Eletromagnetismo: Equações de Maxwell - Capítulo 1

Eletromagnetismo 2 Capítulo 1 Equações de Maxwell Professor Renan Carvalho rvbcpolibr Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Sumário 1 Lei de Faraday 2 Fem de movimento e Fem de transformador 3 Corrente de deslocamento 4 Equações de Maxwell nas formas finais 5 Potenciais variáveis no tempo 6 Campos harmônicos no tempo Introdução Oersted Uma corrente estacionária produz um campo magnético Michael Faraday e Joseph Henry Um campo magnético variante no tempo produz uma corrente elétrica Experimento de Faraday Um campo magnético estático não produz fluxo de corrente mas um campo magnético variante no tempo produz uma tensão induzida chamada de força eletromotriz fem em um circuito elétrico fechado o que gera um fluxo de corrente Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Lei de Faraday Lei de Faraday a fem induzida 𝑉𝑓𝑒𝑚 em volts em qualquer circuito fechado é igual à taxa de variação no tempo do fluxo magnético enlaçado pelo circuito 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝑑𝜆 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝛹 𝑑𝑡 𝑁 é o número de espiras 𝜆 é o fluxo total e 𝛹 é o fluxo em cada espira O sinal negativo mostra que a tensão induzida age de tal forma a se opor ao fluxo que produziu Lei de Lenz O sentido de fluxo da corrente induzida produz um campo magnético que se opõe ao campo magnético original Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Campo elétrico Eletrostática Campos elétricos são causados por cargas elétricas Entretanto existem campos elétricos causados não diretamente por cargas elétricas Eles são produzidos por fem Algumas fontes de fem são geradores elétricos baterias e células fotovoltaicas todas elas convertem energia não elétrica em energia elétrica 2 Fem de movimento e fem de transformador Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Lei de Faraday forma integral Partindo da Lei de Faraday 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝑑𝜆 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝛹 𝑑𝑡 E considerando um circuito com apenas uma espira 𝑁 1 tem se que 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝑑𝛹 𝑑𝑡 Como 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝐿 𝐸 𝑑 𝑙 𝐿 é o caminho do circuito fechado 𝛹 𝑆 𝐵 𝑑 𝑆 𝑆 é a área da superfície delimitada por L Então 𝐿 𝐸 𝑑 𝑙 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐵 𝑑 𝑆 Lei de Faraday 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥 Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Lei de Faraday forma integral Pela lei de Faraday vêse a variação do fluxo de campo magnético com o tempo pode ser causada de três maneiras diferentes Uma espira estacionária em um campo magnético variável no tempo A área de uma espira variável no tempo em um campo magnético estático A área de uma espira variável no tempo em um campo magnético variável no tempo Fem de transformador 1 Considere uma espira