Expressão Matemática do Sinal Senoidal

11 Expressão Matemática do Sinal Senoidal Todo sinal elétrico senoidal pode ter seu comportamento descrito de modo gráfico ou analítico através de uma função matemática senoidal periódica e variante com o tempo Adotase para a representação dos sinais de tensão e de corrente alternada senoidal as seguintes expressões gerais vαt Vmax senαt θ1 iαt Imax senαt θ1 Onde Vmax e Imax valores máximo de pico ou amplitude ω frequência angular elétrica θ ângulo de fase Na Figura 3 estão apresentados graficamente os principais parâmetros do sinal senoidal e na sequência suas definições Valor máximo de pico ou amplitude Vmax Vp ou A é o valor extremo alcançado pelo sinal Período T s é o tempo decorrido na realização de um ciclo completo Frequência f Hz é o número de ciclos realizados na unidade de tempo obtido por f 1T Hz Onde 1 Hz 1 ciclo segundo Frequência angular elétrica ω rads É a rapidez de variação do sinal Ou seja é a velocidade com que o sinal realiza um ciclo de variação o que equivale realizar num círculo um arco de 2π radianos ou 360 2 Ângulo de fase θ o É a posição relativa expressa em grau do sinal em relação a uma referência ou a outro sinal Seu valor pode ser Defasagem É a diferença de fase entre dois sinais A e B Ou seja é a medida do adiantamento ou do atraso de um sinal A em relação a outro sinal de referência B A B BA B A AB ou θ θ θ θ θ θ Por exemplo Se 50 200 100 30 200 10 V t sen v e V t sen v o B o A Então a defasagem entre A e B é 0 0 20 50 30 o B A AB θ θ θ Note que o sinal menos significa dizer que A está atrasado de B de 20o Valor eficaz Como a forma de onda senoidal é pulsante sua energia não é transmitida de forma constante como acontece em corrente contínua Para tensões variantes no tempo se pode obter um valor efetivo equivalente ao valor médio de uma fonte CC que demandaria a mesma potência elétrica O Valor Eficaz ou RMS root mean square de uma onda senoidal pode ser demonstrado que o valor eficaz equivale a 2 Vef Vm Pela equação anterior note que o valor eficaz não depende da frequência nem do ângulo de fase somente da amplitude do sinal Assim por exemplo na rede elétrica local 220 V é uma tensão eficaz referente à tensão alternada senoidal em 60 Hz de valor de pico de 31113 V θ 0o positivo sinal adiantado θ 0o sinal em fase θ 0o negativo sinal atrasado θ 90o atrasado θ 0o em fase V t θ 90o adiantado V t V t Dados Icc 75 A Vcc 120 V Pcc Pca Vcc Vefcaz Vmax 2 120 16971 V Pca Vef Ief 120 75 900 W 21 Vt 50 sen31416 t V Vmax 50 V ω 31416 rads f ω 2π 31416 2π 50 Hz Vef Vmax 2 3535 V Ief Vef Req 3535 1385 255 A I2ef V2ef R2 3535 45 079 A Imax 2 Ief 111 A 22 Vt 100 sen377 t V Vmax 100 V Vef Vmax 2 7071 V ω 377 rads f ω 2π 60 Hz Pef Vef Ief 7071 260 18421 W Vcb V2 R23f 714 103 1861 V I2ef V2ef R2 1861 10 186 A I2max 2 I2ef 263 A I3ef V3f R3 786 25 074 A Ief Ief Ief 260 A Imax 2 I2ef 368 A 3 12 Resposta senoidal do resistor Em corrente contínua vimos que no resistor a tensão e a corrente se relacionam na forma R I ou V R V I Em corrente alternada senoidal a relação é dada por Partindose de R v t i t Substituindo vt temse R t sen V i t v máx ω θ Ou Com no resistor a tensão e corrente estão em fase v máx t sen V t v θ ω ω i máx máx máx t sen I i t ou R V I ω θ Graficamente Considerando seus respectivos valores eficazes a relação fica R V I ef ef Em corrente alternada como a tensão e a corrente se relaciona que em CC ao se adotar valores eficazes as equações da potência elétrica são as mesmas R V P ou R I P ou I V P ef ef ef ef 2 2 V R I VR v R i v Vt 7071 sen37416 t V Vmax 7071 V Vef Vmax 2 50 V ω 31416 rads f ω 