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Física 4
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53 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Unidade II 5 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 51 Fluxo magnético As fontes do campo magnético são os ímãs e as correntes elétricas Considerar uma superfície S em cujos pontos existe um campo de indução magnética Para um elemento de área dS seja n o vetor unitário normal à superfície S e B o campo de indução magnética formando um ângulo θ entre n e B conforme figura a seguir n B dS S θ Figura 10 Fluxo magnético Definese fluxo magnético de B em n dS o produto escalar de B por n dS dφ B n dS Para calcular o fluxo total de B na superfície S fazse a integral de superfície de todos os fluxos nos elementos de S φs sB n dS Se o campo B for uniforme em superfície plana de área S o fluxo será φs B s n dS φs B n S Aplicando a definição de produto escalar temse φs B n S cos θ 54 Unidade II Sabese que n 1 pois n é um vetor unitário e θ é o ângulo entre n e B vem φs B S cos θ Se como caso particular θ 0 temse φs B S cos 0º BS A unidade de fluxo de indução no Sistema Internacional é o weber símbolo Wb Weber teslam2 ou Wb T m2 ou T Wbm2 O campo de indução magnética B também é chamado de densidade de fluxo magnético Wbm2 Se a superfície for fechada o fluxo magnético resultante é zero φs 0 Em contorno fechado C podese apoiar uma superfície S1 ou outra S2 As superfícies abertas S1 e S2 juntas formam uma superfície fechada S na qual o fluxo de indução é nulo Então concluise φS1 φS2 Em módulo o fluxo de indução é o mesmo em todas as superfícies que se apoiam em um mesmo contorno fechado C Se S contraise sobre um ponto P obtémse div B B 0 O campo de indução é não divergente ou solenoidal isto é não possui fonte ou sorvedouro cada tubo de fluxo é fechado sobre si mesmo Em um circuito elétrico conduzindo corrente elétrica e as linhas de indução criadas por essa corrente se enlaçam mutuamente são concatenadas Um contorno fechado C pode ser uma linha fechada qualquer e em particular pode coincidir com um circuito elétrico Em qualquer superfície que se apoia em C o fluxo de B é chamado de fluxo concatenado com C Em uma bobina existe o fluxo simples em uma espira No caso de bobina distinguese o fluxo simples φs em uma espira e o fluxo concatenado φ totalizado sobre as espiras que houver na bobina 55 COMPLEMENTOS DE FÍSICA 52 Auto e mútua indutância Um circuito elétrico C1 é colocado próximo de um circuito elétrico C2 A corrente i1 em C1 cria o campo de indução B 1 O fluxo de B 1 concatenado com C2 é φ2 S2 B 1 n dS A corrente i2 em C2 cria campo de indução B 2 O fluxo de B 2 concatenado com C1 é φ1 S1 B 2 n dS n n C1 C2 i1 i2 Figura 11 Fluxo concatenado A relação M entre o fluxo concatenado com qualquer dos circuitos e a corrente no outro circuito é constante A grandeza M é chamada de coeficiente de mútua indução do sistema ou mútua indutância do sistema 2 1 1 2 M i i φ φ Nos circuitos adotase um sentido positivo para a corrente e para o versor n o sentido que lhe é atribuído é pela regra do parafuso ou regra da mão direita A mútua indutância M de um par de circuitos depende só de sua geometria em um meio qualquer na presença de matéria depende também desta A unidade de indutância no Sistema Internacional é o henry símbolo H 1 weber 1 henry 1 ampère ou 1 Wb 1 H 1 A A permeabilidade absoluta do vácuo pode ser expressa com a unidade henry por metro µ0 4π x 107 Hm Em um circuito C percorrido por corrente i esta gera um campo B O fluxo magnético está concatenado com C que é o mesmo circuito que cria o campo Este fluxo φ então é autoconcatenado 56 Unidade II Definese coeficiente de autoindução do circuito ou autoindutância do circuito a grandeza L i φ Do fluxo φ tem sempre o mesmo sinal de i portanto L 0 Quando um par de circuitos C1 e C2 coincidirem a mútua indutância tornase autoindutância A autoindutância L é medida em henry H L Figura 12 Bobina com autoindutância L Aplicações do fluxo magnético transformadores multímetro alicate geração de energia elétrica etc Lembrete O fluxo magnético só existe se houver campo magnético presente 53 Lei de Lenz e Faraday Considerar um circuito elétrico qualquer C imerso em um campo de indução B produzido pela corrente em C e por outras correntes elétricas presentes O fluxo de B em S chamase fluxo conexo com C ou fluxo concatenado com C φ S B n dS Se houver mais do que uma espira o fluxo conexo será calculado para a superfície total S O fluxo φ conexo em C pode variar com o tempo t Neste caso aparece no circuito uma força eletromotriz induzida fem induzida ε que segue as leis de Faraday 1831 e Lenz 1834 A Lei de Faraday afirma ε dφdt a Lei de Lenz afirma a conservação de energia de modo peculiar ao fenômeno os efeitos contrariam as causas Observadas as convenções usuais essas duas leis se resumem na fórmula d dt φ ε Lei de Faraday e Lenz ε força eletromotriz induzida V φ fluxo magnético Wb 57 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Observação Só haverá força eletromotriz induzida se o fluxo magnético variar com o tempo Se o fluxo magnético for constante a força eletromotriz induzida será nula Adotase arbitrariamente um sentido de percurso positivo no circuito C A corrente a favor do sentido positivo será positiva e a corrente oposta ao sentido positivo é negativa A superfície S aceita uma normal n unitária com sentido dado pela regra da mão direita ou do parafuso Esta regra é aplicada empunhandose n com a mão direita os dedos circundando n no sentido positivo de C e o polegar apontando o sentido de n Para as forças eletromotrizes FEMs adotase a convenção do gerador o sentido positivo da corrente em C aponta do terminal negativo para o positivo internamente n C i Figura 13 Convenções coerentes i 0 e n seguem a regra da mão direita ε 0 segue a convenção do gerador Saiba mais O Instituto de Física da USP dispõe de um portal de videoaulas com várias aulas abordando experiências sobre fluxo magnético lei de Faraday e suas aplicações além de vários tópicos sobre eletromagnetismo Veja no endereço MARQUES G da C FURUKAWA C Eletromagnetismo Tema 19 Aplicações do fenômeno da indução Experimento 4 Mini usina hidroelétrica Brasil USP sd 2 minutos Disponível em httpeaulas uspbrportalvideoactionidItem6073 Acesso em 19 jul 2017 54 Força eletromotriz variacional e mocional Os motivos pelos quais o fluxo φ pode variar são dois ou B varia com o tempo ou C se move ou se deforma podem ocorrer ambas as coisas ao mesmo tempo A força eletromotriz variacional εv ocorre pela variação de B com t a força eletromotriz mocional εm acontece pelo movimento dos elementos de C De fato 58 Unidade II S S S d d B n d S d t d t B d n d S B n d S t d t φ ε ε No circuito C seja P um ponto qualquer v sua velocidade e d o elemento de C em P Em duração dt o ponto P sofre o deslocamento dr v dt e o elemento d varre a área dn dS veja a figura a seguir dn dS dr x d I dn dS v dt x d I d n d S v x d l d t B d n d S B v x d l v xBd l d t C P d l d ndS v B dr Figura 14 O circuito C em duas datas próximas A equação a seguir assume a forma S C Bn d S v xBd l t ε Força eletromotriz variacional v S Bn d S t ε Força eletromotriz mocional εm C v x B d I Força eletromotriz resultante ε εv εm 59 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Observação A força eletromotriz mocional existe quando a área do contorno aumenta ou diminui com o tempo Se a área do contorno permanecer constante com o tempo a força eletromotriz mocional é nula Exemplo enrolamento de transformadores A Lei de Faraday 1831 da indução eletromagnética pode ser aplicada em qualquer contorno fechado C A força eletromotriz induzida mostra o campo elétrico impresso E i que é a circuitação sobre C no sentido positivo atribuído a C ε C E i d I Em circuito condutor o campo impresso impulsiona os portadores de cargas presentes caso de dínamo alternador transformador Em espaço vazio o contorno C pode ser uma linha de força do campo impresso que acelera partículas eletrizadas injetadas no campo como por exemplo o acelerador de partículas bétatron Quando o campo de indução magnética varia com o tempo surge um campo elétrico impresso E i O campo elétrico impresso possui as linhas fechadas e estas circundam as linhas de indução magnética B e viceversa Elas são concatenadas Saiba mais A indução eletromagnética revolucionou o mundo Dentre as várias aplicações podemos citar os geradores de tensão alternada os transformadores de tensão e de corrente que são utilizados na geração transmissão e distribuição de energia elétrica Veja no site SANTOS J C F dos Indução eletromagnética sd Disponível em httpeducacaoglobocomfisicaassuntoeletromagnetismoinducao html Acesso em 19 jul 2017 55 Força magnética sobre corrente elétrica Um fio condutor de comprimento L percorrido por corrente elétrica I imerso em campo magnético B fica sujeito à força magnética F dada por F IdL x B se B cte F IL x B 23 F ILBsenθ 24 se θ 90º F ILB 25 60 Unidade II 6 PRINCIPAIS APLICAÇÕES DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 61 Transformadores de tensão alternada Os