Resumo - Critérios de Ruptura - 2023-2

Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura • M´axima tens˜ao normal, proposta por RANKINE (1820-1872)1 • M´axima deforma¸c˜ao normal, proposta por SAINT-VENNANT (1797-1886) • M´axima tens˜ao de cisalhamento, proposta por COULOMB em 1773 e por TRESCA em 1868 • Teoria do atrito interno, desenvolvido por MOHR (1835-1918) e COULOMB (1736-1806) • M´axima energia de deforma¸c˜ao, proposta por BELTRAMI em 1885 • M´axima energia de distor¸c˜ao, desenvolvida por HUBER em 1904, Von-MISES em 1913 e HENCKY em 1925 • M´axima tens˜ao de cisalhamento octa´edrica de Von-MISES e HENCKY 1William John Macquorn RANKINE (1820-1872), Scottish physicist. Adh´emar Jean Claude Barr´e de SAINT-VENANT (1797-1886), French mathematician. Charles Augustin de COULOMB (1736-1806), French physicist. Christian Otto MOHR (1835-1918), German engineer. Heinrich HENCKY (1885-1951), German engineer. Eugenio BELTRAMI (1835-1900), Italian mathematician. Maksymilian Tytus HUBER (1872-1950), Polish engineer. Sim´eon Denis POISSON (1781-1840), French mathematician, geometer and physicist. Thomas YOUNG (1773-1829), English polymath. Robert HOOKE (1635-1703), English natural philosopher, architect and polymath. Henri ´Edouard TRESCA (1814-1885), French mechanical engineer. Richard Edler VON MISES (1883-1953), Austrian scientist and mathematician. Daniel Charles DRUCKER (1918-2001), US engineer. William PRAGER (1903-1980), German engineer and applied mathematician. ⊳ 1 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Crit´erio da m´axima tens˜ao normal - Rankine xp yp zp σ1 σ2 σ3 σ τ σ1≡σmax σ3≡σmin σ2 σ1 > σ2 > σ3 > 0 σ σy σr ε εy εr Ensaio de tra¸c˜ao simples σ τ σ1≡σy σ2=σ3=0 σmax = σy ⊳ 2 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Critérios de Ruptura Critério da maxima deformacdo normal - Saint Venant 1 7 Ho +s) 0 0 _ 79 V le] = 0 3 — £(0, + ¢,) 0 P32 0 0 7 — Zo, +95) Ensaio de tra¢do/compressdo _ oye Ty inicio do escoamento = ¢,= +7 é, =e, > o,—v(o,+0;) = +0, é,= +e, > o,—-Vv(o,+0,) = +0, é,= +e, > 0,—v(o,+0,) = +0, Estado plano de tensao 0, —Vvo, =o, 0, —Vo, =o, 0, (on Co, 0, (7) rv Ghd I" Vv o—-[J—< o-—[]+o ls ; So, \° \° oT Jo oT +o oy 1) to 1l+vy? 1l+vy to (., ) °, 1l-v? 1-v dq 3 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Crit´erio da m´axima tens˜ao de cisalhamento - Tresca xp yp zp σ1 σ2 σ3 σ τ σ1≡σmax σ3≡σmin σ2 τmax = σmax−σmin 2 Planos onde ocorrem as m´aximas tens˜oes de cisalhamento σ3 σ2 σ1 τmax = σ1−σ3 2 σ3 σ2 σ1 τmax = σ2−σ3 2 σ3 σ2 σ1 τmax = σ1−σ2 2 ⊳ 4 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura σ σy σr ε εy εr Ensaio de tra¸c˜ao simples τmax = σy 2 σ τ σ1≡σy σ2=σ3=0 σmax − σmin 2 = σy 2 =⇒ σmax − σmin = σy ⊳ 5 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Representa¸c˜ao gr´afica no espa¸co das tens˜oes principais σ1 σ2 σ3 eixo de tens˜ao hidrost´atica ⊲ Estado plano de tens˜oes (σ3 = 0) σ σ τ τ τmax = σ1−σ2 2 τmax = σ1 2 σ1 σ1 σ2 σ2 σ3=0 σ3=0 σ1 · σ2 < 0 σ1−σ2 2 = σy 2 |σ1 − σ2| = σy σ1 · σ2 > 0 σ1 2 = σy 2 σ1 = σy σ1 σ2 σy −σy σy −σy ⊳ 6 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Energia de deforma¸c˜ao complementar U ∗ 0 ⊲ Estado geral de tens˜oes em rela¸c˜ao `as coordenadas (x, y, z) x y z σzz τzy τzx σyy τyz τyx σxx τxz τxy [σ] =   σxx τxy τxz τyx σyy τyz τzx τzy σzz   U ∗ o = 1 2E(σ2 xx + σ2 yy + σ2 zz) − ν E(σxxσyy + σxxσzz + σyyσzz)+ + 1 2G(τ 2 xy + τ 2 xz + τ 2 yz) ⊲ Ensaio de tra¸c˜ao uniaxial σ σ l δ P P δ σ ε 1 EA l 1 E P = EA l δ σ = Eε U ∗ 0 = 1 2Eσ2 xx ⊳ 7 ⊲ Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura > ‘Tensoes principais == elxos principais: (x,,, Ys z,) 0; Zp 0, Yp 0; x Pp o, 0 O Ia }= |0 o, 0 0 0 o, * 17,2 2 Nv U, = spl; + 05 + o:) B(d,0, + 0,0, + 0505) [> Ensaio de tracao uniaxial ; 2 oO Trax = > . 