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Engenharia Civil ·
Mecânica dos Sólidos 3
· 2023/1
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Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna rigida com mola de torcao <J P | P 0 lsen@ | l Icos0 / a k; k; Z ZZ, M = ko e Equilibrio apés a flambagem Oy M=0 > —Plsend+ ko =0 P= ho —1™7<0<7 e Carga critica para a configuracgao inicial de equilibrio (6 = 0) 6 k; lim —-=1> PR=- 60 send l e Energia potencial total apos a flambagem: 7 = Leg — Pd w= 4k — PI(1 — cos6) dm _ _ k_@ a= k@ — Plsendé=0=> P=Fam ar Cr _ 6 ao k — Plcos6 => eo KG a) lim “4 =1 3s fs] = 0 = P=& 6-0 tan@ dé 0-0 cr l dq 1 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas 0 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 5 Trajet´orias de equil´ıbrio θ P k l P = k l θ sinθ Trajet´oria prim´aria Trajet´oria secund´aria 0 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 5 θ d2π dθ2 d2π dθ2 = k(1 − θ tanθ) ⊳ 2 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna rigida com mola de tragéo/compressao <1 P | P Ke | l a iN] MD y k S 6 j ~y k { y Z ! DS | l © 16 ] < | YI1111 14) 1111177 lsen@ e Equilibrio apés a flambagem P i | + —> A >) F,=0, H,-H,=0 .. H,=H, ; , ASR A0, Pay so Vee © 0 ~ yt SM" =0, —H,lcosé + Plsend =0 .. H, = Ptané B\<— i Isen 0 o SOM =0, —Vlsené — H.lcosé + F. Icos = 0 F " H —Plsené — Pitan6cosé + kl’ sendcosé = 0 <— —_ 2 B —2Plsen@ + kl sen@cosé = 0 D 6 6 / —2P + klicos? = 0, para? = 0 —'C Y H, t p=4 P 22 <J 3 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas • Energia potencial total ap´os a flambagem π = 1 2k(lsenθ) 2 − 2Pl(1 − cosθ) • Derivada primeira da energia potencial total dπ dθ = kl 2senθcosθ − 2Plsenθ • Equil´ıbrio est´atico ⇒ dπ dθ = 0 ∴ P = kl 2 cosθ • Carga de flambagem ⇒ θ = 0 ∴ Pfl = kl 2 • Derivada segunda da energia potencial total k∗ = d2π dθ2 = kl 2(cos2θ − sen2θ) − 2Plcosθ k∗ = −kl 2sen2θ • Carga de flambagem ⇒ k∗ = 0 ⇒ P = kl 2 (−1+2cos2θ) cosθ θ = 0 ∴ Pfl = kl 2 ⊳ 4 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas π 2 −π 2 θ P Trajet´orias de equil´ıbrio P = kl 2 cosθ kl 2 Trajet´oria prim´aria Trajet´oria secund´aria π 2 −π 2 θ d2π dθ2 d2π dθ2 = −kl 2sen2θ -0.5 -1.0 ⊳ 5 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna rigida com mola de torcao <J P Y % Re 4 4 0 f P k e- \ v = fsend 20 2 / /\ WITT 1) VIM 1) e Equilibrio apés a flambagem 2yYM=0 5 —Pv+M=0 —Pv+k2¢0=0 —Pisend + k20 =0 _ 4k 6 T T P= Tom 7S E<9 e Carga critica para a configuracao inicial de equilibrio (6 = 0) . 6 Ak lim —-=1> P=— 60 send l dq 6 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas l 2 l 2 P k θ θ 2θ l 2 l 2 l 2senθ P k l 2cosθ l 2cosθ v • Energia potencial total ap´os a flambagem π = 1 2k(2θ) 2 − Pl(1 − cosθ) • Derivada primeira da energia potencial total dπ dθ = 4kθ − Plsenθ • Equil´ıbrio est´atico ⇒ dπ dθ = 0 ∴ P = 4k l θ senθ • Carga de flambagem ⇒ θ = 0 ∴ Pfl = 4k l ⊳ 7 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna rigida imperfeita com mola de torcao <J P A l 5 P \ iN UV, = Fsen0, & ©) k 7 nM uv, tv = dsend f, Ie U, = Ust V (7 3 UV 3 CY / /\ /\ VWIUTTL 1) WIT 111) e Equilibrio apés a flambagem 2YM=0 > —P(v,+v)+M=0 —P(vu, +v) + k(26 — 26,) =0 I —P send + 2k(@ — 4) = 0 _ 4k (6-95) P=T ap? TTS 9<39 Pequenos deslocamentos e rotacoes 0,,9,U),,0 << 1 _ 4k (9-9) P= Ty dq 8 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas P 6 5 16 -12 -08 -0<4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 e Equilibrio apés a flambagem em funcao de (P, P.,, u,v) com (v,,v) << 1. SIM =0 > —Plv,+v)+M =0 —P(v, tv) + 2k(@ — 6,) =0 O& 7(U +), 0% 7% 4k) _ 4k —P(u, +v) + Fu = 0, P=F P u= P,P V0 U, =v, +0=,(1+ p25) | : | v, = | TT I 1—(z) — Se fator de amplificacao dq 9 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna rigida com uma rotula plastica <J P al tet | P C, | ey oy ? 0, e Equilibrio apés a flambagem °S°M=0 = —Pvu+M=0 > M=Pov e Diagrama de tensoes na rotula plastica Oy 0, te 7 h = + = fe k | e Resultante de tensoes na rotula plastica P=a,b(h — 2c) M =0,be(h — c) = Pv < 10 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas e Resultante de tensoes no topo da coluna P=oaA=obh e Eliminando-se a incognita c das equacoes anteriores vi lf(yw_ oo h Alo Cy 2 Uv 2 o + 4750,0 — oO = 0) U.2 U c= 1+4(—) —2-|oa V (2) : a <1 o(MPa) Oot = rE = 308.43 MPa 300 FE 250 E= 200 GPa o,= 250 MPa 200 h= 25 mm v, = 0.64 mm A= 80 150 100 50 0 v(mm) 0 % 2 4 6 8 10 12 <I 11 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas ⊲ Barras r´ıgidas com molas de tra¸c˜ao/compress˜ao com 2GL ⊳ l l l k k λP λP lcosθ1 lcos(θ1−θ2) lcosθ2 v k k θ1 θ2 θ1−θ2 u2 u1 • Hip´oteses: Pequenas rota¸c˜oes e deslocamentos u1 << l, u2 << l, v << l senθ1 = u1 l , senθ2 = u2 l , sen(θ1−θ2) = u1−u2 l θ1 ≈ u1 l , θ2 ≈ u2 l , θ1−θ2 = u1−u2 l cosθ1 ≈ 1 − θ2 1 2 = 1 − u2 1 2l2 cosθ2 ≈ 1 − θ 2 2 2 = 1 − u2 2 2l2 cos(θ1−θ2) ≈ 1 − (θ1−θ2) 2 2 = 1 − (u1−u2)2 2l2 ⊳ 12 ⊲ Mecanica dos Sdlidos 3 Flambagem de colunas e Energia potencial total do sistema m= sku? + 5kue —\Pov T= sku + skuz —API 3 —(cos0, + cos(6,—6,) + £088) Lp 2 4 1py 2 wi (uj tly)? uw w= thu? +dku2 apts (1-4 +1- Soe" 41-3)] T= skue + skue 4c fu’ + (u, —u,)? + u| e Equacoes de equilibrio On _ On _ Ou, _ 0 r= Ou on ( 0 OUy ku, —“F(2u, — uy) 0 T= = ku, a Ar (2u, _ uy) 0 e Problema de autovalor/autovetor na forma: (A — AB)u= 0 oe tit LE a] tat tah 0k] lu, Pl-1 2] lu, 0 KO} yp} 2 —-1 u,| — J0 Ok i }-1 2 uJ |O < 13 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas e Valores proprios = Cargas de flambagem: det (A — \B) = 0) 2\P dP k — l l r r =0 P 2AP TT ROA 29 (k — 242) AP _( l [2 _ 2.9 2.9 2 4\Pk 4 P AP 3\°P” ANPk | 1.2 4Pk 4, /16P7k2 _12P°k? \ = i fe fe 12 6P2 a APk 4 2Pk . -_2=s 1,2 6P* a — Lkl — kl x, ~ 3P? r, — ?P = —1kl pk PL =A, P=35«P = 5 _ _ kl _ P,=A,P = pxP = fl <I 14 > Mecanica dos Sdlidos 3 Flambagem de colunas e Autovetores = Modos de flambagem k 0] 4f2 1] fu — fo 0k] 3{-1 2 uf \0 k ok x x} | U 0 o 3 th > u=—u kk) Jy 0 1 2 3.3 2 iN 12 Modo de flambagem 7 k 0) ,f2 -\ ful _ fo 0 k -1 2 uf \0 —k k U, 0 = > U, =U, k —k} [u, 0 AN 2° Modo de flambagem <J 15 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna bi-articulada <J P P P Y M ! 0) P fp e Linha elastica da coluna apés a flambagem SYM =0 = M+Py=0 -. M=-Py Ely" =M => Ely"=-—Py .«. Ely’+Py=0 y’ +k?y =0, k? = y = C'sen(ka) + C,cos(ka) Condicoes de contorno => 0= C. sen( ha) + C,cos( kh) 1. OC, =0 => 0=C,sen(kl)+C,cos(kl) .. C, = 0 (trivial) =0 sen(kl) =0 + kl=nt > k=" 3. P= nen y = C,sen("*), com C, indeterminado < 16 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Modos de flambagem - Coluna bi-articulada 1o Modo : sin(πx l ) ⇒ Pcr = π2 EI l2 2o Modo : sin(2πx l ) ⇒ Pcr = 4π2 EI l2 3o Modo : sin(3πx l ) ⇒ Pcr = 9π2 EI l2 4o Modo : sin(4πx l ) ⇒ Pcr = 16π2 EI l2 ⊳ 17 ⊲ MecAnica dos Sdlidos 3 Flambagem de colunas > Coluna bi-engastada <J P P Pp | | Y M, (Z M, LS ny u P 7, M, Yj fp e Linha elastica da coluna apés a flambagem SoM’ =0 > M+Py—M,=0 -.. M=—Py+M, Ely" =M => Ely" =—Py+M, .. Ely"+Py=M, yl" + key = 8, rat y = C'sen(ka) + C,cos(kx) + ~0 y = Ck cos(ka) — Ck sen(ka) Condicoes de contorno >0= C.sen( kf) + C,,cos( k& +0 i OL= —~0 => 0= C. keos( kh) — C,ksen( ka) oO, =0 => 0= sen(kl) + Cycos(kl) + ~o a Mecanica dos Solidos 300 s—s—(‘iél Flambagem de colunas M, M M — > cos(kl) + = =0 = = (1 — cos(kl)) = 0 —_—_——_<$ =0 cos(kl) =1 => kl=n2x > k= oe “, P= nan ay M . . y= (1 — cos(47))., com M, indeterminado Modos de flambagem - Coluna bi-engastada 12 Modo: 1-cos(4) > P= An? Et 22 Modo: 1—cos(4*) > P= 16m? 32 Modo: 1 -cos(#) > P= 36022 a Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna engastada-livre < P P | | P M | | y Oo x fp tp e Linha elastica da coluna apos a flambagem YM =0 > —M—Py4+P5=0 «. M=—Py4+ Pd Ely" =M => Ely" =—Py+Po .. Ely"+ Py = Po yl!" 4 ky _ k?6, kh? = a < 20 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas solucao y = Cisen(ka) + C,cos(kx) + 6 y = Ck cos(ka) — C,k sen(ka) Condicoes de contorno =>0= C.sen( kG) + C,,cos( ha") +60... C,=—0d => 0= C. keos( kh) — C,ksen( ka) oO, =0 => d= F'sen(kl) + C,cos(kl) + 6 —dcos(kl) =0 = cos(kl) =0 kl = (2n—-1)5, n=1,2,3,--- > k=(Q2n—1)% 3 30 2 n—L)272 p—2& 7 a y= (1 — cos ((2n — 1)3t)) <I 21 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Modos de flambagem - Coluna engastada-livre 1o Modo : 1 − cos(πx 2l ) ⇒ Pcr = π2 4 EI l2 2o Modo : 1 − cos(3πx 2l ) ⇒ Pcr = 9π2 4 EI l2 3o Modo : 1 − cos(5πx 2l ) ⇒ Pcr = 25π2 4 EI l2 4o Modo : 1 − cos(7πx 2l ) ⇒ Pcr = 49π2 4 EI l2 ⊳ 22 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna engastada-articulada < P P P Mo My x 4) 2 —> —> ] o)M ! 