Ondas Eletromagnéticas: História, Descobertas e Aplicações

93 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Unidade III 7 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E SUAS CARACTERÍSTICAS 71 Ondas eletromagnéticas 711 Introdução e descoberta A existência das ondas eletromagnéticas foi prevista há aproximadamente 150 anos por um importante físico escocês chamado James Clerk Maxwell Em seu trabalho intitulado Teoria Dinâmica do Campo Eletromagnético MAXWELL 1865 de 1865 Maxwell apresentou 20 equações matemáticas que se tornariam a base do eletromagnetismo clássico As equações descreviam de modo quantitativo muitas das ideias propostas anteriormente por Michael Faraday como o conceito de linhas de força campos elétricos e magnéticos entre outras Além disso propunha a existência das até então desconhecidas ondas eletromagnéticas Algumas décadas depois em 1887 Heinrich Hertz um físico alemão seria o primeiro a comprovar na prática a existência de tais ondas Hertz produziu em seu laboratório os primeiros receptores e transmissores de ondas de rádio Mostrou que elas possuíam características necessárias para serem consideradas ondas eletromagnéticas como a velocidade de propagação caráter transversal etc NUSSENZVEIG 1997 Figura 56 Da esquerda para a direita os retratos de James Maxwell e Heinrich Hertz 94 Unidade III Atualmente mais de um século após sua descoberta as ondas são amplamente utilizadas em nossa tecnologia sendo fundamentais para a forma como vivemos Ondas são utilizadas para a comunicação via celular transferência de dados via internet no rádio e na televisão entre outras aplicações A luz visível os raios X e até mesmo as radiações emitidas por outros astros e estrelas mais distantes do nosso planeta são também outros tipos de ondas eletromagnéticas Figura 57 Dispositivos eletrônicos presentes no dia a dia e que fazem uso de ondas eletromagnéticas O objeto do estudo são as ondas eletromagnéticas É importante que ao final você seja capaz de compreender o que são como são produzidas e quais as suas características além de que tenha certa intuição de como podem ser aplicadas em tecnologia 712 O problema da folha e da pedra no lago Para compreendermos como as ondas eletromagnéticas são formadas e o que são exatamente considere o seguinte experimento mental aparentemente sem qualquer conexão com nossos estudos Imagine uma folha flutuando sobre a superfície de uma lagoa em um dia sem vento A superfície do lago se encontra totalmente estática como um espelho dágua Agora imagine que uma pedra relativamente pequena cai próxima a folha conforme esquematizado na figura a seguir Poderíamos nos indagar se a folha no instante em que a pedra toca a superfície da água já sente a sua queda Naturalmente a resposta seria negativa visto que primeiro perturbações na superfície do lago seriam produzidas e se propagariam em todas as direções Somente quando as perturbações denominadas ondas alcançassem a folha é que esta sentiria os efeitos da queda da pedra 95 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Ondas se deslocando na lagoa Folha flutuando Pedra que caiu na lagoa Lagoa Figura 58 Esquema mostrando um lago estático com uma folha flutuando A partir do momento que uma pedra cai esta perturba a superfície formando ondas A folha somente sofre os efeitos da queda da pedra quando as ondas a alcançam Antes disso ela se comporta como se nada tivesse ocorrido O problema da pedra e da folha no lago pode ser usado como analogia no nosso estudo Considere agora um problema fictício de cunho didático Uma partícula carregada positivamente muito distante de qualquer outro portador de carga permanece totalmente estática e isolada no Universo similar à folha Imagine mesmo que impossível que outro portador de carga de sinal contrário fosse criado próximo à primeira partícula como a pedra que cai no lago Como as partículas possuem cargas de sinais diferentes uma força de atração seria verificada Nesse ponto é possível levantar uma relevante questão O primeiro portador de carga sente a força de atração instantaneamente após a criação da segunda partícula Antes de solucionarmos essa questão é necessário compreendermos como os portadores de carga sentem a presença de outros A interação entre eles é mediada pelos seus campos eletromagnéticos Assim somente quando as partículas são imersas nos campos das outras é que ocorre a interação A fim de visualizarmos esse processo observe como são as linhas de campo elétrico produzidas por partículas estáticas e carregadas Figura 59 Esquema mostrando a direção das linhas de campo de portadores de cargas de sinal positivo e negativo Note que as cargas positivas se comportam como fonte de linhas de campo enquanto as cargas negativas se comportam como sorvedouros As linhas de campo não permanecem paradas mas saem constantemente das cargas positivas e entram constantemente nas cargas negativas 96 Unidade III As linhas de campo indicam a direção da força que uma carga teste positiva sofreria ao ser colocada próximo às partículas Perceba que as linhas sempre apontam na direção radial pois repelem ou atraem outros portadores de carga pelo caminho mais rápido possível As cargas positivas são ditas fontes enquanto as negativas são denominadas sorvedouros Isso porque as linhas de campo devem ser imaginadas como estruturas dinâmicas Os portadores de carga positiva emitem continuamente suas linhas de campo para que se dispersem no espaço Já as cargas negativas funcionam como sorvedouros ou seja atraindo todas as linhas de campo Para o exemplo fictício discutido anteriormente verificaríamos então a propagação das linhas de campo conforme o esquema a seguir Quanto maior o tempo após a criação da segunda partícula maior seria o alcance do campo dessa carga O campo se propagaria em todas as direções como as ondas produzidas pela pedra na lagoa e poderíamos identificar o alcance máximo para cada instante de tempo sendo esta região limite denominada frente de onda I II T3 T2 T1 Figura 60 Esquema mostrando a propagação do campo elétrico de uma carga puntiforme Inicialmente após um intervalo de tempo Dt1 o alcance das linhas de campo ocorre na circunferência menor Conforme o tempo passa as linhas de campo se propagam de modo que o alcance do campo também aumenta com o tempo Note que as circunferências representam as frentes de onda que transmitem informação pelo espaço Somente quando a frente de onda do portador de carga II alcança a partícula I é que estas irão apresentar repulsão Este exemplo apresenta conceitos básicos de como partículas carregadas interagem e fornece uma visão elementar do significado de uma onda elétrica mas é baseado em uma situação impossível Sendo assim passemos a focar nossos estudos em casos mais reais 713 Linhas de campo de portadores de carga em movimento Considere novamente o exemplo de duas cargas de sinais opostos A carga negativa se mantém parada e presa em sua posição inicial enquanto a carga positiva parte em movimento até que rapidamente atinge uma velocidade constante O movimento se dá na direção perpendicular a aquela que une as partículas conforme esquematizado a seguir Considere que ambas as partículas estavam previamente imersas nos campos das outras antes do início do movimento Vamos analisar o comportamento das linhas de campo da partícula em movimento 97 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Partícula presafixa ν Figura 61 Esquema mostrando a configuração de cargas analisada A partícula carregada positivamente se desloca na direção perpendicular à direção que a une a partícula carregada negativamente A partícula de sinal negativo permanece fixa ou presa em sua posição original Primeiramente é importante perceber que no espaço isolado de tudo seria impossível discernir se uma partícula se desloca com velocidade constante ou se nós é que nos deslocamos com velocidade constante em relação à partícula Assim seria natural esperar que as linhas de campo nestes dois casos estática e em movimento uniforme fossem similares De fato na prática isso é verificado e as linhas de campo sempre apontam na direção radial É possível interpretar esse resultado como uma inércia adquirida pelo campo As linhas se deslocam juntamente com a partícula carregada que a gerou quando em movimento uniforme Uma analogia possível é a de quando observamos insetos que viajam dentro de um carro Mesmo quando voam eles mantêm a velocidade do carro e se deslocam junto com ele O comportamento descrito anteriormente no entanto não é válido para partículas aceleradas Quando uma partícula carregada acelera as linhas de campo que haviam sido emitidas anteriormente não aceleram junto com a partícula que a gerou Consequentemente elas acabam por apontar em uma direção em que a partícula não ocupa mais conforme esquematizado na sequência Figura 62 Esquema mostrando as linhas de campo elétrico de uma carga que inicialmente estava parada e acelera rapidamente a uma velocidade constante Na posição inicial indicada pela cor azul as linhas de campo eram radiais e apontavam para a partícula da cor azul que representa a posição inicial da partícula Em preto é indicada a partícula já em movimento uniforme Esta também apresenta linhas de campo na direção radial Note que as posições das partículas antes e depois do movimento acelerado não coincidem pois quando a partícula acelera está se deslocando em relação às linhas de campo da partícula estática As linhas em vermelho são formadas durante a