7, =o, =0 ax 0, U = sho? 0 0 2B 4 <J 8 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Energia de Distor¸c˜ao Ud no espa¸co das tens˜oes principais xp yp zp σ3 σ2 σ1 σm σm σm = 1 3(σ1 + σ2 + σ3) σ3− σm σ2− σm σ1− σm = + Tensor de Tens˜oes Tensor Esf´erico Tensor Desviador σm σm σm σ3− σm σ2− σm σ1− σm Deforma¸c˜ao volum´etrica Distor¸c˜ao ⊳ 9 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura   σ1 0 0 0 σ2 0 0 0 σ3   =   σm 0 0 0 σm 0 0 0 σm   +   σ1−σm 0 0 0 σ2−σm 0 0 0 σ3−σm   ◮ Tens˜ao hidrost´atica: σm = 1 3(σ1 + σ2 + σ3) ◮ Tens˜oes normais desviadoras:        s1 = 2σ1−σ2−σ3 3 s2 = 2σ2−σ1−σ3 3 s3 = 2σ3−σ1−σ2 3 ◮ Energia de distor¸c˜ao U0 = Uv+Ud Ud = U0 − Uv ⊳ 10 ⊲ Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura > Parcela da energia de deformacao volumétrica 1 V 3(1 — 2v) 1 — 2p 2 U, = 30° — =30? = ~——~o0? = ——_(0, +0, +0 " 2EF ™ KFo™ 2E m 6E 7 2 +95) > Parcela da energia de distorgao U,= Sp lo? + o- + o- — 2v(a,0, + 0,0, + 0,05) 1~2 2 — aE +0, +05) U,= Sh lo? + o- + o- — 2v(a,0, + 0,0, + 0,05) —ie [o? +05 + o- + 2(0,0, +0,0,+ 0,05) fi 12 2 2 2 U)= (ss 7 13) (0 +o; +03) 7 (+ + 1) (0,0, + O\0, 4 0,03) 2(1+ U,= 20) (g? +05 + 0% — 0,0, — 0,0; — 0,05) L+v 2 2 2 UL = tF (9, —0,) +(0,—93) + (0, — 95) > Energia de distorgao em um ensaio de tracao simples l+v 5» Mi 3p < in > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Critério da maxima energia de distor¢do - Von Mises 1+v 2 2 2 1+v 2 it |(0, —90,) +(0,—93) + (a, — 95) = 3E?y 2 2 2 9 (9, -—9,) +(0,—93) +(0,—93) = 20° 0; eixo de tensao hidrostatica 0» 0; > Estado plano de tensdes (a, = 0) Interpretagao geométrica - eixos (7,, 7,) Equacao da conica Ax? + Bry + Cy? + Dxr+ Ey+F =0 A=1,B=-1,C=1,D=0,E=0,F= —o B —4AC = (-1) —4k1lxl = -3 <0 = Elipse < 12 > Mecanica dos Sélidos 3 Critérios de Ruptura Rotacao de eixos cotan2a = 442 =Ht=9 = 2g=90 », a=45 o,| _ |cosa —sina} Jo, o,J |sina cosa } la, foul _ | v2/2 —Vv2/2 {o.\ . fo.\ a: fe - ig Oy 2/2 V2/2 | le oJ * lo, +0, a a tet gaa y By seml-elxo mMalor : V20, = 1.4142 on semi-elxo menor : V3 C0, = 0.8165 0, semi-eixo menor (Tresca) : eo = 0.7071o, 0, 0; on Cy s/ } of’ 7 * s—"1-2, <| 13 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Sistema de coordenadas de Haigh-Westergaard °s B(0,,0,0,) v2I, 7 eixo de tensao oo hidrostatica A(p, P,P) Pl, 0 > OB = (7,; 0,05) —> OA = (p, p, P) “1 AB = (0, —p,o, —p,0, —p) = (5,,5),8;) |OA| = V3p = 41, \AB| = ./2u, Oo, +0, 102 a [, = O71 + 0, + 0; J, = zi (0, _ o,) + (0, _ 05) + (0, _ o,) | o,-p O 0 s, 0 0 S= 0 o,-p 0 =|0 s, 0 0 0 0, —Pp 0 0 s, J o,-—p 0 o,-p 0 o,—-p 0 a 0 0, —p 0 O,—Pp 0 0, —Pp 1 2 2 2 J, = 5 l(a, —0,) + (0, — 03) + (0, — 03) Criterio de Von Mises => f = \/3J, — 0, = 0 <J 14 > Mecanica dos Sélidos 3 Critérios de Ruptura —> O1—P OA- AB = (p,p,p) 4 0,-p } =o,p—p? +0,p—p? + o,p —p" O,—p = p(o, +9, +03) —3p° = 0 V er 3p