Gabarito Eletromagnetismo - Exercício Escolar Resolvido 2023-2

Fundamentos do Eletromagnetismo Profs Augusto Otávio Fabio Rodrigo José Roberto Marcone Sena Renato Barbosa Nome CPF Turma Data 15março2024 GABARITO do Segundo Exercício Escolar de 20232 Orientações Leia atentamente todas as questões dispostas na frente e no verso desta prova Os cálculos necessários devem ser realizados na folha de resposta É permitido o uso de calculadora Dados µ0 1 257 106 m kg s2 A2 constante magnética ou constante de pemeabilidade do vácuo 1º 250 pontos Um arame AB está apoiando sobre dois tri lhos metálicos AC e BD paralelos e separados a uma distância d 5 0 cm conforme representado na figura ao lado As ex tremidades C e D dos trilhos são conectadas a uma força ele tromotriz que fornece uma corrente a este circuito O conjunto está imerso em um campo magnético uniforme B com mó dulo B 0 04 T que entra ortogonalmente no plano horizon tal formado pelo circuito contido na página da prova O arame possui massa m 2 0 g e o coeficiente de atrito estático entre o arame e o trilho é igual a µe 0 2 Considere a gravidade igual a g 10 0 ms2 a 150 ponto Determine o menor valor da corrente capaz de produzir o deslizamento do arame sobre os trilhos b 100 ponto Desprezando a força de atrito qual seria a aceleração inicial do arame utilizando a mesma corrente elétrica Resolução da 1ª questão a A força magnética que age sobre o arame AB é determinada como Fmag i LAB B ondeLAB d ˆȷ é o vetor comprimento do arame e B B ˆk é o campo magnético Portanto Fmag i d B ˆȷ ˆk i d B ˆı que indica uma força magnética para a direita 075 ponto Da condição de equilíbrio quando o arame está na eminência de entrar em movimento temos Fmag Fat 0 ou seja Fmag Fat imín d B mg µe imín m g µe d B 2 0 103 kg 10 0 ms2 0 2 5 0 102 m 4 0 102 T 2 0 A 075 ponto b Se desprezarmos o atrito quando o arame é percorrido pela corrente imín a partir da 2a lei de Newton podemos determinar a aceleração a desenvolvida como m a Fmag imin d B a imin d B m m g µe m a g µe 0 2 10 0 ms2 2 0 ms2 100 ponto 2º 250 pontos Seja a seção reta de um condutor cilíndrico maciço de raio a concêntrico a uma casca cilíndrica condutora raio b 2a com espessura desprezível conforme a figura ao lado O condutor cilíndrico maciço conduz uma corrente uniformemente distribuída i para dentro do papel A casca condutora cilíndrica conduz uma corrente total 2i para fora do papel Determine o sentido e expressão para o módulo do campo magnético produzido pelo fio em função da distância radial r e dos parâmetros dados na questão a 10 ponto na região 0 r a b 075 ponto na região a r b c 075 ponto na região r b Resolução da 2ª questão a A corrente ienv uniformemente distribuída envolvida pelo circuito circular Cr de raio r a satisfaz ienv Aenv J i pi a2 ienvr i pi r2 pi a2 i r a2 050 onde Aenv pi r2 é a área delimitada por Cr e J é a densidade de corrente que é constante na região do cilindro interno maciço Aplicando a lei de Ampère ao circuito Cr orientado no sentido antihorário verificamos Cr dℓ B µ0 ienv 2πr B µ0 i r2 a2 Br µ0 i 2π r a2 no sentido horário para r a 050 onde as linhas do campo magnético se dão em circunferências concêntricas ao eixo de simetria do cilindro orientadas no sentido horário em virtude da corrente que entra no plano b De forma semelhante aplicando a lei de Ampère ao circuito circular Cr de raio r com o a r 2a cujo centro passa o eixo de simetria do cilindro e orientado no sentido antihorário que envolve a corrente do cilindro maciço ienv i 025 que entra no plano da página obtemos Cr dℓ B µ0 ienv 2πr B µ0 i Br µ0 i 2πr no sentido horário para a r 2a 050 onde as linhas do campo magnético se dão em circunferências concêntricas ao eixo de simetria do cilindro orientadas no sentido horário em virtude da corrente que entra no plano c De forma semelhante aplicando a lei de Ampère ao circuito circular Cr de raio r com r 2a cujo centro passa o eixo de simetria do cilindro e orientado no sentido antihorário que envolve a corrente líquida ienv i 2i i 025 que sai do plano da página obtemos Cr dℓ B µ0 ienv 2πr B µ0 i Br µ0 i 2πr