Outra forma de escrever algum brasileiro é feliz é Existe pelo menos um x tal que x é brasilei ro e x é feliz Para escrever existe pelo menos um na linguagem do CP utilizamos o símbolo A expressão x é brasileiro como já vi mos é simbolizada por Bx Já aprendemos que uma conjunção é simbolizada por e como também já sabemos a expressão x é feliz é simbolizada por Fx Assim temos a seguinte formalização xBx Fx Por fim a proposição particular negativa pode ser reescrita como Existe pelo menos um x tal que x é brasileiro e x não é feliz A formalização do enunciado é xBx Fx O que vimos até agora pode ser resumido no seguinte quadro Todo A é B xAx Bx Nenhum A é B xAx Bx Algum A é B xAx Bx Algum A não é B xAx Bx Com a formalização das proposições categóricas podemos perceber que a Lógica Aristotélica está contida na Lógica Clássica A Lógica Clássica e a Lógica Aristotélica no entanto pressupõem a existência das entidades a que se referem Tal pressuposição entretanto apresenta alguns problemas que veremos a seguir 122 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO 6 PROBLEMA ONTOLÓGICO As proposições categóricas base da Lógica Aristotélica pressupõem a existência de objetos ou seja uma ontologia Se afirmarmos por exemplo alguma mulher é bonita estamos supondo que existe pelo menos uma mulher e que a proprie dade de ser bonita pode ser atribuída a ela Parece claro que a proposição que analisamos nos compromete com a existência de pelo menos uma mulher À primeira vista tal pressuposição parece inofensiva To davia vejamos a seguinte proposição algum unicórnio é bran co Essa proposição nos compromete com a existência de uni córnios Lembrese de que na linguagem do CP tal proposição pode ser parafraseada existe pelo menos um x tal que x é uni córnio e x é branco A Lógica Clássica apresenta essa dificuldade que filósofos e lógicos ao longo da História procuraram resolver Esse proble ma de saber que entidades existem a tradição filosófica cha ma de Problema Ontológico Ele pode ser formulado como sustenta Quine 1975 em três monossílabos o que há esse é o clássico problema metafísico Costumase investigar que tipos de coisas admitiremos que existem Somente objetos espaçotemporais Ou admitire mos em nossa ontologia a existência de entidades tais como Cebolinha Centauro números ou o atual rei do Brasil Pode parecer à primeira vista absurdo sustentar a exis tência do Cebolinha personagem de histórias em quadrinhos Porém considere o enunciado o Cebolinha não existe Se esse enunciado não possui referente como conseguimos compreen 123 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO dêlo Se um enunciado é significante podemos concluir que existe pelo menos em certo sentido o sujeito do enunciado Tomas Moro Simpson em seu livro Linguagem realidade e significado apresenta o raciocínio que de um modo geral nos leva a acreditar na existência das entidades mencionadas ante riormente Seja Q a sentença o atual do rei do Brasil não existe A sentença Q pode ser analisada da seguinte maneira 1 O atual rei do Brasil é o sujeito gramatical da sen tença Q 2 Q é significativa 3 Se as exigências 1 e 2 são satisfeitas então Q é sobre o atual rei do Brasil 4 Se Q é sobre o atual rei do Brasil então atual rei do Brasil existe 5 O rei do Brasil existe Esse raciocínio é ainda mais intrigante pois se ele estiver correto significa que todas as expressões da forma x não existe serão sempre falsas Recorrendo ao raciocínio anterior podemos verificar esse corolário mais claramente 1 O atual rei do Brasil é o sujeito gramatical da sen tença Q 2 Q é significativa 3 Se as exigências 1 e 2 são satisfeitas então Q é sobre o atual rei do Brasil 4 Se Q é sobre o atual rei do Brasil então o atual rei do Brasil existe 5 Se o rei do Brasil existe então Q é falsa 6 Q é falsa 124 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO Bertrand Russell 18721970 em seu artigo de 1905 cha mado Da Denotação procura resolver esse problema Russell afirma que a forma gramatical de enunciados como algum unicórnio é branco ou o atual rei da França é careca para usar um exemplo próprio do autor é enganosa Para Russel o enunciado o atual rei da França não é nome de uma entidade mas o que chamava de descrição definida É um erro segundo Russel pensar que tais expressões têm a forma sujeito e predicado A expressão o atual rei da França pode ser o su jeito gramatical da frase porém não é o sujeito lógico da mesma Assim frases que contêm expressões como o atual rei do Brasil devem ser parafraseadas de modo que as referências de signativas desapareçam Em outras palavras a forma lógica do enunciado o atual rei do Brasil é jovem consiste de acordo com Russell na conjunção de três proposições 1 Existe pelo menos um indivíduo que é rei do Brasil 2 Existe no máximo um indivíduo que é rei do Brasil 3 Se alguém é rei do Brasil então é jovem Observe que nessa formulação o sujeito gramatical o atual rei do Brasil desapareceu As novas proposições contêm o predicado é rei do Brasil Desse modo Russell acredita ter demonstrado que o sujeito gramatical desse tipo de proposição não coincide com o seu sujeito lógico Russell procura com essa estratégia rejeitar a premissa 3 do esquema anterior e assim não se comprometer com a existência de entidades tais como o atual rei do Brasil Se podemos parafrasear as expressões da forma o tal e tal como Russell sugere então os enunciados que não possuem referentes se tornam simplesmente falsos visto que para a pro 125 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO posição o atual rei do Brasil é jovem ser verdadeira é preciso que as três proposições que enumeramos sejam verdadeiras Como a primeira proposição é falsa seguese que a proposição o atual rei do Brasil é jovem é falsa Com sua teoria das descrições Russell transforma todos os nomes em descrições definidas Estas não têm sentido por si mesmas mas unicamente dentro de um contexto Uma des crição definida não é portanto um nome algo que denota di retamente um objeto Com esse procedimento Russell escapa de nomear entidades inexistentes como Meinong a quem ele critica em seu texto Essa posição no entanto nem sempre foi assumida por Russell Em uma obra anterior a Da Denotação o filósofo argumenta Ser de então é aquilo que pertence a todo termo concebível a cada possível objeto de pensamento em resumo a tudo que pode aparecer em qualquer proposição verdadeira ou falsa e a todas essas proposições mesmas O ser pertencente a tudo que pode ser levado em consideração Se A é qualquer termo que pode ser considerado como uno é obvio que A é algo e por isso que A é A não é deve ser sempre falso ou carente de sentido Posto que se A não fosse nada não seria possível dizer que não é A não é implica que há um termo A cujo ser se nega e portanto A é Assim a menos que A não é seja um mero som deve ser falso pois seja A o que for A é Os nú meros os deuses homéricos as relações quimeras e espaços quadrimensionais têm de ser porque se não fossem entidades de alguma espécie não poderíamos formular proposições so bre elas Assim o ser é um atributo geral de qualquer objeto e mencionar algo é mostrar que é RUSSELL apud SIMPSON 1976 p 88 126 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO De que forma o Problema Ontológico mexe com o nosso quadro de oposição representado na Figura 1 Imagine a se guinte proposição todos os habitantes de Mercúrio são inteli gentes Pelo nosso quadro de oposição a proposição algum habitante de Mercúrio é inteligente é a subalterna da propo sição A citada Porém se não existirem mercurianos não é possível sustentar que essas proposições sejam contraditórias já que ambas seriam e são falsas Esse é um dos motivos pelo qual a Lógica Clássica pressupõe a existência de objetos Sem essa pressuposição a relação do quadro de oposição deveria ser modificada Como ficam as inferências de nosso quadro de oposição As proposições A e O e E e I continuam contraditórias As propo sições A e E e I e O continuam contrárias e subcontrárias respec tivamente Já as proposições A e I e E e O não apresentam rela ção de subalternação como no quadro tradicional Isso porque é possível uma universal afirmativa ser verdadeira e a particular afirmativa ser falsa assim como é possível uma universal negati va ser verdadeira e a particular negativa ser falsa Por exemplo a proposição todos os unicórnios são bran cos pode ser parafraseada como para todo x se x é unicórnio então x é branco E na linguagem do CP temos xUx Bx Como não existem unicórnios seguese que Ux o antecedente da implicação é falso o que torna a implicação verdadeira e por consequência a universal afirmativa verdadeira Já a particular afirmativa Algum unicórnio é branco pode ser parafraseada como existe pelo menos um x tal que x é uni córnio e x é branco e na linguagem do CP xUx Bx Como não existem unicórnios seguese que Ux é falsa e como para a conjunção ser verdadeira