Cálculo da Taxa Interna de Retorno (TIR)

1 20 10 2022Taxa Interna de Retorno Internal Rate of Return IRR Taxa Interna de retorno é a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos saídas de caixa com o valor presente de um ou mais recebimentos entradas de caixa 𝑪𝑭𝟎 𝑪𝑭𝟏 𝟏 𝒊𝟏 𝑪𝑭𝟐 𝟏 𝒊𝟐 𝑪𝑭𝒏 𝟏 𝒊𝒏 Donde se deduz que 𝑪𝑭𝟎 𝑪𝑭𝒋 𝟏 𝒊𝒋 𝒏 𝒋𝟏 𝟎 𝑪𝑭𝟎 𝑭𝒍𝒖𝒙𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒊𝒙𝒂 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍𝒏𝒐 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒛𝒆𝒓𝒐 que representa o valor do investimento do empréstimo ou do financiamento 𝑪𝑭𝒋 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐𝒔 𝒇𝒖𝒕𝒖𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒊𝒙𝒂 representando os valores das receitas ou das prestações Exemplo 1 Determinar a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de R 100000 a ser liquidado em três pagamentos mensais de R 30000 R 50000 e R 40000 O fluxo de caixa correspondente a esta operação tomandose como referência o doador de recursos é representado como segue A solução deste problema implica em resolver a seguinte equação matemática 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟏 𝒊𝟏 𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝒊𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟏 𝒊𝟑 Em que i é denominada taxa interna de retorno A solução desta equação pode ser determinada pelo processo iterativo ou seja tentativa e erro Assim vamos admitir inicialmente uma taxa qualquer 2 próxima da taxa verdadeira Digamos 6 Com base nesta taxa vamos calcular o valor presente dos três pagamentos 𝑷𝑽 𝟑𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟔𝟏 𝟓𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟔𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟔𝟑 106386 Como o valor presente destes três pagamentos é maior do que 1000 deduzse logo que a TIR é maior que 6 Vejamos para 11 𝑷𝑽 𝟑𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟏𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟏𝟑 𝟗𝟔𝟖 𝟓𝟔 Portanto a TIR é uma taxa situada entre 6 e 11 A partir daqui como temos duas taxas de referência o mais indicado é utilizarmos o processo de interpolação linear PIL Processo de Interpolação Linear PIL1 𝟏𝟎𝟔𝟑 𝟖𝟔 𝟔 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒙 𝟗𝟔𝟖 𝟓𝟔 𝟏𝟏 𝟏𝟎𝟔𝟑 𝟖𝟔 𝟗𝟔𝟖 𝟓𝟔 𝟔 𝟏𝟏 𝟓 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟗𝟔𝟖 𝟓𝟔 𝒙 𝟏𝟏 𝟗𝟓 𝟑𝟎 𝟓 𝟑𝟏 𝟒𝟒 𝒙 𝟏𝟏 Multiplicando em cruz vem 𝟗𝟓 𝟑𝟎 𝒙 𝟎 𝟏𝟏 𝟑𝟏 𝟒𝟒 𝟎 𝟎𝟓 𝒙 𝟎 𝟏𝟏 𝟏 𝟓𝟕𝟐𝟎 𝟗𝟓 𝟑𝟎 𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟓 𝒙 𝟎 𝟏𝟏 𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟓 𝟎 𝟎𝟗𝟑𝟓 𝒐𝒖 𝟗 𝟑𝟓 Verificando o valor presente para esta taxa temos 𝑷𝑽 𝟑𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟗𝟑𝟓𝟏 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟗𝟑𝟓𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟗𝟑𝟓𝟑 𝟗𝟗𝟖 𝟒𝟐 A taxa é ainda um pouco menor que esta 3 Fazemos nova interpolação PIL2 Para uma nova interpolação iriamos usar 𝟗𝟗𝟖 𝟒𝟐 𝟗 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒙 𝟗𝟔𝟖 𝟓𝟔 𝟏𝟏 𝟗𝟗𝟖 𝟒𝟐 𝟗𝟔𝟖 𝟓𝟔 𝟗 𝟑𝟓 𝟏𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟖 𝟒𝟐 𝒙 𝟗 𝟑𝟓 𝟐𝟗 𝟖𝟔 𝟏 𝟓𝟖 𝟏 𝟔𝟓 𝒙 𝟗 𝟑𝟓 𝒙 𝟎 𝟎𝟗𝟑𝟓 𝟏 𝟓𝟖 𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟓 𝟐𝟗 𝟖𝟔 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟖𝟕𝟑 𝒙 𝟎 𝟎𝟗𝟑𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟖𝟕𝟑 𝟎 𝟎𝟗𝟐𝟔𝟐𝟕 𝒙 𝟗 𝟐𝟔 𝑷𝑽 𝟑𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟗𝟐𝟔𝟏 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟗𝟐𝟔𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟗𝟐𝟔𝟑 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟗 Embora a taxa rigorosamente não seja esta mas já está bem melhor que as anteriores Exemplo 2 Uma dívida no valor de R3 00000 deverá ser quitada no prazo de 9 meses em prestações mensais de acordo com o seguinte plano a primeira de R40000 a segunda R79000 três iguais de R 62000 cada uma a serem pagas do quarto ao sexto mês e a última de R88000 a ser liquidada no final do nono mês como mostra o esquema a seguir Determinar a taxa de juros cobrada nessa operação Solução 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟒𝟎𝟎 𝟏𝒊𝟏 𝟕𝟗𝟎 𝟏𝒊𝟐 𝟔𝟐𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝒊𝟑𝟏 𝟏𝒊𝟑𝒊 𝟏 𝟏𝒊𝟑 𝟖𝟖𝟎 𝟏𝒊𝟗 4 Por tentativa e erro utilizandose interpolação linear obtémse que a taxa está entre 5 e 6 Exemplo 3 Um