estacionária em um campo magnético variável no tempo Então 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝐿 𝐸 𝑑 𝑙 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐵 𝑑 𝑆 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝐿 𝐸 𝑑 𝑙 𝑆 𝐵 𝑡 𝑑 𝑆 2 Aplicando o teorema de Stokes temse que 𝑆 𝐸 𝑑 𝑆 𝑆 𝐵 𝑡 𝑑 𝑆 𝐸 𝐵 𝑡 Lei de Faraday forma diferencial Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Fem de transformador 𝐸 𝐵 𝑡 é uma das equações de Maxwell para campos variáveis no tempo Ela mostra que um campo elétrico 𝐸 variável no tempo não é conservativo 𝐸 0 O trabalho realizado para deslocar uma carga em um caminho fechado na presença de um campo elétrico variável no tempo é devido à energia proveniente do campo magnético variável no tempo A fem induzida por uma corrente variável no tempo que produz o campo magnético 𝐵 variável no tempo em uma espira estacionária é denominada fem de transformador Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Fem de movimento A força 𝐹𝑚 que age sobre uma carga 𝑄 que se desloca com velocidade 𝑢 dentro de um campo magnético 𝐵 é dada por 𝐹𝑚 𝑄𝑢 𝐵 O campo elétrico de movimento 𝐸𝑚 é dado por 𝐸𝑚 𝐹𝑚 𝑄 𝑢 𝐵 Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Fem de movimento Considerando uma espira condutora movendose com velocidade uniforme 𝑢 como constituída por um grande número de elétrons livres a fem induzida na espira será 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝐿 𝐸𝑚 𝑑 𝑙 𝐿 𝑢 𝐵 𝑑𝐿 Essa é a fem de movimento ou fem de fluxo cortante Máquina de corrente contínua SADIKU M N O Elementos de Eletromagnetismo 5ª ed 2012 Editora Bookman Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Fem de movimento A fem de movimento ou fem de fluxo cortante é encontrada em máquinas elétricas como motores geradores e alternadores A orientação da corrente induzida é a mesma de 𝑢 𝐵 A orientação do caminho da integral é escolhida de modo a estar no sentido oposto ao da corrente induzida satisfazendo a Lei de Lenz Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Fem total Para uma espira em movimento em um campo magnético variável no tempo temse a fem total Ele é obtida combinando as equações da fem de transformador e da fem de movimento Logo 𝑉𝑓𝑒𝑚 𝐿 𝐸𝑚 𝑑 𝑙 𝑠 𝐵 𝑡 𝑑 𝑆 𝐿 𝑢 𝐵 𝑑 𝑙 A forma diferencial da equação anterior é 𝐸 𝐵 𝑡 𝑢 𝐵 Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Lei circuital de Ampère Para campos eletromagnéticos estáticos temse que 𝐻 𝐽 A divergência do rotacional de um campo vetorial é zero Ou seja 𝐻 𝐽 0 Porém de acordo com a equação de continuidade da corrente temse que 𝐽 𝜌𝑉 𝑡 Assim as equações 𝐽 0 e 𝐽 𝜌𝑉 𝑡 são incompatíveis para campos variantes no tempo Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Densidade de corrente de deslocamento A lei circuital de Ampère deve ser modificada para compatibilizarse com a equação da continuidade de corrente Para isso é adicionado um termo J𝑑 na lei circuital de Ampère tal que ela se torna 𝐻 𝐽 𝐽𝑑 A divergência do