Aula 9: Dinâmica - Sistemas de Partículas

AULA 9 Prof José Maciel Dinâmica CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA Sistemas de Partículas 1 Aplicação das leis de Newton ao movimento de um sistema de partículas Forças efetivas 2 Quantidade de movimento linear e angular de um sistema de partículas 3 Movimento do centro de massa de um sistema de partículas 4 Quantidade de movimento angular de um sistema de partículas em relação ao seu centro de massa 5 Conservação da quantidade de movimento para um sistema de partículas Para deduzir as equações de movimento de um sistema de n partículas devese começar escrevendo a segunda lei de Newton para cada partícula individual do sistema Aplicação das Leis de Newton ao Movimento de um Sistema de Partículas Considere a partícula Pi onde 1 i n Seja mi a massa de Pi e a sua aceleração em relação ao sistema de referência essa lei pode ser escrita matematicamente como 𝒊𝟏 𝒏 𝑭𝒊 𝒊𝟏 𝒏 𝑚𝑖 𝒂𝒊 Por conseguinte a soma das forças externas atuando sobre o sistema de partículas é igual à massa total das partículas vezes a aceleração de seu centro de massa G Visto que na realidade todas as partículas têm de ter uma dimensão finita para possuir massa essa equação justifica a aplicação da equação do movimento a um corpo que é representado por uma única partícula Se rG é um vetor posição que localiza o centro de massa G das partículas Figura então pela definição de centro de massa mrG mir onde m mi é a massa total de todas as partículas Derivando essa equação duas vezes em relação ao tempo supondo que nenhuma massa esteja entrando ou saindo do sistema resulta em F maG Definindo a quantidade de movimento linear L do sistema de partículas como a soma das quantidades de movimento linear das várias partículas do sistema assim ela pode ser escrita em forma matemática como Quantidade de Movimento Linear e Angular de um Sistema de Partículas 𝑳 𝒊𝟏 𝒏 𝑚𝑖 𝒗𝒊 Definindo também a quantidade de movimento angular HO em relação a um do sistema de partículas de um modo similar temse Diferenciando ambos os membros das equações de quantidade de movimento em relação a t obtémse HO 𝒊𝟏 𝒏 𝒓𝒊 𝑥 𝑚𝑖 𝒗𝒊 σ 𝑭 ሶ𝑳 e σ MO ሶ HO A segunda Lei de Newton pode ser escrita de forma alternativa se o centro de massa do sistema de partículas for considerado O centro de massa do sistema é o ponto G definido pelo vetor de posição que satisfaz a relação Movimento do Centro de Massa de um Sistema de Partículas 𝑚 ത𝒓 𝒊𝟏 𝒏 𝑚𝑖 𝒓𝒊 Diferenciando ambos os membros dessa equação em relação a t obtémse 𝑚 ഥ𝒗 σ11 𝑛 𝑚𝑖 𝒗𝒊 Temse portanto 𝑳 𝑚 ഥ𝒗 e diferenciando ambos os membros dessa equação em relação a t resulta em ሶ𝑳 𝑚 ഥ𝒂 Agora substituindo esse valor na equação σ 𝑭 ሶ𝑳 podese escrever σ 𝑭 𝑚 ഥ𝒂 que define o movimento do centro de massa G do sistema de partículas O momento resultante em relação a G das forças externas que atuam sobre as partículas do sistema é dado por que expressa que o momento resultante em relação a G das forças externas é igual à taxa de variação da quantidade de movimento angular em relação a G do sistema de partículas Quantidade de Movimento Angular de um Sistema de Partículas em relação ao seu Centro de Massa σ𝑴𝑮 ሶ H𝑮 Se nenhuma força externa atua sobre as partículas de um sistema as equações se reduzem a ሶL 0 e ሶ H𝟎 0 Concluise que L constante e HO constante As equações obtidas expressam que a quantidade de movimento linear do sistema de partículas e sua quantidade de movimento angular em relação ao ponto fixo O se conservam Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de Partículas O conceito de conservação da quantidade de movimento também pode ser aplicado à análise do movimento do centro de massa G de um sistema de partículas e à análise do movimento do sistema em