transformadores monofásicos são amplamente utilizados em circuitos de alimentação residencial 110 ou 220 V os transformadores trifásicos na geração transmissão e distribuição de energia elétrica Eles desempenham o papel de elevar ou abaixar a tensão elétrica viabilizando a chegada da energia elétrica da usina hidrelétrica até o consumidor A energia gerada para abastecer o sistema elétrico industrial é trifásica na frequência de 60 Hz Na figura a seguir Arrabaça 2014 representa o diagrama de blocos simplificado de geração transmissão e distribuição de energia elétrica Geração de energia 22 kV a 20 kV Transmissão de energia 69 kV a 500 kV Distribuição primária 11 kV a 35 kV Distribuição secundária 110 V a 380 V Trafo 1 Trafo 2 Trafo 3 Figura 15 Geração transmissão e distribuição de energia elétrica A geração de energia elétrica é feita através de usinas geradoras que utilizam instalações hidráulicas eólicas térmicas e nucleares No Brasil 80 da energia elétrica gerada é hidrelétrica e 20 é térmica Como as usinas estão muito distantes dos centros consumidores é necessário elevar a tensão de 20 kV para o intervalo de 69 kV a 500 kV para diminuir a perda de potência Na figura esta elevação é feita pelo transformador 1 ou trafo 1 As linhas de transmissão transportam grandes potências desde a geração até os centros de consumo com segurança e confiabilidade As tensões mais usuais em corrente alternada nas linhas de transmissão são 69 kV 138 kV 230 kV 400 kV e 500 kV Ao chegar aos grandes centros de consumo a alta tensão de transmissão é reduzida para valores padrões através do trafo 2 entre 11 kV e 35 kV com a finalidade de percorrer as zonas urbanas com total segurança A responsabilidade desta redução é das subestações redutoras as quais são implantadas em locais apropriados e isolados da população A distribuição de energia elétrica urbana é feita a três fios e normalizada com tensão de 138 kV Para o consumidor residencial essa tensão é reduzida para 110 V ou 220 V eficazes para a indústria reduzida para 220 V ou 380 V eficazes com raras exceções de solicitações especiais através do trafo 3 Nesses casos utilizamse transformadores abaixadores de tensão que são fixados nos postes da linha de transmissão urbana Lembrete Os transformadores monofásicos e trifásicos permitem manter a potência da energia elétrica nas residências e indústrias 61 COMPLEMENTOS DE FÍSICA 62 Transformador monofásico ideal A Associação Brasileira de Normas Técnicas ABNT aceita a seguinte definição O transformador é um dispositivo que por meio da indução eletromagnética transfere energia elétrica de um circuito primário para um ou mais circuitos secundário terciário usando a mesma frequência e com valores de tensões e intensidades de correntes geralmente diferentes entre si ABNT 1993 A figura a seguir mostra sistema de alimentação monofásica com transformador Embora possa ser construído com mais de dois enrolamentos bobinas acoplados magneticamente o transformador monofásico típico possui apenas dois enrolamentos sendo um o enrolamento primário no qual é aplicada a tensão da fonte elétrica de alimentação e o outro o enrolamento secundário onde se encontra a carga a ser alimentada Fonte monofásica senoidal Carga Enrolamento primário Enrolamento secundário Núcleo ferromagnético V1 N1 N2 V2 I1 I1 Fluxo Φ Figura 16 Sistema de alimentação monofásica com transformador O sistema de alimentação mostrado na figura anterior pode ser representado pelo circuito elétrico da figura a seguir em que os bipolos são representados pelos seus símbolos elétricos e as tensões e as corrente pelos respectivos fasores de maneira a simplificar a representação do sistema elétrico e facilitar o seu equacionamento Circuito elétrico primário Circuito elétrico secundário I V Z I2 I1 V2 Vz Iz V1 Figura 17 Circuito elétrico do transformador monofásico 1 1 2 2 2 1 V N I r V N I 62 Unidade II 63 Transformador trifásico ideal O transformador trifásico é basicamente formado por três transformadores monofásicos arranjados conforme mostram os desenhos apresentados na figura a seguir elaborada por Arrabaça 2014 Conseguese uma grande economia com o uso do sistema trifásico de alimentação tanto no custo como no espaço ocupado quando se utiliza um só transformador trifásico no lugar de três monofásicos a Tipo coluna a Tipo encouraçado Figura 18 Representação do transformador trifásico em que os enrolamentos A B C D E e F representam os primários e os enrolamentos 1 2 3 4 5 e 6 representam os respectivos secundários A polaridade indicada em cada bobina define o sentido de enrolamento das espiras em torno do núcleo com o objetivo de facilitar as ligações ao fazer o fechamento do transformador obedecendo a uma determinada ligação que pode ser ligação em estrela ou em triângulo Como o transformador trifásico ideal é formado por três enrolamentos primários e três enrolamentos secundários respectivamente iguais entre si a equação que relaciona as tensões e as correntes com o respectivo número de espiras é a mesma utilizada para o transformador ideal monofásico levandose em consideração o número de enrolamentos indicado na equação a seguir que considera o primário A e B e o respectivo secundário 1 e 2 1 1 2 2 2 1 V N I r V N I 120º 120º 120º 120º 120º 120º VP V1 V2 V3 V4 wt Figura 19 Formas de ondas do sistema trifásico de tensão 63 COMPLEMENTOS DE FÍSICA 64 Gerador de tensão alternada A mais importante aplicação da indução eletromagnética é a geração da energia elétrica de alta potência que abastece os vários ramos das indústrias comércio e consumo doméstico ilumina as cidades e atende às demais necessidades da população O princípio de funcionamento de um alternador é a indução eletromagnética consistindo em quadro plano que gira dentro de campo magnético gerando corrente alternada Os alternadores são dispositivos que transformam energia mecânica em elétrica operando em ciclos Para movimentar as bobinas dentro do campo magnético utilizamse quedas de água usinas hidrelétricas vapor de água ou gases usinas térmicas e térmicas nucleares vento usinas eólicas etc Exemplo 1 O fluxo magnético de uma bobina varia com o tempo segundo o gráfico a seguir Construir o gráfico da força eletromotriz em função do tempo 0 4 4 6 t s Φ Wb Figura 20 Fluxo magnético em função do tempo Resolução Força eletromotriz no intervalo de tempo de 0 a 4 s 1 4 1V t 4 ε φ Força eletromotriz no intervalo de tempo de 4 a 10 s 2 2 4 2V t 2 φ ε 64 Unidade II 0 2 1 εV 4 6 t s Figura 21 Exemplo 2 Uma espira circular de raio r 80 cm resistência elétrica R 100 Ω e eixo de revolução Oz está imersa em um campo de indução magnética que varia com o tempo segundo a função B 4cosπtk T Determinar a o fluxo magnético em função do tempo b a força eletromotriz induzida em função do tempo c a corrente elétrica I em função do tempo d a potência dissipada em função do tempo x R r y B n z 0 Figura 22 Espira circular em campo magnético Resolução a O fluxo magnético é dado por φ sB n d S Como B não depende da área podese escrever φ B n S e n k φ 4 cosπtk k π r2 sendo S π r2 a área do disco e k k 1 65 COMPLEMENTOS DE FÍSICA φ 4 cosπt π 0802 φ 8042 cosπt Wb b A força eletromotriz ε é dada pela Lei de Faraday d dt ε φ a derivada do cosseno é dada por z cos u z sen u u ε π 8042senπt ε 2526senπtV c A corrente elétrica I em função do tempo pela Lei de Ohm ε R I I R 2526sen t I 100 I 02526sen tA ε π π d A potência dissipada no resistor é dada por P RI2 P 10002526senπt2 P 6384sen2πtw Exemplo 3 Duas espiras circulares coaxiais e coplanares têm raios R1 4 m e R2 04 m Calcular aproximadamente mútuaindutância do par R1 R2 i2 n il Figura 23 Mútua indutância 66 Unidade II Resolução Pela Lei de BiotSavart a corrente i1 na espira maior produz no centro o campo B 1 de intensidade 0 1 1 1 i B 2R µ Admitindo campo B 1 uniforme no círculo envolvido pela espira menor o fluxo concatenado com esta é 2 0 1 2 1 2 2 1 i B S 2 R R µ φ π Indutância 2 M i1 φ 2 0 2 1 R M 2 R µ π 7 2 4 10 04 M 2 4 π π 78956810 8 H M 7896 108 H Exemplo 4 A figura a seguir mostra duas barras fixas retas paralelas separadas por distância L e interligadas por uma resistência R A barra MN apoiase normalmente sobre as duas barras fixas sendo arrastada com velocidade v constante O sistema está imerso em um campo de indução B uniforme e estacionário Dados B 12 T R 80 Ω v 2 ms L 90 cm Determinar a a força eletromotriz induzida indicando a polaridade b a corrente induzida na barra c a força aplicada à barra R M N L B v Figura 24 Força eletromotriz induzida mocional 67 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Resolução a A barra se move com velocidade constante v O campo magnético B é constante e paralelo a normal n O fluxo magnético é dado por φ S B n dS φ B S Se a área S aumenta com o movimento da barra para a direita então o fluxo magnético concatenado é positivo e aumenta a corrente induzida opõese ao aumento de fluxo Lei de Lenz portanto produz campo B i contrário a B logo a corrente induzida circula de M para N a FEM induzida tem polaridade em M em N alternativa Regra de Fleming da Mão Direita Surgirá na barra uma força eletromotriz mocional