E\D=£,D,= ED, + £,,D,, + E,,D,; = — ED + FD + E33) 35 + 26D, + 26,4); + 26,,D,, — eT =0 =0,p —p? + 0,p —p? + 0.) —p? =p (0, +0,+ on) — 3p" =0V —S| er 3p 0; 0, 53 eixo de tensao Uo hidrostatica 90° a a Y 0,=9, sena = zt => S3 = 0, Sela COS = a => cos? = 7 sena = V1 — cos?a = V3 <J 15 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Seja um eixo cil´ındrico maci¸co sujeito a tor¸c˜ao uniforme conforme mostra figura abaixo. Determine qual o valor do torque que inicia o escoamento utilizando os crit´erios de Tresca e Von Mises. l T +T r0 τmax= 2T πr3 0 σ1=τ σ2=−τ σ3=0 σ τ c´ırculo de Mohr Tresca: σ1 − σ2 = σy, τ − (−τ) = σy ⇒ τ = 1 2σy 2T πr3 0 = 1 2σy ⇒ T = 1 4πr3 0σy Von Mises: (σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)2 = 2σ2 y (τ − (−τ))2 + τ 2 + τ 2 = 2σ2 y, 6τ 2 = 2σ2 y ⇒ τ = 1 √ 3 σy 2T πr3 0 = 1 √ 3σy ⇒ T = 1 2 √ 3πr3 0σy ⊳ 16 ⊲ Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura > Representacao grafica no espacgo (a,, 0,) 05 =—> o2 o2 o 7) > JOA) = \/#+4=VF > Z| ax as oy 3Y3 ai on oF oF 207 7 ivi VE 2 a af” OB| = \/32, Fo, > Representacao grafica no plano desviador T 0 O lo] = ]0 —-7 0], p= oY" =0, =-7’ 0 0 0 _ _ _—1..-1f 3v3__ 4. J, = Tx—-Tx0 = 0, d= 3008 (8 | _1...-1f 3v3B 0 \) _ 1...-1/9%) _ 90° _ an? d= 3008 (8-5) = 3008 (0 ) = 3 > 30 5) yroena 5 5 Lo JOA] = 25, = \/2«+ / > oe lOA| = 330, al’-~ 5 |OB| = 27, = 2. " C7 N, (OB\ = yo 55 55 . dq 17 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Tensoes no plano octaédrico be a, 0 O ‘ Or [7,}=}90 o, 0 0 0 a, LN Yo e y ' V3 > J 1 n=) VB V3 62 7 FB Oa > , CO. t=|o)n= 3 Yo v3 t> Tensao de cisalhamento octaédrica “« *, % 7 f= t-6 72 1-(E-mit = O-mi-edt F= t-[Rent F= (]-[ren)et r= [PJt > [P,J=U]-lien < 18 > Mecanica dos Sélidos 3 Critérios de Ruptura 2 _1 _1 3 3° «O38 T =[P_] t, IP J=U)-[renj= —i 2 1 oct oct ’ oct 3 3 3 —l1 _1l1 2 3 «3~—~=Oi«<=8B Oo 2 1 1 a 2, _ lt, __l 3 73 —3] | v3 3V301 3392 — 3373 > —_ }; 1 2 _1 % YJ __ 1 2, —__1l Toct = 30 232«*«“‘(<O V3 ( 3301 © 3372 — 37373 —i _1 2 o3 —t, _ tb 20 3° «3~UCi‘«‘8B V3 3301 3/372 + 3/303 _ |2 —_ 1 / 2 2 2 T oct — Fer — 3 (7, a 05) + (0, a 0) + (2 a 0) > ensaio de tracao uniaxial: 7, = a, Critério da maxima tensao de cisalhamento octaédrica 1 2 2 2 V2 3\ (0, _ 05) + (0, a 0) + (a2 a 0) = 39, 2 2 2 _ 9 (0, — 04) +(0,—9,) +(02—9,) = 20° <J 19 b> Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Seja um material hipotético cuja tensao de escoamento é 5 MPa. No ponto mais solicitado deste material o estado de tensao é dado pelo seguinte tensor de tensdes principais k 0 ") lo] = ;0 —2 0} (MPa) lo 0 31 Verifique se o escoamento inicia-se neste ponto utilizando os critérios de Tresca e Von Mises. > Circulos de Mohr ; Fasc [> Tensores de tensao esférico e desviador 1 0 O 2/3 0 0 1/3 0 0 0 —2 0} =] 0 2/3 0}]+1] 0 —8/3 0 0 0 8 0 0 2/3 0 0 7/3 — |OA| = V3p = 28 = 1.1547 ura 7 7 7 Jy = 3x — 34 9xg 5 = = A Pay AB] = 2d, = [8 = 3.559 wes < 20 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura [> ‘Tensor de tensoes desviadoras € plano desviador 1 1 —8& 7 1 1 1—8+7 OV —_- —_— — = = -—- COCO 3° 3°73 J3 1 3/3 > Critério de Tresca O max - O min — Oy 3 (—2) = 5 V inicia-se 0 escoamento > Critério de Von Mises V3J, = 9, V/ 19 = 4.3589 < 5 nao se inicia o escoamento [> Projecao dos critérios de Tresca e Von Mises no plano desviador 5) 7 ,xSena cosa = Fp sen?a + cos?a = 1 Lae S\ sena = V1 — cosa \ \ _ —_l— ,/2 ~S \ 36.6° Sena = V 13 V3 NX \ rw \ _ _ aN |AB| = ,/3J,xsena = ,/2J, Lab-$--¥ = cos”! (98.447 | o,xSena, g,xSena (Jg) 56 : * a= foo (2H. caf) (=) 6 = 36.5868" <J 21 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Qual deve ser o valor da tens˜ao σ para que o ponto mais solicitado alcance o in´ıcio do escoamento concomitantemente usando tanto o crit´erio de Tresca quanto o crit´erio de Von Mises. [σ] =   σ 0 0 0 −2 0 0 0 3   (MPa) σ + 2 ≤ 5, 3 − σ ≤ 5 σ τ 3 σ -2 2.5 σ+2 2 3−σ 2 crit´erio de Von Mises (σ + 2)2 + (3 − σ)2 + (3 + 2)2 = 2×52 σ2 + 4σ + 4 + 9 − 6σ + σ2 + 25 − 50 = 0 2σ2 − 2σ − 12 = 0 σ2 − σ − 6 = 0 σ1,2 = 1±√1−4×−6 2 = 1± √ 25 2 = 1±5 2 σ1 = 3, σ2 = −2 ⊳ 22 ⊲ Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura t> Tensores de tensao esférico e desviador 3.0 =O 4/3 0 0 5/3 0 0 0-2 0} =] 0 4/3 0]+] 0 —10/3 0 0 0 3 0 0 4/8 0 0 5/3 ant OA] = V3p = 88 = 2.3094 ura 5 1.5 5 105 75 25 Jy = 3x — B+ 3B — gS pS AP ray” AB] = /2F, = 5y/2 = 4.0825 we J, = 2. — 2x2 = = (MPa)? _ J. sj) 6 = Leos h V8, 3) = Leos-(—1) = 4.180" = 60° = 3008 2 BT = 3008 (— ) = 3x = NB —2 0 0 —1/3 0 0 —5/3 0 0 0 -—2 0} = 0 -1/3 0 + 0 -—5/3 0 0 O 8 0 0 -1/3 0 0 10/3 an |OA| = V3p = —X3 = —0.5774 oa 5 5 5 10 5 10 75 25 Jy = 3x — 3 Pg GS SF Pay AB] = /2F, = 5y/2 = 4.0825 mr < 23 b> Mecanica dos Sélidos 3 Critérios de Ruptura _— 5 5 WW _ 250 13 J, = 3 x 3x3 = O7 (MPa) _ J (Jy) 250 6 6 6 = scos"! 3V3 ar = 3cos7!(1) = 4x0 =0 x NB [> Projecao dos critérios de Tresca e Von Mises no plano desviador 5) oO», xSCna JO | o / | 0», xSCN@ O »,xSCNa 8, yy. a 5. <q 24 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Critério de Von Mises: f(y Tyys %2z3 Tay Tox? Tys) Tensor desviador de tensoes: Ty Oy — Om Ty: Try T yz 07, a Om ~ . ype Oma +O 7)., +O Tensao hidrostatica: o,, = ““—34+— J __ Ong Om Try Ouy Om T yz Ong Om T pe 2 —_ —_— _ Try Ouy Om T yz 0, Zz Om T pe 0, Zz Om _ 2 2 J, — (0,..-0,)(O yO») a Toy + (Fy F yn) (Fz Fm) Tyr 2 HOF )(Fz—Fm) _ 7 | _ 2 72 72 | xy YZ LZ _ 9 2 -2 2 2 J, = [o..0 + Oy 2. + Onn Oe, 30° To Tye | _ _ _ 2 2 2 2 J, = Ove F yy — FyyF ee ~ Cre F zz + 30-7, + TTL AT _ 1 2,-2,-2,,2 J,= Oxy On Oyo ze Over 0+ 3 (Ont Cyt 0.) TT TT tT ye 2 O —_— — Zo _ f VM J. 2 30 0 1 2 2 2 2, 2,2 4% a — — — — _2 — 6 (C1 Oy) +(0,, a..) + (On, g..) FT) TTT 30° 0 <I 25 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Crit´erio de Von Mises - Estado plano de tens˜oes σzz = τxz = τyz = 0 (σxx − σyy)2 + σ2 xx + σ2 yy + 6τ 2 xy − 2σ2 o = 0 -20 -10 0 10 20 -20 -10 0 10 20 -10 -5 0 5 10 σ2 xx + σ2 yy − σxxσyy + 3τ 2 xy ≤ σ2 0 σyy τxy σxx Representa¸c˜ao gr´afica do crit´erio de Von Mises. Estado plano de tens˜oes. ⊳ 26 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Critérios de Ruptura Ensaios de laboratoério - Material Ductil tracao simples torgao pura _ T _ oy oy oy oy 0,=T, y 0,=T, Cy Cy < —— Ty Ty <= y T Oy T Tmax 2 T naw = Ty ay O Oo - . Ny ° . ° ; " Critério ensaio de tracao simples ensaio de torgao pura maxima tensao o : _Y de cisalhamento 3 Ty maxima, energia (14v) _9 (l4v) 9 de distorcgao “SEO y Bp ly maxima, tensao de V2 9 cisalhamento octaédrica T oct “3 9 y T oct 3 Ty dq 27 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Ensaio de tra¸c˜ao simples, Estric¸c˜ao, Bandas cortantes P P θ=54.74 o? Simula¸c˜ao num´erica ⊳ 28 ⊲ Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Ensaio de tracao simples a, 0 O Tensor de tensao: [o,]= |0 0 0 0 0 0 Plano octaédrico: = 7% = (1/3, 1/73, 1/V3) a, 00 1/V3 g,/V3 Vetor tensio: t= [o,Jn= | 0 00 1/V3}4 = 0 0 0 0] |1/v3 () OL ; v3 Tensao normal: ao =7 [o,|n = (<5: a =a) 0}=2 0 2/3 —1/3 1/3) Tensor de projecao : [P.,] = [J] —[n @nm]= |—-1/3 2/3 —-1/3 a —1/3 2/8 Tensao de cisalhamento octaédrica: T= |7|, 7=([P.,|t 2/3 —1/3 -1/3] (0,/Vv3 26, /3V3 F7=|-1/3 2/3 —-1/3 () = 2 —¢,/3V3 —1/3 -1/3 2/3 () —o,/3V3 > 20, \2 o, \7 a, \2 /2 r= lel= (Ry + A) + CRY = 2 <I 29 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Ensaio de tracao simples - Circulo de Morh T (tp. ¥e0,) (er) (ESN lL. She\ , - LY (4, +) (30, 2o,) v5 ° a = tan“! (*1) = 2V2 = 70.53 6-1 180°—a _ 180°—70.53° _ 109.4712° _ ° Se = a SS = 4.74 P 1 O- 7 271 37, Yy C , 1 591 S A LYN, 29, P 1g O.=F \ X J 1 39, Aq SC Y/ a, “371 Ya Js 20, <J 30 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Crit´erio de Mohr-Coulomb σntanφ σn τ σ σ1 σ2 σ3 τ φ φ c τ = c − σntanφ, σn > 0 c : coes˜ao φ : ˆangulo de atrito interno σ3 σ2 σ1 σ3 σ2 σ1 σ3 σ2 σ1 σ1 σ1 σ1 σ1 σ3 σ3 σ3 σ3 σn σn τ τ compres˜ao tra¸c˜ao ⊳ 31 ⊲ Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura > Critério de Mohr-Coulomb em funcao das tensoes principais T T=c-—o,tang, a, >0 C > R= 4% 2 T 0 | lg ois 5 cs | [~~ oO 0; 0, O71 73 Rsen@d _ — 17% T= Rcosp = +;-*cos@ 0,+o 0,+0 0,—-0 0, = 1; + Rsen@ = 1,2 + +; sen@ 71 ~%3 _ 173 | M23 +; cosé = c— (+,4 4 +); sen¢ } tang ce ee 77% 7173 way 2 +,-*cos“@ = ccosd — +; send — +;-4sen“@ (o, —0,) + (a, + 0,)seng — 2ccosd = 0 O critério de Mohr-Coulomb é especialmente adequado para materiais fricionais (concreto, rochas e solos) que se caracterizam por diferencgas mar- cantes entre os limites elasticos uniaxiais a tracao e a compressao <J 32 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura [> Ensaio de tracao simples T T=c—o,tang, oa, >0 c ) O. R=¢ T poy RL |S d p is [{~ O 0, =0,=0 0, 0, oO > Rseng 0. _ — 2% T= Reosd = Fcos 0. 0. 0. 0, = $+ Rsengd = F + fseng i _ Cr Ot zcosp = C— (4 + “send tang Pb ange fh — rt Ct an2 zcos"d = ccosp — + seng — fsen"o __—_ 2cos@ oO. = 1+send C <J 33 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura [> Ensaio de compressao simples , T=c+oa,tangd| a, < 0 ------4T | | | Cc R=%/° is | Oo | (AS | | | d [~~ O 0. 0, 0, =0,=0 Rsen@ or 2 O T= Reosd = Fcosp oO O O 0, = 7 — Rsend = F — Fseng O O O Fcosp = c+ (% — Zesend ) tang os 24 os oO 2 Fcos"p = ccosp + F send — sen" _ —_ 2cos@ Oo, _ 1+seng iis ¢ | —> [= Tas oO oO po | 30 | 45’ | 60’ | dq 34 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura > Angulo de atrito interno 1(%,.-¢ d — sen '( c ) O.+ 0, . ? . oO e Material ductil > ¢, =0,> ¢=0 T 0,—O R= 5 3 Oo 0; 0» O71 0,103 <e [> Coesao de um material dtictil: (ensaio de tracgao simples) T Oo 0,=0,=0 ° 0,—9, < 35 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Critério de Mohr-Coulomb - Estado plano de deformacoes (0, — 0,) + (a, + 0,)sen¢ — 2ccosd = 0 Ong +O Ong ~Fyy \ 2 o> y+ y/( 7") +75, Ory +9. Ong —7 2 03 = yt y/( a) +75, | (Ox —O 2 / O71 a 03 =2 ( 2 ut) + Te — (C.,, a Oy)? + Are O71 + O3 — O or + Owy \/ (Fw — Fy)? +472 + (Fy + Fy, Send — 2c-cosH = 0 Critério de Tresca - Estado plano de deformacoes 0, o=0, e=% o=0 => send=0ecosd = 1 \/ (0, a Ory)? + Ar? 7 2c — 0 (O44 — Fy) + 47° —o =0 < 36 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura / (Fan — yy)? + 47? < 2ccosd — (a,,,, — 7, send 200 eee ES a 0 - 40 —100° >, “a ; 404) 80 Representacao grafica do critério de Mohr-Coulomb. Estado plano de deformacoes. 