os dois conjuntos devem ser verda 127 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO deiros seguese que a proposição é falsa Esse raciocínio mostra que uma A pode ser verdadeira e uma I falsa O mesmo raciocí nio pode ser aplicado para uma E e O apenas efetuando as de vidas substituições O nosso quadro será como representado na figura a seguir Figura 1 Representação do quadro de oposição Com essas reflexões sobre o Problema Ontológico e o qua dro tradicional de oposição encerramos esta unidade Aprende remos na próxima unidade a demonstrar a validade dos argu mentos do CP 7 TEXTOS COMPLEMENTARES Sobre o que há Esse é o velho enigma do platônico do nãoser O nãoser deve em algum sentido ser caso contrário o que seria aquilo que não é Essa doutrina ema ranhada pode ser apelidada de a barba de Platão historicamente provouse obstinada tirando frequentemente o fio da navalha de Occam É uma tal linha de pensamento que conduz filósofos como McX a atribuir ser onde de outro modo se contentariam em reconhecer que não há nada Assim tomemos Pégaso Se Pégaso não fosse argumenta McX não estaríamos fa 128 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO lando de nada quando usamos essa palavra portanto não teria sentido dizer nem mesmo que Pégaso não é Acreditando ter assim mostrado que a nega ção de Pégaso não pode ser coerentemente mantida conclui que Pégaso é McX não pode na verdade persuadirse de todo de que alguma região do espaçotempo próxima ou remota contenha um cavalo alado de carne e osso Instado a fornecer mais pormenores acerca de Pégaso diz então que é uma idéia na mente dos homens Aqui entretanto começa a se tornar evidente uma confusão Podemos para argumentar conceder que haja uma entidade e mesmo uma única entidade embora de fato isso seja pouco plausível que seria a idéiamentalPégaso mas não é dessa entidade mental que se está falando quando se nega Pégaso McX nunca confunde o Partenon com a idéiaPartenon O Partenon é físico a idéiaPartenon é mental ao menos de acordo com a versão de McX a respeito de idéias e não tenho nenhuma melhor para oferecer O Partenon é visível a idéiaPartenon é invisível Dificilmente poderíamos imaginar duas coisas mais diferentes e menos propensas a serem confundidas do que o Partenon e a idéiaPartenon Mas quando passamos do Partenon para Pégaso a confusão instalase pela simples razão de que McX se deixaria tapear pela fraude mais grosseira e evidente antes de conceder o nãoser de Pégaso Vimos como a idéia de que Pégaso deva ser porque caso contrário não teria sentido dizer nem mesmo que Pégaso não é levou McX a uma confusão ele mentar Mentes mais sutis tomando do mesmo preceito como ponto de parti da aparecem com teorias sobre Pégaso cujos defeitos são proporcionalmente mais difíceis de erradicar Uma dessas mentes mais sutis chamase digamos Sr Y Pégaso afirma o Sr Y possui ser na qualidade de possível não reali zado Quando falamos de Pégaso e dizemos que não há tal coisa estamos dizendo mais precisamente que Pégaso não possui o atributo específico da realidade Dizer que Pégaso não é real é algo logicamente análogo a dizer que o Partenon não é vermelho em ambos os casos afirmamos algo de uma entidade cujo ser não se questiona QUINE 1975 p 224225 Quine e o compromisso ontológico Existem unicórnios Eu não penso que sim mas meu amigo que acredita na existência de unicórnios diz que minha negativa leva a uma contradição De acordo com ele dizer que unicórnios não existem é dizer que x é um unicórnio e que x não existe Deste modo eu sou acusado de dizer tanto que unicórnios existem como que não existem Meu amigo pensa que eu devo reconhecer a existência de unicórnios a fim de negála Assim unicórnios devem existir uma vez que a negativa de sua existência seria incoerente Uma vez que pode mos nomear unicórnios por exemplo dizendo unicórnio e uma vez que este 129 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO nome é significativo estamos falando de cavalos brancos com um único chifre na testa e não de um outro animal como um tigre então unicórnios devem existir Obviamente meu amigo conclui unicórnios existem ou nem mesmo poderíamos ter elaborado este argumento Podemos esclarecer este debate com a ajuda da teoria das descrições de Quine e Russell Usando a teoria de Russell posso transformar a sentença O Presidente dos Estados Unidos é um fraco em Algo é o Presidente dos Estados Unidos e este algo é um fraco e nada mais é o Presidente dos Estados Unidos e é um fraco Aquilo que aparece como um nome na primeira sentença o Presidente dos Estados Unidos tornase uma descrição na segunda sen tença no mesmo sentido que fraco é uma descrição Note que o significado da primeira sentença é mantido na segunda entretanto a frase que demanda referência objetiva na primeira é O Presidente dos Estados Unidos enquanto que a palavra que demanda referência objetiva na segunda é algo Algo é um exemplo do que é conhecido como uma variável ligada nada e tudo são outros exemplos Variáveis ligadas não tencionam ser nomes referem se a entidades de modo geral com uma espécie de ambigüidade que lhes é peculiar Quine em Sobre o que há as demais citações também se referem a este artigo Variáveis ligadas são significativas mas não se segue que se refiram a algum objeto existente Assim armado da teoria das descrições de Russell coloco o seguinte argu mento Algo é um unicórnio e é um cavalo branco e tem um único chifre na testa Posso então dizer que esta declaração é falsa sem medo de que meu amigo faça alguma objeção Meu amigo está simplesmente confundindo no mear e significar unicórnio tem um significado mas não é um nome porque não tem referência objetiva Agora meu amigo está furioso eu interferi na sua crença Ele ainda acredita que unicórnios existem mas ele não me pode fazer acreditar nisso As coisas começam a ficar piores Tudo bem Sr Esperto ele diz O azul existe Ele sabe muito bem que o azul é minha cor favorita Meus olhos são azuis o céu é azul e sua camiseta é azul eu digo mas se você está me perguntando se azul existe eu devo dizer que não Azul não existe tanto quanto unicórnios não existem Dizer que meus olhos o céu ou sua camiseta são azuis não me compromete com a existência de qualquer coisa além dos meus olhos do céu e de sua camiseta e não implica a existência de qualquer entidade mesmo de uma entidade abstrata afirmar que esses itens têm alguma coisa em comum é um modo de falar usual e equivocado Meu amigo lembra nossa discussão acerca de unicórnios assim ele sabe que eu não aceito me comprometer com a existência do azul simplesmente por usar este termo Você negaria que a palavra azul tem significado ele per gunta com desdém De fato meu bom amigo Quine e eu negamos totalmente 130 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO a existência de significados eu respondo Quine distingue entre uma decla ração ter significado having meaning e ser significativa being meaningful De acordo com Quine o significação meaningfulness pode ser explicada comportamentalmente behaviorally quando por exemplo meu amigo e eu concordamos em identificar objetos azuis Quine referese a este aspecto da significação como significância significance Sinonímia o outro aspecto da significância envolve substituição ou intercâmbio Quine diz que a sinonímia é o que ocorre quando tencionamos dar significado a um termo Como com a significância a sinonímia é evidenciada pelo comportamento ie por como os termos são usados Quine prefere que falemos diretamente de declarações como significantes ou não significantes e sinônimas ou heterônimas umas com as outras Mas o valor explanatório de entidades intermediárias espe ciais ou irredutíveis chamadas significados é seguramente ilusória Meu amigo está desesperado Eu sustentei não somente que unicórnios não existem mas também que universais e significados não existem Ele pega algumas moedas de sua carteira Olhe aqui diz Algumas moedas brilham mais do que as outras ou você negaria isso Eu disse a ele que preferiria di zer que Algumas de nossas sensações visuais de moedas parecem mais cla ras e ofuscantes do que outras sensações Sendo algo empirista eu desejo reduzir minhas declarações a relatos sobre experiências sensórias específicas tanto quanto possível minha reformulação é uma declaração muito mais pre cisa A declaração de meu amigo comprometeo com uma ontologia que inclui moedas e brilho a minha comprometeme com uma ontologia de sensações A declaração de meu amigo implica a existência de uma entidade brilho uma entidade que eu enfaticamente nego mesmo que eu fale dela além do mais o uso de um termo relativo brilhante requer comparação de duas entidades não existentes A declaração de meu amigo toma uma forma categórica e eu não vejo evidência suficiente para suportar uma declaração tão forte A minha versão provê condições mais concretas para testar e confirmar ou não a de claração