Sequências e Séries de Números Reais - Parte 2

Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 2 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 2 Teorema 1 Toda sequˆencia monotona limitada e convergente Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 2 Exemplo 1 Seja x1 0 e x2 1 e defina para cada n N xn2 xn xn1 2 a Prove que a subsequˆencia x2n e convergente e determine seu limite b Prove que a subsequˆencia x2n1 e convergente e determine seu limite c A sequˆencia xn e convergente Justifique Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 2 Exemplo 2 Seja y1 1 e defina para cada n N yn1 1 42yn 3 a Prove que yn e monotona e limitada b Conclua que yn e convergente e determine seu limite Exercıcio 1 Seja z1 1 e defina para cada n N zn1 2zn a Prove que zn e monotona e limitada b Conclua que zn e convergente e determine seu limite Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 2 Dado a 0 seja s 0 arbitrdrio e defina para cada néN 1 a Snt1 2 s a Mostre que s2 a para todo n 2 b Mostre que s é ménotona naocrescente c Conclua que sp convergente e prove que Sy va A sequéncia s era usada pelos Mesopotamios em torno de 1500 AC para determinar a raiz quadrada de um ntimero real a positivo Propriedades Aritmeticas dos Limites Proposicao 1 Se limxn 0 e yn e uma sequˆencia limitada entao limxn yn 0 Exemplo 3 Seja x R dado mostre que lim sennx2 n 0 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 2 Propriedades Aritmeticas dos Limites Proposicao 1 Se limxn 0 e yn e uma sequˆencia limitada entao limxn yn 0 Exemplo 3 Seja x R dado mostre que lim sennx2 n 0 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 2 Proposicao 2 Se limxn a e limyn b entao a limxn yn a b limxn yn a b b limxn yn ab c lim xn yn a b desde que b 0 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 2 Exercıcio 3 Se limxn a 0 mostre que existe n0 N tal que para n n0 temse xn 0 Proposicao 3 Sejam xn zn yn para todo n N Se limxn limyn a entao limzn a Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 2 Exemplo 4 Calcule o limite de cada uma das sequˆencias a seguir caso exista a xn n 1 3n 1 b an 1n1n n2 1 c bn n nn d yn cosnπ e xn na onde a 0 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 2 Exercıcio 4 Calcule o limite de cada uma das sequˆencias a seguir caso exista a xn n3 3n 1 4n3 2 b an n 1 n c bn 1 2 n n d yn cosn2 5n 8 n2 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 2 Exercıcio 5 Se limx2n a e limx2n1 a mostre que limxn a Exercıcio 6 Se limxn a 0 e limxnyn b mostre que limyn b a Exercıcio 7 Sejam a 0 e b 0 Prove que lim n an bn maxab Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 2