rotacional de um vetor é igual zero Então 𝐻 𝐽 𝐽𝑑 0 𝐽𝑑 𝐽 𝜌𝑉 𝑡 𝐽𝑑 𝑡 𝐷 𝐷 𝑡 Logo 𝐽𝑑 𝐷 𝑡 𝐃𝐞𝐧𝐬𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐝𝐞 𝐝𝐞𝐬𝐥𝐨𝐜𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Lei circuital de Ampère para campos magnéticos variáveis no tempo Portanto a equação de Maxwell do rotacional do campo magnético variável no tempo lei circuital de Ampère é a seguinte 𝐻 𝐽 𝐷 𝑡 Lei circuital de Ampère para campos magnéticos variáveis no tempo J 𝜎𝐸 é a corrente de condução A inserção da corrente de deslocamento na lei circuital de Ampère foi uma das maiores contribuições de Maxwell Sem o termo J𝑑 a propagação de ondas eletromagnéticas não poderia ter sido prevista como Maxwell fez e posteriormente verificada experimentalmente por Hertz Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Corrente de deslocamento A corrente de deslocamento é definida como 𝐼𝑑 𝐽𝑑 𝑑 𝑆 𝐷 𝑡 𝑑 𝑆 A corrente de deslocamento é resultado de um campo elétrico variável no tempo Um exemplo típico desta corrente é aquela que flui por um capacitor quando uma fonte de tensão alternada é aplicada em seus terminais 4 Equações de Maxwell nas formas finais Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Equações de Maxwell nas formas finais Contribuições de Maxwell Unificou a teoria da eletricidade e do magnetismo Introduziu a corrente de deslocamento a qual levou à descoberta das ondas eletromagnéticas por Hertz Maxwell compilou as leis do eletromagnetismo em quatro equações Forma diferencial Forma integral Significado 𝐷 𝜌𝑉 𝑆 𝐷 𝑑 𝑆 𝑣 𝜌𝑉𝑑𝑣 Lei de Gauss 𝐵 0 𝑆 𝐵 𝑑 𝑆 0 Inexistência de carga magnética isolada 𝐸 𝐵 𝑡 𝐿 𝐸 𝑑 𝑙 𝑡 𝑆 𝐵 𝑑 𝑆 Lei de Faraday 𝐻 𝐽 𝐷 𝑡 𝐿 𝐻 𝑑 𝑙 𝑆 𝐽 𝐷 𝑡 𝑑 𝑆 Lei circuital de Ampère Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Campo elétrico 𝐵 𝐴 𝐴 é o vetor potencial magnético Utilizando a lei de Faraday 𝐸 𝐵 𝑡 temse que 𝐸 𝑡 A 𝐸 𝐴 𝑡 0 Assim 𝐸 𝐴 𝑡 𝑉 𝐸 𝐴 𝑡 𝑉 Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Campo elétrico Conclusões Em campos variantes no tempo tanto 𝐸 quanto 𝐵 dependem de 𝐴 𝐸 pode ser visto como uma composição de duas partes Uma é devida à uma distribuição de carga 𝜌 A outra é consequência de uma corrente variável 𝐽 no tempo Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Condições de Lorentz Da lei de Gauss 𝐷 𝜌𝑉 e Do campo elétrico com os potenciais elétrico e magnético 𝐸 𝐴 𝑡 𝑉 temse que 𝐷 𝜌𝑉 como 𝐷 𝜀𝐸 𝐸 𝜌𝑉 𝜀 𝐸 𝜌𝑉 𝜀 2𝑉 𝑡 𝐴 2𝑉 𝑡 𝐴 𝜌𝑉 𝜀 Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Condições de Lorentz Aplicando o rotacional nos dois lados de 𝐵 𝐴 obtémse 𝐵 𝐴 Sabendo que 𝐷 𝜀𝐸 𝐵 𝜇𝐻 𝐸 𝐴 𝑡 𝑉 𝐻 𝐽 𝐷 𝑡 Então 𝐴 𝐵 𝜇 𝐻 𝜇 𝐽 𝜇 𝐷 𝑡 𝜇 𝐽 𝜇𝜀 𝐸 𝑡 𝐴 𝜇 𝐽 𝜇𝜀 𝑡 𝐴 𝑡 𝑉 𝜇 𝐽 𝜇𝜀 𝑉 𝑡 𝜇𝜀 2 𝐴 𝑡2 Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Condições de Lorentz Utilizando a identidade A A 2A obtémse 2A A 𝜇 𝐽 𝜇𝜀 𝑉 𝑡 𝜇𝜀 2 𝐴 𝑡2 2A 𝜇𝜀 2 𝐴 𝑡2 𝜇 𝐽 A 𝜇𝜀 𝑉 𝑡 Assim temse que 𝐴 𝜇𝜀 𝑉 𝑡 0 𝐴 𝜇𝜀 𝑉 𝑡 Condições de Lorentz para potenciais Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Equações de onda Retornando às