A minha declaração envolve o mais simples esquema conceitual no qual os fragmentos desordenados da experiência bruta pode ser olhada e trabalhada O meu amigo não pode mais agüentar Ele saise com essa Eu lhe mostrarei Vou encontrar um unicórnio e provar que você está repleto de semsentidos Eu falo depois dele Traga também alguns universais ou significados que en contrar pelo caminho Sou então deixado só para refletir sobre a questão do compromisso ontológico Na visão de Quine nada que digamos nos compro mete com assumir universais ou outras entidades somente a invocação de variáveis ligadas comprometenos com a existência de uma entidade Pode mos dizer que há algo em comum com meus olhos o céu e a camiseta de meu amigo e que portanto coloca a existência de uma entidade Mas eu posso 131 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO recusar a fazer uma tal declaração Quine diz que Ser assumida como uma entidade é pura e simplesmente ser contada como o valor de uma variável Por exemplo dizer que alguns de meus amigos são estúpidos não me compro mete com a existência de amizade ou de estupidez a declaração simplesmen te diz que algumas coisas que são meus amigos são estúpidas Para tornar a declaração verdadeira devo unicamente apresentar um amigo estúpido que então representa o valor de uma variável ligada Elaborar declarações com variáveis ligadas não determina o que há mas uni camente o que eu estou disposto a dizer que há desde que os debates onto lógicos tomam lugar em níveis lingüísticos e semânticos a identificação dos comprometimentos ontológicos é crucial para o entendimento dos esquemas conceituais subjacentes ao debate Quine aponta dois esquemas conceituais úteis no desenvolvimento de uma ontologia o fisicalista e o fenomenalista Um esquema fisicalista é útil para organizar a experiência sensória e Quine reco nhece a prioridade epistemológica para com o esquema fenomenalista Como ele diz a questão de qual ontologia adotar está ainda em aberto e o óbvio conselho é a tolerância e o espírito experimental Quine não acredita que os esquemas fisicalista e fenomenalista sejam incompatíveis apesar de que cada um pode ser útil para propósitos particulares os esquemas se fertilizam um ao outro O objetivo é desenvolver estratégias para lidar com uma ampla variedade possível de situações Quine é em uma análise final um pragmático NICHOLAS 2012 Sugerimos que você procure responder discutir e comentar as questões a seguir que tratam da temática desenvolvida nesta unidade 8 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS Neste momento convidamos você a fazer uma autoavaliação de sua aprendizagem sobre os conteúdos estudados na Unidade 4 Para tanto questionese sobre Consigo apontar e analisar as proposições categóricas na linguagem do CP Sei traduzir as proposições categóricas da lin guagem ordinária para a linguagem do Cálculo de Predicados 132 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO Ainda tenho dúvidas em relação aos conteúdos abordados Que procedimentos posso utilizar para eliminálas Confira a seguir as questões propostas para verificar o seu desempenho no estudo desta unidade 1 Traduza as proposições a seguir para a linguagem do CP Siga o modelo use a notação sugerida Observe os exemplos Todas as formigas são insetos para todo x se x é formiga então x é inseto xHx Ix Há animais herbívoros existe ao menos um x tal que x é animal e x é herbívoro xAx Hx Transforme as seguintes proposições para a linguagem do CP a Se alguns livros são cansativos então são pesados b Alguns livros são cansativos e não são confusos c Toda moral depende do contexto cultural para todo x se x é moral então depende do contexto cultural d Alguns pilotos de Fórmula 1 são brasileiros existe ao menos um x tal que x é piloto de F1 e x é brasileiro 2 Explique o que é o Problema Ontológico 3 De que maneira Russell procura responder o Problema Ontológico Gabarito 1 a x Cx Px b x Cx Px c x Mx Cx d x Px Bx 133 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO 2 A Ontologia é uma parte da Metafísica que estuda de forma geral o ser a existência e a realidade Muitas perguntas tradicionais da Filosofia podem ser classificadas como perguntas de Ontologia existe Deus Existem enti dades mentais como ideias e pensamentos Existem entidades abstratas como os números Existem os universais ou tudo não passa de um nome sem relação com o ser da coisa O Problema Ontológico vem de Quine Willard von Orman mas é Husserl com sua Filosofia Analítica que tenta aproximar a Ontologia à Lógica O filósofo norteamericano Quine se pergunta O que há e con clui Tudo 3 O que é paradoxo Dê um exemplo de paradoxo O termo paradoxo deriva do vocábulo latino paradoxo sendo seu plural paradoxon que significa literalmente oposto à opinião é uma declara ção que conduz a uma situação contra o sentido comum Na história de Zenão de Eléia 490425 aC que é conhecido por causa de seus paradoxos o mais conhecido é o de Aquiles e a tartaruga que trata da divisão do tempo Quando falamos de paradoxo também lembramos de Bertrand Russell 18721970 O paradoxo mais conhecido deste matemático e lógico é o paradoxo do barbeiro formulado para criticar a teoria dos conjuntos O barbeiro da cidade que SÓ faz a barba de todos os homens que não se barbeiam a si mesmos se barbeia a si mesmo Se não se barbeia a si mesmo está contido no conjunto das pessoas da cidade que não se barbeiam a si mesmas e sendo assim se deveria bar bear passando a ser uma das pessoas que se barbeiam a si mesmas não devendo portanto se barbear Temos também o paradoxo do mentiroso que é um dos que desvela aos lógicos Um mentiroso diz que está mentindo diz a verdade ou mente 134 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO Se o paradoxo interessou você sugerimos que leia o paradoxo do economista William Stanley Jevons formulado em 1886 a respeito da energia JEVONS W S Os economistas Tradução de Cláudia Laversveiler de Morais Disponível em httpwwwsoniabarro soprobrgraduacaojevonspdf Acesso em 12 nov 2015 9 CONSIDERAÇÕES Na Unidade 4 estudamos as proposições categóricas na linguagem do CP e também aprendemos a traduzilas da lin guagem ordinária para a linguagem do Cálculo de Predicados Além disso tivemos contato com problemas ontológicos ques tionamentos metafísicos sobre a existência de determinados ob jetos Esse problema é da Lógica Clássica e da Lógica Aristotélica porque ambas pressupõem a existência das entidades a que se referem as proposições categóricas No exemplo alguma mulher é bonita estamos supondo que existe pelo menos uma mulher e que a propriedade de ser bonita pode ser atribuída a ela Como estudamos nesta unidade pudemos analisar as proposições categóricas e aprender a trans formar essas propriedades em linguagem do CP É importante que você continue atento e motivado pois na Unidade 5 estudaremos as provas formais de validade Até lá 10 EREFERÊNCIA NICHOLAS N Quine e o compromisso ontológico Disponível em httpwwwcfh ufscbrdkrauseQuineOntoldoc Acesso em 7 maio 2012 135 LÓGICA II UNIDADE 4 LÓGICA CLÁSSICA E O PROBLEMA ONTOLÓGICO 11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COPI I M Introdução à Lógica São Paulo Mestre Jou 1978 COSTA N Ensaio sobre os fundamentos da Lógica São Paulo Hucitec 1994 HAACK S Filosofia das lógicas São Paulo Unesp 2002 HAIGHT M A serpente e a raposa uma introdução à Lógica São Paulo Loyola 2003 KNEALE W KNEALE M O desenvolvimento da Lógica Lisboa Calouste Gulbenkian 1991 MATES B Lógica elementar São Paulo NacionalEdusp 1967 MORTARI C A Introdução à Lógica São Paulo Unesp 2001 QUINE W V O Existência e quantificação São Paulo Abril Cultural 1975 Coleção Os Pensadores Sobre o que há São Paulo Abril Cultural 1975 Coleção Os Pensadores RUSSELL B Da denotação São Paulo Abril Cultural 1974 Coleção Os Pensadores SIMPSON T M Linguagem realidade e significado Trad Paulo Alcoforado São Paulo Livraria Francisco AlvesEdusp 1976 LÓGICA II 137 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE 1 OBJETIVO Demonstrar a validade no Cálculo de Predicados CP 2 CONTEÚDOS Regras de Inferência Introdução do Universal Eliminação do Universal Introdução do Existencial 3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE Antes de iniciar o estudo desta unidade é importante que você leia as orientações a seguir 1 Para atingir os objetivos propostos para esta unidade é preciso relembrar o que é uma prova formal de va lidade Assim ficará mais fácil compreender as regras de inferência para quantificadores que permitirão avaliar a validade dos argumentos expressos no Cálcu lo de Predicados Desse modo para que seu aprendi zado seja qualificado é fundamental a realização dos UNIDADE 5 138 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE exercícios para que as dúvidas surgidas durante a sua execução sejam dirimidas 2 Ao iniciar seus estudos procure ter à mão todos os re cursos de