εm C v x B dL vBL εm 21209 216 V R εm M N L I F B v Figura 25 Circuito elétrico equivalente R εm vBL I Figura 26 b 3 m 216 I 2710 A 27mA R 80 ε c Nessa corrente o campo B exerce força F oposta à velocidade v sua intensidade é F ILB F 27103 09012 2916102 N Exemplo 5 Na figura a seguir representamse dois trilhos metálicos verticais fixos separados por distância L sobre os quais pode deslizar sem atrito uma barra metálica MN de massa m O sistema está 68 Unidade II sujeito ao campo de gravidade g e ao campo de indução B uniforme estacionário normal ao plano dos trilhos As extremidades superiores dos trilhos são interligadas por uma resistência R de resto não há resistência A barra é abandonada em repouso no instante inicial em seguida ela cai em translação Determinar a a velocidade da barra em função do tempo b a velocidade limite c gráfico da velocidade em função do tempo R M N L B g eixo Figura 27 Barra em queda Resolução a O campo B é uniforme e constante Durante a queda a área do contorno C vai aumentando com o tempo e consequentemente o fluxo concatenado também aumenta A corrente induzida na barra opõese ao aumento de fluxo Lei de Lenz portanto produz campo B i contrário a B logo a corrente induzida circula de N para M a FEM induzida tem polaridade em N e em M A força eletromotriz é mocional e é dada por εm C v x B dL vBL R εm M N B F g P Figura 28 69 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Circuito elétrico equivalente R εm vBL I m vBL I R R ε Figura 29 Força magnética no condutor F IL x B F ILB M N v F eixo mg m dv dt Figura 30 Lei Fundamental da Dinâmica 2 2 2 2 2 2 v t v 0 0 0 At At F ma P F ma dv vBL dv mg ILB m mg LB m dt R dt B L dv B L dv mg v m m g v R dt mR dt B L dv ChamandoA g A v mR dt dv dv 1 dt dt ln g A v t g Av g Av A g A v ln g A v lng At ln At g g A v g e v 1 e g A 70 Unidade II b A partir do repouso a velocidade aumenta com aceleração decrescente A aceleração tende a zero e a velocidade tende ao limite lim g v A lim Para t 0 v 0 condição inicial g Para t v A c Gráfico da velocidade em função do tempo V Vlim 0 t Figura 31 Exemplo 6 A barra condutora AB tem massa m resistência r e está se deslocando com velocidade constante v 0 sob a ação da massa M do gerador G e de um campo de indução uniforme B Desprezar o atrito da barra com os trilhos Determinar a a corrente no circuito b a força eletromotriz E do gerador e respectiva polaridade c a velocidade limite atingida pela barra quando o fio que sustenta a massa M é cortado R A T P B L i j k E Fm T P M Figura 32 Barra se movendo em campo magnético 71 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Dados R 2Ω r 2Ω m 3 kg M 3 kg B 15 k T L 05 m v 0 200 i ms g 10 k ms2 Resolução a Fm P I L B M g 3 10 I 05 15 I 40 A b εm BLv0 E I R 2Ω r 2Ω E 4 I B L v0 0 E 4x40 15x05x200 E 10 V 2Ω 10 V Figura 33 c E4IBLv0 Fm 0 v vlim I 0 vlim E B L lim 10 v 15 05 vlim 133 ms 72 Unidade II Exemplo 7 Na figura a seguir entre os planos x 0 e x 050 m há um campo de indução B B k O coeficiente B varia com x conforme gráfico anexo Uma espira retangular ABCD que tem resistência elétrica R 4 Ω lados a 1 m e b 08 m apoiada no plano z 0 transladase com velocidade constante v 50 i ms No instante inicial o lado AB coincide com o eixo Oy exceto a força magnética a resultante das forças exercidas na espira F t desconhecida Considerar o intervalo de tempo 010 s t 010 s Pedese a exprimir Bx deduzir a FEM induzida εt e a corrente it Dar a polaridade da FEM e o sentido da corrente Fazer gráfico cartesiano t i cotado b exprimir F t e o trabalho τ dessa força até a data t c exprimir a potência P dissipada na espira e a energia elétrica W dissipada até a data t Comentar o resultado 0 C B A v b a 050 050 B tesla 20 x m x m z 0 y m B Figura 34 Indução mocional Resolução a Do gráfico B 20 40 x SI Abcissa do lado AB x 50 t A FEM é induzida a partir da data zero e no lado AB somente B 20 40 x 50 t B 20 x 1 10 t 73 COMPLEMENTOS DE FÍSICA ε v B b 50 x 20 x 1 10 t x 080 ε 80 x 1 10 t i R ε i 20 x 1 10 t O sentido resulta da RFMD Regra de Fleming da Mão Direita i A i A E xm ts iA 20 a4 0 B 050 010 a5 010 0 Figura 35 b Força magnética 2 2 2 m v B b F i b B 080B R O sentido resulta da RFME Regra de Fleming da Mão Esquerda F m 32 x 1 10 t2 A velocidade é constante logo F F m 0 F 32 x 1 10 t2 74 Unidade II Trabalho dτ F x dP F dx dτ 32 x 1 10 t2 x 50 dt τ 16 x t 0 1 10 t2 dt 3 8 1 1 10t 15 τ c Potência dissipada P i2 R P 16 x 1 10 t2 Energia W t 0 P dt 16 x t 0 1 10 t2 dt W τ A energia elétrica dissipada é igual ao trabalho de acionamento Princípio de Conservação de Energia Exemplo 8 Na figura a seguir uma bobina retangular chata tem lados a e b N espiras e gira com frequência f em campo de indução B uniforme estacionário normal ao eixo Pedese a deduzir a FEM induzida b exemplo B 05 T f 60 Hz Nab 080 m2 B B B Data zero Data t wt w n n n w θ eixo Figura 36 Alternador 75 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Resolução a Fluxo concatenado BN a b cos B N a b cos 2 w t π φ θ φ B N a b sen ωt ω 2π f Lei da Indução d dt B N a b cos t φ ε ω ω ou ε εm cos ωt sendo a força eletromotriz máxima εm 2π f B N a b b Caso numérico εm 2π f B N a b cos ωt εm 2π 60 08 cos 2π 60t εm 150 cos 377t V Exemplo 9 Uma barra metálica perpendicular aos trilhos e de massa m desliza sem atrito sobre dois trilhos retos e paralelos fixos em um plano horizontal separados de L O conjunto está imerso em um campo de indução magnética B uniforme vertical conforme figura a seguir O gerador possui força eletromotriz constante ε e resistência total R constante No instante inicial a barra é abandonada em repouso Pedese a estabelecer a equação diferencial do circuito b estabelecer a equação diferencial do movimento da barra c depois de muito tempo a velocidade e a corrente tornamse praticamente constantes Calcular estas grandezas no limite 76 Unidade II L ε B Figura 37 Indução magnética Resolução a O fluxo magnético é dado por φ B S Se a área S aumenta com o movimento da barra para a direita então o fluxo magnético concatenado aumenta e o campo magnético resultante deve diminuir a corrente induzida opõese ao aumento de fluxo Lei de Lenz Surge na barra uma força eletromotriz indicada na figura L ε B Fm εm Figura 38 Surgirá na barra uma força eletromotriz mocional Circuito elétrico equivalente εm C v x B dL vBL R εm vBL I Figura 39 77 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Aplicando a Segunda Lei de Kirchhoff Em percurso fechado a soma algébrica das tensões é igual a zero temse i m V 0 Ri 0 Ri vBL 0 Ri vBL 0 ε ε ε ε b Aplicandose a Segunda Lei de Newton à barra m F ma dv dv F m iLB m dt dt dv LBi dv LB LBv dt m dt mR ε c V constante lim lim dv LB 0 LBv 0 dt mR LBv 0 v LB LB RI 0 i 0 LB ε ε ε ε ε Exemplo 10 Um plano inclinado forma ângulo θ com o horizonte como pode ser visto na figura a seguir Fixamse no plano inclinado dois trilhos metálicos separados por distância L na base do plano os trilhos são interligados por um condutor de resistência R Nos trilhos apoiase uma barra metálica reta tendo massa m A barra os contatos e os trilhos possuem resistência elétrica desprezível O sistema está imerso no campo de gravidade g e em um campo de indução B uniforme e vertical Abandonada em repouso a barra desliza rampa abaixo Desprezar o atrito Pedese a considerando as forças agentes deduzir a velocidade terminal velocidade limite da barra b demonstrar a conservação da energia no processo à velocidade limite 78 Unidade II B M L V R θ N Figura 40 Força eletromotriz mocional Resolução a Se a área S diminui com o movimento da barra para baixo então o fluxo magnético concatenado diminui e o campo magnético resultante deve aumentar a corrente induzida opõese ao aumento de fluxo Lei de Lenz Surge na barra uma força eletromotriz indicada na figura B M I εm V R θ N Fm cosθ m g senθ θ θ Fm mg N m v xBL LBvcos LB cos v ε θ θ Figura 41 79 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Considerando o circuito elétrico equivalente e aplicandose a segunda Lei de Kirchhoff temse R εm vBL I Figura 42 m v xBL LBvcos LB cos v Ri 0 LBcos v Ri 0 LBcos i v R ε θ θ ε θ θ x m lim lim 2 2 2 lim lim 2 2 2 Aplicando a Segunda Lei de Newton dv F m dt dv mgsen F cos m dt dv mgsen iLBcos m dt dv mg 0 v v e i i tg dt LB L B cos mgsen v R mgRsen v L B cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ b Conservação da energia 2 2 el lim 2 2 2 el 2 2 mec m mec lim lim mec 2 2 2 2 2 2 mec 2 2 el mec mg P Ri R tg LB m g R P tg L B P Fv F cos v P i LBcos v mgtg LBcos mgRsen P LB L B cos m g R P tg L B P P 0 θ θ θ θ θ θ θ θ θ 80 Unidade II 2 2 el lim 2 2 2 el 2 2 mec m mec lim lim mec 2 2 2 2 2 2 mec 2 2 el mec mg P Ri R tg LB m g R P tg L B P Fv F cos v P i LBcos v mgtg LBcos mgRsen P LB L B cos m g R P tg L B P P 0 θ θ θ θ θ θ θ θ θ Exemplo 11 Uma espira retangular de lados a e b sempre apoiada no plano x0y transladase com velocidade v v j conforme a figura a seguir No instante inicial o lado dianteiro da espira transpõe o eixo 0x e penetra em um campo de indução B B k estacionário e com intensidade B c y Pedese a adotando a convenção do esquema exprimir a força eletromotriz