0) P Vs M, Cs bP? e Linha elastica da coluna apés a flambagem 2M’ =0 > M+ Py—-“22 =0 ». M=—Py +22 Ely" =M => Ely! =—Py+—{« ». Ely" + Py=—3 y = => ya-frytrze .. y rly 7x yl! + key = Be, Pat solucao M x y = Cisen(kax) + C,cos(kx) + +5 y’ = C,kcos(kx) — Ck sen(kax) + =o Condicoes de contorno =>0= C.sen( ke) + C,,cos( ha") 1. C,=0 < 23 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Condicoes de contorno M M + 0=C,keos(h) +38 2. C= Baan M = 0 = Cysen(hi) +8 M, 4 M M tan(kl) —P Feo sen Al) + > = 0 => > (1 —_ —T) = 0 ——S =0 tan(kl) =kl > kl sar -, P= 04 Raizes da equacao tan é— 6 = 0 15 4.47747 J 3.470974 10 2.45907} 5 1.430374 TY 0 L—/ ] ; n ! 27 5 37 4 —5 M 1 y= > (= — Tose); com M, indeterminado <j 24 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Modos de flambagem - Coluna engastada-articulada 1 1.43 _ 2,2 EI 1° Modo: | — (cagrcos (aaa) ) Sin pT) = B= 1.43°r E 1 2.46 _ 2,2 EI 2° Modo: 7 — (saencos 48a) )Sin( pT) = 2 = 2.46°r EE 1 3.47 _ 22 EI 3° Modo: 7 — ( saraccs(a7ay )Sin( po) = B= 3.47 r TE 1 4.48 _ 22 EI 4° Modo: 7 — ( caprccs (asa )sin( Tp) => B= 4.48°r TE <J 25 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Programa em Fortran90 para o c´alculo de ra´ızes de equa¸c˜oes trigonom´etricas program raizes_eq_trigonometrica ! ! c´alculo das ra´ızes da equa¸c~ao trigonom´etrica ! ! f(theta) = tan(theta)-theta ! implicit real*8(a-h,o-z) ! open(unit=1,file=’coluna_engastada_rotulada.dat’,status=’unknown’) open(unit=2,file=’coluna_engastada_rotulada.out’,status=’unknown’) open(unit=3,file=’coluna_engastada_rotulada’,status=’unknown’) ! !------ l^e os limites superiores e inferiores do intervalo ! read(1,*)x1,x2,tol,maxiter,ialgo ! pi = 4.d0*datan(1.d0) x1 = pi*x1 x2 = pi*x2 ! call bissecao(x1,x2,tol,maxiter,raiz,itera,err_x) ! raiz = raiz/pi ! write(2,1)raiz,itera,err_x 1 format(5x,’m´etodo empregado: bisse¸c~ao’,/, & 5x,’raiz:’,e13.6,’ pi’,/, & 5x,’itera¸c~oes:’,i3,/, & 5x,’erro:’,e12.5) ! contains ! !------------------------------------------------------------------------------ subroutine bissecao(x1,x2,tol,maxiter,raiz,itera,err_x) !------------------------------------------------------------------------------ ! ! metodo da bissecao para o calculo da raiz de um polinomio ! implicit real*8(a-h,o-z) ! xinf = x1 xsup = x2 err_x = 1.d0 err_f = 1.d0 itera = 0 ! ⊳ 26 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas ! do while(err_x.gt.tol.and.err_f.gt.tol.and.itera.lt.maxiter) ! itera = itera+1 ! xmed = (xinf+xsup)/2.d0 finf = dtan(xinf)-xinf fmed = dtan(xmed)-xmed prod = finf*fmed ! err_x = dabs((xmed-xinf)/xmed) err_f = dabs(fmed) ! if(prod.lt.0.d0) then xsup = xmed else xinf = xmed end if write(3,1)itera,dlog(err_x) end do ! raiz = xmed 1 format(2x,i3,2x,e12.5) ! end subroutine bissecao ! end program raizes_eq_trigonometrica ⊳ 27 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Arquivo de dados: coluna engastada rotulada.dat 1. 1.5 1.e-10 50 => intervalo para primeira ra´ız 2. 2.5 1.e-10 50 => intervalo para segunda ra´ız 3. 3.5 1.e-10 50 => intervalo para terceira ra´ız 4. 4.5 1.e-10 50 => intervalo para quarta ra´ız Arquivo de saida: coluna engastada rotulada.out raiz1: 0.143030E+01 pi itera¸c~oes: 32 erro: 0.81392E-10 raiz2: 0.245902E+01 pi itera¸c~oes: 31 erro: 0.94684E-10 raiz3: 0.347089E+01 pi itera¸c~oes: 31 erro: 0.67081E-10 raiz4: 0.447741E+01 pi itera¸c~oes: 31 erro: 0.52001E-10 ⊳ 28 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Exemplo 1 Qual deve ser o diˆametro m´ınimo do mastro AB, mostrado na figura abaixo, para que n˜ao ocorra a flambagem no mesmo. Adote E = 200 GPa e um fator de seguran¸ca igual a 2. 6 m 6 m 6 m 3 m A B C D 1 kN x y z TBC TBD NAB for¸cas concorrentes n˜ao coplanares GL = 3×5 = 15 V I = 3×(3 − 1) = 6 V E = 3×3 = 9 RT = V I + V E = 9 + 6 = 15 RT = GL ⇒ estrutura isost´atica ⊳ 29 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas equil´ıbrio do n´o B −→ AB = (0, 0, 6) ⇒ ⃗iAB = −→ AB |−→ AB| = (0, 0, 1) −→ NAB = NAB ×(0, 0, 1) −−→ BC = (6, 0, −6), |−−→ BC| = 6 √ 2 ⇒ ⃗iBC = −−→ BC |−−→ BC| = ( 1 √ 2, 0, − 1 √ 2) −→ TBC = TBC ×( 1 √ 2, 0, − 1 √ 2) −−→ BD = (−3, 6, −6), |−−→ BD| = 9 ⇒ ⃗iBD = −−→ BD |−−→ BC| = (−1 3, 2 3, −2 3) −→ TBD = TBD×(−1 3, 2 3, −2 3) −→ F = (0, −1000, 0) −→ NAB + −→ TBC + −→ TBD + −→ F = −→0 NAB ×(0, 0, 1) + TBC ×( 1 √ 2, 0, − 1 √ 2) + TBD×(−1 3, 2 3, −2 3)+ +(0, −1000, 0) = (0, 0, 0) TBC = √ 2 3 TBD TBD = 1500 N ⇒ TBC = 500 √ 2 N NAB = 1 √ 2TBC + 2 3TBD = TBD = 1500 N ⊳ 30 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas verificacao a flambagem do mastro AB 2 4 Pp. = nim I. =e p _ Fn fl ig ) min 4? adm FS ef Pe Nip < P am — FS N.< mers _ mw Ere AB — 2 2 FSI 4 4FS1 ef ef 2 i S APST Nip 0 — 1B 2 0.25 a APST Nap 0 — 7? EB 0.25 2 ry > | Ree) > 0.0162 m > 16.25 mm 7 x 20010 @,, = 2%) = 32.5 mm men <J 31 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas An´alise num´erica usando o m´etodo dos elementos finitos 6 m 6 m 6 m 3 m 3 2 1 4 1 kN x y z 1 2 3 ************************************************************************************************** Exemplo 1 - treli¸ca espacial composta por 2 cabos e 1 escora Est´atica: For¸cas concorrentes no espa¸co Mec^anica dos s´olidos 3 T´opico: flambagem de colunas ************************************************************************************************** linear static analysis ************************************************************************************************** input data number of nodes : 4 number of elements : 3 number of restrained nodes : 4 number of material property set: 2 type of structure : three-dimensional frames nodal coordinates node x y z 1 6.000 0.000 0.000 2 0.000 0.000 6.000 3 0.000 0.000 0.000 4 -3.000 6.000 0.000 type of element 1 - 2D truss 2 - 3D truss 3 - 2D frame 4 - 3D frame element connectivity location of K node element nodes material set xk yk zk beta type 1 1 2 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 2 2 2 4 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 2 3 2 3 2 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 2 properties of material set mat. E G A Ix Iy Iz ro 1 0.20000D+12 0.00000D+00 0.78540D-04 0.00000D+00 0.00000D+00 0.00000D+00 0.10000D+01 2 0.20000D+12 0.00000D+00 0.82958D-03 0.00000D+00 0.00000D+00 0.00000D+00 0.10000D+01 ⊳ 32 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas nodal boundary conditions state 1:prescribed 0:free node u v z rx ry rz 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 half bandwidth: 18 number of loaded nodes: 1 nodal loads node px py pz mx my mz 2 0.00000D+00 -0.10000D+04 0.00000D+00 0.00000D+00 0.00000D+00 0.00000D+00 load_x : 0.000000D+00 load_y : -0.100000D+04 load_z : 0.000000D+00 moment_x: 0.000000D+00 moment_y: 0.000000D+00 moment_z: 0.000000D+00 ************************************************************************************************** results of analysis ************************************************************************************************** nodal displacements node u v w rx ry rz 1 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 2 -0.594434D-03 -0.164062D-02 -0.542445D-04 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 3 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 4 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 nodal reactions node px py pz mx my mz 1 0.500000D+03 0.000000D+00 -0.500000D+03 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 2 0.113687D-12 -0.100000D+04 0.682121D-12 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 3 0.000000D+00 0.000000D+00 0.150000D+04 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 4 -0.500000D+03 0.100000D+04 -0.100000D+04 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 resultant force_x : 0.00000D+00 resultant force_y : 0.00000D+00 resultant force_z : 0.00000D+00 resultant moment_x: 0.00000D+00 resultant moment_y: 0.00000D+00 resultant moment_z: 0.00000D+00 member forces member node N Qy Qz Mx My Mz 1 1 -0.70711E+03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 2 0.70711E+03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 2 2 -0.15000E+04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 4 0.15000E+04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 3 2 0.15000E+04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 3 -0.15000E+04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 ⊳ 33 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Exemplo 2 Seja a trelica plana mostrada na figura abaixo, determine o raio minimo do elemento C'D para que nao ocorra flambagem no mesmo. Adote E = 200 GPa e um fator de seguranca igual a 1.5. 