2 2 2 (0,4. — Oy)" + Are <0; 20 - een T. 5 + SAMY AVA QW SORE. -10 RERESEOSER ILS — -15 -20 100 0 -100 0 -50 0 55 - 0 Ony O Representacao grafica do critério de Tresca. Estado plano de deformacoes. < 37 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Crit´erios de ruptura para vigas Von Mises: σ2 xx + 3τ 2 xy ≤ σ2 y Tresca: σ2 xx + 4τ 2 xy ≤ σ2 y σ σy σy 2 σy √ 3 τ ⊳ 38 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Crit´erios de ruptura de Mohr-Coulomb e de Drucker-Prager Espa¸co de Haigh-Westergaard σ1 σ2 σ3 s1 s2 s3 σ1 σ3 Plano desviador π Plano σ1σ3 espa¸co 2D ⊳ 39 ⊲ Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Um material fragil apresenta uma resistencia 4 compressao simples deo, e a tracao simples de o,. Um ponto em estudo esta submetido a um estado de tensao no qual k = 0, /0,. Sabendo que a, é uma tensao de tragao e a, de compressao, determine os valores de a, e o, que levarao 0 corpo a ruptura no ponto considerado. O» 0, >0,>0 O71 O71 0,<0,k <0 A C3 , j | IW L, yy F K. iw B Cc G O E o 0; O71 0. 0; Semelhanca entre os triangulos cez e gej, respectivamente WaJH=eFFe% Wecp_mpeZ@-—”@ wmeqmi7_ 23 ID=JH=EF=%, CIl=CD-ID=3— 73, GI=GH-JH=—, 5 ~— a a 2 71 +93 Anne. oF. 2% 44 GE =06+0G= ~—- +3 CE=00+0E=~+—24 2 2? 2 1 2 dq 40 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura CI GJ = CE OE σc−σt 2 σ1−σ3−σt 2 = σc+σt 2 σt−σ1−σ3 2 σc−σt σ1−σ3−σt = σc+σt σt−σ1−σ3 σcσt − σcσ1 + σtσ3 = 0 k = − σ1 σ3, σ3 = − σ1 k σ1 = σcσt σc + 1 kσt k = − σ1 σ3, σ1 = −kσ3 σ3 = − σcσt kσc + σt σ1 σt − σ3 σc = 1 ⇒ σ1 σt + |σ3| σc = 1 ⊳ 41 ⊲ Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Combinacao de esforcos internos: Torcao e Tracao Dado o eixo macico mostrado abaixo, determine o menor valor da carga P que inicia 0 escoamento do mesmo. Utilize o critério de escoamento de ‘Tresca, isto €, T,,,. = 50, Despreze o efeito das tensoes de cisalhamento devido aos esforcos cortantes. Considere somente as tensoes de cisalhamento provenientes dos momentos torcores. coordenadas: (r, 6, z) Y P T=Pr, A —> —_ > : DO 7 J C r Y 6 tracgao torgao A m5 max mT - mrs | | xX _ 2P T mace ms dq 42 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Tensoes principais (o,,0,). Tensao de cisalhamento maxima r r dz 20 rd? O.~< --5/ | O.. dr z fem Zz 0 a Oz du = rdédrdz 0 T __ __ oO 2 2 Tmax — R — \/ (3) + T 9 _— 1722 (0, T,.) i Tmax 7 Faceta 04 I _ V17P Oo I 0,, \o 2 by ZZ 1 oO _ Oxy _ (1+V17) P. \ Me 0,=$+Rh=-—3— 7 0 oO 1—V17) P Faceta z = %-RaeMDE (o.., Ty) 0 Carga que inicia 0 escoamento vliP _I1, Qn r2 Qty 0 TT P = —~0,r° = 0.76195 0,r° /1'7 yO y 0 dq 43 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Combina¸c˜ao de esfor¸cos internos: Tor¸c˜ao e Flex˜ao Dado o eixo maci¸co mostrado abaixo, determine o menor valor da carga P que inicia o escoamento do mesmo. Utilize o crit´erio de escoamento de Tresca, isto ´e, τmax = 1 2σy. Despreze o efeito das tens˜oes de cisalhamento devido aos esfor¸cos cortantes. Con- sidere somente as tens˜oes de cisalhamento procedentes dos momen- tos tor¸cores. A B P T=Pr0 l = 10r0 Se¸c˜ao Circular J = πr4 0 2 I = πr4 0 4 10Pr0 Pr0 se¸c˜ao mais solicitada: se¸c˜ao A flex˜ao σ t max= Mr0 I = 40P πr2o σ c max= 40P πr2o r0 τmax= 2T πr3 0 = 2P πr2 0 τmax= 2P πr2 0 tor¸c˜ao r0 ⊳ 44 ⊲ Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Tensoes principais (o,,0,). Tensao de cisalhamento maxima r Light Imax rr dz , 4 40P rd@ O.