induzida b esboçar o diagrama cartesiano t FEM y x a b v 0z B Figura 43 Quadro em translação Resolução a Fluxo magnético e força eletromotriz induzida 2 2 2 2 d BndS d cykkbd y d cybd y y vt dy vdt d cbv tdt d a cbv cbv t a vt t dt v cbv a cbv a v φ φ φ φ φ ε ε ε 81 COMPLEMENTOS DE FÍSICA b Gráfico da força eletromoriz FEM em função do tempo a b c v ε t a v Figura 44 Exemplo 12 Um campo de indução magnética uniforme em cada instante varia com o tempo segundo a lei m ˆ B B sen tk ω sendo Bm 40 T e ω 360π rads Nesse campo situase uma espira circular tendo raio r 15 m eixo de revolução 0z e resistência elétrica R 160 Ω Pedemse a fluxo magnético b força eletromotriz induzida na espira c corrente elétrica induzida d potência dissipada no resistor Resolução a Fluxo magnético 2 S 2 2 BndS BnS 4sen360 tk r k 4 r sen360 t 4 15 sen360 t 2827sen360 tWb φ π π φ π π φ π π φ π b Força eletromotriz induzida 4 d dt 2827360 cos360 t 319810 cos360 tV φ ε ε π π ε π 82 Unidade II c Corrente elétrica induzida na espira 4 i R 319810 i cos360 tV 160 i 200cos360 tA ε π π d Potência dissipada no resistor 2 2 6 2 P RI P 160 200cos360 t P 6410 cos 360 tw π π Exemplo 13 A barra condutora AB de massa m 20 kg comprimento L 10 m e resistência R 5 Ω permanece em equilíbrio na situação indicada na figura 43 sustentando o bloco de massa M 180 kg O campo de indução magnética B vale 10 T e g 10ms2 Determinar a o valor E da força eletromotriz da bateria b a equação da velocidade da barra após o fio que sustenta o bloco ter sido cortado c a velocidade limite da barra M A E B B g R 20Ω Figura 45 Barra em queda 83 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Resolução a A barra está em equilíbrio M A E Io Fm m Mg B B g R 20Ω Figura 46 m 0 0 0 P F m Mg I LB m Mg 2 1810 I LB 11 I 200A Circuito elétrico equivalente Io R 20Ω R 5Ω E Figura 47 E R rI0 20 5200 E 5000 V 84 Unidade II b Cortandose o fio a barra vai subir A E I Fm B B R 20Ω P mg εm vBL Figura 48 Aplicandose a Segunda Lei de Newton R m F ma dV F P m dt dv ILB mg m m dt LB dv I g 1 m dt Circuito elétrico equivalente I R 20Ω εm vBL R 5Ω E Figura 49 malha m m V 0 E R rI 0 E I 2 R r ε ε 85 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Substituindo a equação 2 em 1 m v t v t 0 0 0 0 dv LBE dv 115000 11v g 10 dt mR r 220 5 dt dv dv dv 100 002v 10 90 002v dt dt dt 90 002v dv 1 dt ln90 002v t 90 002v 002 ε 002t 002t 002t 002t 002t 90 002v ln90 002v ln90 002t ln 002t 90 90 002v e 90 002v 90e 90 90 002v 90 90e v 1 e 002 v 45001 e c Velocidade limite 002 lim lim lim Para t temse v 45001 e v 45001 0 v 4500 ms Exemplo 14 Uma bobina retangular geradora de tensão alternada tem as dimensões a e b e N espiras A bobina está ligada a anéis coletores e gira com velocidade angular num campo magnético uniforme B Pedese a mostrar que a diferença de potencial entre os dois anéis coletores é ε ωNBabsenωt b se a 40 cm b 20 cm N 50 e B 25 T em que frequência angular ω a bobina deve girar a fim de gerar uma força eletromotriz cujo valor máximo é 220 V B b ε ω a N espiras Figura 50 Alternador 86 Unidade II a Força eletromotriz induzida SBndS BnS BScos BScos t t sendo N número de espiras NBabcos t Lei de Faraday d NBabsen t dt φ θ φ ω θ ω φ ω ε φ ε ω ω b Frequência angular max max 2 2 NBab 220 NBab 5025 410 210 2200 rads ε ω ω ε ω Exemplo 15 Uma espira retangular de 10 cm por 50 cm com resistência de 2 Ω passa através de uma região de campo magnético uniforme B 20 T com velocidade escalar constante v 20 cms O lado frontal da espira entra na região do campo magnético no instante t 0 Pedese a calcular o fluxo através da espira em função do tempo e fazer o gráfico respectivo b calcular a força eletromotriz induzida e a corrente na espira em função do tempo e fazer os gráficos correspondentes B 5 cm 10 cm 20 cm X Figura 51 Indução eletromagnética 87 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Resolução a O fluxo magnético é dado por 2 2 3 BS Bax Bavt 2510 210 t 210 t Wb 0 t 5s φ φ φ 10 x 103 0 5 ts φWb Figura 52 b 3 d 210 V 2mV dt 2 i 10mA R 2 ε φ ε 5 0 0 2 10 5 ts ts εmV I mA Figura 53 Exemplo 16 Uma barra condutora AB de resistência desprezível está em contato com as guias metálicas CA e DB também de resistência nula A resistência R vale 08 Ω e o circuito encontrase em um campo magnético uniforme B 25 T perpendicular ao plano da figura Quando a barra se desloca para a direita com velocidade V 4 ms constante calcule 88 Unidade II B C A D B L 20 cm Figura 54 Força eletromotriz mocional a a FEM induzida b a intensidade de corrente que se estabelece no circuito e o seu sentido c a intensidade da força magnética Resolução a ε v B L 4 25 02 2V b IεR 208 25 A sentido de B para A c FI L B 25 02 25 125 N contrária ao movimento Exemplo 17 Uma espira circular de área 1 m2 é colocada em um campo magnético O campo mantémse perpendicular ao plano da espira porém sua intensidade diminui uniformemente à razão de 2 T por segundo Calcule a intensidade de corrente que circula pela espira se sua resistência elétrica vale 4 Ω Resolução 2 2 B S 2 2t r 2 2t 1 2 t 2 628 t 628 d 628 628V dt 628 I 157A R 4 φ π π φ π π φ ε φ ε ε ε 89 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Exemplo 18 Uma bobina chata é formada de 200 espiras de 4 cm de raio e está colocada em um campo magnético uniforme Determine a FEM induzida nesta bobina se a intensidade do campo perpendicular ao plano das espiras varia de 001 T a 0 em 1 segundo Resolução S 2 2 NBndS NB S 200001 001t 410 1001 001t d dt 001 10mV φ φ π φ φ ε ε ε Resumo Nesta unidade foi visto que o campo magnético pode ser gerado por ímãs ou corrente elétrica O campo magnético gerado por ímãs é constante O campo gerado por correntes elétricas pode ser constante corrente contínua ou variável corrente alternada O campo magnético produz fluxo magnético através de uma área O circuito que conduz uma corrente elétrica e as linhas de indução criadas por essa corrente se enlaçam mutuamente como os elos de uma corrente cadeia catena portanto eles são concatenados Para dois circuitos elétricos postos em presença verificase que é constante para o sistema a relação M entre o fluxo concatenado com qualquer dos circuitos e a corrente no outro circuito a grandeza assim obtida é denominada coeficiente de mútua indutância M do sistema Para um circuito o fluxo é concatenado com o mesmo autoconcatenado produzindo autoindutância L Faraday 1831 descobriu experimentalmente a indução eletromagnética Se o fluxo magnético variar com o tempo haverá força eletromotriz induzida em um contorno fechado C Por sua vez Lenz 1834 mostrou a conservação da energia no processo mostrando que os efeitos contrariam as causas Estas duas leis se resumem na fórmula 90 Unidade II S d e BndS dt ε φ φ O fluxo magnético φ pode variar por dois motivos ou B varia com o tempo gerando a força eletromotriz variacional ε V ou o contorno C se move ou se deforma produzindo a força eletromotriz mocional ε m Podem ocorrer ambas as coisas simultaneamente Força eletromotriz variacional t n d S B S v ε Através da Lei de Faraday 1831 foi possível gerar energia elétrica de grande potência e até hoje se usa esta lei nas usinas hidrelétricas térmicas nucleares e eólicas A indução eletromagnética também é usada em transformadores que permitem elevar e baixar a tensão elétrica conforme a necessidade A geração transmissão e distribuição de energia elétrica utilizam fortemente os transformadores Exercícios Questão 1 Uma espira circular de raio r 1 m resistência elétrica R 200 Ω eixo de revolução Oz está imersa em um campo de indução magnética que varia com o tempo segundo a função B 4cos2πt k T Determinar O fluxo magnético em função do tempo A força eletromotriz induzida em função do tempo A corrente elétrica I em função do tempo A potência dissipada em função do tempo 91 COMPLEMENTOS DE FÍSICA x R r y B n z 0 Figura 55 Espira circular em campo magnético A φ 0395cos2πtWb ε 7898sen2πt I 0395senπt e P 31205sen22πt B φ 1257cos2πtWb ε 7898sen2πt I 0395sen2πt e P 31205sen22πt C φ 1257cos2πtWb ε 7898senπt I 0395cos2πt e P 31205cos22πt D φ 1257cos2πtWb ε 1257sen2πt I 0395sen2πt e P 31205sen22πt E φ 1257cos2πtWb ε 7898sen2πt I 0395sen2πt e P 31205sen2πt Resposta correta alternativa B Análise da questão O fluxo magnético é dado por φ S B n dS como B não depende da área podese escrever φ B n S e n k φ 4cos2πtk k πr2 sendo S π r2 a área do disco e k k 1 φ 4cos2πt π12 φ 1257cos2πtWb A força eletromotriz ε é dada pela Lei de Faraday d dt φ ε A derivada do cosseno é dada por z cos u z sen u u 92 Unidade II ε 2π 1257sen2πt ε 7898sen2πt A corrente elétrica I em função do tempo é dada pela Lei de Ohm ε R I I R ε 7898 sen2 t I R 200 π ε I 0395sen2πt A potência dissipada no resistor é dada por P RI2 P 200 0395sen2πt2 P 31205sen22πt Questão 2 Uma espira retangular de lados perpendiculares medindo 30 cm e 40 cm resistência elétrica R 50 Ω eixo de revolução Oz está imersa em um campo de indução magnética que varia com o tempo segundo a função B 10cos4 tkT π A corrente elétrica induzida na bobina em função do tempo vale A I 2827 sen4πtA B I 4 sen4πtA C I 030 sen4πtA D I 02827 sen3πtA E I 12 cos4πtA y x z 03 m 04 m