que irá necessitar tais como dicionário ca derno para anotações canetas lápis obras etc Desse modo você poderá evitar as interrupções e aprovei tar seu tempo para ampliar sua compreensão Pense nisso 3 O Paradoxo do barbeiro produzido por Bertrand Russell em 1901 é situado num reino onde só uma pessoa praticava o ofício de barbeiro Para solucionar o problema da falta de barbeiros o rei determinou que o barbeiro só poderia barbear as pessoas que não pudes sem se barbear sozinhas O barbeiro pensou Como barbeiro não posso barbear o barbeiro do reino que sou eu porque posso barbearme a mim mesmo mas outro barbeiro pode barbearme só que sou o único barbeiro do lugar então não posso me barbear 4 Percebeu que segundo Russel o barbeiro não pode se barbear e não pode não se barbear Para satisfazer sua curiosidade sugerimos dois links a seguir que tra tam sobre este e outros paradoxos WIKIPÉDIA Lista de paradoxos Disponível em httpptwikipediaorgwikiListadeparadoxos Acesso em 28 set 2015 Paradoxo do barbeiro Disponível em httpsptwikipediaorgwikiParadoxodo barbeiro Acesso em 28 set 2015 139 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE 4 INTRODUÇÃO Na unidade anterior você teve a oportunidade de conhe cer a Lógica Clássica e o Problema Ontológico e de analisar as proposições categóricas na linguagem do CP ou seja aprende mos a traduzilas da linguagem ordinária para a linguagem do Cálculo de Predicados Prosseguindo nesta unidade estudaremos as provas for mais de validade e conheceremos mais algumas regras de Cálcu lo Proposicional Bons estudos 5 REGRAS PARA QUANTIFICADORES Eliminação do Universal Iniciaremos esta unidade apresentando as regras de in ferência do quantificador universal A primeira dessas regras chamase Eliminação do Universal Ela sustenta que se uma determinada propriedade vale para todos os indivíduos en tão vale para um indivíduo particular qualquer Vejamos como funciona O clássico argumento Todo homem é mortal Sócrates é homem Sócrates é mortal se torna na linguagem do CP x Hx Mx Hs Ms 140 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE Passemos à prova de validade Premissa 1 x Hx Mx Premissa 2 Hs Conclusão Ms Atenção na regra a seguir 1 3 Hs Ms 23 MP 4 Ms Se é verdade que todo homem é mortal como afirma a premissa da linha 1 que pode ser parafraseada na linguagem do CP como Para todo x se x é homem então x é mortal seguese por EU que se Sócrates é homem então Sócrates é mortal Hs Ms linha 3 Como a linha 2 afirma que Sócrates é homem podemos concluir por modus ponens com base nas linhas 2 e 3 que Sócrates é mortal linha 4 Introdução do Universal I A primeira regra que trata do quantificador universal não apresenta grandes problemas Vejamos agora a regra que cha mamos de Introdução do Universal a qual garante que se de monstrarmos que um indivíduo qualquer possui uma determi nada propriedade então estaremos autorizados a concluir que a propriedade em questão vale para todos os indivíduos Na regra de Introdução do Universal não faremos qualquer suposição especial sobre o indivíduo Nesse sentido o argumen to todo paulista é brasileiro nenhum brasileiro é americano portanto nenhum paulista é americano pode ser formalizado com as representações simbólicas a seguir 141 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE x Px Bx x Bx Ax x Px Ax Como você pôde observar a prova de validade é a seguinte Premissa 1 x Px Bx Premissa 2 x Bx Ax Conclusão x Px Ax 1 E 3 Pr Br 2 E 4 Br Ar 34 SH 5 Pr Ar Até o momento mostramos que para um paulista qual quer digamos Ricardo se Ricardo é paulista então ele é bra sileiro linha 3 por E Como nenhum brasileiro é americano premissa 2 seguese que se Ricardo é brasileiro então não é americano linha 4 Das linhas 3 e 4 podemos concluir por si logismo hipotético que se Ricardo é paulista então não é ame ricano linha 5 Podemos fazer essa demonstração para qualquer paulista por exemplo Paula Simone Carlos e Walter e ela permanecerá válida Assim como essa dedução tem um caráter geral estamos autorizados a dar o seguinte passo na linha 6 142 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE Premissa 1 x Px Bx Premissa 2 x Bx Ax Conclusão x Px Ax 1 E 3 Pr Br 2 E 4 Br Ar 34 SH 5 Pr Ar 5 I 6 x Px Ax Contudo há uma restrição para a regra da Introdução do Universal a constante que usarmos na demonstração não pode aparecer nas premissas pois do contrário poderíamos validar o seguinte raciocínio Milena é paulista logo todos são paulistas A formalização desse argumento inválido seria Premissa 1 Pm 1 I 2 xPx Observe que a constante m aparece na premissa o que invalida o argumento Introdução do Existencial I As próximas duas regras que estudaremos dizem respei to ao quantificador existencial Analisaremos a regra conhecida por Introdução do Existencial I que garante que se algum indivíduo tem uma determinada propriedade então estamos autorizados a concluir que existe alguém que é o portador dessa propriedade 143 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE Essa regra funciona da seguinte maneira suponha que Walter é médico Podemos inferir então que existe alguém com a propriedade de ser médico A formalização do argumento é a que se segue Premissa 1 Mw 1 I 2 xMx Note que o Problema Ontológico reaparece por meio des sa regra Quando afirmamos que o Minotauro é feio podemos inferir que existe alguém com a propriedade de ser feio A infe rência é válida pois na Lógica Clássica os nomes ou constantes denotam indivíduos existentes Eliminação do Existencial E A última regra para o uso dos quantificadores é a Elimina ção do Existencial E a qual permite que derivemos de uma proposição existencial por exemplo alguém é casado e feliz x Cx Fx que um indivíduo particular é casado e feliz A questão que se coloca é que indivíduo escolher Como não sabemos qual indivíduo está em questão devemos introdu zir uma constante nova por hipótese assim que eliminarmos o quantificador existencial e essa nova constante denotará o indi víduo que procuramos Suponha o seguinte argumento Existem árvores bonitas portanto existem árvores Nossa demonstração então é a que segue 144 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE Premissa 1 x Ax Bx Hipótese para E 2 Am Bm 2 Simplificação 3 Am 3 I 4 xAx 1234 E 5 xAx Introduzimos a constante m em nossa hipótese para a eliminação do existencial linha 2 e obtemos Am Bm que pode ser lida como macieira é uma árvore bonita Pela regra da sim plificação aplicada à linha 2 obtemos Am que seguindo nossa tradução pode ser lida como macieira é uma árvore Pela re gra I aplicada à linha 3 podemos concluir que existem árvores e como nossa constante introduzida por hipótese desapare ceu podemos ratificar nossa conclusão linha 5 por meio de E Entretanto há uma restrição para a regra da eliminação do existencial a constante que usarmos na demonstração não pode aparecer nas premissas pois caso contrário poderíamos validar o seguinte raciocínio algumas aranhas são venenosas algumas cobras são venenosas logo algumas aranhas são cobras A for malização desse inválido argumento seria 145 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE Premissa 1 x Ax Vx Premissa 2 x Cx Vx Conclusão 3 x Ax Cx 1 E 4 Ax Vx 2 E 5 Cx Vx 4 Simplificação 6 Ax 5 Simplificação 7 Ax 67 Conjunção 8 Ax Cx 8 E 9 x Ax Cx Como você pode perceber a regra não foi respeitada na linha 5 pois já tínhamos usado a constante x na linha 4 Com as regras de inferência para quantificadores termi namos de apresentar como demonstramos a validade dos argu mentos da linguagem do Cálculo de Predicados Vamos fazer al guns exercícios para consolidarmos o aprendizado dessas regras Mas antes dos exercícios leia os extratos de textos que indica mos no tópico a seguir 6 TEXTO COMPLEMENTAR A noção de demonstração Como é bem sabido o método axiomático foi aplicado no desenvolvimento da Geometria nos Elementos de Euclides cerca de 300 aC Depois disso foi aplicado por mais de dois mil anos praticamente sem sofrer alterações nem em seus princípios básicos os quais digase de passagem não foram nem mesmo explicitamente formulados por um longo tempo nem na abordagem geral com respeito ao assunto Todavia nos séculos XIX e XX o conceito de método axiomático sofreu uma profunda evolução As características dessa evolução que dizem respeito à noção de verdade são particularmente significa 146 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE tivas para nossa discussão Até os últimos anos do século XIX a noção de de monstração era primordialmente de caráter psicológico Uma demonstração era uma atividade intelectual que objetivava convencer o próprio indivíduo e outras pessoas da verdade da sentença em discussão Mais especificamente demonstrações eram usadas no desenvolvimento de uma teoria matemática para convencer o próprio indivíduo e outros de que a sentença em discussão deveria ser aceita como verdadeira uma vez que certas outras sentenças