4 IN \ S 20° <2) A ~ e C / 30 Dp Sf | A 20 kN GL =3x4= 12 VE=24+2=4 RT =VI+VE=84+4=12 RT =GL => estrutura isostatica : _ BOO _ 4 Diy __ 4xsen30- _ 2 Lei dos senos: sen30° _ sen130° = BU= senl30° sen130° BC = 2.6108 m . ——2 —~2 ~~? — 0 Lei dos cossenos: CD = BC’ + BD — 2xBCxBDxcos25 7YT) _ ./ 4 _ cos25° __ CD — sen2130° + 25 20x 330° — 2.8556 mM . BC _ _CD_ _ BC ° Lei dos senos: saa Tes = Sena = ap sen25 _ —1(BC OV 0 a = sen! (2exsen25°) = 22.7303 <J 34 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Equilibrio do né D oN S> F=0 => N.,,cos(45 —a) — N,,cos45° = 0 Neo, to S > F=0 = N,,sen45 —N_,,,sen(45 —a)-20=0 | Nop = 22 = 36.6 kN 20 kN verificacao a flambagem da barra CD rE. art P — — — _fl Py, ~— Zz Linin =>: Pam — FS ef Pe Nop < P am — FS N < mErrs _ mw Ere CD— Fsf.4 4FSI ef ef 4FSUN r4 > ef CD 0 — 1B ) 0.25 4FSCD'N CD 0.25 2 ry > (segs jas > 0.0232 m > 93.18 mm 7 x 20010 Pin = 27) = 46.36 mm min <J 30 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas An´alise num´erica usando o m´etodo dos elementos finitos 5 m 4 m 1 3 2 4 45 o 20 o 30 o 20 kN 1 2 3 4 ****************************************************************************************** Treli¸ca plana composta por 2 tri^angulos escalenos ****************************************************************************************** dados gerais n´umero de n´os : 4 n´umero de elementos : 4 n´umero de n´os de contorno : 4 n´umero de materiais diferentes: 1 n´umero de elementos com descontinuidades : 0 Euler-Bernoulli beam theory coordenadas nodais no x y 1 0.000 0.000 2 0.893 1.547 3 0.000 4.000 4 3.536 0.464 conectividade dos elementos elemento n´os material 1 1 2 1 2 2 3 1 3 3 4 1 4 2 4 1 propriedades do material mat. E A Iz_2 Iz_4 Iz_6 G ks h 1 0.2000D+12 0.1688D-02 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 condi¸c~oes de contorno estado 1:prescrito 0:livre restri¸c~oes deslocamentos prescritos ctes el´asticas n´o u v rz u v rz kx ky kz 1 1 1 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 2 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 3 1 1 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 4 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 semi-largura de banda: 9 ⊳ 36 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas cargas nodais n´o px py bz 4 0.00000D+00 -0.20000D+05 0.00000D+00 ************************************************************************************* resultados da an´alise deslocamentos nodais n´o u v rz 1 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 2 -0.643348D-03 0.155472D-03 0.000000D+00 3 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 4 -0.245967D-02 -0.346293D-02 0.000000D+00 rea¸c~oes nodais n´o px py mz 1 0.176777D+05 0.306187D+05 0.000000D+00 2 0.291038D-10 -0.309228D-10 0.000000D+00 3 -0.176776D+05 -0.106187D+05 0.000000D+00 4 -0.291038D-10 -0.200000D+05 0.000000D+00 verifica¸c~ao do equil´ıbrio forca resultante em x : 0.36380E-11 forca resultante em y : 0.00000E+00 momento resultante em z: -0.15586E-10 esfor¸cos nos elementos elemento n´o N Qy Mz 1 1 0.353554E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 2 -0.353554E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 2 2 0.473442E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 3 -0.473442E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 3 3 -0.478999E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 4 0.478999E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 4 2 0.366003E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 4 -0.366003E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 ⊳ 37 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Colunas com condi¸c˜oes de contorno diversas comprimento efetivo de flambagem • Carga de flambagem: Pcr = π2EImin l2 e antes da flambagem ap´os a flambagem tens˜oes deforma¸c˜oes ∆σ ∆ε σ ε P P + ∆P (P + ∆P)×y h h ⊳ 38 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Tensao critica Oo» ~~ TT P. = 7 2 => Oo» = 7 ZA e€ e T. r= TO ep = 7?—_4_, 5 min ( le ) "min r + . — le — 2 EB Indice de esbeltez) A= —— => 0,.= 1°53 "min A O \ \ \ \ \ \ , 1 Indice de esbeltez limite \ ‘ /E Oy 1 x, =" Cy | l l l l I l l rv x, Momento de inércia minimo Y _ bh hb. 3 => V3 _ hb — v3 ° h [= Ty Pin = “60 b <J 39 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Raio de giragao - r, Define-se raio de giracao de um corpo em relacaéo a um eixo de rotacaéo 7 a distancia r, entre 0 eixo e um ponto P, ou uma linha equidistante ou um arco equidistante ou uma casca cilindrica equidistante, onde se concentraria toda a massa (volume, area ou comprimento) do corpo rigido e que produziria o mesmo momento de inércia do corpo. n 7% reducao equivalente 7 reducao equivalente ponto linha (m, V, A, 1) Ts e Ts (m, V, A, 1) redugao equivalente A aro m reducao equivalente casca cilindrica fC PD PED ewmas Si inva = Jfrdm=pfredv = I,=r'm= prev V I,=pfrdA => I,=pr?A A I=p¢redl => 1,=pr?l p = /ia — [tv — [ta Jt 9 m V A l <J 40 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Flambagem Inel´astica l P l 2 l 2 P P Mmax ymax zona plastificada tens˜oes normais σy σ>σy σ<σy • Rela¸c˜ao constitutiva inel´astica εy εA εB εC ε σy σA σB σC σ 1 E 1 E A t 1 E B t E C t σC > σB > σA > σy ⇒ εC > εB > εA > σy E = σy εy , E A t = σA−σy εA−εy , E B t = σB−σA εB−εA , E C t = σC −σB εC−εB E C t < E B t < E A t < E ⊳ 41 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas e ‘Tensao critica de Euler O \ \ \ _ TE, \ Oorit \2 Oy \ \ \ \ \ \ \\ 2 G _ wh %}-------) Cin = 3 I I I | I r x; inelastico elastico colunas curtas | colunas longas e intermediarias indice de esbeltez limite: A, = 7 4/ 2h y , 4 Lee I. indice de esbeltez: A=, Tin Vt "min , . . __ da ~ Ag ~ O59, modulo de elasticidade tangente: E, = x 32 = a <J 42 > Mecanica dos Sdlidos 3 Flambagem de colunas Projeto de Colunas sob Compressao Centrada e Colunas metalicas o (ksi) \ \ 9 ! — |7_1(A ' Ocrit 1 (4) Jo, Oy \ \ \ \ \ \ G \ nF 3 brrrccoo Cort = I l l | ! X, 5. 3d 17a" ps, OSA<A SPS 34+ 85 — ols) 3 ~5,3 1 _ 2 - A, <A < 200 rs=843-1=3 2 -- —-- ee LL —- ee ee LE I I 1 | | | 0 r X, _ [2E X; = Tale ¥y l /I — _ef _ r po! nin _ “A min O — crit adm ——i«é&ES.. dq 43 > Mecanica dos Sdlidos 3 Flambagem de colunas e Colunas de aluminio, liga de aluminio comum: 2014-T6. o (ksi) rEq.(1) 28 \ 1 \ Eq.(2) | —_ 18 PF --4-77 7774 12 50 r a = 28 (ksi) 0<A<12 (1) a, = 30.7 —0.23A (ksi) 12<A<55 (2) Cxim = 2 (ksi) \ > 55 (3) l I. _ _ef — min N= Tin = \ WAM <J 44 > Mecanica dos Sdlidos 3 Flambagem de colunas e Colunas de madeira, secao transversal retangular o (ksi) 1 Eq.(1) 1.2 \ | \ Eq.(2) ET Eq.(3) 0.216b--4-----1---------2 === i 26 50 r Oa, = 1-2 (ksi) 0<A<11 (1) 2 7 = 12]! - (4) (ksi) 1 <A<26 (2) c= > (ksi) 26<rA>50 (3) l — ef A= b<h 7 h b dq 45 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna bi-articulada com carga excentrica <J P P P eo Tr. TD ] Pe Pe ] M ! 0) P Pe e€ P P e Linha elastica da coluna apés a flambagem 2M =0 > M+Py+Pe=0 «.. M=—Py- Pe Ely" =M => Ely" =—Py-—Pe .. Ely" + Py=-—Pe y’ + k?y = —k’e, k? = y = Cisen(ka) + C,cos(kx) — e Condicoes de contorno => 0= C. sen( ha) + C,cos( kf) —e ., Cl=e x = Ly =0]+0=C,sen(kl) + C,cos(kl) —e . C,= (Kase y= e( Lest) sen(ka) + ecos(kx) — e y=e (C2 sen(ka) + cos(ka) — 1 <q 46 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas 1 —cos(kl) = 2sen?(#) sen(kl) = 2sen(*) cos(*) y=e tan(4) sen(ka) + cos(ka) — 1 Flecha maxima - Carga critica L=- = 2 Y Vmax Ynar = e|tan(#) sen(#) + cos(#) — 1 _ kly kly Ymax =e sect 2 ) 1 ’ sec( 2 ) _ cos(£) Vinar = e|sec(\/F 4) — 1 Ymarn 2 OO => (\/ 45) => P= oy Umar = e|sec (5, [#) — 1 < AT > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Tensao normal maxima Onar = + Mas? Max = P(Yrmax + e), I = Ar? Fre = Se + Pitts — (1+ S(ome +6) Onan = th + ssee($4/47) | Pay A ec 1. /P I+ Sec Dp EA Relacao: (tensao) 4 x A (indice de esbeltez: A = 4) Onan = fh + cs sec(st4/4) | ,,= 6 1 + <y sec (ave) o(e*,A) = o|I + “s see( ev) —0,., = 0 e Encontrar o(e*,A), O.1<e® =3< 1.0, 0< A < 250 e Dados: E=200 GPa, ag, = 240 MPa <J 48 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Programa em Fortran90 para o c´alculo das ra´ızes da f´ormula da secante program formula_da_secante ! ! c´alculo das ra´ızes da f´ormula da secante ! implicit real*8(a-h,o-z) real*8 mod_young,lambda ! open(unit=1,file=’coluna_com_carga_excentrica.dat’,status=’unknown’) open(unit=2,file=’excentricidade_0.1’,status=’unknown’) open(unit=3,file=’excentricidade_0.2’,status=’unknown’) open(unit=4,file=’excentricidade_0.3’,status=’unknown’) open(unit=5,file=’excentricidade_0.4’,status=’unknown’) open(unit=6,file=’excentricidade_0.5’,status=’unknown’) open(unit=7,file=’excentricidade_0.6’,status=’unknown’) open(unit=8,file=’excentricidade_0.7’,status=’unknown’) open(unit=9,file=’excentricidade_0.8’,status=’unknown’) open(unit=10,file=’excentricidade_0.9’,status=’unknown’) open(unit=11,file=’excentricidade_1.0’,status=’unknown’) open(unit=12,file=’coluna_com_carga_excentrica.out’,status=’unknown’) open(unit=13,file=’indice_de_esbeltez_versus_tensao.out’,status=’unknown’) ! !