aceleração da partícula e são denominadas ondas pois se propagam pelo espaço infinito mantendo sua forma 98 Unidade III Após o término da aceleração a partícula se desloca em relação às linhas de campo emitidas anteriormente a partir de sua posição estática As novas linhas de campo readquirem o comportamento radial já em movimento uniforme novamente Verificase que as linhas de campo de antes e depois da aceleração não apontam para a mesma posição e não se ligam diretamente por extensão Como estas são sempre contínuas ao ligarmos as linhas verificamos uma curva que não aponta na direção radial O formato da curva traz informações referentes à intensidade direção e sentido da aceleração da partícula A região curva das linhas de campo é o que denominamos radiação eletromagnética A radiação eletromagnética se propaga pelo espaço de modo similar à onda produzida no lago sendo uma perturbação no formato natural das linhas de campo A radiação é gerada pelo movimento acelerado de partículas carregadas Saiba mais Para melhor visualização da propagação da radiação no espaço conforme exemplificado anteriormente acesse o endereço eletrônico a seguir Uma excelente animação mostra o fenômeno ELECTROMAGNETIC field of an accelerated charge sd Disponível em httpwwwtapircaltechedutevietWavesempulsehtml Acesso em 19 jul 2017 A radiação eletromagnética possui características muito importantes que serão discutidas na sequência mas antes perceba que a forma da radiação depende do movimento da partícula Para uma partícula que executa movimento harmônico simples o movimento se inicia de modo acelerado e a partir da metade do percurso começa a desacelerar Como consequência uma onda é formada apresentando o seguinte formato Figura 63 Para uma partícula carregada em movimento harmônico simples ou seja que sobe e desce ciclicamente a onda gerada apresenta formato senoidal 99 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Devido à forma da radiação se repetir ao longo do espaço esta é denominada onda eletromagnética O campo gerado embora variável e com um comportamento senoidal apresenta neste caso sempre a mesma polaridade sinal pois a partícula que a criou tem sinal positivo Surge então a seguinte pergunta Como poderíamos criar uma onda que alterne a polaridade Com características como as que verificamos nas linhas de transmissão em nosso dia a dia 714 Dipolo elétrico oscilante Uma possível configuração que permite a obtenção de ondas de comportamento senoidal e que alternam sua polaridade é a de um dipolo elétrico Um dipolo nada mais é do que uma configuração em que temos um portador de carga positivo e um negativo fixos em suas posições e separados por uma pequena distância Figura 64 Linhas de campo formadas por um dipolo elétrico Nesta configuração as linhas de campo são tais como as apresentadas na figura anterior Se uma partícula carregada positivamente for abandonada a partir do repouso próxima ao dipolo esta se deslocará ao encontro da partícula negativa independentemente da posição inicial Note ainda que para posições equidistantes das duas partículas ou seja em qualquer ponto de sua mediatriz o campo elétrico sempre apontará na mesma direção que une as partículas conforme esquematizado a seguir O campo resultante é indicado na figura a seguir pelo vetor E Q Q a a r P E2 E1 E r d a Figura 65 Esquema mostrando que o campo elétrico resultante na direção horizontal é nulo em qualquer ponto equidistante das partículas que compõem o dipolo elétrico 100 Unidade III Suponha agora que as partículas do dipolo elétrico trocassem de posição no instante t 0 Verificaríamos a formação de um pulso de onda tal qual o representado abaixo Inicialmente o campo resultante apontava para baixo mas após a troca de posição o campo passa a apontar para cima Perceba que as linhas de campo geradas pela configuração anterior continuam a se propagar pelo espaço As intensidades do campo elétrico do dipolo diminuem com a distância sendo possível mostrar que caem com um fator 1r3 onde r é a distância em relação à mediatriz E Tempo Frente de onda Instante de inversão de posição Figura 66 Esquema mostrando a onda gerada por um dipolo elétrico que inverte de posição Note que o campo apontava inicialmente para baixo pois a partícula carregada positivamente permanecia em cima e a negativa em baixo Devido à inversão a polaridade do campo também se inverte Ou seja uma mudança de polaridade no campo elétrico ocorre devido à troca de posição entre as partículas Se executássemos uma contínua rotação das partículas em relação ao eixo horizontal observaríamos então formação da seguinte onda E Tempo Figura 67 Esquema mostrando a onda gerada por um dipolo elétrico oscilante que inverte de posição continuamente devido a um movimento de rotação 102 Unidade III De modo similar Maxwell apresentou em seu trabalho de 1865 o fenômeno que chamamos de indução elétrica Uma variação do campo elétrico com o tempo também produziria um campo magnético induzido que se propagaria pelo espaço A intensidade do campo magnético induzido é proporcional à variação do campo elétrico com o tempo conforme a Lei de AmpèreMaxwell Ele 0 0 0 Bdl I t Φ µ µ ε Onde B é a intensidade do campo magnético induzido m0 é a permeabilidade magnética do vácuo e0 é a permissividade elétrica do vácuo e ΦEle é o fluxo de campo elétrico A equação relaciona a intensidade do campo magnético induzido com a corrente elétrica e a taxa de variação do campo elétrico Assim quanto maior a variação do campo elétrico com o tempo mais intenso é o campo magnético induzido De modo similar quanto mais intensa for uma corrente elétrica maior será a intensidade do campo magnético associado Com a versão ampliada da Lei de Ampère proposta por Maxwell as ondas eletromagnéticas automaticamente passaram a se tornar possíveis teoricamente Analisemos o caso da onda formada pelo dipolo oscilante para exemplificar essa afirmação Conforme foi mostrada devido à oscilação do dipolo elétrico uma variação do campo elétrico com o tempo ocorre continuamente figura 67 Essa variação do campo elétrico promove segundo a Lei de Maxwell a formação de um campo magnético induzido A intensidade do campo magnético induzido no entanto também muda com o tempo Lembrando que a Lei de Faraday mostra que uma variação do campo magnético promove a criação de um campo elétrico induzido temos então a produção de outro campo elétrico desacoplado em relação à carga que a gerou Com isso os campos induzidos elétricos e magnéticos se propagam pelo espaço se autossustentando A intensidade desses campos depende do movimento da partícula que os gerou e no caso do dipolo oscilante apresenta a seguinte forma z y B V E x Figura 69 Onda eletromagnética plana Note que o campo elétrico e magnético são perpendiculares e estão em fase Quando o campo elétrico é máximo o magnético também é máximo Quando o campo elétrico é nulo o magnético também é nulo Ou seja a propagação das ondas ocorre de modo desacoplado em relação à partícula em movimento que as gerou mas apresenta informações referentes ao movimento realizado no momento de sua criação A propagação se dá por meio da interação entre os campos elétricos e magnéticos de cargas aceleradas cujas linhas de campo são deformadas devido ao movimento 103 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Embora ligeiramente diferentes os dínamos utilizam o mesmo conceito para promover a geração de correntes alternadas Um campo magnético variável produz um campo elétrico induzido que consequentemente gera um campo magnético desacoplado propagando a onda por um condutor 72 Características das ondas eletromagnéticas As equações de Maxwell permitem inferir que existem duas classes de ondas eletromagnéticas possíveis as esféricas e as planas As ondas esféricas seriam aquelas nas quais as frentes de ondas se deslocam em todas as direções no espaço tridimensional enquanto as ondas planas se deslocam apenas em um plano bidimensional B E v Ondas esféricas Ondas planas Figura 70 Ondas eletromagnéticas de simetrias esféricas à esquerda e planas à direita Note que a simetria é determinada pela frente de onda No caso da onda plana a frente de onda se desloca linearmente como planos que se deslocam Será descrita apenas a formulação matemática das ondas planas embora muitos dos conceitos sejam aplicáveis às esféricas também Essa escolha é tomada para simplificar as formulações matemáticas e devido às importantes aplicações das ondas eletromagnéticas planas 721 Descrição matemática Como foi visto as ondas se propagam pelo espaço devido à repetição recorrente de diversos pulsos A distância entre pulsos consecutivos é denominada comprimento de onda e se relaciona com a frequência de oscilação conforme a equação a seguir 105 COMPLEMENTOS DE FÍSICA E0 t0 t1 t2 t3 t4 V X Figura 73 Esquema mostrando como a onda se desloca ao longo do tempo Note que a onda é constantemente deslocada para direita conforme o tempo passa A sua forma no entanto permanece preservada De modo geral a expressão para o campo elétrico será dada pela expressão 0 E E fxtu Onde E0 é a amplitude da onda valor máximo fxt é uma função oscilatória e u é o versor na direção do campo elétrico Para processos gerados por oscilações harmônicas simples a função oscilatória será do tipo senoidal de modo que a expressão anterior resulta em 0 E E senkx wt u ϕ Onde k e w são denominados número de onda e pulsação respectivamente Estas grandezas são definidas pelas equações a seguir 2 2 k π w T π λ Para