ha viam sido previamente aceitas como tal Não havia restrições com respeito aos argumentos usados na demonstração exceto que eles deveriam ser intuiti vamente convincentes Numa certa época entretanto começouse a sentir a necessidade de submeter a noção de demonstração a uma análise mais pro funda a qual acarretaria uma restrição nesse contexto do recurso à evidên cia intuitiva Isso provavelmente relacionouse com alguns desenvolvimentos específicos na matemática com a descoberta das geometrias nãoeuclidianas em particular A análise foi feita por lógicos a começar pelo lógico alemão Gottlob Frege levando à introdução de uma nova noção a de demonstração formal que se mostrou um substituto adequado e uma melhoria essencial sobre a antiga noção psicológica O primeiro passo em direção a suplementar uma teoria matemática com a noção de demonstração formal é a formalização da linguagem da teoria no sentido previamente discutido quando abordamos a definição de verdade Assim são fornecidas regras sintáticas formais que permitem em particular distinguir uma sentença de uma expressão que não é uma sentença pelo simples exame da forma de expressão O passo seguinte consiste em formular umas poucas regras de outra natureza as chamadas regras de demonstração ou inferência Por meio delas uma sentença é con siderada diretamente derivável de outras sentenças dadas se de modo geral sua forma relacionase de uma maneira prescrita com as formas das senten ças dadas O número de regra de demonstração é pequeno e seu conteúdo simples TRASKI 2006 p 224225 Lógica e sistemas lógicos Comumente consideramse dois aspectos somo sendo fundamentais para a caracterização de uma disciplina o escopo objetivo ou objeto o qual esta dis ciplina pretende estudar e a maneira ou método através do qual ela visa atingir tal objetivo Vimos que a lógica enquanto disciplina possui dois objetivos bá sicos o de estudar as inferências válidas e o de prover maneiras adequadas de representar enunciados Assim a lógica pode ser vista como uma teoria da inferência ou como uma teoria da representação Mas qual seria então o mé todo por assim dizer através do qual a lógica tenciona atingir tais objetivos 147 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE Para respondermos esta pergunta temos que falar sobre um aspecto bastante peculiar da lógica contemporânea a sua estreita relação com a matemática a tal ponto de a disciplina que hoje chamamos de lógica ser em um sentido muito forte equivalente ao que se convencionou chamar de lógica matemática Pri meiro de tudo devese mencionar que muito da motivação para o surgimento do que chamamos de lógica moderna foi o desejo por parte de alguns filósofos e matemáticos de melhor compreender o raciocínio por trás da argumentação matemática É neste sentido então que a expressão lógica matemática pode ser vista como significando a lógica da matemática Tal visão no entanto reflete apenas um aspecto das coisas e na verdade pode ser enganadora visto que como vimos o objetivo da lógica em geral e da lógica moderna em particular é o estudo das inferências em um sentido lato não se restringindo a nenhum tipo particular de argumento Outra maneira de ler a expressão lógica matemática que neste caso sim não só reflete com exatidão a disciplina a qual ela tenta dar nome mas também releva um aspecto essencial sobre ela é entendendoa como o estudo matemático da lógica ou em outras palavras o estudo dos argumentos válidos e de maneiras adequadas de representar enunciados utilizandose do que podemos chamar de método matemático Ou dizendo de outra forma seria a tentativa de de senvolver uma teoria da inferência e da representação utilizando metodologia semelhante à usada pelos matemáticos no desenvolvimento de suas teorias Isso se dá grosso modo através do desenvolvimento de sistemas matemá ticoformais não por acaso chamados de sistemas lógicos Se tomarmos a lógica enquanto teoria da inferência a análise ou tentativa de identificar a classe dos argumentos válidos tomará como um todo a forma de um sistema matemático de modo que a resposta à pergunta quando um argumento é válido será algo como que um subproduto inevitável do sistema lógico Apesar de que uma compreensão satisfatória do que estamos chamando de o método da lógica somente poder ser obtida através de um estudo pormeno rizado dos sistemas lógicos tentaremos aqui dar uma idéia básica de o que são tais sistemas e como eles tentam atingir o objetivo da lógica de identificar a classe de argumentos válidos Comecemos lembrando que validade em um argumento é basicamente uma relação lógica entre um conjunto de enuncia dos as premissas e um enunciado a conclusão Em matemática relações são entidades passíveis de serem construídas e analisadas matematicamente Um exemplo é a relação maior que geralmente representada pelo símbolo Primeiramente essa relação vale entre duas entidades do mesmo tipo a saber números Temos assim que o número 12 se relaciona com o número 7 de acordo a relação maior que caso este representado por 12 7 Diferen temente de a relação de pertença vale entre entidades de tipos diferentes no caso um objeto e um conjunto desses objetos Temos assim que o objeto 1 148 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE pertence ao conjunto de números naturais em símbolos 1 N Já o número 05 não se relaciona com N de acordo com a relação de pertença Três pontos valem a pena serem mencionados aqui sobre relações matemáticas Primeiro para realmente sabermos de que relação nós estamos falando temos que fixar os dois conjuntos cujos elementos vão ou não se relacionar de acordo com a relação em questão Por exemplo para falarmos de uma relação maior que temos que dizer a que conjunto de entidades essa relação vai ser aplicada se ao conjunto de números naturais inteiros racionais etc De um ponto de vis ta estritamente rigoroso a relação que relaciona elementos do conjunto dos números naturais é diferente da relação que relaciona elementos do conjunto dos números inteiros apesar de o símbolo que usamos para as duas relações ser o mesmo No caso da primeira dizemos que é uma relação do tipo N x N o que representamos também por N x N ou seja uma relação que une ou associa dois elementos do conjunto dos números naturais N e no caso da segunda relação dizemos que é do tipo Z x Z ou seja uma relação que associa dois elementos pertencentes ao conjunto dos números inteiros O segundo ponto que apesar de por demais óbvio vale a pena ser menciona do é que dada uma relação matemática qualquer R D x G e dois elementos aD e bG R nos dirá se a se relaciona ou não com b de acordo com R Por exemplo dada a relação maior que aplicada aos naturais N x N e dois números x y N nos diz se x é ou não maior que y Em outras palavras é capaz de nos dizer para todo e qualquer par de números x y pertencentes ao conjunto dos naturais se x é ou não maior que y O terceiro ponto é que uma relação matemática geralmente possui proprieda des formais de fundamental importância para a sua diferenciação enquanto relação Por exemplo a relação N x N é tal que dados x y z N se x y e y z então x z Se uma relação R é tal que se aRb e bRc então aRc onde aRb é uma abreviação para o objeto a se relaciona com o objeto b de acordo com a relação R nós dizemos que esta relação é transitiva Assim é transitiva Outras propriedades interessantes são a reflexividade e a sime tria uma relação é reflexiva se e somente se aRa para todo a e simétrica se e somente se se aRb então bRa Enquanto no entanto é transitiva ela não é nem reflexiva nem simétrica não é o caso que para todo número x x x nem que para todo número x e y se x y então y x Já a relação de igual dade definida para os naturais N x N por exemplo é reflexiva simétrica e transitiva a a para todo a N para todo a b N se a b então b a e para todo a b c se a b e b c então a c Mas o que é que isso tudo tem a ver com lógica Talvez muito já que como dissemos um argumento é válido em virtude da relação inferencial chamada por nós de relação de dedução ou relação de conseqüência lógica que há en 149 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE tre premissas e conclusões Suponha então que à semelhança do que é feito em matemática usemos um símbolo especial para referenciarmos tal relação digamos o símbolo Invocando o primeiro ponto acima para caracterizar mos precisamente precisamos identificar os tipos de elementos que se rela cionarão através de ou equivalentemente os dois conjuntos aos quais tais elementos pertencem Essa não parece ser uma tarefa das mais difíceis visto que como sabemos a relação de dedução associa ou relaciona um conjunto de enunciados que chamamos de premissas de um lado com um enuncia do a conclusão do outro Mas enunciados são entidades lingüísticas que em certo sentido podem ser vistas como pertencentes a línguas específicas Assim para falarmos sobre os dois conjuntos