------ l^e os limites superiores e inferiores do intervalo ! read(1,*)tol,maxiter read(1,*)sigma_max,mod_young ! cte = 1.d0/(2.d0*dsqrt(mod_young)) x1 = 0.d0 ! i_ex = 0 ex = 0.d0 do while(i_ex.lt.10) ! i_ex = i_ex+1 ex = ex+0.1d0 x2 = sigma_max ! write(12,2)ex 2 format(/,3x,’excentricidade:’,f5.1,/) ! lambda = -5.d0 do while(lambda.lt.250.d0) lambda = lambda+5.d0 ! if(lambda.eq.0.d0) then sigma = sigma_max/(1.d0+ex) elseif(lambda.gt.0.d0) then call bissecao(x1,x2,tol,maxiter,sigma_max,cte,ex,lambda,sigma,itera,err_x) x2 = sigma end if ⊳ 49 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas ! if(i_ex.eq.1) then write(2,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.2) then write(3,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.3) then write(4,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.4) then write(5,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.5) then write(6,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.6) then write(7,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.7) then write(8,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.8) then write(9,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.9) then write(10,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.10) then write(11,1)lambda,sigma/1.d+6 end if 1 format(f5.1,e13.5) end do end do ! contains ! !---------------------------------------------------------------------------------- subroutine bissecao(x1,x2,tol,maxiter,sigma_max,cte,ex,lambda,sigma,itera,err_x) !---------------------------------------------------------------------------------- ! ! metodo da bissecao para o calculo da raiz de um polinomio ! implicit real*8(a-h,o-z) real*8 lambda ! xinf = x1 xsup = x2 err_x = 1.d0 err_f = 1.d0 itera = 0 ! do while(err_x.gt.tol.and.err_f.gt.tol.and.itera.lt.maxiter) ! itera = itera+1 ! xmed = (xinf+xsup)/2.d0 ainf = 1.d0/dcos(lambda*cte*dsqrt(xinf)) amed = 1.d0/dcos(lambda*cte*dsqrt(xmed)) finf = xinf*(1.d0+ex*ainf)-sigma_max fmed = xmed*(1.d0+ex*amed)-sigma_max prod = finf*fmed ! err_x = dabs((xmed-xinf)/xmed) ⊳ 50 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas err_f = dabs(fmed)/sigma_max ! if(prod.lt.0.d0) then xsup = xmed else xinf = xmed end if end do ! sigma = xmed ! write(12,1)itera,err_x,err_f,lambda 1 format(2x,i3,2x,e12.5,2x,e12.5,f8.2) ! end subroutine bissecao ! end program formula_da_secante Arquivo de dados: coluna com carga excentrica.dat 1.e-10 50 240.e+6 200.e+9 Arquivo de saida: coluna com carga excentrica.out excentricidade: 0.1 31 0.51239E-09 0.36066E-11 5.00 32 0.23305E-09 0.59354E-10 10.00 33 0.11660E-09 0.11146E-10 15.00 31 0.46674E-09 0.43627E-10 20.00 33 0.11677E-09 0.68296E-11 25.00 31 0.46750E-09 0.47513E-10 30.00 32 0.23399E-09 0.25816E-10 35.00 31 0.46853E-09 0.26033E-10 40.00 31 0.46918E-09 0.80486E-10 45.00 32 0.23499E-09 0.65696E-10 50.00 33 0.11774E-09 0.22043E-10 55.00 32 0.23608E-09 0.48830E-10 60.00 32 0.23683E-09 0.50075E-10 65.00 32 0.23775E-09 0.95834E-10 70.00 33 0.11944E-09 0.42290E-10 75.00 31 0.48037E-09 0.60587E-10 80.00 29 0.19333E-08 0.85310E-10 85.00 33 0.12161E-09 0.42533E-10 90.00 31 0.48942E-09 0.43152E-10 95.00 31 0.49205E-09 0.61527E-10 100.00 25 0.31625E-07 0.50197E-10 105.00 34 0.61955E-10 0.25992E-10 110.00 34 0.62071E-10 0.68884E-10 115.00 34 0.62129E-10 0.15286E-09 120.00 34 0.62141E-10 0.21344E-09 125.00 ⊳ 51 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas 34 0.62121E-10 0.15425E-09 130.00 34 0.62077E-10 0.26389E-09 135.00 34 0.62017E-10 0.32973E-09 140.00 34 0.61947E-10 0.41621E-09 145.00 34 0.61870E-10 0.55173E-09 150.00 34 0.61791E-10 0.23363E-09 155.00 34 0.61709E-10 0.31852E-09 160.00 34 0.61628E-10 0.47929E-09 165.00 31 0.49238E-09 0.44665E-10 170.00 34 0.61469E-10 0.13291E-09 175.00 31 0.49113E-09 0.18057E-10 180.00 34 0.61317E-10 0.11062E-08 185.00 34 0.61244E-10 0.11659E-08 190.00 34 0.61174E-10 0.67602E-09 195.00 34 0.61107E-10 0.14650E-08 200.00 34 0.61042E-10 0.42720E-11 205.00 34 0.60979E-10 0.19601E-09 210.00 34 0.60919E-10 0.75680E-09 215.00 24 0.62321E-07 0.90050E-11 220.00 34 0.60804E-10 0.12159E-08 225.00 34 0.60750E-10 0.11996E-08 230.00 34 0.60699E-10 0.15629E-08 235.00 34 0.60649E-10 0.13053E-08 240.00 34 0.60600E-10 0.75872E-09 245.00 34 0.60554E-10 0.26736E-08 250.00 Arquivo de saida: indice de esbeltez versus tensao.out excentricidade: 0.1 0.00 0.21818E+03 5.00 0.21811E+03 10.00 0.21791E+03 15.00 0.21756E+03 20.00 0.21706E+03 25.00 0.21639E+03 30.00 0.21554E+03 35.00 0.21447E+03 40.00 0.21316E+03 45.00 0.21156E+03 50.00 0.20962E+03 55.00 0.20726E+03 60.00 0.20441E+03 65.00 0.20095E+03 70.00 0.19679E+03 75.00 0.19182E+03 80.00 0.18594E+03 85.00 0.17915E+03 90.00 0.17150E+03 95.00 0.16318E+03 100.00 0.15442E+03 105.00 0.14552E+03 110.00 0.13672E+03 115.00 0.12821E+03 ⊳ 52 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas 120.00 0.12012E+03 125.00 0.11252E+03 130.00 0.10543E+03 135.00 0.98857E+02 140.00 0.92785E+02 145.00 0.87185E+02 150.00 0.82023E+02 155.00 0.77267E+02 160.00 0.72883E+02 165.00 0.68838E+02 170.00 0.65102E+02 175.00 0.61649E+02 180.00 0.58451E+02 185.00 0.55487E+02 190.00 0.52736E+02 195.00 0.50178E+02 200.00 0.47798E+02 205.00 0.45578E+02 210.00 0.43507E+02 215.00 0.41571E+02 220.00 0.39759E+02 225.00 0.38061E+02 230.00 0.36468E+02 235.00 0.34971E+02 240.00 0.33564E+02 245.00 0.32238E+02 250.00 0.30989E+02 ⊳ 53 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Rela¸c˜ao: (tens˜ao) P A × λ (´ındice de esbeltez: λ = l r) Coluna Excˆentrica 0 50 100 150 200 250 0 40 80 120 160 200 240 λ σy σ (MPa) ec r2 = 1.0 ec r2 = 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Curva de Euler ⊳ 54 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Colunas sob flexo-compress˜ao σcent = P A + σflex = Mc I σmax = P A + Mc I < (σadm)cent M´etodo da intera¸c˜ao P A (σadm)cent + Mc I (σadm)flex ≤ 1 ⊳ 55 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Colunas sujeitas a flex˜ao obl´ıqua e compress˜ao simples P x y z ey ez P x y z My= Pez Mz= Pey P A (σadm)cent + |My|zmax Iy (σadm)flex + |Mz|ymax Iz (σadm)flex ≤ 1 ⊳ 56 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas ⊲ M´etodos energ´eticos para a obten¸c˜ao da carga de flambagem ⊳ l P P x u Π = Ufl − Pu • Princ´ıpio da estacionaridade da energia potencial Π = Π(c1, c2, · · · , cn) Sistema em equil´ıbrio ⇒ δπ = 0 δΠ = ∂Π ∂c1δc1 + ∂Π ∂c2δc2 + · · · + ∂Π ∂cnδcn = 0 r = ∂Π ∂c1 ∂Π ∂c2... ∂Π ∂cn = 0 0 ... 0 ⊳ 57 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas e Energia de deformacao na flexao L par Ur, — 2 Eat y= & > M=y'EI 1 2 / U, = of Ely ) dax e Deslocamento da carga axial <8 = 1 ae dx U l [> Pequenas rotacoes e deslocamentos: 0<<1, u<<l du = dx — dxcos@ du = dx(1 — cos@) cosd & 1— e du = F dex 1 2 u= 5 J (y) de 0 < 58 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas e Energia potencial de flambagem da coluna I] = U, — Pu l l 1 P Il = 5 | Bly'ax — 5 | ui'ar 0 0 t> Colunas de Euler <J P IKE x y = c,sen(™) F y’ = Fce,cos(*) ne TX y" = —e,sen(*) El mn Tx 2 P 1 Tx 2 N= + f|-Sesen()| dx — 2 J Lrevcos()] da O nt EI C2 l re m2 Pe l re II = ar J sen’ SP de — oe J cos pda < 59 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas f sen?(ax)dx _ __ sen(ax)cos(az) 42 2a 2 f cos?(ax)da _ costar)een(ar) +2 mc EI mc? P [= 3-4 4 2 asa“ (asi El mc,P _ _92EI gh Sapte os paw P KE _ 2 r Yop = au" + bx + r=0, Y, =9 => c=0 r=l, y, =0 = b=—al _ 2 , Yop = ax” — ala Vip = 2axr —al MN Yap = 2a l l t= | (2a)'de — 7 J Caw — al)?dx 3 H= 2E Ila? — Pe 3 ot 4Bia— Po" 0 = P= 124 2 Erro relative = #5! = 21.59% <J 60 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Yop = ax" + ba? + cx? + dx +e r=0, y¥,=0 => e=0 Vip = dax? + 3bx? + 2cx + d r=t, yl =0 = d=—tal’ —4bl —cl yi = 12ax? + 6bx + 2c x =0, y= 0 => c=0 r=l, y" =0, lal +6b1=0 + b=—2al > d=al’ Y 3 Yop = ax! — 2alx? + al’ x yl, = 4ax* — Galax? + al’ y= 12ax? — 12alx EI f 2 P f 3\2 m= [(12ax* — 12alx) dx — = J (4ax?’ — Cala? + al’) dx 0 0 I m= f(144a2x4 — 28807lr3 + 144071 x?)da— 0 I —2 f(16a2x® + 36021 a4 + a2l” — 4802l0? + 8021 a3 — 12021’? )da 0 _ 12 27) 17 p27" m= SE la‘l — Pal On _ 24 5 17 7 _ 168 EI _ EI a, = Filal — 35Pal = 0 => P= apa = 9.88 [72168 Erro relativo = —o = 0.13% <I 61 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > 2° Carga de Flambagem < P x Y __ 27x y = c,sen(=*) Y /_ -2&n 20x y= Fe,cos(*) No An? 27x y= —are,sen(=F*) EI An? 27x 2 P 20 27x 2 I] = > J |-aFesen(F)] dx —_— = | |e,cos(4*)| dx O 0 16n4 ETc l 2/2nrx An? Pcs l 2/2nrx I] = —— | sen*(*)dx — —-+ J cos*(=)dx 21 0 21 0 f sen2(ax)dex _ __ sen(ax)cos(az) 4 an L a 2a 2 2 [ cos?(ax)daxr ___cos(az)sen(az) +f os L a 2a 2 2 4,2 2.2 = 167 GET 1 _ At GP gq 2 gr 2 Il Antch EI m?c*P = 3 —-—)- 8rtc, EI Qn2c, P gha Sj 1 =0 = P=4r'8 Cy l l <J 62 >