B n 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53 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Unidade II 5 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 51 Fluxo magnético As fontes do campo magnético são os ímãs e as correntes elétricas Considerar uma superfície S em cujos pontos existe um campo de indução magnética Para um elemento de área dS seja n o vetor unitário normal à superfície S e B o campo de indução magnética formando um ângulo θ entre n e B conforme figura a seguir n B dS S θ Figura 10 Fluxo magnético Definese fluxo magnético de B em n dS o produto escalar de B por n dS dφ B n dS Para calcular o fluxo total de B na superfície S fazse a integral de superfície de todos os fluxos nos elementos de S φs sB n dS Se o campo B for uniforme em superfície plana de área S o fluxo será φs B s n dS φs B n S Aplicando a definição de produto escalar temse φs B n S cos θ 54 Unidade II Sabese que n 1 pois n é um vetor unitário e θ é o ângulo entre n e B vem φs B S cos θ Se como caso particular θ 0 temse φs B S cos 0º BS A unidade de fluxo de indução no Sistema Internacional é o weber símbolo Wb Weber teslam2 ou Wb T m2 ou T Wbm2 O campo de indução magnética B também é chamado de densidade de fluxo magnético Wbm2 Se a superfície for fechada o fluxo magnético resultante é zero φs 0 Em contorno fechado C podese apoiar uma superfície S1 ou outra S2 As superfícies abertas S1 e S2 juntas formam uma superfície fechada S na qual o fluxo de indução é nulo Então concluise φS1 φS2 Em módulo o fluxo de indução é o mesmo em todas as superfícies que se apoiam em um mesmo contorno fechado C Se S contraise sobre um ponto P obtémse div B B 0 O campo de indução é não divergente ou solenoidal isto é não possui fonte ou sorvedouro cada tubo de fluxo é fechado sobre si mesmo Em um circuito elétrico conduzindo corrente elétrica e as linhas de indução criadas por essa corrente se enlaçam mutuamente são concatenadas Um contorno fechado C pode ser uma linha fechada qualquer e em particular pode coincidir com um circuito elétrico Em qualquer superfície que se apoia em C o fluxo de B é chamado de fluxo concatenado com C Em uma bobina existe o fluxo simples em uma espira No caso de bobina distinguese o fluxo simples φs em uma espira e o fluxo concatenado φ totalizado sobre as espiras que houver na bobina 55 COMPLEMENTOS DE FÍSICA 52 Auto e mútua indutância Um circuito elétrico C1 é colocado próximo de um circuito elétrico C2 A corrente i1 em C1 cria o campo de indução B 1 O fluxo de B 1 concatenado com C2 é φ2 S2 B 1 n dS A corrente i2 em C2 cria campo de indução B 2 O fluxo de B 2 concatenado com C1 é φ1 S1 B 2 n dS n n C1 C2 i1 i2 Figura 11 Fluxo concatenado A relação M entre o fluxo concatenado com qualquer dos circuitos e a corrente no outro circuito é constante A grandeza M é chamada de coeficiente de mútua indução do sistema ou mútua indutância do sistema 2 1 1 2 M i i φ φ Nos circuitos adotase um sentido positivo para a corrente e para o versor n o sentido que lhe é atribuído é pela regra do parafuso ou regra da mão direita A mútua indutância M de um par de circuitos depende só de sua geometria em um meio qualquer na presença de matéria depende também desta A unidade de indutância no Sistema Internacional é o henry símbolo H 1 weber 1 henry 1 ampère ou 1 Wb 1 H 1 A A permeabilidade absoluta do vácuo pode ser expressa com a unidade henry por metro µ0 4π x 107 Hm Em um circuito C percorrido por corrente i esta gera um campo B O fluxo magnético está concatenado com C que é o mesmo circuito que cria o campo Este fluxo φ então é autoconcatenado 56 Unidade II Definese coeficiente de autoindução do circuito ou autoindutância do circuito a grandeza L i φ Do fluxo φ tem sempre o mesmo sinal de i portanto L 0 Quando um par de circuitos C1 e C2 coincidirem a mútua indutância tornase autoindutância A autoindutância L é medida em henry H L Figura 12 Bobina com autoindutância L Aplicações do fluxo magnético transformadores multímetro alicate geração de energia elétrica etc Lembrete O fluxo magnético só existe se houver campo magnético presente 53 Lei de Lenz e Faraday Considerar um circuito elétrico qualquer C imerso em um campo de indução B produzido pela corrente em C e por outras correntes elétricas presentes O fluxo de B em S chamase fluxo conexo com C ou fluxo concatenado com C φ S B n dS Se houver mais do que uma espira o fluxo conexo será calculado para a superfície total S O fluxo φ conexo em C pode variar com o tempo t Neste caso aparece no circuito uma força eletromotriz induzida fem induzida ε que segue as leis de Faraday 1831 e Lenz 1834 A Lei de Faraday afirma ε dφdt a Lei de Lenz afirma a conservação de energia de modo peculiar ao fenômeno os efeitos contrariam as causas Observadas as convenções usuais essas duas leis se resumem na fórmula d dt φ ε Lei de Faraday e Lenz ε força eletromotriz induzida V φ fluxo magnético Wb 57 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Observação Só haverá força eletromotriz induzida se o fluxo magnético variar com o tempo Se o fluxo magnético for constante a força eletromotriz induzida será nula Adotase arbitrariamente um sentido de percurso positivo no circuito C A corrente a favor do sentido positivo será positiva e a corrente oposta ao sentido positivo é negativa A superfície S aceita uma normal n unitária com sentido dado pela regra da mão direita ou do parafuso Esta regra é aplicada empunhandose n com a mão direita os dedos circundando n no sentido positivo de C e o polegar apontando o sentido de n Para as forças eletromotrizes FEMs adotase a convenção do gerador o sentido positivo da corrente em C aponta do terminal negativo para o positivo internamente n C i Figura 13 Convenções coerentes i 0 e n seguem a regra da mão direita ε 0 segue a convenção do gerador Saiba mais O Instituto de Física da USP dispõe de um portal de videoaulas com várias aulas abordando experiências sobre fluxo magnético lei de Faraday e suas aplicações além de vários tópicos sobre eletromagnetismo Veja no endereço MARQUES G da C FURUKAWA C Eletromagnetismo Tema 19 Aplicações do fenômeno da indução Experimento 4 Mini usina hidroelétrica Brasil USP sd 2 minutos Disponível em httpeaulas uspbrportalvideoactionidItem6073 Acesso em 19 jul 2017 54 Força eletromotriz variacional e mocional Os motivos pelos quais o fluxo φ pode variar são dois ou B varia com o tempo ou C se move ou se deforma podem ocorrer ambas as coisas ao mesmo tempo A força eletromotriz variacional εv ocorre pela variação de B com t a força eletromotriz mocional εm acontece pelo movimento dos elementos de C De fato 58 Unidade II S S S d d B n d S d t d t B d n d S B n d S t d t φ ε ε No circuito C seja P um ponto qualquer v sua velocidade e d o elemento de C em P Em duração dt o ponto P sofre o deslocamento dr v dt e o elemento d varre a área dn dS veja a figura a seguir dn dS dr x d I dn dS v dt x d I d n d S v x d l d t B d n d S B v x d l v xBd l d t C P d l d ndS v B dr Figura 14 O circuito C em duas datas próximas A equação a seguir assume a forma S C Bn d S v xBd l t ε Força eletromotriz variacional v S Bn d S t ε Força eletromotriz mocional εm C v x B d I Força eletromotriz resultante ε εv εm 59 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Observação A força eletromotriz mocional existe quando a área do contorno aumenta ou diminui com o tempo Se a área do contorno permanecer constante com o tempo a força eletromotriz mocional é nula Exemplo enrolamento de transformadores A Lei de Faraday 1831 da indução eletromagnética pode ser aplicada em qualquer contorno fechado C A força eletromotriz induzida mostra o campo elétrico impresso E i que é a circuitação sobre C no sentido positivo atribuído a C ε C E i d I Em circuito condutor o campo impresso impulsiona os portadores de cargas presentes caso de dínamo alternador transformador Em espaço vazio o contorno C pode ser uma linha de força do campo impresso que acelera partículas eletrizadas injetadas no campo como por exemplo o acelerador de partículas bétatron Quando o campo de indução magnética varia com o tempo surge um campo elétrico impresso E i O campo elétrico impresso possui as linhas fechadas e estas circundam as linhas de indução magnética B e viceversa Elas são concatenadas Saiba mais A indução eletromagnética revolucionou o mundo Dentre as várias aplicações podemos citar os geradores de tensão alternada os transformadores de tensão e de corrente que são utilizados na geração transmissão e distribuição de energia elétrica Veja no site SANTOS J C F dos Indução eletromagnética sd Disponível em httpeducacaoglobocomfisicaassuntoeletromagnetismoinducao html Acesso em 19 jul 2017 55 Força magnética sobre corrente elétrica Um fio condutor de comprimento L percorrido por corrente elétrica I imerso em campo magnético B fica sujeito à força magnética F dada por F IdL x B se B cte F IL x B 23 F ILBsenθ 24 se θ 90º F ILB 25 60 Unidade II 6 PRINCIPAIS APLICAÇÕES DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 61 Transformadores de tensão alternada Os transformadores monofásicos são amplamente utilizados em