Lista de Exercícios Resolvidos - Cinemática da Partícula - Beer Johnston 9a Edição

bms2 948E00 ams3 600E00 bms2 200E00 ams3 800E00 X4m 200E01 V4ms 160E Lista 1 Problemas do capítulo 11 do BeerJohnstonCornwell9a edição Equipe Profs José Almeida Maciel e Osmundo Donato P113 O movimento de uma partícula no SI é dado por xat3bt2300t800 Dado que ab290 determine quando a velocidade se anula a o instante de tempo b a posição e c a aceleração da partícula P115 O movimento de uma partícula é definido pela relação xat4bt3120t2300t300 no SI após o cronômetro ter sido ligado No instante em que a aceleração se anula determine no SI a o instante indicado no cronômetro b a posição e c a velocidade da partícula neste instante P119 A aceleração de uma partícula é constante e vale a ms2 Sabendo que xt400sX4 m e vx400mV4 ms determine no SI a o instante em que a velocidade é zero e b a distância total percorrida do início até t110s x1mm 400E01 x2mm 160E02 x0mm 100E02 v0mm 180E01 to h 000E00 xo Km 000E00 t1 h 900E01 Lista 2 Problemas do capítulo 11 do BeerJohnstonCornwell9a edição Equipe Profs José Almeida Maciel e Osmundo Donato P1117 Uma partícula oscila entre os pontos x1 mm e x2 mm com aceleração a k 100 x em que a aceleração é expressa em mms² e x em mm Sabendo que vx x₀ mm v₀ mms determine a k em s² e b vxx₂x₀2 em mms P1127 Com base em observações a velocidade de um corredor pode ser aproximada pela relação v 74 1 004 x ⁰³ com x em Km e v em Kmh Sabendo que xt t₀ h x₀ Km determine a a distância em Km que o corredor percorreu de zero a t₁ h b a aceleração em ms² do corredor em t₀ h e c o tempo em h necessário para o corredor percorrer 600 Km 1 P113 a Como 𝑎 𝑏2 90 temos que 𝑥𝑡 𝑏2 90 𝑡3 𝑏𝑡2 30𝑡 8 A velocidade 𝑣𝑡 da partícula é a derivada de 𝑥𝑡 Isto é 𝑣𝑡 𝑥𝑡 𝑏2 90 𝑡3 𝑏𝑡2 30𝑡 8 𝑏2 90 3𝑡2 2𝑏𝑡 30 𝑏2 30 𝑡2 2𝑏𝑡 30 Igualando a zero 𝑣𝑡 0 𝑏2 30 𝑡2 2𝑏𝑡 30 0 𝑡 2𝑏 2𝑏2 4 𝑏2 30 30 2 𝑏2 30 𝑡 2𝑏 4𝑏2 4𝑏2 𝑏2 15 𝑡 2𝑏 𝑏2 15 30 𝑏 Substituindo 𝑏 948 𝑡 30 948 316 s b A posição no instante 𝑡 316 s é 𝑥316 9482 90 3163 948 3162 30 316 8 898704 90 31554496 948 99856 30 316 8 3150905752576 94663488 948 8 3937 m c A aceleração 𝑎 da partícula é dada por 𝑎𝑡 𝑣𝑡 𝑏2 30 𝑡2 2𝑏𝑡 30 𝑏2 30 2𝑡 2𝑏 𝑏2 15 𝑡 2𝑏 Substituindo 𝑏 948 e 𝑡 316 s 𝑎316 9482 15 316 2 948 898704 15 316 2 948 189326976 1896 003 m s2 2 P115 a A velocidade 𝑣𝑡 da partícula é dada por 𝑣𝑡 𝑥𝑡 𝑎𝑡4 𝑏𝑡3 12𝑡2 3𝑡 3 4𝑎𝑡3 3𝑏𝑡2 24𝑡 3 Logo a aceleração 𝑎𝑡 é 𝑎𝑡 𝑣𝑡 4𝑎𝑡3 3𝑏𝑡2 24𝑡 3 