< -->’ | Onan Tre dr z fem z 0 a Oz du = rdédrdz 0 T __ __ oO 2 2 Tmax — R — \/ (3) + T 9 0. 22 o,—90 ( vay) I Tmax — 5 2 Faceta 04 Rr 'r _ 2Vi01 P max T mas _ 1 ra 0» 0... 07 oO o 20+2V/101) P 0 WO o 20—2,V/101) P Faceta z =e -R- ewe (408 2P) 0 mr?) wr? o 0 Carga que inicia 0 escoamento 2V101P _ 1 7 plo 2%y 0 TT 2 2 P = ——~o_r° = 0.07815 0,r 4/101 °° "9 dq 45 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Flexdo obliqua - Secdo Circular — _ Mzly+Mylyz 4 Myl+Melye Lc 2 Y 2 L,1.-I,, Iyl.-Ty. (y, Z) : eixos principais de inércia => I, = 0 — _—M. My _ 7 _J—,A4 0, = TY TT [,=f,=1=74r . M M. M 1M. linha neutra: -—=#y+ 74z =0 = y= um. —= a = tan at . . sentido horario: (+) convencao para angulo a: y sentido anti-horario: © : — z AS tana = z [> Flexao obliqua, Torcao e Tracao - Secao Circular — M, My N 0, = ~PYtT yer a — Fr _Tfr _ _ IF Oy 2 2 O19 = FL y/(F) + T => = 4 O71 , O» > T mas —~ 9 — 1722 0,°0, <0 = Trae = < 46 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Combinacdo de esforcos internos: Flexado Obliqua Dado o eixo macico mostrado abaixo, determine o menor valor da carga P que inicia 0 escoamento do mesmo. Utilize o critério de escoamento de ‘Tresca, isto €, T,,,. = 50, Despreze o efeito das tensoes de cisalhamento devido aos esforcos cortantes. Y J M, M, =\/M? + P rysen45- 10Pr, = T 9 COB | \é XL “@ M, 10Pr, ot —40v2P l — 10r, P max mre : on Or ivan 0 ak ; oy = tani (My Inclinagao da Linha Neutra: a = tan (54) 47 WOPry \ yg 4 _ 0 a = tan (=or*) = tan ‘(—1) = —45 ~ eis M 10V2P Tensao normal maxima: o., = ho = (Ov2P ra Mtg — 40v2P max mT? mT5 4 Tensoes principais: 0, = 7,,,,, 0, = 0, = 0 Tensao de cisalhamento maxima: T,,,, = Pate: = 20V2P 0 Carga P que inicia 0 escoamento: “md = “u => Onie = Fy T P = —~o.r 40/2 °° < A7 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Dado o portico espacial mostrado abaixo, determine o menor valor do carregamento que inicia o escoamento no mesmo. Utilize o critério de escoamento de ‘Tresca, isto é, T,,.. = 50, Despreze o efeito das tensoes de cisalhamento devido aos esforcos cortantes. Considere somente as tensoes de cisalhamento oriundas dos mo- mentos torcores. f = (0, P, P) P secao circular Y Z ——> P D < 50 r B C (x,y, z) : eixos locais A=nr? _ 7,4 . I = 40 S J = Grt rm IT=l[=T z y I =0 YZ x Y X x (X,Y, Z) : eixos globais > Momentum em C => M, =f, Xx f ~ 9 &k M.=|-50r 0 0 | = (0,50Pr,—50Pr) 0 P P dq 48 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Flexao obliqua na segao C, da barra C'D. Nao sera levado em consideracgao os esforcgos cortantes (Q,, Q,) atuantes nesta secao, sendo Q@, = Pe Q, = —P. > Momentum em B => M, = Pap X f i og ok M. = |-50r 50r 0 | = (50Pr,50Pr,—50Pr) 0 P Pp Flexao simples, torgao e tragao na secao C,, da barra BC’, enquanto que na segao B, desta barra havera flexao obliqua, torgao e tragao. > Momentum em A => M, =T sp X f i oj ok M.