circuitos de alimentação residencial 110 ou 220 V os transformadores trifásicos na geração transmissão e distribuição de energia elétrica Eles desempenham o papel de elevar ou abaixar a tensão elétrica viabilizando a chegada da energia elétrica da usina hidrelétrica até o consumidor A energia gerada para abastecer o sistema elétrico industrial é trifásica na frequência de 60 Hz Na figura a seguir Arrabaça 2014 representa o diagrama de blocos simplificado de geração transmissão e distribuição de energia elétrica Geração de energia 22 kV a 20 kV Transmissão de energia 69 kV a 500 kV Distribuição primária 11 kV a 35 kV Distribuição secundária 110 V a 380 V Trafo 1 Trafo 2 Trafo 3 Figura 15 Geração transmissão e distribuição de energia elétrica A geração de energia elétrica é feita através de usinas geradoras que utilizam instalações hidráulicas eólicas térmicas e nucleares No Brasil 80 da energia elétrica gerada é hidrelétrica e 20 é térmica Como as usinas estão muito distantes dos centros consumidores é necessário elevar a tensão de 20 kV para o intervalo de 69 kV a 500 kV para diminuir a perda de potência Na figura esta elevação é feita pelo transformador 1 ou trafo 1 As linhas de transmissão transportam grandes potências desde a geração até os centros de consumo com segurança e confiabilidade As tensões mais usuais em corrente alternada nas linhas de transmissão são 69 kV 138 kV 230 kV 400 kV e 500 kV Ao chegar aos grandes centros de consumo a alta tensão de transmissão é reduzida para valores padrões através do trafo 2 entre 11 kV e 35 kV com a finalidade de percorrer as zonas urbanas com total segurança A responsabilidade desta redução é das subestações redutoras as quais são implantadas em locais apropriados e isolados da população A distribuição de energia elétrica urbana é feita a três fios e normalizada com tensão de 138 kV Para o consumidor residencial essa tensão é reduzida para 110 V ou 220 V eficazes para a indústria reduzida para 220 V ou 380 V eficazes com raras exceções de solicitações especiais através do trafo 3 Nesses casos utilizamse transformadores abaixadores de tensão que são fixados nos postes da linha de transmissão urbana Lembrete Os transformadores monofásicos e trifásicos permitem manter a potência da energia elétrica nas residências e indústrias 61 COMPLEMENTOS DE FÍSICA 62 Transformador monofásico ideal A Associação Brasileira de Normas Técnicas ABNT aceita a seguinte definição O transformador é um dispositivo que por meio da indução eletromagnética transfere energia elétrica de um circuito primário para um ou mais circuitos secundário terciário usando a mesma frequência e com valores de tensões e intensidades de correntes geralmente diferentes entre si ABNT 1993 A figura a seguir mostra sistema de alimentação monofásica com transformador Embora possa ser construído com mais de dois enrolamentos bobinas acoplados magneticamente o transformador monofásico típico possui apenas dois enrolamentos sendo um o enrolamento primário no qual é aplicada a tensão da fonte elétrica de alimentação e o outro o enrolamento secundário onde se encontra a carga a ser alimentada Fonte monofásica senoidal Carga Enrolamento primário Enrolamento secundário Núcleo ferromagnético V1 N1 N2 V2 I1 I1 Fluxo Φ Figura 16 Sistema de alimentação monofásica com transformador O sistema de alimentação mostrado na figura anterior pode ser representado pelo circuito elétrico da figura a seguir em que os bipolos são representados pelos seus símbolos elétricos e as tensões e as corrente pelos respectivos fasores de maneira a simplificar a representação do sistema elétrico e facilitar o seu equacionamento Circuito elétrico primário Circuito elétrico secundário I V Z I2 I1 V2 Vz Iz V1 Figura 17 Circuito elétrico do transformador monofásico 1 1 2 2 2 1 V N I r V N I 62 Unidade II 63 Transformador trifásico ideal O transformador trifásico é basicamente formado por três transformadores monofásicos arranjados conforme mostram os desenhos apresentados na figura a seguir elaborada por Arrabaça 2014 Conseguese uma grande economia com o uso do sistema trifásico de alimentação tanto no custo como no espaço ocupado quando se utiliza um só transformador trifásico no lugar de três monofásicos a Tipo coluna a Tipo encouraçado Figura 18 Representação do transformador trifásico em que os enrolamentos A B C D E e F representam os primários e os enrolamentos 1 2 3 4 5 e 6 representam os respectivos secundários A polaridade indicada em cada bobina define o sentido de enrolamento das espiras em torno do núcleo com o objetivo de facilitar as ligações ao fazer o fechamento do transformador obedecendo a uma determinada ligação que pode ser ligação em estrela ou em triângulo Como o transformador trifásico ideal é formado por três enrolamentos primários e três enrolamentos secundários respectivamente iguais entre si a equação que relaciona as tensões e as correntes com o respectivo número de espiras é a mesma utilizada para o transformador ideal monofásico levandose em consideração o número de enrolamentos indicado na equação a seguir que considera o primário A e B e o respectivo secundário 1 e 2 1 1 2 2 2 1 V N I r V N I 120º 120º 120º 120º 120º 120º VP V1 V2 V3 V4 wt Figura 19 Formas de ondas do sistema trifásico de tensão 63 COMPLEMENTOS DE FÍSICA 64 Gerador de tensão alternada A mais importante aplicação da indução eletromagnética é a geração da energia elétrica de alta potência que abastece os vários ramos das indústrias comércio e consumo doméstico ilumina as cidades e atende às demais necessidades da população O princípio de funcionamento de um alternador é a indução eletromagnética consistindo em quadro plano que gira dentro de campo magnético gerando corrente alternada Os alternadores são dispositivos que transformam energia mecânica em elétrica operando em ciclos Para movimentar as bobinas dentro do campo magnético utilizamse quedas de água usinas hidrelétricas vapor de água ou gases usinas térmicas e térmicas nucleares vento usinas eólicas etc Exemplo 1 O fluxo magnético de uma bobina varia com o tempo segundo o gráfico a seguir Construir o gráfico da força eletromotriz em função do tempo 0 4 4 6 t s Φ Wb Figura 20 Fluxo magnético em função do tempo Resolução Força eletromotriz no intervalo de tempo de 0 a 4 s 1 4 1V t 4 ε φ Força eletromotriz no intervalo de tempo de 4 a 10 s 2 2 4 2V t 2 φ ε 64 Unidade II 0 2 1 εV 4 6 t s Figura 21 Exemplo 2 Uma espira circular de raio r 80 cm resistência elétrica R 100 Ω e eixo de revolução Oz está imersa em um campo de indução magnética que varia com o tempo segundo a função B 4cosπtk T Determinar a o fluxo magnético em função do tempo b a força eletromotriz induzida em função do tempo c a corrente elétrica I em função do tempo d a potência dissipada em função do tempo x R r y B n z 0 Figura 22 Espira circular em campo magnético Resolução a O fluxo magnético é dado por φ sB n d S Como B não depende da área podese escrever φ B n S e n k φ 4 cosπtk k π r2 sendo S π r2 a área do disco e k k 1 65 COMPLEMENTOS DE FÍSICA φ 4 cosπt π 0802 φ 8042 cosπt Wb b A força eletromotriz ε é dada pela Lei de Faraday d dt ε φ a derivada do cosseno é dada por z cos u z sen u u ε π 8042senπt ε 2526senπtV c A corrente elétrica I em função do tempo pela Lei de Ohm ε R I I R 2526sen t I 100 I 02526sen tA ε π π d A potência dissipada no resistor é dada por P RI2 P 10002526senπt2 P 6384sen2πtw Exemplo 3 Duas espiras circulares coaxiais e coplanares têm raios R1 4 m e R2 04 m Calcular aproximadamente mútuaindutância do par R1 R2 i2 n il Figura 23 Mútua indutância 66 Unidade II Resolução Pela Lei de BiotSavart a corrente i1 na espira maior produz no centro o campo B 1 de intensidade 0 1 1 1 i B 2R µ Admitindo campo B 1 uniforme no círculo envolvido pela espira menor o fluxo concatenado com esta é 2 0 1 2 1 2 2 1 i B S 2 R R µ φ π Indutância 2 M i1 φ 2 0 2 1 R M 2 R µ π 7 2 4 10 04 M 2 4 π π 78956810 8 H M 7896 108 H Exemplo 4 A figura a seguir mostra duas barras fixas retas paralelas separadas por distância L e interligadas por uma resistência R A barra MN apoiase normalmente sobre as duas barras fixas sendo arrastada com velocidade v constante O sistema está imerso em um campo de indução B uniforme e estacionário Dados B 12 T R 80 Ω v 2 ms L 90 cm Determinar a a força eletromotriz induzida indicando a polaridade b a corrente induzida na barra c a força aplicada à barra R M N L B v Figura 24 Força eletromotriz induzida mocional 67 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Resolução a A barra se move com velocidade constante v O campo magnético B é constante e paralelo a normal n O fluxo magnético é dado por φ S B n dS φ B S Se a área S aumenta com o movimento da barra para a direita então o fluxo magnético concatenado é positivo e aumenta a corrente induzida opõese ao aumento de fluxo Lei de Lenz portanto produz campo B i contrário a B logo a corrente induzida circula de M para N a FEM induzida tem polaridade em M em N alternativa Regra de Fleming da Mão Direita Surgirá na barra uma força eletromotriz mocional εm C v x B dL vBL εm 21209 216 V R εm M N L I F B v