12𝑎𝑡2 6𝑏𝑡 24 Igualando a zero 𝑎𝑡 0 12𝑎𝑡2 6𝑏𝑡 24 0 𝑡 6𝑏 6𝑏2 4 12𝑎 24 2 12𝑎 𝑡 6𝑏 36𝑏2 1152𝑎 24𝑎 Substituindo 𝑎 6 e 𝑏 2 𝑡 6 2 36 22 1152 6 24 6 𝑡 12 36 4 1152 6 24 6 𝑡 12 144 6912 144 𝑡 12 7056 144 𝑡 12 84 144 Como 𝑡 0 𝑡 12 84 144 𝑡 96 144 𝑡 067 s b A posição da partícula no instante 𝑡 067 s é 𝑥067 6 0674 2 0673 12 0672 3 067 3 6 020151121 2 0300763 12 04489 3 067 3 120906726 0601526 53868 201 3 023 m c A velocidade da partícula no instante 𝑡 067 s é 𝑣067 4 6 0673 3 2 0672 24 067 3 4 6 0300763 3 2 04489 24 067 3 7218312 26934 1608 3 856 m s 3 P119 a Como a aceleração é constante a igual a 8 m s2 a posição 𝑥𝑡 da partícula no instante 𝑡 é dada por 𝑥𝑡 4𝑡2 𝑣0𝑡 𝑥0 Além disso a velocidade 𝑣𝑡 no instante 𝑡 é dada por 𝑣𝑡 8𝑡 𝑣0 Além disso pela Equação de Torricelli temos que 𝑣𝑡 2 𝑣0 2 16𝑥𝑡 𝑥0 Assim no instante em que 𝑥𝑡 4 teremos na equação acima 162 𝑣0 2 164 𝑥0 256 𝑣0 2 64 16𝑥0 𝑥0 320 𝑣0 2 16 Por outro lado 𝑥𝑡 4 20 Logo 20 4 42 𝑣0 4 𝑥0 20 64 4𝑣0 𝑥0 84 4𝑣0 𝑥0 84 4𝑣0 320 𝑣0 2 16 1344 64𝑣0 320 𝑣0 2 𝑣0 2 64𝑣0 1024 0 Assim 𝑣0 64 642 4 1 1024 2 1 64 4096 4096 2 32 m s Logo 𝑣𝑡 8𝑡 32 Assim a velocidade será zero quando 8𝑡 32 0 32 8𝑡 𝑡 4 s b Temos que 𝑥0 320 𝑣0 2 16 320 322 16 320 1024 16 44 m Assim 𝑥𝑡 4𝑡2 32𝑡 44 A função acima atinge seu máximo em 𝑡 32 24 4 Assim a distância percorrida até 11 s é 𝑥4 𝑥0 𝑥4 𝑥11 20 44 20 176 260 m 4 P1117 a Temos que 𝑎 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥 o que nos dá 𝑘100 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑣 Integrando ambos os lados 𝑘100 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑣 Logo 100𝑘𝑥 𝑘 𝑥2 2 𝐶 𝑣2 2 onde 𝐶 é uma constante real Como 𝑣𝑥 100 18 temos que 100𝑘 100 𝑘 1002 2 𝐶 182 2 10000𝑘 𝑘 10000 2 𝐶 324 2 10000𝑘 5000𝑘𝐶 162 10000𝑘 162 5000𝑘𝐶 𝐶 5000𝑘 81 2500𝑘 Ou seja 100𝑘𝑥 𝑘 𝑥2 2 5000𝑘 81 2500𝑘 𝑣2 2 Como nas extremidades do movimento a velocidade deve ser nula quando 𝑥 40 temse 𝑣 0 Assim 100𝑘 40 𝑘 402 2 5000𝑘 81 2500𝑘 02 2 4000𝑘 𝑘 1600 2 5000𝑘 81 2500𝑘 0 4000𝑘 800𝑘 5000𝑘 81 2500𝑘 0 3200𝑘 5000𝑘 81 2500𝑘 0 8000000𝑘2 5000𝑘 81 0 𝑘 5000 50002 4 8000000 81 2 8000000 𝑘 5000 25000000 2592000000 16000000 𝑘 5000 2617000000 16000000 𝑘 5 2617 16000 5 b Temos que 𝑥2 𝑥0 2 160 100 2 60 2 30 Assim quando 𝑥 30 teremos 100𝑘 30 𝑘 302 2 5000𝑘 81 2500𝑘 𝑣2 2 3000𝑘 450𝑘 5000𝑘 81 2500𝑘 𝑣2 2 2550𝑘 5000𝑘 81 2500𝑘 𝑣2 2 6375000𝑘2 5000𝑘 81 1250𝑘𝑣2 𝑣2 6375000𝑘2 5000𝑘 81 1250𝑘 Como 5000𝑘 81 8000000𝑘2 temos que 𝑣2 6375000𝑘2 8000000𝑘2 1250𝑘 𝑣2 1625000𝑘2 