interpretar os seus significados físicos note que As funções do tipo senoidais completam um ciclo depois de percorrerem 2π radianos Se λ 15 m e x 3 m teremos que kx 4π Ou seja estaremos calculando a intensidade do campo elétrico depois de percorrido dois ciclos da função seno Do mesmo modo se T 2s e t 5s teremos que wt 5π Assim a intensidade da onda no ponto x escolhido é calculada após a passagem de dois pulsos e meio 106 Unidade III Portanto k e w indicam as coordenadas espaciais e temporais que serão consideradas nos cálculos da intensidade da onda O termo ϕ é denominado fase da onda e determina a posição inicial da onda Geometricamente falando ela desloca a onda para a direita ou para a esquerda 722 Relação entre os campos elétricos e magnéticos Neste tópico serão mostradas relações de recorrência importantes para a descrição das ondas eletromagnéticas As deduções apresentadas aqui têm caráter apenas informativo visto que envolvem conceitos além deste livro Em meados de 1880 alguns trabalhos como o de Heavside Gibbs e Hertz propuseram modificações às equações de Maxwell Utilizando determinadas relações do cálculo vetorial notadamente o Teorema de Stokes e Teorema da Divergência compilaram o conjunto de 20 equações propostas por Maxwell em um conjunto de apenas quatro Com isso as equações modificadas passaram a ser chamadas Leis de Maxwell na forma diferencial Tabela 1 Leis de Maxwell na forma integral e diferencial Equação Forma integral Forma diferencial Gauss elétrica int o Q EndA ε 0 E ρ ε Gauss magnética BndA 0 B 0 Lei de Faraday Mag Edl t Φ B xE t Lei de AmpèreMaxwell Ele 0 0 0 Bdl I t Φ µ µ ε 0 0 0 E xB j t µ µ ε Saiba mais Para uma análise inicial completa das Leis de Maxwell consulte a referência NUSSENZVEIG H M Física básica 3 eletromagnetismo São Paulo Edgard Blucher 1997 As equações na forma diferencial permitem a descrição matemática simplificada de diversas características das ondas Para tanto é importante compreender o significado matemático do rotacional de uma função vetorial sendo definido para o campo elétrico por 107 COMPLEMENTOS DE FÍSICA X y Z i j k xE det x y z E E E y y Z x z x E E E E E E xE i j k y z z x x y Substituindo o rotacional do campo elétrico na Lei de Faraday na forma diferencial teremos y y Z x z x E E E E E E B i j k y z z x x y t A equação diferencial anterior mostra uma relação entre o campo elétrico e o campo magnético da onda Assim a resolução desta permitiria a determinação da expressão para o campo magnético também Supondo uma onda plana cujo campo elétrico é dado pela equação 0 E E senkx wt j ϕ Teremos y x z E E E 0 z Pois o campo elétrico possui apenas o componente na direção do versor j Note que a derivada parcial em relação à z também se anula pois o campo elétrico depende apenas da posição na direção x A expressão utilizada para o campo elétrico foi mostrada no item anterior Neste caso só se supôs sem perda de generalidade a propagação da onda na direção x com campo elétrico na direção y Eliminando os termos nulos na expressão obtemos uma versão simplificada da equação diferencial conforme yE B x k t A equação anterior pode ser resolvida então Primeiramente efetuamos o cálculo da derivada parcial do campo elétrico y 0 E E kcoskxwt k x ϕ 108 Unidade III Substituindo o resultado da derivada na expressão obtida pela Lei de Faraday teremos 0 B E kcoskxwt k t ϕ Agora se prossegue o cálculo realizando a integral em relação ao tempo nos dois lados da equação 0 B E kcoskxwt kdt t dt ϕ A solução da integral do lado esquerdo da equação é feita pelo método de substituição e a do lado direito é trivial Como resultado obtémse 0 E k senkxwt k B w ϕ Remanejando a expressão anterior se mostra por fim que 0 k B E w senkxwt k ϕ ou 0 0 0 k B B senkxwt k onde B E w ϕ A solução da equação diferencial permite inferir que O campo magnético tem intensidade proporcional ao campo elétrico Quando o campo elétrico for máximo o campo magnético também será Quando o campo elétrico for nulo o magnético também será O campo elétrico e o magnético oscilam em fase Lembrando que um produto vetorial sempre resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores que foram multiplicados podese afirmar que o campo magnético será sempre perpendicular ao campo elétrico e à direção de propagação da onda As ondas eletromagnéticas são ondas transversais e não necessitam de um meio de propagação se deslocando inclusive no vácuo A direção do vetor campo magnético deverá satisfazer o produto vetorial a seguir 0 1 S ExB µ 109 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Onde S é o vetor de Poynting que aponta sempre na direção de propagação da onda As amplitudes de oscilação dos campos elétricos e magnéticos são relacionadas pela expressão a seguir 0 0 k B E w Onde se pode mostrar que a razão wk é dada pela velocidade de propagação da onda sendo para o vácuo por 8 0 0 w 1 c 310 m s k µ ε Que é exatamente a velocidade da luz denominada aqui pela letra c Observação Historicamente a comprovação de que a luz possuía velocidade idêntica a de ondas eletromagnéticas foi uma importante conquista unindo de modo definitivo a Óptica ao Eletromagnetismo 723 Ondas progressivas regressivas e estacionárias Nos itens anteriores foram mostradas diversas características dos campos elétricos e magnéticos A descrição matemática no entanto se limitou a ondas progressivas no sentido positivo que se propagavam no eixo x Será abordado como seriam então as expressões matemáticas para ondas que se propagam em outras direções de modo progressivo ou regressivo A direção de propagação de uma onda é sempre indicada pelo argumento da função seno A variável espacial que multiplica o número de onda k indica a direção de propagação 0 0 0 E E senkx wt j Propagação no eixo x E E senkz wt j Propagação no eixo z E E senky wt i Propagação no eixo y ϕ ϕ ϕ No entanto o sentido de propagação deve ser analisado por meio de um ponto de fase constante Poderíamos tomar um ponto fixo em uma onda e analisar seu deslocamento 110 Unidade III E t0 t1 t2 t3 t4 x Direção de propagação Ponto de fase constante Figura 74 Esquema mostrando como a onda se desloca ao longo do tempo Note que o ponto de fase constante se desloca no sentido de propagação O valor da função oscilatória permanece constante ao longo do tempo Para um ponto de fase constante o valor da função seno deve sempre retornar o mesmo valor ou seja deve ser constante pois ele sempre está na mesma altura Logo para uma onda cujo campo elétrico é dado por 0 E E senkx wt j ϕ Teremos kx wt constante Para melhor compreensão da última expressão é aconselhável ao estudante que revise o significado do número de onda e da pulsação discutidos em itens anteriores O sentido de propagação da onda pode ser estudado ao aplicarmos a derivada temporal nos dois lados da equação anterior dx dt dconstante k w dt dt dt kv w1 0 kv w w v c k Que mostra que a velocidade desta onda é dada pela velocidade da luz no sentido positivo Caso tivéssemos uma onda cujo campo elétrico é dado por 0 E E senkx wt j ϕ 111 COMPLEMENTOS DE FÍSICA realizando o mesmo procedimento teríamos kx wt constante Ao derivar a expressão em relação ao tempo encontraríamos dx dt dconstante k w dt dt dt kv w1 0 kv w w v c k A velocidade da onda neste caso também seria c mas no sentido negativo Assim podese estabelecer uma regra para determinação do sentido de propagação da onda Se os termos kx e wt do argumento da função seno possuírem mesmos sinais a onda será regressiva Se os sinais forem diferentes a onda será progressiva Para fixar os diversos conceitos e relações matemáticas serão apresentados alguns exemplos Exemplo 1 Uma onda eletromagnética se propaga no vácuo com campo elétrico associado dado pela expressão mostrada a seguir Todas as unidades são dadas no Sistema Internacional 4 E 80sen6210 y wtk Sendo assim determine a a direção e o sentido de propagação da onda b o comprimento de onda o período de oscilação e a frequência c a direção e sentido do vetor campo magnético d a expressão do campo magnético Resolução a Conforme foi visto a direção de propagação sempre é indicada pelo argumento da função oscilatória seno ou cosseno No caso do vetor campo elétrico do exercício a variável espacial é a y Sendo assim podese afirmar que a onda se desloca no eixo j Para determinar o sentido devemos analisar a regra de sinais dos argumentos da função seno Como os dois termos apresentam sinal positivo podese afirmar que a onda é retrógrada Logo a direção e o sentido são indicados por j 112 Unidade III b Para determinação das grandezas deste item devemos identificar na expressão anterior o número de onda k e a pulsação w Note que o número de onda é sempre o valor que é multiplicado à variável espacial do argumento da função seno Já a pulsação é sempre a constante multiplicada à variável temporal do argumento Sendo assim 4 1 k 6210 m Lembrando que k é definido por 2 k π λ Podemos substituir seu valor de modo a obter o comprimento de onda 4 4 4 2 6210 2 6210 110 m π λ π λ λ A pulsação pode ser obtida a partir do número de onda também visto que w c k ou seja 4 8 w kc w 6210 310 w 186000rad s De posse do valor da pulsação o período é calculado facilmente utilizando a expressão a seguir 5 2 w T 2 T w 2 T 186000 T 337810 s π π π 113 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Por fim a frequência é calculada sendo o valor recíproco do período de oscilação 5 1 f T 1 f 337810 f 29602Hz c A direção e o sentido do campo magnético devem respeitar a