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Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna rigida com mola de torcao <J P | P 0 lsen@ | l Icos0 / a k; k; Z ZZ, M = ko e Equilibrio apés a flambagem Oy M=0 > —Plsend+ ko =0 P= ho —1™7<0<7 e Carga critica para a configuracgao inicial de equilibrio (6 = 0) 6 k; lim —-=1> PR=- 60 send l e Energia potencial total apos a flambagem: 7 = Leg — Pd w= 4k — PI(1 — cos6) dm _ _ k_@ a= k@ — Plsendé=0=> P=Fam ar Cr _ 6 ao k — Plcos6 => eo KG a) lim “4 =1 3s fs] = 0 = P=& 6-0 tan@ dé 0-0 cr l dq 1 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas 0 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 5 Trajet´orias de equil´ıbrio θ P k l P = k l θ sinθ Trajet´oria prim´aria Trajet´oria secund´aria 0 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 5 θ d2π dθ2 d2π dθ2 = k(1 − θ tanθ) ⊳ 2 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna rigida com mola de tragéo/compressao <1 P | P Ke | l a iN] MD y k S 6 j ~y k { y Z ! DS | l © 16 ] < | YI1111 14) 1111177 lsen@ e Equilibrio apés a flambagem P i | + —> A >) F,=0, H,-H,=0 .. H,=H, ; , ASR A0, Pay so Vee © 0 ~ yt SM" =0, —H,lcosé + Plsend =0 .. H, = Ptané B\<— i Isen 0 o SOM =0, —Vlsené — H.lcosé + F. Icos = 0 F " H —Plsené — Pitan6cosé + kl’ sendcosé = 0 <— —_ 2 B —2Plsen@ + kl sen@cosé = 0 D 6 6 / —2P + klicos? = 0, para? = 0 —'C Y H, t p=4 P 22 <J 3 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas • Energia potencial total ap´os a flambagem π = 1 2k(lsenθ) 2 − 2Pl(1 − cosθ) • Derivada primeira da energia potencial total dπ dθ = kl 2senθcosθ − 2Plsenθ • Equil´ıbrio est´atico ⇒ dπ dθ = 0 ∴ P = kl 2 cosθ • Carga de flambagem ⇒ θ = 0 ∴ Pfl = kl 2 • Derivada segunda da energia potencial total k∗ = d2π dθ2 = kl 2(cos2θ − sen2θ) − 2Plcosθ k∗ = −kl 2sen2θ • Carga de flambagem ⇒ k∗ = 0 ⇒ P = kl 2 (−1+2cos2θ) cosθ θ = 0 ∴ Pfl = kl 2 ⊳ 4 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas π 2 −π 2 θ P Trajet´orias de equil´ıbrio P = kl 2 cosθ kl 2 Trajet´oria prim´aria Trajet´oria secund´aria π 2 −π 2 θ d2π dθ2 d2π dθ2 = −kl 2sen2θ -0.5 -1.0 ⊳ 5 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna rigida com mola de torcao <J P Y % Re 4 4 0 f P k e- \ v = fsend 20 2 / /\ WITT 1) VIM 1) e Equilibrio apés a flambagem 2yYM=0 5 —Pv+M=0 —Pv+k2¢0=0 —Pisend + k20 =0 _ 4k 6 T T P= Tom 7S E<9 e Carga critica para a configuracao inicial de equilibrio (6 = 0) . 6 Ak lim —-=1> P=— 60 send l dq 6 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas l 2 l 2 P k θ θ 2θ l 2 l 2 l 2senθ P k l 2cosθ l 2cosθ v • Energia potencial total ap´os a flambagem π = 1 2k(2θ) 2 − Pl(1 − cosθ) • Derivada primeira da energia potencial total dπ dθ = 4kθ − Plsenθ • Equil´ıbrio est´atico ⇒ dπ dθ = 0 ∴ P = 4k l θ senθ • Carga de flambagem ⇒ θ = 0 ∴ Pfl = 4k l ⊳ 7 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna rigida imperfeita com mola de torcao <J P A l 5 P \ iN UV, = Fsen0, & ©) k 7 nM uv, tv = dsend f, Ie U, = Ust V (7 3 UV 3 CY / /\ /\ VWIUTTL 1) WIT 111) e Equilibrio apés a flambagem 2YM=0 > —P(v,+v)+M=0 —P(vu, +v) + k(26 — 26,) =0 I —P send + 2k(@ — 4) = 0 _ 4k (6-95) P=T ap? TTS 9<39 Pequenos deslocamentos e rotacoes 0,,9,U),,0 << 1 _ 4k (9-9) P= Ty dq 8 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas P 6 5 16 -12 -08 -0<4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 e Equilibrio apés a flambagem em funcao de (P, P.,, u,v) com (v,,v) << 1. SIM =0 > —Plv,+v)+M =0 —P(v, tv) + 2k(@ — 6,) =0 O& 7(U +), 0% 7% 4k) _ 4k —P(u, +v) + Fu = 0, P=F P u= P,P V0 U, =v, +0=,(1+ p25) | : | v, = | TT I 1—(z) — Se fator de amplificacao dq 9 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna rigida com uma rotula plastica <J P al tet | P C, | ey oy ? 0, e Equilibrio apés a flambagem °S°M=0 = —Pvu+M=0 > M=Pov e Diagrama de tensoes na rotula plastica Oy 0, te 7 h = + = fe k | e Resultante de tensoes na rotula plastica P=a,b(h — 2c) M =0,be(h — c) = Pv < 10 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas e Resultante de tensoes no topo da coluna P=oaA=obh e Eliminando-se a incognita c das equacoes anteriores vi lf(yw_ oo h Alo Cy 2 Uv 2 o + 4750,0 — oO = 0) U.2 U c= 1+4(—) —2-|oa V (2) : a <1 o(MPa) Oot = rE = 308.43 MPa 300 FE 250 E= 200 GPa o,= 250 MPa 200 h= 25 mm v, = 0.64 mm A= 80 150 100 50 0 v(mm) 0 % 2 4 6 8 10 12 <I 11 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas ⊲ Barras r´ıgidas com molas de tra¸c˜ao/compress˜ao com 2GL ⊳ l l l k k λP λP lcosθ1 lcos(θ1−θ2) lcosθ2 v k k θ1 θ2 θ1−θ2 u2 u1 • Hip´oteses: Pequenas rota¸c˜oes e deslocamentos u1 << l, u2 << l, v << l senθ1 = u1 l , senθ2 = u2 l , sen(θ1−θ2) = u1−u2 l θ1 ≈ u1 l , θ2 ≈ u2 l , θ1−θ2 = u1−u2 l cosθ1 ≈ 1 − θ2 1 2 = 1 − u2 1 2l2 cosθ2 ≈ 1 − θ 2 2 2 = 1 − u2 2 2l2 cos(θ1−θ2) ≈ 1 − (θ1−θ2) 2 2 = 1 − (u1−u2)2 2l2 ⊳ 12 ⊲ Mecanica dos Sdlidos 3 Flambagem de colunas e Energia potencial total do sistema m= sku? + 5kue —\Pov T= sku + skuz —API 3 —(cos0, + cos(6,—6,) + £088) Lp 2 4 1py 2 wi (uj tly)? uw w= thu? +dku2 apts (1-4 +1- Soe" 41-3)] T= skue + skue 4c fu’ + (u, —u,)? + u| e Equacoes de equilibrio On _ On _ Ou, _ 0 r= Ou on ( 0 OUy ku, —“F(2u, — uy) 0 T= = ku, a Ar (2u, _ uy) 0 e Problema de autovalor/autovetor na forma: (A — AB)u= 0 oe tit LE a] tat tah 0k] lu, Pl-1 2] lu, 0 KO} yp} 2 —-1 u,| — J0 Ok i }-1 2 uJ |O < 13 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas e Valores proprios = Cargas de flambagem: det (A — \B) = 0) 2\P dP k — l l r r =0 P 2AP TT ROA 29 (k — 242) AP _( l [2 _ 2.9 2.9 2 4\Pk 4 P AP 3\°P” ANPk | 1.2 4Pk 4, /16P7k2 _12P°k? \ = i fe fe 12 6P2 a APk 4 2Pk . -_2=s 1,2 6P* a — Lkl — kl x, ~ 3P? r, — ?P = —1kl pk PL =A, P=35«P = 5 _ _ kl _ P,=A,P = pxP = fl <I 14 > Mecanica dos Sdlidos 3 Flambagem de colunas e Autovetores = Modos de flambagem k 0] 4f2 1] fu — fo 0k] 3{-1 2 uf \0 k ok x x} | U 0 o 3 th > u=—u kk) Jy 0 1 2 3.3 2 iN 12 Modo de flambagem 7 k 0) ,f2 -\ ful _ fo 0 k -1 2 uf \0 —k k U, 0 = > U, =U, k —k} [u, 0 AN 2° Modo de flambagem <J 15 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna bi-articulada <J P P P Y M ! 0) P fp e Linha elastica da coluna apés a flambagem SYM =0 = M+Py=0 -. M=-Py Ely" =M => Ely"=-—Py .«. Ely’+Py=0 y’ +k?y =0, k? = y = C'sen(ka) + C,cos(ka) Condicoes de contorno => 0= C. sen( ha) + C,cos( kh) 1. OC, =0 => 0=C,sen(kl)+C,cos(kl) .. C, = 0 (trivial) =0 sen(kl) =0 + kl=nt > k=" 3. P= nen y = C,sen("*), com C, indeterminado < 16 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Modos de flambagem - Coluna bi-articulada 1o Modo : sin(πx l ) ⇒ Pcr = π2 EI l2 2o Modo : sin(2πx l ) ⇒ Pcr = 4π2 EI l2 3o Modo : sin(3πx l ) ⇒ Pcr = 9π2 EI l2 4o Modo : sin(4πx l ) ⇒ Pcr = 16π2 EI l2 ⊳ 17 ⊲ MecAnica dos Sdlidos 3 Flambagem de colunas > Coluna bi-engastada <J P P Pp | | Y M, (Z M, LS ny u P 7, M, Yj fp e Linha elastica da coluna apés a flambagem SoM’ =0 > M+Py—M,=0 -.. M=—Py+M, Ely" =M => Ely" =—Py+M, .. Ely"+Py=M, yl" + key = 8, rat y = C'sen(ka) + C,cos(kx) + ~0 y = Ck cos(ka) — Ck sen(ka) Condicoes de contorno >0= C.sen( kf) + C,,cos( k& +0 i OL= —~0 => 0= C. keos( kh) — C,ksen( ka) oO, =0 => 0= sen(kl) + Cycos(kl) + ~o a Mecanica dos Solidos 300 s—s—(‘iél Flambagem de colunas M, M M — > cos(kl) + = =0 = = (1 — cos(kl)) = 0 —_—_——_<$ =0 cos(kl) =1 => kl=n2x > k= oe “, P= nan ay M . . y= (1 — cos(47))., com M, indeterminado Modos de flambagem - Coluna bi-engastada 12 Modo: 1-cos(4) > P= An? Et 22 Modo: 1—cos(4*) > P= 16m? 32 Modo: 1 -cos(#) > P= 36022 a Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna engastada-livre < P P | | P M | | y Oo x fp tp e Linha elastica da coluna apos a flambagem YM =0 > —M—Py4+P5=0 «. M=—Py4+ Pd Ely" =M => Ely" =—Py+Po .. Ely"+ Py = Po yl!" 4 ky _ k?6, kh? = a < 20 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas solucao y = Cisen(ka) + C,cos(kx) + 6 y = Ck cos(ka) — C,k sen(ka) Condicoes de contorno =>0= C.sen( kG) + C,,cos( ha") +60... C,=—0d => 0= C. keos( kh) — C,ksen( ka) oO, =0 => d= F'sen(kl) + C,cos(kl) + 6 —dcos(kl) =0 = cos(kl) =0 kl = (2n—-1)5, n=1,2,3,--- > k=(Q2n—1)% 3 30 2 n—L)272 p—2& 7 a y= (1 — cos ((2n — 1)3t)) <I 21 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Modos de flambagem - Coluna engastada-livre 1o Modo : 1 − cos(πx 2l ) ⇒ Pcr = π2 4 EI l2 2o Modo : 1 − cos(3πx 2l ) ⇒ Pcr = 9π2 4 EI l2 3o Modo : 1 − cos(5πx 2l ) ⇒ Pcr = 25π2 4 EI l2 4o Modo : 1 − cos(7πx 2l ) ⇒ Pcr = 49π2 4 EI l2 ⊳ 22 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna engastada-articulada < P P P Mo My x 4) 2 —> —> ] o)M ! 