1250𝑘 𝑣2 1300𝑘 Assim 𝑣2 1300 5 2617 16000 135 2617 160 Portanto 𝑣 135 2617 160 214 mm s 6 P1127 a Temos que 𝑣 741 004𝑥03 𝑑𝑥 𝑑𝑡 741 004𝑥03 1 741 004𝑥03 𝑑𝑥 𝑑𝑡 1 741 004𝑥03 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Fazendo a mudança de variável 𝑢 1 004𝑥 temos 𝑑𝑢 004𝑑𝑥 Logo 1 004 1 74𝑢03 𝑑𝑢 𝑑𝑡 1 0296 𝑢03𝑑𝑢 𝑑𝑡 1 0296 𝑢07 07 𝐶 𝑡 1 0296 1 004𝑥07 07 𝐶 𝑡 1 004𝑥07 02072 𝐶 𝑡 Como 𝑥0 0 1 004 007 02072 𝐶 0 𝐶 1 004 007 02072 𝐶 1 02072 Portanto 1 1 004𝑥07 02072 𝑡 Dessa forma quando 𝑡 09 1 1 004𝑥07 02072 09 1 1 004𝑥07 018648 1 004𝑥07 081352 1 004𝑥 074 004𝑥 026 𝑥 65 km b Quando 𝑡 0 temos que 𝑣0 741 004 003 74 1 74 Derivando a expressão dada com respeito a 𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 741 004𝑥03 𝑎𝑡 𝑑 𝑑𝑥 741 004𝑥03 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑎𝑡 74 031 004𝑥07 004 𝑣𝑡 𝑎𝑡 008881 004𝑥07𝑣𝑡 Assim em 𝑡 0 𝑎0 008881 004 007𝑣0 00888 1 74 065712 km h2 065712 1 12960 m s2 507 105 m s2 7 c Quando 𝑥 6 km temos 𝑡 1 1 004 607 02072 1 1 02407 02072 1 07607 02072 082 h P113 a Como ab 2 90 temos que x t b 2 90 t 3bt 230t8 A velocidade v t da partícula é a derivada de x t Isto é v t x t b 2 90 t 3bt 230t 8 b 2 90 3t 22bt30 b 2 30 t 22bt30 Igualando a zero v t 0 b 2 30 t 22bt300t 2b 2b 24 b 2 30 30 2 b 2 30 t2b4b 24 b 2 b 2 15 t2b b 2 15 30 b Substituindo b948 t 30 948 316s b A posição no instante t316s é x 316 948 2 90 316 3948316 2303 168 898704 90 3155449694899856303168 31509057525769466348894 883937 m c A aceleração a da partícula é dada por a t v t b 2 30 t 22bt30 b 2 30 2t 2bb 2 15 t2b Substituindo b948 e t316s a 316948 2 15 3162948898704 15 3162948 1893269761896003ms 2 1 P115 a A velocidade v t da partícula é dada por v t x t at 4bt 312t 23t 3 4at 33bt 224 t3 Logo a aceleração a t é a t v t 4 at 33bt 224t 3 12at 26bt24 Igualando a zero a t 012at 26bt240t6b6b 24 12a 24 212a t6 b36b 21152 a 24 a Substituindo a6 e b2 t6 2362 211526 246 t1236 411526 24 6 t121446912 144 t127056 144 t1284 144 Como t 0 t1284 144 t 96 144 t067s b A posição da partícula no instante t067s é x 067 6067 42067 312067 230673 60201511212030076312044893 0673 1209067260601526538682013023m c A velocidade da partícula no instante t067s é v 067 4 6067 332 067 224 0673 4 603007633204489240673 72183122693416 083856m s 2 P119 a Como a aceleração é constante a igual a 8m s 2 a posição x t da partícula no instante t é dada por x t 4t 2v 0tx 0 Além disso a velocidade v t no instante t é