aos quais os elementos que relacionará pertencem teremos que falar sobre a língua ou adotando a no menclatura padrão em lógica a linguagem a qual os enunciados em questão pertencem Se chamarmos essa linguagem de L teremos que a nossa relação será definida como associando duas entidades a saber conjuntos de enunciados pertencentes a L e enunciados também pertencentes a L Para bem compre endermos esse tipo de definição no entanto temos que ver a linguagem L como sendo nada mais do que um conjunto na verdade um conjunto enorme contendo todos os enunciados que podem ser construídos naquela linguagem Por exemplo se quiséssemos caracterizar a língua portuguesa dessa manei ra diríamos que a língua ou a linguagem portuguesa é o conjunto de todas as sentenças significavas neste caso que podem ser escritas em português Como então associa conjuntos de enunciados pertencentes a L e enun ciados também pertencentes a L temos então que podemos escrever coisas como G a onde G é um conjunto de enunciados pertencentes a L ou em outras palavras um subconjunto de L em símbolos aL e a é um enunciado pertencente a L em símbolos a L Como G é um subconjunto de L tam bém podemos dizer que G pertence ao conjunto de todos os subconjuntos de L comumente chamado de conjunto das partes de L que aqui representa remos por L Assim dada uma linguagem L qualquer podemos dizer que é da forma L x L ou seja uma relação que associa elementos de L ou seja subconjuntos de L que são obviamente conjuntos de enunciados e elementos de L ou seja enunciados Segundo dado uma linguagem L específica e a relação de dedução aplicada à L e dados um enunciado qualquer a L e um conjunto de enunciados G L através de saberemos se a é deduzido ou não a partir de A Tomando os ele mentos de G como sendo as premissas e a como sendo a conclusão nos dirá se o argumento G a é ou não um argumento válido Em caso positivo escrevemos G a em caso negativo G a Ou em outras palavras G a é 150 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE nada mais do uma representação do fato de que o argumento composto pelas premissas G e conclusão a é válido Esse ponto deve ser bem compreendido pois ele contém na verdade o propósito da lógica enquanto teoria da inferência Se dispomos de uma relação do tipo L x L e se dizemos que ela carac teriza a relação de validade dedutiva de forma que G a significa que a pode ser deduzido a partir de G ou que o par G a é um argumento válido então o nosso trabalho estará terminado Já teremos em mãos uma caracterização da classe de argumentos válidos pelo menos dos argumentos válidos que podem ser construídos usando uma linguagem específica a saber L Terceiro enquanto relação matemática deve possuir propriedades formais através das quais podemos entender melhor as características disso que es tamos chamando de conseqüência lógica Por exemplo se a G então G a ou seja se a conclusão de um argumento aparece entre suas premissas tal argumento será trivialmente válido A esta propriedade nós damos o nome de a reflexividade de também possui um tipo de transitividade se G b e b j então G j isto é se b é concluído a partir de G e j é concluído a partir de b então j deve poder ser concluído a partir de G Também temos que se G a então para toda fórmula b L G b a Isso significa que se a é uma conclusão do conjunto de premissas G ela continuará sendo mesmo se adicionarmos mais premissas a G que é o que é feito quando consideramos o conjunto G b A esta propriedade damos o nome de monotonicidade Existem também propriedades que correlacionam com conectivos lógicos específicos Por exemplo temos que se G b a então G b a sendo o inverso também válido se G b a então G b a A tal propriedade damos o nome de teorema da dedução Eis outro exemplo G a a Isso significa que para todo e qualquer enunciado a L a a pode ser deduzi do a partir de qualquer conjunto G L ou falando de outra forma que a a é um princípio lógico válido universalmente Tal princípio que chamamos de princípio do terceiro excluído significa basicamente que para todo enuncia do a L a é verdade ou sua negação é verdade Um exemplo semelhante é o seguinte G a a que é nada mais do que a validade do que cha mamos de princípio da não contradição para todo enunciado a não pode ser o caso que tanto a como sua negação são verdade sendo estabelecida em termos de relação de dedução Temos também que métodos clássicos de argumentação podem ser representados através de propriedades de como é o caso da chamada redução ao absurdo se G a b e G a b então G a Isso significa que se em adição aos pressupostos contidos em G supormos a verdade de a e a partir disso pudermos chegar a um absurdo do 151 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE tipo b e b podemos concluir que a é falso Intimamente associados a estes dois últimos princípios temos o chamado princípio da explosão G b b a para todo e qualquer a L isto é que de uma contradição do tipo b b podemos concluir toda e qualquer fórmula Obviamente que esta relação deve ser rigorosamente definida ou construída através de estipulações conceituais A descrição das propriedades que fize mos acima pressupõe tal definição e na verdade deve seguir como uma con seqüência desta definição Por exemplo apesar de sabermos intuitivamente onde aplicar a relação de forma a dizer se dados dois números naturais quaisquer x e y x y em termos matemáticos temos que definir formalmente essa relação Isso pode ser feito da seguinte forma 1 Seja x N um número natural qualquer tal que x 0 x 0 2 Não existe x N tal que 0 x 3 Sejam x y N dois números naturais quaisquer x y se e somente se x 1 y 1 E toda e qualquer propriedade de tal como sua transitividade deve seguir e conseqüentemente poder ser demonstrada a partir da definição acima Assim um sistema lógico principalmente se entendido como uma teoria da inferência pode ser visto como uma série de definições em um certo senti do mais complexas do que a definição acima que juntas teriam o papel de construir a relação de dedução de forma semelhante a como a relação é construída na definição acima Ou em outras palavras um sistema lógico nada mais é do que uma definição rigorosa da relação de conseqüência lógica E conforme já falamos todas as propriedades de devem seguir estritamente desta definição sendo um dos principais trabalhos do lógico demonstrar que tais propriedades realmente valem no seu sistema lógico Um ponto importante é que até agora temos falado como se houvesse apenas uma relação de dedução ou noção de validade dedutiva Falamos por exem plo que é tarefa da lógica distinguir argumentos válidos de argumentos inváli dos o que pressupõe obviamente que haja uma maneira única de fazer tal dis tinção e portanto uma relação única de conseqüência lógica Lembremos no entanto que para realmente identificarmos univocamente temos que dizer qual a linguagem a qual os enunciados que associará pertencem Assim da mesma forma que a relação maior que aplicada a conjuntos diferentes resulta em relações diferentes também usada em conjunto com linguagens diferen tes resultará em relações de inferência diferentes Assim para realmente dizer mos que relação de inferência designa temos que mencionar também qual a linguagem sobre a qual é definida É claro que como para definirmos uma relação de dedução específica temos que definir previamente a linguagem 152 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE sobre a qual a relação operará podemos dizer que a linguagem L associada a já está pelo menos implicitamente contida em Por conta disso tradicio nalmente identificase um sistema lógico como sendo caracterizado não só por uma relação de inferência mas também por uma linguagem lógica Em outras palavras um sistema lógico S pode ser identificado como um par L onde L é uma linguagem e é uma relação entre subconjuntos de L e elemen tos de L chamada relação de relação de inferência lógica Vale a pena obser var que o que chamamos de aspecto representacional e aspecto inferencial da lógica se encontram explícitos na própria caracterização de um sistema lógico A implicação óbvia disso é que muito provavelmente haverá uma multiplicidade de sistemas lógicos A linguagem natural é extremamente variada no que se refere à estrutura de seus enunciados de forma que se quisermos tratar tal variedade estrutural de forma especializada isto é abordando cada aspec to separadamente teremos inevitavelmente uma pluralidade de linguagens lógicas e conseqüentemente uma pluralidade de relações de inferências e sistemas lógicos Por exemplo se decidirmos tratar enunciados como entida des indivisíveis não analisando os seus componentes constituintes mais ou menos como fizemos na análise dos argumentos 12 e 13 teremos a cha mada linguagem proposicional que é a linguagem lógica de um dos siste mas lógicos mais conhecidos a chamada Lógica Proposicional Se por outro lado decidirmos detalhar os componentes