2π 50 Hz R24 3k2k 3k2k 12 kΩ R224 12 k 2k 32 kΩ R1234 32 k4k 32k4k 178 kΩ Req 8 k 178 978 kΩ Ief Vef Req 50 978 k 511 mA Pef Vef Ief 25568 mW Isef Ief 517 mA I5max 2 Isef 723 mA VAC R1234 If 178103511103 909 V Vef VAC I1ef Vef R1 909 4k 227 mA I1max 2 I1ef 321 A I3max 2 I3ef I3ef Isef Isef 511 m 227 m 284 mA I3max 402 mA VAD R24 I3 12103284103 341 V V2ef V1ef VAD I2ef Vef R2 341 3k 114 mA I2max 2 I2ef 161 mA I4ef V4 R4 341 2k 170 mA I4max 2 I4ef 241 mA 4 No tempo temse a seguinte equação sen2 wt I V i t v t p t p p A potência dissipada no resistor será sempre positiva como pode ser observado no gráfico a seguir Figura 4 Tensão corrente e potência em um resistor 13 Elementos armazenadores de energia Alguns elementos de circuitos elétricos podem armazenar energia em forma de campo elétrico ou magnético 131 Capacitância O capacitor é um elemento de circuito que possui a característica de conservar energia através do campo elétrico estabelecido entre suas placas tendendo manter constante a tensão entre os seus terminais O capacitor é representado pela letra C e tem como unidade o Farad F C Em circuitos CC o capacitor funciona como um circuito aberto Porém em CA o capacitor exerce oposição à variação de tensão fenômeno denominado reatância capacitiva designada por XC medida em ohm Ω e expressa por 2 1 Ω f C Xc π Para uma fonte senoidal a tensão no capacitor é expressa por sen wt V t V p c A corrente no capacitor será 90 cos o p p c c sen wt C w V wt C w V dt C dV t i t V A Q B Q 5 O capacitor atrasa a tensão em relação à corrente conforme pode ser visto pela ilustração abaixo Figura 5 Tensão e corrente em um capacitor Em um circuito puramente capacitivo não há dissipação de potência ativa Como se pode observar na figura a seguir em um período da rede elétrica o valor médio da potência no capacitor é nulo O capacitor armazena energia no primeiro semiciclo da rede devolvendo esta mesma energia no segundo Figura 6 Tensão corrente e potência em um capacitor 132 Indutância O indutor é um elemento de circuito que possui a característica de conservar energia através do campo magnético entre sua bobina tendendo manter constante a corrente entre os seus terminais O indutor é representado pela letra L e tem como unidade o Henry H L Em circuitos CC o indutor funciona como um circuito fechado fio condutor Porém em CA o capacitor exerce oposição à variação de corrente fenômeno denominado reatância indutiva designada por XL medida em ohm Ω e expressa por 2 Ω f L X L π Para uma fonte senoidal a corrente no indutor é expressa por sen wt I t i p L 6 A tensão no indutor será 90 cos o p p L L sen wt L w I wt L w I dt t L di t v O indutor atrasa a corrente em relação à tensão conforme pode ser visto pela ilustração abaixo Figura 7 Tensão e corrente em um indutor Assim como num circuito puramente capacitivo no indutivo não há dissipação de potência ativa Como se pode observar na figura a seguir em um período da rede elétrica o valor médio da potência no indutor é nulo O indutor armazena energia no primeiro semiciclo da rede devolvendo esta mesma energia no segundo Figura 8 Tensão corrente e potência em um indutor 133 Impedância Os circuitos de corrente alternada raramente são apenas resistivos indutivos ou capacitivos Na maioria das vezes os mesmos apresentam as duas reatâncias ou uma delas combinada com a resistência A resistência total do circuito neste caso passa a ser denominada de impedância designada por Z e medida em ohm Ω Neste caso a Lei de Ohm passa a ser expressa por Z I V 7 14 Tipos de potência Em virtude da possibilidade da associação dos elementos resistor capacitor e