equações 2𝑉 𝑡 𝐴 𝜌𝑉 𝜀 2 𝐴 𝜇𝜀 2 𝐴 𝑡2 𝜇 𝐽 𝐴 𝜇𝜀 𝑉 𝑡 E impondo a condição de Lorentz nelas temse que 2𝑉 𝜇𝜀 2𝑉 𝑡2 𝜌𝑉 𝜀 2 𝐴 𝜇𝜀 2 𝐴 𝑡2 𝜇 𝐽 Equações de onda Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Equações de onda As equações de onda e possuem respectivamente as seguintes soluções 𝑉 𝑣 𝜌𝑣 𝑑𝑣 4𝜋𝜀𝑅 𝐴 𝑣 𝜇 𝐽 𝑑𝑣 4𝜋𝑅 O termo 𝜌𝑣 ou J significa que o tempo 𝑡 em 𝜌𝑣𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 é substituído pelo tempo de retardo 𝑡 𝑡 𝑡 𝑅 𝑢 𝑅 é a distância entre o ponto fonte 𝑟 e o ponto de observação 𝑟 onde se quer o valor do potencial 𝑢 1 𝜇𝜀 é a velocidade de propagação da onda No espaço livre 𝑢 3 108 ms a velocidade da luz no vácuo Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Fasor Um campo harmônico no tempo é aquele que varia periodicamente ou senoidalmente com o tempo Senoides são expressas geralmente como fasores Um fasor 𝑧 é um número complexo que pode ser escrito como 𝑧 𝑥 𝑗𝑦 𝑟𝜙 𝑥 é a parte real de 𝑧 𝑦 é a parte imaginária de 𝑧 𝑧 𝑟𝑒𝑗𝜙 𝑟 cos 𝜙 𝑗 sin 𝜙 𝑟 é a magnitude de 𝑧 𝜙 é a fase de 𝑧 𝑗 1 𝑟 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝜙 tan1 𝑦 𝑥 SADIKU M N O Elementos de Eletromagnetismo 5ª ed 2012 Editora Bookman Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Propriedades básicas dos fasores Considere os números complexos 𝑧 𝑥 𝑗𝑦 𝑟𝜙 𝑧1 𝑥1 𝑗𝑦1 𝑟1𝜙1 𝑧2 𝑥2 𝑗𝑦2 𝑟2𝜙2 As seguintes propriedades básicas devem ser observadas Adição 𝑧1 𝑧2 𝑥1 𝑥2 𝑗 𝑦1 𝑦2 Subtração 𝑧1 𝑧2 𝑥1 𝑥2 𝑗 𝑦1 𝑦2 Multiplicação 𝑧1𝑧2 𝑟1𝑟2 𝜙1 𝜙2 Divisão 𝑧1 𝑧2 𝑟1 𝑟2 𝜙1 𝜙2 Raiz quadrada 𝑧 𝑟 𝜙2 Complexo conjugado 𝑧 𝑥 𝑗𝑦 𝑟 𝜙 𝑟𝑒𝑗𝜙 Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Dependência temporal Para introduzir a dependência temporal façamos 𝜙 𝜔𝑡 𝜃 𝜃 pode ser uma função do tempo ou do espaço ou uma constante As partes real Re e a imaginária Im de 𝑟𝑒𝑗𝜙 𝑟𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝜔𝑡 São dadas respectivamente por 𝑅𝑒 𝑟𝑒𝑗𝜙 𝑟 cos 𝜔𝑡 𝜃 𝐼𝑚 𝑟𝑒𝑗𝜙 𝑟 sen 𝜔𝑡 𝜃 Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Representação Um fasor pode ser um escalar ou um vetor Se um vetor 𝐴 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 é um campo harmônico no tempo a forma fasorial de 𝐴 é 𝐴𝑠 𝑥 𝑦 𝑧 estando estas duas grandezas relacionadas conforme 𝐴 𝑅𝑒 𝐴𝑠𝑒𝑗𝜔𝑡 Se 𝐴 𝐴0 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝛽𝑥 𝑎𝑦 podese escrever 𝐴 como 𝐴 𝑅𝑒 𝐴0𝑒𝑗𝛽𝑥 𝑎𝑦𝑒𝑗𝜔𝑡 Ou seja a forma fasorial de 𝐴 é 𝐴𝑠 𝐴0𝑒𝑗𝛽𝑥 𝑎𝑦 Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Derivação e integração Determinar a derivada no tempo de uma grandeza instantânea é equivalente a multiplicar a sua forma fasorial por 𝑗𝜔 Ou seja A 𝑡 𝑗𝜔A𝑠 De maneira análoga A 𝑡 A𝑠 𝑗𝜔 Escola Politécnica de Pernambuco Universidade de Pernambuco Derivação e integração As equações de Maxwell para campos harmônicos no tempo em um meio linear isotrópico e homogêneo são Observe que o fator 𝑒𝑗𝜔𝑡 desaparece Forma diferencial Forma integral 𝐷𝑠 𝜌𝑣𝑠 𝐿 𝐷𝑠 𝑑 𝑆 𝑣 𝜌𝑉𝑑𝑣 𝐵𝑠 0 𝑆 𝐵𝑠 𝑑 𝑆 0 𝐸𝑠 𝑗𝜔𝐵𝑠 𝐿 𝐸𝑠 𝑑 𝑙 𝑗𝜔 𝑆 𝐵𝑠 𝑑 𝑆 𝐻𝑠 𝐽𝑠 𝑗𝜔𝐷𝑠 𝐿 𝐻𝑠 𝑑 𝑙 𝑆 𝐽𝑠 𝑗𝜔𝐷𝑠 𝑑 𝑆