de um enunciado tais como seu sujeito e predicado bem como seu aspecto universal quando houver mais ou menos como fizemos nos argumentos 11 e 14 teremos uma linguagem de primeira ordem que é a linguagem usada pelo sistema lógico conhecido como Lógica de Primeira Ordem Similarmente se decidirmos tratar modali dades como é necessário que é moralmente obrigatório que e será o caso que por exemplo teremos linguagens lógicas diferentes que darão origem a sistemas lógicos capazes de lidar com enunciados contendo tais construções lingüísticas nos casos mencionados a Lógica Modal Alética a Lógica Deôntica e a Lógica Temporal Algo digno de nota é que pode acontecer de dois sistemas lógicos S1 L1 1 e S1 L2 2 serem tais que L1 é diferente de L2 e conseqüentemente sob um ponto de vista rigoroso 1 é diferente de 2 mas ainda assim em um sen tido muito importante 1 ser igual a 2 pois ambos compartilham propriedades formais independentes dos aspectos específicos que tornam L1 e L2 diferentes uma da outra Tome a Lógica Proposicional Sp e a Lógica de Primeira Ordem S1 como exemplo Apesar de as linguagens destes dois sistemas serem di ferentes suas relações de inferência satisfazem todas aquelas propriedades consideradas importantes na caracterização de uma relação de inferência en tre elas as mencionadas alguns parágrafos acima Assim podemos dizer que Sp e S1 possuem a mesma relação de inferência porém linguagens diferentes 153 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE o que podemos representar por Sp Lp c e S1 L1 c onde Lp e L1 são as linguagens de Sp e S1 respectivamente e c é o que chamamos de relação de inferência clássica que seria a relação de inferência de ambos os sistemas Sp e S1 O mesmo se aplica a muitos outros sistemas lógicos tais como a Lógica Modal a Lógica Deôntica e a Lógica Temporal que possuem linguagens diferentes da linguagem proposicional e da linguagem de primeira ordem mas cujas relações de inferência possuem as mesmas características de c Mas obviamente não é só em relação à linguagem lógica que dois sistemas lógicos podem diferir um do outro Mais especificamente se um sistema lógico S é caracterizado como um par L então dois sistemas lógicos S1 L1 1 e S2 L2 2 podem diferir um do outro em no mínimo três aspectos fundamentais pode ser que 1 1 seja igual a 2 mas L1 seja diferente de L2 que foi o caso visto até agora pode ser que 2 L1 seja igual a L2 mas 1 seja diferente de 2 e finalmente pode ser que 3 tanto L1 seja diferente de L2 como 1 seja diferente de 2 Podemos chamar a classe de sistemas que inclui a Lógica Proposicional e todos os sistemas lógicos que diferem dela de acordo com 1 de Lógica Clássica ou Lógicas Clássicas À classe dos que diferem da Lógica Proposicional de acordo com 2 ou 3 podemos dar o nome de Lógicas NãoClássicas Equivalentemente tomando a relação de inferência clássica c como parâmetro dizemos que a Lógica Clássica é a classe de to dos os sistemas lógicos da forma S L c e as Lógicas NãoClássicas são os sistemas lógicos da forma S L nc onde nc é diferente de c Algu mas pessoas alternativamente usam o termo Lógica Clássica para designar apenas as Lógicas Proposicional e de Primeira Ordem e o termo Lógicas NãoClássicas para referenciar todos os demais sistemas lógicos Exemplos de lógicas nãoclássicas são os sistemas lógicos por exemplo onde o princípio do terceiro excluído não é válido Em tais lógicas geralmente cha madas de lógicas paracompletas não é o caso que G a a onde é a relação de inferência de tais sistemas Outro exemplo é as lógicas paracon sistentes onde o princípio da explosão não é valido Em outras palavras não é o caso nestas lógicas que G b b a para todo a L isto é pode haver enunciados da linguagem lógica que não são deduzidos a partir de uma contradição Nestas lógicas também não vale o princípio da redução ao absur do se G a b e G a b então G a e em muitas delas também o princípio da nãocontradição G a Λ a não é satisfeito Dois pontos devem ser mencionados antes de terminarmos este artigo Primei ro um esclarecimento em relação ao uso da palavra lógica Conforme o leitor deve ter observado também usamos este termo nesta seção para designar um sistema lógico específico ou uma classe de sistemas lógicos Assim falamos por exemplo em Lógica Proposicional ou Lógica de Primeira Ordem para de 154 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE signar um sistema lógico específico e em Lógica Modal ou Lógica Clássica para designar uma classe de sistemas lógicos Assim temos o termo lógica se referindo tanto à disciplina incumbida de desenvolver e estudar sistemas lógicos como aos próprios sistemas lógicos Segundo existem grosso modo duas maneiras distintas de se definir a rela ção de inferência de um sistema lógico semanticamente ou sintaticamente Grosso modo a distinção é que enquanto a definição semântica faz uso de conceitos semânticos como o conceito de verdade e em última instância atenta para o significado dos símbolos em uma abordagem sintática nenhuma consi deração é feita sobre o significado dos termos enfocandose exclusivamente a forma lógica dos enunciados Por fazer referência ao significado dos símbolos uma definição semântica é mais intuitiva no sentido de que o fato de tal defi nição ser ou não uma construção do que entendemos como sendo a relação de conseqüência lógica ser mais facilmente identificável Por outro lado no uso efetivo da relação de inferência na avaliação de argumentos uma defini ção sintática é mais eficiente Assim tradicionalmente a relação de inferência de um sistema lógico é definida tanto sintática como semanticamente E para distinguir uma da outra usase tanto uma nomenclatura como uma simbologia especial Para a relação de inferência definida sintaticamente reservamos o termo relação de dedução sendo o símbolo usado agora exclusivamente para designar tal relação Para a relação de inferência definida semantica mente reservamos o termo relação de conseqüência lógica sendo usado um novo símbolo para designar tal relação Dado isso uma maneira mais correta de caracterizar um sistema lógico seria identificálo como um tripla L onde L é sua linguagem lógica sua relação de inferência definida sintaticamente e a mesma relação definida se manticamente A parte do sistema incumbida em definir nós chamamos de o cálculo do sistema É assim que falamos por exemplo no cálculo proposicio nal e no cálculo de primeira ordem significando com isto a definição sintática da relação de inferência da Lógica Proposicional e da Lógica de Primeira Or dem respectivamente Há maneiras diferentes de definir sintaticamente uma relação de inferência Podese ter por exemplo um cálculo axiomático isto é um cálculo que é definido de acordo com o chamado método axiomático um cálculo de dedução natural ou um cálculo de seqüente A parte incumbida de definir nós chamamos simplesmente de a semântica da lógica Mas po deríamos perguntar como saber se e definem realmente a mesma coisa Para isso as nossas duas relações de inferência devem possuir as seguintes propriedades dado um conjunto de fórmulas G L e uma fórmula a L 1 se G a então G a e 2 se G a então G a Em outras palavras deve ser o caso que se L a é um argumento válido de acordo com a relação de infe rência sintática ele também deve ser de acordo com a relação semântica 155 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE e se L a é um argumento válido de acordo com ele também deve ser de acordo com Chamamos 1 de a corretude do sistema lógico em questão e 2 de sua completude SILVESTRE 2008 p 915 Sugerimos que você procure responder discutir e comen tar as questões a seguir que tratam da temática desenvolvida nesta unidade 7 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS Os temas abordados em Lógica II estão muito presentes nas provas de concursos públicos como também no Exame de Desempenho dos Estudantes Enade um dos instrumentos de avaliação do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Supe rior do MEC Confira a seguir as questões propostas para verificar o seu raciocínio nos temas aqui estudados por intermédio de regras e técnicas que possibilitam determinar se um argumento é válido ou não 1 Enade 2011 Considere as tabelas I e II a seguir Tabela I Tabela de verdade P Q P Q V V V V F V F V V F F F 156 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE Tabela II Tabela de verdade P Q P Q V V V V F F F V F F F F A partir das tabelas analise as afirmações abaixo I Será verdadeira a disjunção que tem os dois membros verdadeiros II Em uma disjunção falsa os disjuntos podem assumir valores lógicos diferentes III Basta que um conjunto seja verdadeiro para que a conjunção seja verdadeira IV As duas tabelas de verdade assumem os mesmos valores em todas as possibilidades lógicas É correto apenas o que se afirma em a I b II c I e III d II e IV e III e IV 2 Enade 2011 Com efeito que nos diz a experiência