regra dada pelo produto vetorial a seguir 0 1 S ExB µ Substituindo apenas os versores que indicam as direções e sentidos dos vetores de Poynting e campo elétrico teremos j kxB Lembrando a propriedade cíclica do produto vetorial i jxk j kxi k ixj Teremos então que o campo magnético se propaga na direção e sentido dados por i Perceba que se o sentido de B fosse positivo o produto escalar de k com i retornaria o valor de j Como o lado esquerdo deve ser correspondente ao lado direito da equação devemos então inverter o sentido do campo magnético Para simplificar a determinação da direção e sentido do campo magnético utilizando a relação anterior realize o seguinte procedimento Inicialmente identifique a direção i j ou k Em seguida para determinação do sentido prossiga com as regras de sinais Em caso de dúvida procure sempre transmitir os cálculos para o papel de modo a executar o maior número possível de passagens matemáticas d Para determinação da expressão do vetor campo magnético devemos notar que os campos elétricos e magnéticos oscilam em fase ou seja que o argumento da função seno será idêntico ao do campo elétrico Portanto basta que calculemos a amplitude de oscilação do campo magnético sendo dado pela relação 0 0 E B c 114 Unidade III Substituindo a amplitude o campo elétrico e a velocidade da luz na expressão 0 8 7 0 80 B 310 B 26610 T que permite então apresentar a expressão fechada para o vetor campo magnético 7 4 B 26610 sen6210 y 186000ti T Note que o sinal de negativo na frente da amplitude é devido à direção e sentido do campo magnético ser i Exemplo 2 Uma onda eletromagnética se propaga no vácuo com campo elétrico associado dado pela expressão 6 E 120senkz 610 ti Todas as unidades são dadas no Sistema Internacional Sendo assim determine a a direção e o sentido de propagação da onda b o comprimento de onda o período de oscilação e a frequência c a direção e sentido do vetor campo magnético d a expressão do campo magnético Resolução a Neste caso a onda se desloca na direção do eixo z e portanto é indicada pelo versor k Como os argumentos da função seno apresentam sinais contrários podese afirmar que a onda é progressiva Portanto a direção e o sentido de propagação são dados por k b O número de onda não é fornecido neste exemplo mas a pulsação sim Lembrando que w c k 115 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Podemos calcular o valor do número de onda ao substituirmos as informações fornecidas 6 8 1 w k c 610 k 310 k 002m Que nos leva então ao cálculo do período de oscilação e do comprimento de onda conforme as expressões 6 6 2 2 k w T 2 2 k T w 2 2 002 T 610 31416m T 10510 s π π λ π π λ π π λ λ Por fim a frequência de oscilação é calculada pelo inverso do período resultando em 6 5 1 f T 1 f 10510 f 95510 Hz c A direção e o sentido do campo magnético deve respeitar a regra dada pelo produto vetorial a seguir 0 1 S ExB µ Substituindo apenas os versores que indicam as direções e sentidos dos vetores de Poynting e campo elétrico teremos k ixB 116 Unidade III Lembrando a propriedade cíclica do produto vetorial i jxk j kxi k ixj Teremos que o campo magnético se propaga na direção j Se realizarmos o produto vetorial de i por j obteremos o vetor k negativo que é diferente do que encontramos no lado esquerdo da equação Logo podese afirmar que o sentido do campo magnético é oposto sendo a direção e o sentido representados por j d A amplitude do campo magnético é calculada pela expressão 0 0 0 8 7 0 E B c 120 B 310 B 410 T Que leva a equação do vetor campo magnético mostrada a seguir 7 6 B 410 sen002z 610 tj T Exemplo 3 Uma onda eletromagnética se propaga no vácuo com campo magnético dado por 6 4 B 110 sen ky 1210 ti Todas as unidades são dadas no Sistema Internacional Sendo assim determine a a direção e o sentido de propagação da onda b o comprimento de onda o período de oscilação e a frequência c a direção e sentido do vetor campo elétrico d a expressão do campo elétrico e magnético 117 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Resolução a Neste caso a onda se desloca na direção do eixo y sendo indicada pelo versor j Como os argumentos da função seno apresentam sinais contrários podese afirmar que a onda é progressiva Portanto a direção e o sentido de propagação são dados por j b O número de onda não é fornecido neste exemplo mas a pulsação sim Lembrando que w c k Podemos calcular o valor do número de onda ao substituirmos as informações fornecidas 4 8 4 1 w k c 1210 k 310 k 410 m Isso nos leva então ao cálculo do período de oscilação e do comprimento de onda conforme as expressões 4 4 5 2 2 k w T 2 2 k T w 2 2 T 410 1210 15708m T 52410 s π π λ π π λ π π λ λ Por fim a frequência de oscilação é calculada pelo inverso do período resultando em 5 1 f T 1 f 52410 f 190986Hz c A direção e o sentido do campo elétrico devem respeitar a regra dada pelo produto vetorial a seguir 0 1 S ExB µ 118 Unidade III Substituindo apenas os versores que indicam as direções e sentidos dos vetores de Poynting e campo elétrico teremos j Exi Podese concluir que a direção do vetor campo elétrico é a do versor k Se realizarmos o produto vetorial de k por i obteremos como solução o versor j que é exatamente o valor encontrado no lado esquerdo da equação Assim a direção e o sentido do vetor campo elétrico são dados por k d A amplitude do campo elétrico é obtida pela expressão 0 0 0 0 8 6 0 E B c E cB E 310 110 300 NC Assim os vetores campo elétrico e magnético são dados por 4 4 6 4 4 E 300sen 410 y 1210 tk T B 110 sen 410 y 1210 ti T Exemplo 4 Uma onda eletromagnética se propaga no vácuo com campo magnético dado por 6 B 410 sen001x wtk Todas as unidades são dadas no Sistema Internacional Sendo assim determine a a direção e o sentido de propagação da onda b o comprimento de onda o período de oscilação e a frequência c a direção e sentido do vetor campo elétrico d a expressão do campo elétrico e magnético Resolução a Neste caso a onda se desloca na direção do eixo x sendo indicada pelo versor i Como os argumentos da função seno apresentam sinais opostos podese afirmar que a onda é regressiva Portanto a direção e o sentido de propagação são dados por i 119 COMPLEMENTOS DE FÍSICA b A pulsação é calculada a partir do número de onda em acordo com 8 6 kc w w 001310 w 310 rads Que permite o cálculo do período de oscilação e do comprimento de onda conforme 6 6 2 2 k w T 2 2 k T w 2 2 001 T 310 6283 m T 2110 s π π λ π π λ π π λ λ Por fim a frequência de oscilação é calculada pelo inverso do período resultando em 6 5 1 f T 1 f 2110 f 47710 Hz c A direção e o sentido do campo elétrico devem respeitar a regra dada pelo produto vetorial a seguir 0 1 S ExB µ Substituindo apenas os versores que indicam as direções e sentidos dos vetores de Poynting e campo elétrico teremos i Ex k Podese concluir que a direção do vetor campo elétrico é a do versor j Se realizarmos o produto vetorial de j por k obteremos como solução o versor i que é exatamente o valor encontrado no lado esquerdo da equação Assim a direção e o sentido do vetor campo elétrico são dados por j 120 Unidade III d A amplitude do campo elétrico é obtida pela expressão 0 0 0 0 8 6 0 E B c E cB E 310 410 1200 NC Assim os vetores campo elétrico e magnético são dados por 6 6 6 E 1200sen001y 310 tj T B 410 sen001y 310 tk T 8 TEORIA CORPUSCULAR DA LUZ E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA 81 Teoria corpuscular da luz e aplicações A existência das ondas eletromagnéticas era um fato já conhecido no início do século XX Era sabido que os portadores de carga irradiavam emitiam radiação quando acelerados No mesmo período no entanto uma revolução ocorria na Física Em 1897 J J Thompson um físico britânico havia descoberto a existência dos elétrons partículas menores do que o próprio átomo e carregadas eletricamente THOMSON 1897 A descoberta modificou a forma como enxergávamos o mundo permitindo por exemplo a descrição de diversos fenômenos relacionados à eletricidade Thompson propôs um novo modelo atômico baseado na existência do elétron que foi ampliado em pouco tempo em 1911 Ernest Rutherford um cientista britânico mostraria que os átomos eram compostos também por núcleos massivos Esses núcleos foram estudados continuamente por ele e outros cientistas e se mostrou que eram compostos por prótons e nêutrons HEILBRON 2003 Os elétrons permaneceriam em volta do núcleo formando a região denominada eletrosfera Figura 75 Esquema mostrando o átomo idealizado por Rutherford Um núcleo massivo ocupa o centro do átomo em azul e os elétrons em vermelho se mantêm ao redor formando a eletrosfera 121 COMPLEMENTOS DE FÍSICA A natureza da eletrosfera inicialmente era desconhecida Não se sabia se os elétrons permaneceriam estáticos ou em movimento embora fosse pouco intuitivo que ficassem parados A dúvida decorria do fato que para descrever qualquer tipo de movimento curvilíneo ao redor dos núcleos os elétrons apresentariam uma determinada aceleração e logo deveriam irradiar Todo experimento realizado até então não conseguia detectar qualquer tipo de radiação associada Velocidade tangencial constante Aceleração Figura 76 Esquema mostrando que para que um objeto descreva uma trajetória curvilínea é necessário que aja uma aceleração centrípeta atuando Essa questão só foi resolvida teoricamente em 1913 após o trabalho de Niels Bohr Na solução Bohr utilizou aspectos de uma teoria relativamente nova na Física para o período a Mecânica Quântica Será apresentada de modo sucinto a explicação a