equipamento no valor de 70 milhões é integralmente financiado para pagamento em sete parcelas mensais as três primeiras de 10 milhões as duas seguintes de 15 milhões a sexta de 20 milhões e a sétima de 30 milhões Determinar a taxa interna de retorno dessa operação Solução 𝟕𝟎 𝟏𝟎 𝟏 𝒊𝟑 𝟏 𝟏 𝒊𝟑 𝒊 𝟏𝟓 𝟏 𝒊𝟒 𝟏𝟓 𝟏 𝒊𝟓 𝟐𝟎 𝟏 𝒊𝟔 𝟑𝟎 𝟏 𝒊𝟕 Por tentativa e erro obtémse uma taxa de aproximadamente 104 Nova definição A taxa interna de retorno é a taxa de juros para a qual o valor presente de um ou mais pagamentos é igual ao valor presente de um ou mais recebimentos É a taxa para a qual o VPL 0 A taxa interna de retorno Internal Rate of ReturnIRR pode ser dada pela equação n n n j j j i CF i CF i CF i CF CF 1 1 1 1 2 2 1 1 1 0 e de onde se deduz que 0 1 1 0 n j j j i CF CF Esta equação matemática pode ser resolvida por tentativa e erro com a ajuda da interpolação linear e do método iterativo de Newton Raphson que permite uma convergência rápida para a taxa desejada 5 Exemplo Uma dívida de R 500000 deverá ser paga em um ano em prestações mensais de acordo com o seguinte plano a primeira de R 35000 a quarta de R 53000 mais quatro prestações sucessivas de R 62000 e por fim duas de R 98000 Calcular a taxa mensal de juros cobrada na operação aqui descrita Solução Observe o Fluxo de Caixa Dados CF0 R 500000 CF1 R 35000 CF2 CF3 0 CF4 R53000 CF5 CF6 CF7 CF8 R 62000 CF9 CF10 R 98000 Substituindo estes dados na fórmula temos 3 4 4 4 1 1 1 1 1 620 1 53000 1 35000 500000 i i i i R i R i R R 10 9 i 1 98000 i 1 R98000 R Muito cálculo por tentativa e erro obtémse uma taxa de 089 Tomando esta taxa e substituindo na equação acima podemos comprovar que esta é a taxa interna de retorno da operação Faça isto como exercício Alguns Cuidados Observe que a equação gerada pelo problema não é uma equação de fácil solução denominador de grau 10 em i A melhor forma de resolver problemas como este sem praticamente sem nenhum esforço sem fórmulas é usando a HP12C Entretanto É indispensável elaborar um diagrama de fluxo de caixa Não tenha pressa de obter o resultado Primeiro raciocine financeiramente depois use a ferramenta Seja cuidadoso ao alimentar sua calculadora com os dados 6 Procedimento na HP12C para calcular a taxa interna de retorno IRR Introduzir os valores do fluxo de caixa de acordo com o visto no cálculo de valor presente líquido Pressionar f IRR O valor de IRR calculado aparece no visor e também é automaticamente armazenado em i A função IRR leva um tempo considerável até obter a resposta Durante este tempo pode ser lido no visor a palavra running em execução Isto se deve ao fato dos cálculos de IRR serem extremamente complexos envolvendo uma série de iterações Veja como fica o problema anterior na HP12C Procedimento Teclas Visor Fixar duas casas decimais f 2 000 Limpar todos os registradores f REG ou fFIN 000 Entrar com o valor 5000 para o investimento inicial 5000 CHS gCF0 500000 Introduzir o valor do primeiro pagamento 350 gCFj 35000 Introduzir o valor zero para o 2º e 3º pagamento 0 gCFj 000 Introduzir o número de vezes que o pagamento zero ocorre 2 g Nj 200 Introduzir o valor do 4º pagamento 530 gCFj 53000 Introduzir o valor da 5º a 8º pagamento 620 gCFj 62000 Introduzir o número de vezes que este fluxo ocorre consecutivamente 4 g Nj 400 7 Introduzir o valor do 9º e 10º pagamento 980 gCFj 98000 Introduzir o número de vezes que este fluxo ocorre consecutivamente 2 g Nj 200 Calcular a taxa interna de retorno f IRR 089 Faça um diagrama de fluxo de caixa e resolva os problemas abaixo usando sua HP12C 1 Um equipamento no valor de R 150 00000 é financiado integralmente para ser quitado em 14 pagamentos mensais da seguinte maneira os oito primeiros de R 10 00000 cada um os quatro seguintes no valor de R 15 00000 cada um o décimo terceiro e décimo quarto no valor de R 40 00000 e R 50 00000 respectivamente Calcular a taxa cobrada nesta operação taxa interna de retorno Resposta 477 ao mês 2 Um consumidor adquire um eletrodoméstico pelo sistema de crediário para pagamento em 10 prestações mensais de R 13570 Sabendose que o primeiro pagamento só deve ocorrer no final do 4º mês e que o valor financiado foi R 90000 determinar a taxa cobrada pela loja Sugestão Faça cuidadosamente o diagrama de fluxo de caixa alimentando a calculadora com o valor zero para as saídas de caixa do período de carência mês 1 2 e 3 Resposta 507