no sentido antihorário para r 2a 050 onde as linhas do campo magnético se dão em circunferências concêntricas ao eixo de simetria do cilindro orientadas no sentido antihorário em virtude da corrente líquida que sai no plano Extra O campo magnético pode ser expresso como Br Bθr θ onde θ é o vetor unitário da direção transversal do sistema polar onde Bθr µ0 i 2πa r a se r a a r se a r 2a a r se r 2a 3º 250 pontos Um fio reto e longo transporta uma corrente que cresce linearmente no tempo como it 200 A min t Uma espira retangular de lados a 50 cm e b 100 cm é colocada com seus lados maiores paralelos ao fio O lado maior mais próximo do fio está distante deste de d 20 cm a 150 ponto Determine o fluxo do campo magnético através da espira b 100 ponto Se a espira possui uma resistência de R 100 Ω determine a corrente e o sentido da corrente induzida na espira justifique Resolução da 3ª questão a A partir da lei de Ampère aplicado para um fio infinito percorrido por uma corrente it o módulo do campo magnético que se dá em linhas circulares concêntricos com o fio é dada por B µ0 it 2πr rdy Byt µ0 it 2πdy 050 onde r d y é a distância da região do espaço até o fio que transporta a corrente É tomado y 0 desde a base da espira O fluxo do campo magnético na região 0 x a e 0 y b é apresentada como ΦBt B dA µ0 it 2π 0a dx 0b dy d y it µ0 a 2π ln1 b d Se o aluno tomar a 50 cm e b 100 cm obtemos ΦBt 200 t 600 s 1257 106 m kg s2 A 50 102 m 2π ln1 100 cm 20 cm t 0597 108 m2 kg s3 A 100 Se o aluno tomar a 100 cm e b 50 cm obtemos ΦBt 200 t 600 s 1257 106 m kg s2 A 100 102 m 2π ln1 50 cm 20 cm t 0835 108 m2 kg s3 A 100 Obs As unidades dos resultados podem ser apresentadas no SI como m2 kg s3 A ou T m2 s ou Wb s ou V b Usando a lei de Faraday podemos encontrar a força eletromotriz induzida absoluta na espira como εind dΦBtdt ditdt µ0 a 2π ln1 b d 0597 108 V se o aluno tomar a 50 cm e b 100 cm 0835 108 V se o aluno tomar a 100 cm e b 50 cm 050 Sendo R 100 Ω a resistência da espira a corrente induzida na espira será iind εind R 0597 109 A 0597 nA se o aluno tomar a 50 cm e b 100 cm 0835 109 A 0835 nA se o aluno tomar a 100 cm e b 50 cm 050 De acordo com a lei de Lenz o sentido da corrente induzida na espira deverá ser o horário Com este sentido a corrente induzida irá criar um fluxo magnético para dentro do papel que irá se opor a variação do fluxo do campo magnético gerado pelo fio na região da espira 4ª 250 pontos Um circuito RL é disposto conforme a figura abaixo com a chave S aberta Seja i1 e i2 as correntes que atra vessam as resistências R1 e R2 respectivamente no circuito Determine as correntes i1 e i2 e seus sentidos a 050 ponto imediatamente após a chave S ser fechada b 075 ponto muito tempo depois da chave S ser fechada c 050 ponto imediatamente após a chave S ser reaberta d 075 ponto muito tempo depois da chave S ser reaberta Resolução da 4ª questão a Imediatamente após fechamento da chave S o in dutor do circuito no ramo do resistor R2 se comporta como um fio partido O circuito nesta situação pode ser pensado como um circuito contendo apenas o re sistor R2 e a fonte ε Assim a corrente i1 0 025 e a corrente i2 εR2 3 00 mA 025 b Muito tempo depois da chave S ser fechada o in dutor se comporta como um fio comum O circuito pode ser entendido como uma associação em para lelo dos resistores R1 e R2 Assim i1 εR1 9 00 mA 0375 e i2 εR2 3 00 mA0375 c Imediatamente após a chave S ser aberta a cor rente no ramo do resistor R2 não vai a zero instan taneamente devido a fem autoinduzida do indutor Assim a corrente i1 terá o mesmo valor da corrente que tinha no momento imediatamento anterior a abertura da chave S isto é i1 9 00 mA O circuito com a chave S aberta pode ser entendido como uma associação em série de R1 e R2 com o indutor L Como resutado temos i2 i1 9 00 mA 025 p cada corrente d Após a chave S permanecer muito tempo aberta a tensão no indutor irá a zero VL 0 Desta forma o indutor comportará como um fio comum no cir cuito e termos uma associação em série de R1 e R2 sem uma fonte de tensão para ali mentar o circuito Logo i1 i2 0 A 0375 pcada corrente Page 4