essa questão fundamental e suas consequências tecnológicas 811 Dualidade partículaonda Para explicar a proposta de Bohr devemos voltar um pouco no tempo e verificar algumas das evidências experimentais conhecidas no período Em 1805 Thomas Young um físico britânico demonstrou que a luz se comportava como uma onda SANTOS 2002 Quando feixes de luz eram incididos sobre duas fendas próximas franjas de difração eram formadas conforme a figura a seguir P θ x Figura 77 Esquema do experimento de fenda dupla realizada por Thomas Young Embora a luz apresentasse comportamento tal qual a de uma onda a matéria apresentava comportamento corpuscular Isso era verificado nos tubos de raios catódicos onde Thompson descobriu 122 Unidade III os elétrons nas emissões de partículas por materiais radiativos e em experimentos como o de Millikan ou de SternGerlach EISBERG RESNICK 1979 O átomo e as demais partículas que o compõem eram vistos como entidades corpusculares Comportamento ondulatório Comportamento corpuscular Figura 78 Ilustração do comportamento contínuo de uma onda e discretocorpuscular Saiba mais Para saber mais sobre os experimentos de Millikan e SternGerlach acesse SANTOS C A dos Experimento da gota de óleo de Millikan 2002 Disponível em httpwwwifufrgsbrhistoriamillikanhtml Acesso em 19 jul 2017 Essa aparente contradição começou a ser solucionada em aproximadamente 1877 quando Ludwig Boltzmann sugeriu pela primeira vez que os níveis de energia de uma molécula poderiam ser discretos EISBERG RESNICK 1979 Sua ideia decorria de resultados matemáticos obtidos no estudo de gases quando aplicada à Mecânica Estatística A ideia apesar de ser considerada correta atualmente não foi utilizada de imediato pela Física Somente em 1900 ela voltou a ser mencionada quando Max Planck formulou o que seria o passo fundamental para o advento da Mecânica Quântica EISBERG RESNICK 1979 Planck analisava o problema da radiação emitida por um corpo negro devido aos efeitos térmicos Note que o aumento da temperatura causa uma maior agitação das partículas promovendo a emissão de radiação Em seu estudo Planck verificou que os resultados experimentais não concordavam com os cálculos realizados utilizando a Teoria Eletromagnética Para elevadas temperaturas os cálculos previam emissões no ultravioleta com intensidades absurdas 123 COMPLEMENTOS DE FÍSICA 14 12 10 08 06 04 02 00 Intensidade Comprimento de onda nm 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3000 K 4000 K 5000 K 5000 K Previsto pela teoria Experimentais Figura 79 Valores experimentais e calculados pela Teoria Eletromagnética Clássica para as intensidades de radiação emitidas por um corpo negro Repare a divergência na intensidade na região do ultravioleta em temperaturas próximas a 5000 K Para solucionar essa inconsistência Planck formulou relutantemente o que chamamos de hipótese de quantização de energia Segundo esta apenas determinados valores discretos de energia podem ser emitidos Os valores permitidos são múltiplos da frequência da radiação multiplicada a uma constante denominada hoje como constante de Planck Os demais valores são denominados proibidos Apesar de parecer absurda a discretização de energia resultava em cálculos teóricos que estavam em plena correspondência com os resultados experimentais x y Discretos Valores proibidos Contínuo E hv E Energia h Constante de Planck ν frequência Figura 80 Ilustração mostrando a diferença entre uma distribuição discreta e contínua de valores Na parte inferior é mostrada a equação proposta por Planck 124 Unidade III Figura 81 Retrato de Max Planck laureado pelo prêmio Nobel de Física de 1918 Um importante trabalho de Einstein de 1905 sobre o efeito fotoelétrico rapidamente reforçaria a hipótese de discretização de energia formulada por Planck No efeito fotoelétrico um metal ejeta elétrons quando a luz incide sobre sua superfície EISBERG RESNICK 1979 O interessante no fenômeno é que segundo a Física Clássica a emissão de elétrons deveria ocorrer para qualquer frequência desde que a luz permanecesse tempo suficiente focalizandoa Era suposto que nessa situação a energia seria armazenada pelo elétron até que em determinado instante fosse suficiente para arrancálo do átomo Quanto maior a intensidade de luz mais rápido ocorreria a quebra de ligação O que se verifica na prática no entanto é que a ejeção de elétrons só ocorre para determinadas frequências Para explicar esse comportamento Einstein mostrou que a luz é transmitida por meio de pequenos pacotes de onda denominados fótons Os fótons transportariam energia em acordo com a relação proposta por Planck com valores discretos e proporcionais à frequência da onda Cada fóton carregaria consigo uma quantidade de energia denominada quanta de energia Quando aumentamos a intensidade de uma onda simplesmente aumentamos o número de fótons emitidos e logo a energia total transmitida é maior O efeito fotoelétrico só ocorreria para frequências superiores a um certo valor pois caso contrário os quantas de energia não seriam suficientes para quebrar a ligação do elétron com o átomo Acima de determinado valor existiria uma probabilidade associada à ocorrência do fenômeno Por seu trabalho Einstein recebeu o prêmio Nobel de 1921 Figura 82 Ilustração esquemática do efeito fotoelétrico Luz incide sobre a superfície de um metal e dependendo da frequência da luz uma determinável quantidade de elétrons é ejetada 125 COMPLEMENTOS DE FÍSICA É interessante notar que a luz se comporta como partícula no caso do efeito fotoelétrico mas como uma onda no experimento de fenda dupla A este comportamento ora partícula ora onda denominamos dualidade partículaonda O embasamento teórico para o comportamento dual da luz e da matéria adveio por volta da década de 1920 quando De Broglie e posteriormente Schroedinger e Heisenberg consolidaram as bases teóricas do que hoje compõe a Mecânica Quântica EISBERG RESNICK 1979 Observação Após o desenvolvimento da Mecânica Quântica esta se subdividiu em diversas áreas como a Física Nuclear a Física do Estado Sólido a Eletrodinâmica Quântica entre outras 812 Absorção e emissão de radiação Como foi discutido a luz se comporta ora como partícula e ora como onda Esse comportamento dual no entanto também é apresentado pela matéria Quando analisamos fenômenos em pequena escala ou seja em ordens de grandeza próximas ao tamanho do átomo esses fenômenos se tornam mais pronunciáveis Bohr aplicou a dualidade da partículaonda e a hipótese de quantização de energia para o átomo de hidrogênio Com isso mostrou que a eletrosfera na verdade é constituída por uma estrutura de camadas de níveis de energia Cada elemento químico possui determinados níveis de energia permitidos e os demais valores são proibidos Os elétrons ocupariam essas camadas de energia sem produzir qualquer radiação não podendo ser visualizadas nesse caso como partículas mas sim como partículasonda M M L L K K Núcleo Núcleo Energia Elétron excitado Energia Estado fundamental Figura 83 Ilustração esquemática do efeito fotoelétrico Luz incide sobre a superfície de um metal e dependendo da frequência da luz uma determinável quantidade de elétrons é ejetada Bohr ainda aplicou seu modelo para elucidar o fenômeno de absorção e emissão de radiação Se radiação com determinada energia for incidida sobre um átomo uma probabilidade existirá para que essa seja absorvida A probabilidade será máxima quando a energia da radiação for exatamente aquela entre dois níveis de energia do átomo Se a radiação apresentar valores que não se encaixam nesta condição a probabilidade de ocorrer absorção será quase nula Na figura a seguir é apresentado o comportamento 126 Unidade III do coeficiente de absorção mássico para um átomo Note que para determinadas energias existe uma probabilidade máxima de absorção e que após esse valor a probabilidade diminui exponencialmente Probabilidade de absorção Energia Ei L Ei K Figura 84 Comportamento do coeficiente de absorção mássico Note que a probabilidade de absorção aumenta para determinados valores de energia e rapidamente cai após esses valores A emissão de radiação também é visualizada de modo semelhante Se um elétron realizar uma transição para um nível de energia mais baixo o que ocorrerá será a emissão de um fóton com energia dada pela diferença entre os níveis Note que um fóton é uma partícula onda e pode ser visualizada como uma partícula corpuscular ou como uma onda conforme visto nos itens anteriores A figura 83 esquematiza as energias envolvidas no processo de absorção e emissão pela eletrosfera de um átomo A frequência da onda emitida será dada pela fórmula de Planck onde E é a energia do fóton h é a constante de Planck e f é a frequência da radiação E hf Atualmente sabese que não só a eletrosfera apresenta uma estrutura de níveis de energia mas também as ligações moleculares os núcleos e os sólidos iônicos Qualquer transição de níveis de energia nesses casos acaba por produzir a emissão de fótons Mas isso nos leva à seguinte questão Denominamos radiação eletromagnética a todas essas ondas sem qualquer distinção 813 Espectro eletromagnético Naturalmente podemos classificar as ondas eletromagnéticas de acordo com sua frequênciacomprimento de onda visto que elas estão intimamente ligadas à sua energia O termo espectro eletromagnético é utilizado para a classificação citada Observação Note que a frequência se relaciona ao comprimento de onda conforme c f λ 127 COMPLEMENTOS DE FÍSICA 106 nm 105 nm 104 nm 103 