Ela nos mostra que a vida da alma ou se se quiser a vida da consciência está ligada à vida do corpo que há solidariedade entre eles e nada mais Mas este ponto jamais foi contestado e há uma grande distância entre isto e a afirmação de que o cerebral é o equivalente do mental que poderíamos ler no cérebro tudo o que se passa na consciência correspondente A consciência está incon testavelmente acoplada a um cérebro mas não resulta de nenhum modo disto que o cérebro desenhe todos os detalhes da consciência nem que a consciência seja uma função do cérebro BERGSON H A alma e o corpo In Coleção Os pensadores São Paulo Abril Cultural 1979 p 867 De acordo com o pensamento de Henri Bergson a relação existente entre a alma e o corpo é a de equivalência porque há mais atividade na consci ência humana que no cérebro correspondente 157 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE Acerca dessas asserções assinale a alternativa correta a As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira b As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda não é uma justificativa correta da primeira c A primeira asserção é uma proposição verdadeira e a segunda uma proposição falsa d A primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda uma propo sição verdadeira e Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas 3 Enade 2008 Princípio dos seres ele disse que era o ilimitado Pois donde a geração é para os seres é para onde também a corrupção se gera segundo o necessário pois concedem eles mesmos justiça e deferên cia uns aos outros pela injustiça segundo a ordenação do tempo Simplí cio In Physicam 24 17 Anaximandro DK12A9 Coleção Os Pensadores Tendo como referência esse texto analise as asserções abaixo Para os seres a corrupção se gera para o ilimitado segundo o necessá rio porque os seres concedem justiça e deferência uns aos outros pela injustiça Acerca dessas asserções assinale a opção correta a As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira b As duas asserções são proposições verdadeiras mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira c A primeira asserção é uma proposição verdadeira e a segunda é uma proposição falsa d A primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda é verdadeira e Ambas as asserções são proposições falsas 4 Enade 2008 Considere que e são respectivamente símbolos para a negação não conjunção e disjunção eou e para o condicional material se então e que e são respec tivamente o quantificador universal e o quantificador existencial Consi dere ainda que Px Qx Rx e Sx são predicados monádicos ou de aridade 1 e que as fórmulas xPx Qx Rx e xQx Rx são 158 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE premissas de um argumento As conclusões dedutíveis dessas premissas estão contidas nas fómulas I xPx Sx II x Px III xQx Qx IV xPx Sx V xRx Rx Estão certos apenas os itens a I e III b I e IV c II e IV d II e V e III e V 5 Enade 2008 Considere que e são respectivamente sím bolos para a negação não conjunção e e condicional material se então e que p e q são variáveis proposicionais Ao se em pregar os procedimentos das tabelas veritativas e em seguida do cálculo proposicional podese concluir que a fórmula p q p q I é uma contingência II é uma contradição III é uma tautologia IV é um teorema V não é um teorema Estão certos apenas os itens a I e II b I e IV c II e V d III e IV e III e V 159 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE Teorema é toda proposição que é garantida por uma prova As sim um teorema é qualquer fórmula que aparece em alguma demonstração A fórmula p q é um teorema chamase p de hipótese e q de conclusão do teorema 6 FGV Considere o seguinte argumento Se a companhia K Bide for capaz de comprar matériaprima a um pre ço favorável ou se as vendas aumentarem então a K Bide não sofrerá perdas Se houver falta de material a K Bide não será capaz de comprar matériaprima a um preço favorável No momento não há falta de mate riais Logo a K Bide não sofrerá perdas a Tratase de um argumento válido apesar da existência de uma premis sa discutível b Tratase de um argumento válido com todas as premissas verdadeiras c Tratase de um argumento não válido d Nenhuma das alternativas 7 FGV adaptado Considere o seguinte argumento Se os métodos de trabalho forem antieconômicos então eles não serão socialmente desejáveis Se os métodos forem enfadonhos então serão prejudiciais à iniciativa Se forem prejudiciais à iniciativa então serão an tieconômicos Se os métodos de trabalho forem meramente mecânicos então serão enfadonhos Portanto se os métodos de trabalho forem me ramente mecânicos então não serão socialmente desejáveis a Tratase de um argumento válido b Tratase de um argumento não válido em razão da existência de pre missas falsas c Tratase de um argumento não válido em razão da falsidade da conclusão d Nenhuma das alternativas 160 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE Gabarito 1 e 2 d 3 a 4 b 5 d 6 A A companhia K Bide é capaz de comprar matériaprima a um preço favorável B As vendas aumentam C A companhia sofrerá perdas D Haverá falta de material A B C D A D f C Na última premissa negouse a condição suficiente ou seja D Sabese que se D então A mas como se nega a condição suficiente nada se pode afirmar sobre a negação ou não da necessária Argumento inválido 7 A Métodos de trabalho antieconômicos B Métodos de trabalho socialmente desejáveis C Métodos de trabalho enfadonhos D Métodos de trabalho prejudiciais à iniciativa E Métodos de trabalho meramente mecânicos A B C D D A E C f E B 161 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE Analisando por diagramas que é o método mais rápido e ordenando as premissas em uma ordem melhor Se E então C Se C então D Se D então A Se A então B Ora é E logo é B A conclusão deriva das premissas é argumento válido Afirmouse a con dição suficiente afirmase tudo Se realizarmos um diagrama podemos comprovar que E está contida em C que está contida em D que está contida em A que está contida em B 8 CONSIDERAÇÕES FINAIS Nesta unidade estudamos as regras de inferência a Intro dução do Universal a Eliminação do Universal a Introdução do Existencial e a Eliminação do Existencial É válido salientar que os conhecimentos aqui construídos nos ajudarão a compreender melhor o Cálculo de Predicados que é um dos objetivos que propusemos alcançar no início da obra Desse modo chegamos ao fim do estudo proposto aqui Acrescentamos em nosso estudo o método de análise de argu mentos em forma de símbolos lógicos por meio da Tabela de Ver dade do Cálculo Proposicional e do Cálculo de Predicados o que contribui para o exercício do raciocínio humano Além disso conhecemos os conectivos lógicos suas regras para averiguação na Tabela de Verdade e no Cálculo Proposicio 162 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE nal os quantificadores e suas regras de inferência e as etapas para formalizálas Ao longo do estudo desta disciplina você pôde verificar que a Lógica é um instrumento para o desenvolvimento de um raciocínio correto Exemplo disso é a Lógica Simbólica extrema mente importante por desenvolver a capacidade de abstração e a capacidade de discernir as formas gerais dos argumentos quan to à sua validade ou invalidade Portanto o estudante de Lógica tem a oportunidade de apropriarse de uma atitude crítica e ao mesmo tempo autocrítica a respeito do discurso uma atitude fundamental para o pensamento filosófico Esperamos que o estudo da Lógica Simbólica tenha ofere cido subsídios para o exercício da abstração Insistimos para que você não se limite ao material didático e desse modo busque outras informações referentes à Lógica Simbólica Matemática e amplie seus conhecimentos 9 EREFERÊNCIA SILVESTRE R S Lógica e sistemas lógicos Crítica 2008 Disponível em http criticanaredecomdocssistemaslogicospdf Acesso em 29 set 2015 10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COPI I M Introdução à Lógica São Paulo Mestre Jou 1978 COSTA N Ensaio sobre os fundamentos da Lógica São Paulo Hucitec 1994 HAACK S Filosofia das lógicas São Paulo Unesp 2002 HAIGHT M A serpente e a raposa uma introdução à Lógica São Paulo Loyola 2003 KNEALE W KNEALE M O desenvolvimento da Lógica Lisboa Calouste Gulbenkian 1991 MATES B Lógica elementar São Paulo NacionalEdusp 1967 163 LÓGICA II UNIDADE 5 PROVAS FORMAIS DE VALIDADE MORTARI C A Introdução à Lógica São Paulo Unesp 2001 QUINE W V O Existência e quantificação São Paulo Abril Cultural 1975 Coleção Os Pensadores Sobre o que há São Paulo Abril Cultural 1975 Coleção Os Pensadores RUSSELL B Da denotação São Paulo Abril Cultural 1974 Coleção Os Pensadores SIMPSON T M Linguagem realidade e significado Trad Paulo Alcoforado São Paulo Livraria Francisco AlvesEdusp 1976 TARSKI A Verdade e demonstração Trad Jesus de Paula Assis e Celso R Braida In A Concepção Semântica da Verdade São Paulo Unesp 2006