Figura 25 Circuito elétrico equivalente R εm vBL I Figura 26 b 3 m 216 I 2710 A 27mA R 80 ε c Nessa corrente o campo B exerce força F oposta à velocidade v sua intensidade é F ILB F 27103 09012 2916102 N Exemplo 5 Na figura a seguir representamse dois trilhos metálicos verticais fixos separados por distância L sobre os quais pode deslizar sem atrito uma barra metálica MN de massa m O sistema está 68 Unidade II sujeito ao campo de gravidade g e ao campo de indução B uniforme estacionário normal ao plano dos trilhos As extremidades superiores dos trilhos são interligadas por uma resistência R de resto não há resistência A barra é abandonada em repouso no instante inicial em seguida ela cai em translação Determinar a a velocidade da barra em função do tempo b a velocidade limite c gráfico da velocidade em função do tempo R M N L B g eixo Figura 27 Barra em queda Resolução a O campo B é uniforme e constante Durante a queda a área do contorno C vai aumentando com o tempo e consequentemente o fluxo concatenado também aumenta A corrente induzida na barra opõese ao aumento de fluxo Lei de Lenz portanto produz campo B i contrário a B logo a corrente induzida circula de N para M a FEM induzida tem polaridade em N e em M A força eletromotriz é mocional e é dada por εm C v x B dL vBL R εm M N B F g P Figura 28 69 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Circuito elétrico equivalente R εm vBL I m vBL I R R ε Figura 29 Força magnética no condutor F IL x B F ILB M N v F eixo mg m dv dt Figura 30 Lei Fundamental da Dinâmica 2 2 2 2 2 2 v t v 0 0 0 At At F ma P F ma dv vBL dv mg ILB m mg LB m dt R dt B L dv B L dv mg v m m g v R dt mR dt B L dv ChamandoA g A v mR dt dv dv 1 dt dt ln g A v t g Av g Av A g A v ln g A v lng At ln At g g A v g e v 1 e g A 70 Unidade II b A partir do repouso a velocidade aumenta com aceleração decrescente A aceleração tende a zero e a velocidade tende ao limite lim g v A lim Para t 0 v 0 condição inicial g Para t v A c Gráfico da velocidade em função do tempo V Vlim 0 t Figura 31 Exemplo 6 A barra condutora AB tem massa m resistência r e está se deslocando com velocidade constante v 0 sob a ação da massa M do gerador G e de um campo de indução uniforme B Desprezar o atrito da barra com os trilhos Determinar a a corrente no circuito b a força eletromotriz E do gerador e respectiva polaridade c a velocidade limite atingida pela barra quando o fio que sustenta a massa M é cortado R A T P B L i j k E Fm T P M Figura 32 Barra se movendo em campo magnético 71 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Dados R 2Ω r 2Ω m 3 kg M 3 kg B 15 k T L 05 m v 0 200 i ms g 10 k ms2 Resolução a Fm P I L B M g 3 10 I 05 15 I 40 A b εm BLv0 E I R 2Ω r 2Ω E 4 I B L v0 0 E 4x40 15x05x200 E 10 V 2Ω 10 V Figura 33 c E4IBLv0 Fm 0 v vlim I 0 vlim E B L lim 10 v 15 05 vlim 133 ms 72 Unidade II Exemplo 7 Na figura a seguir entre os planos x 0 e x 050 m há um campo de indução B B k O coeficiente B varia com x conforme gráfico anexo Uma espira retangular ABCD que tem resistência elétrica R 4 Ω lados a 1 m e b 08 m apoiada no plano z 0 transladase com velocidade constante v 50 i ms No instante inicial o lado AB coincide com o eixo Oy exceto a força magnética a resultante das forças exercidas na espira F t desconhecida Considerar o intervalo de tempo 010 s t 010 s Pedese a exprimir Bx deduzir a FEM induzida εt e a corrente it Dar a polaridade da FEM e o sentido da corrente Fazer gráfico cartesiano t i cotado b exprimir F t e o trabalho τ dessa força até a data t c exprimir a potência P dissipada na espira e a energia elétrica W dissipada até a data t Comentar o resultado 0 C B A v b a 050 050 B tesla 20 x m x m z 0 y m B Figura 34 Indução mocional Resolução a Do gráfico B 20 40 x SI Abcissa do lado AB x 50 t A FEM é induzida a partir da data zero e no lado AB somente B 20 40 x 50 t B 20 x 1 10 t 73 COMPLEMENTOS DE FÍSICA ε v B b 50 x 20 x 1 10 t x 080 ε 80 x 1 10 t i R ε i 20 x 1 10 t O sentido resulta da RFMD Regra de Fleming da Mão Direita i A i A E xm ts iA 20 a4 0 B 050 010 a5 010 0 Figura 35 b Força magnética 2 2 2 m v B b F i b B 080B R O sentido resulta da RFME Regra de Fleming da Mão Esquerda F m 32 x 1 10 t2 A velocidade é constante logo F F m 0 F 32 x 1 10 t2 74 Unidade II Trabalho dτ F x dP F dx dτ 32 x 1 10 t2 x 50 dt τ 16 x t 0 1 10 t2 dt 3 8 1 1 10t 15 τ c Potência dissipada P i2 R P 16 x 1 10 t2 Energia W t 0 P dt 16 x t 0 1 10 t2 dt W τ A energia elétrica dissipada é igual ao trabalho de acionamento Princípio de Conservação de Energia Exemplo 8 Na figura a seguir uma bobina retangular chata tem lados a e b N espiras e gira com frequência f em campo de indução B uniforme estacionário normal ao eixo Pedese a deduzir a FEM induzida b exemplo B 05 T f 60 Hz Nab 080 m2 B B B Data zero Data t wt w n n n w θ eixo Figura 36 Alternador 75 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Resolução a Fluxo concatenado BN a b cos B N a b cos 2 w t π φ θ φ B N a b sen ωt ω 2π f Lei da Indução d dt B N a b cos t φ ε ω ω ou ε εm cos ωt sendo a força eletromotriz máxima εm 2π f B N a b b Caso numérico εm 2π f B N a b cos ωt εm 2π 60 08 cos 2π 60t εm 150 cos 377t V Exemplo 9 Uma barra metálica perpendicular aos trilhos e de massa m desliza sem atrito sobre dois trilhos retos e paralelos fixos em um plano horizontal separados de L O conjunto está imerso em um campo de indução magnética B uniforme vertical conforme figura a seguir O gerador possui força eletromotriz constante ε e resistência total R constante No instante inicial a barra é abandonada em repouso Pedese a estabelecer a equação diferencial do circuito b estabelecer a equação diferencial do movimento da barra c depois de muito tempo a velocidade e a corrente tornamse praticamente constantes Calcular estas grandezas no limite 76 Unidade II L ε B Figura 37 Indução magnética Resolução a O fluxo magnético é dado por φ B S Se a área S aumenta com o movimento da barra para a direita então o fluxo magnético concatenado aumenta e o campo magnético resultante deve diminuir a corrente induzida opõese ao aumento de fluxo Lei de Lenz Surge na barra uma força eletromotriz indicada na figura L ε B Fm εm Figura 38 Surgirá na barra uma força eletromotriz mocional Circuito elétrico equivalente εm C v x B dL vBL R εm vBL I Figura 39 77 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Aplicando a Segunda Lei de Kirchhoff Em percurso fechado a soma algébrica das tensões é igual a zero temse i m V 0 Ri 0 Ri vBL 0 Ri vBL 0 ε ε ε ε b Aplicandose a Segunda Lei de Newton à barra m F ma dv dv F m iLB m dt dt dv LBi dv LB LBv dt m dt mR ε c V constante lim lim dv LB 0 LBv 0 dt mR LBv 0 v LB LB RI 0 i 0 LB ε ε ε ε ε Exemplo 10 Um plano inclinado forma ângulo θ com o horizonte como pode ser visto na figura a seguir Fixamse no plano inclinado dois trilhos metálicos separados por distância L na base do plano os trilhos são interligados por um condutor de resistência R Nos trilhos apoiase uma barra metálica reta tendo massa m A barra os contatos e os trilhos possuem resistência elétrica desprezível O sistema está imerso no campo de gravidade g e em um campo de indução B uniforme e vertical Abandonada em repouso a barra desliza rampa abaixo Desprezar o atrito Pedese a considerando as forças agentes deduzir a velocidade terminal velocidade limite da barra b demonstrar a conservação da energia no processo à velocidade limite 78 Unidade II B M L V R θ N Figura 40 Força eletromotriz mocional Resolução a Se a área S diminui com o movimento da barra para baixo então o fluxo magnético concatenado diminui e o campo magnético resultante deve aumentar a corrente induzida opõese ao aumento de fluxo Lei de Lenz Surge na barra uma força eletromotriz indicada na figura B M I εm V R θ N Fm cosθ m g senθ θ θ Fm mg N m v xBL LBvcos LB cos v ε θ θ Figura 41 79 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Considerando o circuito elétrico equivalente e aplicandose a segunda Lei de Kirchhoff temse R εm vBL I Figura 42 m v xBL LBvcos LB cos v Ri 0 LBcos v Ri 0 LBcos i v R ε θ θ ε θ θ x m lim lim 2 2 2 lim lim 2 2 2 Aplicando a Segunda Lei de Newton dv F m dt dv mgsen F cos m dt dv mgsen iLBcos m dt dv mg 0 v v e i i tg dt LB L B cos mgsen v R mgRsen v L B cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ b Conservação da energia 2 2 el lim 2 2 2 el 2 2 mec m mec lim lim mec 2 2 2 2 2 2 mec 2 2 el mec mg P Ri R tg LB m g R P tg L B P Fv F cos v P i LBcos v mgtg LBcos mgRsen P LB L B cos m g R P tg L B P P 0 θ θ θ θ θ θ θ θ θ 80 Unidade II 2 2 el lim 2 2 2 el 2 2 mec m mec lim lim mec 2 2 2 2 2 2 mec 2 2 el mec mg P Ri R tg LB m g R P tg L B P Fv F cos v P i LBcos v mgtg LBcos mgRsen P LB L B cos m g R P tg L B P P 0 θ θ θ θ θ θ θ θ θ Exemplo 11 Uma espira retangular de lados a e b sempre apoiada no plano x0y transladase com velocidade v v j conforme a figura a seguir No instante inicial o lado dianteiro da espira transpõe o eixo 0x e penetra em um campo de indução B B k estacionário e com intensidade B c y Pedese a adotando a convenção do esquema exprimir a força eletromotriz induzida b esboçar o diagrama cartesiano t FEM y x a b v 