0) P Vs M, Cs bP? e Linha elastica da coluna apés a flambagem 2M’ =0 > M+ Py—-“22 =0 ». M=—Py +22 Ely" =M => Ely! =—Py+—{« ». Ely" + Py=—3 y = => ya-frytrze .. y rly 7x yl! + key = Be, Pat solucao M x y = Cisen(kax) + C,cos(kx) + +5 y’ = C,kcos(kx) — Ck sen(kax) + =o Condicoes de contorno =>0= C.sen( ke) + C,,cos( ha") 1. C,=0 < 23 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Condicoes de contorno M M + 0=C,keos(h) +38 2. C= Baan M = 0 = Cysen(hi) +8 M, 4 M M tan(kl) —P Feo sen Al) + > = 0 => > (1 —_ —T) = 0 ——S =0 tan(kl) =kl > kl sar -, P= 04 Raizes da equacao tan é— 6 = 0 15 4.47747 J 3.470974 10 2.45907} 5 1.430374 TY 0 L—/ ] ; n ! 27 5 37 4 —5 M 1 y= > (= — Tose); com M, indeterminado <j 24 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Modos de flambagem - Coluna engastada-articulada 1 1.43 _ 2,2 EI 1° Modo: | — (cagrcos (aaa) ) Sin pT) = B= 1.43°r E 1 2.46 _ 2,2 EI 2° Modo: 7 — (saencos 48a) )Sin( pT) = 2 = 2.46°r EE 1 3.47 _ 22 EI 3° Modo: 7 — ( saraccs(a7ay )Sin( po) = B= 3.47 r TE 1 4.48 _ 22 EI 4° Modo: 7 — ( caprccs (asa )sin( Tp) => B= 4.48°r TE <J 25 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Programa em Fortran90 para o c´alculo de ra´ızes de equa¸c˜oes trigonom´etricas program raizes_eq_trigonometrica ! ! c´alculo das ra´ızes da equa¸c~ao trigonom´etrica ! ! f(theta) = tan(theta)-theta ! implicit real*8(a-h,o-z) ! open(unit=1,file=’coluna_engastada_rotulada.dat’,status=’unknown’) open(unit=2,file=’coluna_engastada_rotulada.out’,status=’unknown’) open(unit=3,file=’coluna_engastada_rotulada’,status=’unknown’) ! !------ l^e os limites superiores e inferiores do intervalo ! read(1,*)x1,x2,tol,maxiter,ialgo ! pi = 4.d0*datan(1.d0) x1 = pi*x1 x2 = pi*x2 ! call bissecao(x1,x2,tol,maxiter,raiz,itera,err_x) ! raiz = raiz/pi ! write(2,1)raiz,itera,err_x 1 format(5x,’m´etodo empregado: bisse¸c~ao’,/, & 5x,’raiz:’,e13.6,’ pi’,/, & 5x,’itera¸c~oes:’,i3,/, & 5x,’erro:’,e12.5) ! contains ! !------------------------------------------------------------------------------ subroutine bissecao(x1,x2,tol,maxiter,raiz,itera,err_x) !------------------------------------------------------------------------------ ! ! metodo da bissecao para o calculo da raiz de um polinomio ! implicit real*8(a-h,o-z) ! xinf = x1 xsup = x2 err_x = 1.d0 err_f = 1.d0 itera = 0 ! ⊳ 26 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas ! do while(err_x.gt.tol.and.err_f.gt.tol.and.itera.lt.maxiter) ! itera = itera+1 ! xmed = (xinf+xsup)/2.d0 finf = dtan(xinf)-xinf fmed = dtan(xmed)-xmed prod = finf*fmed ! err_x = dabs((xmed-xinf)/xmed) err_f = dabs(fmed) ! if(prod.lt.0.d0) then xsup = xmed else xinf = xmed end if write(3,1)itera,dlog(err_x) end do ! raiz = xmed 1 format(2x,i3,2x,e12.5) ! end subroutine bissecao ! end program raizes_eq_trigonometrica ⊳ 27 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Arquivo de dados: coluna engastada rotulada.dat 1. 1.5 1.e-10 50 => intervalo para primeira ra´ız 2. 2.5 1.e-10 50 => intervalo para segunda ra´ız 3. 3.5 1.e-10 50 => intervalo para terceira ra´ız 4. 4.5 1.e-10 50 => intervalo para quarta ra´ız Arquivo de saida: coluna engastada rotulada.out raiz1: 0.143030E+01 pi itera¸c~oes: 32 erro: 0.81392E-10 raiz2: 0.245902E+01 pi itera¸c~oes: 31 erro: 0.94684E-10 raiz3: 0.347089E+01 pi itera¸c~oes: 31 erro: 0.67081E-10 raiz4: 0.447741E+01 pi itera¸c~oes: 31 erro: 0.52001E-10 ⊳ 28 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Exemplo 1 Qual deve ser o diˆametro m´ınimo do mastro AB, mostrado na figura abaixo, para que n˜ao ocorra a flambagem no mesmo. Adote E = 200 GPa e um fator de seguran¸ca igual a 2. 6 m 6 m 6 m 3 m A B C D 1 kN x y z TBC TBD NAB for¸cas concorrentes n˜ao coplanares GL = 3×5 = 15 V I = 3×(3 − 1) = 6 V E = 3×3 = 9 RT = V I + V E = 9 + 6 = 15 RT = GL ⇒ estrutura isost´atica ⊳ 29 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas equil´ıbrio do n´o B −→ AB = (0, 0, 6) ⇒ ⃗iAB = −→ AB |−→ AB| = (0, 0, 1) −→ NAB = NAB ×(0, 0, 1) −−→ BC = (6, 0, −6), |−−→ BC| = 6 √ 2 ⇒ ⃗iBC = −−→ BC |−−→ BC| = ( 1 √ 2, 0, − 1 √ 2) −→ TBC = TBC ×( 1 √ 2, 0, − 1 √ 2) −−→ BD = (−3, 6, −6), |−−→ BD| = 9 ⇒ ⃗iBD = −−→ BD |−−→ BC| = (−1 3, 2 3, −2 3) −→ TBD = TBD×(−1 3, 2 3, −2 3) −→ F = (0, −1000, 0) −→ NAB + −→ TBC + −→ TBD + −→ F = −→0 NAB ×(0, 0, 1) + TBC ×( 1 √ 2, 0, − 1 √ 2) + TBD×(−1 3, 2 3, −2 3)+ +(0, −1000, 0) = (0, 0, 0) TBC = √ 2 3 TBD TBD = 1500 N ⇒ TBC = 500 √ 2 N NAB = 1 √ 2TBC + 2 3TBD = TBD = 1500 N ⊳ 30 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas verificacao a flambagem do mastro AB 2 4 Pp. = nim I. =e p _ Fn fl ig ) min 4? adm FS ef Pe Nip < P am — FS N.< mers _ mw Ere AB — 2 2 FSI 4 4FS1 ef ef 2 i S APST Nip 0 — 1B 2 0.25 a APST Nap 0 — 7? EB 0.25 2 ry > | Ree) > 0.0162 m > 16.25 mm 7 x 20010 @,, = 2%) = 32.5 mm men <J 31 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas An´alise num´erica usando o m´etodo dos elementos finitos 6 m 6 m 6 m 3 m 3 2 1 4 1 kN x y z 1 2 3 ************************************************************************************************** Exemplo 1 - treli¸ca espacial composta por 2 cabos e 1 escora Est´atica: For¸cas concorrentes no espa¸co Mec^anica dos s´olidos 3 T´opico: flambagem de colunas ************************************************************************************************** linear static analysis ************************************************************************************************** input data number of nodes : 4 number of elements : 3 number of restrained nodes : 4 number of material property set: 2 type of structure : three-dimensional frames nodal coordinates node x y z 1 6.000 0.000 0.000 2 0.000 0.000 6.000 3 0.000 0.000 0.000 4 -3.000 6.000 0.000 type of element 1 - 2D truss 2 - 3D truss 3 - 2D frame 4 - 3D frame element connectivity location of K node element nodes material set xk yk zk beta type 1 1 2 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 2 2 2 4 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 2 3 2 3 2 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 2 properties of material set mat. E G A Ix Iy Iz ro 1 0.20000D+12 0.00000D+00 0.78540D-04 0.00000D+00 0.00000D+00 0.00000D+00 0.10000D+01 2 0.20000D+12 0.00000D+00 0.82958D-03 0.00000D+00 0.00000D+00 0.00000D+00 0.10000D+01 ⊳ 32 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas nodal boundary conditions state 1:prescribed 0:free node u v z rx ry rz 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 half bandwidth: 18 number of loaded nodes: 1 nodal loads node px py pz mx my mz 2 0.00000D+00 -0.10000D+04 0.00000D+00 0.00000D+00 0.00000D+00 0.00000D+00 load_x : 0.000000D+00 load_y : -0.100000D+04 load_z : 0.000000D+00 moment_x: 0.000000D+00 moment_y: 0.000000D+00 moment_z: 0.000000D+00 ************************************************************************************************** results of analysis ************************************************************************************************** nodal displacements node u v w rx ry rz 1 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 2 -0.594434D-03 -0.164062D-02 -0.542445D-04 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 3 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 4 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 nodal reactions node px py pz mx my mz 1 0.500000D+03 0.000000D+00 -0.500000D+03 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 2 0.113687D-12 -0.100000D+04 0.682121D-12 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 3 0.000000D+00 0.000000D+00 0.150000D+04 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 4 -0.500000D+03 0.100000D+04 -0.100000D+04 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 resultant force_x : 0.00000D+00 resultant force_y : 0.00000D+00 resultant force_z : 0.00000D+00 resultant moment_x: 0.00000D+00 resultant moment_y: 0.00000D+00 resultant moment_z: 0.00000D+00 member forces member node N Qy Qz Mx My Mz 1 1 -0.70711E+03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 2 0.70711E+03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 2 2 -0.15000E+04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 4 0.15000E+04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 3 2 0.15000E+04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 3 -0.15000E+04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 ⊳ 33 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Exemplo 2 Seja a trelica plana mostrada na figura abaixo, determine o raio minimo do elemento C'D para que nao ocorra flambagem no mesmo. Adote E = 200 GPa e um fator de seguranca igual a 1.5. 