nm 103 nm 1 µm 1 mm 10 mm 10 cm 100 cm 10 m 100 m 1000 m 10 km 100 km 1 Mm 100 Mm 10 Mm 1 cm 1 m 1 km 10 µm 100 µm 1000 µm 102 nm 101 nm Raios X Ultravioleta Luz visível Luz visível 400 nm 700 nm Infravermelho próximo e distante Microondas Audio UHF VHF HF MF LF Rádio Raios gama 1 Å 1 nm 10 nm 100 nm UVIS EUV 558 118 nm UVIS EUV 110 190 nm nm nanômetro Å ångström µm micrômetro mm milímetro cm centímetro m metro km quilômetro Mn megametro Violeta Anil Azul Verde Amarelo Laranja Vermelho Figura 85 Espectro eletromagnético e os respectivos comprimentos de onda associados As ondas de rádio são as aquelas cujos comprimentos de onda são os maiores possíveis podendo alcançar quilômetros São especialmente importantes para áreas das telecomunicações e Astronomia em geral Na ordem de poucos centímetros localizamse as microondas utilizadas em fornos especiais e também na Astronomia Entre aproximadamente 1 mm a 750 nm encontrase a radiação infravermelho 128 Unidade III utilizada em muitas áreas como fisioterapia caracterização de materiais e transmissão de informação Um pouco mais abaixo entre 380 nm a 780 nm temos o espectro visível ou seja aquele que nossos olhos conseguem diferenciar É interessante notar que o Sol emite seu pico de radiação nesta faixa e por isso devido à seleção natural enxergamos nesta região de frequências Quanto mais próximo às cores do vermelho mais energéticos são os raios Por fim abaixo do espectro visível temos a radiação ionizante composta dos raios ultravioleta raios X e raios gama São ondas que transportam grande quantidade de energia e consequentemente podem prejudicar nossa saúde promovendo mutações nas células Observação Embora com frequências e comprimentos de onda diferentes as radiações eletromagnéticas possuem a mesma velocidade de propagação sendo c 3108 ms 814 Exemplos de aplicação Diversas aplicações tecnológicas utilizam as ondas eletromagnéticas Serão apresentadas de modo sucinto algumas destas aplicações correlacionando a teoria estudada com a prática Os fornos microondas são dispositivos usados para aquecer materiais isolantes como alimentos ou materiais cerâmicos O aquecimento utilizando as microondas ocorre devido à interação da radiação com os dipolos elétricos presentes no material Os dipolos elétricos interagem com a radiação sempre tentando se alinhar com a direção do campo Devido à mudança de polaridade da radiação os dipolos acabam por rotacionar rapidamente visto a alta frequência das microondas As moléculas do material que colidem o tempo todo acabam por dispersar essa energia rotacional na forma de movimento ou seja aquecendo o material F F E Molécula de água O H H Figura 86 Molécula de água e esquema indicando a direção de seu momento de dipolo Ao lado uma ilustração das forças a que um dipolo elétrico é submetido em um campo elétrico unidirecional 129 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Observação Note que as moléculas de água presentes nos alimentos são polarizadas possuem um polo positivo e um negativo devido à sua forma molecular constituindo um dipolo elétrico Materiais metálicos não devem ser aquecidos por este método porque a interação com a radiação produz correntes elétricas dentro do material As correntes tornam o próprio metal um elemento aquecedor e dependendo do tamanho do metal o calor pode ser tão intenso que acaba por produzir faíscas explosões ou outros efeitos prejudiciais Foi mostrado que um movimento de rotação de um dipolo elétrico cria uma onda eletromagnética A amplitude do campo elétrico no entanto acompanha o giro do dipolo Figura 87 Campo elétrico de uma onda polarizada circularmente Note que a amplitude da onda gira ao redor da direção de propagação Com isso temos a formação de uma onda dita polarizada circularmente ou seja cuja intensidade máxima gira ao longo do tempo O campo elétrico nesse caso é expresso matematicamente pela superposição de duas ondas perpendiculares como a expressão a seguir 0 0 E E senkx wt j E senkx wt k ϕ ϕ Note que o campo elétrico possui componentes nas duas direções perpendiculares à direção de propagação da onda A luz do Sol é composta de ondas eletromagnéticas emitidas em todas as direções com campos oscilando em diversas direções A superposição dessas inúmeras ondas polarizadas resulta no que chamamos de luz não polarizada 130 Unidade III Polarizadores são elementos ópticos que absorvem a luz com polarização em apenas uma dada direção Assim quando a luz natural atravessa esses elementos a intensidade da luz cai muito devido à absorção de parte da luz Esses elementos são utilizados em uma ampla gama de aplicações como óculos escuros películas de vidro televisores etc Figura 88 Esquema de funcionamento de um filtro polarizador Luz polarizada circularmente incide sobre o polarizador e um dos componentes é absorvido Como resultado somente uma onda polarizada linearmente atravessa o filtro O processo pelo qual visualizamos um objeto é relativamente complexo Inicialmente a luz emitida por uma fonte qualquer incide sobre o objeto A luz interage com a matéria e parte da radiação é absorvida parte é espalhada e parte é refletida As ondas refletidas atingem então nossos olhos e o cérebro interpreta a informação Se as ondas que atingem nossos olhos estiverem dentro do espectro visível nosso cérebro interpretará a frequência e a associará ao que chamamos de cores Quanto maior a frequência mais próxima do vermelho ela será No entanto é importante notar que a onda refletida pelo objeto e logo a cor visualizada depende do espectro de absorção do material Por exemplo uma planta nos parece verde porque a luz do Sol não polarizada e composta por todas as frequências é absorvida pelo material e somente a radiação na frequência associada ao verde é refletida Observação Além dos exemplos citados anteriormente podemos destacar outras aplicações como lasers comunicação sem fio televisão fibras ópticas dentre outras inúmeras que fazem uso das ondas eletromagnéticas 131 COMPLEMENTOS DE FÍSICA 82 Transferência de energia Neste tópico descreveremos como determinar a energia transportada pela radiação eletromagnética Anteriormente foi mostrado que a luz é composta por pequenos pacotes de onda denominados fótons A energia de cada fóton é dada pela equação E hf Assim poderíamos imaginar que se determinássemos a quantidade de fótons transmitidos automaticamente poderíamos calcular a energia total Na prática no entanto nem sempre é possível detectar exatamente este número Em elétrica e eletrônica por exemplo desejamos interagir o mínimo possível com o sistema durante o processo de medição para que haja menor dissipação de energia A seguir um método alternativo além da contagem de fótons será apresentado As deduções das equações entretanto não serão apresentadas visto que um curso completo de Eletromagnetismo Clássico é um prérequisito neste caso Saiba mais Para aqueles que desejarem se aprofundar na Teoria Eletromagnética consultar a série de livros em português de MACHADO K D Teoria do Eletromagnetismo Ponta Grossa UEPG 2006 v 13 821 Vetor de Poynting A intensidade de uma onda eletromagnética é diretamente proporcional ao número de fótons incidentes e logo a energia total transmitida deve ser correlacionada à amplitude da onda O primeiro cientista a apresentar de modo consistente um método para o cálculo da energia por meio das intensidades das ondas foi o físico britânico John Henry Poynting Ele mostrou por meio de considerações teóricas sobre conservação de energia que a densidade direcional de energia que atravessa uma superfície é dada por 0 1 S ExB µ Onde S é o que denominamos de vetor de Poynting O módulo do vetor de Poynting retorna a potência transmitida por unidade de área em um dado instante de tempo A direção do vetor de Poynting aponta sempre para a mesma direção de propagação da onda A unidade de medida no sistema internacional é o Wm2 No caso de ondas planas cuja direção de propagação é única teremos campos elétricos e magnéticos tais como 132 Unidade III 0 0 E E senkx wt j B B senkx wt k ϕ ϕ E logo sabendo que E e B são sempre perpendiculares o produto vetorial retorna o valor 2 0 0 0 1 S E B sen kx wt i ϕ µ Substituindo a relação entre a amplitude do campo elétrico e campo magnético obtemos alternativas para a solução do produto 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 E B c 1 S E sen kx wt i c ou c S B sen kx wt i ϕ µ ϕ µ A expressão anterior permite o cálculo da potência média e máxima transmitida por unidade de área dadas pelas expressões a seguir 2 2 Max 0 Max 0 0 0 2 2 Médio 0 Médio 0 0 0 1 c S E ou S B c 1 c S E ou S B 2 c 2 µ µ µ µ O vetor de Poynting médio é também denominado comumente de intensidade da onda Note que o vetor de Poynting pode ser calculado tanto pela amplitude do campo elétrico quanto pela amplitude do campo magnético A potência total transmitida através de uma superfície será dada por P S A caso o campo apresente direção de propagação normal em toda a extensão da área da superfície Aplique as expressões apresentadas nos exemplos e exercícios a seguir Considere na resolução desses exercícios µ0 4π107 NA2 133 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Exemplo 1 Uma onda de rádio VHF de comprimento de onda de 15 m e campo elétrico de amplitude de 100 NC se propaga pelo vácuo Considere que no instante inicial a amplitude do campo elétrico na origem é nula Calcule a o campo magnético associado b a expressão do vetor de Poynting ao longo do tempo c a potência máxima