relação a G Por exemplo se a soma das forças externas é zero significa que L 0 se aplica Recordando que a equação 𝑳 𝑚 ഥ𝒗 escrevese ഥ𝒗 0 que expressa que o centro de massa G do sistema se move em uma linha reta e a uma velocidade constante Por outro lado se a soma dos momentos em relação a G das forças externas é zero seguese da equação σ𝑴𝑮 ሶ H𝑮 que a quantidade de movimento angular do sistema em relação a seu centro de massa é conservada HG constante 01 O homem de 80 kg pode lançar a caixa de 20 kg horizontal a 4 ms quando está em pé no chão Se em vez disso ele se encontrar em pé no barco de 120 kg e lançar a caixa como mostra a foto determine até que distância o barco se moverá em três segundos Despreze a resistência da água EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 02 P144 Um homem de 90 kg e uma mulher de 60 kg estão em extremidades opostas de um barco de 150 kg prontos para mergulhar cada um com uma velocidade de 5 ms em relação ao barco Determine a velocidade do barco após os dois terem mergulhado se a a mulher mergulha primeiro e b o homem mergulha primeiro 03 P149 Um sistema consiste de três partículas A B e C Sabemos que mA 3 kg mB 4 kg e mC 5 kg e que as velocidades das partículas expressas em ms respectivamente são vA 4i 4j 6k vB 6i 8j 4k e vC 2i 6j 4k Determine a quantidade de movimento angular HO do sistema em relação a O 04 P1416 Um projétil de 15 kg passa pela origem O com uma velocidade v0 40 msi quando explode em dois fragmentos A e B de 6 kg e 9 kg respectivamente Sabendo que 3 s depois a posição do fragmento A é 100 m 10 m 20 m determine a posição do fragmento B no mesmo instante Considere ay g 981 ms² e despreze a resistência do ar 05 P1415 Um veículo espacial de 450 kg está viajando com uma velocidade v0 360 ms i passa pela origem O no instante t 0 Cargas explosivas separam o veículo em três partes A B e C de 225 kg 150 kg e 75 kg respectivamente Sabendo que no instante t 4 s as posições observadas das partes A e B são A 1200 m 300 m 600 m e B 1300 m 350 m 800 m determine a correspondente posição da parte C Despreze o efeito da gravidade 06 P14534 Um projétil é disparado com uma velocidade horizontal de 450 ms por meio de um bloco A de 3 kg de massa e fica incrustado em um bloco B de 25 kg Sabendo que os blocos A e B iniciam seus movimentos com velocidades de 15 ms e 27 ms respectivamente Determine a a massa do projétil b sua velocidade ao se deslocar do bloco A para o bloco B e a energia perdida quando o projétil c passa por meio do bloco A d fica incrustado no bloco B 07 P144142 Dois hemisférios são mantidos unidos por uma corda que mantém uma mola comprimida a mola não está presa aos hemisférios A energia potencial da mola comprimida é de 120 J e a montagem tem uma velocidade inicial v0 de intensidade v0 8 ms Sabendo que a corda se parte quando θ 30 causando a separação dos hemisférios determine a a velocidade resultante de cada hemisfério b sabendo que a corda é partida quando θ 120 08 P 145354 Em um jogo de bilhar a bola A tem velocidade inicial v0 ao longo da direção do eixo longitudinal da mesa Ela atinge a bola B e a seguir a bola C que estão ambas em repouso Observase que as bolas A e C atingem as laterais da mesa perpendicularmente nos pontos A e C respectivamente enquanto a bola B atinge a lateral da mesa obliquamente em B Sabendo que v0 4 ms vA 2 ms e a 1600 mm Considere as superfícies como sendo sem atrito e os choques como perfeitamente elásticos isto é conservação de energia Determine a as velocidades vB e vC das bolas B e C b o ponto C onde a bola C atinge a lateral da mesa Considerando agora que v0 5 ms vC 3 ms e c 1200 mm determine c as velocidades vA e vB das bolas A e B d o ponto A onde a bola A atinge a lateral da mesa