4 IN \ S 20° <2) A ~ e C / 30 Dp Sf | A 20 kN GL =3x4= 12 VE=24+2=4 RT =VI+VE=84+4=12 RT =GL => estrutura isostatica : _ BOO _ 4 Diy __ 4xsen30- _ 2 Lei dos senos: sen30° _ sen130° = BU= senl30° sen130° BC = 2.6108 m . ——2 —~2 ~~? — 0 Lei dos cossenos: CD = BC’ + BD — 2xBCxBDxcos25 7YT) _ ./ 4 _ cos25° __ CD — sen2130° + 25 20x 330° — 2.8556 mM . BC _ _CD_ _ BC ° Lei dos senos: saa Tes = Sena = ap sen25 _ —1(BC OV 0 a = sen! (2exsen25°) = 22.7303 <J 34 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Equilibrio do né D oN S> F=0 => N.,,cos(45 —a) — N,,cos45° = 0 Neo, to S > F=0 = N,,sen45 —N_,,,sen(45 —a)-20=0 | Nop = 22 = 36.6 kN 20 kN verificacao a flambagem da barra CD rE. art P — — — _fl Py, ~— Zz Linin =>: Pam — FS ef Pe Nop < P am — FS N < mErrs _ mw Ere CD— Fsf.4 4FSI ef ef 4FSUN r4 > ef CD 0 — 1B ) 0.25 4FSCD'N CD 0.25 2 ry > (segs jas > 0.0232 m > 93.18 mm 7 x 20010 Pin = 27) = 46.36 mm min <J 30 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas An´alise num´erica usando o m´etodo dos elementos finitos 5 m 4 m 1 3 2 4 45 o 20 o 30 o 20 kN 1 2 3 4 ****************************************************************************************** Treli¸ca plana composta por 2 tri^angulos escalenos ****************************************************************************************** dados gerais n´umero de n´os : 4 n´umero de elementos : 4 n´umero de n´os de contorno : 4 n´umero de materiais diferentes: 1 n´umero de elementos com descontinuidades : 0 Euler-Bernoulli beam theory coordenadas nodais no x y 1 0.000 0.000 2 0.893 1.547 3 0.000 4.000 4 3.536 0.464 conectividade dos elementos elemento n´os material 1 1 2 1 2 2 3 1 3 3 4 1 4 2 4 1 propriedades do material mat. E A Iz_2 Iz_4 Iz_6 G ks h 1 0.2000D+12 0.1688D-02 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 condi¸c~oes de contorno estado 1:prescrito 0:livre restri¸c~oes deslocamentos prescritos ctes el´asticas n´o u v rz u v rz kx ky kz 1 1 1 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 2 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 3 1 1 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 4 0 0 1 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 0.0000D+00 semi-largura de banda: 9 ⊳ 36 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas cargas nodais n´o px py bz 4 0.00000D+00 -0.20000D+05 0.00000D+00 ************************************************************************************* resultados da an´alise deslocamentos nodais n´o u v rz 1 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 2 -0.643348D-03 0.155472D-03 0.000000D+00 3 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 4 -0.245967D-02 -0.346293D-02 0.000000D+00 rea¸c~oes nodais n´o px py mz 1 0.176777D+05 0.306187D+05 0.000000D+00 2 0.291038D-10 -0.309228D-10 0.000000D+00 3 -0.176776D+05 -0.106187D+05 0.000000D+00 4 -0.291038D-10 -0.200000D+05 0.000000D+00 verifica¸c~ao do equil´ıbrio forca resultante em x : 0.36380E-11 forca resultante em y : 0.00000E+00 momento resultante em z: -0.15586E-10 esfor¸cos nos elementos elemento n´o N Qy Mz 1 1 0.353554E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 2 -0.353554E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 2 2 0.473442E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 3 -0.473442E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 3 3 -0.478999E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 4 0.478999E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 4 2 0.366003E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 4 -0.366003E+05 0.000000E+00 0.000000E+00 ⊳ 37 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Colunas com condi¸c˜oes de contorno diversas comprimento efetivo de flambagem • Carga de flambagem: Pcr = π2EImin l2 e antes da flambagem ap´os a flambagem tens˜oes deforma¸c˜oes ∆σ ∆ε σ ε P P + ∆P (P + ∆P)×y h h ⊳ 38 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Tensao critica Oo» ~~ TT P. = 7 2 => Oo» = 7 ZA e€ e T. r= TO ep = 7?—_4_, 5 min ( le ) "min r + . — le — 2 EB Indice de esbeltez) A= —— => 0,.= 1°53 "min A O \ \ \ \ \ \ , 1 Indice de esbeltez limite \ ‘ /E Oy 1 x, =" Cy | l l l l I l l rv x, Momento de inércia minimo Y _ bh hb. 3 => V3 _ hb — v3 ° h [= Ty Pin = “60 b <J 39 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Raio de giragao - r, Define-se raio de giracao de um corpo em relacaéo a um eixo de rotacaéo 7 a distancia r, entre 0 eixo e um ponto P, ou uma linha equidistante ou um arco equidistante ou uma casca cilindrica equidistante, onde se concentraria toda a massa (volume, area ou comprimento) do corpo rigido e que produziria o mesmo momento de inércia do corpo. n 7% reducao equivalente 7 reducao equivalente ponto linha (m, V, A, 1) Ts e Ts (m, V, A, 1) redugao equivalente A aro m reducao equivalente casca cilindrica fC PD PED ewmas Si inva = Jfrdm=pfredv = I,=r'm= prev V I,=pfrdA => I,=pr?A A I=p¢redl => 1,=pr?l p = /ia — [tv — [ta Jt 9 m V A l <J 40 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Flambagem Inel´astica l P l 2 l 2 P P Mmax ymax zona plastificada tens˜oes normais σy σ>σy σ<σy • Rela¸c˜ao constitutiva inel´astica εy εA εB εC ε σy σA σB σC σ 1 E 1 E A t 1 E B t E C t σC > σB > σA > σy ⇒ εC > εB > εA > σy E = σy εy , E A t = σA−σy εA−εy , E B t = σB−σA εB−εA , E C t = σC −σB εC−εB E C t < E B t < E A t < E ⊳ 41 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas e ‘Tensao critica de Euler O \ \ \ _ TE, \ Oorit \2 Oy \ \ \ \ \ \ \\ 2 G _ wh %}-------) Cin = 3 I I I | I r x; inelastico elastico colunas curtas | colunas longas e intermediarias indice de esbeltez limite: A, = 7 4/ 2h y , 4 Lee I. indice de esbeltez: A=, Tin Vt "min , . . __ da ~ Ag ~ O59, modulo de elasticidade tangente: E, = x 32 = a <J 42 > Mecanica dos Sdlidos 3 Flambagem de colunas Projeto de Colunas sob Compressao Centrada e Colunas metalicas o (ksi) \ \ 9 ! — |7_1(A ' Ocrit 1 (4) Jo, Oy \ \ \ \ \ \ G \ nF 3 brrrccoo Cort = I l l | ! X, 5. 3d 17a" ps, OSA<A SPS 34+ 85 — ols) 3 ~5,3 1 _ 2 - A, <A < 200 rs=843-1=3 2 -- —-- ee LL —- ee ee LE I I 1 | | | 0 r X, _ [2E X; = Tale ¥y l /I — _ef _ r po! nin _ “A min O — crit adm ——i«é&ES.. dq 43 > Mecanica dos Sdlidos 3 Flambagem de colunas e Colunas de aluminio, liga de aluminio comum: 2014-T6. o (ksi) rEq.(1) 28 \ 1 \ Eq.(2) | —_ 18 PF --4-77 7774 12 50 r a = 28 (ksi) 0<A<12 (1) a, = 30.7 —0.23A (ksi) 12<A<55 (2) Cxim = 2 (ksi) \ > 55 (3) l I. _ _ef — min N= Tin = \ WAM <J 44 > Mecanica dos Sdlidos 3 Flambagem de colunas e Colunas de madeira, secao transversal retangular o (ksi) 1 Eq.(1) 1.2 \ | \ Eq.(2) ET Eq.(3) 0.216b--4-----1---------2 === i 26 50 r Oa, = 1-2 (ksi) 0<A<11 (1) 2 7 = 12]! - (4) (ksi) 1 <A<26 (2) c= > (ksi) 26<rA>50 (3) l — ef A= b<h 7 h b dq 45 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > Coluna bi-articulada com carga excentrica <J P P P eo Tr. TD ] Pe Pe ] M ! 0) P Pe e€ P P e Linha elastica da coluna apés a flambagem 2M =0 > M+Py+Pe=0 «.. M=—Py- Pe Ely" =M => Ely" =—Py-—Pe .. Ely" + Py=-—Pe y’ + k?y = —k’e, k? = y = Cisen(ka) + C,cos(kx) — e Condicoes de contorno => 0= C. sen( ha) + C,cos( kf) —e ., Cl=e x = Ly =0]+0=C,sen(kl) + C,cos(kl) —e . C,= (Kase y= e( Lest) sen(ka) + ecos(kx) — e y=e (C2 sen(ka) + cos(ka) — 1 <q 46 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas 1 —cos(kl) = 2sen?(#) sen(kl) = 2sen(*) cos(*) y=e tan(4) sen(ka) + cos(ka) — 1 Flecha maxima - Carga critica L=- = 2 Y Vmax Ynar = e|tan(#) sen(#) + cos(#) — 1 _ kly kly Ymax =e sect 2 ) 1 ’ sec( 2 ) _ cos(£) Vinar = e|sec(\/F 4) — 1 Ymarn 2 OO => (\/ 45) => P= oy Umar = e|sec (5, [#) — 1 < AT > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Tensao normal maxima Onar = + Mas? Max = P(Yrmax + e), I = Ar? Fre = Se + Pitts — (1+ S(ome +6) Onan = th + ssee($4/47) | Pay A ec 1. /P I+ Sec Dp EA Relacao: (tensao) 4 x A (indice de esbeltez: A = 4) Onan = fh + cs sec(st4/4) | ,,= 6 1 + <y sec (ave) o(e*,A) = o|I + “s see( ev) —0,., = 0 e Encontrar o(e*,A), O.1<e® =3< 1.0, 0< A < 250 e Dados: E=200 GPa, ag, = 240 MPa <J 48 > Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Programa em Fortran90 para o c´alculo das ra´ızes da f´ormula da secante program formula_da_secante ! ! c´alculo das ra´ızes da f´ormula da secante ! implicit real*8(a-h,o-z) real*8 mod_young,lambda ! open(unit=1,file=’coluna_com_carga_excentrica.dat’,status=’unknown’) open(unit=2,file=’excentricidade_0.1’,status=’unknown’) open(unit=3,file=’excentricidade_0.2’,status=’unknown’) open(unit=4,file=’excentricidade_0.3’,status=’unknown’) open(unit=5,file=’excentricidade_0.4’,status=’unknown’) open(unit=6,file=’excentricidade_0.5’,status=’unknown’) open(unit=7,file=’excentricidade_0.6’,status=’unknown’) open(unit=8,file=’excentricidade_0.7’,status=’unknown’) open(unit=9,file=’excentricidade_0.8’,status=’unknown’) open(unit=10,file=’excentricidade_0.9’,status=’unknown’) open(unit=11,file=’excentricidade_1.0’,status=’unknown’) open(unit=12,file=’coluna_com_carga_excentrica.out’,status=’unknown’) open(unit=13,file=’indice_de_esbeltez_versus_tensao.out’,status=’unknown’) ! !