transmitida por unidade de área d a potência média transmitida por unidade de área Resolução a A partir do comprimento de onda podemos calcular o número de onda para a radiação eletromagnética 1 2 k 2 k 15 k 4188 m π λ π A partir do número de onda a pulsação é calculada lembrando sua relação com o número de onda e a velocidade da luz 8 9 w c k w kc w 4188310 w 12610 rads De posse do número de onda e da pulsação expressamos o campo elétrico conforme a expressão a seguir Note que como nenhuma direção foi informada pelo exemplo devemos escolher uma direção arbitrária para o campo elétrico e para direção de propagação 9 E 100sen4188x 12610 tj N C 134 Unidade III Observação As direções x y e z são abstrações matemáticas e na prática não existem Sendo assim podemos definir arbitrariamente as direções envolvidas nos campos desde que mantidas as relações de perpendicularidade O campo magnético é por fim calculado através do campo elétrico onde a amplitude do vetor campo magnético é dado por 0 0 0 8 7 0 E B c 100 B 310 B 33310 T E a direção em acordo com a relação do vetor de Poynting 0 1 S ExB i jxB µ Lembrando o comportamento cíclico do produto vetorial temos que a direção do vetor campo magnético é a do eixo z dada por k O sentido é positivo pois j x k resulta em i positivo em acordo com o lado esquerdo da equação anterior Assim o campo magnético é expresso por 7 9 B 33310 sen4188x 12610 tk T Lembrete No item 723 foi mostrado em detalhes como determinar a direção e o sentido do vetor campo magnético b O vetor de Poynting em sua forma explícita pode ser calculado conforme 0 2 2 0 0 1 S ExB 1 S E sen kx wt i c µ ϕ µ 135 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Substituindo as informações já conhecidas 2 2 9 7 8 2 9 2 1 S 100 sen 4188x 12610 ti 4 10 310 S 2653sen 4188x 12610 ti Wm π que retorna o valor do vetor de Poynting para qualquer instante de tempo c A potência máxima transmitida por unidade de área é calculada pela equação 2 Max 0 0 2 Max 7 8 2 Max 1 S E c 1 S 100 4 10 310 S 2653 Wm µ π d A potência média transmitida por unidade de área é por fim calculada segundo 2 Média 0 Max 0 2 Média 1 1 S E S 2 c 2 1 S 2653 1326 W m 2 µ Exemplo 2 Radiação com comprimento de onda de 200 nm e campo elétrico de amplitude de 50 NC se propaga pelo vácuo Calcule a o campo magnético associado b a expressão do vetor de Poynting c a potência máxima transmitida por unidade de área d a potência média transmitida por unidade de área 136 Unidade III Resolução a A partir do comprimento de onda podemos calcular o número de onda para a radiação eletromagnética 9 7 1 2 k 2 k 20010 k 31410 m π λ π Observação A unidade de medida nm significa nanômetros e é equivalente a 109 m A partir do número de onda a pulsação é calculada lembrando sua relação com o número de onda e a velocidade da luz 7 8 15 w c k w kc w 31410 310 w 94210 rads De posse do número de onda e da pulsação expressamos o campo elétrico conforme a expressão a seguir Note que como nenhuma direção foi informada pelo exercício devemos escolher uma direção arbitrária para o campo elétrico e para direção de propagação 7 15 E 50sen31410 x 94210 tj N C O campo magnético é por fim calculado através do campo elétrico onde a amplitude do vetor campo magnético é dada por 0 0 0 8 7 0 E B c 50 B 310 B 16610 T 137 COMPLEMENTOS DE FÍSICA E a direção em acordo com a relação do vetor de Poynting 0 1 S ExB i jxB µ Lembrando o comportamento cíclico do produto vetorial temos que a direção do vetor campo magnético é a do eixo z dada por k O sentido é positivo porque j x k resulta em i positivo em acordo com o lado esquerdo da equação anterior Assim o campo magnético é expresso por 7 7 15 B 16610 sen31410 x 94210 tk T b O vetor de Poynting em sua forma explícita pode ser calculado conforme 0 2 2 0 0 1 S ExB 1 S E sen kx wt i c µ ϕ µ Substituindo as informações já conhecidas 2 2 7 15 7 8 2 7 15 2 1 S 50 sen 31410 x 94210 ti 4 10 310 S 663sen 31410 x 94210 ti Wm π que retorna o valor do vetor de Poynting para qualquer instante de tempo c A potência máxima transmitida por unidade de área é calculada pela equação 2 Max 0 0 2 Max 7 8 2 Max 1 S E c 1 S 50 4 10 310 S 663 Wm µ π que é exatamente a amplitude do vetor de Poynting do item anterior 138 Unidade III d A potência média transmitida por unidade de área é por fim calculada segundo 2 Média 0 Max 0 2 Média 1 1 S E S 2 c 2 1 S 663 3315 W m 2 µ Exemplo 3 Luz monocromática com comprimento de onda de 1 mm se propaga pelo vácuo e transmite uma potência média por unidade de área de 10 Wm2 Baseado nessas informações determine as expressões dos campos elétricos e magnéticos Considere que a onda se propaga na direção x de modo progressivo e que o campo elétrico oscila na direção k positiva Resolução A partir da equação para determinação da potência média transmitida por unidade de área determinamos a amplitude do campo elétrico 2 Média 0 0 2 0 7 8 2 0 0 1 S E 2 c 1 10 E 24 10 310 E 75398 E 75398 8683 NC µ π O número de onda e a pulsação são determinados através do comprimento de onda 1 8 2 w k c k 2 k kc w 0001 k 628318 m 310 628318 w π λ π 12 w 188510 rad s A determinação das grandezas anteriores permite que expressemos o vetor campo elétrico conforme 12 E 8683sen628318x 188510 tk N C 139 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Por meio da relação entre as amplitudes dos campos elétrico e magnético 0 8 7 0 8683 B 310 B 28910 T A direção do campo magnético é determinada através da definição do vetor de Poynting A direção do campo magnético é a direção de j e o sentido é o negativo visto que k x j resulta em i sendo diferente do lado esquerdo da equação 0 1 S ExB i kxB µ Os cálculos realizados permitem expressar o campo magnético conforme 7 12 B 28910 sen628318x 188510 tj T Exemplo 4 Um laser de NeHe produz um feixe de luz monocromático com comprimento de onda de 6328 nm Sabendo que a intensidade transmitida pelo feixe é de 23694 Wm2 calcule a potência do laser Determine também a energia transmitida a um anteparo devido a exposição por 4 segundos O feixe apresenta abertura circular com 2 cm de diâmetro Resolução Como o feixe do laser é coerente ele possui baixa divergência e podemos considerar que a onda eletromagnética produzida é do tipo plana A intensidade transmitida é dada pelo vetor de Poynting médio A área de exposição no anteparo é dada por 2 2 4 2 A r A 001 A 31410 m π π Ou seja a potência transmitida é de 4 P IA P 2369431410 P 00744 W 744 mW 140 Unidade III Observação A expressão P IA só pode ser utilizada nesse caso porque o feixe criado pelo laser incide perpendicularmente na superfície do anteparo Lembrese que para que a equação seja válida as ondas devem sempre se propagar perpendicularmente à superfície de análise Isso significa que após 4 segundos de exposição a energia transmitida é de E P t E 00744 4 E 0297J Exemplo 5 Segundo o manual de instruções de um sistema de abertura de garagem a unidade transmissora controle remoto emite um sinal de potência de 300 mW A unidade receptora recebe o sinal e responde se a onda de rádio possuir a frequência correta e tiver uma amplitude de sinal superior a 025 Vm Baseado nessas informações qual seria o alcance máximo de seu controle Resolução Nesta situação a onda emitida pelo controle remoto se propaga em todas as direções e é uma onda do tipo esférica A frente de onda se desloca promovendo a expansão de uma casca esférica cujo centro está sob o controle A direção de propagação da onda é perpendicular em todos os pontos da superfície da casca esférica e logo a expressão P IA continua válida Lembrando que 2 Médio 0 0 1 I S E 2 c µ A expressão anterior pode ser manipulada de modo a obtermos 2 0 0 2 0 0 2 7 8 P IA 1 P E A 2 c 1 P E A 2 c 1 03 025 A 24 10 310 361911 A µ µ π 141 COMPLEMENTOS DE FÍSICA 2 0 0 2 0 0 2 7 8 P IA 1 P E A 2 c 1 P E A 2 c 1 03 025 A 24 10 310 361911 A µ µ π Note que a amplitude da onda deve ser no mínimo 025 Vm Por fim a área de uma casca esférica é dada por 2 A 4 R π Ao substituirmos essa expressão encontramos a distância de funcionamento do controle dada por 2 2 361911 4 R 288 R R 1697 m π Resumo Nesta unidade nossos estudos concentraramse na descrição e na aplicação das ondas eletromagnéticas Foi discutido como as ondas eletromagnéticas são formadas Foi mostrado que as linhas de campo elétrico de partículas carregadas estáticas ou em movimento uniforme sempre apontam na direção radial Para partículas em movimento acelerado esse comportamento não é verificado e ocorre uma perturbação na forma das linhas de campo A região em que as linhas de campo apresentam comportamento irregular é denominada radiação Caso a fonte emissora apresente movimento periódico a radiação se repetirá ao longo do tempo gerando o que chamamos de ondas eletromagnéticas As ondas são resultados de campos elétricos e magnéticos induzidos pelo movimento acelerado e periódico se propagando pelo espaço infinito O comportamento das ondas eletromagnéticas foi descrito matematicamente Foi mostrado que os campos se propagam em direções perpendiculares entre si e perpendicular em relação à direção de propagação da onda Os campos elétricos e magnéticos oscilam em fase e têm intensidades proporcionais As expressões dos vetores campo elétrico e campo magnético são dadas de maneira genérica por 0 0 E E senkx wt j B B senkx wt k ϕ ϕ 142 Unidade III onde E0 e B0 são as amplitudes de oscilação e k e w são o número de onda e a pulsação respectivamente As amplitudes dos campos se correlacionam de acordo com 