Exercicios Resolvidos Processamento Digital de Sinais UPE-Poli

Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Processamento Digital de Sinais Professor Madeiro Primeiro Exercício Escolar Período Letivo Suplementar 2020 Observação Respostas devem ser apresentadas com justificativa eou desenvolvimento 1 Faça o que se pede a Determine quanto tempo de voz um pedrive de 16 GB pode armazenar Admita que o sinal de voz foi amostrado a 8 KHz e submetido a um quantizador escalar nãouniforme com 256 níveis de quantização Valor 10 b À luz da quantização comente a relação existente entre distorção taxa de compressão taxa de codificação e qualidade de sinais comprimidos Valor 10 2 Um sistema linear e invariante no tempo é descrito por yn 12xn xn 1 em que xn e yn são a entrada e a saída do sistema respectivamente Determine e esboce a resposta ao impulso e a resposta em frequência Responda É correto afirmar que o sistema supracitado é um filtro passabaixa Valor 20 3 Seja xn um sinal de tempo discreto Seja Xejw sua transformada de Fourier TF de tempo discreto Faça o que se pede a Mostre que se xn é real então Xejw Xejw em que Xejw é o conjugado de Xejw Valor 10 b Demonstre a Relação de Parseval n to xn2 12π 2π Xejw2 dw Valor 10 4 Faça o que se pede a Mostre que a transformada de Fourier de tempo discreto TFTD é periódica É correto afirmar que a TFTD tem período 4π Valor 10 b Seja xn 6δn 2 3δn 1 9δn 3δn 1 6δn 2 Sem encontrar explicitamente a Transformada de Fourier Xejw calcule Xejww0 e Xejwwπ Valor 10 5 Faça o que se pede a Responda A transformada Z é um caso particular da transformada de Fourier para sinal de tempo discreto Valor 10 b Mostre que se xn for uma sequência lateral direita e se a circunferência z r0 estiver na região de convergência ROC Region of Convergence então todos os valores finitos de z para os quais z r0 também estarão na ROC Valor 10 Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Aluna Daniela Melo da Cunha Amaral Disciplina Processamento Digital de Sinais 1 Exercício Escolar 1 a I L 256 níveis de quantização n log2256 log28 n 8 bits Amostra II Frequência de amostragem é 8 kHz ou seja 1s 8103 Amostras III 1s 8103 Amostras 8 bitsAmostra t 16 GB 8 230 bits 1 GB t 1s 16GB 8 230 bits 1 GB 8103 Amostras 8 bitsAmostras t 16 16 8 230 3h 3600s 8 103 8 t 5965h b A taxa de codificação está relacionada diretamente à quantidade de bits transmitidos por segundo ou seja quanto maior a taxa de codificação melhor a qualidade do sinal quantizado A taxa de de compressão está relacionada ao número de bits que representa um nível de quantização com isso temos que quanto maior a quantidade de bits para representar uma amostra melhor será a qualidade do sinal quantizado porém menor será a taxa de compressão À partir do que foi menscionado podese concluir que quanto maior a quantidade de bits transmitidos por segundo maio a taxa de codificação e quanto maior o número de bits para representar uma amostra menor taxa de compressão melhor será a qualidade da imagem isto é menor a distorção Taxa de codificação Taxa de Compressão Qualidade Distorção 2 Yn 12 xn 12 xn 1 xn Yn I Resposta ao impulso A resposta do sistema quando a entrada é um impulso unitário δn hn Com isso temos que hn 12 δn 12 δn 1 Digitalizada com CamScanner II Resposta em Frequência É a transformada de Fourier de tempo discreto de hn Fhn n to hn ejwn n to 12 δn 12 δn 1 ejwn Hejw Hejw 12 δ0 ejw0 12 δ13 ejw1 Hejw 12 12 ejw III Hejw 12 1 ejw jejw2 jejw2 j 2j ejw2 ejw2 ejw2 j ejw2 ejw2 2j ejw2 Hejw j senw2 ejw2 Hejw senw2 ejw2 senw2 ejw2 Hejw senw2 Hejw π2 Hejw 3π 2π π π 2π 3π ω Conclusão A partir dos cálculos é correto afirmar que o sistema corresponde a um Filtro PassaAltas pois as maiores frequências encontramse na vizinhança das componentes ímpares de π π 3π 5π 4 a I Xejw n to xn ejwn II Xejw2π n to xn ejw2πn n to Xn ejwn ej2πn III ej2πn cos2πn j sen2πn cos2πn ej2πn 1 IV Com isso temos Xejw2π n to xn ejwn Xejw Portanto podeconcluir que a TFTD possui período 2π Digitalizada com CamScanner b Xn 6δn2 3δn1 9δn 3δn1 6δn2 A partir do gráfico temos Xejw 9 12 6 cos2w 3 cos w PCOM Xejw 9 3 cos 2w 32 cosw i Xejw w0 9 3 cos 2 0 32 cos0 9 3 32 Xejw 305 ii Xejw wpi 9 3 cos 2pi 32 cospi 9 3 32 Xejw 335 3 b i De definição de TFTD temos F1 Xejw Xn 1 2π 2π Xejw ejun dw ii Tomando o complexo conjugado de ambos os lados temos Xn 1 2π 2π Xejw ejun dw obs Sabendo que o módulo de um número complexo é igual ao módulo do seu conjugado temos Z r ejw Z r ejw então Xn ² Xn Xn iii Com isso temos Σ n Xn ² Σ n Xn Xn Σ n Xn 1 2π 2π Xejw ejun dw 1 2π 2π Xejw Σ n Xn ejun dw Σ n Xn ² 1 2π 2π Xejw Xejw dw Σ n Xn ² 1 2 2π Xejw ² dw a i FXn Σ n Xn ejun Xejw ii FXn Σ n Xn ejun Σ n Xn ejun Xejw iii FXn Σ n Xn ejun Σ n Xm ejum Σ n Xm ejwm Xejw iv F Xn Σ n Xn ejun Σ n Xm ejum Σ n Xm ejum Xejw Conclusão Com Xn real então temos que Xn Xn o mesmo serve para Xn em que Xn Xn logo a partir de TFTD podese concluir que Xejw Xejw 5 a Xz Xrejw Σ n Xnrejwn Σ n Xnrn ejun FXnrn Se Xrejw é a transformada de Fourier de Xnrn e consideramos particularmente o caso r z 1 temos Xz Xz r1 ejw FXn Xejw Assim a transformada Z se reduz a transformada de Fourier quando a magnitude da variável complex z é unitária b Xn an un Sequência Lateral Direita zr0 Temos que Xz ZXn Σ n Xn zn Σ n an un zn Σ n0 an zn az1n Xz 1 az1 az12 az13 Temos uma PG infinita com razão az1 Para que haja convergência o módulo da razão deve ser menor que 1 Portanto az1 1 a z 1 az 1 a z a r0 Xz 1 1 az1 zz Xz z z a ROC r0 a portanto todos os valores finitos de z para os quais z r0 também estarão na ROC