------ l^e os limites superiores e inferiores do intervalo ! read(1,*)tol,maxiter read(1,*)sigma_max,mod_young ! cte = 1.d0/(2.d0*dsqrt(mod_young)) x1 = 0.d0 ! i_ex = 0 ex = 0.d0 do while(i_ex.lt.10) ! i_ex = i_ex+1 ex = ex+0.1d0 x2 = sigma_max ! write(12,2)ex 2 format(/,3x,’excentricidade:’,f5.1,/) ! lambda = -5.d0 do while(lambda.lt.250.d0) lambda = lambda+5.d0 ! if(lambda.eq.0.d0) then sigma = sigma_max/(1.d0+ex) elseif(lambda.gt.0.d0) then call bissecao(x1,x2,tol,maxiter,sigma_max,cte,ex,lambda,sigma,itera,err_x) x2 = sigma end if ⊳ 49 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas ! if(i_ex.eq.1) then write(2,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.2) then write(3,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.3) then write(4,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.4) then write(5,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.5) then write(6,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.6) then write(7,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.7) then write(8,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.8) then write(9,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.9) then write(10,1)lambda,sigma/1.d+6 elseif(i_ex.eq.10) then write(11,1)lambda,sigma/1.d+6 end if 1 format(f5.1,e13.5) end do end do ! contains ! !---------------------------------------------------------------------------------- subroutine bissecao(x1,x2,tol,maxiter,sigma_max,cte,ex,lambda,sigma,itera,err_x) !---------------------------------------------------------------------------------- ! ! metodo da bissecao para o calculo da raiz de um polinomio ! implicit real*8(a-h,o-z) real*8 lambda ! xinf = x1 xsup = x2 err_x = 1.d0 err_f = 1.d0 itera = 0 ! do while(err_x.gt.tol.and.err_f.gt.tol.and.itera.lt.maxiter) ! itera = itera+1 ! xmed = (xinf+xsup)/2.d0 ainf = 1.d0/dcos(lambda*cte*dsqrt(xinf)) amed = 1.d0/dcos(lambda*cte*dsqrt(xmed)) finf = xinf*(1.d0+ex*ainf)-sigma_max fmed = xmed*(1.d0+ex*amed)-sigma_max prod = finf*fmed ! err_x = dabs((xmed-xinf)/xmed) ⊳ 50 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas err_f = dabs(fmed)/sigma_max ! if(prod.lt.0.d0) then xsup = xmed else xinf = xmed end if end do ! sigma = xmed ! write(12,1)itera,err_x,err_f,lambda 1 format(2x,i3,2x,e12.5,2x,e12.5,f8.2) ! end subroutine bissecao ! end program formula_da_secante Arquivo de dados: coluna com carga excentrica.dat 1.e-10 50 240.e+6 200.e+9 Arquivo de saida: coluna com carga excentrica.out excentricidade: 0.1 31 0.51239E-09 0.36066E-11 5.00 32 0.23305E-09 0.59354E-10 10.00 33 0.11660E-09 0.11146E-10 15.00 31 0.46674E-09 0.43627E-10 20.00 33 0.11677E-09 0.68296E-11 25.00 31 0.46750E-09 0.47513E-10 30.00 32 0.23399E-09 0.25816E-10 35.00 31 0.46853E-09 0.26033E-10 40.00 31 0.46918E-09 0.80486E-10 45.00 32 0.23499E-09 0.65696E-10 50.00 33 0.11774E-09 0.22043E-10 55.00 32 0.23608E-09 0.48830E-10 60.00 32 0.23683E-09 0.50075E-10 65.00 32 0.23775E-09 0.95834E-10 70.00 33 0.11944E-09 0.42290E-10 75.00 31 0.48037E-09 0.60587E-10 80.00 29 0.19333E-08 0.85310E-10 85.00 33 0.12161E-09 0.42533E-10 90.00 31 0.48942E-09 0.43152E-10 95.00 31 0.49205E-09 0.61527E-10 100.00 25 0.31625E-07 0.50197E-10 105.00 34 0.61955E-10 0.25992E-10 110.00 34 0.62071E-10 0.68884E-10 115.00 34 0.62129E-10 0.15286E-09 120.00 34 0.62141E-10 0.21344E-09 125.00 ⊳ 51 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas 34 0.62121E-10 0.15425E-09 130.00 34 0.62077E-10 0.26389E-09 135.00 34 0.62017E-10 0.32973E-09 140.00 34 0.61947E-10 0.41621E-09 145.00 34 0.61870E-10 0.55173E-09 150.00 34 0.61791E-10 0.23363E-09 155.00 34 0.61709E-10 0.31852E-09 160.00 34 0.61628E-10 0.47929E-09 165.00 31 0.49238E-09 0.44665E-10 170.00 34 0.61469E-10 0.13291E-09 175.00 31 0.49113E-09 0.18057E-10 180.00 34 0.61317E-10 0.11062E-08 185.00 34 0.61244E-10 0.11659E-08 190.00 34 0.61174E-10 0.67602E-09 195.00 34 0.61107E-10 0.14650E-08 200.00 34 0.61042E-10 0.42720E-11 205.00 34 0.60979E-10 0.19601E-09 210.00 34 0.60919E-10 0.75680E-09 215.00 24 0.62321E-07 0.90050E-11 220.00 34 0.60804E-10 0.12159E-08 225.00 34 0.60750E-10 0.11996E-08 230.00 34 0.60699E-10 0.15629E-08 235.00 34 0.60649E-10 0.13053E-08 240.00 34 0.60600E-10 0.75872E-09 245.00 34 0.60554E-10 0.26736E-08 250.00 Arquivo de saida: indice de esbeltez versus tensao.out excentricidade: 0.1 0.00 0.21818E+03 5.00 0.21811E+03 10.00 0.21791E+03 15.00 0.21756E+03 20.00 0.21706E+03 25.00 0.21639E+03 30.00 0.21554E+03 35.00 0.21447E+03 40.00 0.21316E+03 45.00 0.21156E+03 50.00 0.20962E+03 55.00 0.20726E+03 60.00 0.20441E+03 65.00 0.20095E+03 70.00 0.19679E+03 75.00 0.19182E+03 80.00 0.18594E+03 85.00 0.17915E+03 90.00 0.17150E+03 95.00 0.16318E+03 100.00 0.15442E+03 105.00 0.14552E+03 110.00 0.13672E+03 115.00 0.12821E+03 ⊳ 52 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas 120.00 0.12012E+03 125.00 0.11252E+03 130.00 0.10543E+03 135.00 0.98857E+02 140.00 0.92785E+02 145.00 0.87185E+02 150.00 0.82023E+02 155.00 0.77267E+02 160.00 0.72883E+02 165.00 0.68838E+02 170.00 0.65102E+02 175.00 0.61649E+02 180.00 0.58451E+02 185.00 0.55487E+02 190.00 0.52736E+02 195.00 0.50178E+02 200.00 0.47798E+02 205.00 0.45578E+02 210.00 0.43507E+02 215.00 0.41571E+02 220.00 0.39759E+02 225.00 0.38061E+02 230.00 0.36468E+02 235.00 0.34971E+02 240.00 0.33564E+02 245.00 0.32238E+02 250.00 0.30989E+02 ⊳ 53 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Rela¸c˜ao: (tens˜ao) P A × λ (´ındice de esbeltez: λ = l r) Coluna Excˆentrica 0 50 100 150 200 250 0 40 80 120 160 200 240 λ σy σ (MPa) ec r2 = 1.0 ec r2 = 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Curva de Euler ⊳ 54 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Colunas sob flexo-compress˜ao σcent = P A + σflex = Mc I σmax = P A + Mc I < (σadm)cent M´etodo da intera¸c˜ao P A (σadm)cent + Mc I (σadm)flex ≤ 1 ⊳ 55 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas Colunas sujeitas a flex˜ao obl´ıqua e compress˜ao simples P x y z ey ez P x y z My= Pez Mz= Pey P A (σadm)cent + |My|zmax Iy (σadm)flex + |Mz|ymax Iz (σadm)flex ≤ 1 ⊳ 56 ⊲ Mecˆanica dos S´olidos 3 Flambagem de colunas ⊲ M´etodos energ´eticos para a obten¸c˜ao da carga de flambagem ⊳ l P P x u Π = Ufl − Pu • Princ´ıpio da estacionaridade da energia potencial Π = Π(c1, c2, · · · , cn) Sistema em equil´ıbrio ⇒ δπ = 0 δΠ = ∂Π ∂c1δc1 + ∂Π ∂c2δc2 + · · · + ∂Π ∂cnδcn = 0 r = ∂Π ∂c1 ∂Π ∂c2... ∂Π ∂cn = 0 0 ... 0 ⊳ 57 ⊲ Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas e Energia de deformacao na flexao L par Ur, — 2 Eat y= & > M=y'EI 1 2 / U, = of Ely ) dax e Deslocamento da carga axial <8 = 1 ae dx U l [> Pequenas rotacoes e deslocamentos: 0<<1, u<<l du = dx — dxcos@ du = dx(1 — cos@) cosd & 1— e du = F dex 1 2 u= 5 J (y) de 0 < 58 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas e Energia potencial de flambagem da coluna I] = U, — Pu l l 1 P Il = 5 | Bly'ax — 5 | ui'ar 0 0 t> Colunas de Euler <J P IKE x y = c,sen(™) F y’ = Fce,cos(*) ne TX y" = —e,sen(*) El mn Tx 2 P 1 Tx 2 N= + f|-Sesen()| dx — 2 J Lrevcos()] da O nt EI C2 l re m2 Pe l re II = ar J sen’ SP de — oe J cos pda < 59 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas f sen?(ax)dx _ __ sen(ax)cos(az) 42 2a 2 f cos?(ax)da _ costar)een(ar) +2 mc EI mc? P [= 3-4 4 2 asa“ (asi El mc,P _ _92EI gh Sapte os paw P KE _ 2 r Yop = au" + bx + r=0, Y, =9 => c=0 r=l, y, =0 = b=—al _ 2 , Yop = ax” — ala Vip = 2axr —al MN Yap = 2a l l t= | (2a)'de — 7 J Caw — al)?dx 3 H= 2E Ila? — Pe 3 ot 4Bia— Po" 0 = P= 124 2 Erro relative = #5! = 21.59% <J 60 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas Yop = ax" + ba? + cx? + dx +e r=0, y¥,=0 => e=0 Vip = dax? + 3bx? + 2cx + d r=t, yl =0 = d=—tal’ —4bl —cl yi = 12ax? + 6bx + 2c x =0, y= 0 => c=0 r=l, y" =0, lal +6b1=0 + b=—2al > d=al’ Y 3 Yop = ax! — 2alx? + al’ x yl, = 4ax* — Galax? + al’ y= 12ax? — 12alx EI f 2 P f 3\2 m= [(12ax* — 12alx) dx — = J (4ax?’ — Cala? + al’) dx 0 0 I m= f(144a2x4 — 28807lr3 + 144071 x?)da— 0 I —2 f(16a2x® + 36021 a4 + a2l” — 4802l0? + 8021 a3 — 12021’? )da 0 _ 12 27) 17 p27" m= SE la‘l — Pal On _ 24 5 17 7 _ 168 EI _ EI a, = Filal — 35Pal = 0 => P= apa = 9.88 [72168 Erro relativo = —o = 0.13% <I 61 > Mecanica dos Sélidos 3 Flambagem de colunas > 2° Carga de Flambagem < P x Y __ 27x y = c,sen(=*) Y /_ -2&n 20x y= Fe,cos(*) No An? 27x y= —are,sen(=F*) EI An? 27x 2 P 20 27x 2 I] = > J |-aFesen(F)] dx —_— = | |e,cos(4*)| dx O 0 16n4 ETc l 2/2nrx An? Pcs l 2/2nrx I] = —— | sen*(*)dx — —-+ J cos*(=)dx 21 0 21 0 f sen2(ax)dex _ __ sen(ax)cos(az) 4 an L a 2a 2 2 [ cos?(ax)daxr ___cos(az)sen(az) +f os L a 2a 2 2 4,2 2.2 = 167 GET 1 _ At GP gq 2 gr 2 Il Antch EI m?c*P = 3 —-—)- 8rtc, EI Qn2c, P gha Sj 1 =0 = P=4r'8 Cy l l <J 62 >