=|-50r 50r 100r}| = (—50Pr, 50Pr, —50Pr) 0 P P Flexao obliqua, torgao e tragao nas segoes B, e A da barra AB. ‘T'abela de esforcos internos Esforcos internos Flexao obliqua Flexao, torcao, tracao Flexao obliqua, torcao, tracao Flexao obliqua, torcao, tracao Flexao obliqua, torcao, tracao dq 49 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura diagrama de momento fletor 50Pr 50Pr 50Pr 50Pr 50Pr diagrama de momento tor¸cor +++ 50Pr --- 50Pr diagrama de esfor¸co normal +++ +++ P P ⊳ 50 ⊲ Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura > Tensoes principais na segao C; Y Y Y o°= 2004 hor | + |M, |’ Zz Zz Zz LS o° = 200/24 o' = 2004 o°= 2004 S ot = 200V24 circulo de Mohr + — 1 _ P T nan = Ze = 100V24 inicio do escoamento: T... = 40 "max 2° Yy P_t _— 1 P=— 2 10025 70, => P 05 O uw 200 V2 0 ¥" P =0.0111o,r? <J ol > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura [> Tensoes principais na segao C;, flexao simples tracao torgao Y Y Y Tmaz= L004 z XL Xv 7 can [POT eae EEE ‘Tensoes normais e de cisalhamento og = “4 4N = 90:02 +2 = 1" x 7 A ATA A — Ly, P T= 5r = 1005 Tensoes principais _ oy [ (Fx \2 9 _ 201P //201P\2 100P\2 Org = _ (+) TT. = i (Sr) + ( 7) o, = 242.2754—, oo, = —41, 27544 1 ’ ‘A? 2 ’ A Inicio do escoamento — 747% _ 1 Tmax — 2 ~~ 79, 242,2754—(—41,2754)\ P 1 og 9 ( 2 4 = 50, => P= x57" P =0.0111o,r? <J 52 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura As segoes B,, B, e A estao sujeitas a flexao obliqua, torcao e tragao de mesma magnitude, portanto sera analizada a secao B,. flexao obliqua Y Y Oi 2005 (lan 17 a |S Craw 2005 7 o°= 2004 ye | o' = 2004 tragao torgao Y Y T maz= 1004 S ; X X T maz= 1004 _P m= VV VV < 53 > Mecanica dos Sélidos 3 Critérios de Ruptura ‘Tensoes normais e de cisalhamento RSS a Hox A <I Sas “e s OK y % we (BAC “ o, = —hy 4 924% = 100722 + 10022 + £ = (200V2 + 1)£ T= 4r= 1004 Tensoes principais O12 = + + \/ (S)° +7? 200V2+1) P 200\/2+1\2 2 P a, = COWS D y /(2vAt)? 4 100? F o, = (soe + y/ (eve)? + 100? )s = 315, 53494 0, _ (cog _ f (200241)? 4 1007 )s _ —31, 69225 <J 54 > Mecanica dos Sdélidos 3 Critérios de Ruptura Circulo de Mohr r Tonge = Ge = y/ (2Ov*LY? 4 100? 4 = 173, 61364 Lr vi 0 —31, 69224 KRY 315, 53494 Inicio do escoamento _ 7% _ 1 Tmax ~ ~~ 2% 0,-O,= 0, 200/2+1\2 2 P_ 24/ (SS ) + 100 A= %, P= —— or” ay/(2Woy2+t)? s1007 P= 0.0090, 7 <J 55 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura Coulomb’s theory of friction materials (1736 − 1806) σ1 σ2 σ3 σo = 1 2(σ1 + σ3) τo (σo, τo) (σ, τ) ϕ 2α ϕ σ τ σ3 < σ2 < σ1 < 0 σo = 1 2(σ3 + σ1) < 0 τo = 1 2(σ3 − σ1) < 0 Critical section and stress state σ τ α σ1 σ1 σ3 σ3 A Acosα Asenα α ϕ F ff σ Coefficient of friction: µ = tan ϕ F friction force ϕ inclination angle of the friction force Equilibrium of a small triangle σ = σo + τo cos2α τ = τo sen2α ⊳ 56 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Crit´erios de Ruptura The most critical section tanϕ = ff σ = µσ σ = µ tanϕ = max α τ σ = max α τo sen2α σo+τo cos2α cos2α = − τo σo ⇒ sen2(2α) = σ2 o−τ2 o σ2o tanϕ = −cot2α tanϕ = −tan(1 2π − 2α) = tan(2α − 1 2π) ϕ = 2α − 1 2π ⇒ α = 1 2ϕ + 1 4π failure condition tanϕ = τ σ or senϕ = τo σo (σ3 + σ1)senϕ + (σ1 − σ3) = 0 (1 + senϕ)σ1 − (1 − senϕ)σ3 = 0 σ3 σ1 = 1+senϕ 1−senϕ = 1−cos2α 1+cos2α = tan2α > 1 Inclination of failure planes. Retaining wall α σ3= σ1tan2α σ1 active stress passive stress α σ3= σ1cot2α σ1 passive stress active stress ⊳ 57 ⊲