indutor a potência elétrica em um circuito pode ser de três tipos Potência ativa a potência dissipada por resistores expressa em watt W 2 W R I P Potência reativa potência que retorna dos indutores e capacitores expressa em volt ampere reativo VAr A equação é similar trocando somente a resistência pela reatância capacitiva ou indutiva 2 VAr X I Q A potência reativa pode ser positiva proveniente dos circuitos indutivos X 0 ou negativa proveniente dos circuitos capacitivos X 0 Logo a combinação de indutores e capacitores permite que um absorva a potência reativa do outro Potência aparente a potência ativa e reativa combinada expressa em Volt Ampère VA O módulo da potência aparente é a multiplicação dos módulos da tensão e corrente V I VA S As três potências se relacionam pela seguinte expressão 2 2 2 Q P S E pelo triângulo Figura 9 Triângulo de potências O ângulo da potência aparente será o mesmo ângulo da impedância As potências ativa e reativa podem ser calculadas a partir deste ângulo ϕ ϕ cos cos V I S P ϕ ϕ V I sen S sen Q Em um arranjo de várias cargas quando a reatância L X for maior do que C X o circuito é indutivo Neste caso a corrente total é atrasada em relação à tensão de entrada e temse o triângulo de potências resultante apresentado abaixo Figura 10 Triângulo de potências de um circuito indutivo 8 Por outro lado quando a reatância L X for menor do que C X o circuito é capacitivo sendo a corrente total é adiantada em relação à tensão de entrada e temse o triângulo de potências resultante apresentado abaixo Figura 11 Triângulo de potências de um circuito capacitivo A potência reativa resultante pode ser calculada pela fórmula C L Q Q Q 15 Fator de Potência Fator de potência é a fração da potência aparente que realiza trabalho É uma grandeza adimensional que atinge o valor de no máximo a unidade A potência reativa faz circular corrente pelo circuito sem que haja consumo aquecendo os alimentadores e sobrecarregando os circuitos O fator de potência é o cosseno do ângulo do triângulo de potências ou o ângulo de defasagem entre as formas de onda da tensão e da corrente S cosϕ P Percebese que um fator de potência baixo é sinal de um alto reativo ou seja a energia não está sendo devidamente aproveitada Um fator de potência unitário significa que o circuito é resistivo ou seja toda a potência está sendo dissipada Um fator de potência indutivo é dito atrasado enquanto o capacitivo é adiantado Nos grandes consumidores o fator de potência é uma medida importante pois ele é tarifado se atingir valores inferiores a 092 EXERCÍCIOS 1 Um forno elétrico consome 75 A de uma fonte de alimentação CC de 120 V Qual o valor máximo de uma tensão alternada capaz de produzir o mesmo efeito térmico na resistência deste forno Calcule a potência deste forno em CA 2 Para os circuitos abaixo determine A tensão de pico e eficaz da fonte A frequência do sinal A corrente eficaz total do circuito A potência total do circuito As correntes eficazes e de pico nos resistores 9 21 31416 50 t Sen v t V 22 377 100 t Sen v t V 23 31416 7071 t Sen v t V 24 31416 7071 t Sen v t V 3 Para uma fonte de tensão expressa por 377 31113 t Sen V t V aplicada nos circuitos a seguir determine O valor da impedância A corrente eficaz do circuito As potências ativa reativa e aparente 31 32 33 4 Para uma fonte de tensão expressa por 377 31113 t Sen V t V aplicada no circuito abaixo determine O valor das impedâncias Xc e XL As correntes eficaz nos elementos R Xc e XL As potências ativa reativa e aparente em cada elemento do circuito A corrente e as potências ativa reativa e aparente vista pela fonte 5 Seja uma