0z B Figura 43 Quadro em translação Resolução a Fluxo magnético e força eletromotriz induzida 2 2 2 2 d BndS d cykkbd y d cybd y y vt dy vdt d cbv tdt d a cbv cbv t a vt t dt v cbv a cbv a v φ φ φ φ φ ε ε ε 81 COMPLEMENTOS DE FÍSICA b Gráfico da força eletromoriz FEM em função do tempo a b c v ε t a v Figura 44 Exemplo 12 Um campo de indução magnética uniforme em cada instante varia com o tempo segundo a lei m ˆ B B sen tk ω sendo Bm 40 T e ω 360π rads Nesse campo situase uma espira circular tendo raio r 15 m eixo de revolução 0z e resistência elétrica R 160 Ω Pedemse a fluxo magnético b força eletromotriz induzida na espira c corrente elétrica induzida d potência dissipada no resistor Resolução a Fluxo magnético 2 S 2 2 BndS BnS 4sen360 tk r k 4 r sen360 t 4 15 sen360 t 2827sen360 tWb φ π π φ π π φ π π φ π b Força eletromotriz induzida 4 d dt 2827360 cos360 t 319810 cos360 tV φ ε ε π π ε π 82 Unidade II c Corrente elétrica induzida na espira 4 i R 319810 i cos360 tV 160 i 200cos360 tA ε π π d Potência dissipada no resistor 2 2 6 2 P RI P 160 200cos360 t P 6410 cos 360 tw π π Exemplo 13 A barra condutora AB de massa m 20 kg comprimento L 10 m e resistência R 5 Ω permanece em equilíbrio na situação indicada na figura 43 sustentando o bloco de massa M 180 kg O campo de indução magnética B vale 10 T e g 10ms2 Determinar a o valor E da força eletromotriz da bateria b a equação da velocidade da barra após o fio que sustenta o bloco ter sido cortado c a velocidade limite da barra M A E B B g R 20Ω Figura 45 Barra em queda 83 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Resolução a A barra está em equilíbrio M A E Io Fm m Mg B B g R 20Ω Figura 46 m 0 0 0 P F m Mg I LB m Mg 2 1810 I LB 11 I 200A Circuito elétrico equivalente Io R 20Ω R 5Ω E Figura 47 E R rI0 20 5200 E 5000 V 84 Unidade II b Cortandose o fio a barra vai subir A E I Fm B B R 20Ω P mg εm vBL Figura 48 Aplicandose a Segunda Lei de Newton R m F ma dV F P m dt dv ILB mg m m dt LB dv I g 1 m dt Circuito elétrico equivalente I R 20Ω εm vBL R 5Ω E Figura 49 malha m m V 0 E R rI 0 E I 2 R r ε ε 85 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Substituindo a equação 2 em 1 m v t v t 0 0 0 0 dv LBE dv 115000 11v g 10 dt mR r 220 5 dt dv dv dv 100 002v 10 90 002v dt dt dt 90 002v dv 1 dt ln90 002v t 90 002v 002 ε 002t 002t 002t 002t 002t 90 002v ln90 002v ln90 002t ln 002t 90 90 002v e 90 002v 90e 90 90 002v 90 90e v 1 e 002 v 45001 e c Velocidade limite 002 lim lim lim Para t temse v 45001 e v 45001 0 v 4500 ms Exemplo 14 Uma bobina retangular geradora de tensão alternada tem as dimensões a e b e N espiras A bobina está ligada a anéis coletores e gira com velocidade angular num campo magnético uniforme B Pedese a mostrar que a diferença de potencial entre os dois anéis coletores é ε ωNBabsenωt b se a 40 cm b 20 cm N 50 e B 25 T em que frequência angular ω a bobina deve girar a fim de gerar uma força eletromotriz cujo valor máximo é 220 V B b ε ω a N espiras Figura 50 Alternador 86 Unidade II a Força eletromotriz induzida SBndS BnS BScos BScos t t sendo N número de espiras NBabcos t Lei de Faraday d NBabsen t dt φ θ φ ω θ ω φ ω ε φ ε ω ω b Frequência angular max max 2 2 NBab 220 NBab 5025 410 210 2200 rads ε ω ω ε ω Exemplo 15 Uma espira retangular de 10 cm por 50 cm com resistência de 2 Ω passa através de uma região de campo magnético uniforme B 20 T com velocidade escalar constante v 20 cms O lado frontal da espira entra na região do campo magnético no instante t 0 Pedese a calcular o fluxo através da espira em função do tempo e fazer o gráfico respectivo b calcular a força eletromotriz induzida e a corrente na espira em função do tempo e fazer os gráficos correspondentes B 5 cm 10 cm 20 cm X Figura 51 Indução eletromagnética 87 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Resolução a O fluxo magnético é dado por 2 2 3 BS Bax Bavt 2510 210 t 210 t Wb 0 t 5s φ φ φ 10 x 103 0 5 ts φWb Figura 52 b 3 d 210 V 2mV dt 2 i 10mA R 2 ε φ ε 5 0 0 2 10 5 ts ts εmV I mA Figura 53 Exemplo 16 Uma barra condutora AB de resistência desprezível está em contato com as guias metálicas CA e DB também de resistência nula A resistência R vale 08 Ω e o circuito encontrase em um campo magnético uniforme B 25 T perpendicular ao plano da figura Quando a barra se desloca para a direita com velocidade V 4 ms constante calcule 88 Unidade II B C A D B L 20 cm Figura 54 Força eletromotriz mocional a a FEM induzida b a intensidade de corrente que se estabelece no circuito e o seu sentido c a intensidade da força magnética Resolução a ε v B L 4 25 02 2V b IεR 208 25 A sentido de B para A c FI L B 25 02 25 125 N contrária ao movimento Exemplo 17 Uma espira circular de área 1 m2 é colocada em um campo magnético O campo mantémse perpendicular ao plano da espira porém sua intensidade diminui uniformemente à razão de 2 T por segundo Calcule a intensidade de corrente que circula pela espira se sua resistência elétrica vale 4 Ω Resolução 2 2 B S 2 2t r 2 2t 1 2 t 2 628 t 628 d 628 628V dt 628 I 157A R 4 φ π π φ π π φ ε φ ε ε ε 89 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Exemplo 18 Uma bobina chata é formada de 200 espiras de 4 cm de raio e está colocada em um campo magnético uniforme Determine a FEM induzida nesta bobina se a intensidade do campo perpendicular ao plano das espiras varia de 001 T a 0 em 1 segundo Resolução S 2 2 NBndS NB S 200001 001t 410 1001 001t d dt 001 10mV φ φ π φ φ ε ε ε Resumo Nesta unidade foi visto que o campo magnético pode ser gerado por ímãs ou corrente elétrica O campo magnético gerado por ímãs é constante O campo gerado por correntes elétricas pode ser constante corrente contínua ou variável corrente alternada O campo magnético produz fluxo magnético através de uma área O circuito que conduz uma corrente elétrica e as linhas de indução criadas por essa corrente se enlaçam mutuamente como os elos de uma corrente cadeia catena portanto eles são concatenados Para dois circuitos elétricos postos em presença verificase que é constante para o sistema a relação M entre o fluxo concatenado com qualquer dos circuitos e a corrente no outro circuito a grandeza assim obtida é denominada coeficiente de mútua indutância M do sistema Para um circuito o fluxo é concatenado com o mesmo autoconcatenado produzindo autoindutância L Faraday 1831 descobriu experimentalmente a indução eletromagnética Se o fluxo magnético variar com o tempo haverá força eletromotriz induzida em um contorno fechado C Por sua vez Lenz 1834 mostrou a conservação da energia no processo mostrando que os efeitos contrariam as causas Estas duas leis se resumem na fórmula 90 Unidade II S d e BndS dt ε φ φ O fluxo magnético φ pode variar por dois motivos ou B varia com o tempo gerando a força eletromotriz variacional ε V ou o contorno C se move ou se deforma produzindo a força eletromotriz mocional ε m Podem ocorrer ambas as coisas simultaneamente Força eletromotriz variacional t n d S B S v ε Através da Lei de Faraday 1831 foi possível gerar energia elétrica de grande potência e até hoje se usa esta lei nas usinas hidrelétricas térmicas nucleares e eólicas A indução eletromagnética também é usada em transformadores que permitem elevar e baixar a tensão elétrica conforme a necessidade A geração transmissão e distribuição de energia elétrica utilizam fortemente os transformadores Exercícios Questão 1 Uma espira circular de raio r 1 m resistência elétrica R 200 Ω eixo de revolução Oz está imersa em um campo de indução magnética que varia com o tempo segundo a função B 4cos2πt k T Determinar O fluxo magnético em função do tempo A força eletromotriz induzida em função do tempo A corrente elétrica I em função do tempo A potência dissipada em função do tempo 91 COMPLEMENTOS DE FÍSICA x R r y B n z 0 Figura 55 Espira circular em campo magnético A φ 0395cos2πtWb ε 7898sen2πt I 0395senπt e P 31205sen22πt B φ 1257cos2πtWb ε 7898sen2πt I 0395sen2πt e P 31205sen22πt C φ 1257cos2πtWb ε 7898senπt I 0395cos2πt e P 31205cos22πt D φ 1257cos2πtWb ε 1257sen2πt I 0395sen2πt e P 31205sen22πt E φ 1257cos2πtWb ε 7898sen2πt I 0395sen2πt e P 31205sen2πt Resposta correta alternativa B Análise da questão O fluxo magnético é dado por φ S B n dS como B não depende da área podese escrever φ B n S e n k φ 4cos2πtk k πr2 sendo S π r2 a área do disco e k k 1 φ 4cos2πt π12 φ 1257cos2πtWb A força eletromotriz ε é dada pela Lei de Faraday d dt φ ε A derivada do cosseno é dada por z cos u z sen u u 92 Unidade II ε 2π 1257sen2πt ε 7898sen2πt A corrente elétrica I em função do tempo é dada pela Lei de Ohm ε R I I R ε 7898 sen2 t I R 200 π ε I 0395sen2πt A potência dissipada no resistor é dada por P RI2 P 200 0395sen2πt2 P 31205sen22πt Questão 2 Uma espira retangular de lados perpendiculares medindo 30 cm e 40 cm resistência elétrica R 50 Ω eixo de revolução Oz está imersa em um campo de indução magnética que varia com o tempo segundo a função B 10cos4 tkT π A corrente elétrica induzida na bobina em função do tempo vale A I 2827 sen4πtA B I 4 sen4πtA C I 030 sen4πtA D I 02827 sen3πtA E I 12 cos4πtA y x z 03 m 04 m B n 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