dada por v t 8t v 0 Além disso pela Equação de Torricelli temos que v t 2v 0 216 x t x 0 Assim no instante em que x t 4 teremos na equação acima 16 2v 0 216 4x 0256v 0 26416 x 0 x 0320v 0 2 16 Por outro lado x t4 20 Logo 204 4 2v 0 4x 020644v 0x 0 844 v 0 x 0844v 0 320v 0 2 16 134464 v 0 320v 0 2 v 0 264 v 010240 Assim v 0 6464 241 1024 21 6440964096 2 32m s Logo v t 8t 32 Assim a velocidade será zero quando 8t320328t t4s b Temos que x 0320v 0 2 16 32032 2 16 3201024 16 44 m Assim 3 x t 4t 232t44 A função acima atinge seu máximo em t 32 24 4 Assim a distância percorrida até 11s é x 4 x 0x 4 x 112044 20176260 m P1117 a Temos que av dv dx o que nos dá k 100x dxv dv Integrando ambos os lados k 100x dx v dv Logo 100kxk x 2 2 Cv 2 2 onde C é uma constante real Como v x100 18 temos que 100k 100k 100 2 2 C18 2 2 10000kk 10000 2 C324 2 10000k5000kC16210000k1625000kC C5000k81 2500k Ou seja 100kxk x 2 2 5000k81 2500k v 2 2 Como nas extremidades do movimento a velocidade deve ser nula quando x40 temse v0 Assim 100k 40k 40 2 2 5000 k81 2500k 0 2 2 4000kk 1600 2 5000 k81 2500k 0 4000k800k5000 k81 2500k 03200 k 5000k81 2500k 0 8000000k 25000k810 k50005000 24800000081 28000000 k5000250000002592000000 16000000 4 k50002617000000 16000000 k52617 16000 b Temos que x2x0 2 160100 2 60 2 30 Assim quando x30 teremos 100k 30k 30 2 2 5000 k81 2500k v 2 2 3000k450k 5000k81 2500k v 2 2 2550k 5000k81 2500k v 2 2 6375000k 25000k811250 k v 2 v 26375000 k 25000k81 1250k Como 5000k818000000k 2 temos que v 26375000 k 28000000k 2 1250k v 21625000k 2 1250k v 21300k Assim v 2130052617 16000 1352617 160 Portanto v 13 52617 160 214 mms 5 P1127 a Temos que v74 1004 x 03 dx dt 74 1004 x 03 1 7 4 1004 x 0 3 dxdt 1 74 1004 x 03 dx dt Fazendo a mudança de variável u1004 x temos du004dx Logo 1 004 1 74u 03 dudt 1 0296u 0 3dudt 1 0296 u 07 07 Ct 1 0296 10 04 x 0 7 07 Ct 1004 x 07 02072 Ct Como x 00 1004 0 07 02072 C0C 10040 07 02072 C 1 02072 Portanto 110 04 x 0 7 02072 t Dessa forma quando t09 110 04 x 0 7 02072 0911004 x 07018648 1004 x 070813521004 x 074 004 x026 x 65 km b Quando t0 temos que v 0 74 10040 0 374 174 Derivando a expressão dada com respeito a t dv dt d dt 74 1004 x 03a t d dx 74 1004 x 0 3 dx dt 6 a t 7 403 1004 x 0 7 004v t a t 00888 1004 x 0 7v t Assim em t0 a 0 00888 1004 0 0 7v 000888174065712kmh 2 065712 1 12960 ms 250710 5ms 2 c Quando x6 km temos t11004 6 0 7 02072 11024 0 7 02072 1076 07 02072 082 h 7