carga sob tensão de 220 V e com potência ativa de 10 kW Calcule a potência aparente e a corrente quando seu fator de potência for igual a 05 e a 1 6 Em uma rede de 220 V um reator de uma luminária fluorescente tem fator de potência de 092 onde circula uma corrente de 072 A Para este reator calcule as potências ativa e aparente 7 Um circuito RC série ligado a rede de 220 V60 Hz dissipa 1200 W com fator de potência de 08 Determine a potência aparente do circuito a corrente do circuito a potência reativa do circuito o valor da resistência e da capacitância 45Ω R2 20Ω R1 Vt 25Ω R3 10Ω R2 Vt 20Ω R1 3kΩ R2 2kΩ R4 8kΩ R5 2kΩ R3 4kΩ R1 Vt 2kΩ R2 4kΩ R4 500Ω R5 2kΩ R3 1kΩ R1 Vt V 1Ω V 2mH V 2mF V 1Ω 2mH 2mF 10 8 Um circuito constituído de um computador e seu monitor ligados em uma rede de 220V60Hz dissipa 560 W com fator de potência de 085 Determine para este circuito A potência aparente A corrente A potência reativa Se esta carga fosse modelada como um circuito RC paralelo qual seriam os seus valores de resistência e de capacitância 9 O circuito ao lado está ligado à uma rede de 220 V60 Hz Determine As potências aparente ativa e reativa do circuito A corrente eficaz da fonte 10 Um forno de indução de 15 kVA e fator de potência de 085 opera 24 horas por dia ao longo de todo o ano Considerando uma tarifa de R 035 por kWh calcule o custo da energia deste forno ao mês considere 30 dias 11 No circuito ao lado a leitura dos instrumentos é V220 V I55 A e P10 kW Calcular a potência aparente e o fator de potência do circuito 12 Uma carga RL ligada em paralelo possui as seguintes características vista pela fonte V 220 V f60 Hz S 300 VA e fator de potência de 08 indutivo Calcular o valor da capacitância necessária para tornar o fator de potência unitário 13 Uma carga RL ligada em paralelo possui as seguintes características vista pela fonte V115 V f60 Hz P3 kW e fator de potência de 08 indutivo Calcular o valor da capacitância necessária para tornar o fator de potência do circuito 092 indutivo GABARITO 1 16971 V 900 W 2 21 50 V 3535 V 50 Hz Fonte255 A 9028 W R1177 A 25 A R2079 A 111 A 22 100 V 7071 V 60 Hz Fonte260 A 18421 W R1260 A 368 A R2186 A 263 A R3074 A 105 A 23 7071 V 50 V 50 Hz Fonte511 mA 25568 mW R1227 mA 321 mA R2114 mA 161 mA R3284 mA 402 mA R4170 mA 241 mA R5511 mA 723 mA 24 7071 V 50 V 50 Hz Fonte25 mA 125 W R11667 mA 2357 mA R2833 mA 1178 mA R31667 mA 2357 mA R4833 mA 1178 mA R500 3 31 Z 1 Ω Ief 220 A P 484 kW Q 0 VAr S 484 kVA 32 Z 075 Ω Ief 29178 A P 0 W Q 6453 kVAr S 6453 kVA 33 Z 133 Ω Ief 16588A P 0 W Q 3649 kVAr S 3649 kVA 4 Xc 133 Ω XL 075 Ω IR 220 A IXc 16588 A IXL 29178 A PR 484 kW QR 0 Var SR 484 kVA PXc 0 W QXc 3649 kVAr SXc 3649 kVA PXL 0W QXL 6453 kVAr SXL 6453 kVA Pt 484 kW Qt 2804 kVAr St 5593 kVA It 25425 A 5 S 20 kVA I 9091 A S 10 kVA I 4545A 6 P 14573 W S 1584 VA 7 S 1500 VA I 682 A Q 900 VAr R 2580 Ω C 137 uF 8 S 65882 VA I 299 A Q 34706 VAr R 8643 Ω C 1902 uF 9 S 705676 VA P 4840 W Q 513540 VAr I 3208 A 10 R 321300 11 S 12100 VA FP 083 12 C986 uF 13 C 19496 uF V 10Ω 25mH Ut 7071Sen31416t V Vmax 7071 V Vef Vmax 2 W 31416 rads f W 2π 50Hz R12 1k 2k 067kΩ R34 2k 4k 133kΩ Req 067k 133k 2kΩ Ief Vef Req 50 2k 25mA Pef Vef Ief 125W VAC R12If 06710³2510³ VAC 1667V V1ef 2Ief I1ef V1ef R1 Imax 2I1ef 2357mA I2ef V2ef R2 1667 2k 833mA Imax 2I2ef 1178mA V5 0V I5 0A Ut 31113Sen377t V Vef 31113 220V W 377 rads f W 2π 60Hz R 1Ω I V Z 220 1 220A P V² R 220² 1 484kW Q 0 resistor não armazena energia S P² Q² 484kVA L 2mH XL 2πfL 2π60210³ 075Ω Z XL 075Ω I V Z 220 075 29178A P 0 indutor não dissipa potência ativa Q V² X 220² 075 6453kVAr S P² Q² 6453kVA V220V V220V