0 0 E B c em que c é a velocidade da luz definida por 8 0 0 w 1 c 310 m s k µ ε O número de onda e a pulsação são grandezas diretamente ligadas ao comprimento da onda e ao período de oscilação 2 2 k w T π π λ Foi exposto como estas expressões são aplicadas em exercícios e problemas genéricos A Teoria Corpuscular da Luz foi introduzida mostrando que a luz se comporta ora como partícula e ora como onda De fato a luz é atualmente vista como composta de fótons que são pequenos pacotes de onda que transportam determinada quantidade de energia A energia transportada depende de sua frequência e quanto maior mais energético ele é Ondas de maior frequência ou seja mais energéticas são denominadas radiação ionizante e são deletérios para o homem As ondas de rádio por outro lado possuem baixa frequência sendo amplamente utilizadas nas telecomunicações e na Astronomia A absorção e emissão de radiação foram explicadas utilizando o modelo atômico de Bohr e a hipótese de quantização de energia Também foi abordada a descrição matemática do transporte de energia por ondas eletromagnéticas O vetor de Poynting foi definido como a potência transmitida por unidade de área sendo dado pela expressão 0 1 S ExB µ Diversos exercícios e estudos de casos foram analisados para exemplificar como o vetor de Poynting é utilizado e quais são as suas derivações 143 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Exercícios Questão 1 Enade 2014 Até alguns anos atrás bastava ligar um liquidificador na cozinha enquanto uma TV estava ligada na sala para perceber a interferência mas o desenvolvimento de tecnologias já conseguiu diminuir ou até mesmo eliminar a interferência entre alguns equipamentos Para evitar o mau funcionamento dos eletroeletrônicos foram criadas blindagens geralmente feitas com algum tipo de metal A interferência citada no texto é de origem eletromagnética e pode causar degradação no desempenho de um equipamento eletroeletrônico devido à geração de campos eletromagnéticos no ambiente No que se refere aos aspectos relacionados a esse fenômeno avalie as afirmativas a seguir I As causas de um problema de interferência eletromagnética podem ocorrer tanto dentro como fora do equipamento II As linhas de transmissão de energia descargas elétricas e lâmpadas fluorescentes são consideradas causadoras de interferência eletromagnética III Quando dois ou mais dispositivos contribuem simultaneamente para a interferência eletromagnética dizse que eles possuem compatibilidade magnética IV Aterramento blindagem e filtragem são soluções que podem ser utilizadas no projeto com o intuito de se controlar ou suprimir a interferência eletromagnética É correto apenas o que se afirma em A I e IV B II e III C III e IV D I II e III E I II e IV Resposta correta alternativa E 144 Unidade III Análise das afirmativas I Afirmativa correta Justificativa ocorre interferência quando a energia recebida faz com que o receptor se comporte de forma não desejada A fonte dessa energia pode ser interna ou externa ao circuito II Afirmativa correta Justificativa os campos magnéticos e elétricos produzidos pelas linhas de transmissão podem ser captados por vários equipamentos e em alguns casos especialmente se não houver blindagem podem produzir efeitos indesejados Lâmpadas fluorescentes quando ligadas podem gerar interferência em 28 kHz captada por diversos equipamentos especialmente rádios AM III Afirmativa incorreta Justificativa a compatibilidade eletromagnética é a habilidade de um sistema eletrônico funcionar propriamente no seu ambiente eletromagnético e não ser uma fonte de poluição eletromagnética nesse ambiente IV Afirmativa correta Justificativa o aterramento de equipamentos serve a três propósitos conforme segue Provê uma referência de potencial elétrico para o sistema de fornecimento de energia elétrica Faz com que uma superfície metálica que envolve um equipamento elétrico permaneça em um potencial seguro o da terra evitando choques às pessoas que trabalham com o equipamento Provê um caminho de baixa impedância para a passagem de cargas estáticas acumuladas bem como raios e outros fenômenos atmosféricos com o objetivo de proteger as pessoas e os equipamentos Temos ainda outros problemas que podem acontecer em equipamentos eletrônicos especialmente devido à interferência de radiação eletromagnética Esse tipo de interferência pode ser causado pela comutação de circuitos elétricos pela proximidade com transmissores de rádio por alguns tipos de defeitos e por fenômenos atmosféricos Muitos desses casos referemse a fenômenos que ocorrem em frequências elevadas Nessas frequências a impedância dos sistemas de aterramento pode adquirir valores elevados e dessa forma sua eficiência em reduzir o efeito desses fenômenos pode se tornar muito menor Por isso costumeiramente utilizamos a blindagem eletromagnética como um adicional de proteção em diversos circuitos eletrônicos A filtragem é uma opção para se reduzir a interferência vinda da própria rede elétrica devido aos equipamentos nela conectados ou às descargas atmosféricas 145 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Questão 2 A luz solar incide na alta atmosfera terrestre a razão de 50 calorias por centímetro quadrado e por segundo O campo de indução magnética Bm para a luz do sol supondo que ela seja uma radiação com campos uniformes é A 4 837 10 T B 419 10 5 T C 3 V 8 10 m D 837 10 4 T E 5 2092 10 T Observação considere 1 cal 41868 j e 7 0 4 µ π10 Resolução desta questão na plataforma 146 FIGURAS E ILUSTRAÇÕES Figura 56 A FILEJAMESCLERKMAXWELLBIGJPG Disponível em httpscommonswikimediaorgwiki FileJamesClerkMaxwellbigjpg Acesso em 12 jun 2017 B FILEHEINRICHHERTZJPG Disponível em httpscommonswikimediaorgwiki FileHEINRICHHERTZJPG Acesso em 12 jun 2017 Figura 57 FILEHPTABLETPCRUNNINGWINDOWSXPTABLETPCEDITION2006JPG Disponível em httpscommonswikimediaorgwikiFileHPTabletPCrunningWindowsXPTabletPCedition 2006jpg Figura 68 FILEINDUCTIONEXPERIMENTPNG Disponível em httpscommonswikimediaorgwikiFileInduction experimentpng Acesso em 28 jun 2017 Figura 81 FILE MAXPLANCK1933JPG Disponível em httpscommonswikimediaorgwikiFileMax Planck1933jpg Acesso em 12 jun 2017 REFERÊNCIAS Audiovisuais MARQUES G da C FURUKAWA C Eletromagnetismo Tema 19 Aplicações do fenômeno da indução Experimento 4 Mini usina hidroelétrica Brasil USP sd 2 minutos Disponível em httpeaulasusp brportalvideoactionidItem6073 Acesso em 19 jul 2017 TACOMA Narrows Bridge Destruction EUA 1940 2 minutos Textuais ARRABAÇA D Eletricidade básica volume dois São Paulo FEI 2014 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 53561 transformadores de potência parte 1 Rio de Janeiro 1993 BOULOS P ABUD Z I Cálculo diferencial e integral São Paulo Pearson Education do Brasil 2002 v 2 147 CARDOSO J R Engenharia eletromagnética Rio de Janeiro Elsevier 2011 EISBERG R RESNICK R Física quântica átomos moléculas sólidos núcleos e partículas Rio de Janeiro Elsevier 1979 ELECTROMAGNETIC field of an accelerated charge sd Disponível em httpwwwtapircaltech edutevietWavesempulsehtml Acesso em 19 jul 2017 ELECTROMAGNETIC waves sd Disponível em httpwwwtapircaltechedutevietWavesemwave html Acesso em 19 jul 2017 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de Física 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 4 v HAYT JR W H BUCK J A Eletromagnetismo 8 ed Porto Alegre McGraw Hill 2013 HEILBRON J L Ernest Rutherford and the explosion of atoms Oxford Oxford University 2003 KELLER F J GETTYS E SKOVE M J Física São Paulo Pearson 1999 2 v MACHADO K D Teoria do Eletromagnetismo Ponta Grossa UEPG 2006 v 13 MAXWELL J C A dynamical theory of the electromagnetic field Philosophical Transactions of the Royal Society of London 1865 v 155 p 459 NETTO L F 16 em 1 o MHS sd Disponível em httpwwwfeiradecienciascombrsala181807 asp Acesso em 19 jul 2017 NUSSENZVEIG H M Curso de Física Básica São Paulo Edgard Blucher 1998 v 3 Física Básica 3 Eletromagnetismo 1 ed São Paulo Edgard Blucher 1997 p 287 SADIKU M N O Elementos de Eletromagnetismo 5 ed Porto Alegre Bookman 2012 SANTOS C A dos Experimento da dupla fenda de Young 2002 Disponível em httpwwwifufrgs brhistoriayounghtml Acesso em 9 jun 2017 SANTOS J C F dos Indução eletromagnética sd Disponível em httpeducacaoglobocomfisica assuntoeletromagnetismoinducaohtml Acesso em 19 jul 2017 SERWAY R A JEWETT JR J W Princípios de Física Eletromagnetismo São Paulo Cengage Learning 2008 v 3 THOMSON J J Cathode Rays Philosophical Magazine 1897 v 44 p 293 YOUNG H D FREEDMAN R A Física v 3 São Paulo Pearson Addison Wesley 2009 148 Exercícios Unidade I Questão 1 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA INEP Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes ENADE 2014 Engenharia Mecânica Questão 21 Disponível em httpdownloadinepgovbreducacaosuperiorenadeprovas201419 engenhariamecanicapdf Acesso em 16 jun 2017 Unidade I Questão 2 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA INEP Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes ENADE 2011 Engenharia Mecânica Questão 16 Disponível em httpdownloadinepgovbreducacaosuperiorenadeprovas2011 ENGENHARIAGRUPO20IIIpdf Acesso em 16 jun 2017 Unidade III Questão 1 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA INEP Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes ENADE 2014 Engenharia Elétrica Questão 21 Disponível em httpdownloadinepgovbreducacaosuperiorenadeprovas201417 engenhariaeletricapdf Acesso em 16 jun 2017 Informações wwwsepiunipbr ou 0800 010 9000